Auftrag - Wirsberg

Schuljahr 2004/2005
Klasse 10a
Copyright by: Andreas Herz, Kaufbeuren
Auftrag:
Vorbereitung zur Führerscheinprüfung
Jana
bereitet
sich
auf
die
Führerscheinprüfung vor. Einige wichtige
Faustregeln aus dem Fahrunterricht hat sie
sich
auf
einem
Infozettel
zusammengeschrieben.
Stelle die Zuordnungen
Geschwindigkeit g Sicherheitsabstand
Geschwindigkeit g empfohlener Gang
Geschwindigkeit g Bremsweg
und
Gang g Benzinverbrauch
übersichtlich graphisch dar. In welchem
wesentlichen Punkt unterscheiden sich die
Zuordnungen?
Gib
möglichst
auch
allgemeine Terme zur Berechnung der
Werte an.
Infozettel: Faustregeln zur Führerscheinprüfung
1. Sicherheitsabstand (in m) zum vorausfahrenden Fahrzeug
Halbe Tachoanzeige
2. Empfohlener Gang im Stadtverkehr
0-20 km/h : Gang 1
10-30 km/h : Gang 2
20-40 km/h : Gang 3
40-60 km/h : Gang 4
ab 60 km/h : Gang 5
3. Bremsweg (in m) bei Gefahrenbremsung
Geschwindigkeit (in km/h) durch 10 teilen. Das Ergebnis mit
sich selbst multiplizieren. Das Ergebnis durch 2 teilen.
4. Benzinverbrauch (in Liter pro 100 km) bei 40 km/h in
Abhängigkeit des Gangs
Gang 1
: 30
Gang 2
: 10
Gang 3
: 7
Gang 4
: 4
Gang 5
: 4
Bearbeitung des Auftrags
Mithilfe von Pfeildiagrammen und Wertetabellen können erste Informationen über die vier Zuordnungen
gewonnen werden:
Geschwindigkeit v (in km/h)
g
Sicherheitsabstand d (in m)
Geschwindigkeit (in
km/h)
Geschwindigkeit v (in km/h)
g
empfohlener Gang g
Sicherheitsabstand (in
m)
Geschwindigkeit (in
km/h)
10
5
20
10
30
Geschwindigkeit v (in km/h)
g
Bremsweg s (in m)
Gang g
g
Benzinverbrauch b
(in l/100 km)
empfohlener Gang
Geschwindigkeit (in
km/h)
Bremsweg
(in m)
Gang
Benzinverbrauch (in
l/100 km)
10
1
10
0,5
1
30
20
1; 2; 3
20
2
2
10
15
30
2; 3
30
4,5
3
7
40
20
40
3; 4
40
8
4
4
50
25
50
4
50
12,5
5
4
60
39
60
4; 5
60
18
70
35
70
5
70
24,5
1
In einem Koo rdinatensystem können die Zuordnungen übersichtlicher dargestellt werden:
Die aus der Wertetabelle stammenden Punkte werden durch Linien miteinander
verbunden, da allen positiven Geschwindigkeiten ein Sicherheitsabstand, ein Gang bzw.
ein Bremsweg zugeordnet werden kann.
Die Verbindung der Punkte
ist nicht sinnvoll, da es nur
die 5 Gänge gibt.
Im Graphen einer Zuordnung entspricht jedem Wertepaar der Tabelle einem Punkt im Koordinatensystem.
So wird beispielsweise das Wertepaar 50 a 25 in der ersten Tabelle durch den Punkt (50/25) im Graphen
dargestellt.
An der x-Achse des Graphen kann man die Definitionsmenge der Zuordnung, an der y-Achse die
Wertemenge der Zuordnung ablesen:
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Definitionsmenge:
Alle positiven rationalen
Zahlen
Alle positiven rationalen
Zahlen
Alle positiven rationalen
Zahlen
Die Zahlen 1; 2; 3; 4 und 5
kurz: D = Q +
kurz: D = Q +
kurz: D = Q +
kurz: D = {1; 2; 3 ;4; 5}
Wertemenge:
Wertemenge:
Wertemenge:
Wertemenge:
Alle positiven rationalen
Zahlen
Die Zahlen 1; 2; 3; 4 und 5
Alle positiven rationalen
Zahlen
Die Zahlen 4; 7; 10 und 30
kurz: W = Q +
kurz: W = {1; 2; 3 ;4; 5}
kurz: W = Q +
kurz: W = {4; 7; 10; 30}
Im ersten, dritten und vierten Beispiel wird jedem Element einer Menge (z.B. Geschwindigkeiten) genau
ein Element einer anderen Menge (z.B. Sicherheitsabstände) zugeordnet. Man spricht hier von eindeutigen
Zuordnungen. Dagegen ist die zweite Zuordnung nicht eindeutig. Hier wird z.B. der Geschwindigkeit 20
km/h gleich drei Gänge zugeordnet. Man bezeichnet sie als nicht-eindeutige oder mehrdeutige Zuordnung.
Eindeutige Zuordnungen nennt man Funktionen. Die erste, dritte und vierte Zuordnung sind Funktionen,
die zweite Zuordnung dagegen nicht.
Bei
den
Funktionen
d:
Geschwindigkeit
vg
Sicherheitsabstand
d
und
s: Geschwindigkeit v g Bremsweg s können Terme d(v) bzw. s(v) zur Berechnung der Funktionswerte
leicht gefunden werden:
d( v) =
v
 v 

 10 
2
s(v) = 
2
d(10) =
10
=5
2
d(20) =
20
2
= 10
:2
 10 

 10 
2
s(10) = 
 20 

 10 
s(20) = 
...
:2=1:2=0,5
2
:2=4:2=2
...
Dagegen kann zur Funktion b: Gang g g Benzinverbrauch b kein solcher Term zur Berechnung der
Funktionswerte angegeben werden.
2
Einen Schritt weiter gedacht:
Da eine Funktion einem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet,
kann der Graph einer Funktion Parallelen zur y-Achse nur
einmal schneiden.
Dagegen kann ein Graph einer Funktion Parallelen zur y-Achse
mehrfach schneiden. Denn mehrere x-Werte können dem
selben y-Wert zugeordnet werden.
3
Zusammenfassung
Eine Zuordnung weist jedem Element (Wert) aus
einer Menge ein Element (Wert) oder mehrere
Elemente (Werte) aus einer anderen Menge zu. Gibt
es jeweils genau ein zugewiesenes Element (genau
einen Wert), so spricht man von eindeutiger
Zuordnung oder von Funktion.
Die Zuordnungsvorschrift einer Funktion f gibt an,
wie jedem Wert x der Definitionsmenge D f der
zugehörige Wert y der anderen Menge gefunden wird.
Kurz: f : x a y
Der zu x gehörende Wert y kann gegebenenfalls
durch einen Funktionsterm f(x) berechnet werden:
y = f(x)
(sprich: „y gleich f von x “)
Die Definitionsmenge einer Funktion wird durch den
vorliegenden Sachzusammenhang bestimmt und
eventuell durch die Möglichkeiten beim Einsetzen in
den Funktionsterm eingeschränkt.
Alle Funktionswerte y bilden zusammen die
Wertemenge W f der Funktion f.
Funktionen können durch Pfeildiagramme,
Wertetabelle und Funktionsgraphen veranschaulicht
werden.
Die Zuordnung
See g Land zu dem der See gehört
ist keine eindeutige Zuordnung. Denn es wird
beispielsweise dem Bodensee drei Länder
(Deutschland, Schweiz, Österreich) zugeordnet.
Dagegen ist die Zuordnung
See g Wasseroberfläche
eindeutig, also eine Funktion.
Zuordnungsvorschrift:
f : Länge x (in cm) g
Inhalt der schraffierten
Fläche A (in cm²)
f(x)= 3 ⋅ 3 − x ⋅ x = 9 − x2
Funktionsterm:
Funktionsgleichung:
y = 9 - x2
Definitionsmenge:
Alle rationalen Zahlen von 0 bis 3.
Kurz: D f = [0;3]
2
alle
x−3
rationalen Zahlen ohne die 3 als Definitionsmenge.
Kurz: Dg = ¤ \{3}
Dagegen besitzt die Funktion g(x)=
Berechnung von Funktionswerten:
f(0) = 9; f(0,5) = 8,75; f(1) = 8 . . .
Wertetabelle:
x ... 0
0,5
y ... 9 8,75
1
8
1,5
6,75
2
5
2,5
2,75
3
0
...
...
Pfeildiagramm von f: Funktionsgraph von f:
Der Graph Gf einer Funktion f besteht aus den
Punkten (x/y) aller Wertepaare x a y .
Beim Zeichnen des Graphen werden zunächst nur
einige Wertepaare berechnet und als Punkte
eingetragen. Anschließend werden diese „geschickt“
mit Linien verbunden, falls dies die Definitionsmenge
der Funktion zulässt.
Die Definitions- und die Wertemenge können als
Bereiche auf der x- bzw. der y-Achse meist direkt
vom Graphen abgelesen werden.
Wertemenge:
Alle rationalen
Zahlen von 0 bis 9
Kurz: W f = [0;9]
4