Funktionen Funktionen Zeichenerklärung: Ly-1234 für passendes Video anklicken oder nach dem Code auf www.lyrelda.de suchen Wichtig! Achtung! Häufige Fehlerquelle www.lyrelda.de 1 Funktionen 1 Funktionen Ab der Mittelstufe bilden die Funktionen eines der zentralen Themen der Schulmathematik. Wir wollen zuerst den Begriff der Funktion allgemein klären. Funktion Mat-70797 eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, so dass jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge genau eine Zahl y aus der Wertemenge zugeordnet ist. Eine Funktion ist also eine Zuordnung Eine Funktion lässt sich auf verschiedene Weisen Darstellen Beispiel 1 Gewöhnlich gibt man der Funktion einen Namen, meistens f,g oder h. Eine Zuordnung erfolgt dann per Funktionsgleichung: f (x) = 2 · x x ∈ R, jedem Wert x, aus der Definitionsmenge R, wir somit der dazu doppelte Wert y zugeordnet, deshalb schreibt man manchmal auch etwas kürzer: y = 2 · x. Beispiel 2 Man kann eine Funktion auch als (Werte-)Tabelle darstellen x -2 -1 f(x) -4 -2 0 1 2 0 2 4 oder eben auch x y -2 -1 0 -4 -2 0 1 2 2 4 Beispiel 3 am anschaulichsten ist jedoch ein (Funktions-)Graph als Schaubild der Funktion! Die waagrechte Achse („Abzisse“) zeigt dabei den x-Wert an , die senkrechte Achse („Ordinate“) gibt die Funktionswerte an. Man sagt oft einfach auch x- bzw. y-Achse. (siehe Abbildung 1) Definitionsbereich Der Definitionsbereich einer Funktion f heißt Df . Er enthält die Zahlen, die man für x in die Funktionsgleichung einsetzen darf. Wertebereich Der Wertebereich einer Funktion f heißt Wf . Er umfasst alle Funktionswerte, die diese Funktion annehmen kann www.lyrelda.de 2 Funktionen Abbildung 1: Funktionsgraph der Funktion f(x) Beispiel 4 In unsere Funktion f (x) = 2x dürfen wir jede Zahl einsetzen, die wir wollen, die maximale Definitionsmenge ist also Df = R, ebenso kann die Funktions jeden beliebigen Wert annehmen und somit gilt auch Wf = R. Schauen wir uns aber einmal die Funktion g(x) = x12 an, so bemerken wir, dass wir die Null nicht einsetzen dürfen und nur positive Werte von der Funktion angenommen werden, es folgt also: Dg = R∗ und Wg = R∗+ Noch kurz ein paar Hinweise zur Notation von Intervallen: Df = {x| − 1 ≤ x ≤ 2} = [−1; 2] Diese beiden Schreibweisen bedeuten das Gleiche, man darf alle Zahlen zwischen Minus-Eins und Zwei einsetzen, einschließlich der Minus-Eins und Zwei. Will man eine davon (oder beide) ausschließen, so muss das entsprechende ≤ durch eine < ersetzen, bzw. eine runde Klammer statt der eckigen Klammer benutzen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Zwei nun ausgeschlossen werden soll, so sieht das ganze so aus: Df = {x| − 1 ≤ x < 2} = [−1; 2) Will man nun weiter nur ganze Zahlen benutzen, so kann man das wie folgt notieren: Df = {x| − 1 ≤ x < 2 , x ∈ Z} = {x| − 1 ≤ x < 2}Z = [−1; 2)Z Das würde bedeuten es sind nur -1, 0 und 1 als x-Werte erlaubt. www.lyrelda.de 3