K.Melzer WIB1 Blatt1 Funktionen WS2009/2010

K. Melzer WIB 1 Blatt 1 Funktionen WS 2009/2010
Aufgabe 1: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Definitionsbereich:
√
a) f (x) = x + 1 + 2 2
x − 49
√
b) g(x) = √2 − x
x+8
√
Aufgabe 2: Gegeben ist zunächst die Funktion y = f (x) = 16 − x4 .
a) Bestimmen Sie den (mathematisch) maximal möglichen Definitionsbereich Dmax .
b) Skizzieren Sie den Graphen von f . (Berechnen Sie dazu ggf. einige Funktionswerte von
f mit dem Taschenrechner.) Lesen Sie aus der Skizze den Wertebereich von f ab.
c) Welche Symmetrieeigenschaft hat f ? Weisen Sie diese Eigenschaft rechnerisch nach.
d) Warum ist f nicht umkehrbar, wenn man Dmax als Definitionsbereich zugrundelegt?
√
Betrachten Sie nun die Funktion p = 16 − x4 . Sie gebe an, welcher Preis p sich
erzielen lässt, wenn die Menge x eines Gutes abgesetzt wird.
e) Geben Sie einen möglichst großen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich Dökon an.
f ) Begründen Sie, warum die Funktion p(x) mit Definitionsbereich Dökon eine Umkehrfunktion besitzt.
g) Berechnen Sie die Umkehrfunktion. Was beschreibt die Umkehrfunktion?
Aufgabe 3: Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion x(p) = 20 − 2p.
a) Geben Sie einen möglichst großen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich an.
b) Skizzieren Sie die Funktion.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion p(x), die beschreibt, welcher Preis p sich
erzielen lässt, wenn die Menge x abgesetzt werden soll.
d) Wie lautet die Gleichung der Umsatzfunktion U (p), die den Umsatz in Abhängigkeit
vom Preis p angibt?
e) Skizzieren Sie U (p).
f ) Wie lautet die Gleichung der Umsatzfunktion U (p), die den Umsatz in Abhängigkeit
von der abgesetzten Menge x angibt?
g) Der Preis betrage 3 GE/ME. Wie groß ist die abgesetzte Menge? Wie groß ist der
Umsatz?
h) Die abgesetzte Menge betrage 2 ME. Welcher Preis lässt sich hierfür erzielen? Wie
groß ist der Umsatz?
Aufgabe 4: Untersuchen Sie auf Symmetrie:
a) f (x) = x2 − 3
b) f (x) = (x − 3)2
c) f (x) = e−x
2
d) f (x) = xe−x
2