Übungsaufgaben zu Behandlung von Wachstumsprozessen

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Übungsaufgaben zur Vergleichsarbeit über die Inhalte der Klasse10
10.1 Wachstums- und Zerfallsprozesse
Aufgabe 10.1.1: Ein Anfangskapital in Höhe von K0 = 3000 € wird mit einem
Jahreszinssatz von 4,5 % verzinst.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das Anwachsen dieses Kapitals beschreibt.
b) Auf welchen Wert wächst das Kapital in 12 Jahren?
c) Ein Anfangskapital, dessen Höhe hier nicht bekannt ist, soll bei einem gleich bleibenden Zinssatz p angelegt und nach 13 Jahren eine Verdopplung des Anfangswertes erreichen. Wie hoch muss dann der jährliche Zinssatz sein?
Aufgabe 10.1.2: Das kleine Fürstentum Binaco hatte 1985 gerade 870 000 Einwohner. Im Jahr 2005 waren es dann schon 1 Million Einwohner.
a) Gib die Funktionsgleichung an, mit der das Bevölkerungswachstum beschrieben
werden kann, wenn die jährliche prozentuale Zunahme stets gleich groß bleibt.
b) In welchem Zeitabschnitt verdoppelt sich die Einwohnerzahl?
c) Das noch kleinere Fürstentum Minaco hatte 1985 gerade 426 800 Einwohner.
Die gleich bleibende jährliche Wachstumsrate beträgt hier aber 15 %.
In welchem Jahr werden die beiden Fürstentümer gleich viele Einwohner haben?
Aufgabe 10.1.3: In einer Bakterienkultur sind zu Beginn einer Beobachtung 6000
Bakterien vorhanden. Dabei ist bekannt, dass sich bei diesen Bakterien die Anzahl in
5 Stunden verdreifacht.
a) Begründe, dass dieses Wachstum durch die Funktionsgleichung:
N (t ) =6000 ⋅1,24573t
beschrieben werden kann.
b) Berechne die Anzahl der Bakterien 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
c) Nach welcher Zeit (in Stunden) hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?
Aufgabe 10.1.4: Radioaktive Stoffe zerfallen nach dem Gesetz m(t ) = m0 ⋅ k t
a) Für radioaktives Jod gilt k = 0,917. (Zeitmaßstab: 1 Tag)
Wie viel mg sind von 3 g dieses Jodisotops nach 45 Tagen noch vorhanden?
Bestimme die Halbwertszeit von radioaktivem Jod.
b) Das Element Radon zerfällt mit einer Halbwertszeit von 3,8 Tagen.
Bestimme mit m0 = 50 mg die Funktionsgleichung, die den Zerfall beschreibt.
Nach welcher Zeit sind noch 10% der Anfangsmenge vorhanden?
c) Von radioaktivem Radium sind nach 100 Jahren noch ca. 95,8 % vorhanden.
Stelle die Funktionsgleichung auf, die den jährlichen Zerfall beschreibt.
Berechne die Halbwertszeit von Radium!
Aufgabe 10.1.5: Das schmerzstillende Mittel Acetylsalicylsäure (Aspirin, Aspro,...)
wird im Körper exponentiell abgebaut, seine wirksame Menge im Körper eines nierengesunden Menschen halbiert sich alle 3 Stunden.
a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die den Abbau einer Tablette mit m0 = 500 mg
beschreibt!
b) Berechne die Anzahl der Stunden, bis von einer solchen Tablette nur noch 10mg
im Körper sind!
Überlagerung von Wachstumsprozessen
Aufgabe 10.1.6: Peters Großvater zahlt jedes Jahr auf ein Sparbuch für Peter 200 €
ein. Der Zinssatz beträgt p = 4,2 %.
a) Gib in einer Tabelle jeweils das Kapital am Anfang eines jeden Jahres an!
-2b) Nach wie viel Jahren ist das Kapital auf mehr als 2500 € angewachsen?
10.2 Trigonometrie
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe 10.2.1: Berechne alle fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen in einem
gleichschenkligen Dreieck mit der Basis c.
Folgende Werte sind gegeben: hc = 6 cm; c = 4,4 cm.
Aufgabe 10.2.2: Ein Rechteck hat die Seitenlängen 12 km und 3 km.
Berechne die Winkel zwischen Seiten und Diagonalen.
Aufgabe 10.2.3: Kuno ist 1,70 m groß. Zur Mittagszeit wirft er einen Schatten der
Länge 1,20 m. Seine Schwester Silke ist 1,37 m groß.
Wie lang ist ihr Schatten zur Mittagszeit? Fertige dazu eine Skizze an!
Sinus- und Kosinus-Werte
Aufgabe 10.2.4: Bestimme alle Winkel aus dem Bereich 0° ≤ α ≤ 360° , für die gilt:
a) sin α = 0,2345
b) sin α = -0,5431
c) cos α = 0,2345
d) cos α = -0,5431
Aufgabe 10.2.5: Bestimme den Winkel
a) α = 60° α = 225°
α
bzw. das Bogenmaß x:
π
7π
x=
b) x =
6
4
Die Sinus-Funktion
Aufgabe 10.2.6:
a) Zeichne den Graphen der Sinusfunktion für −2π ≤ x ≤ 2π mit hinreichender Genauigkeit in dein Heft (d.h.: typische Merkmale müsse deutlich erkennbar sein)!
b) Der Graph der Sinusfunktion soll mit dem Faktor 1,5 parallel zur y-Achse gestreckt
und um 2 Einheiten parallel zur y-Achse nach unten verschoben werden. Gib die
Funktionsgleichung an.
c) Die Periode des Graphen soll verdoppelt und der Graph dann an der x-Achse gespiegelt werden. Gib die Funktionsgleichung an.
Aufgabe 10.2.7: In ihrer allgemeinsten Form kann eine Sinusfunktion folgendermaßen aussehen: f ( x) = a ⋅sin(bx + c ) + d .
π
a) Zeichne den Graphen der Sinusfunktion f ( x ) = 3 ⋅ sin( 2 x + ) +1 mit dem TR
2
und übertrage den Graphen mit hinreichender Genauigkeit in dein Heft (d.h. die
Schnittpunkte mit der x-Achse und die Lage der höchsten und tiefsten Punkte
muss „stimmen“).
b) Beschreibe die Auswirkungen der Variablen a, b, c bzw. d auf den Graphen.
10.3 Längen-, Flächen- und Volumenberechnung am Kreis
Aufgabe 10.3.1: Berechne von den Größen r, d, A und u eines Kreises die fehlenden Größen.
a) d = 17 cm b) A = 1,69 km2 c) u = 0,5 m d) A = 200 m2
-3Aufgabe 10.3.2: In vorgeschichtlicher Zeit schlug ein Meteorit im heutigen Arizona
ein. Er hinterließ einen nahezu kreisförmigen Krater von rund 1,3 km Durchmesser.
a) Wie groß ist der Kraterumfang am oberen Rand? Wie lange dauert eine Rundwanderung auf dem Rand, wenn man 2 km in einer Stunde schafft?
b) Wie viel km2 ist der Krater groß?
Aufgabe 10.3.3: Die Räder des Fahrrades haben einen Durchmesser von 90 cm.
Wie viele Umdrehungen macht jedes Rad pro km?
Aufgabe 10.3.4: Wie groß ist der Flächeninhalt des einbeschriebenen und des umbeschriebenen Quadrates, wenn die Fläche des Kreises 30 cm² beträgt?
Aufgabe 10.3.5: Ein Quadrat und ein Kreis haben jeweils einen Umfang von 25 cm.
Vergleiche die beiden Flächen miteinander.
Aufgabe 10.3.6: Um eine kreisförmige Rasenfläche mit einem Durchmesser von
4,80 m soll ein Streifen von 60 cm Breite mit Blumen bepflanzt werden.
Berechne die Größe der zu bepflanzenden Fläche.
Aufgabe 10.3.7: Eine astronomische Beobachtungsstation besteht aus einem zylinderförmigen Turm von einem Grundradius r = 1,50 m und einer Höhe von h = 9 m sowie einer aufgesetzten halbkugelförmigen Kuppel.
Berechne das innere Volumen der Beobachtungsstation. Die Maße sind Innenmaße.
Aufgabe 10.3.8: Ein zylinderförmiger Turm hat einen Umfang von 46,8 m.
Auf dem Turm soll ein kegelförmiges Dach mit einer Höhe von 16,4 m errichtet werden.
a) Berechne die Länge der Dachsparren.
b) Wie groß ist das Volumen des Dachraumes?
c) Eine Dachdeckerfirma soll das Dach des Turmes decken. Wie groß ist die Fläche?
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Lösungen:
Aufgabe 10.1.1:a) K (t ) = K 0 ⋅1,045t ; b) K12 = 5087,64 € c) p = 13 2 −1 ≈ 5,48%
Aufgabe 10.1.2: a)
N (t ) =870 000 ⋅1,007 t
b) 100Jahre c) nach 5,36 Jahren
Aufgabe 10.1.3: a) ... b) 11600 c) 15,5 Stunden
Aufgabe 10.1.4: a) 66,78 mg; tH= 8 Tage; b) k = 0,83326 t = 12,62 Tage; c) 1616
Jahre
Aufgabe 10.1.5: 17 Stunden; (Zwischenschritt: N(t) = N0 0,7937 t )
Aufgabe 10.1.6: Erzeugung der Tabelle mit den Funktionen des Taschenrechners
Aufgabe 10.2.1: a =b =6,39cm , α = β =69,9° , γ =40,2°
Aufgabe 10.2.2: α2 = β1 =γ 2 =δ1 =14° , α1 = β2 = γ1 = δ 2 = 76°
Aufgabe 10.2.3: l =0,97 m
Aufgabe 10.2.4:
a) α1 =13,6°, α2 =176,4°
b)
α1 =212,9°,α2 =327,1°
c) α1 =76,4°,α2 =283,6°
d)
α1 =122,9°, α2 =237,1°
π
5
Aufgabe 10.2.5: a) x = , x = π b) α = 30° , α =315°
3
4
1
Aufgabe 10.2.6: a) b) y =1,5 ⋅sin x −2
c) y = −sin( x )
2
Aufgabe 10.2.7: a) b)
a: Streckung parallel zur y-Achse mit dem Faktor 3
b: Halbierung der Periode
c: Verschiebung parallel zur x-Achse um
(nur um
π
π
4
nach links
wegen 2x, also wegen der Veränderung der Periode)
4
d: Verschiebung parallel zur y-Achse um 1 nach oben
Aufgabe 10.3.1: a) d = 17 cm; u = 17π cm; A = 72,25 π cm²; r = 8,5 cm
b) A = 1,69 km²; r =
c) u = 0,5 m; d =
1,3
π
0,5
π
km; d =
m; r =
200
2,6
π
0,25
π
km; u = 2,6 π km
m; A =
800
0,0625
π
m²
m; d =
m; u = 800π m
π
π
Aufgabe 10.3.2: a) u =1,3*π km ≈ 4,08 km; Etwa 2 Stunden dauert eine Rundwanderung. b) A ≈ 1,33 km²
Aufgabe 10.3.3: u ≈ 2,82 m; Etwa 354 Umdrehungen.
Aufgabe 10.3.4: Agroß = 38,2 cm² ; Aklein = 19,1 cm²
Aufgabe 10.3.5: AQuadrat = 39,0625 cm²; AKreis ≈ 49,74 cm²
Aufgabe 10.3.6: A = 3,24π = 10,18 m²
Aufgabe 10.3.7: VZylinder ≈ 63,62 m³; VHalbkugel ≈ 7,07 m³; VGesamt ≈ 70,69 m³
Aufgabe 10.3.8: r ≈ 7,45 m ; s ≈ 18,01 m ; V ≈ 952,8 m³ ; M ≈ 421,5 m²
d) A = 200 m²; r =