Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Stichprobenräume

Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
Stichprobenräume
Handling von Aktienkursen
Ereignisse
Quiz
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Additionstheorem
Gleichverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Unabhängigkeit von Ereignissen
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
Die Menge Ω der möglichen Ergebnisse
eines Experiments heißt Stichprobenraum1.
Beispiele:
• Werfen eines Würfels
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Werfen eines roten und eines grünen Würfels
Ω={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4.4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 2
1
2
• Beurteilung einer Magisterarbeit
Ω={1, 2, 3, 4, 5}
• Messung der Arbeitslosenrate
(in %, 1 Nachkommastelle)
Ω={0.0, 0.1, 0.2, …, 99.8, 99.9, 100.0}
sample space
Im Unterschied zur Menge {6,1} kommt es beim geordneten Paar
(6,1) auf die Reihenfolge an. Daher gilt: {6,1}={1,6}, (6,1)≠(1,6).
1
Ereignisse3 sind Teilmengen des Stichprobenraums.
Beispiele:
• Werfen eines Würfels
• Messung der Arbeitslosenrate
Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Stichprobenraum: Ω={1,2,3,4,5,6}
Ereignisse: {1,3,5}
(ungerade Zahl)
{6}
(Sechser)
{1,2,3,4,5}
(kein Sechser)
{2,3,5}
(Primzahl)
φ
(unmögliches Ereignis)
Ω
(sicheres Ereignis)
{1,2,4}
(Zweier-Potenz)
{3,6}
(Vielfaches von 3)
M
Mögliche Ergebnisse: 0.0, 0.1, 0.2, …, 100.0
Stichprobenraum: Ω={0.0,0.1,0.2,…,100.0}
Ereignisse: {0.0,0.1,…,3.4} (Vollbeschäftigung4)
{3.5,…,100.0} (keine Vollbeschäftigung)
{0.0,…,9.9} (1-stellige Arbeitslosenrate)
{3.5,…,5.0}
M
4
3
events
Vollbeschäftigung bedeutet, dass es praktisch nur zyklische
Arbeitslosigkeit gibt. Die genaue Definition (in %) hängt von
der Region und der Zeitperiode ab.
2
Der Durchschnitt5 A∩B der Ereignisse A und B enthält
genau diejenigen Elemente von Ω, die sowohl in A als
auch in B enhalten sind.
Die Vereinigung6 A∪B der Ereignisse A und B enthält
genau diejenigen Elemente von Ω, die in A oder in B
enthalten sind.
Das Komplement7 Ac eines Ereignisses A enthält genau
diejenigen Elemente des Stichprobenraumes Ω,
die nicht in A enthalten sind.
Die Ereignisse A und B heißen disjunkt8, falls ihr
Durchschnitt A∩B leer ist.
Beispiel: Werfen eines Würfels
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,3,5}, B={2,3,5}
A∩B={3,5}
A∪B={1,2,3,5}
Ac={2,4,6}
Bc={1,4,6}
Die Ereignisse A∩B und Ac sind disjunkt, ebenso
die Ereignisse A∩B und Bc.
(Ac∪B)c=({1,3,5}c∪{2,3,5})c
=({2,4,6}∪{2,3,5})c
5
6
7
8
intersection
union
complement
disjoint
={2,3,4,5,6}c
={1}
3
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung9 P ist eine Funktion,
die jedem Ereignis A seine Wahrscheinlichkeit P(A) zuordnet.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P heißt Gleichverteilung10, wenn es nur endlich viele mögliche Ergebnisse
gibt und alle gleich wahrscheinlich sind. Es gilt dann für
jedes Ereignis A
A Anzahl der Elemente von A
P ( A) =
=
.
Ω Anzahl der Elemente von Ω
Beispiele:
• Zweimaliges Werfen eines Würfels
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4.4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, Ω = 36
⇒ P ({(1,4), ( 2,3), (3,2), ( 4,1)}) =
(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} 12, Ω = 8
⇒ P ({(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}) = 48
Ω={1,2,3,4,5,6}, Ω = 6
⇒
{2,4,6}
P ({2,4,6}) =
=
Ω
(höchstens einmal Kopf)
3
6
(gerade Zahl)
11
12
9
10
probability distribution
uniform distribution
(Summe ist 5)
• 3-maliges Werfen einer Münze (Kopf: 0, Zahl: 1)
Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),
• Werfen eines Würfels
11
4
36
F ⇒ G bedeutet, dass die Aussage G aus der Aussage F folgt.
Ebenso wie beim geordneten Paar (a,b) kommt es beim Tripel
(a,b,c), Quadrupel (a,b,c,d), Quintupel (a,b,c,d,e) usw. auf die
Reihenfolge an.
4
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln das Ereignis
{6} eintritt, ist gegeben durch:
P({6}) = 16 = 0.166666...
Würfelt man mehrmals, so kann man erwarten, dass
dieses Ereignis in ungefähr einem Sechstel der
Versuche eintritt, also z.B. bei 60 Versuchen 10 Mal.
Anstatt tatsächlich zu würfeln, verwenden wir einen
Zufallszahlengenerator. Wir erzeugen 60 Zufallszahlen
zwischen 1 und 6 mit Hilfe der R13-Funktion sample,
speichern sie im Vektor z ab und lassen sie uns anzeigen:
z <- sample(1:6,60,replace=TRUE); z
31663413553656226624
34225224234246344515
64243151346566134255
Die absoluten Häufigkeiten14 aller einelementigen
Ereignisse (Elementarereignisse15) {1},{2},…,{6}
können mit Hilfe der Funktion table berechnet werden
und ihre relativen Häufigkeiten16 in weiterer Folge
durch Division durch die Anzahl der Versuche.
table(z)
1 2 3 4 5 6
6 11 10 12 10 11
table(z)/60
1
2
3
4
5
6
0.10000 0.18333 0.16667 0.20000 0.16667 0.18333
Falls die Wahrscheinlichkeit P ( A) eines Ereignisses A
unbekannt ist, kann sie durch die relative Häufigkeit
Pˆ ( A) geschätzt werden.
14
absolute frequencies
elementary events
16
relative frequencies
15
13
Für erste Schritte mit der freien Software R siehe Appendix A.
5
Beim Werfen eines Würfels gilt einerseits
P({1,3,5} ∪ {2,4}) = 1
P({
14
,22
,34
,4,4
53
})
4
Im letzteren Fall kommt die Ungleichheit dadurch
zustande, dass die Elemente des Durchschnitts
{1,3,5}∩{2,3,5}={3,5}
5
6
=1
P4
({12
,34
,53
}) + 1
P4
({2
24
,3
4}) ,
3
6
in
2
6
P({1,3,5}∪{,2,3,5})=P({1,2,3,5})
nur einmal gezählt werden und in
weil {1,3,5} und {2,4} disjunkt sind,
und andererseits
P({1,3,5})+P({2,3,5})
doppelt.
P({1,3,5} ∪ {2,3,5}) = 1
P ({
1,2,343
,5})
42
4
6
≠1
P({
,34
,53
}) + 1
P4
({2
2,34
,3
5}) ,
412
3
6
3
6
Gleichheit wird erreicht, wenn die Wahrscheinlichkeit
des Durchschnitts von der Summe abgezogen wird.
Allgemein gilt das Additionstheorem17:
weil {1,3,5} und {2,3,5} nicht disjunkt sind.
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
17
additive rule of probability
6
Das sichere Ereignis Ω tritt immer ein und das unmögliche
Ereignis φ niemals.
Es gilt daher
P (Ω) = 1 18
und
P (φ ) = 0 .
Da die Ereignisse A und Ac disjunkt sind, gilt auch
P( A) + P( Ac ) = P( A ∪ Ac ) = P(Ω) = 1
bzw.
P( Ac ) = 1 − P( A) .
18
Es muss immer zumindest ein mögliches Ergebnis geben,
Ω darf also nicht leer sein.
7
Nehmen wir an, wir wüssten nur, dass eine gerade Zahl
gewürfelt wurde, nicht aber welche, dann wären die
Ergebnisse 1, 3 und 5 nicht mehr länger möglich und die
noch möglichen Ergebnisse 2, 4 und 6 wären immer noch
gleich wahrscheinlich.
Z.B. erhält man für die Ereignisse A={1,2,3,4} und Ω
Es wäre dann sinnvoll, statt der ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten
P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =
die durch das Eintreten des Ereignisses B={2,4,6} bedingten neuen Wahrscheinlichkeiten
Die nach dem Eintreten des Ereignisses B={2,4,6} nicht
mehr möglichen Ergebnisse 1, 3 und 5 können aus allen
Ereignissen entfernt werden, indem man alle Ereignisse
mit dem Ereignis B schneidet.
A∩B={1,2,3,4}∩{2,4,6}={2,4}
1
6
und
Ω∩B={1,2,3,4,5,6}∩{2,4,6}={2,4,6}.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B, ist
gegeben durch
P({1} B ) = P({3} B ) = P({5} B ) = 0 ,
P({2} B ) = P({4} B ) = P({6} B ) =
zu betrachten.
1
3
P( A B ) =
=
Anzahl der noch möglichen Elemente von A
Anzahl der noch möglichen Elemente von Ω
A∩ B
2
= .
Ω∩B 3
8
Die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A,
gegeben dass das Ereignis B eingetreten ist19, ist im Fall
einer Gleichverteilung gegeben durch
P( A B ) =
=
Allgemein, also auch wenn keine Gleichverteilung
vorliegt, wird die bedingte Wahrscheinlichkeit20 von
A, gegeben B, definiert durch
Anzahl der noch möglichen Elemente von A
Anzahl der noch möglichen Elemente von Ω
P( A B ) =
P( A ∩ B )
.
P( B )
A∩ B
.
Ω∩B
Diese bedingte Wahrscheinlichkeit kann man auch
schreiben als
A∩ B
A∩ B
Ω
P( A ∩ B ) P( A ∩ B )
P( A B ) =
=
=
=
.
Ω∩B
Ω∩B
P (Ω ∩ B )
P( B )
Ω
19
Die Annahme, dass B eingetreten ist, macht nur Sinn, wenn P(B)≠0.
20
conditional probability
9
Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig21,
wenn gilt
P(A∩B)=P(A)P(B).
Sind die Ereignisse A und B unabhängig und ist
P(B)≠0,
• Werfen eines Würfels
A={1,3,5} und B={2,3,5} sind nicht unabhängig wegen
P( A ∩ B ) = P({3,5}) =
2
6
≠ P( A) P( B ) =
=
2
3
33
66
=
9
36
.
Weiters gilt:
dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P( A B )
gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit P(A):
P( A B ) =
Beispiele:
P ( A ∩ B ) P ( A) P ( B )
=
= P ( A)
P( B )
P( B )
P( A ∩ B )
P( A B ) =
=
P( B )
2
6
3
6
≠ P ( A) =
3
6
• Zweimaliges Werfen eines Würfels
Die Ereignisse
22
Zwei Ereignisse A und B heißen abhängig ,
wenn sie nicht unabhängig sind.23
A={(6,1),…,(6,5),(6,6)} (Sechser beim 1. Wurf)
und B={(1,6),…,(5,6),(6,6)} (Sechser beim 2. Wurf)
sind unabhängig wegen
21
independent
dependent
23
Wenn zwei Ereignisse abhängig sind, muss nicht zwangsläufig
eine kausale Beziehung zwischen ihnen bestehen.
22
P ( A ∩ B ) = P ((6,6)) =
= P( A) P( B ) =
6 6
36 36
=
1
36
1
36
.
10
Beim Würfeln sind die Ereignisse
Verwendet man hingegen die relativen Häufigkeiten
6 , 11 , 10 , 12 , 10 , 11
60 60 60 60 60 60
A={2,3,5}
und
B={1,2}
der Elementarereignisse
unabhängig, weil die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts
P( A ∩ B ) = P({2}) =
1
6
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
P( A) P( B ) =
ist.
32
66
=
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
aus der obigen R-Anwendung anstatt der theoretischen
Wahrscheinlichkeiten
1, 1, 1, 1, 1, 1
6 6 6 6 6 6
1
6
,
so ist
Pˆ ( A ∩ B ) = Pˆ ({2}) =
11
60
ungleich
Pˆ ( A) Pˆ ( B ) =
558 .
(1160 + 1060 + 1060 )(606 + 1260 ) = 3600
Es ist aber zu erwarten, dass die Übereinstimmung besser
wird, wenn die Anzahl der Versuche zur Ermittlung der
relativen Häufigkeiten erhöht wird.
11
Downloaden und Importieren von Aktienkursen:
• Auf der Website finance.yahoo.com gibt man den
Namen eines Unternehmens, z.B. Procter & Gamble,
oder - falls bekannt - gleich das Symbol, PG, im Feld
Search ein.
• Nach dem Anklicken von Historical Data und der
Wahl von Time Period und Frequency klickt man
zunächst auf Apply und schließlich auf Download Data.
• Das heruntergeladene File table.csv24 wird in ein zuvor
angelegtes Verzeichnis, z.B. C:\R Projects\PG, kopiert.
• Nach dem Starten von R wird das Working Directory
C:\R Projects\PG gewählt, die Daten werden mit der
Funktion read.csv vom File table.csv eingelesen und im
Data Frame Y gespeichert.
• Zur Kontrolle lässt man sich die ersten und letzten
Zeilen mit den Funktionen head bzw. tail anzeigen.
24
setwd("C:/R Projects/PG") # Achtung! / statt \ in R.
Y <- read.csv("table.csv",header=TRUE)
# header=TRUE: names of variables in first line
head(Y)
Date
1 2017-03-10
2 2017-03-09
3 2017-03-08
4 2017-03-07
5 2017-03-06
6 2017-03-03
Open
90.80
90.14
90.02
90.14
89.89
90.91
High
91.16
90.49
90.35
90.49
90.51
90.91
Low Close Volume Adj.Close
90.65 91.07 6733300 91.07
90.10 90.34 5587400 90.34
89.76 90.14 5503700 90.14
90.06 90.29 5236200 90.29
89.59 90.37 6462800 90.37
89.89 90.50 8334900 90.50
tail(Y)
Date
Open High Low Close Volume
11901 1970-01-09 113.00 113.00 112.250 112.75 262400
11902 1970-01-08 111.75 113.50 111.500 113.00 531200
11903 1970-01-07 110.25 112.00 110.250 111.75 710400
11904 1970-01-06 110.25 110.25 109.250 110.00 480000
11905 1970-01-05 110.00 110.75 109.375 110.50 518400
11906 1970-01-02 109.50 110.25 109.375 110.00 832000
Adj.Close
0.464127
0.465156
0.460011
0.452807
0.454865
0.452807
PG-Kurse heruntergeladen am 13.03.2017.
12
• Die zeitlich absteigende Reihenfolge der Zeilen von Y
wird umgedreht.
• Die 7. Spalte (bereinigte Schlusskurse) wird gegen die
1. Spalte (Kalendertage) geplottet.
n <- nrow(Y)
Y[1:n,] <- Y[n:1,]; Y
d <- as.Date(Y[,1]) # Umwandlung in Datums-Vektor
y <- Y[,7]; plot(d,y,type="l") # type="l": Linienplot
# n = Anzahl der Zeilen von Y
# Zeile n wird zu Zeile 1, …
head(Y)
Date
Open High Low Close Volume Adj.Close
1 1970-01-02 109.50 110.25 109.375 110.00 832000 0.452807
2 1970-01-05 110.00 110.75 109.375 110.50 518400 0.454865
3 1970-01-06 110.25 110.25 109.250 110.00 480000 0.452807
4 1970-01-07 110.25 112.00 110.250 111.75 710400 0.460011
5 1970-01-08 111.75 113.50 111.500 113.00 531200 0.465156
6 1970-01-09 113.00 113.00 112.250 112.75 262400 0.464127
tail(Y)
Date
11901 2017-03-03
11902 2017-03-06
11903 2017-03-07
11904 2017-03-08
11905 2017-03-09
11906 2017-03-10
Open
90.91
89.89
90.14
90.02
90.14
90.80
High
90.91
90.51
90.49
90.35
90.49
91.16
Low
89.89
89.59
90.06
89.76
90.10
90.65
Close Volume Adj.Close
90.50 8334900 90.50
90.37 6462800 90.37
90.29 5236200 90.29
90.14 5503700 90.14
90.34 5587400 90.34
91.07 6733300 91.07
Die Abbildung schafft es nicht, zu vermitteln, dass für
einen Investor eine Verdoppelung des ersten Kurses von
0.452807 auf 0.905614 den gleichen Wert hat wie die
Verdoppelung des letzten Kurses von 91.07 auf 182.14.
13
Eine graphische Darstellung des Kursverlaufs wäre
wünschenswert, bei der beispielsweise der Anstieg von 1
auf 2 (eine Verdoppelung) identisch ist mit dem von 10
auf 20 (ebenfalls eine Verdoppelung). Eine solche
Darstellung erhält man, wenn man die logarithmierten
Kurse anstelle der ursprünglichen Kurse plottet.
plot(d,log(y),type="l")
Es gilt nämlich:
log(2) − log(1) = log
(21 ) = log(1020 ) = log(20) − log(10)
Die Log-Returns
rt = log( yt ) − log( yt −1 )
entsprechen ungefähr den relativen Änderungen
y − yt −1
Rt = t
yt −1
der Kurse yt gegenüber den Vortageskursen yt-1.
Beispiel: yt = 101, yt −1 = 100 ⇒ Rt = 0.01, rt ~ 0.0099503
14
Log-Returns können für die Tage 2,3,4,…,n berechnet
werden, nicht aber für den ersten Tag, weil es in diesem
Fall keinen Vorwert gibt.
r <- log(y[2:n])-log(y[1:(n-1)]) # log(y[2])-log(y[1]),…
Eine wichtige Frage in Bezug auf Log-Returns ist, ob es
Beziehungen zwischen aufeinanderfolgenden LogReturns gibt.
Wir untersuchen im Folgenden, ob sich die bedingte
Wahrscheinlichkeit
P(rt > 0 rt −1 > 0)
von der unbedingten Wahrscheinlichkeit
P (rt > 0)
c1 <- which((r[2:(n-1)]>0)&(r[1:(n-2)]>0))
# n-1 Log-Returns, n-2 Paare: (r[2],r[1]),(r[3],r[2]),…
c2 <- which(r[1:(n-2)]>0); c <- length(c1)/length(c2); c
0.4928485
u1 <- which(r[2:(n-1)]>0); u <- length(u1)/(n-2); u
0.4874832
Der Unterschied zwischen der (geschätzten) bedingten und
der (geschätzten) unbedingten Wahrscheinlichkeit ist nicht
so groß, dass er mit der Unabhängigkeit der beiden
Ereignisse
rt > 0
und
rt −1 > 0
unvereinbar wäre.25
unterscheidet.
25
Das ist nur eine erste, grobe Einschätzung. Ausführlicher wird
auf diese Fragestellung in einem späteren Kapitel eingegangen.
15
Multiplikationssatz26:
P ( A ∩ B ) = P ( A)
Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit28:
P ( B ∩ A)
= P ( A) P ( B A) 27
P ( A)
P ( A) = P ( A ∩ Ω) = P( A ∩ ( B ∪ B c ))
= P(( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B c )) 29
= P( A ∩ B ) + P( A ∩ B c )
P (C ∩ ( B ∩ A))
P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ∩ B )
P ( B ∩ A)
= P( A) P( B A) P(C A ∩ B )
P( A ∩ B ∩ C ∩ D ) = P( A ∩ B ∩ C )
P ( D ∩ ( A ∩ B ∩ C ))
P( A ∩ B ∩ C )
= P( A B ) P( B ) + P( A B c ) P ( B c )
B und Bc sind zwei disjunkte Mengen, deren
Vereinigung Ω ergibt.
Allgemein gilt für n paarweise disjunkte Mengen
B1,…,Bn, deren Vereinigung Ω ergibt,
= P( A) P( B A) P(C A ∩ B ) P( D A ∩ B ∩ C )
P ( A) = P ( A ∩ B1 ) + ... + P ( A ∩ Bn )
= P( A B1 ) P( B1 ) + ... + P( A Bn ) P ( Bn ) .
26
27
chain rule
Hier und im Folgenden nehmen wir immer an,
dass alle auftretenden Nenner ungleich 0 sind.
28
29
law of total probability
Distributivgesetze: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
16
Satz von Bayes30:
P( B A) =
Im Fall der Log-Returns von PG lassen sich beispielsweise
die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P( A ∩ B )
P ( B ∩ A)
=
P ( A)
P( A ∩ B ) + P( A ∩ B c )
P(rt≥0||rt|≥1%), P(rt<0||rt|≥1%), P(rt≥0||rt|<1%), P(rt<0||rt|<1%)
genauso einfach schätzen wie
=
P( A B ) P( B )
P( A B ) P( B ) + P( A B c ) P( B c )
Oder allgemeiner:
Sind B1,…,Bn paarweise disjunkte Mengen, deren
Vereinigung Ω ergibt, dann gilt für alle i∈{1,…,n}
P ( Bi A) =
P ( A ∩ Bi )
P ( Bi ∩ A)
=
P ( A)
P ( A ∩ B1 ) + ... + P ( A ∩ Bn )
=
30
P ( A Bi ) P ( Bi )
.
P ( A B1 ) P ( B1 ) + ... + P ( A Bn ) P ( Bn )
P(|rt|≥1%|rt≥0), P(|rt|<1%|rt≥0), P(|rt|≥1%|rt<0), P(|rt|<1%|rt<0).
length(which((r>=0)&(abs(r)>=0.01))) /
length(which(abs(r)>=0.01))
0.52962
length(which((abs(r)>=0.01)&(r>=0))) /
length(which(r>=0))
0.353219
Das ist auch in vielen anderen ökonomischen Anwendungen
so. Die umständliche Berechnung/Schätzung von bedingten
Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Satzes von Bayes ist nur
in seltenen Ausnahmefällen nötig.
Bayes‘ theorem
17
Quiz
Lösungen
Ω={0,1,…,5}, A={1,3,5}, B={0,1}, |A∩Bc|=?
A∩Bc={1,3,5}∩{2,3,4,5}={3,5}, |A∩Bc|=2
P({0,1,…,4})= 79 , P({3})= 29 , P({0,4})= 19 , P({1,2})=?
P({0,1,…,4})=P({3})+P({0,4})+P({1,2}) ⇒ P({1,2})= 49
4 , P(A∪B)= 10 , P(A∩B)= 2 , P(B)=?
P(A)= 11
11
11
8
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) ⇒ P( B ) = 10 −114 + 2 = 11
P(A∩B∩C)= 19 , P(A)= 12 , P(C|A∩B)= 13 , P(B|A)=?
P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B) ⇒ P(B|A)= 191 =
1
⋅
2 3
P(A)= 12 , P(A|B)= 23 , P(A|Bc)= 13 , b=P(B)=?
1 =P(A)=P(B)P(A|B)+P(Bc)P(A|Bc)=b 2 +(1−b) 1
2
3
3
P(B)= 53 , P(A|B)= 73 , P(A|Bc)= 27 , P(B|A)=?
P(B|A) =
h <- which(1:5+2*c(1,2,1,0,3)>4) # R code # length(h)=?
h=which(c(3,6,5,4,11)>4)=c(2,3,5), length(h)=3
P( A B) P( B)
P( A B) P( B) + P( A B c ) P( B c )
=
3⋅3
7 5
3⋅3 + 2⋅2
7 5 7 5
2
3
⇒ b= 12
= 139
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