Appendix zur Vorlesung Ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie

Appendix zur Vorlesung
Ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie
Teil B: Zusammenhangskomponenten und Wegkomponenten
Ein topologischer Raum X heißt bekanntlich zusammenhängend, wenn X
nur auf triviale Weise als Vereinigung X = U ∪ V zweier disjunkter offener
Mengen U , V dargestellt werden kann, d. h. wenn dann U = ∅ oder V = ∅
gilt. Ein Teilraum Y von X heißt zusammenhängend, wenn Y in der von X
induzierten Relativtopologie zusammenhängend ist.
Beispiel 1. Die nichtleeren zusammenhängenden Teilräume der Gerade R
sind nichts anderes als die Intervalle.
Grundlegende Eigenschaften des Zusammenhangs enthält der
Satz 1. In jedem topologischen Raum X gilt
i) Mit einem zusammenhängende Unterraum Y von X ist stets auch dessen
abgeschlossene Hülle Y zusammenhängend.
ii) Für jedes System Yi (i ∈ I) von zusammenhängenden Teilräumen
S Yi ,
deren Durchschnitt nicht leer ist, ist auch deren Vereinigung Y = i∈I Yi
zusammenhängend.
iii) Jeder Punkt x ∈ X liegt in einer bzgl. Inklusion maximalen zusammenhängenden Teilmenge von X, der Zusammenhangskomponente von x in X,
d. i. die Vereinigung aller x enthaltenden zusammenhängenden Teilmengen
von X.
Bemerkung. Jeder topologische Raum X ist die disjunkte Vereinigung seiner maximalzusammenhängenden Teilmengen, also seiner Komponenten.
Satz 2. (Stetige Bilder zusammenhängender Mengen)
Für jede stetige Abbildung f : X → Y des zusammenhängenden topologischen Raumes X in den topologischen Raum Y ist das Bild f (X) zusammenhängend in Y .
Beispiel 2. Je zwei Punkte x0 , x1 eines topologischen Raumes X, die durch
einen Weg γ : [0, 1] = I → X mit γ(k) = xk , (k = 0, 1) verbindbar sind,
liegen in derselben Zusammenhangskomponente von X, denn γ(I) ist eine
x0 und x1 enthaltende zusammenhängende Menge in X.
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Definition. Die Relation der Verbindbarkeit zweier Punkte im topologischen
Raum X ist eine Äquivalenzrelation auf X. Denn wenn x0 mit x1 verbindbar
ist, dann ist x1 mit x0 verbindbar; wenn auch x1 mit x2 verbindbar ist,
dann ist x0 mit x2 verbindbar. Die so auf X erklärten Verbindbarkeitsklassen
heißen Wegkomponenten von X.
Nach Satz 1 ist jede Wegkomponente zusammenhängend.
Beispiel 3. Die Vereinigung X der Strecke X0 = {(0, y) ; −1 ≤ y ≤ 1} mit
dem Graphen X1 = {(x, sin 1/x) ; 0 < x ≤ 1} der auf ]0, 1] durch x 7→ sin 1/x
gegebenen Funktion ist im R2 zusammenhängend. Denn X1 ist als stetiges
Bild des Intervalls ]0, 1] zusammenhängend. Offensichtlich ist X = X0 ∪ X1
die abgeschlossene Hülle von X1 in R2 , also zusammenhängend nach Satz 1.
Indes hat X die beiden Wegkomponenten X0 und X1 .
Zur Begründung der letzten Behauptung genügt die Feststellung, dass in X
der Punkt (1, sin 1) nicht mit dem Punkt (0, 0) verbindbar ist. Angenommen
durch Γ : [0, 1] = I → X sei ein Weg mit Γ(0) = (1, sin 1) und Γ(1) = (0, 0)
gegeben. Dann ist die erste Komponente p1 ◦ Γ = γ eine stetige Abbildung
γ : I → I mit γ(0) = 1, γ(1) = 0. Deshalb existiert eine monoton wachsende
Folge (tn )n≥1 auf [0, 1[ mit γ(tn ) = 1/(nπ)
für jedes n ∈ N. Da X1 ein
1
, (−1)n . Dadurch wird eine divergente
spezieller Graph ist, gilt Γ(tn ) = nπ
Folge gegeben. Also ist Γ im Punkt t∞ = limn→∞ tn unstetig im Gegensatz
zur Annahme.
Satz 3. Es sei V ein normierter reeller Vektorraum und X eine nichtleere
offene Teilmenge von V . Dann ist jede Zusammenhangskomponente D von X
offen und sie besteht nur aus einer Wegkomponente.
Beweis. Jeder Punkt x ∈ X besitzt eine offene Kugelumgebung in X. Sie
liegt ganz in der Wegkomponente von x in X. Mithin ist jede Wegkomponente von X offen in V . Die Zusammenhangskomponente D von x enthält
die offene Wegkomponente von x. Weitere Wegkomponenten kann die zusammenhängende Menge D nicht enthalten, da deren Vereinigung zu einer
nichttrivialen Zerlegung von D in zwei disjunkte offene Mengen führen würde.
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