Ü12

Prof. Dr. Daniel Grieser
5. Juli 2007
Zwölftes Übungsblatt zur Analysis IV (Funktionentheorie)
1) I)b),c), II)b)
(je 2 Punkte)
2) Zeigen Sie: Ist f analytisch in |z| < 1, stetig auf |z| ≤ 1 und reellwertig auf |z| = 1, dann ist f
konstant.
Freiwillig: Folgern Sie, dass der einzige Fluss (einer inkompressiblen, rotationsfreien Flüssigkeit)
in |z| < 1 der Null-Fluss (V ≡ 0) ist, und dass dasselbe für beliebige beschränkte, einfach
zusammenhängende Gebiete mit stückweise glattem Rand gilt. Wie ein Kreisring zeigt, stimmt
dies im Allgemeinen nicht für nicht einfach zusammenhängende Gebiete.
(6 Punkte)
b mit der Sphäre S 2 mittels der stereographischen Projektion identi3) Indem wir, wie gehabt, C
b einen Begriff von einfach zusammenhängend‘.
fizieren, haben wir auch für Teilmengen von C
’
Zeigen Sie mit Hilfe des Riemannschen Abbildungssatzes:
b offen, einfach zusammenhängend und nicht leer und enthalten C
b \D
b D
b0 ⊂ C
b und
a) Sind D,
0
b
b
C \ D entweder beide keinen oder beide genau einen oder beide mindestens zwei Punkte, so
b und D
b 0 konform äquivalent.
sind D
b) Sind D, D0 ⊂ C echte offene Teilmengen, deren Komplement beschränkt ist und für die
b einfach zusammenhängend sind, so gibt es genau eine konforme
D ∪ {∞}, D0 ∪ {∞} ⊂ C
Abbildung D → D0 , deren
P∞Taylorentwicklung um ∞ (d.h. Laurentreihe bzgl. {|z| > R} für
große R) die Form cz + n=0 an z −n mit c ∈ R, c > 0 hat.
Bemerkung: Dies ist aus folgendem Grund von Interesse: Man kann zeigen, dass das Komplement D eines Hindernisses‘ K, also einer nicht-leeren, kompakten, einfach zusammenhängenden
’
Teilmenge von C mit stückweise glattem Rand, die Bedingung in b) erfüllt. (Dies folgt aus dem
intuitiv einsichtigen, aber nicht ganz einfach zu beweisenden Satz, dass eine Teilmenge K ⊂ S 2
genau dann einfach zusammenhängend ist, wenn ihr Komplement es ist (unter schwachen Regularitätsanforderungen an den Rand von K, z.B. stückweise glatt reicht aus).)
Daraus folgt, dass die möglichen Flüsse (einer inkompressiblen, rotationsfreien Flüssigkeit) um
K durch eine vorgegebene Geschwindigkeit
v ∈ C bei ∞ (d.h. f (z) → v für z → ∞) und eine
R
vorgegebene Zirkulation C ∈ R (d.h. ∂K f (z) dz = C) eindeutig bestimmt sind. Denn dies gilt
für K 0 = {|z| ≤ 1}, wie man recht leicht mittels des Schwarzschen Spiegelungsprinzps zeigen
kann.
(je 3 Punkte)
4) (Partitionszahlen)
a) Zeigen Sie, dass die durch formales Ausmultiplizieren
∞
Y
k=1
∞
X
1
=
pn z n
1 − zk
n=0
erhaltenen Koeffizienten pn folgende Bedeutung haben: Für n ≥ 1 ist pn die Anzahl der
Darstellungen von n als Summe natürlicher Zahlen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Genauer: Die Anzahl der Darstellungen n = m1 + · · · + ml mit l ∈ N, mi ∈ N für alle i und
m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ ml . (Außerdem p0 := 1.)
b) Zeigen Sie ähnlich, dass
∞
Y
(1 − z k ) =
∞
X
dn z n
n=0
k=1
gilt, mit dn = gn − un für n ≥ 1, wobei gn (bzw. un ) die Anzahl der Darstellungen von
n als Summe gerade vieler (bzw. ungerade vieler) verschiedener natürlicher Zahlen ist, d.h.
Darstellungen n = m1 + · · · + ml mit l gerade (bzw. ungerade) und m1 < m2 < · · · < ml
(und d0 = 1). Bestimmen Sie gn , un , dn für n = 1, . . . , 10.
c) (Extra) Berechnen Sie dn für einige weitere Werte von n, stellen Sie eine Vermutung für eine
allgemeine Formel auf, versuchen Sie, diese zu beweisen und leiten Sie daraus und aus a)
und b) eine Rekursionsformel für die pn her.
(je 3 Punkte, plus 3 Extra)
Bemerkung: Man kann leichtQ
zeigen, dass das formale Ausmultiplizieren gerechtfertigt ist, da
die Produkte von der Form k (1 + fk (z)) mit ord0 fk → ∞ für k → ∞ sind. Die Produkte
in a),b) konvergieren für |z| < 1.
Abgabe: Bis 13. 7. vor Vorlesungsbeginn im Postfach Ihres Tutors.
Aufgaben zum Üben:
I) Entscheiden Sie, ob die folgenden unendlichen Produkte konvergieren:
a)
∞
Y
1/n
e
b)
n=1
c)
∞
Y
n=1
cos
∞ Y
n=1
1
n
d)
(−1)n
1+
n
∞
Y
1
, |z| < 1
1 − zn
n=1
II) Zeigen Sie:
a)
∞
Y
z
z
z
sin z
z
cos n =
cos cos cos · · · =
2
4
8
2
z
n=1
(z ∈ C)
b)
(1 + z)(1 + z 2 )(1 + z 4 ) · · · =
∞
Y
n=0
n
(1 + z (2 ) ) =
1
1−z
(|z| < 1)
III) Entwickeln Sie e2πz − 1 in ein unendliches Produkt vom Weierstrass-Typ.