Das Cluster-Decomposition-Prinzip

Das
Cluster-Decomposition-Prinzip
Bachelorarbeit
vorgelegt von
Mario Flory,
geboren am 20.02.1988
in Neustadt a.d. Aisch
Institut für Theoretische Physik und Astrophysik
der Julius-Maximilians-Universität Würzburg
16.06.2010
Betreuer:
Prof. Dr. Werner Porod
Abstract
Die anschauliche Forderung, weit entfernte Experimente müssten unkorrelierte Ergebnisse liefern kann mit der Forderung gleichgesetzt werden, dass
sich das S-Matrix-Element eines Vielteilchen-Prozesses in ein Produkt von SMatrix Elementen faktorisieren lässt, wenn die auftretenden Wechselwirkungen an verschiedenen, durch große raumartige Distanzen getrennten Orten
stattfinden sollen. Dafür werden die zusammenhängenden Faktoren S C eingeführt, die anschaulich zu denjenigen zusammenhängenden Feynmangraphen
gehören, die zur Wechselwirkung beitragen. Um das Cluster-DecompositionPrinzip sicherzustellen dürfen diese Faktoren nur eine einzige in ihren Argumenten lineare δ 3 -Distribution enthalten, die die Gesamt-Impulserhaltung
sicherstellt. Dies ergibt sich automatisch, falls die Wechselwirkung auf eine
bestimmte Art und Weise dargestellt wird.
Der größte Teil der Arbeit widmet sich der Aufgabe, eine gegebene Problemstellung zu bearbeiten, und ihren Zusammenhang zum Cluster-DecompositionPrinzip zu untersuchen. Dabei ist eine konkrete Wechselwirkung gegeben zu
der eine beispielhafte Rechnung für einen 2 → 2 Streuprozess bis zur zweiten
Ordnung der Störungstheorie durchgeführt wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Bedingungen der Cluster-Decomposition
2
2.1
Forderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Connected Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Darstellung durch Erzeuger und Vernichter
7
3.1
Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Anwendung auf das Cluster-Decomposition-Prinzip . . . . . . . . . . . . .
8
4 Beispielrechnung
12
4.1
Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2
Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3
0. und 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4
Zusammenhang mit der φ4 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6
Renormierung und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.7
Verbindung zum Cluster-Decomposition-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Zusammenfassung
21
6 Anhang
22
6.1
Beweis von (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
1 Einleitung
Die Quantentheorie war seit ihrer Formulierung dafür berüchtigt den gesunden Men”
schenverstand“ vor den Kopf zu stoßen. Das EPR-Paradoxon, welches 1935 zuerst formuliert wurde und die später hergeleiteten CHSH-Ungleichungen zeigen beispielsweise, dass
die Quantenmechanik nicht gleichzeitig lokal und real sein kann, mindestens eine dieser
beiden Eigenschaften muss verletzt sein. Realität“ bedeutet in diesem Zusammenhang,
”
dass die physikalischen Eigenschaften eines Quantensystems durch feste Werte beschrieben werden, die unabhängig von einem Messprozess existieren. Lokalität“ bedeutet, dass
”
gleichzeitige Messungen an entfernten Orten sich nicht gegenseitig beeinflussen dürfen
[1]. Die Lokalität ist jedoch ein wichtiges Prinzip der speziellen Relativitätstheorie, deren Vereinigung mit der Quantenmechanik zur Formulierung der überaus erfolgreichen
relativistischen Quantenfeldtheorien führte. Von diesen wird natürlich erwartet, dass sie
lokal sind, das heißt, dass von ihnen keine spukhaften“, also überlichtschnellen Wech”
selwirkungen vorhergesagt werden.
Diese Lokalität äußert sich insbesondere im sogenannten Cluster-Decomposition-Prinzip.
Dieses Prinzip, welches in dieser Arbeit vorgestellt werden soll, ist eine wichtige Eigenschaft der S-Matrix-Elemente relativistischer Quantenfeldtheorien. Anschaulich stellt
dieses Prinzip sicher, dass gleichzeitige Streuexperimente an weit entfernten Orten unkorrelierte Ergebnisse liefern. Wie sich dieses Prinzip genau formulieren lässt, und wie es
mit den Eigenschaften von Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren zusammenhängt,
wird im Folgenden gezeigt.
2 Bedingungen der Cluster-Decomposition
2.1 Forderungen
Die Unkorreliertheit der Ergebnisse entfernter Experimente wird physikalisch ausgedrückt durch die Forderung, dass die kombinierte Übergangswahrscheinlichkeit für zwei
verschiedene Prozesse bei hinreichend großer Distanz ~λ zwischen den Streuereignissen
faktorisiert, das heißt
P (α1 α2 → β1 β2 ) → P (α1 → β1 )P (α2 → β2 )
mit ~λ → ∞ [2]. Verallgemeinert man diese anschauliche Bedingung auf mehr als zwei
Streuprozesse, so folgt daraus, dass auch die S-Matrix des Problems faktorisieren muss
2
[2], dass also gilt
hΦβ | S |Φα i = Sβα = Sβ1 +...βN ,α1 +...αN → Sβ1 α1 · . . . SβN αN
(1)
wenn alle Teilchen aus verschiedenen Gruppen αj bzw. βj eine große raumartige Entfernung haben. Die Frage ist nun natürlich, woran man erkennt ob eine gegebene Theorie
eine S-Matrix liefert, die diese Bedingung erfüllt. Dem soll nun nachgegangen werden.
2.2 Connected Parts
Für das S-Matrix-Element Sβα eines Prozesses α → β ist es möglich, sogenannte connec”
ted parts“, also zusammenhängende Faktoren S C zu definieren, so dass gilt [3]:
C
Sβα = Sβα
+
X
(±1)SβC1 α1 · SβC2 α2 . . .
(2)
Die Summe geht dabei über alle möglichen Unterteilungen der Teilchen aus den Vielteilchenzuständen α und β in kleinere Gruppen αj und βj , ohne Berücksichtigung irgendeiner Reihenfolge innerhalb dieser Gruppen. Bei diesen Unterteilungen muss die
Gesamtzahl aller Teilchen einer bestimmten Sorte in allen Gruppen natürlich gleich der
Gesamtzahl dieser Teilchen in α bzw. β sein. Der Faktor ±1 in (2) hängt davon ab, wie
oft es zur Unterteilung der Teilchen in Gruppen αj und βj nötig war, Fermionen zu vertauschen. Diese Gleichung dient lediglich der rekursiven Definition der neu eingeführten
Größen S C . Als Rekursionsanfang legen wir für 1 → 1 Prozesse sinnvoll fest [2]:
C
Sp,q
= Sp,q = δ 3 (~q − p~)
Dabei sollen p~ und ~q im Folgenden nicht nur die Impulse der Einteilchenzustände darstellen, sondern auch deren Spin-Quantenzahlen und Teilchensorten.
Wie allgemein bekannt ist kann die S-Matrix eines Streuprozesses dargestellt werden als
Summe aus verschiedenen Beiträgen, die jeweils durch verschiedene Feynmangraphen
repräsentiert werden können. Die Faktoren S C haben wie sich später zeigen wird die
anschauliche Bedeutung, dass zu ihnen nur zusammenhängende Feynmangraphen beitragen, daher die Bezeichnung connected part“. Dies ist in Abb. 1 am Beispiel eines
”
4 → 4 Prozesses schematisch gezeigt, wobei es sich jedoch strenggenommen nicht um
Feynmangraphen handelt. T steht jeweils für einen zusammenhängenden Teil S C , eine
durchgezogene Linie steht für das oben definierte S-Matrix-Element Sp,q eines 1 → 1
Prozesses. Dabei wurde die Möglichkeit von Teilchen-Zerfällen wie im Folgenden ausgeschlossen, dies würde zusätzliche Terme hervorrufen [3].
3
Abb. 1: Veranschaulichung von (2) für einen 4 → 4 Prozess [2].
Werden zwei Streuexperimente zur gleichen Zeit (in irgendeinem Bezugssystem) an
weit entfernten Orten durchgeführt, so bedeutet die Tatsache, dass diese Experimente unkorrelierte Ergebnisse liefern, dass die Feynmangraphen der beiden Streuprozesse
nicht durch eine innere Linie verbunden sein dürfen, denn dies käme ja einer gegenseitigen Beeinflussung gleich. Nun ist es bekannt, dass Propagatoren für große raumartige
Abstände |~r| = r gegen 0 gehen, für den skalaren Propagator gilt beispielsweise
1
e−mr für m 6= 0
r3/2
−i 1
∆F (0, ~r) =
für m = 0
4π r2 + i
∆F (0, ~r) → const.
Das Cluster-Decomposition-Prinzip fordert nun allgemein und unabhängig von der genauen Form der Propagatoren, dass SαCj βj → 0, falls zwischen mindestens zwei der beteiligten Teilchen in den Gruppen αj bzw. βj eine raumartige Distanz ~λ → ∞ besteht.
Geht man nun nämlich davon aus, dass die S C genau diese Eigenschaft haben, und nehmen wir an dass die Teilchen der Gruppen αj und βj nahe zueinander, aber entfernt von
allen Teilchen der anderen Gruppen sind, so wird (2) zu [3]


Sβα =
Y
X

Gruppen j
(±1)SβCj1 αj1 SβCj2 αj2  = Sβ1 α1 . . . SβN αN
Untergruppen
Dabei wurden im Zwischenschritt die Teilchen-Gruppen j in Untergruppen zerlegt, und
die so erhaltenen Summen für alle Gruppen aufmultipliziert. Diese Zerlegung ist nötig,
da die so erhaltenen S C -Faktoren nicht verschwinden müssen. Im letzten Schritt wurden
die einzelnen Summen mit (2) verglichen, wodurch das gewünschte Ergebnis erhalten
wurde.
Es ist nun an der Zeit zu präzisieren, was mit großen raumartigen“ Abständen gemeint
”
4
ist. Dazu ist es sinnvoll die Fouriertransformation
Z
C
S~x1 ,...,~xN ,~y1 ,...,~yM = d3 p~1 . . . d3 p~N d3 ~q1 . . . d3 ~qM Sp~C1 ,...,~qM ei(~p1 ~x1 +...−~qM ~yM )
(3)
zu definieren [3]. Eine sinnvolle Theorie muss natürlich die physikalischen Erhaltungssätze wie Impuls- und Energie-Erhaltung respektieren, weswegen allgemein
Sp~C1 ,...~qM = δ 3 (~
p1 + . . . − ~q1 − . . .)δ(ωp1 + . . . − ωq1 − . . .)Cp~1 ,...~qM
(4)
geschrieben werden kann [3]. Da alle externen Teilchen auf der Massenschale liegen müsp
sen, gilt hier natürlich für deren Energien ωp = p~2 + m2 mit der Teilchenmasse m.
Welche Eigenschaften muss C nun haben, um das Cluster-Decomposition-Prinzip zu erfüllen? Als erstes ist offensichtlich, dass C keine weiteren Faktoren der Form δ(Σl (~
p l )i −
Σk (~qk )i ) enthalten kann. In (3) könnte man dann den Satz der Orts-Koordinaten (~xl )i
und (~yk )i zusammen um den Vektor (~λ)i → ∞ verschieben, und der auftretende Fak~
tor eiλi (Σl p~l −Σk q~k )i würde aufgrund der δ-Distribution gleich 1 werden, es würde sich am
Ergebnis S~xC1 ,...~y1 ,... also nichts ändern. Diese Invarianz des Ergebnisses bei einer Verschiebung eines Teils der Koordinaten würde offensichtlich gegen das Cluster-DecompositionPrinzip verstoßen.
Das Cluster-Decomposition-Prinzip fordert nun, dass der Ausdruck S~xC1 ,...~y1 ,... gegen 0
strebt, falls ein Teil der Koordinaten ~xi und ~yj zusammen um einen Vektor ~λ → ∞
verschoben werden, und sich so von den verbliebenden Koordinaten entfernen. Offensichtlich können hier nur ausschließlich raumartige Verschiebungen betrachtet werden,
da Sp~C1 ... aufgrund der Definitionen (2) und (9) nicht von t abhängt, und S~xC1 ... gemäß (3)
keine Zeitabhängigkeit aufnimmt.
Die obige Argumentation gilt offensichtlich nicht für δ-Faktoren, die nicht linear in ihren Argumenten sind, zum Beispiel die Energieerhaltungs-δ-Distribution δ(ωp1 ± . . .)
oder ähnliche δ-Distributionen. Da diese Faktoren keinen linearen Zusammenhang zwischen Impulsen herstellen, können sie auch keine Gruppe von Koordinaten definieren,
die zusammen verschoben werden können ohne das Ergebnis zu ändern, sondern sie ermöglichen es lediglich, aus (3) pro δ-Faktor das Integral über eine Komponente eines der
im Argument der δ-Distribution auftauchenden Impulse zu eliminieren.
Nehmen wir an, dass die Funktion Cp~1 ... für p~1 = . . . ~q1 = . . . = 0 analytisch ist. In diesem
Fall lässt sich wie folgt zeigen, dass S~xC1 ... für ~xj → ∞ exponentiell abfällt [3]. Dazu kehrt
man die Fouriertransformation (3) um, wobei wir im ersten Schritt die δ 3 -Distribution
5
eliminieren.
C
S(~
x1 −~
yM ),...,(~
yM −1 −~
yM )
Z
=
d3 p~1 . . . d3 ~qM −1 δ(ωp1 ± . . .)Cp~1 ,...~qM −1 ei(~p1 (~x1 −~yM )+...−~qM (~yM −1 ~yM ))
Durch die Elimination der δ 3 -Distribution wird also eine der Koordinaten, hier ~yM ,
willkürlich herausgegriffen und als Referenz-Punkt definiert. Eliminiert man durch die
verbleibende δ-Distribution ein weiteres Integral über eine Impulskomponente, zum Beispiel (~qM −1 )3 , so erhalten wir einen Faktor e−i(~yM −1 −~yM )3 (~qM −1 )3 , den wir in die Funktion
C hinein definieren können, und im Folgenden der Einfachheit halber weglassen wollen.
Die obige Fouriertransformation lässt sich nun umkehren:
Z
Cp~1 ,...,~qM −1 ∝
C
d3 (~x1 − ~yM ) . . . e−i~p1 (~x1 −~yM )±... S(~
x1 −~
yM ),...
Nun können wir die angenommene Analytizität von C am Punkt p~1 = . . . = 0 verwenden.
Dies bedeutet nämlich, dass sich C um diesen Punkt herum als unendliche Potenzreihe
entwickeln lässt, wobei die Terme (mit ~yM = ~0 o.B.d.A.)
∂ k1 ∂ k2 . . .
k1
k2
∂(~
p1 )1 ∂(~
p2 )1 . . .
Z
Cp~1 ,...,~qM −1 ∝
d3 ~x1 . . . e−i~p1 ~x1 ±... (i(~x1 )1 )k1 (i(~x2 )1 )k2 . . . S~xC1 ,...
endlich sein müssen. Mit ~xj → ∞ muss S~xC1 ,... dafür aber schneller als jede Potenz gegen
0 abfallen, wie oben bereits gesagt wurde.
Es sollte nicht übersehen werden, dass es durchaus physikalisch sinnvolle Beispiele gibt,
in denen die bis jetzt geforderte Analytizität für C nicht gegeben ist. Die Rede ist hier von
Theorien mit masselosen Teilchen. Ein Feynmandiagramm mit einer inneren Linie eines
masselosen skalaren Teilchens wird unter anderem einen Propagator ∝ 1/((p − q)2 + i)
enthalten. Dieser Term verletzt aber mit → 0 die obige Bedingung der Analytizität.
Dies hat jedoch keine Verleztung des Cluster-Decomposition-Prinzip zur Folge, da die
Fouriertransformierte solcher Terme wie eine Potenz von x = |~x| abfällt. Dies Entspricht
dann anschaulich einer langreichweitigen Wechselwirkung coulombscher Art 1/x.
6
3 Darstellung durch Erzeuger und Vernichter
3.1 Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter
Es soll nun gezeigt werden, wie eng der Formalismus von Erzeugungs- und VernichtungsOperatoren mit den Eigenschaften der S-Matrix zusammenhängt. Aus diesem Grund
sollen die wichtigsten Eigenschaften dieser Operatoren hier kurz wiederholt werden. Der
Grund dafür dass diese Operatoren Erzeuger“ und Vernichter“ genannt werden ist na”
”
türlich die Tatsache, dass man mit ihnen aufbauend auf dem Vakuumzustand |0i Vielteilchenzustände erzeugen kann, wobei durch Anwendung eines solchen Operators auf einen
Zustand ein Teilchen mit entsprechendem Impuls und anderen Quantenzahlen erzeugt
oder vernichtet wird. Wichtig sind dabei die Gleichungen
a(~q) |0i = 0
h0| a† (~q) = 0
Ein Produkt solcher Operatoren, bei dem alle Erzeuger a† links, und alle Vernichter a
rechts stehen heißt normalgeordnet. Der Vakuum-Erwartungswert eines solchen Produktes ist offensichtlich 0. Grundlegend sind außerdem die Vertauschungsrelationen
a(~
p)a† (~q) ∓ a† (~q)a(~
p) = δ 3 (~
p − ~q)
(5)
a(~
p)a(~q) ∓ a(~q)a(~
p) = 0 = a† (~
p)a† (~q) ∓ a† (~q)a† (~
p)
Dabei steht das obere Vorzeichen für den bosonischen, und das untere für den fermionischen Fall. Das praktische an Erzeugern und Vernichtern ist nun, dass man mit ihnen
natürlich nicht nur Vielteilchenzustände darstellen kann, sondern auch Operatoren. So
lässt sich jeder Operator O als
O=
∞ X
∞ Z
X
d3 ~q1 . . . d3 p~M a† (~q1 ) . . . a† (~qN )a(~
p1 ) . . . a(~
pM )CN M (~q1 , . . . , p~M )
(6)
N =0 M =0
darstellen [3]. Es lässt sich zeigen, dass ein Matrixelement dieses Operators die Form
hΦp1 ...pL | O |Φq1 ...qK i = L!K!CLK (~q1 , . . . , p~K )
+ Terme mit CN M und N < L, M ≤ K bzw. N ≤ L, M < K
(7)
annimmt [3]. Die Funktionen CN M können dann rekursiv festgelegt werden, um so den
Matrixelementen von O jeden beliebigen sinnvollen Wert zu verleihen, das heißt jeder
7
Operator O kann so dargestellt werden. Sinnvoll heißt in diesem Zusammenhang, dass
sich die Funktionen CN M (~q1 . . . p~M ) bei Vertauschungen ihrer Argumente genauso verhalten wie die Vielteilchenzustände hΦp1 ...pL | und |Φq1 ...qK i.
Ein Beweis für diese wichtige Gleichung wird im Anhang gezeigt werden.
3.2 Anwendung auf das Cluster-Decomposition-Prinzip
Die Frage die sich nun offensichtlich stellt ist diejenige, welcher Art der Wechselwirkungsoperator V sein muss, damit die resultierende S-Matrix die oben beschriebenen
Eigenschaften hat. Wie im vorigen Abschnitt beschrieben wurde, lässt sich jeder Operator, also auch V , in der Form (6) darstellen. Es soll im Folgenden gezeigt werden,
dass
CN M (~q1 , . . . p~M ) = δ 3 (~q1 + . . . − p~N )VN M (~q1 , . . . p~M )
(8)
gelten muss, wobei die verbleibenden Faktoren VN M keine weiteren δ-Distributionen
enthalten dürfen, die linear in ihren Argumenten sind [3]. Um dies zu beweisen muss
zuerst gezeigt werden, wie die S-Matrix aus der Wechselwirkung V hervorgeht. Für das
S-Matrix-Element Sβα gilt im Rahmen der Störungstheorie [3]
Sβα =
Z
∞
X
(−i)n
n=0
n!
∞
dt1 . . . dtn hΦβ | T {V (t1 ) . . . V (tn )} |Φα i
(9)
−∞
mit der Zeitentwicklung
Z
V (t) = exp(iH0 t)V exp(−iH0 t) mit H0 =
d3~kωk a† (~k)a(~k)
(10)
im Dirac-Bild. Offensichtlich kann man sowohl die Zustände als auch die Operatoren
in den Summanden der obigen Entwicklung durch Erzeuger und Vernichter darstellen,
diese sind dann jedoch selbstverständlich nicht normalgeordnet. Unter Verwendung der
Vertauschungsrelationen (5) lässt sich die Normalordnung allerdings leicht herstellen.
(15) wird ein Beispiel für dieses Vorgehen zeigen, allerdings wurden hier nur die aus
den V stammenden Operatoren normalgeordnet damit später (7) angewendet werden
konnte. Natürlich beruht auch der Beweis von (7) auf dem Herstellen der Normalordnung, genauso wie die Bestimmung von Produkten aus Vielteilchenzuständen. Für jede
Vertauschung erhalten wir offensichtlich zwei Terme
. . . a(~
p)a† (~q) . . . = . . . δ 3 (~
p − ~q) . . . ± . . . a† (~q)a(~
p) . . .
8
wobei in Einem der Beiden die Zahl der Erzeuger und Vernichter um jeweils 1 reduziert
wird und man gleichzeitig eine δ-Distribution erhält, die die Impulse der vertauschten
Operatoren gleichsetzt. Zum Herstellen der Normalordnung werden dabei nur Vertauschungen der obigen Art gebraucht, nie muss ein Vernichter auf die linke Seite eines
Erzeugers. Insbesondere müssen deshalb niemals zwei Operatoren die zum gleichen V
gehören vertauscht werden. Da wir hier auch die aus den Zuständen kommenden Operatoren in die Normalordnung einbeziehen wollen, verschwinden am Ende alle Terme, in
denen noch Operatoren übrig sind, da diese auf den Vakuumzustand wirken. Lediglich
Terme in denen nur δ-Distributionen stehen sind dann noch von Interesse. Da keine Operatoren mehr vorliegen, können die Vakuumzustände dann wegen h0|0i = 1 weggelassen
werden.
Jede dieser δ-Distributionen kann anhand ihrer Argumente einem Erzeuger und einem
Vernichter im ursprünglichen Ausdruck (9) zugeordnet werden. Der Annahme (8) zufolge trägt aber auch jeder Faktor V , also jeder Vertex einen δ-Faktor bei, der mehrere
Impulse verknüpft. In Feynmangraphen gilt entlang jeder Linie und an jedem Vertex
Impulserhaltung [4], das heißt die beschriebenen Produkte aus δ-Faktoren lassen sich
auf die Struktur eines Feynmangraphen abbilden, an dem man den Fluss der Impulserhaltung verfolgen kann, selbst dann wenn man wie in Abschnitt 4 eine Wechselwirkung
untersucht die möglicherweiße keine sinnvollen Feynmanregeln hat [3]. Für die graphische Repräsentation eines solchen Produktes aus δ-Distributionen soll nun ein Beispiel
gegeben werden.
δ 3 (~l1 − ~r1 )δ 3 (~l2 − p~1 )V12 (~
p1 − ~q1 − ~q2 )δ 3 (~
p1 − ~q1 − ~q2 )δ 3 (~r2 − ~q1 )δ 3 (~r3 − ~q2 )
(11)
entspricht zum Beispiel dem Diagramm aus Abb. 2
Abb. 2: Schematischer Feynmangraph zum Ausdruck (11)
Das obige Beispiel zeigt bereits, dass ein so gezeichnetes Diagramm zusammenhängend
9
oder unzusammenhängend sein kann, wobei ein Unzusammenhängendes natürlich in zwei
oder mehrere zusammenhängende Diagramme zerfällt. Wie bereits in Abschnitt 2 angedeutet wurde entspricht die Zerlegung von S in die Faktoren S C genau der Aufteilung
in zusammenhängende Feynmangraphen. Man kann offensichtlich schreiben [3]
X
hΦβ | T {V (t1 ) . . . V (tn )} |Φα i =
(±1)
Zert.
ν
Y
hΦβ,j | T V (tj1 ) . . . V (tjnj ) |Φα,j iC
j=1
da das ursprüngliche Matrix-Element nur noch aus δ-Distributionen und Funktionen
VN M (. . .) besteht, die per Definition keine Operatoren mehr enthalten und deshalb vertauschen. Die Summe geht dabei über alle Möglichkeiten, sowohl die ein- und auslaufenden Teilchen als auch die n zur Verfügung stehenden Vertices V auf eine oder mehrere zusammenhängende Gruppen zu verteilen, wobei die Zahl der Gruppen bei einer
bestimmten Zerteilung (Zert.) mit ν bezeichnet werden soll. Deswegen gilt bei jeder ZerP
legung νj=1 nj = n. Der Faktor (±1) resultiert daher, dass zur Umordnung von hΦβ |
und |Φα i in die Gruppen hΦβ,j | und |Φα,j i möglicherweise Fermion-Erzeuger und Vernichter vertauscht werden mussten. Der Exponent C am Matrixelement soll andeuten,
dass das Ergebnis im obigen Sinne zusammenhängend sein soll. Die obige Gleichung soll
nun verwendet werden, um den Ausdruck (9) zu vereinfachen. Man erhält [3]
Sβα =
∞
X
(−i)n X
n!
n=0
(±1)
Zert.
ν Z
Y
∞
j=1 −∞
dt1 . . . dtn hΦβ,j | T V (tj1 ) . . . V (tjnj ) |Φα,j iC (12)
Da hier über alle Zeiten integriert wird, unterscheiden sich die Faktoren V nicht mehr,
und es gilt
X
Zert.ν
=
X
X
Gruppen n1 ,...,nν
n!
n1 ! . . . nν !
Die erste Summe geht dabei unverändert über alle Möglichkeiten, die ein- und auslaufenden Teilchen in Gruppen zu sortieren im Sinne von (2). Die Zweite geht über die Möglichkeiten die V s zu gruppieren, wobei deren Ununterscheidbarkeit durch entsprechende
Faktoren berücksichtigt wurde. Dabei gilt natürlich nach wie vor die Zwangsbedingung
Pν
j=1 nj = n. Dies ermöglicht es uns die Summen in (12) zu vereinfachen, mit dem
Ergebnis
Sβα =
X
Z
∞
ν X
Y
(−i)nj ∞
dtj1 . . . dtjnj hΦβ,j | T V (tj1 ) . . . V (tjnj ) |Φα,j iC
(±1)
nj !
−∞
Gruppen
j=1 nj =0
10
welches offensichtlich äquivalent zu (2) ist [3]. Das Cluster-Decomposition-Prinzip bezieht sich also tatsächlich, wie bereits gesagt wurde, auf die Zerlegung der S-MatrixElemente in Beiträge mit zusammenhängenden Feynmangraphen.
Gemäß (4) ist es nun noch nötig zu zeigen, dass die so definierten Faktoren S C nur eine
δ-Distribution enthalten, die 4er-Impulserhaltung garantiert, wobei die Annahme verwendet werden soll, dass gemäß (8) die Funktion VN M (. . .) keine weitere δ-Distribution
beinhaltet. Dies ist leicht anhand von geometrischen Überlegungen möglich, die die zu
einem Faktor S C gehörenden Feynmangraphen betreffen. Diese müssen zusammenhängend sein, stellen also topologisch betrachtet ein Netz dar, mit N Knoten (V Vertices und
N − V Anfangs- und Endpunkte äußerer Linien), L Linien (I innere und E externe) und
S Schleifen. Laufen an einem Vertex k Linien zusammen, so gibt es dazu auch k Integrale
über entsprechende Impulse. Jede Linie und jeder Vertex entsprechen einem δ-Faktor,
es gibt also L + V δ-Distributionen. Die Zahl der Integrale beträgt E + 2I. Werden nun
die δ-Distributionen der Linien durch Integration eliminiert, so bleiben offensichtlich I
Integrale und V δ-Distributionen übrig. Wir können nun die äußeren Linien und Knoten
amputieren, und erhalten ein kleineres Netz mit V Knoten, I Linien und S Schleifen.
Die Tatsache, dass das betrachtete Netz zusammenhängend sein soll ändert sich dadurch
nicht, da äußere Linien nicht zwei Teile eines Netzes verbinden können. Aus der Topologie
ist bekannt, dass für das verbleibende zusammenhängende Netz gelten muss [3]:
V −I +S =1
Von den I übrigen Integralen können nun I − S verwendet werden um die verbliebenden
V = 1 + I − S δ-Distributionen bis auf eine zu eliminieren. Wie üblich in Feynmangraphen verbleiben S Integrale über die nicht fixierten Impulse in den Schleifen. Die übrig
gebliebene δ-Distribution ist diejenige, die die Gesamtimpulserhaltung sicherstellt, wie
gefordert wurde.
11
4 Beispielrechnung
4.1 Aufgabenstellung
Betrachtet wird eine Wechselwirkung der Form
Z
V =g
d3 p~
d3 p~
d3 p~
d3 p~
p 1 p 2 p 3 p 4 δ 3 (~
p1 + p~2 − p~3 − p~4 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~
p3 )a(~
p4 )
2ωp1 2ωp2 2ωp3 2ωp4
(13)
wobei g eine reelle Konstante und a(~
p) der Vernichtungsoperator eines spinnlosen Bosons
p
mit Masse m > 0 ist. Es gilt auch hier wieder ωp = p~2 + m2 . Es ist nun die Störungstheorie nach (9) zu verwenden um das S-Matrix-Element zweier solcher Teilchen im
Schwerpunktsystem bis zur Ordnung g 2 zu berechnen. Anschließend ist der zugehörige
differentielle Wirkungsquerschnitt zu berechnen [3].
4.2 Zeitentwicklung
Zur Anwendung von (9) ist es nun nötig die zeitliche Entwicklung von (13) gemäß (10) zu
berechnen. Es zeigt sich, dass sich die Zeitabhängigkeit von V aus der Zeitabhängigkeit
der darin vorkommenden Erzeuger und Vernichter darstellen lässt. Für diese gilt
[H0 , a† (~
p)] = ωp a† (~
p)
[H0 , a(~
p)] = −ωp a(~
p)
Zur Zeitentwicklung nach (10) bietet sich nun die Baker-Campbell-Hausdorff Formel an,
und zwar in ihrer Form [5]
eA Be−A = B + [A, B] +
1
[A, [A, B]] + . . .
2!
Daraus folgt mit obigen Kommutatoren
a† (~k, t) = eiωk t a† (~k)
a(~k, t) = e−iωk t a(~k)
Das Potential V muss also um den Faktor ei(ωp1 +ωp2 −ωp3 −ωp4 )t ergänzt werden.
12
(14)
4.3 0. und 1. Ordnung
Betrachtet werden soll nun das S-Matrixelement hf |S| ii, mit den 2-Teilchen-Zuständen
hf | = h0| a(~k1 )a(~k2 ) und |ii = a† (~l1 )a† (~l2 ) |0i. Aus (9) folgt bis zur 2. Ordnung:
Z
S =1−i
dtV (t) −
1
2
Z Z
dt1 dt2 T {V (t1 )V (t2 )}
In 0. Ordnung gilt offensichtlich
S0 = hf |1| ii = δ 3 (~l1 − ~k1 )δ 3 (~l2 − ~k2 ) + δ 3 (~l1 − ~k2 )δ 3 (~l2 − ~k1 )
was dem Fall entspricht, in dem keine Wechselwirkung stattfindet. In 1. Ordnung erhalten
wir:
d3 p~
p 1 . . . δ 3 (. . .)a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~
p3 )a(~
p4 )ei(ωp1 +ωp2 −ωp3 −ωp4 )t |ii
2ωp1
Z
1
1
1
1
√
√
√
= 2!2!(−ig)δ 3 (~k1 + ~k2 − ~l1 − ~l2 ) √
dtei(ωp1 +ωp2 −ωp3 −ωp4 )t
2ωk1 2ωk2 2ωl1 2ωl2
1
1
1
1
√
√
√
= −8πig √
δ 4 (k1 + k2 − l1 − l2 )
2ωk1 2ωk2 2ωl1 2ωl2
Z
S1 = hf | − ig
Z
dt
wobei im zweiten Schritt (9) verwendet wurde. Das zur 1. Ordnung gehörende FeynmanDiagramm ist in Abb. 3 gezeichnet.
Abb. 3: Feynmandiagramm zum Beitrag in 1. Ordnung.
4.4 Zusammenhang mit der φ4 -Theorie
Für das Feld der hier betrachteten spinlosen Bosonen gilt φ = φ+ + φ− mit
+
φ (x) =
Z
d3~k
p
(2π)3 2ωk
a(~k)e−ikx und φ− (x) =
13
Z
d3~k
p
a† (~k)e+ikx
(2π)3 2ωk
Daraus folgt die Darstellung
a(~k) =
Z
√
d3 ~x
p
φ+ (x)e+ikx 2ωk und a† (~k) =
(2π)3
Z
√
d3 ~x
p
φ− (x)e−ikx 2ωk
(2π)3
Offensichtlich lässt sich die Wechselwirkung V also durch die Felder anstatt durch die
Erzeuger und Vernichter ausdrücken.
d3 p~
p 1 . . . δ 3 (. . .)a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~
p3 )a(~
p4 )ei(ωp1 +ωp2 −ωp3 −ωp4 )t
2ωp1
Z
Z
g
3
−
−
+
+
=
d ~x1 . . . φ (x1 )φ (x2 )φ (x3 )φ (x4 ) d3 p~1 δ 3 (. . .)ei(~p1 ~x1 +~p2 ~x2 −~p3 ~x3 −~p4 ~x4 )
(2π)6
Z
g
=
d3 ~x1 . . . φ− (x1 )φ− (x2 )φ+ (x3 )φ+ (x4 )(2π)9 δ 3 (~x1 − ~x4 )δ 3 (~x2 − ~x4 )δ 3 (~x3 − ~x4 )
(2π)6
Z
3
= (2π) g d3 ~xφ− (x)φ− (x)φ+ (x)φ+ (x)
Z
V (t) = g
An dieser Stelle wird der Zusammenhang zwischen der Wechselwirkung V und der φ4 Theorie deutlich. Verwendet man φ = φ+ + φ− und bildet die 4. Potenz, so erhält man
mehrere Terme, von denen nur einer zur Wechselwirkung V äquivalent ist. Dies hat zwei
wichtige Konsequenzen. Erstens können wir bei Prozessen mit Wechselwirkung V nur
Feynmangraphen zeichnen, bei denen an jedem Vertex je zwei Linien einlaufen und auslaufen, so wie in Abb. 3. Zweitens kann man man durch Anwendung des Wick-Theorems
keine Propagatoren der Form φ(x)φ(y) erhalten, weshalb sich die Feynmanregeln der
φ4 -Theorie nicht vollständig übertragen lassen. Diese beiden Faktoren werden besonders
bei der Rechnung in 2. Ordnung deutlich werden.
4.5 2. Ordnung
In 2. Ordnung erhält man nun für das S-Matrix-Element:
1
S2 = hf | −
2
Z Z
dt1 dt2 T {V (t1 )V (t2 )} |ii
Das hier auftretende zeitgeordnete Produkt kann auf zweierlei Weisen gelöst werden,
wobei das Ergebnis natürlich in beiden Fällen äquivalent ist. Entweder, man verwendet
14
das Wick-Theorem mit den Kontraktionen
a(~
p, t1 )a† (~q, t2 ) = Θ(t1 − t2 )δ 3 (~
p − ~q)e−iωp t2 eiωq t1
a† (~
p, t1 )a(~q, t2 ) = Θ(t2 − t1 )δ 3 (~
p − ~q)eiωp t2 e−iωq t1
a† (~
p, t1 )a† (~q, t2 ) = a(~
p, t1 )a(~q, t2 ) = 0
oder man verwendet die Definition T {V (t1 )V (t2 )} = θ(t1 − t2 )V (t1 )V (t2 ) + θ(t2 −
t1 )V (t2 )V (t1 ) und bringt den so erhaltenen Ausdruck anschließend in Normalordnung.
Für den ersten Teil ergibt das
V (t1 )V (t2 ) ∝ a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~
p3 ) a(~
p4 )a† (~q1 ) a† (~q2 )a(~q3 )a(~q4 ) = . . .
|
{z
}
δ 3 (~
q1 −~
p4 )+...
h
=a† (~
p1 )a† (~
p2 ) a† (~q1 )a† (~q2 )a(~
p3 )a(~
p4 ) + a† (q1 )a(p4 )δ 3 (~q2 − p~3 )
+ a† (~q2 )a(~
p4 )δ 3 (~q1 − p~3 ) + a† (~q1 )a(~
p3 )δ 3 (~q2 − p~4 ) + a† (~q2 )a(~
p3 )δ 3 (~q1 − p~4 )
i
+ δ 3 (~
p4 − ~q2 )δ 3 (~
p3 − ~q1 ) + δ 3 (~
p4 − ~q1 )δ 3 (~
p3 − ~q2 ) a(~q3 )a(~q4 )
(15)
Man erhält also mehrere Terme, von denen wir in unserem Fall laut (7) nur die beiden
mit je zwei Erzeugern und zwei Vernichtern benötigen. Das Ergebnis für den zweiten
Teil erhält man leicht durch Vertauschen der p~i und ~qi . Es gilt dann
Z
dt1 dt2 T {V (t1 )V (t2 )}
Z
Z
d3 p~1
d3 ~q4 3
2
dt1 dt2 p
... p
δ (~
p1 + p~2 − p~3 − p~4 )δ 3 (~q1 + ~q2 − ~q3 − ~q4 )
=g
2ωp1
2ωq4
· θ(t1 − t2 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~q3 )a(~q4 )[δ 3 (~
p4 − ~q2 )δ 3 (~
p3 − ~q1 ) + δ 3 (~
p4 − ~q1 )δ 3 (~
p3 − ~q2 )]
+ θ(t2 − t1 )a† (~q1 )a† (~q2 )a(~
p3 )a(~
p4 )[δ 3 (~q4 − p~2 )δ 3 (~q3 − p~1 ) + δ 3 (~q4 − p~1 )δ 3 (~q3 − p~2 )]
· eit1 (ωp1 +ωp2 −ωp3 −ωp4 ) eit2 (ωq1 +ωq2 −ωq3 −ωq4 )
15
Davon wollen wir im Folgenden den 1.Term betrachten. Mit der Substitution u = t1 + t2 ,
RR
RR
v = t1 − t2 folgt
dt1 dt2 → 2
dudv, und der 1. Term aus obiger Formel wird zu
4g
2
Z
Z
dudv
d3 p~
p 1 . . . δ 3 (~
p1 + p~2 − ~q1 − ~q2 )δ 3 (~q1 + ~q2 − ~q3 − ~q4 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~q3 )a(~q4 )
2ωp1
1
1
1
1
1
· θ(v)ei 2 u(ωp1 +ωp2 −ωq3 −ωq4 ) e−iv(ωq1 +ωq2 − 2 ωp1 − 2 ωp2 − 2 ωq3 − 2 ωq4 )
Der Vorteil der Variablentransformation zeigt sich nun darin, dass das Integral über
u ausgeführt werden kann, und so eine δ-Distribution liefert, die die Energieerhaltung
R dτ −ivτ
−1
sichert. Durch die Darstellung θ(v) = 2πi
kann anschließend erst das Integral
τ +i e
über v ausgeführt werden, was dann wieder eine δ-Distribution erzeugt, die das Integral
über τ eliminiert. Das Ergebnis lautet
8g
2
Z
d3 p~
d3 p~
d3 ~q
d3 ~q
p 1 p 2 p 3 p 4 δ(ωp1 + ωp2 − ωq3 − ωq4 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~q3 )a(~q4 )
2ωp1 2ωp2 2ωq3 2ωq4
d3 ~q1 d3 ~q2 3
2πi
δ (~
p1 + p~2 − ~q1 − ~q2 )δ 3 (~q1 + ~q2 − ~q3 − ~q4 )
2ωq1 2ωq2
ωp1 + ωp2 − ωq1 − ωq2 + i
Z
3
3
3
3
d p~1 d p~2 d ~q3 d ~q4 4
p
p
p
δ (p3 + p4 − q1 − q2 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~q3 )a(~q4 )
=8g 2 p
2ωp1 2ωp2 2ωq3 2ωq4
Z 3
1
d ~q1 1
· 2πi
2ωq1 2ωq2 ωp1 + ωp2 − ωq1 − ωq2 + i
{z
}
|
Z
·
I(p1 ,p2 )
Wobei im letzten Schritt ~q2 nur noch als Funktion der anderen Impulse zu verstehen ist.
Vom zweiten Term, der bei der Entwicklung des zeitgeordneten Produktes auftaucht,
kann gezeigt werden, dass er durch Umbenennung von Impulsen in den ersten Term
übergeht, und folglich gleich diesem ist. Es gilt also insgesamt:
S2 = hf | − 16πig 2
= −64πig 2 √
Z
1
2ωk1
d3 p~
p 1 . . . δ 4 (p3 + p4 − q1 − q2 )a† (~
p1 )a† (~
p2 )a(~q3 )a(~q4 )I(p1 , p2 ) |ii
2ωp1
1
1
1
√
√
√
δ 4 (p3 + p4 − q1 − q2 )I(k1 , k2 )
2ωk2 2ωl1 2ωl2
wobei im letzten Schritt wieder Gleichung (7) verwendet wurde. Betrachtet man die obigen Rechnungen, so erkennt man die Struktur von einem Feynmandiagramm wie in Abb.
4. Wie bereits erwähnt, erhalten wir für die inneren Linien keine gwöhnlichen Propagatoren, was im Diagramm durch gestrichelte Linien angedeutet ist. Den Feynmanregeln
der vollständigen φ4 -Theorie zufolge würden wir für die auftretende Schleife ein Integral
über das Produkt zweier Propagatoren erwarten, welches in unserem Modell nun durch
16
das Integral I(k1 , k2 ) ersetzt wird.
Abb. 4: Feynmangraph zum Beitrag in 2. Ordnung.
Im gewählten Schwerpunktsystem gilt dabei ~k1 = −~k2 und ~q1 = −~q2 , und somit
Z
I(k1 , k2 ) =
Z
=
=
π
2
=
π
2
1
d3 ~q1 1
2ωq1 2ωq2 ωk1 + ωk2 − ωq1 − ωq2 + i
1
1
p
d3 ~q1
2
2
4(~q1 + m ) 2E − 2 ~q12 + m2 + i
Z ∞
q2
1
p
dq1 2 1 2
2
q1 + m E − q1 + m2 + i
0
√
Z ∞
z 2 − m2
1
dz
z
E
−
z + i
m
mit der Gesamtenergie E, einer unerheblichen Redefinition von , q1 = |~q1 | und z =
p
q 2 + m2 . Man sieht, dass der Integrand eine Polstelle hat, falls die erzeugten virtuellen Teilchen onshell sind, und für große Impulse wie −1/q1 bzw −1/z abfällt. Eine
Entwicklung um die Polstelle zeigt, dass diese der Form 1/x ist. Man kann somit gegen
0 gehen lassen und für die geforderte Integration von 0 bis ∞ den Cauchy-Hauptwert bilden. Unter Berücksichtigung dieses Hauptwertes erhält man eine Quasi-Stammfunktion:
p
h
i
1
m
G(z) =
mArctan √
− E 2 − m2 ln (E 2 − m2 )3/2 |E − z|
E
z 2 − m2
h
i p
h
i
p
p
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
− E ln 2(z + z − m ) + E − m ln 2E(Ez − m + z − m E − m )
Da der Integrand im unendlichen wie −1/z abfällt ist es offensichtlich, dass das Integral
I(k1 , k2 ) = I(E) logarithmisch divergiert. Dieses Problem kann durch Renormierung
unter Verwendung der cutt-off“-Methode beseitigt werden. Dazu ersetzt man die obere
”
Integrationsgrenze durch einen cutt-off Λ, und errechnet den Wert des Integrals anhand
17
der Funktion G. Man erhält dadurch
2
I(E) = G(Λ) − G(m) → − ln(Λ) − F (m, E)
π
für ausreichend große Λ. Der Ausdruck F (m, E) enthält dabei die untere Integrationsgrenze sowie den konstanten Anteil der oberen welcher übrig bleibt, wenn diese für große
Λ entwickelt wird.
hmi p
π p 2
1
Em − m2
2
2
2
√
m − E − m ln [E − m] − E ln
F (m, E) =
+ E − m ln
E
2
2
E + E 2 − m2
4.6 Renormierung und Wirkungsquerschnitt
Aus den Erkenntnissen der letzten Abschnitte folgt bis zur zweiten Ordnung in g
S =δ 3 (~l1 − ~k1 )δ 3 (~l2 − ~k2 ) + δ 3 (~l1 − ~k2 )δ 3 (~l2 − ~k1 )
1
1
1
1
√
√
√
− 8πig √
δ 4 (l1 + l2 − k1 − k2 )
2ωl1 2ωl2 2ωk1 2ωk2
1
1
1
1
√
√
√
− 32π 2 ig 2 √
δ 4 (l1 + l2 − k1 − k2 )(− ln(Λ) − F (m, E))
2ωl1 2ωl2 2ωk1 2ωk2
Dieser Ausdruck enthält immer noch den Faktor − ln(Λ), der nun durch Renormierung
beseitigt werden soll. Dazu setzen wir bei einer bestimmten Energie E 0
πg − 4π 2 g 2 (ln(Λ) + F (m, E 0 )) = g̃
(16)
Daraus lässt sich nun g als Funktion von g̃ entwickeln. In 1. Ordnung gilt offensichtlich
g = g̃/π woraus dann mit obiger Formel in korrekter 2. Ordnung folgt [5]:
g=
4
1
g̃ + g̃ 2 (ln(Λ) + F (m, E 0 ))
π
π
Für eine beliebige Energie E nimmt der Ausdruck aus (16) nun in 2. Ordnung in g̃ die
renormierte Form
πg − 4π 2 g 2 (ln(Λ) + F (m, E))
= g̃ + 4g̃ 2 (ln(Λ) + F (m, E 0 )) − 4g̃ 2 (ln(Λ) + F (m, E))
= g̃ + 4g̃ 2 (F (m, E 0 ) − F (m, E))
18
an. Daraus folgt
S =δ 3 (~l1 − ~k1 )δ 3 (~l2 − ~k2 ) + δ 3 (~l1 − ~k2 )δ 3 (~l2 − ~k1 )
1
1
1
1
√
√
√
δ 4 (l1 + l2 − k1 − k2 ) g̃ + 4g̃ 2 (F (m, E 0 ) − F (m, E))
− 8i √
2ωl1 2ωl2 2ωk1 2ωk2
Mit (4.72) aus [4] folgt daraus:
−8
1
1
1
1
2
0
√
√
√
√
g̃
+
4g̃
(F
(m,
E
)
−
F
(m,
E))
(2π)4 2ωl1 2ωl2 2ωk1 2ωk2
−2
g̃ + 4g̃ 2 (F (m, E 0 ) − F (m, E))
=
4
2
(2π) E
M=
Weiterhin gilt nach [4] für den differentiellen Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem:
dσ
|M|2
=
dΩ
64π 2 (2E)2
Offensichtlich ist dieser Wirkungsquerschnitt über den ganzen Winkelbereich konstant.
Der Totale Wirkungsquerschnitt σ(E) ist in Abb. 5 für verschiedene WechelwirkungsStärken geplottet. In diesen Beispielen wurde für m = 1 die Normierung (16) bei E = m
jeweils zu g̃ = 1/2, g̃ = 1/10 und g̃ = 1/50 festgelegt. Die Energie ist in Einheiten der
Masse m aufgetragen. Zu beachten ist dass die Werte logarithmisch angetragen sind.
Der Wirkungsquerschnitt fällt bei hohen Energien also offensichtlich stetig ab, wie zu
erwarten war.
4.7 Verbindung zum Cluster-Decomposition-Prinzip
Es soll nun kurz herausgestellt werden, wie das eben gelöste Problem mit dem ClusterDecomposition-Prinzip zusammenhängt. Ein Blick auf (13) zeigt, dass die Wechselwirkung offensichtlich die Bedingung (8) erfüll, das Cluster-Decomposition-Prinzip muss
also erfüllt sein.
Betrachtet man das Endergebnis für das S-Matrix Element, so erkennt man die Struktur
von (2):
Sl1 l2 →k1 k2 = δ 3 (~l1 − ~k1 )δ 3 (~l2 − ~k2 ) + δ 3 (~l1 − ~k2 )δ 3 (~l2 − ~k1 ) + δ 4 (l1 + l2 − k1 − k2 )(. . .)
|
{z
} |
{z
}
SlC →k SlC →k +SlC →k SlC →k
1
1
2
2
1
2
2
19
1
SlC l
1 2 →k1 k2
Abb. 5: Totaler Wirkungsquerschnitt für m = 1 in Anbhängigkeit von der Energie E
Die Faktoren S C enthalten jeweils nur eine δ-Distribution, wie in Abschnitt 2 gefordert
wurde. Das Cluster-Decomposition-Prinzip ist also erfüllt.
Des Weiteren besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Eigenschaft der S-Matrix, und
der Normalordnung in (15). Bei der Verwendung dieser Formel wurden aufgrund von (7)
die Terme mit mehr als je zwei Erzeugern und Vernichtern weggelassen, zum Beispiel
auch der Term
Z
∝
d3 p~1 . . . d3 ~q4 δ 3 (~
p1 + p~2 − p~3 − p~4 )δ 3 (~q1 + ~q2 − ~q3 − ~q4 )
· a† (~
p1 )a† (~
p2 )a† (~q1 )a† (~q2 )a(~
p3 )a(~
p4 )a(~q3 )a(~q4 )
Anders als die vier Summanden aus (15) die nicht weggelassen wurden, enthält dieser
Ausdruck keine δ-Distributionen mit je einem pi und einem qj als Argument. In der
Bildsprache aus Abschnitt 3 entspricht das einem Feynmandiagramm mit zwei Vertices,
an denen jeweils 2 Linien ein und zwei Linien auslaufen. Das Fehlen der δ-Distributionen
zeigt aber, dass diese beiden Vertices anders als bei den beitragenden Termen nicht
durch innere Linien verbunden sein können. Dies ist bei einem 2 → 2 Prozess in 2.
Ordnung jedoch nicht möglich, der Beitrag des obigen Termes und aller ähnlichen muss
20
also zwingend verschwinden. Das wegfallen dieses Termes ist jedoch für die Erfüllung
des Cluster-Decomposition-Prinzips notwendig, da er offensichtlich zwei δ-Faktoren hat,
von denen keiner durch ausführen eines der Integrale eliminiert werden kann.
Hätten wir es mit einem 4 → 4 Prozess zu tun, so würde der obige Faktor in 2. Ordnung
C SC
durchaus beitragen können, und zum Summanden S2→2
2→2 in der Entwicklung von S
beitragen.
5 Zusammenfassung
Wie gesagt wurde lässt sich die anschauliche Forderung, weit entfernte Experimente
müssten unkorrelierte Ergebnisse liefern, mit der Forderung gleichsetzen, dass sich die
S-Matrix eines Vielteilchen-Prozesses gemäß (1) faktorisieren lässt. Der Schlüssel zum
Beweis dieser Eigenschaft liegt in der Einführung der zusammenhängenden Faktoren S C
in (2), deren Zusammenhang mit den möglichen Feynmangraphen des betrachteten Prozesses ausführlich diskutiert wurde. Anschließend wurde gezeigt, dass um die Gültigkeit
des Cluster-Decomposition-Prinzip sicherzustellen, gefordert werden muss, dass die Faktoren S C nur eine einzige in ihren Argumenten lineare δ-Distribution enthalten dürfen,
die die Gesamt-Impulserhaltung sicherstellt.
Es war anschließend möglich zu zeigen, dass bei einer Darstellung der Wechselwirkung
durch Erzeuger und Vernichter diese Bedingung gewährleistet ist, falls die Annahme (8)
gemacht wird.
Der größte Teil der Arbeit widmete sich der Aufgabe, eine gegebene Problemstellung zu
bearbeiten, und ihren Zusammenhang zum Cluster-Decomposition-Prinzip zu untersuchen. Dabei war eine konkrete Wechselwirkung (13) gegeben, und es wurde der 2 → 2
Prozess, der durch diese Wechselwirkung definiert wird, bis zur zweiten Ordnung der
Störungstheorie untersucht. Insbesondere in der zweiten Ordnung traten dabei einige
Probleme auf, auf die genauer eingegangen wurde, insbesondere auf die Renormierung
der Theorie. Danach wurde der Streuquerschnitt des betrachteten Prozesses berechnet
und kurz diskutiert. In einem anschließenden kurzen Abschnitt wurde der Zusammenhang zum Cluster-Decomposition-Prinzip zusammengefasst.
Im Anhang wird nun noch ein Beweis für Gleichung (7) nachgereicht.
21
6 Anhang
6.1 Beweis von (7)
(7) lässt sich durch vollständige Induktion in der Teilchenzahl der beteiligten Zustände
beweisen. Da die Erzeuger und Vernichter in O offensichtlich in Normalordnung sind,
gilt der Induktionsanfang
h0| O |0i = C00
Aufgrund der Vertauschungsrelationen gilt nun
Z
d3 ~q1 . . . d3 ~qN C(~q1 , . . . , ~qN )a(~q1 ) . . .
a(~qN )a† (~
p1 )
|
{z
}
. . . a† (~
pL ) |0i = . . . ± . . .
δ 3 (~
qN −~
p1 )±a† (~
p1 )a(~
qN )
Das Integral zerfällt also in zwei Summanden. Im einen sind Erzeuger und Vernichter nur
vertauscht, im anderen sind beide jeweils um 1 weniger geworden. Dabei ist wichtig zu
betonen, dass im obigen Beispiel alle Vernichter zum Operator, und alle Erzeuger zum
darauf angewendeten Zustand gehören. In den folgenden Schritten werden jeweils zwei
Erzeuger und Vernichter die nebeneinander stehen vertauscht, was pro Vertauschung
wieder zwei Summanden liefert. Es gilt nun mehrere Fälle zu unterscheiden.
Im ersten Fall gilt L < N . Egal ob man die Summanden betrachtet in denen sich die
δ-Distributionen angesammelt haben, oder die in denen Erzeuger und Vernichter die
Position gewechselt haben, wegen der Überzahl der Vernichter, die aus dem Operator O
kommen, steht mindestens einer davon in jedem Summanden am Ende links und wirkt
auf |0i, so dass dieser Term verschwindet. Damit ist die wichtige Eigenschaft von (7)
bewiesen, dass nur CN M mit N ≤ L, M ≤ K beitragen können. Im zweiten Fall gilt
L = N . Um die Induktion zu zeigen, soll nun gelten:
Z
d3 ~q1 . . . d3 ~qM C(~q1 , . . . , ~qM )a(~q1 ) . . . a(~qM )a† (~
p1 ) . . . a† (~
pM ) |0i = M !C(~
p1 . . . p~M ) |0i
für jedes M < N mit M, N ∈ N0 . Damit, und unter Verwendung der δ-Distribution wird
aus obigem Integral
(N − 1)!C(~
p2 , p~4 , . . . p~N , p~1 ) |0i ± (N − 1)!C(~
p1 , p~3 , . . . p~N , p~2 )(±)2 . . .
= N !C(~
p1 , p~2 , . . . , p~N )
22
Tauscht man die Erzeuger und Vernichter nämlich nacheinander durch, so erhält man
jedesmal einen Term mit einer δ-Distribution, die ein Integral eliminiert und die Anwendung des Induktionsanfanges ermöglicht. Am Ende bleibt außerdem ein normalgeordneter Summand, der mit |0i verschwindet. Der letzte Schritt ist nur gültig, wenn sich
die Funktion C(~q1 . . .) unter Vertauschung ihrer Argumente genauso verhält wie ein entsprechender Vielteilchenzustand. Die Überlegungen für Fall 1 und Fall 2 gelten natürlich
genauso für die Vielteilchenzustände die von links an O heran multipliziert werden.
Der dritte Fall ist der für L > N . Hier bleiben nach den Vertauschungen Vernichter übrig,
die auf |0i wirken und so einen Vielteilchenzustand erzeugen |ψr i. Die δ-Distributionen,
R
die bei den Vertauschungen bis dahin angefallen sind, haben alle Integrale d3 ~qj eliminiert, und das entsprechende Argument ~qj in C mit einem der p~i ersetzt. Nun kann das
Produkt aus |ψr i und dem von links kommenden Zustand hψl | gebildet werden. (7) ist
damit bewiesen.
23
Literatur
[1] M.A. Nielsen, I.L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, 2000
[2] J.R. Taylor: Cluster Decomposition of S-Matrix Elements, Phys. Rev. 142 4, 1965
[3] S. Weinberg: The Quantum Theory of Fields, Band 1, Cambridge, 1995
[4] M.E. Peskin, D.V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, 2. Auflage,
Addison-Wesley, Reading, MA, 1996.
[5] L. H. Ryder: Quantum Field Theory, 2. Auflage, Cambridge, 1996
24
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit erkläre ich, Mario Flory, dass ich die vorliegende Arbeit nur mit den angegebenen Quellen bearbeitet habe und erstmalig als eine Prüfungsleistung vorlege.
Ort und Datum:
Unterschrift:
25