Mathematik 3 für Informatik

Gunter Ochs
Wintersemester 2015/16
Mathematik 3 für Informatik
Präsenzaufgaben zum 18.und 19.2.
1. Sei f : D → R mit D = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} und
f (x, y) = x2 · sin(x − 2y) + xy.
(a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen fx und fy und geben Sie den Gradienten von f an der Stelle
(x0 ; y0 ) = (2; 1) an.
(b) Geben Sie die Gleichung für die Tangentialebene von f an der Stelle
(x0 ; y0 ) = (2; 1) an.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Tangentialebene in (x0 ; y0 ) = (2; 1) eine Näherung für f (2, 1; 1, 1).
(d) Bestimmen
Sie die Richtungsableitungen
von f an der Stelle (x0 ; y0 ) = (2; 1) in Richtung der Vektoren
v=
√1
2
1
1
und w =
0, 6
0, 8
.
2. Bei einem rechtwinkligen Dreieck werden die Katheten a = 12 cm und b = 5 cm mit einer Genauigkeit von jeweils
±0, 1 cm gemessen.
Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus
√
(b) der Winkel α = arctan ab
(a) die Hypotenuse c = a2 + b2
berechnen lässt.
3. (a) Bestimmen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion
f (x, y) = ln(x + y) − 13 x3 − y .
(b) Finden Sie alle lokalen Extremwerte von f .
4. Sei f (x, y) = 1 + 3y 2 − y 3 + cos(2x − y).
(a) Berechnen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von f .
(b) Bestimmen Sie den Gradienten und die Gleichung für die Tangentialebene an der Stelle (x0 ; y0 ) = π4 ; 0 .
(c) Berechnen
Sie an der Stelle (x0 ; y0 ) = π4 ; 0 die Richtungsableitungen in Richtung der Vektoren u =
3
4
√1 · (1; 2) und w = (1; 0).
5; −5 , v =
5
(d) Prüfen Sie an den Stellen (x1 ; y1 ) = (0; 0) und (x2 ; y2 ) = (1; 2), ob ein lokales Maximum, ein lokales
Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
5. Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale
Z
Z
Z
Z
3
dx
(d)
3 cos(4x − 5) dx
(a)
(x5 − 3x + 7) dx,
(b) e−2x dx,
(c)
x2
Z
Z
Z
Z
3√
ln x
2
2x
x2
dx, (i)
x · ln x dx
(f) x · e dx,
(g) 2x · e dx,
(h)
x
2
(e)
(j)
Z
Z
(2x + 1) · ex dx,
ex
dx
2ex + 3
6. (a) Bestimmen Sie zwei Stammfunktionen F1 und F2 von f (x) = x4 + 3x − 1 mit F1 (1) = 5 und F2 (2) = −3.
(b) Finden Sie eine Funktion F mit F 00 (x) = x2 − 1 und F (1) = 0 und F 0 (1) = 2.
7. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale
Z 1
Z
(a)
(x5 − 3x + 7) dx, (b)
−2
π/2
Z
2 sin(π − 2x) dx,
(c)
0
Z
π/2
2x · cos 2x dx,
(d)
0
0
Z
(e)
0
1
√
x
x2 + 1
Z
dx,
(f )
1
2
1
√
3
dx
,
7x + 1
cos x1
dx
x2
8. Prüfen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie sie gegebenenfalls:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
x
x
√
√
(a)
e−2x dx, (b)
e−2x dx, (c)
dx, (d)
dx,
2
1
+
x
1
+ x2
0
−∞
0
−∞
Z ∞
Z ∞
Z 1
Z 1
cos x1
dx
ex
−x
√
√
(e)
dx,
(f
)
x
·
e
dx,
(g)
,
(h)
dx
x2
1−x
ex − 1
1
0
0
0