LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN 6. ¨Ubung

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
Prof. Christian Leibold, Franziska Hellmundt,
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
6. Übung
—
BIOLOGIE
Christian Garbers
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
—
19.11.2013
Die Lösungen zu diesem Übungsblatt müssen am 26. November zu Beginn der Vorlesung abgegeben
werden und werden in den Tutorien vom 28. November- 3. Dezember besprochen. Bitte versehen Sie
Ihre abgegebenen Übungsblätter mit dem Namen Ihrer Tutorin/Ihres Tutors und dem Termin
Ihres Tutoriums.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Integration) [3p]
Berechnen Sie folgende elementare Integrale:
Z
3
Z
−p2 dp
(a)
−3
0
Z
(e)
Z
(z + 2)2 dz
Z
−7e−x dx
Z
(x2 − 2 x5 )dx
Z
z2
−π
0
(j)
−1
e
(g)
0
1
x2 + 1
dx
2x
1
3y ln(3)dy
(f)
2
(c)
−1
3
Z
−1
(i)
1
(b)
e−2x dx
Z
2
r−1 dr
1
z3
+
q
dx (h)
1
z3 + 1
2
(k)
−1
Z
(d)
(y 3 − 2y) dy
Z
1
Z
(l)
−2
2e
ln(x)
dx
8
2
(3x2 + 1) dx
0
2. (Integration, Parametersubstitution) [1p]
Berechnen Sie folgende Integrale:
Z e
(a)
ln(x)2 + ln(x) x−1 dx
1
Z
(b)
0
1
1
r dr
1 + r2
3. (Partielle Integration) [1p]
Berechnen Sie folgende Integrale:
Z
2
Z
2 x · ln(x) dx
(a)
1
(b)
1
x ex dx
0
(bitte wenden)
4. (Taylor-Entwicklung) [2p]
Skizzieren Sie die Funktion aus (a).
Entwickeln Sie (a) bis zur zweiten und dritten Ordnung am angegebenen Punkt x0 und skizieren Sie
die beiden Entwicklungen.
Entwicklen Sie die restlichen Funktionen bis zur dritten Ordnung an den angegebenen Punkten x0
(ohne Skizze).
(a)
(c)
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 0
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 0
(b)
(d)
f (x) = 2 x (x + 1)2 , x0 = 1
p
f (x) = x2 + a2 , a > 0, x0 = 1
5. (Extremwertproblem) [1p]
Das Produkt zweier positiven Zahlen sei 42. Bestimmen Sie die Zahlen so, daß ihre Summe minimal
wird und geben Sie diese Summe an!
6. (Integrale) [1p]
Ein rechteckiger Kanal, 5m breit und 100m lang, hat einen unebenen Boden. Alle 20 Meter wurde eine
Tiefenmessung durchgeführt. Benutzen Sie diese Tiefenmessungen um eine endliche Riemannsumme
zu konstruieren mit deren Hilfe Sie das Volumen des Wassers im Kanal schätzen können.
Strecke (m)
Tiefe (m)
0
2,0
20
1,6
40
1,8
60
2,1
80
2,1
100
1,9
7. (Ableitung von cos x) [1p]
d
Zeigen Sie, dass dx
cos(x) = − sin(x) gilt, indem Sie die Reihe des Cosinus
cos(x) =
∞
X
(−1)k
k=0
x2k
(2k)!
ableiten und zeigen, dass die abgeleitete Reihe der negativen Sinus-Reihe
− sin(x) = −
∞
X
k=0
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
entspricht.
8. (Reihen) ******* BONUS [2p] *******
Diskutieren Sie für jede der folgenden Reihen:
(i) Ist die Reihe nicht monoton, monoton steigend/fallend oder sogar streng monoton steigend/fallend?
(ii) Konvergiert die Reihe oder divergiert die Reihe gegen +∞ oder −∞? Vergleichen Sie hierzu die
angegebenen Reihen mit Reihen die Ihnen aus der Vorlesung bekannt sind.
(iii) Ist die Reihe nach oben und/oder nach unten beschränkt? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) io =
o
X
n=1
−
1
2
n +5
(b) bh =
h
X
2
2c
c=1