Diskrete Mathematik TE SS2015 ¨Ubungsblatt №01 Aufgabe 1

Diskrete Mathematik TE
SS2015
Übungsblatt №01
Aufgabe 1. Zeige durch Induktion, daß die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n2
ergibt.
(3 P.)
Aufgabe 2. Finde mithilfe des euklidischen Algorithmus für jedes der folgenden Zahlenpaare (m, n) den größten gemeinsamen Teiler d und Zahlen a und b, sodaß am + bn = d.
(a) (233, 89)
(b) (429, 2015)
(je 2 P.)
Aufgabe 3. Seien m, n ∈ N, sodaß ggT(m, n) = 1. Zeige, daß ggT(m + n, m − n) = 1
oder 2.
(2 P.)
Aufgabe 4. Seien m und n ganze Zahlen. Zeige: wenn ganze Zahlen a und b existieren
mit am + bn = 1, dann ist ggT(m, n) = 1.
(3 P.)
Aufgabe 5. Sei Fn die Folge der Fibonacci-Zahlen, gegeben durch die Rekursion
F0 = F1 = 1
Fn+1 = Fn + Fn−1
Zeige, daß ggT(Fn , Fn+1 ) = 1 für jedes n (Induktion).
1
(2P.)
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Übungsblatt №02
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Aufgabe 6. Zeige: wenn ggT(m, n) = d, dann ist ggT( md , nd ) = 1.
(3 P.)
Aufgabe 7. Zeige durch vollständige Induktion, daß für jede natürliche Zahl n die Zahl
33n−2 + 23n+1
durch 19 teilbar ist.
(3P.)
Aufgabe 8. Zeige, daß mit der Primfaktorzerlegung n = p∈P pνn (p) gilt
Y
ggT(m, n) =
pmin(νm (p),νn (p)) .
Q
p∈P
Überprüfe dies anhand der Beispiele aus Übung 2.
(3 P.)
Aufgabe 9. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen m und n ist
die Zahl definiert durch
kgV(m, n) = min{ ` ∈ N : m ` und n ` } .
Zeige, daß
kgV(m, n) · ggT(m, n) = m · n
(4 P.)
Aufgabe 10. Bestimme alle m, n ∈ N sodaß ggT(m, n) = 18 and kgV(m, n) = 720. (2P.)
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Übungsblatt №03
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Aufgabe 11. Untersuche, welche der folgenden Relationen die Eigenschaften Reflexivität,
Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität, Äquivalenzrelation oder Halbordnungsrelation
erfüllen.
(a) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (a, c), (c, c)}.
(b) X = {a, b, c}, R = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c)}.
(c) X = C, z1 Rz2 ⇐⇒ Re z1 ≤ Re z2 .
(d) Menge X beliebig, Ungleichheitsrelation
x 6= y.
(e) X = N, mRn ⇐⇒ m n
(f) X = N, mRn ⇐⇒ m − n = 5
Aufgabe 12. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Bilde die kleinste Äquivalenzrelation auf A, die die
Elemente (1, 3) und (4, 3) enthält.
Aufgabe 13. Zeige, daß die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind und bestimme die Äquivalenzklassen.
(a) X = R2 ,
(x, y) ∼ (u, v) : ⇐⇒ x − y = u − v
(b) X = R,
x ∼ y : ⇐⇒ x − y ∈ Z
Aufgabe 14. Für die Internationale Standardbuchnummer gibt es zwei Standards.
1. Die alte ISBN-10 hat 10 Ziffern,
x1 x2 x3 · · · x10 ,
wobei x1 , x2 , . . . , x9 ∈ {0, 1, . . . , 9} und x10 ∈ {0, 1, . . . , 9} ∪ {X} wobei das Symbol
X für den Wert 10 steht und die letzte Ziffer x10 eine Prüfziffer ist, sodaß
x1 + 2x2 + 3x3 + · · · + 9x9 + 10x10 ≡ 0
mod 11
Beispiel: 3540257829
2. Die neue ISBN-13 hat 13 Ziffern,
z1 z2 z3 -z4 · · · z13 ,
wobei zi ∈ {0, 1, . . . , 9} und der Präfix z1 z2 z3 entweder 978 oder 979 ist und die
letzte Ziffer z13 eine Prüfziffer ist, die so gewählt wird, daß
z1 + 3z2 + z3 + 3z4 + · · · z11 + 3z12 + z13 ≡ 0
mod 10
(gerade Stellen mit 3 multiplizieren) z.B. entspricht die obige ISBN-10 im neuen
Standard der Nummer 978-3540257820.
(a) Berechne die Prüfziffern der folgenden unvollständigen ISBN
978-3-540-97855
344215842
(b) Erkläre, warum auch die Regel
10x1 + 9x2 + 8x3 + · · · + 2x9 + x10 ≡ 0
mod 11
für die Überprüfung einer ISBN-10 verwendet werden kann.
(3+2 P.)
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Übungsblatt №04
Aufgabe 15. Für welche n ∈ N ist 42 ≡ 1 mod n?
(1P.)
Aufgabe 16. Bestimme [8]−1
91 .
(2P.)
Aufgabe 17. Bestimme alle Lösungen x ∈ Z der Gleichungen
(a) 10x ≡ 5 mod 25
(b) 10x ≡ 6 mod 25
(3P.)
Aufgabe 18. Löse das Kongruenzgleichungssystem
x≡1
x≡2
x≡0
x≡3
mod
mod
mod
mod
5
7
8
11
(3P.)
Aufgabe 19. Löse, wenn möglich, die folgenden Kongruenzgleichungssysteme
x ≡ 1 mod 3
x ≡ 1 mod 3
(a) x ≡ 4 mod 9
(b) x ≡ 3 mod 9
x ≡ 2 mod 10
x ≡ 2 mod 10
(3P.)
Aufgabe 20. Zeige: Wenn a ≡ b mod m und a ≡ b mod n, dann gilt auch a ≡ b
mod kgV(m, n).
(3P.)
Aufgabe 21. Sei x0 eine Lösung des Kongruenzgleichungssystems
x ≡ c1
x ≡ c2
..
.
x s ≡ cs
mod m1
mod m2
mod ms
mit ggT(mi , mj ) = 1 ∀i 6= j.
Zeige, daß die Menge aller Lösungen gegeben ist durch
{x0 + k · m1 · m2 · · · ms : k ∈ Z}
(3P.)
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Übungsblatt №05
Aufgabe 22. Bestimme alle Lösungen der diophantischen Gleichung
27 x − 45 y = 18
(2P.)
Aufgabe 23. Berechne 231 mod 2925.
Hinweis:
1. 2925 in Primfaktoren pki i zerlegen.
2. 231 mod pki i für alle Primfaktoren berechnen.
3. Die Lösung mit dem chinesischen Restsatz ermitteln.
(3P.)
Aufgabe 24. Welche der folgenden Strukturen (X, ◦) bilden Halbgruppen, Monoide,
Gruppen? In welchen gilt das Kommutativgesetz?
(a) (Q, ◦) mit x ◦ y = x + 2y
(b) (N, ◦) mit x ◦ y = min(x, y).
(c) Sei U eine Menge, und X = P(U ) die Potenzmenge
X = {A : A ⊆ U }
ausgestattet mit der Verknüpfung
A◦B =A∩B
(d) X wie vorher mit der Verknüpfung
A ◦ B = A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A)
(e) X beliebig mit der Verknüpfung
a◦b=b
für alle a, b ∈ X.
(je 2P.)
Aufgabe 25. (a) Sei (G, ◦) eine Gruppe und x0 ∈ G. Zeige, daß die Abbildung
f :G→G
x 7→ x0 ◦ x
bijektiv ist.
(b) Folgere daraus, daß die Zahlen a, 2a,. . . , (p − 1)a alle verschiedene Reste modulo p
haben, wenn p eine Primzahl und a 6≡ 0 mod p ist.
(3 P.)
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Übungsblatt №06
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Aufgabe 26. Berechne ohne Taschenrechner
2014
(a) [3](2014 ) in Z98
(b) ([14]2014 )2014 in Z60
Hinweis: Sollte der Satz von Euler-Fermat nicht direkt anwendbar sein, den chinesischen
Restsatz wie in Aufgabe 23 anwenden!
(je 3P.)
Aufgabe 27. Bestimme die beiden letzten Ziffern in der Dezimalentwicklung von 9123456789 .
(3P.)
Aufgabe 28. Sei p eine Primzahl.
(a) Zeige, daß die Gleichung x2 ≡ 1 mod p nur die Lösungen x ≡ 1 mod p und x ≡ −1
mod p hat.
(b) Zeige, daß (p − 1)! ≡ −1 mod p
(je 3P.)
Aufgabe 29. Im folgenden verschlüsselten Text wurde je ein Caesar-Schlüssel für die
Buchstaben an geraden und ungeraden Stellen verwendet:
KZJHQJOTGFUPPFEEVTQEGOKZJYKKWKFTGFUPPFEEVKKQYBTFE
EHXJOYBKPUKKZJQYLJFPJKZJTWKFBTQUACPUFEEHOQBJIKZJYKK
(Leerzeichen wurden vorher entfernt)
(2P.)
Aufgabe 30. Zu einem Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch seien folgende Daten bekannt:
g=5
m = 21
p = 23
n=6
Bestimme wenn möglich die geheimen Parameter a, b und den Schlüssel r!
(3P.)
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Übungsblatt №07
Aufgabe 31. Sei n ∈ N. Zeige: Wenn für alle x ∈ {1, 2, . . . , n − 1} gilt, daß xn−1 ≡ 1
mod n, dann ist n eine Primzahl.
Hinweis. Widerspruchsbeweis führen und zeigen, daß die Beziehung xn−1 ≡ 1 mod n für
Teiler von n nicht gelten kann.
(3P.)
Aufgabe 32. Die Zahlenfolge (944, 796, 714) wurde mit dem RSA-Algorithmus mit öffentlichem Schlüssel
(m = 1081, r = 675)
verschlüsselt.
Finde den privaten Schlüssel s und entschlüssle die Nachricht (Die Buchstaben sind mit
der Konvention aus der Vorlesung codiert).
(3P.)
Aufgabe 33. Sei m = pq und ggT(r, ϕ(m)) = 1. Aus dem euklidischen Algorithmus
folgt, daß es ein s ∈ Z gibt sodaß rs ≡ 1 mod ϕ(m). Warum stimmt die Behauptung aus
der Vorlesung, daß s ∈ N, d.h. s > 0, gewählt werden kann?
(2P.)
Aufgabe 34. Das RSA-Verfahren kann auch für digitale Unterschriften verwendet werden, und zwar auf folgende Weise.
1. B erstellt ein Schlüsselpaar (r, s) und gibt den öffentlichen Schlüssel (m, r) bekannt.
2. B schickt eine unverschlüsselte Botschaft x1 x2 . . . xn zusammen mit der mit dem
inversen Schlüssel s verschlüsselten Botschaft y1 y2 . . . yn = g(x1 )g(x2 ) . . . g(xn ).
(a) Erkläre, wie A feststellen kann, daß die Botschaft x1 x2 . . . xn unverfälscht angekommen
ist und wirklich von B stammt. Was müßte ein Angreifer tun, um eine Botschaft zu
fälschen?
(b) Sei m = 667, r = 5, der öffentliche Schlüssel von B. Stelle fest, welche der folgenden
signierten Botschaften echt sind und welche nicht.
(a) Botschaft x1 x2 x3 = (111, 112, 113), Signatur y1 y2 y3 = (194, 603, 201)
(b) Botschaft x1 x2 x3 = (114, 115, 116), Signatur y1 y2 y3 = (298, 115, 116)
(c) Botschaft x1 x2 x3 = (117, 118, 119), Signatur y1 y2 y3 = (892, 511, 611)
(3+2P.)
Aufgabe 35. Inspektor D befragt drei Verdächtige – A, B und C – für eine Tat. Er weiß,
daß genau eine der drei Personen schuld ist und jede Person einmal lügt und einmal die
Wahrheit sagt.
A sagt: Ich war es nicht. B hat es getan.
B sagt: Ich war es nicht. Ich weiß, daß C es getan hat.
C sagt: Ich war es nicht. B weiß nicht wer es war.
Wer hat es getan?
(3P.)
YYY
Hinweis: Der Computer darf für größere Rechnungen verwendet werden, wenn die Vorgangsweise (evtl. auch Code) genau erläutert wird.
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Übungsblatt №08
Aufgabe 36. (a) Sei (G, ◦) eine Gruppe und g ∈ G. Zeige, daß hgi = {g n : n ∈ Z} eine
Untergruppe von G bildet.
(b) Ein Element g ∈ G heißt primitiv wenn hgi = G ist. Bestimme alle primitiven Elemente der multiplikativen Gruppe (Z37 \ {[0]}, ·).
(c) Seien p ∈ P und g ∈ N die öffentlichen Parameter in einem Diffie-Hellman Schlüsselaustausch und m(= g a ) und n(= g b ) die öffentlich ermittelten Zahlen.
Zeige, daß der resultierende geheime Schlüssel im Durchschnitt hmi ∩ hni der Untergruppen hmi und hni der multiplikativen Gruppe G = (Zp \ {0}, ·) liegen.
(d) Erläutere anhand des Beispiels p = 37, g = 2, a = 6 und b = 32, wie man mithilfe der
obigen Überlegungen die Werte des geheimen Schlüssels eingrenzen kann, ohne a und
b zu erraten.
Diese Schwäche wird als Subgroup Confinement Attack bezeichnet.
(2+2+2+2P.)
Aufgabe 37. Angesichts des Rechenaufwands könnte man auf die Idee kommen, im
RSA-Verfahren kleine Schlüssel r zu verwenden. Das kann zu Problemen führen, wie
die folgenden Überlegungen zeigen. Eine Bank verteilt die öffentlichen Schlüssel (m1 , r),
(m2 , r), (m3 , r) wobei r so klein ist, daß für alle Zahlen x aus dem Codierungsbereich gilt
xr < m1 · m2 · m3 .
Wenn der Angreifer weiß, daß die Kunden A1 , A2 und A3 jeweils die gleiche Nachricht a
zu c1 = ar mod m1 , c1 = ar mod m2 , c3 = ar mod m3 verschlüsselt haben, dann kann
nur mit Kenntnis der öffentlichen Schlüssel und der verschlüsselten Botschaften c1 , c2 , c3
die Nachricht a mit Hilfe des chinesischen Restsatzes ermittelt werden.
(a) Erkläre, wie das gehen könnte. Welche Bedingung muß erfüllt sein, damit diese Attacke
funktioniert?
(b) Führe die Vorgangsweise anhand des Beispiels mit den Schlüsseln m1 = 319, m2 = 299,
323 und jeweils r = 3 mit den Botschaften
a3 ≡ 80
mod m1
a3 ≡ 235
mod m2
a3 ≡ 121
mod m3
und ermittle a, ohne die inversen Schlüssel zu berechnen.
Hinweis: Computer erlaubt!
(3P.)
Aufgabe 38. Formalisiere die folgenden Schlüsse, stelle jeweils fest, ob sie korrekt sind
und wenn ja, führe den formalen Beweis.
(a) Wenn die Begleitmusik stimmt, dann läßt Uwe mit sich reden. Uwe läßt nicht mit sich
reden, also stimmt die Begleitmusik nicht.
(b) Wenn Josef größer ist als Werner, dann ist Frank kleiner als Arnold. Wenn Josef und
Susi gleich groß sind, dann ist Josef größer Werner. Frank ist nicht kleiner als Arnold,
daher sind Josef und Susi nicht gleich groß.
(c) Wenn es diese Nacht geregnet hat, so sind die Spuren verwischt worden. Es hat diese
Nacht nicht geregnet. Folglich sind die Spuren nicht verwischt worden.
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Übungsblatt №09
Aufgabe 39. Formalisiere die folgenden Schlüsse, stelle jeweils fest, ob sie korrekt sind
und wenn ja, führe den formalen Beweis.
(a) Das Bruttosozialprodukt wird im kommenden Jahr nicht weiter anwachsen, oder der
Export wird steigen. Das Bruttosozialprodukt wird aber weiter wachsen. Somit wird
auch der Export weiter steigen.
(b) Wenn der Vorsitzende männlich ist, dann ist der Schriftführer weiblich, wenn auch
der Kassenwart männlich ist. Also: Wenn Kassenwart und Schriftführer männlich sind,
dann ist der Vorsitzende weiblich.
(je 2P.)
Aufgabe 40. Im ersten Teil von Goethes Faust heißt es in der 2. Studierzimmer-Szene
Der Philosoph, der tritt herein
Und beweist Euch, es müßt’ so sein:
Das Erst’ wär’ so, das Zweite so,
Und drum das Dritt’ und Vierte so;
Und wenn das Erst’ und Zweit’ nicht wär’,
Das Dritt’ und Viert’ wär’ nimmermehr,
Präzisiere diese Argumentation unter Verwendung von Klammern. Wie muß man Mephisto korrigieren, damit daraus eine Tautologie entsteht?
(2P.)
Aufgabe 41. Berechne die Wahrheitstabelle der Formel
(A ∧ (B → (C ∨ (A ∧ (¬(A ↔ (B ∨ C)))))))
(2P.)
Aufgabe 42. Bestimme eine logische Formel Ψ, die nur die Verknüpfungen ¬ und ∧
verwendet und die folgende Wahrheitstafel besitzt:
A
1
1
1
1
0
0
0
0
B C Ψ
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(2P.)
Aufgabe 43. Formalisiere die folgenden Aussagen mittels Aussagenlogik:
• Von A, B und C gilt genau eines.
• Von A, B und C gelten genau zwei.
• Von A, B und C gilt mindestens eines.
(2P.)
Aufgabe 44. Beweise mit den Regeln des logischen Schließens den Modus Tollens
((P → Q) ∧ ¬Q) → ¬P.
(3P.)
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Übungsblatt №10
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Aufgabe 45. Zeige mit den Regeln des logischen Schließens
A → (B → C) ⇐⇒ B → (A → C)
(3P.)
Aufgabe 46. Bringe die Formel A → (B ↔ C) auf
(a) n-disjunktive Normalform
(b) n-konjunktive Normalform
(je 2P.)
Aufgabe 47. Bestimme durch algebraische Manipulationen eine
(a) KNF
(b) DNF
(nicht unbedingt n-KNF/DNF) der logischen Aussageformel
((A → B) ∧ (C ↔ D)) → (B ∨ E)
(je 2P.)
Aufgabe 48. Ein Turmdiagramm ist ein Quadrat aus n × n Feldern, die so markiert
werden, daß in keiner Zeile und keiner Spalte mehr als eine Markierung vorkommt, wie
im folgenden Beispiel
R
R
R
R
(a) Formuliere die Bedingungen als logische Aussagen in Variablen {Aij : i, j ∈ {1, 2, . . . , n}}
(b) Formuliere zusätzlich die Bedingung, daß in jeder Zeile und in jeder Spalte mindestens
eine Markierung vorkommt.
(4P.)
Aufgabe 49. In der Fuzzy-Logik werden nicht nur die Wahrheitswerte 0 und 1, sondern
beliebige Werte im Intervall [0, 1] zugelassen. Eine Belegung ist daher eine Funktion β :
V → [0, 1]; die logischen Operationen sind wie folgt definiert:
β(¬A) = 1 − β(A)
β(A ∧ B) = min(a, b)
β(A ∨ B) = max(a, b)
Zeige, daß die Regeln von de Morgan
¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A) ∧ (¬B)
auch für die Fuzzy-Logik gelten, d.h., das links und rechts jeweils das gleiche Ergebnis
herauskommt.
(3P.)
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Übungsblatt №11
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Aufgabe 50. Zeige, daß in einem ungerichteten Graphen G die Relation
x R y ⇐⇒ ∃ Weg von x nach y
eine Äquivalenzrelation ist. Welche Relation erhält man, wenn man “Weg” durch “Pfad”
ersetzt?
(3P.)
Aufgabe 51. Zwei Graphen G1 und G2 heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung
f : V (G1 ) → V (G2 ) zwischen beiden Knotenmengen gibt, sodaß [x, y] ∈ E(G1 ) ⇐⇒
[f (x), f (y)] ∈ E(G2 ). Isomorphe Graphen werden üblicherweise identifiziert.
Die folgenden Bilder zeigen sechs Graphen, von denen jeweils zwei zueinander isomorph
sind. Finde die drei isomorphen Paare.
(3P.)
Aufgabe 52. Bestimme alle nicht-isomorphen Graphen mit n = 2, 3, oder 4 Knoten
(nicht-zusammenhängende Graphen miteingeschlossen).
Aufgabe 53. Die Gradfolge eines Graphen ist die Folge der Grade der einzelnen Knoten,
z.B. haben die Graphen aus Beispiel 51 alle die Gradfolge (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3).
(a) Bestimme alle möglichen Gradfolgen eines Graphen mit vier Knoten (nicht-zusammenhängende Graphen miteingeschlossen).
(b) Ist es möglich, Graphen (ohne Schleifen und Mehrfachkanten) mit den folgenden Gradfolgen zu konstruieren? Bestimme jeweils die Gesamtanzahl der Kanten!
(α) (3, 3, 3, 3)
(β) (3, 3, 3)
(γ) (3, 3, 3, 2, 1)
(δ) (1, 1, 1, 1, 1)
(c) Finde zwei zueinander nicht isomorphe Graphen mit der Gradfolge (2, 2, 3, 3, 3, 3).
(d) Zeige, daß die Gradfolge eines Graphen nicht aus lauter verschiedenen Zahlen bestehen
kann, d.h., in jedem Graphen haben mindestens zwei Knoten den gleichen Grad.
NB: Schleifen sind nicht erlaubt.
(je 2P.)
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Übungsblatt №12
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P1
P3
P5
P7
P2
P4
P6
P8
Zu Aufgabe 55
Zu Aufgabe 56
Aufgabe 54. Ein Dominospiel besteht aus Spielsteinen mit allen möglichen (ungeordneten) Kombinationen von zwei Symbolen aus einer gegebenen Symbolmenge. Ist es möglich,
alle Dominosteine gemäß den Dominoregeln in einem Kreis anzuordnen, wenn
erlaubt sind?
(a) Die Symbole , , , . . . ,
(b) Die Symbole , , . . . ,
erlaubt sind?
(2P.)
Aufgabe 55. Bestimme die Adjazenzmatrix des gerichteten Graphen in der obigen Abb.
und bestimme die Anzahl der Wege der Länge 7 von rechts oben nach links unten. (3P.)
Aufgabe 56. Gegeben sei das Miniatur-Internet in der obigen Abbildung. Erstelle die
Google-Matrix und bestimme näherungsweise den Pagerank aller Seiten durch Iteration
(50-100 müßten reichen) mit Hilfe eines Computeralgebrasystems, z.B. sage (http://
www.sagemath.org), Maxima, etc., und zwar zunächst mit α = 1, dann mit α = 0.85.
Was fällt auf? Wie kann man das Phänomen erklären?
(4P.)
Aufgabe 57. Wieviele Bäume enthält ein Wald mit n Knoten und m Kanten?
(2P.)
Aufgabe 58. Zeichne alle nicht isomorphen Bäume mit 7 Knoten.
(2P.)
Aufgabe 59. Bestimme einen
(a) BFS-Spannbaum
des Graphen
(b) DFS-Spannbaum
(je 1P.)