Mitschrieb zu Nichtlineare σ-Modelle und Supersymmetrie:

Mitschrieb zu Nichtlineare σ-Modelle
und Supersymmetrie:
Dr. Lang
Vorlesung Sommersemester 2005
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 30. Oktober 2006
Mitschrieb der Vorlesung Nichtlineare σ-Modelle und Supersymmetrie
von Herrn Dr. Lang im Sommersemester 2005
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 σ-Modell (Lineares σ-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lineares σ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nichtlineares σ-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Andere Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Effektive Lagrangefunktion (Phänomenologische Lagrangefunktion)
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5
5
5
7
7
8
8
2 Chirale Symmetrie und nichtlineare Darstellungen
2.1 SU(2) ⊗ SU(2) und π-N-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Trennung in Links-Rechts-Spinorteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
11
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3 Chirale Symmetrie und nichtlineare Darstellung
13
3.1 SU(2) ⊗ SU(2) und π-Nukleon-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Nukleon-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Massenterme der u-,d-Quarks (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Nichtlinear dargestelltes Pion-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.4 Nichtlineares Pion-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.5 Yukawa-Kopplung, Pion-Nukleon-System in nichtlinearer Version . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Sanfte Pion-Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Pion-System ohne Nukleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Anpassung von F/2 = σ 0 (Radius von S 3 , ~π = F ζ)
3.2.3 Pion-Pion-Streuamplitude in ν = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Masse der Pionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Einschub: Goldstone-Theorem bei kleinen Störungen der Symmetrie, die spontan gebrochen wird 27
3.2.6 Pion-Nukleon-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.7 Anpassung von gA an das gA vom β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Nichtlineare σ-Modelle und Riemann-Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Riemannraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Symmetriegruppen und Killingvektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Nichtlineares σ-Modell auf G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Nichtlineare σ-Modelle auf G/H-Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Nichtlineare σ-Modelle im Rahmen von Supersymmetrie
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Poincare-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Lorentzgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Vier-Komponentennotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Poincare-Supersymmetrie für N = 1 und D = 4 . . . . . .
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41
41
42
42
43
44
3
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Einleitung
1.1.1
σ-Modell (Lineares σ-Modell)
Schwinger: 1957, Gell-Mann und Levy: 1960, starke Wechselwirkung, Stromalgebra
Die Pionen π± , π0 bilden ein Isospintriplett und die Nukleonen ein Isospindublett. Die Symmetrie, welche den
Isospin beschreibt, ist die SU(2). Mit effektiven (phänomenologischen) Wirkungen beschrieb man Prozesse,
welche eigentlich nicht bekannt waren.
mπ ∼ 140
¢
MeV ¡
1 GeV = 109 eV ⇔ 0, 2 fm = 0, 2 · 10−15 m nach Heisenberg
c2
mp ≈ 938 MeV ≈ 1 GeV
Bei der Pion-Nukleon-Streuung treten Resonanzen auf. Eine wichtige Resonanz ist m% ≈ 700 MeV
c2 . Die Symmetrie, welche dieser Theorie zu Grunde lag, war die SU(2) ⊗ SU(2)-Symmetrie. Man spricht hierbei auch von
der chiralen Symmetrie. Dabei handelt es sich um Lie-Gruppen. Wegen der Bedingung |α|2 + |β|2 = 1 gibt es
drei reelle Parameter. Alle Matrizen der Gruppe SU(2) lassen sich darstellen wie folgt:
µ
¶
α β
mit α ≡ α∗ und |α|2 + |β|2 = 1
−β α
Die Gruppenstruktur lebt“ auf der Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel, also auf einer dreidimensionalen
”
Hyperfläche.
SU(2)lokalSO(3)
'
Eine Gruppe SU(n) besitzt n2 − 1 und eine Gruppe SO(n) n(n−1)
Generatoren. Die Gruppe SU(2) ⊗ SU(2)
2
besitzt folglich sechs reelle Parameter. Diese Gruppe hat mit der Drehgruppe in vier Dimensionen, also SO(4)
zu tun. Die Matrizen der Gruppe SO(4) wirken auf vierdimensionale Vektoren (Quartette) der Form:
 
π1
π2 

~π = 
π3 
σ
~τ
· ~π (x)
2
x sei Element des Minkowski-Raums in vier Dimensionen, den wir mit M4 bezeichnen wollen. Wir verwenden
die Metrik (1, -1, -1, -1). Das Multiplett transformiert linear unter SO(4). Die Transformation für ein typisches
Isospin-Triplett lautet:
µ
¶
~τ
0
φi = exp i α
~ φi
2
Σ(x) = σ(x)12 +
Wir gehen nun aus von folgender Lagrangedichte:
L=
m2 2
λ
∂
1
∂a φI ∂ a φI −
φI − (φ2I )2 + . . . mit ∂a ≡
2
2
4!
∂xa
5
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Die φ sind bosonische Felder mit Spin 0. Würde man höhere Terme hinzunehmen, so wäre die Quantenfeldtheorie, die man damit betreibt, nicht renormierbar (nicht renormierbare Kopplungen). Die Wirkung erhält
man durch Integration über vier Dimensionen:
Z
S = d4 x L wobei [S] = 0 wegen ~ = c = 1
Man müsste bei höheren Termen Kopplungen mit negativen Dimensionen einführen. Man führte nun unter
dem Begriff sanfte Brechung einen weiteren Term ein, nämlich L = cσ(x). Dieser Term ist isospininvariant,
jedoch nicht invariant unter SU(2) ⊗ SU(2). Die Pionen sind unter Paritätstransformationen pseudoskalare
Teilchen.
Stromalgebra: PCAC (partially conserved axial current)
~ a (x) ∼ Fπ mπ~π (x)
∂a A
Geht die Pionmasse gegen Null, so ist der Axialstrom erhalten und man hat wieder die SU(2)⊗ SU(2)Symmetrie. Fπ ist die Zerfallskonstante des Pions, nach π 7→ µνµ . Man bezeichnet solche Zerfälle als semileptonisch, weil teilweise stark und schwach wechselwirkende Teilchen vorkommen.
GπN =
2mN gA
Fπ
gA ist die Kopplungskonstante des schwachen β-Zerfalls n 7→ p+e+νe . Fπ liegt bei etwa 184 MeV, gA bei 1,257
und GπN bei etwa 13,5 (links 12,7). Man kann zeigen, dass die Theorie renormierbar ist. Aber es war nicht
klar, dass keine neuen chiralen Symmetriebrechungsterme in höheren Ordnungen eingeführt wurden. Dies ist
im nachhinein der Grund, warum man von der sanften Brechung spricht. Der Beweis wurde von B. W. Lee
(1969) und Callan, Symanzik (1970) erbracht (Ward-Takashi-Identitäten).
Nambu (1960) und Nambu-Jona-Lasinio haben sich mit dem linearen σ-Modell beschäftigt und festgestellt,
~
dass spontan gebrochene Symmetrien auftauchen. Goldstone hat 1960 die Goldstone-Felder eingeführt, π
als Goldstone-Boson der spontanen Symmetriebrechung von SU(2) ⊗ SU(2) auf SU(2)-Isospinraum.
Beispiel: Stab, Mexikanerhutpotential“ (spontane Symmetriebrechung):
”
Nimmt man einen bestimmten Punkt des Minimums, so ist die Symmetrie spontan gebrochen. Eine spontane
Brechung von kontinuierlichen Symmetrien führt zu flachen Richtungen im Potential. (Goldstonetal) Dieses
Tal entspricht einer masselosen Anregung. Die Symmetrie U(1) (Drehsymmetrie) ist hier spontan gebrochen;
es gibt keine Restsymmetrie. SU(2) ⊗ SU(2) brechen spontan. Die Symmetrie wird heruntergebrochen auf
SU(2)-Symmetrie (Isospin).
φ0I = (0, 0, 0, σ)|
Es bleiben dann noch drei reelle Parameter die sogenannten Goldstone-Richtungen. Ist G eine kompakte LieGruppe, die spontan gebrochen wird zur neuen Lie-Gruppe H < G, so ist die Zahl der Goldstonebosonen
dimG − dimH.
Ab 1960 überlegt man sich, ob eine Theorie, welche die Quarks miteinbezieht, SU(2) ⊗ SU(2)-Symmetrie
hat (Gell-Mann, 8-facher Weg, Zweig). Diese Theorie ist die Quantenchromodynamik QCD (nach GellMann, H. Fritzsch, Leutwyler (1973)). Man konnte die starke Wechselwirkung mit Quarks u, d (s) (c, s,
t) beschreiben. Ist die chirale Symmetrie sanft gebrochen?
~ = (π1 , π2 , π2 , σ)| zu beseitigen (auch gA = 1). Dies
Von der Phänomenologie war es nötig, dass σ im Vektor π
leistet das nichtlineare σ-Modell. Die Lagrange-Funktion soll immer noch die SU(2) ⊗ SU(2)-Symmetrie
aufweisen. Man kompaktifiziert die φI -Werte auf S 3 : φ2I = 1 (vierdimensionale Kugeloberfläche). Dies ist
beispielsweise möglich durch die stereographische Projektion:
S 3 7→ R3 , (S 2 7→ C)
Dadurch sieht die Lagrange-Funktion folgendermaßen aus:
Z
∂a~π (x)
1
d4 x Da~π Da~π , (Da~π ) =
Lπ =
2
1 + p~F·~2p
π
Z
Lπ =
d4 x (∂a~π ∂ a~π + ∂a~π + ∂ a~π + . . .)
Der springende Punkt sind die Goldstonefelder ~π mit ∂a~π . Goldstonefelder auf (Rechts-)Nebenklassen
G/H
6
1.2. LINEARES σ-MODELL
1.2
Lineares σ-Modell
Dieses wird beschrieben durch eine Lagrangedichte der Form:
L=
1
m2 2 λ 2 2
∂a φI ∂ a φI −
φ − (φ ) + . . .
2
2 I 4 I
Die zugehörige Lie-Gruppe ist SU(2) ⊗ SU(2) ' SO(4). x0 und xi mit i = 1, 2, 3 sind Element vom
∧
lokal
Minkowski-Raum M4 mit der Metrik ηab = (1, −1, −1, −1), wobei I = i, 4 und i = 1, 2, 3. Höhere Terme
∧
führen zu einer nichtrenormierbaren Theorie und werden deshalb weggelassen. Es ist φI = (πI , σ). Durch
4
Kompaktifizierung des R wollte man das σ loswerden, da dies in der phänomenologischen Theorie nicht
begründet werden konnte. Man packt die Werte der Felder auf eine Kugeloberfläche im vierdimensionalen
Raum (siehe Blatt 1, Aufgabe 2, stereographische Projektion C = C ∪ {∞}). Außerdem wird φ2I = 1 gefordert.
Die Pion-Felder ~π werden nichtlinear transformiert bezüglich der chiralen Symmetrie SU(2) ⊗ SU(2), aber
bezüglich der Isospinuntergruppe SU(2) transformiert es immer noch linear. Man spricht von Realisierung“.
”
In dieser Parametrisierung findet man:
Z
Z
1
1
∂a~π (x)
4
a
S=
d x ∂a~π ∂ ~π 7→ S =
d4 x Da~π Da~π mit Da =
π
2
2
1 + ~πF·~
π
Da ist die kovariante Ableitung bezüglich der SU(2) ⊗ SU(2). Diese Theorie ist nicht renormierbar.Es gibt
auch andere Parametrisierungen. Allgemeiner: G (kompakte, einfach zusammenhängende Lie-Gruppe) sei eine
Transformationsgruppe. Die Darstellungen sind im allgemeinen nichtlinear, aber so, dass H < G linear dargestellt wird. Coleman, Wess, Zumino, Callan haben dies in den späten 60er Jahren studiert (CWZ, CCWZ).
Es sei G/H, dann nennt man gH, wobei g eine feste Zahl ∈ G ist, eine Rechtsnebenklasse (in der Mathematik
jedoch Linksnebenklasse). Ein bestimmter Vakuumerwartungswert bricht beispielsweise die U(1)-Symmetrie
des Mexikanerhutpotentials“.
”
1.3
Nichtlineares σ-Modell
Es gibt eine Abbildung der xa ∈ M4 (Raum-Zeit) durch eine Abbildung φi mit i = 1, . . ., n auf eine Mannigfaltigkeit Mn . Die Goldstonefelder (G/H: dim G - dim H, 3 + 3 − 3 = 3 Pionen) φi mit i = 1, . . ., n sind
reelle Skalarfelder (Spin 0).
Z
1
S[φ] =
d4 x ∂a φi ∂ a φj gij (φ)
2
Die φi leben im Raum Mn und die Ableitungen im entsprechenden Tangentialraum. gij ist eine symmetrische
Metrik. S[φ] ist invariant unter einer allgemeinen Koordinatentransformation φ0i = φ0i (φ) (nach K. Meetz,
1968).
Anderes Beispiel: Stringtheorie
Die zugehörige Lagrangefunktion für den bosonischen Teil lautet:
Z
√ αβ
1
2
d
ξ
hh ∂α X µ (3)∂β X ν (3)Gµν (X)
4πα0
ξ α = (σ.τ ) mit α = 1, 2 bilden eine zweidimensionale Weltfläche (world sheet). X µ sind die Zielfunktionen;
diese leben im Targetraum.
Z
√
d2 ξ hεαβ ∂α X µ (3)∂β X ν (3)Bµν (X)
Es gibt also auch hier die σ-Struktur, wenn man den Raum auffasst als Riemann-Mannigfaltigkeit.
7
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.3.1
Andere Parametrisierung
Wir werden Strukturen der Form
¡
¢
U (x) = exp iφi (x)Ti
verwenden, wobei die φi Goldstone-Felder seien. Dabei handelt es sich um ein Lie-Algebra-wertiges U (x).
h
h
Tk , wobei Ti† = Ti und die Cij
sogenannte Strukturkonstanten sind, bilden die Lie-Algebra. Die
[Ti , Tj ] = iCij
unter der Transformation
−1
−1
U 0 (φ) = gR U (φ)gL
mit gR ∈ SU(2)R und gL
∈ SU (2)L
invariante Wirkung sieht folgendermaßen aus:
Z
F2
S[U ] = π
d4 x Sp(∂a U ∂ a U −1 )
16
Dies ist eine andere Form, wie man σ-Modelle aufschreiben kann (eichtheorieartig). Die Nichtlinearität kommt
durch die Nebenbedingung det U = 1.
1.3.2
Effektive Lagrangefunktion (Phänomenologische Lagrangefunktion)
Man schaut die nichtlineare Lagrangefunktion in niedrigster Ordnung Störungstheorie an. Man spricht von
der Baumgraphennäherung (Tree-Näherung). In dieser Näherung betrachtet man Feynman-Diagramme ohne
Schleifen. Man erhält daraus Resultate der Stromalgebra für niederenergetische π-Streuung. Weinberg (1979):
Nimm alle Symmetrien (Lorentz, chirale Symmetrie) und schreibe die Lagrangedichte auf:
L=
Da~π Da~π
+ höhere Ordnungen (Da~π Da~π )
1 − ~π2·~π
Man macht dann eine Entwicklung in E
Λ , wobei Λ die Skala ist, bei der eine fundamentale Theorie gültig
wird. In der chiralen Symmetrie nimmt man Λ = W % ≈ 700 MeV an. Die nichtlinearen σ-Modelle sorgen
für sich selbst. Führende Ordnung für Niederenergie: Treenäherung. (Die π-Amplituden sind reell, was die
Unitarität verletzt.) Man führt die chirale Störungstheorie ein, um die Unitarität zu verbessern. Gasser
und Leutwyler (1984), Meißner (1995) und Ecker (1994) haben auf diesem Gebiet wichtiges geleistet.
Ein frühes Beispiel zur Quantenelektrodynamik ist die Photonstreuung mit E < me < Λ.
·
¸
2α2 ³ ~ 2 ~ 2 ´2
~
~
Leff = LHeisenberg−Euler =
E −B
+ ZE · B + . . .
45m4e
8
Kapitel 2
Chirale Symmetrie und nichtlineare
Darstellungen
2.1
SU(2) ⊗ SU(2) und π-N-System
Die SU(2) ⊗ SU(2) ist eine approximative Symmetrie der starken Wechselwirkung [beispielsweise Quantenchromd
u
modynamik: u-, d-Quarks (leichter): m
ms ≈ 0, 03, ms ≈ 0, 05]. Die zugehörige Lagrangedichte hat folgende
Struktur:
L = iuγ a Da u + idγ a Da d + . . .
Dies ist ein Teil der QCD-Lagrangefunktion ohne Massenterme und ohne Berücksichtigung des s-Quarks. γ a
∧
sind die Dirac-Matrizen, für die die Clifford-Algebra C4 gilt: {γ a , γ b } = 2η ab , wobei η = diag(1, −1, −1, −1)
und a = 0, 1, 2, 3. Da u ist die kovariante Ableitung bezüglich der SU(3)-Farbsymmetrie. qα,A mit q ∈
{u, d, . . .}, A ∈ {1, 2, 3} ist ein SU(3)-Triplett, wobei der Index A für die Farbe steht. Da u die außerdem die
kovariante Ableitung bezüglich der Eichtheorie (Eichvektorfelder (Gluonen)). ∂a ≡ ∂x∂ a ist die Viererableitung
im Minkowski-Raum.
Wir betrachten nun das Dublett N und folgende Transformation:
µ ¶
· µ
¶¸
~τ
~τ
u
N=
, N 0 = exp i α
~ · 14 + β~ · γ 5 N mit γ 5 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
d
2
2
τ sind die Pauli-Matrizen, für die gilt:
·
¸
µ i ¶†
k
τi τj
τ
τi
ijk τ
,
= iε
mit
=
2 2
2
2
2
µ
¶
µ
¶
µ
0 1
0 −i
1
τ1 =
, τ2 =
, τ3 =
1 0
i 0
0
¶
0
, ε123 = +1
−1
~ sind reelle Parameter (6=3+3), die von x unabhängig sind (ungeeicht!). Die τ i erfüllen analog zu den
α
~, β
©
ª
γ-Matrizen eine Clifford-Algebra, nämlich τ i , τ j = 2δ ij 12 (C3 ), außerdem ist deren Spur Null.
Wir wählen nun eine spezielle Darstellung der Dirac-C4 , so dass die γ 5 Matrix diagonal wird. Man bezeichnet
diese Darstellung als Weyl-Darstellung:
µ
µ
¶
¶
0 σa
1 0
a ∧
0
i
i
5
a ∧
0
i
i
γa =
σ
=
(σ
=
1
,
σ
=
−τ
);
γ
=
mit
σ
=
(σ
=
1
,
σ
=
τ
),
, (γ 5 )2 = 1
2
2
σa 0
0 −1
!#
Ã
"
(q)
χα
∧
a α̇β
a
α : SL(2, C), α = (α, α̇ ↑), (σ )αβ̇ , (σ ) , qα =
α̇
ψ (q)
SL(2, C)/Z2 = {12 , −12 } ' L↑+ = SO(1, 3) ↑
Dies ist die eingeschränkte Lorentz-Gruppe (= eigentliche und orthochrone). q bedeutet q † A, wobei A eine
Matrix ist, die zwischen den verschiedenen Darstellungen vermittelt: Aγ a A−1 = (γ a )† . Wir werden für A die
Matrix γ 0 verwenden.
∧
q = (χ(q)α , ψ
(q)
α ),
χα = εαβ χβ , ε12 = ±1
9
KAPITEL 2. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNGEN
SU(2)/Z2 ' SO(3)
Beachte die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel:
·
¸
i
exp(A) exp(B) = exp A + B − [A, B] + . . .
2
LN = iN γ a ∂a N + . . . mit mN = 0
Welche Symmetrie besitzt diese Lagrangedichte? Dazu betrachten wir:
· µ
¶¸
µ
· µ
¶¸ ¶
~τ
~τ 5 †
~τ
~τ 5 †
0
0†
†
−1
~
~
N = N A = N exp −i α
~ 1 + β (γ )
~ 1 + β (γ )
A = N A exp −i α
A =
2
2
2
2
· µ
¶¸
~τ
~τ
= N exp −i α
~ 1 − β~ γ 5
2
2
Dies folgt aus Aγ 5 A−1 = −(γ 5 )† und A−1 (γ 5 )† A = −γ 5 , was als Übung gezeigt werden kann.
¶¸
¶¸
· µ
· µ
~τ 5
~τ 5
~τ
~τ
0 a
0
a
~
~
iN γ ∂a N = iN exp −i α
γ exp i α
= iN γ a ∂a N
~ 1−β γ
~ 1+β γ
2
2
2
2
Dies folgt aus {γ 5 , γ a } = 0, was man als Übung beweisen kann. Damit ist LN invariant unter dieser Transformation.
Bemerkung:
Die Lagrangedichte ist außerdem invariant unter der U(1)-Transformation N 0 = exp(iϕ)N , wobei ϕ reell ist
(kontinuierliche Symmetrie). Dies führt nach dem Noether-Theorem auf die Baryonenzahl B als erhaltene
Ladung.
N 0 = exp(iαγ 5 )N mit reellem α ist das axiale U(1)-Problem in der QCD (Anomalien, klassische Lösung von
Eichtheorie: Instantonen).
2.1.1
Trennung in Links-Rechts-Spinorteile
Die Trennung in Links-Rechts-Spinorteile ist möglich mittels der Projektoren Π± =
Π2− = Π− , Π+ Π− = 0 = Π− Π+ .
µ ¶
ψα
ψL = Π+ ψ, ψR = Π− ψ, ψL =
0
1±γ 5
2 .
Es gilt Π2+ = Π+ ,
(ψα0 = Mα β ψβ mit M ∈ SL(2, C))
µ ¶
0
ψR =
, χ0α̇ = Mα̇ β̇ χβ̇ , χα̇ = εα̇β̇ χβ̇
χα̇
Wir zerlegen jetzt die Viererspinoren in Rechts- und Links-Spinoren: ψ = ψR + ψL . Als Übung kann gezeigt
†
werden, dass ψL = ψL
A = ψΠ− und dass ψR = ψΠ+ .
¡
¢
a
LN = i NL γ ∂a NL + NR γ a ∂a NR da ψR γ a ψL ≡ 0 ≡ ψL γ a ψR
· µ
¶¸
µ
¶
~τ
~τ
~τ
0
0
~
~
~
NL = Π+ N = Π+ exp i (~
α + β) Π+ + (~
α − β) Π− N = exp i(~
α + β) Π+ NL
2
2
2
µ
¶
~
τ
~ Π− NR
NR0 = exp i(~
α − β)
2
Als Übung kann gezeigt werden:
µ ³
¶
µ ³
¶
´ ~τ
´ ~τ
NL0 = N 0 Π− = N exp −i α
~ + β~
Π− Π− = NL exp −i α
~ + β~ · Π−
2
2
¶
µ ³
´ ~τ
~ · Π+
NR0 = NR exp −i α
~ −β
2
Darüber hinaus führen wir folgende Operatoren ein:
~ + = ~τ Π+ , Q
~ − = ~τ Π−
Q
2
2
[Qi+ , Qj+ ] = iεijk Qk+ (su(2)-Lie-Algebra)
[Qi− , Qj− ] = iεijk Qk− (su(2)-Lie-Algebra)
[Qi+ , Qj− ] = 0 (su(2) ⊕ su(2)-Lie-Algebra)
10
2.2. LIE-ALGEBRA
2.2
Lie-Algebra
Eine Algebra A wirkt auf einem Vektorraum R oder C. Definiert wird ein Produkt ◦ folgendermaßen:
A × A 7→ A mit (a, b) 7→ a ◦ b ≡ ab
Das Produkt ist bilinear:
i.) (a + b)c = ac + bc
ii.) a(b + c) = ab + ac
iii.) (λa)(µb) = (λµ)(ab)
Eine Lie-Algebra ist nichtkommutativ und rechtsassoziativ. Es ist eine Algebra mit ◦: 7→ [•, •] (bilinear).
i.) [a, a] = 0
X
ii.) ° [a, [b, c]] = 0 (Jacobi-Identität)
Hieraus ergibt sich [a, b] = −[b, a]. Falls A mit einer Verknüpfung ◦: [•, •] existiert, wobei [a, b] := ab − ba,
so spricht man von einer Lie-Algebra. Für [a, b] =
6 0 ist der Assoziator [a, [b, c]] − [[a, b], c] nach der JacobiIdentität 6= 0.
11
KAPITEL 2. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNGEN
12
Kapitel 3
Chirale Symmetrie und nichtlineare
Darstellung
3.1
3.1.1
SU(2) ⊗ SU(2) und π-Nukleon-System
Nukleon-System
Betrachten wir ein N-System:
µ ¶
µ
¶
~τ
~τ 5
u
0
~
N=
: N = exp i~
α · 1 + iβ · γ N
d
2
2
µ ·
¸¶
~τ
0
~ · ~τ γ 5
N = N exp −i α
~ · 1−β
2
2
Kommen wir zum Links-Rechts-Projektor, der in der Weyl-Darstellung gegeben ist durch:
Π± =
1 ± γ5
2
µ
¶
µ
¶
~τ
~ NL und N 0 = exp i ~τ (~
~ NR
NL0 = Π+ N 0 = exp i · (~
α + β)
α
−
β)
R
2
2
Ã
!
Ã
!
~
~
α
~
+
β
α
~
−
β
NL0 = NL exp −i
· ~τ Π− und NR0 = NR exp −
· ~τ Π+
2
2
~ ± = ~τ Π± mit [Qi± , Qj ] = iεijk Qk± , [Qi+ , Qj ] = 0
Q
±
−
2
~ = 0:
Dies ist eine SU(2) ⊕ SU(2) Lie-Algebra. Für die Betrachtung des Isospins setzen wir β
~5 = Q
~+ − Q
~ − = ~τ γ 5
~ =Q
~+ + Q
~ − = ~τ 14 , Q
Q
2
2
[Qi , Qj ] = iεijk Qk (Isospin SU(2))
[Qi , Q5j ] = iεijk Q5k
[Q5i , Q5j ] = iεijk Qk
Man bezeichnet Q+ ↔ Q− , Qi 7→ Qi und Q5i 7→ −Q5i als äußeren Automorphismus (Parität).
Sei G eine kompakte Lie-Gruppe und H eine Untergruppe:
[T i , T j ] = icijk T k mit i = 1, . . . , dim H
Es gilt cija = 0, außerdem sind die Strukturkonstanten antisymmetrisch, womit auch beispielsweise ciaj = 0.
Für X a mit a = 1, . . .; dim G − dim H gilt [T i , X a ] = iciab X b . Cartan-Zerlegung:
[X a , X b ] = icabi T i + icabc X c
13
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Der zweite Term ist hier gleich Null, falls cabc = 0 ist. Man spricht in diesem Falle von einem symmetrischen
(oder auch homogenen) Raum. Dies hat mit der Struktur (Rechts)Coset (Rechtsnebenklasse) G/H zu tun.
(Blatt 3, Aufgabe 7: Zusammenhang mit SO(4), so(4)-Liealgebra) LI,J mit I = 1, . . ., 4 und J = 1, . . ., 4.
Li,j = λεijk Qk , L4,j = µQ5,j
£
¤
[LIJ , LKL ] = i δ IK LJL + δ JL LIK − δ JK LIL − δ IL LJK
Kommen wir nochmal zum Noethertheorem zurück. Lässt eine kontinuierliche Transformation L invariant,
dann resultieren hieraus erhaltene Ströme (∂a j a ' 0 (Euler-Lagrange-Gleichung). Betrachten wir eine
infinitesimale Transformation:
δN = i~
α·
~τ
~τ
N und δ5 N = iβ~ · γ 5 N
2
2
Variiert man die Lagrangedichte L = iN γ a ∂a N , so folgt:
δL = i(δN )γ a ∂a N + iN γ a ∂a (δN )
δN ist eine Symmetrietransformation = ∂a wa (hier Null). Man kann dies auch schreiben als:
∂L = ∂a v a + zusätzliche Terme
Die zusätzlichen Terme verschwinden, wenn man die Euler-Lagrange-Gleichungen verwendet. Es ist ∂a (wa −
v a ) ' 0. Man kann diese Variation auch umschreiben:
δL = iδN (γ a ∂a N ) − i(∂a N γ a )δN + i∂a (N γ a δN )
Mit den Euler-Lagrange-Gleichungen iγ a ∂a N = 0 und −i∂a N γ a = 0 ergibt sich:
δL ' ∂a (iN γ a δN ), δL = 0
µ
¶
~τ
a
0 ' ∂a iN γ i~
α· N
2
µ
¶
~τ
0 ' ∂a iN γ a iβ · γ 5 N
2
Z
~ a = cV N γ a ~τ N
~ = d3 x V
~0
V
Q
2
Z
~ a = cA N γ a γ 5 ~τ N
~ 5 = d3 x A
~0
A
Q
2
(Lie-Algebra via Poissonklammern)
3.1.2
Massenterme der u-,d-Quarks (N)
LM = −mu uu(x) − md dd
L + LM ist nicht SU(2) ⊗ SU(2)-invariant. Durch diese Massenterme wird die Symmetrie also gebrochen.
~
LN = mN N N , LM = −m(uu + dd) ist noch Isospin-invariant, aber nicht bezüglich γ 5 -Transformationen (β).
Man muss sich Gründe überlegen, weshalb auch der Isospin nicht spontan gebrochen (nur unter Transformationen mit γ 5 ) sein soll. Die Vermutung ist, dass zusammengesetzte Teilchen nicht masselos sein können, wenn
die Konstituenten Masse haben (Weinberg, Drehill: 1981). Unter Isospintransformationen sind Massen der
Konstituenten q erlaubt. (Im Gegensatz dazu liefern γ 5 -Transformationen den Grund, warum Teilchen masselos sein sollen.) Aus obiger Vermutung folgt, dass der Isospin nicht spontan gebrochen ist. Falls dies doch der
Fall wäre, gäbe es zusammengesetzte Goldstone-Felder mit Masse Null. In der QCD (Eichtheorierahmen):
Witten-Vafa (1984) Wir studieren nun die auf den Isospin SU(2) spontan gebrochene Symmetrie SU(2) ⊗
SU(2).
14
3.1. SU(2) ⊗ SU(2) UND π-NUKLEON-SYSTEM
3.1.3
Nichtlinear dargestelltes Pion-System
Das SO(4)-Modell wird linear dargestellt durch ΦI (x) mit I = 1, . . ., 4 und x ∈ M4 . Betrachten wir nun
SO(4)-Drehungen:
ΦI = RI J ΦJ mit RR| = 1 = R| R und det R = 1
Die RI J sind von x unabhängig. Man spricht auch von nicht geeichten/starren Transformationen. Die Lagrangefunktion, die invariant ist, lautet:
L=
1
m2 I
λ
∂a ΦI ∂ a ΦI −
Φ φI − (ΦI ΦI )2
2
2
4
Aus Gründen der Renormierbarkeit (keine Kopplungskonstanten mit negativer Dimension) fügt man keine
höheren Terme hinzu (+sanfte Brechung Lσ = cφ4 ). Für m2 < 0 tritt eine spontane Symmetriebrechung im
Potential auf, das von konstanten φI abhängt.
φ04 (x) = −hφ4 i + φ4 (x) : hφ04 i = 0
Bei Goldstonefeldern gibt es ein Tal mit m = 0 (flaches Potential). Es gibt drei reelle Feldrichtungen (für
Bosefelder mit Spin 0), welche einer gebrochenen Symmetrie entsprechen: (3 + 3) − 3 = dim G − dim H = 3.
φI (x) = RI 4 (x)σ(x) für jedes x ∈ M4
Aufgrund von R| R = 1 (R| δR = δ ... ) stehen die RI 4 für drei Freiheitsgrade und σ für einen. Da die StartLagrangefunktion nur unter starren RI J invariant ist, muss die neue umgeschriebene Lagrangefunktion
verschwinden, wenn die Goldstonefelder konstant gesetzt werden (L ∼ (∂a π)2 ). Wie Goldstonefelder als
x abhängiger Parameter: x-unabhängig: starrer Fall
φI φI = (R| (x)δ ... )4J RJ 4 (x)σ 2 (x) = σ 2 (x)
σ(x) ist damit SO(4)-invariant für alle x ∈ M4 .
φI φI
= 1, S 3 ⊂ R4
σ σ
Als Übung kann gezeigt werden:
L=
1
m2 2 λ 4
1
∂a σ∂ a σ + σ 2 ∂a (R| (x)δ ... )4I ∂a RI 4 (x) −
σ − σ
2
2
2
4
Per stereographische Projektion führen wir andere Variablen ein: S 3 ↔ R3 . Aus Aufgabe 2 auf dem ersten
Übungsblatt wissen wir:
χi = λ · ζi mit i = 1, 2, 3
χ
~ =χ
~ N + λ(ζ~ − χ
~N )
Mit χ4 = 1 + λ(0 − 1) = 1 − λ folgt:
χi =
2ζi
φ4
−1 + ζ~ · ζ~
mit i = 1, 2, 3 und
= χ4 =
σ
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
Dies gilt für alle χ ∈ M4 .
Herleitung:
15
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Wir führen die stereographische Projektion der Hyperkugeloberfläche S 3 durch. Dazu parametrisieren wir die
Gerade vom Nordpol der Kugel ausgehend durch:
   
 
0
0
ζ1
0 0
 ζ2 
  
 
g : ~x = χN + t(ζ − χN ) = 
0 = 0 + λ  ζ3 
1
1
−1
Diese Gerade schneidet die Kugel im Punkt χ = (χ1 , χ2 , χ3 , χ4 )| :
 
  

χ1
0
ζ1
0
  ! 

χ2
  + λ  ζ2  =


0
 ζ3  

χ
3
p
2
2
2
1
−1
1 − χ1 − χ2 − χ3
Hieraus erhalten wir 1 − λ = χ4 und damit λ = 1 − χ4 . Daraus ergibt sich:
ζ1 =
χ2
χ3
χ1
, ζ2 =
, ζ3 =
1 − χ4
1 − χ4
1 − χ4
Außerdem muss
χ21 + χ22 + χ23 + χ24 = 1 ⇒ (1 − χ4 )2 · (ζ12 + ζ22 + ζ32 ) + χ24 = 1 ⇒ χ4 =
ζ~2 − 1
ζ~2 + 1
gelten und damit folgt schließlich:
χ
~=
2ζ~
ζ~2 + 1
3.1.4
und χ4 =
ζ~2 − 1
ζ~2 + 1
Nichtlineares Pion-System
Die hier relevante Darstellung ist die SO(4):
L=
m2 I
λ
1
∂a φI ∂ a φI −
φ φI − (φI φI )2 mit φI (x) = RI 4 (x)σ(x)
2
2
4
Die Länge von φ im Minkowski-Raum ist gegeben durch φI φI (x) = σ 2 (x); σ(x) ist SO(4)-invariant.
L=
1
1
m2 2
λ
∂0 σ∂ 0 σ + σ 2 (x)∂a RI,4 ∂ a RI 4 −
σ (x) − σ 4 (x)
2
2
2
4
Das Potential eines konstanten Feldes ist gegeben durch:
V (σ) =
λ
m2 2
σ (x) + σ 4 (x)
2
4
√ , was zur spontanen Symmetriebrechung führt. Für alle x ∈ M4 ist S 3
Für m2 < 0 ergibt sich σ 0 = |m|
λ
der Targetraum; es handelt sich dabei um eine Sattelfläche. Durch stereographische Projektion vollzieht man
3
3
den Übergang S 3 ↔ R , wobei die Koordinaten ∈ S 3 mit R4 (χi , χ4 ) bezeichnet. Im R verwenden wir die
Bezeichnung (ζ1 , ζ2 , ζ3 ) für die Koordinaten. Die Formeln der stereographischen Projektion lauten, wobei die
φi auf σ normiert sind:
χ4 =
−1 + ζ~ · ζ~
φi
2
φ4
φi
φ4
=
und χi =
=
ζi mit R44 ≡
, Ri 4 ≡
~
~
~
~
σ
σ
σ
σ
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
Die Umkehrung der Transformation lautet:
ζi =
1 φi
1 φi
=
1 − χ4 σ
1 − φσ4 σ
16
3.1. SU(2) ⊗ SU(2) UND π-NUKLEON-SYSTEM
Wir drücken L durch die ζi aus:
4
4 ij a
4 a
4
∂a Ri δ ∂ Rj + ∂a R4 ∂ R4 mit ∂a Ri
4
·
¸
2
ζi ζ j
4
j
= ∂a χ i =
∂a ζi δi − 2
, ∂a R44 =
ζ i ∂a ζi
~
~
~
~
~2
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
(1 + ζ~ · ζ)
Man erhält dann (siehe Blatt 4, Aufgabe 8):
4
42
ζ lζ j
~ a ζl +
∂a ζj K jl (ζ)∂
∂a ζi ζ i ζ j ∂ a ζj mit K jl = δ jl − 4
~2
~4
~2
(1 + ζ~ · ζ)
(1 + ζ~ · ζ)
(1 + ζ~ · ζ)
L=
1
δ jl
∂a ζi
∂a σ∂ a σ + 2σ 2 (x) ∂a ζj
∂ a ζl −V (σ(x)) mit (Da ζ)i :=
~2
2
(1 + ζ~ · ζ)
1 + ζ~ · ζ~
{z
}
|
D a ζi D a ζ i
Herleitung:
Die stereographische Projektion haben wir schon durchgeführt. Unter Ausnutzung der Kettenregel ergibt sich
nun:
∂
∂χI ∂ζj
χI =
a
∂x
∂ζj ∂xa
Wir berechnen also die folgenden Ableitungen:
∂χi
(1 + ζ~2 ) · 2δij − 2ζi · 2ζj
2(1 + ζ~2 )δij − 4ζi ζj
=
=
∂ζj
(1 + ζ~2 )2
(1 + ζ~2 )
∂χ4
(1 + ζ~2 )2ζj − (ζ~2 − 1) · 2ζj
4ζj
=
=
∂ζj
(1 + ζ~2 )2
(1 + ζ~2 )2
Damit folgt weiter:
h
i h
i
~2 )δik − 4ζi ζk · 2(1 + ζ~2 )δil − 4ζi ζl
2(1
+
ζ
∂χi ∂χi
=
=
∂ζk ∂ζl
(1 + ζ~2 )4
=
4(1 + ζ~2 )δik δil − 8(1 + ζ~2 )δik ζi ζl − 8(1 + ζ~2 )δil ζi ζk + 16ζi2 ζl ζk
(1 + ζ~2 )4
∂χ4 ∂χ4
16ζk ζl
=
∂ζk ∂ζl
(1 + ζ~2 )4
Nun können wir schlussendlich den entscheidenden Ausdruck berechnen:
#
!
Ã" 3
X
X ∂χi ∂ζk ∂χi ∂ζl
∂χI ∂ζk ∂χI ∂ζl
∂χ4 ∂ζk ∂χ4 ∂ζl
∂χI ∂χi
=
=
+
=
∂xa ∂xa
∂ζk ∂xa ∂ζl ∂xa
∂ζk ∂xa ∂ζl ∂xa
∂ζk ∂xa ∂ζl ∂xa
i=1
k,l
"
Ã
!
X X ∂ζk 4(1 + ζ~2 )δik δil − 8(1 + ζ~2 )δik ζi ζl − 8(1 + ζ~2 )δil ζi ζk + 16ζ 2 ζl ζk ∂ζl
i
=
+
~2 )4
∂xa
∂xa
(1
+
ζ
i
k,l
#
∂ζk 16ζk ζl ∂ζl
=
+
∂xa (1 + ζ~2 )4 ∂xa

X ∂ζi
X ∂ζk 16ζk ζl ∂ζl
X ∂ζk 16ζ~2 ζk ζl ∂ζl
4
∂ζi

=
−
−
+
∂xa (1 + ζ~2 )2 ∂xa
∂xa (1 + ζ~2 )4 ∂xa
∂xa (1 + ζ~2 )4 ∂xa
i
k,l
k,l

X ∂ζk 16ζ~2 ζk ζl ∂ζl
∂ζk 16ζk ζl ∂ζl  X ∂ζi
4
4
∂ζi
+
+
=
= ∂a ζi
∂ a ∂ζi
a
2
2
~
~2 )2
∂xa (1 + ζ~2 )4 ∂xa
∂xa (1 + ζ~2 )4 ∂xa
∂x
∂x
a
(1
+
ζ
)
(1
+
ζ
i
k,l
Es gilt Lζ 7→ 0 für ∂a ζ~ = 0. Effektive Lagrangedichten: Entwicklung (Störungstheorie) nach
Störungstheorie)
E
Λ
(chirale
17
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Behauptung:
L ist SO(4)-invariant, nichtlinear dargestellt. σ(x) ist invariant.
SU(2) ⊕ SU(2)
α+β
α−β
Isospin
Die infinitesimale Transformation δζi = i(Darstellung ζ)i wirkt auf der adjungierten Darstellung SU(2):
(Tiadj )j k = iεij k . (siehe Blatt 3, Aufgabe 3). Eine infinitesimale Transformation mit einem Vektor sieht folgen~
dermaßen aus: δζj (x) = −(~
α × ζ(x))
j ; dies ist eine lineare Transformation.
SU(2) ⊗ SU(2)
³
´
(1,1)
1 1
2,2
1 transformiert unter der Darstellung SU(2) und 1 unter der komplex konjugierten Darstellung SU(2). Die
Transformation ist gegeben durch ψα0 = Uα β ψβ wobei U ∈ SU(2). (Irreduzible Darstellung von SU(2):
ψα1 ,α2 ,...,αn (Tensorcharakter)) Die Indexstruktur der φI sieht folgendermaßen aus:
0
0
0
0α
φαα = Uα β φβ β (V −1 )β α
= (U |,−1 )αβ ψ β = ψ β (U −1 )β α
0 , ψ
Die Matrizen U werden mittels der Generatoren τ konstruiert:
µ
µ
¶
¶
~ · ~τ = 1 + i(~
~ · ~τ , V = exp i(~
~ · ~τ , V −1 = 1 − i(~
~ ~τ
α − β)
U = exp i(~
α + β)
α + β)
α − β)
2
2
2
2
´ α̇
³
³
´ α̇
~ 0 · ~τ
~ · ~τ
, φ0α α̇ = φ04 1 + iφ
φαα̇ = φ4 1 + iφ
α
α
φI ist ein SO(4)-Vektor. Für die Determinante von φ folgt:
¶
µ
φ + iφ3 iφ1 + φ2
= φ24 + φ23 + (φ21 + φ22 ) = φI φI = det φ0
det φ = det 4
iφ1 − φ2 φ4 − iφ3
In Aufgabe 9b.) auf Blatt 4 wird gezeigt, dass sich die φI folgendermaßen transformieren:
δ
~
~ φ4
~
φ
φ
~ φ4 − α
~·φ
=β
~× ,δ
= −β
σ
σ
σ
σ
σ
Herleitung:
Für betrachten infinitesimale Transformationen durch, vernachlässigen also quadratische und höhere Terme:
µ
¶
i
~τ
1 + 2i (α3 + β3 )
(α1 + β1 − i(α2 + β2 ))
2
~
U = 1 + i(~
α + β) · = i
1 − 2i (α3 + β3 )
2
2 (α1 + β1 + i(α2 + β2 ))
µ
¶
− 2i (α1 − β1 − i(α2 − β2 ))
1 − 2i (α3 − β3 )
~ · ~τ =
V −1 = 1 − i(~
α − β)
− 2i (α1 − β1 + i(α2 − β2 ))
1 + 2i (α3 − β3 )
2
~ · ~τ :
Wir gehen aus von der Matrix Φ := φ4 12 + iφ
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
φ4 0
0 iφ1
0
φ2
iφ3
Φ=
+
+
+
0 φ4
iφ1 0
−φ2 0
0
0
−iφ3
¶
Führen wir jetzt die Transformation der Matrix Φ0 = U ΦV −1 durch – wobei wir nur lineare Terme berücksichtigen – so folgt:
¶ µ
¶
µ
~ ~τ = −iΦ(~
~ ~τ + i(~
~ ~τ Φ + O(~
~2, α
~ =
~ ~τ Φ 12 − i(~
α − β)
α − β)
α + β)
α2 , β
~ · β)
δΦ = Φ0 − Φ = 12 + i(~
α + β)
2
2
2
2
·
¸
½
¾
~τ
~τ
~τ
~τ
~τ
~ ~τ , Φ =
= −iΦ~
α · + iΦβ~ · + i~
α · Φ + iβ~ · Φ = i~
α , Φ + iβ
2
2
2
2
2
2
·
¸
½
¾
~τ
~ · ~τ + iβ~ ~τ , 12 φ4 + iφ
~ · ~τ =
= i~
α , 12 φ4 + iφ
2
2
·
¸
·
¸
½
¾
½
¾
~τ
~τ ~
~ ~τ , 12 − β~ ~τ , φ
~ · ~τ
= iφ4 α
~
, 12 − α
~
, φ · ~τ + iφ4 β
2
2
2
2
18
3.1. SU(2) ⊗ SU(2) UND π-NUKLEON-SYSTEM
Die jeweiligen Kommutatoren und Antikommutatoren wollen wir nun auswerten. Allgemein gilt für PauliMatrizen [τi , τj ] = 2iεijk τk und {τi , τj } = 12 δij . Der erste Kommutator ergibt Null, da natürlich jede Matrix
mit der Einheitsmatrix 12 vertauscht. Den zweiten Kommutator berechnen wir folgendermaßen, wobei wir die
Summationen explizit hinschreiben:
¸
·
X
X
X
1X
~τ ~
1X
~×α
~ · ~τ
, φ · ~τ =
[αi τi , φj τj ] =
αi φj [τi , τj ] =
αi φj ·
iεijk τk = i
(φ
~ )k · τk = i(~
α × φ)
α
~
2
2 i,j
2 i,j
i,j
k
k
Der erste Antikommutator ist natürlich ~τ 12 = ~τ . Für den zweiten Antikommutator gilt:
X
X
X
X
~
βi {τi , φj τj } =
βi φj {τi , τj } =
βi φj δij 12 =
βi φi = β~ · φ
i,j
i,j
i,j
i
Es ergibt sich also:
³
´
~ · ~τ + iφ4~τ · β~ − β~ · φ
~ = −β~ · φ1
~ 2 + i~τ · −(~
~ + φ4 β~
δΦ = −i(~
α × φ)
α × φ)
~ · ~τ die infinitesimalen Transformationen der Felder φ
~ und
Damit lassen sich durch Vergleich mit Φ = φ4 12 + iφ
φ4 ablesen:
~ · φ1
~ 2 und δ φ
~ = −(~
~ + φ4 β
~
δφ4 = −β
α × φ)
Man erhält dann:
ζi =
1 φi (x) φi
2
φ4
−1 + ζ~ · ζ~
;
=
ζi ,
=
φ4
σ
σ
1− σ σ
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
Auf Blatt 4 in Aufgabe 10 soll gezeigt werden:
~ i − (~
~i
~ i + 1 (−1 + ζ~ · ζ)β
α × ζ)
δζi = −(β~ · ζ)ζ
2
~ × ζ~ − 1 (1 + ζ~ · ζ)
~β
~−α
δ ζ~ = −(β~ × ζ)
~ × ζ~
2
Herleitung:
~
Es gelten folgende Zusammenhänge zwischen (~
χ, χ4 ) und ζ:
χ
~=
2ζ~
ζ~2 − 1
und χ4 =
1 + ζ~2
ζ~2 + 1
Aus der ersten Gleichung erhalten wir dann die infinitesimale Transformation der ζi :
ζi =
1
−χi
1
(1 + ζ~2 )χi ⇒ δζi =
δχ4 +
δχi
2
2
(1 − χ4 )
1 − χ4
Nun müssen wir noch alle χI eliminieren. Es gilt nun:
~ · ζ~
2β
~·χ
δχ4 = −β
~ =−
(1 + ζ~2 )
Ã
!
ζ~2 − 1
2ζ~
δχi = βi
− α
~×
ζ~2 + 1
1 + ζ~2
i
Damit resultiert nun:
1 + ζ~2 ζ~2 − 1
βi
δχi =
−
2
ζ~2 + 1
−
Ã
2ζ~
1
(1 + ζ~2 )~
α×
2
1 + ζ~2
!
=
i
1 ~2
~i
(ζ − 1)βi − (~
α × ζ)
2
χi
1
1
~
δχ4 = (1 + ζ~2 )ζi · 2β~ · ζ~
= −ζi (β~ · ζ)
2
(1 − χ4 )
2
1 + ζ~2
19
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
~ · ζ)
~ + 1 (ζ~2 − 1)βi − (~
~i
δζi = −ζi (β
α × ζ)
2
Allgemein können wir dies unter Ausnutzung der Identität ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) noch auf Vektorschreibweise verallgemeinern:
~ β~ · ζ)
~ + 1 (ζ~2 − 1)β~ − α
~ ζ~2 ) − ζ(
~ β~ · ζ)
~ − 1 (ζ~2 + 1)β
~−α
δ ζ~ = −ζ(
~ × ζ~ = β(
~ × ζ~ =
2
2
~ × ζ)
~ − 1 (ζ~2 + 1)β
~−α
~ × ζ~ − 1 (ζ~2 + 1)β
~−α
= ζ~ × (β
~ × ζ~ = −(β~ × ζ)
~ × ζ~
2
2
~ sieht auch wie eine spezielle feldabhängige Isospintransformation. Sie ist
Der erste Term (mit α
~ (x) = β~ × ζ)
~
nichtlinear bezüglich β, aber linear bezüglich α
~ (Isospin, γ 5 -Transformation).
−−→ !
−−→
←−−
δ(Da ζ)i = −(~
α(x) × Da ζ)i − (~
α × Da ζ)i
←−−
Der Zähler transformiert so wie die Ableitung vom Zähler; damit ist Da ζ die kovariante Ableitung bezüglich α
~.
←−−
~
~
Da ζ transformiert auch kovariant bezüglich der Isospintransformation mit α
~ =α
~ (x) = β × ζ(x). Deshalb weiß
man sofort, dass δL = 0, weil ζ i ζi isospininvariant (auch unter geeichter Isospintransformation) ist. Da ζ i Da ζi
~
~
ist invariant unter α
~ -β-Transformationen
α
~ (x) = β~ × ζ(x).
|m|
σ(x) 7→ σ 0 = √ mit m2 < 0, λ > 0
λ
Damit erhalten wir schließlich:
L=2
~ · ∂ a (Fπ ζ)
~
|m|2 −−→−−→
F 2 ∂a ζ~ · ∂ a ζ~
1 ∂a (Fπ ζ)
|m|2
Da ζ D a ζ = π
=
mit Fπ2 = 4
, [Fπ ] = 1
~
~
λ
2 1 + ζ~ · ζ~
2
λ
1 + Fπ ζ·2ζFπ
Fπ
Mit ~π = Fπ ζ~ und [~π ] = 1 können wir schreiben:
Lπ =
1 ∂a~π · ∂ a~π
2 1 + ~πF·~2π
π
−−→ −−→
Stereographische Projektion: Parametrisierung, chirale Störungstheorie: (Da ζ · Da ζ)2
3.1.5
Yukawa-Kopplung, Pion-Nukleon-System in nichtlinearer Version
NL (x) =
µ
¶
uL (x)
; NR = (uR , dR )
dL (x)
NL (1, 0), NR (0, 1)
Die Transformationsmatrizen sind gegeben durch:
¶
µ
¶
µ
~τ
~τ
−1
~
~
und V
= exp i(~
α − β) ·
U = exp i(~
α + β) ·
2
2
~ · ~τ transformiert nach Φ0 = U ΦV −1 .
Die Matrix Φ = φ4 1 + iφ
0
NR0 = V NR , NR = NR (V −1 ), LN = N ΦN
λα = (U |,−1 )αβ χβ = χβ (U −1 )β α
N setzt sich zusammen aus NL + NR . Für die Transformation von NR hatten wir herausgefunden:
µ
NR0
=
1 + γ5
N
2
¶0
= (Π+ N )0 = V NR und NR0 = NR V −1 mit NR (0, 1)
Analog gilt für die Transformationen von NL :
NL0 = U NL und NL0 = NL U −1 mit NL (1, 0)
20
3.1. SU(2) ⊗ SU(2) UND π-NUKLEON-SYSTEM
Der Ausdruck NL ΦNR ist eine Invariante. Entsprechend transformiert Φ+ :
~ · ~τ ) β0
(Φ+ )αβ0 = (1φ4 − iφ
α
Das Transformationsverhalten dieses Objekts ist also Φ0+ = V Φ+ U −1 . Weiterhin ist also NR Φ+ NL eine Invariante unter SU(2) ⊗ SU(2). Schlussendlich packen wir all dies zusammen in eine Kopplung:
³
´
¢
¡
~ · ~τ γ 5 N
LΦN = g N L ΦNR + NR Φ+ NL = g N N φ4 + iN φ
g ist die Yukawa-Kopplungskonstante mit [g] = 0. Für infinitesimale Transformationen δN , δΦ, . . . (siehe
Blatt 5, Aufgabe 11) ergibt sich:
hτ i
nτ o
~τ
~ L , δΦ = i~
α + β)N
α , Φ + iβ~
,Φ
δNL = i · (~
2
2
2
Wir schreiben dies auf σ und RI 4 um, wobei wir bedenken, dass σ(x) SO(4)-invariant ist.
~
~
1
φ
1
φ
1
Φ = φ4 1 + i~τ · mit χ4 = φ4 und χ
~=
σ(x)
σ
σ
σ
σ
Mittels der stereographischen Projektion lässt sich dies also schreiben als:
2ζ~
−1 + ζ~ · ζ~
1 + i~τ ·
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
Mit Blatt 5, Aufgabe 12 folgt:

2
³
´³
´
³
´
1
1
1
Φ=−
1 − i~τ · ζ~ 1 − i~τ · ζ~ =  q
1 − i~τ · ζ~ 
σ
1 + ζ~ · ζ~
~
~
1+ζ ·ζ
Dies funktioniert analog mit

φ+
σ ,
~ Wir kommen damit zu folgender Lagrangedichte:
wobei ζ~ →
7 −ζ.
³
´³
´
NR
1 − i~τ · ζ~ 1 − i~τ · ζ~ q
+
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~

³
´³
´
NR
N
L

1 + i~τ · ζ~ 1 + i~τ · ζ~ q
+ q
~
~
~
~
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
LΦN 7→ Lσ,ζ,N = −gσ(x)  q
NL
Nun definieren wir unser Feld N folgendermaßen um:
³
´
³
´
eL := q 1
eL := q 1
N
1 + i~τ · ζ~ NL und N
NL 1 − i~τ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
³
´
³
´
eR := q 1
eR := q 1
N
1 − i~τ · ζ~ NR und N
NR 1 + i~τ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
Man spricht hierbei auch von der kanonischen Feldumdefinition (siehe unter anderem Borchas-Klassen).
Damit lautet unsere neue Lagrangedichte:
´
³
eL N
eR + N
eR N
eL = −gσ(x)N
eN
e
L = −gσ(x) N
Umgeschriebener kinetischer Term der Nukleonen:
¡
¢
Lkin,N = iN γ a ∂a N = i NL γ a ∂a NL + NR γ a ∂a NR
Als Übung kann gezeigt werden, dass L+ ' L modulo einer Raum-Zeit-Ableitung ∂a . Des weiteren benötigen
wir die Umkehrtransformationen:
³
´
³
´
1
eL und NR = q 1
eR
1 − i~τ · ζ~ N
1 + i~τ · ζ~ N
NL = q
~
~
~
~
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
Die Umdefinition wird auf Blatt 5 in Aufgabe 12 behandelt. Die Ableitung ∂a NL ergibt drei Terme:
21
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
â 1.Term:


³
´
~
~
~
~
~
1 − i~τ · ζ
1 − i~τ · ζ ζ · ∂a ζ
~τ · ∂a ζ  e
eL q 1
iN
1 + i~τ · ζ~ γ a  q
∂a − q
− iq
NL
~
~
1
+
ζ
·
ζ
~
~
~
~
~
~
~
~
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
1+ζ ·ζ
³
´³
´ ³
´
Mit 1 + i~τ · ζ~ 1 − i~τ · ζ~ = 1 + ζ~ · ζ~ 1 ergibt sich hieraus:
"
#
~ · ∂a ζ~
~ τ · ∂a ζ~
ζ
(1
+
i~
τ
·
ζ)~
eL γ a ∂a 1 − γ a
eL
iN
1−i
N
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
Wir verwenden nun die Notation γ a ∂a = ∂¢ :
#
"
¢
~τ · ∂¢ ζ~
ζ i ∂¢ ζ j ¡
ζ~ · ∂¢ ζ~
ijk k
eL =
e
iNL 1∂¢ −
1−i
+
δij + iε τ
N
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~ 1 + ζ~ · ζ~
"
#
~ × ∂¢ ζ~
~
ζ
~
τ
·
∂
ζ
¢
eL 1∂¢ − i
eL
= iN
+i
· ~τ N
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
â 2.Term:
Analog ergibt sich der zweite Term:
"
#
~
~ × ∂¢ ζ~
~
τ
∂
ζ
ζ
¢
eR ∂¢ 1 + i
eR
iN
+i
· ~τ N
1 + ζ~ · ζ~
1 + ζ~ · ζ~
h
³
´ i
e ∂¢ 1 − i~τ · ∂¢ ζ~ · γ 5 + i ζ~ × ∂¢ ζ~ · ~τ N
e
Lkin = iN ∂¢ N = iN
Uns interessiert die Invarianz des Ausdrucks unter bestimmten Transformationen. Wir führen dazu eine infie -Felder durch (siehe Blatt 5, Aufgabe 13):
nitesimale Transformation der N
~τ
~τ e
~ × ζ~ − 1 (1 + ζ~ · ζ)
~β
~
e = i~
; δ N = iβ~ · γ 5 N, δ ζ~ = −(β~ × ζ)
δN
α· N
~
~
2
2
2
β
β
α
~
~τ e
~ × ζ(x)
~
e = i~
δN
α(x) · N
mit α
~ (x) = β
2
e:
Weiterhin definieren wir die kovariante Ableitung auf das Nukleonfeld N
µ
¶
³
´
−→
~τ
e mit der Variation δ(½
e ) = iα · ~τ + i~
e ≡ γ a Da N
e := 1∂¢ + i(ζ~ × ½
e
DN
DN
Dζ) · ~τ N
DN
α(x) ·
½
½
2
2
Damit können wir schreiben:
h
i
−→ 5
e
e ½
D − i~τ · ½
Dζγ + igσ(x) N
Lkin,neu + LπN,neu = iN
Zum Schluss definieren wir σ(x) und ζ~ durch
|m|
1
σ 0 = √ = F mit m2 < 0 und ~π = F ζ~
2
λ
und erhalten so:
·
¸
−→ e
|m|
i
e ½
LπNe = iN
Dπ N mit mNf = g √
D + imNf + γ 5~τ · ½
F
λ
Der dritte Summand ist für sich invariant, daher kann gA frei gewählt werden. Im linearen σ-Modell ist gA = 1.
³
−→´ e 1 −−→−−a→
−−→
∂a~π
gA
e ½
LπNe = iN
Dπ N + Da π D π mit Da π =
D + imNf + i γ 5~τ · ½
F
2
1 + ~πF·~2π
¶
µ
³
−→´
e
e = ∂¢ 1 + i ~π × ½
D
π
·
~
τ
N
DN
½
F2
Auf dem Übungsblatt 6 wird gezeigt, dass sich der gA -Term ergibt aus:
¢
¢
1¡
1¡ +
φ∂a φ+ − (∂a φ)φ+ und analog
φ ∂a φ − ∂a φ+ φ
2
2
¡
¢
1
g 0 iNL γ a φ∂a φ+ − (∂a φ)φ+ NL
2
22
3.2. SANFTE PION-PHÄNOMENOLOGIE
3.2
Sanfte Pion-Phänomenologie
Bei der effektiven Lagrangefunktion gibt es eine Lorentzsymmetrie: SU(2) ⊗ SU(2) 7→ SU(2) Isospin
(nichtlinear)
e ) durchzuführen, obwohl diese jedoch nicht renormierbar ist.
Es ist Störungstheorie mit allgemeinem L(π, N
2
2
Man macht dann eine Entwicklung in Q /Λ ¿ 1 mit einer Skala Λ = ΛQCD ≈ mρ = 770 MeV (nach
Weinberg (1979), Honerkamp-Ecker (≈ (1974)). Wir wollen zeigen, dass die führende Ordnung von den
Baumgraphen (Born-Approximation) herrührt. Beispielsweise produzieren dann Schleifen höhere Terme. In
jeder Ordnung treten nur endlich viele zunächst freie Parameter auf (Renormierungsbedingung).
3.2.1
Pion-System ohne Nukleon
Wir betrachten nur das Pion-System ohne Nukleon und studieren, welches Potenzverhalten in Q2 vorliegt.
Dazu betrachten wir:
−−→
1 −−→ −−→ C4 −−→ −−a→ 2 C40 −−→ −−→ −−a→ −−b→
∂a~π
Lπ = D a π · D a π −
(Da π · D π) −
(Da π · Db π) · (D π · D π) mit [C4 ] = −4 und Da π =
2
4
4
1 + ~πF·~2π
Man benötigt dazu den Propagator (Zweipunktfunktion) des Pions:
Dieser ist gegeben durch:
−i
δij
−p2 − iε
Allgemein gilt für einen Propagator:
Z
i
e
h0|(πi (x)πj (y))|0i = −
dp exp(ip(x − y))D(p)
= −iDi (x − y)
(2π)4
Wir zählen die Impulspotenzen (Power-Counting) innerhalb eines Feynman-Diagramms:
X
ν = 4L − 2I +
Vk d k
L ist hierbei die Anzahl der Schleifen, I die Anzahl der inneren Linien und Vk die Anzahl der Vertizes mit
den Ableitungen. Für die Anzahl der Schleifen (Loops) gilt die Euler-Formel L = I − V + 1, wie man am
folgenden Diagramm überprüfen kann:
½
L=2=
5
3
¾
½
−
4
2
¾
+1
Mit −2I = −2V + 2 − 2L ergibt sich damit:
X
ν=
Vk (dk − 2) + 2L + 2
k
Mit dk ≥ 2, L ≥ 0 folgt ν ≥ 2. ν = 2 ist die führende Ordnung (Q/Λ)2 und rührt von L = 0 (BaumgraphenNäherung) her. Wenn wir die führende Ordnung wissen wollen, müssen wir also den Term Lπ = L2 =
1 −−→−−
a→
2 Da π D π. Die effektive Lagrangefunktion sorgt für sich selbst (keine Stromalgebra).
3.2.2
~
Anpassung von F/2 = σ 0 (Radius von S 3 , ~π = F ζ)
~ γ5~ a (zu β,
Für den schwachen Pion-Zerfall (π+ 7→ µ+ + νµ ) spielen die Matrixelemente des Axialstroms A
Transformation) eine Rolle. Pionen sind Pseudoskalare mit intrinsischer Parität ηπ = −1, was man durch
Betrachtungen der Reaktion π− + d 7→ 2n erhält (1951).
h0|Aai (x)|πj (p)i = δij
Fπ a exp(−ipx)
(ipπ )
3p
2
(2π) 2 2p0π
23
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
~
~ a (x). Der Noether-Strom zur β-Transformation
Dies definiert Fπ /2. Zu berechnen ist nun A
(Blatt 6, Aufgabe
16) ist gegeben durch:
µ
¶
~π
1
~π · ~π
~
~
δ~π = −(β · ~π ) +
−1 + 2 F β
β
F
2
F
Für Lπ,2 erhalten wir:
·
µ
¶
¸
∂L
∂ a πi
πi
1
~π · ~π
~
δ πi = ¡
−1 + 2 F βi =
¢2 −(β · ~π ) +
∂(∂a πi ) β
F
2
F
1 + ~πF·~2π
!
Ã
~
π ·~
π
a
~ · F ∂ a~π ¡ 1 − F 2 ¢ + ~π ¡ ~π · ∂ ~π¢
= −β
2
2
F 1 + ~π·~2π 2
1 + ~πF·~2π
F
Z
4
d q
πi (x) =
exp(−iqx)a− (~q)
3√
(2π) 2 2q0
~a =
β~ · A
Damit ergibt sich das Matrixelement:
h0|Aai (x)|πj (p)i(∗∗) =
F
exp(−ipx) a
δij
(ip )
3√
2
(2π) 2 2p0
h0|πi (x)|πj (p)i = h0|[πi− (x)a+
p)]|0i =
j (~
Z
~5 =
Q
(2π)
1
√
3
2
2p0
exp(−ipx)δij , [a−
q ), a+
p)] = δij δ (3) (~q − p~)
i (~
j (~
~ 0 (x) wobei [Q5 , Q5 ] ∼ Qπ fest
d3 x A
~ a . Aus dem Pion-Zerfall aus (∗∗) erhält man:
Das Vorzeichen ist frei in A
L∼
GF cos θ a
√
A+ Ja + h.k. mit GW = GF cos θ
2
In führender Ordnung kann man die Kopplungskonstante des Pion-Zerfalls identifizieren mit F .
Γ(π 7→ µν) = G2W
Fπ2 m2µ (m2π − m2µ )
≈ (2, 6 · 10−8 s)−1
16πm2π
Weiterhin gilt:
GW ≈ 1, 15 · 10−5
1 2
und Fπ = 184 MeV
GeV
Oft gibt man Fπ /2 ≈ 92 MeV an.
3.2.3
Pion-Pion-Streuamplitude in ν = 2
Die führende Ordnung von Lπ,2 ist gegeben durch:
Lπ,2
−−→−−→
1 ∂a π ∂ a π
= ¡
¢
2 1 + ~π·~2π 2
F
An dieser Stelle verwenden wir die Entwicklung:
∞
n
X
1
nx
=
ν
mit ν n = ν(ν + 1) . . . (ν + n − 1) (Pochhammer)
(1 − x)ν
n!
n=0
Weiterhin gilt nn = n(n + 1) . . . = n!.
"
#
µ
¶
µ
¶2
→
1 −−→−−
~
π
·
~
π
~
π
·
~
π
Lπ,2 = ∂a π ∂ a π 1 − 2
+3
+ ...
2
F2
F2
24
3.2. SANFTE PION-PHÄNOMENOLOGIE
(out; q1 , . . . , qn |p1 , . . . , pn ; in) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ τ (x1 , . . . , xn ) = (0|T (Φ(x1 ) . . . Φ(xn ))|0)
Lehmann, Symanzik, Zimmermann (1955)
Dies ist die Greensche Funktion zur n-Punkt-Funktion.
´
p
exp(−ipx) ³
p
fp (x) =
p0 = p~2 + m2
3
(2π) 2 2p0
Z
Z
~ y τ (y1 , . . . , ym , x1 , . . . , xn )
(out, q1 , . . . , qm |p1 , . . . , pn ; in) = im+n dm yi dn xj fq∗i (xi ) K
i
i=1
j=1
Störungstheorie: Gell-mann-Formel (ohne Vakuumblasen):
τ (x1 , . . . , xn ) = h0|T (φ(x1 ) . . . φ(xn ) exp(iSint (φ))|0i = h0|T exp(iSint (φ))|0i
Wir wollen den Ausdruck h0|T φ(x1 ) . . . φ(xn )|0i via Wick-Theorem berechnen:
φ(x1 ) . . . φ(x2 ) = −iD(x1 − x2 ) = h0|T φ(x1 )φ(x2 )|0i
τ (x1,i ; x2,j ; x3,k ; x4,l )
µ
¶Z
1
: i − 2
d4 x ∂a πn ∂ a πn πm (x)πm (x)
F
µ
1
i − 2
F
¶
µZ
h0|T πi (x1 ) . . . πl (x2 )
¶
4
a
d x ∂a~π ∂ ~π ~π · ~π |0i =
X
4 Kontraktionen πi (x)πj (y) =
= −iD(x − y)δij
Auf Blatt 6 in Aufgabe 17 berechnen wir:
: i(2π)4 δ(p1 − p2 + p3 + p4 )
1
p
(2π)6 4 p01 . . . p04
hout; p3,k , p4,l |p1,i , p2,j |ini = i(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4 ) ·
1
4 p
Q
k=1
Mi,j,k,l (s, t, u)
3
2p0k (2π) 2
Mi,j,k,l (p1 , p2 , p3 , p4 ) = δij δkl A(s, t, u) + δik δjl A(t, s, u) + δil δjk A(u, t, s) mit A(s, t, u) = A(s, u, t)
Man spricht hierbei von sogenannten Crossing-Relationen“. Verwendet wurden die Mandelstam-Variablen
”
s = (p1 + p2 )2 , t = (p1 − p3 )2 und u = (p1 − p4 )2 . In unserem Falle gilt s + t + u = 0, da wir die Masse des Pions
nicht berücksichtigt haben. In führender Ordnung berechnet man A(s, u, t) = F42 s (siehe Blatt 6, Aufgabe
17). Man soll das Leff ernst nehmen als Grundlage einer Störungstheorie in Q2 /Λ2 . Dies ist das Programm
der chiralen Störungstheorie (χ-paritation-theory). Die weitere Idee ist nun, dass man die nächsten Terme der
Entwicklung berücksichtigt. Dies läuft unter dem Schlagwort NLO (next to leading order). Dazu betrachten
wir die Anzahl der Potenzen in p für zusammenhängende Diagramme:
X
ν=
(dk − 2) + 2L + 2
k
Es wird also über die Anzahl k der Vertizes summiert; dk ist die Anzahl der Ableitungen am jeweiligen Vertex
und L ist die Anzahl der Loops. (Unsere Standard-Lagrangefunktion hat zwei Ableitungen.) ν = 2 bezeichnet
die führende Ordnung (L = 0, dk = 2); sie wird als Tree-Näherung bezeichnet. Die nächste Ordnung ist ν = 4.
Dazu verwendet man das alte Lπ (mit dk = 2) und nimmt eine zusätzliche Schleife (L = 1) mit.
Lπ =
1 −−→ −−a→
Da π · D π
2
25
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Typische Terme höherer Ordnung in Leff sind beispielsweise:
−−→ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→
−c4 (Da π · Da π)2 − c04 (Da π · Db π)(Da π · Db π)
Man kann deshalb auch die neue Funktion Lc4 ,c04 (mit dk = 4, einem Vertex und L = 0) mitnehmen. Diagramme
mit L = 1 sind:
Diagramme mit L = 0 sind folgende:
Die jeweiligen Ableitungen werden manchmal durch Punkte gekennzeichnet. Die letzten beiden Beiträge
(A(s, t, u)) berechnen wir auf Blatt 6 in Aufgabe 18:
µ
¶
1
1 2 ĉ04 2
2
ĉ4 s + (t + u )
F4 2
4
Die obigen Diagramme mit den Schleifen sind UV-divergent und eventuell auch IR-divergent. IR-Divergenzen
lassen sich jedoch durch Einführung einer Pionmasse beseitigen. Der Cut-Off ist Λ ' ΛQCD . Äußere Impulse
sorgen dafür, dass die Beiträge logarithmisch divergent sind. Die Divergenzen werden noch schlimmer (bis zu
Λ4 ), wenn die Impulse innen sitzen.
Z
d4 k
1
∼ ln Λ2
4
2
(2π) (k + iε)(k 2 + iε)
Weitere Beiträge sind:
s2 ln(s)
1
+ 4 (s2 + t2 + u2 ) ln
F4
F
µ
s
µ2
¶
Eine Verbesserung ergibt sich natürlich, wenn man weitere Ordnungen mitnimmt.
3.2.4
Masse der Pionen
Pionen werden durch Goldstone-Felder beschrieben; diese sind von Haus aus masselos. Wir betrachten das
Goldstone-Theorem bei gestörter Symmetrie. Wir führen also noch einen isospinstörenden Term hinzu und
überlegen uns, was dann passiert.
Bisher waren π Goldstonebosonen, also masselos. Experimentell bestimmt man jedoch mπ ≈ 140 MeV. Im
linearen (SO(4))-σ-Modell führt man aus der Quantenchromodynamik motiviert folgende Terme ein:
Lm = −mu uu − md dd
u, u, d und d sind Dirac-Spinoren. Solche Massenterme brechen die γ 5 -Symmetrie. Sind die Massen mu und
md außerdem verschieden, so wird auch die Isospinsymmetrie gebrochen. Der Ausdruck
µ ¶
u
N=
: mN N
d
ist nämlich noch isospininvariant. Die Symmetriebrechung ist hier explizit (und nicht spontan). Unsere Frage
ist nun, wie man die Pionmasse mπ aus mu und md erhält. Brechungen: Komponenten von SO(4)-Vektoren
(+)
=
1
1
(uu + dd) = N N
2
2
(−)
=
1
1
N τ 3 N = (uu − dd)
2
2
φ4
φ3
26
3.2. SANFTE PION-PHÄNOMENOLOGIE
(Dieser Vierervektor hat jedoch nichts mit der zuvor betrachteten Matrix Φ zu tun.) Mit diesen neuen Objekten
kann man die Lagrangefunktion wie folgt umschreiben:
(+)
Lm = −(mu + md )Φ4
(−)
− (mu − md )Φ3
Betrachten wir außerdem folgende SU(2) ⊗ SU(2)-Matrix:
µ
¶
1
τ
(+)
5~
Φ
= N N 1 + i~τ iN γ N
2
2
µ
¶
1
~τ
Φ(−) = (iN γ 5 N )1 + i~τ · N N
2
2
Der Ausdruck iN γ 5 N ist hermitesch und damit reell. Aus Aufgabe 9b auf Blatt 4 wissen wir, wie diese Objekte
transformieren:
¶¶
¶ µ
µ
µ
~τ
i
~τ
i
(−)
(−)
5
~ (−)
Nγ N − α
mit N γ 5 N = φ4 und N N = φ
δφ3 = β3
~× N N
2
2
2
2
3
¶
µ
τ
(+)
(+)
5~
~
~
~
δφ4 = −β · φ
= −β iN γ N
2
3.2.5
Einschub: Goldstone-Theorem bei kleinen Störungen der Symmetrie, die
spontan gebrochen wird
Dies findet man im Weinberg II, 19.3.
V (φ) = V0 (φ) + V1 (φ)
V0 ist symmetrisch bezüglich Generatoren einer kontinuierlich kompakten Lie-Algebra.
δV0 |φ=Lorentz-Felder = 0
φ transformiert unter Darstellungen der Gruppe. δφn ist bekannt.
0=
∂V0 (φ)
∂V (φ)
δφn =
i(α · T )nm φm
∂φn
∂φn
(1)
Dies ist der Ausdruck dafür, dass das Potential eine Symmetrie aufweist. Jetzt kommt eine kleine“ Störung
”
0
V1 hinzu. Das Minimum von V0 (φ) sei φ. Um nachzuschauen, ob es sich um ein relatives Minimum handelt,
betrachtet man die Hesse-Matrix:
¯
∂ 2 V0 ¯¯
≥ 0 (also positiv semidefinit)
∂φm ∂φn ¯φ0
Wir suchen also stationäre Punkte von V , die gegeben sind durch
¯
¯
∂ 2 V ¯¯
∂V ¯¯
=
0
und
≥0
0
1
∂φn ¯φ=φ+
∂φm ∂φn ¯φ
φ
und machen eine Entwicklung:
¯
¯
¯
¯
¯
∂V (φ) ¯¯
∂ 2 V ¯¯ 1
∂V0 ¯¯
∂V1 ¯¯
∂ 2 V0 ¯¯ 1
0=
+
(
φ)
=
+
+
(φ)m
m
∂φn ¯φ0
∂φm ∂φn ¯φ0
∂φn ¯φ0 ∂φn ¯φ0
∂φm ∂φn ¯φ0
| {z }
|
{z
}
=0
¯
∂V1 (φ) ¯¯
+
=0
∂φn ¯φ0
¯
1
0
∂V1 ¯¯
2
φm Mmn (φ) +
=0
∂φn ¯φ0
0 1
M02 (φ)φm
0
=(M02 (φ))mn
(2)
(3)
27
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Wir differenzieren (1) nach φm , wobei V0 symmetrisch ist:
0=
∂V0
∂ 2 V0
i(α · T )nk φk +
i(α · T )nm
∂φm ∂φn
∂φn
(4)
0
Ausgewertet bei φ:
¯
0
0
∂ 2 V0 ¯¯
0=
(iαT )nk φk ⇒ 0 = (M02 (φ))mn (δφn )0
¯
0
∂φm ∂φn φ
(5)
Ohne V1 ist dies das Goldstone-Theorem. M02 hat Eigenwerte 0 in Feldrichtungen am Minimum von V0 , die
nicht invariant unter der betrachteten Symmetrie sind. (Goldstone-Nambu-Modus). (Die triviale Lösung
0
liegt bei δ φ = ~o: Wigner-Weyl-Modus der Symmetrie). Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 0 sind die
Goldstone-Feldrichtungen. Beispielsweise gibt es bei SO(4) 7→ SO(3) drei gebrochene“ Generatoren. Es
”
gibt also drei Goldstonetäler, in denen die Masse verschwindet. Wir multiplizieren nun Gleichung (3) mit
0
0
δ φn = i(α · T )nm φm :
¯
1
0
0
∂V1 ¯¯ 0
φm (M02 (φ))mn δ φn +
δφ = 0
|
{z
} ∂φn ¯φ0 n
Goldstone
0
Die nichttrivialen Lösungen für δ φn sind die Goldstone-Richtungen (Masse 0).
0
(iTr )nm φm
¯
∂V1 ¯¯
= 0 ( Ausrichtung des Vakuums“)
”
∂φn ¯φ0
(6)
Betrachten wir nun die Massen2 -Matrix für die Pseudo“-Goldstonefelder. Man nimmt nur die gebrochenen“
”
”
Generatoren Tr :
¯
¯
0
0
0
¯ 1
¯
∂ 3 V0
¯ φl (δ φ)n (δ φ)m = − ∂V1 ¯ (Tr Ts φ)n
¯
¯
0
0
∂φl ∂φm ∂φn φ |r{z } s
∂φn φ
0
iTr φ
Mit Aufgabe 19 von Blatt 7 erhält man dann:
¯
¯
0
F2 2
∂V1 (φ) ¯¯ 0 0
∂V1 ¯¯
Mrs =
δ
(Tr Ts φ)n
φ
δ
φ
−
¯
¯
0 r ms n
0
4
∂φm ∂φn φ
∂φn φ
Die Idee für Pionen ist folgende:
(+)
Lm = −mu uu − md dd = −(mu + md ) = −(mu + md )Φ4
mit u4 = mu + md und u3 = mu − md
¶
µ
1
τ
(+)
5~
Φ
= N N 1 + i~τ iN γ N
2
2
¶
µ
i
~τ
Φ(−) = N γ 5 N 1 + i~τ N N
2
2
0 (+)
(−)
− (mu − md )Φ3
0
0 (−)
Um SU(2)Isospin , um Parität, α
~ -Transformation: φ4 ist frei, φi = 0 und φI
Pionmassen aus:
µ ¶2
0 (+)
0 (−)
0 (+)
F
2
Mrs
= −u4 (Tr Ts φ )4 − u3 (Tr Ts φ )3 = u4 δrs φ4
|
{z
}
2
= 0. Damit rechnen wir nun die
=0
Um dies zu erhalten muss zweimal obige Transformation durchgeführt werden. Hieraus ergibt sich nun:
(+)
m2π =
0
4
u4 φ4
2
F
28
3.2. SANFTE PION-PHÄNOMENOLOGIE
Im nichtlinearen Modell für die Pionen gilt:
φ4 = σ
~
π ·~
π
F2
~
π ·~
π
F2
−1 +
1+
F
2
0
mit σ 7→ σ =
(+)
Lm = −V1 = −(mu + md )φ4
+ ...
(−)
Im nichtlinearen Modell kann man kein Objekt der Form φ3
Wir schreiben nun φ4 folgendermaßen um:
finden, weshalb ein solches hier nicht auftaucht.
−1 + x
2x
= −1 +
1+x
1+x
Die Konstante −1 vergessen wir hier, da sie für die Lagrange-Funktion nicht wichtig ist.
Lm = −
m2π ~π · ~π
2 1 + ~πF·~2π
Als Übung kann man zeigen, dass man aus Lπ + Lm die Masse für ~π erhält. Mittels des Noethertheorems
erhält man die Gleichung für den Axialstrom:
1
F
exp(−ipπ x)
~ · ∂a A
~ 2 · ~π F
~ a = βm
β
⇒ h0|∂a Aai (x)|πj (p)i = m2π
3p
π
~
π
·~
π
2 1 + F2
2
(2π) 2 2p0I
e c (k) =
−iD
m2π
−i
MeV
wobei mπ ≈ 140 2
2
− k − iε
c
Wir erhalten nun eine neue Potenzzählregel für ν:
X
ν=
(dk + 2mk − 2) + 2L − 2
Vertizes k
dk ist die Anzahl der Ableitungen am Vertex k und
½
1 wenn Lm -Vertex
mk =
0
sonst
Auf Blatt 6 in Aufgabe 17 berechnen wir für Mijkl (s, t, u) die führenden Terme für ν = 2.
Lπ L = 0, dk = 2, mk = 0, ein Vertex
Lm
dk = 0, mk = 1, L = 0,
A(s, t, u) =
3.2.6
m2π
2 ,
~π · ~π
~
π ·~
π
F2
4
(s − m2π )
F2
Pion-Nukleon-System
LeπN = Lπ + LπN , Lm
µ
¶
³
³
−→´ e
→´
gA
e ½
e = ∂¢ 1 + i ~π × −
e
LπN = iN
D + imN + i γ 5~τ½
Dπ N , ½
DN
Dπ
·
~
π
N
F
F2
¯
c β
eα,α (x)N β (y)|0i¯¯
h0|T N
= −iδαβ Se t (p)
β
F T x−y|p
e (∂ + im 1)N
e erhält man:
Aus L2 = iN
N
¢
β
−iδαβ
(−p
¢ + mNf1)α
2
mNf − p2 − iε
Das Nukleon absorbiert sanfte Pionen.
29
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Werden Nukleonen nicht sanft absorbiert, so gilt mN ∼ ΛQCD . Der Propagator für p + q lautet für kleine q
folgendermaßen:
−p
¢ + mNf1 mit p2 = m2
N
2p · q
1
Innere Nukleonlinien liefern einen Beitrag Q
. Die neue ν-Abzählregel für zusammenhängende Diagramme mit
der Loopzahl L ergibt sich aus Lπ + LπN + Lm :
¶
µ
X
1
ν = 4L − 2 Iπ + INe +
(dk + 2mk )
2
Vertizes k
dk sind wieder die Zahl der Ableitungen am Vertex.
−2(Iπ + IN ) = −2V − 2 − 2L
e -Linienbilanz, wobei nk die Zahl der N
e -Linien am Vertex k ist, lautet:
Die N
X
2IN + EN =
nk
Vertizes k
Damit erhalten wir:
ν = −2
X
Vertizes k
1
1 + 2 − 2L +
2
Ã
X
!
nk
Vertizes k
−
EN
, ν = 2L +
2
nk ´ ENe
−
dk + 2mk − 2 +
+2
2 }
2
{z
Vertizes k |
X
³
≥0
â nk = 0: ≥ 0
â nk 6= 0: nk ≥ 2, mk = 0
Die führende Ordnung ν = 2 − E2N ergibt sich aus L = 0 und dk + 2mk − 2 + n2k = 0. Betrachten wir nun als
Beispiel die Pion-Nukleon-Streuung für v = 0, wobei wir in der Baumgraphen-Näherung folgende Diagramme
betrachten:
+
(a)
+
(b)
Die Diagramme (a) und (b) haben ein Verhalten ∼
beschrieben.
3.2.7
(c)
mN
mπ
; die führende Ordnung wird durch das Diagramm (c)
Anpassung von gA an das gA vom β-Zerfall
~ a von N
e , π, N
e zu berechnen. Für den β-Zerfall
Die erste Möglichkeit ist, neue Beiträge des Axialstroms A
a
a
braucht man das Matrixelement hp|A+ (x)|ni, wobei A+ = A1 + iA2 .
hp|Aa+ (x)|ni =
1
exp(−iqx)up (γ a γ 5 f (q 2 ) + γ 5 q a g(q 2 ) + i[γ a , γ b ]γ 5 gB h(q 2 ))un mit pn + q = pp
(2π)3
e , N keine Pionen
siehe in Lπ + LπN + Lm in Aai (x) Terme ∼ N
µ
¶
τ
~τ
5~
~
~
e
~ (x) = β × ~π und δN = −βγ N
δ N = −~
α(x) · N mit α
β
2
2
h
i
e ∂¢ N
e +N
e ∂¢ δ N
e = ∂a N
e γ a δN
e + Restliche Terme für Bewegungsgleichung von N
e
δL = δ N
Dieser Term liefert Beiträge für den Axialstrom. Vom gA -Term:
·
¸
gA e 5 a
e
δL = − N γ γ ~τ ∂a δ~π N + . . . = ∂a . . . δ π + Terme der Bewegungsgleichung für δN
β
F
µ
¶
~ ~π · ~π + 1 1 − ~π · ~π F βi
δ πi = −β
β
F2
2
F2
30
3.3. NICHTLINEARE σ-MODELLE UND RIEMANN-MANNIGFALTIGKEIT
1e 5 a e
e γaγ5τ +N
e mit gA = f (0) und τ + =
βi Aai (x)|Beitrag = −gA βi N
γ γ τi N ⇒ Aa+ |Beitrag = gA N
2
µ
0
0
¶
1
0
Die zweite Art der Berechnung ist aus LgA . Durch partielle Integration erhält man aus der Nukleonbewegungsgleichung:
e γ 5~τ · ~π N
e = −imN
−iGπN N
gA e 5
e
N γ ~τ · ~π N
F
2
3.3
Nichtlineare σ-Modelle und Riemann-Mannigfaltigkeit
SU(2) ⊗ SU(2) allgemeine Parametrisierung der nichtlinear transformierten π i -Felder
3
Bisher haben wir die spezielle Parametrisierung S 3 ↔ R verwendet. Weinberg (1968): Weinberg-Funktion
frei f (T i ) ≡ f (~π · ~π ) zu tun mit δ π i linear. δ π i Ansatz
α
~
~
β
Die Transformationen sehen jetzt im allgemeinen Fall folgendermaßen aus:
¤
F £
δπ = βj δ π : δ T = −
f (π 2 )δ ij + g(π 2 )π i π j mit g(π 2 ) =
2
i
j i
j
i
µ
2
F
¶2
¡ ¢2
1 + 2 F2 f 0 (π 2 )f (π 2 )
f (π 2 ) − 2π 2 f 0 (π 2 )
Dies gilt mit F 7→ Fπ ∼ 184 MeV. δ j π i ist die Variation ohne Parameter β. Übung: stereographische Projektion
¡
¢
1 −−→ −−a→
Da π · D π mit (Da π)i = di ; ~π ∂a π j = d1 (π 2 )δji + d2 (π 2 )π i πi ∂a π i
2
Ã
!
µ ¶2
2
1
1
d1 (π 2 ) = q
; d2 (π 2 ) = −d21 (π 2 ) 2f 0 (π 2 ) +
1
¡ 2 ¢2
F
f (π 2 ) + d1 (π
2)
2
2
2
f (π ) + F T
µ
¶
1
1
L = ∂a π i gij (~π ∂ a π j mit gij (~π ) = δij d21 (π 2 ) + 4d41 (π 2 ) π 2 f 02 (π 2 ) − f f 0 − 2 πi πj
2
F
L=
K. Meetz hat im Jahre 1969 dies als Riemanngeometrie in drei Dimensionen aufgefasst mit den π i als
Koordinaten und der Metrik gij (~π ). Symmetrietransformationen auf M3 :
ds2 = gij (~π ) dπ i dπ j mit gij =
Mit π i = F ζ i , φI =
F
2
1 ∂ζ I
∂χJ
δ
IJ
4 ∂π i
∂ζ j
(S 3 ∈ R4 )
χI = σχI gilt:
gij (~π ) =
∂φI
∂φJ
δIJ j
i
∂π
∂π
3.3.1
Riemannraum
Wir betrachten eine allgemeine Koordinatentransformation (Diffeomorphismus) π 0i = π 0i (~π ). Die infinitesimale
Transformation sei gegeben durch π 0i = π i − ζ i (~π ).
dπ 0i = dπ j
∂π 0j
∂π j
∂π 0i
, A0i (~π 0 ) = Aj (~π ) j , Bi0 (~π 0 ) =
Bj (~π ) (wie ∂i )
j
∂π
∂π
∂π 0i
Wir berechnen die Formvariation δA = A0i (~π ) − Ai (~π ) mittels der angegebenen Beziehungen:
δAi = ζ p ∂p Ai − Aj ∂j ζ i und δBi = ζ p ∂p Bi + ∂i ζ j Bj = Lζ Bi
Ein Allgemeiner Tensor transformiert sich folgendermaßen:
Ti1 ,...,in j1 ,...,jm (~π ) : Ti0 j (~π 0 ) =
∂π k ∂π 0j l
T (~π )
∂π 0i ∂π l k
δTi j = ζ k ∂k Ti j + ∂i ζ k Tk j − Ti l ∂l ζ j
Insbesondere gilt für die Metrik:
0
gij
(~π 0 ) =
∂π k ∂π l
gij (~π ), δgij = ζ k ∂k gij + ∂i ζ l glj + ∂ j ζ l gil = Lξ gij
∂π 0i ∂π 0j
31
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Man bezeichnet Lζ aus als Lie-Ableitung. Die inverse Metrik ist definiert durch g ij (~π )gjk (~π ) = δ ij . Im normalen
Riemannraum ist diese positiv definit. Mit g := det(gij ) gilt δg = gg ij δgij . Was auch interessant ist:
1√
√
δ( g) = −
ggij δg ij
2
Die kovariante Ableitung auf Ai ist definiert durch Dj Ai = ∂j Ai + Γjli Al . Sie erfüllt die Produktregel, also
Di (AB) = (Di A)B + A(Di B). (Di Aj (~π 0 ))0 transformiert wie ein Tensor (Levi-Civita-Konnektion im torsionsfreien Fall). Im torsionsfreien Fall gilt Γlj i = Γjli .
Dp gij = 0 mit Di Bj = ∂i Bj − Γij l Bl
∂π 0k ∂ 2 π l
∂π l ∂π m ∂ 2 π 0k
Γ0ij k (~π 0 ) = (Tensorteil)ij k + Iij k (~π ) ; Iij k =
=
−
∂π l ∂π 0i ∂π 0j
∂π 0i ∂π 0j ∂π l ∂π m
| {z }
inhomogener
Term
Γij k = 1/2g kl (∂i gjl + ∂j gil − ∂l gij ) sind die sogenannten Christoffelsymbole. Sie beschreiben die innere
Geometrie einer Fläche bzw. Mannigfaltigkeit.
δΓij k = (Tensorteil)ij k + ∂i ∂j ζ k und Γij k = Γij k − Γjik = 0
l
Dies ist der Torsionstensor. Für den Krümmungstensor gilt [Dm , Dn ]Bn = Rmnk Bl . Als Übung kann gezeigt
werden:
Rmnkl = ∂n Γmkl − ∂m Γnkl + Γmkp Γnpl − Γnkp Γmpl =
1
+ = g lp (−∂m ∂k gpn + ∂m ∂p gnk − ∂n ∂p gmk + ∂n ∂k gpm ) + (Γmkp Γnpl − Γnkp Γmpl )
2
Es gilt die Jacobi-Identität:
X
[Dp , [Dm , Dn ]]Bl = 0
p,m,n
Außerdem gelten die Bianchi-Identitäten:
X
X
Dp Rmnkl = 0;
Rnmpl = 0
p,m,n
p,m,n
Als Übung kann gezeigt werden, dass folgendes gilt:
¡
¢
Rmnkp = gpl Rmnkl
kp : ϕ = gij ζ i ζ j ; [Dm , Dn ]ϕ = 0
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist
kann als Übung gezeigt werden.
1
2
12 (D
− 1) · d2 . Im Falle von d = 3 folgen sechs Freiheitsgrade. Auch dies
Rmn = Rmpnp , R = Rmn g mn
S 3 ist ein Raum konstanter Krümmung.
Rmnpq (~π ) = C(gmp gnq − gnp gmq ); R ∼ 6C
Auf dem Übungsblatt 8 berechnen wir den Krümmungstensor für eine S 3 mit ΦI ΦI = (F/2)2 (stereographische
Projektion).
Herleitung:
Die Metrik ist gegeben durch:
δij
gij (~π ) = h¡ ¢
i2
~
π 2
+1
F
32
3.3. NICHTLINEARE σ-MODELLE UND RIEMANN-MANNIGFALTIGKEIT
Wir wollen nun den Krümmungstensor bezüglich dieser Metrik berechnen. Dazu bestimmen wir zuerst die
Christoffel-Symbole.
1 c²
g (∂a g²b − ∂² gba + ∂b ga² ) =
2




 
 
"µ ¶
#2
2
1
1
1
1
~π
 




 
=
+ 1 δ c² ∂a  h¡ ¢
 δ²b − ∂²  h¡ ¢
 δba + ∂b  h¡ ¢
i
i
i2  δb²  =
2
2
2
F
~
π 2
~
π 2
~
π 2
+1
+1
+1
F
F
F
h
i
¡ ¢2
"µ ¶
#2
2
2 · F~π + 1 · F22 ¡
¢
1
~π
c²
=
· π a δ²b − π ² δba + π b δa² =
+1 δ ·
h¡ ¢2
i4
2
F
~
π
+1
F
Γabc =
2
¡
2
= − ¡ ¢F2
~
π
+1
F
π a δ cb − π c δba + π b δa c
¢
Jetzt benötigen wir noch die partielle Ableitung der Γabc :
4
2
∂a Γabc = h¡ F¢
~
π 2
F
πd
+1
2
¡ a c
¢
c
b c
F2
i2 π δ b − π δba + π δa − ¡ ~π ¢2
F
+1
¡ ad c
¢
δ δ b − δ cd δba + δ bd δa c
Wir berechnen damit den Krümmungstensor nach Rijkr = (∂j Γikr − ∂i Γjkr ) + (Γikp Γjpr − Γjkp Γipr ).
4
∂j Γikr − ∂i Γjkr = h¡ F¢
~
π 2
2
F
πj
+1
4
4
+ h¡ F¢
~
π 2
F
4
Γikp Γjpr = h¡ ¢F
~
π 2
2
+1
F
4
= h¡ ¢F
~
π 2
4
+1
F
2
¡ i r
¢
r
k r
F2
i2 π δ k − π δki + π δi − ¡ ~π ¢2
πi
+1
F
¡
+1
¢
δ ij δ rk − δ rj δki + δ kj δi r +
2
³
´
j r
r
k r
F2
i2 −π δ k + π δkj − π δj − ¡ ~π ¢2
F
³
+1
−δ ji δ rk + δ ri δkj − δ ki δj r
´
³
´ ³
´
i p
p
k p
j r
r
p r
i2 π δ k − π δki + π δi · π δ p − π δpj + π δj =
³
r
r
i j r
i r
i p p
p j
r
p r
p p
i2 π π δ k − π π δkj + π π δ k δj − π π δki δ p + π π δki δpj − π π δki δj +
´
+π k π j δi r − π k π r δij + π k π p δi p δj r =
4
= h¡ ¢F
~
π 2
4
+1
F
³
´
r
i j r
i r
k j r
k r
i k r
2
i2 π π δ k − π π δkj + π π δi − π π δij + 2π π δj − ~π δki δj
Analog gilt:
4
Γjkp Γipr = h¡ ¢F
~
π 2
F
4
+1
³
´
j i r
j r
k i r
k r
j k r
2
r
i2 π π δ k − π π δki + π π δj − π π δji + 2π π δi − ~π δkj δi
Durch Addition dieser Ausdrücke erhalten wir Rijkr . Den letzten Index r ziehen wir mittels der Metrik glr
nach unten:
4
Rijkl = glr Rijkr = h¡ ¢F
~
π 2
F
=
4
F4
h¡ ¢2
~
π
+
F
1
4
¡ 2
¡ 2
¢
¢
2
F4
i4 −~π δki δjl + ~π δkj δil − h¡ ¢2
i3 F · (δkj δil − δki δjl ) =
~
π
+1
+1
F
4
¡ 2
¢
2
2
2
2
2
i4 −~π δki δjl + ~π δkj δil − ~π δkj δil + ~π δki δjl + F δkj δil − F δki δjl =
4
= − h¡ ¢F
~
π 2
F
2
+1
i4 (δki δjl − δkj δil ) = −
4
(gik gjl − gil gjk )
F2
33
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Die Gleichung zur Bestimmung von Geodätischen (Geodätengleichung) lautet folgendermaßen:
Z
δ
ds = 0 ⇒
d2 π k
dπ i dπ j
+ Γij k
=0
2
ds
ds ds
Speziell für gij = δij gilt Γij k = 0. Lokal (Rechtsnebenklasse) hat der Raum eine euklidische Metrik gij = δij .
Im ~π -Fall gilt π 0i (~π ) = φ(~π · ~π )π i . Dies ist so, wenn man verlangt, dass der Isospin unter Transformationen
intakt bleibt.
3.3.2
Symmetriegruppen und Killingvektorfelder
Im Falle S 2 gilt:
gzz = gzz =
2
(1 + zz)2
Im Raum mit Ursprung: SO(4)-Gruppe mit Transformation auf M3 : π i = π i −ζ i (~π ). (Isometrie) Wir gehen aus
von einer allgemeinen Koordinatentransformation (ds2 )0 = ds2 mit ds2 = dπ i gij (~π dπ j und π 0i = π i − ζ i (~π ).
Der metrische Tensor transformiert folgendermaßen:
0
δgij = gij
(~π ) − gij (~π ) = ζ k ∂k gij + ∂i ζ l glj + ∂j ζ l gil = Lζ gij = Di ζj + Dj ζi mit ζj = gji ζ i
Schauen wir uns Symmetrietransformationen auf der Lie-Gruppe M3 an: π i = π i − ζ i (~π ). ζ i (~π ) sind die
infinitesimalen Symmetrietransformationen. Falls dies mit der Metrik verträglich ist, spricht man von Isometrie.
Man stellt dann folgende Bedingung an die Metrik und ζ i .
dπ i dπ j
!
ds2 = gij (~π ) dπ i dπ j = gij (~π ) dπ i dπ j = gij (~π ) k
dπ k dπ l
dπ dπ l
∂π k ∂π l
∂π i ∂π j
Betrachten wir hierzu folgendes Beispiel in zwei Dimensionen, nämlich ein Skalarfeld ϕ mit ϕ0 (x01 , x02 )|x0i (x) =
ϕ(x1 , x2 ). Man kann als Übung zu Hause nachrechnen, wie sich das Feld ϕ(x1 , x2 ) = x31 + x2 unter Drehungen
~x0 = R~x verhält. Da dieses Feld nicht drehsymmetrisch ist, ist es nicht invariant unter diesen Transformationen
im Gegensatz zu drehsymmetrischen Feldern:
gij (~π ) = gkl (~π )
ϕ(x1 , x2 ) = x21 + x22 = ϕ(x01 , x02 ) = ϕ0 (x01 , x02 )
Skalar
Dies bedeutet, dass die Formvariation unter dieser Symmetrietransformation verschwindet: δϕ = 0, eben
aufgrund der Tatsache, dass ϕ drehsymmetrisch ist und sich wie ein Skalar transformiert.
∂π k ∂π l
gij (~π ) = g kl (~π ) i
⇒ δgkl = 0 = Lζ gkl
∂π ∂π j
Als Übung kann gezeigt werden, dass dies aus einer Transformation mit infinitesimalen ζ i (x) folgt. Man hat
also eine Isometrie. Beispiel: Für den euklidischen Raum M3 erhält man für gij (~π ) = δij : ∂j ζi + ∂i ζj = 0,
ζ j = cj + ω ji π i . π-Fall:
gij (~π ) = ¡
1+
δij
¢
1 k
l 2
F 2 π δkl π
Dies ist die Metrik der stereographischen Projektion. Die Übung besteht darin, zu zeigen, dass SU(2) ⊗ SU(2)
eine Isometrie ist bezüglich der Transformationen ζ = −δ und ζ = −δ ist, dass also Lζ gij (~π ) = 0 gilt.
α
α
β
β
δ π i = −εijk π j αk = π 0i (x) − π i (x)
α
Wenn man die allgemeinen Koordinatentransformationen spezialisiert auf obige Transformationen, so kommt
man darauf, dass L = 12 ∂a π i gij (~π )∂ a π j invariant unter SU(2) ⊗ SU(2)-Transformationen ζ 7→ ζα~ ,β~ ist, wobei
(∂a π i )0 =
∂π i
(∂a π j )
∂π j
34
3.4. NICHTLINEARES σ-MODELL AUF G/H
Auf Übungsblatt 8 zeigen wir, dass Rijkl = b(gik gjl − gjk gil ) ist für obige Metrik. Man erhält R = 6b, es
~
handelt sich also um einen Raum mit konstanter Krümmung. Auf Blatt 9 vergleichen wir dies mit α
~ -, βTransformationen:
~
δ π = π 0 (x) − π(x), geij (x) = gij (~π (x)) wobei δ geij (x) 6= 0 für die nichtlinearen β-Transformationen
~
α
~ ,β
~
α
~ ,β
Allgemeine π-Koordinaten: π i = π i (~π 0 ); das neue π 0i soll auch Isovektor sein. Man schaut Transformationen
0
:
der Form π i = π 0i φ(~π 0 · ~π 0 ) und berechnet die neue Metrik gij
0
gij
(~π 0 ) = ¡
1
1+
¢
~
π 0 ·~
π 0 2 02 2
π )
F 2 φ (~
£
¡
¢¤
δij φ2 (~π 02 ) + 4πi0 πj0 φ0 (~π 02 ) · 1 + ~π 0 · ~π 0 φ0 (~π 02 ) mit πi0 = πi = δij π j
Übung: Vergleiche Weinberg-gij mit gestrichenen Variablen.
d21 (~π 02 ) = ¡
3.4
φ2
1+
¢
~
π 0 ·~
π0 2 2
F2 φ
Nichtlineares σ-Modell auf G/H
Wir betrachten G = SU(2)⊗SU(2) und H = SU(2)|Isospin . Die Verallgemeinerung für eine kompakte Gruppe G,
H < G (spontane Symmetriebrechung) wurde von S.Coleman, J.Wess, B.Zumino und Callan (CHU, 1968)
behandelt (Standardform der Goldstonefelder (kovariante Ableitungen)). Aus den Invarianten bezüglich H
e transformiert
folgenden Invarianten bezüglich G mit nichtlinearer Transformation der Goldstonefelder. N
−
−
→
~
~ × ~π (x) als Dublett, Da π transformiert als Triplett. Wir betrachten nun Felder im Minkowmit alpha(x)
=β
skiraum, nämlich ψn (x) (Skalarfelder π, Spinorfelder N , . . .). G ist eine kompakte Lie-Gruppe. Wichtig für
uns sind lineare Transformationen, die zu einer spontanen Symmetriebrechung G 7→ H führen. Dies ist fur
Vektoren und Spinoren gleich Null und x-unabhängig. Poincare wird nicht spontan gebrochen. Für h ∈ H
0
e
ist hψ = 0. Neue Feldvariablen werden angepasst an die spontane Symmetriebrechung ψ(x) = γ(x)ψ(x),
wobei
|
e
die Goldstonemoden eliminiert sind. Wir erinnern uns daran, dass ψ = (0, 0, 0, σ) gilt. H war die Drehung
in ψ-Richtung: φI = RI 4 (x)σ(x).
Wir verwenden für die ψ reelle Felder (Darstellungen von G). Da G eine kompakte Lie-Gruppe ist, bedeutet
dies, dass die Darstellungen unitär sind, also exp(i~
α · T~ ), wobei die Tp für p = 1, . . ., dim G die Generatoren
der kompakten Lie-Gruppe sind. Wenn wir nur reelle Darstellungen anschauen, sind diese orthogonal. Die
0
Goldstonerichtungen erhalten wir durch Lösung der Gleichung (iTp ψ)n 6= 0. (Für Spinoren ist dies trivial.)
0
In Matrixnotation ist dies ψe| (x)iTp ψ = 0 für p = 1, . . ., dim G. Zu zeigen ist, dass γ(x) existiert (g ∈ G, von
0
x unabhängig): Vψ(x) (g) = ψ | (x)g ψ mit festem x ist stetig und beschränkt, da G kompakt ist. Damit hat dies
ein Maximum bei g = γ, welches von x abhängt, also g = γ(x). Wir berechnen dazu die Variation und setzen
diese gleich null, wobei wir wissen müssen, dass
·
¸
1
· δV mit LV X = [V, X] = adV (x)
g −1 δg = exp(−V )δ exp(V ) = (1 − exp(−LV ))
LV
δg = ig~ε · T~ mit einem komplizierten Ausdruck ε
ist, was für kompakte Lie-Gruppen gilt. Dies kann als Übung gezeigt werden.
0
0
0 = δVψ (g)|g=γ(x) = i~εψ | (x)γ(x)T~ ψ = i~ε(γ(x)| ψ)| T~ ψ
0
Für beliebige ε muss also (γ(x)| ψ)| Tp ψ = 0 gelten mit (γ(x)| ψ)| = ψe und γ(x)| = γ(x)−1 .
Fehler:
0
gij
(~π 0 ) = ¡
1
1+
~
π 0 ·~
π0
F2
£
¡
¢¤
2 02
0 0 0 02
02
0
0 0
¢2 δij φ (~π ) + 4πi πj φ (~π ) φ(~π ) + ~π · ~π φ
φ2 (~π 0 )
35
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
3.5
Nichtlineare σ-Modelle auf G/H-Nebenklassen
1.) Es gibt eine Parametrisierung von γ(x). G sei halbeinfach und kompakt: ψn (x) = γ(x)ψen (x).
0
e | iTp ψ = 0 mit p = 1 . . . dim G
ψ(x)
2.) γ(x) ist nicht eindeutig:
0
0
0
Vψ(x) (g) = ψ | (x)g ψ weil h ∈ H, hψ = ψ
Vψ(x) (g) = Vψ(x) (gh)
Mit g auch gh
γ ist ein stationärer Punkt und g = γ(x)h ist auch ein stationärer Punkt.
e
ψ(x)
= (γ(x)h)−1 ψ(x) = h−1 γ −1 (x)ψ(x)
(Im SU(2) ⊗ SU(2)-Fall: (0, 0, 0, σ), H = SO(3))
Gesucht ist nun eine Parametrisierung von G/H. Wir verwenden die Standardparametrisierung für
dieses Problem (Cartan-Zerlegung). Die Generatoren von G sind Tp für p = 1, . . ., dim G. Für H < G
sind es die Generatoren Ti für i = 1, . . ., dim H. Die restlichen Generatoren (die man auch als Coset
oder Nebenklassengeneratoren) bezeichnet sind Xr für r = 1, . . ., dim G − dim H. Die Lie-Algebra von
H ist gegeben durch [Ti , Tj ] = icijk Tk , wobei die Strukturkonstanten cijk total antisymmetrisch sind.
(Aus cijr = 0 folgt cirj = 0.) Weiterhin gilt [Ti , Xr ] = icirs Xs und [Xr , Xs ] = icrst Xt + icrsj Tj . Falls
crst gibt es einen äußeren Isomorphismus Ti 7→ Ti , Xr 7→ −Xr (symmetrischer Raum). Die Parametrisierung der Gruppenelemente ist gegeben durch g = (exp(iξ r Xr ))(exp(iθj Tj ). Da γ(x) nur modulo
Rechtsmultiplikation mit h ∈ H ist, gilt:
G/H = {g|gh}
Vertreter von jeder gH ist γ(x) = exp(iξ r (x)Xr ) mit x ∈ M4 . ξ r (x) sind dimensionslose Goldstonefelder
mit dim G − dim H, reelle Lorentz-Skalarfelder.
³
´
∂a ψn (x) = γ(x) ∂a ψe + γ −1 (x)∂a γ(x)ψe
ψ(x) sind reelle Felder und γ(x) ist eine orthogonale Matrixdarstellung. Es treten nur die Kombinationen
γ −1 (x)∂a γ(x) in L auf. Es gibt damit immer eine Abbildung auf Goldstonefelder ξ r (x). γ(x) fliegt aus
L raus.
γ −1 (x)∂a γ(x) = iDa r(x)Xr + iEa j (x)Tj
Dar (x) = Drs (ξ(x))(∂a ξ s (x)) ≡ (Da ξ)r
Ea j (x) = E js (ξ(x))(∂a ξ s (x)) ≡ (Ea ξ)j
G−1 δg = iεp Tp (siehe Blatt 10, Aufgabe 25)
3.) ξ r (x)-, ψen (x)-Transformationen:
e
Wir beginnen mit einer linearen Transformation bezüglich G, nämlich ψ 0 = gψ = gγ(ξ(x))ψ(x),
wobei g bzw. γ(ξ(x)) orthogonale Matrixdarstellungen sind. gγ(ξ(x)) ≡ ĝ ∈ G: ĝ in genau einer HRechtsnebenklasse mit Vertreter γ 0 (x) = γ(ξ 0 (x)) (ξ 0 -Transformation von ξ bezüglich G).
gγ(ξ(x)) = γ(ξ 0 (x))h(ξ(x), g)
linear
e
ψ 0 (x) = γ(ξ 0 (x))ψe0 (x) = γ(ξ 0 (x))h(ξ(x), g)ψe : ψe0 (x) = h(ξ(x), g)ψ(x)
(1)
(2)
e
ψ-Felder
im allgemeinen transformieren unter H. (Im π-Beispiel ist ψe = σ invariant unter H.)
36
3.5. NICHTLINEARE σ-MODELLE AUF G/H-NEBENKLASSEN
4.) Wir betrachten nun speziell g = h ∈ H:
ξ r und ψen werden linear dargestellt. Behauptung: ξ 0r (x) = Drs (h)ξ r und ψen0 = hnm ψem mit hXs h−1 =
Dsr (h)Xr (siehe Blatt 10, Aufgabe 30a). hnm ist hierbei von ξ unabhängig.
h
³
´i r
!
Dsr (h) = exp iκθj Tjadj
r
Bemerkung:
â Teil ¬:
ξ : hγ(ξ)h−1 = h exp(iξ r Xr )h−1 = exp(iξ r (hXr h−1 )) = exp(iξ r Dr s (h)Xs ) =
(3)
hγ(ξ) = γ(ξ 0 )h(ξ, h), hγ(ξ)h−1 = γ(ξ 0 )h(ξ, h)h−1 = γ(ξ 0 )1
â Teil ­:
ψe : h(ξ(x), h) = h, ψe0 = hψe
Die Darstellung auf H ist linear, sowohl was die Goldstonefelder ξ r (x) als auch ψe angeht.
5.) Wir konstruieren ein invariantes L: Transformation von Dar (ξ(x)), Ea j (ξ(x))
Mit (∗) und (∗∗) folgt:
γ(ξ(x)) = g −1 γ(ξ 0 (x))h(ξ(x), g)
γ −1 (ξ(x))∂a γ(ξ(x)) = γ −1 (ξ(x))g −1 ∂a (γ(ξ 0 )h(ξ, g)) = (gγ(x))−1 ∂a (. . .)
Siehe:
γ −1 (ξ 0 (x))∂a γ(ξ 0 (x)) = iDar (x)Xr + iEa0 j (x)Tj = h−1 (ξ, g)γ −1 (ξ 0 )∂a γ(ξ 0 )h(ξ, g) + h−1 (ξ, g)∂a h(ξ, g)
Wir berechnen folgenden Ausdruck:
£
¤
γ −1 (ξ 0 (x))∂a γ(ξ 0 (x)) = h(ξ, g) γ −1 (ξ)∂a γ(ξ) h−1 (ξ, g) − (∂a h(ξ, g))h−1 (ξ, g)
·
(∂a h)h−1 = i(∂a θi )
¸
¡
¢ j
1
j
exp(iκθ
T
)
−
1
Tj
j
iκθ · T adj
i
(∂a h(ξ, g))h−1 (ξ, g) = (∂a ξ r (x))
∂h(ξ, g) −1
h (ξ, g) = Hr j (ξ(x), g)Tj (∂a ξ r (x))
∂ξ r
¡
¢
iEa0j (x)Tj = h(ξ, g) iEa j Tj h−1 (ξ, g) − (∂a h(ξ, g))h−1 (ξ, g)
Wir benötigen Objekte der folgenden Form:
h(ξ, g)Tj h−1 (ξ, g) = Ej i (h(ξ, g))Ti
h(ξ, g)Dar (x)Xr h−1 (ξ, g) = Dar (x)
Auf Blatt 10 in Aufgabe 30b.) zeigen wir hXr h = Dr s (h)Xr . Damit erhalten wir folgendes Resultat:
Da0 s (x) = Dar (x)Dr s (h(ξ(x), g)) = (DT (h(ξ, g)))sr Dar (x)
Ea0 j (x) = Ea i Ej i (j(ξ, g)) − Hr j (ξ(x), g)∂a ξ r (x)
i.) gγ(ξ(x)) = γ(ξ 0 (x))h(ξ(x), g) mit g ∈ G und G/H = {gH|g ∈ G}
ii.) ψe0 (x) = h(ξ(x), g)ψe
γ −1 ∂a γ = iDar (x)Xr + iEa j (x)Tj
iii.) Ein Spezialfall ist g = h ∈ H. Dazu betrachten wir die lineare Darstellung:
ξ 0r (x) = Drs (h)ξ s (x); hXs h−1 = Dsr (h)Xr
Es gilt ψen0 = hnm ψem , wobei hnm von ξ unabhängig ist.
37
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
5.) Weg zu L: Transformation der Dar (ξ(x)), Ea j (ξ(x))
Unter g ∈ G haben wir folgende Transformation:
Da0 r (ξ(x)) = D| (h(ξ(x), g))rs Das (ξ(x))
iEa0 j (ξ(x))Tj = h(ξ(x)g)(iEa j Tj )h−1 (ξ(x), g) − (∂a h(ξ(x), g))h−1 (ξ(x), g)
Ea0 j (ξ(x)) = Ea i Ei i (h(ξ, g)) − Hr j (ξ(x), g)∂a ξ r (x)
hTi h−1 = Ei j (h)Tj
(∂a h(ξ, g))h−1 (ξ, g) = iHr j (ξ, g)Tj ∂a ξ r (x)
e
6.) Kovariante Ableitungen auf ξ und ψ:
Aus diesen Größen stellt sich heraus, dass der Entwicklungskoeffizient Dar der Coset-Generatoren die
e
kovariante Ableitung auf die ξ-Felder ist und Ea j die kovariante Ableitung auf ξ.
Dar (ξ(x)) = Drs (ξ(x))∂a ξ s (x) ≡ (Da ξ)r
Früher hatten wir für SU(2) ⊗ SU(2) folgende kovariante Ableitung (siehe Blatt 8, Aufgabe 21):
£
¤
(Da ξ)i = ∂a ξ j D1 (ξ 2 )δ ij + d2 (ξ 2 )ξ i ξj
Dar (x) transformiert unter g ∈ G wie die kovariante Ableitung auf ξ. Gemeint ist unter H:
ξ 0r = D| (h)ξ, h 7→ h(ξ(x), g) ( Eichung“)
”
(Achtung mit dem Begriff kovariante Ableitung (transformiert wie die entsprechenden Felder, auf die sie
wirkt)) Dar (x) transformiert wie die ψen -Felder nur in anderer Darstellung von H.
ψe0 = h(ξ(x), g)ψe (Darstellung auf ψen )
~ × ξ(x).
~
Daher galten die alten Transformationen α
~ 7→ α
~ (x) = β
−−→
−−→ e
~τ e
δ(Da π) = −~
α(x) × Da π, δ N
= iα(x) · N
2
Wenn man weiß, wie die Größen unter Isospin transformieren, dann kann man mittels der Eichung das
Transformationsverhalten unter der ganzen Gruppe erhalten. Wir interessieren uns nun für die kovariante
e Diese erhält man aus der inhomogenen Transformation von E j (ξ(x)):
Ableitung auf ψ.
a
h
i
e
∂a ψe0 = h(ξ(x)), g) ∂a ψe + h−1 (ξ(x), g)(∂a h(ξ(x), g)ψ)
e
e
Kompensiere (∂a h)ψe über Da ψ(x)
:= ∂a ψe + i(Ea j (x)Tj )ψ(x),
wobei Tj die Generatoren der Darstellung
e
von H auf ψ sind. Damit erhält man eine kovariante Ableitung genau nach Definition:
e 0 = h(ξ(x), g)(Da ψ)
e
(Da ψ)
Dies wollen wir beweisen (mit ii.)):
e 0 = h(ξ(x), g)(∂a ψe + h−1 (ξ(x), g)(∂a h(ξ(x), g))ψ)
e + h(iE j Tj h−1 )hψe − (∂a h)h−1 (hψ)
e =
(Da ψ)
a
e
= h(ξ(x), g)(Da ψ)
e folgendermaßen:
Im SU(2) ⊗ SU(2)-Fall lautete die kovariante Ableitung auf N
−→
e = ∂a N
e + i(ξ(x) × −
e
Da N
Da ξ) · ~τ N
−−→
In diesem Fall gilt Ea j = (ξ(x) × Da ξ)j . Dies erhält man aus der Zerlegung γ −1 ∂a γ ∼ E j Tj .
7.) Lagrangedichte L
Durch die Standardparametrisierungsmethode zu G/H erhalten wir die invariante Lagrangedichte
en
bezüglich G linear dargestellt auf H ⊂ G. Man baut aus den H-invarianten Größen ψen (x), (Da ψ)
−
−
→
und Dar (x) ≡ (Da ξ)r eine H-invariante Lagrangefunktion. Dann ist L über h 7→ h(ξ(x), g) invariant
unter G.
38
3.5. NICHTLINEARE σ-MODELLE AUF G/H-NEBENKLASSEN
â Auf Renormierung wird hier keinen Wert gelegt (Philosophie der effektiven Lagrangefunktion“).
”
Je nach Modell muss man sich die Skala Λ überlegen. Man macht dann eine Entwicklung in Q
Λ , um
Regeln aufzustellen, wie die führenden Beiträge aussehen.
e konstruieren. Objekte
â Beispielsweise können wir analog zu früher Mehrfachableitungen Da (Db ψ)
0
e
e
dieser Form transformieren analog, nämlich (Da (Db ψ)) = h(ξ(x), g)(Da (Db ψ)).
â Wir können auch folgende Objekte betrachten:
−−→
−−→
−−→
(Db (Da ξ))r = ∂b (Da ξ)r + i(−icj rs Eb j (x)Da ξ s )
Ersetzte Tj bei Ea j auf ψe durch −icjrs :
−−→
−−→
(Db (Da ξ))0r = D| (h(ξ), g)rs (Db (Da ξ))s
â Analog zu Eichtheorien führt man Korrekturen Ea j (x) ein.
[Db , Da ]ψe =: Rbaj (x)(iTj )nm ψem mit Rbaj = ∂a Eb j − ∂b Ea j − cikj Ea i Eb k
â Das (x) und Ea j (x) kann man einmal für G und H berechnen. Dies ist unabhängig zur Darstellung. Man muss nur wissen, auf welche Untergruppe heruntergebrochen wird. (γ −1 ∂a γ mit
γ = exp(iξ(x)X))
In den Arbeiten von CWZ (1969) gibt es ein Linearisierungstheorem, mit dem man feststellen kann,
ob eine Transformation nichtlinear ist. (Das Signal für echte nichtlineare“ Transformationen ist, dass
”
der Nullpunkt verschoben wird.) Das Theorem lautet: Ist H ⊂ G, Th O = O für T ∈ H, so existieren
Koordinaten y mit einer Umgebung von O: Th y = D(h)y.
8.) Spezialfall chirale Symmetrien (Automorphismus T 7→ T , X 7→ −X, Parität“)
”
e , Xi und Ti mit i = 1, 2, 3. Außerdem benötigen wir:
Wir betrachten ψe = N
· µ
¶¸
~ ~τ γ 5
γ(ξ(x)) = exp i ξ(x)
2
e -Darstellung
γ sind die Vertreter von SU(2)= H-Rechtsnebenklassen. Das Transformationsgesetz lautet in N
0
folgendermaßen: gγ(ξ(x)) = γ(ξ (x))h(ξ(x), g).
· µ
¶¸
~τ
~τ 5
~
g = exp i α
~ · 14 + β · γ
∈ SU(2) ⊗ SU(2)
2
2
· µ
¶¸
µ
¶
· µ
¶¸
µ
¶
~τ
~τ
~ ~τ γ 5 = exp i ξ~0 (x) · ~τ γ 5 exp iθ(x)
~
~ ξ;
~ α
~
~ · ~τ γ 5 + α
exp i β
~ · 1 exp iξ(x)
· 1 mit θ~ = θ(
~ , β)
2
2
2
2
2
µ
¶
~τ e
0
~
e
N (x) = h(ξ(x), g) = exp iθ(x) · N
2
Auf Blatt 11 zeigen wir:
γ −1 ∂a γ = iDaj (x)
τj
τj 5
γ + iEaj (x) 14
2
2
Mit einem Trick können wir γ(x) schreiben als:
à !
Ã
!
à !
~
~
~
~
~
|
ξ|
ξ
ξ(x)
|
ξ|
|ξ|
= cos
12 14 + i ~τ γ 5 · sin
γ(x) = exp i
· ~τ γ 5
~
~
2
2
2
|ξ(x)|
|ξ|
In der Exponentialfunktion steht die Darstellung von i auf dem 2 × 4-Raum. Im chiralen Fall gilt auch:
L=
F2
Sp(∂a U ∂ a U )
4
−
Wir benutzen hierbei die entkoppelte Version von su(2) ⊗ su(2): Q+
i , Qj und den Projektoren:
Π± =
1
~L ≡ Q
~ + = Π+ ~τ und Q
~R ≡ Q
~ − = Π− ~τ
(14 ± γ 5 ) wobei Q
2
2
2
39
KAPITEL 3. CHIRALE SYMMETRIE UND NICHTLINEARE DARSTELLUNG
Wir erinnern uns an:
µ
¶
µ
¶
~τ
~τ
0
~
~
NL = Π+ N und NR = Π− N mit
= exp i(~
α + β) ·
NL und NR = exp i(~
α − β) ·
NR
2
2
· µ
¶¸
µ
¶
µ
¶
~ · ~τ Π+ + (~
~ · ~τ Π− exp iξ~ · ~τ (Π+ − Π− ) = exp iξ(x)
~ ~τ (Π+ − Π− ) ×
exp i (~
α + β)
α − β)
2
2
2
2
µ
¶
~τ
~
· (Π+ + Π− )
× exp iθ(x)
2
NL0
Hierbei gilt Π+ − Π− = γ 5 , Π+ + Π− = 14 und Π+ Π− = 0.
Ã
!
µ
¶
µ
¶
µ
¶
~ · ~τ
~
τ
ξ
~τ
~ ·
~ ~τ
Π+ : exp i(~
α + β)
exp i
= exp iξ~0 (x)
exp iθ(x)
2
2
2
2
Ã
!
µ
¶
µ
¶
µ
¶
~ · ~τ
~
τ
ξ
~τ
~ ·
~ ~τ
Π− : exp i(~
α − β)
exp i
= exp −iξ~0 (x)
exp iθ(x)
2
2
2
2
(∗1 )
(∗2 )
Die Berechnung von (∗1 )(∗2 )−1 ergibt:
¶
µ
¶¸ ·
µ
¶
µ
¶¸
µ
¶
µ
¶
·
µ
~τ
~τ
~τ
~τ
~ ~τ
~
~ ~τ ×
exp i~
αL
exp iξ(x)
exp −iξ(x)
·
exp −i~
αR
= exp iξ~0 (x)
exp iθ(x)
2
2
2
2
2
2
¶
µ
¶
µ
~ ~τ exp iξ~0 (x) ~τ
× exp −iθ(x)
2
2
µ
¶
µ
¶
~τ
~τ
0
0
−1
~
~
Φ (x) : = exp 2iξ (x) ·
= U Φ(x)V
mit U = UL = exp i(~
α + β) ·
≡ Uα β
2
2
¶
µ
0 0
~τ
−1
~ · ~τ
~
≡ (V −1 )β 0 α wobei Φ = φ4 12 + iφ
und V
= exp −i(~
α − β) ·
2
Kommen wir am Schluss noch zur trigonometrischen Parametrisierung:
q
~
~ und φ
~ := ξ sin(|ξ|)
~ mit |ξ|
~ = ξ~ · ξ~
φ4 = cos(|ξ|)
~
|ξ|
Dies rechen wir auf dem zwölften Übungsblatt aus.
L2 =
1 F2
Sp(∂a φ∂ a φ+ )
2 2
40
Kapitel 4
Nichtlineare σ-Modelle im Rahmen
von Supersymmetrie
4.1
Einleitung
U Spontane Brechung von Supersymmetrie und nichtlineare Darstellung (hier vermutlich nicht)
â Goldstone-Felder ⇒ Fermion
â nichtlineare Transformation ψ
Der Startpunkt für Supersymmetrie bildeten Volkov und Akulov (1972), als sie Goldstonefelder für
Neutrino postulierten.
U Spontane Symmetriebrechung G 7→ H (Goldstonebosonen (Lorentzskalarfelder mit Spin 0))
â Lineare Darstellung von Supersymmetrie, supersymmetrischer Partner zu Goldstoneboson mit
Spin 1/2
â D = 4 Poincare-Supersymmetrie
â Quasi-Goldstonefelder
â Lorentzskalarfelder als komplexe Skalarfelder: chirale Spinorfelder (Multipletts)
Wir gehen aus von der supersymmetrisch-kovarianten Ableitung: Dα̇ φ(z) = 0 mit z = (xα , θα , θα̇ . Diese
Definition erinnert an die Cauchy-Riemann-Bedingung für holomorphe Funktionen, nämlich ∂z f (z, z) = 0
(φ(x) = φ(z)|θ=0=θ ). Die Felder φi und die entsprechenden komplex konjugierten Felder φi sind voneinander
unabhängig; sie transformieren auch voneinander unabhängig (chirale Spinorfelder). Man führt eine komplexe
Erweiterung der Lie-Gruppen durch: G 7→ Gc , G/H 7→ Gc /H c mit Ĥ ⊂ H c . Eine typische Lagrangefunktion
sieht folgendermaßen aus:
j
L(φ, φ) = ∂a φi ∂ a φ gij (φ, φ) wobei gij = 0, gij = 0
gij und gij sind die Metriken von hermiteschen Mannigfaltigkeiten. Zusätzliche Bedingungen führen auf sogenannte Kähler-Mannigfaltigkeiten. Betrachten wir komplexe/fastkomplexe Mannigfaltigkeiten:
α̇
z 0α = f α (z) und z 0α̇ = f (z) mit xi = (Re(z α ), Im(z α )) mit i = 1, . . . , 2n und α = 1, . . . , n
i : I i , I jk = −δ ik für jedes x
Für komplexe Mannigfaltigkeiten hat die Integrabilitätsbedingung die Form N ijk = −N ikj = Ableitung auf I =
0. (Man spricht von der Nijenhuis-Torsion.) Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit gilt ds2 = gαβ dz α dz β mit
gαβ = 0 = gα̇β̇ .
gij = gkl I ki I lj mit Iij = gik I kj = −Iji
Ω=
1
Iij dxi ∧ dxj
2
41
KAPITEL 4. NICHTLINEARE σ-MODELLE IM RAHMEN VON SUPERSYMMETRIE
Fall Ω geschlossen (dΩ = 0) ist, haben wir eine Kähler-Mannigfaltigkeit.
Dj I ij = 0, gαβ = ∂α ∂β K(z, z) (Kählerpotential)
z und z werden als voneinander unabhängig betrachtet, ebenso wie die partiellen Ableitungen ∂z =
∂
∂z = ∂z
.
∂
∂z
und
K 0 (z, z) = K(z, z) + F (z) + F (z)
Dies wird uns auf folgende Wirkung S für D = 4 und N = 1 führen:
µZ
¶
Z
j
4
2
2
i
4
2
S = d x d θ d θK(φ , φ ) +
d x d θ W (φ) + hermitesch konjugiert
j
K(φi , φ ) ist das Kählerpotential und W (φ) das Superpotential.
4.2
Poincare-Supersymmetrie
Wir betrachten die einfache Supersymmetrie (N = 1) in vier Dimensionen (D = 4).
4.2.1
Lorentzgruppe
Das Symbol für die Lorentzgruppe ist O(1, 3), wobei die 1 für das Pluszeichen und die 3 für die drei Minuszeichen in der Metrik stehen. Die Transformationen sehen folgendermaßen aus:
p0a = Λab pb , Λ| ηΛ = η 0 mit η = diag(1, −1, −1, −1)
det Λ = ±1; (Λ00 )2 = 1 +
3
X
(Λi0 )2 ≥ 1
i=1
L↑+
= SO(1, 3) ↑ bezeichnet man als eingeschränkte Lorentzgruppe. Diese ist nicht einfach zusammenhängend.
Dies bedeutet, dass man die Fundamentalkurve, die sich auf eindimensionale Strukturen bezieht, nicht stetig
deformieren kann (Π1 (G) 6= 1). Die eingeschränkte Lorentzgruppe L↑+ kann man schreiben als SL(2, C)/Z2 ,
wobei Z2 = {1, −1} ist (vergleiche mit SO(3) ' SU(2)/Z2 ). M ∈ SL(2, C) wird abgebildet wird abgebildet auf
Λ ∈ L↑+ , M , −M 7→ Λ.
p=
1
pa σ a mit σ a = (σ 0 = 1, σ i = τ i )
2
τ i sind die Paulimatrizen (Lie-Algebra SU(2), C3 ). Im folgenden sei pa reell; wir schauen uns also die reelle
eingeschränkte Lorentzgruppe L↑+ an. Es ist also p+ = p, p = pαβ̇ . In der SL(2,C) haben wir die Spinoren
ψα , χα̇ mit εαβ , wobei ε12 = −1 ist. Weiterhin haben wir εα̇β̇ mit ε1̇2̇ = −1, εαβ εβγ = δα γ , εα̇β̇ εβ̇ γ̇ = δα̇ γ̇ . Wir
betrachten nun auf SL(2, C) irreduzible Tensoren Tα1 ...αn ,β̇1 ...β̇m . Wir schauen uns nun Transformationen an,
welche die Hermizität nicht ändern: p0 = M pM + , p0+ = p0 mit Mα β ∈ SL(2, C) Bei diesen Transformationen
gilt det p0 = det p, 4 det p = pa pa . Für Lorentztransformationen gilt Λ| ηΛ = η mit det Λ = +1. Brechung
von Λ = Λ(M ):
σ aαβ̇ (σ b )β̇γ mit σ a = (σ 0 = 1, σ i = −σ i ) = (σ a )β̇γ
Für die Spur dieses Objekts gilt Sp(σ a σ b ) = 2η ab (1).
p0 =
1
1 0 a
p σ = (Λab pb )σ a , (M σ b M + )αβ̇ = Λab σ aαβ̇
2 a
2
Multipliziert man die letzte Gleichung mit (σ b )β̇α und bildet die Spur, so gilt:
Λ ab =
1
Sp(M σ b M + σ a )
2
Dies ist eine stetige Funktion von M , wobei ja M und −M ∈ SL(2, C) und Λ ∈ L↑+ . Die Abbildung von M ,
−M auf Λ ist außerdem surjektiv. Wir stellen nun die Beziehungen zusammen, welche für uns wichtig sein
werden:
(σ c )αβ̇ (σ c )γ̇δ = 2δα δ δβ̇ γ̇
(2)
42
4.3. VIER-KOMPONENTENNOTATION
(εσ a )α̇β = (εσ a )β α̇ = εα̇γ̇ (σ a )γ̇β
(3)
(σ a )+ = σ a , (σ aαβ )∗ = σ aβ α̇
(4)
i
i a b
(σ σ − σ b σ a )αβ = (σ ab )αβ und (σ a σ b − σ b σ a )α̇β̇ = (σ ab )α̇β̇
2
2
1 a b
1
(σ σ + σ b σ a )αβ = δα β η ab und (σ a σ b + σ b σ a )α̇β̇ = δ α̇β̇ η ab
2
2
((σ ab )αβ )∗ = (σ ab )β̇ α̇
(5)
(6)
(7)
− 21 (σ ab )αβ ist eine Darstellung der Lorentzgruppe M ab ebenso wie − 12 (σ ab )α̇β̇ .
[M ab , M cd ] = i(η ac M bd + η bd M ac ) − i(η bc M ad + η ad M bc )
¶
µ
¶
µ
1
1
, 0 , χβ̇ 0,
SL(2, C) : ψβ
2
2
Es gibt außerdem eine Regel, welche mit der Dualität zu tun hat. Wir benutzen den vierdimensionalen antisymmetrischen Tensor εabcd mit ε0123 = 1 und ε0123 = −1. Dann ist der duale Tensor definiert durch
e
Teab = αεabcd Tcd . Das α bestimmt man auch der Forderung Teab = Tab . Es gilt nun:
i
σ
eab = − εabcd σcd = σ ab
2
Damit ist σ ab ein selbstdualer antisymmetrischer Tensor 2.Stufe. Weiterhin ist:
eab = − i εabcd σ cd = −σ ab
σ
2
Man bezeichnet σ ab als antiselbstdualen antisymmetrischen Tensor 2.Stufe. Es bleiben also drei Freiheitsgrade
übrig, da diese Beziehungen gelten. Darüber hinaus gilt:
(σ ab ε)αβ = (σ ab )αγ εγβ = (σ ab ε)βα und (εσ ab )α̇β̇ = (εσ ab )β̇ α̇
Die beiden Matrizen sind symmetrisch bezüglich der Indizes α, β bzw. α̇, β̇. (εα̇β̇ ist analog zu εαβ definiert.)
Man verwendet dies bei:
Vαβ = V εαβ + Vαβ und Vαβ = (σ ab ε)αβ Vαβ
(0,0)
^
^
^
( 22 ,0)
Spinornotation:
p
( 12 , 12 )αβ̇
=
1 a
(σ )αβ̇ pa und die Umkehrung pa = (σ a )α̇β pβ α̇
2
Wir vergessen damit die σ ab -Matrizen und schreiben nur noch die Spinorindizes.
cd
£
¤
(σ σ a )αβ̇ = −i(σ b )αβ̇ η ca δbd − η da δbc − iεcdab
£
¤
(σ a σ cd )αβ̇ = i(σ b )αβ̇ η ac δbd − η ad δbc + iεacdb
4.3
Vier-Komponentennotation
In vier Dimensionen gilt {γ a , γ b } = 2η ab φ4 . Die γ-Matrizen sind gegeben durch:
µ
¶
0
(σ a )αβ̇
β
∧
∧
(γ a )α =
mit der Indexstruktur α ↓= (α ↓, α̇ ↑) und β ↑= (β ↑, β̇ ↓)
(σ a )α̇β
0
Dies ist eine spezielle Darstellung der Clifford-Algebra, die man Weyl-Darstellung der C4 nennt. Wenn
man von der SL(2, C) her kommt, is es sinnvoll, diese Darstellung zu nehmen, weil die Viererspinoren in
zweikomponentige Spinoren zerlegt werden. Außerdem verwenden wir folgende Notation:
µ
¶
14 ± γ 5
12
0
mit ψL = Π+ ψ, ψR = Π− ψ
γ 5 := −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =
und Π± =
0 −12
2
43
KAPITEL 4. NICHTLINEARE σ-MODELLE IM RAHMEN VON SUPERSYMMETRIE
(ψL )α =
µ ¶
µ ¶
0
ψα
und (ψR )α =
0
χα̇
ψα und χα̇ sind sogenannte Weylspinoren. Im Gegensatz dazu ist ein Dirac-Spinor gegeben durch:
µ
¶
ψα (x)
ψα (x) =
= (ψL )α + (ψR )α
χα̇ (x)
Dieser besitzt 2 · 4 reelle Freiheitsgrade für alle x. Der zu ψ adjungierte Spinor ist gegeben durch ψ :=
∧
(χα , ψ α̇ ) = ψ † A, wobei Aγ a A−1 = (γ a )† gilt. Die Matrix A besitzt die Indexstruktur Aβ̇α mit β̇ ↑ = (β̇ ↑, β ↓).
(Oft verwendet man die Matrix γ 0 .) Eine Invariante unter SL(2, C) ist gegeben durch ψψ = χα ψα + ψ α̇ χα̇ .
Es gibt 16 unabhängige Größen in der Clifford-Algebra, nämlich 14 (1), γ a (4), γ a γ b (6), γ a γ b γ c (4) und
γ a γ b γ c γ d (1). (Die Zahlen in Klammern bezeichnen, wie viele solche Objekte es gibt.)
¶
µ
a
b
5 a
5 a i
ψOψ mit O = 14 , γ γ , γ γ , [γ , γ ]
2
Als Übung kann man zeigen, dass folgendes gilt:
χσ ab ψ − ψσ ab χ =
1 ab
ε
(χσ ad ψ + ψσ cd χ)
2i cd
Betrachten wir nun den ladungskonjugierten Spinor zu ψ:
Ã
!
µ
¶
χ
(x)
εαβ
0
|
α
C
ψα (x) =
= Cψ mit Cαβ =
α̇
0
εα̇β̇
ψ (x)
α̇
Der Majorana-Spinor ist gegeben durch ψ C = ψ. Hier gilt ψα ≡ χα , ψ ≡ χα̇ .
à !
ψα
ψM (x) =
α̇
ψ
Dieser besitzt 2·2 = 4 reelle Freiheitsgrade. Wir wissen, dass für einen Dirac-Spinor gilt: ψγ a ψ = χσ a χ+ψσ a ψ.
Für einen Majorana-Spinor gilt entsprechend ψγ a ψ = ψσ a ψ + ψσ a ψ. Falls die ψα -Komponenten auch mit
α̇
den ψ -Komponenten antivertauschen, gilt:
β̇
β̇
ψ α σαa β̇ ψ = −ψ (σ a )αβ̇ = −(ψ γ̇ εβ̇ γ̇ )(σ a )αβ̇ (εαδ ψδ ) = −ψ γ̇ (−εδα (σ a )αβ̇ εβ̇ γ̇ )ψδ = −ψ γ̇ (−(εσ a ε)δγ̇ )ψδ
Mittels −(εσ a )α̇β εα̇γ̇ = (εσ a )β α̇ εα̇γ̇ folgt: −ψ γ̇ (−(εσ a ε)δγ̇ )ψδ = (σ a )γ̇δ . Für Majorana-Spinoren gilt ψ M γ a ψM =
0. Für antikommutierende Spinorkomponenten gilt ψσ ab ψ = 0 = ψσ ab ψ. Anmerkung: Für MajoranaSpinoren ψM funktionieren keine Phasentransformationen ψ 0 = exp(iα)ψ. Es sind jedoch γ 5 -Transformationen
0
der Form ψM
= exp(iαγ 5 )ψM möglich.
4.4
Poincare-Supersymmetrie für N = 1 und D = 4
Wir wählen bosonische Generatoren B und eine Lie-Algebra mit dem Kommutator [, ] der Form [B, B0 ] = B
als Lie-Klammer. Neben den bosonischen Generatoren nutzen wir auch fermionische Generatoren F, welche
Antikommutatorrelationen der Form {F1 , F2 } = B erfüllen sollen. Der Antikommutator besitzt also wieder
eine Bosestruktur. Wenn man einen bosonischen mit einem fermionischen Generator zusammenpackt benutzt
man den Kommutator [B, F] = F 0 . Die B sind vom Grad 0 (∈ L0 ) und die F vom Grad 1 (∈ L1 ). Falls
die Grade definiert sind, gilt für AB ∈ L0 ⊕ L1 , dass Grad(AB) = (Grad(A) + Grad(B))( mod 2) ist. (Man
bezeichnet dies als Z2 -Graduierung und spricht auch von einer Super-Lie-Algebra, Z2 -graduierte Lie-Algebra.)
Falls A, B wieder einen definierten Grad haben, schreiben wir [A, B} := AB − (−1)ba BA (verallgemeinerter
Kommutator), wobei b ≡ Grad(B), a ≡ Grad(A) gilt mit a = 0, falls A ein B-Typ ist und 1, falls A ein F-Typ
ist. Als Übung kann man zeigen, dass [A, B} = −(−1)ba [B, A} gilt. Der verallgemeinerte Kommutator erfüllt
die verallgemeinerte Jacobi-Identität:
X
° [[A, B}, C} ≡ [[A, B}, C} + (−1)a(b+c) [[B, C}, A} + (−1)(a+b)c [[C, A}, B} ≡ 0
Die Jacobi-Identität ist nach Definition trivial erfüllt, falls A, B und C definierte Grade haben. Man verα̇
α̇
wendet nun Qα , Q mit Qα = (Qα , Q )| als Generatoren. Diese Generatoren erfüllen der Antikommutaα̇
β̇
torrelation {Qα , Qα̇ = 2σ a Pa mit Pa = (P0 = H = P 0 , −P~ ). Außerdem gilt {Qα , Qβ } = 0 = {Q , Q }
αα̇
44
4.4. POINCARE-SUPERSYMMETRIE FÜR N = 1 UND D = 4
und [Pa , Qa ] = 0 = [Pa , Qα̇ ]. Diese erfüllen die Jacobi-Identität, was man als Übung nachrechnen kann. Die
Massendimensionen sind [Pa ] = 1 und [Q] = 21 = [Q]. SU(2,C)-Spinorstruktur:
µ
¶α̇
³σ ´ β
σ ab
α̇
β̇
ab
[Mab , Qα ] =
, [Mab , Q ] =
Q
2 α
2
β̇
Zunächst können wir noch eine zusätzliche U(1)-Symmetrie, nämlich die sogenannte R-Symmetrie, fordern:
[R, Qα ] = −Qα und [R, Qα̇ ] = Qα̇
In der Vierernotation lautet dies folgendermaßen:
{Qα , Qβ } = 2γ
a β
α Pa
Falls wir R-Symmetrie fordern, gilt [R, Qα ] = γ 5α β Qβ . Folgende Eigenschaften sind evident:
a.) H0 = P0 ≥ 0
(11̇) : 2(P0 + P3 ) = Q1 Q1̇ + Q1̇ Q1
(22̇) : 2(P0 − P3 ) = −Q2 Q2̇ − Q2̇ Q2
Daraus ergibt sich dann:
2
X
¤
£
Qα Qα̇ + Qα̇ Qα
4P0 = 4H =
α=1
Ã
1
hψ|H|ψi =
2
2
X
2
|Qα̇ |ψi| +
α=1
2
X
!
2
|Qα |ψi|
α=1
Für E = 0 gilt Q|ψ0 i = 0 = Q|ψ0 i. Wir sehen, dass es sich um einen positiv semidefiniten Hilbertraum
handelt.
α̇
b.) Antikommutierende Parameter: ξ α Qα , Qα̇ ξ , ca Pa , wobei ca reell ist
g(ξ1 , ξ 1 , c1 ) = exp(iG(ξ, ξ, c)), g(ξ1 , ξ 1 , c1 )g(ξ2 , ξ 2 , c2 ) = g(ξ3 , ξ 3 , c3 )
Mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel gilt:
β̇
β̇
ξ α {Qα , Qβ̇ }ξ = 2ξ α (σ a )αβ̇ ξ Pa
Für die linke Seite gilt mit ξ α Qα = −ξα Qα , Qα = εαβ Qβ , εαβ εβγ = δ αγ und ξβ = εβα ξ α :
β̇
β̇
β̇
ξ α {Qα Qβ̇ }ξ = [ξ α Qα , Qβ̇ ξ ] = −Qβ̇ ξ ξ α Qα
Wenn man ξ α Qα hermitesch konjugiert, gilt:
(ξ α Qα )† = (Qα )† (ξ α )† = Qα̇ ξ
α̇
Translation in antikommutierenden Variablen:
α̇
α̇
ξ3,α = ξ1,α + ξ2,α , ξ 3 = ξ 1 + ξ 2
α̇
ca3 = ca1 + ca2 + iξ1 σ a ξ 2 − iξ2 σ a ξ 1
Dies sollte als Übung nachgerechnet werden. Es ist c ∈ R; die beiden letzten Objekte sind jedoch keine Zahlen im normalen Sinn mehr. Man spricht dann von C-Zahlen (kommutierende Zahlen). (Durch
komplex Konjugieren gehen diese beiden Objekte ineinander über.)
c.) Superraum (xa , θα , θα̇ ) ≡ z
Die xa sind C-Zahlen und θα , θα̇ sind A-Zahlen. θα und θα̇ gehen auch wieder durch komplexe Konjugation
ineinander über. Darstellungen auf z-Raum:
µ
¶
µ
¶
∂
∂
∂
∂
ˆ α̇ = i
a
a α̇
+
i(σ
und
P̂a = i a ≡ i∂a , Q̂α = i
θ)
Q
+
i(σ
θ)
∂
α
a
∂x
∂θα
∂xa
∂θα̇
∂a θ β ≡
∂
∂ β
α̇
θ = δα β , ∂ θβ̇ ≡
θ = δβ̇α̇
α
∂θ
∂θα̇ β̇
−
β̇ ←
β̇
(∂a θβ )† = (δα β )† = δα̇ β̇ und (∂a θβ )† = −θ ∂ α̇ = −∂α̇ θ
45
KAPITEL 4. NICHTLINEARE σ-MODELLE IM RAHMEN VON SUPERSYMMETRIE
d.) Superfelder Φ(z)
i.) Grad ΦI
½
GradΦi =
0
Bosonisches Feld, falls i 6= j gerade
1 Fermionisches Feld, falls i 6= j ungerade
ii.) Entwicklung in θα , θα̇
α̇
ΦI (z) = CI (x) + θα ψI,α (x) + θα̇ χI α̇ + θα θα MI (x) + θα̇ θ NI (x) + (θα σ a θα̇ )VI,a (z)+
α̇
α̇
α
α
+ (θα θα )(θα̇ µα̇
I (x)) + (θ α̇ θ )(θ λI,α (x)) + θ θα θ α̇ θ DI (x)
I = (0, 0)16/16
Dies ist aber noch kein Superfeld. Ein Superfeld ist dadurch ausgezeichnet, dass es folgendermaßen
transformiert:
ˆ + ca P̂ )Φ (z) (lineare Darstellung (Differentialoperator))
δΦ = Φ0I (z) − ΦI (z) = i(ξ Q̂ + Qξ
a
I
δΦI = δCI + θα δψI,α + . . . + θα θα θα̇ θ
α̇
δDI ≡ CI0 (x) − C(x) etc.
CI transformiert folgendermaßen:
δCI = −ca ∂a CI + ξ α̇ ψI,α̇ (x) + ξ α̇ χI α̇ (x)
Der springende Punkt ist nun:
¸
·
i a
i a
a
∂DI = −∂a c DI − ξσ µI − ξσ λI (x)
2
2
Diese Tatsache wird nun später verwendet, wenn man versucht, supersymmetrische Wirkungen aufzubauen, die invariant sind.
Z
S = d4 x L(x)
L(z) enthält Produkte von Superfeldern und kovarianten Ableitungen.
1
!
− ∂ a ∂a (θβ θβ ) = 1
4
1
β̇
ȧ
− ∂ ȧ ∂ (θβ̇ θ ) = 1
4
µ
¶µ
¶
1
1
ȧ
L = − ∂ a ∂a
− ∂ ȧ ∂ L(z)
4
4
e.) Supersymmetriekovariante Ableitungen
ˆ ∂ = ∂ ist kovariant bezüglich P̂ , Q̂ ,
∂a = ∂x∂ a ist kovariant; dies bedeutet, dass [∂a , Q̂] = 0 = [∂a , Q].
α
α
α
∂θ α
was bedeutet, dass {∂α , Q̂β } = 0 ist. Man kann als Übung nachrechnen, dass für Dα = ∂α − i(σ a θ)α ∂a
ˆ β̇ } = 0.
gilt: {D , Q
α
ˆ , ξ α̇ ] = 0
[%α Dα , Q
β̇
Dα̇ = ∂ α̇ + i(θσ a )α̇ ∂a
{Dα , Dα̇ } = 2iσαa α̇ ∂a , {Dα , Dβ } = 0 = {Dα̇ , Dβ̇ }
Die Struktur der kovarianten Ableitungen ist damit gegeben durch:
Dα = ∂α − iα (σ a θ)∂a
Dα̇ = ∂ α̇ + i(θσ a )α̇ ∂a
Die D erfüllen eine Algebra, die genauso aussieht wie die Supersymmetrie-Algebra bezüglich der Darstellung mit den Q, nämlich {Dα , Dα̇ } = 2i(σ a )αα̇ ∂a . Eine Kombination von mehr als drei Dα bzw. Dα̇
verschwindet: Dα Dβ Dγ ≡ 0 ≡ Dα̇ Dβ̇ Dγ̇ . Schauen wir uns einige wichtige Regeln an:
46
4.4. POINCARE-SUPERSYMMETRIE FÜR N = 1 UND D = 4
α̇
i.) [Dα , Dα̇ D ] = 4iα (σ a D)∂a
[Dα̇ , Dα Dα ] = −4i(Dσ a )α̇ ∂a
α̇
ii.) {Dα , Dα̇ D } = −2Dα̇ Dα D
α̇
{Dα̇ , Dα Dα } = −2Dα Dα̇ Dα
α̇
iii.) [Dα Dα , Dα̇ D ] = 4iDα σ a Dα̇ ∂a − 4i(Dα̇ σ a Dα )∂a = 8iDα σ a Dα̇ ∂a + 16¤ = −8iDα̇ σ a Dα ∂a − 16¤
mit ¤ ≡ ∂ a ∂a
α̇
α̇
iv.) {Dα Dα , Dα̇ D } = 2Dα Dα̇ D Dα − 16¤
α̇
v.) Dα Dα̇ D Dα = Dα̇ Dα Dα D
α̇
f.) Chirale Superfelder
Man betrachtet Supersymmetrie-kovariante Einschränkungen an Φ(z). Die einfachste mit Supersymmetrie verträgliche Einschränkung ist, dass man Φ(t) reell wählt: Φ(z) = Φ∗ (z) = Φ(z). Dies funktioniert
aufgrund des Transformationsgesetzes δΦ = iĜ(ξ, ξ, c)Φ, was eine reelle Transformation ist, da Ĝ selbst
komplex ist. Φ(z) bezeichnet man dann als reelles Superfeld. Dies findet Verwendung, wenn man Vektorfelder supersymmetrisieren will. Man spricht dann manchmal von Vektor-Superfeldern. Eine andere
Einschränkung ist ∂a Φ = 0. Dieser Fall ist jedoch nicht interessant, da dann Φ nicht mehr von x abhängt:
Φ = Φ(θα , θα̇ ). Eine interessantere Einschränkung ist Dα̇ Φ = 0 (chirales Superfeld). Wir wollen nun
die Lösung dieser Gleichung bestimmen. Dazu macht man eine geeignete Variablentransformation im
(1)
(1)
(1)
Superraum, so dass ∂ α̇ ϕ(x(1),a , θ(1),α , θα̇ ) = 0 gilt, wobei ϕ(x(1),α , θ(1),α , θα̇ ) = Φ(z(z (1) )) gilt. Diese
Gleichung wird erfüllt von ϕ = ϕ(x(1) , θ(1) ), welches nicht mehr von θ
neuen Variablen einen Ansatz hinschreiben:
(1)
x(1),a = xa − iθα σ a θα̇ ≡ g a und θ(1),α = θα und θα̇ = θ
(1)
abhängt. Man kann nun für die
α̇
Man geht also in den komplexen Superraum über. Wir müssen nun mittels der Kettenregel die Ableitungen umrechnen:
∂ α̇ =
∂
∂θ
α̇
=
∂x(1),b
∂θ
α̇
(1)
∂θβ̇
∂
∂θ(1),β ∂
∂
+
+
α̇ ∂θ (1),β
α̇
(1)
∂x(1),b
∂θ
∂θ ∂θβ̇
(1)
Analog folgt ∂θ∂α und ∂x∂ a . Man erhält dann Dα̇ = ∂ α̇ und somit – wie schon oben erwähnt – eine
Funktion ϕ, die nicht mehr von θα̇ abhängt, nämlich der Form
√
Φ(z) = ϕ(xa − iθσ a θ, θα ) wobei ϕ(y, θ) = A(y) + θα 2ψα (y)θβ θβ F (y)
Wir machen eine Taylor-Entwicklung:
√
i
Φ(t) = A(x) + θα 2ψα (x) + θα θα F (x) − iθσ a θ∂a A(x) − θσ a θ(−iθσ b θ)∂a ∂b A(x)−
2!
√
+ i(θσ a θ)θα 2∂a ψα
Beiträge höherer Ordnung verschwinden, weil dann mehr als drei θ bzw. θ nebeneinander stehen. Man
kann den fünften Summanden weiter umformen:
α̇
θ θβ̇ = λδβ̇α̇ θα̇ θ
α̇
α̇
α̇
δα̇β̇ θ θα̇ = λ · 2θα̇ θ = −θα̇ θ
−
α̇
¶
µ
i a
1
1
α̇
θσ θ(−iθσ b θ) = (θσ a σ b θ) − θα̇ θ
∂a ∂b A =
2!
2!
2
µ
¶
1
α̇
= (θα θα ) − (θα̇ θ ) η ab ∂a ∂b A mit η ab ∂a ∂b = ¤
4
Man erhält also:
√
Φ(z) = A(x) + 2θα ψα (x) + θα θα F (x) + chirale Ergänzung
47
KAPITEL 4. NICHTLINEARE σ-MODELLE IM RAHMEN VON SUPERSYMMETRIE
Die chirale Ergänzung lautet:
µ
¶
µ
¶
i√
1
α̇
(θσ a θ)(−i∂a A) + θα θα θσ a −
2∂a ψ + θα θα θα̇ θ
− ¤A (chirales Multiplett 4/4)
2
4
Analog erhält man das antichirale Superfeld aus der Gleichung Dα ψ(z) = 0. Hier verwendet man die
Transformationen:
(2)
x(2),a = xa + iθσ a θ und θ(2),α = θα und θα̇ = θ
α̇
(2)
Damit geht Dα über in ∂α und wir erhalten:
√
α̇
ψ(z) = B(x + iθσ a θ) + θα̇ 2χα̇ (x(2) ) + θα̇ θ G(x)
Man muss nun wieder die Entwicklung durchführen:
√
α̇
ψ(z) = B(x) + θα̇ 2χα̇ (x) + θα̇ θ G(x) + antichirale Ergänzung
Betrachten wir nun speziell Φ, Dα̇ Φ = 0, Dα Φ = 0. Dann sieht Φ(z) wie oben aus und Φ(z) lautet:
√ α̇
Φ(z) = A∗ (x) + θα̇ 2ψ + θα θα F ∗ + . . . (antichiral)
α̇
Wir haben also die Felder A, A∗ , ψα , ψ (Majorana-Spinor), F und F ∗ . Auf dem zwölften Übungsblatt
zeigen wir, dass ein reelles chirales Superfeld konstant ist: Dα̇ Φ = 0, Φ = Φ∗ . Wir betrachten nun das
Transformationsverhalten unter ξ, ξ:
√
√
√
√
δA = −ξ α 2ψα (x) und δψα = −ξα 2F + 2iα (σ a ξ)∂a A und δF = ∂a (i 2ξσ a ψ(x))
Die F -Komponente von einem chiralen Superfeld transformiert mit der Raum-Zeit-Ableitung ∂a . Produkte von chiralen Superfeldern sind chiral und Produkte von antichiralen Superfeldern antichiral.
g.) Wess-Zumino-Modell (1974)
Mit diesem Modell wurde die Supersymmetrie eingeleitet. Wir gehen aus von einer Supersymmetrieinvarianten Wirkung für ein komplexes Skalarfeld. Das komplexe Skalarfeld haben zuerst Pauli und
Weisskopf im Jahre 1934 behandelt. Was wir benötigen, ist ein kinetischer Term L(x) = ∂a A∗ ∂ a A.
Dies
√ ist die Struktur des kinetischen Terms eines komplexen Skalarfelds. (Mittels der Transformation
1/ 2(A + iB), wobei A und B reelle Felder sind, kann man den kinetischen Term auf reelle Felder
umschreiben.) Der Trick, um supersymmetrische Wirkungen S zu erhalten, ist nun:
L(z)|D,θα θ
α θ α̇ θ
α̇
: L
α̇
Für die Dimensionen gilt [L] = 4, [θα θα ] = −1 und [θα̇ θ ] = −1. Skalare Felder besitzen die Dimension
1. Gilt [Φ] = d, [A] = d, so folgt [ψ] = d + 12 und [F ] = d + 1. Falls Φ| = Φ|θα =0=θα̇ = A, hat das Superfeld
Φ die Dimension 1. Gilt F = φ|θα θα = A, so folgt [Φ] = 0.
Lkin (z) = λΦΦ, L(x) = λΦΦ|θα θ
α θ α̇ θ
α̇
µ
¶
¶
i
1
α̇
√ ∂a ψσ a θ + θα θα θα̇ θ
− ¤A∗
4
2
µ
¶
µ
¶
√ α
1
i
α̇
α
a
α
a
α
− ¤A
Φ = A + 2θ ψ + θ θα F + θσ θ(−i∂a A) + θ θα − √ θσ ∂a ψ + θ θα θα̇ θ
4
2
¶
µ
¶
µ
1
1
i
1
i
ΦΦ|D = A∗ − ¤ A + − ¤A∗ A + (−1)2 ∂a A∗ ∂ a A + ψσ a ∂a ψ − ∂a ψσ a ψ + F ∗ F =
4
4
2
2
2
¸
·
1
3
i
1
= ∂a A∗ ∂ a A + ψσ a ∂a ψ − ∂a ψσ a ψ + F ∗ F + ∂b − A∗ ∂ b A − (∂ b A∗ )A = Lkin (x) + ∂a (. . .)
2
2
4
4
|
{z
}
Φ = A∗ +
√
α̇
2ψθα̇ + θα̇ θ F ∗ + θσ a θ(−i∂a A∗ ) + θα̇ θ
α̇
µ
weg in S
Dies ist die supersymmetrische Version des kinetischen Terms eines Skalarfelds. Woher kommt das Potential V (A∗ A)? Superpotential:
W (φ) = λΦ +
m 2
g
Φ + Φ3 + . . .
2
3!
48
4.4. POINCARE-SUPERSYMMETRIE FÜR N = 1 UND D = 4
Wenn nur die Φ vorkommen, ist W (Φ) chiral, da Dα̇ W (Φ) = 0 ist. Daraus folgt W (Φ) = W (Φ) und
Dα W (Φ) = 0.
Lpot (x) = W (Φ)|F,θα θα + W (Φ)|F ∗ ,θθ
α̇
Ls,pot (z) = θα̇ θ W (Φ) + θα θα W (Φ)
Das Superpotential W (Φ) hat die Dimension 3 und L damit die Dimension 2. Die Komponentenversion
hat folgende Form:
1
∂
W (φ)|θα θα = − ∂ α ∂α W (φ) mit ∂α = α
4
∂θ
Als Übung kann man zeigen, dass − 41 ∂ α ∂α θβ θβ = 1 ist. Damit ergibt sich weiter für das Superpotential:
1
1
1
W (φ)|θα θα = − ∂ α [∂α φW 0 (φ)] |θα θα = − ∂ α ∂α φW 0 (φ) − ∂ α φ∂α φW 00 (φ)|θα θα =
4
4
4
1 α
1 α
0
= − ∂ ∂α φ|θα θα W (φ)|θα θα − ∂ φ|θα θα ∂α φ|θα θα W 00 (φ)|θα θα =
4
4
1 √ α√
0
00
= F W (A) −
2ψ 2ψα W (A)
4
Damit lautet der potentielle Teil der Lagrangedichte:
1
1
α̇
0
00
Lpot (x) = F (x)W 0 (A) − ψ α ψα W 00 (A) + F ∗ (x)W (A∗ ) − ψ α̇ ψ W (A∗ )
2
2
Die Wess-Zumino-Lagrangedichte setzt sich aus dem kinetischen und potentiellen Anteil zusammen:
α̇
LW Z = Ls,kin + Ls,pot mit LWZ (z) = φ(z)φ(z) + θ θα̇ W (φ) + θα θα W (φ)
Die Wirkung ergibt sich aus:
µ
¶µ
¶
Z
Z
1
1
α̇
4
α
4
LWZ (z) = Lkin (x) + Lpot (x)
− ∂ α̇ ∂
SWZ = d x LWZ (z)|θα θ θ θα̇ = d x − ∂α ∂
α α̇
4
4
|
{z
}
Z
dz 000
Dies ist das einfachste supersymmetrische Modell. Wir wollen nun die Hilfsfelder F und F ∗ eliminieren.
Dazu betrachten wir die (off-shell) Eulergleichungen:
0
F ∗ : F = −W (A∗ ) und für F : F ∗ = −W 0 (A)
Dabei handelt es sich um gewöhnliche algebraische Gleichungen und nicht um Bewegungsgleichungen, da
sie ja keine Ableitungen enthalten. F und F ∗ wird nun mit Teilchen der Euler-Lagrange-Gleichungen
eliminiert:
i
1
1
00
0
onshell
Lpartial
(x) = ∂ α A∗ ∂α A + Ψ∂ α ∂α Ψ − ΨΨW 00 (A) − ΨΨW (A∗ ) − W (A∗ )W 0 (A)
WZ
2
2
2
Also folgt der Potentialterm (ohne Ψ und Ableitungen):
V (A∗ , A) = |W 0 (A)|2 ≥ 0
Er enthält also nur die Ableitung des Potentials. (In der Supersymmetrie sind Transformationen ohne F
im allgemeinen nichtlinear.) Die restlichen Bewegungsgleichungen lauten nun:
1
000
00
A∗ : 0 = −¤A − ΨΨW (A∗ − W 0 (A)W (A∗ )
2
Ψα : iσ a ∂a Ψ − Ψα W 00 (A) = 0 analog für A, Ψα̇
c.) Nichtlineare σ-Modelle supersymmetrisch:
Wir gehen über von π i (mit i = 1, 2, 3) zu Ai und (A∗ )i mit i = 1, . . ., n und i = 1, . . ., n. Im reellen
verdoppelt sich die Dimension der Mannigfaltigkeit (M2n ).
Z
´
³ i
α̇
i
i
2 a j ?
Lπ = ∂a π gij (~π )∂ π −
→ SWZ = dz Φ δij Φj + θα̇ θ W 0 (Φi ) + θα θα W (Φ )
49
KAPITEL 4. NICHTLINEARE σ-MODELLE IM RAHMEN VON SUPERSYMMETRIE
Wir sind nun auf der Suche nach:
j
L = ∂a A = gji (A, A)∂ a Aj mit gij (A, A) = gij (A, A) und gij = 0 = gij
gij ist damit eine sogenannte hermitesche Metrik (siehe Aufgabenblatt 2).
Z
Z
SK = d8 z K(Φ, Φ) ≡ dz K(Φ, Φ)
j
Φ sind chirale Superfelder mit Dα̇ Φi = 0 für i = 1, . . ., n. Die Φ = (Φj )∗ sind antichirale Superfelder
j
wegen Dα Φ = 0. Wir verwenden nun, dass K eine reelle Funktion ist, dass also K = K ∗ gilt.
¶
¶
µ
¶µ
µ
Z
Z
1 1 α
1
1
1 α̇
α̇
α̇
d4 x − ∂α ∂ α
− ∂ ∂ α̇ K = d4 x
D Dα Dα̇ D + Dα̇ D Dα Dα K(Φ, Φ) =
4
4
2 16
16
Z
Z
1
1
α̇
α̇
= d4 x (Dα Dα , Dα̇ D )K(Φ, Φ) = d4 x Dα Dα̇ D Dα K(Φ, Φ) =
32
16
Z
1
α̇
= d4 x Dα̇ Dα Dα D K(Φ, Φ)
16
α̇
α̇
Es gilt D Dα̇ Dα Φi = 0, weil [D Dα̇ , Dα ]Φi ∼ D∂α Φ = 0 nach Gleichung i). Dies hat den Effekt, dass
∂
∗
zum Schluss nicht Ki auftaucht, sondern Ki = ∂A
i K(A , A). Damit ergibt sich:
1 α
α̇
D Dα̇ D Dα K(Φ, Φ) =
16
·
¸
i
i i a
j
∗
j a i
∗ j i
i
a j
= Kji (A , A) ∂a A ∂ A − ∂a Ψ (x)σ Ψ + Ψ σ ∂a Ψ + (F ) F
+
2
2
kin
h
i
1
j k,α̇
k
+ Kjki (A∗ , A) −F k Ψα̇ Ψ + iΨi σ a Ψ ∂a A?,j +
2
h
i 1
¡
¢ ³ k j,α̇ ´
1
i
+ Kjki (A∗ , A) −F ?,i Ψj,α Ψkα + iΨ σ a Ψk ∂a Aj (x) + Klikj (A∗ , A) Ψlα Ψiα Ψα̇ Ψ
2
4
LK (x) =
∂ 2 K(A∗ , A)
∂A?,j ∂Ai
∗
∗
∗
K(A , A) = K (A , A) ist das Kählerpotential. Die Kählerbedingung lautet:
gij (A∗ , A) = gji (A∗ , A) =
lokal
∂k gij − ∂i gkj = 0 = ∂ k gij − ∂ j gik −−−→ gij = ∂i ∂j K(Φ, Φ)
Kähler-2-Form:
´
i
i³
Ω = gij dAi ∧ dA?,j mit dΩ =
∂k gij dAk ∧ dAi ∧ dA?,j + ∂k gij dA?,k ∧ dAi ∧ dA?,j
2
2
Lokal kann man die hermitesche Metrik mittels des Kählerpotentials ausdrücken.
!
dΩ = 0 (geschlossene 2-Form)
Eliminiere F ?,i und F i in S = SK + SPotential . Die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen lauten:
1
F ?,j : Kji F i − Kikj (A∗ , A)ψ i,α ψ kα + W j (A∗ ) = 0
2
1
j
k,α̇
F j : Kji F ?,i − Kikj (A∗ , A)ψ α ψ
+ Wj (A) = 0
2
1
Lpot = F i Wi (A) − ψ i,α ψ jα Wij (A) + h.k.
2
i
Kji ist nichtsingulär: K ij Kjk = δki , K ij Kjk = δk .
i
i
i
Lpartial onshell = ∂a A?,j − Kji (A∗ , A)∂ a Ai + ψ i σ a ∂a ψ j Kji + Kjki (ψ σ a ψ k )∂a Aj +
2
2
i
1
i
j k
?,j
i a k
l i
+ Kjki (ψ σ ψ )∂a A + Klijk (ψ ψ )(ψ ψ ) − (ψ j ψ i )Wij (A)+
2
4
2
1 i j
∗
?,j
∗
i
∗
− ψ ψ W ij (A ) − F (A , A, ψψ)Kji F (A , A, ψψ)
2
Das Potential ist schließlich gegeben durch:
V (A∗ , A) = F ?,j (A∗ , A, 0)Kji (A∗ , A)F i (A∗ , A, 0) ≥ 0
50