Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005

Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005 - Prof. H. Kroha
Klausur
28. Januar 2005
1.) Relativistische Wellengleichungen
(3+3+4+2=12 Punkte)
a) Gib die freie Klein-Gordon-Gleichung und die freie Dirac-Gleichung in kovarianter Form
an. Gib dabei auch eine Darstellung der Dirac-Matrizen γ µ an. Was wird durch diese
Gleichungen beschrieben ?
b) Gib den Antikommutator der Dirac-Matrizen γ µ an. Zeige, dass für die Spur
Sp(γ µ ) = 0 gilt.
c) Sei Ψ(x) eine Lösung der freien Dirac-Gleichung. Leite eine Bestimmungsgleichung für
eine Spinortransformation S(L) zu der Lorentztransformation L her, so dass
Ψ0 (x0 ) = S(L)Ψ(x) die Lorentz-transformierte Dirac-Gleichung löst.
d) Die Paritätstransformation (Raumspiegelung) Lp ist ein besonderes Element der Lorentzgruppe. Bestimme S(Lp ).
2.) Eichinvarianz der Dirac-Gleichung
(2+4=6 Punkte)
a) Wie sieht die Dirac-Gleichung in einem elektromagnetischen Feld Aµ aus ?
b) Sei Ψ(x) eine Lösung der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld Aµ . Zeige, dass
e
die Wellenfunktion e−i h̄c α(x) Ψ(x) eine Lösung der Dirac-Gleichung in einem Feld A˜µ
ist. Bestimme A˜µ . Welcher Erhaltungssatz folgt daraus?
3.) Teilchen im Magnetfeld
(1+2+8=11 Punkte)
Wir betrachten ein spinloses, relativistisches Teilchen mit Masse m und Ladung e in einem
homogenen Magnetfeld in y-Richtung.
~ = (0, B, 0) entspricht.
a) Zeige, dass die Eichung Aµ = (0, Bz, 0, 0) einem Magnetfeld B
b) Formuliere die zu diesem Problem passende relativistische Wellengleichung.
c) Zeige, dass die Energieeigenwerte folgendermaßen lauten:
q
n = 0, 1, 2, . . .
En = (mc2 )2 + (py c)2 + eBch̄(2n + 1)
Interpretiere die einzelnen Terme.
4.) Erzeuger und Vernichter von Vielteilchenzuständen (1+3+2+2+2=10 Punkte)
a) Gib die Definition des Vernichtungsoperators aα , der ein Teilchen im Ein-TeilchenZustand |αi vernichtet, im Besetzungszahlformalismus für den bosonischen Fall wieder,
d.h. gib an, wie er auf einen Vielteilchenzustand wirkt.
b) Bestimme aus a) den Erzeuger eines bosonischen Zustands |αi und seine Wirkung auf
den Vielteilchenzustand. Wie ist der Teilchenzahloperator n̂α definiert ?
c) Schreibe die Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
von Fermionen (Antikommutator) und Bosonen (Kommutator) auf.
d) Berechne die Kommutatorrelationen [n̂α , aβ ]− und [n̂α , a†β ]− für fermionische und bosonische Operatoren.
e) Stelle den normierten N-Teilchenzustand |n1 ..nα ..i durch wiederholte Anwendung von
fermionischen bzw. bosonischen Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand dar
und begründe die Normierung.
5.) Zeitabängigkeit von Greensfunktionen (nichtrelativistisch)
(2+6+3+2+2+3=18 Punkte)
a) Leite die Bewegungsgleichung eines nicht explizit zeitabängigen Operators A im Heisenberg-Bild her.
b) Bestimme die Zeitabhängigkeit von ckσ (t) und c†kσ (t) für das freie Elektronengas mit
P
H = kσ k c†kσ ckσ .
0
c) Wie ist die freie, retardierte Greensfunktion G0,R
kσ (t − t ) definiert? Berechne mit Hilfe
des Ergebnisses aus b) ihre explizite Form.
R
i(ω+iη)τ
d) Zeige G0,R
(ω)
=
dτ G0,R
= ω−1k +iη mit |η| → 0. (Hier und im Folgenden
kσ
kσ (τ )e
ist h̄ = 1.) Wie ist das Vorzeichen von η zu wählen? Warum?
e) Für die volle Greensfunktion in einem wechselwirkenden System gilt die Dyson-Gleichung
0,R
0,R
R
GR
kσ (ω) = Gkσ (ω) + Gkσ (ω)Σ(ω)Gkσ (ω), mit der Selbstenergie Σ = ΣR + iΣI , die hier
ω-unabhängig sein soll. Leite die retardierte, volle Greensfunktion GR
kσ (ω) her.
R
0
dω R
0
G (ω)e−iω(t−t ) .
f) Berechne die Fourier-Transformierte GR
kσ (t − t ) =
2π kσ
6.) Streutheorie
(2+3+5+1+2=13 Punkte)
a) Gegeben sei der Hamilton-Operator H = H0 + V mit dem räumlich lokalisierten Streupotential V . Leite aus der Schrödingergleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung
her.
b) Wie ist der Übergangsoperator T definiert? Folgere eine Lippmann-Schwinger-Gleichung für T . Drücke die Streuamplitude f als Matrixelement von T aus.
c) Ein Teilchen der Masse m wird am Potential einer harten Kugel (V (r) = ∞ für r < a,
V = 0 sonst) gestreut. Wir betrachten nur s-Wellenstreuung. Berechne die Streuphase
δl=0 (k) durch Lösen der Schrödingergleichung exakt. Betrachte dazu das Stetigkeitsverhalten der Wellenfunktionen bei r=a.
d) Formuliere allgemein das optische Theorem.
e) Wie lautet die Friedelsche Summenregel? Was bedeutet sie physikalisch?
7.) Bornsche Näherung
(2+6+4=12 Punkte)
a) Gib den differentiellen Wirkungsquerschnitt für elastische Streuung an einem Potential
V (~r) in Bornscher Näherung an.
b) Jetzt sei V (~r) das Potential einer Ladungsverteilung ρ(~r). Zeige, dass für die Streuung
eines Teilchens mit der Ladung e an diesem Potential in Bornscher Näherung gilt:
dσ
32π 3 m2 e2 1
=
|ρ̃(~q)|2
dΩ
|~q|4
h̄4
R d3 r
wobei ~q der Impulsübertrag und ρ̃(~q) = (2π)
r)ei~q~r .
3/2 ρ(~
c) Nun sei die Ladungsverteilung gegeben durch ρ(~r) =
dσ
. Was folgt für a → 0 ?
Berechne dΩ
Q
δ(r
4πa2
8.) Spinwellen
− a) mit r = |~r|.
(2+9+3+4=18 Punkte)
Ein Modell für das Auftreten von Magnetismus in Isolatoren ist das so genannte HeisenbergModell. Hierbei betrachtet man ein Gitter mit lokalisierten Spins S = 12 (und damit
magnetischen Momenten) auf den einzelnen Gitterplätzen, die effektiv miteinander wechselwirken.
Der zugehörige Hamilton-Operator ist gegeben durch
H=−
N
X
~i S
~j
Jij S
i,j=1
~i = (S x , S y , S z ) der Spinoperator am Gitterplatz r~i ist.
wobei S
i
i
i
Die Wechselwirkung zwischen einem Spin auf den Gitterplätzen r~i , r~j wird vermittelt durch
X
Jij = Jji
Jii = 0
J0 =
Jij
i
a) Zeige, dass mit den Auf- und Absteige-Operatoren Si± = Six ± iSiy gilt:
H=−
X1
i,j
2
Jij Si+ Sj− + Si− Sj+ + Jij Siz Sjz
b) Die Spin-Operatoren Si± , Siz werden definiert als
Si+
= h̄φ(n̂i )ai
Si−
=
h̄a†i φ(n̂i )
Siz
= h̄
1
− n̂i
2
(1)
√
mit φ(n̂i ) = 1 − n̂i , wobei a†i , ai bosonische Erzeuger/Vernichter sind und n̂i = a†i ai .
Zeige, dass die so definierten Operatoren tatsächlich den Spinoperatoren entsprechen,
~
d.h. überprüfe hierzu die Kommutatorrelationen für die Komponenten von S.
(Die Darstellung (1) heißt Holstein-Primakoff-Transformation.)
c) Da die Funktion φ(n̂i ) aus der Quadratwurzel eines Operators besteht, muss sie im
Allgemeinen entwickelt werden. Die einfachste Näherung ist gegeben durch φ(n̂i ) ' 1,
wobei zusätzlich im gesamten Hamilton-Operator nur Terme bis zu erster Ordnung in
n̂i berücksichtigt werden sollen.
Berechne den Hamilton-Operator HSW in dieser so genannten Spinwellennäherung.
d) Die Erzeuger/Vernichter auf den Gitterplätzen lassen sich darstellen durch
1 X i~kr~i
ai = √
e a~k
N ~
1 X −i~kr~i †
e
a~k
a†i = √
N ~
k
k
Zeige hiermit für HSW im k-Raum
HSW = 0 +
X
h̄ω(~k)a~†k a~k
~k
und bestimme einen Ausdruck für 0 und ω(~k).
(Hinweis: Beachte, dass Jij nur von der Differenz r~i − r~j abhängt !)
Viel Erfolg!