Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005

Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005 - Prof. H. Kroha
Nachklausur
22. April 2005
(2+3+3=8 Punkte)
1.) Dirac-Gleichung
a) Gib die freie Dirac-Gleichung in kovarianter Form an. Was wird durch diese Gleichung
beschrieben ?
b) Gib eine Darstellung der Dirac-Matrizen γ µ an. Welche Algebra erfüllen die γ µ ?
Warum muß die Dimension der γ µ gerade und ≥ 4 sein ?
c) Sei Ψ(x) eine Lösung der freien Dirac-Gleichung. Leite eine Bestimmungsgleichung für
eine Spinortransformation S(L) zu der Lorentztransformation L her, so dass
Ψ0 (x0 ) = S(L)Ψ(x) die Lorentz-transformierte Dirac-Gleichung löst.
(2+4+2+3=11 Punkte)
2.) Pauli-Gleichung
In dieser Aufgabe wollen wir den nicht-relativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung betrachten und die Pauli-Gleichung herleiten.
(Tipp: Für die folgenden Aufgaben ist es am besten, die Dirac-Matrizen αi und β in StandardDarstellung zu benutzen.)
~ aus ?
a) Wie sieht die Dirac-Gleichung in einem elektromagnetischen Feld Aµ = (Φ, A)
Den 4-Spinor ψ zerlege man in 2 zweikomponentige Spaltenvektoren χ und φ: ψ =
χ
φ
b) Sei das skalare Potential Φ = 0. Leite mit dem Operator für den kinetischen Impuls
~ im nicht-relativistischen Fall aus der Dirac-Gleichung aus a) die Pauli~π = p~ − ec A
Gleichung her:
i~
c) Zeige: ~π × ~π =
∂
1
χ=
(~σ · ~π )(~σ · ~π )χ
∂t
2m
i~e ~
B
c
d) Benutze c) und die Identität (~σ · ~u)(~σ · ~v ) = ~u · ~v + i~σ · (~u × ~v ), um die folgende
Pauli-Gleichung zu erhalten:
1
e~ 2
e~ 1
∂
~
i~ χ =
(~p − A) −
· ~σ · B χ
∂t
2m
c
mc 2
Interpretiere diese Gleichung, insbesondere den Vorfaktor vor dem zweiten Term.
3.) Relativistisches Teilchen im Magnetfeld
(2+9=11 Punkte)
Wir betrachten ein spinloses, relativistisches Teilchen mit Masse m und Ladung q in einem
~ = (0, 0, B)).
homogenen Magnetfeld in z-Richtung (B
a) Formuliere die zu diesem Problem passende relativistische Wellengleichung.
(Bitte inklusive c und ~)
b) Zeige, dass die Energieeigenwerte folgendermaßen lauten:
p
n = 0, 1, 2, . . .
En = (mc2 )2 + (pz c)2 + eBc~(2n + 1)
Interpretiere die einzelnen Terme.
(Nutze Dir bekannte Differentialgleichungen aus...)
4.) Feldoperatoren
(2+3+2+3=10 Punkte)
a) Schreibe die Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
von fermionischen und bosonischen Einteilchenzuständen (in der Basis |αi) auf.
b) Zeige, wie die oben eingeführten Operatoren sich bei einem Wechsel von der EinteilchenBasis |αi zur Einteilchen-Basis |βi transformieren. Bestimme so die Darstellung der
Feldoperatoren Ψ(~x), Ψ† (~x) im Ortsraum mit Hilfe der Operatoren a†k , ak im Impulsraum.
c) Berechne die (Anti-)Kommutator-Relationen für fermionische und bosonische Ψ(~x), Ψ† (~x).
d) Wie ist der Dichteoperator n(~x) definiert ?
Berechne dessen Fourier-Transformierte ñq~ und zeige: N :=
R
d3 x n(~x) = ñ~0 .
5.) Bewegungsgleichung von Greensfunktionen (nichtrelativistisch)
(2+4+4+2+2+4=18 Punkte)
a) Leite die Bewegungsgleichung eines nicht explizit zeitabängigen Operators A im Heisenberg-Bild her.
0
b) Wie ist die retardierte Greensfunktion GR
kσ (t − t ) definiert? Leite die zugehörige Bewegungsgleichung her.
c) Bestimme aus b) die Bewegungsgleichung der freien Greensfunktion G0,R
kσ (ω) zum HamiltonP
†
0
operator H = kσ k ckσ ckσ im Frequenzraum.
d) Gib G0,R
kσ (ω) an. Welche Randbedingungen gelten für die retardierte Greensfunktion
für t ≶ t0 und wie werden sie hier realisiert ?
e) Für die volle Greensfunktion in einem wechselwirkenden System gilt die Dyson-Gleichung
0,R
0,R
R
GR
kσ (ω) = Gkσ (ω) + Gkσ (ω)Σ(ω)Gkσ (ω), mit der Selbstenergie Σ = ΣR + iΣI , die hier
ω-unabhängig sein soll. Leite die retardierte, volle Greensfunktion GR
kσ (ω) her.
R
0
dω R
0
f) Berechne die Fourier-Transformierte GR
G (ω)e−iω(t−t ) . Interpretiere
kσ (t − t ) =
2π kσ
das Ergebnis für ΣI < 0 und beliebiges ΣR und vergleiche mit der freien, zeitabängigen
Greensfunktion.
6.) Streutheorie
(2+2+6+1+2=13 Punkte)
a) Formuliere das optische Theorem. Was besagt es physikalisch?
b) Gegeben sei der Hamilton-Operator H = H0 + V mit dem räumlich lokalisierten Streupotential V . Leite aus der Schrödingergleichung die Lippmann-Schwinger-Gleichung
her.
c) Wir betrachten als Streupotential ein kugelsymmetrisches Kastenpotential V (r) =
V0 Θ(R − r). Ein Teilchen der Masse m wird an diesem Potential gestreut. Berechne
die Streuphase δ`=0 (k) durch Lösen der Schrödingergleichung exakt. Betrache nur sWellen-Streuung.
d) Diskutiere, wie δ`=0 (k) vom Vorzeichen von V0 abhängt.
e) Gib die Streuamplitude und den differentiellen Wirkungsquerschnitt für c) an.
(2+1+4+2+2=11 Punkte)
7.) Bornsche Näherung
a) Wie lautet der differentielle Wirkungsquerschnitt für die elastische Streuung an einem
Potential V (~r) in Bornscher Näherung?
b) Für den Impulsübertrag gelte ~q = k~i − k~f und k = |k~i | = |k~f |.
Zeige:
|~q| = 2k sin 2θ
(θ sei der Streuwinkel.)
c) Führe für ein radialsymmetrisches Potential die Winkelintegration in a) aus und berechne
dσ
für einen kugelsymmetrischen Potentialtopf (Tiefe V0 , Radius r0 ).
dΩ
d) Berechne
dσ
dΩ
für das Yukawa-Potential: V (r) = κr e−r/r0
e) Betrachte für d) den Grenzfall r0 → ∞. Welchem Potential entspricht dies? Wie ist
das Verhalten bei Vorwärtsstreuung?
(5+2+4+2+5=18 Punkte)
8.) Feynman-Diagramme
a) Betrachte im Folgenden den Hamilton-Operator H = H0 + V , wobei H0 der freie
Einteilchen-Hamiltonoperator ist.
Leite die zugehörige Bewegungsgleichung für nicht explizit zeitabhängige Operatoren
AI (t), die Zustände |Ψ(t)iI und den Zeitentwicklungsoperator S(t, t0 ) im Wechselwirkungsbild her.
Wie sieht die Lösung für S(t, t0 ) aus (nur hinschreiben...)?
b) Zeige, dass für den Operator AH (t) im Heisenbergbild gilt:
AH (t) = S −1 (t, t0 )AI (t)S(t, t0 )
c) Jetzt sei der Wechselwirkungsterm gegeben durch:
Z
1X
V =
d3 x1 d3 x01 Ψ†σ1 (x~1 )Ψ†σ2 (x~2 )V (x~1 − x~2 )Ψσ2 (x~2 )Ψσ1 (x~1 )
2 σ ,σ
1
2
Zeige, dass die volle, zeitgeordnete Einteilchen-Greensfunktion für die Feldoperatoren
†
0
0
0
~
Gσ (x, x ) = −i H hΦ0 |T Ψσ,H (~x, t)Ψσ,H (x , t ) |Φ0 iH
durch eine Reihenentwicklung ausgedrückt werden kann, wobei die einzelnen Reihenglieder im Wesentlichen durch freie N-Teilchen-Greensfunktionen gegeben sind.
d) Gib in einem Satz die Aussage des Wick Theorems wieder.
e) Zeichne alle Feynman-Diagramme bis zu erster Ordnung Störungstheorie und gib den
entsprechenden mathematischen Ausdruck an (im Ortsraum).
Viel Erfolg!