Ubungen zur Theoretischen Physik VI SS 06

Übungen zur Theoretischen Physik VI
R. Schilling / H. Weyer
Blatt 7
SS 06
Abgabe Freitag, 16.06.06
17:00 Uhr
1) Diracgleichung und Variationsverfahren
Sei
e
e
S ψ(x), ψ(x);
∂µ ψ(x), ∂µ ψ(x)
=
Z
e
e
d4 x L ψ(x), ψ(x);
∂µ ψ(x), ∂µ ψ(x)
die Wirkung zu der Lagrangedichte
µ
µ
e
e
e
L = ih̄
2 ψ(x) γ ∂µ ψ(x) − (∂µ ψ(x)) γ ψ(x) − mc ψ(x) ψ(x),
(1)
(2)
wobei ψ(x) ein 4-Spinor ist.
a) Beweisen Sie, daß aus der Bedingung, daß die Variation δS von S unter ψ → ψ + δψ, ψe → ψe + δ ψe
verschwindet, die “Euler-Lagrange-Gleichungen”
∂µ
folgen.
∂L
e
∂(∂µ ψ)
−
∂L
=0
∂ ψe
bzw.
∂µ
∂L
∂L
−
=0
∂(∂µ ψ) ∂ψ
(3)
b) Setzen Sie L ein und zeigen Sie, daß aus der 1. Gleichung die Diracgleichnug für ψ(x) und aus
e
der zweiten Gleichung die adjungierte Gleichung für ψ(x)
folgt.
2) Darstellung S(IR ) bzw. S(IT ) der Raum- bzw. Zeitspiegelung auf dem
4-dimensionalen Spinorraum bzw. auf dem Orts-Zeit-Spinor-Raum
a) Für alle Λ ∈ L, also auch für IR und IT , gilt nach Vorlesung:
S −1 (Λ) γ µ S(Λ) = Λµ ν γ ν .
(4)
Zeigen Sie, daß die 4-dimensionale Spinordarstellung S(IR ) = γ 0 und S(IT ) = iγ 1 γ 2 γ 3 das
Transformationsverhalten (4) besitzt.
b (0, IT ) ≡ Tb der Zeitspiegelung auf Orts-Zeit-Spinor-Raum ist gegeben durch:
b) Die Darstellung U
Tb = S0 (IT ) K0 T0 ,
(5)
hTb φ|Tb ψi = hφ|ψi∗ .
(6)
mit S0 (IT ) = iγ 1 γ 3 , K0 ψα (x) = ψα∗ (x) und T0 ψ(ct, x) = ψ(−ct, x) (γ µ in Standard-Darstellung).
Zeigen Sie, daß Tb ein anti-unitärer Operator ist, d. h. daß für zwei 4-Spinoren φ(x) und ψ(x) gilt:
∂
c) Untersuchen Sie nochmals das Transformationsverhalten von M(L) , M(S) , P0 = − h̄i c∂t
und P =
h̄
i ∇ unter Zeitspiegelung, d. h. berechnen Sie:
Tb M(L) Tb−1 ,
Tb M(S) Tb−1 ,
Tb P0 Tb−1 ,
Tb P Tb−1 .
(7)
Hinweis: Berechnen Sie diese Größen direkt unter Benutzung von (5) und verwenden Sie M(L) und M(S)
aus der Vorlesung. Anstatt die Gruppeneigenschaft zu benutzen (sh. Blatt 6), benutzen Sie jetzt eine
einfachere Methode: Schieben Sie die Operatoren T0 und K0 von links nach rechts, um sie dann mit Hilfe
von T0† T0 = 1, usw., zu eliminieren. Für die Transformation von M(S) benutzen Sie (4).
3) Bewegungsgleichung für den Gesamtspin eines massiven Teilchens
Betrachten Sie die Bewegungsgleichung für den Gesamtspin eines massiven Teilchens mit Ladung
q
und Spin s = 12 in einem zeitunabhängigen elektromagnetischen Feld mit Potential ϕ(x), A(x) .
a) Beweisen Sie die Operatorgleichung für den Ortsoperator xH (t) (im Heisenbergbild)
ẋH (t) = c αH (t),
(8)
wobei αk (k = 1, 2, 3) in der Vorlesung angegebene 4 × 4-Matrizen sind.
b) Zeigen Sie, daß die zeitliche Ableitung des Gesamtdrehimpulses JH =
1
2 ΣH (im Heisenbergbild) von der Form
J̇H =
1
h̄
1
h̄
xH × (PH − qc AH ) 1 +
[xH × FH ]
(9)
ist. Bestimmen Sie FH . Kommt Ihnen der Ausdruck für FH bekannt vor?
4) Kontinuitätsgleichung für die 4-Stromdichte der Dirac-Gleichung
Für die 4-Stromdichte der Dirac-Gleichung gilt
e γ µ ψ(x).
j µ (x) = ψ(x)
(10)
∂µ j µ (x) = 0
(11)
Zeigen Sie durch eine explizite Rechnung, daß, j µ für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld mit 4-Potential Aµ (x) die Kontinuitätsgleichung
erfüllt. Welche Bedingung muß ψ(x) erfüllen?