Dirac-Gleichung - Freie Elektronen
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Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung - Freie Elektronen Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Patrick Köber 12.12.14 Gliederung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Herleitung der Dirac-Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Problemstellung Patrick Köber Einführung ◮ Schrödingergleichung (kräftefrei) i~ ~ 2 ∂ψ(~x , t) =− ∇ ψ(~x , t) ∂t 2m Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Problemstellung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung ◮ Schrödingergleichung (kräftefrei) ~ 2 ∂ψ(~x , t) =− ∇ ψ(~x , t) ∂t 2m Problem: SE ist nicht lorentzkovariant, denn i~ ◮ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Problemstellung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung ◮ Schrödingergleichung (kräftefrei) ~ 2 ∂ψ(~x , t) =− ∇ ψ(~x , t) ∂t 2m Problem: SE ist nicht lorentzkovariant, denn i~ ◮ ◮ Lorentztransformationen Λ transformieren Zeit und Ort symmetrisch. Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Problemstellung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung ◮ Schrödingergleichung (kräftefrei) ~ 2 ∂ψ(~x , t) =− ∇ ψ(~x , t) ∂t 2m Problem: SE ist nicht lorentzkovariant, denn i~ ◮ ◮ Lorentztransformationen Λ transformieren Zeit und Ort symmetrisch. ◮ In der Schrödingergleichung treten Orts- und Zeitableitung in unterschiedlicher Ordnung auf, also unsymmetrisch Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor mit dem Skalarprodukt: x µ yµ xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor mit dem Skalarprodukt: x µ yµ Gradientenoperator: ∂µ bzw. ∂ µ xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor mit dem Skalarprodukt: x µ yµ Gradientenoperator: ∂µ bzw. ∂ µ d’Alembert-Operator: = ∂ µ ∂µ xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor mit dem Skalarprodukt: x µ yµ Gradientenoperator: ∂µ bzw. ∂ µ d’Alembert-Operator: = ∂ µ ∂µ 4er-Impuls: p µ bzw. pµ xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Notation und Nützliches Patrick Köber Einführung Kovarianter Vektor: xµ , Kontravarianter Vektor mit dem Skalarprodukt: x µ yµ Gradientenoperator: ∂µ bzw. ∂ µ d’Alembert-Operator: = ∂ µ ∂µ 4er-Impuls: p µ bzw. pµ mit dem invarianten Skalarprodukt: p µ pµ = ( Ec )2 − p~2 = (mc)2 xµ Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Klein-Gordon-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Ausgangspunkt: Korrespondenzprinzip ~2 p 2m Bei Schrödinger: E = ∂ , p~ −→ −i~∇ E −→ i~ ∂t 4er-Impulsoperator: ∂ p µ −→ i~∂ µ = i~( ∂ct , −∇) Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Klein-Gordon-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Ausgangspunkt: Korrespondenzprinzip ~2 p 2m Bei Schrödinger: E = ∂ , p~ −→ −i~∇ E −→ i~ ∂t 4er-Impulsoperator: ∂ p µ −→ i~∂ µ = i~( ∂ct , −∇) Idee: q E = c 2 p~2 + m02 c 4 −→ q ∂ µ i~ ∂t ψ(x ) = −c 2 ~2 ∇2 + m02 c 4 ψ(x µ ) Problem: Zeit- und Ortsableitung treten wieder unsymmetrisch auf Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber =⇒ Benutze quadratische Form Wir erhalten die Klein-Gordon-Gleichung (1926) E 2 = c 2 p~2 + m02 c 4 −→ −~2 ∂ 2 ψ(x µ ) ∂t 2 = (−c 2 ~2 ∇2 + m02 c 4 )ψ(x µ ) 2 2 ⇐⇒ ( m~2c + )ψ(x µ ) = 0 Relativistisch invariant, da invariant Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Kurze Betrachtung der KGE Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Lösung der freien KGE: ψ(x µ ) = e −i(Et−~p~x )/~ q mit E = ± c 2 p~2 + m02 c 4 → Negative Energien möglich Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Kurze Betrachtung der KGE Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Lösung der freien KGE: ψ(x µ ) = e −i(Et−~p~x )/~ Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung q mit E = ± c 2 p~2 + m02 c 4 Eigenschaften der Dirac Gleichung → Negative Energien möglich Lösung für freies Elektron Quellen Kontinuitätsgleichung: ∂ ∂t ρ + ∇~j = 0 Kurze Betrachtung der KGE Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Lösung der freien KGE: ψ(x µ ) = e −i(Et−~p~x )/~ Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung q mit E = ± c 2 p~2 + m02 c 4 Eigenschaften der Dirac Gleichung → Negative Energien möglich Lösung für freies Elektron Quellen Kontinuitätsgleichung: ∂ ∂t ρ + ∇~j = 0 i~ (ψ † ∇ψ − ψ∇ψ † ) Schrödinger: ρ = |ψ(~x , t)|2 , ~j = − 2m Kurze Betrachtung der KGE Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Lösung der freien KGE: ψ(x µ ) = e −i(Et−~p~x )/~ Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung q mit E = ± c 2 p~2 + m02 c 4 Eigenschaften der Dirac Gleichung → Negative Energien möglich Lösung für freies Elektron Quellen Kontinuitätsgleichung: ∂ ∂t ρ + ∇~j = 0 i~ (ψ † ∇ψ − ψ∇ψ † ) Schrödinger: ρ = |ψ(~x , t)|2 , ~j = − 2m i~ Klein-Gordon: ~j = − 2m (ψ † ∇ψ − ψ∇ψ † ) Kurze Betrachtung der KGE Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Lösung der freien KGE: ψ(x µ ) = e −i(Et−~p~x )/~ Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung q mit E = ± c 2 p~2 + m02 c 4 Eigenschaften der Dirac Gleichung → Negative Energien möglich Lösung für freies Elektron Quellen Kontinuitätsgleichung: ∂ ∂t ρ + ∇~j = 0 i~ (ψ † ∇ψ − ψ∇ψ † ) Schrödinger: ρ = |ψ(~x , t)|2 , ~j = − 2m i~ Klein-Gordon: ~j = − 2m (ψ † ∇ψ − ψ∇ψ † ) ρ= i~ (ψ † ∂ψ ∂t 2mc 2 − ∂ψ † ∂t ψ) ρ nich positiv definit, also keine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Teilchen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben ◮ postiv definites ρ → erste Ordnung in der Zeit Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben ◮ postiv definites ρ → erste Ordnung in der Zeit ◮ hermitescher Dirac-Operator HD Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben ◮ postiv definites ρ → erste Ordnung in der Zeit ◮ hermitescher Dirac-Operator HD ◮ lorentzkoviariant =⇒ Raumableitung nur in erster Ordnung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben ◮ postiv definites ρ → erste Ordnung in der Zeit ◮ hermitescher Dirac-Operator HD ◮ lorentzkoviariant =⇒ Raumableitung nur in erster Ordnung ◮ Relativistische Energie-Impuls Beziehung muss sich aus DE ableiten lassen Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Forderungen an Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Prinzipien der nichtrelativistischen QM sollen erhalten bleiben ◮ postiv definites ρ → erste Ordnung in der Zeit ◮ hermitescher Dirac-Operator HD ◮ lorentzkoviariant =⇒ Raumableitung nur in erster Ordnung ◮ Relativistische Energie-Impuls Beziehung muss sich aus DE ableiten lassen ◮ lorentzkovariante KG mit ρ = ψ † ψ Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Zusammenfassung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Zusammenfassung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber ◮ Dirac-Gleichung in Hamiltonscher Form: i~ ψ(x µ ) = (−i~cαi ∂i + βm0 c 2 )ψ(x µ ) ∂t Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Zusammenfassung Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber ◮ Dirac-Gleichung in Hamiltonscher Form: i~ ψ(x µ ) = (−i~cαi ∂i + βm0 c 2 )ψ(x µ ) ∂t Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron ◮ Kontinuitätsgleichung erfüllt mit positiv definiten ρ Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Zusammenfassung Patrick Köber ◮ Dirac-Gleichung in Hamiltonscher Form: i~ ψ(x µ ) = (−i~cαi ∂i + βm0 c 2 )ψ(x µ ) ∂t Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron ◮ Kontinuitätsgleichung erfüllt mit positiv definiten ρ ◮ Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form: (−iγ µ ∂µ + m0 c )Ψ(x µ ) = 0 ~ Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Zusammenfassung Patrick Köber ◮ Dirac-Gleichung in Hamiltonscher Form: i~ ψ(x µ ) = (−i~cαi ∂i + βm0 c 2 )ψ(x µ ) ∂t Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron ◮ Kontinuitätsgleichung erfüllt mit positiv definiten ρ ◮ Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form: (−iγ µ ∂µ + ◮ m0 c )Ψ(x µ ) = 0 ~ Bispinortransformation lässt sich konstruieren D−1 (Λ)γ µ (Λ−1 )νµ D(Λ) = λµ Quellen Interpretation Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Interpretation Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Dirac: Vakuum ist ein See aus Teilchen mit negativer Energie Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Interpretation Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Dirac: Vakuum ist ein See aus Teilchen mit negativer Energie ◮ Löcher im Dirac-See sind Antiteilchen Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Interpretation Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Dirac: Vakuum ist ein See aus Teilchen mit negativer Energie ◮ Löcher im Dirac-See sind Antiteilchen ◮ Pauli-Prinzip verhindert, dass Elektronen negative Energien erhalten Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Interpretation Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung ◮ Dirac: Vakuum ist ein See aus Teilchen mit negativer Energie ◮ Löcher im Dirac-See sind Antiteilchen ◮ Pauli-Prinzip verhindert, dass Elektronen negative Energien erhalten ◮ inzwischen überholt → Quantenfeldtheorie Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene Eigenschaften der Dirac Gleichung Lösung für freies Elektron G. Wolschin: RQM-Skript Wachter: Relativistische Quantenmechanik Quellen Dirac-Gleichung Freie Elektronen Patrick Köber Einführung Herleitung der Dirac-Gleichung Eigenschaften der Dirac Gleichung Danke für Ihre Aufmerksamkeit Lösung für freies Elektron Quellen
