Ergänzende Übungen Lineare Algebra I

TUM School of Education
Technische Universität München
Ergänzende Übungen
Lineare Algebra I
Wintersemester 2010/11
Prof. Dr. Kristina Reiss
Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der
Mathematik
München, 05.11.2010
1
Äquivalenz
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Was bedeutet Äquivalenz? Wie wird der Begriff im Alltag
gebraucht?
Der Begriff heißt in der einfachen Übertragung (aus dem
Lateinischen) soviel wie „Gleichwertigkeit“:
aequus
Valenz
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wird übersetzt mit „gleich“
ist ein eingedeutschtes Fremdwort
und bedeutet hier „Wertigkeit“
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Äquivalenz im Alltag: Noten
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Schulnoten kann man in Ziffern oder in Worten schreiben:
1
2
3
4
5
6
sehr gut
gut
befriedigend
ausreichend
mangelhaft
ungenügend
Im Grunde ist es egal, welche Darstellung man wählt, denn
Ziffern und Worte entsprechen sich; sie sind äquivalent.
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Äquivalenz im Alltag: Noten
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Auch in der Schweiz werden Schulnoten in Ziffern oder in
Worten geschrieben:
6
5
4
3
2
1
sehr gut
gut
genügend
ungenügend
schlecht
sehr schlecht
Auch hier ist es egal, welche Darstellung man wählt, denn
Ziffern und Worte entsprechen sich; sie sind äquivalent.
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Äquivalenz im Alltag: Noten
Frage: Sind Schulnoten in Deutschland und der Schweiz
äquivalent, gilt also
6S
5S
4S
3S
2S
1S
entspricht
entspricht
entspricht
entspricht
entspricht
entspricht
1D
2D
3D
4D
5D
6D
?
?
?
?
?
?
Konsequenz: Wenn es schon bei so einfachen Dingen kompliziert wird, dann brauchen wir für etwas wie „mathematische
Äquivalenz“ eine wohlüberlegte (und klare) Definition.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Vektoren
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Vielleicht erinnern Sie sich? Das stand früher im Lehrplan für
das Gymnasium in Bayern (Klasse 8):
Vektorbegriff
• Verschieben einer Strecke
• Vektoraddition (mit Anwendung in der Physik)
Wie wurde in diesem Zusammenhang der Begriff „Vektor“
erklärt?
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6
Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Vektoren
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Ein Vektor im Anschauungsraum (in der Anschauungsebene)
ist eine Klasse gleichlanger, paralleler und gleichgerichteter
Pfeile.
„Kennt man einen, kennt man alle.“
Die Pfeile sind äquivalent.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Vektoren
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Man kann
• gleichlang
• parallel
• gleichgerichtet
jeweils als Relation auf der Menge der Pfeile des Anschauungsraums (bzw. der Anschauungsebene) auffassen.
Also kann man
• repräsentiert den gleichen Vektor
als Relation auf der Menge der Vektoren des Anschauungsraums (bzw. der Anschauungsebene) auffassen.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Vektoren
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Welche Eigenschaften hat diese Relation?
a
b
c
(i) Wenn a den gleichen Vektor wie b repräsentiert und b den
gleichen Vektor wie c repräsentiert, dann repräsentiert a
auch den gleichen Vektor wie c („Erblichkeit“ oder besser:
Es gilt Transitivität zwischen den Repräsentanten*).
(ii) Es sind a und b „austauschbar“ (oder besser: Es gilt
Symmetrie zwischen den Repräsentanten).
* das Wort wird später noch eine Rolle spielen.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Gleichheit
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Gibt es diese Eigenschaften auch in einem anderen
(mathematischen) Zusammenhang?
(i) Wenn a, b und c reelle Zahlen mit a = b und b = c
sind, dann gilt auch a = c. Es gilt auch hier
Transitivität.
(ii) Natürlich gilt auch die Symmetrie, denn aus a = b folgt
b = a. Langweilig, oder?
Dann erhöhen wir die Langeweile noch einmal ;-) :
(i) Es gilt a = a, und das nennt man Reflexivität.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Kongruenz
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Gibt es diese Eigenschaften (und jetzt alle drei) in einem
weiteren (mathematischen) Zusammenhang?
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Kongruenz
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Wir betrachten natürliche Zahlen* und konzentrieren uns auf
die Reste beim Teilen durch 7. Welche Reste kann es geben?
Ganz klar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nun kann man
• • • • • 1, 8, 15, 22, 29, 36 und z.B. 78 nicht unterscheiden, denn
alle lassen bei Division durch 7 den Rest 1;
2, 9, 16, 23, 30, 37 und z.B. 93 nicht unterscheiden, denn
alle lassen bei Division durch 7 den Rest 2;
....
6, 13, 20, 27, 34, 41 und z.B. 146 nicht unterscheiden,
denn alle lassen bei Division durch 7 den Rest 6;
0, 7, 14, 21, 28, 35 und z.B. 147 nicht unterscheiden, denn
alle lassen bei Division durch 7 den Rest 0.
* und mit ganzen Zahlen geht es genauso.
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Kongruenz
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Äquivalenz in einem Beispiel aus der Mathematik:
Kongruenz
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Ganz offensichtlich gilt für natürliche Zahlen a, b und c:
Wenn a bei Division durch 7 denselben Rest lässt wie b und b
bei Division durch 7 denselben Rest lässt wie c, dann lässt a
bei Division durch 7 denselben Rest wie c.
Die Relation „lässt bei Division durch 7 denselben Rest wie“
ist auf der Menge der natürlichen Zahlen transitiv.
Ist die Relation „lässt bei Division durch 7 denselben Rest wie“
auch symmetrisch und reflexiv?
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Gegenbeispiel
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Gilt das für jede Relation auf einer beliebigen Menge A? NEIN!
(a) Wenn g, h ung k Geraden sind, sodass g senkrecht auf h
steht und h senkrecht auf k steht, dann steht g nicht
senkrecht auf k, sondern ist parallel zu k.
Die Relation „steht senkrecht auf“ auf der Mengen der
Geraden in der Ebene ist symmetrisch, aber nicht transitiv.
(b) Die Relation „≤“ ist auf der Menge der natürlichen Zahlen
transitiv und reflexiv, aber nicht symmetrisch.
(c) Die Relation „<“ ist auf der Menge der natürlichen Zahlen
transitiv, aber nicht reflexiv und nicht symmetrisch.
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Gegenbeispiel
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Gegenbeispiel
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Äquivalenzrelation
Definition (Äquivalenzrelation):
Eine Relation auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, falls
sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Schreibweise:
~
Wir schreiben also nicht (a,b) ∈ R für irgendwelche Elemente
a und b aus einer Menge A und eine Äquivalenzrelation R,
€
sondern schlicht:
a
~
b.
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Äquivalenzrelation
Mit der Schreibweise ~ kann man die Eigenschaften einer
Äquivalenzrelation auf der Menge A (und mit den Elementen
a, b, c ∈ A) so schreiben:
€
Eine Äquivalenzrelation ~ ist
(i) reflexiv, d.h. es ist a ~ a für alle a
∈ A;
(ii) symmetrisch, d.h. falls a ~ b €gilt, dann gilt auch b ~ a ;
(iii) transitiv, d.h. falls a ~ b und b ~ c gilt, dann gilt auch a ~ c .
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Äquivalenzrelation
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Betrachten wir noch einmal die Reste bei Division durch 7:
• • • • • 0, 7, 14, 21, 28, 35 und z.B. 77 lassen bei Division durch 7
den Rest 0;
es gilt also 0 ~ 7 ~ 14 ~ 21 ~ 28 ~ ... ~ 77 ~ .... .
1, 8, 15, 22, 29, 36 und z.B. 78 lassen bei Division durch 7
den Rest 1;
es gilt also 1 ~ 8 ~ 15 ~ 22 ~ 29 ~ ... ~ 78 ~ .... .
....
....
6, 13, 20, 27, 34, 41 und z.B. 146 lassen bei Division
durch 7 den Rest 6;
es gilt also 6 ~ 13 ~ 20 ~ 27 ~ 34 ~ ... ~ 146 ~ .... .
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Äquivalenzrelation
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Neuer Begriff:
Die Elemente liegen jeweils in einer Äquivalenzklasse
(und sind in Bezug auf die Äquivalenzrelation nicht zu
unterscheiden).
Wir definieren ...
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Äquivalenzrelation
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Definition (Äquivalenzklassen):
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A und a ein
Element aus A. Dann bilden alle Elemente b aus A mit a ~ b
die Äquivalenzklasse von a.
Schreibweise:
Das Element a heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse.
Übrigens ist auch jedes Element b aus [a] ein Repräsentant
der Äquivalenzklasse. Warum?
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Äquivalenzrelation
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Beispiele:
(i) In Bezug auf die Division durch 7 ist
[1] = {... -20, -13, -6, 1, 8, 15, ...} und [1] = [-27] = [36] = ...
(ii) In Bezug auf die Division durch 7 ist
[0] = {... -14, -7, 0, 7, 14, 21, 28, ...} und [0] = [-7] = [350] = ...
Frage:
Gibt es natürliche Zahlen, die in Bezug auf diese Relation in
keiner Äquivalenzklasse liegen? Gibt es natürliche Zahlen, die
in mehr als einer Äquivalenklasse liegen?
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Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation
Sehen Sie den Bezug zur Vorlesung?
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
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Äquivalenzrelation
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Beispiele:
(iii) In Bezug auf die Division durch eine beliebige natürliche
Zahl n ≠ 0 ist [0] = { ..., -3n, -2n, -n, 0, n, 2n, 3n, 4n, ... }
und [0] = [-7] = [350] = ...
(iv) In Bezug auf die Division durch eine beliebige natürliche
Zahl n ≠ 0 ist
[1] = { ..., -3n+1, -2n+1, -n+1, 1, n+1, 2n+1, 3n+1, ... }
und [1] = [-5n+1] = [n+1] = ...
Frage:
Gibt es natürliche Zahlen, die in Bezug auf diese Relation in
keiner Äquivalenzklasse liegen? Gibt es natürliche Zahlen, die
in mehr als einer Äquivalenklasse liegen?
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Äquivalenzrelation
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Beispiele:
Sei A die Mengen aller Geraden in der Ebene. Die Relation „ist
parallel zu“ ist auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation.
Warum? Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.
Frage:
Gibt es Geraden in der Ebene, die in Bezug auf diese Relation
in keiner Äquivalenzklasse liegen? Gibt es Geraden, die in
mehr als einer Äquivalenklasse liegen?
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Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation
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Satz:
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Dann sind
die Äquivalenzklassen bezüglich ~ disjunkt und ihre
Vereinigung ist die Menge A.
Jedes Element a aus der Menge A liegt damit in genau einer
Äquivalenzklasse.
Die Äquivalenrelation bewirkt auf A eine Klasseneinteilung.
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Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation
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„Klasseneinteilung“
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München, 05.11.2010
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Übungsaufgaben 12.11.2010
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Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Prof. Dr. Kristina Reiss, Elisabeth Lorenz
Ergänzungen zur Vorlesung Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium
- Übungsblatt 1 Aufgabe 1
gilt.
Aufgabe 2
München, 05.11.2010
Aufgabe 3
33
Aufgabe 2
Übungsaufgaben 12.11.2010
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Aufgabe 3
Aufgabe 4
Die Aufgaben werden am 12.11.2010 in den Ergänzungen besprochen. Bitte überlegen
Sie sich eine mögliche Lösung!
München, 05.11.2010
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