Woche 10
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Woche 10 3.5 Formale Streutheorie. Die einfallende ebene Welle ist eine stationäre Lösung der SGl für ein freies Teilchen mit dem Hamiltonian Ĥ0 . Da dieses nicht die Lsg. des SGL. ist mit Streupotential U (r), i.e. mit dem Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + U (r) = Ĥ0 + Ĥ1 , enthält die richtige Lsg. die gestreute Kugelwelle. Mit der Hilfe der formalen Greenschen Funktion (Wechsel aus der Impulsdarstellung zur allg. Darstellung in §.4.2.3) haben wir praktisch die formale Beziehung |ψi = |φ0 i + Ĝ0 Û |ψi mit Ĝ0 (E0 (n)) = (1) 1 E0 (n) − Ĥ0 + iε hergeleitet und die in Form einer Bornschen Reihe geschrieben: |ψi = |φ0 i + Ĝ0 Û |ψi = |φ0 i + Ĝ0 Û |φ0 i + Ĝ0 Û Ĝ0 Û |φ0 i + ... . Die Gl.(1) heisst die Lippmann-Schwinger-Gleichung. Jetzt diskutieren wir eine andere Sichtweise auf das gleichen Problem. Die eigentliche Streuaufgabe ist ein nichtstationäres Problem: die einfallende Welle ist eigentlich ein (ziemlich großes, daher in Impulsdarstellung stark um den Wert k konzentriertes) Wellenpacket, das irgendwann (t negativ ung groß) präpariert worden war; nach der Streuung entsteht eine auslaufende Kugelwelle; das Betrachten des asymptotischen Verhaltens bei r → ∞ entsprichet eigentlich den Zeiten t → −∞. Wir widmen uns jetzt auch diesem zeitlichen Aspekt. Der Operator Ĥ0 besitzt ein kontinuierliches Spektrum Ĥ0 |E0 (n)i = En(0) |E0 (n)i ¯ ® (Eigenzustände ¯E (0) (n) mit geeigneten Quantezahlen n, z.B. kx , ky , kz , oder aber kz , l und m; über kontinuierlichen Index wird integriert, über diskreten R summiert, weiterhin bedeutet dann Integral und Summe). Der Operator Ĥ1 kann sowohl kontinuierliches als auch diskretes Spektrum besitzen. Die Eigenzustände von Ĥ0 bilden ein VONS. Betrachten wir die Situation ohne 1 Streuer, U (r) = 1, und geben wir die Form des Pakets zur Zeit t = 0 als |φ0 (0)i Z |φ0 (0)i = dnc(n) |E0 (n)i mit Z dn |c(n)|2 = 1 an. Dann ist Z − ~i Ĥ0 t |φ0 (t)i = e i dnc(n)e− ~ E0 (n)t |E0 (n)i . |φ0 (0)i = Mit ”eingeschaltetem” Streuer ist die freie Wellenbewegung nur für t → −∞ mit der tatsächlichen Lösung gleichzusetzen, in fortschreitender Zeit wird das Paket gestreut: bei t → −∞ ist die freie Lsg. auch die Lsg. des vollen i 0 Problems |φ(t)i: |φ(t)i → |φ0 (t)i für t → −∞. Da |φ(t)i = e− ~ Ĥ(t−t ) |φ(t0 )i, muss gelten: i i 0 0 |φ(t)i = e− ~ Ĥ(t−t ) |φ(t0 )i = 0 lim e− ~ Ĥ(t−t ) |φ0 (t0 )i t →−∞ Z i i 0 = e− ~ Ĥt 0 lim dnc(n)e− ~ [E0 (n)−Ĥ ]t |E0 (n)i t →−∞ (es wird angenommen, dass der entsprechende Limes existiert). Falls eine Fkt. f (y) einen Limes bei y → −∞ besitzt, gilt: µ ¶ Z 0 Z 0 Z 0 x x x f (−∞) = dxe f (−∞) = lim dxe f = lim η dteηt f (t). η→+0 η→+0 η −∞ −∞ −∞ Daher − ~i [E0 (n)−Ĥ ]t0 lim e 0 t →−∞ Z |E0 (n)i = = = = 0 lim η η→+0 Z −∞ 0 lim η η→+0 lim ε→+0 2 i dte− ~ [E0 (n)−Ĥ+i~η]t |E0 (n)i i −∞ lim η η→+0 dteηt e− ~ [E0 (n)−Ĥ ]t |E0 (n)i 1 h i |E0 (n)i − ~i E0 (n) − Ĥ + i~η iε E0 (n) − Ĥ + iε |E0 (n)i . Mit dem neuen Zustandsvektor ¯ + ® ¯E (n) = lim ε→+0 iε E0 (n) − Ĥ + iε |E0 (n)i (2) lässt es sich schreiben Z ¯ ® dnc(n) ¯E + (n) . − ~i Ĥt |φ(t)i = e |E + (n)i ist ein Eigenzustand des Hamiltonians Ĥ zur gleichen Energie E0 (n) wie in dem ungestörten Problem: ³ ´¯ ´ ® ³ iε |E0 (n)i = 0, E0 (n) − Ĥ ¯E + (n) = E0 (n) − Ĥ lim ε→+0 E (n) − Ĥ + iε 0 d.h. Z |φ(t)i = ¯ ® i dnc(n)e− ~ E0 (n)t ¯E + (n) . Die Zustände |E + (n)i sind orthonormiert: ¯ + ® ¯E (n) = = = lim e− ~ [E0 (n)−Ĥ ]t |E0 (n)i i 0 t0 →−∞ lim e ~ [Ĥ−E0 (n)]t |E0 (n)i i 0 t0 →−∞ i 0 − i E0 (n)t0 ~ lim e ~ Ĥt e 0 t →−∞ |E0 (n)i (Ĥ kommutiert mit der Zahl E0 (n)). Weiter: 0 i ¯ + ® ¯E (n) = lim e ~i Ĥt0 e− ~ Ĥ0 t |E0 (n)i . 0 t →−∞ Analog für Bras. Daher: ­ + ® E (n)|E + (n) = hE0 (n)|E0 (n)i = δ(m − n). 3 (3) Aus der Definition von |E + (n)i, Gl.(2) folgt ¯ + ® iε ¯E (n) = |E0 (n)i E0 (n) − Ĥ + iε 1 = iε |E0 (n)i E0 (n) − Ĥ + iε ³ ´ 1 = iε + E0 (n) − Ĥ0 |E0 (n)i E (n) − Ĥ + iε Ã0 ! 1 = Iˆ + Ĥ1 |E0 (n)i . iε + E0 (n) − Ĥ (4) (5) Kehren wir die Operatoren um, i.e. multiplizieren wir Gl.(4) von links ³ ´−1 ³ ´ × iε + E0 (n) − Ĥ0 E0 (n) − Ĥ + iε , so erhalten wir ´¯ ® E0 (n) − Ĥ + iε ¯E + (n) iε + E0 (n) − Ĥ0 Ã ! ¯ ® 1 = Iˆ − Ĥ1 ¯E + (n) . iε + E0 (n) − Ĥ0 |E0 (n)i = ³ 1 Dieses Resultat lässt sich in der Form einer Lippmann-Schwinger Gleichung schreiben ¯ + ® ¯ + ® ¯E (n) = |E0 (n)i + Ĝ+ ¯E (n) , Ĥ 1 0 und Ĝ+ 0 = Ĝ0 ist die uns schon bekannte Greensche Funktion der freien Bewegung: 1 . Ĝ+ 0 = E0 (n) − Ĥ0 + iε Man kann auch 1 Ĝ− 0 = E0 (n) − Ĥ0 − iε einführen, die später benötigt wird. Aus Gl.(5) folgt die andere Form der Lippmann-Schwinger-Gl.: ¯ + ® ¯E (n) = |E0 (n)i + Ĝ+ Ĥ1 |E0 (n)i . Die entsprechende GF zum Ĥ ist G± = 1 E0 (n) − Ĥ ± iε 4 . 3.5.1 S- und T - (Streu- und Transfer-) Matrizen In einem Streuproblem geht es um die durch die Störung (Streuer) verursachten Übergänge zwischen den wohldefinierten Anfangszuständen (ebene Wellen in freier Bewegung für t → −∞) und wohldefinierten Endzustängen (Kugelwellen in freier Bewegung für t → ∞). Das Verhalten für endliche Zeiten ist ohne Belang. Entwickeln wir zunächst die Anfangs- und EndWF über das VONS der EF von Ĥ0 : Z lim |ψ(t)i = lim dnc(n)e−(i/~)E0 (n)t |E0 (n)i t→−∞ t→−∞ Z lim |ψ(t)i = lim dnb(n)e−(i/~)E0 (n)t |E0 (n)i t→∞ t→∞ (die Entwicklungskoeffizienten ändern sich während des Streuprozesses). Es wird angenommen, dass die Grenzwerte existieren (wie immer bei Streuprozessen; bei kurzreichweitigen Potentialen ist das immer der Fall). Der Zusammenhang zwischen bn und cn ist durch die Streumatrix Smn gegeben: Z b(m) = dnSmn c(n). Die Kenntnis von S löst die Streuaufgabe. Gehen wir in die Wechselwirkungsdarstellung für die Zeitentwicklung über: i |φ(t)i = e ~ Ĥ0 t |ψ(t)i . In dieser Darstellung ist der unitäre Zeitentwicklungsoperator i i 0 i 0 Û (t, t0 ) = e ~ Ĥ0 t e− ~ Ĥ(t−t ) e− ~ Ĥ0 t . ˆ In WWdarstellung Ohne WW (Ĥ = Ĥ0 ) gilt Û (t, t0 ) = I. Z lim |φ(t)i = dnc(n) |E0 (n)i t→−∞ Z dnb(n) |E0 (n)i . lim |φ(t)i = t→∞ Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen sich zum Zeitpunkt t in einem freien Energiezustand |E0 (n)i befindet D E 0 0 hE0 (n)|φ(t)i = E0 (n)|Û (t, t )φ(t ) Z = dn hE0 (n)| Û (t, t0 ) |E0 (n)i hE0 (n)| φ(t0 )i . 5 (in der letzten Zeile ist der Identitätsoperator eingeführt). Da lim hE0 (n)| φ(t)i = c(n) t→−∞ und lim hE0 (n)| φ(t)i = b(n) t→∞ erhalten wir Z b(m) = dn hE0 (m)| Û (∞, −∞) |E0 (n)i c(n). Die Elemente der Streumatrix sind dadurch Smn = hE0 (m)| Û (∞, −∞) |E0 (n)i . Benutzen wir die explizite Form von Û (t, t0 ): Smn = = i i i 0 0 lim lim hE0 (m)| e ~ Ĥ0 t e− ~ Ĥ(t−t ) e− ~ Ĥ0 t |E0 (n)i 0 t →−∞ t→∞ lim lim hE0 (m)| e ~ [E0 (m)−Ĥ ]t e− ~ [E0 (n)−Ĥ ]t |E0 (n)i 0 i i 0 t →−∞ t→∞ und die Tricks Z f (−∞) = f (∞) = 0 dteηt f (t), lim η η→+0 Z−∞ ∞ lim η η→+0 dte−ηt f (t) 0 so erhalten wir ¯ − ® ¯E (m) = lim e− ~i [E0 (m)−Ĥ ]t |E0 (m)i = t→∞ −iε E0 (m) − Ĥ − iε |E0 (m)i und ¯ + ® ¯E (n) = lim e− ~i [E0 (m)−Ĥ ]t |E0 (n)i = t→−∞ iε E0 (m) − Ĥ + iε |E0 (m)i (die Index-Zeichen beziehen sich auf ±iε und sind entgegengesetzt zu dem Zeitvorzeichen). |E − (m)i ist die zweite Lsg. der SGl. mit Hamiltonian Ĥ: ¯ ¯ ® ® Ĥ ¯E − (m) = E0 (m) ¯E − (m) 6 und gehorcht formal der Lippman-Schwinger-Gl. Insgesamt ist ¯ ± ® ¯ ® ¯E (n) = |E0 (n)i + Ĝ± Ĥ1 ¯E ± (n) . Die Elemente der Streumatrix sind ¯ ­ ® Smn = hE0 (m)| Û (∞, −∞) |E0 (n)i = E − (m)¯ E + (n) . Umformung in 5 Schritten: 1. Schreiben i ¯ − ® ¯ ® h ¯E (m) − ¯E + (m) = Ĝ− (Em ) − Ĝ+ (Em ) Ĥ1 |E0 (m)i . ∗ 2. Smn dadurch ausdrücken i ­ + ¯ − ® ­ + ¯h − ∗ + ¯ ¯ Smn = E (n) E (m) = δ(n−m)− E (n) Ĝ (Em ) − Ĝ (Em ) Ĥ1 |E0 (m)i . h i+ ± 3. Da Ĥ hermitesch, Ĝ (Em ) = Ĝ∓ (Em ). Daher h i¯ ® + − Smn = δ(n − m) − hE0 (m)| Ĥ1 Ĝ (Em ) − Ĝ (Em ) ¯E + (n) Ã 1 − = δ(n − m) − hE0 (m)| Ĥ1 E0 (m) − Ĥ + iε ! ¯ + ® 1 ¯E (n) − E0 (m) − Ĥ0 − iε ¯ + ® 2iε ¯E (n) = δ(n − m) − hE0 (m)| Ĥ1 ³ ´2 2 E0 (m) − Ĥ + ε ¯ + ® 2iε ¯E (n) = δ(n − m) − hE0 (m)| Ĥ1 (E0 (m) − E0 (n))2 + ε2 Beim Übergang von der vorletzten zu der letzten Zeile haben wir benutzt, dass |E + (n)i eine EF des Hamiltonians Ĥ zum Eigenwert E0 (n) ist. 4. Der Limes 2ε = 2πδ [E0 (m) − E0 (n)] ε→+0 (E (m) − E (n))2 + ε2 0 0 lim 7 5. Endergebnis ¯ ® Smn = δ(m − n) − 2πiδ [E0 (m) − E0 (n)] hE0 (m)| Ĥ1 ¯E + (n) . Dies ist die Grundformel der Streutheorie. Der Operator ³ ´ T̂ (E(n)) = Ĥ1 Iˆ + Ĝ+ (E(n))Ĥ1 heisst Transfermatrix (T -Matrix). Da ³ ´ ¯ ® Ĥ1 ¯E + (n) = Ĥ1 Iˆ + Ĝ+ (E(n))Ĥ1 |E0 (n)i = T̂ (E(n)) |E0 (n)i , schreiben wir die Grundformel um: Smn = δ(m − n) − 2πiδ [E0 (m) − E0 (n)] hE0 (m)| T̂ (E(n)) |E0 (n)i , so dass sie jetzt nur die Zustände des ungestörten Ĥ0 enthält. Sind die Koeffizienten der Entwicklung des Anfangszustandes c(n) über die EF von Ĥ0 bekannt, so gilt Z b(m) = c(m) − 2πi dnδ(E0 (m) − E0 (n))c(n) hE0 (m)| T̂ (E(n)) |E0 (n)i . Das 1. Glied ist die durchgegangene Welle, das 2. Glied die gestreute Welle. Bei Ĥ1 → 0 gilt T̂ → 0, die Streuung bleibt aus. Die Matrixelemente hE0 (m)| T̂ (E(n)) |E0 (n)i bestimmen die Stärke der Streuung. Es lässt sich die Störungsreihe für T̂ schreiben (alle Energieargumente sind gleich E(n)): ³ ´ ³ ´ T̂ = Ĥ1 Iˆ + Ĝ+ Ĥ1 = Iˆ + Ĥ1 Ĝ+ Ĥ1 ¶ µ³ ´ −1 + + + Ĝ Ĝ + Ĥ1 Ĝ Ĥ1 = µ³ ´ ¶ −1 + = Ĝ + Ĥ1 Ĝ+ Ĥ1 ³ ´ = E0 (n) − Ĥ + iε + Ĥ1 Ĝ+ Ĥ1 ³ ´ 1 = E0 (n) − Ĥ0 + iε Ĥ1 E0 (n) − Ĥ0 + iε − Ĥ1 1 1 = Ĝ−1 Ĥ1 = Ĥ1 . 0 −1 Ĝ0 − Ĥ1 Iˆ − Ĥ1 Ĝ0 8 ³ ´ Multiplizieren wir die beiden Seiten × Iˆ − Ĥ1 Ĝ0 so erhalten wir[[[]]] T̂ = Ĥ1 + Ĥ1 Ĝ0 T̂ . Diese Reihe lässt sich iterieren T̂ = Ĥ1 + Ĥ1 Ĝ0 T̂ = Ĥ1 + Ĥ1 Ĝ0 + Ĥ1 Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 + Ĥ1 Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 + ... Bemerkung: Man könnte es auch einfacher machen: wir wissen, dass G+ = 1 = 1 E0 (n) − Ĥ0 − Ĥ1 + iε Ĝ−1 0 − Ĥ1 1 = Ĝ0 = Ĝ0 + Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 + Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 .... ˆ I − Ĥ1 Ĝ0 (formale geometrische Reihe). Daher ³ ´ T̂ (E(n)) = Ĥ1 Iˆ + Ĝ+ Ĥ1 = Ĥ1 + Ĥ1 Ĝ0 + Ĥ1 Ĝ0 Ĥ1 Ĝ0 + ... Interprätation in Impulsdarstellung: n → k, m → k0 , mit k, k 0 > 0. µ 2 02 ¶ ¢ ~k ~2 k 2 2m ¡ δ(E(m) − E(n)) = δ − = 2 δ k 02 − k 2 2m 2m ~ 2m = δ [(k 0 + k) (k 0 − k)] 2 ~ 2m m = δ [2k (k 0 − k)] = 2 δ (k 0 − k) , 2 ~ ~k so dass m δ (k 0 − k) hk0 | T̂ (k) |ki . ~2 k Vergleich mit der Definition der Streuamplitude ergibt Sk0 k = δ(k0 −k) − 2πi hk0 | T̂ (k) |ki = − ~2 fk (θ, φ) 4π 2 m (wegen der δ (k 0 − k) sind die Beträge von k0 und k gleich, daher hängt δ (k 0 − k) hk0 | T̂ (k) |ki nur vom Winkel ab). Streumatrix in Partialwellenzerlegung. Man hat das VONS von p̂2 , L̂, L̂z , das ein geeignetes System für die Beschreibung für die Streuung aud kugelsymmetrischen Potentiale ist. Der Hamiltonoperator Ĥ kommutiert mit 9 L̂, L̂z , Ŝ und T̂ sind in dieser Darstellung diagonal: die einzigen nichtverschwindenden Matrixelementen sind Sl (k) ≡ Sll (k) = e2iδ = 1 + 2ikfl . Alle einfallenden Teilchen mit einem bestimmten Bahndrehimpuls laufen mit diesem Bahndrehimpuls wieder aus. 3.6 Streuung in einem Coulombfeld Die Parzialwellenmethode ist nur dann anwendbar, wenn die Streuphasen wohldefiniert (endlich) sind. Das ist der Fall bei Potentialen, die schneller als r−2 im Unendlichen abfallen. Das Coulombpotential genügt nicht dieser Bedingung. Anderseits ist das Streuproblem im Coulombfeld exakt lösbar. Die SGl im Coulombfeld erlaubt die Variablentrennung in parabolischen Koordinaten (ξ, η, φ). Die Flächen der gleichen Koordinaten sind: nach oben (in positiven z-Richtung) oder nach unten (in negativenz-Richtung) geöffnete Paraboloiden (rotationssymmetrisch um z-Achse)) und die Ebenen, die die z-Achse beinhalten. Das Koordinatensystem ist orthogonal. Das Längenelement ist ξ+η 2 ξ+η 2 ds2 = dξ + dη + ξηdφ2 , 4ξ 4η das Volumenelement dV = ξ+η dξdηdφ. 4 Der Übergang zu kartesischen Koordinaten ist p x = ξη cos φ p y = ξη sin φ 1 z = (ξ − η). 2 Die SGl ist: ¸ · 1 4 ∂ ∂ 1 ∂2 2 4 ∂ ∂ − ξ + η + ψ+ ψ = Eψ 2 2 ξ + η ∂ξ ∂ξ ξ + η ∂η ∂η ξη ∂φ ξ+η (für das abstossendes Potential; wir benutzen die Atomeinheiten; die Energieeinheit ist die doppelte Rydbergenergie). Für das Streuproblem ist die 10 aktuelle Lsg. φ-unabhängig (entspricht m = 0). Die Gl. erlaubt daher die Variablentrennung ψ = f (ξ)g(η). Die Gl’en für f und g sind µ 2 ¶ d df k ξ + ξ − β1 f = 0 dξ dξ 4 µ 2 ¶ d dg k η + η − β2 g = 0. dη dη 4 (6) Die Variablentrennungskonstanten β1 und β2 genügen der Bedingung β1 + β2 = 1. Der Randbedingung des Streuproblems ¸ · k ψ ∼ exp(ikz) = exp i (ξ − η) 2 für z = (ξ − η) /2 → −∞ kann entsprochen werden, wenn man µ ¶ k f (ξ) = exp i ξ 2 annimmt. Die Variablentrennungskonstante β1 ist dann β1 = ik/2. Die Randbedingung für η ist µ ¶ k g(η) ' exp −i η 2 für η → ∞. Die Gl.(6) nimmt dann die folgende Gestalt an: µ 2 ¶ d dg k ik η + η−1+ g = 0. dη dη 4 2 Die Lsg. wird in der Form µ ¶ k g(η) = exp −i η w(η) 2 gesucht. Die Gl. für w(η) ηw00 (η) + (1 + ikη)w0 (η) − w(η) = 0 mit w(η) → 1 für η → ∞ ist eine Gl. von Typ der Kummer-Gl. zw00 (z) + (b − z)w0 (z) − aw(z) = 0, 11 deren Lsg die konfluenten (od. entarteten) hypergeometrischen Fkt’nen (die Kummer Fkt’nen) M (a, b; z) und U (a, b; z) sind. Bemerkung: Die konfluenten hypergeometrischen Fkt’nen sind die recht oft auftretenden Spezialfunktionen der mathematischen Physik. Alle uns bis jetzt aus QM1 und QM2 bekannte Spezialfkt’nen (Hermite-, Laguerreund assoziierte Laguerre-Polynomen, die Besselfkt. usw) können durch diese Funktionen ausgedrückt werden, siehe Arfken & Weber od. andere Bücher zur mathematischen Physik. In unserem Fall ist die Lsg µ ¶ i w(η) = const · F − , 1; x k mit x = ikη eine oft auftretende Linearkombination aus M und U . Für große x gilt die folgende asymptotische Entwicklung: F (α, γ; x) = · ¸ Γ(α) α−γ x (α − 1)(α − γ) (α − 1)(α − 2)(α − γ)(α − γ − 1) x e 1+ + + ... Γ(γ) x 2x2 · ¸ Γ(γ) α(γ − α − 1) α(α + 1)(γ − α − 1)(γ − α − 2) −α x + x e 1+ + + ... . Γ(α − γ) x 2x2 Es sind nur die Glieder bis zur Größenordnung von η −1 , die für r → ∞ ihren Beitrag zum Teilchenstrom leisten. Daher µ ¶ exp [π/2k + (i/k) ln kη] 1 exp [π/2k − (i/k) ln kη + ikη] w(η) ' 1+ 2 − . Γ(1 + i/k) ik η Γ(1 − i/k)k 2 η Die Logarithmen entstehen dadurch, dass man schreibt µ ¶ π i −i/k (ikη) = exp + ln kη . 2k k Die GesamtWF ist ¸ · k ψ(ξ, η) = f (ξ)g(η)w(η) = A exp i (ξ − η) w(η) = exp(ikz)w(η). 2 Der Übergang zu Kugelkoordinaten η = r(1 − cos θ) = 2r sin2 (θ/2) 12 ergibt · ¸ · ¸ exp(π/2k) 1 i 2 θ ψ(r, θ) = A 1+ exp ikz + ln 2kr sin Γ(1 + i/k) k 2 2ik 3 r sin2 (θ/2) £ ¤ 2 exp(π/2k) exp ikr + (i/k) ln 2kr sin (θ/2) . +A Γ(1 − i/k) 2k 2 r sin2 (θ/2) Die Normierung folgt aus der Annahme, dass die Amplitude der einfallenden Welle gleich 1 ist: A = exp(−π/2k)Γ(1 + i/k). Unter Benutzung der Definition von f (θ) bekommen wir µ ¶ 1 2i θ Γ(1 + i/k) f (θ) = − 2 2 exp − ln sin . k 2 Γ(1 − i/k) 2k sin (θ/2) Bemerkung: Γ(z ∗ ) = [Γ(z)]∗ , daher gibt der letzte Multiplikator nur den Beitrag zur Phase und nicht zur Amplitude von f (θ). Der differenzielle Wirkungsquerschnitt dσ(in normalen Einheiten) ist dann µ 2 2 ¶ Z em θ 2 dσ = |f (θ)| dΩ = sin−4 dΩ. 2 2 2~ k 2 Der Streuquerschnitt entspricht der klassischen Rutherford-Formel, diese Entsprechung ist einmalig! Die Anwesenheit des Glieds ∼ r−1 in der Amplitude der einfallenden Welle, und das logarithmische Verhalten der Streuphasen sind mit dem langsamen Abfall des Potentials verbunden. Für ein anziehendes Potential sollte man statt f (θ) das komplex-konjungierten nehmen. 13
