Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Elektrizitätslehre und Magnetismus
Othmar Marti | 05. 06. 2008 | Institut für Experimentelle Physik
Physik, Wirtschaftsphysik und
Lehramt Physik
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Physik |
Klassische und Relativistische Mechanik |
05. 06. 2008
Ströme
Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Länge ` und sind im Abstand r . Sie sind von den Strömen I1
und I2 durchflossen.
FM = const ·
` · I1 · I2
r
Die Kraft ist anziehend, wenn die beiden Ströme in die gleiche Richtung fliessen.
Die Kraft FM ist nicht eine elektrostatische Kraft, da eine geerdete Metallplatte die Kraft, anders als bei der
Coulomb-Kraft, nicht abschirmt.
Die Kraft FM wirkt auf bewegte Ladungen!
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Ladungsinvarianz
Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung.
qElektron = −qProton
mit einer Genauigkeit von |qElektron |/N = 10−20 qElektron .
Die Grösse der Ladung ist unabhängig von der Geschwindigkeit!
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Relativistische Berechnung
Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S und
rechts:im Bezugssystem S 0 , in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir
wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem
S im Bezugssystem S 0 ist. Die Ladung ist jedoch invariant.
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Relativistische Berechnung
Q
L0
Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz
λ0 =
Q
L
Wegen der Längenkontraktion gilt
s
v2
L0
L=
= L0 1 − 02
γ0
c
λ=
Zusammengenommen erhalten wir
λ0 =
λ
γ0
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Relativistische Rechnung
Im Ruhesystem S 0 , in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die
Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen
Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch
neutral. Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die
Relativgeschwindigkeit der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen
Ladungen, liegen in S 0 die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen. Die
beiden Ladungsketten sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen,
wenn q > 0 ist. Das E 0 -Feld in die z 0 -Richtung erzeugt in S 0 die Kraft
Fz0 = q · E 0
Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht
relativistisch invariant!
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Relativistische Betrachtung
Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist
E(r ) =
λ
2π0 · r
Um das elektrische Feld E 0 berechnen wir die Geschwindigkeiten
0
0
v+
und v−
in S 0 .
0
v+
0
v−
=
1−
1+
≡
γ
0
β+
0
β−
=
=
0
0
0
0
0
Mit γ+
≡ γ(v+
) und γ−
≡ γ(v−
) und mit λ0 = λ0+ /γ+
erhalten wir
v ·v0
c2
0
λ+
v + v0
=
≡
β
v − v0
v ·v0
c2
v
0
λ−
0
=
γ+
=
γ−
0
λ
!
γ0
λ
!
γ0
Die Netto-Linienladung in S 0 ist dann
c
1
p
1 − β2
β0 − β
1 − β0 β
β0 + β
1 + β0 β
0
0
0
λ = λ+ − λ− =
λ 0
0
γ+ − γ−
γ0
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Relativistische Rechnung
Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λ0 hervorgerufene Feld Er0 . Für positives λ0
zeigt dieses in die −z 0 -Richtung.
Weiter erhalten wir
0
0
γ+ − γ−
q
=
s
1
− q
2
2
1 − β−
1 − β+
1
1−
=
=
=
0
1
=
β0 −β
1−β0 β
Er
1−
β0 +β
1+β0 β
−2β0 β
r
1 − β02
1 − β2
0
λ = −2λββ0 γ =
·
1
r
Die Kraft im Ruhesystem S 0 des Teilchens ist also
0
0
Fz = q · Er =
2qλv0 v γ(v )
2π0 c 2
·
1
r
Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse pi
und der Energie E
−2β0 βγ0 γ
Also ist
2π0 c 2
2
1 − β0 β
1 + β0 β
− r
r
1 − β02
1 − β2
1 − β02
1 − β2
λ0
2π0 r
2λv0 v γ(v )
=
1
2 − s
−
=
0
−2λvv0
c2
γ
px
=
px
0
py
=
γ(v )
=
pz
=
γ(v ) E − v · py
0
pz
0
E
E
py − v
2
c
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Relativistische Rechnung
Der Vierervektor (px , py , pz , cE2 ) transformiert sich wie der Vierervektor (x, y , z, t). Die
Kraft transformiert sich also wie
Fz0 =
dpz0
dpz
= p
= γ(v )Fz
dt 0
1 − β 2 · dt
Der Strom in S ist
I = 2λv0
Fz (r ) =
q·v ·I 1
·
2π0 · c 2 r
Multipliziert man Gleichung (9) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit
[n] = 1/m), so erhält man die zu I2 proportionale Kraft pro Länge F(r ).
F(r ) = n · Fz (r ) =
n·q·v ·I 1
I2 · I
1
· =
·
2π0 · c 2 r
2π0 · c 2 r
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Magnetische Kraft
Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch transformierte elektrostatische Kraft auf die
Ladung q in deren Ruhesystem S 0 . Die magnetische
Kraft kann als relativistische Korrektur zur elektrostatischen Kraft verstanden werden.
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Lorentz-Kraft
FL = q · v × B
B(r ) =
I
1
·
2
r
2π0 c
Induktionskonstante
µ0 =
B(r ) =
1
0 c 2
µ0 I
·
2π r
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Strom und Magnetische Induktion
Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur
Geschwindigkeit der Ladung.
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Magnetische Induktion
µ0
N
= 10−7 2
4π
A
Die Einheit der magnetischen Induktion ist
[B] = Tesla = T =
N ·s
N
V ·s
=
=
C·m
Am
m2
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Magnetfeld
Wir haben
F (r ) = `F(r ) =
Magnetische Induktion
B(r ) =
µ0 I
2π r
µ0 ` I2 · I
2πr
Magnetfeld
H(r ) =
I
2π r
F (r ) = B(r ) · I2
F (r ) = µ0 H(r ) · I2
FL = q v × B
F L (r ) = q v × (µ0 H(r ))
B hängt vom Material ab
H hängt nicht vom Material ab
entspricht der dielektrischen
Verschiebung D
entspricht dem elektrischen
Feld E
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Magnetfeld
[H] =
A
m
Das magnetische Feld H ist unabhängig von der Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische
Induktion B hängt vom den Raum füllenden Material ab.
elektrisches Feld E
l
magnetisches Feld H
⇔ dielektrische Verschiebung D = 0 E
l
⇔ magnetische Induktion B = µµ0 H
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Kraft auf ein Leiterelement
Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
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Beispiel 1
Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife
in einem homogenen Magnetfeld ist
I
I
F = I · d` × B = I ·
d` × B
H
Da das Linienintegral d` × B über eine geschlossene
Schleife null ist (die positiven und die negativen Anteile heben
sich auf) ist F = 0.
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Drehmoment auf Leiterschleife (Motor)
Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
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Beispiel 2: Leiterschlaufe
Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen
Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente
ergeben das Drehmoment
dM
=
(r 1 + r 3 ) × dF 1 + (r 1 + r 4 ) × dF 1
+ (r 2 + r 3 ) × dF 2 + (r 2 + r 4 ) × dF 2
=
2 · r 1 × dF 1 + 2 · r 2 × dF 2
Das gesamte Drehmoment ist
M = r1 × F1 + r2 × F2 = 2 · r1 × F1
Das Drehmoment M liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn φ der Winkel zwischen
der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B ist, gilt mit F1 = a · I · B:
b
sin φ · F1 = a · b · I · sin φ · B
2
Wir definieren das magnetische Moment m so, dass es senkrecht auf die Ebene der
Leiterschlaufe steht und dass |m| = Fläche · Strom = a · b · I ist. Damit ist
M=2
M =m×B
Drehspulinstrumenten, Motoren, Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit
Eisenfeilspänen
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Potentielle Energie einer stromdurchflossenen Leiterschlaufe
Die potentielle Energie einer um den Winkel φ gegenüber dem
Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird
berechnet, indem man von φ = 0 ausgeht und die Schlaufe
langsam zum Winkel φ dreht. Die Arbeit, um von φ0 nach
φ0 + dφ0 zu drehen ist
b
dU = 2 · F1 sin φ0 · · dφ0 = a · b · I · B · sin φ0 · dφ0
2
Damit erhalten wir
Zφ
U(φ) = a · b · I · B · sin φ0 · dφ0 = −a · b · I · B · (cos φ − 1)
0
Wenn wir U(φ = π/2) = 0 wählen haben wir
U = −m · B