Formeln für Elektroniker und IT
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EUROPA-FACHBUCHREIHE für elektrotechnische und elektronische Berufe Formeln für Elektroniker und IT für berufliche Schulen (Technische Gymnasien, Fachschulen, Fachoberschulen, Berufskollegs, Elektroniker/in GS und IT) 14. Auflage Autoren von »Formeln für Elektroniker und IT« Bernhard Grimm Jürgen Komm Gerhard Mangold Werner Philipp Bernd Schiemann Martin Schmid Oberstudienrat Dipl.-Ing., Oberstudienrat Dipl.-Ing., Studienprofessor Dipl.-Ing., Oberstudienrat Dipl.-Ing. Dr.-Ing., Studienrat Sindelfingen, Leonberg Rheine Tettnang Heilbronn Stuttgart Ulm, Burgau Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern Leitung des Arbeitskreises und Lektorat: Dipl.-Ing. Schiemann, Stuttgart Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt. Druck 5 4 3 2 1 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2011 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Satz & Bild: Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim Druck: Rautenberg Druck, 26789 Leer Ihre Meinung zum Buch interessiert uns! Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum Buch mit. Schreiben Sie uns an die E-Mail-Adresse: [email protected] Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 3334X ISBN 978-3-8085-3349-9 Mathematische Zeichen, Griechisches Alphabet, Vorsätze M Nach DIN 1302 Mathematische Zeichen Zeichen Buchstabe Name Buchstabe Name 5 gleich A å Alpha N √ Ny Þ nicht gleich, ungleich B ∫ Beta J ≈ Xi < nahezu gleich, etwa Ì © Gamma O o Omikron , proportional, ähnlich ¤ ∂ Delta ∏ π Pi entspricht E ™ Epsilon P œ Rho , kleiner als Z Ω Zeta ∑ ‚ Sigma . größer als H é Eta T † Tau # kleiner oder gleich, höchstens gleich Ó ñ Theta Y y Ypsilon $ größer oder gleich, mindestens gleich Û ı Jota Ï fi Phi > größer oder gleich in Schaltzeichen K ∆ Kappa X ç Chi @ sehr viel größer als fl ¬ Lambda » « Psi ! sehr viel kleiner als M μ My Ø ø Omega ` unendlich … bis, z. B. 3 … 7 ∆ Differenz, z. B. ∆ Û = Û1 – Û2 Σ Summe, z. B. 6 plus oder minus oder, z. B. a b (Schaltalgebra) und, z. B. a b (Schaltalgebra) nicht, z. B. ! (Schaltalgebra) Links ist jeweils der Großbuchstabe angeführt, daneben der Kleinbuchstabe. Σ Û = Û1 + Û2 + … Vorsätze zu Einheiten, Vorsatzzeichen, Bedeutung (Faktor) Name Kennzeichen Zehnerpotenz Yotta Y 1024 Zet ta Z 1021 Exa E 1018 () [] runde Klammer, eckige Klammer Pe ta P 1015 {} kl geschweifte Klammer, spitze Klammer Tera T 1012 i parallel Giga G 10 9 ⊥ rechtwinklig zu, senkrecht auf Mega M 10 6 > kongruent Kilo k 10 3 \ Winkel De zi d 10 –1 Strecke AB } AB Zenti c 10 –2 √ –1 , imaginäre Einheit Milli m 10 –3 π Pi, Kreiszahl = 3,141 59... Mik ro µ 10 –6 e natürliche (eulersche) Zahl = 2,718 28... Nano n 10 –9 f (x) f von x, Funktion der Veränderlichen x Piko p 10 –12 Integral Femto f 10 –15 Logarithmus, allgemein At to a 10 –18 lg Zehnerlogarithmus Zepto z 10 –21 ln natürlicher Logarithmus zur Basis e Yok to y 10 –24 i oder j e log 2 Bedeutung Griechisches Alphabet _ lb Zweierlogarithmus R daraus folgt > Zeichen für Vektoren, z. B. a#$ Zur Vermeidung von Verwechslungen von Vorsatz m (Milli) mit Einheit m (Meter) wird die Einheit m (Meter) stets an das Ende gesetzt. Die Abkürzung Am bedeutet also Ampere mal Meter, mA bedeutet Milliampere. Rechenoperationen M Mathematik Grundgesetze Vorzeichenregeln: +·+=+ +·–=– –·–=+ +:+=+ +:–=– –:–=+ 1 2 Kommutativgesetze: Assoziativgesetze: Distributivgesetze: a+b=b+a (a + b)+ c = a + (b + c) a·b=b·a (a · b) · c = a · (b · c) a · (b + c) = a · b + a · c a + b = } a + } b } c c c 3 4 Addition und Subtraktion: Multiplikation: Division: Bei ungleichnamigen Brüchen: Bruch mit Bruch: Bruch durch Bruch: Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden), danach Zähler addieren bzw. subtrahieren a c b d ad + bc cd Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner a·c b·d a c b d + } = } } Zählerbruch mal Kehrwert des Nennerbruches a c b d · } = } } 6 5 a·d b·c : } = } } 7 8 Potenzen, Wurzeln (10 a ) = 10 ab 9 10 a = 10 a – b 10 a : 10 b = } 10 b 1 = 10 –n } n b 10 a · 10 b = 10 a + b 10 10 b } a } n } 1 n Ï a = a } Ï10a = 10b 12 11 13 14 Logarithmen Gesetze: loga (c · d ) = logac + logad Umformungen: 15 ln x lg x = } ln 10 lg x = 0,4343 · ln x 1 · xA x 10 · xA Logarithmische Teilung einer Dekade loga } c = logac – logad d 17 ln x = 2,3026 · lg x x ¢x = ¢10 · lg } xA m 18 loga (c ) = m · logac 19 1 log Ïc = } n · log ac 21 reelle Zahlen natürliche Zahl (2,718…) lb Zweierlogarithmus lg Zehnerlogarithmus 22 ln x lb x = } ln 2 lb x = 1,4428 · ln x a, b, c, d e 20 lg x lb x = } lg 2 lb x = 3,3219 · lg x n } a 16 lg x ln x = } lg e 23 ln natürlicher Logarithmus loga Logarithmus zur Basis a Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 3 Längen, Flächen M Beim Quadrat: _ ¢ h e e = √2 · ¢ A = ¢2 1 2 Beim Rechteck: _ ¢ e = √ ¢2 + b 2 Quadrat A=¢·b 3 ¢ 4 Beim Parallelogramm: Dreieck A=¢·b ¢2 5 Beim Dreieck: e h b 6 ¢m Rechteck ¢1 + ¢2 ¢m = } 2 Umfang = Summe der Seiten Trapez 8 9 A = ¢m · h d b 7 Beim Trapez: ¢1 ¢ ¢ · h A = } 2 Umfang = Summe der Seiten 10 Beim Kreis: ¢ Parallelogramm π · d 2 A = } 4 u=π·d Kreis 11 A = 0,785 · d 2 12 13 Rundspule +d dm = D } 2 ¢ ≈ π · dm · N 14 15 h z ≈ } d1 d D dm h d1 N ≈ N1 · z 16 D – d h = } 2 b 17 b N1 = } d1 Lehrsatz des Pythagoras a2 b2 b c Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Hypotenusenquadrates so groß wie die Summe der Flächen der Kathetenquadrate. u=a+b+c 18 Hypotenusenquadrat a c 2 = a2 + b2 19 c 2 Kathete a Kathete b _ a = √ c 2 – b 2 _ _ b = √ c 2 – a2 20 A Fläche (Area) d1 Drahtdurchmesser a Kathete d m mittlerer Windungsdurchmesser b Kathete, Breite e Eckenmaß c Hypotenuse h Höhe, Wicklungshöhe D Durchmesser der Spule ¢ Länge, Drahtlänge d Durchmesser des Spulenkörpers ¢m mittlere Länge Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 4 Hypotenuse c c = √ a2 + b 2 21 N N1 u z 22 Windungszahl Windungszahl je Lage Umfang Lagenzahl Massen, Übersetzungen M Mathematik Rauminhalte, Oberflächen, Masse Gleich dicke Körper: V=A·h h Beim Prisma: A 1 b Oberfläche = Summe aller Seitenflächen AO = 2 · (¢ · b + ¢ · h + b · h) ¢ 2 Prisma AO = 2 · A + AM Beim Zylinder: A h π · d 2 + π · d · h AO = } 2 π · d 2 A = } 4 AM = π · d · h Spitze Körper: d 1 V = } ·A·h 3 Beim Kegel: π · d 2 A = } 4 π · d · s AM = } 2 Zylinder s h d 2 + d · s π· } AO = } 2 2 1 2 5 A=¢·b √ s = √ h + b 4 _ √ _ ¢2 h s = h2 + } 4 d 2 s Kegel √ _ 2 ¢2 + ¢ · h2 + b AO = b · h2 + } } 4 4 _ 2 6 } Kugel: π · d 3 V = } 6 AO = π · d 2 7 hs h 4 AO = A + AM Bei der Pyramide: A 3 8 A Masse = Dichte × Volumen b Für alle Körper: kg m œ = } [œ] = } V dm3 ¢ m=œ·V 9 Pyramide Übersetzungen treibend d1 F v getrieben d2 treibend getrieben n1 z1 Teilkreis 1 Riementrieb Fläche, Grundfläche, Deckfläche A M Mantelfläche AO Oberfläche b Breite d1, d 2 Durchmesser der Räder (Index 1 für treibend, Index 2 für getrieben) A d1 · n1 = d 2 · n2 10 n2 z2 Teilkreis 2 z1 · n1 = z2 · n2 12 n1 d 2 i = } = } n 2 d1 n1 z2 i = } = } n 2 z1 11 13 Zahnradtrieb h Höhe hs Seitenhöhe i Übersetzungsverhältnis ¢ Länge m Masse n1, n2 Umdrehungsfrequenzen, (Drehzahlen) (Index 1 für treibend, Index 2 für getrieben) s Seitenlänge V Volumen z1, z2 Zähnezahlen (Index 1 für treibend, Index 2 für getrieben) œ Dichte Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 5 Geschwindigkeiten, Quadratische Gleichungen, Funktionen M Geschwindigkeiten Zeit t = 0 Zeit t = 1 s v s v = } t m [v] = } s v 1 s m [v] = } s Geradlinige Bewegung v=π·d·n 2 v q P [ø] = rad } s 1 d ø = 2π · n 3 r m [v] = } s v=ø·r 4 Kreisförmige Bewegung Quadratische Gleichungen S1 x2 Allgemeine Form: y= –p y= y x– ax 2 + bx + c = 0 x 2 + px + q = 0 5 S2 q Normalform: Lösungsformel bei allgemeiner Form: _ –b √ b 2 – 4ac x1,2 = } 2a 0 x1 x2 x Zeichnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung 7 6 Lösungsformel bei Normalform: p x1,2 = – } 2 p √ 1 } 2 2 _ 2 – q 8 Ist der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als Null, so enthalten die Lösungen imaginäre Zahlen. Zeichnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung y = x 2 + px + q: — Normalparabel für y = x 2 und Gerade für y = – px – q zeichnen. — Deren Schnittpunkte ergeben die Lösungen der x-Werte. Funktionen y = mx + b y y = mx + b 0 y2 Für lineare Funktionen (Gerade): Allgemeine Funktionsgleichung: Steigungsfaktor: x b y1 x1 x2 Lineare Funktion (Gerade) 9 y 2 – y1 ∆y m = } = } ∆x x 2 – x1 Bei negativem a ist die Parabel nach unten geöffnet. y = ax 2 + bx + c 11 a, b, c Konstanten der allgemeinen Form tA Abtastzeit fA Abtastfrequenz, Abtastrate tA’ Dauer einer Abtastprobe fAo Abtastrate bei Oversampling ts Signalverarbeitungszeit fs höchste zu übertragende Frequenz des Signals tH Haltezeit m Steigungsfaktor v Geschwindigkeit, Umfangsgeschwindigkeit n Umdrehungsfrequenz, Drehzahl x unbekannte Größe p, q Konstanten der Normalform x1,2 Kurzschreibweise für die unbekannten Größen r Scheibenradius x1 und x2 TA Abtastperiodendauer ø Winkelgeschwindigkeit Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 6 10 Für quadratische Funktionen (Parabel): Allgemeine Funktionsgleichung: Trigonometrische und Exponentialfunktionen M Mathematik Trigonometrische Funktionen Für rechtwinklige Dreiecke: å b a a sin å = } c Ankathete Kosinus = } Hypotenuse b cos å = } c 1 ∫ å Gegenkathete Sinus = } Hypotenuse å c 3 2 4 Hypotenuse Gegenkathete Tangens = } Ankathete Rechtwinkliges Dreieck 1 a tan å = } b 5 _ å _ sin å = √ 1 – cos2å y cos å = √ 1 – sin2å 7 0° 90° 180° 270° 360° å –1 sin å = cos(90° – å) 11 a = arctan } a å = arcsin } b c y 90° cos å = sin(90° – å) sin å = cos ∫ å 0° 180° 270° 360° 8 9 å Sinusfunktion und Kosinusfunktion π · å åRAD = } 180 DEG å 10 sin å tan å = } cos å 12 a b = arctan } å = arccos } b c u = û · sin øt 13 t å = øt = 2πft = 2π · } Tangensfunktion 6 T 14 u = û · sin(øt + fi) 15 16 Für beliebige Dreiecke: © Sinussatz: a b å a b sin å sin ∫ a c sin å sin © b c sin ∫ sin © a2 = b 2 + c 2 – 2b · c · cos å = } } ∫ 17 18 © c Kosinussatz: a b 2 = a2 + c 2 – 2a · c · cos ∫ = } } b å c ∫ 19 c 2 = a2 + b 2 – 2a · b · cos © = } } Schiefwinklige Dreiecke 20 21 22 Exponentialfunktionen Zur Berechnung von x für y = ax : ln y x = } ln a a a,b,c f t T u lg y x = } lg a 23 von x unabhängige Konstante Seiten eines Dreiecks Frequenz Zeit Periodendauer Augenblickswert der Spannung Zur Berechnung von x für y = ex : û x,y åRAD åDEG x = ln y 24 Maximalwert, Amplitude der Spannung Variable Winkel in rad Winkel in ° 25 å,∫,© Winkel im Dreieck fi Phasenverschiebungswinkel in rad ø Kreisfrequenz øt Winkel in rad Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 7 Differenzieren und Integrieren M Differenzenquotient = Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. Differenzialquotient = Steigung der Tangente in einem Punkt eines Graphen. dy y ∆y ∆x } 1 dy dx } 2 dx dy 1. Ableitung y ’ = } dx x Ableitungen von Funktionen Von einer Funktion y = f (x) wird durch Differenzieren eine andere Funktion (Ableitung) y ’ = f ’(x) gefunden. Man schreibt für y ’ auch dy/dx. An Höchstwerten und Tiefstwerten ist bei differenzierbaren Funktionen y ’ = 0. Die zugehörigen x-Werte erhält man, indem man y ’ = 0 setzt. Funktion y = f (x) Funktion y ’ = f ’(x) y ’ = 0 y ’ = a y ’ = an · x n – 1 y ’ = ex y ’ = a x ln a 1 y ’ = } x y ’ = cos x y ’ = – sin x y=a y = ax y = ax n y = ex y = a x y = ln x y = sin x y = cos x Summenregel y=u+v+w+… y ’ = u ’ + v ’ + w ’ + … Produktregel y = uv y ’ = u ’v + v ’u Quotientenregel u y = } v – uv’ y ’ = u’v } v2 Kettenregel · } = } } dy dx dw dy dx dw 4 y ’ = g ’(x) · h ’(w) y = sin ax 3 5 6 y ’ = a · cos ax Grundintegrale Grundintegral ef ’(x)dx Ableitung y ’ = f ’(x) y ’ = 0 y = e dy = e 0 dx = 0 + C y ’ = sin x y = e dy = e sin x dx = – cos x + C y ’ = a y = e dy = e a dx = ax + C y ’ = cos x y ’ = a n x n – 1 x n + C y = e dy = a n e x n – 1 dx = an } n y ’ = a x ln a y = e dy = e ex dx = ex + C 1 y ’ = } x y = e dy = e cos x dx = sin x + C a x + C y = e dy = ln a e a x dx = ln a } ln a x = a + C 1 y = e dy = e } x dx = ln x + C = a x n + C y ’ = ex Bestimmtes Integral b Arithmetischer Mittelwert a a, b, n e ex C a von x unabhängige Konstanten natürliche Zahl: 2,718… auch exp x Integrationskonstante Effektivwert 7 1 f (t ) dt Ym = } # T 0 Û(x) Integralfunktion Û(a), Û(b) Funktionswerte der Integralfunktion T Periodendauer t Zeit √ _ T T b A = # f (x) dx = [F (x)] = F (b) – F (a) 8 Grundintegral ef ’(x)dx Ableitung y ’ = f ’(x) 1 f 2 (t) dt Y = } # T 0 8 u, v, w x, y Y Ym 9 Funktionen von x Veränderliche Effektivwert arithmetischer Mittelwert Spezielle Berechnungen mit dem Computer M Dualzahlen, Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen lassen sich mithilfe der Funktionen NICHT, ODER, UND und XOR logisch verknüpfen. Funktionen Formeln } } 0 = 1; NICHT, invertieren, negieren Hexadezimalzahlen werden logisch miteinander verknüpft, indem man für jede ihrer Ziffern die entsprechende vierstellige Dualzahl einsetzt und diese miteinander verknüpft. Mathematik Logische Verknüpfungen von Zahlen 1 = 0 ODER, arithmetisches ODER, „verodern“ 0 0 = 0; 1 0 = 1; 01=1 11=1 UND, arithmetisches UND, „verunden“ 0 0 = 0; 1 0 = 0; 01=0 11=1 XOR, Antivalenz, exklusives ODER 0 0 = 0; 1 0 = 1; 01=1 11=0 SPS-Technik Hinweise für die Aufstellung der Schaltfunktion aus der AWL: Beispiel: 1. 2. 3. 4. U E1 Jede Zuordnung ergibt eine Schaltungsgleichung. Man beginnt jeweils mit der Variablen der Zuordnung. Bei der jeweils 1. Zeile der AWL des Netzwerkes entfällt die Angabe der Operation. Bei externen Öffnern ist NICHT zu ergänzen, wenn die AWL nicht Speicherelemente enthält. U E2 = A1 Differenzieren und Integrieren mit dem Computer f (x) f (x0 + h) f (x0) ∆y D = } ∆x f (x 0 + h) – f (x 0 – h) D = } 2·h 1 2 Die Ableitung f ’(x) einer Funktion f (x) an der Stelle x 0 wird durch D angenähert. Das Rechenergebnis ist umso genauer, je kleiner h ist. f (x ) f (x0 – h) h (x0 – h) h x0 (x0 + h) x Zentraler Differenzenquotient f (a ) b – a ∆x = } n f (x ) f (b) f (x ) A1 A2 Ai x0 x1 x2 a An xi x xn b 1 ∆x · f (a) + f (b) + 2 · A = } 2 3 n–1 ^ f (a + i · ∆x) 2 i=1 4 Das bestimmte Integral einer Funktion f (x) ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen von x 0 = a bis xn = b. Beim Sehnen-Trapez-Verfahren wird diese Fläche angenähert als Summe der Sehnentrapeze A1 bis A n. Die Näherung an das bestimmte Integral ist umso besser, je mehr Teilintervalle gebildet werden. Bei der schrittweisen Annäherung mit dem Computer wird die Zahl n der Teilintervalle jeweils verdoppelt. Integration nach dem Sehnen-Trapez-Verfahren Gesamtfläche der f (x 0 – h) Funktionswert an der Stelle x 0 – h Sehnentrapeze h Schrittweite a, b Grenzen des Integrals i Laufvariable 1, 2, 3… D zentraler Differenzenquotient n Zahl der Teilintervalle f (a), f (b) Funktionswerte an den Integrationsgrenzen ∆x Breite der Einzeltrapeze, Differenz der f (a + i · ∆x) Funktionswert an der Stelle x i x-Werte f (x 0 + h) Funktionswert an der Stelle x 0 + h ∆y Differenz der y-Werte Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. A 9 Komplexe Rechnung, Reihen Komplexe Rechnung _ z = a + jb j3 imaginäre Achse M j2 rag Bet z von z 1 a = z · cosfi jb a fi 0 1 0 2 3 5 4 b = z · sinfi 3 j1 –1 z = √ a2 + b 2 z = z (cosfi + j sinfi) z = z · ejfi 5 2 4 6 reelle Achse – j1 b fi = arctan } a Komplexe Zahlenebene z * = a – jb 7 8 Addition z = z1 + z 2 z z = z1 + z 2 z2 jb z = z1 · z 2 a Addition von komplexen Zahlen _ j · j = j2 = –1 10 Multiplikation z1 j = √–1 z = (a1 + a2) + j(b1 + b 2) 9 j j·j 1 } = } = –j j 11 z = z1 · z2 · ej(fi1 + fi2) 12 Division z1 z = } z 2 13 z1 j(fi1 – fi2) z = } z ·e 2 14 Widerstand und Leitwert in der komplexen Ebene R Z=R L XL = j ø L = j XL C 1 = –j X XC = –j } C ø C 15 1 Y = G = } R 16 17 1 B L = –j } ø L 18 19 BC = j ø C 20 Reihen Arithmetische Reihe r = an – a (n – 1) 21 an = a1 + (n – 1) · r n · (a + a ) s n = } 1 n 2 22 23 Geometrische Reihe an q = } a (n – 1) 24 an = a1 · q (n – 1) 25 a Realteil von z n Zahl der Terme an n-ter Term q Quotient zweier aufeinander a (n – 1) (n – 1)-ter Term folgender Terme b Betrag des Imaginärteils von z r Differenz zweier aufeinander folgender Terme B Blindleitwert R Wirkwiderstand G Wirkleitwert j imaginäre Einheit sn Summe der ersten n Terme jb Imaginärteil von z X Blindwiderstand Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 10 qn – 1 s n = a1 · } q–1 Y z z z* Z fi ø Scheinleitwert komplexe Zahl Betrag von z konjugierte Zahl zu z Scheinwiderstand Argument von z Kreisfrequenz 26 Elektrotechnische Grundgrößen Stromdichte [Û] A [J] = } = } [A] mm2 A 2 = 0,0004 mm2 Û J = } A 1 R = } G 1 [R] = Ø = } S Glühlampe 1 E 2 Elektrotechnische und elektronische Grundlagen A1 = 0,2 mm2 Widerstand und Leitwert 1 G = } R 1 [G] = S = } Ø 3 S 2 G 1 œ·¢ R=} A 2 0 0 0,5 1 1,5 Ø · mm · m = Ø [R] = } m · mm2 2 Ø 2,5 R Ø · mm2 [œ] = } m Leiterwiderstand Elektrische Leitfähigkeit ©20 von Leiterwerkstoffen in m/(Ø·mm2) Kupfer Aluminium 56 Silber 60 35,38 Kohle bis 12 ¢ R = } ©·A Kupfer 3,9·10 Aluminium 3,8·10 –3 5 6 ΔT = ñ2 – ñ1 [ΔT ] = K Temperaturkoeffizient å in 1/K –3 4 1 © = } œ m [©] = } Ø · mm2 Widerstand und Temperatur 3 7 –3 Nickelin 0,15·10 Manganin 0,02·10 –3 1 [å] = } K ΔR = å · R1 · ΔT 8 Die Werte gelten für eine Temperaturerhöhung ab 20 °C. R2 = R20 (1 + å · ΔT ) R2 = R20 + ΔR Ohm'sches Gesetz 9 Ø 100 [U ] V =A [Û] = } = } [R ] Ø mA 50 0 U Û = } R 10 Ø 10 U V 20 Û als Funktion von U beim linearen Widerstand A G Û J ¢ R R1 Leiterquerschnitt Leitwert Stromstärke Stromdichte Leiterlänge Widerstand (Resistance) Widerstand bei Temperatur ñ1 R2 R20 ΔR U ΔT å Widerstand bei Temperatur ñ2 Kaltwiderstand bei 20 °C Widerstandsänderung Spannung Temperaturunterschied (Δñ) Temperaturkoeffizient © ©20 ñ1 ñ2 œ elektrische Leitfähigkeit (Gamma) elektr. Leitfähigkeit bei 20 °C Anfangstemperatur Endtemperatur spezifischer Widerstand (Rho) Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 11 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad Bei DC und bei AC mit Wirkwiderständen: ¡ A [P ] = V · A = W G V R U 2 P = } R P=U·Û U 1 Messung der elektrischen Leistung bei DC E P = Û 2 · R 2 3 Leistungen bei Wechselstrom und bei Drehstrom siehe Seite 24. [W ] = V · As = Ws = J Wh W=U·Q W=P·t L 5 4 N K=k·W 6 Messung der elektrischen Arbeit bei DC und AC Bei der Spule: ON TIME 1 W = } C · U 2 2 1 W = } L · Û 2 2 W 8 7 TARIF costs STA/STP Beim Kondensator: MODE W = Fs · s [W ] = N · m = Nm = J 9 Energiekostenmessgerät [P ] = N · m/s = W Pab é = } Pauf Fz Weg Fs = F · coså 10 11 Fs · s P = } t 12 fi Fs Fz Zugkraft F Kraft in Wegrichtung M=F·r [M ] = N · m = Nm 13 Kräfte bei einem Schlepplift M = F · r · sinå r 14 1 [ø] = } s ø = 2π · n 1=W [P ] = Nm · } s P=M·ø 15 F 16 Kraftmomentmessung AC Wechselstrom (alternating c.) M Kraftmoment C Kapazität (bisher Drehmoment) DC Gleichstrom (direct current) n Umdrehungsfrequenz F Kraft (Force) (Drehzahl) Û Stromstärke P Leistung, allgemein (Power) K Arbeitskosten Pab Leistungsabgabe Pauf Leistungsaufnahme k Tarifkosten Q elektrische Ladung L Induktivität Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 12 R r s t U W é ø Wirkwiderstand Hebelarm Weg in Kraftrichtung Zeit Spannung Arbeit, Energie (work) Wirkungsgrad Winkelgeschwindigkeit Grundschaltungen mit Widerständen U1 Maschenregel 2. Kirchhoff'sche Regel Û1 + Û2 + Û3 + … + Ûn = 0 ¡3 U1 + U2 + U3 … + Un = 0 1 U2 ¡2 Knoten Reihenschaltung Gemeinsamer Strom Masche U1 U2 R1 R2 = } } R2 R1 U2 U1 ¡ ¡1 ¡2 R1 R2 U1 U2 R2 R1 Û1 Û2 G1 G2 ¡q RL Ûq q = } ÛL UL R2 · R L R2L = } R2 + R L Belasteter Spannungsteiler ¡3 U1 G = G1 + G2 + … + Gn 10 Bei n gleichen Widerständen: R1 R = } n 11 R3 UBr RL q = } R2 13 U · R2L UL = } R1 + R2L 15 R2 ¡2 R4 ¡4 U4 R1 R2 Leitwert, Gesamtleitwert Leitwerte Stromstärke Teilstromstärken Brückenstrom Laststrom Querstrom R3 R4 18 Bei Abgleich (UBr = 0; ÛBr = 0): Û1 Û3 R 3 + R4 R1 + R2 = } } Brückenschaltung G G1, G2, … Û Û1, Û2, … ÛBr ÛL Ûq 16 = } } 17 ¡Br U2 14 Bei Abgleich (UBr = 0; ÛBr = 0): Brückenschaltung U3 UBr = U2 – U4 U 12 Belasteter Spannungsteiler ¡L ¡1 8 9 Bei 2 Widerständen: R1 · R2 R = } R1 + R2 R2 6 Û = Û1 + Û2 + … + Ûn 7 = } } ¡ q + ¡L R1 Û1 Û2 = } } Parallelschaltung U 1 G = } R Parallelschaltung Gemeinsame Spannung ¡ R1 4 5 Reihenschaltung E U = U1 + U2 + … + Un 3 R = R1 + R2 + … + Rn U U 2 n q R ganze Zahl 1, 2, 3, … Querstromverhältnis Widerstand, Gesamtwiderstand R1, R2, … Widerstände R2L Ersatzwiderstand aus R2 und R L 19 RL U U1, U2, … UBr UL Lastwiderstand Spannung Teilspannungen Brückenspannung Lastspannung Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 13 Elektrotechnische und elektronische Grundlagen ¡1 Knotenregel 1. Kirchhoff'sche Regel U3 Erzeuger-Ersatzschaltungen, Anpassung, Wärme Erzeuger-Ersatzschaltungen, Anpassung Spannungserzeuger V U0 U1 – U2 Ri = } Û2 – Û1 U0 = U1 + Û1 · Ri ¡1 Ri 1 A Bei Leerlauf: RL U1 U0 Ûk = } Ri U1 = U0 E 3 P MPP = UMPP · ÛMPP U2 R2 U2 RL } = } U’0 R’i + R L RL 7 Bei Ersatzstromquelle: ÛL Û’ R’i R’i + R L = } } 8 9 U0’ entsteht an den Anschlüssen bei entferntem Lastwiderstand R L B R i’ ist der Widerstand des Netzwerkes zwischen den Anschlüssen ohne Lastwiderstand bei kurzgeschlossenen Spannungen R1 • R2 R1 + R2 R'i = 6 Bei Ersatzspannungsquelle: A P MPP éMPP = } Pst Pst = S · A 5 R1 U 4 Solarmodul als Spannungserzeuger: Spannungserzeuger mit Last G 2 Bei Kurzschluss: Û’ fließt durch die kurzgeschlossenen Ausgangsanschlüsse Bei Spannungsanpassung: A RL Ri RL U2 U • R2 U'0 = R1 + R2 Bei Stromanpassung: RL Ri 10 11 Bei Leistungsanpassung: B RL = Ri 12 Spannungsteiler als Ersatzspannungsquelle U0 U = } 2 Ûk Û = } 2 13 14 U02 Pmax = } 4 · Ri 15 Wärme J [C ] = } K ªU kJ [c] = } kg · K [Q] = Ws = J ªj RthG ªG RthÜ ªK RthK ªU K [R th] = } W ΔT = ñ2 – ñ1 Q=P·t ti g = } T Q C = } ΔT 17 16 C=m·c Q = m · c · ΔT 19 21 ñj – ñU Rth = } Pv Rth = RthG + RthÜ + RthK Wärmewiderstände A C c g Û’ Ûk ÛL m MPP P wirksame Solarfläche in m2 Wärmekapazität spezifische Wärmekapazität Tastgrad Ersatzstrom Kurzschlussstrom Laststrom Masse maximaler Leistungspunkt eines Solarmoduls (maximum power point) elektrische Leistung Pmax Pst Pv Q Ri R ’i R th R thG R thK R thÜ S größte Leistungsabgabe Bestrahlungsleistung in W Verlustleistung Wärme Innenwiderstand Ersatzinnenwiderstand Ersatzwärmewiderstand innerer Wärmewiderstand Wärmewiderstand des Kühlkörpers Übergangswärmewiderstand Bestrahlungsstärke in W/m2 Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 14 t ti T U0 U 0’ ΔT ñ1 ñ2 ñj ñU é Zeit Impulsdauer Periodendauer, absolute Temperatur Urspannung Ersatzspannung Temperaturunterschied Anfangstemperatur Endtemperatur Sperrschichttemperatur Umgebungstemperatur Wirkungsgrad 18 20 22 23 Wechselgrößen 1 = Hz [f ] = } s U 0 t c ¬ = } f Für elektromagnetische Wellen und Licht gilt • im Vakuum, in Luft: c ≈ 300 000 km/s • im Leiter, z. B. in Cu, Al: c ≈ 240 000 km/s T Wechselspannung 1 2 E p =1 N Bei Sinusform: S 1 [ø] = } s u u ø=2·π·f 3 U - V + 0 } û = Ï2 · U Beim Maschinengenerator: 1 = Hz 1 ; [f ] = } [n] = } s s t Mischspannung 4 } ˆ ı = Ï2 · Û f=p·n 5 6 Bei unsymm. und symm. Schwingungsformen: ti Signalform ¸ û ¸ = û – u T ¸ ¸ˆ ı =ˆ ı –ı 7 } Crestfaktor1 Ï2 FC ≈ 1,41 } 8 } Ï3 ≈ 1,73 Ï 1 T } ti ˆ ı = Fc · Û û = Fc · U 9 Ï 10 } T Ï 1 u2 (t) dt U = } # T 0 } T 1 i 2 (t) dt Û = } # T 0 11 12 Bei symmetrischen Schwingungsformen: π fi π π 13 ø π 14 Bei Sinusform: ø π 15 Sinusgrößen mit Phasenverschiebung Ausbreitungsgeschwindigkeit Crestfaktor, Scheitelfaktor Frequenz Drehzahl, Umdrehungsfrequenz Polpaarzahl Periodendauer Zeit i=ˆ ı · sin øt u = û · sin øt ø c Fc f n p T t ¸ˆ ı =2·ˆ ı û ¸ = 2 · û π U, Û } U u, i û ¸, ¸ı̂ û , ı̂ 16 i=ˆ ı · sin(øt + fi) u = û · sin(øt + fi) 17 Effektivwerte arithmetischer Mittelwert (Gleichspannungsanteil) Augenblickswerte Spitze-Tal-Werte Maximalwerte, Amplituden, Scheitelwerte Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 18 ¸ ¸ u , ı Minimalwerte fi Phasenverschiebungswinkel in rad ¬ Wellenlänge ø Kreisfrequenz øt Winkel in der Einheit rad (2π rad = 360°) 1 Grundintegrale S. 8, Formel 9 15 Elektrotechnische und elektronische Grundlagen u 1 f = } T m } s =m [¬] = } 1 } s Impuls, Puls, elektrisches Feld, Ladung und Kapazität Impuls, Puls Dach Vorderflanke Impulsdauer t i Für Rechteckpuls: i, u T t Puls Anstiegszeit t r Abfallzeit t f 1 tp ti 10 % 50 % E ΔU S = } Δt Rückflanke 90 % 100 % i, u Für Spannungsimpuls: V [S] = } s T = t i + tp 2 t ti g = } T Impuls 3 1 f = } T 4 Elektrisches Feld Metallplatte E + + + + + + + + F – – – – – – – Metallplatte Im homogenen Feld: U E = } ¢ F=E·Q 5 V [E] = } m 6 Ws = N V · As = } [F ] = } m m Kraftwirkung auf geladenen Körper Ladung und Kapazität Bei Û = konstant: V V = As [Û ] = F · } } · } = A V s s ΔU Û = C · } Δt 7 Û ΔQ = Û · Δt [ΔQ] = A · s = As = C 8 C von Coulomb ΔQ = C · ΔU 9 U = U1 + ΔU 10 Laden des Kondensators mit einem Konstantstrom C Kapazität Q elektrische Ladung E elektrische Feldstärke S Flankensteilheit, F Kraft auf einen geladenen SpannungsanstiegsKörper geschwindigkeit f Pulsfrequenz T Pulsperiodendauer g Tastgrad U Spannung Û Stromstärke ΔQ Änderung der elektrischen ¢ Abstand der geladenen Platten Ladung Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 16 Δt Zeit, in der die Spannungsänderung erfolgt ΔU Spannungsänderung t i Impulsdauer tp Pausendauer tr Anstiegszeit t f Abfallzeit U1 Spannung bei Ladungsbeginn Kondensator, elektrische Flussdichte, Kapazität, Schaltungen, Blindwiderstand » = Q elektrischer Fluss » + » D = } A Q D = } A As = } C [D] = } m2 m2 – 1 D=™·E As = } As · } C V = } [D] = } Vm m m2 m2 leitende Platte 2 Elektrischer Fluss 3 1 w = } ·D·E 2 Permittivitätszahlen ™r Isolierstoff (Dielektrikum) ™ Glimmer 6 ... 8 Hartpapier 4 4 Keramische Masse 10 ... 50 000 Polystyrol 2,5 Tantalpentoxid 26 1 W = } · C · U 2 2 5 ™0 · ™r · A C = } ¢ As · } Ws = } V = } J [w] = } m2 m m3 m3 A Kondensator (Prinzip) 7 Q 2 = C 2 · U2 2 C1 C · m = As [C ] = } } = F Vm · m V C2 6 Q1 = C1 · U1 2 [W ] = F · V2 = As } · V = Ws = J V U E ™ = ™0 · ™r pC ™0 = 8,85 } Vm 8 Parallelschaltung: Q1 Q 2 } = } C1 C2 Parallelschaltung von Kondensatoren C1 C2 U1 U2 C = C1 + C2 + … + Cn 9 10 Zwei Kondensatoren in Reihe: C1 · C2 C = } C1 + C2 U C1 C2 U2 U1 Reihenschaltung für Q1 = Q 2 = … = Q n : 1 C 1 C1 1 C2 1 Cn } = } + } + … + } 11 C1 C U U1 12 = } } = } } 13 14 Reihenschaltung von Kondensatoren Kondensator an Wechselspannung: Kapazitiver Blindwiderstand: gleichartig geladene Plattenoberfläche C Kapazität, Ersatzkapazität C1, C2, Cn Einzelkapazitäten D elektrische Flussdichte E elektrische Feldstärke ¢ Plattenabstand A 1 XC = } ø·C ø=2·π·f Vs = Ø 1 [XC ] = } = } 1 As As } · } s V 15 n Q U U1, U2 w W Anzahl der Platten des Drehkondensators elektrische Ladung Spannung Teilspannungen Energiedichte elektrische Energie XC ™ ™0 ™r » ø 16 Kapazitiver Blindwiderstand Permittivität elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl elektrischer Fluss Kreisfrequenz Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 17 Elektrotechnische und elektronische Grundlagen leitende Platte Kondensator, Elektromagnetismus RC-Schaltung an Gleichspannung und Rechteckspannung i R S G C U0 E V · As [†] = Ø · F = } } = s A V Beim Entladen: u C = U0 · (1 – e –t/† ) u C = U0 · e –t/† 2 U0 –t/† ·e i = } R C u1 u2 R Differenzierglied iC 1 Beim Laden: uC Kondensator an Gleichspannung G †=R·C 3 U0 –t/† ·e i = – } R 4 5 Vertauscht man die Anordnung von R und C des Differenziergliedes, dann erhält man die Schaltung für ein Integrierglied. Differenzierglied U0 R uC U0 Für t i < tp : 0,63 . U0 U0 0,37 . R 0 U – 0,37 . 0 R 0 Laden Entladen 1 † } · ti 25 1 † } · tp 25 6 0 † † Für t i > tp : † 7 Integrierglied † U0 – R Für t i < tp : Für t i > tp : † 25 · tp Laden und Entladen eines Kondensators an Gleichspannung über einen Widerstand † 25 · t i 8 9 Elektromagnetismus 10 Vs = T; [B ] = } m2 [Ï] = Vs = Wb Ó H = } ¢ A [H ] = } m Ó = Û ·N [Ó] = A B = μ 0 · μr · H Ï=B·A 12 B s 13 F=Q·v·B F = B · Û · ¢w · z 14 UH 15 RH · Û · B UH = } s 3 Halleffekt beim N-Leiter m [R H ] = } A·s Fläche N Windungszahl magnetische Flussdichte Q Ladung Kapazität Hallkonstante RH Kraft s Leiterdicke Frequenz t Zeit nach dem Schalten magnetische Feldstärke ti Impulsdauer Stromstärke tp Pausendauer wirksame Breite des MagnetUH Hallspannung felds U0 Spannung des Spannungs¢ mittlere Feldlinienlänge erzeugers Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. A B C F f H Û ¢w 18 11 v z ª μ0 μr Ï † Geschwindigkeit Leiterzahl magnetische Durchflutung magnetische Feldkonstante = 1,257 µVs/(Am) Permeabilitätszahl magnetischer Fluss Zeitkonstante 16 Spule, magnetisches Feld Induktion und Induktivität ΔÏ u i = – N · } Δt Vs · m · } m=V [u i] = } s m2 Ï Vs = H [AL] = } A t A AL = μ0 · μr · } ¢ Vs = H [L] = } A Vs · } A=V A = } [u i] = H · } A s s u i = B · ¢w · v · z 1 2 L = N 2 · AL 3 4 Δi u i = –L · } Δt u L = –u i 5 Induktionsspannung durch Flussänderung 6 RL-Schaltungen an Gleichspannung R S1 Nach dem Einschalten: i + G L Ub L † = } R Vs = s H = } [†] = } Ø A · V/A 7 Ub · (1 – e –t/† ) i = } R 8 uL u L = Ub · e –t/† 9 Spule und Widerstand am Gleichstromkreis i Ub R Ub 0,63 . R 0 uL Ub Nach dem Abschalten: Einschaltvorgang 0,37 . Ub 0 – 0,37 . Ub Ausschaltvorgang 0 † † – Ub t † † Ub –t/† ·e i = } R 10 u L = –Ub · e –t/† 11 Zeitdiagramme für Spannung und Strom bei einer Spule Induktiver Blindwiderstand, Energie und Energiedichte des magnetischen Feldes Vs = } 1 · } 1 · H = } V=Ø [XL] = } s s A A ø=2·π·f XL = ø · L 12 Vs · A 2 = VAs = Ws = J [W ] = H · A 2 = } A 1 w = } ·B·H 2 13 1 W = } · L · Û 2 2 14 15 Bei Spulen ohne Eisenkern: 2 Vs · } Ws = } A = VAs J [w] = } = } } Am m m3 m3 m3 1 2 A AL B f H Û L ¢w Fläche Spulenkonstante, magnetischer Leitwert magnetische Flussdichte Frequenz magnetische Feldstärke Stromstärke Induktivität wirksame Breite des Magnetfeldes 1 w = } · μ0 · H 2 2 ¢ N t Ub ui uL v W w 2 1 B w = } · } 2 μ 0 16 mittlere Feldlinienlänge Windungszahl Zeit nach dem Schalten Betriebsspannung induzierte Spannung Spannung an der Spule Geschwindigkeit senkrecht zu B#$ Energie, Arbeit Energiedichte XL z Δi Δt ΔÏ μ0 μr † ø 17 induktiver Blindwiderstand Leiterzahl Stromänderung Zeitdauer der Änderung Flussänderung magnetische Feldkonstante = 1,257 µVs / (Am) Permeabilitätszahl Zeitkonstante Kreisfrequenz Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 19 E Elektrotechnische und elektronische Grundlagen Vs = V [u i] = } s Reihenschaltungen von R, L und C Schaltungen U 2 = UR2 + UX2 1 ¡ R L UR UL ¡ U E R C UR UC R L C UR UL UC ¡ U UX sin fi = } U UR cos fi = } U U UX tan fi = } UR Zeigerbilder U ¡ ƒ UR UC ¡ UR U 5 UC Q sin fi = } S U U UL UR UR UC S QL ƒ QC P S } Z = ÏR 2 + (XC – XL) 2 11 X sin fi = } Z XC XL R R Z Widerstandsdreieck XL ƒ ƒ ƒ R Z R XL > XC X = XL - XC ƒ XL 10 QC XC Z XC Z XL < XC X = XC - XL B Blindleitwert (z. B. B C ) S Scheinleistung Û Gesamtstrom U Gesamtspannung P Wirkleistung UR Wirkspannung Q Blindleistung UX Blindspannung, z. B. UbL R Wirkwiderstand X Blindwiderstand, z. B. XL Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar. 20 } S QL < QC Q = QC - QL QL > QC Q = QL - QC Leistungsdreieck 8 Z = Ï R 2 + X 2 P ƒ P ƒ P 7 9 QL ƒ QL 6 Z 2 = R 2 + X 2 QC S Q tan fi = } P U UL < UC UX = UC - UL UL > UC UX = UL - UC Spannungsdreieck P cos fi = } S UL ƒ UC = UX UR ƒ UL = UX UC ƒ ƒ UR 4 S 2 = P 2 + Q 2 ¡ Zeigerbild U 3 UL UR ƒ UL 2 R cos fi = } Z X tan fi = } R XC XL Y Z fi kapazitiver Blindwiderstand induktiver Blindwiderstand Scheinleitwert Scheinwiderstand Phasenverschiebungswinkel 12 13 14
