Natürliche Zahlen

197 Wegener Math/1_Zahlenmengen Dienstag 03.04.2007 16:19:59
Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
Das normale Zählen 1, 2, 3, 4, 5, ... beinhaltet die natürlichen
Zahlen. Man schreibt auch
IN = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Ein Abbildung ist eine Zuordnung aller Elemente einer Menge zu solchen
derselben oder einer anderen.
a → b
mit a ∈ A und b ∈ B
Eine Verknüpfung ist eine Zuordnung aller Elementpaare einer Menge zu
Elementen derselben oder einer anderen.
a • b → c
mit a,b ∈ A und c ∈ C
Eine Menge heißt abgeschlossen gegenüber einer Abbildung oder Verknüpfung, wenn alle Resultate dieser Operation wiederum Elemente der Ausgangsmenge sind. Die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen gegenüber der Addition und Multiplikation, jedoch nicht gegenüber der Subtraktion und Division.
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© Dr. Gerd Wegener, Hannover 2007
Zahlenmengen
Ganze Zahlen
Die Subtraktion natürlicher Zahlen kann zu einem Ergebnis führen, das keine
natürliche Zahl ist. Man erweitert die natürlichen deswegen zu den ganzen
Zahlen, indem man die Null und negative Zahlen hinzufügt. Man schreibt
dafür
ZZ = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Die Mengen der natürlichen und der ganzen Zahlen sind gleich mächtig, da
man jedem Element der einen eindeutig eins der anderen zuordnen kann
(und umgekehrt).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
...
0
-1
1
-2
2
-3
3
-4
4
-5
5
-6
6
...
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Zahlenmengen
Rationale Zahlen
Den Bereich der ganzen (und natürlichen) Zahlen muss man verlassen, wenn
eine Division nicht "aufgeht". Die durch Brüche erzeugbaren Zahlen werden
rationale Zahlen genannt.
0
1
2
3
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6
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1
2
1
2
1
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3
1
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1
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2
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5
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3
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6
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2
7
7
2
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4
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3
2
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9
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5
7
5
4
5
3
6
3
2
...
...
...
...
...
...
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Zahlenmengen
Rationale Zahlen
Rationale Zahlen lassen sich abzählen, d.h. jede rationale Zahl lässt sich eindeutig einer natürlichen zuordnen und umgekehrt, etwa so:
1
2
0
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1
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Zahlenmengen
Reelle Zahlen
b
Das Potenzieren ist nicht kommutativ, denn die Potenz a ist meistens vera
schieden von b . Daher gibt es zu dieser Rechenart zwei Umkehrungen.
Die Wurzel fragt bei einer Potenz nach der Basis bei gegebenem Exponenten, während der Logarithmus nach dem Exponenten bei gegebener Basis
sucht.
Potenz = BasisExponent
√Potenz
Exponent
Basis =
Exponent = logBasisPotenz
Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen wird reelle Zahlen genannt. In jedem Intervall reeller Zahlen gibt es mehr Zahlen als alle rationalen zusammen. Man spricht auch von einem Kontinuum.
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Zahlenmengen
Reelle Zahlen
Den ältesten Beweis für die Existenz nicht rationaler Zahlen gibt es seit Pythagoras. Die Diagonale eines Einheitsquadrates ist bekanntlich die Wurzel
aus zwei. Die folgenden Überlegungen beweisen, dass diese Zahl nicht rational ist.
Angenommen es gelte:
√2 =
p
q
Der Bruch sei vollständig gekürzt. Dann kann nur p oder q aber nicht beide
können die zwei als Primfaktor enthalten. Aus obigem folgt:
2=
p2
q
2
⇒ p2 = 2·q2
Es muss also p die 2 als Primfaktor enthalten. Wir schreiben p=2p’.
(2·p’)2 = 2·q2 ⇒ 4·p’ 2 = 2·q2 ⇒ 2·p’ 2 = q2
Nun müsste auch q die 2 als Primfaktor enthalten. Das steht jedoch im Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt sei. (q.e.d.)
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Zahlenmengen
Komplexe Zahlen
Die reellen Zahlen sind nicht abgeschlossen gegenüber dem Wurzelziehen.
Wurzeln mit geraden Exponenten von negativen Zahlen sind im reellen nicht
lösbar. Diese Lücke wird dadurch geschlossen, dass
i =
√-1
gesetzt wird. Die Zahl i heißt imaginäre Einheit. Eine imaginäre
Zahl ist Vielfaches von i. Die Summe einer reellen und einer imaginären Zahl
heißt
komplexe
Zahl. Eine komplexe Zahl c wird in der Form
c = a + b·i
geschrieben. Die (reelle) Zahl a wird Realteil und b Imaginärteil
genannt. So wie man reelle Zahlen auf einer Zahlengeraden darstellt, lassen
sich komplexe Zahlen in einer Zahlenebene darstellen.
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i =
√-1