Kapitel I. Gruppen

Inhalt der Vorlesung
Elemente der Algebra und Zahlentheorie
Prof. Dr. Arno Fehm
TU Dresden SS2017
Kapitel I. Gruppen
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Grundlegende Definitionen (Wiederholung)
1.1 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ·) einer Menge G und einer Abbildung
· : G × G → G mit
(G1) Für x, y, z ∈ G ist (x · y) · z = x · (y · z). (Assoziativität)
(G2) Es gibt ein e ∈ G (neutrales Element), für das für alle x ∈ G gilt: x · e = e · x = x.
(G3) Für jedes x ∈ G gibt es ein x0 ∈ G (inverses Element) mit x · x0 = x0 · x = e.
Gilt zusätzlich x · y = y · x für alle x, y ∈ G, so heißt die Gruppe G abelsch. (Wird nur
(G1) gefordert, so spricht man von einer Halbgruppe; werden (G1) und (G2) gefordert,
so spricht man von einem Monoid.)
1.2 Bemerkung. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so ist dieses eindeutig bestimmt. In einer Gruppe existiert zu jedem Element genau ein inverses Element.
Wir schreiben Gruppen meist multiplikativ (also (G, ·) mit neutralem Element 1 und
Inversem x−1 ), abelsche Gruppen auch additiv ((G, +) mit neutralem Element 0 und Inversem −x), und es gelten die üblichen Konventionen (z.B. xy = x · y, x3 = x · x · x). Ist
aus dem Kontext klar, welche Verknüpfung gemeint ist, schreibt man oft auch einfach G
für die Gruppe (G, ·).
1.3 Beispiel. (a) Die natürlichen Zahlen N bilden mit der Addition eine Halbgruppe
(N, +) ohne neutrales Element.
(b) Die natürlichen Zahlen N bilden mit der Multiplikation eine Halbgruppe (N, ·) mit
neutralem Element 1.
(c) Die ganzen Zahlen Z bilden mit der Addition eine Gruppe (Z, +) mit neutralem
Element 0.
(d) Die von Null verschiedenen rationalen Zahlen Q× := Q \ {0} bilden mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe (Q× , ·).
(e) Die Menge Z/nZ = {0, . . . , n − 1} der Restklassen modulo n bildet eine Gruppe
unter Addition.
(f) Die Menge (Z/nZ)× der Restklassen modulo n der zu n teilerfremden ganzen Zahlen
bildet eine Gruppe unter Multiplikation.
(g) Die Menge Sn der Permutationen der Menge {1, . . . , n} bildet mit der Komposition
eine Gruppe (die symmetrische Gruppe). Für n ≥ 3 ist Sn nicht abelsch.
1.4 Bemerkung. In einer Gruppe (G, ·) gelten (x−1 )−1 = x und (xy)−1 = y −1 x−1 , und es
gelten die Kürzungsregeln
a · x = a · y ⇒ x = y,
x · a = y · a ⇒ x = y.
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1.5 Definition. Eine Untergruppe einer Gruppe (G, ·) ist eine nichtleere Teilmenge H ⊆
G mit
(UG1) Für x, y ∈ H ist x · y ∈ H. (Abgeschlossenheit unter Multiplikation)
(UG2) Für x ∈ H ist x−1 ∈ H. (Abgeschlossenheit unter Inversen)
1.6 Bemerkung. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn sich die Verknüpfung
· zu einer Abbildung ·H : H × H → H einschränken lässt (d.h. ·|H×H = ιH ◦ ·H , wobei
ιH : H → G die Inklusionsabbildung ist) und (H, ·H ) eine Gruppe ist. Wir nennen nicht
nur die Menge H eine Untergruppe von G, sondern auch die Gruppe (H, ·H ). Wir schreiben
dies als H ≤ G.
1.7 Beispiel. (a) Jede Gruppe G hat die trivialen Untergruppen H = G und H =
{e}.
(b) Ist H ≤ G und K ≤ H, so ist auch K ≤ G. (Transitivität)
(c) Unter Addition ist Z ≤ Q ≤ R eine Kette von Untergruppen, unter Multiplikation
ist Z× := {1, −1} ⊆ Q× ⊆ R× eine Kette von Untergruppen.
1.8 Definition. Ein Abbildung f : G → H ist ein Gruppenhomomorphismus (oder
ein Homomorphismus von Gruppen), wenn für alle x, y ∈ G gilt:
(GH) f (xy) = f (x)f (y)
Die Menge der Homomorphismen f : G → H bezeichnet man mit Hom(G, H). Der Kern
eines Gruppenhomomorphismus f : G → H ist
Ker(f ) := f −1 (1) = {x ∈ G : f (x) = 1} .
Ein Homomorphismus f : G → H ist ein Monomorphismus, wenn f injektiv ist, ein
Epimorphismus, wenn f surjektiv ist, und ein Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. Die
Gruppen G und H heißen isomorph, in Zeichen G ∼
= H, wenn es einen Isomorphismus
G → H gibt.
1.9 Lemma. Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:
(a) f (1) = 1
(b) Für x ∈ G ist f (x−1 ) = f (x)−1 .
(c) Für x1 , . . . , xn ∈ G ist f (x1 · · · xn ) = f (x1 ) · · · f (xn ).
(d) Ist G0 ≤ G eine Untergruppe, so ist f (G0 ) ≤ H.
(e) Ist H0 ≤ H eine Untergruppe, so ist f −1 (H0 ) ≤ G.
1.10 Beispiel. (a) Die Identität idG : G → G ist ein Gruppenhomomorphismus.
(b) Die konstante Abbildung c1 : G → H, x 7→ 1, ist ein Gruppenhomomorphismus.
(c) Ist G0 ≤ G eine Untergruppe, so ist die Inklusionsabbildung ι : G0 → G ein
Gruppenhomomorphismus.
(d) Ist (A, +) eine abelsche Gruppe und k ∈ Z, so ist A → A, a 7→ ka, ein Gruppenhomomorphismus.
(e) Für n ∈ N ist die Abbildung Z → Z/nZ, a 7→ ā, ein Gruppenepimorphismus.
(f) Die Exponentialfunktion R → R>0 , x 7→ ex ist ein Gruppenisomorphismus.
1.11 Bemerkung. Genau dann ist f injektiv, wenn Ker(f ) = {1}. Eine Komposition von
Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus. Isomorphie (von Gruppen)
ist eine Äquivalenzrelation.
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2
Ordnung und Index
Sei G eine Gruppe.
2.1 Lemma. Ist U eine Menge von Untergruppen von G, so ist
T
U :=
T
H∈U
H ≤ G.
2.2 Satz. Ist X ⊆ G eine Teilmenge, so gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste Untergruppe H von G, die X enthält.
Beweis. Der Durchschnitt über die Menge aller Untergruppen von G, die X enthalten,
ist die kleinste Untergruppe von G, die X enthält.
2.3 Definition. Ist G eine Gruppe und X ⊆ G eine Teilmenge, so nennt man die kleinste
Untergruppe von G, die X enthält, die von X erzeugte Untergruppe von G und
bezeichnet sie mit hXi, falls X = {x1 , . . . , xn } endlich auch mit hx1 , . . . , xn i. Wird G
selbst von einer endlichen Menge erzeugt, so nennt man die Gruppe G endlich erzeugt.
2.4 Satz. Ist G eine Gruppe und X ⊆ G, so gilt
hXi = {x11 · · · xnn : n ∈ N0 , x1 , . . . , xn ∈ X, 1 , . . . , n ∈ {±1}}.
2.5 Beispiel. (a) Die leere Menge X = ∅ ⊆ G erzeugt stets die triviale Untergruppe
h∅i = {e} ≤ G.
(b) Jede endliche Gruppe G ist endlich erzeugt.
(c) Die Gruppe Z ist endlich erzeugt: Z = h1i.
(d) In der Gruppe Z ist hni = nZ := {nx : x ∈ Z} für jedes n ∈ N0 .
2.6 Definition. Seien A, H ⊆ G und g ∈ G.
1. #G ∈ N ∪ {∞}, die Ordnung von G
2. ord(g) := # hgi, die Ordnung von g
2.7 Beispiel. Es ist #Z = ∞, #Z/nZ = n, #Sn = n!. In G = Z ist ord(0) = 1 und
ord(k) = ∞ für k 6= 0. In G = Z/nZ ist ord(1̄) = n.
2.8 Lemma. Für g ∈ G mit ord(g) = n < ∞ ist hgi = {1, g, . . . , g n−1 } und
ord(g) = min{k ∈ N : g k = 1}.
2.9 Definition. Seien A, B ⊆ G, H ≤ G und g ∈ G.
1. AB := A · B := {ab : a ∈ A, b ∈ B}, das Komplexprodukt von A und B
2. gH := {g} · H = {gh : h ∈ H}, die Linksnebenklasse von H bzgl. g (oder “nach
g”, auch “von g modulo H”); Hg := H ·{g}, die Rechtsnebenklasse von H bzgl. g
3. G/H := {gH : g ∈ G}, H \ G := {Hg : g ∈ G}.
2.10 Lemma. Seien H ≤ G und g, g 0 ∈ G.
(a) gH = g 0 H ⇔ g 0 = gh für ein h ∈ H; und Hg = Hg 0 ⇔ g 0 = hg für ein h ∈ H
(b) Es ist gH = g 0 H oder gH ∩ g 0 H = ∅, und Hg = Hg 0 oder Hg ∩ Hg 0 = ∅.
(c) Durch gH 7→ Hg −1 wird eine wohldefinierte Bijektion G/H → H \ G gegeben.
3
2.11 Definition. Sei H ≤ G. Dann ist
(G : H) := #G/H = #H \ G ∈ N ∪ {∞}
der Index von H in G.
2.12 Beispiel. (Z : kZ) = k, (G : {1}) = #G
2.13 Satz. Der Index ist multiplikativ: Für K ≤ H ≤ G ist
(G : K) = (G : H) · (H : K).
Beweis. Nach
von H. Ist
U 2.8(b) ist G die disjunkte
U Vereinigung der Linksnebenklassen
U U
also G = i∈I gi H und analog H = j∈J hj K, so ist G = i∈I j∈J gi hj K, also (G :
K) = #(I × J) = (G : H) · (H : K).
2.14 Korollar (Satz von Lagrange). Ist G endlich und H ≤ G, so gilt #H|#G und
(G : H)|#G.
2.15 Beispiel. Es folgt: Ist #G = p prim, so ist G = hgi für jedes 1 6= g ∈ G.
2.16 Korollar. Ist G endlich und n = #G, so ist g n = 1 für alle g ∈ G.
2.17 Beispiel. Es gilt der Kleine Satz von Fermat: Für a ∈ Z ist ap ≡ a mod p.
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Normalteiler und Quotientengruppen
Sei G eine Gruppe.
3.1 Lemma. Ist f : G → H ein Homomorphismus, so ist N := Ker(f ) eine Untergruppe
von G mit x−1 yx ∈ N für alle x ∈ G, y ∈ N .
3.2 Definition. Ist N eine Untergruppe von G mit x−1 yx ∈ N für alle x ∈ G, y ∈ N , so
nennt man N normal in G (oder einen Normalteiler von G) und schreibt N E G.
3.3 Lemma. Seien H ≤ G und N E G.
(a)
(b)
(c)
(d)
H E G ⇔ gH = Hg für alle g ∈ G
HN = N H, HN ≤ G, N E HN , H ∩ N ≤ N und H ∩ N E H
Sind N, H E G, so auch H ∩ N E G und HN E G.
Für g, g 0 ∈ G ist gN · g 0 N = gg 0 N .
3.4 Definition. Sei N E G. Die Quotientengruppe (auch Faktorgruppe) G/N ist die
Menge G/N zusammen mit dem Komplexprodukt als Multiplikation.
3.5 Satz. Sei N E G. Dann ist G/N eine Gruppe und πN : G → G/N , g 7→ gN ist ein
Gruppenepimorphismus mit Ker(πN ) = N .
3.6 Korollar. Die Normalteiler sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen.
3.7 Lemma. Sei N E G. Für H ≤ G ist πN (H) = HN/N ≤ G/N . Insbesondere liefert
H 7→ πN (H) eine Bijektion zwischen den H ≤ G mit N ≤ H und den U ≤ G/N .
4
3.8 Satz (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus und N E G
mit N ⊆ Ker(ϕ). Dann existiert genau ein Gruppenhomomorphismus ϕ̄ : G/N → H mit
ϕ = ϕ̄ ◦ πN .
3.9 Korollar. Ein Gruppenhomomorphimus ϕ : G → H induziert einen Isomorphismus
∼
=
ϕ̄ : G/Ker(ϕ) −→ Im(ϕ) ≤ H.
3.10 Korollar (1. Isomorphiesatz). Seien H ≤ G und N E G. Die Abbildung
π
N
ϕ : H ,→ HN →
HN/N
induziert einen Isomorphismus
ϕ̄ : H
.
∼
=
(H ∩ N ) −→ HN /N .
3.11 Korollar (2. Isomorphiesatz). Seien N E G und N ≤ H E G. Die Abbildung πH :
G → G/H induziert einen Isomorphismus
.
∼
= G
(G/N ) (H/N ) −→
/H .
3.12 Definition. Seien x, x0 , g ∈ G und H ≤ G.
1. xg := g −1 xg, Konjugation von x mit g
2. x und x0 heißen konjugiert (in G) :⇔ ex. g ∈ G mit x0 = xg
3. Aut(G) := {ϕ : G → G Isomorphismus} mit Multiplikation ϕ · ϕ0 := ϕ0 ◦ ϕ, die
Automorphismengruppe von G
3.13 Lemma. Die Abbildung int : G → Aut(G), g 7→ (x 7→ xg ) ist ein Gruppenhomomorphismus.
3.14 Definition.
1. Inn(G) := Im(int) ≤ Aut(G), die Gruppe der inneren Automorphismen von G
2. Z(G) := Ker(int) = {g ∈ G : xg = gx für alle x ∈ G}, das Zentrum von G
3. H ≤ G ist charakteristisch :⇔ H = σ(H) für alle σ ∈ Aut(G)
3.15 Bemerkung. Sei H ≤ G. Genau dann ist H normal, wenn H = σ(H) für alle
σ ∈ Inn(G). Deshalb ist jede charakteristische Untergruppe von G auch normal in G.
3.16 Beispiel. Die sogenannte Kommutatorgruppe G0 = h{x−1 y −1 xy : x, y ∈ G}i ist charakteristisch und deshalb normal, ebenso G00 , G000 , usw.
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Zyklische Gruppen
Sei G eine Gruppe.
4.1 Definition. G ist zyklisch :⇔ G = hgi für ein g ∈ G
4.2 Lemma. Die Untergruppen von (Z, +) sind genau die hki = Zk mit k ∈ N0 , und für
k1 , . . . , kr ∈ Z ist hk1 , . . . , kr i = hki mit k = ggT(k1 , . . . , kr ).
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Beweis. Sei H ≤ Z. Ist k = min{n ∈ N : n ∈ H}, so ist H = hki: Wäre m ∈ H \ hki, so
wäre m = a + bk mit a ∈ {1, . . . , k − 1} und a = m − bk ∈ H.
4.3 Satz. Sei G zyklisch. Dann ist G abelsch, und G ∼
= (Z, +) oder G ∼
= (Z/nZ, +) mit
n = #G.
Beweis. Ist G = hgi, so ist Z → G, k 7→ g k ein Epimorphismus mit Kern kZ für ein k
nach 4.2, die Behauptung folgt dann aus 3.9.
4.4 Definition. Für n ∈ N bezeichnen wir mit Cn die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte zyklische Gruppe der Ordnung n in multiplikativer Notation.
4.5 Satz. Sei G = (G, +) = hgi zyklisch der Ordnung n ∈ N.
(a) Zu jedem
n d ∈ N mit d|n hat G genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich
Ud := d g .
(b) Für d|n, d0 |n ist Ud ⊆ Ud0 genau dann, wenn d|d0 .
(c) Für k1 , . . . , kr ∈ Z ist hk1 g, . . . , kr gi = hdgi = U nd mit d = ggT(k1 , . . . , kr , n).
n
(d) Für k ∈ Z ist ord(kg) = ggT(k,n)
.
4.6 Definition. Das direkte Produkt von Gruppen G1 , . . . , Gk ist das kartesische
Qk Produkt G1 × · · · × Gk mit komponentenweise Multiplikation. Wir schreiben auch i=1 Gi .
Im
Lk Fall additiver Notation spricht man auch von der direkten Summe und schreibt
i=1 Gi oder G1 ⊕ · · · ⊕ Gk .
4.7 Theorem (Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen, ohne Beweis). Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G = hg1 , . . . , gl i ist eine direkte Summe zyklischer
Gruppen:
r
k
M
M
∼
G =
Z⊕
Z/di Z
i=1
i=1
mit eindeutig bestimmten r ∈ N0 , d1 , . . . , dk ∈ N, die di |di+1 für alle i erfüllen.
4.8 Beispiel. Ist K ein endlicher Körper, so sind sowohl (K, +) als auch (K \ {0}, ·)
endliche abelsche Gruppen. Für jedes n ∈ N sind (Z/nZ)× und Aut(Z/nZ) endliche
abelsche Gruppen.
4.9 Lemma. Sei G = (G, +) zyklisch von Ordnung n < ∞. Die Endomorphismen von G
sind genau die ϕk̄ : G → G, x 7→ kx mit k̄ = k + nZ ∈ Z/nZ. Dabei ist ϕl̄ ◦ ϕk̄ = ϕkl für
k̄, ¯l ∈ Z/nZ.
4.10 Satz. Ist G zyklisch der Ordnung n < ∞, so ist Aut(G) ∼
= (Z/nZ)× .
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