Vorkurs Mathematik - Hochschule Bochum

Vorkurs Mathematik
17.08.-28.08.15
Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge
E-mail: [email protected]
www.hs-bochum.de\imt
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Hilfe in Mathematik an.
1
Grundrechenarten auf den ganzen Zahlen
Definition 1.1
Mit N = {1, 2, 3, ...} wird die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet,
mit Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der ganzen Zahlen.
Begriffe:
i) + , Addition, Summe
ii) - , Subtraktion, Differenz
iii) · , Multiplikation, Produkt
iv) ÷ , Division, Quotient
Wichtig:
Die Division durch Null ist verboten!!!
Satz 1.2 Addition und Multiplikation erfüllen das Kommutativgesetz auf Z,
d.h. für alle a,b ∈ Z gilt:
a+b=b+a
und
a·b=b·a
Bemerkung:
Subtraktion und Division sind nicht kommutativ, d.h. in den meisten Fällen
ist
a − b 6= b − a
sowie
a ÷ b 6= b ÷ a.
Vereinbarung:
i) Sind keine Klammern gesetzt, so sind Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchzuführen (Punkt- vor Strichrechnung).
ii) Rechenoperationen, die durch Klammern eingeschlossen sind, werden zuerst ausgeführt.
iii) Innere Klammern sind zuerst aufzulösen.
Bsp.:
Satz 1.3 Auf Z gilt das Distributivgesetz, d.h. für a,b,c ∈ Z gilt:
a · (b + c) = a · b + a · c.
Bemerkung:
Genauso gilt natürlich (b + c) · a = b · a + c · a.
Bsp.:
2
Rationale Zahlen
Definition 2.1 Die Menge Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0} nennt man die
Menge der rationalen Zahlen. Dabei heißt jeweils p der Zähler und q der
Nenner. Die rationalen Zahlen nennt man auch Brüche.
Bemerkung:
Der Bruchstrich in der Darstellung rationaler Zahlen symbolisiert eine Division.
Bsp.:
Bemerkung:
i) Das Multiplizieren von Zähler und Nenner einer rationalen Zahl mit derselben ganzen Zahl a 6= 0 nennt man Erweitern von Brüchen. Der Wert
einer rationalen Zahl ändert sich dadurch nicht. D.h.
p
q
=
a·p
a·q
für a 6= 0, a ∈ Z.
ii) Enthalten umgekehrt Zähler und Nenner einer rationalen Zahl denselben
Faktor a 6= 0, so kann dieser gekürzt werden, ohne den Wert der rationalen
Zahl zu verändern, also:
a·p
a·q
=
p
q
für a ∈ Z, a 6= 0.
iii) Aus i) ergibt sich, dass jede rationale Zahl unendlich viele Darstellungen
besitzt. Daher ist es üblich so lange zu kürzen, bis p und q teilerfremd sind
und schließlich das Vorzeichen vor den Bruch zu setzen, falls negativ. Das
ergibt für rational Zahlen eine eindeutige Darstellung.
Bsp.:
Definition 2.2 Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen
a 6= 0 und b 6= 0 (kgV(a,b)) ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl
von a als auch von b geteilt wird.
Bsp.:
Satz 2.3 Die Addition zweier Brüche geschieht nun wie folgt:
p1
q1
±
p2
q2
=
p1 ·
kgV (q1 ,q2 )
kgV (q1 ,q2 )
±p2 ·
q1
q2
kgV (q1 ,q2 )
.
Bem.:
In der Praxis wird häufig auch wie folgt gerechnet:
p 1 p2
p1 · q2 ± p 2 · q1
±
=
,
q1
q2
q1 · q2
anschließend wird dann gekürzt (falls nötig).
Bsp.:
Satz 2.4 Die Multiplikation zweier Brüche geschieht folgendermaßen:
p1 p2
p1 · p2
·
=
.
q1 q2
q1 · q2
Bsp.:
Bem.: Das Produkt einer ganzen Zahl a und einer rationalen Zahl
det man so:
p
a·p
a· =
,
q
q
denn, da a = a1
p
a p
a·p
ap
⇒a· = · =
= .
q
1 q
1·q
q
p
q
bil-
Satz 2.5 Die Division zweier Brüche geschieht so:
p1 p2
p 1 q2
÷
=
· .
q1
q2
q1 p2
Es wird also mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Bsp.:
Hinweis:
Satz 2.6 Punkt- vor Strichrechnung, Kommutativgesetze (für Addition und
Multiplikation) sowie das Distributivgesetz gelten auch auf der Menge der
rationalen Zahlen Q.
Bsp.:
3
Potenz-,Wurzel- und Prozentrechnung
Definition 3.1 Mit R wird die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, die
neben den rationalen Zahlen noch die irrationalen Zahlen enthält.
Bsp.:
Definition 3.2 Das Potenzieren ist eine abkürzende Schreibweise für die
Multiplikation gleicher Faktoren. Für n ∈ N und x ∈ R setzt man:
xn := x
· ... · x}
| · x {z
n−f ach
und nennt dies die n-te Potenz von x.
Weiter setzt man (für x 6= 0) x−n := x1n sowie x0 = 1. (Auch 00 = 1)
Bsp.:
Satz 3.3 Für x, y ∈ R\{0} sowie n, m ∈ Z gelten:
n
i) xn+m = xn · xm , xn−m = xn ÷ xm = xxm ;
ii) (xn )m = xn·m = (xm )n und
iii) (xy)n = xn · y n .
Satz 3.4 (Binomische Formeln)
Für a, b ∈ R gilt:
i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
iii) (a + b) · (a − b) = a2 − b2
Beweis:
Bsp.:
Definition 3.5 (Wurzel)
Die n-te Wurzel (n ∈ N) aus einer nicht-negativen Zahl a ist die nichtnegative Zahl b, für die gilt
bn = a.
√
Man schreibt b = n a. Dabei heißt a Radikand, b der Wurzelwert und n
Wurzelexponent.
Bsp.:
Definition 3.6 Der Betrag einer reellen Zahl x wird folgendermaßen definiert:

x
, falls x ≥ 0
| x |:=
−x ,falls x < 0
Bem. und Bsp.:
Definition 3.7 Für n, m ∈ N und a > 0 ist definiert:
m
a n :=
√
n
am
und
m
a− n :=
1
1
m = √
n
an
am
Bsp.:
Bem.:
Für ungerade Wurzelexponenten n ist√die Definition von Wurzeln aus negativen Zahlen durchaus sinnvoll, z.B. 3 −8 = −2, da (−2)3 = −8. Allerdings
gelten dann die Potenzgesetze wie in Satz 3.3 nicht mehr.
Bsp.:
Satz 3.8 Für a, b > 0 und n, m ∈ N gelten:
q
√
√
√ √
a · n b = n ab , ii) n a : n b = n ab
q√
√
√
√
iii) n m a = n·m a , iv) n am = ( n a)m
i)
√
n
Zudem gelten für rational Exponenten die selben Potenzgesetze wie in Satz 3.3,
also etwa:
p1
p2
p1
p
+ q2
2
i) a q1 · a q2 = a q1
p1 p2
p1 p2
ii) (a q1 ) q2 = a q1 q2
usw. wie in Satz 3.3
Bew:
Bem.:
Wenn x ≥ 0, kann man auch für r ∈ R die Potenz xr bilden, wofür die gleichen Potenzgesetze wie in Satz 3.3 bzw. Satz 3.7 gelten.
Bsp.:
Zur Prozentrechnung:
1 Prozent entspricht
1
100
vom Ganzen.
Definition 3.9 Als Grundwert g bezeichnet man diejenige Größe, die 100%
(dem Ganzen) entspricht. Der Prozentsatz wird mit p bezeichnet und die
Größe, welche p% von g entspricht, nennt man den Prozentwert w.
Es gilt folgende Beziehung:
p
w
= .
100
g
Bsp.:
i) 135 Studenten nehmen an einer Klausur teil, 45 bestehen sie. Wie Hoch
ist die Durchfallquote?
ii) Im Schlussverkauf kostet eine Hose nach Reduzierung um 25% noch 65
Euro. Wie teuer war die Hose ursprünglich?
iii) Tim und Peter verkaufen zwei Tage lang auf dem Flohmarkt. Am ersten Tag nehmen sie 147 Euro ein, am zweiten 70% mehr als am ersten.
Wieviel haben sie insgesamt eingenommen?
4
Vergleichen, Ordnen, Runden
Zwei rationale Zahlen mit dem gleichen Nenner lassen sich schnell vergleichen,
so ist z.B. 47 > 73 . Wie kann man aber rationale Zahlen mit unterschiedlichen
Nennern vergleichen?
Bsp.:
Vergleiche
11
15
mit
13
!
17
Satz 4.1 Zum Vergleichen rationaler Zahlen kann man diese jeweils erweitern/kürzen, bis sie den gleichen Nenner haben. Anschließend vergleicht man
lediglich die Zähler mit einander.
Bsp.: Vergleiche
1
4
und 15 .
Definition 4.2 Oft gibt man von einer Dezimalzahl nicht alle Stellen der
Dezimaldarstellung an sondern nur eine begrenzte Anzahl. Diesen Vorgang
nennt man Rundung.
Rundungsregeln: (Kaufmännisches Runden)
i) Ist die erste weggelassene Ziffer aus der Menge {0,1,2,3,4} so bleibt die
letzte geschriebene Ziffer unverändert (abrunden).
ii) Ist die erste weggelassene Ziffer aus der Menge {5,6,7,8,9}, so wird die
letzte geschriebene Ziffer um eins erhöht(aufrunden).
Bsp.:
5
Das Summen- und das Produktzeichen