Statistik II ¨Ubung 2

Statistik II ◦ Übung 2
1
Fakultät Verkehrswissenschaften „Friedrich List“
Professur für Ökonometrie und Statistik, insb. im Verkehrswesen
Statistik II ◦ Übung 2
19.10.2015
Aufgabe 2.1
Es sei die Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors (X1 , X2 )0 durch die folgende Funktion gegeben
F (x1 , x2 ) =
1
1+
e−x1
+
e−x2
+ e−x1 −x2
(a) Was sagt die Funktion aus?
(b) Bestimmen Sie die Randverteilungsfunktionen von X1 und X2 ,
(c) Bestimmen Sie die Randdichten von X1 und X2 ,
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P (X1 = 2, X2 ≤ 2)?
(e) Sind die Zufallsvariablen X1 und X2 stochastisch unabhängig?
Aufgabe 2.2
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X1 und X2 sei bestimmt durch
(
x +x
e−2λ · λx11!x2 !2 , für x1 , x2 ∈ {0, 1, 2...};
f (x1 , x2 ) =
0,
sonst.
(a) Man bestimme die Randwahrscheinlichkeiten von X1 und X2 .
(b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit P (X1 = 2, X2 ≤ 2), wobei λ = 2.
(c) Man bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten von X1 |X2 = x2 und X2 |X1 = x1
(vergleichen Sie diese mit den Randwahrscheinlichkeiten!)
(d) Man bestimme die Kovarianz zwischen X1 und X2 .
Aufgabe 2.3
Die 2-dimensionale Dichte von X1 und X2 sei gegeben durch
λ2 (λ1 + bx2 ) exp(−λ1 x1 − bx1 x2 − λ2 x2 ), für x1 , x2 ≥ 0;
fX1 ,X2 (x1 , x2 ) =
0,
für x1 oder x2 < 0;
für λ1 > 0, λ2 > 0, b ≥ 0.
(a) Man bestimme die marginale Dichte von X2 .
(b) Man bestimme die bedingte Dichte von X1 |X2 = x2 .
(c) Für welche b sind die beiden Komponenten des Zufallsvektors X = (X1 , X2 ) unabhängig,
wenn dieser obige Dichte besitzt?
Statistik II ◦ Übung 2
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Wiederholungsaufgaben
Aufgabe 2.4
1
1
2
2
f (x1 , x2 ) = p
· exp −
x
−
2ρx
x
+
x
1
2
1
2
2(1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2
ist die Dichte einer speziellen 2–dimensionalen Normalverteilung mit dem Parameter ρ ∈ (−1, 1).
(a) Wie ist der Zufallsvektor (X1 , X2 )0 verteilt?
(b) Bestimmen Sie die bedingte Dichte f2 (x2 |x1 ).
~ = (X1 , X2 )0 unabhängig,
(c) Für welche ρ sind die beiden Komponenten des Zufallsvektors X
wenn dieser obige Dichte besitzt?
(d) Berechnen Sie P (X2 > 1) und P (X2 > 1|X1 = 0.5), wenn ρ = 0.5 ist.
Kurzlösungen
2.1 (b) FX1 (x1 ) =
(c) fX1 (x1 ) =
1
und FX2 (x2 ) = 1+e1−x2 ,
1+e−x1
−x
e−x2
e 1
2 und fX2 (x2 ) =
2;
−x
1
(1+e )
(1+e−x2 )
(d) 0; (d) unabhängig.
x
2.2 (a) fX2 (x2 ) = e−λ λx22! für x2 ∈ {0, 1, 2, ...} und 0 für andere x2
(b) 0.183;
(c) fX1 |X2 (x1 |x2 ) = fX1 (x1 ) und fX2 |X1 (x2 |x1 ) = fX2 (x2 );
(d) 0.
2.3 (a) fX2 (x2 ) = λ2 · exp(−λ2 x2 );
(b) fX1 |X2 (x1 |x2 ) = (λ1 + bx2 ) · exp[−(λ1 + bx2 )x1 ]
(c) 0.
X1
1 ρ
2.4 (a)
∼N
ρ 1
X2
i
h
2
1
2 −ρx1 )
;
(c) 0; (d) 0.1587, 0.1922.
(b)f2 (x2 |x1 ) = √ √ 2 · exp − (x2(1−ρ
2)
2π
1−ρ