Serie 8

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2015
ZHAW Winterthur
Serie 8
Aufgabe 1 :
Gegeben sei die folgende unvollständige Verteilungstabelle der diskreten zweidimensionalen reellen Zufallsvariablen X = (X1 , X2 )> :
x1
fX
0
1
2 fX2
2
0.08 0.04 0.4
x2 4 0.14
0.2
6
0.04
fX1 0.7
0.1
a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Standardabweichungen von X1 und X2 .
c) Zeigen Sie:
fX (x1 , x2 ) = fX1 (x1 )fX2 (x2 ),
∀ (x1 , x2 ) ∈ {0, 1, 2} × {2, 4, 6},
d. h. die Zufallsvariablen X1 und X2 sind stochastisch unabhängig.
Aufgabe 2 :
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten zweidimensionalen Zufallsvariablen
X = (X1 , X2 )> sei gegeben durch
3 k 10−k `
1
4
5
10 ` + 2
1
, (k, `) ∈ {0, 1, . . . , 10} × N0 .
fX (k, `) :=
k
`
6
5
5
6
(1)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
a) “P (X1 = 2 ∧ X2 = 10)”,
b) “P (X1 = 2 ∧ X2 ≥ 3)”,
c) “P (X1 ∈ (3, 6] ∧ X2 ∈ [4, 20])”,
d) “P (X2 = 4)”.
Hinweis: Verwenden Sie in b) die Formel
3 `
∞ X
`+2
1
5
= 1.
`
6
6
`=0
Sie folgt aus der Normierungsbedingung für eine N B 3, 61 -verteilte Zufallsvariable.
1
Aufgabe 3 :
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen zweidimensionalen reellen Zufallsvariablen X = (X1 , X2 )> sei gegeben durch
−2x −x
ae 1 2 , x1 , x2 ≥ 0
fX (x1 , x2 ) =
.
0,
sonst
a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a.
b) Wie lauten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen fX1 , fX2 der Randverteilungen?
c) Bestimmen Sie die Erwartungswerte und die Standardabweichungen von X1 und
X2 .
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (0 ≤ X1 ≤ 2 ∧ 0 ≤ X2 ≤ 3)”.
Aufgabe 4 :
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der beiden stetigen reellen Zufallsvariablen
X1 , X2 seien gegeben durch
1
(x
+
1)
,
0
≤
x
≤
2
x2 + 12 , 0 ≤ x2 ≤ 1
1
1
4
, fX2 (x2 ) =
.
fX1 (x1 ) =
0,
sonst
0,
sonst
a) Wenn die Zufallsvariablen X1 , X2 stochastisch unabhängig sind, so erfüllt die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen zweidimensionalen reellen Zufallsvariablen X = (X1 , X2 )> : fX (x1 , x2 ) = fX1 (x1 )fX2 (x2 ). Berechnen Sie fX
auf diese Weise.
b) Bestimmen Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion FX .
Hinweis: Beweisen Sie mit Hilfe von fX (x1 , x2 ) = fX1 (x1 )fX2 (x2 ) die Formel
FX (b1 , b2 ) = FX1 (b1 )FX2 (b2 ), b = (b1 , b2 )> ∈ R2 . Damit können Sie FX aus FX1
und FX2 berechnen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (0 ≤ X1 ≤ 1 ∧ 0 ≤ X2 ≤ 1)”.
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MAE4
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