Aerodynamik Aufgabensammlung

Aerodynamik Aufgabensammlung
Thomas Albrecht
β - Version vom 18. Januar 2008
Diese Aufgabensammlung wird im Laufe des Semesters ständig erweitert und vervollständigt. Ein Teil der Aufgaben ist dem äußerst lesenswerten Buch „Fundamentals of
Aerodynamics“ von John D. Anderson, Jr. [1] entnommen.
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen, Ähnlichkeit, dimensionslose Beiwerte
2
2 Beschleunigung und Drehung
8
3 Potentialtheorie I
10
4 Potentialtheorie II
12
5 Potentialtheorie III - Dipol
16
6 Konforme Abbildung/Joukowski-Profile
18
7 Kreiszylinder mit Auftrieb
23
8 Komplexes Potential und Konforme Abbildung
26
9 Reibungsbehaftete Strömungen
31
10 Linearisierte Theorie I: Ebene Platte
33
11 Linearisierte Theorie II: gekrümmtes Profil
36
12 Panelmethode mit Wirbeln
39
13 ein paar Formeln
43
1
1 Grundlagen, Ähnlichkeit, dimensionslose Beiwerte
1. Warum sind wir hier? (Oder: Worum geht es in der Aerodynamik?)
2. Welche Kräfte wirken in einem bewegten Fluid?
3. Wir betrachten zwei verschiedene Strömungen um zwei unterschiedliche Körper. Wann sind die Strömungen einander ähnlich?
4. Welche Ähnlichkeitsgesetze sind in der Aerodynamik von Bedeutung?
5. Berechnen Sie Reynolds- und Machzahl eines startenden Flugzeuges.
Gegeben sind die Geschwindigkeit U∞ = 300 km/h, kin. Viskosität
ν = 1.46 · 10−5 m2/s, Flügeltiefe c = 3 m, Temperatur T = 15 ◦ C.
6. Wir betrachten zwei unterschiedliche Strömungen um Kreiszylinder,
wobei der Durchmesser des einen viermal so groß ist wie der des anderen. Für die Anströmung des kleineren Zylinder gelten V1 , ρ1 und
T1 , für die des größeren V2 , ρ2 und T2, wobei ρ2 = ρ1 /4, V2 = 2V1
und T2 = 4T1. Das strömende Medium √
sei jeweils gleich, und dessen
dynamische Viskosität proportional zu T . Zeigen Sie, daß die zwei
Strömungen einander ähnlich sind.
7. Im Windkanal (T = 238 K) sollen Auftriebs- und Widerstandskraft an
einem Flugzeugmodell im Maßstab 1:50 gemessen werden. Wie groß
müssen Anströmgeschwindigkeit und Druck im Kanal sein, damit die
Ergebnisse übertragbar sind auf die reale Umströmung in 11 km Höhe
bei 880 km/h, einem Druck von 22615 Pa und einer Temperatur
von
√
216.65 K? Nehmen Sie an, daß µ und a proportional zu T sind.
8. Für eine Überschallströmung um einen Keil (Halbwinkel 5◦, c = 2 m)
ist die Druckverteilung gegeben. Die Anströmbedingungen sind Ma∞ =
2, p∞ = 1.01 · 105 N/m2, T = 288 K und ρ∞ = 1.23 kg/m3. Die
Wandschubspannung verändert sich über die Ober- und Unterseite
mit τw = 431s−0.2. Berechnen Sie den Widerstandsbeiwert.
Ma∞
p∞
ρ∞
po = 1.31 · 105 N/m2
s
5
pu = 1.31 · 105 N/m2
2
◦
c
p∞
Lösungen
1. Die Aerodynamik versucht, die durch (Luft-) Strömung verursachten Kräfte auf
einen Körper bestimmen.
2. In einem bewegten Fluid wirken die folgenden Kräfte:
• Tragheitskräfte (Masse)
• Reibungskräfte (Viskosität)
• Druckkräfte/elastische Kräfte (Kompressibilität)
• sonstige Volumenkräfte (z. B. Gravitationskraft, elektromagnetische Kräfte
etc.)
Das Verhalten der Strömung wird einzig vom Verhältnis dieser Kräfte zueinander
bestimmt!
3. Strömungen sind per Definition einander ähnlich, wenn
• die Stromlinien geometrisch ähnlich sind, und
• der Verlauf von V /U∞ , p/p∞ , T /T∞ , etc., aufgetragen über geeignete dimensionslose Koordinaten, gleich ist.
Der erste Punkt ist leicht nachvollziehbar. Die Stromlinen als anschauliches Bild der
Strömung müssen geometrisch ähnlich sein, was verständlicherweise nur der Fall ist,
wenn die umströmten Körper selbst geometrisch ähnlich sind. Den zweiten Punkt
zu erfüllen ist etwas schwieriger. Schlichting [2] bringt es vortrefflich auf den Punkt:
„Damit Strömungen um zwei geometrisch ähnliche Körper (z.B. um zwei
Kugeln) bei verschiedenem Fluid, verschiedener Geschwindigkeit und verschiedener Größe des Körpers ähnlich sind, muß offenbar die Bedingung
erfüllt sein, daß in allen ähnlich gelegenen Punkten die auf ein Volumenelement wirkenden Kräfte in gleichem Verhältnis zueinander stehen.“
Dazu wurden u.a. die folgenden beiden Ähnlichkeitgesetze definiert.
4. Machsches Ähnlichkeitsgesetz
Kompressible, reibungsfreie Strömungen sind einander ähnlich, wenn die durch elastische Kräfte verursachte relative Volumenänderung gleich ist. Die Kennzahl ist die
Machzahl Ma = V /a, wobei a die lokale Schallgeschwindigkeit bezeichnet. Inkompressible Strömung bezeichnet den Grenzfall Ma → 0, wobei Kompressibilitätseffekte im allgemeinen für Ma < 0.3 vernachlässigbar sind.
Reynoldssches Ähnlichkeitsgesetz (O. Reynolds, 1883)
Inkompressible, reibungsbehaftete Strömungen sind einander ähnlich, wenn das Verhältnis aus Trägheitskraft und Reibungskraft gleich ist. Die Kennzahl ist die Reynoldszahl
Traegheitskraft
ρV l
Vl
Re =
=
=
(1)
Reibungskraft
µ
ν
Reibungsfreie Strömung bezeichnet den Grenzfall Re → ∞. Wichtige Phänomene
der Umströmung von Tragflügeln wie z.B. die Lage des Transitionspunktes, an dem
laminare Strömung in eine turbulente übergeht, oder Strömungsablösungen sind
3
durch die Reynoldszahl bestimmt. Die in Abbildung 1 gezeigten einer Kreiszylinderumströmungen bei verschiedenen Reynoldszahlen mögen dies verdeutlichen. Vereinfacht gesagt hat hier ein wandnahes Fluidelement aufgrund seiner Trägheit das
Bestreben, die Zylinderoberfläche nach deren breitester Stelle zu verlassen, während
die Reibung dafür sorgt, daß die Strömung an der Oberfläche haftet und gewissen
Krümmungsradien folgen kann. Als Analogie mag die Kurvenfahrt eines Autos dienen: wegen der Trägheitskraft ist das Auto bestrebt, geradeaus zu fahren, während
die Reibung zwischen Reifen und Fahrbahn es in der Kurve hält. Die Kurvenfahrt
wird erfolgreich sein, solange die Trägheit nicht zu groß (bspw. die Geschwindigkeit
klein genug) und die Reibungskraft ausreichend (bspw. keine vereiste Fahrbahn)
sind.
5. Reynolds- und Machzahl eines startenden Flugzeuges:
Re =
U∞ c
(300/3.6) m/s · 3 m
=
= 1.7 · 107
ν
1.46 · 10−5 m2 /s
(2)
Die Trägheitskräfte sind demnach weitaus größer als die Reibungskräfte. Um eine
relativ einfache analytische Beschreibung im Rahmen dieser Lehrveranstaltung zu
ermöglichen, werden wir die Strömung in erster Näherung als reibungsfrei betrachten.
U∞
U∞
(300/3.6) m/s
= 0.24
(3)
Ma =
=√
=p
a
κRT
1.4 · 287 J/(kg · K) · 288.15 K
Für diesen Fall ist der Einfluss der Kompressibilität noch relativ gering, wir vernachlässigen auch sie im Folgenden.
6. zwei Kreiszylinderumströmungen:
kleiner Zylinder
L1
V1
ρ1
T1
großer Zylinder
L2 = 4L1
V2 = 2V1
ρ2 = ρ1 /4
T2 = 4T1
√
Gleiche Reynoldszahl (für die Viskosität wird k T eingesetzt):
Re1 = Re2
ρ1 2V1 4L1
ρ1 V1 L1
√
√
=
4 k 4T1
k T1
1 = 1
(4)
Ma1 = Ma2
2V1
V1
√
= √
κRT1
κR4T1
1 = 1
(7)
(5)
(6)
Gleiche Machzahl:
4
(8)
(9)
Re = 1.54,
schleichende
(laminare) Strömung,
keine
Ablösung
links: Re = 26,
laminare, stationäre Strömung,
Wirbelpaar im
Nachlauf
unten:
Re = 2000,
turbulente
Strömung, von
Karmansche
Wirbelstraße
Abbildung 1: Kreiszylinderumströmung bei verschiedenen Reynoldszahlen. (Van Dyke,
An Album of Fluid Motion)
5
7. Freiflug (1) und Windkanal (2):
r
V1
T2
V2
Ma1 = Ma2 = √
= 922 km/h
=√
⇒ V2 = V1
T1
κRT1
κRT2
1
ρ2 V2 50
L1
ρ1 V1 L1
√
=
Re1 = Re2 = √
k T1
k T2
(10)
(11)
Mit p = ρRT kann die Dichte durch den Druck ersetzt werden:
23
1
L1
p2 V2 50
p1 V1 L1
T2
V1
√ =
√ ⇒ p2 = p1 50
= 55p1
V2
T1
RT1 k T1
RT2 k T2
(12)
Der Druck im Windkanal müsste also stark vergrößert werden. Das zeigt, daß es
in der Praxis schwierig ist, gleichzeitig sowohl Reynolds- als auch Machzahlähnlichkeit zu realisieren. Daher wird häufig die Messung bei gleicher Reynoldszahl in
einem Windkanal und der Versuch bei gleicher Machzahl in einem anderen Kanal
durchgeführt.
8. Druck- und Reibungswiderstand Überschall, dimensionslose Beiwerte...
S=
c
cos α
Ma∞
ρ∞
p∞
h = c tan α
y
s
c
x
Gesamtwiderstand = Druckwiderstand + Reibungswiderstand, also:
(13)
(14)
W = Wp + WR
= 2 Fxpo − Fxpb + FxRo
Z
Z
Z
= 2
px dA −
p∞ dA + 2
τwx dA
(Ao )
(AB )
(15)
(Ao )
c
= 2po sin α
·b − 2p∞ · c| tan
{z α} ·b + 2
|cos
{zα}
h
S
= 2po bc tan α − 2p∞ bc tan α
{z
}
|
Druck
Zs
431s−0,2 · cos α · b ds
(16)
0
1 0,8
+ 2 cos α · b · 431
s
0, 8
S
(17)
0
Der Widerstand ergibt sich dann zu
W/b = 10499 N/m + 1875 N/m = 12374 N/m .
{z
}
| {z }
|
Druckanteil Reibungsanteil
6
(18)
Interessant ist hier, daß der Widerstand des doch sehr schlanken Keiles (5◦ !) zum
überwiegenden Teil druckbedingt ist, während die Wandreibung eine untergeordnete
Rolle spielt. Dies ist typisch für Überschallströmungen um derartige Körper. Nun
kann noch der Widerstandsbeiwert bestimmt werden:
cw =
W
,
ρ/2V 2 S
√
V = Ma a = Ma κRT
(19)
Eine geeignete Bezugsfläche (S) des Widerstandsbeiwertes ist bei schlanken Körpern die Sehnenlänge c multipliziert mit der Spannweite b. Damit ergibt sich der
Widerstandsbeiwert zu
cw =
2b [c · tan α (po − p∞ ) + cos α · 431 ·
ρ∞ 2
V∞ cb
2
= 0, 0217 .
7
1
0,8
· s0,8 ]
(20)
(21)
2 Beschleunigung und Drehung
Aufgaben
1. Berechnen Sie die konvektive Beschleunigung a auf der Hälfte eines
konvergenten Kanales der Länge von 1m. Der Kanal sei so geformt,
dass die Geschwindigkeitszunahme linear ist. Der Eintrittsquerschnitt
ist doppelt so breit wie der Austrittsquerschnitt, die Eintrittsgeschwindigkeit beträgt u0 = 20m/s. Vergleichen Sie a mit der Schwerebeschleuningung.
2. Leiten Sie für die in Bild ?? dargestellte Deformation eines Fluidvolumens die Winkelgeschwindigkeit ωz anhand der Winkeländerung einer
Diagonalen her. Hinweis: Betrachten Sie die Deformation als Überlagerung einer Scherung in x sowie einer in y.
3. Zeigen Sie, dass die ebene Couette-Strömung (Strömung zwischen zwei
parallelen Platten im Abstand H, wobei die eine ruht und die andere
sich mit einer Geschwindigkeit U∞ bewegt) drehungsbehaftet ist.
Lösungen
1. Die auf ein Fluidvolumen wirkende Gesamtbeschleunigung, auch substantielle Beschleunigung genannt, setzt sich aus den Anteilen lokale und konvektive Beschleuningung zusammen.
Du
∂u
du
=
+
Dt
∂t
dt
|{z}
|{z}
|{z}
Substantielle B. lokale B. konvektive B.
(22)
Folgende Analogie soll dies verdeutlichen:
„Stellen Sie sich vor, Sie wandern in den Bergen, und stehen kurz vor dem Eingang
einer Höhle. Die Lufttemperatur innerhalb dieser Höhle ist niedriger als ausserhalb.
Daher wird Ihnen kälter, wenn Sie die Höhle betreten, dies entspricht der konvektiven Ableitung. Nun bewirft Sie ein Freund mit einem Schneeball so, dass Sie genau
in dem Moment getroffen werden, als Sie die Höhle betreten. Sie fhlen eine zusätzliche, momentane Abkhlung, wenn der Schneeball Sie trifft. Dies entspricht der
lokalen Ableitung. Die gesamte Temperaturveränderung, die Sie erfahren, ist daher
eine Kombination aufgrund a) Ihrer Bewegung in die Höhle hinein, in der es kälter
ist, und b) weil Sie zur selben Zeit vom Schneeball getroffen werden – diese Gesamtveränderung entspricht der substantiellen Ableitung.“
(Nach J.D. Anderson,
Introduction to computational fluid dynamics, VKI Lecture Series, Rhode-SaintGenese, Belgium, 1993)
Drückt man den konvektiven Anteil durch die Geschwindigkeitsänderung mit dem
Ort aus, folgt:
∂u ds
∂u
du
=
=u ,
(23)
dt
∂s |{z}
dt
∂s
u
8
und die substantielle Beschleunigung wird zu
Du
∂u
∂u
=
+u .
Dt
∂t
∂s
(24)
Zur Berechnung der konvektiven Ableitung wird also die Geschwindigkeit u1 und
deren Ableitung nach s an der Stelle 1 gesucht. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt
als Geschwindigkeit im Austrittsquerschnitt u2 = 40m/s. Wegen der vorausgesetzten linearen Geschwindigkeitszunahme ist dann u1 = 21 (u0 + u2 ) = 30m/s und die
Ableitung
∂u ∆u
u2 − u0
= const =
=
= 20s− 1.
(25)
∂s 1
∆s
∆s
Die konvektive Beschleuningung entspricht mit
∂u u1
= 600m/s2
∂s 1
(26)
etwa dem 60-fachen der Schwerebeschleuningung. In diesem Fall spielt also die konvektive Beschleuningung eine berragende Rolle. Dies trifft auch für die meisten anderen Strömungen zu.
2. ...
3. Das Geschwindigkeitsprofil einer ebenen Couette-Strömung ist
u(y) = U ·
y
H
(27)
Die Winkelgeschwindigkeit ist
1
wz =
2
∂v ∂u
−
∂x ∂y
(28)
Unter der Annahme einer entwickelten Strömung ist ∂v/∂x = 0. ∂u/∂y = U/H,
womit die Winkelgeschwindigkeit zu
wz = −
wird.
9
1U
6= 0
2H
(29)
3 Potentialtheorie I
Aufgaben
1. Es sei die Funktion Φ = x3 − 3 xy 2 gegeben.
a) Zeigen Sie dass Φ eine gültige Potentialfunktion ist und dass sie
eine inkompressible Strömung beschreibt.
b) Bestimmen Sie die entsprechende Stromfunktion und den Staupunkt
c) Finden Sie die Druckverteilung.
Lösungen
1.
a) Potentialfunktionen erfüllen die Laplace-Gleichung. Es muss also gelten:
∆Φ =
∂2Φ ∂2Φ
+
= Φxx + Φyy = 0
∂x2
∂y 2
(30)
Die für inkompressible Strömungen vereinfachte Kontinuitätsgleichung lautet:
∂u ∂v
→
+
=0
div −
c =
∂x ∂y
(31)
Der Geschwindigkeitsvektor der gegebenen Strömung ist:


  2
∂Φ/∂x
3x − 3y 2
−
→
c =  ∂Φ/∂y  =  −6xy 
0
∂Φ/∂z
Mit
∂u ∂v
+
= 6x − 6x = 0
∂x ∂y
ist also die Kontinuität erfüllt.
b) Für die Stromfunktion gelten folgende Zusammenhänge:
u=
Daraus folgt jeweils
Z
Ψ1 =
u ∂y
∂Ψ
;
∂y
v=−
Ψ2 = −
= 3x2 y − y 3 + C1 (x)
Z
∂Ψ
∂x
v ∂x
= 3x2 y + C2 (y)
Der Vergleich beider Funktionen (Ψ1 = Ψ2 ) führt schließlich zu C1 (x) = 0 und
C2 (y) = −y 3 , so dass die Stromfunktion ist:
Ψ = 3x2 y − y 3
(32)
An Staupunkten sind alle Geschwindigkeitskomponenten Null. Mit u = v = 0
ergibt sich der Staupunkt bei (0; 0).
10
c) Die Bernoulli-Gleichung gilt entlang von Stromlinien und entlang beliebiger
Kurven in rotationsfreien Strömungen. Sie lautet:
p gesamt = p statisch + p dynamisch = p statisch +
ρ 2
V
2
(33)
Das Quadrat des Geschwindigkeitsbetrages ergibt sich allgemein zu
V 2 = u2 + v 2
= 9(x2 + y 2 )
Das Druckfeld lautet somit
p gesamt = p statisch +
9
ρ (x2 + y 2)2
2
(34)
5
4
3
2
y
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
5
Abbildung 2: Linien konstanter Stromfunktion
11
4 Potentialtheorie II
1. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Kurven senkrecht aufeinander stehen? Zeigen Sie, dass dies für Stromlinien und Äquipotentiallinien immer gilt!
2. Für eine Potentialströmung sind die Geschwindigkeitskomponenten
gegeben als u = cy/(x2 + y 2 ) und v = −cx/(x2 + y 2 ) mit einer Konstanten c.
a) Bestimmen Sie die Stromlinie durch den Punkt (5,0). Um welche
Strömung handelt es sich? Hinweis: entlang einer Stromlinie gilt
ds × V = 0.
b) Berechnen Sie die Zirkulation entlang eines kreisförmigen Pfades
mit dem Mittelpunkt (0,0) und dem Radius r = 5.
3. Bestimmen Sie für die Überlagerung einer Parallelströmung (U∞ = 1,
α = 0) und einer Quelle (Q = 5, Lage der Quelle bei x = 1, y = 0)
a) die Potential- und Stromfunktion, die Geschwindigkeitskomponenten sowie die Lage des Staupunktes.
b) Skizzieren Sie das Stromlinienbild und nennen Sie ein technisches
Beispiel für diese Umströmung.
4. Die Umströmung des sogenannten Rankine-Ovales kann durch Überlagerung einer Parallelströmung sowie Quell- und Senkenströmung gleicher Intensität modelliert werden. Gegeben sind U∞ , Q, a = Q/(b·U∞)
sowie die Lage der Quelle bzw. Senke bei y = 0 und x = −a bzw.
x = +a. Skizzieren Sie für Q = b = U∞ = 1
a) das Stromlinienbild,
b) den Verlauf der Geschwindigkeitskomponente u(y, x = 0). Wie
würde diese Kurve bei realer Strömung verlaufen?
c) Bestimmen Sie allgemein die Länge des umströmten Körpers.
d) Wie groß ist der Widerstand? (Nachdenken!)
y
U∞
Quelle
Senke
x
a
a
12
Lösungen
1. Variante 1:
Für eine Bewegung entlang einer Stromlinie ist das totale Differential gleich Null:
dΨ =
∂Ψ
∂Ψ
dx +
dy = 0.
∂x
∂y
Mit ∂Ψ/∂x = −v und ∂Ψ/∂y = u folgt für den Anstieg einer Stromlinie
dy v
= .
dx Ψ=const u
(35)
(36)
Analog gilt für eine Äquipotentiallinie
dΦ =
und somit
∂Φ
∂Φ
dx +
dy = 0
∂x
∂y
u
dy =− .
dx Φ=const
v
Umstellen von (38) nach v/u und Gleichsetzten mit (36) ergibt:
1
dy =−
.
dx Ψ=const
(dy/dx)|Φ=const
(37)
(38)
(39)
Variante 2:
Da das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren gleich Null
ist, ist zu zeigen, dass ∇Φ · ∇Ψ = 0 wird.
Aus den jeweiligen Gradienten
−v
u
(40)
bzw. ∇Ψ =
∇Φ =
u
v
folgt für das Skalarprodukt
∇Φ · ∇Ψ =
u
−v
−v
·
= u · (−v) + v · u = 0
u
(41)
2. Aus dem Vekorprodukt erhält man für den 2D-Fall die Gleichung
dy
v
=
(42)
dx
u
Einsetzen der Gleichungen für u und v sowie Integration führt zur Gleichung einer
Stromlinie, in diesem Fall x2 +y 2 = k, wobei sich durch Einsetzten des Punktes (5,0)
k = 25 ergibt. Stromlinien sind also Kreise, es handelt sich um einen Potentialwirbel.
Die Zirkulation berechnet man günstigerweise im Polarkoordinatensystem:
I
I Vr
dr
Γ = − V · ds = −
·
(43)
Vθ
r dθ
v dx − u dy = 0 bzw.
S
S
Ausdrücke für x, y, Vr und Vθ finden sich in jeder Formelsammlung. Da für einen
Potentialwirbel Vr = 0 gilt, ist das Skalarprodukt V · ds = r Vθ dθ, und nach der
Integration verbleibt ein Ausdruck, der unabhängig vom Radius ist:
Γ=−
Z2π
r Vθ dθ = Γ = 2πc.
0
13
(44)
3. Potentialfunktion und Stromfunktion setzen sich aus den jeweiligen Funktionen der
Singularitäten Parallel- und Quellenströmung zusammen, wobei es die Verschiebung
der Quelle entlang der x-Achse zu beachten gilt:
Φ = U∞ x +
Q p
ln (x − 1)2 + y 2
2πb
Q
y
arctan
2πb
x−1
(46)
x−1
Q
2πb (x − 1)2 + y 2
(47)
Ψ = U∞ y +
Geschwindigkeitskomponenten
u = U∞ +
v=
(45)
y
Q
2πb (x − 1)2 + y 2
(48)
Für den Staupunkt gilt u = v = 0. Damit wird
xsp = 1 −
Q
, ysp = 0
2πbU∞
(49)
4
Stromlinenbild für die Überlagerung einer Quelle mit einer Parallelströmung. In der Potentialtheorie
kann jede Stromlinie als Wand gedeutet werden (kein Massenstrom
normal zur Wand/Stromlinie).
Nimmt man also die Staupunktstromlinie als Wand an, so stellt
diese Abbildung die Strömung um
einen halbunendlichen, rotationssymmetrischen Körper dar.
3
2
y
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
x
2
3
4
5
4. Geschwindigkeitskomponenten der resultierenden Strömung sind die Summe der Geschwindigkeitskomponenten von Quelle, Senke und Parallelströmung.
U∞ a
x+a
x−a
u=
+ U∞
(50)
−
2π (x + a)2 + y 2 (x − a)2 + y 2
y
y
U∞ a
−
(51)
v=
2π (x + a)2 + y 2 (x − a)2 + y 2
Länge des Körpers = Abstand der Staupunkte. Für Staupunkte gilt u = v = 0. Aus
(50) und (51) folgt dann:
r
1
(52)
xStaupunkt = ±a 1 + , yStaupunkt = 0
π
u bei x=0:
u(x = 0, y) = U∞
14
1
+1
π(1 + (y/a)2)
(53)
Der Widerstand eines umströmten Körpers ist im allgemeinen die Summe aus reibungsbedingtem und druckbedingtem Widerstand. In der Potentialtheorie ist ersterer definitionsgemäß gleich Null. Da die Strömung offensichtlich symmetrisch ist,
wird auch die Druckverteilung um den Körper symmetrisch sein. Somit ist der druckbedingte Widerstand ebenfalls gleich Null. Dieser Gegensatz zur Erfahrung wird
d’Alemberts Paradoxon gennant: ein geschlossener, zweidimensionaler Körper in
reibungsfreier, inkompressibler Strömung erfährt keinen Widerstand.
2
1.35
1.5
1.3
1
u(0,y)
1.25
0.5
U
y
1.2
0
1.15
-0.5
1.1
-1
1.05
-1.5
-2
1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
-4
-2
0
y
2
4
Abbildung 3: Überlagerung von Parallströmung, Quelle und Senke. links: Stromlinienbild,
rechts: Geschwindigkeitsverlauf von u bei x = 0
15
5 Potentialtheorie III - Dipol
Aufgabe
Für die Überlagerung einer Parallelströmung mit je einer Quell- und Senkenströmung gleicher Intensität soll die Strom- und Potentialfunktion für
den Fall bestimmt werden, dass deren Abstand L gegen Null läuft.
Hinweis: Das Dipolmoment m = M/b = qL soll konstant bleiben!
Lösungen
ΨDipol = lim Ψ = lim (ΨQuelle + ΨSenke )
L→0
L→0
ΦDipol = lim Φ = lim (ΦQuelle + ΦSenke )
L→0
L→0
(54)
1. Stromfunktion
Q
Q
· ϑ1 −
· ϑ2
2πb
2πb
q
=
· (ϑ1 − ϑ2 )
2π
m
= −
· ∆ϑ
2πL
Ψ =
(55)
Mit dem Sinussatz erhält man die Beziehung
s
L
.
=
sin ∆ϑ
sin ϑ1
(56)
Eingesetzt in (55) folgt
∆ϑ
sin ϑ1
m
·
·
(57)
2π sin ∆ϑ
s
Der Grenzübergang L → 0 bedeutet: s → r bzw. ∆ϑ → 0. Mit der Regel von
l’Hospital ergibt sich
Ψ=−
lim
∆ϑ→0
∆ϑ
1
= lim
= 1,
sin ∆ϑ ∆ϑ→0 cos ∆ϑ
(58)
so dass die Stromfunktion ist
ΨDipol = −
M sin ϑ1
m sin ϑ1
·
=−
·
2π
r
2πb
r
(59)
2. Potentialfunktion
Q
Q
· ln r −
· ln s
2πb
2πb
q
· [ln r − ln s]
=
2π
q
=
· [ln r − ln(r − L cos ϑ1 )]
2π
q
L cos ϑ1
= −
· ln 1 −
2π
r
Φ =
16
(60)
Mit der Potenzreihe
1 2 1 3
ln(1 − x) = − x + x + x + · · · ,
2
3
(61)
nach dem ersten Glied abgebrochen, kann für kleine L der Ausdruck in (60) mit
L cos ϑ1
L cos ϑ1
ln 1 −
≈−
(62)
r
r
angenähert werden.
Φ=
q L cos ϑ1
·
2π
r
(63)
Mit q = m/L folgt schießlich
ΦDipol =
m cos ϑ1
M cos ϑ1
·
=
·
2π
r
2πb
r
17
(64)
6 Konforme Abbildung/Joukowski-Profile
Aufgaben
1. Im Koordinatensystem der z-Ebene (x, y) befindet sich ein Zylinder
mit dem Radius rz und den Mittelpunktskoordinaten xz und yz . Die
Anordnung wird von einem Parallelstrahl mit der Geschwindigkeit V∞
und einem Neigungswinkel von α angeströmt. Weiterhin befindet sich
in der Mitte des Zylinders ein Potentialwirbel der Wirbelstärke Γ. Die
Geometrie und die Umströmung kann in der ζ-Ebene (ξ, η) übertragen
werden. Die Transformation wird mit den Gleichungen (65) und (66)
durchgeführt.
a2
ξ = x 1+ 2
(65)
x + y2
a2
, mit a = 5
(66)
η = y 1− 2
x + y2
√
m
rz = 37m, xz = −1m, yz = 1m, V∞ = 1 , α = 10◦,
s
a) Stellen Sie den Zylinder in der z-Ebene und der ζ-Ebene dar!
b) Bestimmen Sie die Stromfunktion und die Potentialfunktion in
der z-Ebene !
c) Bei welcher Wirbelstärke Γ0 verschwindet die resultierende Geschwindigkeit an der Hinterkante des Profils?
d) Stellen Sie die Linien konstanter Stromfunktion und konstanter
Geschwindigkeit in der z-Ebene und der ζ-Ebene für Γ = 0 und
Γ = Γ0 dar!
18
Lösungen
a) Fr die graphische Darstellung bestimmt man zunächst einige Punkte auf dem
Umfang des Kreises in der z-Ebene und transformiert sie mit den Vorschriften
(65) und (66) in die ζ-Ebene
10
5
5
η
10
y
1.
0
0
-5
-5
-10
-10
-10
-5
0
x
5
10
-10
-5
0
ξ
5
10
Abbildung 4: Zylinder in der z-Ebene und ζ-Ebene
b) Die Strom- und Potentialfunktion entstehen durch Aufsummieren der Stromund Potentialfunktionen der Elementarströmungen.
R2
Γ
Φ = V∞ r cosϕ 1 + 2 −
ϕ
(67)
r
2π
Γ
R2
lnr
(68)
Ψ = V∞ r sinϕ 1 − 2 +
r
2π
Der Radius r und der Winlel ϕ lassen sich berechnen aus den Zusammenhängen:
p
(x − xz )2 + (y − yz )2
r =
(69)

 arctan y−yz − α
für (x − xz ) ≥ 0
x−xz (70)
ϕ =
 arctan y−yz − α + π für (x − xz ) < 0
x−xz
c) Bei Γ0 = 25.47 verschwindet die resultierende Geschwindigkeit an der Hinterkante der Profils.
19
d) Stromfunktion und Isotachen für Γ = 0 und Γ = Γ0
15
15
10
10
5
5
η
20
y
20
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
-20
-20
20
15
15
10
10
5
5
η
20
y
20
0
-5
-10
-10
-15
-15
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
-20
-20
20
-10
-5
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
ξ
0
-5
-20
-20
-15
ξ
Abbildung 5: Stromlinien in der z-Ebene und ζ-Ebene
20
15
15
10
10
5
5
η
20
y
20
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
-20
-20
20
15
15
10
10
5
5
η
20
y
20
0
-5
-10
-10
-15
-15
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
-20
-20
20
-10
-5
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
ξ
0
-5
-20
-20
-15
ξ
Abbildung 6: Linien konstanter Geschwindigkeit in der z-Ebene und ζ-Ebene
21
rechtwinkliges Gitter im kartesischen Koordinatensystem und dessen konforme
Abbildung:
15
10
y
5
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
x
22
5
10
15
7 Kreiszylinder mit Auftrieb
Aufgaben
1. Die Überlagerung einer Parallelströmung von 20 ms und eines Dipols
ergibt die Umströmung eines Zylinders mit einem Radius von 0, 5m.
2
Dieser Zylinderumströmung wird eine Zirkulation Γ von 60 ms überlakg
gert. Die Fluiddichte beträgt 1 m
3.
Bestimmen Sie:
a) den erzeugten Auftrieb je Meter Breite.
b) die Geschwindigkeitsverteilung an der Zylinderoberfläche
c) das Druckverhältnis
q(ϕ)
q∞
d) die Staupunkte
e) die graphische Darstellung der Ergebnisse von b) und c)
Lösungen
1.
a) Aus der Kombination der Definitionen des des aerodynamischen Auftriebs (71)
und des Auftribsbeiwertes (72)
1
ρ∞ V∞2 S cL , mit S = 2R
2
Γ
=
RV∞
L =
(71)
cL
(72)
resultiert das Kutta-Joukowsky-Theorem (73)
L = ρ∞ V∞ Γ
(73)
Einsetzten der gegebenen Werte liefert: L = 1200N/m.
• Anmerkung: S ist dabei die projizierte Tragflügelfläche. Bei einem Zylinder
mit Einheitsbreite entspricht sie dem Durchmesser des Zylinders.
b) An der Zylinderoberfläche muss cr = 0 sein. Für die Stromfuktion ergibt sich
Ψ = V∞ · r · sin ϕ · (1 −
R2
Γ
)+
· ln r.
2
r
2πb
(74)
Durch Differenzieren nach r erhält man
cϕ = −
R2
Γ
∂Ψ
= −V∞ · sin ϕ · (1 + 2 ) −
∂r
r
2πbr
(75)
Für die Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche folgt dann mit r = R
und b = 1
Γ
(76)
cϕ = −2V∞ sin ϕ −
2πR
23
c) Der dynamische Druck ist
1
q = ρ∞ V∞2 ,
2
so dass man für das Druckverhältnis schreiben kann:
c2ϕ
(2V∞ sin ϕ +
q(ϕ)
= 2 =
q∞
V∞
V∞2
Γ 2
)
2πR
(77)
.
(78)
d) Da die radiale Geschwindigkeitskompunente an der Zylinderoberfläche ohnehin
Null ist, ist nur noch cϕ = 0 zu setzen. Die Staupunkte liegen also an den
Nullstellen der cϕ -Verteilung. Dieser Ansatz führt schließlich auf
sin ϕ = −
Γ
4πRV∞
(79)
Im Bereich −π ≤ ϕ ≤ π erhält man die Stellen
Γ
ϕ1 = arcsin(− 4πRV
) = −28, 5◦
∞
ϕ2 =
−ϕ1 − π
= −151, 5◦
24
(80)
e) Das folgende Bild zeigt die Geschwindigkeits- und Druckverläufe graphisch.
30
8
20
10
6
-10
q(ϕ)
q∞
cϕ [m/s]
0
-20
-30
4
2
-40
-50
-60
0
-π
- π/2
0
ϕ
π/2
π
-π
- π/2
0
ϕ
π/2
Abbildung 7: links: Geschwindigkeitsverteilung; rechts: Druckverhältnis
25
π
8 Komplexes Potential und Konforme Abbildung
Aufgaben
1. Ein Kreiszylinder (Radius a, Mittelpunkt im Koordinatenursprung)
wird parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit U∞ angeströmt.
Das komplexe Potential lautet w(z) = U∞ (z + a2 /z).
a) Bestimmen Sie aus w(z) die reelle Potential- und Stromfunktion.
b) Durch die konforme Abbildung ζ = f (z) = z + a2 /z wird der
Kreiszylinder auf einen anderen Körper abgebildet. Um was für
einen Körper handelt es sich (analytisch lösbar!)?
c) Bestimmen Sie für die ζ-Ebene komplexes Potential und Geschwindigkeit sowie die reellen Geschwindigkeitskomponenten.
d) Welche Umströmung ergibt sich bei gleicher Transformation in
der ζ-Ebene, wenn statt der waagerechten eine senkrechte Kreiszylinderumströmung in der z-Ebene angenommen wird?
2. Die Strömung aus 1) wird durch eine senkrechte Kreiszylinderumströmung gleicher Geometrie sowie einen Potentialwirbel ergänzt:
iΓ
a2
a2
lnz
(81)
w(z) = U∞ z +
− iV∞ z −
+
z
z
2π
a) Bestimmen Sie Anströmwinkel und komplexe Geschwindigkeit.
b) Wie lautet die komplexe Geschwindigkeit in der ζ-Ebene, wenn
die in 1b) gegebene Abbildung verwendet wird? Hinweise:
dw
dw dz
=
,
dζ
dz dζ
z 2 + a2
ζ
,
= ±p
2
2
z −a
ζ 2 − 4a2
z2
z
1
= ±p
2
−a
ζ 2 − 4a2
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit an Vorder- und Hinterkante des
Körpers? Bestimmen Sie die Zirkulation Γ so, dass die Kuttasche
Abflussbedingung erfllt ist.
d) Ermitteln Sie den Auftriebsbeiwert in Abhängigkeit vom Anstellwinkel.
26
Lösungen
1.
a) Das komplexe Potential kann man umformen zu
R2
w(z) = U∞ z +
z
R2 −iϕ
iϕ
e
= U∞ re +
r
R2
= U∞ r cosϕ + i sinϕ + 2 ( cosϕ − i sinϕ)
r
"
#
R2
R2
= U∞ r cosϕ 1 + 2 +i sinϕ 1 − 2
r
r
|
{z
} |
{z
}
Φ
Ψ
mit R = a sind Potential- und Stromfunktion also
a2
Φ = U∞ r cosϕ 1 + 2
r
a2
Ψ = U∞ r sinϕ 1 − 2
r
(82)
(83)
b)
z = x + iy = reiϕ
ζ = ξ + iη
a2
z
In der z-Ebene gilt für die Punkte auf dem Kreisumfang:
ζ = f (z) = z +
(84)
z = aeiϕ mit ϕ = 0 . . . 2π
Durch Einsetzen in die Transformationsvorschrift (108) ergibt sich:
ζ = aeiϕ +
a2
= a(eiϕ + e−iϕ )
aeiϕ
= a( cosϕ + i sinϕ + cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))
Mit cos(−ϕ) = cosϕ und sin(−ϕ) = − sinϕ folgt:
ζ = a(2 cosϕ) = 2a cosϕ =⇒ ξ = 2a cosϕ
η = 0
Aus dem Kreis z = aeiϕ in der z-Ebene wird in der ζ-Ebene also eine ebene
Platte mit den Koordinaten ξ = 2a cosϕ und η = 0.
c) Variante 1:
Das komplexe Potential in der ζ-Ebene w(ζ) erhält man durch Einsetzen der
Abbildung z(ζ) in das komplexe Potential der z-Ebene :
w(ζ) = U∞ ζ
27
(85)
Es ergibt sich eine Strömung parallel zur ξ-Achse mit w(ζ) = U∞ ζ. Die Ableitung nach ζ fhrt auf die komplexe Geschwindigkeit in der ζ-Ebene
dw(ζ)
= U∞ = uζ − ivζ
dζ
(86)
Deren Komponenten in ξ- und η-Richtung sind uζ = U∞ und vζ = 0.
Variante 2:
Ein alternativer Lösungsweg für die komplexe Geschwindigkeit in der ζ-Ebene
besteht darin, zunächst die komplexe Geschwindigkeit in der z-Ebene zu bedz
stimmen (= dw
) und anschließend das gesuchte Ergebnis ber dw
= dw
zu
dz
dζ
dz dζ
errechnen.
2
a2
z − a2
dw
(87)
= U∞ 1 − 2 = U∞
dz
z
z2
dζ
a2
z 2 − a2
dz
z2
=1− 2 =
=⇒
=
dz
z
z2
dζ
z 2 − a2
Die komplexe Geschwindigkeit ist also:
2
dw dz
z − a2
z2
dw
=
= U∞
= U∞
dζ
dz dζ
z2
z 2 − a2
(88)
(89)
d) Die waagerechte Platte wird nun senkrecht angeströmt.
15
10
η
5
0
-5
-10
-15
-20
2.
-10
0
ξ
10
20
a) Anströmwinkel: α = arctan(V∞ /U∞ )
komplexe Geschwindigkeit:
dw
a2
a2
iΓ
= U∞ 1 − 2 − iV∞ 1 + 2 +
dz
z
z
2πz
b) Durch die Abbildung wird die komplexe Geschwindigkeit in die ζ-Ebene berfhrt:
dw dz
dw
=
dζ
dz dζ
mit
28
dz
=
dζ
−1
a2
z2
1− 2
= 2
z
z − a2
(90)
−1
2
z2
a2
a2
z + a2
z2
iΓ 1
dw
= U∞ 1 − 2
1− 2
− iV∞
+
dζ
z
z
z2
z 2 − a2
2π z z 2 − a2
z 2 + a2 iΓ
z
= U∞ − iV∞ 2
+
2
2
− a } 2π |z {z
− a2}
|z {z
±√
ζ
ζ 2 −4a2
±√
1
ζ 2 −4a2
ζ
iΓ
1
dw
p
= U∞ ∓ iV∞ p
±
2
2
2
dζ
2π ζ − 4a2
ζ − 4a
(91)
dw
V∞ ζ − Γ/2π
= U∞ ∓ i p
dζ
ζ 2 − 4a2
(92)
c) Vorder- und Hinterkante der Platte befinden sich bei (ξ, η) = (±2a, 0), also
bei ζ = ±2a. An diesen Stellen wird die Geschwindigkeit unendlich, da der
Nenner des Bruches in (92) Null ist. Soll die Kuttasche Abflussbedingung
an der Hinterkante gelten, muss die Geschwindigkeit für ζ → 2a gegen einen
endlichen Wert laufen. Dies ist nur möglich, wenn auch der Zähler für ζ = 2a
verschwindet. Also
0 = V∞ 2a − Γ/2π
(93)
und damit
(94)
Γ = 4πV∞ a
d) Setzt man in die Definition des Auftriebsbeiwertes
cA =
2A
2 S
ρ∞ C∞
das Kutta-Joukowski-Theorem A/b = ρ∞ C∞ Γ ein (C∞ =
erhält man mit der Profilfläche S = b · 4a und Γ = 4πV∞ a
cA =
(95)
p
2 + V 2 ), so
U∞
∞
2πV∞
C∞
Mit V∞ = C∞ sinα und der Vereinfachung sinα ≈ α für kleine Winkel gelangt
man auf
cA = 2πα
(96)
Stromlinienbilder mit und ohne Wirbelstärke zeigt Bild 8.
29
15
10
10
5
5
0
0
η
η
15
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-10
0
ξ
10
20
-20
-10
0
ξ
10
20
Abbildung 8: Umströmung einer ebenen Platte. Links für Γ = 0, rechts für Γ = 4πaV∞ .
30
9 Reibungsbehaftete Strömungen
Aufgaben
1. Am Anfang einer ebenen Platte (Position 1) ist eine gleichförmige
Geschwindigkeitsverteilung u(y) = U∞ gegeben. Bei Position 2 hat
sich ein Grenzschichtprofil gebildet mit u(y) = U∞y 1/7. In welchem
Abstand zur Plattenoberfläche h2 befindet sich eine Stromlinie Ψ =
const, wenn h1 = 1?
①
②
U∞
Ψ = const
h2
h1
111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111
2. An einer ebenen Platte, angeströmt mit U∞ = 1, bildet sich unter
dem Einfluss einer Volumenkraft F (x, y) ein Grenzschichtprofil aus.
Weit stromab der Vorderkante sind sowohl Grenzschichtdicke δ(x) als
auch die Volumenkraft F (x, y) = µe−y unabhängig von x. Berechnen Sie dort u(y) und die Grenzschichtdicke δ. Hinweis: die korrekte Randbedingung in großem Abstand zur Plattenoberfläche lautet
u(y = ∞) = U∞ .
U∞
δ = const
F (y)
u(y)
111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111
31
Lösungen
1. Da der Massenstrom zwischen zwei Stromlinien konstant sein muss, und neben der
gegebenen Stromlinie auch die Wand mit (v = 0)als Stromlinie gesehen werden
kann, müssen die Massenströme bei ① und ② gleich sein:
ρbU∞ h1 = ρb
Zh2
u(y) dy, mit u(y) = U∞ y 1/7 .
(97)
0
7/8
Integrieren und Einsetzen führt auf h2 = 87
> 1. Die Stromlinie entfernt sich
von der Wand, da der Impulsverlust infolge von Wandreibung zu einem Anwachsen
der Grenzschicht führt, und die reibungsfreie Aussenströmung um die sogenannte
Verdrängungsdicke nach aussen drückt.
2. Die inkompressiblen, stationären, zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen mit
Volumenkraftterm lauten
∂p
∂u
∂2u
∂u
=−
+v
+ µ 2 + F.
(98)
ρ u
∂x
∂y
∂x
∂y
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(99)
Da im relevanten Gebiet sowohl δ als auch F unabhängig von x sein sollen, können
sich die Strömungsgrößen in x-Richtung nicht ändern. Damit sind alle Ableitungen
nach x Null, und aus der Kontinuitätsgleichung folgt ∂v/∂y = 0 und somit v(y) = 0.
Gleichung (98) vereinfacht sich dann zu
∂2u
= −e−y ,
∂y 2
(100)
und führt nach zweimaliger Intergration auf
u(y) = −e−y + c1 y + c2 .
(101)
Mit den Randbedingungen u(y = 0) = 0 and der Wand sowie der gegebenen Fernfeldrandbedingung u(y = ∞) = U∞ ergibt sich das sogenannte exponentielle Geschwindigkeitsprofil
u(y) = 1 − e−y ,
(102)
welches aufgrund seiner Tendenz, erst sehr spät zu Transition und damit zu turbulenter Strömung zu neigen, bei der Laminarhaltung der Strömung im Sinne einer
Widerstandsreduktion eine große Rolle spielt. Für die Grenzschichtdicke als Wandabstand, bei dem das Geschwindigkeitsprofil 99% von U∞ erreicht, gilt
u(y = δ) = 0.99U∞ = 1 − e−δ → δ = −ln(0.01) = ln(100).
32
(103)
10 Linearisierte Theorie I: Ebene Platte
Aufgaben
1. Gegeben ist eine eine angestellte ebene Platte in einer Parallelströmung. Bestimmen Sie anhand der linearisierten Theorie dünner Profile
a) die kontinuierliche Wirbelverteilung γ(φ). Skizzieren Sie diese für
einen Anstellwinkel α = 4◦ bei der Anströmgeschwindigkeit V∞ =
30 m/s,
b) die Gesamtwirbelstärke Γ,
c) den Auftriebsbeiwert als Funktion des Anstellwinkels,
d) die Lage des Druckpunktes.
Hinweis:
1
π
Zπ
0
a(x) sin x
dx = b
cos x − cos x0
⇔
a(x) = b
1 + cos x
sin x
2. Die Kutta-Bedingung lautet allgemein „Keine Umströmung der Hinterkante“.
a) Reibungsfreie Strömung vorausgesetzt, welche Geschwindigkeiten
herrschen an der Hinterkante eines Joukowski-Profiles und eines
dünnen Profiles?
Voben
Vunten
Voben
Fall 1, Joukowski-Profil:
endlicher Hinterkantenwinkel
Fall 2, dünnes Profil: Hinterkantenwinkel gleich Null
Vunten
b) Was bedeutet Fall 2 für die kontinuierliche Wirbelstärkeverteilung γ(x)? Anders gefragt: wie geht die Kutta-Bedingung in γ(x)
ein?
33
Lösungen
1.
a) Die Platte selbst soll eine Stromline sein. Für diese Stromlinie kann man schreiben:
dy V∞ sin α + vγ
=
.
(104)
dx P latte
V∞ cos α + uγ
| {z }
|{z}
ausP arallelstr.
Stoerung
Für kleine Winkel α und uγ ≪ V∞ ergibt sich die Vereinfachung
vγ
dy ≈α+
.
(105)
dx P latte
V∞
dy = 0 und
Ist die Platte parallel zur x-Achse orinetiert ist der Anstieg dx
P latte
mit den Geschwindigkeitskomponenten in einer Wirbelschicht (y = 0)
Zc
1
vγ = − P
2π
1
uγ = ± γ(x) ,
2
0
wird aus (105)
1
V∞ α =
P
2π
Zc
0
γ(x′ ) dx′
,
x − x′
γ(x′ ) dx′
.
x − x′
(106)
(107)
Zum Lösen des Integrals ist die Transformation
c
x′ = (1 − cos(Φ′ )) ,
2
dx′
c
= · sin(Φ′ )
′
dΦ
2
(108)
hilfreich. Mit dem Hinweis (s.o.) kann Gleichung (107) dann nach
γ(Φ′ ) = 2αV∞ ·
1 + cos(Φ′ )
sin(Φ′ )
(109)
aufgelöst werden.
b) Die Gesamtwirbelstärke ergibt sich aus der Integration der Wirbelverteilung
über die Platte:
Γ=
Zc
′
bzw. Γ =
′
γ(x ) dx
0
Zπ
γ(Φ′ ) sin Φ′ dΦ′ .
(110)
0
Beim Einsetzen von (109) in (110) entfallen die Sinus-Terme und es wird
Γ = cαV∞
Zπ
(1 + cos Φ′ )dΦ′ = παcV∞
(111)
0
c) Nach dem Kutta-Joukowsky-Theorem ist der Auftrieb
ρ
A = ρV∞ Γb = V∞2 |{z}
c b cL
|
{z
}
2
Kutta-Joukowsky
(112)
S
Mit der Gesamtwirbelstärke aus (111) ergibt sich der Auftriebsbeiwert zu
cL (α) = 2πα
34
(113)
d) Der Druckpunkt ist die Stelle auf der Profilsehne, an der das aerodynamische
Moment verschwindet. Die Summe aller infinitesimalen Momente dM muss
also Null werden:
Zc
0 = dM = M(xDP )
(114)
0
Das Differential dM lässt sich dabei ausdrücken mit
dM = (x − xDP ) dL mit
dL = ρV∞ b dΓ
und
dΓ = γ(x) dx.
(115)
Daraus ergibt sich das Intergral
0=
Zc
0
(x − xDP ) ρV∞ b γ(x) dx.
(116)
An dieser Stelle bedient man sich wieder der Transformation (108) für x und
setzt γ(Φ) ein, sodass man
0 = 2αρV∞2 b
Zπ h
0
i 1 + cos Φ c
c
(1 − cos Φ) − xDP ·
· sin ΦdΦ
2
sin Φ
2
erhält. Die Integration führt auf
h cπ
i
− xDP π
0=
4
2.
a)
b)
35
=⇒
c
xDP = .
4
(117)
(118)
11 Linearisierte Theorie II: gekrümmtes Profil
Ein dünnen Profiles mit einer Sklettlinie yc = f (x), 0 ≤ x ≤ 2 wird von
einer Parallelströmung V∞ unter einem Winkel α angeströmt.
1. Berechnen Sie Gesamtwirbelstärke Γ nach der linearisierten Theorie
dünner Profile.
Hinweis:
Zπ
sinnφ sinφ dφ =
0
π/2 für n = 1
0 für n =
6 1
(119)
2. Geben Sie eine Formel für den Auftriebsbeiwert cL an und bestimmen
Sie dessen Anstieg dcL /dα sowie den Nullauftriebswinkel αL=0 .
3. Das Profil sei in erster Näherung durch die Sklettlinie yc (x) = 0.1 −
0.1(x − 1)2, 0 ≤ x ≤ 2 beschrieben. Stellen Sie die Sklettlinie grafisch
dar und berechnen Sie den Nullauftriebswinkel sowie den Auftriebsbeiwert bei 4◦ Anstellwinkel.
4. Zusatz: Für das Profil NACA 23012 ist die Sklettlinie mit
yc = 2.6595(x3 − 0.6075x2 + 0.1147x) für 0 ≤ x ≤ 0.2025
yc = 0.02208(1 − x) für 0.2025 ≤ x ≤ 1.0
gegeben. Berechnen Sie den Nullauftriebswinkel sowie den Auftriebsbeiwert bei 4◦ .
36
Lösungen
Aufgabe 1. Die Gesamtwirbelstärke Γ ist das Integral der kontinuierlichen Wirbelstärkeverteilung γ(x)
Zc
Γ = γ(x) dx
(120)
0
Für die Koordinatentransformation x =
c
(1
2
+ cos φ) gilt
c
dx
= − sin φ
dφ
2
(121)
Damit wird Gl. (120)
c
Γ=−
2
Z0
γ(φ) sin φ dφ
(122)
π
Für die kontinuierliche Wirbelstärkeverteilung γ gilt (Gl. 4.19 im Aerodynamik-Skript)
"
#
∞
1 − cos φ X
γ(φ) = 2V∞ (α + A0 )
+
An sin nφ
(123)
sin φ
n=1
Gl. (123) in (122) eingesetzt und integriert ergibt unter Verwendung des Hinweises aus
der Aufgabenstellung
A1
Γ = cV∞ π (α + A0 ) +
(124)
2
Aufgabe 2. Gleichsetzen vom Kutta-Joukowski-Theorem und der Definitionsgleichung
des Auftriebsbeiwertes liefert für den Auftrieb
1
L = ρV∞ Γb = ρV∞2 ScL
2
(125)
Mit S = cb und Gl. (124) kann man den Auftriebsbeiwert bestimmen zu
cL = 2π(α + A0 +
A1
)
2
(126)
Der Anstieg dcL/dα ist wiederum 2π. Setzt man hier cL gleich Null und stellt nach α um,
findet man den Nullauftriebswinkel αL=0 = −(A0 + A1 /2)
Aufgabe 3. Für das gegebene Profil müssen die Fourier-Koeffizienten An (Formeln 4.24
im Aerodynamik-Skript) berechnet werden. Dazu wird die Ableitung dyc /dx benötigt.
Nach Einsetzern der Koordinatentransformation lautet diese
dyc
1
= − cos φ
dx
5
(127)
Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich dann zu A1 = 1/5 und A0 = A2 = A3 = ... = 0.
Somit wird αL=0 = −5.7◦ und cL (4◦ ) = 1.067.
Aufgabe 4. Für das NACA 23012 ist αL=0 = −1.09◦ und cL (4◦ ) = 0.559. Einziger Haken
hier ist, dass man die Integrale zur Berechnung von A0 und A1 wegen der Unstetigkeit in
yc an der Stelle x = 0.2025 aufteilen muss.
37
2
y
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
x
2
3
4
-2
-1
0
1
x
2
3
4
2
y
1
0
-1
-2
Abbildung 9: Stromlinien um die Parabelgeometrie aus Aufgabe 4. Oben: 0◦ Anstellwinkel, unten 4◦
38
12 Panelmethode mit Wirbeln
Aufgaben
1. An der Stelle r 0 existiert ein Potentialwirbel der Stärke Γ. Welche
Stromfunktion induziert er an der Stelle r?
2. Eine beliebige Kurve S sei nun mit einer Wirbelschicht der Stärke γ
pro Einheitslänge belegt. Welche Stromfunktion induziert diese Wirbelschicht an der Stelle r, wenn zusätzlich eine Parallelströmung mit
U∞ und V∞ gegeben ist?
3. Die Kurve S sein nun die Oberfläche eines Tragflügelprofiles. Was gilt
dann für den Wert der Stromfunktion für alle Punkte r auf S?
4. Unterteilen Sie das Tragflügelprofil in N Panels. Für jedes Panel i
sei γi konstant. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der
Werte γi auf.
5. Bestimmen Sie den Einfluss Aij des Panels i auf den Kontrollpunkt j
(in einem selbstgewählten Koordinatensystem). Das Integral muss nicht
gelöst werden.
6. Lösen Sie das Integral für i = j.
7. Welche physikalische Bedeutung hat der Wert γi? Hinweis: Berechnen
Sie die Zirkulation um das Panel i!
8. Wie würde dann die Kutta-Bedingung in den Lösungsalgorithmus einfließen?
39
Lösungen
1. Die Stromfunktion lautet:
Γ
→
→
→
Ψ(−
r)=
ln |−
r −−
r 0|
2π
(128)
2. Für die Wirbelschicht allein ist die Stromfunktion:
Z
1
→
→
γ ds ln |−
r −−
r 0|
Ψγ =
2π
(129)
S
Überlagert man dazu die Stromfunktion der Parallelströmung ergibt sich
Z
1
→
→
Ψ = U∞ y − V∞ x +
γ ln |−
r −−
r 0 | ds
2π
(130)
S
3. An Oberflächen sind die Normalgeschwindigkeitskomponenten Null. Die Strömung
muss tangential anliegen. Der Wert der Stromfunktion muss also entlang von S konstant sein (Ψ(S) = C = const). Da der Wert der Stromfunktion eigentlich irrelevant
ist – nur deren Ableitung bestimmt die Geschwindigkeitskomponenten – kann für
Konfigurationen mit nur einem Profil auch C = 0 angenommen werden. Nur für
Geometrien mit mehreren geschlossenen Konturen, z. B. Hochauftriebskonfiguarionen mit Klappen, müssen auch mehrere Kutta-Bedingungen beachtet werden, und
C wird auf verschiedenen Oberfläche andere Werte annehmen.
4. Das Gleichungssystem lautet
0 = U∞ yi − V∞ xi +
N
−1
X
0 = U∞ yi − V∞ xi +
N
−1
X
5.
1
Aij =
2π
Z
j=0
j=0
γj
2π
Z
ln |ri − r(sj )| dsj − C
sj
(131)
Aij γj − C.
→
→
ln |−
ri−−
r (sj )| dsj
(132)
sj
Darin ist
→
→
|−
ri−−
r (sj )| =
s
x′ = xL + (xR − xL ) und
l
p
(x′ − xi )2 + (y ′ − yi )2
s
y ′ = yL + (yR − yL).
l
mit
Gleichung (132) wird also zu
Z
h
i
1
s
s
2
2
Aij =
ln [xL + (xR − xL ) − xi ] + [yL + (yR − yL ) − yi ] dsj .
2π
l
l
sj
40
(133)
(134)
(135)
6. Für i = j gilt
l
1
2π

Aii = 2 ·
=
Z2
ln r dr
0

1 l
l

 (ln − 1) − lim r(ln r − 1)
r→0
π 2
2
{z
}
|
=0
l
l
=
(ln − 1)
2π
2
7. Die Zirkulation ist definiert als Γ =
lässt sich dann aufstellen:
H
S
→
V · d−
s . Für ein infinitesimal kleines Panel
Γ = V · ds
= γ · ds
V =
ˆ γ
8. ...
41
(136)
Beispiel: Bild 10 zeigt die auftriebsbehaftete Umströmung eines NACA23012, berechnet mit der eben vorgestellten Panelmethode. Obwohl hier ausschließlich Potentialwirbelverteilungen – also keinerlei Quellen/Senken – zugrunde liegen, ist die
Methode in der Lage, ein Tragflügelprofil endlicher Dicke zu erzeugen. Innerhalb
des Profiles führt die Überlagerung von Anströmung und Potentialwirbeln im wesentlichen zu ruhendem Fluid, welches die Aussenströmung verdrängt. Eine PythonImplementierung der Methode ist auf unserer Homepage verfügbar.
Abbildung 10: Umströmung eines NACA23012 bei U∞ = 1 und V∞ = 0.05 (α = 2.9◦ )
42
13 ein paar Formeln
Schallgeschwindigkeit
a=
√
κRT
(137)
Komplexe Ortskoordinate
kartesisch
z = x + iy
und in Zylinderkoordinaten z = reiϕ
(138)
Komplexes Potential
komplexe Geschwindigkeit
w(z) = Φ + iΨ
(139)
dw
= u − iv
dz
(140)
z = x + iy =⇒ ζ = ξ + iη
(141)
e±iϕ = cosϕ ± i sinϕ
(142)
konforme Abbildung
Eulersche Formel
43
Literatur
[1] John D. Anderson, Jr. Fundamentals of Aerodynamics. McGraw-Hill, third edition,
2001.
[2] H. Schlichting and K. Gersten. Genzschicht-Theorie. Springer, 1997.
[3] M. van Dyke. An Album of Fluid Motion. The Parabolic Press, Stanford, California,
1982.
44