Elektromagnetische Felder I Lösung zur Klausur vom 1. März 2017 1

Elektromagnetische Felder I
Lösung zur Klausur vom 1. März 2017
• Drahtlose Signalübertragung: Signal kann
am Empfänger ankommen, während der Sender bereits ausgeschaltet ist.
Sender
• Spitzeneffekt bzw. -entladung: An leitfähigen Spitzen (Elektrode) kommt es in einem
elektrischen Potentialfeld zu größeren elektrischen Feldstärken bzw. bei zunehmender
Spannung früher zur Entladung als an abgerundeten Elektroden.
regelbare
Spannungsquelle
Empfänger
1. a) Die Beispiele entsprechen denen aus Kapitel 1 im Skript.
~
Erzeuger
• Energieübertragung im leeren Raum auch
bei Gleichstrom: In idealen Leitern ist kein
elektrisches Feld vorhanden, sondern nur
zwischen den Leitern. Dort wird die Energie
transportiert.
Verbraucher
keine Potentialdifferenz
Potentialdifferenz
~ = ρ : Gaußsches Gesetz
b) (*1): div D
~ = J~ + D
~˙ : Maxwell-Amperesches Gesetz
(*2): rot H
~ = div J~ + div D
~˙
Anwendung des div -Operators auf (*2) ergibt: div rot H
Die linke Seite der Gleichung ist Null wegen div rot = 0, auf der rechten Seite wird
im zweiten Term die Zeitableitung mit dem div -Operator vertauscht und dann (*1)
angwendet. Es folgt: 0 = div J~ + ρ̇.
c)
~ r ) = −grad ϕ(~r ) = −
E(~
d)

~ r) = 
ρ(~r ) = div D(~

∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z

∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z


 · D0 · 
x+y
z
x−y
z
y−x
z
ϕ0 ·
y
x xy xy
=
ϕ
·
−
,
−
,2
0
z2
z2 z2 z3

 = D0 ·
1 1 y−x
− +
z z
z
= D0 ·
x−y
z2
R ~r
~ d~r verwendet. Das
e) Zur Berechnung der Spannung wird die Gleichung U = ~r12 E
Integral kann auf einem beliebigen Weg zwischen ~r1 und ~r2 berechnet werden. Das
~ = ~0. Hier wird der direkte Weg (Gegegebene elektrische Feld ist wirbelfrei, rot E
rade) zwischen ~r1 und ~r2 gewählt und entsprechend parametrisiert:
~r(t) = ~r1 + t · (~r2 − ~r1 ) = t · (x0 , y0 , z0 ) mit t ∈ [0; 1] , ferner ist
d~r
= (x0 , y0 , z0 )
dt
Es folgt:

 
3
x0
~ r ) d~r =
~ r(t)) · d~r dt =
E(~
E(~
U =
E0  5  ·  y0  dt
dt
tz0
~
r1
0
0
z0
z0
Z 1
1
(3x0 + 5y0 + tz0 ) dt = E0 · 3x0 + 5y0 + z0
= E0 ·
2
0
Z
Anmerkungen:
~
r2
Z
1
Z
1

Elektromagnetische Felder I
Lösung zur Klausur vom 1. März 2017
• Ein anderer praktikabler Integrationsweg wäre die Zerlegung des Integrals in
drei Integrale jeweils parallel zu den Koordinatenachsen.
• U kann auch ein umgekehrtes Vorzeichen besitzen, abhängig von der Wahl der
Integrationsrichtung.
Der Punkt ~r1 liegt auf höherem Potential. Dies kann man zum Beispiel daran erkennen, dass auf dem betrachteten Weg das Skalarprodukt aus elektrischem Feld
und Richtung des betrachteten Wegs
immer positiv ist und damit
das Potential auf
R ~r2
~
diesem Weg monoton abnimmt. ϕ(~r2 ) − ϕ(~r1 ) = − ~r1 E(~r ) d~r
I
· δ(z) · ~eϕ
b−a
t
~ r ) × ~r0 − ~r dV
~ r0 ) = µ
J(~
b) B(~
4π
|~r0 − ~r |3
c) Da das Feld nur auf der z-Achse berechnet werden soll gilt: ~r0 = (0, 0, z0 ).
Die Stromdichte fließt nur in der x-y-Ebene, daher: ~r = p
(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, 0).
Es folgt: ~r0 − ~r = (−ρ cos ϕ, −ρ sin ϕ, z0 ) und |~r0 − ~r| = ρ2 + z02 .
Einsetzen in das Biot-Savart-Gesetz aus b) führt zu:
t I
(−ρ cos ϕ, −ρ sin ϕ, z0 )
~ r0 ) = µ
· δ(z) · ~eϕ ×
dV
B(~
4π
b−a
(ρ2 + z02 )3/2
Mit ~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) kann das Kreuzprodukt ausgerechnet werden:

 
 

z0 cos ϕ
−ρ cos ϕ
− sin ϕ
 cos ϕ  ×  −ρ sin ϕ  =  z0 sin ϕ 
ρ
z0
0
Zusammen mit dem Volumenelement dV = ρ dϕ dρ dz in Zylinderkoordinaten ergibt
sich:


z0 cos ϕ
 z0 sin ϕ 
Z b Z 2π Z ∞
ρ
I
~ r0 ) = µ
B(~
· δ(z) ·
ρ dz dϕ dρ
2
4π a 0
(ρ + z02 )3/2
−∞ b − a
2. a) J~ =
Ausklammern und z-Integration führen zu:
~ r0 ) =
B(~
µI
4π(b − a)
Z bZ
a
2π
0


z0 cos ϕ
 z0 sin ϕ 
ρ
ρ dϕ dρ
2
(ρ + z02 )3/2
Kosinus- und Sinusfunktion über eine volle Periode integriert ergibt 0, daher führt
die ϕ-Integration zu:


0
 0 
Z b
Z b
2πρ
µI
µI
ρ2
~
B(~r0 ) =
·
~
e
·
ρ
dρ
=
dρ
z
2 3/2
2
4π(b − a) a (ρ2 + z02 )3/2
2(b − a)
a (ρ + z0 )
Das verbliebene ρ-Integral führt mit der in der Hilfe angegebenen Formel auf:
!
p
2 + z2
b
b
+
a
b
µI
0
~ r0 ) =
p
· p
· ~ez
−p
+ ln
B(~
2
2
2
2
2
2(b − a)
a + z0
b + z0
a + a + z02
~
d) Im Punkt (2b, 5b, 0) zeigt das B-Feld
in −~ez -Richtung.
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3. a) [kL ] : V/(m2 s)
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, [kR ] : Vs/m2
d
d
(BL (t) · a2 ) = − (kL · t2 · a2 ) = −2a2 kL t
dt
dt
d
d
2
UR = −Φ̇R = − (BR · a ) = − (kR · a2 ) = 0
dt
dt
c) In der linken Leiterschleife muss gelten: UL = R · (I2 − I1 ) .
In der rechten Leiterschleife muss gelten: UR = R · (I3 − I2 ) .
Außerdem muss die Summe der Ströme Null sein: I1 + I2 + I3 = 0 .
Mit UR = 0 folgt aus der zweiten Gleichung: I2 = I3 .
Mit der dritten Gleichung folgt: I2 = I3 = −I1 /2 .
Mit UL = −2a2 kL t folgt dann aus der ersten Gleichung:
2a2 kL t
4a2 kL t
sowie I2 = I3 = −
.
I1 =
3R
3R
d) [k̃L ] : V/(m5 s)
Ra Ra 2
d R a R a
d 2
e) UL = −Φ̇L = −
BL (t) dx dy = −
k̃L · t · y=0 x=0 x · y dx dy
dt y=0 x=0
dt
3
2
a a
1
d
k̃L · t2 · ·
= − k̃L a5 t
=−
dt
3 2
3
a5 k̃L t
2a5 k̃L t
sowie I2 = I3 = −
.
Wie in Teilaufgabe c) folgt: I1 =
9R
9R
b) UL = −Φ̇L = −
~ = s , rot A
~ = ~c
4. a) div A
s = source charge density “
”
~c = curl current density “
”
~ D,
~ B,
~ H
~
b) Zu bestimmende Felder: E,
Die makroskopischen Maxwellgleichungen alleine reichen nicht, da die Materialeigen~ und D
~ bzw. B
~ und
schaften, welche insbesondere die Zusammenhänge zwischen E
~
H beschreiben, in ihnen nicht vorkommen.
~ = ε·E
~ und B
~ = µ·H
~
c) Konstitutive Gleichungen: D
d) Bei linearen Materialien sind die Materialparameter ε und µ unabhängig von den
elektrischen bzw. magnetischen Feldern.
e) Im isotropen Fall sind die Materialparameter skalare Größen im Gegensatz zum
allgemeineren anisotropen Fall, wo sie als Tensoren darzustellen sind.
5. a) σ
b) σ und ε
~2 − B
~ 1 ) · ~n = 0
c) (B
~ und µ – Anmerkung: hier muss insbesondere K
~ = ~0 gelten
d) K
~2 − E
~ 1 ) × ~n = ~0 und (H
~2 − H
~ 1 ) × ~n = K
~
e) (E


− cos α
6. a) Teilwelle nach 1. Reflexion an Wand XZ: ~k1X = k0 ·  sin α  und E1X = −E0
0 

cos α
~

sin α  und E2Y = E0
Teilwelle nach 2. Reflexion an Wand YZ: k2Y = k0 ·
0
Elektromagnetische Felder I
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b) Teilwelle nach 1. Reflexion an Wand YZ: ~k1Y
Teilwelle nach 2. Reflexion an Wand XZ: ~k2X
c) Die Reflexion erfolgt in die Richtung −~k0 .


cos α
= k0 ·  − sin α  und E1Y = −E0
0 

cos α

sin α  und E2X = E0
= k0 ·
0
d) Im Gesamtfeld wird keine Leistung transportiert. Die von den Wänden reflektierte
Leistung ist betraglich gleich groß wie die einfallende Leistung und strömt in die
exakt entgegengesetzte Richtung.
e) Für die Berechnung der Amplituden ist als geeignete Fresnel-Gleichung diejenige
zu verwenden, welche die Reflexion im Fall des elektrischen Felds senkrecht zur
Einfallsebene beschreibt. Es folgt, mit ϕ = 90◦ − α = 45◦ = α:
p
Eo′′
n cos α − (µ/µ′ ) n′2 − n2 sin2 α
p
=
Eo
n cos α + (µ/µ′ ) n′2 − n2 sin2 α
q
√
√ 2
1
2 · 2 2 − 1 · 6 − 4 · 12 2
q
=
√
√ 2
2 · 21 2 − 1 · 6 − 4 · 12 2
√
1,4 − 2
−0,6
3
1
2−2
= √
≈
=
= −
≈ −
1,4 + 2
3,4
17
6
2+2
Also:
Teilwelle nach 1. Reflexion an Wand XZ: E1X ≈ − 16 E0
1
E0
Teilwelle nach 2. Reflexion an Wand YZ: E2Y ≈ + 36
Elektromagnetische Felder II
7. a) Die unterstrichenen
~ =0
div B
:
~
div D = ρ
:
˙
~ = −B
~
rot E
:
~ = J~ + D
~˙ :
rot H
Lösung zur Klausur vom 1. März 2017
Terme werden im statischen Fall zu Null.
Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte
Gaußsches Gesetz
Faradaysches Induktionsgesetz
Maxwell-Amperesches Gesetz
~ die Einheit ist Vs/m oder auch Tm. Die magnetische
b) Das Formelzeichen ist A,
~ = rot A.
~
Flussdichte lässt sich aus dem dynamischen Vektorpot. direkt berechnen: B
~ Strom pro Fläche oder auch Strom pro Länge2
c) Stromdichte J:
~ : Leistung pro Fläche oder auch Strom mal Spannung pro Länge2
Poynting-Vektor S
d) Graphisch entspricht das Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl
einer Drehstreckung in der komplexen Ebene.
Im
z 2 = 22 · e j2π/4 = 4 · e jπ/2
z = 2 · e jπ/4
Re
8. a) Linearität
b) Transformator mit Eisenkern
t
c) Über die Gleichung 21 LI 2 = V wm dV lässt sich die Induktivität ermitteln.
~ aus dem Poynting-Theorem beschreibt die Eigenschaften eines
d) Der Ausdruck J~ · E
idealen Widerstands. Bei einem realen Widerstand können auch noch Induktivität,
Kapazität und Abstrahlung auftreten.
9. a) TEM-Mode
b) Vorteile sind: Übertragung ab DC möglich und dispersionsfrei abgesehen von Effekten eines Dielektrikums.
c) Die Ströme fließen auf der Außenseite des Innenleiters und auf der Innenseite des
Außenleiters (Skineffekt) in ±z-Richtung.
d) Elektrische Felder sind nur im Bereich zwischen Innen- und Außenleiter vorhanden
(a < ρ < b) und zeigen radial von der z-Achse nach außen oder auf die z-Achse nach
innen (±~eρ ).
e) Magnetische Felder sind ebenfalls nur im Bereich zwischen Innen- und Außenleiter
vorhanden und zeigen konzentrisch um die z-Achse (±~eϕ ).
~ + ∂w + J~ · E
~ =0
f) div S
∂t
~ =0
g) J~ · E
Begründung (Alternativen):
• Wegen der idealen Leitfähigkeit treten keine ohmschen Verluste auf.
Elektromagnetische Felder II
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~ beide zugleich von Null verschie• An keinem Ort im Koaxialkabel sind J~ und E
den. In den idealen Leitern, wo Strom fließen kann ist das elektrische Feld Null
und außerhalb der Leiter kann kein Strom fließen.
10. a)
• Diese Größen treten bei den dynamischen Potentialen bzw. den Lösungen der
Wellengleichungen auf.
• Man spricht von Retardierung.
• Er beschreibt die zeitliche Verzögerung zwischen einer Ursache und der Wirkung
an einem räumlich entfernten Ort aufgrund der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit v.
~
~ 0 · e j(ωt−kx) , verantwortlicher Term: −kx
b) E(x,
t) = E
c) Die Retardierung tritt bei allen Feldtermen der Hertzschen Dipollösung auf.
d) Quasistationäre Lösungen
~
11. a) (1) Falsch: TE steht für transversal elektrisch“, das E-Feld
hat also nur Kompo”
nenten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
(2) Falsch: Gleichstrom kann nicht in Hohlleitern übertragen werden, hierfür sind
immer mindestens zwei separate Äquipotentialflächen (Leiter) erforderlich.
(3) Falsch: Es handelt sich um die H20 -Mode.
b) Die cut-off-Frequenz ist die Grenzfrequenz einer Mode unterhalb derer die Wellenzahl
im Hohlleiter rein imaginär ist und kein Energietransport stattfinden kann.
c) Der Hohlleiter ist sinnvoll nur oberhalb der cut-off-Frequenz seiner Grundmode H10
und unterhalb der cut-off-Frequenz der nächsthöheren Mode H20 einsetzbar.
c0
3 · 108 m/s
√
Die cut-off-Frequenz der H10 -Mode ergibt sich zu: fc,10 = √
≈ 2 · 80
=
mm · 9 · 1
2a εr µr
625 MHz
Die cut-off-Frequenz der H20 -Mode ist das Doppelte der cut-off-Frequenz der H10 Mode: fc,20 = 2 · fc,10 ≈ 1250 MHz
Der gesuchte Frequenzbereich ist also: [625 MHz : 1250 MHz].
Anmerkung: In der Praxis ist der Frequenzbereich noch kleiner, da noch ca. 20 %
Abstand zu den cut-off-Frequenzen eingehalten wird.
12. a) 3D-Wellengleichung oder Wellengleichung für z-Komponente
b)
• Rechteckhohlleiter: F (x, y, z, t) = F1 (x) · F2 (y) · F3 (z) · F4 (t), alternativ auch
F3 (z, t)
• Rundhohlleiter: F (ρ, ϕ, z, t) = F1 (ρ) · F2 (ϕ) · F3 (z) · F4 (t), alternativ auch
F1 (ρ, ϕ) und/oder F3 (z, t)
∂2
F (x)
∂x2 1
+ kx2 · F1 (x) = 0
ω2
2
2
2
2
d) kx + ky + kz = k = εr µr 2
c0
c) z.B.
13. a) zτ = a · ejπ/4 bzw. rτ = a und φτ = π/4
b) p = 180◦ /315◦ = 4/7
c) wτ = a4/7 · ejπ/7 bzw. ρτ = a4/7 und ψτ = π/7
d) uτ = a4/7 · cos(π/7) und vτ = a4/7 · sin(π/7)
e) eine Spiegelladung
Elektromagnetische Felder II
f) ϕ =
ϕ=
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p
p
2
2
2
2
· ln (u − uτ ) + (v − vτ ) − ln (u − uτ ) + (v + vτ ) somit
(u−a4/7 · cos(π/7))2 +(v+a4/7 · sin(π/7))2
· ln (u−a
4/7 · cos(π/7))2 +(v−a4/7 · sin(π/7))2
τ
− 2πε
0
τ
4πε0
g) u = r4/7 · cos(4φ/7) und v = r4/7 · sin(4φ/7)
(r 4/7 · cos(4φ/7)−a4/7 · cos(π/7))2 +(r 4/7 · sin(4φ/7)+a4/7 · sin(π/7))2
τ
h) ϕ = 4πε
·
ln
(r 4/7 · cos(4φ/7)−a4/7 · cos(π/7))2 +(r 4/7 · sin(4φ/7)−a4/7 · sin(π/7))2
0
i) Nein, denn Voraussetzung für die Anwendung der konformen Abbildung ist die Invarianz der Anordnung in der dritten Raumdimension.
j) p = 2/7 , drei Spiegelladungen
14. a) ∆ϕ = k2 · L
b) Bei Rges muss nicht nur die direkt an der Grenzfläche reflektierte Teilwelle berücksichtigt werden, sondern alle Teilwellen die nach der Transmission im Abschnitt (2)
hin und zurück reflektiert werden und wieder nach Abschnitt (1) austreten.
Um den Gesamtreflexionskoeffizient Rges zu berechnen müssen alle Teilwellen aufsummiert werden die zurück nach Abschnitt (1) reflektiert werden.
2Z2
Z2 − Z1
=
c) T12 = 1 + R12 = 1 +
Z2 + Z1
Z2 + Z1
Anmerkung: Der Zusammenhang T12 = 1 + R12 ist eine unmittelbare Folge der
Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche.
d) Rges = R12 + T12 · e −jk2 L · R23 · e −jk2 L · T21
+e −jk2 L · R23 · e −jk2 L · R21 · e −jk2 L · R23 · e −jk2 L · T21 + . . .
i
P
−j2k2 L
e
·
R
·
R
= R12 + T12 · T21 · R23 · e −j2k2 L ∞
23
21
i=0