Physik für Bau Physik für Bau- und Umweltingenieure

Bauingenieurwesen
Institut für Geotec hnik
und
Geohydraulik
Universität Kassel - D - 34109 Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch
Universität Kassel
Kurt-Wolters-Str. 3
34125 Kassel
[email protected]
fon + 49-561 804-3198
fax + 49-561 804-3953
WS 2008
200 8 /2009
/200 9
Studienbegleitende Prüfung (Diplom-Prüfungsordnung von 2004 / Bachelor)
Physik für BauBau - und Umweltingenieure
25. Februar 2009, 12-13:30 Uhr
Prüfungsteilnehmer
Korrekturbemerkungen
----------------------------Name, Vorname
----------------------------Matrikelnummer
----------------------------Unterschrift
Punktebilanz und Note
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Summe
Max. Punk.
7
10
8
8
10
6
8
6
10
7
10
10
100
Punkte
Note
Aufgabe 1 / Dichte
Der mittlere Radius der Erde beträgt 6371km. Ihre Masse ist 5,974 · 10 24 kg.
Bestimmen Sie die mittlere Dichte der Erde. Vergleichen Sie den gefundenen Wert
mit von Ihnen aus der Werkstoffkunde bekanntem Gestein, welches auch beim Bauen
vielleicht Verwendung findet. Was schließen Sie daraus bzg. des möglichen inneren
Aufbaus der Erde? Hinweis: Volumen einer Kugel V =4/3 *pi*r 3
Lösung::
Lösung
ρ = m/V
Mit V= 4/3 *pi*r 3 =4/3 *pi*(6371*10 3 m)
ρ = 5,974 · 10 24
/
3
= 1.083207 21 m 3
1.083207 21 = 5515.105 kg/m 3
Die Dichte der meisten Gesteine liegt in der Größenordung von 2500-2800 kg/m 3
(s. http://de.wikipedia.org/wiki/Gesteinsdichte).
Es folgt, dass
im Inneren
der
Erde eine wesentlich höhere Dichte als der obige mittlere Wert vorliegen muss. In
der Tat besteht der Erdkern, der ab einer Tiefe von 2900 km beginnt, aus reinem
Metall (Eisen/Nickel Gemisch), mit einer Dichte von 10000-12000 kg/m 3 .
(s. http://www.geologieinfo.de/geologie/dichte-gegen-teufe.html)
Aufgabe 2 / Statik/Kräfte
Statik/ Kräfte
Zwei Kräfte F 1 = 500N und Winkel α 1 = 20 o gegen die
Horizontale und F 2 =700N und α 2 = -50 o ziehen an dem
Mauerhaken. Welche Kraft muss dieser aushalten und in
welche
Richtung
würde
er
im
Falle
des
F1
Ausreißens
schießen?
α1
α2
Lösung::
Lösung
α
F2
Berechung der resultierenden Kraft F R (vektoriell)
FR = F1 + F2
mit
F 1 = F 1x i + F 1y j
= !F 1 ! * cos α 1 + !F 1 ! cos (90-α 1 )
F 2 = F 2x i + F 2y j
= !F 2 ! * cos α 2 + !F 2 ! cos (-90-α 2 )
Mit Werten:
F 1 = F 1x i + F 1y j
= 500 * cos 20 i + 500 * cos 70 j
= 469.8 i
+ 171 j
und
F 2 = F 2x i + F 2y j
= 700 * cos (-50) i - 700* cos (-40)jj
= 450.0 i - 536.2 j
FR =
Magnitude
919.8 i
- 365.2 j
|F
F R | = (919.8
2
+ 365.2
2
)
1/2
= 989.4 N
Richtung der resultierenden Kraft: tan(α) = F ry /F Rx = -365.2/919.8 = -0.4
α = -21.6 0
Aufgabe 3 / Statik/Kräfte
Statik/Krä fte/Momente
fte /Momente
FH
Ermitteln Sie die Kraft, mit der der Tischlerhammer
α2
den Nagel aus dem Holz zieht, wenn die Kraft der
Hand 50 N beträgt. Entnehmen Sie die fehlenden
rH
Größen aus der Zeichnung.
Lösung::
Lösung
α1 r N
FN
Momentengleichgewicht:
ML = M R
mit
M L = F N *r N * sin α 1 und M R = F H *r H * sin α 2
Kraft F H greift senkrecht am Griff an, denn dann wird das maximale Drehmoment
erreicht. Das gleiche gilt für die Nagelkraft F N .
α 1 =α 2
F N *r N = F H *r H
F N = F H *r H /r N = 50N* 0.3m/0.1m
= 150N
Die erzielte Nagelkraft F N ist also bedingt durch die Konstruktion des Hammers.
Aufgabe 4 / Statik/ Kräfte/Momente
Kräfte /Momente
Berechnen Sie die Zugkraft T, die das Bücherbord mit
einer Tiefe von 0.38m aushalten muss, wenn das
Gesamtgewicht Bord+ Bücher 70N beträgt.
Lösung:
Lösung:
Momentengleichgewicht um Angelpunkt:
M L = M R,
mit
M L = Moment der Zugkraft F T des Seils
M R = Moment des Bordes + Bücher, wirkend im Schwerpunkt des Brettes
ML
=
F T * r B * sin 40 0 = F T * 0.38m * sin 40 0
MR
=
G* r B /2 = 70N*0.38m/2
F T * 0.38m * sin 40 0
F T =70N /2 /sin 40 0
=
70N*0.38m/2
= 54.45N
Aufgabe 5 /Newtonsche Dynamik
Auf der internationalen Space Station (ISS) herrscht bekanntlich Schwerelosigkeit.
Ein
Astronaut möchte sich einen Softdrink gönnen. Das Getränk ist in einer
undurchsichtigen,
dunklen
Plastikflasche
mit
Schraubverschluss
und
1
Liter
Volumen. Wie kann er feststellen, ob (a) die Flasche nicht leer ist und wenn ja (b)
wie viel vielleicht noch drin sein könnte, nachdem er sich aus dem Müllbehälter
noch eine garantiert leere Flasche als Vergleich besorgt hat?
Lösung::
Lösung
Die Masse der vollen Flasche ist m= ρ *V = 1000kg/m 3 *0.001m 3 = 1kg. Die Masse
der leeren Flasche ist fast! Null.
Im schwerelosen Raum hat der Körper zwar keine „schwere“ Masse mehr, aber seine
„träge“
Masse
ist
unverändert
vorhanden.
Wegen
des
Einstein’schen
Äquivalenzprinzips sind beide Massen identisch.
Anwendung einer beschleunigenden Muskelkraft F auf die Flasche mit der Masse m
ergibt eine Beschleunigung a = F/m.
Also wird die volle Flasche weniger stark als
die leere oder auch teilgefüllte Flasche beschleunigt werden und entsprechend eine
geringere Endgeschwindigkeit erreichen.
Falls der Astronaut keine Ahnung hat, welche Masse die leere Flasche wirklich hat,
kann er die Menge an Flüssigkeit in der „vollen“ Flaschen nicht bestimmen, sondern
nur die Aussage machen, dass wohl etwas mehr als „nichts“ drin sein muss.
Andererseits kann er, wenn er eine wirklich volle Flasche vor sich hat,
die Masse
der leeren Flasche durch Vergleich der Beschleunigungen bestimmen, also a v = F/m v
und
a l = F/m l
Ml
= F/a l
= m v a v /a l .
Danach wiederholt er die
Beschleunigungsexperimente mit den teilgefüllten Flaschen im Vergleich zur leeren
(oder auch zur vollen) Flasche.
Aufgabe 6 /Newtonsche Dynamik
Ein Junge gibt einem Ball mit der Masse 0,5 kg in der Zeit von 0,2 s aus der Ruhe
eine Geschwindigkeit von 8 ms -1 . Welche Kraft übt er auf den Ball aus?
Lösung
Lösu ng
ng::
Beschleunigung a = v/t = 8m/s / 0.2 s = 40m/s 2
Kraft F= m*a = o.5kg* 40m/s 2 = 20N
Aufgabe 7 /Reibung
A) Welche Kraft ist nötig, um einen Schrank mit einem Gewicht von 1000 N auf
waagerechter Unterlage zu verschieben, wenn die Reibungszahl µ=0,4 beträgt? Der
Schrank soll dann im Keller abgestellt werden, wobei man sich eines schiefen
Holzbrettes behilft, das auf die Kellertreppe gelegt wird. B) Wie groß muss der
Gefällewinkel des Brettes mindestens sein, damit der Schrank bei der genannten
Reibungszahl gerade ins Rutschen gerät?
Lösung::
Lösung
Reibungskraft F R = µ * F N = 0.4*1000N = 400N
Für den kritischen Winkel α gilt nach Zerlegung der
Kraftkomponenten und der obigen Definition:
tan α = µ
α = 21.8 o
α
Aufgabe 8 /beschleunigte
/ beschleunigte Bewegung
Ein Auto beschleunigt gleichmäßig in 12 s von 0 auf 100 kmh -1 . Welchen Weg hat es
in dieser Zeit zurückgelegt?
Lösung::
Lösung
Beschleunigung a = v/t = 100/3.6m/s /12 s = 2.31m/s 2
Weg x = ½*a *t 2 = ½*2.31m/s 2 *(12s) 2
= 166.32m
Aufgabe 9 /beschleunigte
/ beschleunigte Bewegung
Ein Auto steigert seine Geschwindigkeit gleichmäßig von v 1 = 120 kmh -1 auf v 2 =
150 kmh -1 . Wie groß ist die Beschleunigung und der zurückgelegte Weg, wenn die
Geschwindigkeitserhöhung in der Zeit von 10 Sekunden erfolgt?
Lösung::
Lösung
v 1 = 120/3.6 =33.3 m/s; v 2 = 150/3.6 = 41.7 m/s.
Beschleunigung a = (v 1 – v 2 ) / t = (41.7 m/s-33.3m/s)/10s = 0.84m/s
Weg x = v 1 *t + ½*a*t 2 = 33m/s*10s + ½*0.84m/s*(10s) 2 = 332m + 42m
=374m
Aufgabe10 /freier Fall
Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach 4 Sekunden sieht
man ihn auf dem Boden aufschlagen. Fragen: A) Wie hoch ist der Turm? B) Mit
welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf den Erdboden auf?
Lösung::
Lösung
A) s=1/2*g*t 2
= ½* 9.81m/s 2 *(4s) 2 = 78.5m
B) v=g*t = 9.81m/s 2 *4s = 39.2m/s
Aufgabe 11 /Drehbewegung/Zentripetalkraft
Der knatternde Lärm eines Hubschraubers ist bedingt, dass an der Rotorspitze
ständig sogenannte Überschnallknalls entstehen. Dies ist der Fall, wenn die
Rotorspitzengeschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit (v schall = 330m/s)
wird.
Berechnen
Sie
a)
die
kritische
Frequenz
des
Rotors,
bei
der
diese
Überschallknalls gerade entstehen, wenn der Radius des Rotors r = 7,00 m beträgt.
Wie groß ist b) die Zentripetalbeschleunigung, die die Rotorspitze dann erfährt?
Lösung:
Lösung:
a) Ω = 2π /T = 2π f
v
= Ω *r
Ω = v/r =2π f
f= v/(2π* r) = 330m/s /(2π* 7m)
= 7.5 U/s = 450 U/min
b) a z = v 2 /r = (330m/s) 2 /7m
=15557 m/s 2 ~1586 g
Aufgabe 12 / Zentripetalkraft/Gravitation
Sie haben neulich in den Nachrichten gehört, dass zwei ausrangierte Satelliten, die
in einer Höhe von etwa 800km seit vielen Jahren um die Erde kreisten, zusammen
gestoßen sind. A) Berechnen Sie deren Kollisionsgeschwindigkeit. Danach sind die
beiden Satelliten in viele kleine Brocken zerborsten. Diese Brocken werden noch
viele Jahre als sogenannter Weltraumschrott durch das All schwirren.
Es ist
anzunehmen dass infolge der Kollision ein großer Teil der kinetischen Energie der
Satelliten
„verbraten“
worden
ist
und
der
„Schrott“
nun
eine
viel
kleinere
Geschwindigkeit als die ursprüngliche der Satelliten hat. Der Schrott wird dann
eventuell
ein
anderes
Bahnorbital
einnehmen.
Frage:
B)
wird
dieser
Schrott
theoretisch dann zu einer Gefahr für die ISS, die in etwa 350 km Höhe um die Erde
kreist, werden können?
Gegeben: Masse der Erde m E = 6*10 24 kg,
Gravitationskonstante γ= 6,7*10 -11 m 3 /kg s 2
Radius der Erde r E =6378 km
Lösung::
Lösung
A) Auf der Satellitenbahn in einen Abstand von r km vom Erdmittelpunkt herrscht
Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft F z und Gravitationskraft F G
γ m s *m e /r 2 = m s Ω 2 *r = m s v 2 /r
v 2 /r = γ m e /r 2
v= (γ m e /r) 1/2
= (6.7*10 -11 *6*10 24 /((6378+800)*10 3 )) 1/2
= 7483.6 m/s = 26941km/h
B) Wenn die Bahngeschwindigkeit v des Satelliten, bzw. des Schrottes, abnimmt,
wird nach obiger Formel r größer.
Das heißt, dass theoretisch das Orbital des
genannten Schrotts sich in einer größeren Höhe als
800km von der Erdoberfläche
einstellen
zwischen
sollte,
damit
weiterhin
Zentrifugalkraft herrschen kann.
Gleichgewicht
Gravitations-
und
Allerdings müsste der Schrott zuvor auf dieses
höhere Orbital geschleudert werden, d.h. es muss Arbeit gegen das Gravitationsfeld
geleistet werden. Dies könnte durch eine vertikale Stoßkomponente während des
Zusammenstoßes der beiden Satelliten verursacht werden.
Da dies doch relativ
unwahrscheinlich bei einem frontalen Zusammenstoß sein wird, muss man davon
ausgehen, dass wegen der verminderten Geschwindigkeit der Schrott „runter fällt“,
so dass er rein theoretisch die tiefer liegende ISS treffen könnte. Letztendlich wird
der Schrott beim Eintauchen in die Atmosphäre zum großen Teil jedoch verglühen,
ähnlich einer Sternschnuppe. Die vor kurzem durchgeführte Notfall-Operation, bei
der Astronauten der ISS die Station für einige Stunden verlassen mussten, um einer
potentiellen Kollision von Schrott mit der Station zu entgehen, ist durch andere
„herumschwirrende“ Brocken verursacht worden.