Mathcad - Axiome.mcd

Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
1
1
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Relative Häufigkeit
ORIGIN = 0
Alle Berechnungen erfolgen mit dem Rechenprogramm MathCad.
Die relative Häufigkeit h errechnet sich aus der Anzahl der interessierenden Ereignisse nint und der Gesamtzahl
der Ereignisse n eines Zufallsexperiments.
Rechenbeispiel
nint := 36
n := 100
h :=
nint
h = 0.36
n
Ist das interessierende Ereignis nicht eingetreten, hat die relative Häufigkeit den Wert h = 0. Ein mit Sicherheit
eintretendes Ereignis hat die relative Häufigkeit h = 1.
Wahrscheinlichkeit
Mit wachsender Gesamtzahl n der Ereignisse schwankt die relative Häufigkeit h immer weniger um einen
bestimmten Wert, der als Wahrscheinlichkeit Q gedeutet wird.
Ereignisalgebra
[6] S.13
[9] S.51
Die Berechnung von Ereignissen sowie deren Wahrscheinlichkeiten, mit denen sie eintreten, lässt sich auf die
Berechnung von Mengen zurückführen. Es gelten die Gesetzmäßigkeiten der Mengenlehre.
AI B =0
Unvereinbare Ereignisse A und B
AI B ≠ 0
Vereinbare Ereignisse A und B
S Ereignisraum oder sicheres Ereignis
A und B Ereignisse
A Komplementärereignis zu A
A tritt dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt.
B Komplementärereignis zu B
Morgansche Regeln
B tritt dann ein, wenn das Ereig nis B nicht eintritt.
Vereinigung (Vereinigungsmenge)
A U B tritt dann ein, wenn eines der Ereignisse A oder B eintritt.
AU B =A + B − A IB
AU B = A IB
AI B = A UB
A U B = ( A I B ) U ( A I B) U ( A I B)
Durchschnitt (Schnittmenge)
A I B tritt dann ein, w enn gleichzeitig das Ereignis A und B eintritt.
Die folgenden Venn-Diagramme lassen den Zusammenhang zwischen Ereignis- und Mengenalgebra erkennen.
Ein Ereignis ist das Ergebnis oder der Ausgang einer Versuchsdurchführung. Ein Ereignis ist im Sinne der
Statistik und Wahrscheinlichkeit zufällig und nicht vorhersehbar.
Anwendungsgebiete der Statistik und Wahrscheinlichkeit
Spiele und Unterhaltung: Urnenexperiment, Glücksrad, Würfel, Roulette, Lotterie, Toto, Lotto, Fußballwette usw.
Wissenschaft: Physik, Biologie, Medizin, Ethnologie, Industrie usw.
S
A
U
_
B
S
_
A B
U
U
A
A
B
A UB
B
19.5.2004
Axiome.mcd
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2
S
2
S
B
A
_
B
_
A
S
S
B
A
B
B
A
U
U
A
B
A
A
U
A UB
B
Additionsregel
Additions- und Multiplikationsregel werden durch das Venn-Diagramm verdeutlicht.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen gelten die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie für die
Berechnung von Mengen in der Mengenlehre. Für vereinbare Ereignisse A und B gilt die Additionsregel
Q ( A U B) = Q ( A) + Q( B) − Q ( A I B)
.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses mit mehreren Ausprägungen (Merkmalen) in einem
Zufallsexperiment ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen, wenn bei der Aktion, die
das Zufallsexperiment ausmacht, das Ereignis der ersten oder der zweiten oder einer weiteren Ausprägung
erwartet wird. Sind die Ereignisse teilweise vereinbar, müssen auch die Schnittmengen der entsprechenden
Ereignisse berücksichtigt werden.
Rechenbeispiel
Beim Würfelexperiment (Würfelspiel) mit einem Würfel (Hexaeder) beträgt die Anzahl der interessierenden
Ereignisse
nint := 1 .
Die Gesamtzahl der möglichen unvereinbaren Ereignisse beträgt gemäß der Anzahl der ebenen
Begrenzungsflächen des Hexaeders
n := 6
.
Die Wahrscheinlichkeit Q, beim Würfelexperiment mit einem Würfel eine bestimmte vor dem Wurf festgelegte
Augenzahl auf der oben liegenden Würfelfläche zu erhalten, beträgt unter Voraussetzung der
Gleichwahrscheinlichkeit aller Vorgänge und der Benutzung eines idealen Würfels (Hexaeder)
−1
Q := nint ⋅ n
Rechenbeispiel
.
Q = 0.167
Variable und Parameter
k := 2
Anzahl der erwarteten Ereignisse
Bei Wahl der Rechenoption ORIGIN = 0 in MathCad wird der Index des ersten Elementes eines Feldes auf Null
gesetzt. Diese Einstellung muss bei der iterativen Addition und Multiplikation beachtet werden. Die
Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel und einem Wurf eine von k vorher festgelegten, beliebigen, als
Wurfergebnis erwarteten Augenzahlen zwischen 1 und 6 zu würfeln, beträgt nach Anwendung der Additionsregel
und bei Anwendung der iterativen Addition nach MathCad mit Hilfe einer Matrix
19.5.2004
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Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
 6− 1 


Q :=
 −1
6 
3
k −1
 0.167 
Q=

 0.167 
Q0 = 0.167
Q1 = 0.167
k := 2
Q :=
∑
Qi
Q = 0.333 .
i = 0
Im vorliegenden Fall ist die vorher festgelegte Augenzahl k = 2. Die Nummerierung der Einzelwahrscheinlichkeiten
beginnt mit i = 0 (Startindex) und reicht bis k -1 bei der iterativen Summation nach MathCad.
Multiplikationsregel
Die Multiplikationsregel lässt sich durch das gleiche Venn-Diagramm verdeutlichen wie die Additionsregel.
Q ( A I B ) = Q( B) ⋅ QB (A )
Voraussetzung Q( B) ≠ 0
QB(A) ist die durch B bedingte Wahrscheinlichkeit von A.
Q ( A I B) = Q ( A) ⋅ QA ( B)
Voraussetzung Q (A) ≠ 0
QA(B) ist die durch A bedingte Wahrscheinlichkeit von B.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses mit mehreren Ausprägungen (Merkmalen) in einem
Zufallsexperiment, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen, wenn bei der Aktion,
die das Zufallsexperiment ausmacht, das Ereignis der ersten sowohl als auch der zweiten und einer weiteren
Ausprägung erwartet wird.
Die Berechnung von Ereignissen sowie deren Wahrscheinlichkeiten, mit denen sie eintreten, lässt sich auf die
Berechnung von Mengen und deren Gesetzmäßigkeiten zurückführen.
Handelt es sich bei den Ereignissen A und B um unabhängige Ereignisse, entfällt die bedingte Wahrscheinlichkeit
und wird durch die bedingungslose Wahrscheinlichkeit Q(A) bzw. Q(B) ersetzt.
Q ( A I B) = Q( B ) ⋅ Q (A)
Rechenbeispiel
Variable und Parameter
k := 2
Anzahl der Würfel
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem einem Wurf und k (farbig) gekennzeichneten Würfeln eine vorher festgelegte
Konstellation von k den Würfeln zugeordneten Augenzahlen (erwartete Ereignisse) zu würfeln, beträgt bei
Anwendung der iterativen Multiplikation nach MathCad mit Hilfe einer Matrix
Auswertung
6 


 −1
6 
ORIGIN = 0
−1
Q :=
k −1
 0.167 

 0.167 
Q=
Q0 = 0.167
Q1 = 0.167
Q :=
∏
Qi
Q = 0.028 .
i = 0
Die Nummerierung der Einzelwahrscheinlichkeiten beginnt mit i = 0 (ORIGIN = 0 ) und reicht bis k -1 bei der
iterativen Multiplikation nach MathCad. Im vorliegenden Fall handelt es sich um k = 2 Würfel.
Würfelexperiment
Die Produkt- und Additionsregel soll mit Hilfe der relativen Häufigkeit und der Abzählmethode an einem weiteren
Würfelexperiment unter Verwendung von zwei Würfeln nachgeprüft werden. Es soll untersucht werden mit welcher
Wahrscheinlichkeit eine vorher festgelegte Augensumme der beiden Würfel erreicht werden kann.
Das Experiment soll die Axiome plausibel machen, nicht aber beweisen. Das würde dem Charakter der Axiome
widersprechen.
Rechenbeispiel
Variable und Parameter
k := 6
Augenzahl je Würfel
i := 0 .. k − 1
Zählvariable
Erstellen einer Matrix mit den möglichen Augensummen beim Würfeln mit zwei Würfeln
ai := 1
b i := i + 1
c := a + b
d := c + a
e := d + a
f := e + a
g := f + a
Die Matrizenrechnung in MathCad erlaubt es, die Zahlenverhältnisse bei dem Würfelexperiment anschaulich
darzustellen.
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Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
4
1 
 
1 
1 
a= 
1 
1 
 
1 
1 
 
2 
3 
b= 
4 
5 
 
6 
2 
 
3 
4 
c= 
5 
6 
 
7 
3 
 
4 
5 
d= 
6 
7 
 
8 
4
4 
 
5 
6 
e= 
7 
8 
 
9 
5 
 
6 
7 
f=

8 
9 
 
 10 
h1 := erweitern ( a , b )
h2 := erweitern ( 2 ⋅ a , b )
h3 := erweitern ( 3 ⋅ a , b )
h4 := erweitern ( 4 ⋅ a , b )
h5 := erweitern ( 5 ⋅ a , b )
h6 := erweitern ( 6 ⋅ a , b )
6 
 
7 
8 
g=

9 
 10 
 
 11 
m := erweitern ( h1 , h2 , h3 , h4 , h5 , h6)
n := erweitern ( a + b , 2 ⋅ a + b , 3 ⋅ a + b , 4 ⋅ a + b , 5 ⋅ a + b , 6 ⋅ a + b )
Mögliche Augenzahlen der beiden Würfel
0
1
2
3
4
5
6
7
Mögliche Augensummen
8
9
0
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
m= 2
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
3
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
4
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
(
(
⟨ 0⟩ ⟨ 1⟩ ⟨ 2⟩ ⟨ 3⟩ ⟨ 4⟩ ⟨ k − 1⟩
l := sort stapeln n , n , n , n , n , n
2

3
4
n=
5
6

7
10 11
))
[5] S.531
Anzahl gleicher Augensummen
zeilen ( vergleich( 2 , l) ) = 1
p0 , 0 := zeilen ( vergleich( 2 , l) )
p0 , 0 = 1
zeilen ( vergleich( 3 , l) ) = 2
p0 , 1 := zeilen ( vergleich( 3 , l) )
p0 , 1 = 2
zeilen ( vergleich( 4 , l) ) = 3
p0 , 2 := zeilen ( vergleich( 4 , l) )
p0 , 2 = 3
zeilen ( vergleich( 5 , l) ) = 4
p0 , 3 := zeilen ( vergleich( 5 , l) )
p0 , 3 = 4
zeilen ( vergleich( 6 , l) ) = 5
p0 , 4 := zeilen ( vergleich( 6 , l) )
p0 , 4 = 5
zeilen ( vergleich( 7 , l) ) = 6
p0 , 5 := zeilen ( vergleich( 7 , l) )
p0 , 5 = 6
zeilen ( vergleich( 8 , l) ) = 5
p0 , 6 := zeilen ( vergleich( 8 , l) )
p0 , 6 = 5
zeilen ( vergleich( 9 , l) ) = 4
p0 , 7 := zeilen ( vergleich( 9 , l) )
p0 , 7 = 4
zeilen ( vergleich( 10 , l) ) = 3
p0 , 8 := zeilen ( vergleich( 10 , l) )
p0 , 8 = 3
zeilen ( vergleich( 11 , l) ) = 2
p0 , 9 := zeilen ( vergleich( 11 , l) )
p0 , 9 = 2
zeilen ( vergleich( 12 , l) ) = 1
p0 , 10 := zeilen ( vergleich( 12 , l) )
p0 , 10 = 1
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5
6
4 5
6
7
5 6
7
8
6 7
8
9
7 8
9
10


8 
9 

10 
11 

12 
7
8 9 10 11
ORIGIN = 0
Augensummen und ihre Häufigkeit
Anzahl der möglichen Augensummen
3 4
zeilen ( l) = 36
Axiome.mcd
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
5
0
p=
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
5
8
4
9
3
2
5
10
1
Wahrscheinlichkeit Q für das Zustandekommen von gleichen Augensummen mit p Summanden


Q := stapeln  p ,
0
Q= 0


zeilen ( l) 
p
1
1
2
2
3
3
i := 0 .. 10
Wahrscheinlichkeit Q
4
4
5
5
6
6
7
8
5
4
Zählvariable
9
3
10
2
1
1 0.028 0.056 0.083 0.111 0.139 0.167 0.139 0.111 0.083 0.056 0.028
Je mehr Möglichkeiten es für die Bildung einer bestimmten Augensumme gibt, desto größer ist die
Wahrscheinlichkeit, diese Augensumme zu erzielen (Additionsregel).
Je mehr Würfel an dem Experiment teilnehmen umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte
Augenzahl zu erzielen (Multiplikationsregel).
0.2
6
4
Q1 , i
p0 , i
0.1
2
0
5
10
0
5
i
Wahrscheinlichkeit
10
i
Anzahl der möglichen Augensummen
Unmögliches Ereignis
Das unmögliche Ereignis U ist durch die Wahrscheinlichkeit
Q(U) = 0
gekennzeichnet.
Sicheres Ereignis
Das sichere Ereignis S ist durch die Wahrscheinlichkeit
Q(S) = 1
gekennzeichnet.
Es tritt dann mit Sicherheit irgendein Ereignis aus dem Ereignisraum ein.
Unabhängigkeit
Von z.B. zwei Ereignissen A und B beeinflusst das Ereignis A nicht das Ereignis B. Das Ereignis B ist vom
Ereignis B unabhängig.
Kriterium für die Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse A und B:
Q ( A I B) = Q( B ) ⋅ Q (A)
Unvereinbarkeit
Die Ereignisse schließen sich gegenseitig aus. Von zwei Ereignissen tritt entweder das eine oder das andere ein.
Dadurch sind sie aber voneinander abhängig.
Kriterium für die Wahrscheinlichkeit zweier unvereinbarer Ereignisse A und B:
Q( A I B ) = 0
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6
Bedingung
Von z.B. zwei Ereignissen A und B kann Ereignis A unter der Bedingung geschehen, dass das Ereignis B eintritt
und das Ereignis B kann unter der Bedingung geschehen, dass das Ereignis A eintritt.
Kriterium für die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B:
Q ( A I B ) = Q( A) ⋅ QA ( B) = Q (B ) ⋅ QB ( A)
Normierung
Wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten irgendeines, also eines nicht bestimmten Ereignisses aus dem
gesamten Ereignisraum gleich 1 ist, dann muss das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über den gesamten
Ereignisraum gleich 1 sein. Diese Bedingung muss von der Wahrscheinlichkeitsdichte notwendigerweise erfüllt
werden. Das Integral erstreckt sich über den gesamten Definitionsbereich der Wahrscheinlichkeitsdichte.
Andererseits kann jede mathematische Funktion, die diese Bedingung erfüllt, als Wahrscheinlichkeitsdichte
fungieren oder mit Hilfe der Normierung dazu gemacht werden. In der Statistik sind viele solcher Funktionen
bekannt, z.B. die Wahrscheinlichkeitsdichte der Gaußschen Normalverteilung.
Einzelheiten und Rechenbeispiele sind in den Kapiteln Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und Stetige
Wahrscheinlichkeitsverteilung zu finden.
Axiome
1. Anwendungen und Definitionen in der Ereignisalgebra (Mengenlehre)
2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Q(A) wird durch eine nicht negative reelle Zahl angegeben.
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses S beträgt Q(S) = 1
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses U beträgt Q(U) = 0
3. Additions- und Multiplikationsregel
Jedes statistische Problem bedarf einer sorgfältigen Analyse. Nur die formale Anwendung der Axiome führt nicht
zum Ziel. Der Vorgang, Zustand oder dgl., über den eine statische Aussage gemacht werden soll, muss zuerst mit
allen Konsequenzen durchdacht werden.
Man unterscheidet die beschreibende und die beurteilende Statistik.
In der beschreibenden Statistik wird ungeordnetes Datenmaterial (Rohdaten, Urlisten, Bandaufzeichnungen,
Erhebungen, Beobachtungen usw.) geordnet, ausgewertet, grafisch aufbereitet und rechnerisch hinsichtlich der
interessierenden Maßzahlen (Mittelwert, Streuung usw.) untersucht.
In der beurteilenden Statistik werden aus den gewonnen Daten Rückschlüsse gezogen, die die Probleme in dem
untersuchten Bereich lösen oder eine Verbesserung und Weiterentwicklung ermöglichen sollen. Da bei jedem
Ordnen und Zusammenfassen von Daten Einzelheiten verloren gehen, muss die rechnerische Aufbereitung und
Auswertung mit großer Sach- und Fachkenntnis auf dem untersuchten Gebiet vorgenommen werden, damit aus
der Statistik auch Nutzen gezogen werden kann.
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