Quantenmechanik II - Institut für Theoretische Physik

Quantenmechanik II
TU Berlin, WS 2011/12
Prof. Dr. T. Brandes
7. Februar 2012
INHALTSVERZEICHNIS
1. Relativistische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Die Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Klein-Gordon-Gleichung und Relativitätstheorie . . . . . . .
1.1.2 Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Klein-Gordon-Gleichung im (Vektor)potential, Eichinvarianz
1.1.4 Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Potential . . . . . . . .
1.2 Die Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die Clifford-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Wiederholung: Paulimatrizen und Spin 21 . . . . . . . . . . .
1.2.3 Spinoren und Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Nichtrelativistischer Grenzfall, Pauli-Gleichung . . . . . . . .
1.2.5 Relativistische Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Lorentz-Invarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Lösungen der freien Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Spin, Helizität und Chiralität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Die Zitterbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . .
2.1 Störungsentwicklung der Diracgleichung . . . . . .
2.1.1 Entwicklung nach 1c . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Spin-Bahn-Wechselwirkung . . . . . . . . .
2.2 Drehimpulsaddition . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wiederholung zum Drehimpuls (QM1) . . .
2.2.2 Eigenzustände |jmi . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Rekursion für Clebsch-Gordan-Koeffizienten
2.2.4 Fall j1 = 12 , j2 = 21 (Zwei Spin- 21 -Teilchen) .
2.2.5 Fall j1 = l (Bahndrehimpuls), j2 = 12 (Spin)
2.3 Feinstrukturniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Wiederholung: Wasserstoffatom . . . . . . .
2.3.2 Anteil Vkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Anteil VSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Anteil VDarwin . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Feinstrukturenergie und Entartung . . . . .
2.4 Die Hyper-Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
3. Vielteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Bosonen und Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Unterscheidbare Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Zwei ununterscheidbare Teilchen, Transpositionsoperator .
3.1.3 Permutationen von N ununterscheidbare Teilchen . . . . .
3.1.4 Basis für Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Basis für Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Spin-Statistik-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Austauschwechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Heitler-London-Theorie des Wasserstoff-Moleküls . . . . . .
3.2.2 Austausch und Heisenberg-Hamiltonian . . . . . . . . . . .
3.2.3 Austauschwechselwirkung in einem Elektronengas . . . . .
3.3 Die Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Besetzungszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Besetzungszahlen beim harmonischen Oszillator, Phononen
3.3.3 Zweite Quantisierung für Bosonen . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Zweite Quantisierung für Fermionen . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Operatoren in zweiter Quantisierung . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Basiswechsel. Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Anwendung: Fermi- und Boseverteilung . . . . . . . . . . .
3.4 Die Hartree-Fock-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Erwartungswerte der Energie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Hartree-Fock-Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Hartree-Fock-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Koopmans Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Translationsinvariante Systeme, Magnetismus . . . . . . . .
3.5 Schwach wechselwirkende Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Einteilchendichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Wechselwirkende Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Effektive Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Die Bogoliubov-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.7 Die Bogoliubov-Transformation bei Supraleitern . . . . . .
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4. Streutheorie und Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . .
4.1 Zeitunabhängige Potentialstreuung . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Lippmann-Schwinger-Gleichung . . . . . . . . . .
4.1.2 Streuamplitude, Bornsche Näherung . . . . . . .
4.1.3 Formale Störungstheorie und Greensche Funktion
4.1.4 Gebundene Zustände und Zustanddichte . . . . .
4.2 Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Licht und Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Normalkoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Quantisierung der Normalmoden: Phononen
5.2 Quantisierung des Elektromagnetischen Feldes . . .
5.2.1 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Normalmoden . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Wechselwirkung des Feldes mit Ladungen . . . . .
5.3.1 Hamilton-Funktion . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Die Dipolnäherung . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Modell-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Zweiniveau-Modelle . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Semiklassische Modelle . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Getriebenes Zweiniveausystem . . . . . . .
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4.3
4.4
4.5
4.2.2 Konstantes Potential V . . . . . . . .
4.2.3 Fermis Goldene Regel . . . . . . . . .
Streutheorie in einer Dimension . . . . . . . .
4.3.1 Normierung ebener Wellen . . . . . .
4.3.2 Streuzustände . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Die S-Matrix in einer Dimension . . .
Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Deltabarrieren in einer Dimension . .
4.4.2 Streuphase δ(k) . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Resonanzen im d = 1–Modell . . . . .
Partialwellenanalyse . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Einschub: Einige spezielle Funktionen
4.5.2 Streuphasen . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Streuphasen in Bornscher Näherung .
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6. Wechselwirkende Quantensysteme . . . . . . . . . . . .
6.1 Heisenberg-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Grundzustand (Ferromagnetismus) . . . .
6.1.2 Angeregte Zustände im ferromagnetischen
6.1.3 Holstein-Primakoff-Transformation . . . .
6.2 Jordan-Wigner-Transformation . . . . . . . . . .
6.2.1 Fermionisierung von Spins . . . . . . . . .
6.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . .
6.3 Spinketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Heisenberg-Ferromagnet . . . . . . . . . .
v
Inhaltsverzeichnis
6.4
6.5
6.6
6.3.2 xy–Modell . . . . . . . . . . . . . .
Das Quanten-Ising-Modell (d = 1) . . . .
6.4.1 Extreme Grenzfälle . . . . . . . . .
6.4.2 Störungstheorie um J = 0 . . . . .
6.4.3 Störungstheorie um g = 0 . . . . .
6.4.4 Exakte Lösung . . . . . . . . . . .
6.4.5 Der Quantenphasenübergang . . .
Das Lipkin-Meshkov-Glick-Modell . . . .
6.5.1 Klassische Betrachtung . . . . . .
6.5.2 Holstein-Primakoff-Transformation
Spontane Symmetriebrechung . . . . . . .
6.6.1 Goldstone-Theorem . . . . . . . .
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T.
Brandes 2012
Inhaltsverzeichnis
1
Wiederum verwende ich für dieses Vorlesungsskript eine Reihe von Textbüchern oder
Skripte von Kollegen. Im Folgenden sind davon meist nur die AUTORENNAMEN angegeben.
T. Brandes, Berlin 2011.
1. RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
1.1
Die Klein-Gordon-Gleichung
(Skript FREDENHAGEN, QM II, Hamburg, Lehrbuch SCHERZ)
In der Quantenmechanik hatten wir Wellenpakete für Teilchen der Masse m in d
Raumdimensionen als Überlagerung von ebenen Wellen aufgestellt;
Z
−d/2
Ψ(x, t) = (2π)
dd kφ(k)e−iω(k)t+ikx .
(1.1)
Die Dispersionsrelation für nicht-relativistische Teilchen folgte aus der de-Broglie-Beziehung
(SKRIPT QM 1) zu
k2
,
(1.2)
2m
wobei hier und im Folgenden meist ~ = 1 gesetzt wird. Daraus folgte die nicht-relativistische
Schrödingergleichung für ein freies Teilchen in der Form
ω(k) =
i∂t Ψ = ĤΨ,
Ĥ ≡ −
1
∆
2m
(1.3)
mit dem Laplace-Operator ∆.
Um das relativistisch zu verallgemeinern, erinnern wir uns an die relativische EnergieImpuls-Beziehung
p
E = p2 c2 + m2 c4 ,
(1.4)
wobei p = |p| der Impulsbetrag ist und p = ~k. Mit ~ω = E folgt also
p
ω(k) = k2 + m2 , relativistische Dispersionsbeziehung ,
(1.5)
wobei hier und im Folgenden meist c = 1 für die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit gesetzt
wird. Das Wellenpaket Ψ(x, t) erfüllt dann die Gleichung
2
∂
2
− ∆ + m Ψ(x, t) = 0, Klein-Gordon-Gleichung ,
(1.6)
∂t2
was man häufig mit Hilfe von
≡
kompakt schreibt als
∂2
− ∆,
c2 ∂t2
d’Alembert-Operator
(1.7)
3
1. Relativistische Quantenmechanik
m2 c2
+ 2
~
Ψ(x, t) = 0,
Klein-Gordon-Gleichung ,
(1.8)
wobei wir c und ~ re-installiert haben. Hierbei tritt eine charakteristische Längenskala
auf, nämlich
λc ≡
~
,
mc
Compton-Wellenlänge,
(1.9)
die bei der relativistischen Streuung von quantenmechanische Teilchen aneinander eine
Rolle spielt.
Die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt die Kontinuitätsgleichung (AUFGABE)
∂t ρ + divj = 0
(1.10)
mit den Definitionen
j ≡
ρ ≡
1
(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ )
2im
i
(Ψ∗ ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ∗ ) .
2m
(1.11)
(1.12)
Die Stromdichte j ist hier wie in der Schrödingergleichung definiert. Die ‘Dichte’ ρ allerdings ist hier zwar reell, aber i.A. nicht positiv, was die Interpretation von ρ schwieriger
macht. Allerdings gilt für positive Frequenzen ω(k) für das räumliche Integral
Z
dd ρ(x, t)
Z
1
′
′
=
dd xdd kdd k′ (φ∗ (k)φ(k′ )e−i(k −k)x ω(k′ )ei(ω(k)−ω(k ))t
d
(2π) 2m
′
′
+ φ∗ (k′ )φ(k)e−i(k−k )x ω(k))e−i(ω(k)−ω(k ))t
Z
1
=
dd kω(k)|φ(k)|2 > 0.
(1.13)
m
√
Allerdings erfüllen auch Wellenpakete mit ω(k) = − k2 + m2 die KG-gleichung, und
man hat ein Problem mit der Interpretation von Teilchen mit negativen (Gesamt)energien.
Auch in der Verallgemeinerung der KG-Gleichung auf Teilchen mit Spin (Dirac-Gleichung)
tritt diese Problematik auf. Zufreidenstellend gelöst wird sie erst in der Quantenfeldtheorie, wo Ψ(x, t) nicht mehr als Wellenfunktion eines Teilchens, sondern als Feldoperator
für die Teilchenvernichtung (bzw. -erzeugung) interpretiert wird.
Die KG-Gleichung ist mathematisch als hyperbolische partielle Differentialgleichung
eine Wellengleichung und verlangt deshalb für das Lösen eines Anfangswertproblems die
Angabe nicht nur von Ψ(x, t0 ), sondern auch der zeitlichen Ableitung zur Anfangszeit
t0 .
4
1. Relativistische Quantenmechanik
1.1.1
Klein-Gordon-Gleichung und Relativitätstheorie
In Matrix-Form lautet eine spezielle Lorentz-Transformation für eine Relativbewegung
entlang der parallel gelegten x- und x′ -Achsen (SKRIPT ELEKTRODYNAMIK)
′ 1
v
1 −β
ct
ct
=γ
, β≡ , γ=q
.
(1.14)
2
x′
−β 1
x
c
1 − vc2
Ausgeschrieben für alle Komponenten haben wir natürlich eine 4 × 4-Matrix,
 ′  


γ
−γβ 0 0
ct
ct
 x′   −γβ


γ
0 0 
 

 x 
 y′  =  0


0
1 0
y 
′
z
0
0
0 1
z
(1.15)
Es gilt nun
Satz 1. Unter Lorentztransformationen ist die Klein-Gordon-Gleichung forminvariant,
d.h. φ(x, t) = 0 ↔ ′ φ′ (x′ , t′ ) = 0.
Der Strich ′ bedeutet hierbei nicht die Ableitung, sondern bezeichnet ein anderes
Inertialsystem K ′ . Zum Beweis (AUFGABE) zeigen wir, dass unter einer Lorentztransformation vom Inertialsystem K zum Inertialsystem K ′ der d’Alembert-Operator von in ′ übergeht. Hierzu transformiert man zunächst die Ableitungen
∂
∂x
∂ ∂
∂x ∂x
∂ ∂
∂t ∂t
∂x′ ∂
∂ ∂t′
∂
γβ ∂
+
=γ ′ −
′
′ ∂x
∂x
∂x
∂t
∂x
c ∂t′ ∂
γβ ∂
γβ ∂
∂
=
γ ′−
γ ′−
∂x
c ∂t′
∂x
c ∂t′
=
= ...,
(1.16)
entsprechend,
um nachzuprüfen, dass der d’Alembert-Operator in der Tat ein Lorentzskalar ist (SKRIPT
ELEKTRODYNAMIK). Weiterhin wird die Wellenfunktion Ψ(x, t) hierbei im Sinne der
Relativitätstheorie als ein Skalarfeld, d.h. als ein Tensorfeld nullter Stufe, aufgefasst, das
sich selbst von Ψ(x, t) → Ψ′ (x′ , t′ ) transformiert.
Physikalisch ist es auch klar, dass die KG-Gleichung als Wellengleichung lorentzinvariant sein muss, denn sie reduziert sich für m = 0 auf die herkömmliche, aus der
Elektrodynamik bekannte Wellengleichung, die aus den lorentzinvarianten Maxwellgleichungen folgt. In der Tat wird der Wert für c aus der Wellengleichung für Licht benutzt,
um den zunächst unbestimmten Parameter in den Lorentztransformationen festzulegen
(SKRIPT ELEKTRODYNAMIK, Lehrbuch GOENNER). Die Ruhmasse m in der KGGleichung kann weiterhin als Skalar nichts an dieser Forminvarianz ändern.
5
1. Relativistische Quantenmechanik
1.1.2
Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung
Nach Konstruktion sind analog zur Schrödingergleichung die ebenen Wellen Lösungen
der Klein-Gordon-Gleichung, d.h. Lösungen der Form
√
i
2 4
2 2
Ψp (x, t) = e∓ ~ m c +p c t+ipx ,
(1.17)
wobei p der (räumliche) Impuls ist. Wie bereits oben erwähnt, erhalten wir sowohl
√
√
Lösungen mit positiver Energie −i/~ .., als auch mit negativer Energie, i/~ ...
1.1.3
Klein-Gordon-Gleichung im (Vektor)potential, Eichinvarianz
(vgl. SKRIPT QUANTENMECHANIK) Wir erinnern uns zunächst, daß sich das elektromagnetische Feld der Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe eines skalaren Potentials
Φ = Φ(x, t) und eines Vektorpotentials A = A(r, t) schreiben läßt als
B = rotA,
Magnetfeld
∂
E = −∇Φ − A, Elektrisches Feld ,
∂t
(1.18)
(1.19)
wobei E = E(x, t) und B = B(x, t) dreidimensionale Vektorfelder sind. Die Potentiale
sind allerdings nicht eindeutig festgelegt: E und B sind invariant unter Eichtransformationen,
A(x, t) → A(x, t) + ∇χ(x, t)
∂
Φ(x, t) → Φ(x, t) − χ(x, t),
∂t
(1.20)
(1.21)
wobei χ(x, t) eine beliebige (differenzierbare) skalare Funktion sein kann, was man direkt
durch Einsetzen nachprüft (AUFGABE). In der klassischen Mechanik baut man E und
B in die Hamiltonfunktion H eines freien Teilchens mit Masse m und Ladung e ein durch
die Ersetzungsvorschrift
(p − ec A(x, t))2
p2
→H=
+ eΦ(x, t),
(1.22)
2m
2m
was über die Hamiltonschen Gleichungen zu den korrekten Newtonschen Gleichungen
mit der Lorentzkraft führt,
H=
mẍ = e (ẋ × B + E) ,
Lorentzkraft.
(1.23)
Man sagt, die Newtonschen Gleichungen sind eichinvariant, da in ihnen nur E und
B auftreten und sie sich unter Eichtransformationen, Gl. (1.20), nicht ändern. Diese
Eichinvarianz wird in der QM eine noch größere Rolle spielen (s.u.).
In der nichtrelativistischen Quantenmechanik erhalten wir den Hamiltonoperator für
die Schrödingergleichung eines Teilchens mit Masse m und Ladung e im elektromagnetischen Feld,
(p̂ − ec A)2
∂
+ eΦ Ψ.
(1.24)
i~ Ψ = ĤΨ =
∂t
2m
6
1. Relativistische Quantenmechanik
über die (heuristische) Ersetzungsvorschrift
e
p → p − A,
c
∂
∂
→
+ ieΦ,
∂t
∂t
minimale Kopplung ,
(1.25)
wobei das Korrespondenzprinzip
p→
~
∇
i
(1.26)
für den Impulsoperator benutzt wird. Zumindest für A = 0 kennen wir das bereits als
Schrödingergleichung eines Teilchens im (skalaren) Potential V (x, t) = eΦ(x, t). Was
wird aus der Eichinvarianz in der QM? Es gilt
Satz 2. Die Schrödingergleichung Gl. (1.24) eines Teilchens mit Masse m und Ladung
e im elektromagnetischen Feld ist invariant unter
A(x, t) → A(x, t) + ∇χ(x, t)
∂
Φ(x, t) → Φ(x, t) − χ(x, t)
∂t
i ~e χ(x,t)
,
Ψ(x, t) → Ψ(x, t)e
(1.27)
(1.28)
(1.29)
wobei χ(x, t) eine differenzierbare skalare Funktion ist.
(vgl. SKRIPT QUANTENMECHANIK).
Für die Klein-Gordon-Gleichung benutzen wir jetzt das allgemeinere Prinzip der
minimalen Kopplung. Unsere Klein-Gordon-Gleichung lautet dann
"
#
2
∂
2
2
+ ieΦ − (∇ − ieA) + m Ψ = 0, ~ = c = 1.
(1.30)
∂t
AUFGABE (vgl. SKRIPT QUANTENMECHANIK): Wir wollen die allgemeine Form
p̂2
und dem
des Hamiltonoperators Ĥ in Gl. (1.24) aus dem freien Hamiltonian Ĥ = 2m
Prinzip der lokalen Eichinvarianz herleiten: Lokale Eichtransformationen der Wellenfunktion
Ψ(x, t) → Ψ̃(x, t) ≡ Ψ(x, t)eiϕ(x,t)
(1.31)
sollen nichts an der Physik ändern, d.h wenn Ψ(x, t) Lösung einer zeitabhängigen Schrödingergleichung SG ist, so soll auch Ψ̃(x, t) eine äquivalente Lösung einer äquivalenten zeitabhängigen
˜ sein.
Schrödingergleichung SG
∂
zu kovarianten AbleitunZeige, daß durch Verallgemeinerung der Ableitungen ∇ und ∂t
gen
∇ → D,
∂
→ D0
∂t
(SG),
∇ → D̃,
∂
→ D̃0 ,
∂t
˜
SG
(1.32)
7
1. Relativistische Quantenmechanik
das Prinzip der lokalen Eichinvarianz erfüllt werden kann. Mache hierzu den Ansatz
D̃ = ∇ + f (x, t),
D̃0 =
∂
+ g(x, t)
∂t
(1.33)
mit den Eichfeldern f (x, t) und g(x, t) und berechne damit, wie sich die Eichfelder transformieren müssen, wenn man
D̃Ψ̃ = eiϕ(x,t) DΨ,
D̃0 Ψ̃ = eiϕ(x,t) D0 Ψ
(1.34)
−1 2
fordert. Ersetze nun in der ursprünglich freien SG, i∂t Ψ = 2m
∇ Ψ die Ableitungen durch
˜
die entsprechenden kovarianten Ableitungen. Schreibe die neugewonnene SG sowie SG
auf. Identifiziere die Eichfelder f (x, t) und g(x, t) durch Umbenennung als Vektorpotential A bzw. skalares Potential Φ der Elektrodynamik.
Aus der Forderung nach lokaler Eichinvarianz der SG haben wir damit aus der ursprünglich freien Theorie eine Theorie mit Eichfeldern hergeleitet, deren Existenz ein
Indiz für die Existenz elektromagnetischer Erscheinungen ist. Dieses Prinzip spielt weiterhin eine große Rolle bei der Formulierung moderner, ‘fundamentaler’ Theorien der
Materie als Eichtheorien (z.B. Quantenchromodynamik).
1.1.4
Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Potential
Für das Coulombpontential mit A = 0 und eΦ = − Zα
r erhalten wir eine Klein-GordonGleichung 1
#
"
2
∂
(1.35)
+ ieΦ − ∆ + m20 Ψ = 0,
∂t
die ähnlich wie beim Wasserstoff-Problem durch einen Separationsansatz
Ψ(r, θ, φ, t) = e−iEt Ylm (θ, φ)
χ(r)
r
(1.36)
mit Kugelflächenfunkionen Ylm (θ, φ) gelöst werden kann. Durch Vergleich mit der Schrödingergleichung für das Wasserstoff-Problem erhält man (AUFGABE)
n
Z 2 α2 Z 4 α4 3
6 6
−
+
+
O(Z
α
)
,
(1.37)
E = ±m0 1 −
2n2
n4
8 2l + 1
wobei α die Feinstrukturkonstante ist. Weiterhin bezeichnet n ≡ nr +l+1 die Hauptquantenzahl, mit der Radialquantenzahl nr . Der dritte term ist die relativistische Korrektur
zur kinetischen Energie.
Allerdings wird der Spinfreiheitsgrad durch die Klein-Gordon-Gleichung nicht erfasst, weshalb dieses Ergebnis ungeeignet zur Analyse der Feinstruktur der WasserstoffSpektren ist. Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt Spin-0 Teilchen, z.B. π-Mesonen.
Für Spin 12 wie beim Elektron wenden wir uns nun deshalb der Dirac-Gleichung zu.
1
Wir benutzten m0 für die Masse, um eine Verwechslung mit der Quantenzahl m zu vermeiden.
8
1. Relativistische Quantenmechanik
1.2
Die Dirac-Gleichung
(Skript FREDENHAGEN, Textbuch SCHERZ). Die Klein-Gordon-Gleichung
2
∂
i − eΦ Ψ = (p − eA)2 + m2 Ψ = 0, ~ = c = 1,
∂t
läßt sich durch ‘Wurzelziehen’ umschreiben in
p
∂
i Ψ = ± (p − eA)2 + m2 + eΦ Ψ.
∂t
(1.38)
(1.39)
Aus der Wurzel läßt sich durch Entwickeln die Schrödingergleichung zurückgewinnen mir
dem Ruheenergie-Zusatzterm mc2 . Allerdings stört die Quadratwurzel!.
Dirac’s Ansatz war deshalb eine Linearisierung der Gleichung in der Form
i
∂
Ψ = ĤΨ, Ĥ = eΦ + α(p − eA) + βm
∂t
(1.40)
mit zu bestimmenden Größen (Operatoren) α = (α1 , α2 , α3 ) und β. Sie sollen so gewählt
sein, daß die Kommutatoren mit den Impuls-Operatoren verschwinden;
[αi , pj ] = [β, pj ] = 0.
(1.41)
Weiterhin soll für verschwindene Potentiale A = Φ = 0 wieder Ĥ =
also
p2 + m2 = (αp + βm)2 .
p
p2 + m2 gelten,
(1.42)
Der Vergleich liefert
β 2 = 1,
1.2.1
αi β + βαi = 0,
αi αj + αj αi = 2δij ,
i = 1, 2, 3,
Clifford-Algebra. (1.43)
Die Clifford-Algebra
Die αi , β erzeugen eine Algebra, die sich durch 4× 4-Matrizen darstellen läßt. Das wollen
wir im Folgenden herleiten.
• Die αi , β sollten als Operatoren im Hamiltonoperator Ĥ hermitesch sein, denn Ĥ
soll nur reelle Eigenwerte haben;
αi = α†i ;
β = β†.
(1.44)
• Weiterhin folgt aus β 2 = α2i = 1, daß β = β † = β −1 , also ist β unitär, genauso
sind die αi unitär.
• Es gilt für die Spuren der Operatoren
αi = −βαi β −1
Trαi = −Trβαi β −1 = −Trαi ,
(1.45)
da die Spur zyklisch ist. Also sind die αi spurlos, Trαi = 0. Ebenso ist β spurlos,
Tr β = 0.
9
1. Relativistische Quantenmechanik
• Eine diagonalisierbare Matrix, deren Quadrat die Einheitsmatrix ist, kann nur die
Eigenwerte ±1 haben. Deshalb haben die αi , β die Eigenwerte ±1. Da andererseits
die Summe der Eigenwerte gleich der Spur ist, die aber Null sein muß, muss die
Dimension d der Matrizen αi , β notwendigerweise gerade sein, also d = 2, 4, 6, ...
Im nächsten Schritt zeigt man jetzt, dass die Clifford-Algebra, die ja vier Operatoren
αi , β enthält, sich nicht durch 2×2-Matrizen (d = 2) darstellen läßt: Zunächst betrachten
wir die Anzahl p reeller Parameter, die eine beliebige d × d-Matrix haben kann: Es ist
p = 2d2 (Real- und Imaginärteil). Weiterhin gilt für komplexe, hermitesche d×d-Matrizen
p = d(Diagonale) +d2 − d(Außerdiagonalen), insgesamt also p = d2 . Schließlich für d × dMatrizen M = M † mit TrM = 0 (spurlos): p = d2 − 1, denn mit der Spur hat man eine
Zusatzbedingung.
Im Fall d = 2 lassen sich hermitesche, spurlose Matrizen M = M † , TrM = 0 also
mit p = 3 reellen Parametern parametrisieren, und zwar am günstigsten in der Basis der
Pauli-Matrizen.
1.2.2
Wiederholung: Paulimatrizen und Spin
1
2
(SKRIPT QUANTENMECHANIK) Aus der Drehimpuls-Algebra in QM I kennen wir
bereits die Möglichkeit halbzahliger Werte für die Drehimpulsquantenzahl j. Mit j = 12
gibt es dann zwei Möglichkeiten für die entsprechende Quantenzahl m, nämlich m = ± 12 .
Deshalb postuliert man: Das Elektron hat einen Eigendrehimpuls (Spin) vom Betrag ~/2
mit zwei Projektionen ±~/2, der mit einem magnetischen Moment verknüpft ist. Es gilt
dann
Satz 3. Der Operator des Spin-Drehimpulses S des Elektrons erfüllt wie alle Drehimpulse [Sj , Sk ] = iǫjkl Sl ; insbesondere gilt
1
1
, m=± .
(1.46)
2
2
Eine explizite Darstellung der Spinoperatoren erfolgt durch die Pauli-Matrizen σi mittels Si = ~2 σi (mit σ1 ≡ σx , σ2 ≡ σy ,σ3 ≡ σz ),
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
.
(1.47)
1 0
i 0
0 −1
S 2 |smi = s(s + 1)|smi,
S3 |smi = m|smi,
s=
Die Pauli-Matrizen haben die Eigenschaft
σx2 = σy2 = σz2 = 1
σx σy + σy σx = 0,
(1.48)
σx σz + σz σx = 0,
σz σy + σy σz = 0
(1.49)
Der Beweis der Vertauschungsrelationen [Sj , Sk ] = iǫjkl Sl mit Si = ~2 σi sowie der
angegebenen Eigenschaften der Pauli-Matrizen erfolgt durch direktes NACHRECHNEN.
Für die Pauli-Matrizen beweist man durch explizites Nachrechnen:
σj σk = iǫjkl σl + δjk 1
(1.50)
sowie für den Kommutator [σj , σk ] bzw. den Antikommutator {σj , σk } ≡ σj σk + σk σj :
10
1. Relativistische Quantenmechanik
[σj , σk ] = 2iǫjkl σl ,
{σj , σk } = 2δjk 1
(1.51)
Der abstrakte Hamiltonoperator im Raum der Spin-Zustände ist eine 2 × 2-Matrix, die
z.B. die Wirkung bes Magnetfelds auf den Spin eines Elektrons beschreibt. Allgemein
gilt
Satz 4. Der Hilbertraum H der inneren Spin-Zustände ein Spin- 12 -Teilchens (kurz ’Spin1
2
2 ’) ist der komplexe Vektorraum H = C , der z.B. von den zwei Eigenzuständen von
σz
1
0
| ↑iz ≡ | ↑, ez i ≡
, | ↓iz ≡ | ↓, ez i ≡
(1.52)
0
1
aufgespannt wird. Jeder Spinzustand |χi ist eine Linearkombination |χi = α| ↑iz + β| ↓iz
mit α, β ∈ C. Alle linearen Operatoren  auf H lassen sich durch Linearkombinationen
der Paulimatrizen und der Einheitsmatrix 1̂ darstellen,
 = c0 1̂ + c1 σ1 + c2 σ2 + c3 σ3 ≡ c0 1̂ + σc,
ci ∈ C
mit c = (c1 , c2 , c3 ) und dem Vektor der Pauli-Matrizen σ = (σ1 , σ2 , σ3 ),
0 1
0 −i
1 0
σ=
,
,
1 0
i 0
0 −1
(1.53)
(1.54)
Zum Beweis: Der C2 hat die angegebene Basis. Die linearen Operatoren auf C2
sind die linearen Abbildungen, die durch 2 × 2-Matrizen dargestellt werden, für die es
eine Basis aus vier linear unabhängigen Matrizen gibt. Die σi und 1̂ sind aber linear
unabhängig und bilden deshalb eine solche Basis. QED.
Schließlich ist eine weitere nützliche Eigenschaft der Pauli-Matrizen wie folgt gegeben
(AUFGABE)
Satz 5. Für den Vektor der Pauli-Matrizen σ = (σ1 , σ2 , σ3 ), einen reellen Einheitsvektor
n und einen reellen Parameter α gilt
eiασ n = (cos α)1̂ + i(sin α)σn.
(1.55)
1.2.3
Spinoren und Dirac-Gleichung
Die Pauli-Matrizen sind drei linear unabhängige, hermitesche, antikommutierende spurlose Matrizen. Um die Clifford-Algebra Gl. (1.43) zu realisieren, benötigen wir aber vier
solcher Matrizen! Deshalb kann Gl. (1.43) nicht mit 2 × 2-Matrizen dargestellt werden,
sondern wir brauchen zumindest 4 × 4-Matrizen.
Diese werden gewählt als
0 σi
1 0
αi =
, β=
,
(1.56)
σi 0
0 −1
wobei die Einträge die Paulimatrizen bzw. die 2 × 2-Einhietsmatrix bezeichnet. Wir
PRÜFEN nach, daß damit die Clifford-Algebra Gl. (1.43) erfüllt ist. Entsprechend sind
die Wellenfunktionen Ψ in der Diracgleichung,
11
1. Relativistische Quantenmechanik
i
∂
Ψ = (αp + βm)Ψ,
∂t
Dirac-Gleichung
also vierkomponentige Spinoren,

Ψ1 (x)
 Ψ2 (x)
Ψ(x) = 
 Ψ3 (x)
Ψ4 (x)


,

(1.57)
x ≡ (ct, x).
(1.58)
Wir leiten jetzt die Kontinuitätsgleichung für die Dirac-Gleichung her. Dazu multiplizieren wir sie mit Ψ† bzw. ihr Konjugiertes mit Ψ,
iΨ† Ψ̇ = Ψ† (−iα∇ + βm)Ψ,
−iΨ̇† Ψ = i(∇Ψ† )αΨ + mΨ† βΨ,
(1.59)
und Subtraktion führt auf
3
i
X
∂ † Ψ† αk ∂k Ψ + ∂k Ψ† αk Ψ
Ψ Ψ
= −iΨ† α(∇Ψ) − i(∇Ψ)† αΨ = −i
∂t
k=1
= −i
3
X
k=1
∂k Ψ† αk Ψ .
(1.60)
Das hat die Form einer Kontinuitätsgleichung
ρ̇ + divj = 0
(1.61)
†
ρ ≡ Ψ Ψ,
†
Wahrscheinlichkeitsdichte
j ≡ cΨ αΨ,
Wahrscheinlichkeits-Stromdichte,
(1.62)
(1.63)
wobei wir in j wieder die Lichtgeschwindigkeit (die vorher c = 1 war) eingesetzt haben.
Man beachte, daß sich die Wahrscheinlichkeitsdichte jetzt aus dem positiv definiten
Skalarprodukt der 4 Spinorkomponenten ergibt!
1.2.4
Nichtrelativistischer Grenzfall, Pauli-Gleichung
(GREINER Bd. 6) Wir bauen (Vektor)Potentiale in die Dirac-Gleichung wieder über die
minimale Kopplung ein,
i
∂
Ψ = (α(p − eA) + βm + eΦ)Ψ.
∂t
Wir zerlegen den obigen Vierer-Spinor Ψ in zwei Zweier-Spinoren,
2
φ
χ
φ
1
1
t
−i mc
, χ=
Ψ=
e ~ , φ=
φ2
χ2
χ
(1.64)
(1.65)
12
1. Relativistische Quantenmechanik
Aus der Dirac-Gleichung folgt dann
∂
φ
0
σ(p − eA)χ
φ
2
− 2mc
,
+ eΦ
i
=
χ
χ
σ(p − eA)φ
∂t χ
(1.66)
wobei wir in allen Feldern die Raum- und Zeitargumente aus Notationsgründen weglassen.
Jetzt machen wir für die untere Komponente χ die Näherung
mc2 |χ| ≫ |i~
∂
χ|, |eΦχ|
∂t
(1.67)
als heuristischen Ansatz, der für sehr große Ruheenergien mc2 im Vergleich zur potentiellen Energie |eΦχ| gut sein sollte (FRAGE: wie kann man das Vernachlässigen von
∂
|i~ ∂t
χ| heuristisch begründen?). Es folgt dann der lineare Zusammenhang zwischen den
Komponenten,
χ≈
1
σ(p − eA)φ,
2mc2
(1.68)
den wir in den oberen Teil einsetzen, was
i
∂
1
φ=
(σ(p − eA))2 φ + eΦφ
∂t
2m
(1.69)
liefert. Um das auszuwerten, benutzen wir
Satz 6. Sei σ der Vektor der Paulimatrizen und A = (A1 , A2 , A3 ), B = (B1 , B2 , B3 )
beliebige vektorwertige Operatoren. Dann gilt
(σA)(σB) = AB + iσ(A × B).
(1.70)
Das NACHRECHNEN hiervon erfolgt mit den (Anti) Kommutatoreigenschaften der
Paulimatrizen. Man verwendet schließlich die Beziehung (NACHRECHNEN)
(p − eA) × (p − eA) = ie~rotA = ie~B
zur Herleitung von
1
e~
∂
2
i~ φ =
(p − eA) φ −
σB + eΦ φ,
∂t
2m
2m
Pauli-Gleichung.
(1.71)
(1.72)
Die Pauli-Gleichung ist die Schrödingergleichung für ein Teilchen mit Spin 21 und war
uns bereits in der nichtrelativistischen QM begegnet, wo wir mit ihr den Zeeman-Effekt
diskutiert hatten (SKRIPT QUANTENMECHANIK oder Lehrbücher).
13
1. Relativistische Quantenmechanik
1.2.5
Relativistische Notation
(z.B. Lehrbuch SCHERZ). Wir definieren zunächst die vier Matrizen β, αi etwas um,
1 0
0
σk
0
k
γ ≡β=
, γ ≡ βαk =
.
(1.73)
0 −1
−σk 0
In dieser Schreibweise lautet die Clifford-Algebra
(γ 0 )† = γ 0 ,
(γ 0 )2 = 1
(γ k )† = −γ k ,
γν γµ + γµγν
= 2gνµ ,
(γ k )2 = −1,

1

0
g νµ = 
 0
0
k = 1, 2, 3
0
0
0
−1 0
0
0 −1 0
0
0 −1


.

(1.74)
(NACHRECHNEN, z.B. für γ k γ j + γ j γ k mit den Definitionen und der Clifford-Algebra
der vier Matrizen β, αi ).
Wir betrachten die Dirac-Gleichung ohne Felder,
(i
∂
+ iα∇ − βm)Ψ = 0
∂t
(1.75)
und multiplizieren von links mit β = γ 0 ,
3
(iγ 0
X
∂
∂
+
i
γ k k − m)Ψ = 0,
∂x0
∂x
(1.76)
k=1
wobei wir bereits in relativistischer Notation die Koordinaten xµ als Komponenten eines
kontravarianten Vierervektors
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z).
(1.77)
geschrieben haben (SKRIPT ELEKTRODYNAMIK). Wir schieben hier zur Vollständigkeit
nochmal das Kapitel über ko- und kontravariante Komponenten ein:
Tensoren können in ko- und kontravariante Komponenten angegeben sein;
T α1 ...αN ,
kontravariante Komponenten
Tα1 ...αN ,
kovariante Komponenten .
(1.78)
(1.79)
Indizes können mit Hilfe des metrischen Tensors hinauf- bzw. heruntergezogen werden,
z.B.
v α = gαβ vβ ,
vα = gαβ v β ,
(1.80)
wobei die Inverse des metrischen Tensors mit Komponenten gαβ
gαβ gβγ = δαγ
erfüllt und δαγ einfach das Kronecker-Symbol ist. Es gilt
(1.81)
14
1. Relativistische Quantenmechanik
Satz 7. Die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors transformieren sich mit
v ′α = Λαβ v β , während sich die kovarianten Komponenten eines Vierervektors mit der
Umkehrung Λ̄ der Lorentztransformation transformieren, vα′ = Λ̄βα vβ .
Bei Tensorfeldern und Ableitungen sind die Definitionen ganz analog (FLIESSBACH),
s′ (x′ ) = s(x),
′α
′
v (x ) =
T ′αβ (x′ ) =
Skalarfeld
(1.82)
Λαβ v β (x), Vierer-Vektorfeld
Λαγ Λβδ T γδ (x), Vierer-Tensorfeld
(1.83)
2. Stufe
(1.84)
mit jeweils transformierten Koordinaten x′α = Λαβ xβ .
Wichtig ist die Transformationseigenschaft der partiellen Ableitungen, weil Gradienten physikalisch eine grosse Rolle spielen. Dazu betrachten wir eine Lorentztransformation der Ereigniskoordinaten von K nach K ′ ,
x′α = Λαβ xβ
∂x′α
= Λαβ
∂xβ
(1.85)
oder mit der Umkehrung Λ̄ der Lorentztransformation von K ′ nach K
xα = Λ̄αβ x′β
∂xα
= Λ̄αβ .
∂x′β
(1.86)
Als Operator angewendet, gilt für die partielle Ableitung also
∂
∂xα ∂
∂
=
= Λ̄αβ α .
′β
′β
α
∂x
∂x ∂x
∂x
(1.87)
Es gilt also
Satz 8. Der ’Vierergradient’ ∂x∂α , d.h. die partielle Ableitung nach den (kontravarianten) xα , transformiert sich unter LT wie ein kovarianter Vektor.
P
Zurück zu unserer Dirac-Gleichung Gl. (1.76), (iγ 0 ∂x∂ 0 + i 3k=1 γ k ∂x∂ k − m)Ψ = 0,
schreiben wir deshalb jetzt
(iγ ν ∂ν − m)Ψ,
Dirac-Gleichung ,
(1.88)
wobei wie immer über die vier gemeinsamen griechischen Indizes summiert wird und die
Unterscheidung
gemacht wurde.
∂ν
≡
∂ν
≡
∂
,
∂xν
∂
,
∂xν
kontravarianter Vierergradient
(1.89)
kovarianter Vierergradient
(1.90)
15
1. Relativistische Quantenmechanik
1.2.6
Lorentz-Invarianz der Dirac-Gleichung
Relativistische Invarianz einer Gleichung bedeutet, daß die Gleichung in zwei Inertialsystemen K und K ′ die gleiche Form annimmt. Für unsere Diracgleichung muß also
gelten;
(iγ ν ∂ν − m)Ψ (K),
(i(γ ′ )ν ∂ν′ − m)Ψ′
(K ′ ),
(1.91)
wobei wir bereits m = m′ für die Ruhmasse benutzt haben. Wir diskutieren hier nur
den freien Fall, für endliches Vektorpotential Aν verläuft die Herleitung analog, vgl.
ROLLNIK II. Zunächst eine Übersicht über die Transformationen zwischen K und K ′ .
∂µ′ = Λ̄νµ ∂ν ,
′
= m,
′ ν
ν
m
(γ )
′
= γ ,
kovarianter Vierergradient
(1.92)
Ruhmasse dieselbe
(1.93)
dieselbe Herleitung der Diracgleichung in K,
′
Ψ (x ) = SΨ(x).
K′
(1.94)
(1.95)
Hierbei ist in der letzten Gleichung S eine 4 × 4-Matrix, die bestimmt werden muß. Wir
konstruieren sie folgendermaßen: Zunächst gilt für die Diracgleichung in K ′
0 = (iγ ν ∂ν′ − m)Ψ′ = (iγ ν Λ̄µν ∂µ − m)SΨ(x).
(1.96)
Multiplikation von links mit S −1 , Vergleich mit der Diracgleichung in K, und anschließend Multiplikation von links mit Λαν liefert
Λ̄µν S −1 γ ν S = γ µ
S −1 γ α S = Λαν γ ν
(1.97)
als Bedingung, daß relativistische Invarianz gilt.
Die Matrix S ist so etwas wie eine Drehmatrix im vierdimensionalen Spinor-Raum.
Wie bei räumlichen Rotationen ist es zunächst zweckmäßig, infinitesimale Drehungen im
Spinorraum zu berechnen, die hier natürlich für kleine Geschwindigkeiten β ≡ v/c ≪ 1
relevant wird. Zunächst ist klar, daß für v = 0 sich überhaupt nichts transformiert, d.h.
S = 1 (Einheitsmatrix). Für β ≡ v/c ≪ 1 und Transformationen mit parallelen x und
x′ -Achsen gilt (AUFGABE)


0 0 0 1
β 0 0 1 0 
β
 + O(β 2 ).
(1.98)
S = 1 + γ 1 γ 0 + O(β 2 ) = 1 − 
2
2 0 1 0 0 
1 0 0 0
Die explizite Berechnung ergibt dann (AUFGABE)
ω
ω
S = cosh + sinh γ 1 γ 0 , tanh ω = β.
2
2
(1.99)
Wir können schließlich auch die Lorentzinvarianz der Kontinuitätsgleichung Gl. (1.61)
beweisen, indem wir sie relativistisch umschreiben,
ρ̇ + divj = 0,
∂µ j
µ
= 0,
ρ ≡ Ψ† Ψ,
µ
j ≡ Ψ† αΨ
† 0 µ
j ≡ Ψ γ γ Ψ,
Viererstromdichte .
(1.100)
(1.101)
16
1. Relativistische Quantenmechanik
Beim Übergang in ein anderes Inertialsystem transformiert sich die Viererstromdichte,
j µ ≡ Ψ† γ 0 γ µ Ψ → (j ′ )µ = (SΨ)† γ 0 γ µ SΨ = (Ψ)† S † γ 0 γ µ SΨ
(1.102)
Es gilt aber (AUFGABE) S † = S = γ 0 S −1 γ 0 , und mit (γ 0 )2 = 1 folgt
(j ′ )µ = (Ψ)† γ 0 S −1 γ µ SΨ = (Ψ)† γ 0 Λµν γ ν SΨ = Λµν j ν ,
(1.103)
d.h. die Stromdichte transformiert sich wie ein Vierervektor. Die Größe ∂µ j µ ist deshalb
ein Lorentzskalar, und die Kontinuitätsgleichung gilt in allen Intertialsystemen.
1.2.7
Lösungen der freien Dirac-Gleichung
Unsere freie Diracgleichung
(i∂µ γ µ − m)Ψ = 0
(1.104)
soll natürlich ebene Wellen als Lösungen haben, die wir wie folgt ansetzen;
Ψ± (x, t) = e∓i(Et−kx) Φ± (E, k).
Hierbei können wir die Phase in relativistischer Notation schreiben als
p
Et − kx = kµ xµ , kµ = (k0 , −k1 , −k2 , −k3 ), k0 ≡ E ≡ k2 + m2 .
(1.105)
(1.106)
Einsetzen ergibt dann
(±kµ γ µ − m)Φ± = 0
(kµ γ µ ∓ m)Φ± = 0.
(1.107)
Hierbei sind Φ± = Φ± (E, k) zu bestimmende Viererspinoren. Um das zu lösen, betrachten wir zunächst den Fall ruhender Teilchen, k = 0. Dann vereinfacht sich alles zu
m
1̂ 0
1 0
0
Φ± = ± Φ± , 1̂ ≡
(Eγ ∓ m)Φ± = 0
.
(1.108)
0 1
0 −1̂
E
In der Tat gibt es hier nur zwei verschiedene Eigenwerte, nämlich wegen E = m(c2 ) die
Eigenwerte ±1 mit den zwei linaer unabhängigen Eigenspinoren




χ1
0
 χ2 
 0 
χ
0
 , Φ− =

Φ+ =
≡
≡
(1.109)


 χ1  ,
0
0
χ
0
χ2
χ1
Hierbei sind in χ =
die beiden komplexen Zahlen χ1 und χ2 noch frei, und da
χ2
1
0
man zwei Basisvektoren für χ hat (z.B.
und
), haben wir insgesamt vier
0
1
linear unabhängige Dirac-Spinoren. Die zwei Basisvektoren für χ entsprechen den zwei
17
1. Relativistische Quantenmechanik
Einstellungsmöglichkeiten für den Spin, was wir bereits an der Pauligleichung gesehen
haben. Weiterhin beschreibt dann in
2
Ψ+ (x, t) = e−imc t Φ+ ,
2
Ψ− (x, t) = e+imc t Φ−
(1.110)
die Lösung Ψ+ offenbar ein ruhendes Teilchen mit positiver Energie +mc2 , während die
Lösung Ψ− ein ruhendes Teilchen mit negativer Energie −mc2 darstellt (zur Interpretation kommen wir gleich unten).
Um die Lösungen mit k 6= 0 zu erhalten, können wir die Ruhlösungen Gl. (1.110) entweder in ein sich mit −k bewegendes Inertialsystem transformieren (BJORKEN/DRELL)
oder die Rechnung mit einem Trick vereinfachen: Wir multiplizieren die beiden Operatoren in den Diracgleichungen (kµ γ µ ∓ m)Φ± = 0;
(kµ γ µ − m)(kµ γ µ + m) = kµ γ µ kν γ ν − m2
= k02 (γ 0 )2 + k12 (γ 1 )2 + k22 (γ 2 )2 + +k32 (γ 3 )2 − m2 = E 2 − k2 − m2 = 0. (1.111)
Dieses Produkt verwenden wir jetzt in beiden Reihenfolgen auf die Ruhlösungen an;
zunächst für Φ+


χ1
 χ2 
(E + m)χ
µ
µ
µ


0 = (kµ γ − m)(kµ γ + m) 
= (kµ γ − m)
, (1.112)
0 
(kσ)χ
0
also
µ
(kµ γ − m)Φ̃+ = 0,
Φ̃+ ≡
(E + m)χ
(kσ)χ
(1.113)
(noch nicht normiert, darum die Tilde). Entsprechend für Φ−


0
 0 
−(kσ)χ
µ
µ
µ


0 = (kµ γ + m)(kµ γ − m) 
= (kµ γ + m)
, (1.114)
χ1 
−(E + m)χ
χ2
also
(kσ)χ
(kµ γ + m)Φ̃− = 0, Φ̃− ≡
.
(1.115)
(E + m)χ
1
0
Da man wieder zwei Basisvektoren für χ hat (z.B.
und
), haben wir ins0
1
gesamt also wieder vier linear unabhängige Dirac-Spinoren;
(E + m)χ(1)
(E + m)χ(2)
(2)
(1)
′
, Φ+ ≡ N
Φ+ ≡ N
(kσ)χ(1)
(kσ)χ(2)
(kσ)χ(1)
(kσ)χ(2)
(1)
(2)
′′
′′′
Φ− ≡ N
, Φ− ≡ N
(1.116)
(E + m)χ(1)
(E + m)χ(2)
µ
18
1. Relativistische Quantenmechanik
mit noch zu bestimmenden Normierungsfaktoren.
In der Notation von ITZYKSON/ZUBER schreiben wir insgesamt statt Φ± die vier
Lösungen als
u(α) =
p
(E + m)/2mχ(α)
√ kσ
χ(α)
(E+m)2m
!
,
v (α) =
kσ
χ(α)
(E+m)2m
p
(E + m)/2mχ(α)
√
!
,
α = 1, 2.
(1.117)
√
Hierbei ist E = k2 + m2 , u(α) gehört zu den Lösungen Ψ+ mit positiver Energie, und
v (α) gehört zu den Lösungen Ψ− mit negativer Energie.
Um eine Orthogonalität einzuführen, definiert man weiterhin die konjugierten Spinoren


1 0 0
0
 0 1 0
0 

ū(α) ≡ (u(α) )† γ 0 , v̄ (α) ≡ (v (α) )† γ 0 , γ 0 = 
(1.118)
 0 0 −1 0  .
0 0 0 −1
Es gilt dann
(α) (β)
ū
u
1
= δαβ
2m
(kσ)2
E+m−
E+m
= δαβ
(1.119)
und entsprechend
ū(α) u(β) = −v̄ (α) v (β) = δαβ ,
1.2.8
ū(α) v (β) = v̄ (α) u(β) = 0.
(1.120)
Spin, Helizität und Chiralität
Bis hierher haben wir folgendes Bild: die freien Lösungen mit den Spinoren u(α) beschreiben ebene Wellen für Teilchen der Ruhmasse m und positiver Energie +E. Die Spinoren
v (α) beschreiben ebene Wellen für Teilchen der Ruhmasse m und negativer Energie −E.
Was ist mit dem Spinfreiheitsgrad? Der steckt natürlich in den χ(α) , die ja zweikomponentig sind. Es handelt sich also um einen Spin 12 . In der Schrödingertheorie war σ der
entsprechende Operator-vektor für den Spin: Wir wiederholen kurz (QM I):
Die zwei Spin-Zustände
| ↑, ez i,
| ↓, ez i
mit m = ±1/2 sind Eigenzustände von Sz bzw. der Pauli-Matrix σz ,
1 0
1
σz | ↑, ez i = +1| ↑, ez i ↔
= +1
0 −1
0
1 0
0
σz | ↓, ez i = −1| ↓, ez i ↔
= −1
0 −1
1
(1.121)
1
0
0
1
(1.122)
(1.123)
19
1. Relativistische Quantenmechanik
und damit Eigenzustände des ‘Zeeman-Term’-Hamiltonians HσB ≡ −ge µB σB in der
Pauli-Gleichung für Magnetfeld B = (0, 0, B) in z-Richtung. Jetzt drehen wir das Magnetfeld in eine beliebige Richtung n, so daß B = Bn . Wir wollen wieder die Eigenzustände von HσB berechnen (der Vorfaktor −ge µB B spielt hier keine Rolle). Dann
brauchen wir die Eigenzustände des Operators
cos θ
sin θe−iφ
, n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), (1.124)
(σn) =
sin θeiφ − cos θ
z
für die gilt (AUFGABE)
(σn)| ↑, ni = | ↑, ni,
(σn)| ↓, ni = −| ↓, ni,
cos 2θ e−iφ/2
sin 2θ eiφ/2
z
θ −iφ/2
− sin 2 e
| ↓, ni =
,
cos 2θ eiφ/2
z
| ↑, ni =
(1.125)
(1.126)
wobei der Index z anzeigt, daß sich die Komponenten auf die Basis der | ↑, ez i, | ↓, ez i
bezieht.
Für die Lösungen der freien Diracgleichung wählen wir jetzt als Spinquantisierungsrichtung die Richtung des Einheitsvektors k̂ in Richtung des räumlichen Impulses k, der
ja sowieso schon in den Lösungen auftritt. Wir schreiben also
!
p
!
√ kσ
(E + m)/2m|σ, k̂i
|σ, k̂i
(σ)
(σ)
u (k) =
, v (k) =
p (E+m)2m
√ kσ
|σ, k̂i
(E + m)/2m|σ, k̂i
(E+m)2m
σ = ↑, ↓,
k̂ =
k
.
|k|
(1.127)
Damit sind die Spinoren Eigenvektoren von
k̂Σ ≡
k̂σ 0
0 k̂σ
,
Helizitätsoperator ,
(1.128)
wobei ↑ positiver und ↓ negativer Helizität entspricht,
k̂Σu(σ) (k) = σu(σ) (k),
k̂Σv (σ) (k) = σv (σ) (k),
σ = ±1.
(1.129)
AUFGABE: Der Hamiltonoperator der freien Diracgleichung, Ĥ = αp + βm, kommutiert mit dem Helizitätsoperator k̂Σ, aber nicht mit
σ 0
Σ≡
, Spinoperator .
(1.130)
0 σ
Das ist der Grund, weshalb die Lösungen der freien Diracgleichung als Eigenvektoren des
Helizitätsoperators gewählt werden können. Wir beachten aber, daß die Helizität wegen
20
1. Relativistische Quantenmechanik
der Bezugnahme auf den Impuls k als Quantisierungsrichtung immer vom Bezugssystem
abhängt (Ausnahme: Ruhemasse m = 0.)
Wegen
p
kσ|±, k̂i = ±|k||±, k̂i = ± E 2 − m2 |±, k̂i
(1.131)
(wir schreiben jetzt ± für ↑, ↓) können wir die Spinoren mit fester Helizität sogar noch
etwas eleganter schreiben (lecture notes H MURAYAMA);


 q
 q
E+m
E−m
|±, k̂i
|±, k̂i
±
 , v ± (k) =  q 2m
.
(1.132)
u± (k) =  q 2m
E−m
E+m
±
|±,
k̂i
|±,
k̂i
2m
2m
Hieran diskutieren wir jetzt den ultrarelativistischen Grenzfall E ≫ m, für den wir
±|±, k̂i
|±, k̂i
(1.133)
, v ± (k) =
u± (k) ∝
|±, k̂i
±|±, k̂i
finden. In diesem Grenzfall sind die vier Spinoren ganz einfache Eigenvektoren der DiracMatrix γ 5 ,


0 0 1 0
 0 0 0 1 
0 1̂
5 ±
±
5 ±
±
5


γ u (k) = ±u (k), γ v (k) = ±v (k), γ ≡ 
(1.134)
,
≡
1 0 0 0 
1̂ 0
0 1 0 0
und in diesem Fall heißen die zwei Eigenwerte ±1 Chiralität. Die beiden Begriffe Helizität und Chiralität (‘Händigkeit’) müssen also voneinander unterschieden werden. Die
Chiralität ist nur für masselose Teilchen eine Erhaltungsgröße, es gilt nämlich (NACHPRÜFEN)
[γ 5 , H] = 2mγ 5 β,
(1.135)
wobei H der freie Dirac-Hamiltonian ist.
Wir untersuchen noch einmal genauer, was es mit Spin und Drehimpuls in der Diracgleichung auf sich hat. Dazu betrachten wir zunächst die Komponenten
Li ≡ ǫijk xj pk ,
i, j, k, = 1, 2, 3
(1.136)
des Bahndrehimpulses, die für den Dirac-Hamiltonian H = αp + βm keine Erhaltungsgröße sind, denn wegen [pj , xk ] = −iδjk folgt
[H, Li ] = [αp + βm, ǫijk xj pk ] = ǫijk [αp, xj ]pk = −iǫijk αj pk 6= 0.
Auf der anderen Seite gilt für den Spinoperator Σ, Gl. (1.130)
0 aji
i
i
j j
i
j
[H, Σ ] = [αp + βm, Σ ] = p [α , Σ ] = p
, aji ≡ [σ j , σ i ],
aji 0
(1.137)
(1.138)
21
1. Relativistische Quantenmechanik
was wegen [σ j , σ i ] = 2iǫjik σ k , Gl. (1.51), auf
0 σk
i
j
[H, Σ ] = 2iǫjik p
= 2iǫjik pj αk = −2iǫijk pj αk = 2iǫikj αk pj
σk 0
(1.139)
führt. Zunächst wiederholen wir (QM I):
Definition Eine Erhaltungsgröße A ist eine Observable, die mit dem Hamiltonoperator
H vertauscht,
[A, H] = 0.
Deshalb gilt hier insbesondere
1 i
i
H, L + Σ = 0,
2
(1.140)
Erhaltung des Gesamtdrehimpulses.
(1.141)
Der Operator des Gesamtdrehimpulses ist hierbei
1
J = L + Σ,
2
Gesamtdrehimpuls,
(1.142)
wobei L als Differentialoperator auf die Ortskoordinaten wirkt, während Σ als Spinoperator auf die Spinorkomponenten wirkt. Das 21 vor dem Σ macht noch einmal deutlich,
das wir es hier tatsächlich mit einem Spin 21 zu tun haben.
1.2.9
Die Zitterbewegung
Das Auftreten von Lösungen mit negativen Energien in der Diracgleichung führt wie
bei der Klein-Gordon-Gleichung zu einem Interpretationsproblem: In der nichtrelativistischen Schrödingergleichung betrachtet man stets nach unten beschränkte Hamiltonoperatoren, die eine niedrigste Energie und damit einen Grundzustand haben (bei
Entartung auch mehrere). Negative Energien auf der anderen Seite führen thermodynamisch gesehen zu Instabilitäten, z.B. könnte ein Zustand durch die Wechselwirkung mit
der Umgebung seine Energie immer weiter absenken.
Zufriedenstellend gelöst wird dieses Problem wohl erst in der (relativistischen) Quantenfeldtheorie, wo Teilchen erzeugt und vernichtet werden können. Ein erster Ausweg
(ohne Feldtheorie, z.B. ITZYKSON/ZUBER) ist
Diracs Löchertheorie (1930): Wir nehmen lauter gleichartige Teilchen der Masse m
an. Weiterhin soll es einen Vielteilchen-Grundzustand geben, in dem alle Zustände Ψ−
mit negativen Energien besetzt sind. Dieser Grundzustand soll ‘Vakuum’ (Fermi-See)
heißen. Ein einzelnes Elektron mit Masse m und Ladung −e < 0 wird dann durch ein
zusätzliches Teilchen mit positiver Energie, z.B. in einem Zustand Ψ+ (k) beschrieben.
Wegen des Pauli-Prinzips kann dieses zusätzliche Teilchen nämlich keine Zustände Ψ−
besetzen. Schließlich gibt es Teilchen-Loch-Anregungen von Zuständen Ψ− → Ψ+ , die im
Fermi-See Löcher mit positiver Ladung (jeweils e > 0) zurücklassen und die als fehlende
negative Ladung interpretiert werden können.
22
1. Relativistische Quantenmechanik
Der Nachteil dieser Interpretation ist der, dass er mit dem Pauli-Prinzip nur für Fermionen funktioniert und somit z.B. nicht für die Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen
mit Spin 0 beschreibt.
Wir kommen jetzt zum Phänomen der Zitterbewegung, das eine interessante Konsequenz der Mischung von Teilchenanteilen (positive Energien) und Löcheranteilen (negative Energien) durch die Diracgleichung darstellt. Im Grunde erkennt man eine Besonderheit schon an der freien Diracgleichung selbst,
0 σi
1 0
i∂t Ψ = ĤΨ, Ĥ ≡ (cαp + βmc2 ), αi =
, β=
. (1.143)
σi 0
0 −1
Der Impulsoperator mischt wegen der αi -Matrizen die zwei oberen mit den zwei unteren
Komponenten, die in unserer (vollständigen!) Basis mit ebenen Wellen, Gl. (1.117), ja
jeweils den u(α) bzw. v (α) entsprechen. Wir leiten jetzt eine Bewegunggleichung für den
Ortsoperator her. Zunächst wiederholen wir (QM I):
Satz 9 (Heisenbergbild). Sei Ĥ ein Hamiltonoperator mit Zeitentwicklungsoperator
i
U (t) = e− ~ Ĥt . Eine zeitentwickelte Observable Â
i
i
Â(t) = U † (t)ÂU (t) = e ~ Ĥt Âe− ~ Ĥt ,
Â(0) = Â
(1.144)
Heisenberg-Bewegungsgleichung.
(1.145)
heißt Heisenberg-Operator, sie erfüllt
i~
d
Â(t) = [Â(t), Ĥ] = [Â, Ĥ] (t),
dt
Wir berechnen die Heisenberg-Bewegungsgleichungen für den Ortsoperator x (SKRIPT
MURAYAMA);
v ≡ ẋ = −i[x, Ĥ] = −i[x, cαp] = cα,
Geschwindigkeitsoperator . (1.146)
Das ist an sich schon erstaunlich, denn die Geschwindigkeit hängt hier gar nicht mehr mit
dem Impulsoperator p zusammen. Die Eigenwerte des Geschwindigkeitsoperators sind
±c. Wir betrachten jetzt ein Teilchen mit sehr großer Masse, das praktisch ruht. Um
die Rechnung zunächst zu vereinfachen, approximieren wir den Hamiltonian dann durch
Ĥ = βmc2 und berechnen die Heisenberg-Bewegungsgleichungen für den Ortsoperator
x (SKRIPT MURAYAMA). Da alle Operatoren im Heisenbergbild zeitabhängig sind,
kommutieren wir solange, bis wir eine geschlossene Gleichung für v ≡ v(t) erhalten;
v̇ = −i[cα, mc2 β] = −2imc3 αβ
2
2 5
(1.147)
2 5
2 4
v̈ = −i[v̇, mc β] = −2m c (αββ − βαβ) = −4m c α = −4m c v. (1.148)
Das ist eine Oszillatorgleichung (als Operatorgleichung, Einsetzen von ~)
v̈(t) = −ωZ2 v(t),
ωZ ≡
2mc2
,
~
Frequenz ωZ der Zitterbewegung.
(1.149)
23
1. Relativistische Quantenmechanik
Fig. 1.1: Zeitentwicklung von Wellenpaketen für die Schrödingergleichung (LINKS) und die Diracgleichung, Gl. (1.152), (RECHTS) in d = 1 Dimension. Aus: B. Thaller, arXiv:quantph/0409079v1 (2004).
mit der Lösung
v(t) = v(0) cos(ωZ t) + v̇(0)
sin(ωZ t)
ωZ
(1.150)
Der Geschwindigkeitsoperator und der durch Integrieren erhaltende Ortsoperator oszillieren als Funktion der Zeit. Die Frequenz ωZ der Zitterbewegung ist dabei durch die
Bandlücke in der Dispersionsrelation
p
± E = ± c2 p2 + m2 c4
(1.151)
der Lösungen zu positiven bzw. negativen Energien bei p = 0 gegeben.
Man kann diese Oszillationen nun genauer analysieren, indem man Wellenpakete
aus Lösungen der freien Diracgleichung betrachtet. Es geht hierbei nicht um den Spinfreiheitsgrad, sondern den Freiheitsgrad ± (Teilchen oder Loch). Dieser wird bereits in
einer d = 1-dimensionalen Version der Diracgleichung erfaßt, in der die der CliffordAlgebra entsprechende Algebra nur zwei antikommutierende Matrizen benötigt, für die
wir also zwei verschiedene 2 × 2-Paulimatrizen nehmen können (B. Thaller, arXiv:quantph/0409079v1). Die Diracgleichung lautet dann
i∂t Ψ = HΨ, H ≡ cσx p̂ + mc2 σz , Diracgleichung (d = 1)
0 1
1 0
σx =
, σz =
.
1 0
0 −1
(1.152)
(1.153)
Hierbei ist p̂ = −i∂x der Impulsoperator in einer Dimension, und die Spinoren haben
24
1. Relativistische Quantenmechanik
zwei Komponenten
Ψ(x, t) =
ψ1 (x, t)
ψ2 (x, t)
.
(1.154)
Im k-Raum lautet diese Diracgleichung (c = ~ = 1)
m k
Ψ̃(k, t)
i∂t Ψ̃(k, t) =
k −m
(1.155)
√
mit den zwei Eigenvektoren u± (k) mit Eigenwerten ±E(k) ≡ ± k2 + m2 , und entsprechend den zwei Ebene-Wellen-Lösungen im Ortsraum
1
u± (k; x, t) = √ u± (k)eikx∓E(k)t
2π
(1.156)
(hier so definiert, daß für beide Lösungen +ikx im Exponenten steht.) Ein Wellenpaket
aus den Lösungen u± (k; x, t) hat dann die Form
Z
Ψ(x, t) = dk (c+ (k)u+ (k; x, t) + c− (k)u+ (k; x, t)) .
(1.157)
Als Anfangsbedingung kann man z.B. wählen (THALLER, setze m = 1)
Ψ(x, 0) =
1
32π
1/4
x2
e− 16
1
1
Ψ̃(k, 0) =
1/4
2
2
1
e−4k
.
1
π
(1.158)
Die räumliche Dichte
ρ(x, t) ≡ |ψ1 (x, t)|2 + |ψ2 (x, t)|2
sowie der Mittelwert der Koordinate x,
Z
hxit ≡
∞
dxxρ(x, t)
(1.159)
(1.160)
−∞
sind in Fig. (1.2) dargestellt. Zunächst erkennt man in beiden Größen das Auftreten
der Oszillationen, die der Zitterbewegung mit der Frequenz ωZ = 2mc2 /~ entsprechen.
Weiterhin erkennt man an der Zeitentwicklung des Mittelwerts hxit , daß dieser nicht nur
oszilliert, sondern für anwachsende Zeiten langsam nach rechts zu größeren x abdriftet.
Allgemein liegt im Gegensatz zur freien Schrödingergleichung keine Symmetrie der
Lösungen Ψ(x, t) der Diracgleichung bezüglich einer Spiegelung Ψ(x, t) → Ψ(−x, t) vor.
Es gilt vielmehr
Satz 10. Mit Ψ(x, t) ist auch σz Ψ(−x, t) eine Lösung der freien Diracgleichung i∂t Ψ =
(σx p̂ + mσz )Ψ.
1. Relativistische Quantenmechanik
25
Fig. 1.2: Zeitentwicklung von Wellenpaketen für die Diracgleichung, Gl. (1.152) in d = 1 Dimension: räumliche Dichte ρ(x, t), Gl. (1.159), sowie Mittelwert der Koordinate x. Aus: B.
Thaller, arXiv:quant-ph/0409079v1 (2004).
Man sieht nämlich durch Einsetzen und wegen σx σz = −σz σx
(−iσx ∂x + mσz )σz Ψ(−x, t) = σz (−iσx ∂−x + mσz )Ψ(−x, t) = 0.
(1.161)
Entsprechend gilt in d = 3 Dimensionen, daß mit Ψ(x, t) ist auch γ 0 Ψ(−x, t) eine Lösung
der freien Diracgleichung ist. Die räumliche Spiegelung ist nämlich ein Spezialfall einer
Lorentztransformation, bei der nicht nur die Koordinate x → −x, sondern auch der
Spinor transformiert werden muß (wie oben bei der Konstruktion der Matrix S).
FRAGE: Warum driftet das Wellenpaket in Fig. (1.2) nach rechts und nicht nach
links?
Die Zitterbewegung hat, wie die Diracgleichung selbst auch, jüngst wieder Eingang in
moderne Entwickungen in einem ganz anderen Gebiet der theoretischen Physik gefunden,
nämlich in der Festkörpertheorie. In vielen Systemen (Graphen, Halbleiter mit SpinBahn-Wechselwirkung u.a.) treten dort mit der Diracgleichung verwandte Modelle auf
2
AUFGABEN: a) Wellenpakete für die Diracgleichung in d = 3 räumlichen Dimensionen. b) Kleinsches Paradoxon.
2
Für die Zitterbewegung siehe z.B. R. Winckler, U. Zülicke, und J. Bolte, Phys. Rev. B 75, 205314
(2007).
2. DIE FEINSTRUKTUR DES
WASSERSTOFFATOMS
Die Dirac-Gleichung ist für das 1/r-Potential exakt lösbar, aus den Lösungen für gebundene Zustände ergibt sich eine sehr genaue Theorie der Spektrallinien. Interessanter
als der exakte Lösungsweg ist allerdings eine Entwicklung um den nichtrelativistischen
Grenzfall, d.h. die Schrödingergleichung, nach Potenzen von 1/c.
2.1
Störungsentwicklung der Diracgleichung
Eine Möglichkeit für eine solche Entwickung ist die Methode der kanonischen Transformationen (Foldy-Wouthuysen-Transformation), die sehr systematisch, jedoch technisch
etwas umständlich ist. Da wir hier sowie nur am Fall des skalaren Coulombpotentials
interessiert sind, benutzen wir den von Berestetzki und Landau benutzten Trick (Landau/Lifschitz Band IV, Quantenelektrodynamik).
2.1.1
Entwicklung nach
1
c
Zunächst erinnern wir uns, daß wir mit der Pauligleichung (c re-installiert)
1 e 2
∂
e~
i~ φ =
p− A φ−
σB + eΦ φ, Pauli-Gleichung
∂t
2m
c
2mc
φ
oben aus der Diracgleichung für den Spinor Ψ =
erhalten haben;
χ
εφ = cσpχ + eΦφ
(2.2)
2
(2.1)
εχ = cσpφ + eΦχ − 2mc χ
ε − eΦ σp
1
σp
ε − eΦ
φ
χ= 1−
φ + O( 4 )
χ =
1+
2
2
2mc
2mc
2mc
2mc
c
(2.3)
(2.4)
Hierbei und im Folgenden arbeiten wir bereits stationär, mit i∂t → ε (Energie), und set1
σpφ entstand bereits die erste relativistische Korzen A = 0. Aus der Näherung χ ≈ 2mc
e~
σB, der den Spin in die Schrödingergleichung
rektur in der Form des Zeeman-Terms − 2mc
einführt. Hierbei ist Φ = Φ(r) ein skalares Potential. Einsetzen von χ in die φ-Gleichung
ergibt
σp
ε − eΦ
σpφ + ...
(2.5)
εφ = eΦφ +
1−
2m
2mc2
27
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
Allerdings ist der so entstehende Hamiltonian noch nicht korrekt, was an der Normierung
des Spinors liegt: Berestetzki und Landau betrachten hierzu die Wahrscheinlichkeitsdichte
|φ|2 + |χ|2 = |φ|2 +
~2
|σ∇φ|2
4m2 c2
(2.6)
und fordern, dass jedes räumliche Integral über diesen Ausdruck als Wahrscheinlichkeit
im Schrödinger-Sinne interpretierbar ist, und zwar mit einer entsprechend korrigieren
Wellenfunktion φSch über
Z
Z
~2
∗
d
∗
d
∗
(∇φ σ)(σ∇φ) .
(2.7)
d xφSch φSch = d x φ φ +
4m2 c2
Partielle Integration des letzten Terms liefert
Z
Z
Z
Z
dd x(∇φ∗ σ)(σ∇)φ = − dd xφ∗ (σ∇)(σ∇)φ = − dd xφ∗ ∆φ = − dd xφ∆φ∗ (2.8)
wegen σx2 = σy2 = σz2 = 1, und damit also
Z
Z
d
d
∗
d xφSch φSch = d x φ∗ φ −
~2
∗
∗
(φ ∆φ + φ∆φ ) .
8m2 c2
(2.9)
Damit folgt der Zusammenhang (bis O(1/c2 ) korrekt)
p2
p2
φ
φ
=
1
−
φSch ,
φSch = 1 +
8m2 c2
8m2 c2
(2.10)
was nun in Gl. (2.5) eingesetzt wird;
p2
σp
p2
p2
ε − eΦ
φSch = eΦ 1 −
φSch +
σp 1 −
φSch + ...
ε 1−
1−
8m2 c2
8m2 c2
2m
2mc2
8m2 c2
p2
p4
p2
σpeΦσp
p2
= eΦ 1 −
−
−ε 2 2 +
+
φSch + ...
8m2 c2
2m 16m3 c2
4m c
4m2 c2
p2
p4
σpeΦσp
p2
p2
εφSch = 1 −
−
+
eΦ 1 −
+
φSch + ...
8m2 c2
8m2 c2
2m 16m3 c2
4m2 c2
2
p4
e
1
p
+ eΦ −
+
(2.11)
σpΦσp − (p2 Φ + Φp2 ) φSch + ...
=
3
2
2
2
2m
8m c
4m c
2
Damit ist die wesentliche Arbeit getan. Es mur nur noch der Ausdruck in der geschweiften
Klammer umgeformt werden (AUFGABE), und mit Hilfe des elektrostatischen Feldes
E = −∇Φ erhalten wir den Schrödinger-Hamiltonian für HφSch = εφSch bis zur Ordnung
1/c2 ,
H≡
p2
p4
e
e~2
+ eΦ −
−
σ(E × p) −
divE.
3
2
2
2
2m
8m c
4m c
8m2 c2
(2.12)
28
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
2.1.2
Spin-Bahn-Wechselwirkung
Wir schreiben das in Vorbereitung für die Störungstheorie als
H ≡ H0 + Vkin + VSO + VDarwin
p2
H0 ≡
+ eΦ, ungestörter Schrödinger-Hamiltonian
2m
p4
Vkin ≡ − 3 2 , relativistische Korrektur zur kinetischen Energie
8m c
e
VSO ≡ − 2 2 σ(E × p), Spin-Bahn-Wechselwirkung
4m c
e~2
VDarwin ≡ − 2 2 divE, Darwin-Term
8m c
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Hiervon ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung der interessanteste Anteil. Für ein statisches
Zentralpotential mit elektrischem Feld
r
E = − Φ′ (r),
r
r = |r|
(2.18)
hat man explizit
VSO =
e~
Φ′ (r)LS,
2m2 c2 r
S≡
1
σ
2
(2.19)
mit dem Operator für den Elektronenspin S. Das Skalarprodukt LS koppelt hier den
Bahndrehimpuls L = r × p mit dem Spin. VSO kann als die Energie eines bewegten
magnetischen Momentes µ im elektrischen Feld E aufgefasst werden, nämlich mit v =
p/m über
e
1
σ(E × p) = − µ(E × v)
4m2 c2
2c
e~
S, magnetisches Moment.
mc
VSO = −
µ ≡
(2.20)
(2.21)
Das magnetische Moment µ trat bereits im Zeeman-Term der Pauli-Gleichung auf,
VZeeman ≡ −µB,
(2.22)
der also die gleiche Form wie die klassische, magnetostatische Energie eines magnetischen Dipols im Feld B besitzt (SKRIPT ELEKTRODYNAMIK). Dahingegen tritt in
VSO wegen des Magnetfeldes B = 1c (E × v) im bewegten Bezugssystem des Elektrons
eine Energie VSO = − 21 µB mit dem zunächst falsch aussehenden Faktor 12 auf. Dieser
Faktor 21 (Thomas-Faktor) ist aber korrekt; er ist letztlich eine Folge der relativistischen
Diracgleichung (vgl. auch Landau IV, §33).
Der Darwin-Term VDarwin wird häufig mit der Zitterbewegung in Zusammenhang
gebracht.
29
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
2.2
Drehimpulsaddition
Wir betrachten die Kopplung von Bahn- und Spindrehimpuls als Spezialfall des allgemeineren Problems der Kopplung zweier Drehimpulse (MERZBACHER).
2.2.1
Wiederholung zum Drehimpuls (QM1)
Umgekehrt stellen wir jetzt die Vertauschungsrelationen (VR) von Operatoren Jl
[Jj , Jk ] = iǫjkl Jl ,
j, k, l = 1, 2, 3
(2.23)
als abstrakte algebraische Relationen an den Anfang. Wir fragen nach möglichen Darstellungen dieser VR durch Hilbertraum-Operatoren. Dabei stößt man auch auf halbzahlige Drehimpulse, z.B. den Spin 1/2. Wir gehen dabei wie folgt vor: Zunächst gilt
(ÜBUNGSAUFGABE)
[J 2 , J3 ] = 0,
J 2 ≡ J12 + J22 + J32 ,
(2.24)
damit haben J 2 und J3 ein gemeinsames System von Eigenfunktionen,
J 2 |λνi = λ|λνi,
J3 |λνi = mν |λνi.
(2.25)
Hierbei können die Eigenwerte λ von J 2 im Allgemeinen entartet sein, die Eigenzustände
|λνi werden deshalb mit weiteren Quantenzahlen ν gekennzeichnet.
Jetzt definiert man Schiebeoperatoren, um analog zum harmonischen Oszillator
eine algebraische Behandlung durchzuführen. Wir definieren
J± ≡ J1 ± iJ2 ,
[J3 , J± ] = ±J± ,
(2.26)
und es gilt (ÜBUNGSAUFGABE)
J− J+ |λνi = (λ − m2ν − mν )|λνi,
J3 J+ |λνi = (mν + 1)|λνi.
λ − m2ν − mν ≥ 0
(2.27)
Mehrfaches Anwenden von J+ auf |λνi gibt immer höhere Werte mν , obwohl mν beschränkt sein muss. Es existiert also ein maximales mν = j, für das man
j ≥ mν ,
λ = j(j + 1)
(2.28)
erhält. Analog findet man durch Anwenden des Schiebeoperators J− ein minimales mν =
−j. Es gilt also
− j ≤ mν ≤ j.
(2.29)
Von −j gelangt man nach j in ganzzahligen Schritten nur, falls j entweder ganz oder
halbzahlig ist! Die Quantenzahl j des Drehimpulses hat also nur die möglichen Werte
3
1
j = 0, , 1, , ...
2
2
(2.30)
30
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
Für gegebenes j gibt es 2j + 1 Eigenwerte m von J3 , wir haben also
J 2 |jmi = j(j + 1)|jmi,
J3 |jmi = m|jmi.
(2.31)
Damit haben wir die möglichen Eigenwerte von J 2 und J3 gefunden! Bis auf einen
beliebigen Phasenfaktor hat man weiterhin (ÜBUNGSAUFGABE)
p
J± |jmi = (j ∓ m)(j ± m + 1)|jm ± 1i.
(2.32)
2.2.2
Eigenzustände |jmi
Wir untersuchen jetzt allgemein die Eigenzustände |jmi von
J = J1 + J2 ,
(2.33)
wenn J1 und J2 zwei miteinander vertauschende Drehimpulsoperatoren sind. Wir definieren Eigenzustände gemäss
J 2 |jmi = j(j + 1)|jmi,
J12 |j1 m1 i
Jz |jmi = m|jmi
= j1 (j1 + 1)|j1 m1 i,
J22 |j2 m2 i = j2 (j2 + 1)|j2 m2 i.
(2.34)
Wir wollen jetzt j1 und j2 als fest gegeben annehmen (z.B. als zwei Spins j1 = s1 ,
j2 = s2 ).
AUFGABE: Zeige, dass die Eigenzustände |jmi auch Eigenzustände von J12 und J22
sind.
Man kann also schreiben
X
cm1 m2 |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i.
(2.35)
|jmi =
m1 m2
Weil j1 und j2 fest sind, schreiben wir verkürzt
X
hm1 m2 |jmi|m1 m2 i.
|jmi =
(2.36)
m1 m2
d.h. wir entwickeln die Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses nach den Produktzuständen
der Einzeldrehimpulse. Zu bestimmen sind dabei die Clebsch-Gordan-Koeffizienten
hm1 m2 |jmi.
2.2.3
Rekursion für Clebsch-Gordan-Koeffizienten
SCHRITT 1: Anwendung von Jz = J1,z + J2,z liefert
X
hm1 m2 |jmi(m1 + m2 )|m1 m2 i
Jz |jmi = m|jmi =
m1 m2
=
X
m1 m2
hm1 m2 |jmim|m1 m2 i
hm1 m2 |jmi(m1 + m2 ) = hm1 m2 |jmim
hm1 m2 |jmi = δm1 +m2 ,m hm1 m2 |jmi,
(2.37)
31
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
d.h. die z-Quantenzahlen mi addieren sich einfach.
SCHRITT 2: Anwendung von J± liefert
p
J± |jmi =
(j ∓ m)(j ± m + 1)|jm ± 1i
X
p
hm1 m2 |jmi (j1 ∓ m1 )(j1 ± m1 + 1)|m1 ± 1, m2 i
=
m1 m2
+
X
m1 m2
p
hm1 m2 |jmi (j2 ∓ m2 )(j2 ± m2 + 1)|m1 , m2 ± 1i.
(2.38)
Daraus folgt direkt durch Projektion (AUFGABE) die Rekursionsformel
p
p
(j ∓ m)(j ± m + 1)hm1 m2 |jm ± 1i = hm1 ∓ 1m2 |jmi (j1 ± m1 )(j1 ∓ m1 + 1)
p
+ hm1 m2 ∓ 1|jmi (j2 ± m2 )(j2 ∓ m2 + 1)
(2.39)
SCHRITT 3: Wir fixieren j, dann sind in die CG-Koeffizienten nur Funktionen Am1 m
von m1 und m (auffassen als Matrix oder Gitter) und die Rekursionsformel hat die
Struktur
aAm1 ,m + bAm1 ∓1,m + cAm1 m±1 = 0.
(2.40)
Gitter mit m1 als Zeilenindex und m als Spaltenindex: ausgehend von Aj1 j können durch
zwei unterschiedliche Operationen (entsprechend dem ±) alle Am1 m generiert werden.
AUFGABE: Skizzieren Sie die Rekursionsformel auf einem Gitter (m1 , m) und führen
Sie schematisch (z.B. mit Hilfe von Pfeildiagrammen) vor, wie die Rekursion funktioniert.
Der CG-Koeffizient Aj1 j ist ausgeschrieben
hj1 m2 = j − j1 |jji
−j2 ≤ m2 = j − j1 ≤ j2
(2.41)
oder
j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2
(2.42)
als Bedingung für j. Jetzt genau dieselbe Konstruktion wie oben, aber die Rolle von m1
und m2 vertauscht: Führt auf
j2 − j1 ≤ j ≤ j2 + j1 ,
(2.43)
insgesamt also zur Dreiecks-Bedingung
|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2 .
(2.44)
Der Drehimpuls j läuft also über die Werte
j = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, ..., |j1 − j2 |.
(2.45)
32
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
Die Anzahl der Basis-Kets |jmi muss gleich der Anzahl der Basis-Kets |m1 m2 i sein
(AUFGABE)
jX
1 +j2
(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).
(2.46)
j=|j1 −j2 |
CG- Koeffizienten sind Koeffizienten einer unitären Matrix C(m1 m2 ),(jm) , wobei µ ≡
(m1 m2 ) und ν ≡ (jm) als Multi-Indizes aufgefasst werden. Die CG-Beziehung lautet ja
X
hm1 m2 |jmi|m1 m2 i
|jmi =
m1 m2
|νi =
X
µ
hµ|νi|µi.
(2.47)
Das ist eine Trafo zwischen orthogonalen Eigenvektoren, die zugehörige Matrix ist also
unitär, sie ist sogar orthogonal (reell), da wegen der Rekursion alle CG reell gewählt
werden können. Es gilt also
X
(2.48)
hm1 m2 |jmihm1 m2 |j ′ m′ i = δmm′ δjj ′ .
m1 m2
2.2.4
Fall j1 = 12 , j2 =
1
2
(Zwei Spin- 12 -Teilchen)
Wir haben
j = 1, 0.
(2.49)
FALL j = m = 0 oben in
p
p
(j ∓ m)(j ± m + 1)hm1 m2 |jm ± 1i = hm1 ∓ 1m2 |jmi (j1 ± m1 )(j1 ∓ m1 + 1)
p
+ hm1 m2 ∓ 1|jmi (j2 ± m2 )(j2 ∓ m2 + 1)
11
1 1
1
0 = h− |00i + h − |00i.
(2.50)
m1 = m2 =
2
22
2 2
Per Definition (m1 = j1 , j = m = 0) ist h 12 − 12 |00i = c mit konstantem c, also h− 21 12 |00i =
−c.
FALL j = 1 als analog. Insgesamt erhält man (AUFGABE)
11
1 1
1
i
| − i−|−
|j = 0m = 0i = √
22
2 2 2
11
|j = 1m = 1i = | i
2 2
1
11
1 1
|j = 1m = 0i = √
i
| − i+|−
22
2 2 2
1 1
|j = 1m = −1i = | − − i
2 2
(2.51)
33
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
Üblicherweise schreibt man hier j = S und m = Sz . Die Zustände zu S = 1 heissen
Tripletts, die zu S = 0 Singletts. Etwas verkürzt schreibt man die Basis-Zustände
1
√ (| ↑↓i − | ↓↑i)
2
|T1 i = | ↑↑i
1
|T0 i = √ (| ↑↓i + | ↑↓i)
2
|T−1 i = | ↓↓i.
|Si =
(2.52)
Diese vier Zustände sollte man sich einprägen, sie spielen auch weiter unten eine grosse
Rolle bei der Diskussion von Zwei-Elektronen-Systemen.
Definieren wir die zwei Operatoren mit j1 = j2 = 12 als S1 und S2 , so gilt
1
1
1
1
3
2
2
S = (S1 + S2 ) =
1+
+
1+
+ 2S1 S2 = + 2S1 S2
2
2
2
2
2
1
3
(2.53)
S1 S2 |Si = − |Si, Singlett , S1 S2 |T i = |T i, Triplett
4
4
Wird das mit Paulimatrizen geschrieben, S1 = 12 σ1 und S2 = 21 σ 2 , so gilt
σ 1 σ 2 |Si = −3|Si,
2.2.5
Singlett ,
σ 1 σ2 |T i = |T i,
Fall j1 = l (Bahndrehimpuls), j2 =
1
2
Triplett.
(2.54)
(Spin)
Es ist l = 0, 1, 2, .... Wir haben zunächst
j =
1
,
2
l=0
1
1
j = l + ,l − .
2
2
(2.55)
CG als AUFGABE.
2.3
Feinstrukturniveaus
(LANDAU IV) Wir betrachten jetzt die Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld
(Gauß-Einheiten)
r
Z|e|r
E = − Φ′ (r) =
,
r
r3
Φ(r) =
Z|e|
,
r
(2.56)
wobei Z|e| > 0 die Ladung eines Kerns am Ort r = 0 beschreibt. Die zugehörige Ladungsdichte ist also Z|e|δ(r). In den Ausdrücken
VSO =
e~
Φ′ (r)LS,
2m2 c2 r
VDarwin ≡ −
e~2
divE
8m2 c2
(2.57)
34
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
muß man jetzt mit dem Vorzeichen von e aufpassen: hier beschreibt e die Ladung des
Elektrons, für die wir üblicherweise −e = −|e| < 0 schreiben, wir schreiben also
VSO =
VDarwin =
−|e| ′
Ze2
Zα
Φ
(r)LS
=
LS =
LS
2
2
3
2m r
2m r
2m2 r 3
Zαπ
e2
|e|
4πZ|e|δ(r)
=
δ(r),
α
=
8m2
2m2
~c
(2.58)
(2.59)
mit der Feinstrukturkonstante α ≈ 1/137, wobei im letzten Schritt c = ~ = 1 gesetzt
und im Darwin-Term divE = 4πZ|e|δ(r) benutzt wurde.
2.3.1
Wiederholung: Wasserstoffatom
Der Schrödinger-Hamiltonian für das Wasserstoffatom ist entsprechend Gl. (2.13) der
‘ungestörte’ Hamiltonian (ohne relativistische Korrekuren)
H0 ≡
p2
Zα
p2
− |e|Φ =
−
.
2m
2m
r
(2.60)
Er hat die Lösungen (QM I, Ortsanteil)
H0 |nlmi = En |nlmi,
1 Z 2 e2 1
, n = 1, 2, 3, ...
2 4πε0 a0 n2
4πε0 ~2
Bohr Radius,
me2
En = −
a0 ≡
Lyman-Formel
(2.61)
wobei wir jetzt mit ~ = c = m = 1 vereinfacht
En = −
α2 Z 2
2n2
(2.62)
schreiben.
2.3.2
Anteil Vkin
Erste Ordung Störungstheorie liefert für die Korrektur von En durch Vkin den Ausdruck
1 2
Zα 2
1
4
|nlmi
δEn ≡ hnlm|Vkin |nlmi = − hnlm|p |nlmi = − 2 hnlm| H0 +
8
8
r
1
Zα 2
= − hnlm| En +
|nlmi.
(2.63)
2
r
Hierzu benötigt man Erwartungswerte (LANDAU III)
hnlm|r −1 |nlmi =
Zα
,
n2
hnlm|r −2 |nlmi =
(Zα)2
,
n3 l + 21
(2.64)
die mit der expliziten Form der Radialwellenfunktion ausgerechnet werden müssen (etwas
kompliziert, aber eigentlich langweilig).
35
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
2.3.3
Anteil VSO
Mit Spin schreiben sich die Eigenzustände von H0 als
|nlsml ms i,
s = 1/2,
ms = ±1/2,
(2.65)
die gleichzeitig Eigenzustände von L̂2 , Ŝ 2 , L̂z , und Ŝz sind (‘ungekoppelte Darstellung’).
Da sich L̂ und Ŝ zum Gesamtdrehimpuls Ĵ = L̂ + Ŝ addieren, ist eine alternative Basis
in der ‘gekoppelten Darstellung’ gegeben durch
|nlsjmi,
j = l + s, l + s − 1, ..., |l − s|,
m = ml + ms
(2.66)
mit Eigenfunktionen von Jˆ2 , L̂2 , Ŝ 2 , and Jˆz . Hierbei ist s = 1/2 der Spin des Elektrons.
Das führt zu den zwei Möglichkeiten j = l + 1/2 und j = l − 1/2 für l ≥ 1 und j = 1/2
für l = 0 (l läuft von 0 to n − 1).
Die Störung VSO kann jetzt in der |nlsjmi-Basis geschrieben werden, wobei wir
ŜL̂ =
hnl′ sj ′ m′ |ŜL̂|nlsjmi =
1 2
(2.67)
Ĵ − L̂2 − Ŝ2
2
1 2
~ (j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)) δjj ′ δll′ δmm′
2
benutzen. Für festes n, l, und m, (s = 1/2 ist konstant und deshlab ein ‘Dummy-Index’)
gibt es (für l ≥ 1)zwei Zustände, |nlsj = l ± 1/2mi. Die Spin-Bahn-Störung ist damit
also eine diagonale 2 × 2-Matrix im Raum dieser zwei Zustände;
1
Zα 1
l
0
, l ≥ 1.
(2.68)
VSO ↔
2
r 3 nl 2 0 −(l + 1)
Hierbei ist wieder aus den Radial-Wellenfunktionen
Z 3 α3
1
,
=
r 3 nl n3 l(l + 1/2)(l + 1)
l 6= 0.
(2.69)
Für l = 0 ist j = 1/2 und der Eigenwert von ŜL̂ dementsprechend Null. Die resultierende
Korrektur der Energie En , entsprechend den zwei Zuständen mit j = l ± 1/2, ist
1
Z 4 α2
l,
j = l + 12
, l ≥ 1.
(2.70)
δEn =
3
2 n l(l + 1)(2l + 1) −(l + 1), j = l − 12
2.3.4
Anteil VDarwin
Hier benötigt man wegen der Delta-Funktion δ(r) den Wert der Wellenfunktion am
Ursprung (LANDAU IV),
1
hr = 0|nlmi = δl0 √
π
Zα
n
3/2
.
(2.71)
36
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
2.3.5
Feinstrukturenergie und Entartung
Die Summe der drei Störkorrekturen ergibt die Feinstrukturenergie, also die Korrektur
zu En . Insgesamt kommt merkwürdigerweise eine ganz einfache Form heraus;
(Zα)4
1
3
δEn = −
−
.
(2.72)
2n3
j + 1/2 4n
2
2
Ohne Feinstrukturkorrekturen sind die Energien En = − α2nZ2 , Gl. (2.62), folgendermaßen entartet: Zu jeder Quantenzahl l gibt es (2l − 1) Drehimpulsquantenzahlen m (Radialsymmetrie). Weiterhin hängt beim Coulombpotential En nicht von l = 0, ..., n − 1 ab
(‘zufällige Entartung’, Runge-Lenz-Vektor), schliesslich gibt es zwei Spineinstellungen.
Insgesamt also ist die Entartung
2
n−1
X
(2l + 1) = 2n2 ,
Entartung ohne Feinstruktur.
(2.73)
l=0
4
2 2
3
1
Mit Feinstrukturkorrekturen sind die Energien En = − α2nZ2 − (Zα)
−
3
4n . Zu
j+1/2
2n
fester Hauptquantenzahl n und Gesamtdrehimpulsbetrag j gibt es verschiedene l =
j ± 1/2, wobei der Spin jetzt berücksichtigt ist und l wieder über l = 0, ..., n − 1 läuft.
Weiterhin hat die Projektion von j insgesamt 2j + 1 Werte. Die ersten Niveaus sind
1s 1
2
,
1 Wert, 2 Niveaus
2s 1 , 2p 1 ,
| 2 {z 2}
2p 3 ,
2
(2.74)
2 Werte, 2 + 2 + 4 = 8 Niveaus
3s 1 , 3p 1 , 3p 3 , 3d 3 ,
| 2 {z 2} | 2 {z 2}
...
3d 5 ,
2
(2.75)
3 Werte, 2 + 2 + 4 + 4 + 6 = 18 Niveaus(2.76)
(2.77)
Hierbei bedeutet s : l = 0, p : l = 1, d : l = 2, etc. Zur Quantenzahl n gibt es n
verschiedene Feinstrukturenergien. Die Gesamtzahl der Niveaus stimmt natürlich für
festes n wieder mit der Entartung 2n2 ohne Feinstruktur zusammen - die Dimension der
jeweiligen Unterräume zu festem n des Hilbertraums ändert sich nicht.
2.4
Die Hyper-Feinstruktur
(ITZYKSON-ZUBER) Die Wechselwirkung des Elektronenspins mit dem Magnetfeld,
das durch das magnetische Moment µp des Protons erzeugt wird, führt zu einer weiteren
Aufspaltung der Spektrallinien. Diese Aufspaltung ist in der Astrophysik von enormer
Bedeutung (Ausmessung der Galaxis über die 21-cm Linie, Pioneer 10/11-Plakette). Weiterhin spielt die Hyperfein-Wechselwirkung eine wichtige Rolle in der Festkörperphysik
(z.B. als Dephasierungsmechanismus bei Halbleiter-basierten Quanten-Bits, sog. qubits).
37
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
Wir schreiben die Wechselwirkungsenergie wie in der klassischen Magnetostatik als
(~ = c = 1)
Vhf ≡ −µe B,
µe ≡
e
σ
2m
(2.78)
mit dem magnetischen Moment µe des Elektrons. Das magnetische Moment µp des Protons (am Ursprung lokalisiert) entspricht in der klassischen Magnetostatik einer lokalisierten Stromdichte jµ = −µp × ∇δ(3) (r) mit Vektorpotential (SKRIPT ELEKTORDYNAMIK)
A=−
1
µ0
µp × ∇ ,
4π
r
1
r
−∇ = 3
r
r
(2.79)
und Magnetfeld
B = rotA = −
1
1
µ0
µ0
=−
∇ × (µp × ∇)
µp ∆ − (µp ∇)∇
4π
r
4π
r
(2.80)
(bac-cab-Regel für ∇-Operator). Im Folgenden betrachten wir nur s-Zustände für die
Elektronen-Wellenfunktionen, die Kugelsymmetrie haben. Dann kann man ersetzen
1
1
1
4π
hΨ|∇i ∇j |Ψi → δij hΨ|∆ |Ψi = − δij |Ψ(0)|2 ,
r
3
r
3
(2.81)
wobei wir ∆ 1r = −4πδ(3) (r) benutzten. Insgesamt wird der in erster Störungstheorie
benötigte Erwartungswert von Vhf zu
4π
2µ0
µ0
µ µ |Ψ(0)|2 ,
(2.82)
|Ψ(0)|2 = −
hΨ|Vhf |Ψi = µe µp −4π +
4π
3
3 e p
der hier noch die magnetischen Momente als Operatoren enthält. Wir schreiben die
magnetischen Momente als
e
σ e , magnetisches Moment des Elektrons
2m
gp e
σ p , magnetisches Moment des Protons.
= −
2 2mp
µe =
(2.83)
µp
(2.84)
Hierbei ist in µp der g-Faktor gp eingeführt worden, mp bezeichnet die Protonenmasse,
und σ p den Vektor der Paulimatrizen für den Spin 12 des Protons. Entsprechend ist auch
der g-Faktor des Elektrons über
µe =
ge e
e
σ e = ge
Se ,
2 2m
2m
ge = 2
(2.85)
definiert, wobei wir festhalten
ge = 2,
g-Faktor des Elektrons in der Dirac-Theorie.
(2.86)
38
2. Die Feinstruktur des Wasserstoffatoms
AUFGABE: Informationen über gp sammeln.
Wie beim Darwin-Term benötigen wir wieder die Wellenfunktion des Elektrons am
Ursprung, hier für n = 1 und Z = 1 in Gl. (2.71), also (Elektronenmasse m wider
eingesetzt)
|Ψ(0)|2 =
(mα)3
.
π
(2.87)
Der Operator σe σ p hat zwei Eigenwerte, nämlich nach Gl. (2.54)
−3 ,
1
,
Singlett
Triplett .
(2.88)
Die Differenz 4 führt dann zur Hyperfein-Aufspaltung der s = 0-Wasserstofflinie (α =
e2 /(4π~c) Konvention ITZYKSON-ZUBER)
∆Ehf =
4
m
mα4
gp = 1420MHz.
3
mp
(2.89)
AUFGABE: Einheiten konsistent machen (µ0 , c, α etc., Vergleich verschiedener Lehrbücher,
Gauß vs. SI etc. ). Ist hier im Skript (aus Zeitgründen) leider noch nicht ganz konsistent
gemacht, ändert aber natürlich nichts an der Physik.
3. VIELTEILCHENSYSTEME
3.1
Bosonen und Fermionen
Wir bezeichnen als Teilchen Objekte mit abzählbar vielen Fundamentaleigenschaften
(Masse m, Spin s, Ladung q).
3.1.1
Unterscheidbare Teilchen
Unterscheidbare Teilchen unterscheiden sich in den Fundamentaleigenschaften (Masse
m, Spin s, Ladung q,...).
Definition Ein N -Teilchensystem wird dann Tensorprodukt der Einteilchen-Hilberträume
HN = H(1) ⊗ ... ⊗ H(N )
(3.1)
beschrieben. Eine Basis von HN sind reine Tensoren
|α1 i ⊗ ... ⊗ |αN i,
(3.2)
die z.B. im Ortsraum Produkt-Wellenfunktionen Ψα1 (x1 )...ΨαN (xN ) entsprechen können.
Die quantenmechanische Beschreibung eines aus mehreren Objekten zusammengesetzten Systems ist der entscheidende Bruch mit der klassischen Physik ( Konzept der
Verschränkung, SKRIPT QM 1).
3.1.2
Zwei ununterscheidbare Teilchen, Transpositionsoperator
Zwei Teilchen mit identischen Fundamentaleigenschaften heissen ununterscheidbar . Die
Ununterscheidbarkeit führt zu einer Symmetrieeigenschaft der Wellenfunktion Ψ(ξ1 , ξ2 )
des 2-Teilchensystems (ξi = (xi , σi ) Multiindex für Ort und Spin des Teilchens i) bei
Teilchenvertauschung. (LEHRBUCH SCHERZ)
Definition
Π̂12 Ψ(ξ1 , ξ2 ) = Ψ(ξ2 , ξ1 ),
Π̂12 Transpositionsoperator .
(3.3)
Der so definierte Operator hat die Eigenschaften (AUFGABE)
Π̂212 = 1,
Π̂†12 = Π̂12 = Π̂−1
12 ,
er ist also selbstadjungiert und unitär.
(3.4)
40
3. Vielteilchensysteme
Alle quantenmechanisch Erwartungswerte vonm Observablen  im Zustand |Ψi müssen
bei ununterscheidbaren Teilchen so berechnet werden, daß eine Numerierung der Teilchen
keinen Unterschied macht:
hΨ|ÂΨi = hΠ̂12 Ψ|ÂΠ̂12 Ψi = hΨ|Π̂†12 ÂΠ̂12 Ψi = hΨ|Π̂−1
12 ÂΠ̂12 Ψi.
(3.5)
Daraus folgt
[Â, Π̂12 ] = 0,
(3.6)
die Observable muß also symmetrisch gegenüber Vertauschung der Teilchenindizes ξ1
und ξ2 sein. Es gilt weiterhin
Satz 11. Wellenfunktionen Ψ(ξ1 , ξ2 ), die zwei ununterscheidbare Teilchen beschreiben,
sind entweder symmetrisch oder antisymmetrisch bzgl. der Vertauschung von ξ1 und ξ2 ,
Π̂12 |Ψi = |Ψi,
Π̂12 |Ψi = −|Ψi,
symmetrisch (Bosonen)
antisymmetrisch (Fermionen).
(3.7)
(3.8)
Beweis: Der Projektionsoperator P̂Ψ ≡ |ΨihΨ| ist als selbstadjungierter Operator
eine Observable. Mit normieretem Ψ folgt
|ΨihΨ|Π̂12 Ψi = P̂Ψ Π̂12 Ψi = Π̂12 P̂Ψ |Ψi = Π̂12 |Ψi.
(3.9)
Skalares Multiplizieren der Gleichungvon links mit hΨ|Π̂12 führt auf
hΨ|Π̂12 Ψi2 = hΨ|Π̂212 |Ψi = 1
hΨ|Π̂12 Ψi = ±1,
(3.10)
es gibt also tatsächlich nur die zwei Möglichkeiten ±1.
3.1.3
Permutationen von N ununterscheidbare Teilchen
Für N Objekte 1, 2, ..., N gibt es N ! Permutationen p ∈ SN (Permutationsgruppe),
wobei p eine Permutation des Zahlenstrangs 1, 2, 3, 4, ...N darstellt. Der zugehörige Permutationsoperator Π̂p permutiert die Argumente ξi einer N -Teilchen-Wellenfunktion,
z.B.
Π̂p Ψ(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = Ψ(ξ2 , ξ3 , ξ1 ).
(3.11)
Jede Permutation p läßt sich als Produkt von Transpositionen schreiben: im obigen
Beispiel erst die ersten beiden, dann die letzten beiden Zahlen vertauschen. Entsprechend
läßt sich jeder Permutationsoperator Π̂p als Produkt von Transpositionsoperatoren Π̂ij
schreiben. Daraus folgt Π̂†p = Π̂−1
p , d.h. die Π̂ij sind unitär (NACHPRÜFEN), aber nicht
unbedingt selbstadjungiert.
Wie im Fall N = 2 unterliegen Observablen  und Zustände |Ψi bei ununterscheidbaren Teilchen gewissen Einschränkungen: Es muß wiederum
[Â, Π̂p ] = 0
(3.12)
gelten, die Observable muß also symmetrisch gegenüber Permutation aller Teilchenindizes ξi sein. Es gilt weiterhin
41
3. Vielteilchensysteme
Satz 12. Wellenfunktionen von Zuständen, die N ununterscheidbare Teilchen beschreiben, sind entweder symmetrisch oder antisymmetrisch bzgl. der Vertauschung von ξi
Π̂p |Ψi = |Ψi,
symmetrisch (Bosonen)
Π̂p |Ψi = −sgn(p)|Ψi,
antisymmetrisch (Fermionen).
(3.13)
(3.14)
Hierbei ist sgn(p) ≡ (−1)n(p) die Anzahl der Transpositionen, um die Permutation p
zu erzeugen. Man definiert weiterhin
Ŝ ≡
 ≡
1 X
√
Π̂p , Symmetrisierungsoperator
N ! p∈S
N
1 X
√
sgn(p)Π̂p , Anti-Symmetrisierungsoperator
N ! p∈S
(3.15)
(3.16)
N
Mit Hilfe dieser Operatoren lässt sich eine N -Teilchen-Basis von bosonischen bzw. Fermionischen Wellenfunktionen aufstellen.
3.1.4
Basis für Bosonen
Eine Basis für symmetrische Wellenfunktionen für N Bosonen wird wie folgt konstruiert.
1. Wir betrachten zunächst den Fall, wo es nur einen möglichen Einteilchen-Zustand |νi
gibt. Die Dimension des Einteilchen-Hilbertraums ist also eins. Für N Teilchen ist dann
der entsprechende Zustand
| ν, ..., ν iS
| {z }
N mal
↔ hξ1 , ..., ξN |ν, ..., νiS ≡ ψν (ξ1 )...ψν (ξN )
(3.17)
Diese Wellenfunktion ist offensichtlich symmetrisch bei Vertauschungen der ξi .
2. Wir betrachten nun den Fall von N = 2 Bosonen und abzählbaren EinteilchenBasiszuständen {|νi}, ν = 1, 2, 3, ... (separabler Einteilchen-Hilbertraum, kann unendlichdimensional sein). Da wir zwei Teilchen haben, haben die Produktwellenfunktionen einer
Basis zunächst die Form
Ψν1 (ξ1 )Ψν2 (ξ2 ),
noch nicht symmetrisiert,
(3.18)
wobei wir jetzt natürlich zwei Indizes ν1 und ν2 benötigen. Dieses Produkt wird muss
für eine bosonische Basis jetzt symmetrisiert werden;
|ν1 , ν2 iS ↔ hξ1 , ξ2 |ν1 , ν2 iS
1
√ [ψν1 (ξ1 )ψν2 (ξ2 ) + ψν1 (ξ2 )ψν2 (ξ1 )]
2
= Ŝψν1 (ξ1 )ψν2 (ξ2 ).
≡
(3.19)
3. Wir betrachten nun den Fall von nur zwei festen Einteilchenzuständen |ν1 i und |ν2 i
(z.B. eines Hilbertraums mit Dimension zwei), und insgesamt N bosonischen Teilchen,
42
3. Vielteilchensysteme
mit N1 teilchen im Zustand |ν1 i und N2 Teilchen im Zustand |ν2 i. Hierfür müssen wir
jetzt die Zustände
|ν1 , ..., ν1 , ν2 , ..., ν2 i ↔ ψν1 (ξ1 )...ψν1 (ξN1 )ψν2 (ξN1 +1 )...ψν2 (ξN2 )
| {z } | {z }
N1 times N2 times
N1 + N2 = N
symmetrisieren, und zwar wieder durch Anwendung von Ŝ auf dieses Produkt,
1 X
√
Π̂p ψν1 (ξ1 )...ψν1 (ξN1 )ψν2 (ξN1 +1 )...ψν2 (ξN2 ),
N! p
(3.20)
(3.21)
wodurch wir eine Summe von N ! tTermen erhalten, die jeder N Produkte von EinteilchenWellenfunktionen enthalten. Wir betrachten z.B. den Fall N1 = 1 und N2 = 2,
1 X
√
Π̂p ψν1 (ξ1 )ψν2 (ξ2 )ψν2 (ξ3 ) =
3! p
1 h
= √
ψν1 (ξ1 )ψν2 (ξ2 )ψν2 (ξ3 ) + ψν1 (ξ1 )ψν2 (ξ3 )ψν2 (ξ2 )
N!
+ ψν1 (ξ2 )ψν2 (ξ1 )ψν2 (ξ3 ) + ψν1 (ξ2 )ψν2 (ξ3 )ψν2 (ξ1 )
i
+ ψν1 (ξ3 )ψν2 (ξ1 )ψν2 (ξ2 ) + ψν1 (ξ3 )ψν2 (ξ2 )ψν2 (ξ1 ) ,
(3.22)
wo wir in jeder Zeile oben N2 ! = 2! identische Terme haben. Für einen allgemeineren
Fall mit N1 > 1 und N2 > 1 bekommt man entsprechend N1 !N2 ! identische Terme in
jeder Zeile (AUFGABE). Die symmetrisierte Wellenfunktion sieht deshalb schematisch
wie folgt aus;
N!
1
√ N1 !N2 ! Summe von
orthogonalen Wellenfunktionen ,
(3.23)
N1 !N2 !
N!
und das Skalarprodukt dieser symmetrisierten Wellenfunktion mit sich selbst gibt
2
1
N!
√ N1 !N2 !
= N1 !N2 !
(3.24)
N1 !N2 !
N!
√
Zur Normiereung müssen wir dehalb noch durch 1/ N1 !N2 ! dividieren, und deshalb ist
der korrekt normierte, symmetrisierte Zustand hier
|ν1 , ..., ν1 , ν2 , ..., ν2 iS
X
1
↔ √ √
Π̂p ψν1 (ξ1 )...ψν1 (ξN1 )ψν2 (ξN1 +1 )...ψν2 (ξN2 ).
√
N ! N1 ! N2 ! p
(3.25)
das läßt sich jetzt einfach auf den Fall verallgemeinern, wo wir N1 teilchen im Zustand
ν1 , N2 teilchen im Zustand ν2 ,...,Nr Teilchen im Zustand νr haben, wobei
r
X
i=1
Nr = N.
(3.26)
43
3. Vielteilchensysteme
Der symmetrisierte Zustand ist dann
|ν1 , ..., ν1 , ν2 , ..., ν2 , ..., νr , ..., νr iS ,
Bosonen
(3.27)
↔ hξ1 , ..., ξN |ν1 , ..., ν1 , ν2 , ..., ν2 , ..., νr , ..., νr iS ≡
1
≡ √ √
×
√
√
N ! N1 ! N2 !... Nr !
X
Π̂p ψν1 (ξ1 )...ψν1 (ξN1 )ψν2 (ξN1 +1 )...ψν2 (ξN2 )...ψνr (ξN −Nr +1 )...ψνr (ξN ).
p
3.1.5
Basis für Fermionen
Für Fermionen sehen die Basiszustände anders aus als bei den Bosonen, weil wir jetzt
Produkte von Einteilchen-Wellenfunktionen antisymmetrisieren müssen. Im Gegensatz
zu den Bosonen kann es jetzt allerdings nicht vorkommen, dass zwei oder mehr Teilchen
im gleichen Einteilchenzustand ν sitzen (Pauli-Prinzip), denn dann wäre solch eine Wellenfunktion symmetrisch bei Vertauschen der ξi der entsprechenden Teilchen, was bei
Fermionen aber nicht sein kann, da ihre Wellenfunktionen immer antisymmetrisch unter
Teilchenvertauschung sind. Anders ausgedrückt:
Satz 13 (Pauli-Prinzip). Bei Fermionischen Zuständen (Wellenfunktionen) kann jeder
Einteilchenzustand höchstens einmal besetzt sein.
√
Dadurch hat man bei Fermionen keine zusätzlichen Normierungsfaktoren wie N1 !
etc. bei den Bosonen oben. Die Basis für Fermionen erhält man direkt durch Anwendung
des Antisymmetrisierungsoperators  auf die Produktzustände ψν1 (ξ1 )...ψνN (ξN );
1 X
|ν1 , ..., νN iA = Â|ν1 , ..., νN i = √
Π̂p sign(p)|ν1 , ..., νN i
N! p
1 X
Π̂p sign(p)ψν1 (ξ1 )...ψνN (ξN )
↔ hξ1 , ..., ξN |ν1 , ..., νN iA ≡ √
N! p
ψν1 (ξ1 ) ψν1 (ξ2 ) ... ψν1 (ξN ) 1 ψν2 (ξ1 ) ψν2 (ξ2 ) ... ψν2 (ξN ) = √ , Slater-Determinanten.
...
N! ψν (ξ1 ) ψν (ξ2 ) ... ψν (ξN ) N
N
N
(3.28)
Man erkennt hier sofort, das das Vertauschen zweier Teilchen, d.h. dem Austauschen
zweier Indizes (z.B. ξ1 und ξ2 ) in der Slaterdeterminante, dem Vertauschen zweier Spalten entspricht, was ein Minuszeichen ergibt, wie es sein muß. Weiterhin sind Slaterdeterminanten, in denen zwei oder mehr der Einteilchen-Quantenzahlen νi identisch sin,
Null: Das ist das Pauli-Prinzip. Die Slaterdeterminanten sind also eine korrekte Basis
für Fermionen.
44
3. Vielteilchensysteme
3.1.6
Spin-Statistik-Theorem
Aus der relativistischen Vielteilchentheorie, d.h. der korrekten Quantisierung der KleinGordon-Gleichung, der Dirac-Gleichung usw., werden wir weiter unten (beim der zweiten
Quantisierung) finden:
Satz 14 (Spin-Statistik-Theorem (Pauli 1925, 1940)). Bosonen haben ganzzahligen Spin.
Fermionen haben halbzahligen Spin.
3.2
Die Austauschwechselwirkung
Der strenge Zusammmenhanh zwischen Spin und Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktion führt bei quantenmechanischen Vielteilchensystem zu einem Einfluß der Statistik auf die Energien des Systems.
3.2.1
Heitler-London-Theorie des Wasserstoff-Moleküls
Wir betrachten zwei Elektronen mit dem Hamiltonian
H = Ha + Hb + HW
(3.29)
mit Einteilchen-Hamiltonians Ha , Hb (jeweils feste Protonen an den Orten Ra und
Rb ) und der Wechselwirkung HW zwischen den zwei Elektronen. Für HW = 0 ist das
ein exakt lösbares Problem: die Zweielektronen-Ortswellenfunktionen können aus den
Einelektronen-Ortswellenfunktionen Ψα (r) konstruiert werden, wobei
H0 Ψα (r) = εα Ψα (r),
H0 ≡ Ha + Hb
(3.30)
Wir interessieren uns für die Zustände mit der niedrigsten Energie. Eine gute Näherung
für die zwei energetisch niedrigsten WF sind
Ψ+ (r) =
Ψ− (r) =
1
√ [ϕa (r) + ϕb (r)]
2
1
√ [ϕa (r) − ϕb (r)] ,
2
(3.31)
(3.32)
d.h. die räumlich zwischen Ra und Rb delokalisierten symmetrischen bzw. antisymmetrischen Linearkombinationen der um Ra bzw. Rb lokalisierten Grundzustands-WF ϕa (r)
bzw. ϕa (r) (vgl. unsere Diskussion des Zwei-Niveausystems/Doppelmuldenpotential in
QM 1). Dabei erfüllen die zugehörigen Energien E+ < E− , d.h. Ψ+ (r) ist eine gute
Approximation des Grundzustands des Einelektronen-Problems.
Ohne die Wechselwirkung HW würde man jetzt für den Grundzustand des Zweielektronen-Problems die symmetrische Wellenfunktion
hr1 r2 |GZi0 = Ψ+ (r1 )Ψ+ (r2 )
(3.33)
45
3. Vielteilchensysteme
haben. Da die WF inklusive Spin antisymmetrisch bzgl. Teilchenvertauschung sein muß,
lautet der Grundzustand inklusive Spin dann also
hr1 r2 |GZi0 ⊗ |Si
mit dem Spin-Singlett |Si =
Singlett, wie es sein muß:
√1
2
(3.34)
[| ↑↓i − | ↓↑i]. Der Grundzustand ist also ein Spinp2
p2
Satz 15. Der Grundzustand eines Zwei-Elektronen Hamiltonians H = 2m1 + 2m2 +V (r1 r2 )
mit skalarem Potential V (r1 r2 ) = V (r2 r1 ) (kein Magnetfeld) hat im Ortsraum keine
Knoten und ist ein Spin-Singlett.
BEWEIS: s. MATTIS.
Mit Wechselwirkung HW würde man jetzt für den Grundzustand unseres Moleküls
vielleicht eine Störungstheorie, ausgehend von hr1 r2 |GZi0 , versuchen. Das ist aber keine
gute Idee, denn
i
1h
ϕa (r1 )ϕa (r2 ) + ϕb (r1 )ϕb (r2 ) + ϕa (r1 )ϕb (r2 ) + ϕb (r1 )ϕa (r2 ) (3.35)
Ψ+ (r1 )Ψ+ (r2 ) =
2
Der unterstrichene Term zeigt, wo das Problem liegt: diese Beiträge entsprechen zwei
Elektronen in der Nähe desselben Kerns a bzw. b, was bei Anwesenheit von abstoßender
Coulombwechsel zwischen den Elektronen sehr unwahrscheinlich ist.
(MATTIS) Ein besserer Ansatz für den Grundzustand ist es deshalb, nur das Produkt
ϕa (r1 )ϕb (r2 ) zu nehmen. Genausogut kann man allerdings ϕa (r2 )ϕb (r1 ) nehmen, da der
gesamte Hamiltonian invariant unter Vertauschung von r1 und r2 ist. Als Ansatz wählt
man deshalb eine Variations-Wellenfunktion
|Ψi = c1 |Ψ1 i + c2 |Ψ2 i,
Ψ1 (r1 r2 ) ≡ ϕa (r1 )ϕb (r2 ),
Ψ2 (r1 r2 ) ≡ ϕa (r2 )ϕb (r1 ) (3.36)
in der die Koeffizienten c1 und c2 aus der Minimierung des Erwartungswerts der Energie
bestimmt werden,
E≡
hΨ|H|Ψi
= min.
hΨ|Ψi
(3.37)
In die Berechnung von E gehen also die Skalarprodukte
V
U
≡ hΨ1 |HW |Ψ1 i = hΨ2 |HW |Ψ2 i,
≡ hΨ1 |HW |Ψ2 i = hΨ2 |HW |Ψ1 i,
l ≡ hϕa |ϕb i,
Coulomb-Integral
(3.38)
Austausch-Integral
(3.39)
Überlapp-Integral
(3.40)
ein. Es ergeben sich zwei Lösungen (entsprechend den zwei Parametern c1 und c2 , AUFGABE)
c1 = c2 ,
c1 = −c2 ,
Ψsymm ∝ Ψ1 + Ψ2 ,
Ψantisymm ∝ Ψ1 − Ψ2 ,
V +U
1 + l2
V −U
≡ Et = 2εa +
,
1 − l2
Esymm ≡ Es ≡ 2εa +
(3.41)
Eantisymm
(3.42)
46
3. Vielteilchensysteme
wobei εa = εb die Eigen-Energie zu ϕa ist. Wiederum zeigt sich, dass Esymm < Eantisymm ,
d.h. der Grundzustand ist ein Singlett, wie es sein muß. Weiterhin gibt es drei energetisch
angeregte Zustände mit Ψantisymm als Bahn-Wellenfunktion und den drei Tripletts als
Spinoren. Zusammenfassend also
1
Es : |Ψs i = |Ψsymm i ⊗ √ [| ↑↓i − | ↓↑i]
2
Et : |Ψt,1 i = |Ψantisymm i ⊗ | ↑↑i
1
Et : |Ψt,0 i = |Ψantisymm i ⊗ √ [| ↑↓i + | ↓↑i]
2
Et : |Ψt,−1 i = |Ψantisymm i ⊗ | ↑↑i.
Das Austausch-Integral (immer rein reelle WF angenommen)
Z
U = hΨ1 |HW |Ψ2 i = dr1 r2 ϕa (r1 )ϕb (r2 )HW (r1 r2 )ϕa (r2 )ϕb (r1 )
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.47)
erhält seinen Namen vom Austausch der zwei Variablen r1 , r2 in ϕa (r2 )ϕb (r1 ) unter dem
Integral. Die Energiedifferenz
J ≡ Esymm − Eantisymm = −2
V l2 − U
,
1 − l4
Austausch-Konstante
(3.48)
geht für große Abstände |Ra − Rb | der Protonen gegen
J → U,
(3.49)
weshalb J selbst manchmal auch als Austausch-Integral bezeichnet wird. Die Berechnung
von J ergibt J < 0, wie es sein muß.
AUFGABE: Zeige, daß sich die Basis der vier Zustände, Gl. (3.43) etc., aus Linearkombinationen von Slaterdeterminanten hξ1 , ξ2 |abiA konstruieren läßt. Hierbei ist
ξ1 = (r1 , σ1 ), ξ2 = (r2 , σ2 ).
3.2.2
Austausch und Heisenberg-Hamiltonian
Wegen des Pauliprinzips ist mit der Bahnwellenfunktion die Spinwellenfunktion automatisch festgelegt: zu Ψsymm gehört ein Spin-Singlett, während zu Ψantisymm ein SpinTriplett gehört. Der Spin der Zustände (Grundzustand, erster angeregter Zustand) wird
also automatisch durch die Energien Esymm und Eantisymm festgelegt, obwohl diese aus einem spin-unabhängigen Hamiltonian H bestimmt werden! Es ist also letztlich die elektrostatische Wechselwirkung, die die relative Einstellung der zwei Spins (parallel im Triplett,
anti-parallel im Singlett) festlegt. Diese Aussage läßt sich durch einen SpinoperatorHamiltonian
1
Hspin ≡ (Es + 3Et ) − (Es − Et )S1 S2
4
(3.50)
47
3. Vielteilchensysteme
formalisieren. Hspin hat wegen
1
S = (S1 + S2 ) =
1+
2
3
S1 S2 |Si = − |Si, Singlett ,
4
2
2
1
3
1+
+ 2S1 S2 = + 2S1 S2(3.51)
2
2
1
S1 S2 |T i = |T i, Triplett
(3.52)
4
1
2
1
+
2
den Eigenwert Es im Singlett-Zustand |Si und den Eigenwert Et im Triplett-Zustand
|T i. Unter Weglassen der Konstante 14 (Es + 3Et ) können wir dann den Spin-Hamiltonian
als
Hspin = −JS1 S2 ,
Heisenberg-Hamiltonian (zwei Spins)
(3.53)
definieren. In dem Unterraum der vier Zustände Gl. (3.43) können wir also effektive mit
Hspin das Spektrum beschreiben. Das ist natürlich für das hier vorliegende Problem zweier Elektronen ein reiner ‘Overkill’, allerdings wird durch den Heisenberg-Hamiltonian
Gl. (3.53) erst richtig klar, wie der Zusammenhang von Spin und elektrostatischer
(Austausch)-Wechselwirkung tatsächlich ist.
Der Grundzustand des Wasserstoffmoleküls ist wegen J < 0 ein Spin-Singlett, also
ein Zustand mit anti-parallelen Spins: ein ‘embryonaler Anti-Ferromagnet’. J >
0 und ein Spin-Triplett würde man dahingegen als ‘embryonalen Ferromagneten’
bezeichnen.
Die Verallgemeinerung von Gl. (3.53) auf N Atome mit Austauschwechselwirkung
wird jetzt postuliert
H=−
N
X
Jij Si Sj ,
Heisenberg-Hamiltonian .
(3.54)
i,j=1
Hierbei ist Si ein an der Stelle Ri lokalisierter Spin- 12 -Operator, und Jij sind die Kopplungskonstanten, die als Parameter und nicht als auszurechnende Größen aufgefaßt werden sollten (NOLTING/RAMAKANTH). Der Heisenberg-Hamiltonian ist ein Modell
zur Beschreibung von Magnetismus lokalisierter magnetischer Momente, vor allem in
Isolatoren, vgl.SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE.
3.2.3
Austauschwechselwirkung in einem Elektronengas
Wir betrachten ein ortsabhängiges Wechselwirkungspotential Ĥ1 = U (|r1 − r2 |) und
zwei Elektronen mit bzgl. Teilchenvertauschung symmetrischen bzw. antisymmetrischen
Ortswellenfunktionen
φ±
αβ (r1 , r2 ) =
1
√ [φα (r1 )φβ (r2 ) ± φα (r2 )φβ (r1 )] ,
2
(3.55)
48
3. Vielteilchensysteme
wobei die φα Einteilchenzustände sind, die dem Spin-Singlett |Si (φ+
αβ ) und den drei
Spin-Tripletts |Ti i, i = 0, ±1 (φ−
)
entsprechen.
Es
soll
α
=
6
β
gelten.
Für den Erwarαβ
tungswert von Ĥ1 in den vier Zuständen
|φS i = φ+
αβ (r1 , r2 ) ⊗ |Si,
|φT,i i = φ−
αβ (r1 , r2 ) ⊗ |Ti i
(3.56)
gilt dann
hφS |Ĥ1 |φS i = A + J, hφT,i |Ĥ1 |φT,i i = A − J
Z Z
A =
dr1 dr2 |φα (r1 )|2 U (|r1 − r2 |) |φβ (r2 )|2 , direkter Term
Z Z
J =
dr1 dr2 φ∗α (r2 )φ∗β (r1 )U (|r1 − r2 |) φα (r1 )φβ (r2 ), Austausch-Term.
(3.57)
Wie erwartet finden wir wieder, dass der Erwartungswert der Wechselwirkungsenergie vom Spin abhängt, obwohl das Wechselwirkungspotential U (|r1 − r2 |) selbst Spinunabhängig ist.
Wir konkretisieren jetzt auf den Fall ebener Wellen im Box-Volumen Ld
1
φα (r) = √ e−ikr ,
Ld
1
′
φβ (r) = √ e−ik r
d
L
(3.58)
und berechnen damit
Z Z
Z
1
1
1
′
i(k′ −k)(r1 −r2 )
dr1 dr2 e
U (|r1 − r2 |) = d dre−i(k−k )r U (|r|) ≡ d Ũ (k − k′ )
J =
2d
L
L
L
1
A =
Ũ (0).
(3.59)
Ld
Falls U (r) das nackte Coulomb-Potential beschreibt, divergiert formal der direkte Term
A; allerdings wird im Jellium-Modell die q = 0-Komponenten sowieso durch die positive
Hintergrundsladung kompensiert und tritt im Hamiltonian gar nicht erst auf, d.h. A = 0
(alternativ ist für ein abgeschirmtes Potential A endlich). Im Jellium -Modell mit U (r) =
e2 /r gilt also für die obige Situation
A = 0,
J=
1 4πe2
.
Ld |k1 − k2 |
(3.60)
Die gesamte Wechselwirkungsenergie eines Fermigases wird damit in erster Ordnung
Störungstheorie zu


X
X
1
hφS |Ĥ1 |φS i +
hφT,i |Ĥ1 |φT,i i f (εk1 )f (εk2 )
(3.61)
E (1) =
2
i=0,±1
k1 k2
1 X
′
(3.62)
4
Ũ
(0)
−
2
Ũ
(k
−
k
)
f (εk )f (εk′ ),
=
2Ld ′
kk
49
3. Vielteilchensysteme
wobei f (εk ) die Besetzungswahrscheinlichkeit des Einteilchenzustands k ist, d.h. die
Fermifunktion zur Energie εk . Mit Ũ (k − k′ ) > 0 führt der Austauschterm also zu einer
Absenkung der Energie, der von den Triplett-Termen herrührt: zwei Elektronen mit
parallelem Spin vermeiden es wegen des Pauli-Prinzips, sich zu nahe zu kommen, was
die Wechselwirkungsenergie absenkt. 1
3.3
Die Zweite Quantisierung
Die Zweite Quantisierung ist eine Beschreibung fermionischer oder bosonischer Systeme, die anstelle von expliziten N -Teilchen-Wellenfunktionen die wesentlich einfacheren
Besetzungszahlen benutzt.
3.3.1
Besetzungszahlen
Sei zunächst {|νi} eine Basis eines Einteilchen-Hilbertraums (im Folgenden der Einfachheit halber ν = 1, 2, 3, ..., d diskret, d Dimension des Hilbertraums, kann unendlich
sein).
Wir führen für die N -Teilchen-Wellenfunktionen |ν1 , ..., νN iA der Fermionen, Gl. (3.28),
eine bequeme Schreibweise ein:
1 X
√
Π̂p sign(p)ψν1 (ξ1 )...ψνN (ξN ) ≡ hξ1 , ..., ξN |ν1 , ..., νN iA ,
N! p
1. Quantisierung
≡ hξ1 , ..., ξN |n1 n2 n3 ...nd iN
−,
ni = 0, 1,
2. Quantisierung
ni : Anzahl aller νi mit νi = i,
(3.63)
wobei also n1 die Anzahl der Fermionen im 1-Teilchenzustand |1i, n2 die Anzahl der
Fermionen im 1-Teilchenzustand |2i etc. angibt. Für das Beispiel d = 10, N = 4 können
wir also die Kets
|3569i
| {z A}
1.Quantisierung
= |0010110010i4−
|
{z
}
(3.64)
2.Quantisierung
identifizieren. Zunächst ist das also eine Art ‘buchhalterischer Notationswechsel’. Wegen
des Pauliprinzips treten bei den Fermionen hier nur Nullen oder Einsen auf.
Bei den Bosonen ist Mehrfachbesetzung möglich, und wir definieren
1
man beachte, dass hier ein Fermi-See ebener Wellen in Störungstheorie diskutiert wird. Bei der
Heitler-London-Theorie des Wasserstoff-Moleküls ist das anders, dort hat das Zwei-Elektronen-Singlett
die niedrigste Energie, wie es nach dem exakten Theorem Gl. (15) sein muss.
50
3. Vielteilchensysteme
√
X
1
Π̂p ψν1 (ξ1 )...ψν1 (ξN1 )...ψνr (ξN −Nr +1 )...ψνr (ξN )
√
√
√
N ! N1 ! N2 !... Nr ! p
≡ hξ1 , ..., ξN |ν1 , ..., ν1 , ν2 , ..., ν2 , ..., νr , ..., νr iS ,
≡
hξ1 , ..., ξN |n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+,
ni = 0, 1, ..., N,
1. Quantisierung
2. Quantisierung
ni : Anzahl aller νi mit νi = i,
(3.65)
(3.66)
(3.67)
wobei wiederum n1 die Anzahl der Bosonen im 1-Teilchenzustand |1i, etc. angibt. Für
das Beispiel d = 10, N = 7 können wir also die Kets
|3355589iS = |0020300110i7−
| {z }
{z
}
|
(3.68)
N1 !N2 !...Nr ! = n1 !n2 !...nd !.
(3.69)
1.Quantisierung
2.Quantisierung
identifizieren. Die dabei in 2. Quantisierung von Null verschiedenen Besetzungszahlen
ni entsprechen dabei gerade einem der Ni in der Normierung der Wellenfunktion, und
wegen 0! = 1 gilt also insbesondere für den Normierungsfaktor
Wir können mit dieser ‘buchhalterischen Notation’ also sowohl für Fermionen als auch für
Bosonen immer wieder die ursprüngliche, korrekt normierte N -Teilchen-Wellenfunktion
hinschreiben.
3.3.2
Besetzungszahlen beim harmonischen Oszillator, Phononen
Ein einfaches Beispiel für Besetzungszahlen von Phononen kennen wir vom harmonischen
Oszillator, der zunächst ein einzelnes Teilchen der Masse m im quadratischen Potential
mit Hamiltonoperator
Ĥ =
p̂2
1
+ mω 2 x̂2
2m 2
beschreibt. Man definiert Auf- und Absteigeoperatoren a† und a (QM 1)
r
i
mω
x̂ + √
a ≡
p̂, Vernichter (Absteigeoperator)
2~
2m~ω
r
i
mω
x̂ − √
p̂, Erzeuger (Aufsteigeoperator) .
a† ≡
2~
2m~ω
(3.70)
(3.71)
(3.72)
Weil x̂ und p̂ selbst hermitesch sind, ist der Erzeuger a† (‘a dagger’) der zum Vernichter
adjungierte Operator. Aus dem Kommutator von Ort x̂ und Impuls p̂ findet man leicht
[x̂, p̂] = i~
[a, a† ] = 1.
(3.73)
51
3. Vielteilchensysteme
Man definiert weiterhin den Besetzungszahl-Operator N̂
N̂ ≡ a† a,
(3.74)
der hermitesch ist wegen N̂ † = (a† a)† = a† (a† )† = N̂ . Der Hamiltonian (3.70) schreibt
sich damit als
p̂2
1
1
1
2 2
†
Ĥ =
+ mω x̂ = ~ω a a +
= ~ω N̂ +
.
(3.75)
2m 2
2
2
Da Ĥ als Messgröße selbstadjungiert sein muß, gilt dieses offenbar auch für N̂, dessen
Eigenwerte also reell sein müssen und die wir als n bezeichen, um nun zu zeigen, daß
n = 0, 1, 2, 3, .... Wir bezeichnen die entsprechenden normierten Eigenvektoren von N̂
mit |ni, für die gilt
(a† )n
N̂ |ni = n|ni, |ni = √ |0i.
n!
√
√
†
n + 1|n + 1i, a|ni = n|n − 1i.
a |ni =
(3.76)
(3.77)
Hierbei ist |0i der Grundzustand des Hamiltonians Ĥ.
Der Eigenzustand |ni des harmonischen Oszillators mit Energie ~ω(n + 1/2) heißt
auch Fockzustand. Seine Energie entspricht n ‘Quanten’ der Energie ~ω plus die Nullpunktsenergie ~ω/2. Diese Quanten werden als Phononen bezeichnet, wenn der
Oszillator-Hamiltonian einen mechanischen Schwingungsfreiheitsgrad beschreibt. Der
Fock-Zustand |ni heißt dann entsprechend n-Phononen-Zustand.
|ni ←→ n-Phononen-Zustand.
(3.78)
Die Quanten (Phononen) werden nun in einem nächsten Abstraktionsschritt selbst als
ununterscheidbare Teilchen aufgefasst, nämlich als Bosonen. Man beachte, dass diese
neuen Teilchen nichts mehr direkt mit dem ursprünglichen Teilchen der Masse m, das
sich im quadratischen Potential 21 mω 2 x2 bewegt, zu tun haben. 2
3.3.3
Zweite Quantisierung für Bosonen
Bosonen sind ununterscheidbare Teilchen mit geradzahligem Spin und mit symmetrischen Wellenfunktionen bzgl. Teilchenvertauschung. Im Gegensatz zu den ‘abstrakten’
Phononen im Beispiel des harmonischen Oszillators oben kann es sich dabei durchaus
um massive Teilchen handeln.
2
Die Schwingungsfreiheitsgrade des elektromagnetischen Feldes führen ebenfalls auf einen OszillatorHamiltonian. Die entsprechenden Energiequanten werden dann als Photonen und die Fockzustände als
n-Photonen-Zustände bezeichnet. Diese spielen in der Quantenoptik eine große Rolle.
52
3. Vielteilchensysteme
(+)
Der Hilbertraum HN für N bosonische Teilchen, von denen jedes allein in einem
Einteilchen-Hilbertraum H1 ‘lebt’, wird durch eine VOS-Basis {|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+ } beschrieben;
N
′
′
′
′ N′
+ hn1 , n2 , n3 , ..., nd |n1 , n2 , n3 , ..., nd i+
= δN N ′ δn1 n′1 ...δnd n′d ,
d
X
ni = N.
(3.79)
i=1
Hierbei ist allerdings die Anzahl der Bosonen immer auf N festgelegt. Im obigen Beispiel
des harmonischen Oszillators haben wir zwar
P nur eine Besetzungszahl n1 = n (d.h.
d = 1), allerdings läuft dort die Anzahl N = di=1 ni = n der Phononen von N = n = 0
bis N = n = ∞.
(+)
Deshalb ist es zweckmäßiger, statt eines Hilbertraums HN mit fester Teilchenzahl
N einen größeren Hilbertraum zu betrachten, nämlich den Fockraum:
(+)
HFock
≡
∞
X
N =0
(+)
(+)
HN ≡ H0
(+)
⊕ H1
(+)
⊕ H2 ...,
bosonischer Fockraum.
(3.80)
Im Beispiel der Phononen des harmonischen Oszillators oben ist das einfach
(+)
HFock ≡ span(|0i) ⊕ span(|1i) ⊕ span(|2i) ⊕ ... = HOsz
(3.81)
wobei span(|ni) der eindimensionale Unterraum zur Energie En des Hilbertraums HOsz
des harmonischen Oszillators ist (dort ist die ’Fockraum’ also nur eine andere Bezeichnung für HOsz ). Die Auf- und Absteigeoperatoren a† und a operieren wegen
√
√
n + 1|n + 1i, a|ni = n|n − 1i
(3.82)
a† |ni =
deshalb auf dem Fockraum so, daß jeweils zwei Unterräume mit einer sich um eins
unterscheidenden Phononenzahl verbunden werden.
Wie ist es mit dem Fockraum für den Fall allgemeiner Bosonen? Dort sind ja z.B.
(+)
(+)
bereits schon die einzelnen HN viel größere Hilberträume: So hat H1 (ein Teilchen)
ja bereits die Dimension d, die auch unendlich sein kann. Die Basis des bosonischen
Fockraums wird jetzt aufgespannt von den
|n1 n2 n3 ...nd i+ ,
(3.83)
wobei d wieder die Dimension des Einteilchen-Hilbertraums
ist (d = ∞ ist zugelassen)
P
und jetzt nicht mehr die Einschränkung di=1 ni = N wie bei den N -Teilchen Basiskets
|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+ gefordert wird.
(+)
Eine besondere Rolle spielt der H0 mit N = 0 Bosonen. Dieser Unterraum des
Fockraums wird vom Vakuumzustand aufgespannt,
(+)
H0
≡ span(|vaci+ ),
|vaci+ ≡ |0000...i+
(3.84)
53
3. Vielteilchensysteme
Pd
denn für N =
i=1 ni = 0 müssen ja alle Besetzungszahlen ni verschwinden. Beim
harmonischen Oszillator ist der Vakuumzustand einfach der Grundzustand |0i, der der
Phononenzahl n = 0 entspricht (Zahl der Quanten gleich Null).
In Analogie zum harmonischen Oszillator definieren wir nun
√
nλ |n1 n2 ...nλ − 1...nd i+ , Vernichtungsoperator aλ
(3.85)
√
nλ + 1|n1 n2 ...nλ + 1...nd i+ , Erzeugungsoperator aλ , (3.86)
≡
aλ |n1 n2 ...nλ ...nd i+ ≡
a†λ |n1 n2 ...nλ ...nd i+
die jeweils Teilräume des Fockraums verbinden, die sich in der Bosonenzahl im Einteilchenzustand |λi gerade um eins unterscheiden. Weiterhin folgt aus Gl. (3.85) (AUFGABE)
[aλ , a†µ ] = δλµ 1̂,
[aλ , aµ ] = [a†λ , a†µ ] = 0,
Vertauschungsrelationen.
(3.87)
analog zu [a, a† ] = 1, [a, a] = 0 beim harmonischen Oszillator (für mehrere Normalmoden λ von harmonischen Oszillatoren hat man in der Tat auch Gl. (3.87), SKRIPT
FESTKÖRPERTHEORIE; THERMODYNAMIK).
Weiterhin definieren wir
n̂λ ≡ a†λ aλ , Besetzungszahloperator
(3.88)
X
X †
N̂ ≡
n̂λ ≡
aλ aλ , Teilchenzahloperator , (3.89)
λ
λ
mit den Eigenschaften
n̂λ |n1 n2 ...nλ ...i+ = nλ |n1 n2 ...nλ ...i+ ,
N̂ |n1 n2 ...i+ = N |n1 n2 ...i+ ,
N≡
X
nλ(, 3.90)
λ
wobei N also die Gesamtteilchenzahl ist. Wie beim harmonischen Oszillator können
die Teilchenzahlzustände weiterhin aus dem Vakuumzustand |000...i+ ≡ |vaci+ erzeugt
werden;
p
nλ !|000...nλ ...i+
(3.91)
(a†λ )nλ |vaci+ =
p
† nλ † nµ
nλ !nµ !|000...nλ ...nµ i+
(3.92)
(aλ ) (aµ ) |vaci+ =
1
|n1 n2 n3 ...i+ = √
(a† )n1 (a†2 )n2 (a†3 )n3 ...|vaci+ .
(3.93)
n1 !n2 !n3 !... 1
Weil die Erzeugungsoperatoren zu verschiedenen Quantenzahlen λ vertauschen, spielt
hier bei den Bosonen die Reihenfolge der (a†λ )nλ keine Rolle.
54
3. Vielteilchensysteme
3.3.4
Zweite Quantisierung für Fermionen
Bei den Fermionen wollen wir jetzt ganz analog zu den Bosonen vorgehen.
(−)
Der Hilbertraum HN für N fermionische Teilchen, von denen jedes allein in einem
Einteilchen-Hilbertraum H1 ‘lebt’, wird durch eine VOS-Basis {|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
− } beschrieben;
N
′
′
′
′ N′
− hn1 , n2 , n3 , ..., nd |n1 , n2 , n3 , ..., nd i−
= δN N ′ δn1 n′1 ...δnd n′d ,
d
X
ni = N,
(3.94)
i=1
wobei zunächst die Anzahl der Fermionen immer auf N festgelegt ist. Analog zum bosonischen Fall konstruieren wir einen größeren Hilbertraum, nämlich, statt der jeweiligen
(+)
Hilberträume HN mit fester Teilchenzahl N den Fockraum:
(−)
HFock ≡
∞
X
N =0
(−)
(−)
HN ≡ H0
(−)
(−)
⊕ H1
⊕ H2 ...,
fermionischer Fockraum,
(3.95)
wobei
(−)
H0
≡ span(|vaci− ),
|vaci− ≡ |0000...i−
(3.96)
den Unterraum mit N = 0 Fermionen, der vom Vakuumzustand aufgespannt wird, bezeichnet.
Die Definition der Erzeugungsoperatoren und Vernichtungsoperatoren ist jetzt allerdings im Vergleich zu den Bosonen abgeändert, was mit der Antisymmetrie der fermionischen Wellenfunktionen bei Teilchenvertauschung zu tun hat:
Pλ−1
ni
Pλ−1
ni
aλ |n1 n2 ...nλ ...nd i− ≡ δnλ ,1 (−1)
i=1
≡ δnλ ,0 (−1)
i=1
a†λ |n1 n2 ...nλ ...nd i−
|n1 n2 ...nλ − 1...nd i− ,
Vernichtungsoperator aλ
(3.97)
|n1 n2 ...nλ + 1...nd i− ,
Erzeugungsoperator aλ .
(3.98)
Wiederum verbinden diese Operatoren jeweils Teilräume des Fockraums, die sich in der
Teilchenzahl im Einteilchenzustand |λi gerade um eins unterscheiden. Weiterhin gelten
{aλ , a†µ } = δλµ 1̂,
{aλ , aµ } = {a†λ , a†µ } = 0,
Anti-Vertauschungsrelationen
(3.99)
mit dem Antikommutator {A, B} ≡ AB + BA.
Der Antikommutator und die Anti-Vertauschungsrelationen treten wegen des PauliPrinzips für Fermionen auf: Aus {a†λ , a†µ } = 0 folgt
a†λ a†λ = −a†λ a†λ = 0,
(3.100)
55
3. Vielteilchensysteme
und deshalb gilt immer
a†λ a†λ |n1 n2 ...nλ ...nd i− = 0,
(3.101)
d.h. alle Einteilchenzustände können nicht mit mehr als einem Fermion besetzt werden.
Die Teilchenzahlzustände werden wieder aus dem Vakuum erzeugt,
|n1 n2 n3 ...i− = (a†1 )n1 (a†2 )n2 (a†3 )n3 ...|vaci− . (3.102)
Hier kommt es jetzt auf die Reihenfolge der Erzeuger an! Im Vergleich zu den Bosonen
tritt nun auch der Normierungfaktor mit den Fakultäten
nicht auf, was wir bereits von
Pλ−1
den N -Teilchenzuständen her kennen. Der Faktor (−1) i=1 ni in Gl. (3.97) ist ebenfalls
neu. Wir erhalten ihn wegen
a†λ |n1 n2 ...nλ ...i− ≡ a†λ (a†1 )n1 (a†2 )n2 ...(a†λ )nλ ...|vaci−
= (−1)n1 (a†1 )n1 a†λ (a†2 )n2 ...(a†λ )nλ ...|vaci−
= (−1)n1 (−1)n2 ...(−1)nλ−1 (a†1 )n1 (a†2 )n2 ...(a†λ )nλ +1 ...|vaci−
Pλ−1
= δnλ ,0 (−1)
i=1
ni
|n1 n2 ...nλ + 1...i− .
(3.103)
Die Antikommutatorrelationen Gl. (3.97) folgen jetzt durch Anwenden auf die BesetPλ−1
zungszahlzustände: Sei Nλ ≡ (−1) i=1 ni , dann haben wir zunächst
=
(aλ a†λ + a†λ aλ )|n1 n2 ...nλ = 0...i− = aλ a†λ |n1 n2 ...nλ = 0...i−
aλ (−1)Nλ |n1 n2 ...nλ = 1...i− = (−1)Nλ (−1)Nλ |n1 n2 ...nλ = 0...i− = |n1 n2 ...nλ = 0...i− ;
(aλ a†λ + a†λ aλ )|n1 n2 ...nλ = 1...i− =
=
a†λ (−1)Nλ |n1 n2 ...nλ = 0...i− = (−1)Nλ (−1)Nλ |n1 n2 ...nλ = 1...i− = |n1 n2 ...nλ = 1...i−
{aλ , a†λ } = 1.
(3.104)
Weiterhin für λ > µ
=
=
aλ a†µ |n1 n2 ...nµ ...nλ i− = aλ δnµ ,0 (−1)Nµ |n1 n2 ...nµ + 1...nλ i−
δnµ ,0 (−1)Nµ δnλ ,1 (−1)Nλ +1 |n1 n2 ...nµ + 1...nλ − 1i− ;
a†µ aλ |n1 n2 ...nµ ...nλ i− = a†µ δnλ ,1 (−1)Nλ |n1 n2 ...nµ ...nλ − 1i−
δnµ ,0 δnλ ,1 (−1)Nλ (−1)Nµ |n1 n2 ...nµ + 1...nλ − 1i−
{aλ , a†µ } = 0,
λ > µ,
(3.105)
denn die beiden unterscheiden sich gerade um den Faktor (−1). Entsprechend geht die
Rechnung für den Fall λ < µ (AUFGABE).
56
3. Vielteilchensysteme
3.3.5
Operatoren in zweiter Quantisierung
Mit den Operatoren in zweiter Quantisierung wird der formale Aufbau der zweiten Quantisierung ‘gekrönt’ und abgeschlossen. Wir starten zunächst wieder von den Hilberträumen mit fester Teilchenzahl N und nehmen dann die Erweiterung auf den Fockraum
vor.
(±)
Definition N -Teilchen-Operatoren im bosonischen bzw. fermionischen Hilbertraum HN
für N Teilchen i = 1, ..., N haben die Form
N
X
Â(ξi ),
i=1
N
X
1
2
Einteilchen-Operatoren
B̂(ξi , ξj ),
(3.106)
Zweiteilchen-Operatoren .
(3.107)
i6=j
Hierbei bezeichnet ξi die räumlichen sowie Spin-Koordinaten des i-ten Teilchens, und
die Operatoren können auch Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten enthalten.
Mikroskopische Theorien basieren meistens auf diesen beiden Wechselwirkungs-Formen.
Höhere Arten von Wechselwirkungen, z.B. kompliziertere Dreiteilchen-Wechselwirkungen,
können in effektiven Theorien auftreten, z.B. in der Kernphysik oder in der Molekülphysik.
Die Operatoren in zweiter Quantisierung basieren nun auf folgendem Satz:
(±)
Satz 16. N -Teilchen-Operatoren im bosonischen bzw. fermionischen Hilbertraum HN
(±)
können auf den gesamten (bosonischen oder fermionschen) Fockraum HFock mit Hilfe von
Erzeugern und Vernichtern, bezogen auf eine Einteilchenbasis {|λi} des H1 , ausgedrückt
werden. Es gilt die folgende Zuordnung zwischen Operatoren in ‘erster’ und ‘zweiter’
Quantisierung:
N
X
i=1
N
Â(ξi ) →
1X
B̂(ξi , ξj ) →
2
i6=j
X
hλ|Â|µia†λ aµ
(3.108)
λ,µ
1 X
hλµ|B̂|νρia†λ a†µ aν aρ .
2
(3.109)
λ,µ,ν,ρ
Wegen des Spinanteils hat man für die Einteilchenzustände
hξ|λi = φλ (r) ⊗ χ
(3.110)
mit einer Ortsraum-Wellenfunktion φλ (r) und einem Spinor χ. Für Teilchen mit Spin
1
2
2 ist χ ∈ C ein zweikomponentiger Vektor. In der Quantenzahl λ spaltet man dann
häufig den Spinindex σ = ± 21 ab
|λi ≡ |ασi,
hrσ ′ |ασi = δσσ′ φασ (r),
(3.111)
57
3. Vielteilchensysteme
d.h. der Ket |α ↑i gehört zur Wellenfunktion φα↑ (r) und spin-up, formal
1
0
hr|α ↑i = φα↑ (r) ⊗
, hr|α ↓i = φα↓ (r) ⊗
.
0
1
(3.112)
Hierbei können die Ortswellenfunktionen für die zwei Spinrichtungen sich noch unterscheiden. Wir schreiben dann explizit
N
X
i=1
1
2
N
X
i6=j
Â(ξi ) →
B̂(ξi , ξj ) →
X
αβσσ′
1
2
hασ|Â|βσ ′ ia†ασ aβσ′
X
αβγδσσ′ σ′′ σ′′′
(3.113)
hασβσ ′ |B̂|γσ ′′ δσ ′′′ ia†ασ a†βσ′ aγσ′′ aδσ′′′ . (3.114)
Die Matrixelemente sind hierbei folgendermaßen definiert:
–In hασ|Â|βσ ′ i wirkt der Einteilchenoperator  auf den Einteilchenzustand |βσ ′ i, der
einen Bahn- und einen Spinanteil enthält. Das Resultat wird skalar mit hασ| multipliziert.
–In hασβσ ′ |B̂|γσ ′′ δσ ′′′ i wirkt der Zweiteilchenoperator auf das Tensorprodukt |γσ ′′ i ⊗
|δσ ′′′ i. Man bildet also zunächst das Skalarprodukt hβσ ′ |B̂|γσ ′′ i (’für das zweite Teilchen’). Das Ergebnis ist dann immer noch ein Operator im Hilbertraum des ersten
Teilchens, das dann mit hασ|...|δσ ′′′ i gesandwiched wird.
Die Ausdrücke vereinfachen sich noch einmal, falls die Operatoren  und B̂ selbst
nicht spinabhängig sind. Dann können die Teil-Skalarprodukte der Spinoren trivial ausgeführt werden, d.h. man benutzt
hσ|σ ′ i = δσσ′ ,
(3.115)
und man hat
N
X
i=1
N
Â(ξi ) →
1X
B̂(ξi , ξj ) →
2
i6=j
X
hα|Â|βia†ασ aβσ
1
2
X
αβσ
αβγδσσ′
hαβ|B̂|γδia†ασ a†βσ′ aγσ′ aδσ
(3.116)
(3.117)
(3.118)
An der Reihenfolge der σ, σ ′ erkennt man noch einmal die oben diskutierte Bildung des
Skalarproduktes in B̂.
Der Beweis des Theorems 16 ist einfach, aber mit relativ viel Schreibarbeit verbunden
(z.B. NOLTING). Wir betrachten zunächst den bosonischen Fall für Einteilchenopera-
58
3. Vielteilchensysteme
toren. Es gilt dann
hξ1 , ξ2 , ..., ξN |
=
N
X
i=1
=
N
X
i=1
=
N
X
i=1
N
X
i=1
Â(ξi )|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+
X
1
√ √ √
ψν1 (ξp1 )...Â(ξi )ψνi (ξpi )...ψνN (ξpN )
√
N ! n1 ! n2 !... nd ! p∈S
N
X
1
√ √ √
ψν1 (ξp1 )...Â(ξpi )ψνi (ξpi )...ψνN (ξpN )
√
N ! n1 ! n2 !... nd ! p∈S
N
X
1
√ √ √
Π̂p ψν1 (ξ1 )...Â(ξi )ψνi (ξi )...ψνN (ξN ), (3.119)
√
N ! n1 ! n2 !... nd ! p∈S
N
PN
denn
i=1 Â(ξi ) ist invariant unter Permutationen p. In den Produkten der Einteilchenwellenfunktionen haben wir weiterhin zugelassen, dass mehrere von den νi gleich
sein dürfen: n2 gibt dann z.B. an, wieviele der νi den Wert νi = 2 haben, d.h. wieviele
Teilchen sich im Zustand 2 befinden.
P
Wir schreiben nun durch Einschieben einer Eins λ |λihλ| im Einteilchen-Hilbertraum
X
hξi |A|ψνi i = Â(ξi )ψνi (ξi ) =
ψλ (ξi )Aλνi , Aλνi ≡ hλ|Â|ψνi i
(3.120)
λ
und setzen das oben ein. Dann kommt bei den Einteilchen-Wellenfunktionen die Quantenzahl λ einmal häufiger als Label vor, während die Quantenzahl νi einmal weniger als
Label vorkommt (bis auf den Fall λ = νi , wo sich nichts ändert). Man hat also
N
X
i=1
Â(ξi )|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+ =
=
N
XX
λ
Aλνi
i=1
s
N
XX
Aλλ |n1 n2 ...nνi ...iN
+
,
falls λ = νi
nλ + 1
|n1 n2 ...nνi −1 ...nλ + 1iN
+
n νi
,
falls λ 6= νi(3.121)
.
λ
i=1
Der Wurzelfaktor im zweiten Fall kompensiert hierbei gerade die Normierung (z.B. hatte
man ja vorher nur nλ ! in der Wurzel für
PNden Ket mit Besetzungszahl nλ ). Im nächsten
Schritt ersetzt man jetzt die Summe i=1 durch eine Summe über {µ}, eine Einteilchenbasis in H1 . Hierzu schreiben wir für Summen über Ausdrücke mit νi
N
X
i=1
f (νi ) =
N X
X
i=1
µ
δµνi f (µ) =
X
µ
f (µ)
N
X
i=1
δµνi =
X
µ
f (µ)nµ ,
(3.122)
59
3. Vielteilchensysteme
denn die Besetzungszahl nµ gibt gerade an, wieviele der νi den Wert µ haben. Damit
erhalten wir
N
X
i=1
Â(ξi )|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+
=
XX
µ
λ
+
X
δλµ nµ Aλλ |n1 n2 ...nµ ...iN
+
nµ Aλµ
λ6=µ
s
nλ + 1
N
|n1 n2 ...nµ − 1...nλ + 1i(3.123)
+
nµ
Damit sind wir endlich in der Lage, diesen Ausdruck mit Hilfe der Erzeuger und Vernichter zu schreiben, nämlich als (NACHPRÜFEN)
N
X
i=1
Â(ξi )|n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+ =
X
λ,µ
Aλµ a†λ aµ |n1 , n2 , n3 , ..., nd iN
+,
(3.124)
wobei diese Identität immer so zu verstehen ist, dass sie von links mit hξ1 ...ξN | zu multiplizieren ist. Es gilt also die Identität der Matrixelemente für beliebige BesetzungszahlKets des Fockraums, und deshalb die behauptete Darstellung im Fockraum;
N
X
i=1
Â(ξi ) ↔
X
λ,µ
hλ|A|µia†λ aµ .
(3.125)
Mit entsprechend mehr Schreibarbeit ist nun der Beweis für Zweiteilchenoperatoren verbunden. Alles läuft analog, ebenso auch für den fermionischen Fall (z.B. NOLTING),
und wir werden das aus Platzgründen deshalb hier nicht explizit vorführen.
AUFGABE: 1) Der Einteilchenoperator für ein fest in einem Orbital lokalisiertes
Elektron sei durch einen nur Spin-abhängigen ‘Zeeman-Operator’ der Form  = Bσ mit
dem Vektor der Paulimatrizen σ und B ∈ R3 gegeben. Welche Form hat dieser Operator
(†)
(†)
in zweiter Quantisierung, d.h. ausgedrückt durch a↑ und a↓ ? 2) Welche Form hat der
Heisenberg-Hamiltonian
Ĥ ≡ −
N
X
Jij Si Sj ,
i6=j
Si =
1
σi
2
(3.126)
in zweiter Quantisierung?
3.3.6
Basiswechsel. Feldoperatoren
Alle bisherigen Ergebnisse bezogen sich auf eine fest gewählte Basis {|λi} im Einteilchenhilbertraum H1 . Was geschieht mit den Fockraumoperatoren bei einem Basiswechsel?
Dazu betrachten wir einen Operator im Fockraum zum Einteilchenoperator A,
X
hλ|A|µia†λ aµ .
(3.127)
λ,µ
60
3. Vielteilchensysteme
In der Diagonal-Basis {|αi} der normierten Eigenzustände von A wird daraus wegen
hα|A|αi = Aα
X
X
Aα N̂α , A|αi = Aα |αi.
Aα a†α aα =
(3.128)
α
α
Das ist ein sehr anschauliches Ergebnis, denn der Besetzungszahloperator zählt dann in
der Eigenbasis nur noch, wie oft die jeweiligen Eigenzustände |αi von A besetzt sind.
Da beide Darstellungen denselben Fockraum-Operator beschreiben, gilt also
X
X
hλ|A|µia†λ aµ =
hα|A|αia†α aα .
(3.129)
α
λ,µ
Das ist erfüllt, wenn wir auch eine Transformation der Erzeuger und Vernichter ansetzen
gemäß einem doppelten Einschieben der Eins in Eigenzuständen von A,
XX
X
X
hλ|αihα|A|α′ ihα′ |µia†λ aµ =
Aα hλ|αia†λ aµ hα|µi =
Aα a†α aα , (3.130)
λ,µ αα′
α
λ,µ,α
und wir erhalten die wichtige Transformationsregel
X
X
aα =
aµ hα|µi, a†α =
hµ|αia†µ .
µ
(3.131)
µ
Ein Spezialfall sind die Eigen‘funktionen’ |xi des Ortsoperators x̂. Die entsprechenden
(†)
Erzeuger/Vernichter a|xi im Fockraum werden als Feldoperatoren bezeichnet und meist
mit einem grossen Ψ̂ notiert,
X
X
Ψ̂σ (x) ≡
φµσ (x)aµσ , Ψ̂†σ (x) ≡
φ∗µσ (x)a†µσ ,
µ
Feldoperatoren .
(3.132)
µ
Hierbei haben wir den Spinindex σ bereits abgespalten, und φµσ (x) ist der Ortsanteil
der Wellenfunktion in der Einteilchenbasis |µσi. Die Größe x ist hier der d-dimensionale
Ortsvektor. Entsprechend der Interpretation der Fockraumoperatoren erzeugt der Feldoperator Ψ̂†σ (x) ein Teilchen am Ort x mit Spinzustand σ.
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren folgen aus denen der Erzeuger/Vernichter
in einer beliebigen Basis. Aus der Vollständigkeitsrelation der Wellenfunktionen zu Basiszuständen |λi folgt zunächst die formale Orthogonalität
X
X
δ(x − x′ ) =
φ∗λ (x)φλ (x′ ) =
hx′ |λihλ|xi = hx′ |xi
(3.133)
λ
λ
und daraus die (Anti)-Vertauschungsrelationen
X
[Ψ̂σ (x), Ψ̂†σ′ (x′ )]± =
hx|µσihµ′ σ ′ |x′ i[aµσ , a†µ′ σ′ ] ±
µµ′
= δσσ′ hx
also
X
µ
|µihµ|x′ i = δσσ′ hx|x′ i = δσσ′ δ(x − x′ ), (3.134)
61
3. Vielteilchensysteme
[Ψ̂σ (x), Ψ̂†σ′ (x′ )] = δσσ′ δ(x − x′ ),
{Ψ̂σ (x), Ψ̂†σ′ (x′ )} = δσσ′ δ(x − x′ ),
3.3.7
Bosonen
(3.135)
Fermionen . (3.136)
Anwendung: Fermi- und Boseverteilung
Wir erinnern uns zunächst an die Thermodynamik/Statistik:
Satz 17. Ein großkanonisches Ensemble eines thermodynamischen Systems im Gleichgewicht bei der Temperatur T und chemischem Potential µ wird durch einen Dichteoperator
ρ̂ beschrieben, der sich mittels des System-Hamiltonians Ĥ und des Teilchenzahloperators
N̂ ausdrücken lässt,
ρ̂ =
e−β(Ĥ−µN̂ )
,
Zgk
Zgk = Tre−β(Ĥ−µN̂ ) ,
β≡
1
.
kB T
(3.137)
Hierbei wird Zgk als grosskanonische Zustandssumme bezeichnet.
Wir betrachten nun wechselwirkungsfreie Fermionen bzw. Bosonen, die also nicht
untereinander wechselwirken, sondern höchstens mit einem festen statistischen Potential.
Der Einteilchen-Hamiltonoperator ist also
Ĥ =
p2
+ V (x)
2m
(3.138)
mit Eigenzuständen |αi und Eigenenergien εα ,
Ĥ|αi = εα |αi,
so dass der Hamiltonian in zweiter Quantisierung lautet
X
Ĥ =
εα a†α aα , wechselwirkungsfreie Teilchen.
(3.139)
(3.140)
α
Wir wollen nun den thermischen Mittelwert der Besetzungszahl im Einteilchenzustand
|αi direkt aus dem Dichteoperator berechnen. Nach Definition ist das
hn̂α i ≡ ha†α aα i = Trρ̂a†α aα =
1
Tre−β(Ĥ−µN̂ ) a†α aα
Zgk
(3.141)
Um das auszurechnen, verwenden wir einen Trick: wir wollen e−β(Ĥ−µN̂ ) mit a†α vertauschen, um dann nach rechts zyklisch durchzutauschen, d.h. um
1
1
(3.142)
Tre−β(Ĥ−µN̂ ) aα a†α =
Tre−β(Ĥ−µN̂ ) 1 ± a†α aα
Zgk
Zgk
zu erhalten (oberes Vorzeichen für Bosonen, unteres für Fermionen). Dann ‘reproduziert’ sich die gesuchte Größe! Für das Vertauschen von Operatoren benötigen wir zwei
Theoreme:
62
3. Vielteilchensysteme
Satz 18. Für zwei Operatoren  und B̂ gilt die Entwicklung nach verschachtelten Kommutatoren (‘nested commutator theorem’)
e B̂e− = B̂ + [Â, B̂] +
1
1
[Â, [Â, B̂]] + [Â, [Â, [Â, B̂]]] + ...
2!
3!
(3.143)
(Beweis als AUFGABE). Hier in unserem Fall ist  = −β(Ĥ − µN̂ ) sowie B̂ = a†α .
Um die Kommutatoren zu berechnen, benötigen wir weiterhin (AUFGABE)
Satz 19. Sowohl für bosonische als auch fermionische Erzeuger/Vernichter im Fockraum
gilt
[a†γ aγ , a†α ] = δγα a†α .
(3.144)
In unserem Fall folgt damit
X
[Â, B̂] = −β
(εγ − µ)[a†γ aγ , a†α ] = −β(εα − µ)a†α ≡ pα B̂
γ
e B̂e− = B̂ 1 + pα +
p2α
+ ... = epα B̂
2!
e B̂ = epα B̂e .
(3.145)
Damit haben wir dann also
Trρ̂a†α aα = e−β(εα −µ) Trρ̂aα a†α = e−β(εα −µ) 1 ± Trρ̂a†α aα
(3.146)
hn̂α i 1 ∓ e−β(εα −µ) = e−β(εα −µ) ,
(3.147)
oder anders geschrieben
insgesamt also
hn̂α i =
1
eβ(εα −µ)
∓1
,
− für Bosonen, + für Fermionen.
(3.148)
Das ist natürlich nichts anderes als die bekannte Bose- bzw. Fermi-Verteilung aus der
statistischen Mechanik, die wir dort üblicherweise bereits mit einfacheren Mitteln hergeleitet haben. Trotzdem ist es natürlich gut zu sehen, dass unser Fockraum-Formalismus
dasselbe Ergebnis liefert. Die obige Rechnung mit dem Hin- und Hertauschen der Operatoren ist auch typisch für die ‘rechentechnische Maschinerie’ der zweiten Quantisierung,
die häufig physikalische Ergebnisse auf rein algebraischen Weg erzeugt. Das ist vor allem bei umfangreicheren Rechnungen als der hier vorgestellten von enormen Vorteil
gegenüber z.B. einem direkten Ausrechnen in erster Quantisierung.
63
3. Vielteilchensysteme
3.4
Die Hartree-Fock-Methode
Wir betrachten ein wechselwirkendes System aus N Fermionen mit dem Hamiltonian
Ĥ = Ĥ0 + Û ≡
(i)
ĥ0
= −
~2
2m
N
X
(i)
N
ĥ0 +
i=1
∆i + V (ri ),
1X
Uij
2
i6=j
Uij = U (ξi , ξj ).
(3.149)
Wir entwickeln im Folgenden ein Näherungsverfahren, dass von einer einfachen Idee
(Näherung des mittleren Feldes) ausgeht: Jedes Teilchen bewegt sich in einem mittleren
(Einteilchen-)Potential, dass durch Mittelung über die Wechselwirkung mit allen anderen
Teilchen entsteht.
Eines der Ziele ist z.B. die näherungsweise Bestimmung des Grundzustands |Ψi und
der Grundzustandsenergie des N -Teilchensystems, z.B. als ein Modell für ein Atom mit
N Elektronen, das sich im Grundzustand befindet. Wir verwenden wieder ein Variationsverfahren mit dem Ansatz, |Ψi als eine Slaterdeterminate mit N Einteilchenwellenfunktionen ψ1 (ξ),...,ψN (ξ) zu schreiben. Hierbei sollen diese Einteilchenwellenfunktionen
ψi so variiert werden, dass der Erwartungswert der Energie minimal wird;
δhΨ|Ĥ|Ψi = 0,
|Ψi ≡ |ψ1 ...ψN iN
A,
Slaterdeterminante aus den ψi
(3.150)
Man beachte, dass die Einträge ψi (ξj ) (Teilchen j im Zustand i) in der Slaterdeterminante sich hier nicht auf eine feste Einteilchen-Basis beziehen, sondern erst bestimmt
werden müssen.
Warum kann die Form Gl. (3.150) i.A. nicht exakt sein? Lösungen der Schrödingergleichung
Ĥ|Ψi = E|Ψi
(3.151)
können im fermionischen N -Hilbertraum nach Slaterdeterminanten, die aus Einteilchenzuständen |νi konstruiert sind, entwickelt werden,
X
|Ψi =
cν1 ...νN a†ν1 ...a†νN |vaci
(3.152)
ν1 ,...,νN
mit Koeffizienten cν1 ...νN ∈ C. In Gl. (3.150) hat man von dieser Summe nur einen Term
(wenn auch in einer speziellen Einteilchenbasis), und man kann nicht erwarten, dass alle
Lösungen des Vielteilchenproblems so aussehen.
3.4.1
Erwartungswerte der Energie
Zunächst müssen wir die Erwartungswerte von Ĥ mit solchen Slaterdeterminante ausdrücken, um dann die Variation ausführen zu können. Wir setzen voraus, dass die ψi
orthogonal sind. Da das Verfahren für beliebig grosse N laufen soll, sollen die ψi gleich
64
3. Vielteilchensysteme
eine Basis für den gesamten Einteilchenhilbertraum liefern (wir brauchen ja N verschiedene ψi , sonst ist die Slaterdeterminate Null). Also schreiben wir unseren Hamiltonian
in zweiter Quantisierung, zunächst den Einteilchenanteil,
Ĥ0 =
∞
X
hψi |ĥ0 |ψj ia†i aj ,
(3.153)
i,j=1
wobei die Erzeuger/Vernichter sich auf die Basis der zu bestimmenden ψi beziehen.
N
Wegen |ψ1 ...ψN iN
A = |n1 = 1n2 = 1n3 = 1...nN = 1i− in Besetzungszahldarstellung gilt
dann also
∞
X
hψi |ĥ0 |ψj ih11...1|a†i aj |11...1iN
hΨ|Ĥ0 |Ψi =
−
i,j=1
=
N
X
hψi |ĥ0 |ψj iδij =
i,j=1
N
X
hψi |ĥ0 |ψi i.
(3.154)
i
AUFGABE: Überprüfe, dass man dasselbe Ergebnis auch in erster Quantisierung bekommt.
Die Wechselwirkung Û schreiben wir auch in zweiter Quantisierung;
1X
Û =
hij|U |klia†i a†j ak al .
(3.155)
2
ijkl
Hier benötigen wir
† †
N
h11...1|a†i a†j ak al |11...1iN
− ∝ h11..1|ai aj |11..0...0...1i− .
(3.156)
Die zwei Vernichter ak al schlagen an (zwei verschiedenen) Stellen zwei ‘Löcher’ im
Besetzungszahl-Ket an den Stellen k und l. Diese müssen durch die zwei Erzeuger a†i a†j
an genau diesen Stellen wieder gefüllt werden, weil sonst das Skalarprodukt Null ergibt. Das kann auf genau zwei Arten geschehen (beachte, dass i 6= j sowieso wegen des
Pauliprinzips gelten muss)
i = k, j = l
i = l, j = k
h11...1|a†i a†j ai aj |11...1iN
−
= −h11...1|a†i ai a†j aj |11...1iN
−
h11...1|a†i a†j aj ai |11...1iN
−
= (−1)(−1)h11...1|a†i ai a†j aj |11...1iN
−
= −h11...1|n̂i n̂j |11...1iN
− = −1
= h11...1|n̂i n̂j |11...1iN
− = 1,
(3.157)
wobei wir die Minuszeichen durch das Durchtauschen der Vernichter erhielten. Insgesamt
also
1X
(hij|U |jii − hij|U |iji) .
(3.158)
h11...1|Û |11...1iN
− =
2
ij
Für i = j verschwindet der Summand, wie es sein muss.
AUFGABE: Zeige, dass man dasselbe Ergebnis wieder direkt in erster Quantisierung
erhält.
65
3. Vielteilchensysteme
3.4.2
Hartree-Fock-Funktional
Das Energie-Funktional zur Minimierung des Erwartungswerts der Energie lautet
F [Ψ] = F [ψ1 , ..., ψN ] = F [{ψi }] = hΨ|H|Ψi,
(3.159)
und die Variationsableitung ist
δF [Ψ]
F [{ψi + ε · δψi }] − F [{ψi }]
≡ lim
,
ε→0
δΨ
ε
(3.160)
wobei wir nun i = 1, ..., N unabhängige Variationen δψi haben. Man beachte, dass diese
komplexwertig sind. Ausserdem sollen die ψi normiert (UND ORTHOGONAL) sein,
weshalb wir im Funktional F [Ψ] N Lagrange-Multiplikatoren λi einführen,
F [Ψ] ≡ hΨ|Ĥ|Ψi +
N
X
i=1
λi [hψi |ψi i − 1].
(3.161)
Einsetzen der Erwartungswerte für die Energie ergibt
F [{ψψi }] =
+
N
X
i=1
N
X
i=1
hψi |ĥ0 |ψi i +
1X
[hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i]
2
i6=j
λi [hψi |ψi i − 1].
(3.162)
Die einzelnen Terme ergeben
#
"N
N
N
X
1 X
δ X
hψi |ĥ0 |ψi i
hψi |ĥ0 |ψi i = lim
hψi + εδψi |ĥ0 |ψi + εδψi i −
ε→0 ε
δΨ
i=1
i=1
=
N h
X
i=1
i
hδψi |ĥ0 |ψi i + hψi |ĥ0 |δψi i .
i=1
(3.163)
Der Wechselwirkungsterm ergibt
=
−
δ 1X
[hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i]
(3.164)
δΨ 2
ij
i
1 Xh
hδψj ψi |U |ψi ψj i + hψj δψi |U |ψi ψj i + hψj ψi |U |δψi ψj i + hψj ψi |U |ψi δψj i
2
ij
i
1 Xh
hδψi ψj |U |ψi ψj i + hψi δψj |U |ψi ψj i + hψi ψj |U |δψi ψj i + hψi ψj |U |ψi δψj i .
2
ij
Wir benutzen jetzt die Symmetrieeigenschaft (AUFGABE: unter welchen Voraussetzungen gilt das?)
hψi ψk |U |ψl ψm i = hψk ψi |U |ψm ψl i
(3.165)
66
3. Vielteilchensysteme
um die Dinge zu vereinfachen, z.B. hψj δψi |U |ψi ψj i = hδψi ψj |U |ψj ψi i, und wir wechseln
die Summationsindizes i,j so dass
δ 1X
[hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i]
(3.166)
δΨ 2
ij
i
Xh
=
hδψj ψi |U |ψi ψj i + hψj ψi |U |ψi δψj i − hδψi ψj |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi δψj i
ij
=
Xh
ij
i
hδψj ψi |U |ψi ψj i − hδψj ψi |U |ψj ψi i + (H.c.) ,
wo wir wieder im ‘−’-Term die Indizes getauscht haben und H.c das Hermitesch konjugierte bezeichnet.
Insgesamt ergibt die Funktionalableitung also
δF [Ψ]
δΨ
=
N
X
j=1
+
N
X
j=1
hδψj |ĥ0 |ψj i +
N
X
hδψj ψi |U |ψi ψj i − hδψj ψi |U |ψj ψi i
i,j=1
λj hδψj |ψj i + (H.c.)
(3.167)
Das Verschwinden der Funktionalableitung liefert den Extremwert des Funktionals. Da
alle δψj unabhängig sind, folgt
ĥ0 |ψj i +
N
X
i=1
(hψi |U |ψi ψj i − hψi |U |ψj ψi i) = εj |ψj i,
(3.168)
wobei wir εj ≡ −λj definiert haben. Aus den (H.c.)-Termen ensteht nichts Neues, sondern genau das konjugiert Komplexe dieser Gleichungen.
3.4.3
Hartree-Fock-Gleichungen
Es ist sehr instruktiv, diese Gleichungen im Ortsraum für ein spin-unabhängiges Wechselwirkungspotential U = U (x, x′ ) aufzuschreiben (das ist auch der Fall, der in den
Anwendungen wohl am häufigsten vorkommt). Dazu beachten wir, dass die durch unser Verfahren zu bestimmenden Einteilchen-Kets Tensorprodukte von Orts- und SpinAnteilen sind,
|ψj i = |φj i ⊗ |χj i.
Skalare Multiplikation von links mit hx| ⊗ hχj | liefert dann
(3.169)
67
3. Vielteilchensysteme
~2
−
∆ + V (x) φj (x)
2m
N Z
X
dx′ U (x, x′ ) |φi (x′ )|2 φj (x) − |hχj |χi i|2 φ∗i (x′ )φj (x′ )φi (x)
+
i=1
= εj φj (x),
Hartree-Fock-Gleichungen.
(3.170)
Die Wechselwirkung U führt zu zwei Termen, die als Operatoren geschrieben werden
können;
hx| ⊗ hχj |V̂H |ψj i =
hx| ⊗ hχj |V̂F |ψj i =
N Z
X
i=1
N
X
i=1
dx′ U (x, x′ )|φi (x′ )|2 φj (x),
hχj |χi i
Z
Hartree-Potential
dx′ U (x, x′ )iφ∗i (x′ )φi (x)φj (x′ ),
Fock-Potential.
(3.171)
Das Hartree-Potential ist einfach ein lokales Potential,
am Ort
PNdas die′ Wellenfunktion
2
x multipliziert. Es wird durch die (Ladungs)dichte i=1 |φi (x )| aller Teilchen wie in
der Elektrostatik erzeugt (Poisson-Gleichung). Dahingegen ist das Fock-Potential nichtlokal, es wirkt als Integraloperator auf die betrachtete Wellenfunktion φj , wobei i und
j im Vergleich zum Hartree-Potential gerade vertauscht sind. Hier haben wir in der
Tat eine Manifestation der Austauschwechselwirkung von Fermionen, denn dieser Term
tritt nur auf, falls die Spinanteile der jeweils beteiligten zwei Fermionen hχj |χi i nicht
orthogonal sind. Üblicherweise sind die Spinoren hier auf eine up- down-Basis bezogen,
und das Spin-Skalarprodukt ist einfach
|hχj |χi i|2 = δσj σi ,
(3.172)
wobei σi der Spinindex zum Einteilchenzustand |ψi i ist. Die Austauschwechselwirkung
senkt die Energie bei paralleler Spineinstellung für ein abstossendes Wechselwirkungspotential zwischen zwei Teilchen ab (vgl. Kap 3.2), deshalb haben wir das Minuszeichen
vor dem Fock-Term.
Die Hartree-Fock-Gleichungen
ĥ0 + V̂H − V̂F |ψj i = εj |ψj i (3.173)
sehen wie Schrödingergleichungen aus, sind aber komplizierter, denn die Hartree- und
Fock-Potentiale hängen von den Lösungen der Gleichung ab. Man hat es also mit einem
Selbstkonsistenz-Problem zu tun, was zu erwarten war, da wir es ja mit der Näherung
eines mittleren Feldes zu tun haben (vgl. SKRIPT THERMODYNAMIK). Gelöst werden
die HF-Gleichungen deshalb meist numerisch und iterativ: Man wählt einen Ansatz für
68
3. Vielteilchensysteme
N Wellenfunktionen ψj und konstruiert damit V̂H und V̂F . Dann löst man die HFGleichungen als Eigenwertproblem, um εj , ψj zu erhalten. Das ergibt i.A. mehr als N
neue Wellenfunktionen ψj , von denen man die mit den niedrigsten Energien εj nimmt,
um mit ihnen wieder neue V̂H und V̂F zu konstruieren, usw. Bei Konvergenz ist die
Slaterdeterminante |ψ1 ...ψN i (mit Spinanteilen) dann eine Lösung der HF-Gleichungen
für den Grundzustand.
Man kann NACHPRÜFEN, dass der HF-Hamiltonian ĥ0 + V̂H + V̂F hermitesch ist
und damit in der Tat orthogonale Einteilchenkets |ψj i vorausgesetzt werden können (z.B.
GROSS/RUNGE), wie wir es bei der Herleitung vorausgesetzt hatten. 3
Die Gesamtenergie der in HF bestimmten Slaterdeterminante
|Ψi = |ψ1 ...ψN iN
A
(3.174)
ergibt sich nun aus unserem Ausgangspunkt für das Variationsverfahren,
EΨN ≡ hΨ|Ĥ|Ψi = hΨ|Ĥ0 |Ψi + hΨ|Û |Ψi
=
N
X
1X
hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i
hψi |ĥ0 |ψi i +
2
i=1
=
(3.175)
i6=j
N
X
1
hψi |ĥ0 +
V̂H − ĤF |ψi i.
2
(3.176)
i=1
Da die |ψi i Lösungen der HF-Gleichungen Gl. (3.173) sind, erhalten wir
EΨN =
N X
i=1
1
εi − hψi | V̂H − V̂F |ψi i =
2
N
i
1 Xh
εi + hψi |ĥ0 |ψi i . (3.177)
2
i=1
AUFGABE (Einfaches Ladungsmodell für einen Quantenpunkt): Wir betrachten die
Hartree-Fock-Gleichungen für N Elektronen in einem Quantenpunkt, der die EinteilchenEigenenergien Ei habe. Wir betrachten ein extrem vereinfachtes Modell, in dem die
Wechselwirkung zwischen den Elektronen konstant ist, U =const.
i) Lösen Sie die Hartree-Fock-Gleichungen. Hinweis: Ausnutzen der Orthogonalität der
ψi .
ii) Berechnen Sie damit die Hartree-Fock-Grundzustandsenergie für N Elektronen im
Quantendot, und diskutieren Sie das Ergebnis.
AUFGABE (Zwei Elektronen): Wir betrachten N = 2 Elektronen mit dem HFAnsatz für die Einteilchen-Wellenfunktionen
ψν1 (r, σ) = ψ(r)| ↑i,
ψν2 (r, σ) = ψ(r)| ↓i.
(3.178)
3
Diese Voraussetzung braucht man bei der Herleitung der HF-Gleichung allerdings nicht von vorneherein zu machen, vgl. SCHERZ oder GROSS/RUNGE.
69
3. Vielteilchensysteme
Zeige, dass die HF-Selbstkonsistenzgleichung die Form einer Gross-Pitaevskii-Gleichung
hat,
Z
~2
′
′ 2
′
−
∆ + V (r) + dr |ψ(r )| U (|r − r |) ψ(r) = εψ(r).
(3.179)
2m
3.4.4
Koopmans Theorem
N erhält man jetzt eine für die Anwendungen
Aus dem Ausdruck für die Gesamtenergie EΨ
wichtige Konsequenz:
Satz 20 (Koopmans Theorem). Sei |ΨiN = |ψ1 ...ψN iN
A ein N -Fermionen HF-Zustand
N −1
N −1
= |ψ1 ...[ψk ]...ψN iA der mit denselbem HF-Lösungen ψj ohne den Einteilund |Ψik
chenzustand ψk gebildete HF-Zustand für N − 1 Fermionen. Dann gilt
EΨN − EΨN−1 = εk ,
k
(3.180)
wobei εk die HF-Einteilchen-Energie zur HF-Lösung ψk ist.
Beweis: Wir können diese Energiedifferenz direkt durch den Ausdruck
N
X
1X
hψi |ĥ0 |ψi i +
=
hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i
2
EΨN
i=1
(3.181)
i,j
nachrechnen. Wenn dort gerade ψk fehlt, erhalten wir
1X
EΨN − EΨN−1 = hψk |ĥ0 |ψk i +
hψk ψi |U |ψi ψk i − hψi ψk |U |ψi ψk i
k
2
i
1X
hψj ψk |U |ψk ψj i − hψk ψj |U |ψk ψj i
+
2
j
X
= hψk |ĥ0 |ψk i +
hψk ψi |U |ψi ψk i − hψk ψi |U |ψk ψi i
(3.182)
i
wegen der Symmetrie der Matrixelemente von U . Nun ist aber gerade
X
ĥ0 |ψk i +
hψi |U |ψi ψk i − hψi |U |ψk ψi i = ĥ0 + V̂H − V̂F |ψk i = εk |ψk i
(3.183)
i
wegen der HF-Gleichungen Gl. (3.168) oder Gl. (3.173), und die Behauptung folgt durch
skalare Multiplikation mit hψk |, q.e.d.
Die Energiedifferenz EΨN − EΨN−1 kann z.B. als Ionisierungsenergie eines Moleküls
k
bei Entfernen eines Elektrons aus dem Einteilchen-Zustand ψk interpretiert werden,
dann beschreibt ΨN (wie in den meisten HF-Anwendungen) einen Grundzustand. Allerdings wird vorausgesetzt, dass für HF-Kets ΨN und EΨN−1 aus denselben EinteilchenZuständen ψj aufgebaut werden, was i.A. nicht der Fall ist, da ja der Hartree- und der
Fockoperator von N abhängt. Für große N ≫ 1 (SCHERZ) sollte das allerdings keine
so große Rolle mehr spielen.
70
3. Vielteilchensysteme
3.4.5
Translationsinvariante Systeme, Magnetismus
In diesen sind die Lösungen der HF-Gleichungen Zustände
|ψj i = |kj i ⊗ χj ,
1
hx|kj i = √ e−ixkj
V
(3.184)
mit ebenen Wellen als Ortsanteil (AUFGABE) im Box-Volumen V . Es gilt dann
kj2
∆
+ V0 |ψi i =
+ V0 ,
hψi |ĥ0 |ψi i = hψi | −
2m
2m
(3.185)
wobei das Einteilchen-Potential in ĥ0 wegen der Translationsinvarianz eine Konstante
V0 sein muss. Weiterhin ist der Hartree-Term
Z
Z
Z
1
Ũ (0)
1
′
′
(3.186)
drU (r) ≡
hψj ψi |U |ψi ψj i = 2 dx dx U (x − x ) =
V
V
V
völlig unabhängig von i und j. Der interessante Term ist der Fock-Term,
Z
Z
|hχj |χi i|2
′
′
hψj ψi |U |ψj ψi i =
dx dx′ U (x − x′ )eikj (x−x ) eiki (x −x)
2
V
Z
Ũ(kj − ki )
|hχj |χi i|2
, (3.187)
drU (r)ei(kj −ki )r = |hχj |χi i|2
=
V
V
insgesamt also für die Gesamtenergie
EΨ
N
X
1X
hψi |Ĥ0 |ψi i +
=
hψj ψi |U |ψi ψj i − hψi ψj |U |ψi ψj i
2
i=1
=
N
X
i=1
i6=j
kj2
1X
+ N V0 +
2m
2
i6=j
Ũ (kj − ki )
Ũ (0)
− |hχj |χi i|2
V
V
!
.
(3.188)
Wir schreiben statt der Quantenzahl i jetzt (k, σ) und statt j jetzt (k′ , σ ′ ). Der Spinor
χi ist dann ein Spinor zur Spineinstellung σ (rauf oder runter). In den Summen für EΨ
wird über die tatsächlich mit einem Elektron besetzten Zustände summiert: wir führen
hierfür Besetzungszahlen nkσ = 0, 1 ein und schreiben damit
X k2
nkσ + E (1)
2m
kσ
1 XX
Ũ (0) − δσσ′ Ũ(k − k′ ) nkσ nk′ σ′ .
2V
′
′
EΨ = N V0 +
E (1) =
(3.189)
kk σσ
Der Ausdruck E (1) für die Wechselwirkungsenergie ist genau das, was wir bereits vorher auf viel einfachere Weise in erster Ordnung Störungstheorie in U erhalten hatten,
71
3. Vielteilchensysteme
Gl. (3.61), wenn wir die Besetzungszahlen nkσ mit den Fermifunktionen (bei Temperatur
T = 0 für den Grundzustand) identifizieren.
Damit haben wir aber schon eine erste Theorie des Ferromagnetismus, ausgehend
von freien Elektronen (SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE): Mit Bloch (1929, vgl. auch
YOSHIDA) argumentieren wir jetzt zunächst qualitativ wie folgt: Angenommen, das
Elektronengas ist (teilweise) spinpolarisiert, d.h. die Magnetisierung pro Elektron
m ≡ hn̂+ i − hn̂− i 6= 0.
(3.190)
Im Extremfall sei z.B. das gesamte Elektronengas (spontan) spinpolarisiert, z.B. hn̂i =
hn̂+ i. Dadurch wird die Wechselwirkungsenergie abgesenkt. Andererseits bedeutet das
auch, dass im k-Raum nun die vorher doppelt besetzten k-Zustände nur noch einfach
besetzt werden: bei gleicher Elektronenzahl müssen
auch höhere k-Zustände besetzt
P nun
k2
n
werden. Dadurch wird die kinetische Energie
kσ 2m kσ erhöht. Bei großer Gesamtdichte hn̂i ist die kinetische Energie wichtiger (drei Dimensionen), aber die Konkurrenz
zwischen beiden Mechanismen führt dazu, dass es eine kritische Gesamtdichte nc gibt,
unterhalb derer der ferromagnetische Zustand energetisch günstiger wird, vgl. YOSHIDA Kapitel 12.1 und Fig. 12.1. dort. Quantitativ hängt nc von der genauen Form der
Wechselwirkung, der räumlichen Dimension, zusätzlichen Einteilchenpotentialen, Magnetfeldern etc. ab, vgl. z.B. Kinaret, Lee; Phys. Rev. B (1990).
Man beachte, dass der Übergang von nicht-ferromagnetischem zu ferromagnetischem
Zustand hier nicht in erster Linie von der Temperatur abhängt (man kann T = 0 annehmen), sondern von den Parametern des Hamiltonians (Wechselwirkungsstärke) und der
Gesamtdichte.
3.5
Schwach wechselwirkende Bosonen
Wir schieben zunächst eine Wiederholung zur Bose-Einstein-Kondensation aus dem
SKRIPT THERMODYNAMIK ein.
3.5.1
Bose-Einstein-Kondensation
Wir betrachten Bosonen der Masse M in d = 3 Dimensionen mit Spin s = 0 und
Einteilchenenergien εk = k2 /2M . In unserer obigen Notation wird die Einteilchenzustandsdichte
X
ν1 (ε) = δ(ε) +
δ(ε − εk ).
(3.191)
k6=0
Dann wird das grosskanonische Potential
Z
i
h
−1
−1
Ω = −β ln Zgk = β
dεν1 (ε) ln 1 − e−β(ε−µ)
Z
i
h
−1
−1
= β ln(1 − z) + β
dενsmooth (ε) ln 1 − e−β(ε−µ) .
(3.192)
(3.193)
72
3. Vielteilchensysteme
Der Beitrag von den Einteilchen-Grundzuständen gibt jetzt explizit den Term β −1 ln(1−
z). Der glatte Anteil der Zustandsdichte kann jetzt wie immer im thermodynamischen
Limes ausgerechnet werden,
Z
i
i
h
X h
V
dενsmooth (ε) ln 1 − ze−βε = − 3 g5/2 (z) (3.194)
ln 1 − ze−βεk =
λ
k6=0
Z ∞
4
2
−g5/2 (z) ≡ √
(3.195)
dxx2 ln(1 − ze−x ).
π 0
(letzte Zeile als AUFGABE). Die g-Funktionen erfüllen
1
d
gn (z) = gn−1 (z),
dz
z
(3.196)
und mit ∂µ z = βz folgt
V
Ω = kB T ln(1 − z) − − 3 g5/2 (z)
λ
z
V
∂
+ g (z).
N = − Ω=
∂µ
1 − z λ3 5/2
(3.197)
(3.198)
DISKUSSION der g-Funktionen. Es gilt
gn (1) = ζ(n),
n>1
(3.199)
(Riemannsche Zeta-Funktion). Das grosskanonische Potential Ω hat bei z = 1, d.h. µ = 0,
eine Singularität, was auf die Existenz eines Phasenübergangs hindeutet. Nun ist z als
Zustandsvariable unpraktisch, da man i.a. die mittlere Dichte n viel besser kontrollieren
kann. Wir drücken µ deshalb wieder durch n aus, indem wir
x≡
λ3 z
N λ3
=
+ g3/2 (z)
V
V 1−z
(3.200)
definieren. Jetzt thermodynamischen Limes V → ∞, N → ∞ mit N/V = n =const
durchführen. Zwei Fälle:
• Für x < ζ(3/2) = 2, 612... wird z aus x = g3/2 (z) bestimmt, weil
λ3
V
→0
• Für x ≥ ζ(3/2) hat man z → 1 so dass
N0 =
damit x − ζ(3/2) =
λ3
V N0
z
→ ∞,
1−z
(3.201)
positiv bleibt.
Damit hat man für
N λ3
≥ ζ(3/2),
V
Bose-Einstein-Kondensation
(3.202)
73
3. Vielteilchensysteme
eine makroskopische Besetzung des Grundzustandes.
Als Funktion der Dichte n ist das chemische Potential µ bzw. die Fugazität z nichtanalytisch bei x = ζ(3/2). Das Erreichen der BE-Kondensation erfordert hohe Dichten
bzw. tiefe Temperaturen, bzw.
λ≡ √
h
> 2, 612
2πM kB T
mittlerer Teilchenabstand.
(3.203)
Damit wird eine kritische Temperatur für das Eintreten des Phasenübergangs definiert,
nλ3 = ζ(3/2) ↔ kB Tc ≡ n2/3
h2
.
2πM ζ 2/3 (3/2)
(3.204)
Für T < Tc hat man z → 1 im thermodynamischen Limes und dann makroskopische
Besetzung des Grundzustandes, d.h. BE-Kondensation. Oberhalb von Tc , d.h. für T >
Tc , hat man keine BE-Kondensation. Die Teilchenzahldichte des Grundzustands zeigt
deshalb wegen
g3/2 (z)
1 z
N
=
+
V
V 1−z
λ3
folgendes Verhalten (SKIZZE),


lim n0 =
 n−
N,V →∞
ζ(3/2)
λ3
0
T > Tc
3/2 = n 1 − TTc
T < Tc
(3.205)
(3.206)
Bemerkungen
• Die BE-Kondensation ist ein Phasenübergang in einem nicht-wechselwirkendem
System!
• Die spezifische Wärme, CV hat einen Knick bei T = Tc (SKIZZE).
• Spektakulär ist die makroskopische Besetzung des GZ (k = 0) unterhalb der Temperatur Tc , die hoch im Vergleich zur Einteilchen-Anregungslücke ∆E (durch die
normale Quantisierung der kinetischen Energie in endlichen Volumina) ist, vgl. die
Diskussion in NOLTING.
Experimentelle Realisierungen. Nobelpreis Ketterle etc.
3.5.2
Einteilchendichtematrix
Zusammengesetzte Systeme wie z.B. Atome, die aus Elektronen und Nukleonen bestehen, können bei gerader Anzahl der fermionischen Bestandteilen als Bosonen und bei
ungerader Anzahl der fermionischen Bestandteilen als Fermionen aufgefasst werden. Das
gilt allerdings nur, wenn die Atome sich nicht so nahe kommen, dass ihre räumliche
74
3. Vielteilchensysteme
Struktur anfängt, wichtig zu werden. Für eine Diskussion vgl. LEGGETT ‘Quantum Liquids’. Eine genauere quantitative Diskussion der Statistik zusammengesetzter Teilchen
ist aber gar nicht so trivial und hat in manchen Fällen wie z.B. bei Exzitonen (‘gebundene Zustände aus einem Elektron und einem Loch’) zu teils kontrovers geführten
Debatten geführt.
Ein in diesem Zusammenhang nützliches Konzept ist die Einteilchendichtematrix:
Erwartungswerte von Einteilchengrößen
X
 ≡
Âλµ a†λ aµ
(3.207)
λ,µ
(zweite Quantisierung) im Vielteilchenzustand ρ ≡ |ΨihΨ| werden durch die Einteilchendichtematrix
ρµλ ≡ hΨ|a†λ aµ |Ψi,
Einteilchendichtematrix
(3.208)
durch
hΨ|Â|Ψi = Trρ =
X
Âλµ ρµλ
(3.209)
λ,µ
berechnet. Wie sieht das in der Ortsdarstellung aus (wir lassen den Spin hier weg, um die
Notation zu vereinfachen, ansonsten wie immer x → ξ) ? Wir betrachten zunächst ein
einziges Teilchen. Formal definieren wir in erster Quantisierung einen Einteilchenoperator
 ≡ |x1 ihx′1 |
(3.210)
so dass für einen reinen Einteilchenzustand |φihφ| gilt
TrÂ|φihφ| = φ(x′1 )φ∗ (x1 )
(3.211)
Für x1 = x′1 gibt das z.B. die W-Dichte |φ(x1 )|2 am Ort x1 . Für N ununterscheidbare
Teilchen muss man in erster Quantisierung schreiben
 ≡
N
X
i=1
|xi ihx′i |,
(3.212)
so dass für einen reinen N -Teilchenzustand |ΨihΨ| gilt
TrÂ|ΨihΨ| =
N
X
i=1
hΨ|xi ihx′i |Ψi
Der erste Summand i = 1 gibt z.B.
Z
′
hΨ|x1 ihx1 |Ψi = dx2 ...dxN Ψ∗ (x1 , ..., xN )Ψ(x′1 , ..., xN ),
(3.213)
(3.214)
75
3. Vielteilchensysteme
was man z.B. direkt aus der Vollständigkeitsrelation
Z
dx1 ...dxN |x1 ...xN ihx1 ...xN | = 1
(3.215)
ableitet. Da die N -Teilchenwellenfunktionen total (anti)symmetrisch bezüglich Vertauschung der Argumente sind (die Minuszeichen heben sich weg, da die Wellenfunktion
zweimal da steht und die jeweiligen xi , x′i an denselben Stellen stehen), ergibt sich
Z
TrÂ|ΨihΨ| = N dx2 ...dxN Ψ∗ (x1 , ..., xN )Ψ(x′1 , ..., xN ).
(3.216)
Man erkennt an dieser Darstellung besonders gut die Bedeutung der Einteilchendichtematrix für N -Teilchenwellenfunktionen: Sie beschreibt eine Korrelation der Amplituden
an zwei Orten x1 und x′1 für eines der N -Teilchen, wobei über alle restlichen N − 1
Teilchen gemittelt wird (LEGGETT).
In zweiter Quantisierung wird aus dem Einteilchenoperator
 ≡ |xihx′ |
(3.217)
der Einteilchenoperator ausgedrückt durch Feldoperatoren Ψ̂† und Ψ̂,
Z
dydy′ hy|Â|y′ iΨ̂† (y)Ψ̂(y′ ) = Ψ̂† (x)Ψ̂(x′ )
(3.218)
Es gilt also (für reine Zustände |Ψi )
Z
hΨ|xihx′ |Ψi = N dx2 ...dxN Ψ∗ (x, ..., xN )Ψ(x′ , ..., xN )
= hΨ|Ψ̂† (x)Ψ̂(x′ )|Ψi.
(3.219)
Die erste Zeile entspricht der ersten Quantisierung, die zweite Zeile der zweiten Quantisierung. Diese Darstellung kann auch auf gemischte Zustände
X
ρ≡
ps |Ψs ihΨs |
(3.220)
s
verallgemeinert werden. Dann hat man
Z
X
′
Trρ|xihx | =
ps N dx2 ...dxN Ψ∗s (x, ..., xN )Ψs (x′ , ..., xN )
s
= TrρΨ̂† (x)Ψ̂(x′ ).
(3.221)
Die Einteilchendichtematrix kann jetzt benutzt werden, um Bose-Einstein-Kondensation
auch für wechselwirkende Systeme mit Wellenfunktionen Ψ(x1 , ..., xN ) zu definieren
(Penrose/Onsager 1965, LEGGETT).
76
3. Vielteilchensysteme
AUFGABE: Wir betrachten zwei Fermionen, die am Ort Rl bzw. Rr ‘gebunden’ sind.
Ein Beispiel sind die Elektronen in zwei Wasserstoffatomen, von denen sich eines auf
der Erde und eins auf dem Mond befindet. Ist es wirklich nötig, die antisymmetrische
Gesamtwellenfunktion beider Elektronen zu benutzen, um lokale Eigenschaften z.B. des
Atoms auf der Erde zu beschreiben? Der Zustand des Gesamtsystems sei
|Ψi = |φiS ⊗ |Si,
hx1 x2 |φiS ≡
1
(φl (x1 )φr (x2 ) + φl (x2 )φr (x1 ))
N
(3.222)
mit normierten Einteilchenorbitalen, die um den Ort Rl bzw. Rr lokalisiert seien, dem
Normierungsfaktor N und dem Singlett-Spinor |Si.
1. Berechnen Sie aus dem Projektor auf den reinen Zustand |Ψi die reduzierte Dichtematrix ρ (SKRIPT QM1) für ein einziges Elektron mit der Ortskoordinate x, und
schreiben Sie das Ergebnis in der Ortsdarstellung
ρ(x, x′ ) ⊗ ρS ,
(3.223)
wobei ρS den Spinanteil bezeichnet. Diskutieren Sie, inwieweit die Entfernung zwischen
den Atomen eine Rolle für beide Anteile der reduzierten Dichtematrix spielt.
2. Betrachten Sie den Fall hφl |φr i = 0, d.h. verschwindenden Überlapp. a) Wie lautet
|Ψi in zweiter Quantisierung, d.h. ausgedrückt mit Hilfe der zwei Erzeuger a†lσ , a†rσ angewendet auf das Vakuum? b) Definieren Sie einen Einteilchenoperator für ein Elektron
bei Rl mit ‘lokalen Feldoperatoren’,
X
Ψ†σ (x)Ψσ′ (x′ ) ≡
(3.224)
φ∗l1 (x)φl2 (x′ )a†l1 σ al2 σ′
l1 l2
und berechnen Sie damit durch Sandwichen mit |Ψi eine Einteilchen-Dichtematrix ρl (x, x′ )⊗
ρS . Die Quantenzahlen l1 , l2 sollen sich hier auf eine Orthogonalbasis im ‘linken’ Teilsystem beziehen.
3.5.3
Wechselwirkende Bosonen
Eine frühe Motivation, sich mit wechselwirkenden Bosonen zu beschäftigen, war der sogenannte λ-Übergang in 4 He bei Tc = 2.19 K und Atmosphärendruck, d.h. der Übergang
in eine ’superflüssige’ Phase (He II) unterhalb Tc , in der die Viskosität des (unter T = 4.2
K flüssigen) Heliums auf Null fällt (Entdeckung durch Pyotr Kapitsa, John F. Allen, und
Don Misener 1937).
Die zwei Heliumisotope 4 He und 3 He unterscheiden sich in ihrem Spin, wenn sie
jeweils als ununterscheidbare Teilchen aufgefasst werden, d.h. wenn die Struktur der
Atome und ihrer Kerne für die betrachteten Phänomene keine Rolle mehr spielt. Dann
ist 4 He effektiv ein Boson, da es aus einer geraden Zahl von Fermionen besteht, und 3 He
ist effektiv ein Fermion (für die ausserordentlich reichhaltige Physik der Superfluidität
bei 3 He vgl. das Lehrbuch VOLLHARDT/WÖLFLE).
Die Bose-Einstein-Kondensation wurde schon früh mit dem λ-Übergang und der Superfluidität von 4 He in Zusammenhang gebracht. Allerdings reicht das Modell wechselwirkungsfreier Bosonen nicht aus, um die Superfluidität zu erklären. Eine wichtige Rolle
77
3. Vielteilchensysteme
spielen kollektive Anregungen im He II bei tiefen Temperaturen, die wie Schallwellen
(Phononen) im dreidimensionalen Festkörper z.B. zu einer spezifischen Wärme
CV ∝ T 3 ,
T →0
(3.225)
führen, während das ideale Bosegas CV ∝ T 3/2 liefert. Wichtige theoretische Arbeiten
hier von Landau (1941), Bogoliubov (1947), Feynman (1955). Eine gute Einführung
geben NOZIERES/PINES (‘The theory of quantum liquids’, Vol II).
Für ein mikroskopisches Modell nimmt man zunächst spinlose Bosonen der Masse
M in drei Dimensionen mit Zweiteilchenwechselwirkung U (x − x′ ) an. Der Hamiltonian
lautet dann (AUFGABE)
H = Ĥ0 + V̂ ≡
X
εk a†k ak +
k
1 X
Uq a†k+q a†p−q ap ak
2V
(3.226)
kpq
mit dem Matrixelement
Uq ≡
Z
d3 xe−iqx U (x),
(3.227)
wobei als Einteilchen-Basis ebene Wellen im Volumen V mit Wellenvektor k benutzt
werden.
3.5.4
Effektive Theorie
Da die exakte Lösung mit H ziemlich hoffnungslos ist, ist man auf Näherungen angewiesen. Mit der Hartree-Fock-Methode kann man versuchen, den Grundzustand des Systems
zu beschreiben (AUFGABE). Allerdings wollen wir auch Anregungen beschreiben, um
einen Zusammenhang mit Superfluidität herstellen zu können. Dafür ist es zweckmässig,
einen genäherten effektiven Hamiltonian Heff herzuleiten, der dann weiter analysiert
werden kann. Wir tun dies in mehreren Schritten.
1. Wir postulieren einen Grundzustand |Ψ0 (N0 )i von Heff mit N0 ≫ 1 Bosonen mit
Impuls k = 0 wie beim idealen Bosegas.
2. In den üblichen Erzeuger/Vernichter-Eigenschaften für k = 0,
p
p
a0 |Ψ0 (N0 )i = N0 |Ψ0 (N0 − 1)i, a†0 |Ψ0 (N0 )i = N0 + 1|Ψ0 (N0 + 1)i(3.228)
wollen wir wegen N0 ≫ 1 den Unterschied zwischen N0 und N0 ±1 vernachlässigen.
Dann ist a†0 a0 |Ψ0 (N0 )i = a0 a†0 |Ψ0 (N0 )i = N0 |Ψ0 (N0 )i, d.h. Erzeuger und Vernichter vertauschen miteinander,
[a0 , a†0 ] = 0
und werden in einem weiteren Schritt effektiv durch c-Zahlen ersetzt;
p
a†0 , a0 → N0 , Bogoliubov-Vorschrift.
(3.229)
(3.230)
78
3. Vielteilchensysteme
Im Hamiltonian wollen wir zunächst die zu N0 ≫ 1 proportionalen Terme mit a0 und
a†0 identifizieren. Wir schreiben also
X
X
Ĥ0 =
εk a†k ak + ε0 N0 =
εk a†k ak
(3.231)
k6=0
k6=0
wegen ε0 = 0. Im Wechselwirkungsterm V̂ ≡
1
2V
P
kpq
Uq a†k+q a†p−q ap ak haben wir
Summen über a†k+q a†p−q ap ak . Wir isolieren die Beiträge folgender Terme:
p=k=q=0 :
p=k=0 :
1
U0 N02
2V
1 X
Uq a†q a†−q N0
2V
(3.232)
(3.233)
q6=0
p = −k = q :
p = q, k = 0 :
1 X
Uq aq a−q N0
2V
(3.234)
q6=0
1 X
Uq a†q aq N0
2V
(3.235)
q6=0
p=q=0 :
1 X
U0 a†k ak N0
2V
(3.236)
k6=0
k=q=0 :
1 X
U0 a†p ap N0
2V
(3.237)
p6=0
k + q = 0, p = 0 :
1 X
Uq a†−q a−q N0 .
2V
(3.238)
q6=0
Die sechs zu N0 proportionalen Terme erhalten wir durch alle möglichen Paarungen
von jeweils zwei der Operatoren. Alle anderen Beiträge involvieren nur noch einen oder
gar√keinen Erzeuger/Vernichter mit Impuls 0 und geben deshalb Terme der Ordnung
O( N0 ) bzw. O(1). Wir betrachten diese Terme nun als kleine Störung und lassen sie
im Vergleich zu den oben isolierten Termen weg. Das führt dann (Aufsammeln aller
Terme) zum effektiven Hamiltonian
X
N0
N 2 U0
Heff =
εk +
(U0 + Uk ) a†k ak + 0
V
2V
k6=0
X N0 Uk † †
ak a−k + ak a−k .
(3.239)
+
2V
k6=0
Das ist ein sehr interessantes Ergebnis: Die erste Zeile beschreibt einen konstanten Term
und einen quadratischen Einteilchen-Hamiltonian,
wie wir ihn von freien Bosonen her
P
kennen (vgl. den Ausdruck für Ĥ0 = k6=0 εk a†k ak ), nur mit einer abgeänderten Einteilchenenergie εk + NV0 (U0 + Uk ). Die zweite Zeile jedoch ist ungewöhnlich: es treten zwar
79
3. Vielteilchensysteme
nur jeweils zwei Erzeuger/Vernichter auf, aber nicht in der uns bei Einteilchenoperatoren
bekannten Form a†α aβ , sondern jeweils Produkte von zwei Erzeugern oder zwei Vernichtern. Unsere Näherung hat uns einen effektiven ‘Einteilchen-Hamiltonian’ erzeugt, den
es aber so in der üblichen Einteilchentheorie nicht geben kann. Hier ist also etwas Neues
entstanden, das wir jetzt weiter analysieren müssen.
3.5.5
Die Bogoliubov-Transformation
Unser Hamiltonian hat die Form
X
H =
fk a†k ak + gk a†k a†−k + ak a−k ,
fk = f−k > 0,
k6=0
gk = g−k >(3.240)
0.
Im Folgenden werden wir eine Transformation der Erzeuger/Vernichter konstruieren, die
diesen Hamiltonian auf Diagonalform eines gewöhnlichen Einteilchenoperators bringt,
X
H′ =
ωk α†k αk ,
(3.241)
k6=0
wobei die α†k , αk die neu zu konstruierenden Erzeuger/Vernichter sind. Wir schreiben H
in 2 × 2-Matrixform
fk g a X f
X
k
k
k
†
2
H =
−
,
(3.242)
ak , a−k
a†−k
2
gk f2k
k6=0
k6=0
wobei wir
a−k a†−k = 1 + a†−k a−k
(3.243)
ausgenutzt haben und die Tatsache, dass über all k summiert wird und fk = f−k . Wir
führen die neuen Erzeuger/Vernichter ein über
† † uk −vk
ak
αk
= Sk
, Sk ≡ S−k ≡
= SkT
(3.244)
−vk uk
a−k
α−k
mit der Forderung
uk = u−k ∈ R,
Die Umkehrung lautet
α†k
α−k
1
=
detSk
vk = v−k ∈ R.
uk vk
vk uk
a†k
a†−k
(3.245)
!
(3.246)
Jetzt wollen wir erreichen, dass die neuen Erzeuger/Vernichter bosonische Vertauschungsrelationen erfüllen - schliesslich haben wir es ja mit Bosonen zu tun. Hierfür berechnen
wir die Kommutatoren (NACHRECHNEN)
[αk , α†k′ ] =
δkk′
,
detSk
[αk , αk′ ] = 0.
(3.247)
80
3. Vielteilchensysteme
Wir erhalten die kanonischen Vertauschungsrelationen für die neuen Erzeuger/Vernichter
also für
detSk = u2k − vk2 = 1.
(3.248)
Dann erhält die Transformation Gl. (3.244) die Vertauschungsrelationen; sie wird dann
analog zur analytischen Mechanik als kanonische Transformation bezeichnet.
WIEDERHOLUNG: Poisson-Klammern und kanonische Transformationen in der klassischen Mechanik.
Ganz ausführlich schreiben wir nun
ak
αk
†
†
= Sk
(3.249)
ak , a−k = αk , α−k Sk ,
a†−k
α†−k
und erhalten damit
H =
X
α†k ,
k6=0
α−k
Sk
fk
2
gk
gk
fk
2
αk
α†−k
−
αk
α†−k
−
Sk
X fk
k6=0
2
,
(3.250)
Die Matrixmultiplikation ergibt
H =
X
α†k ,
k6=0
α−k
1
2 ωk
qk
qk
1
2 ωk
1
1
ωk ≡
fk (u2k + vk2 ) − 2gk vk uk
2
2
qk ≡ −fk vk uk + gk (u2k + vk2 ).
X fk
k6=0
2
(3.251)
Um den Hamiltonian in Diagonalform zu bringen, muss also qk verschwinden;
0 = −fk vk uk + gk (u2k + vk2 ) = −fk vk uk + gk (2u2k + 1)
(3.252)
Umstellen und Quadrieren liefert
u4k − u2k +
gk2
= 0,
4gk2 fk2
und damit die Lösungen


1
fk
,
u2k = 1 ± q
2
2
2
fk − 4gk
Wegen √
fk
2
fk2 −4gk
vk2 =
1
gk 6= ± fk
2
(3.253)


1
fk

−1 ± q
2
2
2
fk − 4gk
(3.254)
> 1 liefert nur die +-Lösung reelle vk , uk , und wir erhalten für die
Diagonalgrössen 21 ωk damit
1
1
1
ωk = fk (u2k + vk2 ) − 2gk vk uk =
2
2
2
q
fk2 − 4gk2 .
Den Hamiltonian können wir also insgesamt in Diagonalform schreiben;
(3.255)
81
3. Vielteilchensysteme
H =
αk ≡
X
ωk
k6=0
vk a†−k
α†k αk
+ u k ak ,
1
+
2
u2k
1
− fk ,
2
=1+
vk2
1
=
2
ωk ≡
q
fk2 − 4gk2
fk
1+
ωk
.
(3.256)
(3.257)
Wir bemerken hier schon, dass unsere Ergebnisse offensichtlich nur Sinn machen, falls
fk > 2gk ,
(3.258)
da andernfalls ωk imaginär würde und damit der Hamiltonian nicht mehr hermitesch.
3.5.6
Quasiteilchen
Wir diskutieren die Konsequenzen des neu diagonalisierten Modells für unseren Ausgangspunkt, den effektiven Hamiltonian Heff für schwach wechselwirkende Bosonen,
Gl. (3.239). Zunächst finden wir durch einsetzen der Parameter
X †
1
U0
1
1
Heff =
ωk αk αk +
− fk + N02
2
2
2
V
k6=0
s
2
N 2U 2
N0
N0
ωk ≡
εk +
(U0 + Uk ) − 0 2 k , fk = εk +
(U0 + Uk ) (3.259)
V
V
V
(†)
Der effektive Hamiltonian Heff ist also diagonal in den neuen Erzeugern/Vernichtern αk
und beschreibt wegen dieser Diagonalform freie (nicht-wechselwirkende) Bosonen mit der
(†)
Energie ~ωk und dem Impuls k, denn die αk unterliegen ja den gewöhnlichen kanonischen Vertauschungsrelationen (die Bogoliubov-Transformation haben wir als kanonische
Transformation konstrukiert). Diese Bosonen sind jetzt neue, abstrakte Objekte und haben insbesondere nichts mehr direkt mit den ursprünglichen massiven Bosonen der Masse
M zu tun. Die Situation ist analog zum Fall gekoppelter Schwingungen in der klassischen
Lagrange-Mechanik, wo Normalmoden Linearkombinationen der ursprünglichen, harmonisch gebundenen Freiheitsgrade sind. Insbesondere erhält man dort beim Übergang zur
Quantenmechanik durch die Quantisierung der Normalmoden Objekte (Phononen), die
nichts mehr direkt mit den ursprünglich involvierten Massen der einzelnen schwingenden
Objekte zu tun haben.
Insofern ist die Situation hier nicht so aussergewöhnlich. Ein ungewöhnliches Merkmal ist allerdings, dass durch die Linearkombination der ursprünglichen Erzeuger/Vernichter
die neuen Vernichter
αk ≡ vk a†−k + uk ak
(3.260)
offensichtlich zu Überlagerungen von Zuständen mit unterschiedlichen Teilchenzahlen
führen! Das ist gewissermassen konsistent mit unserer Voraussetzung N0 ± 1 ≈ N0 >> 1.
82
3. Vielteilchensysteme
Diese Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlichen Teilchenzahlen führt jedoch
über die uns bisher begegneten üblichen Superpositionen hinaus. Sie ist ein wesentliches
Merkmal dieser Art von Vielteilchenphysik. Etwas analoges tritt mit den Cooper-Paaren
in der Supraleitung fermionischer Systeme auf (SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE).
(†)
Die neuen Anregungen oder ‘Teilchen’, die durch die Operatoren αk im Fockraum
erzeugt(vernichtet) werden, heissen Quasiteilchen. Hier kommt übrigens das Konzept
des Fockraums und der zweiten Quantisierung erstmals voll zum tragen 4 .
An dieser Stelle könnte man natürlich einwenden, dass bis jetzt alles nur auf Näherungen
aufgebaute Spekulation ist. Das Überraschende ist nun aber, dass die Voraussagen der
Theorie nichttrivial sind und tatsächlich mit Experimenten verglichen werden können.
Dazu betrachten wir die Dispersionsrelation der Quasiteilchen, d.h.
s
k2 2
n
(3.261)
+ k2 (U0 + Uk )
ωk =
2M
M
mit der Teilchendichte n ≡ N0 /V (Volumen V ). Wenn für k → 0 der Grenzwert Uk
wohldefiniert ist, wird daraus
ωk ∼ |k|, k → 0
(3.262)
Diese lineare Dispersionsrelation entspricht akustischen Phononen in drei Dimensionen,
und führt entsprechend zu dem T 3 -Gesetz der spezifischen Wärme von He II bei tiefen
Temperaturen. Bei kleinen Wellenvektoren k sind die Quasiteilchen also Phononen-artig.
Umgekehrt ist
ωk ∼
k2
, k → ∞,
2M
(3.263)
bei grossen Wellenvektoren sind die Energien der Quasiteilchen also wie bei freien Teilchen der Masse M .
Der Grundzustand |0i des effektiven Hamiltonians Heff ist definiert über
αk |0i = 0,
k 6= 0.
(3.264)
Die Zahl der Quasiteilchen im Grundzustand ist dann
h0|α†k αk |0i = 0,
k 6= 0.
(3.265)
Andererseits enthält |0i eine endliche Zahl der ursprünglichen, freien Bosonen. Die Besetzungswahrscheinlichkeit für den Wellenvektor k 6= 0 ist
4
h0|a†k ak |0i = h0|(uk α†k − vk α−k )(uk αk − vk α†−k )|0i
r

2 
U k N0
2
ωk +
V

1
 > 0(3.266)
= vk2 h0|α−k α†−k |0i = vk2 = 
−1
+


2
ωk
Es ist schwer vorstellbar, eine Bogoliubov-Theorie transparent in erster Quantisierung zu formulieren.
83
3. Vielteilchensysteme
Ohne Wechselwirkung (Uk = 0) sind im Grundzustand alle Teilchen im k-Raum bei
k = 0, d.h. im Ursprung lokalisiert, während bei endlicher Wechselwirkung Uk 6= 0 auch
k 6= 0-Zustände besetzt sind.
In der weiteren Diskussion von Heff gibt es eine Reihe von interessanten und teils
etwas subtilen Punkte, wie z.B. die Rolle der Gesamtteilchenzahl und die des chemischen Potentials. Eine weitere Frage ist die nach quantitativer Übereinstimmung, z.B.
mit Experimenten in He II, oder mit anderen wechselwirkenden bosonischen Systemen
(LEGGETT, PINES/NOZIERES). Mehr dazu evtl. in der Vertiefungsvorlesung oder im
Seminar nächstes Semester.
3.5.7
Die Bogoliubov-Transformation bei Supraleitern
(SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE) Das Auftreten von Quasi-Teilchen gibt es auch
bei Supraleitern. Diese werden in der ‘klasssischen’ Theorie der Supraleitung durch den
BCS-Hamiltonians
X †
X
HBCS ≡
ǫk ckσ ckσ +
(3.267)
Vkk′ c†k↑ c†−k↓ c−k′ ↓ ck′ ↑ ,
kσ
kk′
beschrieben, den wir jetzt in mean-field-Näherung (MF) behandeln wollen. Typischerweise wird dabei ein Produkt zweier Operatoren A und B als
AB = hAiB + hBiA − hAihBi + (A − hAi)(B − hBi)
(3.268)
ersetzt durch Weglassen des letzten ‘Fluktuations-Terms’, d.h.
AB → hAiB + hBiA − hAihBi.
(3.269)
Dazu wählen wir im Wechselwirkungsterm
A = c†k↑ c†−k↓ ,
B = c−k′ ↓ ck′ ↑ ,
(3.270)
denn wir wollen uns bei der Bildung der Erwartungswerte von den Cooper-Paaren in der
BCS-Wellenfunktion |Ψ0 i leiten lassen. Dort gilt z.B.
hΨ0 |c†k↑ c†−k↓ |Ψ0 i = uk vk 6= 0.
(3.271)
Jetzt definieren wir etwas allgemeiner
Fk ≡ hc†k↑ c†−k↓ i
(3.272)
und schreiben damit den BCS-Hamiltonian in mean-field-Näherung,
X †
X
(M F )
HBCS ≡
ǫk ckσ ckσ +
Vkk′ Fk c−k′ ↓ ck′ ↑ + Fk∗′ c†k↑ c†−k↓ − Fk Fk∗′
kσ
=
X
kσ
∆k = −
(3.273)
kk′
ǫk c†kσ ckσ −
X
k′
X
k
∆k c†k↑ c†−k↓ −
Vkk′ hc−k′ ↓ ck′ ↑ i.
X
k
∆∗k c−k↓ ck↑ −
X
Vkk′ Fk Fk∗(3.274)
′
kk′
(3.275)
84
3. Vielteilchensysteme
Erwartungswerte h...i sollen im Folgenden selbstkonsistent und auch bei endlichen Temperaturen T berechnet werden. Die zugehörige Zustands-Dichtematrix wird dabei erst
einmal nicht als bekannt vorausgesetzt. Die Notation ∆k wurde aber bereits als das uns
vom T = 0-Fall bekannte ‘gap’ gewählt, das im Folgenden durch eine SelbstkonsistenzGleichung berechnet wird, die sich als nichts anderes als die Verallgemeinerung der ‘gapGleichung’ zu endlichen Temperaturen herausstellen wird (SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE).
(M F )
Der mean-field Hamiltonian HBCS ist nun quadratisch in den fermionischen Erzeugern und Vernichtern und kann deshalb durch eine unitäre Transformation (BogoliubovTransformation) diagonalisiert werden (BRUUS/FLENSBERG, hier Vorzeichenwahl
wie in SCHRIEFFER)
!
!
∗
ck↑
γk↑
uk −vk
(3.276)
=
†
vk∗ uk
c†−k↓
γ−k↓
ǫk
1
ǫk
1
2
2
1+
, |vk | =
1−
(3.277)
|uk | =
2
Ek
2
Ek
q
ǫ2k + |∆k |2 .
(3.278)
Ek =
Der BCS-Hamiltonian wird damit zu (AUFGABE)
(M F )
HBCS
≡
X
kσ
mit einer Konstanten E0 (AUFGABE).
†
Ek γkσ
γkσ + E0
(3.279)
4. STREUTHEORIE UND GREENSCHE
FUNKTIONEN
In diesem Kapitel wenden wir uns zunächst wieder einem Einteilchenproblem zu, nämlich
der Streuung eines Teilchens an einem statischen Potential. Formal gehört dieses Problem
eigentlich in den Rahmen der ‘QM I’, aber es gibt viele interessante physikalische und
formale Aspekte, die eine etwas spätere Behandlung sinnvoll machen. Zu diesen Aspekten gehören beispielsweise moderne Anwendungen wie die Streutheorie für den elektronischen Transport durch mesoskopische Systeme (Landauer-Büttiker-Formel) oder
Greensche Funktionen.
4.1
Zeitunabhängige Potentialstreuung
Wir beginnen mit der nichtrelativistischen Potentialstreuung eines Teilchens der Masse
m in drei Dimensionen. Der Hamiltonoperator ist
Ĥ = Ĥ0 + V̂ =
p2
+ V (r).
2m
(4.1)
Das Potential V (r) beschreibt hier z.B. eine harte Kugel irgendwo im Raum, an der
Teilchen abprallen. Zunächst wollen wir jedoch V (r) nicht weiter spezifizieren (in der
formal mathematischen Streutheorie braucht man Annahmen über V (r) wie z.B. das
Verhalten bei grossen Abständen r = |r|).
Aus der QM I wissen wir, dass ein Potential gebundene Zustände haben kann (die
einem diskreten Energiespektrum entsprechen), aber auch nicht gebundene Zustände,
die einem kontinuierlichen Energiespektrum entsprechen. Diese letzteren, auch Streuzustände genannt, interessieren uns im Folgenden. Ein triviales Beispiel sind ebene Wellen
hr|ki =
1 ikr
e
Ld/2
(4.2)
als Eigenzustände zum Potential V̂ = 0, hier in Box-Normierung. Die Normierung der
Streuzustände ist, wie man hier sieht, gar nicht so trivial, da sie ja z.B. schon bei den
obigen ebenen Wellen auf ein endliches Volumen Ld und damit auf eine bestimmte Geometrie und bestimmte Randbedingungen des Raums Bezug nimmt. Bei dem Problem
der Streuung möchte man andererseits solche geometrischen Abhängigkeiten nicht unbedingt betrachten, sondern eher von der Vorstellung eines ‘Streuexperiments’ ausgehen:
86
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
bei diesem kommt ein Teilchen aus weiter Entfernung auf das Streupotential zu (z.B.
die harte Kugel im Beispiel oben) und wird dann wieder in einen andere Richtung weggestreut. Das ist analog zur Streuung in der klassischen Mechanik (GOLDSTEIN), die
aber häufig in den Mechanik-Vorlesungen nicht mehr ausführlich behandelt wird.
Im Folgenden werden wir den Spin-Freiheitsgrad bei der Streuung erst einmal nicht
berücksichtigen (es geht hier nur um elastische Potentialstreuung eines Teilchens). Geleitet vom Bild eines Potentials mit endlicher Reichweite (gemessen vom Ursprung),
machen wir in drei Dimensionen einen Ansatz für die Wellenfunktion in grosser Entfernung: ein gewisser Anteil soll ohne Wechselwirkung mit dem Potential wie eine ebene
Welle einfach frei in Richtung k laufen, es soll aber auch einen ‘gestreuten Anteil’ geben,
den wir für grosse Abstände r proportional zu einer auslaufenden Kugelwelle ansetzen
(SCADRON, ‘Advanced Quantum Theory’);
Ψ(+) (r) → eikr + f (+) (ker , k)
eikr
,
r
k ≡ |k|,
r ≡ |r| → ∞
(4.3)
Hierbei ist er ≡ r/r der Einheitsvektor in r-Richtung, und die Größe f (+) (ker , k) wird
als Streuamplitude bezeichnet. Sie parametrisiert die Stärke des ‘in r-Richtung gestreuten
Anteils’ der Wellenfunktion. Zusätzlich zu diesen physikalisch motivierten Wellenfunktionen führt man ausserdem Wellenfunktionen
Ψ(−) (r) → eikr + f (−) (ker , k)
e−ikr
,
r
r→∞
(4.4)
ein, die eine ebene Welle in k-Richtung mit einer (unphysikalisch erscheinenden) einlaufenden Kugelwelle überlagern, die sich aber im Weiteren mathematisch als nützlich
erweisen.
−ikr
ikr
AUFGABE: Wieso entspricht e r einer auslaufenden und e r einer einlaufenden Kugelwelle?
Woher kommen die Kugelwellen? Wir erinnern an die Darstellung des LaplaceOperators in Kugelkoordinaten, (QM 1),
2
~2 ∆
~2
2 ∂
∂
L2
Ĥ0 = −
=−
+
(4.5)
+
2m
2m ∂r 2
r ∂r
2mr 2
mit dem Bahndrehimpuls-Quadrat L2 . Die Kugelwellen sind Eigenfunktionen von Ĥ0
(NACHRECHNEN) zum Eigenwert ~2 k2 /2m.
4.1.1
Lippmann-Schwinger-Gleichung
Wir schreiben die Streuzustände jetzt als Eigenzustände des Hamiltonoperators,
±
Ĥ|Ψ±
k i = E|Ψk i,
E=
k2
.
2m
(4.6)
Wir schreiben das etwas um als
±
(E − Ĥ0 )|Ψ±
k i = V̂ |Ψk i,
(E − Ĥ0 )|ki = 0,
(4.7)
87
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
wobei wir gleich die ebenen Wellen |ki als Lösung für V̂ = 0 dazugeschrieben haben. Es
ist nützlich, beide Gleichungen in der Form
±
|Ψ±
k i = |ki + Ĝ0 (E)V̂ |Ψk i,
Ĝ0 (E) ≡ (E − Ĥ0 )−1 ,
noch nicht wohldefiniert (4.8)
zu kombinieren: Für V̂ = 0 sind die Streuzustände einfach die ebenen Wellen |ki. In
Koordinatendarstellung hat man damit jetzt die Möglichkeit, eine Gleichung für die
Streuamplitude f (±) (ker , k) herzuleiten, wenn auch zunächst nur formal, die aber Ausgangspunkt für Näherungen (Bornsche Näherung) ist. Wir erhalten
Z
±
hr|Ψk i = hr|ki + dr′ hr|Ĝ0 (E)|r′ ihr′ |Ψ±
noch nicht wohldefiniert.
(4.9)
k i,
Der Schlüssel zur Analyse dieser Gleichung ist die freie (ungestörte) Greensche Funktion
hr|Ĝ0 (E)|r′ i. Wegen der Inversen (E − Ĥ0 )−1 ist die gesamte Gleichung tatsächlich in
dieser Form nicht wohldefiniert und rein formal, denn die Inverse existiert so nicht. In
der Ortsdarstellung gilt ja (Einschieben von ebenen Wellen |pi)
′
1 X eip(r−r )
,
hr|Ĝ0 (E)|r i = d
L p E − p2
2m
′
E=
k2
2m
(4.10)
und man sieht den Ursprung des Problems in dem Pol bei E − p2 /2m. Etwas Analoges kennen wir allerdings bereits aus der Elektrodynamik (SKRIPT). Wir können
durch einen Trick erreichen, dass die Gleichung sowohl vernünftig definiert ist, als auch
tatsächlich zu einer Form Gl. (4.3),Gl. (4.4) mit (in d = 3) aus/einlaufenden Kugelwellen führt. Dieser Trick wird in der theoretischen Physik sehr häufig benutzt, er besteht
in der Umwandlung der zunächst nur formal definierten Resolvente (E − Ĥ0 )−1 in zwei
wohldefinierte Greensche Funktionen durch Einführen eines Grenzwertprozesses, nämlich
′
hr|Ĝ±
0 (E)|r i
′
1 X eip(r−r )
,
= d
L p E − p2 ± iε
2m
ε → 0+ ,
(4.11)
also dem Einfügen eines kleinen positiven Imaginärteils im Nenner. Wir zeigen, dass
diese Einfügung äquivalent mit der Auferlegung der Streubedingung (auslaufend bzw.
einlaufend) ist.
P
Wir setzen für den Moment 2m = 1 und wandeln die p in ein Integral um,
′
hr|Ĝ±
0 (E)|r i =
1
(2π)3
Z
′
dp
eip(r−r )
.
E − p2 ± iε
(4.12)
Einführen von Polarkoordinaten ergibt ( x ≡ |r − r′ |)
′
hr|Ĝ±
0 (E)|r i
1
=
(2π)2
Z
0
∞
p2 eipx − e−ipx
1
dp
==
2
ipx E − p ± iε
(2π)2 ix
Z
∞
−∞
dp
peipx
. (4.13)
E − p2 ± iε
88
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Wir berechnen dieses Integral in der komplexen p-Ebene mit dem Residuensatz: Da
x ≡ |r−r′ | > 0 für r 6= r′ , müssen wir hierzu den Integrationsweg in der oberen Halbebene
schliessen, da sonst der Faktor eipx divergiert. Die Pole des Integranden liegen bei
√
√
1ε
2
2
+ O(ε ) , E > 0
(4.14)
p = E ± iε
p0 = ± E ± iε = ± E 1 ± i
2E
also in der oberen Halbebene bei
√
p0 ≡ +( E + i0+ ),
√
p0 ≡ −( E − i0+ ),
für Ĝ+
0
für
(4.15)
Ĝ−
0.
(4.16)
Aus dem Residuensatz folgt dann
′
hr|Ĝ±
0 (E)|r i
√
′
2πi
peipx (p − p0 )
1 e±i E|r−r |
=
lim
=
−
(2π)2 ix p→p0 (p0 − p)(p0 + p)
4π |r − r′ |
(4.17)
Das ist also wieder eine Kugelwelle, was wir aber auch erwarten konnten: unsere Schrödingergleichung
±
(E − Ĥ0 )|Ψ±
k i = V̂ |Ψk i
(4.18)
entspricht nämlich in Koordinatendarstellung der Gleichung (~ = 2m = 1, E = k2 )
±
(∆ + k2 )Ψ±
k (r) = V (r)Ψk (r),
(4.19)
also einer inhomogenen Helmholtz-Gleichung. Die Gleichung
(∆ + k2 )φk (r) = 0,
Helmholtz-Gleichung
(4.20)
kennen wir aber bereits aus der Elektrodynamik, wo wir ebenfalls mit Greenschen Funktionen arbeiten, und dort sind Kugelwellen wohlbekannt. Wir fassen also zusammen;
′
′
(∆r + k2 )G±
0 (r, r ; E) = δ(r − r ),
′
G±
0 (r, r ; E) = −
√
E = k2 ,
E|r−r′ |
1 e±i
,
4π |r − r′ |
Greensche Funktion
d = 3 Dimensionen.
(4.21)
(4.22)
Insbesondere finden wir aus der Definition der Greenschen Funktion unsere Integralgleichung Gl. (4.9) wieder, und zwar jetzt gleich mit der korrekten Streu-Nebenbedingung
eingebaut,
Ψ±
k (r) = φk (r) +
Z
± ′
′
′
dr′ G±
0 (r, r ; E)V (r )Ψk (r ),
wobei wir φk (r) als ebene Welle angesetzt hatten.
Lippmann-Schwinger-Gleichung,
(4.23)
89
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.1.2
Streuamplitude, Bornsche Näherung
Für grosse Entfernungen approximieren wir
′
|r − r′ | ≈ r − r′ er , G±
0 (r, r ; E) ≈ −
′ 1 e±ikr ∓iker r′
|r |
e
1+O
,
4π r
r
E = k2 ,
r→∞
(4.24)
in der Greenschen Funktion. Das setzen in die Lippmann-Schwinger-Gleichung ein, wobei
wir auch unter dem Integral die höheren Terme der Entwicklung vernachlässigen,
Z
1 e±ikr
′
±
′
r → ∞.
(4.25)
dr′ e∓iker r V (r′ )Ψ±
Ψk (r) = φk (r) −
k (r ),
4π r
Vergleich mit den Definitionen Gl. (4.3),Gl. (4.4) der Streuamplitude liefert (2m wieder
eingesetzt)
Z
2m
′
′
f (±) (ker , k) = −
dr′ e∓iker r V (r′ )Ψ±
(4.26)
k (r ).
4π
Dieser Ausdruck ist zunächst natürlich noch formal, da er den noch zu bestimmenden
′
Streuzustand Ψ±
k (r ) benötigt. Häufig definiert man die physikalische Streuamplitude
(mit auslaufenden Kugelwellen) als f ≡ f (+) , und als Skalarprodukt geschrieben hat
man dann
f (ker , k) = −
2m ′
hk |V |Ψ+
k i.
4π
(4.27)
An dieser Stelle verwenden wir eine einfache Näherung (Bornsche Näherung), um ein
′
explizites Resultat zu erhalten: Wir ersetzen den Streuzustand Ψ±
k (r ) unter dem Integral
durch den ungestreuten Zustand φk (r) = eikr , d.h. die ebene Welle. Das entspricht der
(+)
ersten Iteration der Lippmann-Schwinger-Gleichung. Das Ergebnis für fBorn ,
fBorn (ker , k) = −
2m
Ṽ (ker − k)
4π
(4.28)
drückt die Streuamplitude also über die Fouriertransformierte des Streupotentials,
Z
Ṽ (q) ≡ dre−iqr V (r)
(4.29)
aus, mit dem Impulsübertrag q = ker − k. Physikalisch muss jetzt diskutiert werden,
wann die Bornsche Näherung eine gute Näherung ist (z.B. LANDAU III).
Überhaupt müssen wir noch die physikalische Bedeutung der Streuamplitude klären
und den Zusammenhang mit wirklichen Streuexperimenten klären (weiter unten).
90
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.1.3
Formale Störungstheorie und Greensche Funktion
Die Greensche Funktion Ĝ0 (E) ≡ (E − Ĥ0 )−1 zum freien Hamiltonian Ĥ0 können wir
auf den Gesamthamiltonian Ĥ = Ĥ0 + V̂ verallgemeinern, in dem wir
Ĝ(z) ≡ (z − Ĥ)−1 ,
z∈C
(4.30)
definieren. Hier haben wir statt der reellen Energie E bereits eine allgemeinere komplexe
Zahl z zugelassen, um solche Fälle wie E ± iε behandeln zu können. Wir schreiben Ĝ(z)
formal als eine geometrische Reihe,
−1
−1
Ĝ(z) ≡ (z − Ĥ)−1 ≡ (z − Ĥ0 − V̂ )−1 = (Ĝ−1
(z)
−
V̂
)
=
1
−
Ĝ
(z)
V̂
Ĝ0 (z)
0
0
= Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)V̂ Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)V̂ Ĝ0 (z)V̂ Ĝ0 (z) + ...
(4.31)
Formal können wir das schreiben als
also
Ĝ(z) = Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)V̂ Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)V̂ Ĝ0 (z) + .... ,
Ĝ(z) = Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)V̂ Ĝ(z),
Dyson-Gleichung (Einteilchen)
(4.32)
(4.33)
Eine alternative Möglichkeit, die geometrische Reihe Gl. (4.31) aufzusummieren, ist offensichtlich
Ĝ(z) = Ĝ0 (z) + Ĝ0 (z)T̂ (z)Ĝ0 (z),
T - Matrix (Einteilchen)
T̂ (z) = V̂ + V̂ Ĝ0 (z)V̂ + ... = V̂ + T̂ (z)Ĝ0 (z)V̂
(4.34)
(4.35)
Mit der Hilfe von T̂ (z) kann die volle Greensche Funktion Ĝ(z) also sofort konstruiert
werden. Die T - Matrix spielt in der formalen Streutheorie eine zentrale Rolle.
In Ortskoordinaten ist die Dyson-Gleichung Gl. (4.33) für die Greensche Funktion
wieder eine Integralgleichung (sandwichen mit Ortszuständen)
Z
′
′
hr|Ĝ(z)|r i = hr|Ĝ0 (z)|r i + dr1 dr2 hr|Ĝ0 (z)|r1 ihr1 |V̂ |r2 ihr2 |Ĝ(z)|ri
Z
′
= hr|Ĝ0 (z)|r i + dr1 hr|Ĝ0 (z)|r1 iV̂ (r1 )hr2 |Ĝ(z)|ri,
(4.36)
denn für das (lokale) Potential der Schrödingergleichung gilt in Ortsdarstellung
hr1 |V̂ |r2 i = V̂ (r1 )δ(r1 − r2 ).
(4.37)
Die Integralgleichung für die Greensche Funktion Ĝ(z) ist das Analogon der LippmannSchwinger-Gleichung für die Streuzustände: Tatsächlich können wir die Lippmann-SchwingerGleichung Gl. (4.23) durch Iteration umschreiben in
±
±
±
±
i
=
|ki
+
Ĝ
(E)
V̂
|ki
+
Ĝ
(E)
V̂
|ki
+
...
, (4.38)
i
=
|ki
+
Ĝ
(E)
V̂
|Ψ
|Ψ±
0
0
0
k
k
also mit benutzen von Gl. (4.33)
91
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
±
|Ψ±
k i = |ki + Ĝ (E)V̂ |ki,
Ĝ± (E) ≡ (E ± iε − Ĥ)−1 . (4.39)
Die Streuzustände können also mit Ĝ± (E) berechnet werden. Wir können weiterhin den
Ausdruck Gl. (4.27) für die Streuamplitude mit Hilfe der T -Matrix umschreiben als
f (ker , k) = −
2m ′ +
2m ′
hk |V |Ψ+
k i = − 4π hk |T (E)|ki.
4π
(4.40)
Wenn wir das mit dem Ergebnis der Bornschen Näherung Gl. (4.28)
fBorn (k′ , k) = −
2m ′
hk |V |ki
4π
(4.41)
vergleichen, erkennen wir, das für das exakte Ergebnis dort das ‘nackte’ Potential V
durch die T -Matrix ersetzt wird.
4.1.4
Gebundene Zustände und Zustanddichte
Tatsächlich enthält die Greensche Funktion Ĝ± (E) sogar noch mehr Information, nämlich
z.B über die Einteilchen-Zustandsdichte und auch über gebundene Zustände, die zum
Hamiltonian Ĥ gehören (ECONOMOU). In der Ortsdarstellung folgt zunächst aus der
Definition
hr|(z − Ĥ)Ĝ(z)|r′ i = hr|r′ i,
(z − Ĥ)Ĝ(z) = 1
(4.42)
also
(z − Ĥ)Ĝ(r, r′ ; z) = δ(r − r′ ),
(4.43)
wobei wir wie immer Ĝ(r, r′ ; z) ≡ hr|Ĝ(z)|r′ i definieren. Kennt man ein Eigensystem |ni
von Einteilchenwellenfunktionen φn (r) ≡ hr|φi mit Eigenenergien En von Ĥ, so gilt
Ĝ(z) ≡
1
z − Ĥ
=
X |nihn|
z − En
n
(4.44)
oder in Ortsdarstellung wieder explizit
Ĝ(r, r′ ; z) =
X φn (r)φ∗ (r′ )
n
n
z − En
.
(4.45)
Als Funktion von z ∈ C liegen die Singularitäten von Ĝ(r, r′ ; z) wegen En ∈ R auf der
reellen Achse. Es können einfache diskrete Pole auftreten, die den diskreten Energien
En entsprechen, oder Schnitte, die zum kontinuierlichen Spektrum gehören, d.h. indem
92
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Fall, wo die En beliebig dicht aneinander liegen. Hat man einen diskreten Pol bei einer
Energie En , so gehört dazu ein Residuum
X
ResĜ(r, r′ ; z = En ) =
φni (r)φ∗ni (r′ ), Ĥφni (r) = En φni (r),
(4.46)
ni
wobei die φni zum Unterraum mit der Energie En gehören, da ja Entartung vorliegen
kann. Das Residuum bei der disktreten Energie En ist also gerade der Projektor auf den
zu dieser Energie gehörigen Unterraum (hier in Ortsdarstellung).
Eine weitere wichtige Eigenschaft folgt aus der Formel
1
1
= P ∓ iπδ(x),
x ± iε
x
(4.47)
nämlich die Darstellung der Einteilchenzustandsdichte der statistischen Physik,
ν1 (E) ≡
X
n
1 δ(E − En ) = ∓ Tr ℑĜ(±) (E) .
π
(4.48)
Hier ist wiederum Ĝ(±) (E) ≡ Ĝ(E ± iε).
AUFGABE: Berechnen Sie ν1 (E) für ein freies Teilchen
Pim Box-Volumen V → ∞ in
d = 3 Dimensionen direkt aus der Definition ν1 (E) ≡ n δ(E − En ). Überprüfen Sie
Gl. (4.48) mit Hilfe des oben angegebenen Ausdrucks für die Greensche Funktion.
4.2
Zeitabhängige Störungstheorie
Wir beginnen mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung
i∂t |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i
(4.49)
mit zeitabhängigen Hamiltonian H(t). Den Zustand |Ψ(t)i zur Zeit t erhalten wir aus
dem Zustand |Ψ(t0 )i zur Zeit t0 durch Anwendung des unitären Zeitentwicklungsoperators U (t, t0 ),
|Ψ(t)i = U (t, t0 )|Ψ(t0 )i.
(4.50)
Falls H(t) = H zeitunabhängig ist, haben wir
U (t, t0 ) = e−iH(t−t0 ) ,
H zeitunabhängig.
(4.51)
Für ein beliebiges H(t) gilt (vgl auch QM I)
i∂t U (t, t0 ) = H(t)U (t, t0 ),
U (t0 , t0 ) = 1.
(4.52)
93
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.2.1
Wechselwirkungsbild
Wir nehmen nur eine Form
H(t) = H0 + V (t)
(4.53)
2
p
an, wobei z.B. beim obigen nicht-relativistischen Einteilchenstreuproblem H0 = 2m
ist.
Wir führen nun ein Wechselwirkungsbild für den Zeitentwicklungsoperator Ũ (t, t0 ), das
Potential Ṽ (t) und Zustände |Ψ(t)i ein,
Ũ (t, t0 ) ≡ eiH0 t U (t, t0 )e−iH0 t0
(4.54)
iH0 t
V (t)e
(4.55)
iH0 t
|Ψ(t)i
(4.56)
Ṽ (t) ≡ e
|Ψ̃(t)i ≡ e
−iH0 t
Dann folgt
i∂t Ũ (t, t0 ) = −H0 Ũ (t, t0 ) + i(−i)eiH0 t H(t)U (t, t0 )e−iH0 t0
= −H0 Ũ (t, t0 ) + eiH0 t [H0 + V (t)]e−iH0 t eiH0 t U (t, t0 )e−iH0 t0
= −H0 Ũ (t, t0 ) + eiH0 t [H0 + V (t)]e−iH0 t Ũ (t, t0 )
= Ṽ (t)Ũ (t, t0 ).
(4.57)
Desweiteren für die Zustände selbst
|Ψ̃(t)i = eiH0 t U (t, t0 )|Ψ(t0 ) = eiH0 t e−iH0 t Ũ (t, t0 )eiH0 t0 |Ψ(t0 )i
= Ũ (t, t0 )|Ψ̃(t0 )i.
(4.58)
Den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild erhalten wir durch Iteration;
i∂t Ũ (t, t0 ) = Ṽ (t)Ũ (t, t0 )
Z t
Ũ (t, t0 ) = 1 − i
dt1 Ṽ (t1 )Ũ (t1 , t0 )
= 1−i
= 1+
Z
t0
t
2
dt1 Ṽ (t1 ) + (−i)
t0
∞
X
Z
Z
t
dt1
(−i)n
Z
t
dt1
t0
Z
t1
dt2 ...
t0
t1
dt2 Ṽ (t1 )Ṽ (t2 ) + ...
t0
t0
n=1
4.2.2
(4.59)
Z
tn−1
dtn Ṽ (t1 )...Ṽ (tn ).
t0
Konstantes Potential V
Es ist sehr nützlich, die Streutheorie mit konstantem Potential V =konst aus dem Blickwinkel der zeitabhängigen Schrödingergleichung zu betrachten. Dazu schreiben wir in
der obigen Entwicklung Gl. (4.59) für Ũ (t, t0 ) die Produkte von Ṽ (ti ) einmal explizit
hin, also z.B.
Ṽ (t1 )Ṽ (t2 ) = eiH0 t1 V e−iH0 (t1 −t2 ) V e−iH0 t2
iH0 t1
Ṽ (t1 )Ṽ (t2 )Ṽ (t3 ) = e
...
−iH0 (t1 −t2 )
Ve
−iH0 (t2 −t3 )
Ve
(4.60)
−iH0 t3
Ve
(4.61)
94
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Unter den Integralen ist t1 ≥ t2 ≥ t3 ..., und wir können (für V =konst) diese Ungleichungen berücksichtigen, indem wir schreiben
Z t
Z t
Z t
−iH0 t2
dt2 eiH0 t1 V G+
(4.62)
Ũ (t, t0 ) = 1 − i
dt1 Ṽ (t1 ) − i
dt1
0 (t1 − t2 )V e
t0
− i
Z
t
dt1
t0
t0
t0
Z
t
dt2
t0
Z
t
t0
+
−iH0 t3
dt3 eiH0 t1 V G+
+ ...
0 (t1 − t2 )V G0 (t2 − t3 )V e
mit der Definition der Greenschen Funktion
G+
0 (t)
−iH0 t
≡ −ie
1
θ(t) =
2π
Z
dωe−iωt Ĝ+
0 (ω),
−1
Ĝ+
0 (ω) = (ω + i0 − H0 ) ,
(4.63)
wobei θ(t) die Einheitsstufenfunktion bezeichnet und wir gleich die Fouriertransformierte Ĝ+
0 (ω) eingeführt haben. Letztere ist unsere alte Bekannte aus der zeitunabhängigen
Streutheorie: das +i0 im Nenner führt auf den Faktor θ(t) (AUFGABE). Man beachte
auch das −i in der Definition von G+
0 (t), durch das sich die Ausdrücke in der Reihenentwicklung auch noch etwas vereinfachen.
Wir nehmen nun Matrixelemente von Ũ (t, t0 ) mit orthogonalen Eigenzuständen |ni,
hm| von H0 und erhalten
hm|Ũ (t, t0 )|ni = δnm − i
− i
1
2π
1
− i
2π
Z
Z
Z
t
t0
dω
dω
dt1 ei(Em −En )t1 hm|V |ni
Z
Z
t
dt1
t
t0
t
t0
t
dt1
t0
Z
Z
t0
(4.64)
−i(En −ω)t2
dt2 ei(Em −ω)t1 hm|V G+
0 (ω)V |nie
dt2
Z
t
dt3 ...,
t0
Wir betrachten jetzt den Grenzfall t → ∞, t0 → −∞. Die höheren Terme werden immer
länger, wenn man sie aufschreibt (AUFGABE), haben aber eine ganz einfache Struktur.
Wir sehen das an den ersten Termen;
hm|Ũ (∞, −∞)|ni = δnm − 2πiδ(En − Em )hm|V |ni
1
− i(2π)2 δ(Em − En )hm|V G+
0 (En )V |ni
2π
− i...
(4.65)
In jedem Term erzeugen die Zeitintegrationen gerade die Fouriertransformierte G+
0 (En )
sowie insgesamt eine Deltafunktion δ(Em − En ), die Energieerhaltung beschreibt. Ein
Term, in dem das Potential V n-mal auftaucht, kann man als n-fache einfache elastische ‘Wechselwirkung’ des Teilchens mit dem Potential interpretieren, wobei jedesmal
Energieerhaltung erfüllt ist.
Insgesamt also
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
95
hm|Ũ (∞, −∞)|ni = δnm − 2πiδ(En − Em ) hm|V |ni + hm|V G+
0 (En )V |ni + ...
(4.66)
= δnm − 2πiδ(En − Em )hm|T + (En )|ni,
wobei T + (En ) ≡ T (En + i0) die oben definierte T -Matrix bezeichnet! Man definiert jetzt
Definition Die Matrixelemente
Smn ≡ hm|Ũ (∞, −∞)|ni
(4.67)
definieren eine unitäre Abbildung im Hilbertraum, die als S-Matrix bezeichnet wird.
Die S-Matrix spielt in der Weiterentwicklung der formalen Streutheorie eine zentrale
Rolle.
4.2.3
Fermis Goldene Regel
Wir betrachten eine Zeitentwicklung mit Propagator U (t, t0 ) und einem Anfangszustand
|ni, der ein Eigenzustand von H0 sein soll. Dieser Anfangszustand entwickelt sich dann
in den Zustand
U (t, t0 )|ni,
(4.68)
der für V 6= 0 im Allgemeinen kein Eigenzustand von H0 mehr ist. Wir machen jetzt zur
Zeit t eine projektive Messung einer Observable, die ein gemeinsames Eigenfunktionssystem mit H0 habe (also mit H0 vertauscht). Das Resultat der Messung ist die Projektion
auf einen der Zustände |mi, und zwar erhält man es mit der Wahrscheinlichkeit
Pn→m (t, t0 ) = |hm|U (t, t0 )|ni|2 .
(4.69)
Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeit für eine konstantes, schwaches Potential V , indem wir den Propagator (im Wechselwirkungsbild) approximieren durch
Z t
(1)
hm|Ũ (t, t0 )|ni = hn|mi − i
dt1 ei(Em −En )t1 hm|V |ni,
(4.70)
t0
und für |ni =
6 |mi
dieser Näherung
1
ergibt sich daraus wegen |hm|U (t, t0 )|ni|2 = |hm|Ũ (t, t0 )|ni|2 mit
(1)
Pn→m
(t, t0 )
2
Z t
i(Em −En )t1 = |hm|V |ni| dt1 e
t0
!
ωmn (t−t0 ) 2
sin
2
, ωmn ≡ Em − En
= |hm|V |ni|2
ωmn
2
(4.71)
2
1
Trotzdem kann dann noch En = Em gelten, z.B. im Fall ebener Wellen |ni = |ki, wo verschiedene
k–Richtungen derselben Energie entsprechen können.
96
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Mit Hilfe des Theorems
1
lim f (x/ǫ) = δ(x),
ǫ→0 ǫ
Z
f (x) = 1
(4.72)
wird mit der Wahl
f (x) =
1 sin2 (x)
π x2
(4.73)
hieraus (NACHRECHNEN) der Grenzwert
Γmn ≡
1
P (1) (t, t0 ) = 2π|hm|V |ni|2 δ(En − Em ).
t−t0 →∞ t − t0 n→m
lim
(4.74)
Die (hier in dieser Form noch Distributionswertigen) Größen Γmn werden hierbei als
Übergangsraten bezeichnet, das Ergebnis selbst wird meist über End- oder Anfangszustände summiert und dann als Fermis Goldene Regel bezeichnet (ÜBUNGSAUFGABE).
Die Übergangsraten entstehen durch einen nichttrivialen Grenzwertprozess und sind
zunächst nichts weiter als formale Größen. Durch den hier vorgenommenen Grenzwert
entstehten aus den Wahrscheinlichkeiten also zeitunabhängige Raten, die Energieerhaltung ausdrücken (konstantes Potential V ) sowie eine Proportionalität zum Betragsquadrat des Übergangsmatrixelements hm|V |ni. 2
Im Rahmen der Goldenen Regel erhalten wir einen Zusammenhang mit der Streuamplitude in Bornscher Näherung in d = 3 Dimensionen,
2
2m 2 ′
′
2
hk |V |ki
|fBorn (k , k)| =
4π
4π 2
Γk′ k = 2πδ(Ek − Ek′ )
|fBorn (k′ , k)|2 .
(4.75)
2m
Wir summieren die Rate Γk′ k über alle Endzustände k′ in einem Raumwinkel dΩ =
sin θdθdφ (MERZBACHER), im thermodynamischen Limes also
Z
Z ∞
1
4π 2
1
3 ′
′ ′2
d k Γ k′ k =
dk k 2πδ(Ek − Ek′ )
|fBorn (k′ , k)|2 dΩ
(2π)3 dΩ
(2π)3 0
2m
Z ∞
4π 2
2m
1
′ ′2
′
dk k 2π
δ(k − k )
|fBorn (k′ , k)|2 dΩ
=
(2π)3 0
2k
2m
k
(4.76)
= v|fBorn (k′ , k)|2 dΩ, v ≡ ,
m
2
Häufig werden Verallgemeinerungen der Goldenen Regel in der Form Γmn
=
2π|hm|T + (En )|ni|2 δ(En − Em ) angeboten, in denen das Potential wie beim Ausdruck für die
Streuamplitude durch die T -Matrix ersetzt wird. Allerdings ist diese Verallgemeinerung nicht-trivial
und setzt gewisse Grenzwertprozesse und Näherungen in zeitlichen Integrationen voraus, die Einschaltbzw Ausschaltvorgänge des Potentials beschreiben. Das ist ein etwas heikler Punkt, der auch allgemein mit ‘Erinnerungseffekten’ (durch das Einschalten von Störpotentialen) bei Approximationen
zusammenhängt, die über die Bornscher Näherung hinausgehen.
97
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
wobei v = k/m die Geschwindigkeit des einfallenden Teilchens ist. Die Geschwindigkeit
v entspricht einer Teilchen-Stromdichte im Einheitsvolumen L3 = 1 (NACHPRÜFEN,
wo die L3 -Faktoren hinkommen), die Summierte Rate dividiert durch die Stromdichte
und durch den Raumwinkel wird als differentieller Streuquerschnitt bezeichnet,
dσ Born
= |fBorn (k′ , k)|2
dΩ
4.3
(4.77)
Streutheorie in einer Dimension
Eindimensionale Systeme sind insbesondere für moderne Anwendungen der Streutheorie
in der mesoskopischen Festkörperphysik relevant. Zunächst rekapitulieren wir verschiedenen Normierungsbedingungen ebener Wellen in d = 1.
4.3.1
Normierung ebener Wellen
In der ‘Kastennormierung’ haben wir
1
hx|ki = √ eikx , Normierung auf Kasten der Länge L.
(4.78)
L
Das ist für k > 0 eine von links und für k < 0 eine von rechts einlaufende ebene Welle,
wie man an der Zeitabhängigkeit
1
√ eikx e−iEk t , Ek > 0
(4.79)
L
sieht: für konstante Phase φ(x, t) ≡ kx − Ek t gilt
ẋ = Ek /k,
(4.80)
d.h. das Vorzeichen der Phasengeschwindigkeit ist gleich dem Vorzeichen von k.
Bei endlicher Länge L ist hier sowohl bei periodischen als auch bei festen Randbedingungen k diskret, was für die Streutheorie etwas ungünstig ist. Alternativ gibt es
deshalb eine ‘Geschwindigkeitsnormierung’
1
eikx ,
hx|ki = √
2πv
v≡
|k|
m
(4.81)
mit dem Skalarprodukt
hk|k′ i = p
m
1
p
2π|k| 2π|k′ |
Z
′
dxe−i(k−k )x =
m
δ(k − k′ )
|k|
(4.82)
Für eine feste Energie E = k2 /2m gibt es dementsprechend zwei mögliche Werte von k
und entsprechend Wellenfunktionen (MELLO/KUMAR) mit Energienormierung
hx|φs (E)i = √
1
eiskx ,
2πv
(NACHRECHNEN).
s = ±1,
hφs (E)|φs′ (E ′ )i = δss′ δ(E − E ′ )
(4.83)
98
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.3.2
Streuzustände
Die Lippmann-Schwinger-Gleichung Gl. (4.23) für die Streuzustände Ψ±
s (E, x) in d = 1
Dimension wird nun in der Energienormierung zu
Z
±
′
±
′
Ψs (E, x) = φs (E, x) + dx′ G±
(4.84)
0 (x, x ; E)V (x)Ψs (E, x )
′
mit der freien Greenschen Funktion G±
0 (x, x ; E), für die wir das folgende Ergebnis finden
(AUFGABE)
√
′
1 e±i E|r−r |
= −
,
4π |r − r′ |
m ±i|k||x−x′ |
′
e
,
G±
0 (x, x ; E) = ±
i|k|
′
G±
0 (r, r ; E)
d = 3 Dimensionen
(4.85)
E = k2 /2m > 0,
(4.86)
d = 1 Dimension.
′
AUFGABE: Hängt G±
0 (x, x ; E) von der Normierung der ebenen Wellen ab?
Statt der Kugelwellen in d = 3 haben wir jetzt also ebene Wellen, und für x → ±∞
gilt
p
p
(x − x′ )2 = |x| (1 − x′ /x)2 = |x| − x′ sgn(x) + O(x′2 /x2 )
|x − x′ | =
= sgn(x) x − x′ + O(x′2 /x2 )
(4.87)
woraus wir folgende Asymptotik erhalten (Energienormierung)
Ψ+
s (E, x) = φs (E, x)
Z
m i|k|sgn(x)x
′
′
− i e
dx′ e−i|k|sgn(x)x V (x′ )Ψ+
s (E, x ),
|k|
(4.88)
|x| → ∞.
Für x → ±∞ erhalten wir daraus den Transmissionskoeffizienten t und den Reflexionskoeffizienten r für eine von links einfallende Welle (s = 1) und den Transmissionskoeffizienten t′ und den Reflexionskoeffizienten r ′ für eine von rechts einfallende Welle
(s = −1);
Ψ+
+ (E, x) ≡ tφ+ (E, x)
Z
′
′ ∗
′
′
+
= φ+ (E, x) 1 − 2πi dx φ+ (E, x )V (x )Ψ+ (E, x ) ,
Ψ+
+ (E, x) = φ+ (E, x) + rφ− (E, x)
= φ+ (E, x) + φ− (E, x)(−2πi)
Z
′
dx′ φ∗− (E, x′ )V (x′ )Ψ+
+ (E, x ),
′
Ψ+
− (E, x) ≡ t φ− (E, x)
Z
+
′
′ ∗
′
′
= φ− (E, x) 1 − 2πi dx φ− (E, x )V (x )Ψ− (E, x ) ,
Ψ+
− (E, x) = φ− (E, x) + rφ+ (E, x)
= φ− (E, x) + φ+ (E, x)(−2πi)
Z
x→∞
x → −∞
x → −∞
′
dx′ φ∗+ (E, x′ )V (x′ )Ψ+
− (E, x ),
x → +∞
(4.89)
99
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
also insgesamt
r = −2πihφ− (E)|V |Ψ+
+ (E)i
t = 1 − 2πihφ+ (E)|V |Ψ+
+ (E)i,
r ′ = −2πihφ+ (E)|V |Ψ+
− (E)i.
t′ = 1 − 2πihφ− (E)|V |Ψ+
− (E)i,
(4.90)
Schließlich kann man die Energie-normierten Zustände auch so schreiben, dass nur k ≡
|k| > 0 auftritt, muss dann aber die zwei Möglichkeiten ±k unterscheiden, was auf
t = 1 − 2πihφk |V |Ψ+
k i,
t
′
= 1 − 2πihφ−k |V
|Ψ+
−k i,
r = −2πihφ−k |V |Ψ+
k i,
′
r = −2πihφk |V
k=
√
2mE > 0
|Ψ+
−k i
(4.91)
(4.92)
führt, was vielleicht die übersichtlichste Schreibweise ist. Die Streuzustände sind dann
in dieser Schreibweise (k > 0)
Ψ+
k (x) = tφk (x),
Ψ+
−k (x)
x→∞
(4.93)
= φk (x) + rφ−k (x),
′
= φ−k (x) + r φk (x),
′
x → −∞
x→∞
x → −∞
= t φ−k (x),
(4.94)
(4.95)
(4.96)
Für eine feste Energie E hat eine beliebige Lösung der stationären Schrödingergleichung
die Form
+
Ψ(x, t) = a1 Ψ+
k (x) + a2 Ψ−k (x),
(4.97)
wobei die Koeffizienten a1 , a2 für |x| → ∞ den einlaufenden (auf das Potential zulaufenden) Anteil beschreiben. Andererseits können wir Ψ(x, t) zerlegen als
Ψ(x, t) = a1 tφk (x) + a2 φ−k (x) + r ′ φk (x) , x → ∞
= a2 φ−k (x) + b2 φk (x),
b2 ≡ a1 t + a2 r ′
(4.98)
= a1 φk (x) + b1 φ−k (x),
b1 ≡ a1 r + a2 t′ ,
(4.99)
′
Ψ(x, t) = a1 [φk (x) + rφ−k (x)] + a2 t φ−k (x),
x → −∞
wobei die Koeffizienten b1 , b2 für |x| → ∞ den auslaufenden (vom Potential weglaufenden) Anteil beschreiben. Es besteht also der lineare Zusammenhang
4.3.3
b1
b2
=
r t′
t r′
a1
a2
.
(4.100)
Die S-Matrix in einer Dimension
Unsere allgemeine Beziehung
hm|Ũ (∞, −∞)|ni = hm|ni − 2πiδ(En − Em )hm|T + (En )|ni,
(4.101)
100
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
schreiben wir jetzt in der Notation unserer eindimensionalen Streuzustände. Die Kets
|ni entsprechen dabei den |φ±k i, die ja auf die Energie normiert waren,
Z
m
m
′ ′
hφsk |φs′ k′ i = δss′
dxei(s k −sk)x = δss′ δ(k − k′ ) = δss′ δ(Ek − Ek′ ). (4.102)
2πk
k
Wir haben dann also
hφsk |Ũ (∞, −∞)|φs′ k′ i = δss′ − 2πihφsk |T + (Ek )|φs′ k i δ(Ek − Ek′ )
(4.103)
Aus dem Matrixelements hφsk |Ũ (∞, −∞)|φs′ k′ i ist jetzt die Energieerhaltungs-Deltafunktion
ganz ausgeklammert. Als eigentliche Streumatrix definiert man dann den übrigen Anteil,
mit dem Vorteil, dass man keine Distributionswertigen Anteile herumschleppen muss;
Sss′ = δss′ − 2πihφsk |T + (Ek )|φs′ k i
(4.104)
Hierbei ist die Energie Ek und damit auch k = k′ fixiert, die einzigen Freiheitsgrade sind
die ±-Indizes s, s′ . Die S-Matrix ist damit eine 2 × 2–Matrix.
Wir benutzen nun den Zusammenhang
+
hφsk |V |Ψ+
s′ k i = hφsk |T (Ek )|φs′ k i
(4.105)
für die Elemente der T –Matrix zusammen mit Gl. (4.91);
t = 1 − 2πihφk |T + (Ek )|φk i = S++ ,
r = −2πihφ−k |T + (Ek )|φk i = S−+ (4.106)
t′ = 1 − 2πihφ−k |T + (Ek )|φ−k i = S−− ,
r ′ = −2πihφk |T + (Ek )|φ−k i = S+− .
Damit ist auch die Interpretation klar: wir schreiben Gl. (4.100) als
b1
b2
=
r t′
t r′
a1
a2
=
S−+ S−−
S++ S+−
a1
a2
.
(4.107)
Die S–Matrix bildet also die einlaufenden Komponenten a1 , a2 auf die auslaufenden
Komponenten b1 , b2 linear ab. Ein letzter Punkt ist nun die Unitarität von S, die wegen
der Delta-Funktion in Gl. (4.103) nicht so offensichtlich erscheint. Allerdings besagt die
rechte Seite von Gl. (4.103) nicht anderes aus als eine ‘Blockdiagonalität’ von Ũ (∞, −∞)
im Raum der Zustände |φs′ k′ i (MELLO/KUMAR). Die einzelnen Blöcke, d.h. die Matrizen S, müssen dann unitär sein, es gilt also
∗
r
t∗
r t′
S†S = 1
= 1,
(4.108)
(t′ )∗ (r ′ )∗
t r′
insbesondere also die aus QM I bekannte Beziehung zwischen Transmissions- und ReflexionsWahrscheinlichkeiten
|t|2 + |r 2 | = |t′ |2 + |r ′ |2 = 1.
(4.109)
101
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Physikalisch bedeutet die Unitarität der S-Matrix also Wahrscheinlichkeitserhaltung,
oder im Bild streuender Elektronen die Erhaltung der Teilchenstromdichte.
AUFGABE: Zeige, dass die Streumatrix für H = p2 /2m + V (x) in einer Dimension nicht
nur unitär, sondern auch symmetrisch ist;
r t
T
(4.110)
S=S =
t r′
Hinweis: Benutzte die asymptotische Form der Streuzustände und die Zeitumkehrinvarianz der Schrödingergleichung für diesen Hamiltonian.
Daraus folgt, dass der Transmissionskoeffizient zu einer festen Energie unabhängig
von der Einfallsrichtung ist.
AUFGABE: Zeige, dass die S–Matrix für eine Potentialstufe V (x) = V θ(x), V > 0,
für Energien 0 < E < V ein Skalar mit Betrag eins ist. Berechne S und diskutiere den
zugehörigen Streuzustand.
DISKUSSION: Welche physikalische Bedeutung haben die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Streumatrix S?
4.4
Resonanzen
Resonanzen sind in der Physik ein recht universelles Phänomen, das mit Wellenausbreitung in eingeschränkten Geometrien zu tun hat. Im Zusammenhang mit der zeitunabhängigen Streutheorie sind wir hier wieder an der Schrödingergleichung für ein
Teilchen interessiert; der Spin spielt keine Rolle.
4.4.1
Deltabarrieren in einer Dimension
Wir diskutieren hier die einfachsten Modelle für Resonanzen 3 , nämlich einen von einer
Seite durchsichtigen ‘Kasten’, d.h. ein Potential
V (x) = ∞,
x≤0
V (x) = cδ(x − a),
x>0
(4.111)
mit a > 0 und c ∈ R. In einer optischen Analogie entspräche das einem perfekten
Spiegel bei x = 0 und einem teilweise durchlässigen Spiegel (‘teilweise versilbert’, aber
Absorptions-frei) bei x = a.
Für das einfache Delta-Barrieren-Potential V (x) = cδ(x− a) ohne die Einschränkung
x > 0 löst man die Schrödingergleichung (~ = 2m = 1)
√
(4.112)
− Ψ′′k (x) + cδ(x − a)Ψk (a) = k2 Ψk (x), k = E > 0
durch die zwei Bedingungen
Ψk (a− ) = Ψk (a+ ) = Ψk (a),
3
−Ψ′k (a+ ) + Ψ′k (a− ) + cΨk (a) = 0
K. W. McVoy, L. Heller, und M. Bolster, Rev. Mod. Phys. 39, 245 (1967).
(4.113)
102
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
Mit
Ψk (x) = tφk (x),
x → ∞,
= φk (x) + rφ−k (x),
x → −∞
(4.114)
folgt dann das Gleichungssystem (φk (x) ∝ eikx )
t = 1 + r,
−ikt + ik(1 − r) + ct = 0
(4.115)
und das aus QM I bekannte Resultat
t=
1
,
1 + ic/2k
r=
−ic/2k
,
1 + ic/2k
Delta-Barriere, −∞ < x < ∞.
(4.116)
Mit der Einschränkung x > 0 muss die Wellenfunktion bei x ≤ 0 jetzt verschwinden,
also
Ψk (x) = A (φk (x) − φ−k (x)) ∝ sin kx,
= φ−k (x) + Sφk (x),
x ≥ a.
x≤a
(4.117)
Hierbei hat man nur noch eine einlaufende Welle, nämlich die von rechts (φ−k (x)),
wodurch die Streumatrix zu einem Skalar wird, nämlich der Reflektionsamplitude S
vor dem auslaufenden Anteil φk (x), die hier gleichzeitig die Reflektionsamplitude des
gesamten Systems ist. Wiederum folgt die Lösung aus den zwei Bedingungen, die aus
der Schrödingergleichung folgen;
A (φk (a) − φ−k (a)) = φ−k (a) + Sφk (a)
(4.118)
−ik (−φ−k (a) + Sφk (a)) + ikA (φk (a) + φ−k (a)) + c (φ−k (a) + Sφk (a)) = 0
und damit (NACHRECHNEN)
S(k) =
−2ik − c(1 − e−2ika )
.
2ik − c(1 − e2ika )
(4.119)
Es erweist sich als nützlich, das mit Hilfe des Reflexionskoeffizienten Gl. (4.116) der
Delta-Barriere ohne Randbedingung zu schreiben (NACHRECHNEN 4 ),
S(k) = −(1 + 2r(k))
4
1 + r ∗ (k)e−2ika
,
1 + r(k)e2ika
r(k) ≡
−ic
.
2k + ic
K. W. McVoy et al definieren S(k) ohne das Minuszeichen vor Gl. (4.120).
(4.120)
103
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.4.2
Streuphase δ(k)
Zunächst erkennen wir |S(k)| = 1, wie es wegen der Unitarität der S–Matrix sein muss.
Wir können also
S(k) ≡ −ei2δ(k) ,
δ(k) ∈ R
(4.121)
schreiben, wobei die 2 und das Minuszeichen hier Konvention sind. Der Streuzustand
Ψk (x) ist damit rechts vom ‘Kasten’, also für x > a,
1 −ikx
Ψk (x) = φ−k (x) + Sφk (x) = √
e
− ei2δ(k) eikx
2πv
iδ(k)
−e
= √
2i sin(kx + δ(k)), x ≥ a.
(4.122)
2πv
Zunächst prüfen wir den Grenzfall r = 0 (ohne Delta-Barriere), wo
S = −1,
−1
2i sin(kx),
Ψk (x) = √
2πv
A = −1,
x ≥ 0.
(4.123)
(Es ist klar, dass dann S = −1 sein muss, denn dann muss das einfallende φ−k (x) (ebene
Welle nach links) gerade in −φk (x) (ebene Welle nach rechts) reflektiert werden, um die
Sinuslösung zu ergeben, die bei x = 0 verschwindet). Die Phase δ gibt also gerade die
Phasenverschiebung des auslaufenden Streuzustands gegenüber der ungestreuten Lösung
an.
Weiterhin ist für |c| → ∞ in Gl. (4.116) die Reflexionsamplitude r = −1, weswegen
dann
e−ika eika − e−ika
1 − e−2ika
=
= −e−2ika ≡ −ei2δ(k)
1 − e2ika
eika e−ika − eika
δ(k) = −ka + nπ, n ∈ Z.
S(k) =
(4.124)
Damit verschwindet dann die Wellenfunktion
−e−ika
2i sin(kx − ka),
Ψk (x) = φ−k (x) + Sφk (x) = √
2πv
x≥a
(4.125)
an der Stelle x = a! Wegen r = −1 wird die von rechts einfallende Welle bei r = a
vollständig reflektiert. Weiterhin verschwindet dann mit
A=
φ−k (a) + Sφk (a)
φk (a) − φ−k (a)
(4.126)
die Amplitude der Wellenfunktion im Innern des ‘Kastens’ x ≤ a wegen S = −e−2ika ,
wie es sein muss. Interessant ist, dass das sowohl für positive als auch negative c gilt.
Der interessanteste Fall tritt jetzt aber für endliches, aber grosses |c| auf, d.h. für
starke (negative oder positive) Barrieren. Um die Rechnung zu vereinfachen, nehmen
wir eine Energie- und damit k-abhängige Kopplungsstärke c an, und zwar in der Form
c = c0 k,
k > 0.
(4.127)
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
104
Fig. 4.1: Aus: K. W. McVoy, L. Heller, und M. Bolster, Rev. Mod. Phys. 39, 245 (1967).
Der Fall c0 > 0 entspricht hierbei einer Barriere, der Fall c0 < 0 entspricht einem
‘Graben’. Dann entwickeln wir zunächst den entsprechenden Ausdruck Gl. (4.119) für
die Streumatrix S (NACHRECHNEN),
ika + c sin ka
−2i − c0 (1 − e−2ika )
0
−2ika e
=
−e
S ≡ −ei2δ(k) =
2ika
−ika
2i − c0 (1 − e
)
e
+ c0 sin ka
2i
1
= − exp −2ika +
+O 2
.
c0
c0
(4.128)
Diese Entwicklung ist nur gut für ka 6= nπ (dort verschwindet sin ka) und liefert die
Korrektur der Streuphase zum ‘harten, undurchsichtigen Kasten’, also
1
1
+ O 2 modπ.
(4.129)
δ(k) = −ka +
c0
c0
Damit versteht man bereits das Verhalten von δ(k) als Funktion von k für endliches c,
siehe Bild: Die Sägezahnform von δ(k) für |c| → ∞ wird etwas aufgeweicht, und zwar
so, dass negative c0 (Graben) die Streuphase absenken, während positive c0 (Barriere)
die Streuphase erhöhen. Wichtig ist das oszillatorische Verhalten von δ(k): Insbesondere
ändert die Streuphase an den Stellen in der Nähe von ka = nπ sehr schnell ihren Wert,
nämlich (für
√ endliche, grosse |c|) fast um den Wert π. Bei diesen Energien (k-Werten,
denn k = E) liegen Resonanzen vor:
4.4.3
Resonanzen im d = 1–Modell
Wir finden in der Nähe von ka = nπ ein starkes Anwachsen des Amplitudenquadrats |A|2
der Wellenfunktion für x < a. Diese Resonanzen entsprechen den gebundenen Zuständen
∝ sin kn x mit kn a = nπ, n = 1, 2, 3..., die man für einen unendlich hohen Kasten der
Breite a hätte. Tatsächlich liegen die Resonanzen nicht genau bei ka = nπ sondern
etwas darüber oder darunter (je nach Vorzeichen von c). Sie sind wegen Gl. (4.126),
A = (φ−k (a) + Sφk (a))/(2i sin ka) durch die Pole der Streu‘matrix’ S bestimmt (der
105
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
¦A¦2
¦A¦2
6
4
5
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
ka
€€€€€€€€
Π
1
2
3
4
5
ka
€€€€€€€€
Π
Fig. 4.2: Amplitudenquadrat |A|2 der Wellenfunktion für x < a für c =const. LINKS: c = 6, 2
(Barriere). RECHTS: c = −6, −2 (Graben).
¦A¦2
¦A¦2
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
ka
€€€€€€€€
5 Π
1
2
3
4
5
ka
€€€€€€€€
Π
Fig. 4.3: Amplitudenquadrat |A|2 der Wellenfunktion für x < a für c(k) = c0 k. LINKS: c0 = 2, 1
(Barriere). RECHTS: c0 = −2, −1 (Graben).
Grenzwert für ka = nπ ist A = −1), also durch die Bedingung für die Nennerfunktion
N (k) von S,
N (k) ≡ 2ik − c(1 − e2ika ) = 0.
(4.130)
Diese Gleichung liefert die Pole kp = kr + iki als komplexe Werte für den Wellenvektor
k.
Für das vereinfachende Modell mit c(k) = c0 k können wir sie exakt bestimmen aus
1
2i
4
−1 2i
1
2ikp a
2i − c0 (1 − e
)=0
kp a − nπ =
log 1 −
−
=
+O 3
2i
c0
2i c0 c20
c0
1
2
1
(4.131)
−i 2 +O 3
kp a = nπ −
c0
c0
c0
Für positive (negative) c0 ist der Realteil der Polstelle kp links (rechts) von nπ wegverschoben. Der Imaginärteil von kp , der die Breite der Resonanz bestimmt, hängt dagegen
gar nicht von n ab und ist negativ. Dem Pol kp von S entspricht eine Nullstelle k0 = kp∗
von S, denn die Zählerfunktion
Z(k) ≡ −2ik − c(1 − e−2ika )
(4.132)
106
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
ist genau das konjugiert Komplexe von N (k). In der komplexen k Ebene haben wir also
eine unendliche Folge von Polen von S(k) in der unteren Halbebene, und symmetrisch
dazu eine unendliche Folge von Nullstellen in der oberen Halbebene (SKIZZE in der
Vorlesung).
AUFGABEN: a) Bestimme die Pole der Streumatrix S(k) für c=const näherungsweise
für große |c| und vergleiche mit dem oben diskutierten Fall c = c0 k.
4.5
Partialwellenanalyse
Wir kommen jetzt zum Schluss noch einmal auf unsere Streutheorie in drei Dimensionen
zurück, wo
Ψ(+) (r) → eikr + f (θ, φ)
eikr
,r → ∞
r
(4.133)
die asymptotische Form des Streuzustands ist. Wir wollen jetzt eine Zerlegung der Streuamplitude (bzw. der T -Matrix, vgl. Gl. (4.40)) nach Anteilen der einfallenden ebenen
Welle eikr angeben, die der Symmetrie des Problems angepasst sind: häufig hat man kugelsymmetrische Potentiale V (r), die den Gesamtdrehimpuls erhalten. Die ebene Welle
scheint zunächst solch einer Symmetrie schlecht angepasst zu sein. Wir können nun allerdings die ebene Welle nach Drehimpulsanteilen zerlegen, wobei uns im Folgenden wieder
kr → ∞ genügt. Dazu schreiben wir das Skalarprodukt kr = kr cos θ und entwickeln die
Funktion (x ≡ cos θ)
ikrx
e
=
∞
X
cl Pl (x),
cl =
l=0
1
l+
2
Z
1
dxeikrx Pl (x)
(4.134)
−1
nach einem vollständigen Orthonormalsystem von Funktionen Pl (x) auf [−1, 1] (wegen
|x| ≤ 1), was durch die Legendre-Polynome bewerkstelligt wird, die
Z 1
δnm
(4.135)
dxPm (x)Pn (x) =
l + 12
−1
erfüllen.
Für grosse kr erhalten wir durch sukzessive partielle Integration eine Entwicklung
nach 1/kr;
#
1
" ikrx
Z 1
1
e
Pl (x) eikrx ′
cl =
l+
P (x) = ...
dx
−
2
ikr
ikr l
−1
−1
ikr
1
e Pl (1) − e−ikr Pl (−1)
1
+O
,
(4.136)
=
l+
2
ikr
(kr)2
(das zweite Integral wird wieder partiell integriert, und so fort), was mit
Pl (1) = 1,
Pl (−1) = (−1)l
(4.137)
107
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
auf
ikr cos θ
e
=
∞
X
l+
i
h
1
l −ikr
ikr
Pl (cos θ) + O
−(−1) e
+e
ikr
(kr)2
l=0
1
2
(4.138)
führt. Entsprechend entwickeln wir jetzt auch die Streuamplitude, die für kugelsymmetrische Potentiale nur von θ abhängen sollte,
∞
X
(2l + 1)fl Pl (cos θ),
f (θ) =
Partialwellenamplituden fl ,
(4.139)
l=0
was für den Streuzustand auf
Ψ
(+)
(r) =
∞
X
2l + 1
2ik
l=0
2iδl (k)
Sl (k) ≡ e
−ikr
le
−(−1)
≡ 1 + 2ikfl ,
r
1
eikr
+ Sl (k)
Pl (cos θ) + O
r
(kr)2
Streuphase δl (k)
(4.140)
führt. Die Partialwellenamplituden sind also
fl =
Sl (k) − 1
.
2ik
(4.141)
Der differentielle Streuquerschnitt
dσ
= |f |2
dΩ
(4.142)
wird jetzt über den Raumwinkel dΩ = sin θdθdφ integriert,
Z 1
∞
X
dx
σ = 2π
(2l + 1)(2l′ + 1)fl fl∗′ Pl (x)Pl′ (x)
−1
l,l′ =0
∞
∞
X
4π X
2
(2l
+
1)|f
|
≡
σl
l
k2
=
l=0
(4.143)
l=0
mit
σl ≡
4π
π
(2l + 1)|Sl (k) − 1|2 = 2 (2l + 1) sin2 δl (k),
2
k
k
4.5.1
Einschub: Einige spezielle Funktionen
partieller Streuquerschnitt.
Die Entwicklung Gl. (4.138) nach Drehimpuls-Komponenten lautet für beliebiges r (z.B.
MERZBACHER)
ikr cos θ
e
∞
X
(2l + 1)il jl (kr)Pl (cos θ)
=
l=0
(4.145)
(4.144)
108
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
mit den sphärischen Bessel-Funktionen jl (kr). Dies ist in der Tat ein Spezialfall der Entwicklung einer ebenen Welle eikr nach sphärischen Wellen jl (kr)Ylm (θ, φ). Die sphärischen
Bessel-Funktionen jl (kr) sind die bei r = 0 endlichen Lösungen der Radialgleichung der
Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten für Potential V (r) = 0,
2
∂
2 ∂
l(l + 1)
−
+
jl (kr) = k2 jl (kr),
(4.146)
+
∂r 2 r ∂r
r2
oder in etwas abstrakter Form (Abramowitz/Stegun)
x2 y ′′ (x) + 2xy ′ (x) + (x2 − l(l + 1))y(x) = 0.
(4.147)
Die jl (z) hängen mit den gewöhnlichen Bessel-Funktionen Jn (z) zum halbzahligen Index
n zusammen und haben eine Entwicklung für z → 0;
r
2l l!
π
Jj+1/2 (z) =
z l + O(z l+2 ).
(4.148)
jl (z) =
2z
(2l + 1)!
Im Gegensatz zu den gewöhnlichen Bessel-Funktionen Jn (z) mit ganzzahligem Index lassen sich die sphärischen Bessel-Funktionen durch ‘gewöhnliche’ Funktionen ausdrücken,
nämlich über
1 d l sin z
l
jl (z) = z −
, Rayleigh’s Formel.
(4.149)
z dz
z
Es ist also z.B.
sin z
sin z cos z
, j1 (z) = 2 −
, ...
(4.150)
z
z
z
Die Bessel-Funktionen Jn (x) sind die bei x = 0 endlichen Lösungen der Differentialgleichung
x2 y ′′ (x) + xy ′ (x) + x2 − n2 y(x) = 0.
(4.151)
j0 (z) =
Die Legendre-Polynome sind definiert über
Pl (x) =
1 dl 2
(x − 1)l .
2l l! dxl
(4.152)
Sie sind die bei x = 0 endlichen Lösungen der Differentialgleichung
(1 − x2 )y ′′ (x) − 2xy ′ (x) + l(l + 1)y(x) = 0,
(4.153)
die aus der Eigenwertgleichung zum Drehimpulsquadrat L2 für m = 0 (Projektion auf
z-Achse) entsteht (Laplace-Operator in Kugelkoordinaten, SKRIPT QM1).
Es gilt weiterhin der Zusammenhang (MERZBACHER)
Z 1
1
jl (z) = l
dxeizs Pl (s)ds.
(4.154)
2i −1
109
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
4.5.2
Streuphasen
Die Streuphasen δl in Gl. (4.140) sind tatsächlich Phasen, d.h. reelle Grössen. Dazu betrachten wir noch einmal unseren Ausgangspunkt, d.h. die stationäre Schrödingergleichung
in d = 3,
2
∂
2 ∂
1
+
+ Veff (r) Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)
(4.155)
−
2m ∂r 2 r ∂r
L2
Veff (r) ≡
+ V (r), effektives Potential
2mr 2
mit dem Bahn-Drehimpulsquadrat L2 . Für unseren Streuzustand Ψ(+) (r) ist eine Richtung durch den Wellenvektor k bereits ausgezeichnet, die wir als z–Achse wählen. Dann
können wir wegen der Kugelsymmetrie des Potentials Ψ(+) (r) als Funktion vor r und θ
ansetzen,
Ψ(+) (r) =
∞
X
c̃l Pl (cos θ)Rl (r)
(4.156)
l=0
mit Radialfunktionen Rl (r). Einsetzen liefert
2
∂
2 ∂
l(l + 1)
1
+
+ V (r) Rl (r) = ERl (r),
+
−
2m ∂r 2
r ∂r
2mr 2
(4.157)
denn
Pl =
4π
2l + 1
1/2
Ylm=0
(4.158)
sind der Spezialfall m = 0 der Kugelflächenfunktionen Ylm (θ, φ), die ja Eigenfunktionen
des Drehimpulses sind;
L2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ).
(4.159)
Die Zerlegung Gl. (4.156) ist also eine Zerlegung der Wellenfunktion nach Anteilen mit
Gesamt-Bahndrehimpuls l und Drehimpuls in z–Richtung m = 0. 5
Mit dem Ansatz
2
u′′l (r)
∂
2 ∂ ul (r)
ul (r) = rRl (r)
=
(4.160)
+
∂r 2 r ∂r
r
r
5
In der klassischen Mechanik führt man für die Streuung im Zentralpotential V (r) den Stoßparameter
s über den Betrag des Drehimpulses l, bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems r = 0, über
l = ps ein, wobei p der Einfallsimpuls ist (GOLDSTEIN). Dabei ist s also der senkrechte Abstand
zwischen Einfallsrichtung und Kraftzentrum (SKIZZE). In der Quantenmechanik beschreibt man die
Streuung durch eine ebene Welle, für die dann natürlich s nicht definiert werden kann - statt eines festen
l hat man deshalb alle Komponenten des Bahndrehimpulses.
110
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
für die Radialfunktionen kommen wir zu der Form
−
1 ′′
u (r) + Veff (r)ul (r) = Eul (r),
2m l
r ≥ 0,
(4.161)
also einer eindimensionalen Schrödingergleichung auf der positiven reellen Achse, d.h. der
Radial-Koordinate. Weil das Potential V (r) reell ist, können wir die ul = Rl /r als reelle
Funktionen wählen. Für r → ∞ hat man für hinreichend schnell abfallendes Potential
dann eine Gleichung
u′′l (r) + k2 ul (r) = 0,
ul = αl eikr + α∗l e−ikr ,
und damit für den Streuzustand
∞
−ikr
X
eikr
(+)
∗e
+ αl
Pl (cos θ),
Ψ (r) =
c̃l αl
r
r
l=0
was für reelle δl bei Herausziehen von eiδl eiπ
hier noch einmal aufschreiben,
Ψ(+) (r) =
∞
X
2l + 1
l=0
2ik
−(−1)l
l+1
2
r → ∞,
(4.162)
r→∞
(4.163)
konsistent mit Gl. (4.140) ist, die wir
eikr
1
e−ikr
+ e2iδl (k)
. (4.164)
Pl (cos θ) + O
r
r
(kr)2
Diese Form hat jetzt eine interessante Interpretation: die l-Komponente der einfallenden
ikr
−ikr
Kugelwelle e r wird in die l-Komponente der ausfallenden Kugelwelle e r gestreut.
Alle Information über die Streuung ist in den einzelnen Streuphasen δl (k) enthalten.
Für jedes feste l haben wir ein Streuproblem auf R+ , ganz analog zur oben diskutierten
eindimensionalen Situation. Insbesondere entkoppeln die einzelnen Streukanäle (Beiträge
zu unterschiedlichem l, d.h. es gibt keine Streuung von l → l′ (in welchem Fall man eine
wirkliche Streumatrix hätte). Die unitäre Streumatrix ist also in den l diagonal und nur
durch ihre Eigenwerte, sprich ihre Phasen e2iδl (k) , gegeben.
In einer alternativen Schreibweise fassen wir die eckige Klammer in Gl. (4.164) zusammen,
∞
X
2l + 1 ilπ/2+iδl (k) sin (kr − lπ/2 + δl )
1
(+)
Ψ (r) =
e
Pl (cos θ) + O
(4.165)
.
k
r
(kr)2
l=0
Hierbei wird noch einmal deutlich, dass es sich bei den δl (k) tatsächlich um Phasenverschiebungen (für jeden Drehimpulskanal l) handelt.
Man übernimmt jetzt auch bei der Streuung die Terminologie der gebundenen Zustände
(z.B. des Wasserstoffatoms) und spricht von s-Wellenstreuung (l = 0), p-Wellenstreuung
(l = 1) etc. Der l-te partielle Streuquerschnitt Gl. (4.144)
σl =
4π
(2l + 1) sin2 δl (k)
k2
(4.166)
111
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
entspricht dabei im klassischen Bild dem Beitrag der Teilchen, die mit dem Stoßparameter (senkrechter Abstand zwischen Einfallsrichtung und Kraftzentrum r = 0)
p
l(l + 1)
sl =
, p = ~k
(4.167)
p
am Potential V (r = 0) vorbeistreuen. Die p-Streuung besitzt wegen
P12 (cos θ) = cos2 θ
(4.168)
z.B. eine ‘Dipolsymmetrie’ (BLOCHINZEW), allerdings macht diese Interpretation nur
Sinn, wenn in |f (θ)|2 keine weiteren ‘Interferenzterme’ auftreten, also z.B. alle Streuphasen mit l 6= 1 verschwinden.
AUFGABE: Wir betrachten das Potential V (r) = cδ(r − a) mit a > 0, c ∈ R. Für
c → ∞ entspricht das einer ‘harten Kugel’, an der alles reflektiert wird. Bestimme die
Streuphasen δl für diesen Fall. Zeige die Übereinstimmung mit Gl. (4.124),
δl=0 (k) = −ka + nπ,
4.5.3
s-Wellenstreuung an harter Kugel.
(4.169)
Streuphasen in Bornscher Näherung
Explizite Ausdrücke für die Streuphasen erhält man jetzt wieder für schwaches kugelsymmetrisches Streupotential V (r). Wir benutzen Gl. (4.28)
fBorn (k′ , k) = −
2m
Ṽ (q),
4π
q ≡ k′ − k
(4.170)
und beachten
θ
q = |q| = 2k sin ,
2
(4.171)
wobei θ der P
Winkel zwischen k′ und k ist, der ja in die Entwicklung der Streuamplitude f (θ) = ∞
l=0 (2l + 1)fl Pl (cos θ) nach Legendre-Polynomen eingeht. Explizit lautet
das Integral in der Bornschen Näherung (Kugelkoordinaten, x ist der cos des Winkels
zwischen q und r)
Z ∞
Z 1
m
2
′
drr
fBorn (k , k) = − 2π
dxe−iqrx dxV (r)
2π
0
−1
Z ∞
sin qr
drr 2
= −2m
V (r).
(4.172)
qr
0
An dieser Stelle benötigt man eine Formel aus der Theorie der Bessel-Funktionen (z.B.
SCHIFF)
∞
sin qr X
(2l + 1)jl2 (kr)Pl (cos θ),
=
qr
l=0
q = 2k sin
θ
2
(4.173)
112
4. Streutheorie und Greensche Funktionen
mit den sphärischen Bessel-Funktionen jl (kr). Damit hat man also
Z
∞
X
(2l + 1)Pl (cos θ)
fBorn (θ) = −2m
0
l=0
∞
drr 2 jl2 (kr)V (r).
(4.174)
In den l-Komponenten der Streuamplitude
fl =
e2iδl (k) − 1
1
= eiδl (k) sin δl (k)
2ik
k
(4.175)
muss konsequenterweise für schwaches Potential V (r) auch kleines δl (k) genommen werden, also folgt in Bornscher Näherung
Z ∞
(4.176)
drr 2 jl2 (kr)V (r).
δl,Born (k) = −2mk
0
Für kleine Energien E, also kleine k, gilt jetzt wegen der Entwicklung Gl. (4.148)
δl,Born (k) ∝ k2l+1 .
(4.177)
Diese Entwicklung gilt sogar allgemein und nicht nur in Bornscher Näherung. Das geht
für große l rasch gegen Null: Bei kleinen Energien spielen also nur kleine l eine Rolle.
Häufig beschränkt man sich auf den Fall l = 0, d.h. s-Wellenstreuung. Dann hat man
wegen j0 (z) = sin z/z
δ0,Born (k) = ka0 ,
a0 = −2m
Z
∞
drr 2 V (r),
s-Wellen Streulänge a0 .
(4.178)
0
mit dem zugehörigen Streuquerschnitt
σ0 = 4πa20 .
(4.179)
WEITERE hier nicht behandelte Themen zur Streutheorie (zum Selbststudium bei
Interesse): klassischer Grenzfall grosser l (LANDAU), Levinson-Theorem, Resonanzen
in σl , Breit-Wigner-Form, Streuung bei hohen Energien...
5. LICHT UND MATERIE
In diesem Kapitel geht es um die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes und
seine Wechselwirkung mit der Materie. Zur Einführung wiederholen wir Normalmoden
und deren Quantisierung (Phononen) in der Theorie der kleinen Schwingungen.
5.1
Phononen
(SKRIPT FESTKÖRPERTHEORIE). Kleine Schwingungen spielen eine wichtige Rolle als Modellsystem nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Gebieten der
Physik, z.B. Molekül- und Festkörperphysik, Quantenmechanik, bis hin zu modernen
Quantenfeldtheorien. Das zugrundeliegende mechanische Problem ist letztendlich das
eines Systems von mit Federn gekoppelten Massen, deren Bewegung (die relativ komplex ausssehen kann) man durch geschickte Koordinatenwahl auf Überlagerungen von
Eigenschwingungen reduzieren kann.
5.1.1
Lagrange-Funktion
Wir betrachten ein System, dessen potentielle Energie V sich in generalisierten Ortskoordinaten x1 , ..., xf um ein lokales Minimum und den Punkt x0 entwickeln lässt,
f ∂2V
1 X
qi qj + O(qk3 ),
V (x) = V (x0 ) +
2
∂xi ∂xj
i,j=1
q ≡ x − x0 ,
(5.1)
wobei die qi die Komponenten des Vektors q sind, der die Auslenkungen aus der Ruhelage x0 angibt. Da es sich um ein lokales Minimum handelt, verschwinden die ersten
Ableitungen.
Man nähert jetzt die potentielle Energie V quadratisch, indem man alle höheren
Terme der Taylor-Entwicklung vernachlässigt, und schreibt
1
V (x) = V (x0 ) + qT V q,
2
q ≡ x − x0 ,
(5.2)
mit der Matrix V der zweiten Ableitungen des Potentials an der Stelle x0 . Da V (x0 ) eine
feste Konstante ist, hängt der Wert der potentiellen Energie also nur von den kleinen
Auslenkungen qi ab und wird durch die obige quadratische Form 21 qT V q mit der symmetrischen Matrix V definiert. Im Folgenden lassen wir die Konstante V (x0 ) weg, da
die EL-Bewegungsgleichungen der Koordinaten qi von ihr natürlich nicht abhängen.
114
5. Licht und Materie
Entsprechend setzt man für die kinetische Energie einen Ausdruck an, der quadratisch in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten q̇i ist,
1
T = q̇T T (q)q̇,
2
(5.3)
was für alle praktischen Fälle hinreichend allgemein ist. Damit schreiben wir die LagrangeFunktion unseres Systems als
L=
1 T
1
q̇ T q̇ − qT V q,
2
2
(5.4)
wobei wir hier und im Folgenden die Striche unter T und V weglassen und damit jeweils
die f × f Matrizen der quadratischen Formen der kinetischen und potentiellen Energie
bezeichnen.
Physikalisch beschreibt diese Lagrange-Funktion ein System von f gekoppelten
linearen harmonischen Oszillatoren, wie wir im Folgenden sehen werden.
5.1.2
Normalkoordinaten
Ziel ist es, durch Einführung neuer Koordinaten die Lagrange-Funktion und damit die
Bewegungsgleichungen nochmals wesentlich zu vereinfachen. Wir führen neue Koordinaten Q = (Q1 , ..., Qf )T ein,
q = AQ,
A ≡ (a1 , ..., af ).
(5.5)
Hierbei ist A eine reguläre Matrix aus Spaltenvektoren ai , die als Vektoren der Normalmoden (Eigenmoden) bezeichnet wird. Es gilt z.B.
Q = (1, 0, ...0)T
q = a1 ,
Q = (0, 1, ...0)T
q = a2 ,
(5.6)
d.h. Q1 entspricht der ersten Normalmode, Q2 der zweiten usw. Wir bestimmen die
Vektoren der Normalmoden so, dass die Lagrangefunktion und damit die Bewegungsgleichungen in den neuen Koordinaten Q entkoppeln, d.h.
f
L=
1
1 X 2
1
1
1 T
q̇ T q̇ − qT V q = Q̇T Q̇ − QT DQ =
Q̇i − λi Q2i ,
2
2
2
2
2
(5.7)
i=1
wobei D=diag(λ1 , ..., λf ) eine zu bestimmende Diagonalmatrix ist. In den neuen Koordinaten Q entkoppeln die Euler-Lagrange-Gleichungen zweiter Art,
Q̈i (t) + λi Qi (t) = 0,
(5.8)
was sofort in der Form
Qi (t) = αi eiωi t + βi e−iωi t ,
ωi2 = λi
(5.9)
mit den jeweils zwei Konstanten αi , βi , die z.B. durch die Anfangsbedingung festgelegt
werden, gelöst wird. Zur Lösung benötigen wir also nur die Diagonalmatrix D und die
115
5. Licht und Materie
Matrix A der Normalmoden, ohne dann noch weitere Differentialgleichungen lösen zu
müssen: damit ist das Problem auf ein reines Lineare-Algebra-Problem reduziert.
Wir bestimmen die Normalmoden ai durch Einsetzen von q = AQ in die LagrangeFunktion,
L=
1 T T
1
Q̇ A T AQ̇ − QT AT V AQ,
2
2
(5.10)
es müssen also die simultanen Ähnlichkeitstransformationen
AT T A = 1
(5.11)
T
A VA = D
(5.12)
gelten, aus denen sofort
AT V A = AT T AD
V A = T AD
(5.13)
folgt, denn A und damit AT soll nicht-singulär sein. Die letzte Matrix-Gleichung können
wir als verallgemeinertes Eigenwertproblem aufschreiben,
V ai = λi T ai
(5.14)
V (a1 , ..., af ) = T (λ1 a1 , ..., λf af ) ↔ V A = T AD,
A ≡ (a1 , ..., af ).
(5.15)
Die positiven Wurzeln der Eigenwerte λi werden als Eigenfrequenzen ωi bezeichnet,
p
(5.16)
ω i = λi ,
vgl Gl. (5.9). Damit die Gleichung V ai = λi T ai nichttriviale (ai 6= 0) Lösungen hat,
muss die Determinante des zugehörigen linearen Gleichungssystems verschwinden, d.h.
det(V − λT ) = 0.
(5.17)
Das ist analog zur üblichen Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix V , nur dass hier
statt der sonst üblichen Einheitsmatrix 1 die Matrix T auftritt. Die Lösungsstrategie ist
also analog zur üblichen Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren: Wir finden
zunächst die Eigenfrequenzen, d.h. die Lösungen λi von det(V − λi T ) = 0, und benutzen
diese zum Bestimmen der Normalmoden, d.h. der Eigenvektoren ai in V ai = λi T ai .
AUFGABE: Zeige, dass für positiv definites T die Eigenfrequenzen reell sind.
Die neuen Koordinaten Q = (Q1 , ..., Qf )T in der Lagrangefunktion L, Gl. (5.7),
sind insofern abstrakt, als dass sie die physikalische Dimension kg1/2 m haben, aber so
etwas kennen wir ja bereits von anderen kanonischen Transformationen. Die zugehörige
Hamiltonfunktion H erhalten wir mittels der kanonischen Impulse
Pi =
∂L
= Q̇i
∂ Q̇i
(5.18)
116
5. Licht und Materie
als
H=
f X
1
i=1
2
1 2 2
+ ω i Qi .
2
Pi2
(5.19)
Wir erkennen, dass es sich hierbei um ein System von f entkoppelten harmonischen
Oszillatoren mit Masse 1 handelt. Das Entscheidende sind natürlich die Bewegungsgleichungen (EL oder Hamilton), deren Lösung wir wegen der Entkopplung immer sofort
hinschreiben können, vgl. Gl. (5.9). Die Standard-Form Gl. (5.19) spielt eine zentrale
Rolle bei der Beschreibung kleiner Schwingungen in der Quantenmechanik. Dort entsprechen die ωi den Eigenfrequenzen der f Phononenmoden.
BEISPIELE zu Normalmoden: siehe SKRIPTE FESTKÖRPERTHEORIE, MECHANIK oder Lehrbücher.
5.1.3
Quantisierung der Normalmoden: Phononen
Bei den hier betrachteten kleinen Schwingungen hatte die Hamiltonfunktion eines Systems mit f vibronischen Freiheitsgraden die Normalform Gl. (5.19),
H=
f X
1
i=1
2
1 2 2
+ ω i Qi .
2
Pi2
(5.20)
Die einzelnen Normalmoden entkoppeln also zu f unabhängigen, abstrakten linearen
harmonischen Oszillatoren. Diese Oszillatoren sind ’abstrakt’ in dem Sinn, dass jeder
Oszillator eine Normalmode Qj (t) beschreibt, die eine kollektive Bewegung des Gesamtsystems der harmonisch gekoppelten echten physikalischen Massen mi darstellt. Die
abstrakten Oszillator-Koordinaten haben die physikalische Dimension kg1/2 m, und in
der kinetischen Energie steht keine Masse.
Da Qi und Pi kanonisch konjugierte Variablen mit
{Qk , Pj } = δkj
(5.21)
sind, können wir über das Korrespondenzprinzip sofort den zu H entsprechenden Hamiltonoperator hinschreiben, nämlich
Ĥ =
f X
1
i=1
2
P̂i2
1
+ ωi2 Q̂2i
2
(5.22)
mit
[Q̂k , P̂j ] = δkj i~.
(5.23)
Die möglichen Eigenwerte der Energie können wir sofort hinschreiben, denn wir kennen
ja die Frequenzen ωj der einzelnen Oszillationen. Es gilt also
E = E(n1 , ..., nf ) ≡
f
X
i=1
~ωi
1
ni +
2
.
(5.24)
117
5. Licht und Materie
Durch Einführen von Auf- und Absteigeoperatoren gelangen wir zur Besetzungszahldarstellung,
r
i
ωj
Pˆj , Vernichter
(5.25)
Q̂j + p
aj ≡
2~
2~ωj
r
ωj
i
†
aj ≡
Pˆj , Erzeuger , [aj , a†k ] = δjk .
(5.26)
Q̂j − p
2~
2~ωj
Der Hamiltonoperator in Besetzungszahldarstellung ist
Ĥ =
N̂i ≡
f
X
Ĥi =
i=1
a†i ai ,
f
X
~ωi
i=1
1
N̂i +
2
Besetzungszahloperator für Mode i.
(5.27)
(5.28)
Die Eigenzustände der Hamiltonians Ĥi sind gegeben durch
Ĥi |ni i = ~ωi
1
ni +
2
|ni i,
(a† )ni
|ni i = √i |0ii ,
ni
(5.29)
wobei |0ii der Grundzustand von Ĥi ist.
Definition Der Eigenzustand |ni eines harmonischen Oszillators mit Hamiltonian ~ω a† a +
wird n-Phononen-Zustand genannt. Der Hilbertraum des Oszillators wird hierbei als
bosonischer Fockraum (vgl. Kap. 3.3.2) aufgefasst. Der Zustand |ni entspricht in
diesem Teilchenbild dann einer Wellenfunktion mit n bosonischen Teilchen (Phononen).
Man darf an dieser Stelle allerdings das Teilchenbild wirklich nur als anschauliches Bild
betrachten. Die n Bosonen haben z.B. nicht n mal die Masse des hier beschriebenen Oszillators (der ja sowieso i.A. ein abstrakter Oszillator ohne Zuordnung zu einer bestimmten
konkreten, physikalischen Masse ist). Wie bei Photonen kommt man hier schnell in die
grundsätzliche Diskussion, was eigentlich ein Teilchen ist. Allerdings ist diese Diskussion relativ irrelevant, wenn es um konkrete Anwendungen wie die Thermodynamik von
Festkörpern oder die Elektron-Phonon-Wechselwirkung in den Transport- und optischen
Eigenschaften geht. Interessanter ist diese Frage in der relativistischen Quantenmechanik, wenn es um Teilchen wie z.B. W -Bosonen etc. geht.
Entsprechend der Zerlegung des Hamiltonians Ĥ in f Einzel-Hamiltonians Ĥi zerlegt
sich jetzt der Hilbertraum H des Gesamtsystems als
H = H1 ⊗ H2 ⊗ ... ⊗ Hf .
(5.30)
Die Eigenzustände von Ĥ sind nun Produktzustände (reine Tensoren) in H,
Ĥ|n1 , n2 , ..., nf i = E(n1 , ..., nf )|n1 , n2 , ..., nf i
|n1 , n2 , ..., nf i ≡ |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ ... ⊗ |nj i,
(5.31)
(5.32)
1
2
118
5. Licht und Materie
mit je nj Phononen der Mode j.
In einem Festkörper (Bravais-Gitter) haben wir häufig statt des Summationsindex
j den Wellenvektor k und den Zweigindex s, der sowohl akustische als auch optische
Moden beinhalten möge. Dann schreibt sich der Hamiltonoperator ganz analog als
X
1
Hphonon =
~ωs (k) a†k,s ak,s +
.
(5.33)
2
k,s
5.2
Quantisierung des Elektromagnetischen Feldes
Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, d.h. der Maxwell-Gleichungen, kann
man aus verschiedenen Blickwinkeln betreiben. Am direktesten ist die hier benutzte
Quantisierung über die (nicht Lorentz-invariante) Coulomb-Eichung - das ist der in
der Quantenoptik beschrittene Weg, der sicherlich für die meisten Anwendungen am
vorteilhaftesten ist. Etwas abstrakter ist der relativistisch kovariante Zugang über die
Lorenz-Eichung, der allerdings mit einigen technischen Schwierigkeiten verbunden ist.
5.2.1
Coulomb-Eichung
(SKRIPT ELEKTRODYNAMIK) Die Maxwellschen Gleichungen
∂
B
(5.34)
∂t
∂
(5.35)
divB = 0, rotB = µ0 ε0 E + µ0 j
∂t
bilden die mikroskopische Grundlage des Elektromagnetismus. Da wir hier in der mikroskopischen Theorie sind, brauchen wir keine Polarisations- und Magnetisierungsfelder
wie in der makroskopischen Elektrodynamik, d.h. wir brauchen hier das D-Feld und das
H-Feld nicht.
Um zeitabhängige elektromagnetische Probleme zu lösen, ist es häufig zweckmässig,
zu Differentialgleichungen zweiter Ordnung überzugehen. Zunächst führen wir wie in der
Magnetostatik wegen divB = 0 das Vektorpotential A über
divE =
ρ
,
ε0
rotE = −
B = rotA
(5.36)
ein (hier um im Folgenden sind alle Felder Funktionen von (r, t). Das Induktionsgesetz
liefert dann mit rot(E + Ȧ) = 0 die Möglichkeit, E + Ȧ als Gradienten eines Skalarfeldes
Φ (skalares Potential) zu schreiben,
E = −∇Φ − Ȧ.
(5.37)
Im Vergleich zur Elektrostatik kommt für das elektrische Feld also der Term −Ȧ hinzu.
Einsetzen in die Maxwellsche Gleichung divE = ερ0 liefert
∆Φ + ∇Ȧ = −
ρ
,
ε0
(5.38)
119
5. Licht und Materie
1
Ė
c2
+ µ0 j liefert mit rot rot = grad div −∆
1 grad divA − ∆A = 2 −∇Φ̇ − Ä + µ0 j
c
1
1
= µ0 j.
−∆A + 2 Ä + grad divA + 2 Φ̇
c
c
und Einsetzen in rotB =
(5.39)
Das sieht zunächst etwas hässlich aus. Jetzt nutzen wir allerdings eine Freiheit aus, die
uns durch die Definition des Vektorpotentials A über B = rotA zusteht: das Vektorpotential A ist dadurch nämlich gar nicht eindeutig bestimmt, sondern kann wegen rot
grad = 0 durch Addition eines beliebigen skalaren Feldes χ(r, t) umgeeicht werden, so
dass sich das Magnetfeld gar nicht ändert:
A → Ã ≡ A + grad χ
rotA = rotà = B.
(5.40)
Damit sich das elektrische Feld bei dieser Umeichung ebenfalls nicht ändert, muss das
skalare Potential dann entsprechend abgeändert werden, nämlich zu
Φ → Φ̃ ≡ Φ − χ̇
˙
E = −∇Φ − Ȧ = −∇Φ̃ − Ã.
(5.41)
Nochmals beide zusammen aufgeschrieben,
A → Ã ≡ A + gradχ,
Φ → Φ̃ ≡ Φ − χ̇,
Eichtransformation.
(5.42)
In der klassischen Elektrodynamik ist das Hin-und-Her-Transformieren zwischen verschiedenen Eichungen im Wesentlichen ein rechentechnischer Trick. In der Quanten(Feld)Theorie
bekommt diese Eichfreiheit aber eine wesentlich tiefere Bedeutung und wird weiterhin
auch für die anderen fundamentalen Wechselwirkungen in der Natur (schwache, starke,
und gravitative Wechselwirkung) im Rahmen von Eichtheorien 1 wichtig. In der Quantenelektrodynamik hängt die Eichfreiheit mit der Phase der Wellenfunktion/Quantenfelder
zusammen und kann sogar dazu benutzt werden, die elektromagnetischen Felder und die
Maxwellschen Gleichungen aus einem einfachen Prinzip (‘minimale Kopplung und lokale
Eichinvarianz’) zu begründen. Etwas mehr dazu im SKRIPT QM 1, vgl. dort auch die
Diskussion des Aharonov-Bohm-Effekts.
Zurück zu unseren zwei Gleichungen für die elektromagnetischen Potentiale,
ρ
∆Φ + ∇Ȧ = −
ε0
1
1
= µ0 j,
(5.43)
−∆A + 2 Ä + grad divA + 2 Φ̇
c
c
die wir z.B. durch geschickte Wahl von χ entkoppeln können. Eine Möglichkeit ist die
relativitisch kovariante Lorenz-Eichung
1
Φ̇ = 0, Lorenz-Eichung
c2
ρ
1
1
∆Φ − 2 Φ̈ = − , −∆A + 2 Ä = µ0 j.
c
ε0
c
divA +
Für unsere Quantisierung bequemer ist allerdings die Coulomb-Eichung,
(5.44)
(5.45)
120
5. Licht und Materie
divA = 0,
Coulomb-Eichung
(5.46)
ρ
1
1
∆Φ = − , −∆A + 2 Ä + 2 gradΦ̇ = µ0 j. (5.47)
ε0
c
c
Das sieht immer noch etwas kompliziert aus.
Eine große Vereinfachung entsteht, wenn wir denn Fall ρ = j = 0 betrachten, d.h.
verschwindende Ladungs- und Stromladungsdichte. Dann erhalten wir
∆Φ = 0,
−∆A +
1
Ä = 0,
c2
(5.48)
d.h. die Laplace-Gleichung für das skalare Potential und die Wellengleichung für das Vektorpotential. Die Lösungen beider Gleichungen hängen jetzt von den Randbedingungen
des betrachteten Gebietes ab, auf dem die Gleichungen gelöst werden sollen.
5.2.2
Normalmoden
Häufig hat man es z.B. in der Quantenoptik mit sogenannten Kavitäten zu tun, in
denen sich das EM Feld befindet. Wir fassen die Kavität als ein (zusammenhängendes)
Gebiet G des R3 auf, mit Φ = 0 auf dem Rand ∂G und verschwindender Ladungs- und
Stromladungsdichte in G. Es kann z.B. G = R3 der ganze Ortsraum sein; dann hat man
z.B. als Lösung der Laplace-Gleichung (als Spezialfall der Poisson-Gleichung)
Z
ρ(x′ , t)
1
= 0.
(5.49)
d3 x′
Φ(x, t) =
4πε0
|x − x′ |
Selbst wenn bis zur Zeit t = 0 Ladungen in G vorhanden waren, beeinflussen diese
das Potential Φ nicht mehr zu Zeiten t > 0, was an der Coulomb-Eichung liegt. Alle
Information zu Anfangswerten muß deshalb durch das Vektorpotential getragen werden.
Die einzige uns interessierende Gleichung ist nur noch die Wellengleichung −∆A+ c12 Ä =
0. Wir entwickeln also das Vektorpotential A nach Eigenmoden uk (r) der Kavität G
(WALLS/MILBURN);
A(r, t) =
X
k
~
2ωk ε0
1
2
ak uk (r)e−iωk t + a∗k u∗k (r)eiωk t
mit transversalen und orthonormierten Moden-Funktionen
Z
d3 ruk (r)∗ uk′ (r) = δkk′ ,
divuk = 0,
(5.50)
(5.51)
G
wobei hier ein Kronecker-Delta (für ein endliches Gebiet mit diskretem Spektrum an
Eigenfrequenzen ωk ) steht. Die Eigenfrequenzen ωk > 0 bestimmen sich aus den Eigenwerten, die in
121
5. Licht und Materie
ω2
∆ + 2k
c
uk (r) = 0
(5.52)
auftreten, d.h. (Vektor) Helmholtz-Gleichungen mit entsprechend gewählten Randbedingungen. Die Koeffizienten ck werden im Prinzip dann aus den Anfangsbedingungen für
ein gegebenes Vektorpotential z.B. zur Zeit t = 0 bestimmt (wie bei anderen Anfangs1
2
wertproblemen), und der Vorfaktor 2ω~k ε0
ist bereits so gewählt, dass wir gleich eine
kanonische Form wie bei den Phononen, Gl. (5.33), erhalten.
5.2.3
Hamilton-Operator
Die Energie des EM Feldes ist
1
H≡
2
1 2
d r ε0 E + B .
µ0
Z
3
2
(5.53)
Das elektrische (magnetische) Feld ist
1
E = −Ȧ = i
B = rotA =
X ~ωk 2
k
X
k
2ε0
~
2ωk ε0
ak uk (r)e−iωk t − a∗k u∗k (r)eiωk t
1
2
ak rotuk (r)e−iωk t + a∗k rotu∗k (r)eiωk t
(5.54)
(5.55)
In E2 treten Terme auf wie
2
−i
ak a∗k′
−i2 a∗k ak′
Z
Z
d3 ruk (r)u∗k′ (r) = ak a∗k δkk′
(5.56)
d3 ruk (r)∗ uk′ (r) = a∗k ak δkk′
(5.57)
stehen bleiben und nicht
sowie Terme ∝ ak ak′ mit negativem Vorzeichen, die
R zunächst
2
3
wegzufallen scheinen. In B treten Terme auf wie d r(∇ × uk (r))(∇ × u∗k′ (r)), die wir
weiter verarbeiten mit der Identität
divu1 × u2 = u2 rotu1 − u1 rotu2 .
(5.58)
Die Divergenz wird mit dem Satz von Gauß wegintegriert, und man hat dann z.B. mit
u1 = ∇ × u∗k′ (r) und u2 = ∇ × uk (r) eine partielle Integration in der Form
Z
Z
Z
3
∗
3
∗
d r(∇ × uk (r))(∇ × uk′ (r)) =
d r(∇ × ∇ × uk (r))uk′ (r) = − d3 r(∆uk (r))u∗k′ (r)
Z
= ωk2 ε0 µ0 d3 ruk (r)u∗k′ (r) = ωk2 ε0 µ0 δkk′ ,
(5.59)
122
5. Licht und Materie
wobei die Transversalität divuk = 0 sowie die Helmholtz-Gleichung Gl. (5.52) mit c2 =
1/(µ0 ε0 ) ausgenutzt wurde. Die Vorfaktoren sind jetzt gerade so, dass die Terme ∝
ak ak′ und a∗k a∗k′ aus E2 genau wegfallen, da sie negatives Vorzeichen haben, die aus B2
aber positives Vorzeichen. Von den ‘guten’ Termen ak a∗k′ , a∗k ak′ liefern elektrische und
magnetische Komponenten genau den gleichen Beitrag, und wir erhalten
1 X ~ωk
1X
H=
2 (ak a∗k + a∗k ak ) =
(5.60)
~ωk (ak a∗k + a∗k ak ) .
2
2
2
k
k
Das ist natürlich fast schon die Form, die wir haben wollen: wir haben bewusst die ak a∗k ,
a∗k ak nicht vertauscht, denn jetzt wollen wir tatsächlich die Analogie zu den PhononenModen Gl. (5.33) herstellen: Die (klassischen) Koeffizienten ak sind zunächst dimensionslos (was natürlich an unserer geschickten Wahl des Vorfaktors in Gl. (5.50) liegt),
aber selbst klassisch macht das Sinn, denn die ak bestimmen die Amplituden für die
EM -Felder, und die gesamte Energie wird durch die Summe über Energiequanten ~ωk
ausgedrückt. Das ist konsistent mit der Planckschen Quantenhypothese. Um zur quantenmechanischen Beschreibung des EM-Feldes überzugehen, ersetzen wir nun die (klassischen) Koeffizienten ak , a†k durch Operatoren, und zwar so, dass wir quantenmechanisch
ein System von harmonischen Oszilaltoren beschreiben: Wir ersetzen also
ak → âk ,
a∗k → â†k ,
[âk , â†k′ ] = δkk′ ,
[âk , âk′ ] = 0
(5.61)
mit bosonischen Kommutatorrelationen wie beim harmonischen Oszillator oder bei den
Phononen. Dadurch entsteht ein vollständige Analogie zur Quantenmechanik gekoppelter
Oszillatoren. Die zugehörigen Teilchen im Sinne einer Vielteilchentheorie im Fockraum
sind wie die Phononen formal Bosonen, sie heißen Photonen. Der Hamiltonoperator des
freien EM-Feldes wird dann also zu
X
1
†
Ĥ =
.
(5.62)
~ωk âk âk +
2
k
Die Summe erstreckt sich hierbei über alle Moden k der Kavität. Schliesslich lautet der
Operator für das Vektorpotential Gl. (5.50)
1
X ~ 2 Â(r) =
âk uk (r) + â†k u∗k (r) .
(5.63)
2ωk ε0
k
Hier stehten zunächst keine Terme e±iωk t wie im klassischen Fall Gl. (5.50), denn Gl. (5.63)
ist ein quantenmechanischer Operator für eine Schrödingergleichung. Als HeisenbergOperator hat er wegen
âk (t) = e−iωk t âk
(5.64)
aber genau die gleiche Zeitentwicklung wie Gl. (5.50). Entsprechend ist der Operator für
das elektrische Feld z.B. (vgl. Gl. (5.54))
1
X ~ωk 2 † ∗
Ê(r) = i
(5.65)
âk uk (r) − âk uk (r) .
2ε0
k
123
5. Licht und Materie
5.3
Wechselwirkung des Feldes mit Ladungen
Wir betrachten hier N Teilchen mit Massen mi und Ladungen ei .
Der sicherste Weg, um die Kopplung der Felder an die Ladungen zu beschreiben,
ist der über die Lagrangefunktion L der Felder und der Materie, wie wir sie in der
Elektrodynamik kennen gelernt hatten (SKRIPT);
L=−
N
X
i=1
mi c2
q
1 − ẋ2i /c2 +
Z
d3 r
2
1
ε0 ∇Φ + Ȧ −
(∇ × A)2 − ρΦ + jA (5.66)
2
2µ0
mit den Ladungsdichten ρ und Stromdichten j,
ρ(r, t) ≡
N
X
i=1
ei δ3 (r − xi (t)),
j(r, t) ≡
N
X
i=1
ei ẋi (t)δ3 (r − xi (t)).
(5.67)
Wir hatten das auch mit dem Feldstärketensor umgeschrieben (Gauß-System)
L=−
N
X
2
mi c
i=1
q
1−
ẋ2i /c2
+
Z
1 αβ
α
d r −
F Fαβ − j Aα ,
4µ0
3
(5.68)
αβ
woran man besonders gut
Energie
q den Feldanteil F Fαβ , den Anteil der kinetischen
R 3 α
PN
2
2
2
der Massen − i=1 mi c 1 − ẋi /c , sowie den Wechselwirkungsanteil − d rj Aα erkennt.
5.3.1
Hamilton-Funktion
Den Übergang von der Lagrange zur Hamilton-Funktion durchzuführen ist jetzt nicht
ganz so trivial, insbesondere was den Feldanteil angeht. Wir wollen hier für den nichtrelativistischen Fall die Hamilton-Funktion letztendlich zusammenbauen aus der Energie
des Feldes und der kinetischen Energie der Ladungen, die an das Vektorpotential über
die Vorschrift der minimalen Kopplung ankoppeln (QM1, ELEKTRODYNAMIK). Das
ergibt
H=
N
X
(pi − ei A(ri ))2
i=1
2mi
1
+
2
Z
1 2
d r ε0 E + B .
µ0
3
2
(5.69)
Der zweite Term enthält hier im Gegensatz zu Gl. (5.53), wo wir einen Ladungs-freien
Raum (Kavität) angenommen hatten, auch die elektrostatische Feldenergie der Ladungen ei , die z.B. auch vorhanden ist, wenn sich die Ladungen gar nicht bewegen. Um
das von dem progagierenden, transveralem EM Feld zu unterscheiden, nimmt man eine
Zerlegung der Felder in longitudinale und transversale Komponenten vor:
E = Ek + E⊥ ,
B = Bk + B⊥ ,
(5.70)
124
5. Licht und Materie
und zwar so, dass im k-Raum für die Fourierkomponenten z.B. gilt
Ê(k) = Êk (k) + Ê⊥ (k)
2
Êk (k) = [k · Ê(k)]k/k ,
(5.71)
2
Ê⊥ (k) = [k × Ê(k)] × k/k .
(5.72)
Für das Magnetfeld hat man
0 = k · B̂(k)
0 = divB
B̂k (k) = 0
Bk = 0,
(5.73)
d.h. das Magnetfeld ist wegen seiner Divergenzfreiheit rein transversal B = B⊥ . Für das
elektrische Feld folgt hingegen aus dem Gaußschen Gesetz
ε0 divE = ρ,
ε0 ik · Ê(k) = ρ(k)
Êk (k, t) = −
ik
ρ(k, t),
ε0 k2
(5.74)
d.h. zu allen Zeiten t ist das longitudinale elektrische Feld durch die Ladungsverteilung
zur selben Zeit t bestimmt und es gibt keine Retardierungseffekte. Die longitudinalen
Komponenten der Felder sind also keine wirklich unabhängigen Freiheitgrade: Im Falle
des Magnetfeldes sind sie einfach Null, und beim elektrischen Feld sind sie einfach durch
die die N Massenpunkte mit den Ladungen ei bestimmt, deren dynamische Freiheitsgrade die Orte ri und die Geschwindigkeiten ṙi sind.
Wir spalten den Feldanteil im Hamiltonian Gl. (5.69) deshalb auf;
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
d3 r ε0 E2 + B2 =
d3 r ε0 E2⊥ + B2 +
d3 rε0 E2k .
(5.75)
2
µ0
2
µ0
2
Der letzte Anteil ist jetzt gerade
Z 3
Z
Z
2
1 X
d k ik(xi −xj )
ε0
ε0
3
2
3 |ρ(k)|
ei ej
e
d rEk =
d k 2 2 =
2
2
2ε0
k2
ε0 k
i,j
1 X ei ej
=
,
8πε0
|xi − xj |
(5.76)
i,j
wie wir es aus der Elektrostatik kennen, nur dass hier die Orte xi = xi (t) der Ladungen
beliebige Funktionen der Zeit sein dürfen.
Die Coulomb-Eichung passt sehr gut zu dieser Zerlegung, denn in ihr ist das Vektorpotential transversal
divA = 0
A = A⊥ .
(5.77)
Alles, was mit den EM-Feldern zu tun hat, wird damit nur noch durch transversale
Größen beschrieben, und im Hamiltonian
H=
N
X
(pi − ei A⊥ (ri ))2
i=1
2mi
+
Z
1 X ei ej
1
1
+
d3 r ε0 E2⊥ + B2
8πε0
|xi − xj | 2
µ0
i,j
(5.78)
125
5. Licht und Materie
steht der longitudinale Anteil der elektrischen Feldenergie als Wechselwirkungsenergie
der Ladungen da, so wir wir es für die (nicht-relativistische) Quantenmechanik haben möchten: Wir können jetzt nämlich die Quantisierung für den Feldanteil genauso
durchführen, wie wir es oben bei den freien Feldern gemacht haben. Statt der klassischen
Größen haben wir dann Operatoren. Um den Spin Si und den g-Faktor der Teilchen noch
zu berücksichtigen, müssen wir noch den entsprechenden Term aus der Pauli-Gleichung
addieren, und erhalten insgesamt den Hamiltonian
H = Hmatter + Hrad + Hint
Hmatter ≡
N
X
i=1
Hint ≡ −
(5.79)
1 X ei ej
p̂2i
+
,
2mi 8πε0
|x̂i − x̂j |
N
X
i=1
i,j
Hrad ≡
N
N
i=1
i=1
1
2
Z
d3 r ε0 Ê2⊥ +
1 2
B̂
µ0
ei p̂i Â⊥ (ri ) X e2i Â2⊥ (ri ) X gi ei ~Si B̂(ri )
+
−
.
mi
2mi
2mi
Häufig wird für schwache elektromagnetische Felder der Â2 -Term im Wechselwirkungsanteil Hint vernachlässigt. Weiterhin kann man dann den Spin-Anteil in Hint gegenüber
dem ersten Term abschätzen, und zwar über das Verhältnis
ei ~|B̂|
ei |p̂i Â⊥ |
∼
~k|A|
,
p|A|
(5.80)
wobei k der Betrag eines typischen Wellenvektors des Photons ist (B = rotA im kRaum). Dieses Verhältnis ist sehr klein, wenn der Photonenimpuls gegenüber dem Impuls
der geladenen Teilchen vernachlässigt werden kann 1 .
Der Hamiltonian H, Gl. (5.79), ist zunächst noch sehr allgemein, er beschreibt N
Ladungen, die mit dem EM Feld wechselwirken. Das Zusammenfassen der einzelnen
Terme hat jetzt den Vorteil, dass z.B. Hmatter einzelne Atome, d.h. gebundene Ladungen, beschreiben kann, die dann mit dem EM Feld über Hint wechselwirken, und zwar
üblicherweise im Sinne der Störungstheorie, d.h. so, dass z.B. die Strahlung die Atome
nicht zerstört. Auf der anderen Seite kann man mit H prinzipiell auch Ladungs-PhotonWechselwirkung in Systemen ungebundener Ladungen beschreiben, solange man nichtrelativistisch bleibt. Für eine voll relativistische Behandlung ist dann wieder eher unser
Ausgangspunkt, d.h. die relativistische Lagrange-Funktion, besser geeignet.
5.3.2
Die Dipolnäherung
Einer der Ausgangspunkte der Quantenmechanik war ja die Physik der Spektrallinien
der Atome. Das Thema ‘Licht und Materie’ hat viele Anwendungen in der Atomphysik,
1
Vgl. die Diskussion im Lehrbuch ‘Atom-Photon Interactions’ von C. Cohen-Tannoudji, J. DupontRoc, und G. Grynberg
126
5. Licht und Materie
Chemie, Biologie, Quantenoptik, Halbleiteroptik, wo die Wechselwirkung von sichtbarem Licht (evtl. auch Infrarot, UV, Röntgen, Synchrotonstrahlung etc.) mit Atomen,
Molekülen oder irgendwie gebundener Materie eine grosse Rolle spielt.
Wir betrachten deshalb den Hamiltonian Hmatter für gebundene Ladungen in der
Nähe von r = 0, und zwar räumlich lokalisiert auf einem Gebiet mit einer Ausdehnung
a0 , die sehr viel kleiner als eine typische Wellenlänge ∼ 1/k des Lichtes ist, d.h. ka0 ≪ 1.
Wir vernachlässigen den Spinanteil und benutzen als Hamiltonian deshalb (CoulombEichung, divA = 0)
HpA =
N
X
(pi − ei A)2
2mi
i=1
+ VCoul + Hrad ,
A ≡ A(0).
(5.81)
wobei VCoul die elektrostatische Coulombwechselwirkung zwischen allen Ladungen ist,
vgl. Gl. (5.79). Die Wechselwirkung zwischen Licht und Materie tritt hier in der Form
pA auf.
Der Hamiltonian HpA kann unitär in einen Hamiltonian mit Dipol-Wechselwirkung,
HdE , transformiert werden (LEHRBUCH Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc, Grynberg):
Dazu definieren wir das auf den Koordinatenursprung bezogene Dipolmoment der Ladungen;
d≡
N
X
ei ri ,
Dipolmoment der Ladungen ,
(5.82)
i=1
sowie
HdE ≡ T HT † ,
i
T ≡ e− ~ dA .
(5.83)
Explizit ist der Operator für das Vektorpotential durch Gl. (5.63) gegeben, wir benötigen
also die Ausdrücke
Hrad =
X
k
~ωk
â†k âk
1
+
2
,
 =
X
k
~
2ωk ε0
1 2
uk (0)âk + u∗k (0)â†k .(5.84)
Die unitäre Transformation mit T erzeugt eine Verschiebung aller quantenmechanischen
Operatoren Ô, vgl. das Kapitel Symmetrien im SKRIPT QM 1, sowie aller Zustände |ψi
gemäß
Ô → T ÔT † ,
|ψi → T |ψi.
(5.85)
Dadurch bleiben alle Matrixelemente (und damit insbesondere die quantenmechanischen
Wahrscheinlichkeiten) invariant;
hφ|Ô|ψi = hφ|T † T ÔT † T |ψi.
(5.86)
127
5. Licht und Materie
Es gilt (AUFGABE)
T ri T † = ri ,
T âk T †
T pi T † = pi + ei A, T AT † = A
1
2
1
= âk + λk , λk ≡ i
du∗k (0).
2~ωk ε0
(5.87)
Im neuen Dipol-Hamiltonian HdE ist dadurch der pi − ei A (kinematischer Impuls) wegtransformiert zu pi , dem kanonischen Impulsoperator. Stattdessen erhält man die Kopplung aus der Transformation von
T â†k âk T † = â†k âk + λk â†k + λ∗k âk + |λk |2 ,
(5.88)
also
X |duk (0)|2
(5.89)
d uk (0)âk − u∗k (0)â†k .
(5.90)
HdE = Hmatter + Hrad + Hdipole +
1
Hdipole ≡ −i
X ~ωk 2
k
2ε0
k
2ε0
P
2
k (0))
auf 2 Weiterhin hat die DiploZusätzlich tritt hier also eine Energiekorrektur k (du2ε
0
Kopplung jetzt die schon aus der Elektrostatik bekannte −dE-Form, vgl. Gl. (5.65). Allerdings ist der Operator des Feldes nur weit ausserhalb der Ladungsverteilung wirklich
der Operator für das (transversale) elektrische Feld, da wir ja in Gl. (5.65) verschwindende Ladungen angenommen hatten. In der Tat findet man im transformierten Bild
(LEHRBUCH Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc, Grynberg)
T E⊥ (r)T
†
1
X ~ωk 2 = i
uk (r)(âk + λk ) − u∗k (r)(â†k − λ∗k )
2ε0
k
1 X
= E⊥ (r) − ℜ
uk (r)(uk (0)∗ d).
ε0
(5.91)
k
P
Der zweite Ausdruck kann wegen der Vollständigkeit der Modenfunktionen ( k uk (r)u∗k (0) ∼
δ3 (r) modulo Tensorcharakter des Produktes ) gerade mit dem transversalen Anteil der
Polarisationsdichte
P(r) = dδ(r)
(5.92)
in Verbindung gebracht werden, was auf den Zusammenhang mit dem D-Feld führt,
D ≡ ε0 E + P. Wie in der Elektrodynamik in Materie (SKRIPT ED) gibt dann das DFeld das ‘durchgehende Feld’ an, das ausserhalb der Materie mit dem E-Feld identisch
ist (bis auf den Faktor ε0 ).
2
Diese darf wie der A2 -Term in der pA-Form nicht vernachlässigt werden, wenn es um ‘starke’
Kopplung zwischen Licht und Materie geht.
128
5. Licht und Materie
5.3.3
Summenregeln
Bis hierher war alles recht allgemein, und man muss jetzt speziellere und vereinfachte
Modelle machen, um wirklich konkrete physikalische Aussagen machen zu können. Ein
paar allgemeine und wichtige Feststellungen kann man allerdings noch treffen. Die erste
betrifft die Matrixelemente der Wechselwirkung der Materie mit dem Licht.
Satz 21 (Summenregel). Sei A ein beliebiger Operator und H ein Hamiltonian mit
Eigensystem H|ni = En |ni. Dann gilt
X
2
(En − Em )hm|A|nihm|A† |ni∗ = hm|[A, [H, A]]|mi.
(5.93)
n
Der Beweis ergibt sich einfach durch Nachrechnen mit
= hm|[A, [H, A]]|mi = hm|AHA − AAH + AHA − HAA|mi
(5.94)
P
und Einschieben von 1 = n |nihn|, weiterhin hm|A† |ni∗ = hn|A|mi QED. Falls A = A†
hermitesch, ist in der Summenregel dann hm|A|nihm|A† |ni∗ = |hm|A|nihm||2 .
Ein Spezialfall hiervon ist jetzt für die Licht-Materie-Wechselwirkung relevant:
Satz 22 (Thomas-Reiche-Kuhn-Summelregel). Seien
H ≡ Hmatter ≡
A ≡ uk d,
N
X
p̂2i
+ VCoul (r1 , ..., rr )
2mi
i=1
N
X
d≡
ei ri
(5.95)
i=1
der Hamiltonian eines Systems von N Ladungen mit mit Eigensystem H|ni = En |ni
bzw. der Dipolterm mit dem Operator für das Dipolmoment d und einer Modenfunktion
uk ≡ uk (0). Dann gilt
X
n
(En −
Em )hm|uk d|nihm|u∗k d|ni∗
2
=~
N
X
e2j uk uk
j=1
2mj
.
(5.96)
Zum Beweis benutzten wir die allgemeine Summenregel und berechnen
[H, A] =
N
X
[p2j , uk d]
j=1
[A, [H, A]] = −i~
2mj
= −i~
N
X
ej pj uk
j=1
N
X
ej [uk d, pj uk ]
j=1
mj
(5.97)
mj
= ~2
N
X
e2j uk uk
j=1
mj
.
(5.98)
Häufig betrachtet man den Spezialfall gleicher Ladungen und Massen ei = e, mi = m0
sowie Modenfunktionen proportional zu einen Einheitsvektor ǫk oder iǫk . Dann gilt
129
5. Licht und Materie
N
X
X
N ~2
.
rj |ni|2 =
(En − Em )|hm|ǫk
2m0
n
(5.99)
j=1
Die Summenregel gibt also eine exakten Zusammenhang für die Dipol-Matrixelemente
hm|rj |ni des Materie-Hamiltonians. Interessant ist hierbei, dass über die Eigenzustände
|ni von Hmatter nichts weiter vorausgesetzt zu werden braucht. Das ist wichtig, wenn es
um Anwendungen der TRK-Summenregel in komplizierteren Systemen geht 3
5.4
Modell-Systeme
Häufig betrachtete Modelle für die Licht-Materie-Wechselwirkung, die auf den allgemeinen Formen Gl. (5.81) (pA-Form) oder äquivalent Gl. (5.89) (dE-Form) beruhen, lassen
sich klassifizieren. Wichtige Parameter sind:
• Anzahl N der Ladungen.
• Anzahl Na der Atome oder Moleküle, falls die Ladungen so gebunden sind.
• Anzahl Nk der Normalmoden k des EM Feldes.
Häufig wird zu den Licht-Materie-Hamiltonians
auch noch ein äusseres, fest vorgegebenes
PN
Einteilchen-Potential i=1 U (ri ) dazuaddiert. Dann beschreibt z.B. der Fall N = 1 mit
dem Coulomb-Potential U das Elektron mit Ladung −e < 0 im Wasserstoff-Atom im
EM Feld,
H=
(p + eA(r))2
+ U (r) + Hrad ,
2m
(5.100)
und die zweite Ladung, d.h. das den Kern definierende Proton, ist im Hamiltonian gar
nicht mehr enthalten.
5.4.1
Zweiniveau-Modelle
Im einfachste Fall sind überhaupt nur zwei Eigenzustände des Materie-Hamiltonian
Hmatter in die Wechselwirkung mit dem Licht involviert, d.h. man approximiert den gesamten Hilbertraum von Hmatter durch den C2 mit der Basis {|1i, |2i}, wobei die |ii hier
noch komplizierte Vielteilchenzustände mit insgesamt N Ladungen darstellen können.
Es kann sich dabei z.B. um zwei Niveaus eines komplizierten Atoms handeln. Man führt
dann eine Notation mit Pauli-Spinmatrizen ein,
Hmatter →
3
~ω0
σz ,
2
σz ≡ |2ih2| − |1ih1|,
(5.101)
Für eine neuere Anwendung der TRK-Summenregel in supraleitenden Systemen vgl. O. Viehmann,
J. von Delft, und F. Marquardt, Phys. Rev. Lett. 107, 113602 (2011); P. Nataf und C. Ciuti, Nature
Commun. 1, 72 (2010).
130
5. Licht und Materie
wobei ~ω0 = E2 − E1 die Energiedifferenz der Zustände ist und die Energie von der
Mitte zwischen beiden Niveaus gemessen wird. Die Wechselwirkung in Dipol-Näherung
ist dann durch die Matrixelemente hi|d|ji des Dipoloperators gegeben. Wir nehmen an,
dass nur die Ausserdiagonalelemente i 6= j von Null verschieden sind. Solch eine DipolAuswahlregel läßt sich für wichtige Fälle von Wellenfunktionen zu den |ii herleiten. Dann
wird die Projektion von Gl. (5.89) auf den Unterraum der zwei Niveaus zu
X
~ω0
σz +
(gk12 σ− + gk21 σ+ )âk + H.c.
2
k
X |g12 |2 + |g21 |2 X
1
†
k
k
+
(5.102)
~ωk âk âk +
+
2~ωk
2
k
k
1
~ωk 2
≡ −i
hi|duk (0)|ji, σ− ≡ |1ih2|, σ+ ≡ |2ih1|. (5.103)
2ε0
Htwo−level =
gkij
Häufig wird das noch etwas vereinfacht durch Symmetrien wie z.B. gk12 = gk21 . Dann hat
man nur eine Funktion gk , und es ist
Htwo−level
gk
X
X |gk |2 X
1
~ω0
†
∗ †
σz + σx
+
(gk âk + gk âk ) +
~ωk âk âk +
=
2
~ωk
2
k
k
k
1
~ωk 2
h1|duk (0)|2i, σx ≡ |1ih2| + |2ih1|.
≡ −i
2ε0
(5.104)
(5.105)
Im Hamiltonian Htwo−level kommen die zwei Pseudo-Spin-Operatoren σz und σx vor,
die nicht miteinander kommutieren: dadurch wird eine exakte Behandlung selbst dieses einfachen Modells unmöglich. Eine Variante von Htwo−level ist der in QM 1 und
der FESTKÖRPERTHEORIE kurz diskuierte dephasing-Hamiltonian, wo σx durch σz
ersetzt ist. In diesem Fall ist das Modell exakt lösbar (AUFGABEN).
Weitere Spezialfälle des Modelle erhält man nun für Nk =1 Feldmode, ein Fall, der
z.B. in der Kavitäts-Elektrodynamik wichtig wird. Hier modelliert man die Wechselwirkung eines Atoms mit einer (resonanten) Kavitätsmode des Lichtes. Der zugehörige
Hamiltonian ist
HRabi =
~ω0
σz + gσx (â + ↠) + ~ω↠â, (5.106)
2
wobei die Konstante im Hamiltonian oft weggelassen wird.
Selbst HRabi lässt sich nicht exakt diagonalisieren, wohl aber die Drehwellen-Variante
HJaynes−Cummings =
~ω0
σz + g(σ+ â + σ− ↠) + ~ω↠â
2
(5.107)
131
5. Licht und Materie
Entsprechend gibt es auch eine Drehwellen-Variante (Englisch ‘Rotating Wave Approximation’) des Multimoden-Modells Gl. (5.104),
HRWA =
X
X |gk |2 X
~ω0
1
†
†
∗
σz +
+
. (5.108)
(gk σ+ âk + gk σ− âk ) +
~ωk âk âk +
2
~ωk
2
k
k
k
AUFGABE 1: a) Berechne die Matrixdarstellungen von HRabi und HJaynes−Cummings in
der Basis |ii ⊗ |niph , i = 1, 2, wobei σz |1i = −|1i, σz |2i = |2i und die |niph PhotonenFockzustände sind; b) Zeige, dass sich HJaynes−Cummings diagonalisieren lässt durch ein
2 × 2 Eigenwertproblem. Berechne die zugehörigen Eigenzustände (‘Dressed states’ in
der Terminologie von Cohen-Tannoudji et al.) und Eigenwerte; c) Berechne die Grundzustandenergie von HRabi in zweiter Ordnung Störungstheorie.
AUFGABE 2: Wir definieren den Anregungszahl-Operator N̂ex und den Paritätsoperator
Π̂ als
Π̂ ≡ eiπN̂ex ,
1
1
N̂ex ≡ a† a + σz + .
2
2
(5.109)
a) Zeige, dass HJaynes−Cummings mit N̂ex und Π̂ kommutiert, HRabi aber nur mit Π̂; b)
Interpretiere das Ergebnis aus a) graphisch, z.B. mit Hilfe der Matrixdarstellung aus
Aufgabe 1 über ein Netzwerk (Gitter) von Zuständen, zwischen denen es durch die
jeweiligen Hamilton-Operatoren Übergänge gibt.
5.4.2
Spontane Emission
Spontane Emission ist der dissipative Prozess, bei dem ein angeregtes Atom unter Abstrahlung eines Photons in einen Zustand niedrigerer Energie übergeht. Modellieren
können wir diesen Prozess mit Hilfe von Htwo−level , Gl. (5.108). Zur Berechnung benutzen wir das Wechselwirkungsbild Kap. 4.2.1, HRWA ≡ H0 + V mit
X
X
~ω0
1
†
σz +
H0 ≡
, V ≡
~ωk âk âk +
(5.110)
(gk σ+ âk + gk∗ â†k ),
2
2
k
k
in dem sich der Zustand |Ψ̃(t)i gemäß der Schrödingergleichung im Wechselwirkungsbild
zeitentwickelt,
i
d
|Ψ̃(t)i = Ṽ (t)|Ψ̃(t)i,
dt
Ṽ (t) =
X
(gk σ+ âk e−i(ωk −ω0 )t + gk∗ σ− â†k ei(ωk −ω0 )t ). (5.111)
k
Wir gehen von einem Zustand aus, der zur Zeit t = 0 keine Photonen enthält und das
Zweiniveau im oberen Zustand |2i ≡ | ↑i darstellt;
|Ψ̃(0)i = | ↑i ⊗ |0i.
(5.112)
132
5. Licht und Materie
Die Zeitentwicklung mit dem Hamiltonian HRWA erzeugt Photonen, wobei | ↑i in | ↓i
übergeht, und vernichtet Photonen, wobei | ↓i in | ↑i übergeht. Der Zustand zur Zeit
t > 0 hat also die allgemeine Form (Wechselwirkungsbild) einer Überlagerung (|0i ist
das Photonen-Vakuum)
!
X
|Ψ̃(t)i = | ↑i ⊗ α(t) +
βkk′ (t)ak′ a†k + ... |0i
kk ′
+ | ↓i ⊗
X
αk (t) +
k
X
γkk′ k′′ (t)a†k′ ak′′
k ′ k ′′
!
+ ... a†k |0i.
(5.113)
Diese Wellenfunktion enthält also alle Anteile nach der Anzahl der Photonenerzeugern/Vernichtern geordnet, im Prinzip müssen alle Terme mitgenommen werden. Das ist
praktisch unmöglich. Man versucht deshalb, im Sinne der Störungstheorie für schwache
Wechselwirkung V nur die ersten Terme in den Klammern in Gl. (5.113) mitzunehmen,
d.h.
X
|Ψ̃(t)i → |ψ(t)i = α(t)| ↑i ⊗ |0i +
αk (t)| ↓i ⊗ a†k |0i, Bornsche Näherung .(5.114)
k
In der Tat sind die entsprechenden Koeffizienten βkk′ (t), γkk′ k′′ (t) von immer höherer
Ordnung in der Kopplungskonstanten gk in V (AUFGABE: Wieso?). Wieder wird diese
Approximation (meist allerdings in dem Zusammenhang mit der Mastergleichung für die
Dichtematrix) als Bornsche Näherung bezeichnet, in ihr haben wir also die Zeitentwicklung
X
d
|ψ(t)i = iα̇(t)| ↑i ⊗ |0i + i
α̇k (t)| ↓i ⊗ a†k |0i = Ṽ (t)|ψ(t)i
dt
k
"
#
X
X
† i(ωk −ω0 )t
†
−i(ωk −ω0 )t
∗
=
) α(t)| ↑i ⊗ |0i +
(gk σ+ âk e
+ gk σ− âk e
αl (t)| ↓i ⊗ al |0i
i
k
l
(5.115)
Koeffizientenvergleich liefert
iα̇(t) =
iα̇k (t) =
X
gk e−i(ωk −ω0 )t αk (t)
(5.116)
k
gk∗ ei(ωk −ω0 )t α(t).
(5.117)
Die zweite Gleichung wird mit der Anfangsbedingung αk (0) = 0 in die erste eingesetzt;
Z t
Z t
X
X
′
−i(ωk −ω0 )t
′ ∗ i(ωk −ω0 )t′
′
2
− α̇(t) =
gk e
dt gk e
α(t ) =
|gk |
dt′ e−i(ωk −ω0 )(t−t ) α(t′ )
0
k
=
Z
∞
−∞
X
k
|gk |2 δ(ωk − ω0 − ǫ)
k
Z
t
0
′
dt′ e−iǫ(t−t ) α(t′ ),
0
(5.118)
133
5. Licht und Materie
wobei wir im zweiten Schritt eine Delta-Funktion eingefügt und wieder wegintegriert
haben. Damit können wir jetzt aber eine entscheidende Näherung machen, die es uns
erlaubt, eine analytische Lösung zu finden: Wir vernachlässigen in
X
2π
|gk |2 δ(ωk − ω0 − ǫ) ≡ Γ(ω0 + ǫ)
(5.119)
k
die Abhängigkeit von der Energie ǫ, approximieren den Ausdruck also durch eine von ǫ
unabhängige Konstante Γ. 4 Mit dieser Markov-Näherung ergibt sich
Z t
Z ∞ Z t
Γ
Γ
′ −iǫ(t−t′ )
′
− α̇(t) =
(5.120)
dt′ δ(t − t′ )α(t′ ) = α(t),
dt e
α(t ) = Γ
dǫ
2π −∞
2
0
0
wobei das 1/2 durch die Auswertung der Deltafunkion an der oberen Grenze des Integrals zustande kommt. Der ‘Erinnerungseffekt’ der Funktion α(t′ ) unter dem Integral ist
also durch diese Näherung vollständig ausgelöscht worden. Physikalisch ist das eine Manifestation der Energie-Zeit-Unschärfe: eine unendliche Breite in der Energie entspricht
einer unendlichen ‘Schärfe’ in der Zeit. Mit der Anfangsbedingung α(0) = 1 ergibt sich
dann also die Lösung
X
Γ
|gk |2 δ(ωk − ω),
(5.121)
α(t) = e− 2 t , Γ = 2π
k
also ein rein exponentieller Zerfall! Weiterhin ergibt sich nun
Z t
−igk∗
′
∗
e[i(ωk −ω0 )−Γ/2]t − (5.122)
1
αk (t) = −igk
dt′ e[i(ωk −ω0 )−Γ/2]t =
i(ωk − ω0 ) − Γ/2
0
Für grosse Zeiten t ≫ 1/Γ ergibt sich daraus die Wahrscheinlichkeit für die Emission
eines Photons mit Quantenzahl k;
pk ≡ |αk (∞)|2 =
|gk |2
(ωk − ω0 )2 +
Γ2
4
.
(5.123)
Die Funktion pk ist eine um ω0 zentrierte Lorentz-Kurve mit Breite ∝ Γ. Für kleines
Γ ≪ ω0 , wie hier durch die Bornsche Näherung sowieso angenommen, rechtfertigt das
also noch einmal im Nachhinein das Setzen von ǫ = 0 in dem Ausdruck Γ(ω0 + ǫ) oben.
AUFGABE: a) Beweise unter den gleichen Voraussetzungen wie nach Gl. (5.119) die
Normierung
X
pk = 1.
(5.124)
k
b) Führe eine analoge Berechnung von α(t) und αk (t) mit dem Modell Gl. (5.104)
durch, d.h. ohne Drehwellen-Näherung. Leite dazu zunächst das Wechselwirkungsbild
für Gl. (5.104) her und schreibe die Zeitentwicklung des Zustands wieder als Linearkombination wie in Gl. (5.113).
4
Die ‘Resonanzbedingung’ ωk = ω0 (Photonenenergie = Energiedifferenz) entspricht ǫ = 0.
134
5. Licht und Materie
5.4.3
Semiklassische Modelle
Häufig wird das elektromagnetische Feld als klassisches Feld im Hamiltonian eingesetzt,
der dann zeitabhängig wird. Im einfachsten Fall wird das elektrische Feld E(r, t) von
aussen vorgegeben. In der dE-Form ist der Hamiltonian dann in Dipolnäherung
sc
(t) = Hmatter − dE(0, t),
HdE
(5.125)
wobei der Anteil Hrad jetzt nicht mehr auftritt (das Feld ist keine dynamische Variable
P
2
k (0)|
mehr), ebenso tritt der Term k |du2ε
aus Gl. (5.89) nicht mehr auf, da er bei der
0
Transformation der pA-Form aus Hrad entstanden ist.
Noch allgemeiner ist die semiklassische pA-Form Gl. (5.81) ohne Dipolnäherung,
sc
(t) =
HpA
N
X
(pi − ei A(r, t))2
2mi
i=1
+ VCoul .
(5.126)
‘Semiklassisch’ heisst hier, dass das EM Feld klassisch, die Materie aber quantenmechanisch beschrieben wird. Das Vektorpotential A(r, t) ist hier eine klassische Grösse. Für
monochromatisches Licht z.B.
E(r, t) = E cos(kr − ωt)
A(r, t) =
E
sin(kr − ωt).
ω
(5.127)
Für hinreichend kleine Feldamplitude E kann der A2 -Term vernachlässigt werden und
man erhält
sc
HpA
(t)
5.4.4
≡ Hmatter −
N
X
ei pi E
i=1
ωmi
sin(kr − ωt)
(5.128)
Getriebenes Zweiniveausystem
Hier ist der Hamiltonian
H(t) ≡
ω0
σz + gσx cos(ωt).
2
(5.129)
sc (t)
Der Parameter g ist die Kopplungsstärke aus dem Wechselwirkungsanteil von HpA
sc (t). 5 Ganz allgemein kann man Zweiniveausysteme mit zeitabhängigen Parabzw. HdE
metern in ‘NMR’-Form schreiben, d.h. als einen Spin in einem zeitabhängigen Magnetfeld;
H(t) ≡ B(t)σ ≡ Bx (t)σ̂x + By (t)σ̂y + Bz (t)σ̂z
Bz (t) Bk∗ (t)
, Bk (t) ≡ Bx (t) + iBy (t),
≡
Bk (t) −Bz (t)
(5.130)
5
Man erhält Kopplungskonstanten g, die sich gerade um einen Faktor ω0 /ω unterscheiden, wenn
man sie aus den mikroskopischen dE bzw. pA-Hamiltonians herleitet. Siehe die Diskussion hierzu in
SCULLY/LAMB.
135
5. Licht und Materie
Die Schrödingergleichung wird dann zu
i∂t |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i,
|Ψ(t)i ≡
d
ψ1 (t) = Bz (t)ψ1 (t) + Bk∗ (t)ψ2 (t)
dt
d
i ψ2 (t) = Bk (t)ψ1 (t) − Bz (t)ψ2 (t).
dt
ψ1 (t)
ψ2 (t)
i
(5.131)
Wir nehmen Bk 6= 0 an und erhalten
ψ1 =
iψ̇2 + Bz ψ2
Bk
(5.132)
iψ̈2 = Ḃk ψ1 + Bk ψ˙1 − Ḃz ψ2 − Bz ψ˙2
=
Ḃk
[iψ̇2 + Bz ψ2 ] − iBk [Bz ψ1 + Bk∗ ψ2 ] − Ḃz ψ2 − Bz ψ˙2
Bk
Ḃk
[iψ̇2 + Bz ψ2 ] − iBz [iψ̇2 + Bz ψ2 ] − iBk Bk∗ ψ2 − Ḃz ψ2 − Bz ψ˙2
Bk
#
"
Ḃk
Ḃk
(5.133)
Bz − iBz2 − i|Bk |2 − Ḃz ψ2 .
= i ψ̇2 +
Bk
Bk
=
Die zweite Gleichung ist eine DGL zweiter Ordnung mit zeitabhängigen Koeffizienten
und somit nicht allgemein lösbar.
Für konstantes B muss sie sich natürlich wieder einfach lösen lassen;
iψ̈2 = −i[Bz2 + |Bk |2 ]ψ2 = −i|B|2 ψ2
(5.134)
ψ̇2 (0)
sin |B|t
|B|
(5.136)
ψ̈2 + |B|2 ψ2 = 0
ψ2 (t) = ψ2 (0) cos |B|t +
(5.135)
Die Eigenwerte des Hamiltonians
H ≡
Bz Bk∗
Bk −Bz
sind genau (Bz − ε)(−Bz − ε) − |Bk |2 = 0 oder ε± = ±
(5.137)
q
Bz2 + |Bk |2 = ±|B|. Deshalb
beschreibt hier Eq. (5.134) quantenmechanische Oszillationen mit einer Winkelfrequenz,
die gerade der Hälfte der Niveauaufspaltung 2|B| zwischen Grund- und angeregtem
Zustand entspricht.
Der andere exakt lösbare Fall ist der eines in z-Richtung konstanten und in der
x-y-Ebene oszillierenden Feldes;
Bz (t) = B0 = const,
Bk (t) = B1 eiωt .
(5.138)
136
5. Licht und Materie
Dieser Fall entspricht einem Hamiltonian
ω0
ΩR
HRWA (t) ≡
σz +
σ+ e−iωt + σ− eiωt ,
2
2
ΩR ≡ g ≡ 2B1 , Rabi-Frequenz,
B0 ≡
ω0
2
(5.139)
(5.140)
was auch den Namen ‘Drehwellennäherung’ (rotating wave approximation, RWA) erklärt.
Die ψ2 -Gleichung wird dann zu
#
"
Ḃk
Ḃk
2
2
Bz − iBz − i|Bk | − Ḃz ψ2
iψ̈2 = i ψ̇2 +
Bk
Bk
= −ω ψ̇2 + i[ωB0 − B02 − |B1 |2 ]ψ2
ψ̈2 − iω ψ̇2 + [B02 + |B1 |2 − ωB0 ]ψ2 = 0.
(5.141)
Das kann man mit dem Exponentialansatz ψ2 (t) = ce−izt lösen, was auf eine quadratische
Gleichung für z führt,
z 2 − ωz + [ωB0 − B02 − |B1 |2 ] = 0
q
ω 1
ω 1
±
ω 2 + 4B02 − 4ωB0 + 4|B1 |2 = ± Ω
z± =
2
2
2
2
p
2
2
Ω ≡
(ω − 2B0 ) + 4|B1 | .
(5.142)
Der Term 2B0 in Ω bestimmt sich aus der Niveauaufspaltung 2B0 in Abwesenheit des
Feldes Bk (t). Die Lösung für ψ2 (t) ist also
ψ2 (t) = c1 ei( 2 + 2 )t + c2 ei( 2 − 2 )t
ω
Ω
Ω
= ei 2 t c′1 cos t + c′2 sin t .
2
2
ω
Ω
ω
Ω
Mit der Anfangsbedingung ψ2 (0) = 1 folgt dann z.B.
Ω
Ω
i ω2 t
′
cos t + c2 sin t
ψ2 (t) = e
2
2
− ω + i Ω2 c′2 + B0
iψ̇2 + Bz ψ2 = 2
0 = ψ1 (0) =
Bk
B1
(5.143)
t=0
c′2
ω − 2B0
= −i
Ω
(5.144)
Das ergibt
Ω
(ω − 2B0 )2
Ω
t+
(5.145)
sin2 t
2
2
Ω
2
Ω
(ω − 2B0 )2 4|B1 |2
+
cos2 t Rabi-Oszillationen.
=
2
2
Ω
Ω
2
Bei Resonanz ω = ω0 ≡ 2B0 hat man insbesondere dann Ω = ΩR und
ΩR
|ψ2 (t)|2 − |ψ1 (t)|2 = 2|ψ2 (t)|2 − 1 = 2 cos2
t − 1 = cos ΩR t,
(5.146)
2
also Oszillationen der Besetzungsdifferenz zwischen ±1 mit der Rabifrequenz ΩR .
|ψ2 (t)|2 = cos2
6. WECHSELWIRKENDE QUANTENSYSTEME
6.1
Heisenberg-Modell
In der Thermodynamik (SKRIPT) hatten wir ein einfaches Modell für Magnetismus
kennen gelernt: Man betrachtet N Freiheitsgrade (‘klassische Spins’) σi = ±1 auf den
Plätzen i eines d-dimensionalen Gitters, wobei die Variablen σi = ±1 den Eigenwerten
der z-Komponente der Paulimatrix σz entsprechen. Die Spins wechselwirken miteinander
über eine Austauschwechselwirkung Jij und mit einem Magnetfeld hi am Platz i.
Der Hamiltonian des klassischen Ising-Modells ist dann definiert über die als klassische,
diskrete Variablen aufgefassten Freiheitsgrade σi ;
Hcl = −
X
1
1X
Jij σi σj − gµB
hi σi ,
2
2
ij
Ising-Modell (klassisch),
(6.1)
i
wobei eine symmetrische Matrix Jij = Jji und Jii = 0 vorausgesetzt wird. Meist setzt
man das Produkt aus g (Lande-Faktor) und
µb ≡
e~
,
2m
Bohr-Magneton
(6.2)
der Einfachheit halber gleich eins. Für Elektronen ist nach der Dirac-Theorie g = 2. Die
Summe läuft über ein vorgegebenes Gitter oder Netzwerk von Punkten i, die durch die
Matrixelemente von Jij miteinander verknüpft werden. Die kanonische Zustandssumme
des Isingmodells
X
X
e−βF = Z =
...
e−βH
(6.3)
σ1 =±1
σN =±1
lässt sich bis auf wenige Ausnahmen nicht exakt berechnen, und wir haben in der
Thermodynamik Näherungsmethoden wie die Mean-Field-Methode untersucht, um das
Phänomen eines Phasenübergangs zwischen einer paramagnetischen und einer ferromagnetischen Phase zu beschreiben.
Gl. (6.1) ist in Wirklichkeit die klassische Version eines quantenmechanischen Modells, das in einfacher Form die Austauschwechselwirkung von Spins sowie deren Energie in einem
Magnetfeld B beschreibt. Mit dem Heisenberg-Hamiltonian Gl. (3.54),
P
H = − N
i,j=1 Jij Si Sj hatten wir bereits früher ein Modell für die Austauschwechselwirkung lokalisierter Spins definiert. Das Magnetfeld B gibt dann für jeden Spin einen
Zeeman-Term ∝ BSi . Damit ist man schon bei der quantenmechanischen Version
138
6. Wechselwirkende Quantensysteme
H = −2
X
ij
Jij Si Sj − gµB
X
Bi Si .
(6.4)
i
Hier sind die Variablen σi des klassischen Modells jetzt für den Fall von Spin S =
durch die Spinoperatoren
mit den Paulimatrizen
0 1
x
σi =
,
1 0 i
Siα =
~ α
σ ,
2 i
σiy
=
α = x, y, z
0 −i
i 0
,
i
σiz
~
2
(6.5)
=
1 0
0 −1
.
(6.6)
i
ersetzt. Der zugehörige Hilbertraum ist dann für insgesamt N Spins das N -fache Tensorprodukt C2 ⊗ ... ⊗ C2 . Etwas genauer sehen wir die Analogie mit dem klassischen
Ising-Modell, wenn wir
Si± ≡ Six ± iSiy
(6.7)
verwenden, mit denen man
Si Sj = Siz Sjz +
1 − +
Si Sj + Si+ Sj−
2
(6.8)
erhält. Im Heisenberg-Hamiltonian ist die Spin-Spin-Kopplung isotrop im Spinraum; wir
können ihn verallgemeinern durch
X
X
− +
+ −
z z z
⊥1
Bi Si ,
(6.9)
− gµB
Si Sj + Si Sj
H = −2
Jij Si Sj + Jij
2
i
ij
wo jetzt Jijz und Jij⊥ als unabhängige Parameter augefasst werden. Im Spin-isotropen Fall
ist also Jijz + Jij⊥ = Jij . Einen stark Spin-anisotropen Fall hat man dann z.B. für Jij⊥ = 0.
Sind dann die Magnetfelder Bi auch noch alle in dieselbe z-Richtung, hat man in H nur
noch z-Komponenten der Spins. Für Spin S = ~2 entspricht das dann dem klassischen
Ising-Modell.
Im Modell Gl. (6.9) beschreiben die Operatoren Siα , α = z, ± an den Gitterplätzen
i lokalisierte Spins mit Betrag S. Es gelten die Vertauschungsrelationen
[Si+ , Si− ] = 2Siz ,
[Siz , Si± ] = ±Si± .
(6.10)
für Spins am selben Gitterplatz. Spinoperatoren an verschiedenen Gitterplätzen kommutieren;
[Siα , Siβ ] = 0,
i 6= j.
(6.11)
139
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.1.1
Grundzustand (Ferromagnetismus)
Der Heisenberg-Hamiltonian Gl. (6.4) ist i.A. nicht exakt lösbar.
Für den ferromagnetischen Fall, d.h. für Jij > 0 und ein homogenes Magnetfeld B
z.B. in z-Richtung ist der Grundzustand von H der Zustand
|Ψ0 i = |Si1 ⊗ ... ⊗ |SiN .
(6.12)
(Wir nehmen hier allerdings zunächst den spinisotropen Fall an, J z = J ⊥ , vgl. Kap. 6.3).
Es gilt ja mit den Auf-und Absteigeoperatoren, die wir vom Drehimpuls, vgl. Gl. (2.32),
kennen
p
(6.13)
Si± |mii = (S ∓ m)(S ± m + 1)|m ± 1ii ,
wobei |mii ≡ |Smii der Eigenzustand von Siz mit Eigenwert m ist. Speziell für Spin
S = 21 gilt z.B.
S + | ↑i = 0,
S − | ↑i = | ↓i.
(6.14)
Dann gilt
Si Sj |Ψ0 i = Siz Sjz |Ψ0 i + 0 = S 2 |Ψ0 i,
(6.15)
also insgesamt
H|Ψ0 i = E0 |Ψ0 i,
E0 ≡ −2S 2
X
ij
Jij − gµB |B|N S.
(6.16)
Für eine grosse Zahl N der Spins müssen Jij und B skaliert werden, um ein endliches
E0 zu erhalten. Die Quantisierungsrichtung der Zustände ist hier die z-Richtung, d.h.
|mii ≡ |m, ez ii ,
(6.17)
was für S = 12 unserer üblichen Notation | 21 i = | ↑, ez i = | ↑i, | − 12 i = | ↓, ez i = | ↓i
entspricht.
Ein Grenzfall ist g → ∞ bzw. sehr grosse Magnetfelder Bi , wo die Austauschwechselwirkung im Rahmen der Störungstheorie behandelt werden kann. Wenn man dann
den Austausch-Anteil im Hamiltonian ganz weglässt, hat man einfach einen ZeemanHamiltonian, der Paramagnetismus beschreibt,
X
Bi Si .
(6.18)
HZeeman = −gµB
i
Hier koppeln die Spins überhaupt nicht, und der Grundzustand ist wieder ein Produkt
| − S, e1 i1 ⊗ ... ⊗ | − S, eN iN ,
(6.19)
wobei hier die Spins bei verschiedenen Richtungen von Bi entsprechend verschiedene
Quantisierungsrichtungen haben.
140
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.1.2
Angeregte Zustände im ferromagnetischen Fall
Wir gehen für den ferromagnetischen Fall noch vom Grundzustand |Ψ0 i aus. Können wir
auch angeregte Zustände, d.h. Eigenzustände von H mit höheren Energien, beschreiben?
Wir betrachten den Fall S = 21 und Magnetfelder Bi = Bi ez in z-Richtung. Dann
entsteht eine einfache Anregung durch Umklappen eines Spins an der Stelle l,
|Ψ0 i = | ↑1 ... ↑N i → |li ≡ | ↑1 ... ↓l ... ↑N i.
(6.20)
Wir berechnen die Matrixelemente des Heisenberg-Hamiltonians mit diesen Zuständen.
Es gilt zunächst
1
1
hl|Siz Sjz |l′ i = hl|l′ i (1 − 2δjl′ )(1 − 2δil ) = δll′ (1 − 2δjl′ )(1 − 2δil )
4
4
− + ′
hl|Si Sj |l i = hΨ0 |Ψ0 iδjl′ δil = δjl′ δil
hl|Si+ Sj− |l′ i = hl|Sj− Si+ + [Si+ , Sj− ]|l′ i = δil′ δjl + δij hl|2Siz |l′ i
1
hl|Siz |l′ i = δll′ (1 − 2δil )
2
(6.21)
denn die Siz geben nur jeweils ± 12 . Summation über i und j liefert wegen Jij = Jji und
Jii = 0
X1
X
Jij⊥ δjl′ δil + δil′ δjl
hl|H|l′ i = −2δll′
Jijz (1 − 2δjl′ − 2δil ) −
4
ij
ij
X
1
Bi δll′ (1 − 2δil )
− gµB
2
i


X
X
X 1
1
Jijz −
Jilz  − 2Jll⊥′ − gµB δll′
Bi (1 − 2δil ). (6.22)
= −2δll′ 
4
2
ij
i
i
1
In der Basis der |li haben wir also einen Hamiltonian, der eine N × N -Matrix ist mit
Matrixelementen hl|H|l′ i. Er hat die Form eines Einteilchen-Hamiltonians, nämlich eines
tight-binding-Hamiltonians
X
X
HTB =
εl |lihl| − 2
(6.23)
Jll⊥′ |lihl′ |.
l
ll′
Die Zustände |li beschreiben hier ein abstraktes ‘Teilchen’ am Gitterplatz l. Durch Diagonalisierung von HTB erhält man Eigenzustände |αi, die Überlagerungen der |li sind
und die Eigenenergien εα haben;
HTB |αi = εα |αi.
(6.24)
1
Häufig betrachtet
und schreibt dann
P man den Spezialfall von Nächster-Nachbar-Wechselwirkung
P
statt der Summen ij Jij ... im Hamiltonian die Summen J <ij> ... über Paare benachbarter Spins,
P
P
mit konstantem J. Dann gilt z.B. ij Jij = J <ij> = J N2 z, wobei z die Anzahl der nächsten Nachbarn
eines Punktes im Gitter bezeichnet.
141
6. Wechselwirkende Quantensysteme
In einfachen Fällen können die |αi explizit berechnet werden, z.B. für homogene Bi = B
und Kopplungskonstanten Jij , die eine nächste-Nachbar-Wechselwirkung beschreiben.
In einem eindimensionalen Gitter mit Gitterkonstante a und N Gitterplätzen wird
z.B. der tight-binding-Hamiltonian
HTB = ε
X
l
N
X
(|lihl + 1| + |l + 1ihl|),
|lihl| − J
l=1
|N + 1i = |1i
(6.25)
durch die N Blochwellen-Zustände
N
1 X ikla
|ki = √
e |li,
N l=1
k=
2π
n,
Na
n = 0, 1, 2, ..., N − 1
(6.26)
gelöst, die der Dispersionsrelation
ε(k) = ε − 2J cos(ka)
(6.27)
entsprechen. Da wir Spins auf einem Gitter beschreiben, werden die Zustände |ki als
Spinwellen bezeichnet. Wie Phononen kollektive Auslenkungen bei Gitterschwingungen
sind Spinwellen kollektive Anregungen wechselwirkender Spins.
AUFGABE: Betrachte den isotropen Heisenberg-Hamiltonian auf einem d-dimensionalen
Gitter mit nächster-Nachbar-Wechselwirkung. a) Berechne hierfür die Dispersionsrelation ε(k) der Spinwellen. b) Zeige für d = 3 Dimensionen, dass sich für tiefe Temperaturen T die mittlere Zahl hni der gegenüber dem Grundzustand geflippten Spins wie folgt
verhält,
hni ∝ T 3/2 .
(6.28)
Berechne den Vorfaktor dieser Proportionalität.
6.1.3
Holstein-Primakoff-Transformation
Hier diskutieren wir einen Zusammenhang zwischen Spins und ‘Phononen’ 2 über eine
Darstellung der Drehimpulsoperatoren durch die Erzeuger/Vernichter eines harmonischen Oszillators:
Satz 23 (Holstein-Primakoff-Transformation). Sei a† (a) ein bosonischer Erzeuger (Vernichter) mit kanonischen Vertauschungsrelationen [a, a† ] = 1. Dann erfüllen die Operatoren
1/2
1/2
p
p
a† a
a† a
†
J+ ≡ 2j 1 −
a, J− ≡ a 2j 1 −
, Jz = j − a† a
(6.29)
2j
2j
die Drehimpuls-Vertauschungsrelationen, d.h.
[J+ , J− ] = 2Jz ,
2
[Jz , J+ ] = J+ ,
[Jz , J− ] = −J− .
(6.30)
Die HP-Phononen haben aber hier nichts mit den oben diskutierten kollektiven Anregungen (Spinwellen) zu tun.
142
6. Wechselwirkende Quantensysteme
3
Der Beweis erfolgt direkt durch Nachrechnen (AUFGABE)
p . Wir erkennen den Zu−
sammenhang auch z.B. bereits aus der Eigenschaft J |mi = (j + m)(j − m + 1)|m −
1i, wenn wir dort n = j − m einsetzen;
p
p r
n
−
J |j − ni =
(2j − n)(n + 1)|j − n − 1i = 2j (n + 1)(1 − )|j − n − 1i
2j
r
p
√
n
˜ =
˜ 1i.
n + 1 2j 1 − |n +
J − |ni
(6.31)
2j
p
˜ = √n + 1|n +
˜ 1i bei Fock-Zuständen des
Die (n + 1) ist genau der Vorfaktor in a† |ni
†
harmonischen Oszillators.
Anschaulich gibt das erste a in der Definition von J− also
√
den richtigen Faktor n + 1, während der Wurzelfaktor für die richtigen Vertauschungsrelationen der Drehimpulse sorgt. Weil wir hier Jz = j − a† a definiert haben, entspricht
eine aufsteigende Phononenzahl n einer absteigenden Drehimpuls-Quantenzahl m.
Allerdings gibt es ein Problem: beim Drehimpuls gibt es 2j + 1 Zustände |mi, d.h.
n = j − m läuft von n = 0 (entspricht m = j) bis n = 2j (entspricht m = −j), während
beim harmonischen Oszillator n von 0, 1, ... bis Unendlich läuft. Der Hilberträume Hosc
des Oszillators ist also nicht identisch mit dem des Drehimpulses, sondern man hat
2j
M
span(|ni) +
n=0
∞
M
n=2j+1
span(|ni) = Hosc .
(6.32)
Im Folgenden drücken wir den Heisenberg-Hamiltonian Gl. (6.9) mittels der HolsteinPrimakoff-Transformation aus; dort gibt es keine Übergänge zwischen den zwei Anteilen
von Hosc . Wir verwenden die HP-Trafo für jeden Gitterplatz und nehmen die Magnetfelder in z-Richtung. Wir haben also (schreibe wieder S statt j)
X
X
1 − +
Bi Si
− gµB
Si Sj + Si+ Sj−
H = −2
Jijz Siz Sjz + Jij⊥
2
i
ij
X
X
†
†
†
z
Bi (S − ai ai )
= −2
Jij (S − ai ai )(S − aj aj ) − gµB
i
ij
− 2
X
− 2
X
ij
ij

SJij⊥ a†i 1 −

SJij⊥  1 −
a†i ai
2S
a†i ai
2S
!1/2
!1/2
ai a†j
1−
a†j aj
2S
1−
!1/2
a†j aj
2S

aj 
!1/2 
.
(6.33)
Bis hierhin ist zunächst noch alles exakt. Als nächstes entwickeln wir den Hamiltonian
jetzt in eine Reihe in 1/S, d.h. in Potenzen S 2 , S, 1, 1/S, 1/S 2 ,... Die ersten Terme sind
3
Häufig erfolgt die Definition auch mit J± vertauscht und negativem Jz .
143
6. Wechselwirkende Quantensysteme
(der Übersicht halber setzen wir Bi = 0)
X
X
X
Jijz + 2S
Jijz (a†i ai + a†j aj ) − 2S
Jij⊥ a†i aj + ai a†j
H = −2S 2
ij
ij
ij
+ O(1) + O(1/S).
(6.34)
Das läßt sich noch etwas vereinfachen mit der Symmetrie der Jij und Jii = 0; wir
vergleichen es gleich mit dem tight-binding Hamiltonian für die Spinwellen im ferromagnetischen Fall;
X
X
X
Jijz + 4S
Jijz a†i ai − 4S
Jij⊥ a†i aj + O(1) + O(1/S)
H = −2S 2
ij
HTB = −
1X
2
ij
Jijz
ij
X
l
|lihl| + 2
ij
X
il
Jilz |lihl| − 2
X
ll′
Jll⊥′ |lihl′ |.
(6.35)
Unserer Entwicklung in 1/S ist zunächst sinnvoll für grosse S. Trotzdem finden wir hier
ein interessantes Ergebnis: Für S = 12 ist H in den führenden Termen ∝ S 2 , ∝ S als
Einteilchen-Hamiltonian identisch mit dem tight-binding Hamiltonian HTB ! Denn wir
wissen ja, dass in den Vernichtern/Erzeugern quadratische Hamiltonians in der Standardform (‘normalgeordnet’, a† a) Einteilchen-Probleme beschreiben. Formal sieht man
das durch die Zuordnung
a†i aj ↔ |iihj|.
(6.36)
P
und die Auflösung der Eins,
l |lihl| = 1. Das Anregungsspektrum des HeisenbergHamiltonians wird also im ferromagnetischen Fall durch die HP-Transformation zuverlässig beschrieben.
AUFGABE: 1. Beweise die Vertauschungsrelation der Drehimpulsoperatoren in der
HP-Transformation.
2. Wir betrachten den Spinwellen-Hamiltonian (führende Terme ∝ S 2 , ∝ S in Gl. (6.35))
zu konstantem J z , J ⊥ mit nächster-Nachbar-Wechselwirkung. Diagonalisiere den SpinwellenHamiltonian
X †
X †
ai aj + ai a†j (6.37)
(ai ai + a†j aj ) − 2SJ ⊥
HSW = −N zJ z S 2 + 2SJ z
<ij>
<ij>
für ein periodisches Gitter mit N Gitterpunkten und z nächsten Nachbarn und bestimme
die Dispersionsrelation ω(k) der so entkoppelten Spinwellen-Moden. Wie verhält sich
ω(k) für k → 0 im Vergleich zu akustischen Phononen?
6.2
Jordan-Wigner-Transformation
Mit der Holstein-Primakoff-Transformation haben wir eine Methode, die für grosse Spins
S gut zu funktionieren scheint und auf einer Darstellung mittels Bosonen beruhte. Grosse
Spins S entsprechen einem klassischen Grenzfall. Was ist für kleine Spins S, z.B. für den
144
6. Wechselwirkende Quantensysteme
kleinstmöglichen, ‘extrem quantenmechanischen’ S = 21 ? Für einen einzelnen Spin ist
der Hilbertraum C2 hier zweidimensional. Formal kann man die zwei Spin-Basisvektoren
dann auffassen als die zwei Zustände
| ↑i ≡ |1i ≡ c† |vaci,
| ↓i ≡ |0i ≡ |vaci
(6.38)
in Besetzungszahldarstellung für Fermionen für einen Einteilchenzustand (den man mit
i bezeichnen kann, wenn der Spin zum Gitterplatz i gehört): den Leerzustand und den
besetzten Zustand. Explizit kann man folgende Identifikation von Operatoren machen
(SKRIPT P. COLEMAN):
1 1 0
1
0 0
0 1
†
†
−
+
z
(6.39)
.
, ci ci − = Si =
, ci = Si =
ci = Si =
1 0 i
0 0 i
2
2 0 −1 i
Damit gilt
{ci , c†i } = 1,
(6.40)
die fermionischen Antikommutatorrelationen sind also erfüllt. Zunächst ist das hier ein
mathematischer Trick mit Operatoren – physikalisch sind Zustände wie z.B. | ↑ii + | ↓ii
erstmal nur im Spinbild sinnvoll.
Was ist, wenn man jetzt N Gitterplätze mit Spin– 12 –Operatoren vorliegen hat? Die
Dimension des entsprechenden Hilbertraums ist 2N (SKRIPT EISERT): das entspricht
der Dimension des durch die fermionischen Besetzungszahlzustände
|n1 n2 ...nN i−
(6.41)
aufgespannten Fockraums für d = N Einteilchenzustände 4 , denn man hat ja 2N Möglichkeiten
(besetzt oder unbesetzt). Von der Dimension her ‘stimmt’ es also. Allerdings muss
Gl. (6.39), die ja nur für einen Gitterplatz N = 1 galt, modifiziert werden: Spins verschiedener Gitterplätze kommutieren ja, vgl. Gl. (6.11), während Fermionen antikommutieren,
{ci , c†j } = δij .
(6.42)
Jordan und Wigner haben dieses Problem durch die Einführung eines ‘Phasenoperators’
gelöst. Zunächst wird eine feste Reihenfolge i = 1, 2, ..., N der Gitterplätze festgelegt.
Die Indizes i werden im Fermionenbild den Einteilchenzuständen (manchmal ‘Moden’
genannt) entsprechen. Dann definieren wir (FRADKIN, ‘Field Theory of Condensed
Matter Systems’)
cn ≡ eiΦn Sn− ,
Φn ≡ π
4
n−1
X
j=1
c†n ≡ Sn+ e−iΦn ,
Sj+ Sj− = π
n−1
X
c†n cn = Snz +
1
2
c†j cj ,
j=1
Mit d hatten wir die Dimension des Einteilchen-Hilbertraums bezeichnet.
(6.43)
145
6. Wechselwirkende Quantensysteme
wobei wir bereits Sjz + 12 = Sj+ Sj− = c†j cj benutzt haben. Wir gehen also von den Eigenschaften der Spinoperatoren aus und beweisen im Folgenden die Antikommutatorrelationen für die Fermionen (man kann es auch umgekehrt machen): Zunächst kommutieren
die Phasenoperatoren e±iΦn mit den Sn± , und man hat am selben Gitterplatz n
0 0
1 0
=1
+
c†n cn + cn c† = Sn+ Sn− + Sn− Sn+ =
0 1 n
0 0 n
c2n = e2iΦn (Sn− )2 = 0,
(6.44)
also fermionischen AVR. Für n 6= m betrachten wir den Fall m > n. Dann ist zunächst
−
− ±iΦn
,
= Sm
e
e±iΦn Sm
(6.45)
− . Für die Kombination
denn die Operatoren in Φn vertauschen wegen n < m alle mit Sm
e±iΦm Sn− ist das anders:
Sn− e±iΦm
+
Sn− e±iΦm
Sj−
+
+
−
−
+
−
±iπSj Sj ±iπSn Sn −
e
Sn
e±iΦm Sn− = Πm−1
j6=n e
o
n
+ −
±iπSj+ Sj−
(6.46)
Sn− , e±iπSn Sn
+ e±iΦm Sn− = Πm−1
j6=n e
±iπSj
= Πm−1
j6=n e
Sn− e±iπSn Sn ,
Der letzte Antikommutator ist aber Null, denn wegen eiασz = cos α + i sin ασz ist
+
−
1
z
π
z
e±iπSn Sn = e±iπ( 2 +Sn ) = e±i 2 σn = −2Snz
(6.47)
± z
Sn , Sn = 0.
(6.48)
− ±iΦm = 0.
Sn , e
(6.49)
und
Hier kommt also die Spin– 12 -Algebra zum Tragen. Also gilt der Antikommutator
Für die Fermionen-Vernichter können wir dann aber schreiben
−
− iΦn
− iΦn −
cn cm = eiΦn Sn− eiΦm Sm
= Sn− eiΦm Sm
e
= −eiΦm Sm
e Sn = −cm cn , (6.50)
und natürlich damit c†n c†m = −c†m c†n . Die Wahl n < m war willkürlich, also gilt das auch
für m < n. Schliesslich kann eine analoge Rechung (AUFGABE) auch für
c†n cm = −cm c†n
gemacht werden, womit die Antikommutatorrelationen bewiesen sind. QED.
(6.51)
146
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.2.1
Fermionisierung von Spins
Umgekehrt können wir also Spin– 21 –Operatoren an Gitterplätzen n nun durch fermionische Operatoren ausdrücken;
Sn− ≡ e−iΦn cn ,
Sn+ ≡ eiΦn c†n ,
1
Snz = c†n cn − ,
2
Φn ≡ π
n−1
X
c†j cj . (6.52)
j=1
Wir können das explizit auch mit Pauli-Matrizen schreiben. Wir haben
1 z
σ
2
0 1
+
= σ =
=
0 0
0 0
= σ− =
=
1 0
Sz =
S+
S−
σx = σ+ + σ− ,
1 x
(σ + iσ y ) = S x + iS y
2
1 x
(σ − iσ y ) = S x − iS y
2
σ y = −i(σ + − σ − ).
(6.53)
und damit also
σn−
−iΦn
≡ e
cn ,
σn+
≡
eiΦn c†n ,
σnz
=
2c†n cn
− 1,
Φn ≡ π
n−1
X
c†j cj .
(6.54)
j=1
Die Phasenoperatoren können in der Tat mit beliebigen Vorzeichen im Exponenten geschrieben werden,
+
e±iSj
Sj−
= −2Sjz = 1 − 2c†j cj
e±iΦn =
n−1
Y
j=1
(1 − 2c†j cj ),
(6.55)
die Anwendung auf Besetzungszahlzustände gibt ja jeweils nur plus oder minus eins,
je nachdem ob der Zustand besetzt oder unbesetzt ist. Das ist sehr praktisch bei der
Berechnung von Wechselwirkungstermen in Spin-Hamiltonians, z.B. in einer Spinkette
x
+
−
σnx σn+1
= (σn+ + σn− )(σn+1
+ σn+1
) = (c†n + cn )eiΦn e−iΦn+1 (c†n+1 + cn+1 )
= (c†n + cn )(1 − 2c†n cn )(c†n+1 + cn+1 )
y
+
−
σny σn+1
= −(σn+ − σn− )(σn+1
− σn+1
) = −(c†n − cn )eiΦn e−iΦn+1 (c†n+1 − cn+1 )
= −(c†n − cn )(1 − 2c†n cn )(c†n+1 − cn+1 ).
(6.56)
Wegen
c†n c†n = 0,
cn c†n cn = cn − c2n = cn
(6.57)
folgt dann also
x
σnx σn+1
= (c†n − cn )(c†n+1 + cn+1 )
y
σny σn+1
= −(c†n + cn )(c†n+1 − cn+1 ).
(6.58)
147
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.2.2
Randbedingungen
Bisher haben wir uns um die Randbedingungen nicht gekümmert, was wir jetzt nachholen
(FRADKIN). Wir nehmen für das ursprüngliche Spinproblem periodische Randbedingungen auf der eindimensionalen Kette mit N Plätzen;
α
S1α = SN
+1 ,
α = x, y, z.
(6.59)
Durch Fermionen ausgedrückt heißt das z.B. für den Vernichter
cN +1 = eiΦN+1 S1− = eiΦN+1 c1
ΦN +1 = π
N
X
c†j cj = πNF = π
N X
j=1
j=1
Sjz +
1
2
N
= π Sz +
,
2
(6.60)
wobei S z die z–Komponente des Gesamtspins und im Fermion-Bild NF die Gesamtzahl
der Fermionen ist. Es gilt also
S z = NF −
N
.
2
(6.61)
Die Randbedingung für die Fermionen lautet also
cN +1 = eiπ(S
z+ N
2
) c = eiπNF c ,
1
1
(6.62)
sie hängt also von der Parität der Fermionen ab: für gerade NF hat man periodische, für
ungerade NF antiperiodischen Randbedingungen. S z ist z.B. eine Erhaltungsgröße des
Hamiltonians für das isotrope Heisenbergmodell (AUFGABE), der also blockdiagonal in
Sektoren mit unterschiedlichem S z ist. Zum Beispiel wird für S z = 0 die Fermionenzahl
NF = N/2, was aber nur Sinn macht, wenn N gerade ist.
6.3
Spinketten
Die wirkliche Stärke der JW-Transformation kommt bei eindimensionalen Spin– 12 ketten
zum Vorschein. Als erstes betrachten wir das Heisenberg-Modell auf einem eindimensionalen Gitter
X
X
y
x
z
(Snx Sn+1
+ Sny Sn+1
)
(6.63)
Snz Sn+1
− J⊥
HHeis = −J z
n
n
Wir können das sofort in fermionischer Form schreiben (SKRIPT P. COLEMAN 04,
chapter 6);
X
1
1
†
†
z
cn cn −
HHeis = −J
cn+1 cn+1 −
2
2
n
h
i
X
1
− J⊥
(c†n − cn )(c†n+1 + cn+1 ) − (c†n + cn )(c†n+1 − cn+1 ) , (6.64)
4 n
148
6. Wechselwirkende Quantensysteme
wobei wir uns hier allerdings erstmal nicht um Randterme im Fall einer endlichen Kette
gekümmert haben! Für die unendliche Kette kann man dann schreiben
X
X
1
J⊥ X †
z
z
n̂n −
n̂n n̂n+1 + J
HHeis = −J
cn cn+1 + c†n+1 cn (6.65)
−
4
2 n
n
n
mit dem Besetzungszahloperator n̂n ≡ c†n cn . Hier erkennt man, dass der erste Term
∝ J z eine Wechselwirkung zwischen Fermionen beschreibt. Falls man ihn vernachlässigt,
erhalten wir wieder unser Heisenberg-Modell in Spinwellennäherung;
SW
HHeis
= J
z
X
n
=
X
k
1
n̂n −
4
ωk c†k ck
Jz
−
4
−
J⊥ X †
cn cn+1 + c†n+1 cn
2 n
(6.66)
ωk = J z − J ⊥ cos ka,
(6.67)
,
wobei wir im zweiten Schritt gleich die Fourierdarstellung mit Blochzuständen auf einem Gitter mit Gitterkonstante a gemacht haben: In der fermionischen Version kann
das Modell ja sofort diagonalisiert werden, denn es ist natürlich nichts anderes als unser alter Bekannter, das tight-binding-Modell, aufgeschrieben als Einteilchen–Modell im
Formalismus der zweiten Quantisierung. Die diagonalisierte Form ist dann wieder durch
die Basistransformation cn → ck gegeben.
6.3.1
Heisenberg-Ferromagnet
Wir können an Gl. (6.66) die Abhängigkeit des Grundzustands von der Anisotropie des
Modells im Spinraum diskutieren: Für J z = J ⊥ = J > 0 haben wir den (isotropen)
Heisenberg-Ferromagneten. Es ist ωk = 2J sin2 ka/2 positiv, der Grundzustand ist also
der Zustand, in dem hc†k ck i = 0 gilt, in dem also keine JW-Fermionen vorhanden sind.
Dieser Zustand entspricht dem bereits oben diskutierten
|Ψ0 i = |Si1 ⊗ ... ⊗ |SiN ,
(6.68)
hier also mit S = 21 . Wegen der Isotropie im Spinraum kann die Spinrichtung hier
(es gibt ja kein Magnetfeld) in jede beliebige Richtung sein, z.B. in ez –Richtung. Der
tatsächlich angenommene Grundzustand hat eine feste Richtung im Spinraum und bricht
damit die Spinisotropie des zugrundeliegende Hamiltonians. Dieses Phänomen bezeichnet
man als spontane Symmetriebrechung. Die Magnetisierung in z–Richtung ist maximal,
|hΨ0 |S z |Ψ0 i| = N/2, und die Grundzustandsenergie ist
E0 = −
was Gl. (6.16) mit S = 12 , B = 0 und 2
P
Jz
N,
4
ij
Jij ... =
(6.69)
P
ij
Jδj,i+1 ... entspricht.
149
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.3.2
xy–Modell
Für J z = 0 wird der Hamiltonian häufig auch als xy–Modell bezeichnet;
X
X
y
x
(Snx Sn+1
+ Sny Sn+1
)=
Hxy = −J ⊥
ωk c†k ck , ωk = −J ⊥ cos ka,
n
(6.70)
k
wobei a die Gitterkonstante ist. Im Vergleich zum (spin–isotropen) Heisenbergmodell
ist die Situation jetzt anders: es gibt Teile des Spektrums mit ωk < 0, also negativen
Energien. Den Grundzustand des Hamiltonians erhalten wir, indem wir diese Fermionischen Einteilchenzustände ‘auffüllen’. Für N → ∞ läuft k über die erste Brillouin-Zone,
−π/a ≤ k ≤ π/a. Die negativen Energien sitzen bei −π/2a ≤ k ≤ π/2a (SKIZZE) und
entsprechen gerade der Hälfte der Zustände, NF = N/2, woraus für den Gesamtspin
S z = NF − N2 = 0 folgt, vgl. Gl. (6.61). Der Grundzustand
|Ψ0 i =
Y
|k|<π/2a
c†k |0i
(6.71)
hat hier also im Gegensatz zum spin–isotropen Heisenbergmodell keine Magnetisierung.
Interpretieren kann man das als ein Anwachsen der quantenmechanischen Fluktuationen
der wechselwirkenden Spins beim Übergang vom ‘xyz’ (Heisenberg) zum xy–Fall. Da die
Fermionen c†k |0i kollektiven Anregungen im Spinraum entsprechen, spricht man von im
Grundzustand enthaltenen Magnonen.
6.4
Das Quanten-Ising-Modell (d = 1)
Das Quanten-Ising-Modell ist ein Spezialfall des anisotropen Heisenberg-Hamiltonians
für S = 12 mit Spin-Spin-Kopplung nur zwischen den z-Komponenten;
H = −2
X
ij
Jijz Siz Sjz − gµB
X
Bi Si .
(6.72)
i
Eine interessante Situation entsteht, wenn die Magnetfelder Bi in x-Richtung zeigen:
dann hat man wegen [Siz , Si± ] = ±Si± am selben Gitterplatz nicht-kommutierende Operatoren und kann interessante quantenmechanische Effekte erwarten.
Wir betrachten das Modell in einer Dimension auf einem ‘Ring’ mit N Gitterplätzen
und schreiben alles gleich mit Pauli-Matrizen,
H=−
N
X
i=1
gi σix −
N
X
z
,
Ji σiz σi+1
z
z
σN
+1 = σ1 .
(6.73)
i=1
In der Standard-Version 5 werden die Kopplungsparameter als i-unabhängig angenommen, man hat also Translationsinvarianz entlang des Rings;
5
vgl. G. Schaller, R. Schützhold, Quantum Information and Computation 10, 0109 (2010). Im Lehrbuch von S. SACHDEV wird statt g der Parameter gJ benutzt, so dass g dimensionslos bleibt.
150
6. Wechselwirkende Quantensysteme
H = −g
N
X
i=1
σix
−J
N
X
z
σiz σi+1
,
z
z
σN
+1 = σ1 ,
J > 0.
(6.74)
i=1
Es wird wieder die ferromagnetische Version J > 0 betrachtet.
6.4.1
Extreme Grenzfälle
P
Für J = 0 spielt nur noch der erste Term −g N
σ x im Hamiltonian eine Rolle, d.h.
PN x i=1 i x
wir approximieren H durch HJ=0 ≡ −g i=1 σi . Die σi haben jeweils Eigenzustände
| →ii ≡
| ↑ii + | ↓ii
√
,
2
| ←ii ≡
| ↑ii − | ↓ii
√
,
2
(6.75)
zu den Eigenwerte +1 bzw. −1 in der σiz –Basis. Der eindeutige Grundzustand von HJ=0
ist also
|GZiJ=0 =
N
Y
i=1
| →ii ,
EJ=0 = −N g
(6.76)
d.h. alle Spins zeigen in Richtung des magnetischen Feldes, die Grundzustandenergie ist
EJ=0 = −N g, und es gilt
hGZ|σiz |GZiJ=0 = 0,
hGZ|σiz σjz |GZiJ=0 = 0,
i 6= j
(6.77)
d.h. es gibt keine Magnetisierung und keine Korrelationen der Magnetisierung im Grundzustand.
P
z z
Umgekehrt ist für g = 0 der Hamiltonian Hg=0 ≡ −J N
i=1 σi σi+1 relevant. Hier gibt
es jetzt eine zweifache Entartung der Grundzustandsenergie: die beiden Zustände
| ↑i ≡
N
Y
i=1
| ↑ii ,
| ↓i ≡
N
Y
i=1
| ↓ii
(6.78)
sind jeweils Grundzustände des Hamiltonians Hg=0 mit der Energie Eg=0 = −N J. Es
gilt
hGZ|σiz |GZig=0 = ±1,
hGZ|σiz σjz |GZig=0 = 1,
i 6= j,
(6.79)
es gibt also eine endliche Magnetisierung und eine endliche Korrelation der Magnetisierung auch weit voneinander entfernter Gitterplätze i, j.
Die Entartung der Grundzustände ist zweifach, weil beide Spineinstellungen den
gleichen Wert für die Energie liefern. In Wirklichkeit wird bei einer minimalen Störung
durch ein Magnetfeld einer der beiden Grundzustände vom System bevorzugt werden,
und diese Entartungssymmetrie wird gebrochen.
Interessant wird diese Brechung der Z2 –Symmetrie im thermodynamischen Limes,
d.h. beim Grenzübergang N → ∞, und bei endlichem g und J: dann tritt die Brechung
151
6. Wechselwirkende Quantensysteme
der Z2 –Symmetrie nämlich sogar bei kleinem, aber endlichen g ≪ J auf. Zunächst gibt
es für endliches N dann keine Entartung, sondern als Grundzustand
Wesentlichen
im P
n
x
eine Überlagerung von | ↑i und | ↓i, die durch Matrixelemente h↑ | −g N
σ
|↓
i=1 i
i bestimmt wird, wobei n von der Ordnung der Störungstheorie bestimmt wird. Für
N → ∞ verschwinden solche Matrixelemente aber immer, denn es gibt immer noch zu
viele Spins, die von der Störung nicht geflippt worden sind. Das System sucht sich dann
einen der Grundzustände aus, der dann eine geringere Symmetrie als der ursprüngliche
Hamiltonian hat (was für endliches N nicht sein kann). Man spricht dann von spontaner
Symmetriebrechung.
6.4.2
Störungstheorie um J = 0
Q
Hier ist also der Grundzustand, von dem wir ausgehen, |GZiJ=0 = N
i=1 | →ii . Angeregte
Eigenzustände von HJ=0 sind Zustände mit ein oder mehr Spinflips;
|li ≡ | ←il
N
Y
i6=l
|ll′ i ≡ | ←il | ←il′
| →ii ,
N
Y
i6=l,l′
| →ii , ...
(6.80)
Die ‘Einteilchen-Zustände’ |li sind alle degeneriert und haben die Energie −N g +2g, also
die Anregungsenergie 2g. Entsprechend sind auch die ‘Zweiteilchen-Zustände’
|ll′ i alle
PN z z
degeneriert, usw. Zur Störungstheorie mit Störoperator HJ ≡ −J i=1 σi σi+1 benötigen
wir die Matrixelemente von HJ in der Basis |GZiJ=0 , |li, |ll′ i usw. Wir haben
(6.81)
hGZ|HJ |GZi = 0, hl|HJ |l′ i = −J δl,l′ +1 + δl,l′ −1 , ...
Wir haben hier entartete Störungstheorie und müssen den Störoperator diagonalisieren,
was in niedrigster Ordnung in J auf die Basis
|GZi,
|ki
(6.82)
führt, in denen V diagonal ist mit den Eigenwerten 0, −2J cos k, wobei letztere natürlich
wieder die Eigenwerte des tight-binding Modells in einer Dimension sind. In niedrigster
Näherung ist die Energie E0 des Grundzustands und die der Anregungen εk dann
E0 = −N g,
εk = 2g − 2J cos k.
(6.83)
6.4.3
Störungstheorie um g = 0
P
x
Hier ist V ≡ −g N
i=1 σi die Störung.
Die Matrixelemente vonQV verschwinden in der
Basis der beiden entarteten GrundQN
N
zustände für g = 0, | ↑i ≡ i=1 | ↑ii und | ↓i ≡ i=1 | ↓ii , denn V = −g2Jx mit dem
Drehimpulsoperator Jx zum Drehimpuls j = N/2 (AUFGABE).
P
z z
Einfach angeregte Eigenzustände von Hg=0 ≡ −J N
i=1 σi σi+1 sind solche, bei denen
nach der Gitter-Stelle l die Spin-Richtung flippt und sonst nirgends,
|li↑ ≡ | ↑i1 | ↑i2 ...| ↑il | ↓il+1 | ↓il+2 ...
|li↓ ≡ | ↓i1 | ↓i2 ...| ↓il | ↑il+1 | ↑il+2 ...
(6.84)
152
6. Wechselwirkende Quantensysteme
Sie sind alle wieder entartet, ihre Anregungsenergie ist durch die Energiekosten für die
Errichtung der ‘Wand’ zwischen | ↑i und | ↓i bestimmt, die gerade 2J beträgt. Solche
Zustände führen durch Diagonalisieren von V wieder zu kollektiven Anregungen mit der
Energie
εk = 2J − 2g cos k.
6.4.4
(6.85)
Exakte Lösung
Zur Bestimmung der exakten Lösung benutzen wir die Jordan-Wigner-Transformation,
wobei wir zunächst im Spinraum rotieren (um die y–Achse, AUFGABE):
σiz → σix ,
σix → −σiz ,
(6.86)
womit man also
H=g
X
i
σiz − J
X
x
σix σi+1
(6.87)
i
erhält. Mit
σiz = 2c†i ci − 1,
x
σix σi+1
= (c†i − ci )(c†i+1 + ci+1 )
(6.88)
haben wir also
H=g
X
i
X †
ci ci+1 + c†i+1 ci + c†i c†i+1 + ci+1 ci ,
2c†i ci − 1 − J
(6.89)
i
wobei wir uns hier um die Randterme nicht gekümmert haben, da wir gleich eine unendlich lange Kette betrachten werden.
Wie beim schwach wechselwirkenden Bose-Gas haben wir hier im Hamiltonian also
wieder Terme mit zwei Erzeugern bzw. zwei Vernichtern, weshalb wir eine BogoliubovTransformation verwenden müssen. Zunächst machen wir allerdings wie immer bei gitterperiodischen Problemen die Fourierentwicklung
1 X
1 X −ikj
1 X
1 X
N cn δn,j
cn e−ik(n−j) =
ck = √
cj e
, cj = √
ck eikj =
N
N n
N j
N k
kn
X †
1 X †
′
′
cj cj+1 + c†j+1 cj =
ck ck′ e−ikj+ik (j+1) + c†k ck′ e−ik(j+1)+ik j
N ′
j
kk j
X
X †
=
ck ck′ δk,k′ eik + c†k ck′ δk,k′ e−ik =
c†k ck 2 cos k
k
kk ′
X
c†j cj
j
X
c†k ck
k
cj+1 cj =
j
=
=
X
X
X
′
1 X
eik ck c−k
ck ck′ eik(j+1)+ik j =
δk,−k′ eik ck ck′ =
N ′
′
kk j
k
kk
X
X
1 X ik
e (ck c−k − c−k ck ) = i
sin kck c−k = −i
sin kc−k ck
2
k
k
k
(6.90)
153
6. Wechselwirkende Quantensysteme
Insgesamt also
H=
X
(2g − 2J cos k)c†k ck − g − Ji sin k c†k c†−k + ck c−k .
(6.91)
k
Darauf können wir nun eine Bogoliubov-Transformation loslassen. Die Details sind etwas anders als bei der bosonischen Bogoliubov-Transformation, da wir jetzt ja AntiVertauschungsrelationen haben. Das Ergebnis ist (SACHDEV)
H =
X
k
1
εk γk† γk −
,
2
εk = 2 J 2 + g2 − 2Jg cos k
{γk , γk†′ } = δkk′
1/2
(6.92)
Die exakte Grundzustandenergie ist dann also
E0 = −
X
1/2
1X
εk = −
J 2 + g2 − 2Jg cos k
2
k
(6.93)
k
Wir können die Ergebnisse entwickeln und unsere störungstheoretischen Ergebnisse überprüfen;
insbesondere finden wir
2 !
J
J
εk = 2g 1 − cos k + O
g
g
g 2 g
= 2J 1 − cos k + O
.
(6.94)
J
J
6.4.5
Der Quantenphasenübergang
Die Anregungsenergien εk , Gl. (6.92) sind positiv für g 6= J. Die minimale Anregungsenergie (SACHDEV) ist bei k = 0 und durch
mink εk = 2|J − g|
gegeben, für g = J verschwindet sie also. An dieser Stelle passiert also etwas.
Wir betrachten die Grundzustandsenergie im thermodynamischen Limes,
Z
1/2
N π
1X
εk → −J
E0 = −
dk 1 + (g/J)2 − 2(g/J) cos k
2
2π −π
(6.95)
(6.96)
k
Das Integral läßt sich durch ein elliptisches Integral E ausdrücken. Damit können wir die
Grundzustandenergie pro Gitterplatz als
4g/J
2
E0
= (1 + g/J)E
, g, J > 0
(6.97)
− lim
N →∞ JN
π
(1 + (g/J))2
154
6. Wechselwirkende Quantensysteme
2
1.5
1
0.5
1
0.5
1.5
2
Fig. 6.1: Grundzustandsenergie −E0 /JN , Gl. (6.97) und ihre erste und zweite Ableitung als
Funktion von g/J.
schreiben. Das elliptische Integral
E(z) ≡
Z
π/2
0
(1 − z sin2 φ)1/2 dφ
(6.98)
hat als Funktion der komplexen Variablen z einen Verzweigungsschnitt von z = 1 bis
z = ∞. Bei g = J ist die Grundzustandsenergie also als Funktion z.B. des Parameters g
nicht analytisch: Die zweite Ableitung divergiert (Bild).
Wir fassen zusammen: Bei g = J verschwindet die Anregungsenergie, und die Grundzustandsenergie ist nicht-analytisch. Ein solches Phänomen ist ein Indiz für einen Quantenphasenübergang.
6.5
Das Lipkin-Meshkov-Glick-Modell
Zum Abschluss wollen wir das Phänomen eines Quantenphasenübergangs noch einmal
an Hand eines weiteren, exakt lösbaren Modelles untersuchen. Der Hamiltonian ist eine
Version des Heisenberg-Hamiltonians mit N Spin-1/2s in einem konstanten Magnetfeld
h in z–Richtung, die alle unabhängig von ihrem Abstand auf dem Gitter miteinander
wechselwirken;
H=−
N
N
X
λ1 X x x
σiz ,
σi σj − h
N2
λ, h > 0.
(6.99)
i=1
i,j=1
Wenn wir das mit kollektiven Spin-Operatoren
N
1X α
Sα ≡
σi ,
2
α = x, y, z
(6.100)
i
schreiben, erhalten wir die einfache Form
H=−
2λ 2
S − 2hSz ,
N x
λ, h > 0.
(6.101)
155
6. Wechselwirkende Quantensysteme
h=2
2
h=1
1
h=0.1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
E
Fig. 6.2: Klassische Energie λN
beim Lipkin-Meshkov-Glick-Modell, Gl. (6.105) als Funktion
von θ für verschiedene Werte von h (hier ist λ = 1 gesetzt).
Im Folgenden nehmen wir an, dass der kollektive Spin den maximal möglichen Betrag
S=
N
2
(6.102)
hat. Wir arbeiten also von nun an in einem Unterraum des Hilbertraums mit konstantem
S = N/2.
Die Skalierung der Kopplungskonstante λ/N im Hamiltonian ist notwendig, um einen
sinnvollen thermodynamischen Limes N → ∞ des Modells zu erhalten, wie wir gleich
sehen werden. 6 . Die Annahme einer Wechselwirkung der Spins unabhängig von ihrem
Abstand ist das extreme Gegenteil von der bis hier meist diskutierten Nächste-NachbarWechselwirkung. Insbesondere geht jetzt die Struktur und die Dimension des Gitters
gar nicht mehr ein, und wir erwarten sehr einfache Physik. Zumindest für den Grenzfall
N → ∞ ist das auch der Fall. Wir erwarten, dass sich für große N der kollektive Spin fast
klassisch verhält (das war der Ausgangspunkt der Holstein-Primakoff-Transformation,
die wir gleich benutzen werden). Der mit N skalierte und in Einheiten von λ gemessene
Hamiltonian
1
h
H
= − s2x − sz ,
λN
2
λ
sα ≡
Sα
,
S
S≡
N
,
2
α = x, z
(6.103)
ist dann durch Spinkomponenten sx , sz auf der Einheits-Blochkugel gegeben und hängt
nur noch von dem Verhältnis λh ab.
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.5.1
156
Klassische Betrachtung
Wir betrachten den kollektiven Spin S = (Sx , Sy , Sz ) als eine klassische Grösse und
parametrisieren
S = S(sin θ, 0, cos θ),
(6.104)
wobei wir gleich von vorneherein davon ausgehen, dass wegen der Symmetrie des Hamiltonians der Spin in seinem Grundzustand irgendwo in der x–z-Ebene liegt (hierfür
müssen wir den Winkel θ zwischen 0 und 2π zulassen). Wir ersetzen nun den Hamiltonian
H durch eine klassische Energie E, indem wir für sx,z einfach die klassische Parametrisierung einsetzen,
H
E
1
h
→
≡ − sin2 θ − cos θ.
λN
λN
2
λ
Diese Energie kann als Funktion von θ minimiert werden, was auf
h
− sin θ cos θ −
=0
λ
(6.105)
(6.106)
führt. Die Lösungen sind durch sin θ = 0 oder cos θ = λh gegeben. Der Fall θ = 0(2π)
entspricht einem Minimum, falls h > λ, während cos θ = hλ zwei äquivalente Minima auf
dem Intervall [0, 2π] für h < λ definiert (θ = π ist ein Maximum), vgl. das Bild. Für den
zur niedrigsten Energie gehörenden klassischen Spin ergibt sich also folgendes Szenario;
S = S(0, 0, 1), h > λ, ‘symmetrische Phase’
s
2
h
h
, 0, ), h < λ, ‘gebrochene Phase’ .
S = S(± 1 −
λ
λ
(6.107)
(6.108)
Der Ausdruck ‘gebrochene Phase’ bezieht sich hier auf die zwei äquivalenten Minima,
von denen im thermodynamischen Limes nach dem Prinzip der spontanen Symmetriebrechung wieder nur eines vom System angenommen wird. In der symmetrische Phase
gewinnt das Magnetfeld h über die Austauschwechselwirkung λ und alle Spins zeigen
in Richtung des Magnetfeldes. In der gebrochenen Phase gewinnt umgekehrt die Austauschwechselwirkung λ über das Magnetfeld, für λ → ∞ oder h → 0 zeigen die Spins
in die x–Richtung.
Die entsprechenden Energien sind
E
λN
E
λN
h
= − , h > λ, ‘symmetrische Phase’
λ
2 !
h
1
1+
= −
, h < λ, ‘gebrochene Phase’ .
2
λ
(6.109)
(6.110)
Als Funktion von λh ist die E wieder nicht-analytisch bei h = λ (die zweite Ableitung ist
unstetig, SKIZZE!).
6
Eine allgemeinere Version des Modells hat die Form H = − N1 (γx Sx2 + γy Sy2 ) − hSz , vgl. P. Ribeiro,
J. Vidal und R. Mosseri, Phys. Rev. E 78, 021106 (2008) oder S. Dusuel und J. Vidal, Phys. Rev. B 71,
224420 (2005)
157
6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.5.2
Holstein-Primakoff-Transformation
Das obige klassische Bild kann nun mit Hilfe der Holstein-Primakoff-Transformation rigoros untermauert werden. Die Idee ist also wieder eine Darstellung des großen Spins durch
einen harmonischen Oszillator, der in erster Näherung Anregungen um den Grundzustand bestimmt. Wie wir oben gesehen haben, gibt es aber offensichtlich je nach den Parametern unterschiedliche Grundzustände, und wir müssen den Oszillator deshalb z.B. so
verschieben können, dass er auch Anregungen um den Grundzustand in der gebrochenen
Phase beschreibt. Ein verschobener Oszillator wird nun mit Hilfe der Leiteroperatoren
durch
a→a+α
(6.111)
erzeugt, was auf kohärente Zustände mit dem Parameter α führt (SKRIPT QM I). Im
allgemeinen ist α ∈ C komplex, zum Glück kommen wir hier in unserem Spezialfall des
LMG-Modells mit reellem α aus.
Wir setzen deshalb in der HP-Darstellung von Sz
Sz = S − α2 − α(a + a† ) − a† a.
(6.112)
Der Vergleich mit dem klassischen Sz = S cos θ liefert
S − α2 = S cos θ
α2 = S(1 − cos θ).
(6.113)
Im Folgenden wollen wir die Operatoren und insbesondere den Hamiltonoperator
entwi√
ckeln, und zwar geordnet absteigend nach Termen proportional zu S, S, 1,... An der
Darstellung von Sz erkennen wir bereits, das√der in den a, a† lineare Term der nach dem
konstanten Term (∝ S) führende Term (∝ S) ist. Der nächste ist quadratisch in den
Leiteroperatoren. Die Idee ist nun, den Hamiltonian um einen seiner (zu bestimmenden)
Grundzustände herum zu entwickeln und dazu α so zu wählen, dass wie bei jeder Taylorentwicklung um ein Minimum der lineare Term in den a, a† wegfällt. Entwickelt man
bis zur quadratischen Ordnung in den a, a† , so erhält man effektive Hamiltonians, die
das Anregungsspektrum um die jeweiligen Grundzustände beschreiben.
Wir führen dieses Programm hier explizit nur bis zur linearen Ordnung vor, um
damit unser klassisches Ergebnis für die Grundzustände und ihre Energie zu verifizieren.
In der Entwicklung haben wir für S+ dann
q
2S − (a† + α)(a + α)(a + α)
S+ =
p
α a + a†
+
...
(a + α)
=
2S − α2 1 −
2 2S − α2
p
p
α2
α2
2
2
= α 2S − α + a
2S − α − √
+ ...(6.114)
− a† √
2 2S − α2
2 2S − α2
158
6. Wechselwirkende Quantensysteme
Wir können das umwandeln in
Sx
Sx2
p
1
1
α2
†
2
=
(S+ + S− ) = 2S − α α + (a + a ) 1 −
+ ...
2
2
2S − α2
α2
+
...
(6.115)
= (2S − α2 ) α2 + α(a + a† ) 1 −
2S − α2
Eingesetzt in den Hamiltonian ergibt das also
λ
λ
H = − Sx2 − 2hSz = Ecl − (a + a† )
α(2S − 2α2 ) − 2hα + O a2 , a† a, (a† )2
S
S
λ
(6.116)
Ecl ≡ − α2 (2S − α2 ) − 2h(S − α2 ).
S
Wenn der lineare Term ∝ a + a† verschwinden soll, muss die eckige Klammer Null sein.
Das liefert die Bestimmungsgleichung für die Verschiebung α;
α = 0,
h
S − α2 = S ,
λ
‘symmetrische Phase’
‘gebrochene Phase’ .
(6.117)
(6.118)
Wegen S − α2 = S cos θ liefert das wieder entweder θ = 0 oder die zwei Lösungen für
θ mit cos θ = h/λ, exakt wie im oben diskutierten klassischen Fall. Ebenso gilt das für
den konstanten Term im Hamiltonian
λ
Ecl ≡ − α2 (2S − α2 ) − 2h(S − α2 ) = −λS(1 − cos θ)(1 + cos θ) − 2hS cos θ
S 1
2
λ sin θ + h cos θ ,
(6.119)
= −2S
2
was mit Gl. (6.105) übereinstimmt.
6.6
Spontane Symmetriebrechung
Der Übergang von einem zu zwei Minima in unserer klassischen Energie E(θ)
λN des LMGModells, Fig. 6.2 beim Übergang von der symmetrischen in die gebrochene Phase ist ein
Fall von spontaner Symmetriebrechung:
Definition Spontane Symmetriebrechung liegt vor, wenn der Grundzustand eines Systems eine geringere Symmetrie hat als sein Hamiltonian.
Im obigen Fall ist die Symmetrie eine diskrete, E(θ) = E(2π − θ) (Spiegelung bei
θ = π).
Mathematisch wird solch ein Verhalten vereinfacht im Rahmen einer Bifurkation
oder allgemeiner eine Katastrophe beschrieben: Beim kontinuierlichen Durchgang des
159
6. Wechselwirkende Quantensysteme
Parameters a einer Funktion f (x, a) durch einen Wert a∗ ändert sich die Anzahl der
Minima xmin von f . Ein Beispiel ist
1
1
f (x, a) = ax2 + x4 ,
(6.120)
2
4
das z.B. (in etwas allgemeinerer Form) als Landau-Funktional in der Theorie der Phasenübergänge auftritt (SKRIPT THERMODYNAMIK, SKIZZE). Für x ∈ Rn mit n ≥ 2
hat man hier für a ≤ a∗ = 0 eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit von Minima, von denen
das physikalische System spontan eins auswählt. Ein physikalisches Beispiel hierfür ist
die Euler-Instabilität: ein langer, runder elastischer Stab wird von beiden Enden her eingedrückt - oberhalb eines gewissen Drucks springt er in eine neue (gebogene) Ruhelage
hinein. Welche der zunächst äquivalenten, durch Rotationssymmetrie verbundenen neuen Lagen er annimmt, hängt z.B. von kleinen Fluktuationen ab, die dann eine bestimmte
Richtung bevorzugen.
In der Quantenmechanik, d.h. der mikroskopischen Beschreibung der Materie, spielt
diese Form von spontaner Symmetriebrechung jetzt vielleicht sogar noch eine wichtigere
Rolle als in eher phänomenologischen Theorien wie z.B. der nichtlinearen klassischen
Dynamik 7 . Zunächst kann man feststellen, dass in vielen makroskopischen Materialien
wie z.B. Festkörpern spontane Symmetriebrechung vorliegt: Ein Ansammlung wechselwirkender Atome kondensiert bei hinreichend tiefer Temperatur in Form eines Gitters,
das nicht mehr die volle Translationsinvarianz des Raums hat.
Ein anderes Beispiel ist der Heisenberg-Ferromagnet, den im Grundzustand eine
bestimmte Magnetisierungsrichtung auszeichnet, die die Rotationsinvarianz im Spinraum
bricht. Wir können einen Grundzustand
|Ψ0 i = | ↓↓↓ ...i
(6.121)
z.B. unserer oben diskutierten Spinkette jedoch im Spinraum rotieren (SKRIPT P. COLEMAN)
iφ X +
Sj |Ψ0 i + O(φ2 ).
(6.122)
|Ψ0 i → eiφSx |Ψ0 i = |Ψ0 i +
2
j
Der neue Grundzustand enthält einen Anteil, der sich durch JW-Fermion ausgedrückt
schreibt als
X
X †
X †
√
Sj+ |Ψ0 i =
cj eiΦj |Ψ0 i =
cj |Ψ0 i = N c†k=0 |Ψ0 i,
(6.123)
j
j
j
wobei wir im letzten Schritt in den k–Raum gegangen sind. Wir erkennen, dass das einer
Spinwelle mit k = 0 entspricht, die wegen ωk = 2J sin2 ka/2 aber keine Energie hat. Anders gesagt kostet eine infinitesimale Rotation der spontan gebrochenen Magnetisierung
auf der Mannigfaltigkeit der ursprünglich ungebrochenen entarteten Grundzustandsminima keine Energie. Das ist ein Beispiel für die Anwendung des Goldstone-Theorems.
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vgl. hierzu und auch zu den weiteren Ausführungen P. W. Anderson, ‘Basic Notions of Condensed Matter Physics’. Der Laser scheint hier eine Zwischenstellung zwischen phänomenologischer und
mikroskopischer Theorie einzunehmen.
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6. Wechselwirkende Quantensysteme
6.6.1
Goldstone-Theorem
(DOKTORARBEIT Tomas Brauner). Im Beispiel des Ferromagnet-Paramagnet-Phasenübergangs wird die Magnetisierung als Ordnungsparameter bezeichnet. Im quantenmechanischen Fall ist das der Erwartungswert hΨ0 |A|Ψ0 i eines Operators (z.B. A = Sz ) im
Grundzustand hΨ0 |.
Definition Sei Q die Erzeugende einer Symmetrie des Hamiltonians H, d.h [Q, H] = 0.
Dann liegt Symmetriebrechung für den Ordnungsparameter hΨ0 |A|Ψ0 i vor, falls
hΨ0 |eiφQ Ae−iφQ |Ψ0 i 6= hΨ0 |A|Ψ0 i
hΨ0 |[Q, A]|Ψ0 i 6= 0.
(6.124)
Die verschiedenen, symmetriebrechenden Zustände |φi ≡ eiφQ |Ψ0 i entsprechen im Heisenbergmodell z.B. den Grundzuständen
|φi ≡ eiφSx | ↓↓↓ ...i
(6.125)
Satz 24 (Goldstone-Theorem). Die spontane Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie Q hat die Existenz eines ‘masselosen Bosons’ (Goldstone-Boson) im Anregungsspektrums des Systems zur Folge.
Das Theorem ist zunächst für eine relativistische Feldtheorie formuliert, wo dem
Goldstone-Boson ein Teilchen zugeordnet wird. Im nicht-relativistischen Zusammenhang gibt es einige Dinge, die beachtet werden müssen: zunächst dürfen im ModellHamiltonian keine langreichweitigen Wechselwirkungen auftreten. Deshalb gilt es z.B.
nicht in BCS-Supraleitern, wo trotz spontan gebrochener U (1)–Symmetrie eine Lücke
im Anregungssprektrum vorliegt.
Beispiele für Goldstone-Bosonen: akustische Phononen (Brechung der Translationsinvarianz eines kristallinen Festkörpers). Magnonen (Brechung der Spin-Isotropie)in Gittermodellen für Magnetismus. In beiden Fällen gilt für die Anregungsenergie
lim ~ω(k) = 0.
k→0
Der Term ‘masselos’ kommt aus der relativistischen Physik mit ~ω(k) =
(6.126)
√
~k2 + m2 .