Formelsammlung

Formelsammlung - Mathematik
Formelsammlung
Teil
C
7 Dreiecke

7.1 Bezeichnungen
Seiten:
07
a, b und c
hb
b
Eckpunkte:
A, B und C
Winkel:
  und 
Höhen:
ha, hb und hc
Umlaufsinn:
gegen den Uhrzeigersinn
a
ha
A

hc

c
B
7.2 Winkel im Dreieck:
Innenwinkelsumme: α + β + γ = 180°
Außenwinkelsatz:
Der Außenwinkel an einer Ecke eines Dreiecks ist stets gleich
der Summe der Innenwinkel an den beiden anderen Ecken.
7.3 Flächeninhalt:
A∆ =
1
∙ c ∙ hc
2
A∆ =
1
∙ a ∙ ha
2
A∆ =
1
∙ b ∙ hb
2
C
7.4 Rechtwinkliges Dreieck:
Umfang:
U= a+b+c
Flächeninhalt:
A∆ =
Höhensatz:
Kathetensatz:
b
1
∙a∙b
2
A
p
c
q
hc 2 = a ∙ b
Die Hypothenuse (hier c) liegt immer
dem rechten Winkel gegenüber:
a2 = c ∙ p
Die beiden Katheten (hier a und b)
schließen den rechten Winkel ein.
b2 = c ∙ q
Satz des
Pythagoras:
a
hc
c2 = a2 + b2

c = √a2 + b2
B
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7.5 Gleichschenkliges Dreieck:
Bezeichnungen:
a und b heißen Schenkel
c heißt Basis
 und  heißen Basiswinkel:
C
a
b
hc

A
C

7.6 Gleichseitiges Dreieck
a
Besondere Eigenschaften:
Die 3 Seiten sind gleich lang.
Die 3 Winkel haben alle das gleiche Maß von 60°.
Flächeninhalt:
a2
∙ √3
4
a
h


A
U = 3a
A=
B
c
Besondere Eigenschaften:
Die beiden Schenkel sind gleich lang:
a = b
Die Basiswinkel haben das gleiche Maß:  = 
Umfang:

B
a
3
Höhe: h = √ 4 ∙ a oder h =
√3
2
∙a
C
7.7 Besondere Linien im Dreieck
Mb
7.7.1 Seitenhalbierenden
sc
Ma
S
Den gemeinsamen Schnittpunkt S der drei
Seitenhalbierenden bezeichnet man als
Schwerpunkt des Dreiecks.
sa
sb
A
Jede der drei Seitenhalbierenden wird durch
den Schwerpunkt S im Verhältnis 2:1 geteilt.
Mc
B
C
7.7.2 Mittelsenkrechten
mb
Der gemeinsame Schnittpunkt Mu der
Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt
des Umkreises mit dem Radius r.
ma
r
Mb
Ma
Mu
B
Die Mittelsenkrechten halbieren die
Dreieckseiten und stehen senkrecht
auf ihnen.
A
Mc
mc
C
7.7.3 Winkelhalbierenden
Der gemeinsame Schnittpunkt Mi der
Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt
des Inkreises mit dem Radius ρ.
Die Winkelhalbierenden halbieren die
Winkel ,  und 
w
½
w
½
Mi
½
½
½
A

½
w
B