[Vs] b) [C/m2]

Elektromagnetische Felder
Klausur Lösungen 25. Februar 2011
1. a) [Wb] = [Vs]
As
b) [C/m2 ] = [ m
2]
As
c) [C/m2 ] = [ m
2]
Vs
d) [ m
2]
Vs
Vs
]; 1, 2566 · 10−6 [ Am
]
e) [ Am
f) 1/m
g) 1) δ(r) = 0 für r 6= 0
R
2) f (r) · δ(r) dr = f (0)
δ(r) ist ein unendlich schmaler und hoher Spike“ an der Stelle r = 0
”
h) 0
i) 2~a
j) 2/r
ρ + div J~ = 0
Ladungserhaltung
R
~ ~n dF =
l) (∇ × A)
k)
∂
∂t
S
H
~
~ dl
A
c von S
nur die Umlaufintegrale von Berandung C liefern Anteile, Form von C und S kann
beliebig im Rahmen liegen
2. a) das elektrische Feld
~ zeigt in Richtung des elektrischen Felds; Magnetkraft
b) Coulombkraft F~C = q · E
~ zeigt senkrecht zum B-Feld
~
F~M = q · ~v × B
und zur Bewegungsrichtung
c) Die Magnetkraft ändert nicht die kinetische Energie des Elektrons, da sie senkrecht
auf der Bewegungsrichtung steht und für die Leistung gilt P = F~ · ~v .
√
pm √
· ( 2 · d + b/ 2)
d) tges = eU
~
e) Im B-Feld
wird das Elektron auf eine gekrümmte Bahn abgelenkt. Außerhalb
~
fliegt es gerade weiter. Bei sehr großem B-Feld
erreicht es nicht mehr die Platte
auf ϕ = U.
3. a)
~ r~′ ) = µ0 I
B(
4π
Z2π
0
b) r >> R1 :
~ r ) = µ0 I
B(~
2
R21
r3
~ez [R1 − r sin ϕ′ sin ϕ − r cos ϕ cos ϕ′ ]R1 dϕ′
p
3
(r cos ϕ − R1 cos ϕ′ )2 + (r sin ϕ − R1 sin ϕ′ )2
~ez
c) r << R1 :
~ r ) = µ0 I ~ez
B(~
2R1
α
4. a) A(α) = πR2 · 43 − 2π
2
b) C(α) = ε0 · hA(α) = ε0 · π Rh ·
Q
Q·h
c) U(α) = C(α)
= ε0 R24 ·· (3π−2α)
d) Zeichnung
3
4
−
α
2π
e) Zeichnung; die Schutzelektrode reduziert die Feldverzerrung an den Rändern der
zentralen Platten
Elektromagnetische Felder
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Q
f) C(α) = ε · A(α)
zeigt, dass C mit ε zunimmt. Wegen E = Dε = ε · A(α)
nimmt E
h
mit steigendem ε ab.
av
av
· B1 + 12 B2 , I2 = − 2R
· B1 , I3 = − 2R
· (B1 + B2 )
5. a) I1 = av
R
· B̂1 · cos (ωt) − 12 · B̂2 · sin (ωt) , I2 = − abω
· B̂1 · cos (ωt),
b) I1 = abω
R
2R
· B̂2 · sin (ωt) − B̂1 · cos (ωt)
I3 = abω
2R
c) Die Ströme aus b) bleiben unverändert, da keine Flächenänderung der flussdurchsetzten Gebiete in der Leiterschleife stattfindet.
~ bei Batterie gleich Null, bei Relativbewegung zu Permanentmagnet ungleich
6. a) rot E
Null
b) Potential mit der Einheit Volt; potentielle Energie pro Ladungsmenge relativ zum
Bezugspotential Null
c) Außerhalb des Generators darf es zu keiner Änderung des magnetischen Flusses
im Messkreis zwischen des Anschlussklemmen kommen.
d) Verschiedene Beispiele sind möglich, z.B. Abb. 4.3 des Vorlesungsskripts oder das
elektrische Feld in einem Hohlleiter.
~ 1,n = D
~ 2,n und D
~ 1,t · ε2 = D
~ 2,t · ε1
7. a) D
~ = ρ und rot E
~ = −B
~˙
b) div D
8. a) E0 + Er = Et
b) S0 = St + Sr folgt aus der Energieerhaltung
c) Z =
E
H
E2
Z
−1, SS0t
und S =
d)
Et
E0
= 0,
Er
E0
=
e)
Et
E0
= 2,
Er
E0
= 1,
9. a) R =
1
σ
St
S0
= 0 und
= 0 und
Sr
S0
Sr
S0
=1
=1
· Al = 3, 3mΩ
b) Skin-Effekt. Der Strom fließt nicht mehr gleichmäßig über den Querschnitt, sondern mit zunehmender Frequenz wird der Strom nach außen verdrängt.
c) Die effektive stromdruchflossene Fläche A wird kleiner, der Spannungsabfall bzw.
der Widerstand also größer
d) Der Begriff der Impedanz schließt zu dem rein reellen Widerstand den komplexen,
induktiven Anteil ωL mit ein.
10. a)
1
ϕ(~r) =
4πε
Z
V
ρ(r~′ ) 3 ′
dr
|~r − r~′|
b) Die Wirkung von entfernten Raumladungsdichten auf das Potential an einem Ort
ist wegen der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektromagnetischen Feldes um die Laufzeit zu diesem Ort verzögert.
~ r , t) bestimmt.
c) Das Vektorpotential wird durch die elektrische Stromdichte J(~
d) Der Hertzsche Vektor hat drei unabhängige Variablen.
11. a) φ(~r) =
4πε
Q
x2 +y 2 +(z−h)2
√
Elektromagnetische Felder
b) φ(~r) =
Q
4πε
·
√ 2 21
x +y +(z−h)2
~ r ) = −grad φ(~r)
c) E(~

=
d) F =
Q
4πε
Q2
16πεh2
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·
−
1
(x2 +y2 +[z−h]2 )
3/2
√ 2 21
x +y +(z+h)2




x
x
·  y  − 2 2 1 2 3/2 ·  y 
(x +y +[z+h] )
z−h
z+h
, die Kraft ist anziehend
·h
e) σ(x, y, 0) = Dn |z=0 = ε · En |z=0 = 2π(x2 −Q
+y 2 +h2 )3/2
p
R +∞ R +∞
R 2π R ∞ −Q · h · r
f) Qi = −∞ −∞ σ(x, y, 0) dx dy = 0 0 2π(r
dr dϕ mit r = x2 + y 2, es
2 +h2 )3/2
∞
R∞
folgt Qi = −Q · h 0 (r2 +hr2 )3/2 dr = Q · h · (r2 +h12 )1/2 = −Q
0
~ 2 , wm = 1 µr µ0 |H|
~ 2
12. a) we = 21 εr ε0 |E|
2
~ = σ · |E|
~ 2
b) p = J~ · E
c) Das elektrische Feld in der Probe ist konstant E = Jσ = 1 V/m. Das Magnetfeld
in der Probe hängt vom radialen Abstand r zur Zylinderachse ab: H(r). Die
Anwendung des Durchflutungssatzes auf einen Kreis um die Zylinderachse ergibt:
H(r) = I(r)
, wobei der durch den Kreis fließende Strom sich gemäß I(r) = J · πr 2
2πr
ergibt, also H(r) = 12 J · r.
Nun folgen die Energien durch Integration der Energiedichten über das Probenvolumen.
RRR
We =
we dV = 21 εr ε0 E 2 · πR2 · h
V
1
= 2 · 40 · 10−11 As/(Vm) · (1 V/m)2 · 3 · (10−2 m)2 · 10−3 m = 6 · 10−17 J, sowie
RRR
R R R 2π
Wm =
w
dV
=
h
·
dr 0 rdϕ 12 µr µ0 · ( 21 Jr)2
m
V
0
R
R
= 10−3 m · 6 · 0 dr r · 12 · 16 · 10−6 Vs/(Am) · ( 21 · 1 A/m2 · r)2
RR
−2
4
= 12 · 10−9 J/m4 · 0 r 3 dr = 12 · 10−9 J/m4 · (10 4 m) = 3 · 10−17 J.
Die gesamte elektromagnetische Energie in der Probe ist somit 9 · 10−17 J.
RRR
d) P =
J · E dV = 1 A/m2 · 1 V/m · πR2 · h = 3 · 10−7 W.
V
e) Der Poyntingvektor zeigt in radialer Richtung auf die Zylinderachse zu.
13. a) Strom räumlich konstant auf Draht, Draht ideal dünn und ideal leitfähig
b) Strahlungsfeld mit r ≫ λ/(2π), Nahfeld mit r ≪ λ/(2π), Übergangsbereich mit
r = λ/(2π)
c) Eϕ , Hr , Hϑ
d) 1/r
e) Z = η0 = 377 Ω
14. a) F = F1(x) · F2(y) · F(z)
−α2
−β 2
Separation der Variablen
γ2
z }| { z }| { z }| {
1 ∂2
1 ∂2
1 ∂2
b)
· 2 F1 +
· 2 F2 +
·
F3 = 0,
F1 ∂x
F2 ∂y
F3 ∂z 2
F1 , F2 , F3 voneinander unabhängig, somit konstant
c) Bessel-Gl. schwierig zu lösen“, beide Koordinaten r, ϕ liefern Eigenwerte, die
”
”
voneinander abhängen“
d) Nein
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e) 2-mal größte Querabmessung = Freiraumwellenlänge der cut-off-Frequenz ≈
10 GHz
15. a) Mode: eine Lösung der Wellengleichung im Hohlleiter, also eine mögliche Feldverteilung; Grundmode: die Mode mit der niedrigsten Grenzfrequenz
b) verlustärmer, höhere Leistung kann transportiert werden
c) Êx = 0,
−j vω · z
πx
Êy = −H0 · ωµa
·
sin
· e ph ,
π
a
Êz = 0,
−j vω · z
· e ph ,
Ĥx = H0 · πvωaph · sin πx
a
Ĥy = 0,
Ĥz = −j · H0 · cos
πx
a
−j vω
·e
ph
·z
~
d) Skizze: vgl. E-Feld
in Abb. 8.3 des Vorlesungsskripts
e) Z = µ0 · vph ist im Hohlleiter größer als im Vakuum (Freiraum)
f) Die Mode im Hohlleiter hat eine andere Feldverteilung als die ebene Welle im
Freiraum, auch der Wellenwiderstand ist verschieden. Hierdurch kommt es zu
Reflexionen in den Hohlleiter zurück.