Mechanik - Fachschaft Physik

Theoretische Physik A (Einführung)
Prof. Dr. M. Steinhauser, Dr. L. Mihaila
Vorlesung Wintersemester 2007/2008
Mitschrieb von Florian Keller
Letzte Aktualisierung February 27, 2008
Zum erstenmal veröffentlicht 14. Januar 2008
Ich erhebe keinen Anspruch darauf, dass dieses Skript
komplett oder frei von Fehlern ist.
Contents
1 Grundbegriffe
4
2 Kinetmatik
2.1 Mathematischer Einschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bewegung in 1 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bewegung im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Mathematischer Einschub Matrizen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Wechsel der Variablen in 2 und 3 Dimensionen vorteilhaft. Verwende der Symmetrie des Problems angepasste
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Inertialsystem und Galilei-Transformation . . . . . . . . . . .
2.4.1 Eigentliche GT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Uneigentliche GT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Newton’sche Axiome
3.1 Vorbemerkung . . . . . . . . .
3.1.1 Grundlegende Begriffe
3.1.2 Kräfte . . . . . . . . .
3.2 Newton’sche Axiome . . . .
3.3 Mathematischer Einschub
Gradient, Rotation, Divergenz
3.4 Erhaltungssätze . . . . . . . .
3.4.1 Impulserhaltung . . . .
3.4.2 Energieerhaltung . . .
3.4.3 Drehimpulserhaltung .
25
29
29
32
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33
33
33
34
36
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39
43
43
43
50
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51
52
53
53
54
55
56
4 Beschleunigte Bezugsysteme - Scheinkräfte
4.1 Koordinaten Tranformation . . . . . . . . .
4.2 Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Translationskraft . . . . . . . . . . .
4.2.2 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Azimutal-Kraft . . . . . . . . . . . .
2
5
5
5
6
8
8
9
18
18
21
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5 Schwingungen/Harmonischer Oszillator (HO)
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Mathematischer Einschub . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)
5.3 Harmonischer Oszillator (HO) . . . . . . . . . . . .
5.3.1 HO ohne Reibung (1-dimensional) . . . . . .
5.3.2 HO mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . .
5.4 Mathematischer Einschub δ-Funktion . . . . . . . .
5.5 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Zweiteilchensysteme (mit Zentralkraft)
6.1 Relativ- und Schwerpunktkoordinaten . .
6.2 Drehimpulserhaltung, Bahnkurven . . . .
6.3 Mathematischer Einschub
Ellipse und Hyperbel . . . . . . . . . . .
6.4 Planetenbewegungen/Kepler-Problem .
6.4.1 Nachtrag: Qualitative Diskussion
allgemeines Potential U(r) . . . .
6.4.2 Lenz-Runge-Vektor . . . . . . .
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56
59
59
60
62
62
62
64
65
67
70
. . . . . . . . . . . . 70
. . . . . . . . . . . . 72
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
der Bahnkurve
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. .
. .
für
. .
. .
. 73
. 75
. 76
. 78
7 Streuung von Teilchen
78
7.1 Allgemeine Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Rutherford-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 Vielteilchensysteme
82
8.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
1
Grundbegriffe
Was ist theoretische Physik?
Physik: Aufdeckung und die math. Beschreibung von Naturgesetzen
Strategie:
• gezielte Experimente
• Interpretiert/Vorhersagen durch Aufstellen allgemeiner mathematischer
Zusammenhänge zwischen Meßgrößen
Aufgaben der Theoretischen Physik:
• Theorie zur Beschreibung/Vorhersage von experimentellen Resultaten
• neue Konzepte (16/17 Jhdt. Galileo Galilei, Newton; Ende 19 Jhdt.
Maxwell; ART; Quantenmechanik)
• Theorie und Experiment sind für umfassende aussagekräftige Naturbeschreibung notwendig
• Jede Theorie muss experimentell überprüfbar sein
• Experiment entscheidet über Richtigkeit der Theorie
In dieser VL
• Newton’sche Mechanik
→ Einführung in die Denkweise der theoretischen Physik
• Mechanik
- ältestes Teilgebiet der Physik
- Grundlage für die ganze theoretische Physik
4
2
2.1
2.1.1
Kinetmatik
Mathematischer Einschub
Vektoren
(a) Rn (n ∈ N) = Menge der n-Tupel (x1 , . . . xn ), xi ∈ R
hier
   
a1
ax
~a ∈ R3 ;~a = a2  = ay  Vektorraum
a3
az
Punkte des physikalischen Raums können durch Vektoren ~a ∈ R3
beschrieben werden. Notwendig: Koordinatensystem mit Ursprung.
 
 
 
1
0
0





Def: ~ex = 0 ; ~ey = 1 ; ~ez = 0
0
0
1
Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander
⇒ bilden orthonormale Basis
⇒ ~a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez
ax , ay , az Koordinaten bezüglich ~ex , ~ey , ~ez
5
(b) 1. Skalarprodukt
~a, ~b ∈ R3
n
P
⇒ ~a · ~b := ax bx + ay by + az bz =
ai bi
i=1
Länge/Betrag
eines
Vektors (“Norm”)
√
√
2
|~a| = ~a · ~a = ~a = a
Winkel zwischen ~a und ~b
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos Θ
Bemerkungen:
• ~a · ~b = 0 falls: Θ = π2
oder a = 0 oder b = 0
• ~a · ~b ist skalar
⇒ unabhängig vom Koordinatensystem
(b) 2. Vektorprodukt

ay bz − az by
~a × ~b = az bx − ax bz 
ax by − ay bx

(~a × ~b) ⊥ ~a und ⊥ ~b
2.1.2
Differentialrechnung
(a) Differentiation
reelle Funktion f : x ∈ R 7→ f (x) ∈ R
6
Ableitung nach x
d f (x)
f (x + h) − f (x)
= f ′ (x) := lim
h→0
dx
h
Ableitung nach der Zeit:
d f (x)
f˙(t) =
dt
Produktregel:
d
(f (x) · g(x)) = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)
dx
Kettenregel:
d
df (g) dg(x)
f (g(x)) =
·
dx
dg
dx
(b) Integration
geg.: f (x)
ges.: F (x) derart, dass
Zx
F (x) = f (x′ )dx′
dF (x)
= f (x)
dx
Beispiele:
f (x) = sin x ⇒ F (x) = − cos x
f (x) = eax ⇒ F (x) = a1 eax
unbestimmte Integration: (Suche Stammfunktion F (X))
dF (x)
mit
= f (x)
dx
bestimmte Integration:
Zb
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
partielle Integration:
Zx1
Zx1
′
x1
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)|x0 − f ′ (x)g(x)dx
x0
x0
7
Bsp.:
Zb
a
b
xex dx = xex a −
Zb
|a
1 · ex dx
{z
ex |ba
Substitutionsregel
Zx2
Zg2
dgf (g) = dxf (g(x))g ′(x)
x1
g1
Bsp.:
Zb
a
2.2
}
y = x2 + 1
xdx
=
x2 + 1 dy = 2xdx
Bahnkurven
1+b
Z 2
1 1 + b2
1 dy
=
= ln
2 y
2 1 + a2
1+a2
• betrachte Massenpunkt
• freier Massenpunkt, falls keine einschränkenden Zwangsbedingungen
vorliegen.
2.2.1
Bewegung in 1 Dimension
(a) Lage/Ort des Massenpunktes als Funktion der Zeit: x(t)
Geschwindigkeit:
dx(t)
= v(t)
dt
v(t) ≥ 0, ≤ 0 möglich
Beschleunigung:
d2 x(t)
dv(t)
=
= ẍ = a(t)
dt
dt2
(b) Beispiel
geg.: Bewegung mit Geschwindigkeit: v(t)
Anfangszeitpunkt:
t1
Endzeitpunkt:
t2
8
Abstand
Zt2
|x(t2 ) − x(t1 )| = v(t)dt
t1
zurückgelegter Weg
Zt2
s = |v(t)|dt
t1
2.2.2
Bewegung im R3
(a) Ort des Massenpunktes zur Zeit ~r(t)
Kartesisches Koordinatensystem 

x(t)
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez = y(t)
z(t)
Bemerkungen:
• ~r(t) Zeit als Parameter
allgemein ~r s ∈ R → R3
9
• ~r(t) enthält die volle Information über die Bewegung des Massenpunktes
Beispiel: Wurfparabel im Schwerefeld der Erde
Bewegung in x-z-Ebene: y(t) = 0
Scheitelpunkt: t = 0, ~r(t) = 0
x(t) = vx t
y(t) = 0
g · t2
mit g = 9, 81 sm2
z(t) = −
2


vx · t
⇒ ~r(t) =  0 
2
− gt2
(b) Geschwindigkeit und Beschleunigung
10
Geschwindigkeit:


ẋ(t)
~r(t + ∆t) − ~r(t) 
v(t) = ~r˙ (t) = lim
= ẏ(t)
∆t→0
∆t
ż(t)
~v (t) ist Tangente an die Bahnkurve ~r(t)
Beschleunigung:
~a(t) = ~v˙ (t) = ~r¨(t)
Beispiel:
 Wurfparabel

 
vx
0



0 ; ~a(t) =
0
~v (t) =
−gt
−g
(c) Bogenlänge s
= Länge der Raumkurve
11
~ra = ~r(ta )
~rb = ~r(tb )
Zerlege Intervall [ta , te ]
tn = ta + n · ∆t, n = 0, 1 · · · , N
te − ta
mit to = ta ; tN = te → ∆t =
N
~r(tn ) = ~rn
Verbinde ~rn mit Geradenstücken
→ Polygonzug mit der Länge L:
L(ta , te ) =
=
∆t→0
N
−1
X
n=0
N
−1
X
−−−→
n=0
Zte
ta
|~rn+1 − ~rn |
|~rn+1 − ~rn |
∆t
∆t
|~v(t)|dt = Bogenlänge
12
Bogenlänge:
Zt d~r ′ ′
s(t) = t dt
dt
t0
Beachte:
ds d~r(t) ≥0
=
dt dt ⇒ s(t) ist monoton wachsende Funktion, die eindeutig nach t aufgelöst
werden kann:
t = t(s)
⇒ Benutze s zur Parametrisierung von ~r:
~r(t) → ~r(t(s)) = r(s)
d~r(s)
d~r(t) dt
~v
=
·
=
=: ~τ (Tangenteneinheitsvektor)
ds
dt
ds
|~v|
|~τ (s)| = 1
Beispiel: Wurfparabel -berechne Bogenlänge
p
d~r = |~v | = vx2 + g 2 t2 ; Wähle: t0 = 0
dt Zt p
s(t) =
vx2 + g 2 t′2 dt′
0 2
v
g
1 p 2
x
t vx + t2 g 2 +
· Arsinh(t )
=
2"
g
vxs
!#
2
2g2
p
v
t
1
g
t vx2 + t2 g 2 + x · ln t + 1 + 2
=
2
g
vx
vx
Grenzfälle:
vx2 g
1
tvx + t + . . . = vx t=
ˆ gleichförmige Beweg → 0 ⇒ s(t) →
2
g vx
gung in x-Richtung
13
vx → 0
vx2
tg
1 2
1
+ ...
⇒ s(t) → t g + t ln
= gt2 =
ˆ freier Fall
2
g
vx
2
|
{z
}
→0 f ür vx →0
(d) (nochmal) Beschleunigung
~a = ~r¨ = ~v˙
d
a = v̇ = |~v |
dt
Betrachte nun ~v(s)
d~r ds
d~r(s)
=
·
= ~τ (s) · v
dt
ds dt
d
d~v (s)
= [~τ · v] = ~τ v + ~τ a
~a(s) =
dt
dt
d~τ 2
v + ~τ a
~a =
ds
~v (s) =
Interpretation:
• ~τ Tangenteneinheitsvektor an der Bahnkurve
• ~τ (s)→ Richtung vom ~τ ändert sich mit s
→ Änderung von ~τ ist Maß für Krümmung
Definition:
d~τ (s) Krümmung
κ := ds 1
ρ :=
Krümmungsradius
κ
Beispiel: Richtung von τ ändert sich nicht
κ = 0, ρ = ∞ (Gerade)
d~τ !
d
=0
⇒ ~τ 2 = 2~τ ~τ˙ = 2vτ ·
dt
ds
d~τ
⇒ ~τ ⊥
ds
• ~τ 2 = 1
• ~ak := ~τ a, a = v̇
Beschleunigung in Bewegungsrichtung
ändert Betrag der Geschwindigkeit
14
• ~a⊥ := v 2
d~τ
ds
Zentripetalbeschleunigung
ändert die Richtung der Bewegung
• ~a = ~ak + ~a⊥
Achtung:
d~v 6= d |~v| |~a| =
6 a
dt dt
~v
~v
=
|~v|
v
~τ =
~v
~a
d~τ
= − 2 v̇ +
dt
v
v
~v
~a⊥ = − a + ~a = ~a − ~ak
v
a
~ak = ~v
v
Beispiel: Wurfparabel
 

0
vx
p
~v =  0  ; v = vx2 + g 2 t2 ; ~a =  0 
−g
−gt

a = v̇ =
~ak =
g 2t
v
g2t
~v
v2




0
vx
2
g t
~a⊥ = ~a − ~ak =  0  − 2  0 
v
−g
−gt


vx
g t

0
⇒ ~a⊥ = − 2 
v
g 2 v2
gt − 2
  tg
vx
g2t  
0
=− 2
v
vx2
2
gt
g 2 t 2 vx2
~a⊥ · ~v = − 2 vx − gt = 0
v
gt
15
g 2t
vx2 + g 2 t2
q
4
2
g t vx2 + gv2xt2
|~ak | = p
|~a⊥ | =
=p
vx2 + g 2t2
Grenzfälle:
g · vx
vx2 + g 2 t2
* t → 0 |~ak | = 0, ~a⊥ zeigt in negative z-Richtung
* t → ∞ |~ak | → g, |~a⊥ | → 0 =
ˆ freier Fall
* vx = 0 |~a⊥ | = 0=
ˆ freier Fall
* g = 0 |~ak | = |~a⊥ | = 0=
ˆ gleichförmige Bewegung in x-Richtung
(b)
(i) Kreisbahn, mit Radius R
cos Rs
~r(s) = R
sin Rs
s = (s(t))
(ii) Geschwindigkeit
d~r
d~r
− sin Rs
~v =
=
·v =v
cos Rs
dt
ds
~v~r = 0
(iii) Beschleunigung
d~v
d~τ 2
=
v + ~τ a a = v̇
dt ds
~v
1 − cos Rs
dτ
− sin Rs
~τ = =
=
;
cos Rs
v
ds
R − sin Rs
~a =
16
v2
~v
⇒ ~a = − 2 ~r + a
r } |{z}
v
| {z
=~a⊥
=~ak
(iv) Betrachte s(t) =
a0 2
t
2
⇒ v = a0 t ⇒ a = a0
v2
a2 t2
= 0
R
R
|~ak | = a0
|~a⊥ | =
Frage:
Wie groß ist der Winkel zwischen ~r und ~a?
cos ϕ =
~r · ~a
|~r| · |~a|
~r · ~a = ~r~a⊥ ~r~ak = −v 2
|{z}
0
|~r| = R
r
s
a2 t4
|~a| = ~a2⊥ + ~a2k + 2~a⊥~ak = a0 1 + 0 2
R
| {z }
0
⇒ cos ϕ = −
Ra0
a2 t2
r0
⇒ ϕ = arcos −
1+
a 2 t4
0
R2
2
ra0 t
R
1+
a 2 t4
0
R2
17
Grenzfälle:
t = 0, ϕ =
π
2
⇒ ~a ⊥ ~r
t → ∞, ϕ → arcos(−1), ϕ → π
(f) Typische Fragestellung
geg.: ~a(t), ~v(t), ~v (t0 )
ges.: ~r(t)
..
.
d~v
→ ~v (t0 ) +
Lösung : ~a =
dt
Zt
dt′~a(t′ )
d~r
→ r(t0 )~v(t0 )(t − t0 )
~v =
dt
Zt
Zt′
t0
2.3
2.3.1
t0
dt′
dt′′~a(t′′ )
t0
Koordinatensysteme
Mathematischer Einschub Matrizen
Bisher Vektoren =
ˆ Zahlentupel
(a) Def: A ∈ Rn×m gegeben durch


a11 · · · a1m )

..  n Zeilen,
..
A =  ...
.
. 
an1 · · · anm
{z
}
|
aij ∈ R
m Spalten
Schreibweise:
(A)ij = aij
i = 1...n
j = 1...m
(b) spezielle Matrizen
(i) n = m “quadratische” Matrix
(ii) m = 1 n-Tupel “Spaltenvektor”
(iii) n = 1 “Zeilenvektor”
18
heißt Matrix
(c) Rechenregeln
(i) Mulitplikation mit Zahl
λ ∈ R, (λ · A)ij = λaij
(ii) Addition von Matrizen: A, B ∈ Rn×m
(A + B)ij = aij + bij = (A)ij + (B)ij
(iii) MultiplikationA ∈ Rn×m , B ∈ Rm×k
m
P
(A · B)ij =
ail blj
l=1

 

a11 · · · a1m
b11 · · · b1k
 ..
..  ·  ..
.. 
..
..
 .
.
.
.   .
. 
an1 · · · anm
bm1 · · · bmk
C = A · B ∈ Rn×k
Regel:
Multipliziere i-te Zeile von A mit j-tem Spaltenvektor um das Element (ij) des Produktes (AB) zu bekommen.
Bemerkungen:
• A · B ∈ Rn×k , B · A nicht definiert für k 6= m
• A, B ∈ Rn×n A · B 6= B · A
• A ∈ R1×m Zeilenvektor
B ∈ Rm×1 Spaltenvektor
⇒ A · B =“Zahl”, B · A ∈ Rm×m
m
P
A ∈ Rn×m
Ail bl
A · b ∈ Rn , (Ab)i =
•
m
b∈R
l=1
Beispiele:
0 1
1 0
A=
B=
1 0
0 −1
0 −1
0 1
AB =
BA =
1 0
−1 0
(iv) Determinante einer Matrix
Für n × n-Matrix rekursiv definiert. Hier nur n = 2 und n = 3
19
a11 a12
n=2 A=
a21 a21
⇒ det A = |A| = a11 a22 − a21 a12


a11 a12 a13
n = 3 A = a21 a21 a23 
a31 a32 a33
⇒ det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
Beispiel:


0 1 2
det(A) = det 3 4 5 = 0 + 30 + 42 − 48 − 0 − 24 = 0
6 7 8
Bemerkungen:
• det(A · B) = det(A) · det(B)
• Falls det(A) = 0 → mindestens eine Zeile(Spalte) ist Linearkombination der anderen Zeilen(Spalten)
(v) AT ist die transponierte Matrix
(AT )ij = (A)ji
Beispiel:



0 1 2
0 3
T



A= 3 4 5
A = 1 4
6 7 8
2 5
(d) Weitere spezielle Matrizen
von A

6
7
8
(i) A ∈ Rn×n heißt Diagonalmatrix, falls
aij =0 für i 6= j 
x ··· 0
 ..

A =  . x ... 
0 ··· x
(ii) Diagonalmatrix
mit

 aii = 1 heißt Einheitsmatrix
1 ··· 0
 ..

1 =  . 1 ... 
0 ··· 1
20
(iii) B ist die inverse Matrix von A ∈ Rn×n falls gilt
B·A=1
Schreibweise: B = A−1
Es gilt: B · A = A · B = 1
! Achtung nicht alle Matrizen haben eine Inverse (nur solche mit
det A 6= 0)
2.3.2
Drehungen
(a) Drehung in 2 Dimensionen
System S ′ ist gegenüber S um ∢ Θ verdreht.
Frage: Koordinaten von P in S ′ ?
(i) aus der Skizze
yP′ = yP cos Θ − xP sin Θ
x′P = xP cos Θ + yP sin Θ
(ii) xP = x′P cos Θ − yP′ sin Θ
yP = yP′ cos Θ + x′P sin Θ
~rP = xP ~ex + yP ~ey = x′P ~e′x + yP′ ~e′y
(iii) 2 Drehungen zuerst um Θ, dann um Φ
ϕ
Θ
→ (x′′P , yP′′ )
(xP , yP ) −
→ (x′P , yP′ ) −
x′′P = x′P cos ϕ + x′P sin ϕ
= (xP cos Θ + yP sin Θ) cos ϕ + (yP cos Θ − xP sin Θ) sin ϕ
= xP (cos Θ cos ϕ − sin Θ sin ϕ) +yP (sin Θ cos ϕ + cos Θ sin ϕ)
|
|
{z
}
{z
}
=cos(Θ+ϕ)
=sin(Θ+ϕ)
21
Analog:
yP′′ = yP cos(Θ + ϕ) − xP sin(Θ + ϕ)
=
ˆ einer Drehung um ∢ (Θ + ϕ)
(b) kompakte
Schreibweisen xP
x′P
cos Θ sin Θ
=
′
yP
− sin Θ cos Θ
yP
(x, y) → (x1 , y1 )
unterdrücke Index“P”
cos Θ sin Θ
~x = O~x mit O =
− sin Θ cos Θ
Frage: Welche Eigenschaften muss Matrix O haben, damit sie eine
Drehung beschreibt?
(i) det O = 1
(ii) Zeilen und Spalten müssen Länge 1 haben
(iii) Zeilen und Spalten müssen orthogonal zueinander sein
cos Θ − sin Θ
T
OT · O = 1
(iv) O =
sin Θ cos Θ
(Bemerkung (ii)+(iii) ↔ (iv)
Matrizen mit den Eigenschaften (i) - (iv) nennt man orthonormale Matrizen
Betrachte: |O~x| = |~x|
T
2
Beweis: |O~x|2 = (O~x)T (O~x) = ~xT O
| {zO} ~x = |~x|
1
cos Θ sin Θ
− sin Θ cos Θ
cos Θ
O~ex =
− sin Θ
Wende O =
auf einen ~ex an.
22
OS ′ = OS + d~
~r′ = ~r − d~
(c) Drehung in 3 Dimensionen (→ orthogonale 3 × 3 Matrizen)
23
(i) Drehung um Koordinatenachsen
z-Achse


cos Θz sin Θz 0
Oz = − sin Θz cos Θz 0
0
0
1
x-Achse


1
0
0
Ox = 0 cos Θx sin Θx 
0 − sin Θx cos Θx
y-Achse


cos Θy 0 − sin Θy

1
0
Ox =  0
sin Θy 0 cos Θy
(ii) Jede beliebige Drehung läßt sich folgendermaßen darstellen:
(1) Drehung um z-Achse ∢ϕ
(2) Drehung um x-Achse ∢Θ
(3) Drehung um z-Achse ∢ψ
ϕ, Θ, ψ 3 Euler-Winkel
O = Oz (ψ)Ox (Θ)Oz (ϕ)
24
ϕ
(x, y, z) → (x′ , y ′, z ′ )
Θ
→ (x′′ , y ′′, z ′′ )
ψ
→ (x′′′ , y ′′′.z ′′′ )
 
x
~r = y  in K, Drehung K → K ′
z
~e′(x y z)T = O~e′(x y z)T (“passive Drehung”)
= x~ex + y~ey + z~ez
= x′~e′x + y ′~e′y + z ′~e′z ←
gedrehter Vektor in K
~r′ = x′~ex + y ′~ey + z ′~ez
O~r′ = x′~e′x + y ′~e′y + z ′~e′z = ~r
⇒ ~r′ = O −1~r → “aktive Drehung”
2.3.3
Wechsel der Variablen in 2 und 3 Dimensionen vorteilhaft.
Verwende der Symmetrie des Problems angepasste Variablen
(a) Polarkoordinaten
25
(x1 , y1 ) → (r, ϕ)
x1 = r cos ϕ
y1 = e sin ϕ
(∗)
(r, ϕ)-Ebene wird Punkt für Punkt in (x, y)-Ebene abgebildet.
r 6= p
0
r = x21 + y12
y1
ϕ = arctan
x1
Jeder Punkt (x1 , y1 ) ist eindeutig einem (r, ϕ) zugeordnet, d.h. (∗) ist
umkehrbar.
r = 0 Alle Punkte (=, ϕ) werden auf (x1 = 0, y1 = 0) abgebildet.
(b) Kommentare zur allgemeinen Variablentransformation in d-Dimensionen
(x1 , x2 , . . . , xd ) ↔ (y1 , y2 , . . . , yd )
Forderungen:
1. Jeder Punkt (x1 , x2 , . . . , xd ) ist durch die neue Koordinate (y1 , y2 , . . . , yd)
darstellbar.
2. Die Transformation soll |fast {z
immer} lokal
umkehrbar
|
{z
} sein.
(∗)
(+)
(*) nicht umkehrbar, nur in Bereichen mit Dimensionen d′ < d
(+) zu jedem (x1 , x2 , . . . , xd ) gehört genau ein (y1 , y2 , . . . , yd)
(c) Nochmal Polarkoordinaten
x
r cos ϕ
~r =
=
= r · ~er
y
r sin ϕ
˙~r = ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ = ṙ~er + r ϕ̇~eϕ
ṙ sin ϕ + r ϕ̇ cos ϕ
− sin ϕ
cos ϕ
~eϕ =
~er =
cos ϕ
sin ϕ
~er , ~eϕ sind Einheitsvektoren, orthogonal → lokales Koordinatensystem
26
~r¨= r̈~er + ṙ ϕ̇~eϕ + ṙϕ̇~eϕ + r ϕ̈~eϕ − r ϕ̇2~er
= (r̈ − r ϕ̇2 )~er + (2ṙϕ̇ + r ϕ̈)~eϕ
Beispiel: Massenpunkt auf Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit
kartesische
Koordinaten:
cos ωt
= R(cos ωt~ex + sin ωt~ey )
~r(t) = R
sin ωt
Polarkoordinaten:
~r(t) = R~er
~r˙ (t) = Rϕ̇~eϕ
mit ϕ̇ = ω
~r¨(t) = −r ϕ̇2~er
27
ϕ(t) = ωt, ϕ̇ = ω
(d) Kugelkoordinaten
  

x
r sin Θcosϕ
~r = y  = r sin Θ sin ϕ
z
r cos Θ
ϕ: ∢ in x-y-Ebene
Θ: ∢ zwischen ~r und z-Achse


sin Θcosϕ
~er = sin Θ sin ϕ
cos Θ


− sin ϕ
~eϕ =  cos ϕ 
0
28
Einheitsvektor in e-Richtung
~eΘ ⊥ ~er ; ~eΘ ⊥ ~eϕ , ~er × ~eΘ = ~eϕ


cos Θ cos ϕ
~eΘ =  cos Θ sin ϕ 
− sin Θ
2.4
Inertialsystem und Galilei-Transformation
Definition:
Ein Inertialsystem (IS) ist ein Koordinatensystem, in dem sich ein kräftefreier
Massenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Bemerkungen:
(i) Inertialsystem in der Praxis?
hier pragmatisches Vorgehen: es gibt ein IS
(ii) Im IS ist die Beschreibung einfacher
Transformation, die ein IS in ein anderes IS überführt, nennt man GalileiTransformation (GT).
Frage: Wie sieht die allgemeinste GT aus?


x(t)
Bahnkurve im IS ~r(t) = y(t)
z(t)
 ′
x
IS’ r~′ = y ′ 
z′
2.4.1
Eigentliche GT
(i) Verschiebung, gleichförmige Bewegung
~ Verschiebung des Ursprungs von IS bzgl. IS’
d(t)
29
~r′ = ~r − d~
Kräftefreier Massenpunkt IS:
d2~r
=0
dt2
d2~r′
= 0 ← hier stimmt doch was net
dt2
d2~r d2 d~ !
⇒ 2 − 2 =0
dt
dt
|{z}
im IS’
0
~b
⇒ d~ = |{z}
wt
~ + |{z}
(∗)
(+)
(*) gleichförmige Bewegung von IS’ mit der Geschwindigkeit w
~
(+) konstante Verschiebung des Nullpunktes
(ii) Drehungen
Koordinaten IS’ sind bzgl. IS verdreht
~r′ =
O −1
|{z}
~r
3 Euler Winkel
hier: det O = 1; (detO = −1 → später)
2
d2~r′
d dO −1
r
dO −1 d~r
−1 d~
−1 d r !
d2 O −1
·
=0
=
=
~
r
+
O
~
r
+
2
+
O
dt2
dt2
dt
dt
dt
dt } dt | {zdt2}
| {z
(∗)
30
=0
(*) falls nicht ≡ 0
→ Zentripetalbeschleunigung
→ IS’ ist kein Inertialsystem
(iii) Verschiebung des Zeitnullpunktes
t′ = t + s
Zusammen:
~r′ = O −1~r − wt
~ − ~b
′
t =t+s
Geschwindigkeit
~r˙ ′ = O −1~r˙ − w
~
Beschleunigung
~r¨′ = O −1~r¨ ← ist das hier richtig??
Parameter
3 +3 +3 +1
~b
O w
~
s
=10
Bemerkung:
′ ~r
~r
O −1~r − wt
~ − ~b
(i) g :
→ ′ =
t
t
t+s
bildet eine Gruppe: eigentliche (det O = +1) orthochrome
↑ ←t′ =+t+s
(t′ = +t + s) Galilei-Gruppe G+ ←det O=+1
”Beweis in Übung Blatt 07“
(ii) GT ist ein Spezialfall der Lorentztransformation. LT respektiert
spezielle Relativitätstheorie.
Hauptunterschied: LT Transformation der Zeit
(iii) Ein abgeschlossenes n-Teilchensystem hat genau hat genau 10 Erhaltungsgrößen die sich mit der Zeit ändern.
31
2.4.2
Uneigentliche GT
det O = −1,
t′ − t + s
(i) t → −t + s Zeitumkehrung
(a) |{z}
~a = −k~x ist invariant unter t → −t
(∗)
d~x2
dt2
⇒ Alle physikalisch möglichen Bahnkurven können in beide Richtungen durchlaufen werden.
(*)
(b) ~a = −k~x + k ′~v
t → −t ⇒ ~a = −k~x − k ′~v nicht invariant unter t → −t
t → −t =
ˆ anderer physikalischer Prozeß
(ii) det O = −1
Jede Matrix O kann geschrieben werden als
P
O = |{z}
R · |{z}
(∗)
(+)
(*) Drehmatrix det R = 1


−1 0
0
(+) P =  0 −1 0  P =Raumspiegelung
ˆ
0
0 −1
32
3
Newton’sche Axiome
3.1
Vorbemerkung
3.1.1
Grundlegende Begriffe
(i) Teilchen: Definiert durch Energie-Impuls-Beziehung
relativistisch: E =
p
m
p
m2 c4 + p2 c2 , c: Lichtgeschwindigkeit
p: Impuls des Teilchens
≪c
⇒nicht relativistisch: E =
mc2
|{z}
Ruheenergie
+
p2
2m
|{z}
+...
kinetische Energie
(ii) Masse: charakteristische Konstante des Teilchens T
(iii) d = 3-dimensionaler Raum
Jedes T hat d Freiheitsgrade(=Anzahl der unabhängigen Koordinaten
zur Festlegung des Ortes)
(iv) Kraft wirkt von außen auf T
(v) Zustände sind festgelegt durch ~r und ~v (für jedes T)
→ Zustandsraum, Phasenraum
Beispiel: d=1, T bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
33
3.1.2
Kräfte
(a) Beispiele
(i) Gravitationskraft
von m1 auf m2 ausgeübte Kraft:
F21 = G
m2 m1 ~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1 | |~r2 − ~r1 |
3
m
mit G = 6, 67 · 10−11 kgs
2
(ii) Coulombkraft m1 → e1
m2 → e2
−1 e1 e2 ~r2 − ~r1
⇒ F21 =
4πε0 |~r2 − ~r1 | |~r2 − ~r1 |
mit
−1
= 8, 98 · 109 VAsm
4πε0
(iii) harmonische Kraft
F~21 = k|~r2 − ~r1 |
∼Auslenkung, anziehend
(iv) konstante Kraft
Beispiel: Gravitationskraft nahe der Erdoberfläche
GMErde
F~ = m · ~g mit |~g | =
2
RErde
Richtung: zum Erdmittelpunkt
(v) Lorentz-Kraft
Kraft auf ein T mit Ladung e
~ + ~v × B)
~ E
~ elektrisches Feld
F~L = e(E
~ magnetische Induktion
B
34
(vi) Reibungskraft
F~R = −f (v)~v
f =konstant Stockes’sche Reibung
f ∼v
Newton’sche Reibung
(b) innere und äußere Kräfte
innere Kräfte: von den T eines Systems aufeinander ausgeübte Kräfte
äußere Kräfte: haben den Ursprung außerhalb des Systems
abgeschlossenes System: falls keine äußeren Kräfte vorliegen
(c) Kraftfeld
äußere Kräfte F~ = F~ (~r) jedem Punkt ~r wird ein Vektor F~ (~r) zugeordnet
→ Kräftefeld
Beispiele:
F~ (~r) = −mg~ez
35
~r 1
F~ (~r) ∼
|~r| |~r|2
~
allgemeines Vektorfeld V
3
3
~ : ~r ∈ R → R
V
Skalarfeld S
S : ~r ∈ R3 → R
Beispiel: Temperaturverteilung im Raum
3.2
Newton’sche Axiome
Newton 1687 “Principia Mathematica”
1. Kräftefreie Körper bewegen sich geradlinig und gleichförmig
2. Die Änderung des Impulses ist gleich der auf den Körper wirkenden
Kraft
3. Die Kräftewirkung zweier Körper aufeinander sind entgegengesetzt gleich
(“actio = reactio”)
36
Erläuterung und Interpretation
zu 1:
• “geradlinig”: Bewegung auf einer Geraden
• “gleichförmig”: konstante Geschwindigkeit
• “kräftefrei”: Körper ist sich selbst überlassen, kein anderer Körper,
keine Gravitationskraft, kein elektromagnetisches Feld
• “Körper”: Massenpunkt, mechanisches System ohne Freiheitsgrade
• Definition von IS
IS = Koordinatensystem in dem das 1. Newton’sche Axiom gilt
zu 2:
• gilt nur im IS
• Impuls ~p = m~v
• ~p˙ = F~
• m 6= m(t) ⇒ m · ~a = F~
Dieselbe Kraft F~ wirkt auf 2 Körper (1-dimensional)
m1
a2
F = m1 a1 o
⇒
=
F = m2 a2
m2
a1
⇒ messe Beschleunigungen
⇒ Aussage über Masse
1. Axiom ist Spezialfall des 2. Axioms mit F~ = 0
zu 3: (“actio =reactio”)
• 2 Massenpunkte: m1 , m2
F12 : Kraft von m2 auf m1
F21 : Kraft von m1 auf m2
⇒ F~12 = −F~21
• Gesamtimpuls p~ = ~p1 + p~2
2.Axiom
3.Axiom
~p˙ = p~˙1 + ~p˙2 = F12 + F21 = 0
⇒ Gesamtimpuls ist erhalten
2 Zusätze
37
• Superpositionsprinzip: wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt
n
P
→ resultierende Kraft ist gegeben durch: F~ =
F~i
i=1
• 2 Massenpunkte: Kräfte wirken auf Verbindungslinie
Beispiele
(i) F = −kx
Newton ⇒ mẍ = −kx
(ii) Gravitation
m1 m2 ~r
F~ = G 2
r r
Newton
m1 m2 ~r2 − ~r1
⇒ m1~r¨ = G
(~r2 − ~r1 )2 |~r2 − ~r1 |
⇒ m1~r¨ = −G
m1 m2 ~r2 − ~r1
(~r2 − ~r1 )2 |~r2 − ~r1 |
(iii) Atwood-Maschine
38
Frage: a1 , a2 , Spannung im Seil T ?
m2 :
m1 :
2T − m2 g= m2 a2
t − m1 g = m1 a1
3. Gleichung y1 = −2y2
a1 = −2a2
2m2 − 4m1
4m1 + m2
2m1 − m2
a2 = g
4m1 + m2
3m1 m2 g
T =
4m1 + m2
⇒ a1 = g
3.3
Mathematischer Einschub
Gradient, Rotation, Divergenz
(a) Vektorfeld


f1 (~r)
f~(~r) = f2 (~r) : ~r ∈ R3 → R3
f3 (~r)
Skalarfeld
ϕ : ~r ∈ R3 → R
(b) Partielle Ableitung
geg: ϕ(~r)
Frage: Wie ändert sich ϕ falls ~r → ~r + d~r
Beachte zunächst die Änderung von ϕ entlang einer Koordinatenachse:
⇒ effektiv hängt ϕ dann nur von 1 Variablen ab
39
⇒ wende bekannte Regeln an
ϕ(x1 + h, x2 , x3 − ϕ(x1 , x2 , x3 )
lim
=
h→0
h
∂ϕ
∂x1
x2 ,x3
partielle Ableitung von ϕ nach x1 , x2 , x3 sind konstant
∂ϕ
∂ϕ =
= ∂x1 ϕ = ϕx1
Schreibweisen:
∂x1 x2 ,x3 ∂x1
Differentiationsregeln
wie bei der Abhängigkeit von 1 Variablen
Beispiel:
ϕ(x1 , x2 , x3 ) = sin(x1 x2 ) + x1 x3
∂ϕ
= x2 cos(x1 x2 ) + x3
∂x1
Mehrfache und gemischte Ableitung
∂nϕ
∂ ∂ n−1 ϕ
=
(rekursiv definiert)
·
∂xni
∂xi ∂xin−1
∂2ϕ
∂
∂ϕ
=
·
∂x1 ∂x2
∂xi ∂xj
Falls ϕ stetige partielle Ableitung bis mindestens 2. Ordnung
∂2ϕ
∂2ϕ
⇒
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Kettenregel
(1) ϕ = ϕ(x1 (t1 ), x2 (t2 ), x3 (t3 )
∂ϕ dx1
∂ϕ
=
∂t1
∂x1 dt1
(2) ϕ = ϕ(~r(t)) = ϕ(x1 (t), x2 (t), x3 (t))
dϕ
∂ϕ dx1
∂ϕ dx2
∂ϕ dx3
=
+
+
dt
∂x1 dt
∂x2 dt
∂x3 dt
3
X
∂ϕ
dxi totales Differential der Funktion ϕ
⇒ dϕ =
∂xi
i=1
40
(c) Gradient, Rotation, Divergenz
(i) Gradient
geg.: stetig differenzierbare
skalare Funktion ϕ
 
Dann: grad ϕ :=
∂ϕ
∂x1
 ∂ϕ 
 ∂x2 
∂ϕ
∂x3
Vektorfeld, Gradientenfeld
Definition:
 ∂ Nabla Operator
∂x1
~ = ∂ 
∇
∂x2
∂
∂x3
~
⇒ grad ϕ = ∇ϕ
−→
Richtung ist wichtig Ableitung wirkt immer nach Rechts
Interpretation
Betrachte infinitesimale Änderung von ϕ : ~r = ~r0 + d~r
~
ϕ(~r) = ϕ(~r0 ) + dϕ = ϕ(~r0 ) + ∇ϕdr
~ ⊥ d~r
dϕ = 0 falls ∇ϕ
~ zeigt
dϕ ist am größten, falls d~r in Richtung ∇ϕ
(ii) Divergenz
~ r ) = f1 , f2 , f3
geg: Vektorfeld f(~
div f~ =
3
X
∂fi
~ · f~ (=Skalar)
=∇
∂x
i
i=1
Beschreibt den Teilchenfluss durch eine bestimmte Fläche
(iii) Rotation
~ f1 , f2 , f3 = fx , fy , fz
geg: Vektorfeld
f


∂fy
∂fz
−
∂z
 ∂yx ∂f
z
~ × f~
=∇
rot f~ =  ∂f
−
∂z
∂x 
∂fy
x
− ∂f
∂x
∂y
Interpretation
41
Behauptung:
(rot f~)z
dxdy
| {z }
=
Fläche d. Rechtecks
R
f~d~r
gegen den Uhrzeigersinn
1 3 dy = 0
z = 0 ,
2 4 dx = 0
,
R
f~d~r=
x+dx
R x
dx,dy→0
=
−
y+dy
R fx ( ξ, y ) − fx (ξ, y + dy ) dξ +
fy (x + dx, η) − fy ( x, η ) dη
|{z}
| {z }
| {z }
|{z}
y
1
x+dx
Z
x
=
3
2
y+dy
Z
∂fy ∂fx dydξ
+
dxdη
dy (x,y)
x (x,y)
y
∂fy ∂fx
−
∂x
∂y
dxdy = (rot f~)z dxdy
• analog für y-z-Ebene und x-z-Ebene
• Verallgemeinerung
Satz von Stokes
Z
R
~
~ r
~
rot fdA =
fd~
O
|C {z }
Kurvenintegral
Integral über Oberfläche O mit Berandung C
42
4
3.4
Erhaltungssätze
Eine physikalische Größe G ist “erhalten”, falls sie nicht von der Zeit abhängt,
d.h. falls
d
G=0
G ist “Integral der Bewegung”
dt
3.4.1
Impulserhaltung
folgt aus 2. und 3. Newton’schen Axiom)
Betrachte 2 Massenpunkt a, b:
t = t1 : ~pa (t1 ) p~b (t1 )
t = t2 : ~pa (t2 ) p~b (t2 )
2. Axiom ⇒ p~a (t2 ) − p~a (t1 ) =
2. Axiom
=
⇒
3.4.2
−(~pb (t2 ) − p~b (t1 ))
Rt2
3. Axiom
F~ab dt =
t1
p~a (t1 ) + p~b (t1 ) = p~a (t2 ) + ~pb (t2 )
Energieerhaltung
(a) 1 Raumdimension
(hier m = konst.) betrachte F = F (x)
dv
dv
=m v
dt
dx
⇔ F dx = mvdv
v(x)
R
Rx
mv ′ dv ′
⇒ F (x′ )dx′ =
F = ma = m
⇒
Rx
x0
v(x0 ) = v0
v0
x0
F (x)dx = 21 mv 2 − 12 mv02
Definition: Rx
V (x) := − F (x)dx potentielle Energie
x0
E := 21 mv0
Energie
43
Rt2
t1
−F~ba dt
⇒ E = 21 mv 2 +V (x) = konstant auf der Bahnkurve des Massenpunktes
Beispiele:
(i) freier Fall
E = 21 mv 2 + V (x) = 12 m(gt)2 + mg(h − 21 gt2 ) = mgh
(ii) Feder
F (x) = −kx ⇒ mẍ = −kx
⇒ x(t) = A sin ωt + B cos ωt;
ω=
V (x) = 12 kx2
r
k
m
E = 21 mv 2 + 12 kx2 = 21 k(A2 + B 2 )
Bemerkungen:
(i) Sowohl E als auch V hängen von (beliebigen ) x0 ab, E − V nicht!
44
(ii) Wähle ein für das Problem passendes x0
Beispiel: F = −mg ⇒ x0 = 0
(iii)
Rx2
x1
F (x′ )dx′ ≡ Wx1 →x2
= 12 mv 2 (x1 ) − 21 mv 2 (x2 )
= Arbeit, die am Massenpunkt verrichtet wird,
um von x1 zu x2 gelangen
(iv) Potentialdiagramm
dx
(v) E = 21 ( )2 + V (x)x(t0 ) = x0
dt
2
Zx
Zt
dx
dx
2
q
→
= (E − V ) → dt =
dt
m
± m2 (E − V )
x0
t0
(i) → t = t(x)
(ii) → x = x(t)
(b) konservative Kräfte in 1 Dimension
(i) F = F (x)
45
Rx2
F (x)dx ist unabhängig vom genauen Weg des Massenpunktes,
x1
hängt nur von x1 und x2 ab.
(ii)
F = F (t)
F = F (v)
)
⇒ Wx1 →x2 hängt vom Weg ab
Beispiel: Reibung WReibung = −µmg|∆x|
Definition:
F ist konservativ, d.h. Wx1 →x2 hängt nur von x1 und x2 ab.
↔ F = F (x) (F 6= F (t, v))
Bemerkungen:
(i) V (x) = −
Rx
F (x)dx ist potentielle Energie
x0
⇔ F (x) konservativ
(ii) falls
Rx
F (x)dx von Details abhängt, macht die Definition von V (x)
x0
keinen Sinn
(c) Konservative Kräfte in 3 Dimensionen
analog zum 1-dimensionalen Fall
Definition:
R~r1
F~ = F~ (~r) ist konservativ, falls F d~r unabhängig vom Weg ist.
~
r0
• F~ d~r = Fx dx + Fy dy + Fz dz
• 1D: es gibt nur einen Weg
3D: es gibt ∞ viele Wege
Theorem
F~ = F~ (~r) ist konservativ ⇔ rot F~ = 0
46
Bemerkungen:
(i) Falls F~ konservativ ist kann Potential definiert
R~r
werden V (~r) F (~r′)d~r′
~
r0
(ii) Wegintegral
R~r1
F d~r =
~
r0
Rt1
t0
F (~r(t) · ~r˙ (t)dt
Beispiel:
~r
F~ (~r) =
r
~r(t0 ) = ~r0 ;
~r(t1 ) = ~r1
t+1
~r(t) =
0≤t≤1
t
R
F~ d~r=
Z1
0
=
Z1
0
~r(t)
|~r(t)|
√
1
dt
1
√
2t + 1
dt = 5 − 1
2t2 + 2t + 1
Beweis des Theorems:
“⇒”
bekannt:
47
R
R
~ × F~ )z dxdy
F~ d~r = (∇
nach Voraussetzung
R
R
F~ d~r = 2 F~ d~r
~ × F~ )z = 0
⇒ R F~ d~r = 0 ⇒ (∇
~ × F~
analog für x- und y-Komponente von ∇
1R
~ × F~ = 0 ist notwendige Bedingung für Wegunabhängigkeit
⇒∇
“⇐”
Satz
von Stokes:
R
R
~
~=
(∇ × F~ )dA
F~ d~r
O
C R
~ × F~ ≡ 0 auf O ⇒
∇
F~ d~r = 0
C
48
R
R
⇒ 1 F~ d~r = 2 F~ d~r
→ Wegunabhängigkeit
Bemerkung:
Falls F~ konservativ ist gilt:
dV = −F~ d~r = −(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
=
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
⇒ F~ (~r) = − grad V (~r), F~ ist ein Gradientenfeld
rot F~ = − rot grad V ≡ 0
(d) Energieerhaltung in 3 Dimensionen
2. Newton’sches Axiom
 dVx 
Vx dx
m konst
dV
˙
~

F = p~ = m~a = m Vy dyy 
z
Vx dV
dz
• 3 Gleichungen
• multipliziere dx, dy, dz
• addiere
dVy
dVz
dVx
Fx dx + Fy dy + Fz dz = m Vx
dx + Vy
dy + Vz
dz
|
{z
}
dx
dy
dz
~ d~
F
r
Integriere
R~r
⇒ F~ d~r + E = 12 m~v 2
~
r0
E = 12 m~v02 ;
~v (~r0 ) = ~v0
⇒ E = 21 m~v + V (~r) (für konservative Kräfte)
49
3.4.3
Drehimpulserhaltung
~ = ~r × p~ Drehimpuls
Defintion: L
~ = ~r × F~ Drehmoment
M
Beispiele:
(a) Kreisbewegung
L = Rmv
Richtung: aus der Ebene heraus
(b) lineare Bewegung von einem Außenpunkt
L = bmv
in die Ebene hinein
(c) ...
50
M =R·F
Betrachte
d~
L = ~r˙ × p~ + ~r × p~˙
dt
~
m ~|r˙ {z
× ~r}˙ +~r × F~ = M
=0
~ = 0, so ist L
~ eine Erhaltungsgröße
Drehimpulserhalung: Ist M
~
Insbesondere: Falls F~ eine Zentralkraft ist, d.h. F~ ∼ ~r, dann ist L
erhalten.
4
Beschleunigte Bezugsysteme - Scheinkräfte
Newton’sche Axiome gelten für Inertialsysteme
Frage: Können Newton’sche Axiome so modifiziert werden, dass sie für
nicht-ISe gelten?
Antwort: Ja. Führe (sog.) Scheinkräfte ein, dann gilt wieder F~ = m~a
Scheinkräfte: nur in nicht-ISen vorhanden
51
4.1
Koordinaten Tranformation
IS: ~ex , ~ey , ~ez
beschl. KS: ~e′x , ~e′y , ~e′z
~r′ = ~r − d~
Ziel:
d2~r′
bilde 2 und interpretiere Ergebnis als F~ = m~a im beschleunigten KS.
dt
benutze
~r′ = x′~e′x + y ′~e′y + z ′~e′z
~r = x~ex + y~ey + z~ez
d~ = dx~ex + dy~ey + dz~ez
d~e′y
dr ′
dx′ ′
dy ′ ′
dz ′ ′
d~e′
e′x
′
′ d~
=
~ex +
~ey +
~ez + x
+y
+ z′ z
dt
dt{z
dt } | dt
dt}
|dt
{zdt
(∗)
(*) =:
δ~
r′
dt
(+)
Änderung von ~r′ gemessen in KS
(+) Drehung von KS um ~ω , ~ω = ~ω (t)
δ~r′
d~r′
=
+w
~ × ~r
dt
dt
(~e′x , ~e′y , ~e′z haben feste Länge)
⇒
52
′
δ 2~r′
δ~r′ d~ω
δ~r
d~r′
′
′
= 2 + ~ω ×
+
× ~r + ~ω ×
+ ~ω × ~r
dt2
dt
δt
dt
dt
δ 2~r′
δ~r′
d~ω
′
+
ω
~
×
(~
ω
×
~
r
)
+
2~
ω
×
+·
× ~r′
2
dt
δt
dt
d~ω
~a′ +~ω × (~ω × |{z}
~r′ ) + 2 · ~ω × |{z}
~v ′ +
× ~r′
|{z}
dt
∗
∗∗
∗∗∗
* Beschleunigung
** Ort
*** Geschwindigkeit
im bewegten KS
~r′ = ~r − d~
d2~r d2 d~
d2~r′
−
=
⇒
dt2
dt2 dt2
|{z}
F
=m
mit oberer Gleichung:
d2 d~
d~ω
⇒ m~a′ = F~ −m 2 −m~ω × (~ω × ~r′ ) −2m~
ω × ~v}′ −m
× ~r′
|
{z
{z
}
|
dt
dt
|
| {z }
{z
}
~trans
F
~Cor
F
~Zent
F
Translations-, Zentrifugal-, Coriolis-, Azimutalkraft
→ Scheinkräfte
Beachte:
~r′ , ~v ′ , ~a′ hängen von Bewegung des T ab
ω, d~ Eigenschaften des Bezugsystems
4.2
4.2.1
Scheinkräfte
Translationskraft
d2 d~
F~trans = −m 2
dt
beschleunigte geradlinige Bewegung
53
~az
F
4.2.2
Zentrifugalkraft
F~Zent = −m~ω × (~ω × ~r)
↔ Zentripetalkraft
Bsp.: Karussell
- rotiert in x-y-Ebene ω
~ = ω~ez
- Person P im Abstand r ′ vom Zentrum
Wie groß ist F~Zent ?
|~ω × ~r′ | = ωr ′, ~ω × ~r′ zeigt tangential in Bewegungsrichtung
⇒ |~ω × (~ω × ~r′ )| = ω 2 r ′ , ω
~ × (~ω × ~r′ ) zeigt zum Zentrum nach innen
⇒ F~Zent zeigt radial nach außen
F~Zentripetal zeigt nach innen, |F~Zentripetal | = mω 2 r ′
Kräftebilanz im Karussellsystem:
(1) Reibungskraft nach innen
(2) Zentrifugalkraft nach außen
heben sich auf; P ist in Ruhe
Kräfte im IS
54
nur (1) → Kraft nach innen (Zentripetalkraft) die P auf der Kreisbahn hält.
4.2.3
Corioliskraft
F~Cor 6= 0 falls ~v ′ 6= 0
2 Spezialfälle
(i) Radiale Bewegung auf Karussell
P bewegt sich Richtung Zentrum mit ~v ′
⇒ F~Cor = −2m~ω × ~v ′ tangential zur Bewegungsrichtung
P muss F~Cor entgegenwirken
(ii) Tangentiale Bewegung auf Karussell
55
P bewegt sich tangential auf Karusell
F~Cor zeigt nach außen
4.2.4
Azimutal-Kraft
d~ω
F~az = −m
× ~r′
dt
ω
~
Faz 6= 0 falls d~
6= 0
dt
hier: betrachte Fall, dass sich |~ω | ändert aber nicht die Richtung
~ω
⇒ F~az = −mω̇ × ~r zeigt entgegen Bewegungsrichtung
ω
P auf Karussell
Karussell beschleunigt
atan = r ′ ω̇
FReib = matan Reibungskraft
Faz ist Gegenkraft zu FReib
5
Schwingungen/Harmonischer Oszillator (HO)
5.1
Motivation
• HO rücktreibende Krqaft ∼ Auslenkung
potentielle Energie ∼ (Auslenkung)2
→ Schwingungen, “sin”, “cos”
56
• HO tritt in der Natur in vielen Formen auf, oft nach Idealisierung
• HO exakt lösbar
• Beispiele
(i) schwingende Feder
F = −kx
V = 21 kx2
mẍ = −kx
⇒ ẍ + ω02x = 0 mit ω02 =
k
m
(ii) Federpendel
57
F = −mg sin ϕ
ms̈ = F~
s = lϕ
∗
⇒ mϕ̈ = −mg sin ϕ = −mgϕ
* kleine Auslenkung < 5˚, sin ϕ = ϕ
⇒ ϕ̈ + ω02 ϕ = 0 mit ω02 =
g
l
(iii) Schwingung von Molekülen
(iv) Bewegung eines T im Potential V (x)
kleine Auslenkung um x0
⇒ Entwickle V (x) um x0 (Taylor-Entwicklung)
1
⇒ V (x) = V (x0 ) + V ′ (x0 )(x − x0 ) + V ′′ (x0 )(x − x0 )2 + (x − x0 )3
| {z } | {z }
|2 {z }
=konst
(∗) F = −
=0
(∗)
dV
= V ′′ (x − xo ) → HO
dx
58
5.2
5.2.1
Mathematischer Einschub
Komplexe Zahlen
Definition :
√
i := −1 imaginäre Einheit
i2 = −1
Komplexe Zahl:
z = a + ib; ab ∈ R
a = Re(z) Realteil
b = Im(z) Imaginärteil
z̄ = a − ib komplex konjugierte Zahl
Graphische Darstellung
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ)
r = |z| Betrag
ϕ = arg z Phase bzw. Argument
Es gilt:
r 2 = a2 + b2
b
ϕ = arctan
a
−π < ϕ6π
Rechenregeln:
z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2
59
Additon
z1 + z2 = a1 + a2 + i(b1 + b2 )
Multiplikation
z1 · z2 = a1 a2 − b1 b2 + i(a1 b2 + a2 b1 )
Division
z1
z1 z¯2
a1 a2 + b1 b2 + i(−a1 b2 + a2 b1
=
=
Z2
z2 z¯2
a22 + b22
Betrachte:
f (y) = cos y + i sin y
df
= − sin y + i cos y = if (y)
dy
deiy
= ieiy
dy
f (y) = eiy
eiy = cos y + i sin y Euler’sche Formel
⇒ jede komplexe Zahl kann geschrieben werden als z = reiϕ
allgemeine Potenz z α = r α eiϕα
α = n ∈ N → (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ)
Satz von Moliere
Logarithmus von komplexen Zahlen:
w = ez , z = ln w = ln reiϕ = ln r + ln eiϕ = ln r + iϕ
(Achtung: ln ist mehrdeutig)
5.2.2
Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)
Definition: Eine Gleichung der Form
y n (x) = f (y n−1, y n−2, . . . , y ′, y, x)
heißt DGL nter Ordnung (y = y(x))
• Wichtig in der Physik: DGL 2. Ordnung (Bewegungsgleichung)
60
• Oft: DGL nicht analytisch lösbar → numerische Methoden
Wichtige Spezialfälle
(a) lineare DGL y n +
n−1
P
a(i) (x)y (i) + b(x) = 0
i=0
(b) lineare DGL mit konstantem Koeffizienten ai (x) = konstant
(c) homogene, lineare DGL mit konstantem Koeffizienten → b(x) = 0
Vorschrift um Lösung zu erhalten
(i) Ansatz: y(x) = eλx
(ii) einsetzen ⇒ λn + an−1 λn−1 + . . . + a0
(iii) Bestimme n-Lösungen λi , i = 1, n
(iv) Allgemeine Lösung y(x) =
P
cj eλix
Beispiel:
ẍ(t) + ω02 x(t) = 0
(i) x(t) = eλt
(ii) (λ2 + ω02 )eλt = 0
(iii) λ1/2 = ±iω0
(iv) x(t) = c1 eiω0 t + c2 e−iω0 t = (c1 + c2 ) cos(ω0 t) + i(c1 − c2 ) sin(ω0 t)
c1 , c2 ∈ C
c1 , c2 aus: x(t0 ) = x0 , ẋ(t0 ) = v0
Bemerkungen zu (b) Lösung besteht aus 2 Anteilen
61
1. Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (vgl. (c))
2. Eine Lösung der inhomogenen Gleichung (“raten”)
→ Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:
y(x) = yn (x) + yp (x) p: partikulär
5.3
Harmonischer Oszillator (HO)
5.3.1
HO ohne Reibung (1-dimensional)
rücktreibende Kraft: F (x) = −kx
Newton mẍ(t) = F (x) ⇒ ẍ + ω02x = 0,
Lösung: siehe 2.2.
5.3.2
ω02 =
HO mit Reibung
FReibung = −Rẋ
• wirkt der Bewegungsrichtung entgegen
• FReibung ∼ Geschwindigkeit
Bewegungsgleichung: mẍ = −kx − Rẋ
k
R
⇒ ẍ + ̺ẋ + ω02 x = 0, ω02 = m
, ̺= m
>0
Ansatz: x(t) = eλt
⇒ λ2 + ̺λ + r
ω02 = 0
̺ 2
̺
λ1/2 = − ±
− ω02
2
2
Fallunterscheidung
̺
Schwingungsfall
2
̺
(b) ω0 < Kriechfall
2
̺
(c) ω0 = Aperiodischer Grenzfall
2
(a) ω0 >
62
k
m
zu (a) : ω0 >
̺
2
r
̺ 2
̺
⇒ λ1/2 = − ± iΩ, Ω = ω02 −
2
2
→ 2 unabhängige Lösungen
̺
x1/2 = e− 2 t e±iΩt
reelle Lösungen
̺
xc (t) = e− 2 t cos(Ωt)
̺
1
xs (t) = (x1 − x2 ) = e− 2 sin(Ωt)
2i
Allgemeine Lösungen:
x(t) = Axc (t) + Bxs (t)
2
Relaxationszeit = Zeit nach der die Ampli̺
abgefallen ist
Definition: τ =
tude auf
zu (b) : ω0 <
λ1/2
1
e
̺
2
̺
=− ±
2
r
|
̺ 2
− ω02 < 0
2
{z
}
< ̺2
2 unabhängige Lösungen:
x1/2 (t) = e−γ1/2 t , γ1/2 = −λ1/2 > 0
keine Schwingung
̺
zu (c) : ω0 =
2
Nullstellen fallen zusammen λ1 = λ2 = − ̺2
̺
⇒ x1 (t) = e− 2 t
̺
Behauptung: x2 (t) = te− 2 t
Beweis: Einsetzen . . .
2. betrachte Lösungen (für λ1 6= λ2 )
1
(eλ1 t ± eλ2 t )
x± =
λ1 ± λ2
bilde lim
λ1 →λ2
⇒ x+ (t) = λ1 eλ2 t
63
1 − e(λ2 −λ1 )
λ1 →λ2
λ1 − λ2
2
−(λ
2 − λ1 )t + O((λ2 − λ1) )
= eλ2 t lim
= eλ2 t t
λ1 →λ2
λ1 − λ2
x− (t)= lim eλ1 t
e(λ2 −λ1 )t
5.3.3
λ1 →λ2
=
1 + (λ2 − λ1 )t + O((λ2 − λ1 )2 )
Erzwungene Schwingungen
Betrachte zusätzlich eine äußere zeitabhänige Kraft Fa (t)
(∗)
F
⇒ ẍ + ̺ẋ + ω02 x = f (t); f (t) = m
inhomogene, lineare DGL 2. Ordnung
Allgemeine Lösung: x(t) = xn (t) + xp (t)
xn (t) : siehe 5.3.2
enthält 2 freie Konstanten, die durch Anfangsbedingungen
(“x0 , v0 ”) festgelegt sind
xp : eine Lösung von (*)
Beachte:
(i) Für ̺ 6= 0 klingt xn exponentiell ab
⇒ nach Einschwingungsvorgang bleibt nur xp übrig (“stationärer
Zustand”)
(ii) xp1 (t) und xp2 (t) seien Lösungen zu f1 (t) und f2 (t)
⇒ a1 xp1 (t) + a2 xp2 (t) ist Lösung zu a1 f1 (t) + a2 f2 (t)
64
(a) Betrachte harmonische äußere Kraft
f (t) = f0 eiωt , f0 ∈ C
̺=0
⇒ ẍ + ω02 = f0 eiωt
√
xn
Ansatz: xp = ceiωt ⇒ c(−ω 2 + ω02)eiωt = f0 eiωt
f0
⇒c= 2
ω0 − ω 2
reelle Lösungen
f (t) = f0 cos(ωt) xcos
p (t) = Rexp (t)
sin
f (t) = f0 sin(ωt) xp (t) = Imxp (t)
(b) f (t) = f0 eiω0 t ; ̺ = 0; ω0 = ω
Ansatz: xp (t) = dteiω0 t
tf0 iωt
e
einsetzen ⇒ xp (t) =
2iω
Amplitude ∼ t
(c) ̺ 6= 0 → Übungen
Amplitude c ∼
ω2
1
− ω02 + i̺ω
Phasenverschiebung δ = δ(ω)
ω→0 ⇒ δ→0
ω→∞ ⇒ δ→π
5.4
Mathematischer Einschub δ-Funktion
Definiere Funktion δ(t) über die Eigenschaft
Z−∞
f (t0 ) =
δ(t − t0 )f (t)dt
+∞
für beliebige “Testfunktion” f (t) (f (t) sei stetig)
Dirac’sche δ-Funktion
Eigenschaften
(i)
δ(t) = 0
δ(t) = ∞
−∞
R
für t 6= 0
mit
δ(t)dt = 1
für t = 0
+∞
65
(ii) δ(t) ≈ Verallgemeinerung des Kronecker-δ’s
P
fj = dij fj
j
′
i,
Pj → Rt, t
→
(iii) saloppe Schreibweise
δ(t) ist der Grenzwert einer Funktionenfolge δa für a → 0 mit
−∞
R
δn (t) = 1
+∞
Beispiele
(i) δa (t) =
(
1
für|x| < a
2a
0
sonst
t2
1
(ii) δn (t) = √ e− a2
a π
66
Problem
der Mathematik (Distributionstheorie)
Z
? R
lim δn (t − t′ )f (t′ )dt′ = lim δa (t − t′ )f (t′ )dt′
a→0
a→0
{z
}
|
=f (t)
Physik: Grenzwert a → 0 nicht durchführen, sondern setze a gleich mit
der kleinsten bekannten Zeit, Ort, . . .
In der Praxis: befolge Rechenregeln ⇒ richtiges Ergebnis
Rechenregeln:
(i) δ(−t) = δ(t)
(ii) tδ(t) = 0
(iii) δ(at) =
1
δ(t)
|a|
(iv) δ(t2 − a2 ) =
1
(δ(t
2a
′
− a) + δ(t + a))
(v) f (t)δ(t − t′ ) = f (t )δ(t − t′ )
n
1 t>0
(vi) Θ(t) =
0 t<0
d
Θ(t) = δ(t)
dt
5.5
Kraftstoß
Betrachte HO in Ruhe. Zum Zeitpunkt t = t′ wirkt eine äußere Kraft
in Form eines Kraftstoßes, d.h. Kraft wirkt eine infinitesimal kurze
Zeit mit unendlicher Stärke
67
f (t) = δ(t − t′ )
ẍ(t) + ̺ẋ(t) + ω02 x(t) = δ(t − t′ )
Ziel: Berechne x(t) mit x(t < t′ ) = 0
ẋ(t < t′ ) = 0
(a) x(t) → x(t, t′ ) x(t, t′ ) = 0 für t < t′
(b) x(t, t′ ) hängt nur von t − t′ ab → x(t − t′ )
(c) t > t′ ẍ + ̺ẋ + ω02 x = 0
−̺
′
′
⇒ x(t − tq
) = e 2 (t−t ) [c1 cos(Ω(t − t′ )) + c2 sin(Ω(t − t′ ))]
ω02 −
mit Ω =
̺2
4
(d) Integriere DGL über infinitesimal kleinen Bereich um t = t′
ε>0
lim
Zt+ε
ε→0
t′ −ε
→0
}| {
Zt+ε
d
d
2
′
+̺
+ω0 x(t − t )dt = lim
dtδ(t − t′ ) = 1
2
ε→0
dt
dt
|{z}
t′ −ε
z
2
(∗)
t′ +ε
d
′ = lim x(t − t )
= lim ẋ(0) = 1
ε→0 dt
ε→0
t′ −ε
(*) (x(ε) − x(−ε)) = 0
Außerdem lim x(ε) = x(=) = 0 (Stetigkeit)
ε→0
(e) einsetzen
⇒ c1 = 0
1
c2 =
Ω
(
1 − ̺ (t−t′ )
e 2
sin(Ω(t − t′ )) t > t′
(f) x(t − t ) = − Ω
0
t < t′
heißt Green’sche Funktion des HO (ẍ + ̺ẋ + ω02 x = 0)
G(t − t′ )
′
68
Eigenschaften
(i) G(t − t′ ) = 0 t < t′ wegen Kausalität (Wirkung kommt nach
Ursache)
(ii) Wirkung nicht instantan, sondern retardiert (d.h. ausgedehnt,
verzögert)
(iii) Beliebige äußere Kraft
+∞
R
Behauptung: x(t) =
dt′ G(t − t′ )f (t′ )
−∞
löst ẍ + ̺ẋ + ω02 x = f (t)
Beweis:
Z+∞ 2
d
d
′
2
′
ẍ + ̺ẋ + ω02 x =
dt′
+
̺
+
ω
0 G(t − t ) f (t ) = f (t)
2
dt
dt
|
{z
}
−∞
δ(t−t′ )
f (y) =
R
δ(x − y)f (x)dx
H.O: ẍ + ̺ẋ + ω02 x = f (t)
•
•
•
•
̺ = 0,
̺ 6= 0,
̺ 6= 0,
̺ 6= 0,
f =0
f =0
f ∼ eiωt
beliebigesf (t)
1 ̺
x(t) = G(t − t′ ) = e− 2 t sin(Ω(t − t′ ))
Ω
+∞
R
G(t − t∗)f (t′ )dt′
⇒ x(t) =
−∞
69
6
6.1
Zweiteilchensysteme (mit Zentralkraft)
Relativ- und Schwerpunktkoordinaten
• Anzahl der Freiheitsgrade: f = 6
~r
• F~21 = −F~12 ∼
|~r|
• Bewegungsgleichung:
m1~r¨1 = F~21
m2~r¨2 = F~12
Erhaltungsgrößen
70
Impuls: P~ = ~p1 + p~2 = m1~r˙1 + m2~r˙2
~ = ~r1 × p~1 + ~r2 × p~2
Drehimpuls: L
Energie: E = 21 m1~r˙12 + 21 m2~r˙22 + U(r), F~ = − grad U(r)
Wechsle Koordinaten:
• ~r = ~r1 − ~r2 (*) Relativkoordinaten
m1~r1 + m2~r2
(**) Schwerpunktkoordinaten
•
m1 + m2
m1 + m2 = M
~ + m2 ~r
⇒ ~r1 = R
M
~ + m1 ~r
~r2 = R
M
~˙ = m1~r˙1 + m2~r˙2 = P~
(**) ⇒ M R
~¨ = P~˙ = 0
MR
(*) ⇒ ~r¨ = ~
r¨1 − ~r¨2 = m11 F~21 − m12 F~12
= m11 + m12 F~21 (~r)
1
1
1
=
+
m reduzierte Masse
m
m1 m2
Drehimpuls
~˙ + m2 ~r˙ ) + (R
~˙ − m1 ~r˙ )
~ − m1 ~r) × m2 (R
~ (R
~ + m2 ~r) × m1 (R
L=
M
M
M
M
2
2
~ ×R
~˙ + m1 m2 + m1 m2 ~r × ~r˙ = L
~ Sp + L
~ rel
= MR
2
M
|
{z
}
=m
Energie
1 ~˙ 2 1 ˙ 2
E= M R
+ m~r + U(r)
|2 {z } |2
{z
}
= ESp +
Erel
L~Sp und L~rel / E~Sp und E~rel sind getrennt erhalten.
71
6.2
(a)
Drehimpulserhaltung, Bahnkurven
dL~rel
= 0 ⇒ Bewegung verläuft in der Ebene; o.B.d.A x-y-Ebene
dt
Polarkoordinaten: x = r cos ϕ
ẋ = ṙ cos ϕ − r ϕ̇ sin ϕ
y = r sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ̇ sin ϕ
~ rel )z = m(xẏ − ẋy) = mr 2 ϕ̇
Lz = (L
Erel ≡ E= 21 m(ẋ2 + ẏ 2 ) + U(r)
= 21 mṙ 2 + 12 mr 2 ϕ̇2 + U(r)
1
L2z
= m~r˙ 2 +
+ U(r)
2
2mr 2
• DGL 1. Ordnung
• effektives Potenzial Uef f (r) =
L2z
+ U(r)
2mr 2
• ⇒ 1-dim Problem: T mit Energie E bewegt sich im effektiven
Potenzial Ue f f (r)
betrachte U(r) = −
α
r
α = m1 m2 G > 0
72
(b) Aus E = const. folgt dt = q
dr
2
(E
m
− Ueff )
(1) Berechne t(r)
(2) ⇒ r(t)
Einfacher: r(ϕ)
mr 2
dϕ
⇒ dt =
dϕ
Lz = mr 2
dt
Lz
⇒
Zϕ
dϕ =
ϕ0
=
Zr
r0
Zr
r0
q
q
Lz
dr
mr 2
2E
m
+
2α
rmE
−
L2z
m2 r 2
Lz
dr
mr 2
2E
m
+
α2
L2z
Lz
α
x=
−
mr Lz
Zx(r)
Lz
− ( mr
−
α 2
)
Lz
→ dx = −
Lz dr
mr 2
dx
x
= arcos =! ϕ − ϕ0
2
2
A
A −x
x(r0 )
s
Lz
2E α2
α
⇒
−
=
+ 2 cos(ϕ − ϕ0 )
mr Lz
m
Lz
=−
6.3
√
2E α2 mit A2 =
+ 2
m
Lz
Mathematischer Einschub
Ellipse und Hyperbel
Ellipse
73
Hyperbel
Exzetrizität:
Bahnkurve:
Ellipse
f
ǫ= <1
a
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
Hyperbel
f
ǫ= >1
a
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
b2
a
Polarkoordinaten, Ursprung in einem der Brennpunkte
Parameter:
p = y(x = f ) =
x = f + r cos ϕ
p
y = r sin ϕ
⇒ = 1 + ǫ cos ϕ Normalform
r
Halbachsen:
p
1 − ǫ2
p
b= √
1 − ǫ2
a=
p
−1
p
b= √
2
ǫ −1
a=
ǫ2
74
6.4
Planetenbewegungen/Kepler-Problem
(a) Vgl.
Lz
α
−
=. . .
mr Lz
p
L2
mit = 1+ǫ cos ϕ ⇒α>0 p = z ; ǫ =
r
mα
α
gr. Halbachse: a =
2|E|
Lz
kl. Halbachse: b = p
2m|E|
r
2EL2z
1+
=
mα2
(b) Umlaufzeit des Planeten (E < 0)
dϕ
⇒
Lz = mr 2
dt
ZT
0
dt=
Z2π
0
mr 2
dϕ
Lz
Z2π
1 2
(*)
r dϕ
2
|0 {z }
Fläche der
Ellipse = πab
2πm
Lz
=
ap
Lz
2m|E|
= 2 Lmz
= 2π
r
m 3
a2 = T
α
1
dF
Lz
(*)dF = r 2 dϕ ⇒
=
2
dt
2m
75
( < 1 für E < 0 → Ellipse
= 1 für E = 0 → Parabel
> 1 für E > 0 → Hyperbel
(c) Kepler’sche Gesetze (1618)
(1) Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne (mSonne ≪ mP )
(2) ,,Fahrstrahl” überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
(3) Die Quadrate der Umlaufzeiten sind proportional zu den Kuben
der großen Halbachse
6.4.1
Nachtrag: Qualitative Diskussion der Bahnkurve für allgemeines Potential U(r)
E > 0 infinite Bewegung
• T. läuft von großem Abstand auf Potentialzentrum zu.
• Umkehrpunkt r = rmin : Radialgeschwindigkeit: ṙ < 0 → ṙ > 0
• wegbewegung vom Zentrum
∆ϕ =
Z∞
rmin
Lz
dr
mr 2
q
; θ = 2∆ϕ − π
(E − Uef f ) m2
76
E < 0 finite Bewegung
• Bahnkurve muss nicht geschlossen sein
∆ϕ :
rmax → rmin → rmax
rZmax
Lz
2 dr
q mr
∆ϕ = 2
2
(E − Uef f )
m
rmin i
m
• Bahnkurven sind geschlossen, falls ∆ϕ = 2π n, m ∈ N
n
α
2
• U(r) = − und U(r) = kr → Bahnkurve geschlossen
r
77
6.4.2
Lenz-Runge-Vektor
~ = ~v × L
~ − α ~r ist erhalten, zeigt zum Perihel
Λ
r
Beweis:
˙
˙
˙
~
dΛ
~ − α ~r + α ~rṙ = − 1 α ~r × L
~ − α ~r + α ~r~r
= ~r¨ × L
dt
r
r3
m r3
r
r3
r × ~r × m~r˙ = m −r 2~r˙ + ~r~r˙
=−
α 2 ˙ ˙ ~r~r˙
~r˙
−r
+
α
~
r
+
~
r
~
r
~
r
−
α
r3
r
r3
Richtung: wähle ϕ = 0 ⇒ ~r zeigt zum Perihel
~r = ~ex r
r=
p
1+E
ϕ̇ =
Lz
mr 2
L2z
mα
2
2
L
1
+
E
L
z
z
~ = ~ey × ~ez r ϕ̇Lz − α~ex = ~ex
Λ
− α = ~ex
−α
mr
m p
= ~ex αǫ ⇒ zeigt zum Perihel
~ = ~ez Lz ~v = ~ey r ϕ̇
L
7
7.1
p=
Streuung von Teilchen
Allgemeine Überlegungen
hier: elastische Streuung; T. hat zu Anfang und Ende Geschwindigkeit v∞
78
• wirkungsquerschnitt b = b(θ) i.A.: b ր⇒ θ ց
T. im Intervall [b, b + db] und [ϕ, ϕ + dϕ]
→ Streuung in Kegel mit Öffnungswinkel :
dΩ = sin θ dθdϕ =
dF Detektoroberfläche
R2 Abstand Detektor-Streufläche
Streuung an U = U(r)
⇒ T-Bahnen verlaufen in Ebenen, Unabhängigkeit von ϕ
dσ
Anzahl T. die in das Raumwinkelelement dΩ gestreut werden/Zeit
=
dΩ
Anzahl einlaufende T./(Fläche × Zeit)
=
∆N
dΩdt
j
j = Stromdichte
79
√
• Drehimpuls bzgl. Streuzentrum I = bmv∞ = b 2mE ist erhalten
• Betrachte
einfallenden T-Strom : Iin = j2πb|db|
dσ
∆N
gestreuten T-Strom : Iout =
j 2π sin θ dθ =
dΩ | {z }
∆t
=dΩ
benutze Iin = Iout b db dσ
=
→
dΩ
sin θ dθ • Totaler wirkungsquerschnitt σtot =
• Problem/Aufgabe b = b(θ)
7.2
Z
dσ
dΩ =
dΩ
Z
dσ
sin θdθ dϕ
|{z}
dΩ
2π
Rutherford-Streuung
1912-1913 Beschuß einer Goldfolie mit α-Teilchen (He4 -Kerne)
→Bohrsches Atommodell: punktförmiger Kern, ausgedehnte e− -Hülle
α>0
z1 z2 e2
α
z1 = 2
Streuung am Coulomb-Potential: U(r) = − =
r
r
z2 = 79
Bahnkurve Hyperbel:
80
p
= 1 − ǫ cos ϕ
r r
EL2z
<1
ǫ= 1+2
mα2
p=
L2z
mα
Lz = l
• min. Abstand für ϕ = 0: rmin =
p
1−ǫ
• r → ∞:
1
1
1
cos ∆ϕ = = q
=p
ǫ
l2
1 + tan2 ∆ϕ
1 + 2E mα
2
2Eb
⇒ tan ∆ϕ =
|α|
cos 2θ
sin π−θ
θ
π−θ
2
=
= cot
=
π−θ
θ
2
2
cos 2
sin 2
θ
|α| 1
α 2 cos 2
1
dσ
⇒ b(θ) =
=
⇒
2E sin2 θ2
dΩ
2E
sin θ 2 sin2
tan ∆ϕ =
θ
2
1
α2
=
16E 2 sin4
θ
2
Interpretation:
dσ
1
• θ → 0 d.h. b → ∞;
∼ 4
dΩ
θ
Z
dσ
dΩ → divergent
dΩ
T. in großer Entfernung werden auch abgelenkt → “Langreichweitigkeit
des Coulombpotentials”
Realität: Abschirmung durch negative Ladung der Elektronen
z1 z2 e2 − rr
U(r) → UA (r) =
e 0 r0 = Atomdurchmesser “Abschirmlänge”
r
• θ = π : Rückstreuung; gute Übereinstimmung von Theorie und Experiment
81
• Ergebnis der klassischen Behandlung stimmt mit quantenmechanischer
Herleitung überein
•
dσ
ist unabängig vom VZ von α → gilt für anziehende und abstoßende
dΩ
Potentiale
• Obige Formel gilt im Schwerpunktsystem
8
8.1
Vielteilchensysteme
Notation
Betrachte N Massenpunkte m1 , . . . , mN mit inneren Kräften F~ik zwischen Ti
~ i (auf Ti )
und Tk und äußere Kräfte K
~rk − ~ri
F~ik = fik (rik )
rik = |~ri − ~rk | Kraft von Ti auf Tk
rik
F~ik seien konservativ:
 d 
~ k Uik (rik ), ∇
~k =
⇒ F~ik = −∇

dxk
d
dyk
d
dzk


Bewegungsgleichungen
N
X
¨
m~ri =
F~ik + ~ki i = 1, . . . , N
k=1
k 6= i
Gesamtimpuls
Schwerpunkt
Gesamtmasse
Drehimpuls
8.2
P
P~ = N
mi r~˙i
i=1
P
N
~ = 1
R
m ~r
M
PN i=1 i
M = i=1 mi
~ = PN mi~ri × r~˙i
L
i=1
Erhaltungssätze
(a) Impulssatz
i6=k
N
N
N
N
X
X
X
X
X
dP~
¨
~
~
~
~
~i
(Fki + Fik ) +
Fik +
Ki =
=
mi r~i =
K
| {z }
dt
i=1
i=1
i=1
i<k
i,k=1
=0
dP~
= 0 für ein abgeschlossens System
⇒
dt
82
(b) Schwerpunktsatz
P
mi r~˙i = P~
M Ṙ = N
Pi=1
N ~
M R̈ = i=1 Ki
~
~0
abgeschlossenes System: R(t)
= ~v0 t + R
(c) Drehimpuls
d ~ PN
L= i=1 mi~ri × r~¨i
dt
N
N
N
X
X
X
~
~ri × ~ki
=
~ri ×
Fki +
i=1
=
=
|
X
i<k
i=1
k=1
k 6= i
{z
}
X
ri × F~ki + rk × F~ki
i<k
(~ri − ~rk ) × F~ki = 0
~
~ = 0 ⇒ dL = 0
abgeschlossenes System: D
dt
~i
(d) Energiesatz mi r~¨i = −∇
N
X
~i
Uki (rki ) + K
˙i
|~r,
k=1
k 6= i
N
N
X
X
X
d mi ˙2 ~ i r~˙i
~ i Uki (rki ) +
K
r~˙i ∇
~ri = −
dt
2
i=1
i=1
i, k
k 6= i
X
X
~ i + r~˙k ∇
~ k Uki (rki) = d
Uki (rki )
r~˙i ∇
=
dt
i<k
! i<k
N
N
X
˙
X
X
d
mi r~i
~ i r~˙i
⇒
+
Uki (rki) =
K
dt i=1 2
i<k
⇒
dE
=
dt
N
X
N
X
i=1
i<k
~ i r~˙i abgeschlossenes System → Energieerhaltung
K
|i=1{z }
Leistung
83
(e) Zusammenfassung
Ein abgeschlossenes N-Teichensystem wird durch 10 Integrationskonstanten beschrieben:
~ 0 , L,
~ E
P~ , R
(3), (3), (3), (1)
Erinnerung: eigentliche orthochrone GT hat 10 Parameter; Zshg. NoetherTheorem
84