Übungen zu den Grundlagen der Mechanik, WS 2015/16

Übungen zu den Grundlagen der Mechanik, WS 2015/16
Hausaufgabenblatt 3
Dr. Anne Stockem Novo
Abgabe bis 17.11.2015, 8:30 Uhr, im Briefkasten gegenüber NB 7/67
Aufgabe 3.1 (10 Punkte)
Betrachten Sie eine punktförmige Masse m, die an einer masselosen Feder
aufgehängt ist. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die x-Achse
vertikal nach oben zeigt und die Ruhelage des Pendels mit dem Ursprung
zusammenfällt. Zusätzlich zur Federkraft (Federkonstante k) soll die Masse
auch Stokessche Reibung erfahren (Reibungskoeffizient µ). Die Gewichtskraft beeinflusst hier lediglich die Ruhelage und ist daher nicht weiter
relevant. Aus rein physikalischen Gründen erwarten Sie, dass die Bewegung eine gedämpfte Schwingung ist, weshalb der folgende Ansatz sinnvoll
erscheint:
x(t) = A e−γt cos(ωt + δ) .
x
k
0
m
(∗)
Darin bezeichnen A und δ die beiden Integrationskonstanten, die den noch unbestimmten
Anfangsbedingungen entsprechen. Die Parameter γ und ω sind vorläufig unbestimmte und
positive Konstanten.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Federpendels auf und geben Sie seine Eigenfrequenz ω0 an.
(b) Zeigen Sie, dass der oben vorgeschlagene Ansatz (∗) tatsächlich die Bewegungsgleichung
löst. Wie müssen die Parameter γ und ω dann gewählt werden? Welche Voraussetzung
muss erfüllt werden, damit die angesetzte Lösung tatsächlich physikalisch sinnvoll (also
insbesondere reellwertig) ist?
(c) Um typische Zeitskalen TS und TD für Schwingung bzw. Dämpfung abzuschätzen,
betrachten Sie beide Effekte zunächst isoliert:
Im ungedämpften Fall (µ = 0) schwingt das Federpendel mit der Eigenfrequenz gemäß
cos(ω0 t + δ). Wie groß ist die Periodendauer TS dieser Oszillation?
Ignoriert man umgekehrt die Oszillation (k = 0), kann das exponentielle Abklingen
gemäß exp(−γt) isoliert untersucht werden. Nach welcher Zeit TD ist die Amplitude
auf das (1/e)-fache gefallen?
Stellen Sie durch Vergleich beider Zeitskalen ein Kriterium für schwache Dämpfung
auf und vergleichen Sie es mit dem rein mathematisch auftretenden Kriterium aus
Abschnitt 2.5.2 des Skriptes.
Hinweis: Betrachten Sie jeweils nur die isolierten Terme cos(ω0 t + δ) bzw. exp(−γt), um
TS und TD zu bestimmen, und geben Sie beide Zeitskalen als Funktion der Parameter
ω0 und γ an. Gründen Sie die Herleitung des Kriteriums darauf, dass die Dämpfung
dann schwach ist, wenn sie sich später bemerkbar macht als die Schwingung.
Bitte wenden!
(d) Allein aufgrund Ihres Wissens über Schwingungsgleichungen können Sie bereits einiges
über elektromagnetische Schwingkreise erschließen. Diese bestehen aus der Reihenschaltung einer Spule mit Induktivität L, eines ohmschen Widerstandes R sowie eines
Kondensators mit Kapazität C und werden beschrieben durch die Gleichung
LQ̈ + RQ̇ + C −1 Q = 0 .
Darin bezeichnet Q die elektrische Ladung, deren zeitliche Änderungsrate gerade der
Stromstärke I = Q̇ entspricht.
Geben Sie die Eigenfrequenz des Schwingkreises an und identifizieren Sie anhand des
entsprechenden Termes in der Gleichung, welches Bauteil die Dämpfung verursacht.
Aufgabe 3.2 (10 Punkte)
Betrachten Sie noch einmal das reibungsfrei schwingende Federpendel (vgl. Abschnitt 2.4.3
des Skriptes). Nehmen Sie nun an, dass zusätzlich zur linearen Rückstellkraft FR = −kx
auch noch die periodisch antreibende Kraft FP = F0 sin(ωt) wirkt. Darin bezeichnen F0
eine Konstante und ω = (k/m)1/2 die Eigenfrequenz dieses Oszillators.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Massenpunktes auf, d. h. geben Sie die Differentialgleichung für die Auslenkung x(t) an.
(b) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung, welche den Anfangsbedingungen
x(0) = 0 und ẋ(0) = −F0 /2mω genügt. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(1) Transformieren Sie die Bewegungsgleichung auf die neue Variable y(t), die definiert
ist durch x = y cos(ωt).
(2) Transformieren Sie die resultierende Differentialgleichung auf die neue Variable
z = 2ω ẏ + F0 /m. Lösen Sie die entstandene Gleichung für z durch Separation der
Variablen (siehe Hausaufgabenblatt 1). Nutzen Sie dabei, dass
ˆ
1
dt tan(ωt) = − ln|cos(ωt)| + const.
ω
(3) Führen Sie die Rücktransformation von z auf ẏ durch und bestimmen Sie y(t)
durch Integration. Nutzen Sie dabei, dass
ˆ
1
dt cos−2 (ωt) = tan(ωt) + const.
ω
(4) Führen Sie die Rücktransformation von y auf x durch und legen Sie die Integrationskonstanten anhand der Anfangsbedingungen fest.
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert |x(t → ∞)|, um das Langzeitverhalten zu charakterisieren. Welchen Fall beschreibt die in (b) gefundene Lösung anschaulich in der
Terminologie von Abschnitt 2.5.3 des Skriptes?