Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Beck-Shop

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele
222 Aufgabenstellungen mit ausführlichen Lösungen
Bearbeitet von
Lothar Papula
7. Auflage 2015. Buch. XXIII, 521 S. Softcover
ISBN 978 3 658 10106 0
Format (B x L): 16,8 x 24 cm
Weitere Fachgebiete > Mathematik > Numerik und Wissenschaftliches Rechnen >
Angewandte Mathematik, Mathematische Modelle
Zu Inhaltsverzeichnis
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29
II Funktionen und Kurven
Beispiel 1: Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen
Diskrete Funktion
Bild II-1 zeigt eine Reihenschaltung aus n gleichen Spannungsquellen und einem
Verbraucherwiderstand R a . Jede der Spannungsquellen liefert die konstante Quellenspannung U q und hat den inneren Widerstand R i .
Bestimmen Sie die Abhngigkeit der Stromstrke I von der Anzahl n der Spannungsquellen
und skizzieren Sie den Verlauf dieser diskreten Funktion I ¼ I ðnÞ. Gegen welchen Grenzwert
strebt die Stromstrke I, wenn man die Anzahl der Spannungsquellen beliebig vergrßert?
1. Quelle
Uq
Ri
+–
2. Quelle
Uq
Ri
+–
I
n-te Quelle
Uq
Ri
+–
Ra
Lehrbuch: Bd. 1, III.4.1.1
Bild II-1
Physikalische Grundlagen: A13, A14
Lsung:
Wir fassen zunchst die n gleichen Spannungsquellen zu einer
Ersatzspannungsquelle mit der Quellenspannung U 0 ¼ n U q
und dem Innenwiderstand R 0 ¼ n R i zusammen [ A13 ] (Bild
II-2). Nach den Kirchhoffschen Regeln der Reihenschaltung
[ A13 ] betrgt der Gesamtwiderstand der Schaltung
Rg ¼ R0 þ Ra ¼ n Ri þ Ra
Fr die Stromstrke I erhlt man damit nach dem Ohmschen
Gesetz [ A14 ]
I ¼ I ðnÞ ¼
U0
R0
+–
I
Ra
Bild II-2
U0
n Uq
¼
Rg
n Ri þ Ra
n ist dabei eine diskrete Variable, die nur positive ganzzahlige Werte annehmen kann:
n ¼ 1, 2, 3, . . . Diese diskrete Funktion (Punktfolge) strebt fr n ! 1 gegen den folgenden Grenzwert:
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Anwendungsbeispiele,
DOI 10.1007/978-3-658-10107-7_2
30
II Funktionen und Kurven
I max ¼ lim
n!1
n Uq
n Ri þ Ra
0
1
B Uq C
C ¼ Uq ¼ Uq
¼ lim B
n!1 @
Ri þ 0
Ri
R aA
Ri þ
n
(sog. Kurzschlussstrom, man erhlt ihn fr R a ¼ 0, d. h. bei fehlendem Verbraucherwiderstand R a ).
Bild II-3 zeigt den Verlauf dieser streng monoton
wachsenden Funktion.
I
I max
Bild II-3
5
10
15
n
Beispiel 2: Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln
Lineare Funktion
Zwei Kugeln fallen im luftleeren Raum im zeitlichen Abstand von 2 s aus gleicher Hhe und
jeweils aus der Ruhe heraus. Wie verndert sich der Abstand d der beiden Kugeln im Laufe
der Zeit t? Skizzieren Sie den Verlauf dieser Weg-Zeit-Funktion. Welchen Abstand voneinander haben die Kugeln nach 5 s gemeinsamer Fallzeit?
Erdbeschleunigung: g 10 m=s 2
Lehrbuch: Bd. 1, III.5.2
Physikalische Grundlagen: Al7
Lsung:
Den von der ersten Kugel bis zum Startpunkt der zweiten Kugel zurckgelegten Weg und die
dabei erreichte Geschwindigkeit erhalten wir aus den Fallgesetzen [ A17 ]
s ðtÞ ¼
1
gt2
2
und
v ðtÞ ¼ g t
zu
s ð2 sÞ ¼
1
m
10 2 ð2 sÞ 2 ¼ 20 m
2
s
und
v ð2 sÞ ¼ 10
m
m
2 s ¼ 20
2
s
s
II Funktionen und Kurven
31
Die zweite Kugel startet zur Zeit t ¼ 0 1). Bild II-4 zeigt Lage und Geschwindigkeit beider
Kugeln zu diesem Zeitpunkt.
Kugel 1
Kugel 2
Kugel 1: s 1 ð0Þ ¼ 20 m
m
v 1 ð0Þ ¼ 20
s
20
Kugel 2: s 2 ð0Þ ¼ 0 m
m
v 2 ð0Þ ¼ 0
s
v0
s
m
Bild II-4
m
und
s
der Anfangslage s 0 ¼ s 1 ð0Þ ¼ 20 m aus. Der in den folgenden t Sekunden zurckgelegte
Weg wird nach der Gleichung
Kugel 1 fhrt eine Fallbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 ¼ v 1 ð0Þ ¼ 20
s 1 ðtÞ ¼
1
m
m
g t 2 þ v 0 t þ s 0 ¼ 5 2 t 2 þ 20
t þ 20 m
2
s
s
berechnet. In der gleichen Zeit hat Kugel 2 den Weg
s 2 ðtÞ ¼
1
m
gt2 ¼ 5 2 t2
2
s
zurckgelegt. Der Abstand beider Kugeln zu diesem Zeitpunkt betrgt somit
d ¼ d ðtÞ ¼ s 1 ðtÞ s 2 ðtÞ ¼
¼ 5
m
m
m
m
t 2 þ 20
t þ 20 m 5 2 t 2 ¼ 20
t þ 20 m
s2
s
s
s
und nimmt daher im Laufe der Zeit linear zu (Bild II-5).
Nach 5 s gemeinsamer Fallzeit betrgt der Abstand
d ð5 sÞ ¼ 20
m
5 s þ 20 m ¼
s
¼ ð100 þ 20Þ m ¼ 120 m
d
m
100
80
60
40
20
1
Bild II-5
1)
Wir beginnen mit der Zeitmessung von neuem.
2
3
4
t
s
32
II Funktionen und Kurven
Beispiel 3: Zugspannung in einem rotierenden Stab
Quadratische Funktion
Ein homogener zylindrischer Stab der Lnge l rotiert nach Bild II-6 mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w um die eingezeichnete Achse.
a) Bestimmen Sie die durch die Zentrifugalkrfte hervorgerufene Zugspannung s an einer
beliebigen Schnittstelle x und skizzieren Sie den Spannungsverlauf lngs des Stabes.
b) An welcher Schnittstelle erreicht die Zugspannung ihren Maximalwert?
y
Drehachse
c) Welchen Wert darf die Winkelgeschwindigkeit nicht berschreiten, wenn die aus
materialtechnischen Grnden hchstzulssige
Zugspannung s 0 betrgt?
v
Schnittstelle
Stab
s
A
x
A: Querschnittsflche des Stabes
r: konstante Dichte des Stabmaterials
l
Bild II-6
Lehrbuch: Bd. 1, III.5.3
Physikalische Grundlagen: A15, A16
Lsung:
a) Die an der Schnittstelle x nach außen
wirkende Zentrifugalkraft lsst sich wie
folgt elementar berechnen. Beitrge liefern alle rechts von der Schnittstelle liegenden Massenelemente, d. h. insgesamt
der in Bild II-7 dunkelgrau unterlegte Teil
des Stabes mit der Lnge l x und der
Masse Dm ¼ r DV ¼ r A ðl xÞ.
y
Drehachse
v
l–x
Fz
S
A
x
xs
l
x
Bild II-7
Der Schwerpunkt dieses Teilstckes liegt aus Symmetriegrnden genau in der Mitte, d. h.
an der Stelle
xS ¼ x þ
lx
2x þ l x
xþl
1
¼
¼
¼
ðl þ xÞ
2
2
2
2
Die in dem Schwerpunkt S angreifende Zentrifugalkraft [ A15 ] betrgt somit
F Z ¼ Dm w 2 x S ¼ r A ðl xÞ w 2 ¼
1
r A w 2 ðl 2 x 2 Þ
2
1
1
ðl þ xÞ ¼
r A w 2 ðl xÞ ðl þ xÞ ¼
2
2
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
3: Binom
II Funktionen und Kurven
33
Fr die Zugspannung an der Stelle x erhalten wir damit definitionsgemß [ A16 ]
1
r A w 2 ðl 2 x 2 Þ
FZ
1
2
¼
s ðxÞ ¼
¼
r w 2 ðl 2 x 2 Þ ,
A
A
2
Die Zugspannung nimmt daher von der Drehachse aus nach
außen hin nach einer quadratischen Funktion ab ( parabelfrmiger Verlauf nach Bild II-8).
0 x l
s
smax
b) Die Zugspannung erreicht ihren grßten Wert an der Stelle
x ¼ 0, d. h. in der Drehachse:
smax ¼ s ð0Þ ¼
1
r w2 l2
2
l
c) Die maximale Zugspannung smax in der Drehachse darf den
hchstzulssigen Wert s 0 nicht berschreiten:
smax s 0 ,
d: h:
x
Bild II-8
1
r w2 l2 s0
2
Aus dieser Bedingung erhalten wir fr die Winkelgeschwindigkeit w den Maximalwert
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2s0
wmax ¼
r l2
der nicht berschritten werden darf.
Beispiel 4: Sortiervorrichtung
Parameterdarstellung, quadratische Funktion
Bild II-9 zeigt das Prinzip einer einfachen Sortiervorrichtung. Eine Kugel verlsst im Punkt A ihre
(waagerechte) Bahn mit der Horizontalgeschwinm
und soll den im Punkt
digkeit v 0 ¼ 1
s
B ¼ ðx 0 ; y 0 Þ postierten Behlter erreichen. An
welcher Stelle x 0 muss dieser Behlter stehen,
wenn die Hhendifferenz y 0 ¼ 1 m betrgt?
v0
A
v0 x
x0
x
y
B = ( x0 ; y0 )
y0
y
Bild II-9
Behälter
34
II Funktionen und Kurven
Lsungshinweis: Behandeln Sie die Bewegung als einen waagerechten Wurf im luftleeren
Raum mit der Erd- oder Fallbeschleunigung g ¼ 9,81 m=s 2 :
Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4 und III.5.3
Physikalische Grundlagen: A17
Lsung:
Die Kugel beschreibt eine sog. Wurfparabel mit der Parameterdarstellung
x ¼ v0 t ,
y ¼
1
gt2
2
ðt 0 : ZeitparameterÞ
(in x-Richtung: Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v 0 ; in y-Richtung: freier Fall
[ A17 ]). Wir lsen die erste Gleichung nach dem Zeitparameter t auf und setzen den gefundenen Ausdruck t ¼ x=v 0 in die zweite Gleichung ein:
2
1
1
x
1
x2
g
¼
x2 ,
x 0
y ¼
gt2 ¼
g
g 2 ¼
2
2
v0
2
v0
2 v 20
Dies ist die Gleichung der Bahnkurve der Kugel in expliziter Form. Fr den auf dieser Kurve
liegenden Punkt B ¼ ðx 0 ; y 0 Þ gilt somit
y0 ¼
g
x 20
2 v 20
Aus dieser Beziehung erhalten wir fr die gesuchte Ortskoordinate x 0 den folgenden Wert:
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u
u 2
u 2 ð1 m=sÞ 2 1 m
u 2 v0 y0
¼ 0,45 m
¼ t
x0 ¼ t
g
9,81 m=s 2
Beispiel 5: Aufeinander abrollende Zahnrder (Epizykloide)
Parameterdarstellung einer Kurve
Bild II-10 zeigt in vereinfachter Darstellung ein in der Getriebelehre hufig auftretendes Problem: Auf der Außenseite eines (festen) Zahnrades mit dem Radius R 0 „rollt“ ein zweites
Zahnrad mit dem Radius R ab.
a) Wie lautet die Parameterdarstellung der als Epizykloide bezeichneten Kurve, die ein Punkt
P auf dem Umfang des abrollenden Zahnrades bei dieser Bewegung beschreibt? Der
Punkt P soll sich dabei zu Beginn der Abrollbewegung in der Position P 0 befinden, als
Parameter whle man den sog. Drehwinkel t.
b) Zeichnen Sie die Epizykloide fr R 0 ¼ 3 und R ¼ 1 im Winkelbereich 0 t 360
(entspricht einem vollen Umlauf) mit der Schrittweite Dt ¼ 10 .
II Funktionen und Kurven
y
35
t: Drehwinkel
abrollendes Zahnrad
a: Wlzwinkel
b
M
R
t A
a
P
B
R0
y
v
t
0
P0 C
u
D
x
x
festes Zahnrad
Bild II-10
Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4
Lsung:
a) Zwischen den Koordinaten des Punktes P ¼ ðx; yÞ und den Koordinaten des Mittelpunktes M ¼ ðu; vÞ des abrollenden Zahnrades besteht der folgende Zusammenhang:
ðIÞ
x ¼ u þ CD ¼ u þ MA,
y ¼ v PA
Die Koordinaten u und v lassen sich dabei aus dem rechtwinkligen Dreieck OCM bestimmen. Aus
cos t ¼
OC
u
¼
R0 þ R
OM
sin t ¼
und
CM
v
¼
R0 þ R
OM
folgt dann
ðIIÞ
u ¼ ðR 0 þ RÞ cos t
und
v ¼ ðR 0 þ RÞ sin t
Die Strecken M A und P A erhalten wir aus dem rechtwinkligen Dreieck AMP. Es gilt
sin b ¼
PA
PA
¼
R
PM
und
cos b ¼
MA
MA
¼
R
PM
und somit
P A ¼ R sin b
und
M A ¼ R cos b
36
II Funktionen und Kurven
Aus
a þ b þ t ¼ 180
und somit
b ¼ 180 ða þ tÞ
folgt weiter unter Verwendung der Additionstheoreme (siehe Formelsammlung, Abschnitt
III.7.6.1)
P A ¼ R sin b ¼ R sin ½ 180 ða þ tÞ ¼
¼ R ½ sin 180 cos ða þ tÞ cos 180 sin ða þ tÞ ¼ R sin ða þ tÞ
|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}
|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}
0
1
M A ¼ R cos b ¼ R cos ½ 180 ða þ tÞ ¼
¼ R ½ cos 180 cos ða þ tÞ þ sin 180 sin ða þ tÞ ¼ R cos ða þ tÞ
|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}
|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}
1
0
Drehwinkel t und Wlzwinkel a sind dabei noch ber die sog. Abrollbedingung
_
_
P0 B ¼ P B ,
d: h:
R0 t ¼ R a
miteinander verknpft (die beiden Bgen sind in Bild II-10 dick gezeichnet). Somit ist
R0
R0
R0
R0 þ R
t
und
aþt ¼
t þt ¼
þ1 t ¼
a ¼
t
R
R
R
R
Fr die Strecken P A und M A folgt dann
R0 þ R
ðIIIÞ P A ¼ R sin
t ,
R
R0 þ R
M A ¼ R cos
t
R
Wir setzen die Beziehungen (II) und (III) in die Gleichungen (I) ein und erhalten die
gewnschte Parameterdarstellung in der Form
R0 þ R
t
x ¼ x ðtÞ ¼ u þ M A ¼ ðR 0 þ RÞ cos t R cos
R
ðt 0Þ
R0 þ R
y ¼ y ðtÞ ¼ v P A ¼ ðR 0 þ RÞ sin t R sin
t
R
b) Die Parametergleichungen lauten mit den vorgegebenen Werten der beiden Radien wie
folgt:
x ðtÞ ¼ 4 cos t cos ð4 tÞ
y ðtÞ ¼ 4 sin t sin ð4 tÞ
ð0 t 360 Þ
II Funktionen und Kurven
37
Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 10 )
t
0
10
20
30
40
50
60
x
3
3,17
3,59
3,96
4,00
3,51
y
0
0,05
0,38
1,13
2,23
110
120
130
140
t
x
100
70
80
90
2,50
1,19 0,07
1
3,41
4,33
4,74
4,58
4
150
160
170
180
190
1,46 1,54 1,50 1,63 2,12 2,96 3,93 4,71
y
3,30
2,77
2,60
2,72
2,91
2,87
2,35
1,34
t
200
210
220
230
240
250
260
270
5 4,71
0 1,34
280
290
1,19
x
3,93 2,96 2,12 1,63 1,50 1,54 1,46
1 0,07
y
2,35 2,87 2,91 2,72 2,60 2,77 3,30
4 4,58 4,74
t
300
310
320
330
340
350
x
2,50
3,51
4,00
3,96
3,59
3,17
3
4,33 3,41 2,23 1,13 0,38 0,05
0
y
Wir erhalten die in Bild II-11 dargestellte
aus drei deckungsgleichen Bgen bestehende geschlossene Kurve (Epizykloide).
360
y
Epizykloide
=3
R=
R0
t
P
P0
Bild II-11
1
x
38
II Funktionen und Kurven
Beispiel 6: Fallbeschleunigung innerhalb und außerhalb eines Erdkanals
Lineare Funktion, gebrochenrationale Funktion
Bild II-12a) zeigt die Erdkugel mit einem durch den Erdmittelpunkt verlaufenden Kanal. Welche Fallbeschleunigung (Erdbeschleunigung) g erfhrt eine Masse m, die sich
a) außerhalb des Erdkanals,
b) innerhalb des Erdkanals befindet in Abhngigkeit von der augenblicklichen Position, d. h.
dem Abstand r zwischen der Masse und dem Erdmittelpunkt 0?
c) Skizzieren Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Fallbeschleunigung g und
der Relativkoordinate x ¼ r=R im Bereich 0 x < 1 .
Erdkanal
Erdkanal
R: Erdradius
m
m
g 0 : Erdbeschleunigung
an der Erdoberflche
R
R
r
M: Erdmasse
r
r 0
0
M*
a) Erdkugel (Masse M)
b) Erdkugel (Masse M)
Bild II-12
Lsungshinweis: Verwenden Sie das Gravitationsgesetz [ A18 ]. Befindet sich die Masse m
innerhalb des Erdkanals, so kommt fr die Gravitation nur der in Bild II-12b) grau unterlegte
Teil der Erdkugel zur Wirkung (konzentrische Kugel vom Radius r). Die Erdkugel selbst
wird als ein homogener Krper mit der konstanten Dichte r angesehen.
Lehrbuch: Bd. 1, III.5.2 und III.6
Physikalische Grundlagen: A18
Lsung:
a) Die Gewichtskraft ist gleich der Gravitationskraft [ A18 ]. Daher gilt fr r R (also außerhalb der Erdkugel)
mg ¼ g mM
r2
und somit
g ¼ g ðrÞ ¼ g M
1
¼ gM 2 ,
r2
r
r R
Die Fallbeschleunigung nimmt außerhalb der Erdkugel umgekehrt proportional zum
Quadrat der Entfernung r vom Erdmittelpunkt nach außen hin ab (siehe hierzu auch
Bild II-13).
II Funktionen und Kurven
39
b) Innerhalb des Erdkanals ist die Erdmasse M durch die Masse M * der in Bild II-12b)
grau unterlegten konzentrischen Kugel zu ersetzen. Diese Masse berechnet sich wie folgt:
M* ¼ rV * ¼ r 4
4
r3
M r3
pr3 ¼ r p R3 3 ¼
R
R3
3
3
|fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl}
M
ðmit R 3 erweitertÞ
Sie ist noch abhngig vom Abstand r ð0 r RÞ. Fr die Fallbeschleunigung im Erdkanal erhalten wir damit in Abhngigkeit von der Abstandskoordinate den funktionalen
Zusammenhang
g ðrÞ ¼ g M * 1
M r3 1
gM
¼
g
2 ¼ 3 r,
2
3
R
r
r
R
0 r R
Im Erdkanal wchst demnach die Fallbeschleunigung g proportional mit dem Abstand r
(siehe Bild II-13).
c) Die Funktion g ¼ g ðrÞ wird somit fr r 0 durch die Gleichungen
8
9
gM
>
>
>
>
r
0
r
R
>
>
>
>
< R3
=
g ðrÞ ¼
f ür
>
>
>
>
>
>
>
>
:gM 1
;
R
r
<
1
r2
beschrieben. Mit der Relativkoordinate x ¼ r=R wird hieraus unter Bercksichtigung von
gM
g 0 ¼ g ðRÞ ¼ 2 die Funktion
R
8
9
0 x 1 >
g0 x
>
>
>
<
=
f
ür
g ðxÞ ¼
>
>
>
>
: g0 1
;
1
x
<
1
x2
Nebenrechnung:
g ¼
gM
gM r
r ¼ 2 ¼ g0 x
R3
R
R
|{z} |{z}
g0 x
1
g M R2
g ¼ g M 2 ¼ 2 2 ¼ g0 r
r
R
|{z}
g0
2
2
R
1
1
¼ g0 ¼ g0 2
r
x
x
|{z}
1=x
40
II Funktionen und Kurven
Die Erdbeschleunigung erreicht ihren Maximalwert g 0 an der Erdoberflche, d. h. fr
x ¼ 1: g ð1Þ ¼ g 0 .
Der Funktionsverlauf ist in Bild II-13 dargestellt.
g
g0
g~x
g~
1
x2
Bild II-13
1
2
Innerhalb
Außerhalb
des Erdkanals
des Erdkanals
3
x
Beispiel 7: Verteilung der Stromdichte in einem stromdurchflossenen
Hohlzylinder
Gebrochenrationale Funktion
Bild II-14 zeigt im Querschnitt einen Hohlzylinder der
Lnge l mit dem Innenradius r i und dem Außenradius
r a . Durch das leitende Zylindermaterial fließt dabei von
innen nach außen ein konstanter Strom der Strke I. Bestimmen und skizzieren Sie den Verlauf der Stromdichte S
in radialer Richtung.
S
S
ra
r
S
ri
S
Bild II-14
Lehrbuch: Bd. 1, III.6
Leitender Hohlzylinder
Physikalische Grundlagen: A19
Lsung:
Aus Symmetriegrnden verluft das elektrische Feld im Zylindermaterial axialsymmetrisch.
Der Betrag des Stromdichtevektors S~ kann daher nur vom Abstand r zur Symmetrieachse
des Leiters abhngen: S ¼ S ðrÞ. Durch jede zum Zylindermantel konzentrische Zylinderflche fließt der gleiche Strom I. Dies gilt somit auch fr den in Bild II-14 gestrichelt gezeichneten konzentrischen Zylinder mit dem Radius r und der Mantelflche A ¼ 2 p r l.
II Funktionen und Kurven
41
Die Stromdichte S ðrÞ betrgt daher an dieser
Stelle definitionsgemß [ A19 ]
S ðrÞ ¼
S
Si
I
I
I
1
¼
¼
,
A
2prl
2pl r
S~
ri r ra
und nimmt somit von innen nach außen ab.
Bild II-15 zeigt den Verlauf dieser gebrochenrationalen Stromdichtefunktion.
1
r
Sa
ri
ra
r
Bild II-15
Beispiel 8: Kapazitt eines Kondensators mit geschichtetem Dielektrikum
Gebrochenrationale Funktion
Bild II-16 zeigt einen Plattenkondensator mit einem geschichteten Dielektrikum.
I
II
a) Welche Kapazitt C besitzt der Kondensator in Abhngigkeit von der Schichtdicke x des eingebrachten Dielektrikums? Skizzieren Sie diese Funktion.
Dielektrikum
e>1
Luft
( e = 1)
x
d–x
b) Untersuchen Sie die Sonderflle (Grenzflle) x ¼ 0
und x ¼ d .
A: Plattenflche; d: Plattenabstand; e: Dielektrizittskonstante; e 0 : elektrische Feldkonstante
d
Bild II-16
Lehrbuch: Bd. 1, III.6
Physikalische Grundlagen: A20, A21
Lsung:
a) Wir knnen den Kondensator als eine Reihenschaltung zweier Kondensatoren I und II ansehen. Diese besitzen dann folgende Kapazitten [ A20 ]:
e0 e A
(Plattenabstand: x)
Kondensator I :
C1 ¼
x
e0 A
(Plattenabstand: d x)
Kondensator II :
C2 ¼
d x
42
II Funktionen und Kurven
Bei Reihenschaltung gilt fr die Gesamtkapazitt C nach [ A21]
1
1
1
C2 þ C1
C1 þ C2
þ
¼
¼
¼
C1 C2
C1 C2
C
C1
C2
oder
C ¼
C1 C2
C1 þ C2
Wir erhalten daher
e 20 e A 2
e0 e A e0 A
e0 e A
x ðd xÞ
x
d x ¼
C ¼ C ðxÞ ¼
¼
e0 e A
e0 A
e 0 A ½ e ðd xÞ þ x e ðd xÞ þ x
þ
x
d x
x ðd xÞ
Die Abhngigkeit der Gesamtkapazitt C ðxÞ
von der Schichtdicke x ist somit durch die
echt gebrochenrationale Funktion
C ðxÞ ¼
e0 e A
,
e ðd xÞ þ x
C
C(d)
0 x d
C(0)
gegeben (siehe Bild II-17).
Bild II-17
d
x
e0 e A
e0 A
¼
ed
d
Dieser Fall entspricht einem Kondensator ohne Dielektrikum, die Kapazitt erreicht ihren
kleinsten Wert (siehe Bild II-17).
e0 e A
e0 A
¼ e
¼ e C ð0Þ
ðmit e > 1Þ
Sonderfall x ¼ d : C ðdÞ ¼
d
d
Der Kondensator ist vollstndig mit dem Dielektrikum ausgefllt und erreicht somit seinen
grßten Kapazittswert (siehe Bild II-17).
b) Sonderfall x ¼ 0: C ð0Þ ¼
Beispiel 9: Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen
elektrischen Doppelleitung
Gebrochenrationale Funktionen
Bild II-18 zeigt im Querschnitt eine stromdurchflossene elektrische Doppelleitung, bestehend
aus zwei langen parallelen Leitern (Drhten) L 1 und L 2 mit konstanter Querschnittsflche.
Der Durchmesser der Leiter soll dabei gegenber dem Leiterabstand d ¼ 2 a vernachlssigbar
klein sein. Die Strme in den beiden Leitungen haben die gleiche Strke I, fließen jedoch in
entgegengesetzte Richtungen.
II Funktionen und Kurven
43
Bestimmen Sie den Verlauf der magnetischen
Feldstrke H
y
a) lngs der Verbindungslinie der beiden Leiterquerschnitte (x-Achse),
H = H1 + H2
H2
b) lngs der Mittelsenkrechten dieser Verbindungsstrecke ( y-Achse).
L1
x
–a
Die Strme fließen parallel zur z-Achse (steht
senkrecht zur Zeichenebene), im Leiter L 1 nach
oben, im Leiter L 2 nach unten.
L2
H1
r1 = a + x
a
x
r2 = a – x
Bild II-18
Lehrbuch: Bd. 1, III.6
Physikalische Grundlagen: A4
Lsung:
a) Der vom Strom I durchflossene linke Leiter L 1 erzeugt am Ort x, d. h. im Abstand
r 1 ¼ a þ x von seiner Leitermitte ein Magnetfeld der Strke [ A4 ]
H 1 ðxÞ ¼
I
I
¼
2 p r1
2 p ða þ xÞ
~1 verluft parallel zur y-Achse).
(der Feldvektor H
An der gleichen Stelle, d. h. im Abstand r 2 ¼ a x von seiner Leitermitte erzeugt der
rechte Leiter L 2 ein Magnetfeld der Strke [ A4 ]
H 2 ðxÞ ¼
I
I
¼
2 p r2
2 p ða xÞ
Beide Felder haben gleiche Richtung (parallel zur y-Achse), die Betrge ihrer Feldstrken
addieren sich somit. Das durch berlagerung entstandene Magnetfeld besitzt demnach an
der Stelle x eine resultierende Feldstrke vom Betrag
I
I
þ
¼
2 p ða þ xÞ
2 p ða xÞ
I
1
1
I
axþaþx
¼
¼
þ
¼
2p a þ x
ax
2 p ða þ xÞ ða x Þ
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
3: Binom : a 2 x 2
H ðxÞ ¼ H 1 ðxÞ þ H 2 ðxÞ ¼
¼
I
2a
Ia
1
¼
,
2 p a2 x2
p a2 x2
j x j 6¼ a
Bild II-19 zeigt den Verlauf dieser achsensymmetrischen und echt gebrochenrationalen
Funktion.
44
II Funktionen und Kurven
Zwischen den beiden Leitern nimmt die Feldstrke in Richtung Leiter zu, wird dann an
den Orten der Leiter, d. h. den Stellen x 1 ¼ a und x 2 ¼ a unendlich groß (Polstellen!) und fllt dann nach außen hin gegen Null ab, wobei sich gleichzeitig die Richtung
~ beschreiben wir durch das Vorzeides Feldstrkevektors umkehrt (die Richtung von H
chen: H > 0 fr j x j < a, H < 0 dagegen fr j x j > a; siehe Bild II-20).
H
y
H=
I
pa
L1
–a
x
a
H
L1
L2
–a
H
Bild II-19
L2
a
H
x
Bild II-20
~2 eines Punktes P der y-Achse liegen jetzt spiegel~1 und H
b) Die Feldstrkenvektoren H
symmetrisch zur y-Achse, ihre Betrge sind somit gleich groß (Bild II-21). Beide Leiter
liefern daher (dem Betrage nach) den gleichen Beitrag zur Gesamtfeldstrke H.
~ liegt in der y-Achse in positiver Richtung. Den
Der resultierende Feldstrkevektor H
~2 auf die
~1 und H
Betrag H erhalten wir durch Projektion der Feldstrkevektoren H
y-Achse. Diese Projektionen sind nichts anderes als die y-Komponenten H 1 y und H 2 y
~1 und H
~2 , wobei aus Symmetriegrnden H 1 y ¼ H 2 y ist (die Komder Vektoren H
ponenten in Richtung der x-Achse heben sich auf). Somit gilt
H ¼ H 1 y þ H 2 y ¼ H 1 y þ H 1 y ¼ 2 H 1 y ¼ 2 H 1 cos a
(mit H 1 y ¼ H 1 cos a, siehe Vektorparal~2 in Bild II-21).
~1 und H
lelogramm aus H
y
Die Feldstrke H 1 betrgt nach [ A4 ]
H1
H2
aa
Aus dem rechtwinkligen Dreieck L 1 O P in
Bild II-21 entnehmen wir die Beziehungen
a
cos a ¼
r1
H 1y = H 2y
H
I
H1 ¼
2 p r1
und
r 12 ¼ a 2 þ y 2
P
y
r1
L1
r2
a
–a
Bild II-21
L2
a
a
0
a
a
x
II Funktionen und Kurven
45
~ lngs der y-Achse
Damit erhalten wir fr den Betrag H der magnetischen Feldstrke H
die folgende Abhngigkeit von der Koordinate y:
H ¼ H ðyÞ ¼ 2 H 1 cos a ¼ 2 I
a
aI 1
aI
1
¼
2 ¼
2
2 p r1 r1
p r1
p a þ y2
Bild II-22 zeigt den Verlauf der magnetischen Feldstrke lngs der y-Achse. Die
Funktion H ðyÞ ist spiegelsymmetrisch
und echt gebrochenrational. Das Maximum liegt bei y ¼ 0, mit zunehmender
Entfernung wird die Feldstrke kleiner
und verschwindet schließlich in großer
Entfernung, d. h. fr y ! 1.
~
Die Richtung des Feldstrkevektors H
ist dabei fr alle Punkte der y-Achse die
gleiche.
H
H max =
I
pa
y
Bild II-22
Beispiel 10: Kennlinie einer Glhlampe
Interpolationsformel von Newton, kubische Funktion,
Horner-Schema
Eine Glhlampe stellt einen nichtlinearen Widerstand dar, d. h. das Ohmsche Gesetz der Proportionalitt zwischen Spannung U und Stromstrke I ist hier nicht erfllt. Aus einer Messung sind die folgenden (I; U)-Wertepaare bekannt:
I
A
0
0,1
0,2
0,4
U
V
0
21
48
144
Bestimmen Sie aus diesen vier Einzelmessungen ein Nherungspolynom 3. Grades fr die
Kennlinie U ¼ f ðIÞ der Glhlampe
a) mit Hilfe der Interpolationsformel von Newton,
b) durch einen geeigneten Ansatz unter Bercksichtigung der in diesem Fall vorhandenen
speziellen Symmetrieeigenschaft der Kennlinie.
c) Welcher Spannungsabfall ist nach der unter a) bestimmten Kennlinie bei einer Stromstrke
von I ¼ 0,3 A zu erwarten (Berechnung mit Hilfe des Horner-Schemas)?
Lehrbuch: Bd. 1, III.5.4, III.5.5 und III.5.6.2
46
II Funktionen und Kurven
Lsung:
a) Der Lsungsansatz nach der Interpolationsformel von Newton lautet (I in A, U in V):
U ¼ a 0 þ a 1 ðI I 0 Þ þ a 2 ðI I 0 Þ ðI I 1 Þ þ a 3 ðI I 0 Þ ðI I 1 Þ ðI I 2 Þ
Die Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 und a 3 berechnen wir nach dem Steigungs- oder Differenzenschema:
Lsung:
a0 ¼ 0
a 1 ¼ 210
a 2 ¼ 300
a 3 ¼ 1000
U ¼ 0 þ 210 ðI 0Þ þ 300 ðI 0Þ ðI 0,1Þ þ 1000 ðI 0Þ ðI 0,1Þ ðI 0,2Þ ¼
¼ 210 I þ 300 I ðI 0,1Þ þ 1000 I ðI 2 0,3 I þ 0,02Þ ¼
¼ 210 I þ 300 I 2 30 I þ 1000 I 3 300 I 2 þ 20 I ¼ 1000 I 3 þ 200 I
Somit gilt unter Bercksichtigung der Einheiten
U ¼ 1000
V
V
I 3 þ 200
I
A
A3
U
V
200
Bild II-23 zeigt den Verlauf dieser Kennlinie.
100
20
Bild II-23
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
I
A
b) Die gesuchte Kennlinie U ¼ f ðIÞ muss punktsymmetrisch zum Nullpunkt verlaufen!
Begrndung: Der Widerstand der Glhlampe ist temperaturabhngig und nimmt mit der
Stromstrke zu. Andererseits ist die Wrmeentwicklung im Widerstand nur von der Strke
des Stromes, nicht jedoch von der Stromrichtung abhngig. In dem Lsungsansatz fr die
Kennlinie knnen daher nur ungerade Potenzen auftreten (bei einer nderung der Stromrichtung ndert sich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung).
II Funktionen und Kurven
47
Der Lsungsansatz lautet somit:
U ¼ aI3 þ bI
Zur Bestimmung der beiden Koeffizienten a und b bentigen wir daher nur zwei der
vier vorgegebenen Wertepaare, wobei das erste Wertepaar (0; 0) den Lsungsansatz automatisch erfllt.
Wir entscheiden uns fr das zweite und dritte Wertepaar 2) und erhalten folgende
Bestimmungsgleichungen fr a und b:
Uð0,1Þ ¼ 21
)
0,001 a þ 0,1 b ¼ 21
Uð0,2Þ ¼ 48
)
0,008 a þ 0,2 b ¼ 48
Wir multiplizieren die obere Gleichung mit 2 und addieren sie zur unteren Gleichung:
0,002 a 0,2 b ¼ 42
þ
0,008 a þ 0,2 b ¼ 48
¼
0,006 a
6
)
a ¼ 1000
Fr b folgt dann aus der oberen Gleichung:
0,001 1000 þ 0,1 b ¼ 21
)
0,1 b ¼ 21 1 ¼ 20
)
b ¼ 200
Wir erhalten die bereits aus Lsungsteil a) bekannte Kennlinie mit der Gleichung
U ¼ 1000
V
V
I 3 þ 200 I
3
A
A
c) Horner-Schema fr I ¼ 0,3 A:
1000
I ¼ 0,3
0 200
300
0
90
87
1000 300 290
87
|{z}
Lsung: U ¼ 87 V
U ð0,3Þ
Beispiel 11: Doppelschieber
Parameterdarstellung, Kegelschnittgleichung
Bild II-24 zeigt einen Doppelschieber, d. h. eine Stange der Lnge l, deren Endpunkte A und
B lngs zweier aufeinander senkrechter Geraden gefhrt werden. Untersuchen Sie, wie sich
ein beliebiger Punkt P auf der Stange, der vom Endpunkt A den Abstand d ¼ n l mit
0 < n < 1 besitzt, bewegt und bestimmen Sie die dabei beschriebene Bahnkurve
2)
Das vierte Wertepaar msste dann streng genommen ebenfalls die Kennliniengleichung erfllen. Infolge der unvermeidlichen Messfehler knnen aber geringe Abweichungen auftreten.
48
II Funktionen und Kurven
a) in der Parameterform mit dem eingezeichneten
Winkel a als Parameter,
y
b) in der impliziten Form unter Verwendung der
kartesischen Koordinaten x und y.
B
Stange
P
a
D
d=
x
nl
y
a
C
Bild II-24
A
x
Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4 und III.8.3
Lsung:
a) Aus den beiden rechtwinkligen (und hnlichen) Dreiecken A P C und P B D folgt unmittelbar
PC
y
¼
Dreieck A P C: sin a ¼
n
l
PA
PD
x
x
¼
¼
l nl
ð1 nÞ l
PB
Durch Auflsung dieser Gleichungen nach den Koordinaten x bzw. y erhalten wir die
gesuchte Parameterdarstellung in der Form
Dreieck P B D:
cos a ¼
x ¼ ð1 nÞ l cos a
ðParameter a mit 180 a 180 Þ
y ¼ n l sin a
b) Wir lsen die Parametergleichungen nach der jeweiligen trigonometrischen Funktion auf
und setzen die gefundenen Ausdrcke in den „trigonometrischen Pythagoras“
cos 2 a þ sin 2 a ¼ 1 ein:
x
,
ð1 nÞ l
cos 2 a þ sin 2 a ¼
sin a ¼
x2
½ ð1 nÞ l 2
y
nl
þ
y2
ðn lÞ 2
y
¼ 1
Dies ist die Gleichung einer Ursprungsellipse mit
den Halbachsen a ¼ ð1 nÞ l und b ¼ n l
(Bild II-25). Im Sonderfall n ¼ 0,5 liegt P in
der Stabmitte und bewegt sich auf einem Ursprungskreis mit dem Radius r ¼ 0,5 l.
B
Stange
b = nl
cos a ¼
P
y
x
a = (1 – n) l
Bild II-25
A
x
II Funktionen und Kurven
49
Beispiel 12: Rollbewegung einer Zylinderwalze lngs einer schiefen
Ebene
Wurzelfunktion
Eine homogene Zylinderwalze mit der Masse m und dem Radius r rollt aus der Ruhe heraus eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel a herab (Bild II-26; A: Startpunkt der
Bewegung).
Bestimmen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Endgeschwindigkeit v 0 ,
die der Schwerpunkt S der Walze am Fußpunkt B der schiefen Ebene erreicht und der
dabei durchlaufenen Wegstrecke s ¼ A B.
Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion
v 0 ðsÞ.
Zylinderwalze
s=
S
AB
A
v0
v0
h
a
B
Bild II-26
Lsungshinweis: Verwenden Sie den Energieerhaltungssatz [ A22 ] und beachten Sie, dass
sich die Gesamtbewegung aus einer Translation des Walzenschwerpunktes S (kinetische und
potentielle Energie) und einer Rotation der Walze um ihren Schwerpunkt (Rotationsenergie)
zusammensetzt. Die Rollreibung soll dabei vernachlssigt werden. Das Massentrgheitsmoment der Zylinderwalze bezglich der Zylinderachse (Schwerpunktachse) ist
1
m r 2.
JS ¼
2
Lehrbuch: Bd. 1, III.7.2
Physikalische Grundlagen: A8, A22
Lsung:
Wir lsen das Problem durch Anwendung des Energieerhaltungssatzes [ A22 ]. Zu Beginn
(Position A) besitzt die Walze ausschließlich potentielle Energie:
E 1 ¼ Epot ¼ m g h
Diese geht nach und nach in kinetische Energie des Schwerpunktes S und in Rotationsenergie der rotierenden Walze ber. Am Fußpunkt der schiefen Ebene (Position B) ist daher
E 2 ¼ Ekin þ Erot ¼
1
1
1
1
m v 20 þ
J S w 20 ¼
m v 20 þ
m r 2 w 20
2
2
2
4
w 0 ist dabei die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung der Walze um ihren Schwerpunkt
S im Fußpunkt B der schiefen Ebene. Nach dem Energieerhaltungssatz [ A22 ] gilt
E 2 ¼ E 1 und somit
1
1
m v 20 þ
m r 2 w 20 ¼ m g h
2
4
oder
1 2
1 2 2
v þ
r w0 ¼ g h
2 0
4
50
II Funktionen und Kurven
Wir bercksichtigen noch die Beziehungen
sin a ¼
h
,
s
h ¼ s sin a
und
v0 ¼ w0 r ,
und erhalten zunchst
1 2
1 2 v 0 2
1 2
1 2
¼
v0 þ
r
v0 þ
v ¼ g s sin a
r
2
4
2
4 0
w0 ¼
v0
r
3 2
v ¼ g s sin a
4 0
oder
und daraus schließlich die gesuchte Beziehung
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
g s sin a
g sin a
g sin a pffiffi
¼ 2
s ¼ 2
s,
v 0 ¼ v 0 ðsÞ ¼ 2
3
3
3
s 0
Die Endgeschwindigkeit
v 0 des Walzenschwerpunktes S am Fußpunkt der schiefen Ebene
pffiffi
ist somit s proportional.
Der funktionale Zusammenhang der beiden Grßen ist
in Bild II-27 dargestellt (Wurzelfunktion).
v0
v0 ~ s
Bild II-27
s
Beispiel 13: Ballistisches Pendel
Zusammengesetzte Funktion
0
a
l
Bild II-28 zeigt ein sog. ballistisches Pendel, mit
dessen Hilfe man unbekannte Geschossgeschwindigkeiten bestimmen kann. Das Geschoss mit der
Masse m trifft mit der (noch unbekannten) Geschwindigkeit v 0 auf einen als Pendelkrper dienenden Holz-, Sand- oder Bleiblock der Masse M
und bleibt darin stecken. Das Pendel der Lnge l
wird dabei um den Winkel a ausgelenkt. Wie
lautet der funktionale Zusammenhang zwischen
der Geschossgeschwindigkeit v 0 und dem Ausschlagwinkel a? Skizzieren Sie diese Funktion.
l–h
h M+m
v0
M
m
Bild II-28
Lehrbuch: Bd. 1, III.7.2 und III.9.2
Physikalische Grundlagen: A22, A23, A24
II Funktionen und Kurven
51
Lsung:
Block und Geschoss bewegen sich unmittelbar nach dem Einschlag mit der gemeinsamen
Geschwindigkeit v 1 . Ihre kinetische Energie wird dabei nach und nach vollstndig in potentielle Energie umgesetzt. Nach Erreichen der maximalen Hhe h (Umkehrpunkt der Bewegung) gilt somit nach dem Energieerhaltungssatz [ A22 ]
1
ðM þ mÞ v 21 ¼ ðM þ mÞ g h
2
v 21 ¼ 2 g h
oder
Die erreichte (maximale) Hhe h lsst sich noch durch den Ausschlagswinkel a ausdrcken:
cos a ¼
lh
l
)
l cos a ¼ l h
)
h ¼ l l cos a ¼ l ð1 cos aÞ
Damit erhalten wir fr die Geschwindigkeit v 1 im tiefsten Punkt der Pendelbewegung den
folgenden Ausdruck:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v 1 ¼ 2 g h ¼ 2 g l ð1 cos aÞ
Aus dieser Beziehung kann mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes [ A24 ] die gesuchte
Geschossgeschwindigkeit v 0 bestimmt werden. Es gilt fr den Gesamtimpuls [ A23 ]
vor dem Stoß:
p1 ¼ m v0 þ M 0 ¼ m v0
nach dem Stoß: p 2 ¼ ðM þ mÞ v 1
Somit folgt aus p 1 ¼ p 2
m v 0 ¼ ðM þ mÞ v 1
oder
v0 ¼
M þm
v1
m
und unter Bercksichtigung der bereits weiter oben aufgestellten Beziehung
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v 1 ¼ 2 g l ð1 cos aÞ
schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischen der Geschossgeschwindigkeit v 0 und dem
Ausschlagwinkel a:
v 0 ¼ v 0 ðaÞ ¼
M þ m pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 g l ð1 cos aÞ ,
m
a 0
Diese Abhngigkeit ist in Bild II-29 graphisch dargestellt.
Bild II-29
v0
a
52
II Funktionen und Kurven
Beispiel 14: Momentane (zeitabhngige) Leistung eines Wechselstroms
Sinus- und Kosinusfunktionen
Ein sinusfrmiger Wechselstrom
i ðtÞ ¼ i 0 sin ðw tÞ ,
t 0
erzeugt in einem ohmschen Widerstand R eine momentane (zeitabhngige) Leistung nach
der Gleichung
p ðtÞ ¼ R i 2 ðtÞ ¼ R i 20 sin 2 ðw tÞ ,
t 0
i 0 : Scheitelwert; w: Kreisfrequenz des Wechselstroms
a) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf dieser Funktion ohne Erstellung einer Wertetabelle,
indem Sie den Kurvenverlauf von p ðtÞ mittels einer geeigneten trigonometrischen Umformung auf den Verlauf der als bekannt vorausgesetzten Kosinusfunktion y 1 ¼ cos ð2 w tÞ
zurckfhren.
b) Bestimmen Sie aus den bekannten Eigenschaften dieser Kosinusfunktion smtliche Nullstellen, relativen Extremwerte und Wendepunkte der Funktion p ðtÞ.
Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.1
Lsung:
a) Mit Hilfe der aus der Formelsammlung (Abschnitt III.7.6.4) entnommenen trigonometrischen Formel
sin 2 ðxÞ ¼
1
½ 1 cos ð2 xÞ 2
erhalten wir mit x ¼ w t fr die Momentanleistung des Wechselstroms den Ausdruck
p ðtÞ ¼ R i 20 sin 2 ðw tÞ ¼ R i 20 1
½1 cos ð2 w tÞ ¼ R I 2 ½1 cos ð2 w tÞ 2
pffiffiffi
(I ¼ i 0 = 2 : Effektivwert des Wechselstroms). Den zeitlichen Verlauf dieser Funktion
bestimmen wir schrittweise wie folgt. Zunchst zeichnen wir die Kosinusfunktion
y 1 ¼ cos ð2 w tÞ mit der Schwingungsdauer (Periode) T ¼ p=w (Bild II-30a)). Durch
Spiegelung an der Zeitachse wird daraus die Kurve mit der Gleichung
y 2 ¼ y 1 ¼ cos ð2 w tÞ
(siehe Bild II-30a)).
II Funktionen und Kurven
53
Verschieben wir nun die Zeitachse
noch um eine Einheit nach unten,
so erhalten wir das Bild der Funktion
y
1
p
2v
y3 ¼ y2 þ 1 ¼
–1
¼ 1 cos ð2 w tÞ
y2
y1
p
v
3p
2v
2p
3p
2v
2p
v
t
a)
(Bild II-30b)). Eine Maßstabsnderung auf der y-Achse (alle Ordinatenwerte werden mit der Konstanten R I 2 multipliziert) fhrt
schließlich zu der gesuchten Kurve
mit der Funktionsgleichung
y
y3
2
1
y ¼ R I 2 y3 ¼
¼ R I 2 ½1 cos ð2 w tÞ Die Periode dieser Funktion ist
T ¼ p=w (Bild II-30c)).
p
2v
b)
p
v
t
v
y
2 RI 2
y = p(t)
RI 2
Bild II-30
c)
p
p 3p
4v 2v 4v
tk ¼ k p
w
ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
Relative Minima: t k ¼ k p
w
ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
b) Nullstellen:
Relative Maxima: t k ¼
Wendepunkte:
tk ¼
p
5p 3p 7p 2p
v 4v 2v 4v v
p
p
p
þk ¼
ð1 þ 2 kÞ
2w
w
2w
ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
p
p
p
þk ¼
ð1 þ 2 kÞ
4w
2w
4w
ðk ¼ 0, 1, 2, . . .Þ
Nullstellen und relative Minima fallen dabei zusammen.
t
54
II Funktionen und Kurven
Beispiel 15: berlagerung gleichfrequenter Schwingungen gleicher
Raumrichtung
Sinus- und Kosinusfunktionen
Durch ungestrte berlagerung (Superposition) der beiden gleichfrequenten mechanischen
Schwingungen gleicher Raumrichtung
p
2
und
y 2 ¼ 10 cm cos p s 1 t þ
p
y 1 ¼ 8 cm sin p s 1 t 4
3
entsteht eine resultierende Schwingung der gleichen Frequenz. Bestimmen Sie die Amplitude
A > 0 und den Phasenwinkel j dieser in der Sinusform
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðp s 1 t þ jÞ ,
t 0s
darzustellenden Gesamtschwingung
a) zeichnerisch anhand des (reellen) Zeigerdiagramms,
b) durch (reelle) Rechnung.
Anmerkung: In Kapitel VI, bung 7 wird dieses Beispiel im Komplexen gelst.
Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.3
Lsung:
a) Wir zeichnen zunchst im Zeigerdiagramm die zugehrigen Zeiger ein und ergnzen sie zu einem Parallelogramm
(Bild II-31). Der Zeiger der resultierenden
Schwingung ist die Hauptdiagonale dieses
Parallelogramms. Amplitude A und Phasenwinkel j lassen sich dann (im Rahmen der Zeichengenauigkeit) unmittelbar
ablesen:
A 11,1 cm ,
+ cos
f ≈ 254°
30°
+ sin
45°
A 1 = 8 cm
A 2 = 10 cm
y2
A ≈ 11,1 cm
j 254
y1
y
Bild II-31
b) Die Kosinusschwingung y 2 muss zunchst in die Sinusform gebracht werden (Drehung
um den Winkel p=2 im Gegenuhrzeigersinn):
2
2
p
1
1
t þ
t þ
y 2 ¼ 10 cm cos p s
p ¼ 10 cm sin p s
p þ
¼
3
3
2
7
1
t þ
p
¼ 10 cm sin p s
6
II Funktionen und Kurven
55
p
7
Mit A 1 ¼ 8 cm, A 2 ¼ 10 cm, j 1 ¼ und j 2 ¼
p erhalten wir fr die resul4
6
tierende Schwingung folgende Amplitude:
A ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
A 21 þ A 22 þ 2 A 1 A 2 cos ðj 2 j 1 Þ ¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
7
p
¼ ð8 cmÞ 2 þ ð10 cmÞ 2 þ 2 8 cm 10 cm cos
p þ
¼ 11,07 cm
6
4
Die Berechnung des Phasenwinkels j erfolgt aus der Gleichung
tan j ¼
A 1 sin j 1 þ A 2 sin j 2
¼
A 1 cos j 1 þ A 2 cos j 2
p
7
8 cm sin þ 10 cm sin
p
4
6
¼ 3,5483
¼
p
7
þ 10 cm cos
p
8 cm cos 4
6
Nach dem Zeigerdiagramm (Bild II-31) liegt der resultierende Zeiger im 3. Quadrant.
Somit ist, wie aus Bild II-32 ersichtlich,
j ¼ arctan 3,5483 þ p ¼ 4,4377 ¼ 254,3
der gesuchte Phasenwinkel 3). Die Gleichung der resultierenden Schwingung lautet daher:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 11,07 cm sin ðp s 1 t þ 4,4377Þ ,
y
–
p
2
t 0s
y = 3,5483
p
2
p
3
p
2
f
y = tan f
arctan 3,5483
arctan 3,5483 + p
3)
Bild II-32
Die Parallele zur j-Achse mit der Gleichung y ¼ 3,5483 schneidet die Tangenskurve im 1. Quadrant an der
Stelle arctan 3,5483. Die gesuchte Schnittstelle im 3. Quadrant liegt von dieser Stelle um eine Periodenlnge,
d. h. um p entfernt.
56
II Funktionen und Kurven
Beispiel 16: Lissajous-Figuren
Parameterdarstellung, Sinus- und Kosinusfunktionen,
Wurzelfunktionen
Lissajous-Figuren entstehen durch ungestrte berlagerung zweier aufeinander senkrecht stehender harmonischer Schwingungen, deren Frequenzen in einem rationalen Verhltnis zueinander stehen. Sie lassen sich beispielsweise auf einem Oszillograph durch Anlegen von
sinus- oder kosinusfrmigen Wechselspannungen an die beiden Ablenkkondensatoren realisieren.
a) Bestimmen Sie den Verlauf der von einem Elektronenstrahl auf dem Oszillographenschirm
gezeichneten Lissajous-Figur mit der Parameterdarstellung
x ¼ a sin ðw tÞ ,
y ¼ b sin ð2 w tÞ ,
t 0
fr a ¼ 4 cm, b ¼ 3 cm und w ¼ 1 s 1 durch schrittweise Berechnung der Koordinap
ten mit der Schrittweite Dt ¼
s.
12
b) Durch welche Funktionen in expliziter Form lsst sich diese Kurve beschreiben?
Lehrbuch: Bd. 1, III.1.2.4, III.9.5.1 und III.7.2
Lsung:
a) Mit den vorgegebenen Werten lautet die Parameterdarstellung der Lissajous-Figur
x ¼ 4 cm sin ð1 s 1 tÞ ,
y ¼ 3 cm sin ð2 s 1 tÞ ,
t 0s
Die Schwingungen in der x- und y-Richtung erfolgen mit den Schwingungsdauern (Perioden) T x ¼ 2 p s und T y ¼ p s. Die kleinste gemeinsame Periode ist somit T ¼ 2 p s,
d. h. nach Durchlaufen eines Periodenintervalls dieser Lnge ist die Lissajous-Figur geschlossen, der Elektronenstrahl zeichnet die gleiche Figur von neuem.
Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ ðp=12Þ s)
Bei der Berechnung der x- und y-Werte knnen wir uns wegen der Symmetrieeigenschaften der Sinusfunktion auf die folgenden Teilintervalle beschrnken (diese Werte sind
in der Tabelle grau unterlegt):
x-Werte: 0 t=s p=2;
t
s
x
cm
y
cm
y-Werte: 0 t=s p=4
0
p
12
2
p
12
0
1,04
2
2,83
3,46
3,86
4
0
1,50
2,60
3
2,60
1,50
0
3
p
12
4
p
12
5
p
12
6
p
12
II Funktionen und Kurven
t
s
x
cm
y
cm
7
p
12
57
8
p
12
p
12
10 2,83
2
9
3,86
3,46
1,50
2,60
3
p
12
16 t
s
x
cm
y
cm
14 t
s
x
cm
y
cm
21 p
12
2
15 2,83
2,60
3
p
12
22 2,83
3
p
12
p
12
2,60
p
12
17 p
12
p
12
12 1,04
0
1,04
1,50
0
1,50
p
12
19 11 18 p
12
p
12
13 20 p
12
p
12
3,46
3,86
4
3,86
3,46
2,60
1,50
0
1,50
2,60
p
12
2p
2
1,04
0
2,60
1,50
0
23 y
3
A
–4
Bild II-33 zeigt den Verlauf der Lissajous-Figur mit
dem Startpunkt A und eingezeichnetem Durchlaufsinn der Kurve (in Pfeilrichtung).
4
x
–3
Bild II-33
b) Mit Hilfe trigonometrischer Umformungen bringen wir die y-Schwingung zunchst auf die
folgende Form:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ b sin ð2 w tÞ ¼ 2 b sin ðw tÞ cos ðw tÞ ¼ 2 b sin ðw tÞ 1 sin 2 ðw tÞ
(Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.3 und Abschnitt III.7.5). Die Gleichung der x-Schwingung lsen wir nach sin ðw tÞ auf und setzen den gefundenen Ausdruck sin ðw tÞ ¼ x=a
in diese Gleichung ein:
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2b
a2 x2
2b
¼ 2 x a2 x2
y ¼ 2b 1
x
¼ 2
a
a
a
a
a
(mit j x j a). Fr die speziellen Werte a ¼ 4 cm und b ¼ 3 cm wird daraus schließlich
y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
x 16 cm 2 x 2 ,
8 cm
j x j 4 cm
Die Bahnkurve des Elektronenstrahls wird somit durch zwei zur x-Achse spiegelsymmetrische Wurzelfunktionen beschrieben (Bild II-33; oberes Vorzeichen: 1. und 3. Quadrant,
unteres Vorzeichen: 2. und 4. Quadrant).
58
II Funktionen und Kurven
Beispiel 17: Schwebungen
Trigonometrische Funktionen
Schwebungen sind Schwingungen mit einer periodisch an- und abschwellenden Amplitude.
Sie entstehen durch ungestrte berlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher
Raumrichtung vom Typ 4)
y 1 ¼ A sin ðw 1 tÞ
und
y 2 ¼ A sin ðw 2 tÞ
ðt 0Þ
deren Frequenzen bzw. Kreisfrequenzen ðw 1 , w 2 ) in einem ganzzahligen Teilerverhltnis zueinander stehen und sich nur geringfgig voneinander unterscheiden. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung der Schwebung und zeichnen Sie den Schwingungsverlauf fr
w 1 ¼ 20 s 1 ,
w 2 ¼ 18 s 1
und
A ¼ 5 cm :
Lsungshinweis: Die Funktionsgleichung der Schwebung lsst sich mit Hilfe trigonometrischer Formeln als ein Produkt aus einer Kosinus- und einer Sinusfunktion mit unterschiedlichen Perioden darstellen (siehe Formelsammlung, Abschnitt III.7.6.5). Zeichenhilfe:
Erstellen Sie zunchst eine Wertetabelle mit der Schrittweite Dt ¼ ðp=76Þ s.
Lehrbuch: Bd. 1, III.9.5.1
Lsung:
Die resultierende Schwingung wird durch die Gleichung
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A sin ðw 1 tÞ þ A sin ðw 2 tÞ ¼ A ½ sin ðw 1 tÞ þ sin ðw 2 tÞ beschrieben. Die in der Klammer stehende Summe lsst sich unter Verwendung der aus der
Formelsammlung (Abschnitt III.7.6.5) entnommenen trigonometrischen Formel
x þ x x x x x x þ x 1
2
1
2
1
2
1
2
sin x 1 þ sin x 2 ¼ 2 sin
cos
¼ 2 cos
sin
2
2
2
2
wie folgt umformen (wir setzen dabei x 1 ¼ w 1 t und x 2 ¼ w 2 t):
w t w t w t þ w t 1
2
1
2
y ¼ 2 A cos
sin
¼
2
2
w w w þ w 1
2
1
2
t sin
t
¼ 2 A cos
2
2
Mit den Abkrzungen
Dw ¼
4)
w1 w2
2
und
w ¼
w1 þ w2
2
Der Einfachheit halber werden folgende Annahmen gemacht: Die Schwingungen stimmen in ihren Amplituden
berein ðA 1 ¼ A 2 ¼ AÞ, ihre Phasenwinkel sind beide gleich Null ðj 1 ¼ j 2 ¼ 0Þ.
II Funktionen und Kurven
59
erhalten wir schließlich eine resultierende Schwingung der Form
y ¼ 2 A cos ðDw tÞ sin ðw tÞ ¼ A* ðtÞ sin ðw tÞ
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
A* ðtÞ
mit der zeitabhngigen Amplitude A* ðtÞ ¼ 2 A cos ðDw tÞ (siehe hierzu Bild II-34).
Es handelt sich offensichtlich um eine nahezu harmonische Schwingung mit der Kreisw1 þ w2
frequenz w ¼
(arithmetischer Mittelwert aus w 1 und w 2 ) und der Frequenz
2
w
f1 þ f 2
, wobei f1 und f 2 die Frequenzen der Einzelschwingungen bedeuten.
¼
f ¼
2
2p
Die Schwingungsdauer betrgt
2p
2p
4p
4p
4p
¼
¼
¼
¼
¼
w
w1 þ w2
w1 þ w2
2p
2p
1
1
2p
þ
þ
2
T1
T2
T1
T2
2
2
2 T1 T2
¼
¼
¼
T1 þ T2
T2 þ T1
T1 þ T2
T1 T2
T1 T2
T ¼
T 1 und T 2 sind dabei die Schwingungsdauern der beiden Einzelschwingungen. Die zeitabhngige Amplitude A* ðtÞ ¼ 2 A cos ðDw tÞ ndert sich infolge der vergleichsweise kleinen Kreisfrequenz Dw w nur sehr langsam. Die sogenannte Schwebungsfrequenz betrgt
f S ¼ f1 f 2 , die Periodendauer der Schwebung, d. h. der zeitliche Abstand zweier benachbarter Amplitudenmaxima ist somit
TS ¼
1
1
1
1
T1 T2
¼
¼
¼
¼
1
1
T
fS
f1 f 2
T
T
2 T1
2
1
T1
T2
T1 T2
Bild II-34 zeigt den Verlauf der Schwebungen fr die vorgegebenen Werte w 1 ¼ 20 s 1 ,
w 2 ¼ 18 s 1 und A ¼ 5 cm. Die Gleichung der Schwebung lautet dabei mit Dw ¼ 1 s 1
und w ¼ 19 s 1 wie folgt:
y ¼ 10 cm cos ð1 s 1 tÞ sin ð19 s 1 tÞ ,
t 0s
Die Periodendauer der eigentlichen Schwingung ist T ¼ 0,33 s, die Periodendauer der
Schwebung betrgt T S ¼ p s ¼ 3,14 s ðT S ¼ 9,5 TÞ.
y
Periode der Schwebung: T S = p s = 3,14 s
10
20
10
30
50
40
60
70
80
90
t
p /76
–10
Bild II-34
60
II Funktionen und Kurven
Beispiel 18: Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler
Trigonometrische Funktionen, Arkuskosinusfunktion
Bild II-35 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftreglers. Die
beiden Arme der Lnge l ¼ 2 a werden dabei als nahezu masselos angenommen, die anhngenden punktfrmigen Massen m rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit w um die eingezeichnete Drehachse. Zu jedem Wert der Winkelgeschwindigkeit w gehrt genau ein Winkel
j, unter dem sich infolge der nach außen wirkenden Zentrifugalkrfte die Arme gegenber
der Drehachse einstellen.
Bestimmen und skizzieren Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Winkel j
und der Winkelgeschwindigkeit w und zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 ntig ist.
~Z : Zentrifugalkraft
F
~: Gewichtskraft
G
~r : resultierende Kraft
F
Drehachse
v
a
a
a
ff
a
a
a
m
m
r
r
Fz
f Fr
G
Bild II-35
Lehrbuch: Bd. 1, III.9 und III.10.3
Physikalische Grundlagen: Al5
Lsung:
~ vom Betrag
Auf jede der beiden Punktmassen m wirkt neben der Gewichtskraft G
~
G ¼ m g noch eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft FZ vom Betrag FZ ¼ m w 2 r
ein, wobei r der senkrechte Abstand der Masse von der Drehachse ist [ A15 ]. Die dynamische Gleichgewichtslage ist erreicht, wenn die aus beiden Krften gebildete resultierende
~r in Verlngerung des jeweiligen Armes wirkt. Aus dem Krfteparallelogramm nach
Kraft F
Bild II-35 folgt dann unmittelbar
tan j ¼
FZ
m w2 r
w2 r
¼
¼
G
mg
g
II Funktionen und Kurven
61
Mit den Beziehungen
sin j ¼
r
,
2a
d: h:
r ¼ 2 a sin j
und
tan j ¼
sin j
cos j
(gewonnen aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 2a und der dem Winkel j
gegenberliegenden Kathete r) folgt hieraus
tan j ¼
sin j
w 2 2 a sin j
¼
cos j
g
und somit
cos j ¼
g
2 a w2
Wir lsen diese Gleichung nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung in Form der
Arkusfunktion
g j ¼ arccos
2 a w2
Der kleinstmgliche Winkel ist j ¼ 0 . Zu ihm gehrt die folgende Winkelgeschwindigkeit
w 0:
rffiffiffiffiffiffiffi
g
g
2
cos 0 ¼ 1 ¼
) 2 a w0 ¼ g ) w0 ¼
2a
2 a w 20
Erst ab einer Winkelgeschwindigkeit oberhalb von w 0 bewegen sich die Arme erstmals nach
außen. Der grßtmgliche Winkel j max ¼ 90 wird dabei (theoretisch) fr w ! 1 erreicht. Bild II-36 zeigt den Zusammenhang zwischen dem Winkel j und der Winkelgeschwindigkeit w, der auch durch die Gleichung
2
g g
1
1
w0
2
¼
arccos
¼
arccos
w
¼
arccos
¼
j ¼ arccos
0
w2
2 a w2
2 a w2
w2
|{z}
w 20
w 2
0
¼ arccos
,
w w0
w
beschrieben werden kann.
Die Abbildung lsst deutlich erkennen,
dass mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit auch die Winkel zunehmen. Dies ist
aus physikalischer Sicht einleuchtend, da
die fr das Abheben verantwortliche Zentrifugalkraft selbst mit der Winkelgeschwindigkeit wchst!
f
90°
50°
10°
v0
Bild II-36
2 v0
3 v0
v
62
II Funktionen und Kurven
Beispiel 19: Ladestrom in einer RC-Parallelschaltung
Exponentialfunktion (Abklingfunktion)
An die in Bild II-37 dargestellte RC-Parallelschaltung mit den ohmschen Widerstnden R 1
und R 2 und einem Kondensator mit der Kapazitt C wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch
Schließen des Schalters S eine Gleichspannung U ¼ 100 V angelegt. Der Ladestrom i im
Hauptkreis besitzt dann den folgenden zeitlichen Verlauf:
i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼
U
U
t
þ
e t,
R1
R2
t 0
a) Bestimmen Sie die beiden ohmschen Widerstnde R 1 und R 2 , die Zeitkonstante t sowie die Kapazitt C aus den drei Messwerten
i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A ,
i2
C
R2
i
i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A ,
i 1 ¼ i ðt ! 1Þ ¼ 5 A
ðt ¼ R 2 C : ZeitkonstanteÞ
R1
i1
5)
t=0
und zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der
Stromstrke i.
b) Nach welcher Zeit t 1 hat der Ladestrom i um
genau 10 % seines Anfangswertes abgenommen?
S
U
Bild II-37
Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.1
Lsung:
a) Aus dem Anfangswert i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A und dem Endwert i 1 ¼ 5 A lassen sich die
beiden Widerstnde wie folgt berechnen:
i1 ¼ 5 A
ðe
t
t
! 0
)
100 V
100 V
100 V
þ
0 ¼
¼ 5A
R1
R2
R1
5)
R1 ¼
100 V
¼ 20 W
5A
f ür t ! 1Þ
i ðt ¼ 0 sÞ ¼ 15 A
5A þ
)
100 V
¼ 15 A
R2
)
)
100 V
100 V
100 V
100 V
þ
e0 ¼
¼ 15 A
þ
R1
R2
20 W
R2
100 V
¼ 10 A
R2
)
R2 ¼
100 V
¼ 10 W
10 A
Dieser Wert wird nach unendlich langer Zeit erreicht (Endwert der Stromstrke fr t ! 1).
)
II Funktionen und Kurven
63
Somit erhalten wir als Zwischenergebnis:
i ðtÞ ¼
100 V
100 V
t
t
þ
e t ¼ 5 A þ 10 A e t
20 W
10 W
Die Zeitkonstante t bestimmen wir aus dem Messwert i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A:
i ðt ¼ 1 sÞ ¼ 5,2 A
10 A e
1s
t
)
¼ 0,2 A
5 A þ 10 A e
)
e
1s
¼ ln 0,02 ¼ 3,9120
t
1s
t
)
1 s
t
¼ 5,2 A )
¼ 0,02 logarithmieren )
t ¼
1s
¼ 0,2556 s
3,9120
Fr die Kapazitt C folgt dann aus t ¼ R 2 C :
C ¼
t
0,2556 s
¼
¼ 0,02556 F ¼ 25,56 mF
R2
10 W
Der Ladestrom i ðtÞ gengt damit folgendem
Zeitgesetz (mit t 0 s):
i ðtÞ ¼ 5 A þ 10 A e
¼ 5 A þ 10 A e
t
0,2556 s
i
A
15
¼
13,5
3,9120 t
s
10
Bild II-38 zeigt den Verlauf dieser Funktion
(Abklingfunktion).
5
Bild II-38
t1
0,5
1
t
s
b) Zur Zeit t 1 betrgt die Stromstrke i ðt ¼ t 1 Þ ¼ 13,5 A (90 % des Anfangswertes, siehe
hierzu auch Bild II-38). Somit gilt:
5 A þ 10 A e
3,9120 t 1
s
¼ 13,5 A
Wir isolieren die e-Funktion und lsen anschließend die Exponentialgleichung durch
Logarithmierung:
3,9120 t 1
3,9120 t 1
s
s
10 A e
¼ 8,5 A ) e
¼ 0,85 logarithmieren )
3,9120 t 1
¼ ln 0,85 ¼ 0,1625
s
)
t1 ¼
0,1625
s ¼ 0,0415 s ¼ 41,5 ms
3,9120
64
II Funktionen und Kurven
Beispiel 20: RC-Glied mit Rampenspannung
Exponentialfunktion (Sttigungsfunktion)
An ein RC-Glied wird zum Zeitpunkt t ¼ 0 durch Schließen des Schalters S eine linear
ansteigende Spannung u ¼ k t angelegt 6) (Bild II-39). Die am ohmschen Widerstand R abfallende Spannung u R strebt dabei nach dem Zeitgesetz
t
u R ðtÞ ¼ k t 1 e t ,
t 0
C
R
gegen den Endwert u R ðt ! 1Þ ¼ k t.
C : Kapazitt; t ¼ RC : Zeitkonstante
uR
a) Skizzieren Sie diese Sttigungsfunktion im Zeitintervall
0 t=s 8 f ür
R ¼ 200 kW , C ¼ 10 mF
t=0
und
S
k ¼ 50 V=s bei einer Schrittweite von Dt ¼ 0,25 s.
u = kt
b) Nach welcher Zeit t 1 wird 50 % des Endwertes erreicht?
Bild II-39
Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.2
Lsung:
a) Zeitkonstante: t ¼ R C ¼ 200 kW 10 mF ¼ 2 10 5 W 10 5 F ¼ 2 s
V
t
t
t 0s
u R ðtÞ ¼ 50 2 s 1 e 2 s ¼ 100 V 1 e 2 s ,
s
Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,25 s)
t
s
uR
V
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
0
11,75 22,12 31,27 39,35 46,47 52,76 58,31 63,21 67,53 71,35
t
2,75
3
3,25
3,5
3,75
4
4,25
4,5
4,75
5
5,25
s
uR
74,72 77,69 80,31 82,62 84,66 86,47 88,06 89,46 90,70 91,79 92,76
V
t
5,5
5,75
6
6,25
6,5
6,75
7
7,25
7,5
7,75
8
s
uR
93,61 94,36 95,02 95,61 96,12 96,58 96,98 97,34 97,65 97,92 98,17
V
6)
Man bezeichnet eine solche Spannung auch als Rampenspannung.
II Funktionen und Kurven
65
Bild II-40 zeigt, wie die am ohmschen
Widerstand abfallende Spannung mit der
Zeit ansteigt und asymptotisch ihrem
Endwert u R ðt ! 1 sÞ ¼ 100 V entgegen strebt.
uR
V
100
50
Bild II-40
10
1
2
t1
3
4
5
6
7
8
t
s
b) Zur Zeit t 1 betrgt die Spannung u R ðt ¼ t 1 Þ ¼ 50 V (50 % des Endwertes, siehe hierzu auch Bild II-40). Somit gilt:
t t
1
1
100 V 1 e 2 s ¼ 50 V ) 1 e 2 s ¼ 0,5
Wir isolieren die e-Funktion und lsen die Exponentialgleichung anschließend durch
Logarithmierung:
t
t1
1
¼ ln 0,5 ¼ 0,6931 ) t 1 ¼ 1,386 s
e 2 s ¼ 0,5 ln ) 2s
Beispiel 21: Aperiodischer Grenzfall einer Schwingung
Kriechfunktion (Exponentialfunktion)
Das in Bild II-41 skizzierte schwingungsfhige mechanische System, bestehend aus einer Masse m ¼ 0,5 kg
und einer elastischen Feder mit der Federkonstanten
c ¼ 128 N/m, wird in einer zhen Flssigkeit so stark
gedmpft, dass gerade der aperiodische Grenzfall eintritt. Das System ist daher infolge zu großer Energieverluste zu keiner echten Schwingung mehr fhig. Das
Weg-Zeit-Gesetz dieser Kriechbewegung lsst sich dabei,
wenn die Bewegung zum Zeitpunkt t ¼ 0 s aus der
Ruhe heraus mit einer anfnglichen Auslenkung von
x (0 s) ¼ 20 cm beginnt, durch die folgende Funktionsgleichung beschreiben:
16
cm
t þ 20 cm e s t
x ðtÞ ¼ 320
s
Elastische Feder
Gleichgewichtslage
x (t )
Pendelmasse m
Dämpfung
Bild II-41
66
II Funktionen und Kurven
Skizzieren Sie dieses Weg-Zeit-Gesetz im Zeitintervall 0 t=s 0,4 mit Hilfe einer Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,02 s).
Lehrbuch: Bd. 1, III.11.3.4
Lsung:
Wertetabelle (Schrittweite: Dt ¼ 0,02 s)
t
s
x
cm
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
20
19,17
17,30
15,01
12,68
10,50
8,56
6,90
5,50
4,36
3,42
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
2,68
2,08
1,61
1,24
0,95
0,73
0,56
0,43
0,32
0,25
Bild II-42 zeigt deutlich, wie die Masse in kurzer
Zeit aus der Anfangslage x ð0 sÞ ¼ 20 cm in die
Gleichgewichtslage (Ruhelage) x ¼ 0 cm zurckkehrt (Kriechfall).
x
cm
t
s
x
cm
20
10
2
Bild II-42
0,1
0,2
0,3
0,4
t
s
Beispiel 22: Barometrische Hhenformel
Logarithmusfunktion
Zwischen Luftdruck p und Hhe h (gemessen gegenber dem Meeresniveau) gilt unter der
Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang (sog. barometrische Hhenformel ):
p ðhÞ ¼ p 0 e
h
7991 m
,
h 0m
( p 0 ¼ 1,013 bar: Luftdruck an der Erdoberflche). In Bild II-43 ist der Verlauf dieser Funktion dargestellt (die Hhenangabe erfolgt dabei in der Einheit km).
II Funktionen und Kurven
67
a) Geben Sie die Hhe h als Funktion des
Luftdruckes p an (bergang zur Umkehrfunktion) und skizzieren Sie diesen
Funktionsverlauf.
b) In welcher Hhe h 1 ist der Luftdruck
auf die Hlfte seines Maximalwertes p 0
gesunken?
p
p0
p0
2
Bild II-43
1
5 h1
10
15
h
km
Lehrbuch: Bd. 1, III.12.2
Lsung:
a) Zunchst wird die e-Funktion isoliert, anschließend wird die Gleichung logarithmiert:
p
h
p
p
h
) h ¼ 7991 m ln
) e 7991 m ¼
¼ ln
p0
7991 m
p0
p0
Die gesuchte Beziehung lautet somit:
p
p
¼ 7,991 km ln
h ¼ h ð pÞ ¼ 7991 m ln
p0
p0
Der Verlauf dieser streng monoton fallenden Logarithmusfunktion ist in Bild II-44 dargestellt.
b) Der Druck p 1 ¼ p 0 =2 wird in der Hhe
p 0 =2
1
¼ 7991 m ln
h 1 ¼ h ð p 0 =2Þ ¼ 7991 m ln
5539 m
p0
2
erreicht (siehe auch Bild II-44). In der Hhe
h 1 ¼ 5539 m 5,54 km ist somit der Luftdruck nur noch halb so groß wie an der Erdoberflche (Meeresniveau).
h
km
20
10
h1
2
0,1
Bild II-44
0,5
1
p
p0
68
II Funktionen und Kurven
Beispiel 23: Zusammenhang zwischen Fallgeschwindigkeit und
Fallweg unter Bercksichtigung des Luftwiderstandes
Hyperbelfunktionen
Wird beim freien Fall der Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v
proportionale Reibungskraft kv 2 bercksichtigt, so erhlt man die folgenden komplizierten
Zeitabhngigkeiten fr den Fallweg s und die Fallgeschwindigkeit v 7) :
"
!#
rffiffiffiffiffiffiffiffi
m
gk
s ðtÞ ¼
ln cosh
t
k
m
ðmit t 0Þ
!
rffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffi
mg
gk
tanh
t
v ðtÞ ¼
k
m
m: Masse des aus der Ruhe frei fallenden Krpers; k > 0: Reibungskoeffizient;
g: Erdbeschleunigung
Wie lautet die Abhngigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s? Skizzieren Sie den
Verlauf dieser Funktion v ¼ v ðsÞ.
Lsungshinweis: Die Zeitvariable t der beiden Fallgesetze s ðtÞ und v ðtÞ lsst sich unter
Verwendung bestimmter hyperbolischer Beziehungen eliminieren (siehe Formelsammlung,
Abschnitt III.11.2).
Lehrbuch: Bd. 1, III.13.1
rffiffiffiffiffiffiffi
gk
Der besseren bersicht wegen fhren wir zunchst die Abkrzung a ¼
ein. Die Fallm
gesetze lauten dann:
rffiffiffiffiffiffiffiffi
m
mg
ln ½ cosh ða tÞ und
v ðtÞ ¼
tanh ða tÞ
s ðtÞ ¼
k
k
Lsung:
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz lsst sich unter Verwendung der aus der Formelsammlung
(Abschnitt III.11.2) entnommenen hyperbolischen Beziehung
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
cosh 2 x 1
sinh x
cosh 2 x 1
1
¼ 1
tanh x ¼
¼
¼
cosh x
cosh x
cosh 2 x
cosh 2 x
auch wie folgt darstellen ðx ¼ a tÞ:
7)
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ðtÞ wurde bereits im Lehrbuch hergeleitet (siehe Bd. 1, Abschnitt V.10.1.1,
Beispiel 2). In Kapitel IV, Beispiel 20 zeigen wir, wie man aus dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v ðtÞ mittels
Integration das Weg-Zeit-Gesetz s ðtÞ erhlt.
II Funktionen und Kurven
69
rffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mg
mg
1
v ðtÞ ¼
tanh ða tÞ ¼
1
k
k
cosh 2 ða tÞ
Nun lsen wir das Weg-Zeit-Gesetz durch Entlogarithmierung nach der hyperbolischen Funktion cosh ða tÞ auf:
ln ½ cosh ða tÞ ¼
k
s
m
k
)
cosh ða tÞ ¼ e m s
Die gewnschte Beziehung zwischen der Fallgeschwindigkeit v und dem Fallweg s erhalten
wir dann durch Einsetzen dieses Ausdruckes in das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi v
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mg u
1
mg
1
mg
2k
u
u1 1 2k ¼
1 e ms
v ðsÞ ¼
2 ¼
k
k
k
k
t
ems
em s
Nach unendlich langer Fallstrecke ðs ! 1Þ erreicht die Fallgeschwindigkeit ihren Endwert
v E . Er betrgt:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mg
mg
2k s
2k
v E ¼ lim v ðsÞ ¼ lim
1e m ¼
lim
1e ms ¼
s!1
s!1
s
!
1
k
k
s
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi
mg
mg
mg
2k s
m
¼
lim 1 e
1 ¼
¼
s!1
k
k
k
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
1
Gewicht (Gravitationskraft) und Luftwiderstand sind jetzt im Gleichgewicht:
m g ¼ k v 2E
Der Krper flltrmit
ffiffiffiffiffiffiffiffiffider konstanten Endgeschwinmg
digkeit v E ¼
. Das Fallgesetz v ðsÞ lsst
k
sich damit auch in der Form
v
vE
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
v ðsÞ ¼ v E 1e
2k s
m
,
s 0
darstellen. Bild II-45 zeigt den Verlauf dieser
Funktion.
s
Bild II-45
http://www.springer.com/978-3-658-10106-0