5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen

5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
5.1 Doppelbrechende Stoffe
Viele in der Optik benutzte Materialien sind isotrop, d. h. ihre Eigenschaften
sind von der Richtung unabhängig. In diesem Fall werden diese Materialien
durch ihre Dielektrizitätskonstante bzw. Permittivität H = H0 Hr oder durch ihre
Brechzahl n = ε r beschrieben, es handelt sich um skalare Größen. Spannungsfreie Gläser, die meisten Flüssigkeiten, Gase und einige Kristalle verhalten sich
so.
Optisch anisotrope Materialien wie bestimmte Kristalle oder unter mechanischer
Spannung stehende Gläser zeigen ein ganz anderes optisches Verhalten. Ordnet
man ein Plättchen eines solchen Materials zwischen gekreuzten Polarisatoren an
und lässt weißes Licht durch die Anordnung hindurch treten, erkennt man mit
dem Auge u. U. farbige Figuren. So schreibt SOMMERFELD [5.1]: „Die Interferenzfiguren von Kristallplatten im polarisierten Licht gehören zum Schönsten
und Farbenprächtigsten, was die Natur uns zu zeigen vermag. Sie weisen noch
deutlicher als die äußere Form der Kristalle auf ihren gesetzmäßigen Aufbau
hin". Derartige Effekte kann man z. B. in Platten aus Kalkspat, Glimmer, Quarz
oder Gips beobachten.
Es ist zu beachten, dass nicht nur die erwähnten unter mechanischer Spannung
stehenden Gläser, sondern verschiedene amorphe Dielektrika wie Polymere, die
nach einem Erhitzen in einem starken elektrischen Feld polarisiert wurden, sich
ähnlich wie Kristalle verhalten, siehe hierzu auch Kapitel 10.3. Bei Quarzglas
wurde beobachtet, dass durch Bestrahlung mit UV-Licht und Anlegen eines
elektrischen Feldes man zu ähnlichen Ergebnissen kam, siehe [5.7]. Ferner
wirken Flüssigkeiten mit durch Selbstorganisation ausgerichteten Molekülen
ebenfalls doppelbrechend. Dies wird in den bekannten Flüssigkristall-Anzeigen
ausgenutzt.
Die nachstehende Darstellung folgt den Darlegungen nach [5.1]. Es ist zu
beachten, dass in der Literatur auch andere Darstellungen zu finden sind, die die
Sachverhalte nach einer anderen Methode beschreiben. Im Rahmen dieses
Kapitels können nur die wichtigsten Zusammenhänge kurz behandelt werden.
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
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Ein elektrisch anisotropes GMedium liegt vor, wenn die Beziehung
G zwischen der
elektrischen Flussdichte D und der elektrischen Feldstärke
E nicht wie im
G
G
isotropen Fall durch die einfache Proportionalität D = ε E nach (2.8), sondern
durch eine lineare Vektorfunktion
G
G
D=εE
(5.1)
gegeben ist, wobei ε den Tensor der Dielektrizitätskonstante darstellt (es werden hier Tensoren durch Unterstreichen gekennzeichnet). Wenn es sich um einen
Tensor 2. Stufe handelt (auch Dyade genannt, tritt u. a. bei doppelbrechenden
Kristallen auf), kann man für die Komponenten der Vektoren schreiben
⎛ D1 ⎞ ⎛ ε11 ε12
⎜ D ⎟ = ⎜ε
⎜ 2 ⎟ ⎜ 21 ε 2 2
⎜ D ⎟ ⎜ε
⎝ 3 ⎠ ⎝ 31 ε 32
ε13 ⎞ ⎛ E1 ⎞
⎟
ε 23 ⎟ ⎜⎜ E2 ⎟⎟ oder Dk =
ε 33 ⎟⎠ ⎜⎝ E3 ⎟⎠
3
∑ε
i =1
ki
Ei
(5.2)
mit k = 1, 2, 3 . Hierin werden mittels der Indizes k drei zueinander normale,
jedoch beliebig gelegte Koordinatenrichtungen gekennzeichnet, es wird also ein
kartesisches Koordinatensystem benutzt. Man kann zeigen, dass der Tensor
symmetrisch ist entsprechend ε i k = ε k i , wenn die pro Volumeneinheit geleistete
G G
Arbeit E ⋅ d D ein vollständiges Differential ist, d. h., wenn die Arbeit von der
Vorgeschichte unabhängig ist, Galso keine
G Hysterese auftritt. Wegen (5.1) bzw.
(5.2) sind die Richtungen von E und D i. A. verschieden. Die bei Anwesenheit
eines elektrischen Feldes sich einstellende elektrische Energiedichte We ist nach
(2.16) gegeben durch
1 G G 1
We = E ⋅ D = ∑∑ ε i k Ei Ek .
(5.3)
2
2 i k
Die folgende Behandlung bezieht sich auf dielektrische doppelbrechende Kristalle ohne Hysterese mit verschwindenden Verlusten, d. h. mit der spezifischen
Leitfähigkeit κ = 0 , und diese werden durch einen symmetrischen ε − Tensor 2.
Stufe beschrieben.
Es ist zu beachten, dass die Dielektrizitätskonstante (Permittivität) praktisch aller
Materialien innerhalb des optischen Frequenzbereichs kleiner ist als bei niedrigen Frequenzen. Dies gilt auch für optisch anisotrope Materialien. Die Permeabilität µ = µ0 µr ist im optischen Frequenzbereich für alle Materialien in guter
Näherung gleich µ0, der Permeabilität des Vakuums, d. h. diese Materialien
verhalten sich magnetisch isotrop.
114
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
Es gelingt stets, die Achsenrichtungen des eingeführten kartesischen Koordinatensystems so zu wählen, dass (5.2) die folgende einfache Form annimmt
⎛ D1 ⎞
⎛ ε1 0
⎜D ⎟ = ⎜ 0 ε
2
⎜ 2⎟
⎜
⎜D ⎟
⎜0 0
⎝ 3⎠
⎝
0⎞
0 ⎟⎟
ε 3 ⎟⎠
⎛ E1 ⎞
⎜E ⎟
⎜ 2⎟
⎜E ⎟
⎝ 3⎠
D1 = ε1 E1
oder
D2 = ε 2 E2 .
(5.4)
D3 = ε 3 E3
Es wurde eine Hauptachsentransformation durchgeführt und es ist zu erkennen,
dass die neuen Achsen mit den dielektrischen Hauptachsen des Kristalls übereinstimmen. Später werden die optischen Achsen eingeführt, die jedoch mit den
dielektrischen Hauptachsen nicht identisch sind.
Die Größen ε1 , ε 2 und ε 3 heißen Hauptdielektrizitätskonstanten, die andere Elemente der Matrix in (5.4), die Größen ε i k , haben durch die Hauptachsentransformation den Wert Null angenommen.
Zur Beschreibung der Trägheitseigenschaften eines starren Körpers wird in der
Mechanik ein Trägheitstensor benutzt und darauf beruhend wird eine Tensorfläche eingeführt. Man kann zeigen, dass es sich hierbei um ein Ellipsoid handelt,
das Trägheitsellipsoid genannt wird. Jeder starre Körper besitzt demnach drei
Hauptträgheitsmomente. In unserem Fall kann für einen symmetrischen Tensor
nach (5.2) bzw. (5.3) ebenfalls eine solche Fläche eingeführt werden, die beschrieben wird durch
∑∑ ε
i
ik
xi xk = konst.
(5.5)
k
Wenn die Größen xi als Feldstärkekomponenten Ei angesehen werden, dann
stellt (5.5), wegen (5.3), die doppelte elektrische Energiedichte dar, d. h.
konst. = 2 We .
(5.6)
Es kann gezeigt werden, dass es sich bei (5.5) um die Gleichung eines dreiachsigen Ellipsoids handelt. In der Kristalloptik heißt dieses Ellipsoid FRESNELsches Ellipsoid, es wird durch die Beziehung
ε1 x12 + ε 2 x22 + ε 3 x32 = konst.
(5.7)
beschrieben; die Koordinatenachsen werden weiterhin mit x1 , x2 und x3 bezeichnet.
Mit der MAXWELLschen Beziehung für unmagnetische Medien,
n = ε ε 0 = ε r , kann (5.7) in nachstehender Form geschrieben werden
n12 x12 + n22 x2 2 + n32 x32 = konst. ,
(5.8)
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115
und dies ist die Gleichung des FRESNELschen Ellipsoids mit konst. = 2 We ε 0
und ni = ε i ε 0 .
Die Größen ni heißen Hauptbrechungsindizes und die Größen ui = c ni Hauptlichtgeschwindigkeiten. Die Längen der halben Hauptachsen des FRESNELschen Ellipsoids sind identisch mit den Reziprokwerten der drei Hauptbrechungsindizes.
Duale Betrachtungsweise.
Es lässt sich nun
G
G ein dualer Standpunkt einnehmen,
wonach E als lineare Vektorfunktion von D ausgedrückt wird, d.h.
G
G
E = η D oder
⎛ E1 ⎞ ⎛ η11 η12 η13 ⎞ ⎛ D1 ⎞
⎟⎜ ⎟
⎜ E ⎟ = ⎜η η
⎜ 2 ⎟ ⎜ 21 2 2 η23 ⎟ ⎜ D2 ⎟ und Ek =
⎜ E ⎟ ⎜η η
η33 ⎟⎠ ⎜⎝ D3 ⎟⎠
32
⎝ 3 ⎠ ⎝ 31
3
∑η
i =1
ki
Di . (5.9)
−1
Hierin ist offensichtlich η = ε . Man kann zeigen, dass wegen der Symmetrie
des ε − Tensors auch der η − Tensor symmetrisch sein muss. Die Beziehung für
die elektrische Energiedichte kann hier in der Form
1 G G 1 3 3
We = D ⋅ E = ∑∑ηk i Di Dk
2
2 i =1 k =1
(5.10)
angeschrieben werden. Wenn nun auch hier eine Hauptachsentransformation
durchgeführt wird, dann nimmt der η − Tensor eine zu (5.4) analoge Diagonalform an mit den Diagonalelementen η1 , η2 und η3 . Auch hier kann eine Fläche
eingeführt werden, sie folgt aus
3
3
∑∑η
m =1 n =1
mn
xm xn = const. ,
(5.11)
und diese Beziehung beschreibt ebenfalls ein Ellipsoid, das den Namen Indexellipsoid trägt. Auf seine Hauptachsen transformiert erhält man mit (5.11)
η1 x12 + η2 x22 + η3 x32 = const. mit const. = 2 We ε 0 ,
(5.12)
wobei für die Hauptbrechungsindizes ni gilt
ηi =
Damit folgt für das Indexellipsoid
1
εi
=
1
.
ni2
(5.13)
116
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x12 x22 x32
+ +
= const.
n12 n22 n32
(5.14)
Die halben Hauptachsenlängen des Indexellipsoids entsprechen, wie aus (5.14)
zu ersehen, den Hauptbrechungsindizes.
Die Lage der Hauptachsen eines Kristalls kann sich mit der Temperatur oder mit
der Wellenlänge der Strahlung ändern. Dies wird Dispersion der Hauptachsen
genannt. Wenn eine übergeordnete Symmetrie des betrachteten Kristalls vorhanden ist, dann legt diese die Richtungen der Hauptachsen absolut fest.
Es werden hier elektrisch anisotrope Körper behandelt. Es existieren auch magnetisch anisotrope Kristalle, jedoch hauptsächlich für den Bereich niedriger
Frequenzen wie z. B. Mikrowellen. Bei optischen Frequenzen (sichtbarer Bereich und umgebende Bereiche) gilt stets µ = µ0 und es tritt keine magnetische
Anisotropie auf. Weitere Literatur siehe [5.2] - [5.4].
5.2 Ausbreitung ebener Wellen und Polarisationseigenschaften
G G
Wegen µ = µ0 genügen zur Beschreibung des Feldes die Größen E , D und
G
G
G
G
G
H , wobei D und E über D = ε E verknüpft sind. Die magnetische FlussdichG
te B wird bei der Behandlung nicht benötigt. Wenn für die spezifische Leitfähigkeit κ = 0 angenommen werden kann, lauten die MAXWELLschen Gleichungen (vgl. Kapitel 2)
G
G
G
G
G ∂D
∂H
rot H =
, rot E = − µ0
und div H = 0 .
(5.15)
∂t
∂t
Es werden hier monochromatische Wechselfelder mit der Kreisfrequenz ω
vorausgesetzt und dann ist voraussichtlich die zugehörende Ladungsdichte
ρ = 0 ; daher gilt
G
div D = 0 .
(5.16)
G
Man kann zeigen, dass (5.16) nicht bedeuten muss, dass div E = 0 ist. Zur
Lösung der Beziehungen werden folgende Ansätze gemacht
G G
G G
G
G G
G G
G
D ( r , t ) = A exp j k ⋅ r − ω t
und E ( r , t ) = B exp j k ⋅ r − ω t .
(5.17)
(
)
(
)
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
117
G
G
Hierin ist k der Wellenvektor und r der Ortsvektor. Die Raum-Zeitabhängigkeit beider Vektoren ist notwendigerweise gleich, die Amplituden sind
jedoch i. A. verschieden und die Vektoren unterschiedlich gerichtet.
G
G
Es kann gezeigt werden, dass die D − Welle transversal ist, d. h. der D − Vektor
G
G
steht stets normal auf dem k − Vektor und dies folgt aus div D = 0 . Dies gilt
G
G
nicht für den E − Vektor. Der E − Vektor steht normal auf dem POYNTINGG
G
schen Vektor S und es kann gezeigt werden, dass POYNTINGscher Vektor S
G
und Wellenvektor k bezüglich ihrer Richtung i. A. nicht übereinstimmen.
Die Lösung des Gleichungssystems soll hier nicht diskutiert werden (Einzelheiten siehe [5.1], wesentlich sind die Ergebnisse:
G
Es zeigt sich, dass zu jeder Richtung k zwei Wellen mit unterschiedlichen PhaG
G
sengeschwindigkeiten, u′ und u ′′ , sowie den Amplituden A′ und A′′ existieren
G
G
können. Man kann ferner zeigen, dass die Richtungen von A′ und A′′ aufeinanG
G
der normal stehen ( A bezieht sich auf die D − Welle). Es wurde eine einfache
geometrische Konstruktion gefunden, mit der die Werte u′ und u ′′ sowie die
zugehörigen Schwingungsrichtungen ermittelt werden können.
Die Konstruktion geht vom Indexellipsoid aus (s. Bild 5.1). Durch seinen MitG
telpunkt wird eine zur vorgegebenen k − Richtung normale Ebene gelegt. Diese
Ebene schneidet das Indexellipsoid in einer Ellipse. Die Längen der beiden
halben Hauptachsen dieser Ellipse, a und b, sind proportional zu 1 u ′ und 1 u ′′ .
G
Ferner stimmen die Richtungen der Hauptachsen mit den Richtungen von D ′
G
G
G
(bzw. A′ ) und D′′ (bzw. A′′ ) überein.
Bild 5.1 Indexellipsoid mit eingezeichneter
G
Schnittellipse normal zum Vektor k .
G
Es kann ferner gezeigt werden, dass die Schwingungsrichtung des H − Vektors
G
G
normal sowohl zu k als auch zu D liegt, d. h. es gilt
118
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
G G
G G
H ⋅ k = 0 und H ⋅ D = 0 .
(5.18)
G
G
G
G
Wenn D ′ parallel zu a liegt, dann schwingt H ′ parallel zu b; für D ′′ und H ′′
sind die Richtungen gerade vertauscht. In Tabelle 5.1 wird dies verdeutlicht,
wobei C = 2 We µ0 . Damit lässt sich die Bedeutung der Hauptlichtgeschwindig-
keiten erklären; sie wurden mit u1 , u2 und u3 bezeichnet, wobei ui = c ni .
Tabelle 5.1 Zuordnung der Größen
Welle '
a
G
D′
u′ = C
Welle ''
b
G
H′
a
a
G
H ′′
u ′′ = C
b
G
D ′′
b
Wenn die x1 -Achse als Ausbreitungsrichtung angenommen wird, dann sind
G
zwei Wellen möglich, mit Schwingungsrichtungen des D − Vektors parallel zu
x2 und x3 mit Phasengeschwindigkeiten u2 und u3 . Analoges gilt für Wellenausbreitung in x2 - und x3 -Richtung.
Als Ergebnis der Überlegungen kann festgehalten werden: Alle im betrachteten
anisotropen Medium sich ausbreitenden ebenen monochromatischen Wellen sind
vollständig linear polarisiert, wobei die Schwingungsrichtungen durch die Struktur des Mediums festgelegt werden. Die Schwingungsrichtungen der '- Welle
und der "- Welle stehen aufeinander normal.
G
G
Es wurde hier mit dem D − Vektor gerechnet, obwohl Gmeist der
E
− Vektor als
G
der eigentliche Lichtvektor angesehen wird. Wegen D = ε E ist zugleich mit
G
G
der D − Welle auch die E − Welle linear polarisiert.
Bisher wurde mit dem Indexellipsoid gearbeitet, mit dem die Eigenschaften der
G
G
D − Welle und des Ausbreitungsvektors k behandelt werden konnten.
Die Methoden zur Behandlung der Wellenausbreitung können unmittelbar auf
das FRESNELsche Ellipsoid übertragen werden. Man erhält analoge Aussagen
G
G
G G
über die E − Welle und den POYNTINGschen Vektor S = ( E × H *) 2 (hier
G
G
sind E und H komplexe Zeiger).
G
G
G
G
Aus der Beziehung D = ε E ist direkt abzuleiten, dass i. A. D und E unterG
G
schiedliche Richtungen aufweisen. Hieraus folgt, dass i. A. k und S unter-
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
119
schiedliche Richtungen besitzen. Es ist zu beachten, dass hier für die skalaren
G G
G G
G G
G G
Produkte gelten muss H ⋅ k = 0 , H ⋅ D = 0 und H ⋅ E = 0 , S ⋅ E = 0 , d.h.,
diese Vektoren stehen jeweils aufeinander normal (s. Tabelle 5.1).
G
Es wird eine ebene Welle betrachtet, deren H − Vektor normal zur ZeichenebeG G G
G
ne liegt. Die Vektoren k , D , E und S liegen daher in der Zeichenebene. Das
Bild 5.2 zeigt den Schnitt F des FRESNELschen Ellipsoids mit der
G Zeichenebene, wobei die Vektoren wie oben angegeben liegen, d.h. Gder H − Vektor der
betrachteten Welle steht normal zur Zeichenebene, d. h. H projiziert sich im
G
Mittelpunkt O der Ellipse F. Der zu k normale Durchmesser, w - w, stellt die
Spur der Wellenebene (Fläche konstanter Phase) dar. In dieser Ebene liegt die
früher erwähnte Schnittellipse nach Bild 5.1.
Bild 5.2 Schnittellipse des FRESNELschen Ellipsoids,
Mittelpunktsschnitt
G
normal zu H .
G
Der Durchmesser s - s ist die Spur der zu S normalen Ebene durch den Mittelpunkt O. Die in den Punkten s gezeichneten Tangenten (Spuren
G der Tangentialebenen an das FRESNELsche Ellipsoid) verlaufen normal zu D , also parallel zu
G
k . Dieser Zusammenhang lässt sich analytisch beweisen.
Unter einer „Spur“ ist hier die Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene gemeint.
Rechts ist ferner die Wellenebene w - w als stark ausgezogene Linie eingezeichnet. Es wird angenommen, dass die Welle mit der Phasengeschwindigkeit u um
G
G
die Strecke OP weitergelaufen ist (in Richtung k ). Der in S − Richtung laufende Strahl muss, um in Phase zu bleiben, in der gleichen Zeit den längeren Weg
OQ zurücklegen, und zwar mit einer größeren Geschwindigkeit, die hier mit v
bezeichnet wird. Aus dem rechtwinkeligen Dreieck OPQ folgt dann
120
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
G
u
cos σ = G ,
v
G
wobei σ einen Winkel darstellt, der u. A. zwischen D und
daher
G G
E⋅D
cos σ = G G .
E D
G
Es wurde schon früher auf die Tatsache hingewiesen, dass E
parallel zueinander liegen.
G
Es werden die Einheitsvektoren n (Wellennormale) und
Leistungsflusses) eingeführt
G
G
k
S
G
G
(5.21)
n= G ,
s = G .
S
k
(5.19)
G
E auftritt. Es gilt
(5.20)
G
und D i. A. nicht
G
s (Richtung des
(5.22)
G
Man kann nun in einer Ableitung zeigen, dass für jede vorgegebene Richtung s
G
G
zwei Wellen existieren, deren Feldvektoren E′ und E′′ zueinander normal
stehen und deren Geschwindigkeiten v′ und v′′ i. A. unterschiedliche Werte
annehmen.
Man kann mit dem FRESNELschen Ellipsoid eine zum Indexellipsoid analoge
G
G
Konstruktion angeben (Schnitt mit einer zu s bzw. S normalen Ebene, Feststellung der Hauptachsen der Schnittellipse).
Es existieren also zwei zueinander duale Beschreibungsformen der Wellenausbreitung in einem Kristall. Folgende Größen entsprechen einander
G
G G G u uG
G D G c c
D, E, n, i ,
⇔ ε0 E , , s , , G .
(5.23)
c c
vi v
ε0
Indexellipsoid
FRESNELsches Ellipsoid
G
Es ist zu beachten, dass die Geschwindigkeit u die Phasengeschwindigkeit
G
G
angibt, mit der sich die Welle in Richtung k bzw. Richtung n ausbreitet. Die
G
G
Geschwindigkeit v bezieht sich auf den POYNTINGschen Vektor S bzw. auf
G
G
s und stellt die Richtung des Energietransportes dar. Daher ist v für die Praxis
G
G
von größerer Bedeutung als u , und v wird als Strahlengeschwindigkeit bezeichnet.
G
Strahlenfläche. Die Verteilung der Strahlgeschwindigkeiten v ′ = v ′ und
G
G
v ′′ = v ′′ als Funktion der Raumrichtungen s wird hier untersucht. Hierzu
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
121
werden die Beträge beider Geschwindigkeiten vom Ursprung eines kartesischen
G
Koordinatensystems aus in Richtung s aufgetragen. Die Koordinatenachsen
werden mit ξ1 , ξ2 und ξ3 bezeichnet. Man erhält eine zweischalige Fläche,
wobei eine Schale v′ und die zweite Schale v′′ entspricht. Man kann zeigen,
dass es sich um Flächen 4. Ordnung handelt.
Die Bilder 5.3 und 5.4 zeigen die erwähnte Strahlenfläche; Bild 5.3 zeigt für
einen allgemeinen Fall die obere Hälfte der äußeren Schale und Bild 5.4 die
untere Hälfte der inneren Schale. Die nicht gezeigten fehlenden Hälften sind den
dargestellten Hälften spiegelbildlich gleich.
Bild 5.4 Untere Hälfte der inneren Schale
Bild 5.3 Obere Hälfte der äußeren
der Strahlenfläche mit eingezeichneten
Schale der Strahlenfläche mit eingezeichneten optischen Achsen; nach [5.1]. optischen Achsen; nach [5.1].
Es ist zu erkennen, dass sich die Schalen in jeder Hälfte an zwei Punkten (Nabelpunkte) berühren. Die entsprechenden Richtungen sind eingezeichnet. Für
G
Wellen, deren s − Vektor in diese Richtungen weist, sind die Geschwindigkeiten
v′ und v′′ gleich. Nur für diese beiden ausgezeichneten Richtungen verhält sich
der Kristall wie ein isotroper Körper. Diese Achsen tragen den Namen Achsen
der Isotropie oder optische Achsen (siehe Pfeile in den Bildern 5.3 und 5.4).
Optische Achsen. Für Anwendungen in der Optik sind die optischen Achsen der
Kristalle wichtiger als die Hauptachsen des FRESNELschen Ellipsoids oder des
Indexellipsoids, die dielektrische Hauptachsen genannt werden.
Wie erwähnt, ergeben sich die Strahlgeschwindigkeiten v′ und v′′ aus den
Hauptachsen der Schnittellipse des FRESNELschen Ellipsoids, wobei die Fläche
G
G
der Schnittellipse normal zu s steht. Wenn S in Richtung einer optischen
Achse zeigt, dann sind definitionsgemäß v′ und v′′ gleich und damit sind die
Hauptachsen der Schnittellipse gleich groß, d.h. die Schnittellipse geht in einen
Kreis über. Daraus folgt, dass die optischen Achsen normal auf den Kreisschnitten des FRESNELschen Ellipsoids stehen.
122
5 Wellenausbreitung in optisch anisotropen Stoffen
G
Wenn man die Schwingungsrichtung einer Welle nach
G dem E − Vektor benennt
(teilweise wurde die Schwingungsrichtung mit dem D − Vektor verknüpft), dann
kann folgende Aussage getroffen werden: Für alle Strahlrichtungen besitzen die
Wellen im Kristall lineare Polarisation, die Schwingungsrichtungen der beiden
in gleicher Richtung fortschreitenden Strahlen stehen aufeinander normal.
Eine Ausnahme stellen die optischen Achsen dar. Wegen der Kreisgestalt der
zugehörigen Schnittellipsen ist keine Schwingungsrichtung vor der anderen
ausgezeichnet. Daraus folgt auch der Name „Achsen der Isotropie“.
Normalenfläche. Hierbei handelt es sich um eine zur Strahlenfläche duale
Fläche, die in Bild 5.5 gestrichelt dargestellt ist. Man erhält die Normalenfläche,
G
G
wenn man in jeder Richtung des Vektors k (bzw. n ) die Phasengeschwindigkeiten der beiden zugehörigen Wellen, u′ und u′′ aufträgt.
Bild 5.5 Strahlenfläche (ausgezogene Linie) und
Normalenfläche (gestrichelte Linie). Die Normalenfläche ist die Fußpunktsfläche der Strahlenfläche, bzw. ist die Strahlenfläche die Hüllfläche der
Wellenebenen; nach [5.1].
Eine Durchrechnung ergibt, dass i. A. eine zweischalige Fläche 6. Ordnung
auftritt. Es treten zwei Paare von Berührungspunkten zwischen den Flächen auf,
durch die zwei Geraden, die „optischen Normalenachsen“ hindurchgelegt
werden können. Sie definieren Richtungen, für die gilt u′ = u′′ , es handelt sich
G
um Achsen der Isotropie derG D − Wellen (analog zu den optischen Achsen). Die
Schwingungsrichtung des D − Vektors ist in diesem Fall nicht festgelegt, d.h. sie
ist beliebig.
Zwischen Normalen- und Strahlenfläche besteht ein einfacher Zusammenhang:
Die Normalenfläche ist die Fußpunktsfläche der Strahlenfläche.
Anmerkungen. Der Winkel 2 δ n zwischen den optischen Normalenachsen ist i.
A. nur wenig kleiner als der Winkel zwischen den optischen Achsen (s. Strahlenfläche).