adjungiert, Adjunktion Bellsche Ungleichung, CHSH

A
adjungiert, Adjunktion
Ist A eine lineare Transformation des →Hilbertraumes H mit Skalarprodukt ◦, so gibt
es eine (eindeutig bestimmte) lineare Transformation A† von H mit der Eigenschaft
(A† x) ◦ y = x ◦ (Ay)
für alle x, y ∈ H.
Dies ist die zu A adjungierte Transformation1 .
Bezeichnet A ∈ Mn eine Matrix, die die gleichnamige Transformation realisiert, so
wird die adjungierte Transformation durch die adjungierte Matrix A† realisiert:
t
A = [ai,j ]1≤i,j≤n ⇒ A† = a∗j,i 1≤i,j≤n = a∗i,j 1≤i,j≤n .
Es gilt
(A† )† = A,
(A + B)† = A† + B † ,
(A B)† = B † A† .
Hinweis: Man kann Adjunktion allgemeiner für lineare Transformationen zwischen
Hilberträumen A : H → H0 definieren, wobei die Dimensionen m = dim H und
n = dim H0 verschieden sein können. In diesem Fall wäre dann A† eine lineare Transformation A† : H0 → H. Bei den Matrizen gilt genauso: Adjunktion = (Konjugation +
Transposition).2
Hinweis: Bei unendlich-dimensionalen Räumen muss man aufpassen, da es Probleme mit den Definitionsbereichen gibt! Das führt auch dazu, dass dort die Begriffe
→selbstadjungiert und →hermitesch nicht mehr äquivalent sind.
B
Bellsche Ungleichung, CHSH-Ungleichung
Sind Q, R, S, T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω definierte Zufallsvariable, die jeweils nur die Werte ±1 annehmen. Für (q, r, s, t) ∈ {±1}4 sei p(q, r, s, t) die Wahrscheinlichkeit der Ereignisses (Q = q, R = r, S = s, T = t). Im Bezug auf diese Verteilung kann
man den Erwartungswert
Ep (Q · S + R · S + R · T − Q · T ) = Ep (Q · S) + Ep (R · S) + Ep (R · T ) − Ep (Q · T )
betrachten. Da immer
|Q · S + R · S + R · T − Q · T | == |Q(S − T ) + R(S + T )| = 2
1
Die Existenz und Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für jedes x ∈ H die Abbildung y 7→
x ◦ (Ay) linear ist, es also ein z = zx ∈ H gibt mit z ◦ y = x ◦ (Ay) für alle y ∈ H. Die Abhängigleit dieses
z = zx von x ist selber wieder linear, d.h. x 7→ zx ist eine lineare Transformation: das genau ist A† .
2
In dieser Situation bezieht sich (A† x) ◦ y auf das Skalarprodukt in H und x ◦ (Ay) auf das Skalarprodukt in H0 .
1
ist, muss
Ep (Q · S) + Ep (R · S) + Ep (R · T ) − Ep (Q · T ) ≤ 2
sein.
Dieses Szenario trifft insbesonder auf ein →EPR-Gedankenexperiment zu, wenn man
die Hypothesen des →lokalen Realismus akzeptiert.
Die Bell-Ungleichung (in der geschilderten Form der CHSH-Ungleichung)
√ ist verletzt, wenn man ein 2-qubit-System im →Bell-Zustand β11 = (|01i − |10i)/ 2 präpariert und auf dem ersten qubit zufällig eine der Messungen Q p
= Z und R = X, auf
√
dem zweiten qubit zuffällig eine der Messungen S = (−Z − X)/ (2), T = (Z − X)/ 2
durchführt, denn dann ist
1
hQ · Si = hR · Si = hR · T i = √ ,
2
1
hQ · T i = − √ .
2
Diese Verletzung der Bell-Ungleichung ist im physikalischen Experiment bestätigt worden. Die Hypothese des lokalen Realismus trifft also auf Quantensysteme nicht zu.
Bell-Zustände
Die vier Bell-Zustände von H2 = C2 ⊗ C2 sind
1
|β00 i = √
2
1
|β01 i = √
2
1
|β10 i = √
2
1
|β11 i = √
2
|00i + |11i ,
|01i + |10i ,
|00i − |11i ,
|01i − |10i .
In kompakter Form:
1
|βab i = √ |0bi + (−1)a |1bi
2
(ab ∈ B2 )
Diese Zustände lassen sich mit Hilfe des →Hadamard-Gatters und des →CNOT leicht
erzeugen. Sie sind →verschränkt und spielen bei vielen Konstruktionen eine interessante
Rolle.
Bloch-Sphäre
Die Bloch-Sphäre ist die Einheitssphäre im R3 , die zur Veranschaulichung von zweidimensionalen unitären Transformationen auf einem einzelnen →qubit dient. Schreibt
man einen Zustand ψ des qubits als
θ
θ
iγ
iφ
|ψi = e · cos |0i + e sin |1i ,
2
2
2
mit reellen γ, θ, φ, wobei man den “globalen Phasenfaktor” eiγ als “physikalisch irrelevant, weil nicht beobachtbar” unterdrückt, so wird dieser durch den
Punkt (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) der R3 (in (x, y, z)-Koordinaten) repräsentiert. Die
→Dichtematrix von ψ schreibt sich in diesen Koordinaten als
1 1 + z x − iy
cos2 2θ
e−iφ sin 2θ cos 2θ
|ψihψ| = iφ
=
cos2 2θ
e sin 2θ cos 2θ
2 x + iy 1 − z
Mit Hilfe der →Pauli-Matrizen schreibt sich das sehr suggestiv als
1
(I + x · X + y · Y + z · Z)
2
Man beachte noch die Zuordnungen
|ψihψ| =
1
1
(±1, 0, 0) ↔ √ (|0i ± |1i) (0, ±1, 0) ↔ √ (|0i ± i |1i) (0, 0, 1) ↔ |0i (0, 0, −1) ↔ |1i
2
2
bra-Vektor
Ein bra-Vektor hx| in der →Dirac-Notation steht für einen Zeilenvektor und beschreibt
eine Linearform
hx| : H → C : |yi 7→ hx|yi = x ◦ y
Im endlich-dimensionalen Fall ist jede lineare Abbildung H → C von dieser Gestalt.
C
CNOT
CNOT (controlled negation) ist die boolesche Funktion
fCN OT : B2 → B2 : (a, b) 7→ (a, a ⊕ b),
d.h. das zweite bit wird in Abhängigkeit vom Wert des ersten bits geändert oder nicht.
Die Matrixdarstellung der entsprechenden Transformation von C2 × C2 ist


1 0 0 0
0 1 0 0

MCN OT = 
0 0 0 1
0 0 1 0
D
Deutsch-Josza-Algorithmus
Dies ist ein Verfahren zur Lösung von →Deutschs Problem. Mit einem Quantenschaltkreis, der ein Gatter Uf zur Berechnung von f als einer Abbildung auf den Basisvektoren
des (C 2 )⊕n enthält, kann man dank des Superpositionsprinzips mit einer einzigen Auswertung zur korrekten Entscheidung kommen.
3
Deutschs Problem
Eine boolesche Funktion f : Bn → B sei als ‘black box’ gegeben, also nur als ein Orakel,
das auf Eingabe von b ∈ Bn mit f (b) ∈ B antwortet. Die Definition von f oder Arbeitsweise des Orakels sei unbekannt. Ferner ist garantiert, dass f entweder konstant ist oder
balanciert, d.h. die Hälfte der möglichen Eingaben liefert den Wert 0, die andere Hälfte
den Wert 1. Es gilt herauszufinden, welche der beiden Alternativen zutrifft.
Klassisch benötigt man im worst case 2n−1 + 1 Auswertungen, um die Entscheidung
mit Sicherheit treffen zu können.
Ein Quantenschaltkreis hat den Vorteil, dass man mit Superpositionen von klassischen
Eingaben arbeiten kann, siehe →Deutsch-Josza-Algorithmus. Die war das erste Problem, bei dem man festgestellt hat, dass ein Quantencomputer effizienter arbeiten kann
als ein klassischer Computer.
Dichtematrix, Dichteoperator
Ist ψ ein normierter Vektor eines →Hilbertraumes H mit dim H = n, also ein
→Zustand(svektor) im Quantensinne, so bezeichnet man die durch die (in →DiracNotation) mit |ψihψ| gegebene Transformation (bzw. die sie realisierende Matrix) als die
Dichtematrix von ψ.
Beachte: Oft ist es einfacher und eleganter, mit den Dichtematrizen statt mit den
Zustandsvektoren zu rechnen.
Konvexe Linearkombinationen von Dichtematrizen |ψihψ|, also Operatoren
X
ρ=
pj |ψj ihψj k
j
mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (pj )j , bezeichnet man als Dichteoperatoren. Dieses sind genau die →positiven Operatoren ρ mit der →Spur Sp(ρ) = 1.
Dirac-Notation
Ist H ' Cn ein (endlich-dimensionaler) →Hilbertraum mit Skalarprodukt (x, y) 7→ x ◦ y
und orthonormaler Basis B = {v (1) , . . . , v (n) }, so hat sich folgende Konvention und Notation als sehr suggestiv erwiesen:
– Elemente von H werden als Spaltenvektoren geschreiben, und zwar abgekürzt als
sog. ket-Vektor
 
α1
X
 .. 
(i)
x=
αi v ↔ |xi =  . 
1≤i≤n
– Jedes x =
P
1≤i≤n αi v
(i)
αn
∈ H definiert aber auch eine Linearform
H → C : y 7→ x ◦ y,
4
d.h. ausgeschrieben bezüglich der ON-Basis B:

y=
X
βi v (i) 7→ x ◦ y =
X
αi∗ βi = α1∗
1≤i≤n
1≤i≤n
Man schreibt hx| für den Zeilenvektor
gehörigen bra-Vektor.

β1
 
. . . αn∗  ...  .
βn
α1∗ . . . αn∗ und nennt dies den zu x
– Im Sinne der →Adjunktion von Transformationen bzw. Matrizen gilt |xi† = hx|
und das Skalarprodukt schreibt sich als bra(c)ket
x ◦ y = hx| |yi =: hx|yi.
– Die bra-ket-Notation passt sich an die assoziativen Gesetzmässigkeiten der Matrixmultiplikation problemlos an:
- Ist A eine lineare Transformation von H, so ist A|xi = |Axi und für x◦(Ay) =
(A† x) ◦ y schreibt man hx|A|yi. Beachte
hx|A = |xi† A = |xi† A†† = (A† |xi)†
- Ist A = [ai,j ]1≤i,j≤n die Matrixdarstellung der gleichbenannten TransforP
(i)
mation bezüglich der Basis B, also Av (j) =
1≤i≤n ai,j v , so gilt ai,j =
hv (i) |A|v (j) i. Aus diesem Grunde bezeichnet man die Konstrukte hv (i) |A|v (j) i
auch als Matrixelemente.
- Auch |xihy| ist eine erlaubte und sinnvolle Konstruktion, denn für alle z ∈ H
muss
(|xihy|)|zi = |xihy| |zi = |xi(hy| |zi) = |xi(hy|zi) = hy|zi |xi
gelten, d.h. |xihy| : H → H ist eine lineare Transformation, die durch die
Matrix
 


α1
α1 β1∗ . . . α1 βn∗
 .
 ..  ∗
.. 
..
 .  β1 . . . βn∗ =  ..
.
. 
αn
αn β1∗ . . . αn βn∗
dargestellt wird.
– Ein Spezialfall ist besonders wichtig:
|xihx| : H → H : |yi 7→ (hx|yi) |xi = (x ◦ y) |xi
ist die orthogonale Projektion von y auf den von x erzeugten Teilraum.
5
E
EPR-Gedankenexperiment
Ein von A. Einstein, B. Podolski und N. Rosen im Jahr 1935 konzipiertes Gedankenexperiment, das eine Unvollständigkeit der weithin akzeptierten Kopenhagener
Deutung der Quantentheorie aufzeigen sollte. Ein →verschränkter Zustand, etwa ein
→Bell-Zustand wird erzeugt und die beiden Teile des 2-qubit-Systems werden so weit
voneinander entfernt, dass sich Messungen an ihnen nicht beeinflussen können. Trotzdem
determiniert die Messung an einem Teil (mit einem völlig zufälligen Resultat) vollkommen den “ Zustand” und damit ein Messresultat am anderen Teil. Im Sinne eine →lokalen
und realistischen physikalischen Theorie sollte das nur möglich sein, indem beide Teile
von ihrer Genese her zusätzliche Information hidden variables mit sich tragen. Dann
müsste ein solches System aber der →Bell-Ungleichung genügen. Dies ist inzwischen
experimentell falsifiziert worden.
Erwartungswert
Ist H ein →Hilbertraum, v ∈ H ein normierter Vektor und A eine normale Transformation von A, so bezeichnet man (in →Dirac-Notation geschrieben) hv|A|vi als Erwartungswert von A bezüglich v. Man schreibt dafür oft einfach hAi, wenn klar ist, auf
welches v man sich bezieht. P
Ist dim H = n und A = i λi |v (i) ihv (i) | die →Spektraldarstellung von A, so ist
i 7→ |hv | v (i) i|2
eine
(1 ≤ i ≤ n)
Wahrscheinlichkeitsverteilung3
hv|A|vi =
X
auf {1, 2, . . . , n} und
X
λi hv|v (i) ihv (i) |vi =
λi |hv|v (i) i|2
i
i
ist der Erwartungswert der Zufallvariablen i 7→ λi (1 ≤ i ≤ n).
H
Hadamard-Matrix
Die Hadamard-Matrix H ist die Matrix
1 1 1
H=√
2 1 −1
Das n-fache →Tensor- oder →Kronecker-Produkt von H mit sich selbst ist
i
1 h
(−1)bin(x)·bin(y) 0≤x<2n .
H ⊗n = √
2n
0≤y<2n
Diese Aufgabe dieser Matrix ist die Generierung von überlagerten Zuständen aus Basiszuständen.
3
Hierbei wird verwendet, dass v normiert ist und dass die v (i) ein ON-Basis bilden!
6
hermitesche Transformation
Eine lineare Transformation A (oder eine sie realisierende Matrix) heisst hermitesch oder
→selbstadjungiert, wenn sie gleich ihrer →adjungierten Transformation Matrix A† ist.
Hinweis: der Begriff hermitesch wird im Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume
anders definiert und stimmt dort nicht mit selbstadjungiert überein.
Hilbertraum
Ein (komplexer) Hilbertraum H ist ein Vektorraum über C, der mit einem komplexen
Skalarprodukt
H × H → C : (x, y) 7→ x ◦ y
ausgestattet ist, für das folgende Regeln gelten:
1. x ◦ y = (y ◦ x)∗ für alle x, y ∈ H,
2. x ◦ (α y + β z) = α(x ◦ y) + β(x ◦ z) für alle x, y, z ∈ H, α, β ∈ C,
3. x ◦ x ≥ 0 für alle x ∈ H, wobei x ◦ x = 0 ⇔ x = 0
und der vollständig ist (d.h., alle Cauchy-Folgen konvergieren in H bezüglich der Metrik
auf H, die durch die Norm
√
kxk = x ◦ x
gegeben ist.
Beachte: aus 1. und 2. folgt
(α x) ◦ y = (y ◦ α x)∗ = α∗ (y ◦ x)∗ = α∗ (x ◦ y)
und allgemein
(α x + β y) ◦ z = α∗ (x ◦ z) + β ∗ (y ◦ z).
Wichtig: Die Vollständigkeit ist automatisch erfüllt, falls H endlich-dimensional ist!
Im Kontext der Quantencomputing wird nur dieser Fall betrachtet. Alle vorkommenden
Hilberträume H sind also vom Typ Cn , d.h H ist isomorph zu Cn , falls dimC H = n.
Die folgenden (Un-)Gleichungen gelten in jedem Hilbertraum:
1. |x ◦ y| ≤ kxkkyk (Cauchy-Schwarz)
2. kx + yk ≤ kxk + kyk (Dreieck, Minkowski)
3. kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 (Parallelogramm)
Vektoren x, y ∈ H sind orthogonal, notiert mit x ⊥ y, falls x ◦ y = 0 gilt. Eine Basis
{v (1) , . . . , v (n) } von H bestehend aus paarweise orthogonalen und normierten Vektoren
ist ein ON-Basis. Aus n linear-unabhängigen Vektoren kann man eine orthonormale
Basis, kurz ON-Basis, von H konstruieren (Gram-Schmidt-Verfahren).
(i)
(j)
Ist {v (1) , . . . , v (n) } ein ON-Basis von
j ≤ n, so gilt für
P H, also v(i) ⊥ v Pfür 1 ≤ i <
(i)
das Skalarprodukt von Vektoren x = 1≤i≤n αi v , y = 1≤i≤n βi v ,
X
x◦y =
αi∗ βi .
1≤i≤n
7
K
ket-Vektor
Ein ket-Vektor in der →Dirac-Notation bezeichnet ein Element des zugrunde liegenden
Vektorraumes H als Spaltenvektor.
Kommutator, Antikommutator
Sind A, B ∈ Mn (C) Matrizen (oder auch Operatoren auf demselben Raum), so definiert
man den Kommutator als [A, B] = AB − BA und den Antikommutator als {A, B} =
AB + BA.
kontrollierte Negation
→CNOT
Kronecker-Produkt
Sind A = [ai,j ] ∈ Mm,n und B = [bk,` ] ∈ Mp,q Matrizen, so ist die (m · p) × (n · q)-Matrix


a1,1 · B . . . a1,n · B


..
..
..
A ⊕ B = [ai,j · B] = 

.
.
.
am,1 · B . . . am,n · B
das Kronecker- oder auch →Tensorprodukt von A und B.
L
lokaler Realismus
Unter diesem Schlagwort werden zwei Hypothesen verstanden, die traditionelle (d.h.
nicht quantenmechanische) Eigenschaften physikalischer Theorien in abstrakte Form fassen.
Die Hypothese der Lokalität besagt, dass sich Ereignisse, hier Messungen, die in
der relativistischen Raum-Zeit-Welt zu weit auseinanderliegen, sich nicht beeinflussen
können.
Die Hypothese des Realismus gesagt, dass sich Verteilungen bzw. Erwartungswerte
von Eigenschaften von Objekten, die reproduzierbar gemessen werden können, einen
Aspekt der physikalischen Realität beschreiben , und zwar unabhängig davon, ob sie
gemessen werden oder nicht
Diese Hypothesen spielen in dem →EPR-Gedankenexperiment eine zentrale Rolle.
Die experminetell verifizierte Verletzung der Bell-Ungleichung zeigt, dass die Quantentheorie keine lokal realistische Theorie ist.
8
M
Messung
Eine Messung eines quantenmechanischen Systems wird beschrieben durch eine Familie
M = {Mm } von Transformationen (“Messoperatoren”), die durch die Menge der mögli†
chen Messwerte m indiziert ist. Die Operatoren Em ≡ Mm
Mm sind dann →positive
Operatoren und die wesentliche Bedingung an die Familie M = {Mm } ist die, dass
P
P
†
m Em =
m Mm Mm = I ist.
Die Interpretation dieser Situation ist die, dass die durch M = {Mm } beschriebene
Messung für ein System im Zustand |ψi mit Wahrscheinlichkeit
†
p(m) = hψ|Mm
Mm |ψi
den Messwert m liefert und sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand
Mm |ψi
1
p
Mm |ψi = q
†
p(m)
hψ|Mm
Mm |ψi
befindet.
Ein wichtiger Spezialfall von Messungen sind die →projektiven Messungen.
N
normale Transformation
Eine lineare Transformation A von H = Cn (oder eine sie realisierende Matrix A ∈
Mn (C)) heisst normal, wenn sie mit ihrer adjungierten Transformation kommutiert,
d.h. AA† = A† A.
Wichtig: die normalen Transformationen (Matrizen) sind genau diejenigen Transformationen (Matrizen), die sich diagonalisieren lassen, d.h. es gibt eine ON-Basis von
H, in der A Diagonalgestalt (→Spektraldarstellung) hat, d.h. die Basisvektoren sind
Eigenvektoren von A.
Wichtige Unterklassen der normalen Transformationen sind →selbstadjungierte (reelle Eigenwerte), →positive (nichtnegative reelle Eigenwerte) und →unitäre (komplexe
Eigenwerte mit Absolutbetrag 1)
O
Observable
Physikalischer Begriff zur Bezeichnung von “ beobachtbaren” oder “ messbaren” Grössen.
Synonym mit →projektive Messung.
9
P
Pauli-Matrizen
Die Pauli-(Spin)-Matrizen X, Y, Z sind die Matrizen
0 1
0 −i
1 0
X=
Y =
Z=
1 0
i 0
0 −1
1 0
Sie bilden zusammen mit der Einheitsmatrix I =
eine Basis des Vektorraums
0 1
M2 (C) der komplexen (2 × 2)-Matrizen.
Häufig wird X mit σx oder σ1 , Y mit σy oder σ2 , Z mit σz oder σ3 und die Einheitmatrix mit σ0 bezeichnet. Entsprechend wird der Vektor der Pauli-Matrizen mit
~σ = (X, Y, Z)
notiert. Ist ~v = (vx , vy , vz ) ∈ R3 ein reeller Vektor der Länge 1, so spielt das Skalarprodukt
vz
vx − i vy
~v · ~σ = vx · X + vy · Y + vz · Z =
vx + i vy
−vz
im Kontext der →Rotationsmatrizen eine wichtige Rolle.
Die Pauli-Matrizen haben eine einfache anschauliche Interpretation als Transformationen der →Bloch-Sphäre.
Phase, Phasenfaktor
Zustände |ψi und eiθ |ψi (θ reell) unterscheiden sich nur um den (globalen) Phasenfaktor
eiθ , der aus der Sicht des Messens irrelevant ist. Es ist üblich, Zustände, die sich nur um
einen solchen Faktor unterscheiden, miteinander zu identifizieren.
positive Transformation
Eine lineare Transformation A von H = Cn (oder eine sie realisierende Matrix A ∈
Mn (C)) heisst positiv, wenn (x, Ax) ≥ 0 für alle x ∈ H gilt. Positive Transformationen
sind →hermitesch.
projektive Messung
Eine p.M. (gelegentlich auch als von-Neumann-Messung bezeichnet) ist eine
→hermitesche (selbstadjungierte) Transformation mit →Spektralzerlegung
X
M=
m Pm
m
bei der die Transformationen Pm die Projektionen auf den jeweiligen Eigenraum zum
Eigenwert m sind.
10
Für eine System im Zustand |ψi wird der “ Messwert” m wird mit Wahrscheinlichkeit
p(m) = hψ|Pm |ψi
gemessen und unmittelbar nach der Messung befindet sich das System im Zustand
1
p
Pm |ψi
p(m)
Projektive Messungen sind solche →Messungen M = {Mm , }, bei denen die Mm
hermitesch sind und die Orthogonalitätsbedingung
Mm Mm0 = δm,m0 Mm
erfüllen.
Der Erwartungwswert einer projektiven Messung M in einem Zustand |ψi ist
X
X
X
E(M ) =
m · p(m) =
mhψ|Pm |ψi = hψ|
mPm |ψi = hψ|M |ψi
m
m
m
und wird mit hM i abgekürzt.
Q
Quantenregister
Ein einzelnes Quantenregister ist ein →qubit. Ein n-faches Quantenregister wird dargen
stellt durch das n-fache Tensorprodukt Hn = (C2 )⊕n . Hn ist also isomorph zu C2 . Eine
ON-Basis von Hn ist gegeben durch die 2n Basisvektoren (in →Dirac-Notation)
|bi = |b1 b2 . . . bn i = |b1 i ⊕ |b2 i ⊕ · · · ⊕ |bn i mit b = b1 b2 . . . bn ∈ Bn
Man schreibt diese Basiszustände oft auch als |ki mit 0 ≤ k < 2n und meint damit
|bin(k)i, wo bin(k) die Binärdarstellung von k ist. In dieser Reihenfolge werden auch die
Matrizenkomponenten in Zeilen und Spalten indiziert.
Ein Zustand ψ ist ein normierter Vektor
X
X
|ψi =
αb |bi mit
|αb |2 = 1
b∈Bn
b∈Bn
also eine Überlagerung (Superposition) der Basiszustände |bi, b ∈ Bn mit den Amplituden αb .
Die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation besagt, dass man bei →Messung
von ψ in der ON-Basis das Ergebnis |bi mit Wahrscheinlichkeit |αb |2 erhält.
Wichtig: →Zustandstransformationen des Quantenregisters Hn werden durch
→unitäre Tranformationen auf Hn realisiert, →Messungen durch →selbstadjungierte
Transformationen von Hn .
11
qubit
t
t
Der →Hilbertraum H = C2 mit den beiden Einheitsvektoren 1 0 und 0 1 als ONBasis repräsentiert
tein Quantenregister,
tgenannt qubit. In der →Dirac-Notation schreibt
man |0i für 1 0 und |1i für 0 1 . Zustandsvektoren (Zustände des qubits) sind
normierte Vektoren aus H, also
α
ψ = 0 bzw. |ψi = α0 |0i + α1 |1i mit |α0 |2 + |α1 |2 = 1.
α1
eine manchmal nützliche Veranschaulichung der Zustandsmenge eines qubits ist die
→Bloch-Sphäre, die auf der Darstellung
θ
θ
α0
↔ eiγ cos |0i + eiφ sin |1i
α1
2
2
mit reellen γ, θ, φ beruht.
R
Rotationsmatrizen
Die Rotationen der →Bloch-Sphäre um die Koordinatenachsen des R3 mit Drehwinkel
θ schreiben sich mit Hilfe der →Pauli-Matrizen als
θ
θ
cos 2θ
−i sin 2θ
Rx (θ) = e−iθ/2 X = cos · I − i sin · X =
−i sin 2θ
cos 2θ
2
2
θ
θ
cos 2θ − sin 2θ
Ry (θ) = e−iθ/2 Y = cos · I − i sin · Y =
sin 2θ
cos 2θ
2
2
#
"
−i θ2
θ
θ
0
e
Rz (θ) = e−iθ/2 Z = cos · I − i sin · Z =
θ
2
2
0
ei 2
Allgemein: ist ~v = (vx , vy , vz ) ∈ R3 ein Vektor der Länge 1, so beschreibt die Matrix
R~v (θ) = e−iθ/2 ~v·~σ = cos
θ
θ
· I − i sin ~v · ~σ
2
2
die Rotation der Bloch-Sphäre um die durch ~v bestimmte Achse mit dem Winkel θ.
Jede →unitäre Transformation U von C2 ist, von einem physikalisch irrelevanten
→Phasenfaktor abgesehen, eine Rotation, d.h.
U = ei α R~v (θ)
mit reellen α, θ, ~v und lässt sich mit Rotationen um zwei beliebige (!) Achsen ~v und ~u
darstellen als
U = ei α R~v (β) R~u (γ) R~v (δ)
mit reellen α, β, γ, δ.
12
S
selbstadjungierte Transformation
Eine lineare Transformation A von H = Cn (oder eine sie realisierende Matrix A ∈
Mn (C)) heisst selbstadjungiert oder hermitesch, wenn sie mit ihrer →adjungierten
Transformation A† übereinstimmt, d.h. AA† = A† A.
Selbstadjungierte Transformationen (Matrizen) sind offensichtlich →normal, haben
also eine ON-Basis von Eigenvektoren. In diesem selbstadjungierten Fall (genau!) sind
alle Eigenwerte reell.
separabel
Ein Element eines →Tensorproduktes V ⊗ W zweier Vektorräume V und W heisst separabel, wenn es in der Form v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W dargestellt werden kann.
Elemente, die nicht separabel sind, nennt man in der Quantenwelt →verschränkt.
Spektraldarstellung
Ist A ein normaler Operator eines endlich-dimensionalen Hilbertraumes H, dim H = n,
so hat er eine ON-Basis von Eigenvektoren, d.h. es gibt normierte, paarweise orthogonale
Eigenvektoren v (i) mit Eigenwerten λi (1 ≤ i ≤ n). In der →Dirac-Notation schreibt
sich dann A als
X
A=
λi |v (i) ihv (i) |
1≤i≤n
Spur
Ist
P A = [ai,j ] ∈ Mm,n (C) eine Matrix, so bezeichnet man die Summe Sp(A) =
1≤i≤n ai,i der Diagonalelemente als Spur von A. Es gilt:
Sp(A + B) = Sp(A) + Sp(B), Sp(AB) = Sp(BA), Sp(A† ) = Sp(A)∗ .
Ist A eine lineare Transformation, so ist die Spur aller Matrixdarstellungen von A
dieselbe, so dass man auch von der Spur einer linearen Transformation sprechen kann.
Am Falle diagonalisierbarer Transformationen (Matrizen) sieht man, dass Sp(A) auch
die Summe der Eigenwerte von A ist.
Ist H ein →Hilbertraum und x ∈ H, so gilt kxk2 = Sp(|xihx|), d.h.
die →Zustandsvektoren im Quantensinne zeichnen sich dadurch aus, dass ihre
→Dichtematrix die Spur 1 hat.
Ist v ∈ H ein normierter Vektor und A eine →normale Transformation, so gilt
bezüglich des →Erwartungswertes
hAi = hv|A|vi = Sp(hv|A|vi) = Sp(A|vihv|)
13
T
Teleportation
In dem 3-qubit System H3 = (C2 )⊕3 kann ein unbekannter Zustand |ψi auf dem ersten
qubit mit Hilfe eines →Bell-Zustandes β00 auf den beiden anderen qubits auf das dritte
qubit ‘teleportiert’ werden, wobei nur zwei klassische bit Information als Ergebnisse von
Messungen auf den ersten beiden qubits benötigt werden.
Tensorprodukt
Sind V, W zwei komplexe Vektorräume, so kann man aus den Paaren von Elementen
(v, w) (v ∈ V, w ∈ W ), geschrieben als neue Symbole (‘Tensoren‘) v ⊗ w, Linearkombinationen über C bilden, also endliche Summen
X
αk vk ⊗ wk .
k
Mit den offensichtlichen Rechenregeln (Addition, Skalarmultiplikation) für solche Linearkombinationen und den Regeln
α(v ⊗ w) = (α v) ⊗ w = v ⊗ (α w)
v ⊗ (w + w0 ) = (v ⊗ w) + (v ⊗ w0 )
(v + v 0 ) ⊗ w = (v ⊗ w) + (v 0 ⊗ w)
wird die Menge der Linearkombinationen zu einem C-Vektorraum, als das Tensorprodukt
von V und W bezeichnet und mit V ⊗ W notiert.
Ist BV = {v (1) , . . . , v (m) } eine Basis von V und BW = {w(1) , . . . , w(n) } eine Basis von
W , so bilden die m · n Tensoren v (i) ⊗ w(j) mit 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n eine Basis BV ⊗ BW
von V ⊗ W .
Sind V und W →Hilberträume und die angegebenen Basen BV und BW sogar ONBasen, so ist auch BV ⊗ BW eine ON-Basis bezüglich des Skalarprodukts
X
X
X
(
αk vk ⊗ wk ,
β` v` ⊗ w` ) =
αk∗ β` (vk , v` )(wk , w` )
k
`
k,`
Ist A eine lineare Transformation von V und B eine lineare Transformation von W ,
so ist
X
X
A⊗B :
αk vk ⊗ wk 7→
αk A(vk ) ⊕ B(wk )
k
k
eine lineare Transformation von V ⊗ W , genannt das Tensorprodukt von A und B.
Stellt man A und B mittels Matrizen dar, so wird die entsprechende Konstruktion
als das →Kronecker-Produkt bezeichnet.
Tensorprodukte →normaler bzw. →positiver bzw. →hermitescher bzw. →unitärer
Transformationen haben wieder die jeweilige Eigenschaft.
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U
unitär
Eine lineare Transformation A (oder eine sie realisierende Matrix) eines →Hilbertraumes
H heisst unitär, wenn sie invertierbar ist und ihre Inverse gleich ihrer →Adjungierten
ist, d.h. A−1 = A† oder auch AA† = I = A† A.
Eine wichtige Charakterisierung unitärer Transformationen besteht darin, dass es
genau(!) diejenigen Transformationen von H sind, die das Skalarprodukt (und damit
auch Längen und Winkel) erhalten:
(Ax) ◦ (Ay) = (A† Ax) ◦ y = x ◦ y
(x, y ∈ H)
Unitäre Transformationen sind offensichtlich →normale Transformationen, lassen sich
also diagonalisieren und sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Eigenwerte den Absolutbetrag 1 haben, also auf dem komplexen Einheitskreis liegen.
Die grosse Bedeutung unitärer Transformationen liegt darin, dass die
→Zustandstransformationen von geschlossenen (!) Quantensystemen unitär sind.
Unschärferelation
Sind A, B selbstadjungierte Transformationen auf dem Hilbertraum H, so gilt
(∆A) · (∆B) ≥
1
|h[A, B]i|
2
Dabei ist (∆A)2 die →Varianz von A und [A, B] der →Kommutator von A und B.
V
Varianz
Ist H ein Hilbertraum mit dim H = n, ist v ∈ H ein normierter Vektor und A eine
→selbstadjungierte lineare Transformation, so ist die Varianz von A bezüglich v der
→Erwartungswert von (A − hAi)2 .
(∆A)2 = h(A − hAi)2 i = hAi2 − hAi2
verschränkt
Ein Element eines →Tensorproduktes V ⊗ W zweier Vektorräume V und W heisst verschränkt, wenn es nicht →separabel ist, also nicht in der Form v ⊗ w mit v ∈ V und
w ∈ W dargestellt werden kann, sondern nur als Linearkombination von mindestens zwei
solcher Terme.
Prominente Beispiele verschränkter Zustände in C2 ⊗ C2 sind die →Bell-Zustände.
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Z
Zustand, Zustandsraum
Der Zustandsraum des Quantencomputing ist i.d.R. ein endlich-dimensionaler
→Hilbertraum H ' Cn , meist sogar ein Raum vom Typ (C 2 )⊕k . Vektoren aus H werden
üblicherweise als →ket-Vektoren geschrieben.
Ein (reiner) Zustand in einem Vektorraum Cn ist ein normierter (im Sinne der
→Dirac-Notation) an Stelle von |ψi zu verwenden. Man bezeichnet |ψihψ| als die
→Dichtematrix des Zustandes ψ.
Gemischte Zustände (mixed states) werden dargestellt als konvexe Linearkombinationen von Dichtematrizen (und nicht etwa der zugehörigen der Vektoren!!) von reinen
Zuständen, also durch Matrizen der Form
X
p` |ψ` ihψ` |
1≤`≤m
P
mit p` ≥ 0 (1 ≤ ` ≤ m) und ` p` = 1. M.a.W., gemischte Zustände sind endliche
diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf der Menge der reinen Zustände.
Geometrisch kann man die reinen Zustände mit den Punkten der →Bloch-Sphäre
und die gemischten, nicht-reinen Zustände mit den Punkten im Innern der BlochSphäre identifizieren. Eine →Dichtematrix ρ, d.h. eine →positive Matrix mit Sp(ρ) = 1
beschreibt genau dann eine reinen Zusand, wenn die Spur Sp(ρ2 ) = 1 ist, also einen
gemischten Zustand genau dann, wenn Sp(ρ2 ) < 1 ist.
Zustandstransformation
Die Dynamik eines abgeschlossenen Quantensystems wird durch →unitäre Transformationen beschrieben. Wird das System durch die Schrödinger-Gleichung
i·
d
|ψi = H |ψi
dt
mit dem (zeitunabhängigen) →hermiteschen Hamilton-Operator H beschrieben, so ist
für zwei Zeitpunkte t1 < t2
|ψ(t2 )i = U (t1 , t2 ) |ψ(t1 )i = e−i·H(t2 −t1 ) |ψ(t1 )i
mit unitärem U (t1 , t2 ) = e−i·H(t2 −t1 ) .
Hat der Hamilton-Operator H die →Spektralzerlegung
X
H=
E |EihE|,
E
wobei |Ei den (normierten) Eigenvektor zum Eigenwert E bezeichnet, so sind diese |Ei
die Energiezustände oder auch stationären Zustände, denn für diese wird die zeitliche
Entwicklung durch Multiplikation mit dem →Phasenfaktor ei E t beschrieben.
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