¨Ubungen zur Linearen Algebra I

Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 13.1. Berechnen

1
1 1

A=
B= 1
2 3
3
Sie die Determinanten der


0 1 0
4 9

0 0 1

2 6  C=
 0 0 0
2 9
1 0 0
Matrizen



0
a −b
c d

0 
a
e f 

 D= b


1
0
0
a b 
0
0 −b a
0
Aufgabe 13.2. Es seien zwei Matrizen A, B ∈ Mat(n × n, K) sowie ein Polynom f ∈
K[X] gegeben.
(i) Zeigen Sie, dass wenn die Matrizen A und B ähnlich sind, dann auch f (A)
und f (B) ähnlich sind.
(ii) Geben sie ein Beispiel dafür an, dass die Umkehrung von (i) nicht gilt. Geben
Sie dazu zwei nicht ähnliche Matrizen A und B, sowie ein Polynom f zweiten
Grades an, so dass f (A) und f (B) ähnlich sind.
(iii) Nutzen Sie (i) und das Polynom f = X 2 − 4X + 1, um zu zeigen, dass die
Matrizen
1 1
1 3
A=
und B =
2 3
2 1
nicht ähnlich sind.
Aufgabe 13.3. Eigenschaften der Spur
Für eine Matrix A = (ai,j )i,j=1,...,n ∈ Mat(n × n, K) bezeichne die Zahl
n
X
tr(A) :=
ai,i
i=1
die Spur der Matrix A.
Seien A, B ∈ Mat(n × n, K) und λ, µ ∈ K. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Die Spur ist linear, das heißt es gilt: tr(λA + µB) = λtr(A) + µtr(B)
(ii) Es gilt tr(A · B) = tr(B · A).
(iii) Ähnliche Matrizen besitzen dieselbe Spur.
(iv) Sind A und B ähnlich, so gilt für jedes m ∈ N, dass tr(Am ) = tr(B m ).
(v) Nutzen Sie (iv), um die Ähnlichkeit der Matrizen
1 2
1 2
2 1
A=
, B=
und C =
2 3
3 2
3 2
zu untersuchen.
Aufgabe 13.4. Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix


2
3
6
A =  0 −1 −6  ∈ Mat(3 × 3, R).
−1 −1
1
Abgabe: Bis Mittwoch, 31. Januar 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 12.1. Berechnen Sie die Inversen der folgenden invertierbaren reellen Matrizen.




1 1 3 4
1 1 1
 2 3 1 5 
3 4

A1 :=
A2 =  2 3 4 
A3 = 
 3 5 7 11 
5 6
1 5 8
1 3 4 5
Aufgabe 12.2. Wir betrachten das

1

1
A=
1
lineare Gleichungsysytem A · x = a mit

1 1
2 3  ∈ Mat(3 × 3, R) .
3 5
Bestimmen Sie die Lösungsmengen Lös(A, a) für
 
 
 
0
1
2





0 , a=
1
1 .
a=
und a =
0
2
0


0 1 2
Aufgabe 12.3. Schreiben Sie die Matrix A =  3 3 4  ∈ GL3 (C) als Produkt von
1 4 7
j
j
Elementarmatrizen Pi , Si (λ) und Qi (λ).
Wieviele Produktdarstellungen von A als Produkt von Elementarmatrizen gibt es?
Aufgabe 12.4. Darstellung invertierbarer Matrizen durch Elementarmatrizen
(i) Zeigen Sie, dass jede Matrix A ∈ GLm (K) ein Produkt von Elementarmatrizen
Si (λ) und Qji (1) ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass sich die Elementarmatrizen Qji (λ) und Pij
als Produkt von Elementarmatrizen Si (λ) und Qji (1) schreiben lassen.
(ii) Zeigen sie, dass jede Matrix A ∈ GLm (K) sich als Produkt von höchstens
m2 + m Elementarmatrizen Pij , Si (λ) und Qji (λ) schreiben läßt.
(Sie können auch zeigen, dass m2 Elementarmatrizen reichen. Das ist aber
nicht gefordert.)
(iii) Es gilt im Allgemeinen, dass Produkte von m2 −1 Elementarmatrizen nicht reichen, um alle Elemente aus GLm (K) darzustellen. Sie sollen dies in folgendem
Spezialfall zeigen:
Sei K ein endlicher Körper mit q > 100 Elementen. Zeigen Sie, dass sich nicht
jede Matrix A ∈ GL2 (K) als Produkt von höchstens drei Elementarmatrizen
schreiben läßt.
Abgabe: Bis Mittwoch, 24. Januar 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 11.1. Wir betrachten
die lineare Abbildung f ∈ HomR
(R2 , R2 ), die bezüglich
1
1
2 0
der Basis A =
,
durch die Matrix MAA (f ) =
gegeben ist.
1
2
0 3
Geben Sie die Abbildungsmatrizen MBB (f ), MBB (f 2 ) und MBB (f 4 ) an, wobei B = {e1 , e2 }
die Standardbasis des R2 bezeichne.
Aufgabe 11.2. Zeigen Sie, dass die Abbildung
C → EndR (R4 )
ein Ringhomomorphismus ist!

a −b
0
 b
a
0
a + bi 7→ 
 0
0
a
0
0 −b

0
0 

b 
a
Aufgabe 11.3. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum der Dimension n = dimK (V ).
Zeigen Sie, dass für ein gegebenes f ∈ EndK (V ), folgende Aussagen äquivalent sind.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
f ist injektiv.
f ist surjektiv.
f ist ein Isomorphismus.
rk(f ) = n.
Es gibt eine Basis A von V , so dass die Matrix MAA (f ) den Rang n hat.
Für alle Basen A von V hat die Matrix MAA (f ) den Rang n.
Aufgabe 11.4. Wir betrachten eine lineare Abbildung f ∈ EndF3 (F23 ). Zeigen Sie, dass
f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn f 48 = idF23 gilt.
Hinweis: Die Isomorphismen in EndF3 (F23 ) sind eine Gruppe. Wieviele Elemente hat diese
Gruppe?
Abgabe: Bis Mittwoch, 17. Januar 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 10.1. Zeigen Sie, dass die folgende Definition korrekt ist, das heißt mit unserer
alten Definition übereinstimmt.
Definition (neu): Eine Gerade G ⊂ R2 ist ein Paar ([v], U), wobei U ein eindimensionaler
Unterraum von R2 ist und [v] ∈ R2 /U.
Definition (alt): Eine Gerade G ist das Bild einer Abbildung
a + bλ
2
R→R
λ 7→
mit a, b, c, d ∈ R und (b, d) 6= (0, 0) .
c + dλ
 


x
x+y


y 
 x − y  ist
Aufgabe 10.2. Die lineare Abbildung f : Q4 → Q3 mit f 
 z =
2x − 4t
t
durch eine Matrix A(f ) ∈ Mat(3 × 4, Q) gegeben. Geben Sie A(f ) an! Sie brauchen keine
Begründung abzugeben. Nur die Matrix zählt!
Aufgabe 10.3. Sei V ein Vektorraum mit zwei Unterräumen U1 und U2 . Wir betrachen
die Abbildung ψ : U2 → V /U1 , die die Komposition der beiden linearen Abbildungen
U2 → V und V → V /U1 ist. Beweisen Sie die beiden Äquivalenzen.
(i) ψ ist injektiv ⇔ U1 ∩ U2 = {0}.
(ii) ψ ist surjektiv ⇔ U1 + U2 = V .
Aufgabe 10.4. Die Weihnachtsaufgabe
Es trug sich zur Weihnacht zu, dass sich der Weihnachtsmann (W) und ein Engelchen (E)
trafen.
W: Mist, selbst zum Feste gibt’s Übungsaufgaben.
E: Voll interessant, zeig mal her!
W: Ich würde jetzt lieber Glühwein als das blöde Horner Schema anwenden.
E: Horner Schema – ist doch locker.
W: Na hier, ein Polynom f ∈ R[X] zweiten Grades und ich muß f (3) bestimmen.
E: Krass, so leichte Übungsaufgaben möchte ich auch mal haben. Ich zeige dir
mal, wie’s geht.
Blitzschnell multipliziert und addiert das Engelchen und berechnet so f (0) = 9, f (1) = 7
und f (4) = 25.
E: Siehste. Null Problemo.
W: Und was ist mit f (3)?
E: Hömma, dat musste schon selber rauskriegen, sonst Glühwein adé.
Verhelfen Sie dem Mann zu seinem Glühwein, indem Sie zeigen,
die Abbildung die
 dass 
f (0)
einem Polynom f vom Grad kleiner gleich zwei den Vektor  f (1)  ∈ R3 zuordnet
f (4)
einen Isomorphismus R[X]2 → R3 von Vektorräumen definiert. Geben Sie die inverse
Abbildung an und berechnen Sie (mit oder ohne Horner Schema) den Wert f (3).
Weihnachtszugabe: Bei dieser Aufgabe gibt es f (3) Punkte!
Abgabe: Bis Mittwoch, 10. Januar 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 9.1. Bestimmen Sie den Zeilenrang und den Spaltenrang der Matrizen






1 2 3
2
5
7
1
3
7
11
 3 7 18 

 6 18 26  C =  2 7 16 26  .
A=
 7 16 41  B =
−2 1 3
3 18 41 75
11 26 75
Aufgabe 9.2. Wir betrachten die folgenden Unterräume des reellen Vektorraums R3 .
 


  
    
2
8
4
3
3
3
U2 = span  3  ,  1  ,  10 
U1 = span  4  ,  5  ,  6 
1
−3
10
9
10
6
Geben Sie Basen der Vektorräume U1 ∩ U2 , U1 , U2 und U1 + U2 an!
Aufgabe 9.3. Vervollständigen Sie die Matrix A ∈ Mat(3 × 4, F101 ), so dass die resultirende Matrix den Rang eins hat!


13 99 1
3 
A=
43 75
Begründen Sie Ihre Lösung.
Aufgabe 9.4. Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung zwischen
reellen Vektorräumen? Begründen Sie
 Ihre Antwort!

x+y
x
(i) f : R2 → R3 mit f
=  x − y .
y
7y
(ii) g : R → R mit g(x) = 2x + 1.
(iii) h : R7 → {0}.
(iv) ρ : C → C mit ρ(z) = z̄.
(v)
ev3 : R[X] → R mit ev3 (
(vi)
∂
∂X
: R[X] → R[X] mit
ai X i ) =
P
i≥0
∂
(
∂X
P
i≥0
P
ai X i ) =
i≥0
P
3i ai .
i≥1
iai X i−1 .
Abgabe: Bis Mittwoch, 20. Dezember 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 8.1. Es seien x, y, z ∈ V drei Vektoren in einem Q-Vektorraum. Gilt die folgende
Äquivalenz?
{x, y, z} linear unabhängig ⇔ {y + z, x + z, x + y} linear unabhängig
Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 8.2. Wir nennen eine m×m Matrix A = (ai,j )i,j=1,...,m mit reellen Koeffizienten
ai,k magisch, wenn
P
Pneine reelle Zahl s existiert, so dass für alle k = 1, . . . n die Gleichungen
n
a
=
s
=
i=1 i,k
i=1 ak,i gelten.
Zeigen Sie, dass die magischen Matrizen einen Unterraum im R-Vektorraum
aller m × m Matrizen bilden.
(ii) Geben sie eine Basis des Vektorraumes der magischen 3 × 3 Matrizen an!
Tipp: Überlegen Sie sich, welche Matrixeinträge man frei und wählen kann, so
dass sich aus den gewählten Einträgen genau eine magische Matrix erzeugen
läßt.


4 9 2
(iii) Stellen Sie die magische Matrix A =  3 5 7  als Linearkombination der
8 1 6
Basis aus Teilaufgabe (ii) dar!
(i)
Aufgabe 8.3. Wir betrachten den reellen Vektorraum V = Abb(N, R). Dieser Vektorraum ist kein anderer als der R-Vektorraum der Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass
die Menge
U = {a ∈ V | a(n + 2) = a(n + 1) + a(n) für alle n ∈ N}
ein Unterraum von V ist. Geben Sie eine Basis von U an!
Aufgabe 8.4. Sei V ein K-Vektorraum. Als Kette von Unterräumen der Länge n bezeichnen wir eine Folge von Unterräumen Vi ⊂ V mit echten Inklusionen
0 $ V1 $ V2 $ . . . $ Vn .
Zeigen Sie die Aussagen:
(i)
Ist V ein Vektorraum der Dimension n, so besitzt V ein Kette von Unterräumen
der Länge n.
(ii) Besitzt V ein Kette von Unterräumen der Länge m, so gilt dim(V ) ≥ m.
(iii) Die Dimension von V ist die maximale Länge einer Kette von Unterräumen
von V .
Abgabe: Bis Mittwoch, 13. Dezember 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 7.1. Wir betrachten die Vektoren
 



1
1
1
 2 
 1 
 −4
 


v1 = 
 7  v2 =  0  v3 =  42
−1
−26
4





2
 1 

v4 = 
 21 
−7

im Q-Vektorraum Q4 . Geben Sie eine Basis des Unterraumes V = span(v1 , v2 , v3 , v4 ) an!
 
 
1
2
Aufgabe 7.2. Wir betrachen die beiden Vektoren v1 =  2  und v2 =  3  in F37 .
5
4
 
 
 
0
6
6
Entscheiden sie, welche der Vektoren w1 =  5 , w2 =  4  und w3 =  1  im
2
4
6
3
Unterraum V = span(v1 , v2 ) ⊂ F7 liegen. Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 7.3. Sei k ein Körper. Wir bezeichnen mit
k[X]d := {f ∈ k[X] | f = 0 oder deg(f ) ≤ d}
die Menge der Polynome vom Grad höchstens d.
(i) Zeigen Sie, dass V = R[X]3 ein vierdimensionaler R-Vektorraum ist.
(ii) Zeigen Sie, dass W = {f ∈ R[X]3 | f (−1) = f (1) = f (2) = 0} ein Untervektorraum von V ist.
(iii) Geben Sie eine Basis von W an!
Aufgabe 7.4. Sei M eine Menge. Wir definieren auf der Potenzmenge P(M) eine Addition durch M1 + M2 := (M1 ∪ M2 ) \ (M1 ∩ M2 ). Ferner definieren wir 0 · N := ∅ und
1 · N := N. Zeigen Sie, dass P(M) durch diese Operationen eine F2 -Vektorraumstruktur
erhält.
Ist die Menge P1 (M) ⊂ P(M) der einelementigen Teilmengen von M eine Basis von
P(M)? Begründen Sie Ihre Antwort.
Tipp: Identifizieren Sie die Potenzmenge P(M) mit der Menge der Abbildungen von M
in einen Körper!
Abgabe: Bis Mittwoch, 6. Dezember 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 6.1. Welche der folgenden Teilmengen ist ein Untervektorraum des reellen Vektorraumes R3 . Begründen Sie Ihre Antwort!
V1
V2
V3
V4
V5
=
=
=
=
=
{(x, y, z) | x + 2y + 3z = 0}
{(x, y, z) | x · y · z ≥ 0}
{(x, y, z) | x − 4y + 7z = 5}
{(x, y, z) | (x, y, z) ∈ Q3 }
{(x, y, z) | x2 + 4 xy + 6 xz + 4 y 2 + 12 yz + 9 z 2 = 0}
Aufgabe 6.2. Lineare Unabhängigkeit
(i) Geben Sie zwei linear unahängige Vektoren v1 und v2 im Q-Vektorraum R an!
(ii) Beweisen Sie, dass im K-Vektorraum K zwei Vektoren v1 und v2 stets linear
abhängig sind.
(iii) Sind die Vektoren 2 + 3i und 3 + 2i im R-Vektorraum C linear abhängig?
(iv) Geben Sie einen K-Vektorraum V an, so dass die Menge V \ {0} nichtleer und
linear unabhängig ist. (Tipp: Es ist nur ein “sehr kleiner” Körper K möglich.)
Aufgabe 6.3. Wir betrachten die beiden Polynome f = X 3 + X 2 − X − 1 und g = X 3 − 1
im Polynomring Q[X]. Bestimmen Sie Polynome h, a, b, c, d ∈ Q[X], so dass
h = a·f +b·g,
f = c · h , und
g = d · h gilt.
Aufgabe 6.4. Wir betracheten den Polynomring k[X] über dem Körper k. Weiterhin
sei Abb(k, k) der Ring der Abbildungen von k nach k mit elementweiser Addition und
Multiplikation. Das heißt für f, g ∈ Abb(k, k) definieren wir: (f + g)(a) := f (a) + g(a)
und (f · g)(a) := f (a) · g(a).
P
Einem Polynom p = ni=0 ai X i ∈ k[X] ordnenPwir die Abbildung ϕ(p) ∈ Abb(k, k) zu,
die durch die Abbildungsvorschrift ϕ(p)(λ) := ni=0 ai λi definiert ist.
Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : k[X] → Abb(k, k) ein Ringhomomorphismus ist.
(ii) Zeigen Sie, dass für einen endlichen Körper k der Ringhomomorphismus ϕ
nicht injektiv ist.
(iii) Zeigen Sie, dass für k = R der Ringhomomorphismus ϕ nicht surjektiv ist.
(i)
Abgabe: Bis Mittwoch, 29. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 5.1. Die Kardinalität card(G) der Gruppe G sei eine Primzahl. Beweisen Sie,
dass G zyklisch ist und geben Sie die Anzahl der Erzeuger von G an!
Aufgabe 5.2. Rechnen mit komplexen Zahlen
Vervollständigen Sie die Tabelle. Sie brauchen bei dieser Aufgabe keine Begründung Ihrer
Ergebnisse anzugeben.
a
b
a+b
a·b
2 + 3i 4 − i
−1 + 5i
2 + 4i
2 − 7i
43 − 18i
2 + 2i
2i
Aufgabe 5.3. Seien R1 und R2 zwei Ringe mit Einselement. Zeigen Sie, dass das Produkt
R = R1 × R2 mit den Operationen
(r1 , r2 ) + (r1′ , r2′ ) = (r1 + r1′ , r2 + r2′ )
(r1 , r2 ) · (r1′ , r2′ ) = (r1 · r1′ , r2 · r2′ )
auch ein Ring mit Einselement ist.
Ist R nullteilerfrei, wenn R1 und R2 nullteilerfrei sind? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 5.4. Rechnen in endlichen Körpern
Bei diesen Aufgaben sollte Ihr Lösungsweg erkennbar sein!
(i)
Geben Sie alle Lösungen x ∈ F1031 der Gleichung
[66] · x + [539] = [44]
(ii)
an! (4 Punkte)
Bestimmen Sie alle Lösungspaare (x, y) des Gleichungssystems
[12]x + [3]y = [17]
[5]x + [17]y = [100]
im Körper F109 . (4 Punkte)
(iii) Bestimmen Sie alle Lösungen x der Gleichung
x2 + [1] = [0]
im Körper F29 mit 29 Elementen. (2 Punkte)
Abgabe: Bis Mittwoch, 22. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 4.1. Wir betrachten die Permutationen
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ρ=
σ=
2 3 4 1 5
3 5 4 2 1
τ=
1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
Ihre Aufgabe ist es, die zehn folgenden Zahlen zu berechnen.
sgn(ρ)
sgn(σ)
sgn(τ )
sgn(ρ ◦ σ)
sgn(ρ ◦ ρ)
sgn(σ ◦ ρ)
sgn(ρ−1 )
sgn(τ ◦ ρ ◦ τ −1 )
.
sgn(ρ ◦ τ )
sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)
Aufgabe 4.2. In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe G = S3 .
(i) Geben Sie alle Elemente von S3 und deren Ordnungen an!
(ii) Geben Sie alle Untergruppen U von G an!
(iii) Welche dieser Untergruppen sind Normalteiler?
(iv) Gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus G → Z/3Z.
Aufgabe 4.3. Sei τ ∈ Sn eine Permutation.
(i) Beweisen Sie die Formel
sgn(τ ) =
τ (j) − τ (i)
.
j−i
1≤i<j≤n
Y
Zeigen Sie, dass die durch τ auf der Menge [n] = {1, 2, . . . , n} definierte Relation
k ∼τ l ⇔ es existiert ein m ∈ Z mit τ m (k) = l
eine Äquivalenrelation ist. Die Äquivalenzklassen von ∼τ bezeichnet man als
die Bahnen von τ .
(iii) Beweisen Sie die Gleichung
sgn(τ ) = (−1)n−b(τ ) ,
wobei b(τ ) die Anzahl der Bahnen von τ bezeichne.
(ii)
Aufgabe 4.4. Beweisen Sie, dass jede Untergruppe H ⊂ G vom Index (G : H) = 2 ein
Normalteiler ist!
Geben Sie ferner zu jeder natürlichen Zahl n > 2 eine Gruppe G und eine Untergruppe
H ⊂ G an, die die Bedingungen (G : H) = n und H ist kein Normalteiler in G erfüllen.
Abgabe: Bis Mittwoch, 15. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 3.1. Es sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem mit einer 4 × 5-Matrix A
mit reellen Koeffizienten und b ∈ R4 . Welche Kardinalitäten kann die Lösungsmenge
Lös(A, b) := {x ∈ R5 | A · x = b} haben? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 3.2. Zeigen Sie, dass durch
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⇔ x31 − x22 = y13 − y22
eine Äquivalenzrelation auf R2 definiert ist. Geben Sie ein vollständiges Repräsentantensystem an und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse des Punktes (1, 1) in R2 .
Aufgabe 3.3. Wir betrachten eine ganze Zahl m und die Relation ∼m auf Z, die durch
n ∼m n′ ⇔ es existiert ein k ∈ Z mit n − n′ = k · m
gegeben ist.
(i) Zeigen Sie, dass ∼m eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) Wieviel Elemente hat Z/mZ := (Z/ ∼m ), die Menge der Äquivalenzklassen?
(iii) Zeigen Sie, dass die folgende Addition von Äquivalenzklassen korrekt definiert
ist:
[n] + [n′ ] := [n + n′ ]
(iv) Zeigen Sie, dass Z/mZ mit der obigen Addition eine kommutative Gruppe ist.
(v) Für welche n ∈ Z ist die Abbildung
Z/mZ → Z/nZ
[k]m 7→ [k]n
korrekt definiert? Hierbei bezeichnen [k]m und [k]n die Äquivalenzklassen der
ganzen Zahl k bezüglich der Relationen ∼m und ∼n .
Aufgabe 3.4. Wir betrachten die Menge
M = R2 × R2 \ {0}
sowie die Relation ∼ auf M, die durch
(x, y) ∼ (x′ , y ′) ⇔ es existieren (a, b) ∈ R × (R \ {0}) mit x′ = x + a · y und y ′ = b · y
gegeben ist. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie eine Bijektion
von M/ ∼ und der Menge der Geraden in R2 an!
Abgabe: Bis Mittwoch, 8. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 2.1. Wir betrachten die folgenden Vektoren in R3
x1 = (1, 2, 3) ,
x2 = (4, 5, 6) ,
x3 = (7, 8, 9) und x4 = (11, 13, 17) .
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort!
(i) Ist x1 linear abhängig?
(ii) Sind x1 und x2 linear abhängig?
(iii) Sind x1 , x2 und x3 linear abhängig?
(iv) Sind x1 , x2 , x3 und x4 linear abhängig?
Aufgabe 2.2. Zeigen Sie, dass zwei Vektoren x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 ) in R2 genau
dann linear abhängig sind, wenn x1 y2 = x2 y1 gilt!
Aufgabe 2.3. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen t für die das lineare Gleichungssystem




1
1 1 1 1

 1 2 3 4 
5 

x = 

 12 − t 
 1 3 6 8 
21
1 6 12 17
lösbar ist und geben Sie für diese t alle Lösungen an!
Aufgabe 2.4. Ein Netzwerk von Widerständen
R1
R2
A
R5
B
R3
R4
Dann gelten folgende Gesetze:
U
Ui
I
I2
I3
U
U1
U4
=
=
=
=
=
=
=
=
RI
Ri Ii i = 1, . . . , 5
I1 + I3
I1 + I5
I4 + I5
U1 + U2
U3 + U5
U2 + U5
Im nebenstehenden Netzwerk
sind die Widerstände R1 , . . . , R5
bekannt, ihre Aufgabe ist es,
hieraus den Widerstand R zwischen den Punkten A und B
durch die Werte R1 , . . . , R5
anzugeben.
Es bezeichne Ii die Stromstärke
und Ui die Spannung am Widerstand Ri . Ferner sei U die Spannung zwische A und B und I die
Stromstaerke.
Ohmsches Gesetz
Ohmsches Gesetz
Kirchoffsche Knotenregel
Kirchoffsche Knotenregel
Kirchoffsche Knotenregel
Kirchoffsche Maschenregel
Kirchoffsche Maschenregel
Kirchoffsche Maschenregel
Dabei sind alle Widerstände Ri positive reelle Zahlen.
Abgabe: Bis Mittwoch, 1. November 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 1.1. Wir betrachten die folgenden Punkte im R2
P1 = (2, 3) P2 = (−2, 4) P3 = (3, −1), .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Geben Sie die Gerade G durch P1 und P2 in einer Parameterdarstellung an!
Geben Sie die Gerade G durch eine Geradengleichung an!
Liegt der Punkt P3 auf der Gerade G? Begründen Sie Ihre Antwort!
Geben Sie eine zu G parallele Gerade, die aber von G verschieden sein soll,
sowohl in Parameterdarstellung als auch durch eine Geradengleichung an!
Aufgabe 1.2. Ein Kiosk bietet zwei Sorten Bier an. Ein Student kauft 123 Flaschen für
seinen Geburtstag ein. Er bezahlt 10578 Cent. Kann man aus diesen Zahlen die Anzahl
der Bierflaschen einer Sorte bestimmen, wenn man den Preis dieser Flaschen kennt?
Aufgabe 1.3. Wir betrachten die Punkte P = (1, 2, 3) und Q = (4, 5, 6) in R3 .
(i) Geben Sie die Menge GP aller Geraden durch P in Parametergleichung an!
(ii) Geben Sie die Menge EQ aller Ebenen durch Q durch ihre Ebenengleichungen
an!
(iii) Beschreiben Sie die Menge


G ∈ GP


M = (G, E) E ∈ EQ

G und E sind nicht transversal 
Hinweis: Eine Gerade G ⊂ R3 und eine Ebene E ⊂ R3 heißen transversal, wenn sie sich
in genau einem Punkt schneiden.
Aufgabe 1.4. Zwei Aufgaben aus der Forstwirtschaft
(i) Ein Förster geht samt Hund von seinem Hochstand zu seinem 5 Kilometer
entfernten Forsthaus. Sein Hund läuft doppelt so schnell wie er und läuft zum
Haus, von dort zum Förster, wieder zum Haus, wieder zum Förster, . . .
Welche Strecke ist der Hund gelaufen, wenn der Förster ankommt?
(ii) Diesmal geht der Förster mit seinem Hund vom Forsthaus zum Hochstand.
Sie brechen zugleich auf und der Hund pendelt wie in Teil (i) zwischen Förster
und Haus.
Wo befindet sich der Hund, wenn der Förster am Hochstand ankommt?
In welche Richtung läuft er?
Abgabe: Bis Montag, 24. Oktober 2006 10 Uhr, in das Fach 12 bei Raum T03 R02 D08.
Georg Hein
Wintersemester 2006/07
Übungen zur Linearen Algebra I
Diese Aufgaben sollen Ihnen die Zeit bis zur ersten Vorlesung vertreiben. Versuchen Sie,
die Lösungen zu finden und sie möglichst kurz und elegant aufzuschreiben.
Aufgabe 0.1. Beweisen Sie, dass das Produkt von vier aufeinanderfolgenden Zahlen stets
durch 24 teilbar ist!
Aufgabe 0.2. Wieviele Möglichkeiten gibt es eine Treppe mit 20 Stufen hinaufzusteigen,
wenn man bei jedem Schritt die Möglichkeit hat eine oder zwei Stufen zu nehmen?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 0.3. Ein Mathematiker (M) unterhält sich mit seinem Nachbarn (N) über seine
drei Töchter.
M:
N:
M:
N:
M:
N:
Das Produkt der Alter ist 36.
Gut!
Die Summe der Alter ist das Alter ihres Sohnes.
Damit kann ich das Alter Ihrer Töchter immer noch nicht nicht bestimmen!
Stimmt. Die Älteste macht gerne Mathematik.
Dann ist alles klar! Danke für diese Information!
Geben Sie das Alter der drei Töchter an!
Aufgabe 0.4. Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen wahr sind und begründen
Sie Ihre Antwort.
(1) Es gibt 10000 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, von denen keine eine
Quadratzahl ist.
(2) Es gibt 10000 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, unter denen 102 Quadratzahlen sind.
(3) Es gibt 10000 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, von denen keine eine
Primzahl ist.
(4) Es gibt 10000 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, unter denen 102 Primzahlen sind.
Diese Aufgaben müssen Sie nicht abgeben.