Ubungsblatt 2 MAT122 Analysis II

Übungsblatt 2
MAT122 Analysis II
Frühjahrsemester 2017
Prof. Dr. Camillo De Lellis
Die Übungsblätter werden jeweils am Freitag auf der Homepage der Vorlesung publiziert.
Für den Leistungsnachweis müssen mindestens 8 gelöste Übungsblätter mit mindestens 12 Punkten abgegeben
und insgesamt mindestens 280 Punkte erreicht werden. Generell soll die Herleitung der Resultate übersichtlich
sein, und es wird gebeten, leserlich zu schreiben.
Abgabe: Freitag 10. März 13:00 im Briefkasten “Analysis II Mat 122” im K-Stock am Institut für Mathematik
Aufgabe 1 (12 Punkte)
Welche der folgenden Funktionen f : X → Y sind stetig (begründen Sie Ihre Antwort)?
(a) X = [0, 1] ∪ [2, 3] und Y = R (mit der Euklidischen Topologie),
(
f (x) =
0
1
auf [0, 1]
auf [2, 3].
(b) X = Y = R2 (mit der Euklidischen Topologie), f (x1 , x2 ) = (x21 + x2 sin x1 , x32 − sin(ex1 +x2 )).
(c) X = R3 , Y = R (mit der Euklidischen Topologie) f (x1 , x2 , x3 ) = |x1 | + |x2 | + |x3 |.
(d) X = Y = R mit der Topologie τ = {A : R \ A endlich} ∪ {∅}, f (x) = sin x.
(e) X = R2 mit der Metrik d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, Y = R mit Euklidscher Topologie, f (x) =
|x|2 = x21 + x22 .
(f) X = R mit der Topologie τ von (d) und Y = R mit der Euklidischen Topologie, f (x) = x.
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Welche der folgenden Teilmengen von Rn sind kompakt in der Euklidischen Topologie (begründen Sie Ihre
Antwort)?
(a) A = {x ∈ R2 : x31 = x42 }.
(b) B = {x ∈ R3 : |x1 | + |x2 | + |x3 | = 2}.
T
(c) C = k Ck wobei:
– C0 = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2
– C1 besteht aus den 4 verbleibenden Quadraten mit Seitenlänge
{x ∈ R2 : 14 < x1 < 34 } ∪ {x ∈ R2 : 41 < x2 < 43 } wegnehmen;
– C2 besteht aus den 16 verbleibenden Quadraten mit Seitenlänge
in allen 4 Quadraten von A1 anwenden;
– usw.
1
1
4,
1
16
wenn wir von C0 die Menge
wenn wir das obige Verfahren
(d) D = (Q × R) ∩ ([0, 1] × [0, 1]) ⊂ R2 ;
(e) E = N × N × [0, 1] ⊂ R3 ;
S
(f) F = {0} ∪ k Fk wobei Fk = {x ∈ R2 : 2−(4k+1) ≤ |x| ≤ 2−(4k−1) }.
Aufgabe 3 (12 Punkte)
(a) (9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion
(
f (x1 , x2 ) =
falls x1 6= 0 und x2 = x21
sonst .
1
0
Beweisen Sie, dass f nicht stetig in 0 ist, obwohl ihre Einschränkung auf jede Linie ` mit 0 ∈ ` stetig
in 0 ist.
(b) (3 Punkte) Finden Sie ein Beispiel (ohne Beweis!) einer Funktion g : R2 → R so dass:
– Die Einschräkung von g auf jede Linie von R2 ist stetig;
– g ist nicht stetig (auf R2 ).
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Sei (Y, τ ) ein topologischer Raum und X ⊂ Y eine Teilmenge.
(a) (3 Punkte) Beweisen Sie, dass τ 0 := {A ∩ X : A ∈ τ } eine Topologie auf X ist. τ 0 heisst Unterraumtopologie;
(b) (6 Punkte) Beweisen Sie, dass falls (Y, τ ) ein kompakter topologischer Raum ist und X ⊂ Y abgeschlossen ist, dann ist (X, τ 0 ) kompakt.
(c) (3 Punkte) Geben Sie ein Beispiel eines kompakten topolgischen Raumes (Y, τ ) und einer Teilmenge
X ⊂ Y so dass (X, τ 0 ) nicht kompakt ist.
Aufgabe 5 (12 Punkte)
Sei k · k eine Norm auf Rn .
(a) (9 Punkte) Beweisen Sie, dass die Menge {x : kxk ≤ 1} eine kompakte Teilmenge von Rn (mit der
Euklidischen Topologie) ist;
(b) (3 Punkte) Schliessen Sie, dass
kyk∗ = sup{hy, xi : kxk ≤ 1}
tatsächlich ein Maximum für jedes y ist.
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