3. ¨Ubung (KW 45)

Physik 1 ET, WS 2012
— Aufgaben mit Lösung —
3. Übung (KW 45)
3. Übung (KW 45)
Aufgabe 1
(M 3.1 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung“)
”
Eine Punktmasse bewegt sich unter dem Einfluss der Kraft Fx = bt auf einer Geraden
(b ist eine Konstante). Die Bewegung beginnt zur Zeit t0 = 0 am Ort x0 mit der
Geschwindigkeit vx0 .
Gesucht: Beschleunigung ax1 , Geschwindigkeit vx1 und Ort x1 zur Zeit t1 .
m = 2.0 kg, b = 20 N s−1 , t1 = 2.0 s, x0 = 0, vx0 = 0
Aufgabe 2
(M 3.5 U-Rohr“)
”
In einem U-Rohr steht eine Quecksilbersäule in beiden Schenkeln im Augenblick
der Beobachtung ungleich hoch. Die Abmessungen des U-Rohres sind der Skizze
zu entnehmen. Welche Beschleunigung a hat die Quecksilbersäule im dargestellten
Augenblick?
d
h2
h1
r
h1 = 100 mm, h2 = 150 mm, r = 30 mm, d r
Aufgabe 3
(M 3.9 Erdmasse“)
”
Man berechne mit Hilfe des Gravitationsgesetzes die Masse mE der Erde, wobei der
mittlerer Erdradius rE , die Fallbeschleunigung g sowie die Gravitationskonstante G
gegeben sind.
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 4
— Aufgaben mit Lösung —
3. Übung (KW 45)
(M 3.11 Seilkräfte“)
”
Die Körper der Masse m1 , m2 und m3 können sich reibungsfrei bewegen; Rollenmassen und Seilmasse werden vernachlässigt.
(a) Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die Körper?
(b) Wie groß sind die Seilkräfte F12 und F32 während der Bewegung?
m2
m3
m1
α
m1 = 250 g, m2 = 250 g, m3 = 300 g, α = 30°,
Aufgabe 5
(M 3.8 Talsenke“)
”
Ein PKW fährt auf einem kurvenfreien Streckenabschnitt mit der Geschwindigkeit
v0 durch eine Talsenke (Krümmungsradius r1 ) und danach über eine Bergkuppe
(Krümmungsradius r2 ). Der Fahrer hat die Masse m.
(a) Wie groß ist die Gewichtskraft FG des Fahrers?
(b) Wie groß sind Radialkraft Fr1 und Zwangskraft Fz1 für den Fahrer in der Talsenke?
(c) Wie groß sind Radialkraft Fr2 und Zwangskraft Fz2 für den Fahrer auf der
Bergkuppe?
(d) Bei welcher Geschwindigkeit v1 verliert der PKW auf der Bergkuppe die Bodenhaftung?
m = 80 kg
r1 = 135 m
Aufgabe 6
r2 = 68 m
v0 = 72 km h−1
(M 3.4 Schnellzug“)
”
Ein Schnellzug besteht aus einer Lokomotive der Masse mL und N Wagen der Masse
mW . Der Haftreibungskoeffizient (Räder, Schienen) ist µ0 . Alle Achsen der Lokomotive werden angetrieben. Berechnen Sie
(a) die maximal mögliche Beschleunigung am auf waagerechter Strecke,
(b) die maximale Steigung tan(α), die der Zug mit konstanter Geschwindigkeit überwinden kann!
mL = 82.5 t, mW = 43 t, N = 8, µ0 = 0.15
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 7
— Aufgaben mit Lösung —
3. Übung (KW 45)
(M 3.6 Kegelpendel“)
”
Eine Kugel der Masse m hängt an einem Faden der Länge l und bewegt sich auf
einer horizontalen Kreisbahn mit dem Radius r (Kegelpendel).
(a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω der umlaufenden Kugel?
(b) Welche Kraft F wirkt im Faden?
m = 20 g, l = 50 cm, r = 40 cm
Aufgabe 8
(M 3.13 Fadenkraftdifferenz“)
”
Ein auf einer horizontalen Platte gleitender Körper (Masse m1 ) wird durch einen
Faden über eine Rolle von einem frei herabhängenden Körper (Masse m2 ) gezogen.
(Rollen- und Fadenmasse nicht berücksichtigen.) Um welchen Wert ∆F ändert sich
die Fadenkraft, wenn der gleitende Körper von einer Glasplatte (Gleitreibungszahl
µ ∼ 0) auf rauhes Holz (µHolz > 0) gelangt?
m1
µ≈0
µ>0
m2
m1 = 12 g, m2 = 30 g, µHolz = 0.6
Aufgabe 9
(M 3.10 Synchronsatellit“)
”
In welcher Höhe h über einem festen Ort auf dem Äquator muss ein Satellit gebracht
werden, wenn er über diesem Ort bleiben soll (Synchronsatellit)?
Jens Patommel <[email protected]>
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— Aufgaben mit Lösung —
3. Übung (KW 45)
Lösung zu Aufgabe 7
D
l
~ez
B
l
s
F~g
E
F~Z
F~Zx = F~ges
C
= F~Z + F~g = m~ar
F~Zz =
F~g
~ex
A
F~g =
mg ~ez
r
Wir wählen ein kartesisches Koordinatensystem, dessen z-Achse nach oben weist
und betrachten (ohne Einschränkung der Allgemeinheit) den Zeitpunkt t = 0, zu
dem sich der Faden parallel zur x-z-Ebene befindet (siehe Zeichnung) und somit die
Geschwindigkeit der Kugel parallel zur y-Achse zeigt (~v || ~ey ). Ob sich die Kugel linksoder rechtsherum dreht, spielt für unsere Überlegungen keine Rollte, wir stellen uns
aber vor, dass sie sich zum Zeitpunkt t = 0 in die Zeichenebene hineinbewegt (sich
von uns entfernt).
Da sich die Kugel mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag v = |~v | = ωS r auf einer
Kreisbahn vom Radius r in einer konstanten Höhe z = const bewegt, beträgt ihre
Beschleunigung
~a(t) = ~ar (t) =
v2
~er (t) = ωS2 r ~er (t),
r
~er (t) = − cos(ωS t) ~ex − sin(ωS t) ~ey .
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der radiale Einheitsvektor ~er (0) = −~ex , die Beschleunigung
lautet also zum in der Zeichnung dargestellten Zeitpunkt
~ar = −ωS2 r ~ex .
Gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz muss die auf die Kugel von außen einwirkende Gesamtkraft
F~ges = m~ar = −mωS2 r ~ex
(7.1)
betragen. Andererseits ist bekannt, dass außer der Schwerkraft F~g und der vom Faden ausgeübten Zwangskraft F~Z keine weiteren Kräfte auf die Kugel wirken (wir
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3. Übung (KW 45)
vernachlässigen den Luftwiderstand sowie andere störende Einflüsse wie z. B. elektrostatische Aufladungen, Wirbelströme aufgrund des Erdmagnetfeldes, Gravitationseinwirkungen in der Nähe befindlicher Gegenstände usw.). Die Gesamtkraft ist
somit die Summe aus Gewichts- und Zwangskraft:
F~g = −mg ~ez
F~Z = FZx ~ex + FZy ~ey + FZz ~ez
F~ges = F~g + F~Z .
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Einsetzen der Gleichungen (7.1) – (7.3) in Gleichung (7.4) ergibt
⇐⇒
−ωS2 r ~ex =
FZx ~ex + FZy ~ey + FZz ~ez =

 FZx
FZy
=⇒

FZz
−mg ~ez + (FZx ~ex + FZy ~ey + FZz ~ez )
−ωS2 r ~ex + 0 ~ey + mg ~ez

= −ωS2 r 
=
0

= mg.
Die y- und die z-Koordinaten der Zwangskraft sind damit festgelegt. Die x-Koordinate der Zwangskraft scheint hingegen beliebe Werte annehmen zu können, je nach
dem, wie groß die Winkelgeschwindigkeit ωS ist. Nun ist es aber so, dass die Zwangskraft eine reine Zugkraft ist, d. h. sie wirkt ausschließlich entlang des Fadens. Diese Bedingung legt den Wert der x-Koordinate und mithin den Wert von ωS fest.
Dazu folgende geometrische Überlegung (siehe Zeichnung): Die Dreiecke ABC und
ADE haben die gleichen Innenwinkel, sind also ähnlich. Somit ist das Verhältnis der
Längen entsprechender Dreiecksseiten gleich (Ähnlichkeitssätze) und es folgt
|BC|
|AC|
=
|AE|
|DE|
2
mg
mωS r
=
=⇒
r
rs
r
g Pythagoras
g
√
=
⇐⇒ |ωS | =
s
l2 − r2
s
q
9.81 m s−2
1
√
=
=
· 98.1 s−1 = 5.7 s−1 .
3
0.52 − 0.42 m
Analog berechnet man den Betrag der Zwangskraft:
|AB|
|BC|
=
|AD|
|DE|
|F~Z |
mg
=⇒
=
l
s
lmg
lmg
mg
Pythagoras
√
⇐⇒ |F~Z | =
=
= q
2
2
s
l −r
1 − (r/l)2
0.02 kg · 9.81 m s−2
q
=
=
1 − (0.4/0.5)2
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1
3
· 0.981 N = 0.33 N.
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3. Übung (KW 45)
Lösung zu Aufgabe 8
Auf den Körper 1 wirken die Gleitreibungskraft F~R1 und die durch das Seil vermittelte Zwangskraft F~Z1 :
F~R = −m1 gµ ~ex , µ ∈ {µGlas , µHolz }
F~Z1 = FZ1 ~ex
F~ges1 = F~R + F~Z1 = (FZ1 − m1 gµ) ~ex ,
wohingegen auf den Körper 2 die Schwerkraft F~g und die durch das Seil verursachte
Zwangskraft F~Z2 wirken:
F~g = −m2 g ~ez
F~Z2 = FZ2 ~ez
F~ges2 = F~g + F~Z2 = (FZ2 − m2 g) ~ez .
Das dritte Newtonsche Gesetzt (actio = reactio) besagt, dass FZ1 = FZ2 gilt, also
F~ges1 = (FZ − m1 gµ) ~ex
F~ges2 = (FZ − m2 g) ~ez .
(8.1)
(8.2)
Nach dem zweiten Newtonsche Gesetzt bewirken die Kräfte F~ges1 und F~ges2 folgende
Beschleunigungen:
F~ges1 (8.1) FZ
=
− µg ~ex
(8.3)
~a1 =
m1
m1
F~ges2 (8.2) FZ
=
− g ~ez .
(8.4)
~a2 =
m2
m2
Das Seil soll weder reißen, noch hängt es durch; für die Beschleunigungen muss also
gelten:
~a1x = −~a2z
FZ
FZ
(8.3)
=⇒
− µg = −
−g
(8.4)
m1
m2
m1 m2
g (µ + 1) .
⇐⇒ FZ =
m1 + m2
(8.5)
Wenn der Körper 1 von der Glasoberfläche auf die Holzoberfläche gelangt, ändert
sich die Kraft im Seil aufgrund der unterschiedlichen Gleitreibungskoeffizienten:
∆FZ
=
(8.5)
=
=
=
=
FZ,Holz − FZ,Glas
m1 m2
m1 m2
g (µHolz + 1) −
g (µGlas + 1)
m1 + m2
m1 + m2
m1 m2
g (µHolz − µGlas )
m1 + m2
12 g · 30 g
· 9.81 m s−2 (0.6 − 0)
12 g + 30 g
36
× 10−3 kg m s−2 = 50.5 mN
7
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Lösung zu Aufgabe 9
Wenn der Satellit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ωS in einer konstanten
Höhe h über der Erdoberfläche um die Erde kreist (Erdradius rE ), so beträgt seine
Beschleunigung
~a(t) = ~ar (t) = −ωS2 (rE + h) ~er (t) ,
(9.1)
wobei ~er der (zeitabhängige) Einheitsvektor ist, der vom Erdmittelpunkt in Richtung
des Satelliten zeigt.
Wir gehen davon aus, dass der Satellit seine eigenen Schubdüsen nicht benutzt
(höchstens, um die Höhe h überhaupt zu erreichen oder zur Bahnkorrektur) und
dass die Atmosphäre in der Höhe h hinreichend dünn ist, so dass der Luftwiderstand vernachlässigbar klein ist. Dann wirkt auf den Satelliten ausschließlich die
Gravitationskraft zwischen Erde und Satellit:
mS mE
~er (t) .
F~ges (t) = F~g (t) = −G
(rE + h.)2
(9.2)
Das zweite Newtonsche Gesetz liefert den Zusammenhang zwischen dieser äußeren
Gesamtkraft und der resultierenden Beschleunigung:
F~ges (t) = mS ~a(t)
(9.1)
=⇒
(9.2)
mS mE
~er (t) = −mS ωS2 (rE + h) ~er (t)
(rE + h.)2
mE
2
=⇒ G
2 = ωS (rE + h)
(rE + h.)
s
GmE
− rE .
=⇒ h = 3
ωS2
−G
Der Satellit soll sich synchron mit der Erde bewegen, d. h. seine Winkelgeschwindigkeit entspricht derjenigen der Erde:
2π
ωS = ωE =
TE
r
2
3 GmE TE
− rE
=⇒ h =
2
s 4π
6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 · 5.97 × 1024 kg · (24 × 3600 s)2
− 6371 km
4π 2
= 35 800 km .
=
3
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Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_1_ET
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://www.iapp.de/iapp/lehre/materialien/?v=pe
Jens Patommel <[email protected]>
8