Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Bekannte Konvergenzarten
Beispiele zu bekannten Konvergenzarten
vollständige Konvergenz
Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie
Volker Michael Eberle
VARIOUS KINDS OF CONVERGENCES OF SEQUENCES OF
RANDOM VARIABLES
10 Dezember, 2012
Volker Michael Eberle
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Bekannte Konvergenzarten
Beispiele zu bekannten Konvergenzarten
vollständige Konvergenz
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Wahrscheinlichkeitsraum
Im Folgenden betrachten wir immer den Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P), die Zufallsvariable X und eine Folge von
Zufallsvariablen {Xn } und n→ ∞
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Definition fast sicher
Definition
{Xn } konvergiert fast sicher (f.s) gegen X; n → ∞ falls
P[ω : lim Xn (ω) = X (ω)] = 1.
n→∞
f .s
Schreibweise: Xn −−→ X
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Definition konvergent in Wahrscheinlichkeit
Definition
Eine Folge {Xn } konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen X
wenn:
lim P[ω : |Xn (ω) − X (ω)| ≥ ε] = 0.
n→∞
P
Schreibweise: Xn −
→X
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Definition konvergent in Verteilung
Definition
Eine Folge {Xn } ist konvergent in Verteilung, falls gilt
lim Fn (x) = F (x)
n→∞
für jeden Stetigkeitspunkt von F.
d
d
Schreibweise: Fn −
→ F und Xn −
→ X.
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Definition konvergent in Lr
Definition
{Xn }, X ∈ Lr und r≥1 E[|X |r ] < ∞, E[|Xn |r ] < ∞ dann
konvergiert Xn im Lr , falls
lim E[|Xn − X |r ] = 0.
n→∞
Lr
Schreibweise: Xn −→ X .
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vollständige Konvergenz
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vollständige Konvergenz
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Beispiel I
Beispiel
Beispiel Nr.1:
F (x) Verteilungsfunktion x R1 , stetig
zwei Verteilungsfunktionen:
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vollständige Konvergenz
Beispiel I
Beispiel
Beispiel Nr.1:
F (x) Verteilungsfunktion x R1 , stetig
zwei Verteilungsfunktionen:
Fn (x) = F (x + n), Gn (x) = F (x + (−1)n n)
Fn (x) → 1, n→ ∞ ∀ x R1
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vollständige Konvergenz
Beispiel I
Beispiel
Beispiel Nr.1:
F (x) Verteilungsfunktion x R1 , stetig
zwei Verteilungsfunktionen:
Fn (x) = F (x + n), Gn (x) = F (x + (−1)n n)
Fn (x) → 1, n→ ∞ ∀ x R1
lim Fn (x) = 1 =⇒ keine Verteilungsfunktion
n→∞
G2n (x) → 1, aber G2n+1 (x) → 0, n→ ∞
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Beispiel I
Beispiel
Beispiel Nr.1:
F (x) Verteilungsfunktion x R1 , stetig
zwei Verteilungsfunktionen:
Fn (x) = F (x + n), Gn (x) = F (x + (−1)n n)
Fn (x) → 1, n→ ∞ ∀ x R1
lim Fn (x) = 1 =⇒ keine Verteilungsfunktion
n→∞
G2n (x) → 1, aber G2n+1 (x) → 0, n→ ∞
Also konvergiert Gn nicht!
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Beispiel II
Beispiel
Beispiel Nr.2:
Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) =
1
2
Xn ist eine Folge von Zufallsvariablen Xn = X
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Beispiel II
Beispiel
Beispiel Nr.2:
Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) =
1
2
Xn ist eine Folge von Zufallsvariablen Xn = X
d
Dann gilt: Xn −
→ X , n→ ∞
d
Definiere: Y = 1 − X . ⇒ Xn −
→Y
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Beispiel II
Beispiel
Beispiel Nr.2:
Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) =
1
2
Xn ist eine Folge von Zufallsvariablen Xn = X
d
Dann gilt: Xn −
→ X , n→ ∞
d
Definiere: Y = 1 − X . ⇒ Xn −
→Y
Xn konvergieren nur in Verteilung gegen Y da: |Xn − Y | = 1
=⇒ P[|Xn − Y | > ε] 9 0
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Beispiel III
Beispiel
Beispiel Nr.3:
eine Folge {Xn , n≥1} unabhängiger Zufallsvariablen
P[Xn = 1] = n1 , P[Xn = 0] = 1 − n1 , n≥1.
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Beispiel III
Beispiel
Beispiel Nr.3:
eine Folge {Xn , n≥1} unabhängiger Zufallsvariablen
P[Xn = 1] = n1 , P[Xn = 0] = 1 − n1 , n≥1.
P
f .s
Xn −
→ 0, aber Xn −−→ 0 nicht erfüllt ist.
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Frage zu konvergent in Lr
Lr
Ls
Sei Xn −→ X ⇒ Xn −→ X
Gilt dann:
Ls
Lr
Xn −→ X ⇒ Xn −→ X ?
0<s<r
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Beispiel IV
Beispiel
Beispiel Nr.4:
P[Xn = n] = n−(r +s)/2 = 1 − P[Xn = 0],
E[Xns ]
=
n(s−r )/2
n≥1
→0
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Beispiel IV
Beispiel
Beispiel Nr.4:
P[Xn = n] = n−(r +s)/2 = 1 − P[Xn = 0],
E[Xns ]
E[Xnr ]
=
n(s−r )/2
→0
=
n(r −s)/2
→∞
n≥1
D.h. konvergent in Ls impliziert nicht Lr !
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Beispiel V
Beispiel
Beispiel Nr.5:
Xn sei eine Zufallsvariable
P[Xn = e n ] = n1 , P[Xn = 0] = 1 −
P[|Xn | < ε] = P[Xn = 0] = 1 −
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1
n
1
n
→ 1 für n→ ∞
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Beispiel V
Beispiel
Beispiel Nr.5:
Xn sei eine Zufallsvariable
P[Xn = e n ] = n1 , P[Xn = 0] = 1 −
P[|Xn | < ε] = P[Xn = 0] = 1 −
aber
E[Xnr ]
=
e rn n1
1
n
1
n
→ 1 für n→ ∞
→∞
konvergent in Wahrscheinlichkeit aber nicht in Lr .
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Beispiel I
Impliziert konvergent im Lr Sinne fast sichere Konvergenz?
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Beispiel VI
Beispiel
Beispiel Nr.6:
Xn eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen
P[Xn = 0] = 1 −
1
,
n1/4
P[Xn = ±1] =
L2
1
2n1/4
f .s
Dann gilt Xn −→ 0, aber Xn −−→ 0 gilt nicht!
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Definition II
Lemma
Seinen F,Fn Verteilungsfunktionen,so dass ihre Dichtefunktionen
f,fn exitieren.
• falls fn → f, (n→ ∞) fast überall, xR dann folgt
⇒ Fn → F
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Frage
Gilt auch die Gegenrichtung?
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Beispiel
Sei


 0,
Fn =
x 1−


1,
falls
sin(2nπx)
2nπx
, falls
falls
x ≤0
0<x ≤1 .
x ≥1
und

 0, falls
x, falls
F =

1, falls
x ≤0
0<x ≤1 .
x ≥1
Dann gilt zwar Fn (x)→F aber fn (x) 9 f (x)
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Bilder zu Beispiel 7
F(x)
1
F50(x)
1.5
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f(x)
2
0
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0.2
0.4
0.2
0.6
0.8
1
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0
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
f50(x)
2
1.5
0
0
0
0.2
0.4
0.6
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vollständige Konvergenz
1
Bekannte Konvergenzarten
2
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3
vollständige Konvergenz
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Definition
lim
n→∞
P∞
m=n
P[|Xm | > ε] = 0 ∀ ε > 0
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D.h. aus vollständiger Konvergenz folgt f.s. Konvergenz.
Aber was gilt für die Gegenrichtung?
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Beispiel
(Ω, F, P), Ω = [0, 1], F = B[0,1] und P ist das Lebesgue-Maß
1, falls 0 ≤ ω ≤ n1
Xn (ω) =
0, falls n1 ≤ ω ≤ 1.
Konvergiert nicht vollständig.
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Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit.
Volker Michael Eberle
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