Statistik - todesbahn.de

Statistik
Dr. rer. nat. Jürgen Vogel
13. Februar 2005
Diese Seite bleibt für gewöhnlich weiß
Inhaltsverzeichnis
I
Deskriptive Statistik
7
1 Grundbegriffe
1.1 GrundgesamtheitGrundgesamtheit und Merkmale . . . . . . . . .
1.2 Ermittlung von Beobachtungswerten . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quellen wirtschaftsstatistischer Daten . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
10
2 Häufigkeitsverteilungen
2.1 Prim. Häufigkeitstabelle . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sekundäre Häufigkeitstabelle (Klassenbildung)
2.3 Grafische Darstellung von Häufigkeiten . . . . .
2.3.1 Für metrische Daten . . . . . . . . . . .
2.3.2 Für ordinale Daten . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Für nominale Daten . . . . . . . . . . .
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3 Statistische Maßzahlen
3.1 Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . .
3.1.2 Der empirische Median (Zentralwert) .
3.1.3 Modalwert (Modus) . . . . . . . . . .
3.1.4 Gewogenes arithmetisches Mittel . . .
3.1.5 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . .
3.2 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Empirische Varianz . . . . . . . . . . .
3.2.2 Quartilsabstand . . . . . . . . . . . .
3.3 Box-Whisker-Plot . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Empirische Momente . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Interpretation von Exzess und Schiefe
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23
4 Indexzahlen
4.1 Empirische Indizes . . . . . . . .
4.2 Zusammengesetzte Indizes . . . .
4.2.1 Indexformeln . . . . . . .
4.3 Einige Indizes aus der Wirtschaft
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der
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BRD
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5 Zusammenhänge zwischen Merkmalen
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5.1 Der empirische Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Der Rangkorrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Kontingenzkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
4
6 Lineare Regression
37
6.1 Einfache Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Curvilineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.1 Weitere Beispiele für linear transformierbare Ansätze . . . 40
7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
7.1 Zufällige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Beziehungen zwischen Ereignissen und Operationen
Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . .
7.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Parameter von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Weitere Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Spezielle stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Rechteckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . .
II
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mit
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Schliessende Statistik
8 Grundbegriffe der schl. Stat.
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51
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55
57
9 Wichtige Stichprobenfunktionen
59
9.1 Das Stichprobenmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.2 Die Stichprobenvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.3 Die Verteilungen von X̄ und S 2 für normalverteiltes Merkmal . . 60
10 Punktschätzungen
63
10.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Wünschenswerte Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11 Bereichsschätzungen
11.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Quantile von Prüfverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 χ2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Konfidenzintervalle für die Parameter eines normalverteilten Merkmals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Konfidenzintervall für µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Konfidenzintervall für σ 2 = D2 X . . . . . . . . . . . . . .
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11.3.3 Konfidenzintervall für σ = DX . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p . . . . . . . . . .
72
72
12 Signifikanztests
12.1 Grundbegriffe der Testtheorie . . . . . . . .
12.2 Paramtertests für normalverteiltes Merkmal
12.2.1 Herleitung des einfachen t-Tests . . .
12.2.2 Der χ2 -Streuungstest . . . . . . . . .
12.3 Test auf Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . .
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13 Statistische Qualitätskontrolle
13.1 Kontrollkarten . . . . . . . . .
13.1.1 Die x̄-Karte . . . . . .
13.1.2 Die x̄/s Karte . . . . . .
13.1.3 Die p-Karte . . . . . . .
13.2 Stichprobenpläne . . . . . . . .
13.3 Kennwerte für OC-Funktionen
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14 Anpassungstests
87
14.1 Der χ2 -Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
14.2 Test auf Normalverteilung mittels Schiefe und Exzess . . . . . . . 88
15 Unabhängigkeit von Merkmalen
15.1 Zweidimensionale Verteilungen . . . . . .
15.2 Unabhängigkeit von Zufallsgrößen . . . .
15.3 Unkorreliertheit von Zufallsgrößen . . . .
15.4 Test auf Unabhängigkeit/Unkorreliertheit
15.5 χ2 -Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . .
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16 Stichprobenvergleiche
16.1 Der doppelte t-Test (Mittelwerttest)
16.2 Die F-Verteilung (R.A. Fisher) . . .
16.3 Der F-Test . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Varianzanalyse . . . . . . . . . . . .
16.5 Der Vorzeichen-Test . . . . . . . . .
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. 97
. 98
. 99
. 100
. 102
A Klausuraufgaben
A.1 Klausur Statistik 1
A.1.1 Aufgabe 1 .
A.1.2 Aufgabe 2 .
A.1.3 Aufgabe 3 .
A.1.4 Aufgabe 4 .
A.1.5 Aufgabe 5 .
A.2 Klausur Statistik 2
A.2.1 Aufgabe 1 .
A.2.2 Aufgabe 2 .
A.2.3 Aufgabe 3 .
A.2.4 Aufgabe 4 .
A.2.5 Aufgabe 5 .
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109
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111
Teil I
Deskriptive Statistik
7
Kapitel 1
Grundbegriffe
1.1
GrundgesamtheitGrundgesamtheit und Merkmale
Menge gleichartiger Objekte, an denen mindestens eine Eigenschaft untersucht
werden soll.
Merkmal: Diese Eigenschaft [Maßeinheit]
Ausprägungen: Werte, die das Merkmal annehmen kann
Die Elemente der Grundgesamtheit nennt man Untersuchungseinheiten oder
statistisches Element. Sie tragen die Information. Grundgesamtheit muss klar
definiert sein, also abgrenzen: sachlich, zeitlich, örtlich.
Beispiele
ˆ Studienwunsch von Abiturienten. Grundgesamtheit: Alle Schüler von 12.
Klassen in Thüringen im April 2004. Untersuchungseinheit: Schüler. Merkmal: 1. Studienwunsch. Ausprägungen: WI, WIW, Medizin, Jura, . . .
ˆ Altersstruktur der deutschen Bevölkerung. Grundgesamtheit: Deutsche
Bevölkerung am 31.12.2003 . Untersuchungseinheit: Einwohner Deutschlands. Merkmal: Lebensalter [Jahre]. Ausprägungen: 0,1,2, . . . , 120
ˆ Volkswirtschaftliche Daten der Länder. Grundgesamtheit: Alle Staaten,
die am 31.12.2003 der EU angehörten. Untersuchungseinheit: Staat. Merkmale:
– BIP [Mrd. ¿ ]. Ausprägungen: 23,1 . . . 2129,2
– Arbeitslosenquote [%]. Ausprägungen: 3,7 . . . 11,3
– Inflationsrate [%]. Ausprägungen: 1,0 . . . 4,0
Statistische Untersuchungen verlangen viele Untersuchungseinheiten, weil
statistische Gesätzmäßigkeiten erst bei Beteiligung vieler offenbar werden. Ursache: Gesetz der großen Zahlen.
9
10
Beispiel: Wurf einer Münze Grundgesamtheit: Alle Münzwürfe am 07.04.2004
in HS2. Untersuchungseinheit: Münzwurf. Merkmal: Oben liegende Seite. Ausprägungen: Zahl, Wappen.
Anzahl der Würfe
3
300
1000
10000
24000
davon Wappen
2
148
478
4984
12012
rel. Häufigkeit
0,6667
0,4933
0,4780
0,4984
0,5005
Gesetzmäßigkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf mit einer Münze
“Wappen” oben liegt beträgt 0,5. Die tatsächlich gemessenen oder beobachteten
Merkmalswerte nennt man Beobachtungswerte. Die 1. Auflistung solcher Werte
nennt man Urliste.
1.2
Ermittlung von Beobachtungswerten
ˆ Befragung (mündlich, schriftlich)
ˆ Beobachtung (z.B. Verkehrszählung)
ˆ Experiment (z.B. Intelligenztest)
ˆ Automatische Erfassung (z.B. Computer, Zählwerk)
ˆ Sekundärerhebung (z.B. Veröffentlichung, statistisches Jahrbuch)
Datenerfassung kann erfolgen als:
ˆ Vollerhebung (Grundgesamtheit prüfen) (z.B. Volkszählung)
ˆ Teilerhebung (z.B. Mikro-Zensus)
Die Teilerhebung ist die Voraussetzung für die schließende Statistik. Hier:
Beobachtungswerte = Stichprobe.
1.3
Quellen wirtschaftsstatistischer Daten
ˆ Amtliche Statistiken
– Statistische Jahrbücher (UN, EU, Bund, Länder, Städte)
– Zeitschrift “Wirtschaft & Statistik”
– Ressortstatistiken der Ministerien (z.B. Arbeitslosenstatistik von der
Bundesagentur für Arbeit)
ˆ Nicht amtliche Statistiken
– Betriebsstatistiken
– Statistiken von Wirtschaftsverbänden, Forschungsinstituten, Meinungsforschungsinstituten
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 2
Häufigkeitsverteilungen
Bezeichnungen :
Merkmale:
X, Y, Z
Beobachtungswerte:
x1 , x2 , x3 , . . . , xn
y1 , y2 , y3 , . . . , ym
Beobachtungsumfang = Stichprobenumfang:
n
Anliegen :
Urliste meist unübersichtlich, Verteilung der Beobachtungswerte sichtbar machen.
Vorbereitender Schritt :
Eventuell: Ordnen der Beobachtungswerte der größe nach (ordinal Skala). Zurest
hat man die Urliste, nach der Ordnung eine Variationsreihe:
x(1) , x(2) , . . . , x(n)
mit
x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)
2.1
Prim. Häufigkeitstabelle
Sinvoll, wenn die meisten Ausprägungen in der Urliste mehrfach vorkommen.
Es seien:
X
ein Merkmal,
a1 , a2 , . . . , ak
die Ausprägungen von X,
x1 .x2 , . . . , xn
11
12
die Beobachtungswerte zu X, wobei gilt,
n>k
Beispiel 1 :
Abweichungen vom Sollmaß: (eine bestimmte Länge von Teilen aus der laufenden Produktion) [µm]
Urliste: 3, 2, −1, −2, 0, 1, 2, −1, 1, 0, 0, 0, 0, −4, 3, 1, −2, −1, −3, 4
n=20
Ausprägungen:
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
Absolute Häufigkeit :
der Ausprägung aj (j = 1, 2, . . . , k).
hj = h(aj )
(2.1)
“Anzahl des Auftretens von aj in der Urliste”
Relative Häufigkeit :
der Ausprägung aj (j = 1, 2, . . . , k)
fj = f (aj ) =
h(aj )
n
(2.2)
Es gilt:
k
X
j=1
hj = n
;
k
X
fj = 1
(2.3)
j=1
Die Summe über alle Absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang
und die Summe über alle Relativen Häufigkeiten ist 1.
Zum Beispiel 1 :
Häufigkeitstabelle in Minimalform
j aj hj Strichliste
fj
Summenhäufigkeit Hj
1 -4
1
1
0,05
1
2 -3
1
1
0,05
2
3 -2
2
2
0,10
4
4 -1
3
3
0,15
7
5 0
5
5
0,25
12
6 1
3
3
0,15
15
7 2
2
2
0,10
17
8 3
2
2
0,10
19
9 4
1
1
0,05
20
Kummulative Häufigkeit (Summenhäufigkeit) :
Absolut:
j
X
Hj =
hi
i=1
TU-Ilmenau: Statistik
Summenhäufigkeit Fj
0,05
0,10
0,20
0,35
0,60
0,75
0,85
0,95
1,0
(2.4)
13
Relativ:
Fj =
j
X
fj
(2.5)
i=1
In einer primären Häufigkeitstabelle ist die gesamte Information der Urliste noch
enthalten.
2.2
Sekundäre Häufigkeitstabelle (Klassenbildung)
Ziel: Informationsgehalt verdichten, um Gesetzmäßigkeiten besser sichtbar zu
machen.
Methode: Benachbarte oder ähnliche Ausprägungen werden zu Klassen zusammengefasst.
ae2 Mitte der 2.ten Klasse
aej Mitte der j.ten Klasse
hi absolute Häufigkeit der i.ten Klasse
fi relative Häufigkeit der i.ten Klasse
Sekundäre Häufigkeitstabelle :
Klasse
Mitte abs. Hfgk. rel. Hfgk.
(-4,5;-2,5)
-3,5
2
0,10
[-2,5;-0,5)
-1,5
5
0,25
[-0,5;1,5)
0,5
8
0,40
[1,5;4,5)
3,0
5
0,25
P
20
1,00
Regeln für das erstellen von sekundären Häufigkeits-Tabellen: Eigentlich nie weniger als 5 Klassen bilden. Eindeutige Klassenbezeichnungen wählen (genau in
die Mitte von 2 Werten gehen). Mitte in der Mitte lassen (Intervall). Möglichst
äquidistante Klasseneinteilungen wählen, da die Anzeige sonst verfälscht wird
(äquidistant bedeutet gleichbreite Klassen). In unserem Beispiel sind die Klassen 2 bzw. 3 µm breit. Offene Flügelklassen vermeiden. Die Anzahl der Klassen
hängt vom Stichprobenumfang ab. Anzahl m der Klassen:
n
m
50 . . . 200
5 . . . 12
200 . . . 1000
12
1000 . . .
10 . . . 20
Faustformel:
m = 1 + 1, 44 ∗ ln n
aej
-3,5
-1,5
0,5
3,0
hj
2
5
8
5
TU-Ilmenau: Statistik
(2.6)
14
2.3
Grafische Darstellung von Häufigkeiten
2.3.1
Für metrische Daten
1. Histogramm
Abweichungen vom Sollmaß
Beachte:
(a) Abzisse metrisch skalieren, nicht Klassen-Namen sondern die Abweichungen.
(b) Ordinate: absolute oder relative Häufigkeiten, Fußpunkt der Säulen
soll 0 sein, keine Lücken zwischen die Säulen, es sei denn, man möchte
die Häufigkeit 0 darstellen.
(c) Histogramm ermöglicht auch die Darstellung nicht äquidistanter Klassen. Dabei gilt:
i. Flächeninhalt ∼ Häufigkeit.
ii. Ordinate bedeutungslos.
iii. Da am Flächeninhalt ausgerichtet, mußman breitere oder kürzere
Klassen beachten und darf die Höhe nicht einfach blind eintragen
(Klasse 4 hat nur eine Höhe von 3,33)
TU-Ilmenau: Statistik
15
2. Häufigkeitspolygon
nur für äquidistante Klassen oder primäre Häufigkeitstabellen.
(a) Punkt ist über der Klassenmitte bzw. Ausprägung.
(b) Ordinate: Nullpunkt = Fußpunkt.
(c) Beide zusätzlichen Flügelklassen mit einzeichnen.
TU-Ilmenau: Statistik
16
2.3.2
Für ordinale Daten
1. Balkendiagramm
Die Balkenhöhe sollte der Häufigkeit entsprechen, Lücken müssen zwischen den Balken gezeichnet werden, sonst Verwechslung mit Histogramm
möglich.
Mitgliederzahlen in einem Verband:
2.3.3
Für nominale Daten
1. Balkendiagramm
2. Kreisdiagramm
(a) Winkel ∼ Häufigkeit
(b) ϕi =
hi
n
= 360◦
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 3
Statistische Maßzahlen
3.1
3.1.1
Lageparameter
Arithmetisches Mittel
Für metrische Daten:
n
x̄ =
1X
xi
n i=1
(3.1)
Für gehäufte Daten:
k
x̄ =
1X
a j hj
n j=1
(3.2)
Für gruppierte Daten (sekundäres Häufigkeitsdiagramm):
m
x̄ =
Beispiel 1
1X
aej hj
n j=1
(3.3)
Abweichungen vom Sollmaß:
x̄ =
1
1
(3 + 2 − 1 − 2 − 0 + . . . + 4) =
∗ 3 = 0, 15µm
20
20
Die Abweichungen vom Sollmaß betragen im Mittel 0, 15µm. Oder: Die Teile
werden mit einem systematischen Fehler von 0, 15µm produziert. Zum Vergleich
x̄ aus der Klasseneinteilung.
x̄ =
1
1
(−3, 5 ∗ 2 − 1, 5 ∗ 5 + 0, 5 ∗ 3 + 3, 0 ∗ 5) =
∗ 4, 5 = 0, 225
20
20
Minimaleigenschaft des arithmetischen Mittels: Die mittlere quadratische Abweichung der Beobachtungswerte xi von einer reellen Zahl a:
n
X
1
=
(x − i − a)2
n
i=1
wird genau dann minimal, wenn a = x̄
17
(3.4)
18
3.1.2
Der empirische Median (Zentralwert)
x?1 , x?2 , . . . , x?n geordnete Stichprobe für ordinale Daten.
(
M ed =
x?n+1
2
falls n ungerade
1
?
2 (x n
2
?
+ x n +1 ) falls n gerade
(3.5)
2
Vereinfacht: Die Hälfte aller Beobachtungswerte ist kleiner als der Median, die
andere Hälfte ist größer.
Beispiel 2 7 zufällig ausgewählte Schüler
Merkmal X = Mathe-Note; Stichprobe: 2, 1, 2, 5, 3, 4, 3
Variationsreihe: 1 = x?1 , 2 = x?2 , 2 = x?3 , 3 = x?4 , 3 = x?5 , 4 = x?6 , 5 = x?7 ; n=7, also
ungerade
M ed = x?7+1 = x?4
2
Beispiel 1 Abweichungen vom Sollmaß
n=20, also gerade.
x? + x?11
0+0
M ed = 10
=
2
2
Minimaleigenschaft des Medians: Die mittlere absolute Abweichung der Beobachtungswerte von einer reellen Zahl a,
n
1X
| xi − a |
n i=1
wird minimal, wenn a der Median ist.
3.1.3
Modalwert (Modus)
Für nominale Daten. Der Modalwert befindet sich dort, wo das Histogramm
seinen Höhepunkt hat. Definition:
M od = aj mit hj ≥ hi für alle i = 1, 2, . . . , k
Wenn es nur einen Modalwert gibt, dann nennt man das Unimodal. Modalwert
ist die Ausprägung mit der größten Häufigkeit (entsprechend: modale Klasse).
Beispiel 1
Abweichungen vom Sollmaß
M od = 0
Beispiel 2
Mathe Noten
M od = 2 ∧ M od = 3
Modalwerte: 2 und 3.
TU-Ilmenau: Statistik
19
3.1.4
Gewogenes arithmetisches Mittel
Für metrische Daten. Beobachtungswerte sollen mit unterschiedlichen Gewichten in die Mittelwertbildung eingehen:
Pn
xi gi
x̄gew = Pi=1
(3.6)
n
i=1 gi
Beispiel :
3 Arbeiter am Fließband schaffen 450, 430 bzw. 500 Stück pro Stunde. Letzterer arbeitet 4h täglich, die beiden anderen jeweils 8h. welche durchschnittliche
Arbeitsleistung erbringen die 3 Arbeiter zusammen?
450 ∗ 8 + 430 ∗ 8 + 500 ∗ 4
= 452[Stueck/Stunde]
20
Wenn man nicht gewichtet hätte so ergäbe sich x̄ = 460.
x̄gew =
3.1.5
Geometrisches Mittel
Für metrische, positive Daten. Einleitendes Beispiel: Der Wert eines Warenkorbes wächst jährlich mit den Faktoren c1 , c2 , . . . , cn und erreicht nach n-Jahren
den Wert
r
√
Wn
Wn = W0 ∗c∗c∗c∗. . .∗c =⇒ cn = c1 ∗c2 ∗c3 ∗. . .∗cn =⇒ c = n c1 ∗ c2 ∗ . . . ∗ cn = n
W0
√
x̄geo = n x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xn
(3.7)
xn > 0
Wachstumsrate im i.ten Jahr
ri := (ci − 1) ∗ 100%
r̄ = (c̄geo − 1) ∗ 100%
Es gilt: x̄geo ≤ x̄
Beispiel: Familie Müller verbraucht im 1. Jahr 6200 KWh Heizenergie, im 6.
Jahr 5055 KWh. Wie groß ist die mittlere Jährliche Wachstumsrate bei dieser
Heizenergie?
r
5 5055
c̄geo =
≈ 0, 96 ⇒ r̄ = (0, 96 − 1) ∗ 100 = −4%
6200
3.2
3.2.1
Streuungsmaße
Empirische Varianz
Für metrische Daten.
n
1 X
1
s =
(xi − x̄)2 =
n − 1 i=1
n−1
2
"Ã n
X
!
x2i
#
2
− n ∗ x̄
(3.8)
i=1
Für gruppierte metrische Daten:
s2 ≈
¢
1 X¡ 2
xi ∗ hi − x̄
n
TU-Ilmenau: Statistik
(3.9)
20
Mittlere Quadratische Abweichung der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel . Bei gruppierten Daten:
m
1 X
f2
s ≈
(aej ∗ hj ) − n ∗ x
n − 1 j=1
2
(3.10)
Wobei aej die klassenmitte bezeichnet, und x
e die Näherung für x̄ aus der sekundären Häufigkeitstabelle.
Empirische Standardabweichung:
s=
√
s2
Variationskoeffizient (normierte Standardabweichung, sie dient zum Vergleich
von Streuungen auf verschiedenen Skalen):
v=
Beispiel 1
s
∗ 100%
x̄
Abweichungen vom Sollmaß
s2 =
¤
1 £
(3 − 0, 15)2 + . . . + (4 − 0, 15)2 ≈ 4, 24[µm]
19
p
s = 4, 24 ≈ 2, 06[µm]
Die Abweichungen vom Sollmaß schwanken mit der empirischen Varianz 4, 24µm2
um den Mittelwert. Aus der Klasseneinteilung ergibt sich:
s2 = 4, 30; s = 2, 07
3.2.2
Quartilsabstand
Für ordinale Daten. Man braucht hierzu die Variationsreihe x?1 , x?2 , . . . , x?n mit
x?1 ≤ x?2 ≤ . . . ≤ x?n . dxe bedeutet, x soll auf die nächste ganz Zahl aufgerundet
werden.
Unteres Quartil:
½1
x0,25 :=
?
2 (x n
4
n
xd 4 e
+ x?n +1 )
1
?
2 (x 3n
4
+ x?3n +1 ) falls n durch 4 teilbar
4
sonst
4
falls n durch 4 teilbar
sonst
(3.11)
Oberes Quartil:
(
x0,75 :=
xd 34 ne
(3.12)
Quartilsabstand:
= x0,75 − x0,25
d 75
25
TU-Ilmenau: Statistik
(3.13)
21
Beispiel 1 Abweichungen vom Sollmaß
Variationsreihe: (n = 20)
−4, −3, −2, −2, −1, −1, −1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4
x0,25 =
1 ?
1
(x + x?6 ); x0,75 = (x?15 + x?16 )
2 5
2
x0,25 = −1; x0,75 = 1, 5
d = 1, 5 − (−1) = 2, 5
Beispiel 2 Mathe Noten
Variationsreihe: (n = 7)
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5
x0,25 = x?2 = 2
x0,75 = x?6 = 4
d 75
=2
25
3.3
Box-Whisker-Plot
Für ordinale Daten. Grafische Darstellung von 5 Meßdaten: xmin , unteres Quartil, Median, oberes Quartil, xmax
Beispiel 1
Abweichungen vom Sollmaß
Bemerkungen:
ˆ Zum Box-Plot gehört eine Skala
ˆ Box-Plots sind besonders sinnvoll zum Vergleich mehrerer Häufigkeitsverteilungen
TU-Ilmenau: Statistik
22
ˆ Die Spannweite R = xmax − xmin = D wurde früher als Streungsmaß
benutzt
3.4
Empirische Momente
Für metrische Daten.
Anfangsmoment:
n
MA;k =
Zentralmoment:
1X k
x
n i=1 i
(3.14)
n
MZ;k =
1X
(xi − x̄)k
n i=1
(3.15)
k-ter Ordnung (k = 1, 2, 3, . . .). Schon benutzt: MA;1 = x̄ ; MZ;1 = 0 ; MZ;2 =
n−1 2
n s
Noch interessant: MZ;3 ; MZ;4
Empirische Schiefe:
Sch =
MZ;3
3
(MZ;2 ) 2
(3.16)
(−∞ < Sch < ∞)
Exzess (Wölbung):
Exz =
MZ;4
−3
(MZ;2 )2
(−3 < Exz < ∞)
TU-Ilmenau: Statistik
(3.17)
23
3.4.1
Interpretation von Exzess und Schiefe
Symmetrisch (Schiefe = 0):
Rechtsschief (Schiefe > 0) (linkssteil):
TU-Ilmenau: Statistik
24
Linksschief (Schiefe < 0) (rechtssteil):
Normal gewölbt
tisch):
(Exzess = 0) (Wölbung der Gaußschen Glocke) (mesokur-
TU-Ilmenau: Statistik
25
Spitz gewölbt (Exzess > 0) (leptokurtisch)
Flach gewölbt (Exzess < 0) (platykurtisch)
Schiefe und Exzess werden benötigt, um zu beurteilen, ob ein Merkmal normalverteilt sein kann.
TU-Ilmenau: Statistik
26
Beispiel 1
Abweichungen vom Sollmaß
20
MZ;2 =
1 X
(xi − x̄)2 = 4, 0275[µm]2
20 i=1
MZ;3 =
1 X
(xi − x̄)3 = −0, 466[µm]4
20 i=1
MZ;4 =
1 X
(xi − x̄)4 = 40, 985[µm]4
20 i=1
20
20
Sch =
Exz =
−0, 466
3
(4, 0275) 2
≈ −0, 06
40, 985
− 3 ≈ −0, 47
4, 02752
Die Häufigkeitsverteilung ist symmetrisch und leicht flach gewölbt.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 4
Indexzahlen
Index ist der Quotient zweier gleichartiger Maßzahlen, wobei der Nenner die
Basis repräsentiert.
4.1
Empirische Indizes
Gegeben sei eine Reihe von Beobachtungswerten xo , x1 , x2 , . . .
Wahl eines Basiszeitpunktes z.B. t = 0
I0T :=
xk
∗ 100%
x0
(4.1)
Liefert für t = 0, 1, 2, . . . eine folge einfacher Indizes I00 , I01 , . . ..
Beispiel Anzahl der Studierenden an deutschen Hochschulen im Wintersemester [Tsd.]
t Jahr Anzahl
Index I0t
Index I5t
0 1960
247
100 %
13,7 %
1 1970
422
170,9 %
23,5 %
2 1980
1036
419,4 %
57,6 %
3 1990
1719
696,0 %
95,6 %
4 1995
1858
752,2 %
103,3 %
5 2000
1799
728,3 %
100 %
Basis 1960 Basis 2000
Umbasieren von t = 0 auf t = k:
Ikt =
4.2
I0t
I0k
(4.2)
Zusammengesetzte Indizes
Beobachtungswerte werden zunächst gewichtet, bevor man sie ins Verhältnis
setzt. Wichtung kann fiktiv sein, z.B. Sterbeziffer der Stadt A, wenn sie die
Altersstruktur der Stadt B hätte. Für die Wirtschaft:
ˆ Preisindex
27
28
ˆ Mengenindex
ˆ Umsatzindex
Im Nenner: Basiszeitpunkt (-zeitraum): “BaZ”
Im Zähler: Berichtszeitpunkt (-zeitraum): “BeZ”
Beispiel Durchschnittlicher Verbrauch an Fleisch der privaten Haushalte und
die Fleischpreise einer Gemeinde in einem Monat:
Fleischsorte
Preis BaZ Preis BeZ Menge BaZ Menge BeZ
Rindfleisch (kochen)
3,8
3,5
1,45
1,41
Rindfleisch (braten)
6,0
6,2
1,31
1,04
Schweinefleisch
4,5
4,3
4,74
4,43
Preisindex:
P3
M engeBaZ ∗ P reisBeZ
I p = P3i=1
M
engeBaZ ∗ P reisBaZ
i=1
=
3, 5 ∗ 1, 45 + 6, 2 ∗ 1, 31 + 4, 3 ∗ 4, 74
≈ 96, 77%
3, 8 ∗ 1, 45 + 6, 0 ∗ 1, 31 + 4, 5 ∗ 4, 74
Der Fleischpreis ist im Mittel um 3,2 % gefallen.
Der Preisindex setzt die Preise von BeZ und BaZ ins Verhältnis. Die Verbrauchsmengen fungieren als Gewichte. Im Zähler und Nenner wird einheitlich gewichtet. Zum Baz: Laspeyres-Index, zum BeZ: Paasche-Index. Allgemein:
Von k Gütern seien für BaZ und BeZ die Mengen und die Preise bekannt.
Gut Preis BaZ Preis BeZ Menge BaZ Menge BeZ
1
p01
p11
q01
q11
2
p02
p12
q02
q12
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
k
p0k
p1k
q0k
q1k
4.2.1
Indexformeln
Umsatzindex:
Laspeyres :
Preisindex:
Mengenindex:
P
p1i ∗ q1i
I (u) = P
p0i ∗ q0i
(4.3)
P
p1i ∗ q0i
(p)
IL = P
p0i ∗ q0i
(4.4)
P
p0i ∗ q1i
(q)
IL = P
p0i ∗ q0i
(4.5)
TU-Ilmenau: Statistik
29
Paasche :
Preisindex:
(p)
IP
P
p1i ∗ q1i
=P
p0i ∗ q1i
(4.6)
(q)
IP
P
p1i ∗ q1i
=P
p1i ∗ q0i
(4.7)
Mengenindex:
Beispiel Fleischverbrauch
(p)
IL ≈ 96, 77%
(q)
IL ≈ 90, 87%
(p)
IP ≈ 96, 51%
(q)
IP ≈ 90, 63%
I (u) ≈ 87, 70%
4.3
Einige Indizes aus der Wirtschaft der BRD
Werden alle nach Laspeyres berechnet
1. Preisindex für die Lebenserhaltung. Es gibt 4 Stück:
ˆ Alle Private Haushalte
ˆ 4 Personen (Arbeitnehmer) mit mittlerem Einkommen
ˆ 4 Personen (Beamte) mit höherem Einkommen
ˆ 2 Personen (Rentner / Sozialhilfeempfänger)
Warenkorb aus 750 Waren und Dienstleistungen, 400000 Preisreihen aus
100 Gemeinden, einfacher bis mittlerer Qualität.
2. Index der Einzelhandelspreise:
Verkaufspreise inkl. MwSt. des Einzelhandels, 600 Waren, auch Maschinen,
LKW, Büroeinrichtungen, keine Dienstleistungen.
3. Index der Großhandelsverkaufspreise
Verkaufspreise exkl. MwSt., 800 Waren, 7000 Preisreihen.
4. Produktionsindex für das produzierende Gewerbe
Index der kurzfristigen Wirtschaftsentwicklung, Mengenindex! Nettoproduktionsleistungen einzelner Wirtschaftszweige. → Gesamtindex mittels
Wichtung nach Bruttowertschöpfung.
5. Lohnindizes
ˆ Nominallohnindizes
– Index der tariflichen Stundenlöhne
– Index der Monatsgehälter
(Preisindizes)
TU-Ilmenau: Statistik
30
ˆ Reallohnindex= N ominallohnindex
P reisindex
6. Der Deutsche Aktienindex
Preisindex der 30 wichtigsten deutschen Aktien (blue-chips). Basis: 31.12.1987.
Aktienkapital alle 15 s berechnet durch die Deutsche Börse AG. Basis =
1000.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 5
Zusammenhänge zwischen
Merkmalen
X, Y seien zwei untereinander verbundene Merkmale. An jeder Untersuchungseinheit werden beide Merkmale beobachtet. Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )
(Beobachtungspaare)
Beispiel Nettosozialprodukt und Staatsverschuldung
Grundgesamtheit: Alle Staaten der Erde am 31.12.2003.
X Nettosozialprodukt im zurückliegenden Jahr.
Y Staatsverschuldung am 31.12.2003.
Gesucht wird eine Maßzahl für den Zusammenhang zwischen X und Y .
5.1
Der empirische Korrelationskoeffizient
X und Y sind metrisch skaliert. x̄, ȳ, sx , sy seien die empirischen Mittelwerte
und Standardabweichungen der x- bzw. y-Werte. Empirischer Korrelationskoeffizient von X und Y (Bravais/Pearson):
Pn
1
i=1 (xi − x̄) ∗ (yi − ȳ)
rxy = n−1
(5.1)
sx ∗ sy
oder:
rxy =
1
n−1
Pn
( i=1 (xi ∗ yi )) − n ∗ x̄ ∗ ȳ
sx ∗ sy
(5.2)
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten :
1. Es gilt −1 ≤ rxy ≤ 1
2. rxy = ryx
3. rxy misst den linearen Zusammenhang zwischen X und Y . rxy = 0 → kein
linearer Zusammenhang zwischen X und Y . rxy = ±1 → Alle Beobachtungspaare liegen auf einer Geraden. Somit bestünde direkter Zusammenhang.
31
32
2
4. rxy
gibt an, zu wieviel Prozent sich die Beziehung durch lineare Abhängigkeit erklären lassen.
Beispiel Niederschlag und Kornertrag
Jahr
xi
yi
x2i
yi2
xi ∗ yi
1981 30 403,6
900
162892,96 12108,0
1982 51 339,5 2601 115260,25 17314,5
1983 112 395,5 12544 156420,25
44296
1984 61 435,1 3721 189312,01 26541,1
1985 23 428,8
529
183869,44 9862,4
1986 113 396,9 12769 157529,61 44849,7
1987 64 444,5 4096 197580,25
28448
1988 15 406,1
225
164917,21 6091,5
1989 16 346,0
256
119716
5536
1990 33 335,9 1089 112828,81 11084,7
Das ergibt:
x̄ = 51, 8
ȳ = 393, 19
sx = 36, 35871
rxy =
=
sy = 39, 92080
Pn
i=1 xi ∗ yi − n ∗ x̄ ∗ ȳ
1
n−1
sx ∗ sy
1
9 [206131, 9
− 10 ∗ 51, 8 ∗ 393, 19]
≈ 0, 188
36, 36 ∗ 39, 92
Es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen Regenmenge und Hektarertrag
(−1 und 1 würden Abhängigkeit bedeuten).
5.2
Der Rangkorrelationskoeffizient
Von Spearman für Ordinal skalierte Daten. Stichprobe mit Wertepaaren
Rangzahlen:
Rg(xi ) Position von xi in der geordneten x-Reihe.
Rg(yi ) Position von yi in der geordneten y-Reihe.
Der kleinste xi -Wert hat den Rang Rg(xi ) = 1, der größte xi Wert den Rang
n. Berechnet man den emp. Korrelationskoeffizienten mit den Rangzahlen statt
der Originalwerte (Rg(xi ) statt xi ) erhält man den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten.
Pn
n∗(n+1)2
i=1 Rg(xi ) ∗ Rg(yi ) −
4
ϕ̂ = q P
(5.3)
Pn
2
n
n(n+1)2
2
2 − n(n+1) )
( i=1 Rg(xi ) −
)
∗
(
Rg(y
)
i
i=1
4
4
TU-Ilmenau: Statistik
33
Beispiel Abhängigkeit vom Sitzplatz im Hörsaal zu der Klausurnote
X Entfernung zum Pult [m]
Y Punkte in der Statistik Arbeit
i
xi
yi
Rg(xi ) Rg(yi )
1
3,6
7,5
1,5
1
2
3,6
21
1,5
13
3
4,3
26
3,5
15
4
4,3
13
3,5
4
5
5,0 16,5
5,5
5,5
6
5,0 17,5
5,5
9,5
7
6,0
17
7
7,5
8
6,9
8
8
2
9 7,75 25,5
9,5
14
10 7,75
28
9,5
17
11 8,5 26,5
11
16
12 9,3
20
12,5
11,5
13 9,3
11
12,5
3
14 11,0 16,5
16,5
5,5
15 11,0
17
16,5
7,5
16 10,0
20
14,5
11,5
17 10,0 17,5
14,5
9,5
ϕ̂ = 0, 080(r = 0, 12)
Es besteht kein Zusammenhang zwischen Sitzplatz und Note.
Hinweise:
1. Kommen gleiche Ausprägungen mehrmals vor, so gibt man beiden den
gleichen Rang, und zwar den Mittelwert aus den in der Reihenfolge zu
vergebenden Rängen (Rang 12 und 13 haben die gleiche zugrunde liegende Ausprägung, so bekommen beide die 12,5; Rang 12, 13, 14 mit der
gleichen zugrunde liegenden Ausprägung würde bedeuten, alle bekommen
den Rang 13).
2. Sind keine mittleren Rangzahlen vergeben worden, vereinfacht sich die
Formel zu:
Pn
6 i=1 d2i
ϕ̂ = 1 −
n ∗ (n2 − 1)
wobei di = Rg(xi ) − Rg(yi ). Im Beispiel:
1−
6 ∗ 746
≈ 0, 086 ≈ ϕ̂
17 ∗ (172 − 1)
Ergebnis falsch, wir haben mittlere Rangzahlen.
5.3
Kontingenzkoeffizient
Für nominale Daten oder Klasseneinteilung.
TU-Ilmenau: Statistik
34
Beispiel Epidemie Untersuchung mit 120 Patienten
X Heilungserfolg
Y Behandlungsmethode
Kontingenztafel (2-dimensionale Häufigkeitsverteilung), Frage: git es einen
Zusammenhang?
X\Y
rein symptomatisch übliche Dosis doppelte Dosis
schnell geheilt
14
22
32
langsam geheilt
14
10
4
gestorben
16
8
0
Allgemein:
Merkmal X mit Ausprägungen: a1 , a2 , a3 , . . . , an
Merkmal Y mit Ausprägungen: b1 , b2 , b3 , . . . , bn
Stichprobe vom Umfang n (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . .
hij : absolute Häufigkeiten der Ausprägung (ai bj ) in der Stichprobe.
Kontingenztafel:
X\Y
a1
a2
..
.
b1
h11
h21
..
.
b2
h12
h22
..
.
...
...
...
..
.
bl
h1l
h2l
..
.
ak
hk1
h·1
hk2
h·2
. . . hkl
. . . h·l
h1·
h2·
..
.
hk·
h·· = n
mit den Randhäufigkeiten:
h·j =
k
X
hij
i=1
hi· =
l
X
hij
j=1
h ∗h
Es bezeichnen eij := ·jn i· die Erwartungshäufigkeiten. Würde man alle hij
durch eij ersetzen erhält man eine Kontingenztafel mit den selben Randsummen die den Fall “X und Y sind unabhängig” repräsentiert. Große Unterschiede
zwischen hij und eij bedeuten Abhängigkeit zwischen X und Y . Um eine Kontingenztafel zu konstruieren, die völlige Unabhängigkeit der Merkmale zeigen
soll, kann man folgenden Ansatz verwenden:
hij = eij =
hi· ∗ h·j
n
Die Stichproben Funktion :
Pearsonsches Chi-Quadrat:


k X
l
k X
l
2
2
X
X
h
(h
−
e
)
ij
ij
ij
= n
− 1
χ2 =
e
h
∗
h
ij
i·
·j
i=1 j=1
i=1 j=1
TU-Ilmenau: Statistik
(5.4)
35
Kontingenzkoeffizient:
s
C=
χ2
+n
χ2
(5.5)
Normierter Kontingenzkoeffizient:
s
CN orm = C ∗
min(k, l)
min(k, l) − 1
Es gilt:
0 ≤ CN orm ≤ 1
CN orm ≈ 0 ⇒ X und Y unabhängig
CN orm ≈ 1 ⇒ X und Y abhängig, stark
TU-Ilmenau: Statistik
(5.6)
Kapitel 6
Lineare Regression
Für metrische Daten. Begriff Regression von Galton. Universales Gesetz der
Regression.
6.1
Einfache Lineare Regression
X,Y : zwei verbundene Merkmale.
Frage: Welche Gerade, y = a + bx ist am besten geeignet, den Zusammenhang
zu beschreiben? Die Regressionsgerade mit y = â + b̂ ∗ x
Beispiel 11 private Haushalte werden nach ihrem monatlichen Nettoeinkommen [¿ ] und ihren monatlichen Konsumausgaben [¿ ] befragt:
Haushalt i Nettoeinkommen xi Konsum yi
1
1780
1600
2
1480
1480
3
1540
1500
4
2070
1750
5
3390
2300
6
1900
1750
7
4220
2750
8
2800
2050
9
2700
1850
10
3990
2500
11
4600
3000
Die Regressionskoeffizienten â undb̂ werden nach der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ) bestimmt.
a, b :
n
X
(yi − a − b ∗ xi ) → M in
i=1
Also muss hier nun die Ableitung gebildet werden. 1. Ableitung:
X
δ X
(yi − a − bxi )2 = 2
(yi − a − bxi )
δa
37
38
X
δ X
(yi − a − bxi )2 = −2
(yi − a − bxi ) ∗ xi
δb
Null setzen:
(1)
(2)
X
X
(yi − a − bxi ) =
X
(xi ∗ gi − a ∗ xi − b ∗ x2i ) =
yi − n + a − b ∗
X
xi ∗ yi − a
X
X
xi = 0
xi − b
X
x2i = 0
Die Lösung der Gleichung liefert extremwertverdächtige Punkte. Mit n1 multiplizieren:
1X
1X
(1)
yi − a − b
xi = ȳ − a − b ∗ x̄
n
n
1X
1X
1X 2
1X
1X 2
(2)
xi ∗ yi − a
xi − b
xi =
xi ∗ yi − a ∗ x̄ − b ∗
xi = 0
n
n
n
n
n
(1) in (2) nach a umgeformt einsetzen:
1X
1X 2
xi ∗ yi − (ȳ − b ∗ x̄ − b ∗
xi = 0
n
n
1X
1X 2
xi yi − x̄ ∗ ȳ = b ∗ (
xi − x̄2 )
n
n
P
P
1
xi ∗ yi − x̄ ∗ ȳ
x ∗ y − n ∗ x̄ ∗ ȳ
n
P 2i
P 2
b=
=
1
2
xi − n ∗ x̄2
xi − x̄
n
Optimale Regressionskoeffizienten:
P
1
xi ∗ yi − n ∗ x̄ ∗ ȳ]
n−1 [
P 2
=
b̂ =
1
[
xi − n ∗ x̄2 ]
n−1
b̂ = rxy ∗
1
n−1
P
(xi − x̄) ∗ (yi − ȳ)
P
1
(xi − x̄)2
n−1
sy
sx
â = ȳ − b̂ ∗ x̄
TU-Ilmenau: Statistik
(6.1)
39
In unserem Beispiel:
x̄ = 2770, 00 ; sx = 1128, 450 ; r = 0, 988 ; ȳ = 2048, 18 ; sy = 520, 323
b̂ = 0.988 ∗
520, 323
≈ 0, 456
1128, 45
â = 2048, 18 − 0, 456 ∗ 2770 ≈ 786, 3
Als Regressionsgerade ergibt sich somit:
y = 0, 456 ∗ x + 786, 3
Interpretation: Bei Erhöhung der Nettoeinkünfte um ¿ 100 werden im Mittel
¿ 45,60 mehr für Konsum ausgegeben. Vorsicht bei Interpretationen außerhalb
des Wertebereichs: Bei ¿ 0 Einkunft sind im Mittel ¿ 786,3 für Konsum ausgegeben worden???
6.2
Curvilineare Regression
Wortbedeutung: Nichtlineare Regressionsansätze, die sich mittels Transformation auf lineare Ansätze zurückfhren lassen.
Beispiel Ein Thüringer Getränkehändler verändert alle 3 Wochen systematisch den Preis von Köstritzer Schwarzbier, um die Auswirkungen auf den Absatz zu ergründen.
xi Preis [¿ /Stück] yi Absatz [Stück]
ln xi
ln yi
0,57
2140
-0,562 7,669
0,54
2400
-0,616 7,783
0,47
4120
-0,755 8,324
0,59
1980
-0,528 7,591
0,49
3060
-0,713 8,026
Zur Anpassung soll eine Absatzfunktion mit konstanter Preiselastizität benutzt
werden.
x: Preis ; y: Absatz
ε=
dy
y
dx
x
=
dy
dx
y
x
= const = b
x
y
y
y0 = b ∗
x
b = y0 ∗
Diese Differenzialgleichung hat die Lösung: y = a ∗ xb . Welche Parameter a und
b passen die Funktion optimal an und welcher 3 Wochen Absatz ist bei einem
Preis von ¿ 0,52/Flasche zu erwarten ?
TU-Ilmenau: Statistik
40
Der Ansatz y = a ∗ xb ist nicht linear in a und b. Durch Logarithmieren ergibt sich: ln y = ln a + b ∗ ln x. Die lineare Regression für die Punkte (ln xi ; ln yi )
liefert:
b̂ = −2, 999;lnˆa = 5, 975 ⇒ â = e5,975 = 393, 4 Daraus folgt für die Regressionsfunktion: y = 393, 4 ∗ x2,999 Optimale Werte wären: b̂ = −3, 144; â = 3292,
diese erreichen wir auf diese Weise nicht, da wir nur nähern. Das Verfahren ist
damit nach MKQ nicht optimal.
2796 Flaschen Absatz sind zu erwarten.
6.2.1
Weitere Beispiele für linear transformierbare Ansätze
Exponentialfunktion: y = a ∗ ebx → ln y = ln a + b ∗ x
x
Törnquist-Funktion (Sättigungsfunktion): y = a+b∗x
→ y1 = a ∗ x1 + b
1
1
−x
Logistische Funktion: y = a+b∗e
−x → y = a + b ∗ e
Zur Beurteilung der Güte der Anpassung kann man die Stichprobenreststreuung benutzen.
1 X
σ̂ 2 =
(yi − ŷi )2
n−2
Dabei ist ŷi der Wert der Regressionsfunktion an der Stelle xi . Je kleiner σ̂ 2
desto besser die Anpassung.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 7
Wahrscheinlichkeitsrechnung
7.1
Zufällige Ereignisse
Zufälliger Versuch: Versuch (in einem sehr weiten Sinne), der unter gleichen
äußeren Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist (zumindest gedanklich), und
dessen Ausgang im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiss ist.
Beispiele:
1. Werfen einer Münze
2. Messen einer Länge [cm]
3. Bestimmung der Anzahl der Patienten in einem Wartezimmer
4. Zufällige Auswahl einer Person und Befragung nach ihrem Alter [Jahre]
Ergebnismenge: Menge aller möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Ausgänge
eines zufälligen Versuches. Bezeichnung: Ω.
1. Ω = { Zahl, Wappen}
2. Ω = (0, ∞)
3. Ω = { 0, 1, 2, . . . , 17}
4. Ω = { 2, 3, . . . , 111}
Die Elemente von Ω heißen Ergebnisse. Die Teilmengen von Ω heißen zufällige
Ereignisse. Die einelementige Teilmengen {ω} von Ω nennt man Elementarereignisse.
1. A={W appen} ist das Ereignis mit der Münze Wappen zu werfen.
2. B = [12, ∞) ist das zufällige Ereigniss, Längen von über 12 [Maßeinheit]
zu messen.
3. C = {0, 1, 2, 3} ist das zufällige Ereignis, dass sich im Wartezimmer nicht
mehr als 3 Patienten befinden.
4. D = {20} ist das Ereignis das die ausgewählte Person 20 Jahre alt ist.
41
42
Gegeben seien zufällige Ereignisse A, B, C ⊂ Ω. Die Darstellung erfolgt in
Venn Diagrammen. Wenn das Elementarereignis ω1 realisiert wird, dann tritt
A ein. Wennn das Elementarereignis ω2 realisietr wird, tritt A nicht ein. Einen
zufälligen Versuch durchzuführen heißt ein Ergebnis ω ∈ Ω zufällig auszuwählen
(zu realisieren).
7.1.1
Beziehungen zwischen Ereignissen und Operationen
mit Ereignissen
C := A ∪ B “oder”
TU-Ilmenau: Statistik
43
C := A ∩ B “und”
Ω heißt sicheres Ereignis, ∅ heißt unmögliches Ereignis.
Ā = Ω\A “nicht A”
TU-Ilmenau: Statistik
44
A ⊂ B “A zieht B nach sich”
A ∩ B = ∅ “miteinander unvereinbar”
7.2
Wahrscheinlichkeit
Definition (Kolmogorov, 1933): Eine Funktion P, die jedem Ereignis eine reelle Zahl zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie folgenden Axiomen
genügt:
ˆ (A1 ): P (A) ≥ 0 für alle A ⊂ Ω
ˆ (A2 ): P (Ω) = 1
P
ˆ (A3 ): P (∪Ai ) =
P (Ai ), wenn Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j (wenigstens eins
der Ereignisse tritt ein.
Sprechweise: P (A) nennt man Wahrscheinlichkeit von A.
TU-Ilmenau: Statistik
45
7.2.1
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
(1)
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(2)
P (Ā) = 1 − P (A)
(3)
P (∅) = 0
(4) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
(5) 0 ≤ P (A) ≤ 1∀A ⊂ Ω
(6) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
(7)
P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
Spezialfall: klassische Wahrscheinlichkeit (LaPlace, 1812)
Ω bestehe aus n Elementen die alle gleich wahrscheinlich sind. P ({ω}) =
Anz.ElementeA
alle ω ∈ Ω. Dann gilt: P (A) = n1 + n1 + . . . + n1 = m
n = Anz.ElementeΩ .
1
n
für
Beispiel :
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 3 Würfeln mit einem Würfel mindestens
Sechs zu würfeln (Start bei Mensch ärgere dich nicht). A . . . mindestens eine
Sechs. Ā . . . keine Sechs. Ω = {(e1 , e2 , e3 )|ei ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. ei . . . Ergebnis
des i-ten Wurfes.
Ω hat 63 Elemente.
Ā hat 53 Elemente.
3
⇒ P (A) = 1 − P (Ā) = 1 − 653 ≈ 0, 42
7.3
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallsgröße: Funktion Ω → R
Modellvorstellung: Im Rahmen einens zufälligen Versuches wird “durch Zufall”
ein sogenanntes Ergebnis aus Ω gewählt. Die Realisierung x = X(ω) von X ist
als Versuchsergebnis beobachtbar.
Beispiel :
Ω sei zerlegbar in B und B̄. Ω = B ∪ B̄, B ∩ B̄ = ∅
ω ∈ B . . . “gut”
ω ∈ B̄ . . . “schlecht”
Zufallsgröße
½
1 , wenn ω ∈ B
X(ω) :=
0 , wenn ω ∈ B̄
Zweipunkt-Verteilung: P (x = 1) := P (B), P (x = 0) := 1 − P (B)
TU-Ilmenau: Statistik
46
diskrete Zufallsgröße :
Der Werteberiech von X ist eine
endliche oder abzählbar unendliche Menge (meist ganze Zahlen).
Beispiele: Anzahl der Fadenbrüche in einer Webmaschiene,
Anzahl der Kunden, Länge einer
Warteschlange [in Personen].
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
X ist bekannt wenn man:
Zu jedem Wert, den X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit kennt, mit der er angenommen wird. pi = P (X = xi ).
7.4
stetige Zufallsgröße :
Der Wertebereich von X ist die
Menge der reellen Zahlen oder
ein Intervall.
Beispiele: Füllmenge
einer
Milchflasche, Wartezeit bei . . .,
Länge eines Werkstücks.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X
ist bekannt wenn man: Von
jedem Intervall weiß, wie groß
die Wahrscheinlichkeit ist, dass
X Werte in diesem Intervall annnimmt. P (X ∈ I)
Diskrete Verteilungen
x1 , x2 , . . . Werte, die die Zufalssgröße X annehmen kann.
p1 , p2 , . . . Wahrscheinlichkeit,
P mit denen X den Wert xi annimmt.
Es muß gelten: 0 ≤ pi ≤ 1; pi = 1
Beschreibungsmöglichkeiten :
ˆ Tabelle, z.B.:
xi
pi
0
1
2
3
1
3
ˆ Formel, z.B.: P (X = k) = (1 − p) ∗ pk
(k = 0, 1, 2) für ein p ∈ (0, 1) (“geometrische Verteilung”)
ˆ Diagramm z.B.:
TU-Ilmenau: Statistik
47
7.5
Stetige Verteilungen
Für jeden Einzelwert x gilt P (X = x) = 0. Angabe der Verteilungen
durch eine
R∞
Verteilungsdichte f |R → R+ Es muss gelten: f (x) ≥ 0 und −∞ f (x)dx = 1
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten :
x1 : Untergrenze des Intervalls dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll.
x2 : Obergrenze des Intervalls dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll.
Z x2
P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = P (x1 < X < x2 ) =
f (x)dx
x1
Z
x
P (X < x) =
f (s)ds = F (x)
−∞
F (x): Verteilungsfunktion. Es gilt: f (x) =
d
dx F (x)
TU-Ilmenau: Statistik
48
Beispiel
: Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0
½
−λx
für x > 0
f (x) = λe
0
für x < 0
TU-Ilmenau: Statistik
49
7.6
Parameter von Verteilungen
X sei eine Zufallsgröße, die stetig verteilt ist.
Mit der Dichte f . Der Erwartungswert ist:
Z ∞
EX =
x ∗ f (x)dx
X sei eine Zufallsgröße, die diskret verteilt ist.
Auf dem Punkte x1 , x2 , . . . mit
den Einzelwerten P (X = xi ) =
pi . Der Erwartungswert ist:
X
EX =
xi ∗ pi
−∞
Interpretation:
Mittelpunkt,
Schwerpunkt.
Varianz=Streuung:
X
D2 X =
((xi − EX)2 ∗ pi )
Interpretation:
Mittelpunkt,
Schwerpunkt.
Varainz=Streuung:
Z ∞
2
(x − EX)2 ∗ f (x)dx
D X=
Interpretation: Mittlere Quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
Standardabweichung:
√
DX = D2 X
Interpretation: Mittlere Quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
Standardabweichung:
√
DX = D2 X
Wurzel aus der Standardabweichung.
Bemerkungen
Wurzel aus der Standardabweichung.
−∞
1. EX und D2 X müssen nicht existieren.
2. Es sei g|R → R eine stetige Funktion. Dann ist g(x) eine Zufallsgröße, und
es gilt:
P
ˆ diskret: Eg (x) =
g(xi ) ∗ pi
R∞
ˆ stetig: Eg (x) = −∞ g(x) ∗ f (x)dx
R∞
3. Es gilt: D2 X = E(x − EX)2 = E(X 2 ) − (EX)2 mit E = −∞ x2 ∗ f (x)dx
4. Es gilt: E(x1 + x2 + . . . + xn ) = Ex1 + Ex2 + . . . + Exn
5. Es gilt: D2 (x1 + x2 + . . . + xn ) = D2 x1 + D2 x2 + . . . + D2 xn Wenn die
Zufallsgrößen x1 , x2 , . . . , xn voneinander unabhängig sind.
7.6.1
Weitere Parameter
Schiefe: (wenn symmetrisch, dann S = 0)
S=
Exzess:
W =
E(x − EX)3
(DX)3
E(x − EX)4
−3
(DX)4
(−3 < W < ∞)
TU-Ilmenau: Statistik
50
7.7
7.7.1
Spezielle diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
Mit den Parametern n und p. (n ∈ N, 0 < p < 1)
µ ¶
n
P (X = k) =
∗ pk ∗ (1 − p)n−k
k
EX = n ∗ p;
X
(k = 0, 1, . . . , n)
(7.1)
D2 X = n ∗ p ∗ (1 − p)
P (X = k) = 1
Entstehung: Bernoulli-Schema
In einem Versuch kann ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p = P (A)
eintreten. Der Versuch wird insgesamt n-mal unabhängig voneinander durchgeführt. X bezeichne die Anzahl des Eintretens von A in den n Versuchen. Man
kann zeigen, dass X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist.
Beispiel :
10 Hühnereier liegen im Brutkasten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass
mindestens 3 Hähnchen das Licht der Welt erblicken?
X . . . Anzahl der Hähnchen unter den 10 Kücken.
X . . . ist binomial verteilt mit n = 10 und p = 0, 5.
Gesucht wird P (X ≥ 3)
P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + . . . + P (X = 10)
= 1 − P (X < 3) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2)
µ ¶
µ ¶
µ ¶
10
10
10
0
10
1
9
=1−
∗ 0, 5 ∗ 0, 5 −
∗ 0, 5 ∗ 0, 5 −
∗ 0, 52 ∗ 0, 58
0
1
2
µµ ¶ µ ¶ µ ¶¶
10
10
10
1 + 10 + 45
56
10
= 1 − 0, 5
+
+
=1−
=1−
≈ 0, 945
0
1
2
1024
1024
7.7.2
Hypergeometrische Verteilung
Mit den Parametern N ,M , und m.Entspricht dem Ziehen aus einer Urne ohne
zurücklegen. (n, N, M ∈ N ; n ≤ N ; M ≤ N ) .
¡M ¢ ¡N −M ¢
∗
P (X = k) = k ¡N ¢n−k
(7.2)
n
(max(0, n + M − N ) ≤ k ≤ min(N, n))
EX = n ∗
M
N
;
D2 X = n ∗
M
M
N −n
∗ (1 −
)∗(
)
N
N
N −1
Entstehung: In einer Kiste sin N Teile, davon M defekte. Aus der Kiste werden n Teile zufällig entnommen (ohne zurücklegen). X bezeichne die zufällig
Anzahl defekter Teile in der Stichprobe (unter n). Man kann zeigen, daß X
hypergeometrisch verteilt ist.
TU-Ilmenau: Statistik
51
Beispiel :
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im Lotto “6 aus 49” mit einem Tipp mindestens einen Fünfer zu gewinnen?
N = 49; n = 6 Gewinnzahlen durch ziehen; M = 6 angekreuzte Zahlen.
X . . . Anzahl der angekreuzten Gewinnzahlen, hypergeometrisch verteilt.
P (X ≥ 5) = P (X = 5) + P (X = 6)
¡6¢ ¡49−6¢ ¡6¢ ¡49−6¢
∗
∗
6 ∗ 43 + 1 ∗ 1
≈ 0, 00001852
= 5 ¡49¢6−5 + 6 ¡49¢6−6 =
13983816
6
6
7.7.3
Poissonverteilung
Mit dem Parameter λ > 0
λk
; (k = 0, 1, 2, . . .)
k!
EX = λ ; D2 X = λ
P (X = k) = e−λ ∗
(7.3)
Die Poissonverteilung ist die “Verteilung der kleinen Zahlen”. Sie kommt im
Grenzfalle des Bernoulli-Schemas vor: n → ∞ ; n ∗ p → λ.
7.8
7.8.1
Spezielle stetige Verteilungen
Rechteckverteilung
Gleichmäßige, stetige Verteilung auf dem Intervall [a, b]
½
1
f (x) = b−a für a ≤ x ≤ b
0
sonst
a+b
(b − a)2
; D2 X =
2
12
S = 0 ; W = −1, 2
EX =
TU-Ilmenau: Statistik
(7.4)
52
Beispiel :
Nagelfabrik produziert 80er Nägel, abgeschnitten wird von einer ca. 400m langen
Drahtrolle. 85mm lange Stücke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Stück übrig bleibt, dass länger als 54mm ist?
X . . . Länge des Restes, gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [0, 85]
Z
Z
85
85
f (x)dx =
P (X > 54) =
54
54
1
85 − 54
dx =
≈ 0, 365
85
85
Pseudo Zufallszahlen von Computerprogrammen sind meist stetig verteilt auf
dem Intervall [0; 1)
7.8.2
Normalverteilung
Mit den Parametern µ und σ 2 (−∞ < µ < ∞
f (x) = √
1
2∗π∗
σ2
∗e
;
σ 2 > 0).
−(x−µ)
2∗σ 2
Bezeichnung: X ∼ N (µ, σ 2 )
Es gilt:
EX = µ
;
D2 X = σ2
;
S=0
;
W =0
µ ist die x-Koordinate des Maximums, σ die Strecke ∆x vom Maximum bis zum
Wendepunkt. Vertafelt ist die Verteilungsfunktion,
Z
x
ϕ(t)dt
Φ(x) =
−∞
(F (x) = P (X ≤ x))
der standardisierten Normalverteilung
(N (0; 1)) : ϕ(t) = √
t2
1
∗ e− 2
2∗π
da die Stammfunktion der Normalverteilung nicht eindeutig bestimmbar ist,
daher muss man dei Spezialfälle auf den allgemeinen zurückführen.
TU-Ilmenau: Statistik
53
7.9
Grenzwertsätze
X1 , X2 , X3 . . . sei eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen, die alle dieselbe Verteilung besitzen. µ = EXi ; σ 2 = D2 Xi
Gesetz der großen Zahlen: Es gilt mit Wahrscheinlichkeit 1:
lim
n→∞
X1 + X2 + . . . + Xn
=µ
n
Beispiel : Münzwurf
½
1 , wenn im i-ten Wurf Zahl oben ist
xi =
0 , wenn im i-ten Wurf Wappen oben ist
1
1
+ 0 ∗ = 0, 5
2
2
X1 + X2 + . . . + Xn
AnzahlW appen −→
h(A) =
=
0, 5
n
AnzahlW uerf e n → ∞
EXi = 1 ∗
7.9.1
Zentraler Grenzwertsatz
Die Verteilung von:
X1 + X2 + . . . + Xn − n ∗ µ
√
n
konvergiert gegen die N (0, σ 2 )-Verteilung. Der ZGWS ist die theoretische Begründung für das häufige Auftreten von Normalverteilung.
TU-Ilmenau: Statistik
Teil II
Schliessende Statistik
55
Kapitel 8
Grundbegriffe der schl.
Stat.
Schluß von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit. Einbettung der Statistik
in die Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Wahrscheinlichkeitstheoretoscher Begriff Statistischer Begriff
Ergebnismenge Ω
Grundgesamtheit
Definition:
Zufallsgröße X | Ω → <
Merkmal X
Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . , Xn
Stichprobe
Unter einer mathematischen Stichprobe zu dem Merkmal X versteht man n unabhängige identisch wie X verteilte Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . , Xn . Jede Realisierung x1 , x2 , . . . , xn der mathematischen Stichprobe ist eine konkrete Stichprobe
ω∈Ω
Xi (ω) = xi
Mathematische Stichprobe
X1 , X2 , . . . , Xn
Theorie
Konkrete Stichprobe
x1 , x2 , . . . , xn
praktische Durchführung
Aufgabe der Statistik Die Verteilung P x des Merkmals X sei ganz oder
teilweise unbekannt. Es gilt, aus der Stichprobe Kenntnisse über P x zu gewinnen.
2 Hauptmethoden
ˆ Schätzen von unbekannten Parametern, Wahrscheinlichkeiten, Dichtefunktionen
ˆ Testen von Hypothesen über die unbekannte Verteilung
Beispiel In einem Wald wurde stichprobenartig ermittelt, das 39,4% aller
Bäume geschädigt sind. Kann es sein, dass der Anteil geschädigter Bäume
in Wirklichkeit bei 42% liegt? Drei Jahre vorher hatte eine Stichprobe einen
Schädigungsgrad von 37,7% ergeben. Ist der jetzt erkennbare Zuwachs signifikant?
57
Kapitel 9
Wichtige
Stichprobenfunktionen
Es seien X ein Merkmal mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 und
X1 , X2 , X3 , . . . , Xn ⇒ EX1 = EX2 = EX3 = . . . = EXn
E(X1 + . . . + Xn ) = EX1 + . . . EXn = n ∗ µ
D 2 X1 = D 2 X2 = . . . = D 2 Xn = n ∗ σ 2
9.1
Das Stichprobenmittel
n
X̄ =
1X
Xi
n i=1
(9.1)
X̄ ist eine Zufallsgröße. Es gilt:
E X̄ =
1
1
E(X1 + . . . + Xn ) = ∗ n ∗ µ
n
n
1 2
1
σ 2 −−−−→
D (X1 + . . . + Xn ) = 2 ∗ n ∗ σ 2 =
n → ∞0
2
n
n
n
−−∞µ
→ Anwendung: Falls der
Wegen dem Gesetz der großen Zahlen: X̄ −
n−→
Pn
Mittelwert des Merkmals X nicht bekannt ist, kann er durch x̄ = n1 i=1 xi
geschätzt werden. Diese Schätzung ist umso besser, je größer der Stichprobenumfang ist.
D2 X̄ =
9.2
Die Stichprobenvarianz
n
S2 =
1 X
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
S 2 ist zufällig. Es gilt:
ES 2 = σ 2 , D2 (S 2 ) → 0, S 2 → σ 2 (n → ∞)
59
(9.2)
60
Anwendung:
n
1 X
S =
(xi − x̄)2
n − 1 i=1
2
ist gut als Schätzung für σ 2 geeignet, wenn σ 2 und µ unbekannt sind.
9.3
Die Verteilungen von X̄ und S 2 für normalverteiltes Merkmal
2 neue Verteilungen die zu den sogenannten Prüfverteilungen gehören.
Definition:
1. Eine stetige Verteilung mit der Dichte
g(x) = c1 ∗ (1 +
X 2 − t+1
) 2
f
(−∞ < X < ∞)
nennt man t-Verteilung mit f Freiheitsgraden f = 1, 2, . . .
2. Eine stetige Verteilung mit der Dichte
½
f
x
2 −1 ∗ e− 2
g(x) = c2 ∗ x
0
für x > 0
für x ≤ 0
heißt χ2 -Verteilung mit f Freiheitsgraden (f = 1, 2, . . .). Die Konstanten
c1 und c2 hängen von f ab.
Bemerkungen zur t-Verteilung: Die t-Verteilung ist symmetrisch bezüglich
der Null. Mit f → ∞ nähert sich die t-Verteilung der N (0, 1) Verteilung. Es
f
gilt: ETf = 0 für f ≥ 2 und D2 Tf = f −2
für f ≥ 3
2
2
Bemerkungen zur χ -Verteilung: EXf = f ; D2 χ2f = 2 + f ; M ed(χf ) = f − 2
für f ≥ 3
n
1X
X̄ =
Xi
n i=1
S2 =
Satz
1 X
n(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
Es sei X ∼ N (µ; σ 2 ). Dann gilt:
1. Z =
X̄−µ
σ
2. T =
X̄−µ √
n
S
3. χ2 =
ist N (0; 1) verteilt.
ist t-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.
(n−1)∗S 2
σ2
ist χ2 -verteilt.
TU-Ilmenau: Statistik
61
X
i=1
2
n(
Xi − µ 2
)
σ
2
ist χ -verteilt mit Xi ∼ N (µ; σ ) und n Freiheitsgraden.
χ2 =
n
X
X1 − X̄ 2
(
)
σ
i=1
ist χ2 -verteil mit n − 1 Freiheitsgraden.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 10
Punktschätzungen
Merkmal X. Verteilung P x von X hänge ab von einem Parameter ϑ ∈ Θ, dessen
wahrer Wert unbekannt ist (Θ = nicht leere Parametermenge)
10.1
Definition und Beispiele
cn = Tn (X1 , X2 , . . . , Xn )
Eine Punktschätzung für ϑ ist eine Stichprobenfunktion ϑ
mit Werten in Θ
Bemerkung Für die Parametermenge Θ gilt häufig:
Θ ⊂ R → ein unbekannter Parameter ϑ ∈ R
Θ ∈ Rk → k unbekannte Parameter.


ϑ1


ϑ =  ... 
ϑk
Beispiele für Punktschätzungen
ˆ µ̂ = X̄ ist eine Punktschätzung für µ = EX
ˆ S 2 ist eine Punktschätzung für σ 2 = D2 X
Θ=R
Θ = [0, ∞)
ˆ Das Merkmal X sei rechtecksverteilt im Intervall [0; b] wobei die obere
Grenze b ∈ (0, ∞) unbekannt ist. Dann ist b̂ = max(X1 , X2 , . . . , Xn ) eine
Punktschätzung für b.
Pn
ˆ Das empirische Zentralmoment l-ter Ordnung: MZen;l = n1 i=1 (Xi − X)l
ist eine Punktschätzung für das l-te Zentralmoment von X.
µZen,l = E(X − EX)l l = 2, 3, 4.
10.2
Wünschenswerte Eigenschaften
cn = ϑ∀n (im Mittel schätzt ϑ
cn richtig)
ˆ Erwartungstreue: E ϑ
63
64
−−∞ϑ
→ (schätzt im Mittel asymcn −
ˆ Asymptotische Erwartungstreue: E ϑ
n−→
ptotisch richtig)
−−∞ϑ
→ (ϑ
cn −
cn nähert sich mit wachsendem Stichproben Umˆ Konsistenz: ϑ
n−→
fang n dem wahren Wert)
cn hat von allen Erwartungstreuen Punktschätzungen für ϑ die
ˆ Effizienz: ϑ
cn ist der beste Schätzer für ϑ
kleinste Varianz. ϑ
Bemerkung
cn → 0
ist Dl ϑ
Hinreichend für die Konsistenz einer erwartungstreuen Punktschätzung
Beispiele
ˆ E X̄ = µ
;
b ist erwartungstreu und konsistent für µ
X̄ → µ ⇒ µ
b=X
c2 = S 2 ist eine erwartungstreue und konsiˆ ES 2 = σ 2 ; S 2 → σ 2 ⇒ σ
√
2
stente Punktschätzung für σ . Bemerkung: S 2 ist im allgemeinen nicht
erwartungstreu für σ
ˆ X sei gleichmäßig stetig verteilt auf [0; b]. Der Schätzer bb = max(X1 , X2 , . . . , Xn )
n
hat den Erwartungswert Ebb = n+1
∗ b. b ist nicht erwartungstreu. bb ist
asymptotisch erwartungstreu und konsistent
Pn
ˆ Das empirische Zentralmoment n1 i=1 (Xi − X̄)l ist nur asymptotisch
Erwartungstreu
, Speziell l = 2
P für MZen,l
2
MZen,2 = n1 (X
−
X̄)
ist
nicht Erwartungstreu für MZen,2 = σ 2
i
P
1
2
2
aber S = n−1 (Xi − X̄) ist Erwartungstreu für σ 2
Bemerkung Ob empirische Momente effektive Schätzer sind für die entsprechenden Momente hängt vom Verteilungstyp des Merkmals ab. So
lässt sich zeigen, daß bei normalverteilten Merkmal X das empirische Mittel X̄ effizient für µ ist
ˆ hn (A) sei die relative Häufigkeit eines Ereignisses A in n Versuchen.
½
1, wenn A im i-ten Versuch eintritt
Xi =
0, wenn A im i-ten Versuch nicht eintritt
Die Versuche werden unabhängig voneinander unter gleichen äußeren Bedingungen wiederholt.
hn (A) =
Ehn (A) =
D2 hn (A) =
Anz. des Eintretens
X1 + X2 + . . . + Xn
=
n
Anz. aller V ersuche
1
1
E(X1 + X2 + . . . + Xn ) = ∗ n ∗ p = p = P (A)
n
n
1 2
1
p(1 − p)
D (X1 +X2 +. . .+Xn ) = 2 ∗n∗p∗(1−p) =
→0
p2
n
n
Wobei (X1 + X2 + . . . + Xn ) binomial verteilt mit p = P (A) und n.
TU-Ilmenau: Statistik
65
Also: Die relative Häufigkeit von A ist eine Erwartungstreue und konsistente Punktschätzung für die Wahrscheinlichkeit von A. Man kann zeigen:
hn (A) ist auch effizient für P (A).
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 11
Bereichsschätzungen
(Konfidenzintervall, Vertrauensbereich)
11.1
Definitionen
Die Verteilung des Merkmals X hängt von einem Parameter ϑ ab, dessen wahrer
Wert unbekannt ist.
Beispiel: Abweichugen vom Sollmaß (in µm) bei Werkstücken.
X ∼ N (µ, σ 2 ) wird vorausgesetzt. Stichprobe vom Umfang n = 20 aus der laufenden Produktion:
3 2 -1 -2 0 1 2 -1 0 0 0 0 -4 3 1 -2 -1 -3 4
Punktschätzungen:
P20
1
für µ: x̄ = 20
x = 0, 15
q 1 Pi
n
1
für σ: s = n−1 i=1 (xi − x̄)3 = 2, 06
Die Teile werden mit einem systematischen Fehler von 0, 15µm produziert und
die Abweichungen vom Sollmaß streuen mit einer empirischen Standardabweichung von 2, 06µm um den Mittelwert 0, 15µm. Der tatsächliche Mittelwert
µ = EX des Merkmals X bleibt unbekannt. Kann man Grenzen angeben, innerhalb derer der wahre Wert von µ liegt? Ja → Konfidenzintervall. Aber: Das
Konfidenzintervall kann falsch sein. Die Wahrscheinlichkeit α für diesen Irrtum
kann man (klein) vorgeben: 1 − α =Konfidenzeniveau=Statistische Sicherheit.
Definition: Ein Intervall KIϑ = (Gu, Go), dessen Grenzen Gu(X1 , X2 , . . . , Xn )
und Go(X1 , X2 , . . . , Xn ) Stichprobenfunktionen sind, heißt Konfidenzintervall
für ϑ zum Konfidenzniveau 1 − α, wenn P (Gu < ϑ < Go) = 1 − α für den
wahren Wert von ϑ und P (Gu < ϑ0 < Go) ≤ 1 − α für jeden anderen Wert ϑ0 .
Mit anderen Worten: Der wahre Wert wird mit einer Wahrscheinlichkeit
von 1 − α überdeckt, ein falscher mit einer Wahrscheinlichkeit, die nicht größer
ist als 1 − α
α = 0, 05
normale Sicherheit
hohe Sicherheit
Für α benutzt man Standardwerte: α = 0, 01
α = 0, 001 sehr hohe Sicherheit
67
1
68
11.2
Quantile von Prüfverteilungen
Prüfverteilungen: Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Durchführung von Hypothesenprüfungen oder zur Berechnung vom Konfidenzintervall.
11.2.1
Standardnormalverteilung
Normalverteilung mit µ = EX = 0 und D2 X = σ 2 = 1. N (0, 1)-Dichte.
x2
1
ϕ(x) = √ e− 2
2π
(−∞ < x < ∞)
Zα = P (Z ≤ Zα ) = α
Z0,5 =Median
Z0,25 , Z0,75 =Quartile
α
0, 95
Die Quantile sind vertafelt: 0, 975
0, 99
0, 995
Zα
1, 645
1, 96 Es gilt:
2, 326
2, 576
Z1−α = −Zα
TU-Ilmenau: Statistik
69
11.2.2
t-Verteilung
Es gilt:
tf ;1−α = −tf ;α
tf ;α Quantile der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden der Ordnung α. Die Quantile sind vertafelt, fehlende Freiheitsgrade sind linear zu interpolieren. Es gilt:
lim tf = Zα
f →∞
TU-Ilmenau: Statistik
70
11.2.3
χ2 -Verteilung
Quantile der χ2 -Verteilung mit f Freiheitsgraden. Die Quantile sind bis f = 30
vertafelt. Für f > 30 gibt es eine gute Näherungsformel:
µ
χ2f ;α ≈ f
1−
2
+ Zα
9f
r
2
9f
TU-Ilmenau: Statistik
¶3
(11.1)
71
11.3
Konfidenzintervalle für die Parameter eines normalverteilten Merkmals
Es sei X ∼ N (µ; σ 2 ) wobei µ = EX und σ 2 = D2 X unbekannt sein sollen.
11.3.1
Konfidenzintervall für µ
µ
¶
S
S
α
α
KIµ = X̄ − √ ∗ tn−1;1− 2 ; X̄ + √ ∗ tn−1;1− 2
n
n
Herleitung:
T =
X̄ − µ √
n
S
ist t-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden (vgl. Satz aus Kapitel 2.3)
P
µ
¶
X̄ − µ √
−tn−1; α2 <
n < tn−1;1− α2 = 1 − α
S
¶
µ
S
S
α
α
P − √ tn−1;1− 2 < X̄ − µ < √ tn−1;1− 2 =
n
n
¶
µ
S
S
P −X̄ − √ tn−1;1− α2 < −µ < −X̄ + √ tn−1;1− α2 =
n
n
P
µ
¶
S
S
X̄ − √ tn−1;1− α2 < µ < X̄ + √ tn−1;1− α2 = 1 − α
n
n
TU-Ilmenau: Statistik
(11.2)
72
Bemerkungen
1. Der Zufall steckt in den Grenzen des Konfidenzintervalles. Deswegen diese
Formulierung: “Das Konfidenzintervall überdeckt den unbekannten Parameter mit der Wahrscheinlichkeit 1 − α ”
2. Je größer n, desto kleiner das Konfidenzintervall
3. Je größer 1 − α, desto größer wird das Konfidenzintervall
1 − α → 1 ⇒ K 0 µ → (−∞, ∞)
Merkmal X ∼ N (µ; σ 2 ); Konfidenzniveau 1 − α.
µ
¶
S
S
α
α
√
√
KIµ = X̄ −
tn−1;1− 2 ; X̄ +
tn−1;1− 2
n
n
Beispiel: Abweichungen vom Sollmaß
95% Konfidenzintervall für µ
x̄ = 0, 15 s = 2, 06 n = 20 α = 0, 05 aus Tabelle: t19;0,975 = 2, 093
2,06
⇒ √sn tn−1;1− α2 = √
∗ 2, 093 ≈ 0, 964 (hier immer aufrunden)
20
⇒ KIµ (0, 15 − 0, 964; 0, 15 + 0, 964) = (−0, 814; 1, 114)
Mit 95% iger Wahrscheinlichkeit liegt die Mittlere Abweichung vom Sollmaß
zwischen −0, 814 und 1, 114µm
11.3.2
Konfidenzintervall für σ 2 = D2 X
Ã
KIσ2 =
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
;
χ2n−1;1− α χ2n−1; α
2
11.3.3
!
Konfidenzintervall für σ = DX
Ãs
KIσ =
(n − 1)S 2
;
χ2n−1;1− α
2
(11.3)
2
s
(n − 1)S 2
χ2n−1; α
!
(11.4)
2
Beispiel: Abweichungen vom Sollmaß
s2 = 2, 062 = 4, 24 α = 0, 10 n = 20 aus Tabelle: χ219;0,95 = 30, 1 χ219;0,05 =
10, 1
³
´
19∗4,24
KIσ2 = 19∗4,24
≈ (2, 676; 7, 976)
30,1 ; 10,1
¡√
¢
√
KIσ ≈
2, 676; 7, 976 ≈ (1, 631; 2, 824)
Die Standardabweichung des Merkmal liegt mit 90% iger Wahrscheinlichkeit
zwischen 1, 631 und 2, 824µm. Für den Fall, dass der andere Parameter bekannt
sein sollte, siehe Formelsammlung.
11.4
Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p
Eine Punktschätzung für die Wahrscheinlichkeit p = P (A) eines zufälligen Ereignisses A ist die relative Häufigkeit p̂ = hn (A). Bereichsschätzung für p:
TU-Ilmenau: Statistik
73
Ã
KIp ≈
r
p̂ − Z1− α2 ∗
p̂ ∗ (1 − p̂)
; p̂ + Z1− α2 ∗
n
r
p̂ ∗ (1 − p̂)
n
!
Die Schätzung gilt nur Näherungsweise, weil Approximationen benutzt werden. Nur benutzen, wenn gilt: n∗ p̂ > 5 und n∗(1− p̂) > 5. Damit das Konfidenzniveau sicher größer ist als 1 − α, fügt man die sogenannte Stetigkeitskorrektur
in das obige Konfidenzintervall ein:
Ã
KIp ≈
r
p̂ − Z1− α2 ∗
1
p̂ ∗ (1 − p̂)
−
; p̂ + Z1− α2 ∗
n
2n
r
1
p̂ ∗ (1 − p̂)
+
n
2n
!
Beispiel Es soll die Wahrscheinlichkeit geschätzt werden, dass ein bestimmtes
Kopiergerät innerhalb von 24 Stunden nach der Wartung kaputt geht. Dazu
werden 30 solcher Wartungsvorgänge beobachtet. In 12 Fällen ging der Kopierer
innerhalb von 24 Stunden wieder kaputt.
12
Punktschätzung: p̂ = 30
= 0, 4
Bereichsschätzung mit 1 − α = 0, 95:
n = 30 Z1− α2 = Z0,975 = 1, 96
n ∗ p̂ = 12 > 5
n ∗q(1 − p̂) = 18 > 5
q
1
1
− 60
; 0, 4 + 1, 96 ∗ 0,4∗0,6
+ 60
)
KIp = (0, 4 − 1, 96 ∗ 0,4∗0,6
30
30
= (0, 4 − 0, 192; 0, 4 + 0, 192) = (0, 208; 0, 592)
Die Wahrscheinlichkeit p für den Ausfall des Kopierers innerhalb von 24 Stunden
liegt mit 95% iger Wahrscheinlichkeit zwischen 0, 208 und 0, 592.
Ist der Bereich zu grob? Dann ist die Erhöhung des Stichprobenumfangs das
Mittel der Wahl, z.B. n = 300.
Ergebnis bei n = 300
p̂ = 0, 4 ⇒ KIp = (0, 343; 0, 457)
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 12
Signifikanztests
Im Beispiel “Abweichungen vom Sollmaß ”aus n = 20 Beobachtungen Punktschätzung
für µ = EX µ̂ = x̄ = 0, 15 [µm] Kann es sein, dass µ = 0 gilt? (also ohne systematischen Fehler produziert wird?)
12.1
Grundbegriffe der Testtheorie
Anliegen eines Tests: Überprüfen eine Annahme (=Hypothese) über die unbekannte Verteilung des Merkmals X anhand einer Stichprobe zum Merkmal X.
Die zu überprüfende Hypothese nennt man Nullhypothese H0 .
Beispiele
ˆ H0 : EX = µ0 (µ0 Vorgegebener hypothetischer Mittelwert)
ˆ H0 : Px = P0 (P0 ist eine vorgegebene hypothetische Verteilung)
ˆ H0 : X ist normalverteilt (zusammengesetzte Nullhypothese)
Der statistische Test soll Entscheidungen fällen, ob die Stichprobe mit der Nullhypothese verträglich ist. 2 Entscheidungen möglich: H0 wird abgelehnt oder
H0 wird “angenommen ”. Somit sind aber 2 Fehlentscheidungen denkbar:
1. H0 wird abgelehnt, obwohl H0 richtig ist → Fehler 1. Art
2. H0 wird angenommen, obwohl H0 falsch ist → Fehler 2. Art
Die Wahrscheinlichkeit für die Fehler sollte möglichst klein sein. Aber man
kann nicht beide Fehlerwahrscheinlichkeiten beliebig klein halten. Ausweg: Nur
die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art wird klein gehalten durch eine obere Schranke, das sogenannte Signifikanzniveau α. Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art wird
nicht begrenzt. Keine Vorgaben. Ein solcher Test heißt Signifikanztest. Konsequenz: Nur die Ablehnung von H0 ist eine signifikante Entscheidung, weil die
Irrtumswahrscheinlichkeit bekannt ist. Also: P (H0 ablehnen| H0 richtig) ≤ α.
0, 05
0, 01
0, 001
Standardwerte für α:
hoch signifikant höchst signifikant
α = 0: H0 wird niemals abgelehnt.
75
76
12.2
Paramtertests für normalverteiltes Merkmal
Voraussetzung: Merkmal X ∼ N (µ, σ 2 ),µ und σ 2 unbekannt. Gegeben: Stichprobe X1 , X2 , . . . , Xn zu X, Signifikanzniveau α
Der einfache t-Test (Mittelwerttest)
Hypothese:
H0 : µ = µ0 (µ0 vorgegebener Erwartungswert)
(12.1)
Testgröße:
T =
X̄ − µ0 √
n
S
(12.2)
Ablehnungsbereich:
K ? = (−∞; −tn−1;1− α2 ) ∪ (−tn−1;1− α2 , ∞)
(12.3)
Testentscheidung (gilt für alle Signifikanztests)
ˆ wenn T ∈ K ? , dann H0 ablehnen.
Z.B.: “Der Mittelwert von X ist signifikant von µ0 verschieden.”
ˆ Wenn T ∈
/ K ? , dann wird H0 nicht abgelehnt.
Z.B.: “Es gibt keine Einwände gegen die Annahme, dass µ0 der Mittelwert
ist.”
ˆ Abweichungen vom Sollmaß
n = 20 x̄ = 0, 15 s = 2, 06
Es soll überprüft werden mit α = 0, 05, ob es im Mittel keine Abweichungen gibt.
H0 : µ = 0
t=
t19;0,975 = 2, 093
x̄ − 0 √
0, 15 √
n=
20 ≈ 0, 33
s
2, 06
K ? = (−∞; −2, 093) ∪ (2, 093; ∞)
Keine Ablehnung von H0 . Antwort: Es kann sein, dass ohne systematischen
Fehler produziert wird.
12.2.1
Herleitung des einfachen t-Tests
1. H0 wahr ist (µ = µ0 ); dann ist T =
heitsgraden.
X̄−µ0 √
n
S
t-verteilt mit n − 1 Frei-
P (H0 ablehnen |H0 wahr) = P (T ∈ k ? |T ist vertafelt) =
TU-Ilmenau: Statistik
α α
+ =α
2
2
77
2. H0 ist falsch (also µ 6= µ0 ), dann ist T “Verschoben”t-verteilt.
P (H0 ablehnen|H0 f alsch) = P (T ∈ K ? |T ist verschoben t-verteilt) > α
Also: Die wahre Nullhypothese wird mit Wahrscheinlichkeit α (Fälschlicherweise) abgelehnt. Eine falsche Nullhypothese wird mit einer Wahrscheinlichkeit größer als α abgelehnt.
12.2.2
Der χ2 -Streuungstest
H0 : σ 2 = σ02 (σ02 vorgegebene Varianz)
(12.4)
n
(n − 1)S 2
1 X
= 2
(Xi − X̄)2
2
σ0
σ0 i=1
³
´ ³
´
K ? = 0; χ2n−1; α2 ∪ χ2n−1; α2 ; ∞
T =
(12.5)
(12.6)
Abweichungen vom Sollmaß :
s = 2, 06 n = 20 es soll mit α = 0, 05 überprüft werden, ob die Standardabweichungen der gemessenen Werte gleich 3, 0 [µm] sein kann
H0 : σ = 3
19 ∗ 2, 062
t=
≈ 8, 96
32
£
¢
¡
¢
K ? = 0; χ219;0,025 ∪ χ219;0,975 ; ∞ = [0 : 0, 891) ∪ (32, 8; ∞)
Ja.
Die meisten Parameter lassen auch sogenannte einseitige Fragestellungen zu:
H0 : µ ≤ µ0 mit K ? = (tn−1;1−α ; ∞)
(12.7)
H0 : µ ≥ µ0 mit K ? = (−∞; −tn−1;1−α )
(12.8)
2
H0 : σ ≤
σ02
?
mit K =
(χ2n−1;1−α ; ∞)
H0 : σ 2 ≥ σ02 mit K ? = [0; χ2n−1;α ]
(12.9)
(12.10)
Abweichungen vom Sollmaß Es soll nachgewiesen werden, dass die Standardabweichung signifikant kleiner als 3µm ist. (α = 0, 05)
H0 : σ ≥ 3
s = 2, 06
gibt eine Chance H0 zu verwerfen.
t=
(n − 1)s2
≈ 8, 96
σ02
K ? = [0; 10, 1)
t ∈ K ? ⇒ ablehnung von H0 Die Standardabweichung ist signifikant (α = 0, 05)
kleiner als 3µm.
TU-Ilmenau: Statistik
78
12.3
Test auf Wahrscheinlichkeit
(Test auf vorliegen eines Anteilswertes).
A zufälliges Ereignis mit P (A) = p (unbekannt).
p wird geschätzt durch p̂ = h(A) relative Häufigkeit von A in n Versuchen.
H0 : p = p0
T =
| h0 (A) − p0 |
q
(12.11)
1
− 2n
(12.12)
p0 (1−p0 )
n
K ∗ ≈ (Z1− α2 , ∞)
(12.13)
Bemerkung: T ist unter H0 nur annähernd normalverteilt. Test ist also Näherungsverfahren. Empfehlung:n − p̂ ≥ 5 und 1 − p̂ ≥ 5
Beispiel : Münze wird 250 mal geworfen, Sie zeigt dabei 140 mal Kopf und
110 mal Zahl. Ist die Münze signifikant asymmetrisch? α = 0, 05
n = 250
p0 =
1
2
h0 (A) =
t=
|
14
25
140
250
Z0,975 = 1, 96
H0 : p = 0, 5
1
− 0, 5 | − 500
q
≈ 1, 834
0,5∗0,5
250
K ? = (1, 96, ∞)
t∈
/ K ? → keine Ablehnung von H0 . Nein, das lässt sich nicht nachweisen. Führt
man den Test exakt durch, mit Quantilen der Binomialverteilung, ergibt sich
auch keine Ablehnung von H0 .
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 13
Statistische
Qualitätskontrolle
Statistische Qualitätskontrolle (Teilgebiet der Statistik mit solchen statistischen
Verfahren die zur Qualitätsprüfung benutzt werden.)
ˆ Statistische Prozesskontrolle:
Laufende Überwachung des Fertigungsprozesses, sofortiges Eingreifen möglich.
⇒Kontrollkarten
ˆ Annahmekontrolle:
Eingangs- und Endkontrolle zur Feststellung der Qualität der Erzeugnisse.⇒Stichprobenplan
13.1
Kontrollkarten
Laut DIN 55350 “Qualitätsregelkarte ”. Auch: ISO 7870. Diagramme der Qualitätslage und Kontrollgrenzen. USA, 1931, Stewart. Japan 18.10. Tag der Statistik. Kontrollkarten für:
ˆ Messende Prüfung
x̄-Karte, Median-Karte, s-Karte (Empirische Standardabweichung), RKarte (Spannweite)
ˆ Zählende Prüfung p-Karte (Ausschussquote), x-Karte (Absolute Häufigkeit der schlechten Teile), u-Karte (mehrere Merkmale)
13.1.1
Die x̄-Karte
X . . . ein bestimmtes Maß am Erzeugnis, das kontrolliert werden soll. Aus der
laufenden Prouktion werden zu festgelegten Zeitpunkten t1 , t2 , . . . jeweils n Teile
zufällig entnommen, gemessen und daraus das arithmetische Mittel berechnet.
n
1X
xij
ti : x̄i =
n j=1
(Messwerte der i-ten Stichprobe)
79
80
Beispiel : Wälzlager (Kugellager) vom Typ 0815
X . . . Aussendurchmesser, Sollmaß µ0 = 65, 000mm. Alle 2 Stunden werden
n = 7 Wälzlager geprüft. Ergebnisse der letzten 15 Prüfungen:
x̄1 = 65, 0010
x̄2 = 64, 9998
x̄3 = 64, 9993
x̄4 = 64, 9991
x̄5 = 64, 9987
x̄6 = 65, 0006
x̄7 = 65, 0001
x̄8 = 65, 0000
x̄9 = 64, 9998
x̄10 = 64, 9995
x̄11 = 64, 9993
x̄12 = 64, 9990
x̄13 = 64, 9991
x̄14 = 64, 9989
x̄15 = 64, 9984
Ko , Ku obere bzw. untere Kontrollgrenze = Eingreifgrenze. Sprechweise: Alle
xi liegen innerhalb der Kontrollgrenzen: “Prozess ist unter Kontrolle ”. Ein xi
verlässt die Kontrollgrenzen: “Prozess ist ausser Kontrolle ”→ Eingreifen in die
Produktion. 100% Kontrolle aller Teile.
Berechnung der Kontrollgrenzen:
σ
Ko/u = µ0 ± 3 ∗ √
n
(13.1)
µ0 . . . Sollwert
σ . . . standardabweichung des Merkmals X
n . . . Stichprobenumfang (üblich 3,5,7)
Berechnung der Warngrenzen:
σ
Wo/u = µ0 ± 2 ∗ √
n
TU-Ilmenau: Statistik
(13.2)
81
Bei überschreiten der Warngrenzen: Kein Eingreifen, Mahnung zur besonderen
Aufmerksamkeit. Zum Beispiel Wälzlager: Aus Erfahrung sei bekannt σ = 1µm.
√
Kontrollgrenzen: Ku/o = 65 ± 3 0,0001
= 65 ± 0, 0013 Warngrenzen: Wu/o =
7
√
65 ± 2 0,0001
= 65 ± 0, 0008
7
Bemerkungen:
1. Wenn X ∼ N (µ, σ 2 ) und alle Beobachtungswerte voneinander unabhängig
sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit α, die Grenzen zu überschreiten
(Fehlalarm):
Standard USA: Kontrollgrenzen: ±3 ∗ σ α = 0, 0027 Warngrenzen:±2 ∗
σ α = 0, 0455
Standard Europa: Kontrollgrenzen: ±2, 58 ∗ σ α = 0, 01 Warngrenzen:
±1, 96 ∗ σ α = 0, 05
2. Ist die technische Toleranz enger als das Intervall [µ0 − 3 ∗ σ, µ0 + 3 ∗ σ]
Ist der Prozess “nicht fähig ”
KO/U = µ0 ± 3 √σn Konfidenzintervall mit 1 − α = 0, 9973 Standardabweichung σ häufig unbekannt → Schätzen aus einem Vorlauf. Vor Anlegen der
Kontrollkarte werden k (20 . . . 30) Stichproben jeweils vom Umfang n gezogen
und daraus empirische Standardabweichungen Si (i = 1, 2, . . . , k) berechnet.
Dann Schätzung für σ :
k
s̄ =
13.1.2
1X
Si
h i=1
Die x̄/s Karte
Zweispurige Kontrollkarte. x̄-Karte und s-Karte
TU-Ilmenau: Statistik
82
S-Karte
überwacht die Standardabweichung, die vor allem nicht zu groß werden darf.
Gezeichnet werden die empirischen Standardabweichungen S1 , S2 , S3 . . .
v
u
u
Si = t
13.1.3
n
1 X
(xij x̄i )2
n − 1 j=1
(13.3)
Die p-Karte
zur Attributprüfung (gut-schlecht). Überwacht wird die Ausschussquote p. Schätzung
für p:
x
n
wobei x die Anzahl der schlechten in der Stichprobe und n der Stichprobenumfang ist. Täglich werden ni Teile kontrolliert (n ≥ 100).
p̂ =
pˆi =
xi
ni
Ausschussquote am i-ten Tag. werden über der Zeitachse (i) graphisch dargestellt. Kontrollgrenzen:
s
p0 (1 − p0 )
(13.4)
KO/U = p0 ± 3
ni
Wenn KU < 0, dann dann KU = 0. p0 Ausschussquote des ungestörten Prozesses. Häufig unbekannt: Dann schätzen aus einem Vorlauf von K = 20 . . . 30
Tagen
k
1X
p̄ =
pˆi
k i=1
Beispiel:
Rote Luftballons
Täglich 20000 Stück. Aus einem Vorlauf ist bekannt: Ausschusssquote =
1, 4% Aus 10 Tagen werden Stichproben vom Umfang ni zufällig entnommen
und die defekten Ballons gezählt.
i
ni
xi
pˆi
Ku
Ko
1 120 0 0,0000
0
0,0462
0
0,0462
2 120 1 0,0083
3 135 1 0,0074
0
0,0443
0
0,0462
4 120 2 0,0167
5 100 2 0,0200
0
0,0492
0
0,0464
6 118 3 0,0254
7 120 4 0,0333
0
0,0462
0
0,0462
8 120 3 0,0250
9 119 5 0,0420
0
0,0463
0
0,0462
10 120 6 0,0500
TU-Ilmenau: Statistik
83
In die Grafik dann schön p0 eintragen über die Tage, dann Ober- und Untergerenze, dann die tatsächlichen Werte und schon gehts ab. Beim Überschreiten
von Ko : Eingreifen! Beim Unterschreiten von Ku : Unsachlichkeit?
13.2
Stichprobenpläne
Wareneingangs- oder -ausgangskontrolle. Losen, Posten aus N Teilen. n Teile
werden als Stichprobe zufällig entnommen und geprüft.
Gut-Schlecht-Prüfung
Prüfplan zur Attributsprüfung (DIN ISO 2859)
messende Prüfung Prüfplan zur Variablenprüfung (DIN ISO 9951)
Hier nur:
Einfacher Prüfplan zur Attribtusprüfung :
Prüfplan: (N (Losumfang),n(Stipro Umfang n ≤ N ),c (Annahme Zahl c =
0, 1, . . . , n))
Bezeichnungen :
X . . . Anzahl der Fehrlerhaften in der Stichprobe (Zufallsgröße)
M . . . Anzahl der Fehlerhaften im Los (unbekannt)
p= M
N . . . Ausschussquote des Loses (unbekannt)
Prüfentscheidung :
X ≤ c → Posten annehmen
X ≥ c+1 → Posten zurückweisen (auf Kosten des Lieferanten) (Falls c +2 dann
ist das ein mehrfacher Prüfplan)
TU-Ilmenau: Statistik
84
Die Qualität eines Prüfplanes wird vollständig beschrieben durch die Operationscharakteristik (OC - Funktion):
L(p) = P (X ≤ c | p) (0 ≤ p ≤ 1)
(13.5)
Wahrscheinlichkeit, den Posten anzunehmen, wenn p die Ausschussquote des
Postens ist.
X ist hypergeometrisch verteilt. Deshalb: L(p) =
−M
Pc (Mk )(Nn−k
)
mit p = M
N
k=0
N
(n)
13.3
Pc
k=0
hy(k | N, M, n) =
Kennwerte für OC-Funktionen
Produzentenrisiko Zu vereinbaren zwischen Produzent und Konsument ist
eine akzeptierbare Ausschussquote (AQL), die sogenannte Gutlage pP rod .
Produzentenrisiko α = P (X > c | p = pP rod ) = 1 − L(pprod ) Wahrscheinlichkeit, den Posten zurückzuweisen, obwohl er in Ordnung ist.
Konsumentenrisiko Der Abnehmer legt (für sich) eine Obergrenze für die
Ausschussquote, die sog. Schlechtlage pKons (LQ)
Konsumentenrisiko β = P (X ≤ c | p = pKons ) = L(pkons ) Wahrscheinlichkeit, die Posten anzunehmen, obwohl die Ausschussquote L im t ist (entspricht
Irrtumswahrscheinlichkeit 2. Art). Es muss gelten pprod < pkons
Indifferenzpunkt p0,5 = Prüfpunkt = Medianpunkt
p0,5 : L(p0,5 ) = 0, 5
An der Stelle des Prüfpunktes ist das Gefälle des OC annähernd maximal. Der
Prüfplan kann also Qualitätslagen rechts und links von p0,5 gut unterscheiden.
p0,5 ≈
c+
n
2
3
Steilheit Beschreibt die Trennschärfe des Stichprobenplanes. Je steiler die
OC im Prüfpunkt, desto besser werden gute und schlechte Qualitätslagen unterschieden. Steilheit hängt von n ab.
n → ∞ ⇒ ideale OC
Durchschlupf Ausschussquote der durch die Prüfung gekommenen Teile. Nach
DIN sind zurückgewiesene Lose einer 100% Prüfung zu unterziehen und fehlerhafte Teile durch fehlerfreie zu ersetzen.
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P (A) = P (A | B) ∗ P (B) + P (A | B̄) ∗ P (B̄)
D(p) = p ∗ L(p) + 0 ∗ (1 − L(p)) = p ∗ L(p)
p = Ausschussquote des angenommenen Loses,
L(p) = Wahrscheinlichkeit, das Los anzunehmen,
TU-Ilmenau: Statistik
85
0 = Ausschussquotes des zurückgewiesenen Loses,
1 − L(p) Wahrscheinlichkeit, das Los zurückzuweisen.
D(p) = p ∗ L(p) . . . mittlerer Durchschlupf, wenn p die Ausschussquote der
ursprünglich angelieferten Teile ist.
D(p) < p Ein (von p) unabhängiger Konsumwert des Prüfplans ist Dmax =
AOQL Da pAOQL ≈ 0, bringt der Wert AOQL keine neue Erkenntnis ≈ 0, 5∗p0,5
Weitere varianten von Prüfplänen nach DIN ISO 2859
ˆ Prüfstufen:
– normal
– reduziert: α größer, n kleiner
– verschärft: α kleine, n größer
In welcher Prüfstufe geprüft wird, hängt von der Prüfgeschichte ab. Begonnen wird stets mit normal.
ˆ Prüfniveaus
– S1 Sonderprüfniveau für teure Prüfung und somit kleine n
– S2 Sonderprüfniveau für teure Prüfung und somit kleine n
– S3 Sonderprüfniveau für teure Prüfung und somit kleine n
– S4 Sonderprüfniveau für teure Prüfung und somit kleine n
– I
– II normales Prüfniveau
– III
– IV
Prüfniveau ist zu vereinbaren zwischen Produzenten und Konsumenten.
ˆ Mehrfache Prüfpläne Annahmezahl c und Rücknahmezahl d mit c + 1 ≤ d
X ≤ c → Annahme des Postens
X ≥ d → Rückweisung des Postens
c < X < d → weitere Stichprobe ziehen
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 14
Anpassungstests
Stichprobe X1 , X2 , X3 , . . . , Xn zu Merkmal X. Verteilung Px von X sei unbekannt. Anpassungstest prüfen Hypothesen auf Vorliegen einer bestimmten
Verteilung P0 also: H0 : Px = P0 .
P0 sei eine hypothetische Verteilung.
14.1
Der χ2 -Anpassungstest
Erfordert gruppierte Daten; z.B.: Klasseneinteilung
m Klassen: K1 , K2 , . . . , Km
abs.
Pm Häufigkeit: h1 , h2 , . . . , hm
i=1 hi = n
pj := P0 (X ∈ Kj ) Wahrscheinlichkeit, dass das Merkmal X in der j-ten Klasse
Werte annimmt, wenn H0 wahr ist.
Klassen
Abs. Hfgk.
Klassen Wahrschkt.
Erwartungs-Hfgk.
K1
h1
p1
np1
K2
..
.
h2
..
.
p2
..
.
np2
..
.
Km
P
hm
n
pm
1
npm
n
(hj −npj )2
npj
(h1 −np1 )2
np1
..
.
(hm −npm )2
npm
T
Test
H0 : P x = P 0
(14.1)
m
X
(hj − npj )2
T =
npj
j=1
(14.2)
K ? ≈ (χ2m−1;1−α , ∞)
(14.3)
87
88
Ziffer
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
hj
28
42
44
39
44
40
43
42
38
40
400
pj
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
1
npj
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
400
(hj − npj )2
144
4
16
1
16
0
9
4
4
0
198
Beispiel Bei der Untersuchung von 100 vierstelligen Pins werde die Häufigkeit
der einzelnen Ziffern ausgezählt n = 400. Man prüfe mit α = 0, 05 ob jede Ziffer
gleich wahrscheinlich ist.
H0 : X ist gleichmäßig diskret verteilt auf {0, 1, . . . , 9}
t=
P10
j=1
(hj −npj )2
npj
=
1
40
∗ 198 = 4, 95
K ? = (χ29;0,95 , ∞) = (16, 9; ∞)
t∈
/ K ? ⇒ Es gibt keine Einwände gegen die Annahme, die zehn Ziffern seien
alle gleich wahrscheinlich.
Bemerkungen:
1. Der χ2 -Anpassungstest ist wenig wirksam, aber universell anwendbar. Für
diskrete Verteilungen unentbehrlich.
2. K ? gilt nur Näherungsweise richtig. Empfehlung: Klasseneinteilung so
wählen, dass npj ≥ 5∀j.
3. Wurden zur Präzisierung von P0 zunächst r Parameter aus der Stichprobe
geschätzt, dann die Freiheitsgrade um r reduzieren.
Beispiel Es soll getestet werden:
H0 : X ist Poisson-verteilt. Es wird getestet:
H0 : X ist Poisson-verteilt mit λ = 3, 17 wobei 3, 17 aus der Stichprobe mittels
x̄ = 3, 17 geschätzt wird.
→ F G = m − 2 Im stetigen Fall: Kolmogorov-Smirnov-Test.
14.2
Test auf Normalverteilung mittels Schiefe
und Exzess
X normalverteilt
⇒ S = 0 und W = 0
3
S = E(X−EX)
2
σ
4
W = E(X−EX)
−3
σ4
Ist die empirische Schiefe oder die emprisiche Wölbung weit von der null weg,
so spricht das gegen die Normalverteilung.
TU-Ilmenau: Statistik
89
→ 2 Tests
H0 : X normalverteilt
Testgrößen:
P
(x1 − x̄)3
P
=Schiefe
1
( n (xi − x̄)2 )1,5
P
1
(x1 − x̄)4
n
=Woelbung
= 1P
( n (xi − x̄)2 )2
TS =
TW
1
n
(14.4)
(14.5)
(14.6)
Ablehnungsbereiche:
KS? = (−∞; −Sn;1− α2 ) ∪ (Sn;1− α2 ;∞ )
?
KW
= (0; Wn; α2 ) ∪ (Wn;1− α2 ; ∞)
(14.7)
(14.8)
Beispiel Abweichungen vom Sollmaß. Man prüfe mit α = 0, 05, ob die Abweichungen
angenommen werden
Pvom Sollmaß normalverteilt
P
P können.
n = 20; n1 (xi − x̄)2 = 4, 0275; n1 (xi − x̄)3 = −0, 466; n1 (xi − x̄)4 = 40, 985
tS = √−0,466
≈ −0, 06
4,02753
40,985
tW = 4,0275
2 ≈ 2, 53
?
KS = (−∞; −0, 951) ∪ (0, 951, ∞)Keine Ablehnung von H0
?
KW
= (0; 1, 73) ∪ (4, 68, ∞)Keine Ablehnung von H0
Es gibt keine Einwände gegen die Annahme, die Abweichungen vom Sollmaß
seien normalverteilt.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 15
Unabhängigkeit von
Merkmalen
Beispiel : Zuf. Auswahl einer Person aus einer Adressdatei.
Merkmal: X: Nikotinverbrauch[1,2,3];
Y : Alkoholkonsum[1,2,3]
15.1
Zweidimensionale Verteilungen
X und
¡ Y¢ seien zwei Zufallsgrößen (Merkmale) auf der selben2 Ergebnismenge Ω.
X = X
Y ist ein zweidimensionaler Zufallsvektor X | Ω → R
Diskreter Fall X kann die Werte x1 , x2 , . . . , xk annehmen.
Y kann die Werte y1 , y2 , . . . , yk annehmen.
Die Einzelwahrscheinlichkeiten pij := P (X = xi ; Y = yj ) beschreiben die Verteilungen von X . Eventuell als Tabelle:
X/Y y1
y2 . . . ym
x1
p11 p12 . . . p1m
x1
p21 p22 . . . p2m
..
..
..
..
.
.
.
.
pk1 pk2
xk
mit p − ij ≥ 0∀i, j
...
pkm
Beispiel: Personen, zufällig ausgewählt. X : Nikotinverbrauch (1=Nichtraucher, 2=Raucher, 3=starker Raucher)
Y : Alkoholkonsum (1=Antialkoholiker, 2=Gelegenheitstrinker, 3=Alkoholiker)
Verteilungstabelle
1
2
3
X/Y
1
0,4 0,15 0,05 0,6=P(X=1)
0,1
0,1 0,05 0,25=P(X=2)
2
3
0,05 0,05 0,05 0,15=P(X=3)
0,55 0,3 0,15
91
92
Stetiger Fall Wenn eine Dichtefunktion f | R2 → R+ existiert, so dass
Z x Z y
P (X ≤ x, Y ≤ y) =
f (s, t)dtds ∀x, y ∈ R
−∞
so heißt X =
¡X ¢
Y
−∞
stetige verteilt. Es gilt also stets:
Z
∞
Z
∞
f (x, y)dydx = 1
−∞
−∞
Randverteilungen: Dichte von X:
Z
∞
fX (x) =
f (x, y)dx
−∞
Dichte von Y:
Z
∞
fY (y) =
f (x, y)dy
−∞
Beispiel
(
"
#)
2
2
(y − µy )
1
1 (x − µx )
+
f (x, y) =
exp −
2πσx σy
2
σx2
σj2
ist die Dichte einer zweidimensionalen Normalverteilung
Randverteilung
fX (x) = √
(x−µx )
1
∗ e 2σx2
2πσx
also X ∼ N (µx , σx2 )
(y−µy )
1
2
fX (x) = √
∗ e 2σy
2πσy
2
2
also Y ∼ N (µy , σy2 )
15.2
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen
Definition: X und Y heißen unabhängig voneinander, wenn:
ˆ im diskreten Fall: P (X = xi , Y = yi ) = (P (X = xi ) ∗ (P (Y = yi )
ˆ im stetigen Fall: f (x, y) = fX (x) ∗ fY (y)∀x, y ∈ R
Beispiel obige Normalverteilung: fX (x)fY (y) = f (x, y) X und Y ist hier unabhängig.
Beispiel Nikotin-, Alkoholverbrauch p11 = 0, 4 6= 0, 6 ∗ 0, 55 (X und Y sind
hier unabhängig voneinander.
TU-Ilmenau: Statistik
93
15.3
Unkorreliertheit von Zufallsgrößen
Definition
Die Zahl
Cov(X, Y ) := E [(X − EX) ∗ (Y − EY )] = E(X, Y ) − EX ∗ EY
heißt Kovarianz von X und Y
Speziell Y = X:
h
i
2
Cov(X, X) = E (XE X) = V ar(X)
Bemerkung
XX
E(X ∗ Y ) =
xi ∗ yj ∗ pij
Z Z
E(X ∗ Y ) =
x ∗ y ∗ f (x, y)dydx
Definition Es seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit positiven Streuungen.
Die Kenngröße:
Cov(X, Y )
ρxy := √
D2 X ∗ D2 Y
heißt Korrelationskoeffizient von X und Y . Ist ρxy = 0, so nennt man X und Y
unkorreliert.
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten
1. −1 ≤ ρxy ≤ 1
2. X,Y unabhängig ⇒ X,Y unkorreliert
3. | ρxy |= 1 ⇒ Alle realisierungen von X =
Geraden
¡X ¢
Y
liegen exakt auf einer
Satz: Es seien X und Y unkorrelierte Zufallsgrößen dann gilt E(X, Y ) = EX ∗
EY ; D2 (X + Y ) = D2 X + D2 Y
Die Dichte der zweidim. Normalverteilung mit Korrelationskoeff. ρ(| ρ |6= 1)
lautet:
½
·
¸¾
1
−1
x − µx 2
x − µx y − µy
y − µy 2
p
fXY (x, y) =
exp
(
) − 2ρ
+(
)
2 ∗ (1 − ρ2 )
σ−x
σx
σy
σy
2πσx σy 1 − ρ2
Satz: der Zufallsvektor
¡X ¢
Y
sei normalverteilt Dann gilt:
ˆ X,Y und X + Y sind ebenfalls normalverteilt
ˆ X, Y unkorrelliert ⇔ X, Y unabhängig.
15.4
Test auf Unabhängigkeit/Unkorreliertheit
Zwei verbundene Stichproben x1 , x2 , . . . , xn zu Merkmal X und y1 , y2 , . . . , yn
zu Merkmal Y .
TU-Ilmenau: Statistik
94
Voraussetzung
¡X ¢
Y
ist normalverteilt.
Test x und y sind unabhängig.
H0 : ρ = 0
(15.1)
√
r n−2
T = √
1 − r2
(15.2)
K ? = (−∞; −tn−2;1− α2 ) ∪ (tn−2;1− α2 ; ∞)
(15.3)
Bemerkung
r=
1
n−1
P
(xi − x̄)(yi − ȳ)
Sx ∗ Sy
ist eine asymptotisch erwartungstreue und konsistente Punktschätzung für :
ρ=
E [(X − EX) (Y − EY )]
√
√
D2 X ∗ D2 Y
Beispiel X: Körpergröße, Y: Körpergewicht. Bei n = 62 zufällig ausgewählten
Personen wurde Körpergröße und Körpergewicht ermittelt und daraus r = 0, 76
berechnet. Lässt sich ein signifikanter (α = 0, 001) Zusammenhang zwischen
Größe und Gewicht nachweisen? (x, y sind normalverteilt).
H0 : ρ =√0
t = √0,76 602 ≈ 9, 05
1−0,76
t60;0,9995 = 3, 46
K ? = (−∞; −3, 46) ∪ (3, 46; ∞)
t ∈ K ? ⇒ Ablehnung von H0
Antwort: Ja, der Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht ist höchst signifikant!
15.5
χ2 -Unabhängigkeitstest
Beispiel Eine Epedemie; n = 120 Patienten; X: Heilungserfolg , Y : Behandlungsmethode
Kontingenztafel :
sympt.
Schnell geheilt
langsam geheilt
gestorben
Behandlung übliche Dosis erhöhte Dosis
14
22
32
68
14
10
4
28
16
8
0
24
44
40
36
120
q
Pk Pl (hij −eij )2
χ2
2
Kontingenzkoeffizient: C =
und
i=1
j=1
n+χ2 mit χ =
eij
h ∗h
eij = i? n ?j
Die Beobachtungswerte liegen als 3x3 -Kontingenztafel vor. Daraus wurde
berechnet:
TU-Ilmenau: Statistik
95
χ2 = 28, 21; Kontingenzkoeffizient
C = 0, 436 → Korrigierter Kontingenzkoeffiq
3
zient CKorr = C ∗ 2 = 0, 53 Interpretation damals (Vgl. Statistik 1 Kapitel
6.3): Es besteht eine Abhängigkeit zwischen Behandlungsmethode und Heilungserfolg. Wirklich? Ist sie Signifikant?
Test
χ2 =
k X
l
X
i=1 j=1
H0 :X und Y sind voneinander unabhängig
(15.4)
T = χ2 (aus der Kontingenztafel)
(15.5)
(hij − eij )2
k = Anzahl der Zeilen und j = Anzahl der Spalten
eij
K ? = (χ2(k−1)(l−1);1−α , ∞)
(15.6)
(15.7)
Beispiel Epidemie
Man prüfe mit α = 0, 01, ob Behandlungsmethode und Heilungserfolg voneinander abhängen.
H0 : X und Y sind voneinander unabhängig
t = 28, 21
χ2(3−1)(3−1);0,99 = χ24;0,99 = 13, 3
?
K = (13, 3; ∞) t ∈ k ? ⇒ Ablehnung von H0 .
Antwort: Der Zusammenhang zwischen Behandlungsmethode und Heilungserfolg ist hochsignifikant.
Bemerkung zum χ2 -Unabhängigkeitstest Die Testgröße (= personsches
Chi-Quadrat) ist unter H0 nur Näherungsweise χ2 -verteilt. → Empfehlung: alle
Erwartungshäufigkeiten eij ≥ 5. Wenn nicht dann eventuell in Klassen zusammenfassen.
TU-Ilmenau: Statistik
Kapitel 16
Stichprobenvergleiche
16.1
Der doppelte t-Test (Mittelwerttest)
X, Y seien zwei voneinander unabhängige Merkmale. Zum Beispiel die Klausurergebnisse in Statistik 2 am 24.2.2004.
X Punktzahl der Studenten, die über die volle Zeit schreiben nx .
Y Punktzahl der Studenten, die vorzeitig abgeben ny .
Voraussetzung: X ∼ N (µx ; σx2 ), Y ∼ N (µy , σy2 ), σx2 = σy2
Test
H0 : µx = µy
p
(X̄ − Ȳ ) nx ∗ ny (nx + ny − 2)
T =q
£
¤
(nx + ny ) ∗ (nx − 1) ∗ Sx2 + (ny − 1) ∗ Sy2
Pnx
Pny
mit X̄ = n1x i=1
xi
Ȳ = n1y i=1
yi
Pnx
1
2
2
2
S x=
und S x = nx −1 i=1 (xi − x̄)
1
ny −1
Pny
i=1 (yi
(16.1)
(16.2)
− ȳ)2
ª
©
K ? = t :| t |> tnx +ny −2;1− α2
(16.3)
Bemerkungen:
ˆ Der t-Test ist robust gegen Verletzungen der Normalverteiltheit
ˆ Die sogenannte Varianzhomogenität (σx2 = σy 2 ) wird mit dem F-Test
überprüft.
Beispiel Klausurergebnisse in Prozent
nx = 115, volle Zeit geschrieben: x̄ = 61, 22% bei Sx = 20, 9%
ny = 17, volle Zeit geschrieben: ȳ = 60, 34% bei Sy = 21, 8%
Man prüfe, ob es einen Signifikanten Unterschied (α = 0, 05) zwischen den
beiden Gruppen gibt (Normalverteilung unterstellt).
97
98
H0 : µx = µy √
115∗17∗130
√
t = (61,22−60,34)∗
≈
2
2
132[114∗20,9 +16∗21,8 ]
t130;0,975 = 1, 98
K? =
0,88∗504,1
2752,6
≈ 0, 16
(−∞; 1, 98) ∪ (1, 98; ∞) t ∈
/ K ? ⇒ Keine Ablehnung von H0 . Die beiden Studentengruppen unterscheiden sich bezüglich ihrer
Klausurergebnisse nicht Signifikant voneinander.
16.2
Die F-Verteilung (R.A. Fisher)
Definition
Die stetige verteilung mit der Dichte:
½
fz
−1
∗ (1 + ffnz ∗ x) für x > 0
g(x) = c ∗ x 2
0
sonst
heißt F-Verteilung mit (fz , fn ) Freiheitsgraden. Für fz ≥ 3 existiert der
n
Erwartungswert, er ist fnf−2
. Erwartungswert und Modalwert nahe Eins.
Bemerkung zur Entstehung der F-Verteilung Der Quotient 2-er χ2 Verteilungen.
X1 , X2 , . . . , Xn , Y1 , Y2 , . . . , Yn seien unabhängige, identisch normalverteilte
Zufallsgrößen:
Xi ∼ N (µx ; σ 2 ) Yi ∼ N (µy ; σ 2 )
Empirische Varianzen der jeweiligen Stichproben:
n
Sx2 =
1 X
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
m
Sy2
1 X
=
(Yi − Ȳ )2
m − 1 i=1
TU-Ilmenau: Statistik
99
S2
Satz Die zufallsgröße Sx2 ist F-verteilt mit n − 1 Zählerfreiheitsgraden und
y
m − 1 Nennerfreiheitsgraden
Quantile der F-Verteilung Die Quantile der F-Verteilung sind vertafelt. Es
gilt:
1
(fz ,fn )
F1−α
= (f ,f )
Fα n z
16.3
Der F-Test
Varianzvergleich X, Y seien zwei unabhängige, normalverteilte merkmale
X ∼ N (µx ; σx2 ) Y ∼ N (µy ; σy2 )
Zwei Stichproben:
X1 , X2 , . . . , Xnx , Y1 , Y2 , . . . , Yny
H0 : σx2 = σy2
Pn−x
1
2
Sx2
i=1 (Xi − X̄)
nx −1
T = 2 = 1 Pn−y
2
Sy
i=1 (Yi − Ȳ )
ny −1
h
´ ³
´
(n −1;ny −1)
(n −1;ny −1)
K ? = 0; F α x
∪ F1−xα
;∞
2
2
(16.4)
(16.5)
(16.6)
Beispiel Punktzahl in der Klausur in Prozent: Studenten auf voller Zeit:
nx = 115
x̄ = 61, 22
Sx = 20, 9
Studenten die vorzeitig abgegeben haben:
ny = 17
ȳ = 60, 34
Sy = 21, 8
Beim doppelten t-Test wurde Varianzhomogenität (σx2 = σy2 ) vorausgesetzt.
Stimmt das? Teste mit α = 0, 10.
H0 : σx2 = σy2
t=
Sx2
20, 92
=
≈ 0, 92
2
Sy
21, 82
Kritische Schranken:
114;16
F0,05
=
1
16;114
F0,95
=
1
≈ 0, 58
1, 733
114;16
F0,95
= 2, 06
K ? = [0; 0, 58) ∪ (2, 06; ∞)
t∈
/ K ? ⇒ keine Ablehnung von H0 . Wir können die Varianzen als gleich ansehen.
TU-Ilmenau: Statistik
100
16.4
Varianzanalyse
(multipler Mittelwertvergleich) genauer: ANOVA, Modell 1, einfache Klassifikation. Das ist eine Verallgemeinerung der doppelten t-Tests auf mehr als zwei
Merkmale.
Beispiel Neues Waschpulver, Werbekampagne beendet. 3 Städte, jeweils 8
Supermärkte, ein Tag. Anzahl verkaufter Packungen per 1000m2 Verkaufsfläche.
Berlin
184
230
216
212
137
142
215
312
φ 206
Hamburg
231
224
223
182
311
196
218
151
φ217
München
204
331
317
311
281
237
356
267
φ288
Allgemein K Merkmale X1 , X2 , . . . , Xk unabhängig voneinander. Voraussetzung: Alle Xi normalverteilt mit derselben Streuung σ 2 .
Xi ∼ N (µi ; σ 2 )
Stichproben
Gruppenmittelwerte:
Xi• =
1 X
Xij
ni
TU-Ilmenau: Statistik
(16.7)
101
1
x11
x12
..
.
2
x21
x22
..
.
...
...
...
k
xk1
xk2
..
.
x1n1
X¯1•
x2n2
X¯2•
...
...
xknk
X¯k•
Gesamtmittel:
X¯••
k
1 XX
Xij
X¯n =
n i=1 j=1
(16.8)
Sprechweise: Faktor wirkt in k Gruppen“. Geprüft wird die Hypothese, die
”
Erwartungswerte µi aller Gruppen (=Merkmale) seien gleich groß. Kernpunkt
der Analyse ist eine Streuungs“-zerlegung:
”
ni
ni
k X
k X
k
X
X
X
(Xij − X̄•• )2 =
(Xij − X̄i• ) +
ni (X̄i• − x̄•• )2
i=1 j=1
i=1 j=1
SQT
(16.9)
i=1
SQZ
SQI
Eigentlich Quadratsummen“ Analyse. Empirische Varianz= Quadratsumme
F reiheitsgrade =
”
SQ?
F G = M Q?. Freiheitsgrade sind hierbei: Anzahl der Summanden minus Anzahl
der die Summanden verbindenden Punktschätzungen.
Empirische Varianz zwischen den Gruppen:
M QZ =
SQZ
k−1
D2 Xij = σ 2
Empirische Varianz innerhalb der Gruppen
M QI =
SQI
n−k
M QT =
SQT
n−1
Empirische Varianz total
Test
H0 = µ1 = . . . = µn
T =
M QZ
M QI
(k−1,n−k)
K ? = (F1−α
(16.10)
(16.11)
; ∞)
Zum Beispiel Waschpulver“: k = 3; n1 = n2 = n3 = 8; n = 24
”
TU-Ilmenau: Statistik
(16.12)
102
Ursache der Varianz
zwischen den Gruppen
innerhalb der Gruppen
total
Quadratsumme
31696
54500
86196
FG
2
21
23
Varianz
15848,0
2595,2
T
6,1
Varianztabelle
2,21
K ? = (F0,95
) = (3, 4668; ∞)
t ∈ K ? ⇒ Ablehnung von H0 . Der Faktor Stadt hat einen signifikanten Einfluß auf das Käuferverhalten. Nun könnte man noch paarweise vergleichen, ob
München nur aus der Reihe tanzt und Hamburg und Berlin ein gleiches Käuferverhalten haben (Diese Vermutung liegt bei Betrachtung der Boxplots nahe).
16.5
Der Vorzeichen-Test
Auch: Median-Test. Zwei verbundene Merkmale, stetig verteilt: X, Y , ihre Verteilungen sollen heißen PX bzw. PY .
Stichprobe: (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . , (Xn , Yn )
Voraussetzung: X1 , . . . , Xn unabhängig voneinader. Y1 , . . . , Yn unabhängig voneinader.
Aber: X − i darf von Yi abhängig sein. H0 : PX = PY (genauer Median(X −
Y )=0)
T = Zn? := Anzahl der i, für die Xi > Y − i
©
ª
K ? = z : z ≤ n − bn;1− α2 oder z ≥ n − bn;1− α2
Quantile der Binomialverteilung mit p =
1
2
siehe Tafel IV.10
Bewertung Theoretisch ist P (Xi = Yi ) = 0. Falls in Einzelfällen doch Xi =
Yi auftritt, geht jeder dieser Fälle in die Zählung der Pluszeichen mit 21 ein. Ist
n > 20, kann Zn+ (binomial verteilt) als normalverteilt angesehen werden. Dann
benutzt man
Zn+ − n2
T = √
n 12
K ? = (−∞; −Z1− α2 ) ∪ (Z1− α2 ; ∞)
Der Vorzeichentest kann auch auf 1-Stichproben-Probleme angewandt werden,
z.B.:
Test auf Median m0 : Zn+ = Anzahl der i mit Xi > m0 . Test auf Symmetrie m0 :
Zn+ = Anzahl der i mit Xi > 0.
Beispiel Neue Rasierklinge Mars“. Vergleich mit dem Konkurrenzprodukt
”
Merkur“. n = 12 Männer, 5 Tage, eine gesichtshälfte mit Mars“, die ander
”
”
mit Merkur“. Summe der Wertungspunkte kann zwischen 0 und 100(am besten)
”
liegen. Mars“ wird nur auf den markt gebracht, wenn es signifikant besser ist
”
als Merkur“ (α = 0, 05).
”
X Punktzahl für Mars H0 : M ed(X − Y ) ≤ 0 Y Punktzahl für Merkur
t = Zn+ = 8, 5 K ? = [b12,1−α ; n] = [10; 12] t ∈
/ K ? ⇒ keine Ablehnung von H0 .
TU-Ilmenau: Statistik
103
Nr. der Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Punkte Mars
96
84
77
85
61
84
75
92
88
89
70
83
Punkte Merkur
90
80
78
77
64
88
71
87
88
85
68
82
Vorzeichen
+
+
+
+
+
tie
+
+
+
Also: Es kann nicht nachgewiesen werden, dass Mars“ signifikant besser ist als
”
Merkur“.
”
TU-Ilmenau: Statistik
Anhang A
Klausuraufgaben
A.1
A.1.1
Klausur Statistik 1
Aufgabe 1
Bei LCD Bildschirmen kann es vorkommen, dass einzelne Pixel ausfallen. Aus
der laufenden Produktion solcher Bildschirme werden 40 zufällig ausgewählt und
die Anzahl der ausgefallenen Pixel ermittelt. Es ergaben sich folgende Anzahlen.
0 1 0 0 3 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 2 0 0 0 0
2 0 0 1 0 4 0 2 3 0
1 0 0 2 0 1 0 0 1 0
1. Erstellen sie eine primäre Häufigkeitstabelle mit absoluten und relativen
Häufigkeiten.
Lösung:
xi Strichliste hi
fi
0
26
26
0,65
1
7
7 0,175
2
4
4
0,1
3
2
2
0,05
4P
1
1 0,025
40
1
105
106
2. Stellen sie die Häufigkeitsverteilung als Histogramm grafisch dar.
Lösung:
3. Ist anhand diess Diagramms die Häufigkeitsverteilung linksschief, rechtsschief oder eher symmetrisch?
Lösung:
Rechtsschief, da sie linkssteil ist.
4. Berechnen sie x̄ und s.
Lösung:
x̄ = 0, 625
s = 1, 030
5. Interpretieren Sie den Wert für x̄ in einem Satz.
Lösung:
Die Bildschirme werden mit einem, im mittel, Fehler von 0,625 ausgefallenen Pixeln produziert.
A.1.2
Aufgabe 2
Für drei Produkte erzielte ein mittelständisches Unternehmen im Jahre 2000
(Basisjahr) die folgenden Umsätze:
Produkt A ¿ 10000
Produkt B ¿ 12000
Produkt C
¿ 5000
Die Preise der Produkte haben sich vom Jahr 2000 auf das Jahr 2002 wie folgt
verändert:
Produkt A +25%
Produkt B +10%
Produkt C +15%
TU-Ilmenau: Statistik
107
1. Berechnen sie hieraus den Preisindex nach Laspeyres.
Lösung:
1, 1648
2. Interpretieren Sie den errechneten Wert.
Lösung:
Der Preis ist im mittel um 16,48% gestiegen.
A.1.3
Aufgabe 3
Zur Analyse des Fertigungszeitaufwandes eines Teiles liegen folgende Ausgangsdaten vor:
Jahr Zeitpunkt t Fertigungszeit in Minuten pro 100 Stück
1995
1
114
1996
2
112
1997
3
110
1998
4
108
1999
5
107
2000
6
105
2001
7
104
2002
8
100
1. Berechnen Sie den linearen Trend als Funktion von t nach der Methode
der kleinsten Quadrate.
Lösung:
f (t) = −1, 833x + 115, 75
2. Welche durchschnittliche Fertigungszeit ist mittels dieser Trendegeraden
für das Jahr 2003 zu erwarten?
Lösung:
f (9) = 99, 253
Im Jahr 2003 wird die Produktion von 100 Teilen vermutlich 99,253 Minuten dauern.
A.1.4
Aufgabe 4
Zwei konkurrierende Kleinwagen wurden von einer Autozeitschrift ausführlich
getestet und einem Vergleich unterzogen. Unter anderem wurde bei jeweils 25
Testfahrten der Benzinverbrauch ermittelt. Das ergebnis ist in folgendem Diagramm dargestellt:
TU-Ilmenau: Statistik
108
Der Ursprung bezeichnet 3 Liter Spritverbrauch, jeder weitere Strich bezeichnet eine weiteren Liter. Der obere Box-Whisker-Plot bezeichnet Wagen 1,
der untere Wagen 2.
1. Vergleichen Sie die beiden Wagen im Benzinverbrauch bezüglich Mittelwert und Varianz.
Lösung:
Im Mittel verbraucht der 1. Wagen 5,5 Liter, der 2. Wagen 5 Liter. Der
Benzinverbrauch des 1. Wagen streut weniger.
2. Bei wie viel Prozent aller Fahrten lag der Benzinverbrauch unter 5 Liter
/ 100 km bei Wagen 1 bzw. Wagen 2?
Lösung:
Wagen 1: 25 % ; Wagen 2: 50%.
A.1.5
Aufgabe 5
Auf der Autobahn A4 werden am Freitagnachmittag im Rahmen einer Verkehrskontrolle 20 LKW zufällig aus dem fließenden Verkehr gewunken und einer technischen Überprüfung unterzogen. Es sei bekannt, dass ein Fünftel aller LKW,
die um diese Uhrzeit auf der A4 fahren, technische Mängel haben.
1. Die Anzahl X der bei der Verkehrskontrolle zu beanstandenden LKW ist
binomialverteilt mit den Parametern n und p. Wie groß ist hier n und p?
Lösung:
n = 20
;
p = 0, 2
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Polizeiinspekteure genau zwei
mit Mängeln behaftete LKW finden?
Lösung:
µ ¶
10
P (2) =
∗ 0, 22 ∗ (1 − 0, 2)18 = 45 ∗ 0, 04 ∗ 0, 018 = 0, 1369
2
TU-Ilmenau: Statistik
109
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei LKW zu beanstanden sein werden?
Lösung:
P (X > 2) = 1 − (P (0) + P (1) + P (2))
µ ¶
10
P (0) =
∗ 0, 20 ∗ (1 − 0, 2)20 = 0, 012
0
µ ¶
10
P (1) =
∗ 0, 21 ∗ (1 − 0, 2)19 = 0, 058
1
µ ¶
10
P (2) =
∗ 0, 22 ∗ (1 − 0, 2)18 = 0, 1369
2
P (X > 2) = 0, 7931
4. Mit wie vielen mangelhaften LKW muss die Polizei bei der Kontrolle von
20 Fahrzeugen im Mittel rechnen?
Lösung:
EX = n ∗ p = 4
A.2
A.2.1
Klausur Statistik 2
Aufgabe 1
Ein Prüfer soll eine Lieferung von N = 40 elektronischen Bauteilen gleicher
Bauart auf gut/schlecht testen. Aus Zeitgründen kann er nur n = 5 Teile untersuchen.
Die Anzahl der defekten ist ihm unbekannt. Eine gute Lieferung würde vertragsgemäß nicht mehr als 10% schlechte enthalten. Wenn das vorliegend der
Fall ist, so bestimme man exakt die Wahrscheinlichkeit für den Prüfer, maximal
1 defektes Teil in der Stichprobe zu finden.
Lösung
AQ =
1
X
i=1
M
M
=
→M =4
N
40
¡4¢¡40−4¢
= hy(i|40; 4; 5) =
i
¡405−i
¢
5
= 0, 57292 + 0, 358081
A.2.2
Aufgabe 2
Die Prüfpläne P P (1) = (N∞ ; 100; 0) und P P (2) = (N∞ ; 500; 1) stehen für
zwei Geschäftspartner einer Liefer-Abnehmer-Beziehung bei Attributsprüfung
zur Diskussion.
1. Wie groß wäre der am jeweiligen Medianpunkt einer betreffenden OC (1) Funktion und OC (2) -Funktion der mittlere Durchschlupf, ausgedrückt in
Prozent?
TU-Ilmenau: Statistik
110
2. Welcher Plan prüft weniger “scharf”?
3. Erstellen Sie eine grafische Darstellung, in der beide OC-Funktionen enthalten sind.
Lösung
1. Mittlerer Durchschlupf: D(p0,5 ) = p0,5 ∗ 0, 5
(1)
0 + 32
= 0, 006̄
100
(2)
1 + 23
= 0, 003̄
100
p0,5 =
p0,5 =
Dp(1)
= 0, 006̄ ∗ 0, 5 = 0, 0033=0,
b 33%
0,5
Dp(2)
= 0, 003̄ ∗ 0, 5 = 0, 0016=0,
b 16̄%
0,5
2. der Prüfplan P P (1) = (N∞ ; 100; 0) prüft weniger scharf als P P (2) , da
(2)
(1)
p0,5 > p0,5 .
3. Zeichnung fehlt noch
A.2.3
Aufgabe 3
Ein empfindliches Messgerät eines technischen Labors, von dem bekannt ist, dass
sein Messfehler mit N (0; 0; 12) normalverteilt ist, ist versehentlich von einem
ungeübten Mitarbeiter beschädigt worden. Es wird daraufhin repariert und neu
geeicht, so dass µ weiterhin Null ist. Durch 30 Probemessungen soll geprüft
werden, ob nach der Reparatur wieder die alte Messgenauigkeit vorliegt. Dabei
ergibt sich s2 = 0, 15. Prüfen sie mit α = 0, 05, ob ein signifikanter Unterschied
zur Genauigkeit vor der Reperatur vorliegt.
Lösung
H0 : σ 2 = σ02
T =
29 ∗ 0, 15
(n − 1)s2
=
= 36, 25
2
σ0
0, 12
K ? = (0; χ2n−1;1− α2 ) ∪ (χ2n−1; α2 ; ∞) = (0; 16, 0) ∪ (45, 7; ∞)
T ∈
/ K ? ⇒ H0 nicht ablehnen
Es gibt keinen signifikanten Unterschied zur Varianz vor der Reparatur.
TU-Ilmenau: Statistik
111
A.2.4
Aufgabe 4
Eine Verbraucherzentrale hat für einen a,tlichen Warenkorb in der Europäischen
Union (3-Personen
Hauhalt) qEU nach den neuen EURO-Preisen monatliche KoP
sten von
peuro ∗ qEU = 900Euro vorausberechnet.
Dieser Warenkorb
soll zur Berechnung der mittleren Kaufkraftparität USA/Euroland
P
monatlich
p$ ∗ qEU = 720$ kosten, wobei amerikanische Preise in Dollar verwendet wurden.
P Ein amtlicher amerikanischer Warenkorb (3-Personen Haushalt)
qU S kostet
p$ qU S = 775 Euro. Man berechne die mittlere Kaufkraftparität
KPU S/EU unter Verwendung der beiden Warenkörbe qEU und qU S sowie der
angegebenen Kosten. Interpretieren sie das Ergebnis mit einem Satz.
Lösung
P
p
∗q
775Euro
Euro
PEuro U S =
= 1, 25
p$ ∗ qU S
620$
$
P
p ∗ qEU
720$
$
= 0, 8
=P $
=
pEuro ∗ qEU
900Euro
Euro
KKPU S =
KKPEU
r
KKPU S/EU =
KKPEU
=
KKPU S
r
720 620 p
$
∗
= 0, 64 = 0, 8
900 775
Euro
Das heißt, für einen Euro kann man in der EU (Bei den betrachteten Preisniveaus und Warenkörben) durschnittlich soviel kaufen, wie für 0, 8$ in den USA.
(Kurz: 1 Euro entspricht 0,8 $)
A.2.5
Aufgabe 5
Die durchschnittliche jährliche Anzahl X der Abwesenheitstage einer bestimmten Arbeitnehmergruppe werde mittels einer einfachen Stichprobe vom Umfang n erhoben. Welcher Stichprobenumfang N garantiert, dass die Länge des
auf der Normalverteilungsannahme berechneten Konfidenzintervalls für E(X)
zum Konfidenzniveau 0, 99 höchstens 3 ist, wenn aus früheren Untersuchungen
σ = 15 bekannt ist?
Lösung
2∗σ 2
2 ∗ 15 2
) ⇒ n ≥ (2, 576 ∗
)
∆
3
∆=
b Länge des KI= 3
n ∼ 664
n ≥ (z α2 ∗
z α2 = z0,005 = 2, 576
Der erforderliche Mindeststichprobenumfang beträgt n = 664.
Aufgabe 6 Eine Baumarktkette betreibt 47 Filialen. Mittles linearer Regression soll der Einfluss der Verkaufsfläche (Merkmal X in m2 ) auf den Jahresumsatz (Merkmal Y in Millionen Euro) der Filialen analysiert werden. Aus
den 47 Beobachtungspaaren (xi , yi ) wurde der empirische Korrelationskoeffizient r = 0, 96 und nach der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionsgerade y = 0, 03x + 10 berechnet. Außerdem ist bekannt, dass die Verkaufsflächen
zwischen 280 und 3010m2 liegen, den Mittelwert x̄ = 2200m2 und die empirische
Standardabweichung sx = 480m2 haben.
TU-Ilmenau: Statistik
112
1. Wie groß ist das empirische Mittel und empirische Standarabweichung des
Jahresumsatzes?
2. Wie groß ist das lineare Bestimmtheitsmaß, und wie ist dieser Wert zu
interpretieren ?
3. Ist ein linearer Ansatz hier überhaupt sinnvoll? (Begründung!)
4. Eine 48. Filiale wird eine Verkaufsfläche von 3000 m2 haben. Mit welchem
Jahresumsatz wäre zu rechnen?
Lösung
1.
ȳ = â + b̂ ∗ x̄ = 0, 03 ∗ 2200 + 10 = 76 Mill. ¿
sy = b̂ ∗
2.
sx
480
= 0, 03 ∗
= 15 Mill. ¿
r
0, 96
B = r2 = 0, 962 = 0, 9216
92 % der Varianz der y-Werte wird durch die Gerade verursacht.
3. Ja, weil | r | nahe bei Eins.
4.
ŷ(3000) = 0, 03 ∗ 3000 + 10 = 100
Es sind 100 Mill. Euro Jahresumsatz zu erwarten.
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Index
χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
χ2 -Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . 94
χ2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Erwartungstreue . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . 40
Exzess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
” Interpretation, 24
Absolute Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . 12
Abweichungen vom Sollmaß . . . . . 12
Anfangsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Attributsprüfung . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ausprägungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ausschussquote . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
F-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
F-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . 19
gewogenes arithmetisches Mittel 19
Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Gutlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Beobachtungspaare . . . . . . . . . . . . . 31
Bereichsschätzungen . . . . . . . . . . . . 67
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . 50
Box-Whisker-Plot . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bravais/Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Häufigkeitspolygon. . . . . . . . . . . . . .15
Häufigkeitstabelle . . . . . . . . . . . . . . . 12
Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Hypergeometrische Verteilung . . . 50
Chi-Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Indexformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Indexzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
” empirische Indizes, 27
” Indexformeln, 28
” ” Mengenindex . . . . . 28, 29
” ” Preisindex . . . . . . . . 28, 29
” ” Umsatzindex . . . . . . . . . 28
” Preisindex, 28
” Zusammengesetzte Indizes, 27
Indifferenzpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . 46
Durchschlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Effizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Eingreifgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Empirische Momente. . . . . . . . . . . .22
” Anfangsmoment, 22
” Zentralmoment, 22
Empirische Schiefe . . . . . . . . . . . . . . 22
” Interpretation, 23
empirische Varianz . . . . . . . . . . . . . . 19
empirischer Median . . . . . . . . . . . . . 18
Ergebnismenge. . . . . . . . . . . . . . . . . .41
Konfidenzintervall . . . . . . . . . . . . . . 67
Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Konsumentenrisiko. . . . . . . . . . . . . .84
Kontingenzkoeffizient. . . . . . . .33, 35
113
114
” normierter, 35
Kontingenztafel . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kontrollgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Kontrollkarte, zweispurige . . . . . . 81
Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . 31
” Eigenschaften, 31
Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kummulative Häufigkeit . . . . . . . . 12
” relativ, 13
Kummulative Häufigkeit
” absolut, 12
Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . 37
Logistische Funktion . . . . . . . . . . . . 40
Mathe Noten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Mittelwerte
” gewogenes arithmetisches Mittel, 19
” empirischer Median, 18
” geometrisches Mittel, 19
” Modalwert, 18
Mittelwerttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Modalwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 52
Operationscharakteristik . . . . . . . . 84
p-Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Paasche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 51
Prüfniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Prüfplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Prüfstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Prüfverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Preisindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Produzentenrisiko . . . . . . . . . . . . . . . 84
Prozesskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Punktschätzungen . . . . . . . . . . . . . . 63
Quartil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
” oberes, 20
” unteres, 20
Quartilsabstand. . . . . . . . . . . . . . . . .20
Rechteckverteilung . . . . . . . . . . . . . . 51
Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
” Curvilineare, 39
Regressionsgerade. . . . . . . . . . . . . . .37
Regressionskoeffizienten . . . . . . . . . 37
” optimale, 38
Relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . 12
S-Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Schätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Schiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
” Interpretation, 23
Sekundare Häufigkeitstabelle . . . . 13
Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Standardabweichung . . . . . . . . . . . . 20
statistisches Element . . . . . . . . . . . . . 9
Steilheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . 47
Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 57
Stichproben Funktion . . . . . . . . . . . 34
Stichprobenmittel . . . . . . . . . . . . . . . 59
Stichprobenpläne . . . . . . . . . . . . . . . 83
Stichprobenreststreuung . . . . . . . . 40
Stichprobenumfang . . . . . . . . . . . . . 11
Stichprobenvarianz. . . . . . . . . . . . . .59
Stichprobenvergleich . . . . . . . . . . . . 97
Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
” empirische Varianz, 19
” Quartilsabstand, 20
t-Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
t-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
Törnquist-Funktion . . . . . . . . . . . . . 40
Teilerhebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Umsatzindex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
Unimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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115
Untersuchungseinheiten . . . . . . . . . . 9
Urliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11
Variablenprüfung . . . . . . . . . . . . . . . 83
Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Variationskoeffizient . . . . . . . . . . . . 20
Variationsreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Vertrauensbereich . . . . . . . . . . . . . . . 67
Vollerhebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Vorzeichen-Test . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Wölbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
” Interpretation, 24
Wachstumsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Warngrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . 53
Zentralmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Zentralwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Zufälliger Versuch . . . . . . . . . . . . . . 41
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