Liste der Korrekturen, Ergänzungen und Änderungen zu den

Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den
Vorlesungsskripten: Statistik-I SS-2015
! " ! ##
x =
1 ⋅ 8 + 2 ⋅ 12 +
= 1⋅
+ 10 ⋅ 1
40
8
+
40
2⋅
12
40
+
+ 10 ⋅
=
1
40
1⋅ 8
40
+
2 ⋅ 12
40
= 1⋅ 0,2
+
+
+
10 ⋅ 1
40
2 ⋅ 0,3 +
+ 10 ⋅ 0 , 025 = 3 , 175
$
$
%
$
Geben Sie für das vorige Beispiel. (Bsp. 1) die Anteile der jeweiligen Fachrichtungen
unter den jeweiligen Geschlechtern an. Erstellen Sie dafür eine Kontingenztabelle der
relativen Häufigkeiten, bei der die Merkmalausprägungen der Spalten (Wirtsch.-Psycho.
; Wirtsch.-Info.) bedingt durch die Merkmalausprägungen der Zeilen (Frau ; Mann)
ausgedruckt werden.
Schwerpunkt der Fachrichtung
F : Frau
Geschlecht
M : Mann
& ' (
)
' !* +
,
!
P : Wirtsch.Psycho.
: Wirtsch.Info.
Randhäufigkeiten
18 25 = 0,72
7 25 = 0,28
25 25 = 1
6 15 = 0,4
9 15 = 0,6
15 15 = 1
&
(
!
Aus den beiden obigen Sätzen (bzw. Definitionen) kann man leicht folgern, dass im Falle der
Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B auch folgende Beziehungen gelten:
P(B|A) = P(B)
P(A|B) = P(A)
1
-
A
B = (A
%
.
)
!
A
B
B) U (A
B)
/
%
$,
0 !
-a
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Aufg. 6 mit Hilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung.
$&
Geometrische Verteilung
Seien p bzw. q mit q = 1 – p die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg (Treffer) bzw.
einen Misserfolg der unabhängigen Versuchen (Stufen) in einem Bernouli-Experiment.
Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsvariable X für die Anzahl der
Versuche bis zum Eintreten des ersten Erfolgs gegeben durch die
Wahrscheinlichfunktion der geometrischen Verteilung:
f (xk
)
= P ( X = k ) = f (k ) = q
k − 1
⋅p
mit X = x k = k = 1 ; 2 ; . . . .
Der Erwartungswert dieser Verteilung ist: µ =
Die Varianz dieser Verteilung ist: σ
2
=
1
p
1− p
p2
$
0 !
1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Zählgerät beim radioaktiven Zerfall des
speziellen Präparats aus dem vorigen Beispiel (Bsp. 8) 5 Zerfälle in 2 Minuten zu
registrieren?
2
- 2
.
.
3
(
%
Linearitätssatz der Normalverteilung
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ X und der Varianz
σ ² X sowie der Dichtefunktion:
1
f (x) =
2π σ
exp
−
2
x
1
x − µx
2
σx
2
Und seien a und b beliebige reelle Zahlen. Dann ist die linear transformierte Zufallsvariable
V = a X + b ebenfalls normalverteilt mit der Dichtefunktion
f (v
)=
1
exp
2 π σ v2
wobei der Erwartungswert µ
4
!
v
−
1
v − µv
2
σv
2
,
= a · µ X + b und die Varianz σ ² v = a ² · σ ² X sind.
5
Satz
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für die Varianz der Summe bzw.
Differenz von zwei Zufallsvariablen X und Y :
Var [ X ± Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ]
σ ² X±Y
(
=
σ²X
+
! Für die Standardabweichung gilt: σ
σ²Y
X± Y
=
( Var [ X ] + Var [ Y ] )
3
Korrektur, Änderungen sowie Ergänzungen zu den
Übungen: Statistik-I SS-2015
6
! ,
(
7777777777777777777777
$
D D D D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
6
! &/##
4
!
$
)
$3
$8 %
Untersuchungen zur Planmäßigkeit der Flüge der Airline T&W über einen längeren Zeitraum
ergaben,
dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,55 beim Abflug (Start) pünktlich ist
dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,60 bei der Ankunft (Landung)
pünktlich ist.
dass ein Flug dieser Airline mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,32 beim Abflug (Start) und bei der
Ankunft (Landung) pünktlich ist.
Definieren Sie die Ereignisse A bzw. B und tragen Sie die Werte für die Wahrscheinlichkeiten der
Ereignisse in das folgende Venn-Diagramm
A
(A
B)
B
0,32
4
Ein Passagier fliegt mit einem Flugzeug dieser Gesellschaft. Der Abflug (Start) ist pünktlich. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit kann er erwarten, dass auch die Ankunft (Landung) pünktlich ist?
Lösung: 0,58
Alice fliegt mit einem Flugzeug dieser Airline. Bob möchte sie im Flughafen abholen. Aus den
Infoscreens des Flughafens erfährt er, dass die Ankunft (Landung) pünktlich ist. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit war auch der Abflug (Start) pünktlich?
Lösung: 0,53
&
0& 7777777777777777777777777777777777777777777777777
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:
G:
Satz von Bayes:
S : ______________________
Verbotener Gegenstand.
G : ______________________
S : ______________________
P(G) =
P(S| G) =
P (G ) =
P(S| G ) =
6
!%
' !* +
$
)
!
53
$8 %
!
Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem Ausschuss von
20% her. Die Chips werden unabhängig voneinander produziert.
' !* +
!
4
!
&
Aus Erfahrung weiss die Airline AL, dass für Flüge auf einer bestimmten Kurzstrecke im
Durchschnitt nur 70% aller Passagiere den von ihnen gebuchten Flug antreten. Die
Fluggesellschaft möchte für diese Strecke 100 Tickets verkaufen aber ein Flugzeug eines
Herstellers einsetzen, das eine geringere Kapazität als 100 Sitzplätze besitzt. Folgende 3
Maschinen stehen zur Auswahl.
CJ-I: 70 Sitzplätze
CJ-II: 78 Sitzplätze
CJ-III: 86 Sitzplätze
5
Wenn die Gesellschaft die Maschine vom Typ CJ-I mit 70 Sitzplätzen einsetzen würde, wie groß
ist dann die Wahrscheinlichkeit (das Risiko) Passagiere nicht mitnehmen zu können?
Die Gesellschaft möchte eine Maschine einsetzen, so dass das Risiko Passagiere nicht
mitnehmen zu können höchstens 1% (d.h. 1% oder unter 1% ) bleibt. Wie viele Sitzplätze muss
diese Maschine mindestens haben? Kann sie eine der obigen Flugzeuge dafür einsetzen?
Lösg: a) 0,462 b) kC ≥ 80 (mindestens 80 Sitzplätze) Also Maschine CJ-III
6
;
!1 0
9(
!77$,<
$8 %
' !* +
!
4
(
/
:
( /
!
$ Die Airline aus der vorigen Aufgabe möchte für diese Strecke 100 Tickets verkaufen aber
ein Flugzeug einsetzen, das eine geringere Kapazität als 100 Sitzplätze besitzt. Wie viele
Sitzplätze muss diese Maschine mindestens haben, damit das Risiko, Passagiere nicht
mitnehmen zu können, höchstens 1% (d.h. 1% oder unter 1%) bleibt?
6
! 5
= !
!7777777777
Dabei sind k und q Konstanten, die vom Plattenabstand d, von der Fläche A der
jeweiligen Platten, der elektrischen Feldkonstante ε0 = 8,85419 ·10 – 12 [F/m] sowie von der
Dielektrizitätszahl εr > 1 des Dielektrikums bei einer bestimmten Temperatur abhängen.
6