(T III) im WS 2006/2007 — Blatt 8

DEPARTMENT FÜR PHYSIK
Prof. Dr. D. Lüst
4. Dezember 2006
Übungen zur QUANTENMECHANIK I (T III) im WS 2006/2007
— Blatt 8 —
Aufgabe 1: Kohärente Zustände des einfachen harmonischen Oszillators
Der Hamilton-Operator des Systems sei
¶
µ
mω 2 x2
1
p2
†
+
= ~ω a a +
H=
2m
2
2
mit
H|ψn i = En |ψn i ,
µ
1
En = ~ω n +
2
¶
,
hψm |ψn i = δmn .
Es sei
|ψz i =
∞
X
cn (z)|ψn >
1
zn
2
cn (z) = √ e− 2 |z|
n!
mit
n=0
(1)
mit einer beliebigen komplexen Zahl z eine Überlagerung von Eigenzuständen.
a) Zeigen Sie, daß der Zustand (1) ein Eigenzustand des Operators a ist. Bestimmen Sie den zugehörigen
Eigenwert.
b) Zeigen Sie, daß
µ
¶
¤
1£
0 2
∗ 0
0∗
hψz |ψz0 i = exp − |z − z | − (z z − zz )
2
gilt. Was ergibt sich insbesondere für z = z 0 ?
c) Zeigen Sie, daß der Zustandsvektor
|ψz (t)i = e−iωt/2 |ψz(t) i
in der Form
|ψz (t)i =
X
cn (z0 )|ψn (t)i
mit
z(t) = z0 e−iωt
|ψn (t)i = e−iEn t/~ |ψn i
mit
n
geschrieben werden kann, und daß er Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist.
d) Zeigen Sie, daß gilt
a|ψz (t)i = z(t)|ψz (t)i
und
hψz (t)|a† = z(t)∗ hψz (t)| .
e) Berechnen Sie die (zeitabhängigen) Erwartungswerte hxiz = hψz (t)|x|ψz (t)i, hpiz , hx2 iz , hp2 iz , die
Unschärfen (∆x)z , (∆p)z und das Produkt (∆x)z (∆p)z für den durch |ψz (t)i beschriebenen Zustand.
Aufgabe 2: Zweidimensionaler Oszillator im Magnetfeld
Man betrachte die Bewegung eines geladenen Teilchens (Ladung q = −e, Masse M , ohne Spin) in einem
zweidimensionalen harmonischen Potential und einem zur (x, y)-Ebene senkrechten Magnetfeld.
~ durch das Vektorpotential
a) Zeigen Sie zunächst, daß man ein homogenes Magnetfeld B
~ = 1B
~ × ~r
A
2
darstellen kann.
Bitte wenden!
~ = B~ez ,
b) Spezialisieren Sie jetzt auf den Fall der Bewegung in einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld B
wobei ~ez der Einheitsvektor in z-Richtung ist. In ebenen Polarkoordinaten (ρ, φ) hat man
p~2 = −~2
1 ∂ ∂
L2
ρ + 2z
ρ ∂ρ ∂ρ ρ
mit
~ ∂
.
i ∂φ
Lz =
Zeigen Sie, daß man den Hamilton-Operator
³
´2
~
p~ + eA
¢
M ¡
+ ω02 x2 + y 2
H=
2M
2
in der Form
H=
p~2
ω c L z M Ω 2 ρ2
+
+
2M
2
2
schreiben kann mit
eB
ωc2
und
ωc =
.
4
M
c) Begründen Sie, daß man die Wellenfunktion in der Form
Ω2 = ω02 +
ψ(ρ, φ) = R(ρ) eimφ
mit ganzzahligem m schreiben kann. Geben Sie die Differentialgleichung für R(ρ) an.
d) Den Radialanteil der Wellenfunktion kann man in der Form
R(ρ) = R0 (ρ) R∞ (ρ) P (ρ)
schreiben mit
R0 (ρ) = ρβ
1
R∞ (ρ) = e− 2 α
und
2 ρ2
und einer Potenzreihe P (ρ). Zeigen Sie, daß R0 (ρ) und R∞ (ρ) Lösungen für asymptotisch kleine bzw.
große Abstände ρ sind, und bestimmen Sie die Parameter α and β.
e) Die Potenzreihe P (ρ) erfüllt die Differentialgleichung
·
µ
¶
¶
¸ µ
1 + 2|m|
~2
MΩ
MΩ
m~ωc
00
0
P +
P .
−
−2
ρ P −2
(1 + |m|)P = E −
2M
ρ
~
~
2
Zeigen Sie, daß man mit dem Ansatz
P (ρ) =
∞
X
c ν ρν
ν=0
(c0 6= 0, ν gerade) aus dieser Differentialgleichung die Rekursionsrelation
~Ω(ν + 1 + |m|) + m2 ~ωc − E
cν+2
=
~2
cν
(ν + 2)(ν + 2 + 2|m|)
2M
für die Koeffizienten der Potenzreihe erhält.
f ) Zeigen Sie, daß das Verhalten der Potenzreihe P (z) für asymptotisch große Abstände ρ im Allgemeinen
zu nicht-normierbaren Wellenfunktionen führt. Falls die Koeffizienten cν für alle ν > 2n verschwinden,
wird die Potenzreihe zu einem Polynom (mit maximaler Potenz ρ2n ). Formulieren Sie die Abbruchbedingung, und zeigen Sie, daß man die Eigenenergien
Enm =
m~ωc
+ ~Ω(1 + 2n + |m|)
2
erhält.
g) Welche Energien erhält man für verschwindendes Magnetfeld? Wie hoch ist der Grad der Entartung
der Zustände für B = 0? Welche Energien erhält man für sehr kleines und sehr großes Magnetfeld?
Skizzieren Sie die Magnetfeld-Abhängigkeit der Energien Enm , und tragen Sie die Wertepaare (n, m) an
die Kurven der Skizze an.