Himmelsmechanik Celestial Mechanics

Max-Planck-Institut für Kernphysik
Saupfercheckweg 1
69117 Heidelberg
Himmelsmechanik
Celestial Mechanics
Sascha Kempf
TU Braunschweig
Sommersemester 2004
Literatur
Text books
• C.D. Murray und S.F. Dermott (1999). Solar System Dynamics (Camebridge University
Press, Camebridge)
• J.M.A. Danby (1988). Fundamentals of Celestial Mechanics ()Willmann-Bell, Richmond)
• D. Brouwer und G.M. Clemence (1961). Methods of Celectial Mechanics (Academic Press,
New York)
• A.E. Roy (1988). Orbital Motion (Adam Hilger, Bristol)
• O. Montenbruck (2001). Grundlagen der Ephemeridenrechnung (Sterne und Weltraum, Heidelberg)
• A. Guthmann (2000). Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung (Spektrum, Heidelberg)
• H. Bucerius (1966). Vorlesung über Himmelsmechanik (BI, Mannheim)
• C. L. Siegel (1956). Vorlesung über Himmelsmechanik (Springer, Berlin)
• E. Grün, B. Gustafson, S. Dermott und H. Fechtig (Ed.) (2001). Interplanetary Dust
(Springer, Heidelberg)
• L.D. Landau und E.M. Lifschitz (1997). Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1, Mechanik
(Harry Deutsch Verlag)
2
1 Der Ursprung
der Himmelsmechnik
The origin of the
Celestial
Mechanics
Die Himmelsmechnik ist die älteste wissenschaftliche Disziplin der Menschen und hat
ihren Ursprung in astrologische Überlegungen. Die Antike kannte 7 bewegliche Himmelskörper. Da Sonne und Mond das Leben
der Menschen unmittelbar beeinflussten, folgerte man für die weiteren ”Wandelsterne” eine
wesentlich subtilere Auswirkung.
The celestial mechanics is the oldest natural
science of humankind and originated from astrological considerations. The antiquity knew
seven celestial bodies performing an apparent
motion on the sky. Since of the great importance of Sun and Moon for the daily life it was
concluded that the influence of the other ”planets” is more subtle.
408 - 347 v. Chr.: Eudoxus von Cnidus 408 - 347 BC: Eudoxus von Cnidus was the
führte erstmals ein mathematisches Modell first who introduced a mathematical model to
zur Beschreibung der Planetenbewegung ein describe the orbital motion of the planets.
(Sphärenmodell).
∼ 290 v. Chr.: Aristyllus und Timocharis fer- ∼ 290 BC: Aristillus and Timocharis prepared
tigen in Alexandria anhand ihrer Präzisions- the first star catalogue based on their precise asmessungen den ersten Sternkatalog an.
tronomical observations.
320 - 250 v. Chr.: Aristarch beschrieb,
wie die Entfernung der Sonne durch Beobachtung von Sonnenfinsternissen, Mondfinsternissen und der Zeit des Halbmondes bestimmt werden kann. Er folgerte, das die Sonne
größer als die Erde sei und schlug deshalb die
Sonne als Zentrum vor.
3
310 - 230 BC: Aristarchus described a method
to determine the distance between Earth and
Sun based upon solar eclipses, lunar eclipses,
and the time of crescent. He concluded that the
Sun is greater than the Moon. For this reason he
proposed the Sun to be at the centre of teh solar
system.
276 - 194 v. Chr.: Eratosthenes führte in Alexandria die Arbeit von Aristyllus und Timocharis
fort und stellte einen Katalog mit 700 Sternen
auf. Weiterhin bestimmte er den Erdumfang und
zeigte, daß Eudoxos’ Sphähremodell die Planetenbewegung nicht exakt beschreibt.
276 - 194 BC: Eratosthenes. He calculated the
Earth’ circumfence and showed that Eudoxos’
model does not describe the planetary motions
exactly.
262 - 190 v. Chr.: Apollonius von Perga führte das Konzept der Epizyklen zur Eklärung der
scheinbaren Planetenbewegung ein.
262 - 190 BC: Apollonius of Perga introduced
the concept of epicycles to explain the apparent
motion of the planets.
190 - 120 v. Chr.: Hipparch war der größte
Astronom des Altertums. Er bestimmte als Erster die Präzession der Äquinoktien mit 1◦ pro
Jahrhundert. Weiterhin zeigte er, daß die Lage
der Erdachse nicht raumstabil ist.
190 - 120 BC: Hipparchus is considered the
greatest astronomical observer of the antiquity.
He was the first to measure the precession of the
equinoxes of 1◦ per century. He also showed
that the Earth’s axis is not fixed in space.
85 - 165: Claudius Ptolemäus war der Autor des einflußreichsten Buchs des Altertums
- des ”Almagest” (die ”Große Zusammenstellung”). Das Buch faßte das vollständige Wissen
der griechischen Astronomie zusammen und
enthielt die Formulierung eines geozentrischen
Weltbilds, welches bis zur Kopernikanischen
Wende als das allein richtige angesehen wurde.
85 - 165: Ptolemy was the athour of the most
influential book of the antiquity – the ”Almagest” (the ”Great Treatease”). This book
compiled the complete knowledge of the greek
astronomy and included a geocentric model
which was the prevailing view until the Copernican revolution.
4
2 Das 2-KörperProblem
The
Two-Body-Problem
2.1 Bahngleichung
Orbital position
Betrachten wir die Bewegung der zweier gra- Let us consider the motion of two gravitationvitativ wechselwirkender Körper m1 und m2 an ally interacting bodies m1 and m2 located at r1
den Orten r1 und r2 . Da die potentielle Ener- and r2 . Since the potential energy depends only
gie U der beiden Körper nur von ihrem Abstand upon the separation between the bodies the Laabhängt, lautet ihre L AGRANGE-Funktion
grangian is given by
m1 2 m2 2
L=
ṙ + ṙ2 −U(|r1 − r2 |)
2 1
2
mit U(r) = −G m1 m2 r−1 und der Gravitations- where U(r) = −G m1 m2 r−1 and G = 6.67260 ·
konstante G = 6.67260 · 10−11 Nm2 kg−2 .
10−11 Nm2 kg−2 is the gravitational constant.
Legt man den Koordinatenursprung in den Choosing the coordinate system to be centred at
Schwerpunkt, d.h. r1 m1 + r2 m2 = 0, ergibt sich the centre of mass, i.e. r1 m1 + r2 m2 = 0, leads
to
m 2
L = ṙ −U(r).
(2.1)
2
Hier sind r = r1 − r2 der Abstandsvektor der
beiden Körper und m = m1 m2 /m1 + m2 die reduzierte Masse. Aus der Definition des Koordinatensystems folgt dann
m2
r1 =
r und
m1 + m2
5
Here, r = r1 − r2 and m = m1 m2 /m1 + m2 are
denoting the separation vector of m1 and m2
and their reduced mass, respectively. It follows
from the definition of the coordinate system that
m1
r2 = −
r
(2.2)
m1 + m2
Das Problem der relativen Bewegung zweier
Körper wurde formal auf das Problem der Bewegung eines Körpers der Masse m in dem Zentralfeld U(r) zurückgeführt.
Formally, the problem of the relative motion between two bodies was reduced to treat the motion of a body with the mass m within a central
field U(r).
Zentralfeldprobleme haben die wichtige Eigenschaft, daß hier der auf das Zentrum bezogene Drehimpuls J erhalten bleibt, weshalb
der Bahnvektor r des Teilchens stets in der
Ebene senkrecht zu J bleibt. Dies kann man
auch folgendermaßen sehen: Bestimmt man aus
Gl. (2.1) die auf m wirkende Kraft mr̈ = ∂L
∂r
und bildet das Vektorprodukt mit r, ergibt sich
r × r̈ = 0 und nach Integration r × ṙ = c. Folglich steht der Ortsvektor r stets senkrecht auf
dem konstanten Vector c.
For motions within a central field the spin J
measured with respect to the field centre is conserved. This implies that the motion is constrained to the plane perpendicular to J . This
can be seen as follows: Deriving the force mr̈ =
∂L
∂r acting on m via Eq. (2.1) and taking the vector product with r one yields r × r̈ = 0. Integrating this expression gives r × ṙ = c. Thus,
the position vector r is always perpendicular to
the constant vector c.
Es ist folglich ausreichend, die Bewegung ei- Thus, it is sufficient to consider the motion of
nes Teilchens in der Ebene zu betrachten. Nach a particle within a 2D plane. After introducEinfhrung von Polarkoordinaten r, θ bezogen ing polar coordinates with the respect to the
auf das Feldzentrum (dem sogenannten Bary- field centre (the so-called barycentre) the Lanzentrum) lautet die L AGRANGE-Funktion
grangian writes as
µm
m 2
L=
ṙ + r2 θ̇2 +
,
2
r
wobei µ = G(m1 + m2 ). L enthält θ nicht in expliziter Form - θ ist eine zyklische Koordinate.
Das bedeuted, daß für den zugehörigen Impuls
pθ das Bewegungsintegral
∂L
pθ =
∂θ̇
with µ = G(m1 + m2 ). Since L does not depend
upon θ explicitly, θ is a so-called cyclic coordinate. This means that the corresponding general
momentum pθ
= m r2 θ̇
(2.3)
c
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
dr
000000000000000
111111111111111
r(t)
000000000000000
111111111111111
dA
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
r(t+dt)
000000000000000
111111111111111
Figure 2.1: Zusammenhang zwischen dem Drehimpulserhalts und der
Konstanz der Flächengeschwindigkeit Ȧ.
Relationship between the conservation of the orbital spin and the
conservation of the areal velocity Ȧ.
6
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
e
0
0...1
1
>1
p
a
a(1 − e2 )
2q
a(e2 − 1)
Table 2.1: Parameter der Kegelschnitte.
E
<0
<0
0
>0
circle
ellipse
parabola
hyperbola
Parameters of the conics.
existiert. Hieraus folgt nun unmittelbar der is a constant of motion. This finding immediK EPLERsche Flächensatz:
ately implies K EPLER’s second law:
1 1
pθ = mr2 θ̇ = 2m
r · r dθ = 2mȦ = const.
(2.4)
2
dt
Der Ausdruck dA = 21 r · r dθ ist die Sektorfläche, welche vom Radiusvektor innerhalb des
Zeitintervalls dt überstrichen wird. Folglich
gilt: Der Radiusvektor eines Massenpunktes
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Here, the expression dA = 12 r · r dθ is the sector
area swept out by the radius vector in a time
dt. Hence: equal areas are swept out in equal
times.
Die Trajektorie des Körpers erhält man am ein- The body’s trajectory is obtained at simplest by
fachsten aus den Erhaltungssätzen den Drehim- starting with the conversation laws for the orpuls und für die Energie
bital spin and for the energy
p2
∂L
m
µm
∂L
E = ṙ + θ̇ − L = ṙ2 + θ 2 −
(2.5)
∂ṙ
2
2mr
r
∂θ̇
ausgeht. Aus dem letzten Ausdruck erhält man
The last expression gives
p2
2
µm dt =
E+
− 2θ 2
m
r
m r
− 12
dr
(2.6)
and using Gl. (2.3), we can write
und aus Gl. (2.3) folgt nach Einsetzen von dt
− 12
p2θ
pθ
pθ 2 µm dθ =
dt =
E+
− 2 2
dr
m r2
m r2 m
r
m r
and after integration

− 1
2
4
2
2
m µ
pθ m µ
 + const.
θ = arccos 
−
2mE + 2
r
pθ
pθ
(2.7)
und nach Integration

7
(2.8)
Hieraus folgt die Bahngleichung des K EPLERProblems
From here follows the orbit equation of the K E PLER problem
p
r=
,
(2.9)
1 + e cos (θ − ϖ)
wobei
where
1
2E p2θ 2
p2θ
p = 2 und e = 1 + 3 2
m µ
m µ
(2.10)
das sogenannte semilatus rectum und die Exzentrität der Bahn bezeichnen. Die Phase ϖ
wird als Länge des Perizentrums sowie θ als
wahre Länge bezeichnet. Der Winkel f = θ − ϖ
ist die wahre Anomalie.
are the so-called semilatus rectum and the eccentricity of the orbit. The phase ϖ and θ are
called the longitude of the pericentre and true
anomaly, respectively. The angle f = θ − ϖ is
the true anomaly.
Gl. (2.9) ist die Gleichung eines Kegelschnittes
mit dem Koordinatenursprung im Brennpunkt.
Für E < 0 bewegt sich der Körper auf einer Ellipse, während für E < 0 die Trajektorie eine
Hyperbel sowie für E = 0 eine Parabel ist (siehe Tab. (2.1)).
Eq. (2.9) is the general equation of a conic with
the origin of the coordinate system in its focus.
For E < 0 the body moves in a elliptical orbit
while for E < 0 a hyperbola results and for E =
0 a parabola results (see Tab. (2.1)).
2.2 Die elliptische Bahn
The elliptic orbit
Bewegt sich der Körper auf einer Ellipse, so The area swept out by the radius vector of a
überstreicht sein Ortsvektor während eines Um- body moving in an elliptic orbit√per revolution
2
laufs
√ die Fläche A = πa b, wobei a und b = is A = πa b, where a and b = a 1 − e are the
a 1 − e2 die große bzw. kleine Ellipsenhalb- semimajor axis and the semiminor axis, respecachse sind. Damit folgt aus dem Flächensatz tively. Hence by Eq. (2.4) and (2.10), it follows
(2.4) und Gl. (2.10) das dritte K EPLERsche Ge- K EPLER’s third law:
setz:
4π2 3 m3 µ2 π2
T2 =
a =
.
(2.11)
µ
2|E|3
Eine wichtige Schlußfolgerung ist, daß die Umlaufzeit T nur von der Energie des Körpers
abhängt. Die Energie wiederum ist nur eine
Funktion der großen Halbachse
This is an important relationship that shows that
the orbital period T depends only upon the energy of the body. The energy, on the other hand,
is only a function of the semi-major axis
µm
E =− .
(2.12)
2a
8
P
Figure 2.2: Fig. 2.2 Der Urspung der elliptischen Bahn befindet
sich in einem der beiden Brennpunkte F1 oder F2 . Für jeden
beliebigen Bahnpunkt P ist die Summe der Abstände zu den
beiden Brennpunkten konstant (F1 P + F2 P = 2a).
p
f
ae
F2
F1
a(1+e)
b
a(1−e)
a
The origin of the elliptic orbit is one of the foci F1 or F2 .
For any point P on the elliptic orbit is the sum of the distances to
the focal points a constant value (F1 P + F2 P = 2a).
Wirken auf den Körper zusätzliche konservative
Kräfte ein, so bleibt die große Halbachse a seiner Bahn erhalten (siehe Beispiel)!
As a consequence, the semi-major axis is preserved as long as there are only conservative
forces acting on the body (see example)!
Der Energieerhalt des Systems bedingt das E = From the energy conservation of the system folm( 21 v2 − µr ), woraus die Beziehung für die Ge- lows that E = m( 12 v2 − µr ), what gives the relaschwindigkeit folgt
tion for the body’s velocity
2 1
2
v =µ
−
.
(2.13)
r a
Offensichtlich is die Geschwindigkeit im Peri- It is seen that at pericentre,
zentrum
µ 1+e
2
2
v p = v (a(1 − e)) =
a 1−e
is greatest, while at apocentre,
µ 1−e
2
2
va = v (a(1 + e)) =
a 1+e
(2.14)
am größten und im Apozentrum
am kleinsten.
(2.15)
is least.
Für die folgenden Anwendungen ist eine weitere Bewegungsgröße nützlich. Pro Umlaufperiode T vergrößert sich θ um 2π, weshalb man
eine ”mittlere”Winkelgeschwindigkeit – die sogenannte mittlere Bewegung als
For what follows, another quantity is useful to
characterise the orbital motion. Since the angle
θ grows by 2π per orbital period, an ”average”
angular velocity – the so-called mean motion –
can be defined as
2π
n=
T
definieren kann. Daher gilt
Thus,
µ = n2 a3 und
p
pθ
= h = na2 1 − e2 .
m
9
(2.16)
2.2.1 Bestimmung der
Planetenmasse
Determination of a planet’s mass
K EPLERs drittes Gesetz erlaubt die Masse eines Planeten aus seinen Orbitalparametern zu
bestimmen, falls der Planet von einem (künstlichen oder natürlichen) Mond umkreist wird.
Die Masse des Zentralkörpers sei M m planet
und die Mondmasse mmond sei gegen die Planetenmasse m planet vernachlässigbar. Dann folgt
aus Eq. (2.11), daß
For any planet that possesses a satellite, either
natural or artifical, may its mass determined
from the satellite’s orbit by means of K EPLER’s
third law. Let the mass of the central object
be M m planet , and the satellite’s mass mmond
may be neglected compared with the planet’s
mass m planet . Then it follows from Eq. (2.11)
that
G(M + m planet ) ≈ GM = n2planet a3planet und G(m planet + mmond ) ≈ Gm planet = n2mond a3mond ,
und daher
m planet
and hence
amond 3 n planet 2
≈M
.
a planet
nmond
(2.17)
Barycentric orbits
2.2.2 Baryzentrische Orbits
Bisher betrachteten wir die Relativbewegung So far we considered only the relative motion
r = r1 − r2 der Massen m1 und m2 , welche of the masses m1 and m2 which corresponds
auf ein 1-Körper-Problem zurückgeführt wur- with an 1-body-problem. Now the orbits of
de. Nun sollen die Bahnen der Massenpunkte the 2-body-problem is studied with respect to
des 2-Körper-Problems bezogen auf den Mas- their centre of mass, the barycentre. Recall
senmittelpunkt – das Baryzentrum – untersucht that for a centre of mass coordinate system
werden. Wir erinnern, daß für diese Wahl des r1 m1 + r2 m2 = 0. Therefore, the centre of mass
Koordinatenursprungs r1 m1 + r2 m2 = 0 gilt. lies always on the line connecting m1 and m2 .
Folglich liegt der Massenmittelpunkt immer auf Obviously, each mass needs the same time to order Verbindungslinie von m1 und m2 . Offen- bit the centre of mass. Consequently, their mean
sichtlich benötigen beide Körper die gleiche motions are equal, although there semimajor
Zeit für einen Umlauf. Daher sind auch ih- axes are not. Since it follows from Eq. (2.2) that
re mittleren Bewegungen identisch, obgleich es
ihre großen Halbachsen nicht sind. Denn aus
Eq. (2.2) folgt daß
m2
m1
a und a2 =
a,
a1 =
m1 + m2
m1 + m2
10
aber auch
h1 =
m2
m1 + m2
but also
2
p
2
2
h = na1 1 − e und h2 =
m1
m1 + m2
2
h = na22
p
1 − e2 .
Folglich sind die Exzentritäten der Bahnen Thus, the eccentricities of the orbits are equal
identisch und somit die Ellipsen ähnlich.
and hence the ellipses are similar.
K EPLER’s equation
2.2.3 K EPLER-Gleichung
Q
a
E
O
P
r
f
F R
T
Figure 2.3: Zusammenhang zwischen der wahren Anomalie f
und der exzentrischen Anomalie E. Die K EPLER-Ellipse ist von
einem Kreis mit dem Radius a umschrieben, welcher der großen
Halbachse der Ellipse entspricht. Zum Zeitpunkt τ des Perizentrumdurchgangs befand sich der Körper in T, zum Zeitpunkt t in
P.
Relation between the true anomaly f and the eccentric
anomaly E. The radius a of the circumscribed circle is equal to the
semimajor axis of the K EPLER ellipse. At the time of pericentre
passage, τ, the body is at T, while at the time t the body is at P.
Wir wollen nun die Position des Körpers zu ei- We now determine the body’s location to a
ner gegebenen Zeit bestimmen. Die Bahnglei- given time. The obtained equation 2.9 for the
chung des 2-Körper-Problems (2.9) hängt nicht orbital position does not depend explicitly from
explizit von der Zeit ab; wir benötigen daher the time. Thus, we need to find an expression
einen Ausdruck für die Zeitabhängigkeit der for the time-dependence of the true anomaly f .
wahren Anomalie f . Nehmen wir an, daß der Let τ be the time of the pericentre passage; and
Körper das Perizentrum zum Zeitpunkt τ pas- let P be the body’s position at the time t (see
siert und sich zur Zeit t im Punkt P befindet Fig. 2.3). During the period t − τ, an area AFT P
(siehe Abb. 2.3). Während des Zeitraums t − τ has been swept out by the radius vector. Since
hat er dann die Fläche AFT P überstrichen. Für of K EPLER’s third law the ratio of AFT P and the
das Verhältnis zwischen AFT P zur Gesamtfläche total area πab of the ellipse is given by
πab der Ellipse gilt dann aufgrund des dritten
K EPLERschen Gesetzes
πab(t − τ) 1
= 2 ab n(t − τ) = 12 abM,
AFT P =
T
wobei M = n(t − τ) die mittlere Anomalie bezeichnet.
11
where M = n(t − τ) is the mean anomaly.
Die Fläche AFT P wird nun als Anteil an dem Now we express the area AFT P as a fraction of
Kreissegment AOT Q des der Ellipse umschrie- the sector AOT Q of the eccentric circle circumbenen exzentrischen Kreises ausgedrückt:
scribed to the ellipse:
b
AFT P = AFRP + ART P = AFRP + ART Q .
a
Für den letzten Schritt wurde genutzt, daß zwi- In the last step we made use of the property
schen Ellipsen und umschrieben Kreisen die RP/RQ = b/a of ellipses and eccentric circles.
Beziehung RP/RQ = b/a gilt. Nun folgt wei- Now
ter, daß
b
b
AFT P = AFRP + (AOAQ − AORQ ) = 12 r2 sin f cos f + ( 12 a2 E − 12 a2 sin E cos E).
(2.18)
a
a
Wir benötigen nun noch die Beziehung zwi- Now we need to know the relationship between
schen der wahren Anomalie und dem Winkel E the true anomaly f and the angle E - the so- der exzentrischen Anomalie. Es gilt, daß
called eccentric anomaly. Since
FR = r cos f = OR − OF = a cos E − ae,
(2.19)
sowie wiederum aus der Beziehung RP/RQ = and due to the aformentioned property
RP/RQ = b/a
b/a
p
r sin f = b sin E = a 1 − e2 sin E.
(2.20)
Die Summe der Quadrate von Gl. (2.19) und By adding the squares of Eq. (2.19) und (2.20)
(2.20) ergibt dann
we have
r = a(1 − e cos E),
(2.21)
und nach Einsetzen der elliptischen Bahnglei- and after using the definition of the elliptic orbit
chung (2.9) erhält man die gesuchte Beziehung (2.9) we have the desired relation between the
zwischen der wahren und der exzentrischen An- true anomaly and the eccentric anomaly
omalie
cos E − e
cos f =
.
1 − e cos E
Durch Benutzen der trigonometrischen Bezie- Finally, using the double angle formulae this rehung für Doppelwinkel erhält die Beziehung ih- lation can be written as
re endgültige Darstellung
f
1 + e 1/2
E
tan =
tan .
(2.22)
2
1−e
2
Nach Einsetzen der Beziehung in Gl. (2.18) er- After substituting the relation into Eq. (2.18) we
halten wir die sogenannte K EPLER-Gleichung
yield the so-called K EPLER-equation
M = n(t − τ) = E − e sin E.
12
(2.23)
Um die Position des Körpers zur Zeit M = n(t −
τ) zu bestimmen, berechnet man aus der K EP LER -Gleichung (2.23) die entsprechende exzentrische Anomalie E und bestimmt hiermit den
Abstand r mittels Eq. (2.21).
To determine the body’s position at the time
M = n(t − τ) one finds the eccentric anomaly E
from the K EPLER-equation (2.23) and use then
Eq. (2.21) to find the distance r.
2.2.4 Wie löst man die
K EPLER-Gleichung?
How to solve K EPLER’s
equation?
Die K EPLER-Gleichung ist transzendental,
weshalb geschlossene analytische Lösungen
nicht gefunden werden können. Es wurden aber
zahlreiche iterative und numerische Lösungsverfahren entwickelt. Betrachten wir zuerst den
iterativen Ansatz
K EPLER’s equation cannot be solved analytically since this equation is trancendental. However, a large number of iterative and numerical
solutions have been developed. As an example
for an iterative method we consider the ansatz
Ei+1 = M + e sin Ei i = 0 . . . ∞
und dem Startwert E0 = M. Wir nutzen die Win- with E0 = M as the first approximation. Using
kelbeziehung
the formula
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sowie die Taylorreihen
and the series expansions
1
1
sin x = x − x3 + O (x5 ) und cos x = 1 − x2 + O (x4 )
6
2
und finden eine Sinus-F OURIERreihe für E
we obtain a F OURIER sine series for E.
E0 = M
E1 = M + e sin M
E2 = M + e sin(M + e sin M) ≈ M + e sin M + 21 e2 sin(2M) + O (e3 )
E3 = M + (e − 18 e3 ) sin M + 12 e2 sin(2M) + 38 e3 ) sin 3M + O (e4 )
..
.
∞
X
E∞ = M +
bn (n e) sin(nM).
n=1
Die Koeffizienten bn der Sinus-F OURIERreihe
für eine ungerade Funktion f (x) haben die Darstellung
13
(2.24)
2
bn =
π
Z
π
f (x) sin(nx)dx,
0
weshalb für f (M) = E(M) − M = e sin M folgt







π Z π

Z π
Z π


2
2
−e sin E cos nM −
bn =
e sin E sin nM dM =
cos nM dM +
cos nM dE ,

π 0
nπ 
0


0


{z
}
{z
} |0
|

0
0
und nach Ersetzen von M durch die K EP LER gleichung
Z
21 π
2
bn =
cos (nE − ne sin E) dE = Jn (ne).
nπ 0
n
Jn (x) ist die n-te Besselfunktion
Jn (x) is the n-th Bessel function
∞
X
(−1)k x n+2k
Jn (x) =
n ∈ N,
k!(n + k)! 2
k=0
deren ersten Ordnungen lauten:
The first couple of orders are
1
1
J0 (x) = 1 − x2 + x4 + O (x6 ),
4
32
1
1 3
1 5
J1 (x) =
x− x +
x + O (x7 ),
2
16
384
1 2 1 4
J2 (x) =
x − x + O (x6 ),
8
96
1 3
1 5
J3 (x) =
x −
x + O (x7 ).
48
786
Unter Benutzung von Gl. (2.24) findet man
nützliche Reihendarstellungen von weiteren,
häufig genutzten Ausdrücken. Im weiteren werden einige von ihnen ohne Herleitung angegeben (diese findet man beispielsweise in Murray
& Dermott (1999)):
Using Eq. (2.24) one obtains a number of useful series expansions of frequently used expressions. Here, we just list some of them without
any reasoning (the interested reader is referred
to Murray & Dermott (1999)):
r
= 1 − e cos M + 12 e2 (1 − cos 2M) + 38 e3 (cos M − cos 3M) + O (e4 )
a
f − M = 2e sin M + 45 e2 sin 2M + 14 e3 13
sin
3M
−
sin
M
+ O (e4 )
3
14
(2.25)
(2.26)
Figure 2.4:
Newton-Raphson-Verfahren
zur numerischen Lösung von f (E) = 0.
Der verbesserte Wert Ei+1 ist dann durch
den Schnittpunkt der Tangente in f (Ei )
mit der Abzisse gegeben. Offensichtlich
konvergiert das Verfahren für hinreichend
gutmütige Funktionen f (E) (wie die K EP LER -Gleichung) rasch gegen die gesuchte
Nullstelle.
f(E)
f’(E0 )
f’(E1 )
E3 E2
E1
E0
Newton-Raphson method for solving
f (E) = 0 numerically . The improved solution Ei+1 is given by the point of intersection
of the tangent at f (Ei ) with the abscissa.
Obviously the method converges rapidly for
reasonable functions f (E) (as the K EPLER
equation).
sin f = sin M + e sin 2M + e2 ( 89 sin 3M − 78 sin M)
+e3 ( 43 sin 4M − 67 sin 2M) + O (e4 )
(2.27)
cos f = cos M + e(cos 2M − 1) + 98 e2 (cos 3M − cos M)
+ 43 e3 (cos 4M − cos 2M) + O (e4 ).
Bitte beachten Sie, daß die Fourier-Reihe
(2.24) für e > 0.6627434 divergent ist. Numerische Verfahren leiden nicht unter dieser Beschränkung. Als bekanntestes (und auch einfachstes) Beispiel betrachten wir das NewtonRaphson-Verfahren (siehe Abb. 2.4), welches
die Lösung E∞ als Nullstelle von f (E) = E −
e sin E − M = 0 ermittelt. Nach Entwicklung
von f (E) um die Stelle Ei in eine Taylor-Reihe
(2.28)
Please keep in mind that the Fourier series
(2.24) diverges for values of e > 0.6627434.
Numerical methods, however, are not affected
by this limitation. Now we discuss the NewtonRaphson method as the most prominent (and the
most simple) example of a numerical solution.
Here, we express the solution E∞ as the root
of f (E) = E − e sin E − M = 0. By expanding
f (E) into a Taylor series around E
f (Ei + δ) ≈ f (Ei ) + f 0 (Ei )δ + O (δ2 ) = 0
findet man unter Vernachlässigung von Termen
der Ordnung O (δ2 ) das iterative Schema
and by ignoring terms beyond the linear one obtains the iterative scheme
f (Ei )
Ei + δ = Ei+1 = Ei − 0
i = 1 . . . ∞.
(2.29)
f (Ei )
Abb. 2.4 veranschaulicht die geometrische In- Fig. 2.4 depicts the geometrical interpretation
terpretation dieser Methode.
of this method.
15
2.2.5 Berechnung von Ort und
Geschwindigkeit mittels fund g-Funktionen
Calculation of position and
velocity by f and g functions
Wir wollen nun eine weitere Darstellung des
Ortes r und der Geschwindigkeit v für die elliptische Bahn betrachten. Es seien r0 = r(t0 )
und v0 = v(t0 ) der Ort und die Geschwindigkeit
des Körpers zum Zeitpunkt t0 . Dann existieren
skalare Funktionen f (t,t0 ) und g(t,t0 ), daß
Now we consider a simpler way to calculate the
position and the velocity of an object in Keplerian motion. Let r0 = r(t0 ) and v0 = v(t0 ) be
the position vector and the velocity vector of the
object at time t0 . Then there are scalar functions
f (t,t0 ) and g(t,t0 ), so that we can write
rx (t) = f (t,t0 )rx0 + g(t,t0 )ṙx0 und ry (t) = f (t,t0 )ry0 + g(t,t0 )ṙy0 ,
und folglich
and hence
f (t,t0 ) =
rx ṙy0 − ry ṙx0
ry rx0 − rx ry0
und g(t,t0 ) =
.
rx0 ṙy0 − ry0 ṙx0
rx0 ṙy0 − ry0 ṙx0
Diese Gleichungen lassen sich unter Nutzung Using cos f = rx /r and sin f = ry /r the equavon cos f = rx /r und sin f = ry /r als Funktio- tions given above can be expressed as functions
nen der exzentrischen Anomalie E ausdrücken: of the eccentric anomaly E
f (t,t0 ) = ar0−1 [cos(E − E0 ) − 1] + 1,
g(t,t0 ) = n
−1
[sin(E − E0 ) − (E − E0 )] + t − t0 .
(2.30)
(2.31)
Der Zusammenhang zwischen der f- und g- The relationship between the f and g function
Funktion und der Bahngeschwindigkeit ist
and the velocity is
vx (t) = f˙(t,t0 )rx0 + ġ(t,t0 )vx0 und vy (t) = f˙(t,t0 )ry0 + ġ(t,t0 )vy0
mit
with
f˙(t,t0 ) = −a2 n(rr0 )−1 sin(E − E0 ),
ġ(t,t0 ) = ar−1 [cos(E − E0 ) − 1] + 1.
(2.32)
(2.33)
Der große Vorteil der f - und g-Funktionen ist, The major advantage of the f and g function is
daß sie unabhängig von der Wahl des Referenz- that they are independent of the reference syssystems sind.
tem used to express the vectors.
16
y
P
r
a
M
F’
G
Figure 2.5: Das Gyrationszentrum G bewegt sich
mit konstanter Geschwindigkeit n auf dem Kreis
x um den Ellipsenbrennpunkt F. In der Gyrationszentrumsnäherung rotiert dann der Körper P auf einer
2:1-Ellipse um G.
The guiding centre G moves on a circle centred on the focus F of the elliptical orbit. In the
guiding centre approximation, the body at P rotates
with constant angular velocity n around G on a 2:1
ellipse.
f
F
2.2.6 Gyrationszentrumsnäherung
Guiding centre approximation
Die Behandlung der K EPLERbahn ist recht
umständlich. Ist die Exzentrizität der untersuchten Bahn jedoch nur sehr klein, ermöglicht
die Gyrationszentrumsnäherung eine erhebliche mathematische Vereinfachung des Problems. Diese Näherung ist eng mit der Ptolemäischen Beschreibung der Planetenbewegung durch versetzte Kreise verwandt.
Calculating K EPLER orbits is a circumstantial
task. For the description of slightly eccentric orbits, however, it is useful to resort to approximations as the guided centre approximation since
the involved mathematics is much simpler. The
approximation is closely related to Ptolemy’s
description of the orbital motion by displaced
circles.
Der Körper bewege sich auf einer schwachexzentrischen Ellipse mit der großen Halbachse a
um den Brennpunkt F. Wir führen nun ein Koordinatensystem ein, welches auf einer Kreisbahn
mit dem Radius a um F mit einer konstanten
Winkelgeschwindigkeit gegeben durch die mittlere Bewegung n des Körpers rotiert (siehe Abb.
2.5). Den Ursprung dieses Koordinatensystems
bezeichnet man als Gyrationszentrum G. In diesem System hat der Körper die Koordinaten
Suppose an object moving in a slightly elliptic
orbit with the semi-major axis a about the focus
F. Now we introduce a reference frame that rotates about F in a circle of radius a with a constant angular velocity equal to the object’s mean
motion n (see Fig. 2.5).The origin G of this reference frame is called the guiding centre. The
coordinates of the body in this reference frame
are
x = r cos( f − M) − a ≈ −ae cos M und y = r sin( f − M) ≈ 2ae sin M,
wobei wir die erste Ordnung der elliptische Ent- where we used the linear terms of the elliptic
wicklung (2.26) für f − M benutzt haben.
expansion (2.26) for f − M.
17
Hence
Hieraus folgt, daß
y2
x2
+
≈ 1.
(ae)2 (2ae)2
Dies bedeutet, daß sich der Körper in dieser Näherung auf einer Ellipse mit der großen
Halbachse 2ae und der kleinen Halbachse ae
mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit n
um G bewegt. Die Näherung ist von der Ordnung e.
This result means that the body moves in an
ellipse of semi-major axis 2ae and semi-minor
axis ae about G with constant angular velocity
n. This approximation is of the order e.
2.2.7 Die Bahnelemente
The orbital elements
Bahnebene
Apozentrum
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
ω
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
I
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
Ω
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000
111111
aufsteigender
000000000000000000000
111111111111111111111
Referenzebene
Knoten
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
Perizentrum
Figure 2.6: Zur Definition der Parameter einer 3DBahn bezüglich einer Referenzebene. Die Schnittline der
Bahnebene mit der Referenzebene ist die Knotenlinie,
der Winkel I zwischen Referenzebene und Bahnebene
ist die Inklination, der Winkel ω zwischen Knotenlinie und Perizentrum ist Argument des Perizentrums
und der Winkel Ω zwischen der Referenzrichtung und
der Knotenlinie ist die Länge des aufsteigenden Knotens.
Definition of the parameters of a 3D orbit with
respect to a reference plane. The line of intersection
between the reference plane and the orbital plane is
called line of nodes, the angle I between the reference
plane and the orbital plane is the inclination, the angle
ω between the line of nodes and the pericentre is the
argument of the pericentre, and the angle Ω between the
reference line and the line of nodes is the longitude of
the ascending node.
Da sich die Planeten nicht in einer gemeinsamen Ebene bewegen, müssen deren Bahnen im
dreidimensionalen Raum bezüglich einer Referenzebene beschrieben werden. Hierzu werden
6 Bahnelemente benötigt (zur geometrischen
Definition siehe Abb. 2.6); für eine elliptische
Bahn sind das a, e, I, Ω, ω und der Zeitpunkt
des Perizentrumdurchgangs τ.
18
Since the orbital planes of the planets do not coincide we have to describe their orbits in space
with respect to a common reference plane.
There are 6 orbital elements needed to specify
an elliptic orbit in space: a, e, I, Ω, ω and the
time of pericentre passage τ (their definitions
are given in Fig. 2.6).
Für den Fall eines heliozentrischen Koordina- In case of a heliocentric coordinate system one
tensystems wählt man üblicherweise die Eklip- usually chooses the ecliptic (the plane of the
tik (d.h. die Bahnebene der Erde) als Referenze- Earth’s orbit) as reference plane and the direcbene und den Frühlingspunkt als Referenzrich- tion of the vernal equinox as reference line. The
tung. Die Position des Körpers auf einer ellipti- coordinates of a body moving in an elliptic orbit
schen Bahn in dem räumlichen Koordinatensy- in the reference system are
stem ist dann
 


x
cos Ω cos(ω + f ) − sin Ω sin(ω + f ) cos I
y = r  sin Ω cos(ω + f ) + cos Ω sin(ω + f ) cos I  .
(2.34)
z
sin(ω + f ) sin I
2.3 Bahnstörungen
Perturbed orbits
Häufig möchte man den Einfluß von Störkräften
auf die Bahn eines Körpers untersuchen. Im
Rahmen des 2-Körper-Problems bestimmen der
Ort und die Geschwindigkeit des Körpers die
6 Bahnelemente eindeutig. Man stelle sich nun
vor, daß eine Störkraft kurzeitig auf den Körper
einwirkt, wodurch die Position und Geschwindigkeit des Körpers etwas verändert wird. Offensichtlich wird sich der Körper danach auf
einer neuen Bahn mit neuen, konstanten Bahnelementen, den sogenannten oskulierenden Elementen (von lateinisch oskulare – küssen), bewegen. Die folgende Ableitung der oskulierenden Elemente folgt der Arbeit von J. Burns
1976, Am. J. Phys. 44.
In many applications in solar system dynamics additional small forces are acting on a body
moving in an approximately elliptical orbit.
Such forces might be considered as pertubations. Recall that in the framework of the 2body-problem the 6 orbital elements of an object are uniquely constrained by its position and
velocity. Now suppose that an perturbing force
is acting shortly on the body causing a small
change of its velocity and position. Afterwards,
the body is moving in a new orbit characterised
by new orbital elements, the so-called osculating elements (from Latin osculare – to kiss).
The deviation of the osculating elements given
here is based upon the paper by J. Burns 1976,
Am. J. Phys. 44.
r̂ und θ̂ seien Einheitsvektoren parallel und normal zum Radiusvektor r und ẑ sei der Einheitsvektor senkrecht zur Bahnebene. Weiterhin sei
die kleine störende Kraft dF = Rr̂ + T θ̂ + Z ẑ.
Die Änderung der reduzierten Energie C = E/m
ist dann unter Benutzung von Gl. (2.12)
Let r̂ and θ̂ denote unit vectors parallel and
perpendicular to the radius vector r and ẑ denotes the unit vector perpendicular to the orbital
plane. Furthermore, let dF = Rr̂ + T θ̂ + Z ẑ be
the small disturbing force. Using Eq. (2.12) the
change of the reduced energy C = E/m is
µ
Ċ = ṙdF = ṙR + rθ̇T = 2 ȧ.
2a
19
Die Ausdrücke für ṙ und θ̇ = f˙ in obiger The expressions for ṙ and θ̇ = f˙ in the equation
Gleichung findet man durch Differenzieren von above are obtained by differentiating Eq. (2.9),
Gl. (2.9) und erhält
and thus
3/2
a
ȧ = 2 p
(Re sin f + T (1 + cos f )) .
(2.35)
µ(1 − e2 )
Das bedeutet, daß nur Kräfte parallel zur Bahnebene die große Halbachse verändern können.
Aus Gl. (2.12) und (2.16) ergibt sich, daß
This implies that only forces acting parallel to
the orbital plane can change the semi-major
axis. From Eq. (2.12) and (2.16) follows that
e2 = 1 + 2h2Cµ−2 ,
(2.36)
und deshalb berechnet sich die Änderung der and hence, the rate of change of eccentricity calculates as
Exzentrizität
ḣ Ċ
e2 − 1
2 +
.
(2.37)
ė =
2e
h C
Die Änderung des reduzierten Drehimpulses The rate of change of the reduced angular
h entspricht dem angelegten Moment, d.h. momentum equals the applied moment, i.e.
ḣ = r × dF = rT ẑ − rN θ̂. Da der Term rN θ̂ nur ḣ = r × dF = rT ẑ − rN θ̂. The rN θ̂ component
die Richtung von h verändert, aber dessen only affects the direction of h, but not its magLänge erhält, folgt ḣ = rT . Nach Einsetzen der nitude, what implies ḣ = rT . After substitutgefundenen Ausdrücke für ḣ, C, Ċ und ȧ in ing the found expressions for ḣ, C, Ċ and ȧ into
Eq. (2.37) one yields
Gl. (2.37) findet man
1/2
ė = aµ−1 (1 − e2 )
(R sin f + T (cos f + cos E)) .
(2.38)
Folglich kann auch die Exzentrizität nur durch Thus, as for a the eccentricity can only be
Kräfte parallel zur Bahnebene verändert wer- changed by forces parallel to the orbital plane.
den. Wir benötigen nun die Komponenten von We now need the components of h
h
hx = + sign(hz )h sin I sin Ω
hy = − sign(hz )h sin I cos Ω
hz = h cos I
sowie von ḣ
(2.39)
(2.40)
(2.41)
and of ḣ
ḣx = r(T sin I sin Ω + N sin(ω + f ) cos Ω + N cos(ω + f ) cos I sin Ω)
ḣy = r(−T sin I cos Ω + N sin(ω + f ) sin Ω − N cos(ω + f ) cos I sin Ω)
ḣz = r(T cos I − N cos(ω + f ) sin I).
20
(2.42)
(2.43)
(2.44)
im Referenzkoordinatensystem (X,Y, Z). Die expressed within the reference coordinate system (X,Y, Z). Differentiating Eq. (2.39) gives
Ableitung von Gl. (2.39) ist
ḣ/h − ḣz /hz
I˙ = p
(h/hz )2 − 1
und nach Einsetzen der Gln. (2.42 - 2.44) erhält and after substituting Eqn. (2.42 - 2.44) one
man die Beziehung für die Änderung der Inkli- yields the rate of change of the inclination
nation
rN cos(ω + f )
I˙ =
.
(2.45)
h
Diese Gleichung bedeutet, daß die Inklination nur durch Kräfte normal zur Bahnebene verändert werden kann. Der Quotient
von Gl. (2.42) und (2.43) liefert eine Beziehung für die Länge des aufsteigenden Knotens Ω = arctan(−hx /hy ). Dessen Änderung ist
dann
hx ḣy − hy ḣx
Ω̇ =
=
h2 − h2z
This equation implies that the inclination can
only be changed by forces perpendicular to the
orbital plane. Dividing Eq. (2.42) by Eq. (2.43)
yields an relation for the longitude of the ascending node Ω = arctan(−hx /hy ). Its rate of
change is then
sin Ωḣy + cos Ωḣy
.
h sin I
Nach Einsetzen von Gl. (2.9), (2.16), (2.42) und By substituting the Eqn. (2.9), (2.16), (2.42),
(2.43) erhält man die endgültige Beziehung für and (2.43) one finally obtains the relation for Ω̇
Ω̇
rN sin(ω + f )
Ω̇ =
.
(2.46)
h sin f
Zur Herleitung des Ausdrucks für ω̇ erset- To derive an expression for ω̇ we express in the
zen wir in der Bahngleichung (2.9) e durch orbit equation (2.9) e by Eq. (2.36) and h by
Gl. (2.36) und h durch Gl. (2.16) und erhalten
Eq. (2.16) and have
p
h2 = µR 1 + 1 + 2Ch2 µ−2 cos(θ − ω) mit θ = ω + f .
(2.47)
Die zeitliche Änderung von Gl. (2.47) aufgrund The time derivative of Eq. (2.47) due to the applied disturbing force dF is
der äußeren Kraft dF ist
r−1 +C(eµ)−1 cos(θ − ω
ω̇ = 2hḣ
+ θ̇ − 2 e2 µ2Ċ cot(θ − ω)
eµ sin(θ − ω)
h
q
2 + e cos f
−1
−1
2
= e
aµ (1 − e ) −R cos f + T sin f
− Ω̇ cos I.
1 + e cos f
21
(2.48)
Die Gleichung für die Änderung des Zeitpunkts Finally, the equation for the rate of change of
des Perizentrumdurchgangs erhält man durch the time of pericentre passage is obtained by
Differenzieren der K EPLER-Gleichung (2.23): differentiating K EPLER’s equation (2.23):
r
2
a
cos f
2 −1
2
e sin f + a µ (1 − e )
−
R+
τ̇ = 3(τ − t)
µ(1 − e2
1 + e cos f
e
r
a
sin f (2 + e cos f )
2 −1
2
3(τ − t)
(1 + e cos f ) + a µ (1 − e )
T. (2.49)
µ(1 − e2
e(1 + e cos f ))
Beachten Sie, daß auch der Zeitpunkt des Prei- Note that also the time of pericentre passage
zentrumdurchgangs nur durch Kräfte parallel can only be changed by forces within the orbital
zur Bahnebene beeinflußt werden kann.
plane.
2.4 Beispiel: Saturns
E-Ring
Example: Saturn’s E ring
Saturns E-Ring (Abb. 2.7) ist das größte Ringsystem des Sonnensystems. Die radiale Ausdehnung des Rings ist zwischen 3 bis 8 RS (Saturnradius, RS = 60 330km), die optische Tiefe
zeigt ein ausgeprägtes Maximum in der Umgebung der Bahn des Eismondes Enceladus. Erstaunlicherweise ist besteht der E-Ring fast ausschließlich aus 1µm großen Teilchen (Showalter, Cuzzi und Larson 1991 Icarus 94). Das
Maximum der optischen Tiefe in der Nähe
der Enceladus-Bahn deutet darauf hin, daß dieser Mond die Quelle des Rings ist. Allerdings
produzieren Eismonde Staubteilchen mit einer
breiten Massenverteilung, was erstmal im Widerspruch zu der beobachteten engen Massenverteilung steht.
Saturn’s E ring is the largest ring system of
the solar system. The radial extent of the
ring is from 3 to 8 RS (Saturn’s radius, RS =
60 330km). The optical depth shows a pronounced maximum around the orbit of the icy
moon Enceladus. Remarkably, the ring is
composed mainly of particles with 1µm radii
(Showalter, Cuzzi & Larson 1991 Icarus 94).
The maximum of the optical depth in the vicinity of Enceladus’ orbit hints that this moon is
the source of the ring particles. Icy moons,
however, are known to produce particles with
a broad mass range, what seems to be a contradiction with the observed narrow mass distribution.
1991 schlugen Horànyi, Burns und Hamilton In 1991 Horànyi, Burns & Hamilton (Icarus 97)
(Icarus 97) einen Mechanismus vor, der zumin- proposed a mechanism explaining at least some
dest einige Aspekte des E-Rings erklären kann. aspects of the E ring.
22
196
DE PATER ET AL.
Figure 2.7: Saturns Eund G-Ring aufgenommen
mit dem Keck-Teleskop
bei einer Wellenlänge von
2.26 µm (de Pater u. Mit.
1996, Icarus 121).
Image of Saturn’s E
and G rings, taken with
the Keck telescope at a
wavelength of 2.26 µm (de
Pater et al. 1996, Icarus
121).
FIG. 1. Image of the east ansa of Saturn’s E and G rings, taken August 10, 1995, with the W. M. Keck telescope at a wavelength of 2.26 !m.
The image is a sum of 20 individual 1-min exposures, acquired during a period centered around 15 : 06 UT. The figure contains the region 1.4 to
5.6 RS radially from the planet center and !1.0 to 1.0 RS vertically from the equatorial plane; tick-marks around the edge are spaced by 0.2 RS to
indicate the scale. Our May 23 image is not shown; it is similar although slightly inferior in quality.
Sie betrachteten die Teilchenbewegung inner- They restricted the motion of the ring partihalb der Ringebene (d.h. I = 0), und betrachte- cles to the ring plane (i.e. I = 0), and con(1 Jy " 10 W m Hz ). We ignored the very small color term between
looks generally similar although with a lower signal-to-noise ratio and
ten als Störkräfte das Graviationsmoment
J2 = variations.
sidered
only forces due to Saturn’s oblateness
the K magnitude and our wavelength of 2.26 !m. Our calibration uncerlarger background
Both imaging periods were centered near
tainty is #4%. 0.01667
Note that measurements
in
units
of
Jy
are
expected
to
vary
15
:
06
UT.
The
tip
of
the
A
and
F
rings is visible
at the
image
aufgrund der Abflachung des
Saturns, (J2 = 0.01667),
due
toright;
solar
radiation pressure,
in inverse-square proportion to the Saturn–Earth distance D ; measuresaturation results in its substantial vertical thickness. The E ring is the
ments of Jy/linear
arcsec
vary with 1/D ; measurements
broad
bandLorextending and
leftwardthe
from Lorentz
the main ringsforce
almost toas
the edge
den
Strahlungsdruck
derof Jy/square
Sonnearcsec
sowie
die
pertubations. Since
are conserved. The distance D was 9.96 AU on May 23 and 8.78 AU on
of the image. We identify the second bright spot closer to the main rings
August 10. Theentzkraft.
Saturn–Sun distance
very little
(fromder
9.64 to
9.61
as
the G ring.
Da changed
nur die
Form
Bahn
untersucht
we are only interested in the shape of the orAU) between May and August, so this variation can be neglected for our
Figure 2 shows radial profiles from the two images, integrated vertically
werden
soll,
sind
zu
ihrer
Beschreibung
3
oskuosculating
elements
are sufficient to depurposes. The phase angle " was 5.6$ in May and 3.6$ in August.
across the rings. The bits
heavy 3
curves
are integrations
over a projected
To compare our measurements with previous results, we convert from
vertical thickness of 40,000 km, required to encompass the full vertical
lierende
Elemente
ausreichend:
die große
scribe
thepresent
evolution
of aintegrated
ring particle orbit: the
units of Jy/arcsec
to the dimensionless
ratio I/F.
Here reflected intensity,
extent ofHalbthe E ring. The
thin curves
(partial) profiles
I, is expressed relative to F, where #F is the incident solar flux density
vertically between the half-power points at the peak of the E ring. This
achse a, die Exzentrizität e und die technique
Längeprovides
des a higher
semi-major
axis a, the eccentricty e, and the
at Saturn for the given wavelength. By this definition, I/F " 1 for a
signal-to-noise ratio but at the cost of absolute
perfectly diffusing
‘‘Lambert’’ surfaceω.
when
viewed
at normal incidence
photometric
accuracy; longitude
it also improves the
visibility
of the G ring relative
Perizentrums
Für
schwachexzentrische
Bahof
the pericentre
ω. For small eccenand emission angles. We find that solar F " 4.05 % 10
W m Hz
to the much broader E ring.
at & " 2.26 !m
(L. Dones,
personal communication
1995,Gl.
cf. Showalter
The heavier
profile intricities,
each panel shows
the E
ring extends
outward and (2.46) can be
nen
vereinfachen
sich die
(2.35), (2.37)
und
thethatEq.
(2.35),
(2.37)
et al. 1991). Note that values for I/F are independent of D and can be
to $6 R , where it blends in with the background level. It has a peak
(2.46)
zu
simplified
as
readily compared to other wavelengths because the variations of the solar
near 4 R , very close to the orbit of Enceladus. The full thickness at half!26
!2
!1
!
!
!
2
!15
!2
!1
!
spectrum are removed.
The integration times for individual images was 30 sec in May and 60
sec in August. To improve sensitivity, we averaged together 20 images
from each observing session in May and August separately, resulting in
total integration times of 10 and 20 min, respectively. Since we had shifted
the telescope pointing for each image to avoid amplification of bad pixels
in the detector, the images had to be aligned carefully before the averaging
was performed. First, we rotated the images to a common orientation,
in which Saturn’s north pole points upward and the eastern ring ansa
points toward the left. This rotation involved a re-pixellation of the images
but the corresponding reduction in image resolution was negligible. Next,
we inferred the precise pointing geometry of each frame. For most of
the May images, one or more of Saturn’s moons was visible and could
be used as a pointing reference; for those images not containing moons,
we used background stars whose positions had been measured from the
other images. The tip of the main rings/F ring served as the geometric
reference for all of the August images. Residual pointing uncertainties
are generally smaller than one pixel.
Figure 1 shows the averaged image from August 10; the May image
S
S
maximum (FTHM) of the E ring is 8500 # 500 km inside 4 RS , rising to
$12,000 # 1500 km near 5 RS . Its full thickness before it fades into the
image background is $30,000 km, regardless of distance to Saturn. In
August, the E ring’s peak edge-on I/F " (3.4 # 0.3) % 10!6 (32 # 3 !Jy/
arcsec2). When integrated over the ring’s full vertical thickness, peak
I/F values for August are 37.5 # 1.1 m (56 # 5 !Jy/linear arcsec or
17.65 # 0.07 mag/linear arcsec). (Note that I/F is dimensionless, so integrated I/F has dimension of length.) The results for May and August are
the same to within the uncertainties; we do not detect a significant variation with phase angle.
The lighter profiles in Fig. 2 show the G ring with a peak near 2.72
RS and an abrupt decrease in brightness outside 2.80 RS . In projection,
it extends radially over '0.15 RS ('9000 km). It decreases only gradually
inward from its peak, as one would expect qualitatively for an edge-on
profile of a narrow ring. Its full vertical thickness is $6000 km, which is
comparable to the projected point-response function of the image; as a
result, this serves only as a crude upper limit on the G ring’s thickness.
Since, in projection, the G ring sits on top of the E ring (see Fig. 2) we
must extrapolate and subtract the E ring’s contribution in order to infer
hȧi = 0
hėi = β sin ω
β
hω̇i =
cos ω + γ.
e
Das Symbol hi deutet an, daß die Ausdrücke
über einen Umlauf gemittelt wurden. β ist eine Funktion des spezifischen Drehimpulses h
und des Strahlungsdrucks, und γ ist die Präzessionsrate des Perizentrums in Abwesenheit des
Strahlungsdrucks. Gl. (2.50) besagt, daß a erhalten bleibt (das ist auch nicht weiter verwunderlich, da alle Kräfte konservativ sind).
23
(2.50)
(2.51)
(2.52)
The symbol hi indicates that the expressions
were averaged over one orbital period. β is a
function of the specific angular momentum h
and of the radiation pressure. γ is the rate of precession of the pericentre in absence of radiation
pressure. Eq. (2.50) implies the conservation of
a (what is no surprise since all perturbing forces
are conservative.)
3 Das beschränkte The restricted
Three-Body3-KörperProblem
Problem
3.1 Bewegungsgleichungen Equations of motion
Die Bewegung zweier Körper um ihr Massenzentrum wird durch die K EPLERtheorie geschlossen dargestellt; für die gravitativ gebundene Bewegung dreier Körper ist dies allgemein nicht möglich. Dies gelingt nicht einmal
für Probleme, in welchen die Masse des dritten Körpers vernachlässigt werden darf und somit die Bewegung der beiden anderen Körper
von diesem unbeeinflußt ist. Unter der zusätzlichen Annahme, daß sich die beiden ”massiven” Körper auf Kreisbahnen um ihren Massenmittelpunkt bewegen, wird das Problem hinreichend vereinfacht – wir sprechen dann vom beschränkten Dreikörperproblem.
The K EPLER theory provides a closed solution
for the motion of two bodies about their common centre of mass. It is impossible to achieve
such a solution for the problem of the gravitational interaction of three bodies. In fact, it
is even not possible to obtain a closed solution
when the third is small enough to neglect its influence onto the motion of the two other masses.
To make progress, one often simplifies the problem further by assuming that the two ”massive”
bodies move in coplanar, circular orbits about
their centre of mass. This is called the circular,
restricted, three-body problem.
Um die Formulierung des Problems zu vereinfachen, definieren wir die Masseneinheit so,
daß µ = G(m1 + m2 ) = µ1 + µ2 = 1 gilt. Die
Bewegung von m1 und m2 wird durch das
Zweikörperproblem beschrieben; folglich rotieren sie mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
n = a−2/3 um ihren Massenmittelpunkt, wobei
a ihr Abstand ist (siehe Kap. 2.2.2).
For the sake of simplicity we chose the mass
unit such that µ = G(m1 + m2 ) = µ1 + µ2 = 1.
The motion of m1 and m2 is given by the twobody-problem. Thus, they orbit about their
centre of mass at constant angular velocity
n = a−2/3 , where a is the separation of the two
bodies (see Sec. 2.2.2).
24
Es ist deshalb nahliegend, die Bewegung der
Masse m3 in einem um den Massenmittelpunkt
mit n rotierenden synodischen Koordinatensystem (x, y, z) zu untersuchen, in welchem die
Positionen der Massen m1 und m2 ortsfest sind.
Die x-Achse soll auf der Verbindungslinie von
m1 und m2 liegen. Weiterhin wählen wir die
Längeneinheit so, daß der Abstand der beiden
Massenpunkte eins ist. Die Koordinaten von m1
und m2 sind dann (−µ2 , 0, 0) sowie (µ1 , 0, 0).
Durch diese Wahl folgt auch n = 1.
Thus, it is natural to consider the motion of m3
within a coordinate system (x, y, z) rotating at n
about the centre of mass. This has the advantage that within the synodic coordinate system
the locations of m1 and m2 are fixed. The direction of the abcissa is chosen to be aligned with
the line connecting m1 and m2 . We define the
length unit such that the separation of m1 and
m2 equals 1. Then, the coordinates of the two
bodies are (−µ2 , 0, 0) and (µ1 , 0, 0). It further
follows that n = 1.
Die Bewegungsgleichungen für m3 im inertia- The equations of motion for m3 within inertial,
len – siderischen – Koordinatensystem (ξ, η, ζ) siderial coordinates (ξ, η, ζ) are
lauten
ξ1 − ξ
ξ2 − ξ
+ µ2 3 ,
3
r1
r2
η1 − η
η2 − η
η̈ = µ1 3 + µ2 3 ,
r1
r2
ζ1 − ζ
ζ2 − ζ
ζ̈ = µ1 3 + µ2 3 ,
r1
r2
ξ̈ = µ1
wobei r1 und r2 die Abstände von m1 und m2
zu m3 sind. Der Zusammenhang zwischen den
synodischen und siderischen Koordinaten ist
  
ξ
cost
η =  sint
ζ
0
(3.1)
(3.2)
(3.3)
where r1 and r2 are the distances between m1
and m3 , and between m2 and m3 , respectively.
The relation between the siderial and the synodic coordinates is
 
− sint 0
x


cost 0
y .
(3.4)
0
1
z
Hieraus berechnet man durch zweimaliges Ab- We obtain the accelerations within the sideric
leiten die Beschleunigungen im siderischen Sy- system by differentiating this relation twice and
stem und findet nach Einsetzen in die Gl. 3.1- find after inserting them into Eqs. 3.1-3.3
3.3
(ẍ − 2ẏ − x) cost − (ÿ − 2ẋ − y) sint =
x2 − x
µ1 µ2
x1 − x
µ1 3 + µ2 3
cost + 3 + 3 y sint
r1
r2
r1 r2
(ẍ − 2ẏ − x) sint + (ÿ − 2ẋ − y) cost =
x1 − x
x2 − x
µ1 µ2
µ1 3 + µ2 3
sint − 3 + 3 y cost
r1
r2
r1 r2
25
(3.5)
(3.6)
µ1 µ2
z̈ = − 3 + 3
r1 r2
Hieraus erhalten wir:
z.
(3.7)
We yield
x + µ2
x − µ1
ẍ − 2ẏ − x = − µ1 3 + µ2 3
r1
r2
µ1 µ2
ÿ − 2ẋ − y = − 3 + 3 y
r1 r2
durch Gl. (3.5) · cost+Gl. (3.6) · sint
durch Gl. (3.6) · cost−Gl. (3.5) · sint.
Wir drücken abschließend die Beschleunigun- If we finally express the accelerations as the
gen als Gradient einer skalaren Funktion (Pseu- gradient of a scalar function (a pseudo potendopotential)
tial)
1 2
µ1 µ2
1 r12
1 r22
2
U(x, y, z) =
(x + y ) +
+
= µ1
+
+ µ2
+
− 12 µ1 µ2 (3.8)
2
r
r
r
2
r
2
1
2
| {z }
| 1 {z 2}
Zentrifugalpotential
Gravitationspotential
aus und erhalten die Bewegungsgleichungen we obtain the equations of motion of the redes beschränkten Dreikörperproblems:
stricted, circular three-body-problem
ẍ − 2ẏ = ∂xU,
ÿ − 2ẋ = ∂yU,
z̈ = ∂zU.
3.1.1 Das Jacobiintegral
(3.9)
(3.10)
(3.11)
The Jacobi integral
Aufgrund unserer Voraussetzungen vermag m3 Due to our assumption does m3 not affect the
die Bewegung der Massen m1 und m2 nicht be- motion of m1 and m2 . Consequently, neither the
einflussen. Daher ist offensichtlich weder der angular momentum nor the energy is conserved.
Energieerhalt noch der Drehimpulserhalt gege- However, it is possible to find an integral of moben. Es läßt sich allerdings ein Bewegungsinte- tion corresponding with an energy integral. If
gral finden, welches dem Energieintegral äqui- we multiply Eq. (3.9) with ẋ, Eq. (3.10) with ẏ,
valent ist. Hierzu multipliziert man Gl. (3.9) mit and Eq. (3.11) with ż and add the results we get
ẋ, Gl. (3.10) mit ẏ und Gl. (3.11) mit ż, addiert
die Ergebnisse
1 dv2
dU
1d 2
(ẋ + ẏ2 + ż2 ) =
= ∂xU ẋ + ∂yU ẏ + ∂zU ż =
ẍẋ + ÿẏ + z̈ż =
2 dt
2 dt
dt
26
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
m1
m2
m1
0.0
−0.5
−0.5
−1.0
−1.0
m2
−1.5
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
und erhält nach Integration
Figure 3.1: Ausgeschlossene Bereiche
(weiß) für die Bewegung von m3 um m1
und m2 (µ2 = 0.2) mit CJ = 3.5 (links)
und CJ = 4.5 (rechts).
Excluded areas (white) for the motion
of m3 about m1 and m2 (µ2 = 0.2) for
the cases CJ = 3.5 (left) and CJ = 4.5
(right).
and yield after integration
v2 − 2U = −CJ .
(3.12)
Das JACOBIintegral CJ ist das einzige Bewe- The JACOBI integral CJ is the only integral
gungsintegral des beschränkten Dreikörperpro- of the motion of the restricted three-bodyblems. Folglich kann die Lösung dieses Pro- problem. Thus, the solution of the problem canblems nicht in geschlossener analytischer Form not be given in closed form. In the siderial sysangegeben werden. In siderischen Koordinaten tem the JACOBI integral writes as
lautet das JACOBIintegral
µ1 µ2
2
2
2
ξ̇ + η̇ + ζ̇ − 2
+
− 2h · n = −CJ ,
(3.13)
r1 r2
|
{z
}
E/2
wobei n = (0, 0, n) und h = ṙ × r der reduzierte Drehimpulsvektor ist. Da dieser nicht erhalten bleibt, ist auch die reduzierte mechanische
Energie E hier keine Erhaltungsgröße.
where n = (0, 0, n) and h = ṙ × r is the reduced
angular momentum vector. Since h is not conserved, the reduced mechanical energy E is not
conserved as well.
Mittels des JACOBIintegrals kann jedoch untersucht werden, in welchen Bereichen die Masse
m3 prinzipiell angetroffen werden kann. Offensichtlich ist dies nur dort möglich, wo CJ ≥ 2U
erfüllt ist, da anderenfalls die Geschwindigkeit
imaginär ist. Für v = 0 beschreibt Gl. (3.12) für
einen gegeben Wert von CJ eine Hyperfläche
– die H ILLschen Grenzfläche (welche symmetrisch zur x-y-Ebene und zur x-z-Ebene ist) –
deren Schnitt mit der Bahnebene die Nullgeschwindigkeitskurven definieren.
The JACOBI integral is valuable in gaining information about regions in which the body m3
can be found. Obviously this is only possible
where CJ ≥ 2U, since otherwise the velocity
would be complex. For v = 0 and a given value
for CJ Eq. (3.12) describes a hyper surcface,
called H ILL’s limiting surface (which is symmetric to the x-y-plane and to the x-z-plane).
The intersections of the H ILL surface with the
orbital plane defines the zero velocity curves.
27
Die H ILLschen Grenzflächen trennen Gebiete,
innerhalb deren eine Bewegung von m3 möglich
ist, von solchen, wo dies ausgeschlossen ist (siehe Abb. 3.1). Beispielsweise kann in der rechten
Abbildung die Probemasse niemals den Bereich
um m1 verlassen und danach m2 umkreisen.
H ILL surfaces are separating regions in which
the motion of m3 is possible from such where
m3 is excluded (see Fig. 3.1). As an example
let us consider the left plot. In this case, a test
particle orbiting m1 cannot leave this region and
start to orbit m2 .
3.1.2 Das T ISSERAND-Kriterium
The T ISSERAND criterion
Im allgemeinen werden die Bahnelemente ei- The orbital elements of a comet after a close apnes Kometen während eines dichten Vorbeiflugs proach to a planet will be changed. Its JACOBI
an einem Planeten verändert; das entsprechende integral, however, will remain unaffected. This
JACOBIintegral bleibt jedoch erhalten. Dies er- property allows to derive a relation between the
laubt es, eine Beziehung zwischen den Bahn- orbital elements of a comet before and after a
elementen eines Kometen vor einem dich- close encounter. To achieve p
this, we replace h ·
ten Vorbeiflug und nach dem Vorbeiflug zu n in Eq. (3.13) by h cos I = a(1 − e2 ), where
finden. In der siderischen Darstellung (3.13) I is the inclination of the comet’s orbital plane
des JACOBI
p integrals ersetzen wir h · n durch with respect to the planet’s orbital plane. The
h cos I = a(1 − e2 ), wobei I die Inklination motion of the comet about the sun is described
der Kometenbahnebene bezogen auf die Pla- by the two-body-problem as long as its distance
netenbahnebene ist. In großer Entfernung vom from the disturbing planet is large. Thus, before
störenden Planeten wird die Kometenbewe- (and after) the encounter we are allowed to use
gung um die Sonne durch das Zweikörperpro- Gl. (2.13), i.e. ξ̇2 + η̇2 + ζ̇2 = 2/r − 1/a. As
blem beschrieben; daher gilt in guter Nähe- another consequence of that, 1/r2 1. Since
rung Gl. (2.13), d.h. ξ̇2 + η̇2 + ζ̇2 = 2/r − 1/a µ2 1 we can furthermore neglect the µ2 term
als auch 1/r2 1. Aufgrund von µ2 1 ver- in Eq. (3.13) and have
nachlässigen wir den µ2 -Term in Gl. (3.13) und
erhalten
q
1
+ a(1 − e2 ) cos I ≈ const.
2a
Somit sind die Bahnelemente des Kometen Thus, the orbital elements of the comet before
nach dem Vorbeiflug näherungsweise mit de- the encounter are approximately related to its
nen vor dem Vorbeiflug durch das T ISSERAND- elements after the encounter by
Kriterium
q
q
1
1
0 (1 − e02 ) cos I 0 =
+
a
+
a(1 − e2 ) cos I
(3.14)
2a0
2a
verknüpft.
This relation is known as the T ISSERAND criterion.
28
3.1.3 Gleichgewichtspunkte
Equilibrium points
Wir wollen nun solche Konfigurationen untersuchen, in welchen die Bewegung der Masse m3 im synodischen System stationär ist.
Solche Gleichgewichtspunkte werden als L A GRANGEpunkte bezeichnet. Die Stationarität
erfordert, daß ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = 0 ( die Bewegung
sei auf die Bahnebene beschränkt). Die Bewegungsgleichungen (3.9) und (3.10) lauten dann
We are now studying configurations when the
motion of m3 within the synodic system is stationary. Such equilibrium points are called L A GRANGIAN points. Stationary motion requires
that ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = 0 (the motion is confined
to the orbital plane). Thus, the equations of motion (3.9) and (3.10) become
∇U = 0,
(3.15)
und nach Berechnung der partiellen Ableitun- and by evaluating the partial derivatives of the
gen des Potentials
potential we have
µ1 (1 − r1−3 )(x + µ2 ) + µ2 (1 − r2−3 )(x − µ1 ) = 0
(3.16)
µ1 (1 − r1−3 )y + µ2 (1 − r2−3 )y = 0.
(3.17)
Wir untersuchen zuerst die triviale Lösung
1 − r1−3 = 1 − r2−3 = 0. Hieraus folgt dann, daß
r1 = r2 = 1. Daher beschreibt diese Lösung
zwei Gleichgewichtspunkte, welche jeweils mit
m1 und m2 ein gleichseitiges Dreieck bilden. Ihre Koordinaten erhält man aus der Definition
von r1 und r2
r12 = 1 = (x + µ2 )2 + y2
und
woraus folgt
At first we consider the trivial solution
1 − r1−3 = 1 − r2−3 = 0, so that r1 = r2 = 1.
Thus, this solution describes two equilibrium
points each forming a equilateral triangle with
m1 and m2 . Using the definitions for r1 and r2
r22 = 1 = (x − µ1 )2 + y2 ,
(3.18)
we get the coordinates of the two points
x = 21 − µ2
√
und
Diese L AGRANGEpunkte bezeichnet man als
Dreieckspunkte L4 und L5 (üblicherweise nennt
man den führenden Dreieckspunkt L4 ). Es existieren keine weiteren L AGRANGEpunkte außerhalb der x-Achse.
29
y=±
3
2 .
(3.19)
Those L AGRANGIAN points are known as the
triangular points L4 and L5 (by convention the
leading point is denoted by L4 ). There are no
other L AGRANGIAN points off the x-axis.
Wir suchen nun mögliche Gleichgewichtspunkte auf der x-Achse. Hierfür existieren drei
mögliche Konfigurationen: zwischen m1 und m2
(L1 ), rechts von m2 (L2 ) und links von m1 (L3 ).
We now turn to consider equilibrium points lying on the x-axis. There are three possible configurations: between m1 and m2 (L1 ), outside of
m2 (L2 ), and outside of m1 (L3 ).
Im L1 gilt r1 + r2 = 1 und deshalb r1 = x + µ2 At the L1 we have r1 + r2 = 1 and thus r1 = x +
und r2 = −x + µ1 . Aus Gl. (3.16) folgt dann die µ2 and r2 = −x + µ1 . From Gl. (3.16) follows
Beziehung
then the relation
1 − r2 − 13 r23
µ2
3
,
= 3r2
µ1
(1 + r2 + r22 )(1 − r2 )3
welche näherungsweise durch
which is approximately solved by
µ2
4
5
3
r2 = α − 13 α2 − 91 α3 − 23
α
+
O
(α
),
α
=
81
3µ1
(3.20)
gelöst wird.
Im L2 gilt r1 − r2 = 1 und deshalb r1 = x + µ2 At the L2 we have r1 − r2 = 1 and thus r1 =
und r2 = x − µ1 . Aus Gl. (3.16) folgt dann die x + µ2 and r2 = x − µ1 . From Gl. (3.16) follows
Beziehung
then the relation
1 + r2 + 13 r23
µ2
= 3r23
,
µ1
(1 + r2 )2 (1 − r23 )
welche näherungsweise durch
which is approximately solved by
4
5
r2 = α + 13 α2 − 19 α3 − 31
81 α + O (α )
(3.21)
gelöst wird.
Im L3 gilt r2 − r1 = 1 und deshalb r1 = −x − µ2 At the L3 we have r2 − r1 = 1 and thus r1 =
und r2 = −x + µ1 . Aus Gl. (3.16) folgt dann die −x − µ2 and r2 = −x + µ1 . From Gl. (3.16) folBeziehung für r1
lows then the relation for r1
3
µ2 (1 − r1 )(1 + r1 )2
= 3 2
,
µ1
r1 (r1 + 3r1 + 3)
welche näherungsweise durch
which is approximately solved by
µ2
3
4
7
7 2
r2 = 2 − 12
β + 12
β − 13223
20736 β + O (β ), β = µ
1
gelöst wird.
30
(3.22)
µ2 = 0.3
1.5
L4
1.0
L4
1.0
0.5
0.5
0.0 L3
m1 L
1
m2
L2
−0.5
0.0
L3
m1 L m2 L
1
2
−0.5
L5
−1.0
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
µ2 = 0.01
1.5
L4
1.0
0.5
0.0
µ2 = 0.1
1.5
L5
−1.0
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
µ2 = 0.001
1.5
L4
1.0
0.5
L3
m1
L1 m2L2
−0.5
0.0
L3
m1
L1mL2 2
−0.5
L5
−1.0
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
L5
−1.0
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Figure 3.2:
Lage der L AGRAN GE punkte für vier verschiedene Werte
von µ2 . Die gepunktete Linie markiert
einen Kreis mit dem Radius 1 (d.h. mit
dem Abstand zwischen m1 und m2 )
um die Masse m1 . Die vollen Linien
markieren Nullgeschwindigkeitskurven
für einige Werte von CJ . Beachten Sie,
daß für alle Planeten-Mond-Systeme
in unserem Sonnensystem µ2 ≤ 0.01
(außer für Pluto-Charon: µ2 = 0.1).
Location of the L AGRANGIAN
points for 4 values of µ2 . The dotted
line denotes a circle with the radius 1
(i.e. the distance between m1 and m2 )
centred at m1 . The solid lines mark zero
velocity curves for some values of CJ .
Please note, that for all planet-moon
systems in our solar system µ2 ≤ 0.01
(except for Pluto-Charon: µ2 = 0.1).
Abbildung 3.2 zeigt die Lage der L AGRAN GEpunkte für einige realistische Werte von µ2 .
Für µ2 → 0 nähert sich der L3 dicht dem Einheitskreis um m1 an und L1 und L2 werden nahezu äquidistant bezüglich m2 . Diese symmetrische Konfiguration ist für alle Planeten-MondSysteme des Sonnensystems gegeben.
In Fig. 3.2 the location of the L AGRANGIAN
points is shown for some realistic values of µ2 .
For µ2 → 0 the L3 is approaching the unit circle
centred on the centre of mass. Furthermore, L1
and L2 become almost equidistant with respect
to m2 . This symmetric configuration holds for
all planet-moon-systems of the solar system.
3.1.4 Stabilität der
L AGRANGEpunkte
Stability of the L AGRANGIAN
points
Wir kennen nun die Lage der Gleichgewichtspunkte; wir wissen jedoch nicht, ob die Bewegung von m3 in einem solchen Punkt dynamisch
stabil ist. Dies kann man ermitteln, indem man
die Reaktion von m3 auf kleine Störungen aus
der Gleichgewichtslage untersucht. Hierzu linearisieren wir die Gl. (3.9) und (3.10) in der
Umgebung eines Gleichgewichtspunkts.
We now know the location of the equilibrium
points. We do not know, however, whether the
motion of m3 situated at such a point is dynamically stable. Therefore, one needs to examine
how the test particle reacts on a small displacement from its equilibrium configuration. To
achieve this we linearise the Eq. (3.9) and (3.10)
in the vicinity of an equilibrium point.
31
Der Gleichgewichtspunkt habe die Koordinaten
(x0 , y0 ) und die kleine Störung sei (X,Y ). Dann
folgt nach Entwicklung des Potentials in eine
TAYLORreihe und nach Vernachlässigung aller
nichtlinearen Terme
ẍ0 − 2ẏ0 + Ẍ − 2Ẏ = ∂xU ≈
| {z }
0 wg. Gl. (3.15)
ÿ0 + 2ẋ0 + Ÿ + 2Ẋ = ∂yU ≈
| {z }
0 wg. Gl. (3.15)
The equilibrium point may have the coordinates (x0 , y0 ) and the small displacement may
denoted by (X,Y ). If we expand the potential
into a TAYLOR series and neglect all non-linear
terms, we have
∂xU|0
| {z }
+ X∂x ∂xU|0 +Y ∂y ∂xU|0 = XUxx +YUxy ,
∂yU|0
| {z }
+Y ∂y ∂yU|0 + X∂x ∂yU|0 = YUyy + XUyx ,
0 wg. Gl. (3.15)
0 wg. Gl. (3.15)
wobei wir die symbolische Schreibweise
∂i ∂ jU|0 = Ui j benutzt haben. Dieses Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung für die
Störungen formulieren wir nun in ein System
erster Ordnung um
  
0
0
Ẋ
Ẏ   0
0
 =
Ẍ  Uxx Uxy
Ÿ
Uxy Uyy
where we used the symbolic notation
∂i ∂ jU|0 = Ui j . Now we transform this system
of second-order differential equations into a
system of first-order differential equations by
1
0
0
−2
 
X
0


1 Y 
,
2 Ẋ 
Ẏ
0
(3.23)
oder in Matrixschreibweise Ẋ = Â · X. Um or by writing the equations in matrix form
das Differentialgleichungssystem zu entkop- Ẋ = Â · X. To decouple the system of differpeln, definieren wir nun eine Matrix B̂, de- ential equations we define a matrix B̂ whose
ren Spalten durch die Eigenvektoren von  ge- columns are the eigenvectors of Â. If we define
bildet werden, und vereinbaren weiterhin, daß that Z = B̂X it can be easily shown that
Z = B̂X. Dann läßt sich leicht zeigen, daß gilt


λ1 0 0 0
 0 λ2 0 0 

Ż = B̂ÂB̂−1 Z = 
(3.24)
 0 0 λ3 0  Z,
0 0 0 λ4
wobei λ1 . . . λ4 die Eigenwerte von  sind.
Gl. (3.24) ist ein System entkoppelter Differentialgleichungen der Form Żi = λi Zi , deren
Lösung elementar ist:
Zi = ci eλit
where λ1 . . . λ4 are the eigenvalues of Â. We
now have a system of uncoupled differential
equations of the type Żi = λi Zi which are solved
by
i = 1 . . . 4.
(3.25)
Die Koeffizienten ci müssen aus den An- The coefficients ci have to be determined from
fangsbedingungen bestimmt werden. Aufgrund the initial values. Since of Z = B̂X the solution
von Z = B̂X ist dann der Lösungsvektor von of Eq. (3.23) is
Gl. (3.23)
32

c1 eλ1t


X = B̂−1  ...  .

c1
Jede Komponente des Lösungsvektors ist somit eine Linearkombination der Komponenten
P
von Z, d.h. von der Form Xi = di exp(λit).
Die Eigenwerte sind im allgemeinen komplex
λi = ji + iki . Die rein imaginären Anteile der
Eigenwerte beschreiben Oszillationen um den
Gleichgewichtspunkt, während die realen Anteile der Eigenwerte zum exponentielle Wachsen oder Dämpfen der Störungen führt. Hat
folglich wenigstens ein Eigenwert einen positiven Realteil, so wird der entsprechende
Exponentialterm unbegrenzt wachsen und der
Gleichgewichtspunkt ist instabil. Zur Bestimmung der Stabilität ist es deshalb ausreichend,
die Eigenwerte von Gl. (3.23) zu untersuchen.
(3.26)
eλ4t
Each component of the solution is a linear combination ofP
the components of Z, i.e. of the
form Xi = di exp(λit). The eigenvalues can
be complex λi = ji + iki . The imaginary part
of the eigenvalue results in oscillations about
the equilibrium point, while the real part of the
eigenvalue causes either an exponential growth
or an exponential damping of the pertubation.
Thus, if there is an eigenvalue with a positive real part then the corresponding term will
grow exponentially, and the equilibrium point
is unstable. Therefore, to determine the stability it is sufficient to examine the eigenvalues of
Gl. (3.23).
Die Eigenwerte von  sind die Lösungen der The eigenvalues of  are the solutions of the
charakteristischen Gleichung | − λÊ| = 0:
characteristic equation | − λÊ| = 0:
2
λ4 + (4 −Uxx −Uyy )λ2 +UxxUyy −Uxy
= 0.
Dieses Polynom vierten Grades ist zugleich ei- This is a quartic equation, but is also a quadratic
ne quadratische Gleichung für λ2 , deren Lösun- equation in λ2 . Hence,
gen lauten
1
2
λ2a = 12 (Uxx +Uyy − 4) − 12 (Uxx +Uyy − 4)2 − 4(UxxUyy −Uxy
) 2,
1
2
λ2b = 12 (Uxx +Uyy − 4) + 12 (Uxx +Uyy − 4)2 − 4(UxxUyy −Uxy
) 2.
Daher sind die Eigenwerte des Problems von
der allgemeinen Form (+λa , −λa , +λb , −λb ).
Dieses Ergebnis verschärft das obige Stabilitätskriterium, da zu einem Eigenwert
λi = ja + ika mit ja < 0 immer ein zweiter
Eigenwert λ j = − ja − ika existiert. Daher
erfordert Stabilität, daß alle Eigenwerte rein
imaginär sind.
33
(3.27)
Thus, the eigenvalues of our problem are of
the general form (+λa , −λa , +λb , −λb ). This
finding leads to a even stronger stability criterion as the previous one, since an eigenvalue λi = ja + ika with ja < 0 will always
be matched by a second eigenvalue with
λ j = − ja − ika . Thus, stability requires that all
eigenvalues are purely imaginary.
Wir nutzen nun die allgemeine Eigenschaft ei- We now make use of the property of polynomines Polynoms, das daß Produkt seiner Wurzeln als that the product of its roots equals its condem konstanten Glied entspricht:
stant term. Hence,
2
λ1 λ2 λ3 λ4 = λ2a λ2b = UxxUyy −Uxy
.
Für rein imaginäre Eigenwerte muß dann λ2a < 0 If the eigenvalues are purely imaginary we have
2
2
und λ2b < 0 erfüllt sein, woraus wir eine not- λa < 0 and λb < 0 From this follows a necessary
wendige (aber nicht hinreichende) Bedingung (but not sufficient) condition for stability.
für die Stabilität erhalten
2
.
UxxUyy > Uxy
Man kann leicht zeigen, daß diese Bedingung
für die kolinearen Punkte L1 , L2 und L3 für keinen Wert von µ2 erfüllt wird. Die kolinearen
L AGRANGEpunkte sind instabil.
(3.28)
It can be easily shown that in the colinear case
this condition is never fulfilled regardless of the
value of µ2 . The colinear L AGRANGIAN points
are unstable.
Wir untersuchen nun die Stabilität der bei- We now examine the stability of the two trianden Dreieckspunkte L4 und L5 . Für diese sind gular points L4 and L5 . In this case Uxx = 34 ,
Uxx = 43 , Uyy = 94 und Uxy = ± 34 (1 − 2µ2 ) und Uyy = 94 , and Uxy = ± 34 (1 − 2µ2 ). Eq. (3.27)
Gl. (3.27) lautet nun
then becomes
n
o1
1
1
2
λa,b = 2− 2 −1 ± {1 − 27µ2 (1 − µ2 )} 2 .
(3.29)
λa und λb sind nur dann gleichzeitig rein imaginär, falls 0 ≤ 1 − 27µ2 (1 − µ2 ) ≤ 1. Daher lautet die Satbilitätsbedingung für L4 und L5 (im
Sinne der hier genutzten linearen Analyse), daß
λa and λb are only simultaneously purely imaginary if 0 ≤ 1 − 27µ2 (1 − µ2 ) ≤ 1. Thus, the
stability condition for L4 and L5 (in the sense of
the applied linear analysis) is
µ2 ≤ 0.0385.
Wir betrachten abschließend die Bewegung des
Testteilchens in der Umgebung eines Dreieckspunkts. Die Lösung von Gl. (3.23) für den stabilen Fall ist
(3.30)
Finally, we turn our attention to the motion of
the test particle in the vicinity of a triangular
point. The stable solution of Eq. (3.23) is given
by
X(t) = 2a1 cos |λa |t + 2a2 cos |λb |t − 2b1 sin |λa |t − 2b2 sin |λb |t,
Y (t) = 2c1 cos |λa |t + 2c2 cos |λb |t − 2d1 sin |λa |t − 2d2 sin |λb |t.
(3.31)
Im stabilen Fall ist µ2 1, und daher sind nun In the stable case µ2 1 and hence, the eigendie Eigenwerte Gl. (3.29) in guter Näherung
values are in a good approximation given by
1
27 12
2
λa ≈ −1 + 27
µ
und
λ
≈
− 4 µ2 .
(3.32)
2
b
4
34
Die Gl. (3.31) beschreiben die Überlagerung
von zwei Oszillationen um den Gleichgewichstpunkt: eine Oszillation mit der Periode
2π/|λa | ≈ 2π (d.h. nahezu mit der Rotationsperiode von m2 um m1 ) und eine Oszillation mit
der Periode 2π/|λb | 2π, die sogenannte Libration.
Eq. (3.31) describes the superposition of two oscillations about the equilibrium point: one oscillation with the period 2π/|λa | ≈ 2π (i.e. close
to the orbital period of m2 w.r.t. m2 ), and one
oscillation with the period 2π/|λb | 2π, called
libration.
3.1.5 Kaulquappen- und
Hufeisenorbits
Tadepole and Horseshoe orbits
(a) L4 −[0.0065, 0.0065]
v0: (0., 0.)
L4
1.0
(b) L4 −[0.008, 0.008]
v0: (0., 0.)
L4
1.0
0.5
0.0
1.5
Figure 3.3:
Beispiele für quasiperiodische Kaulquappenorbits um den
L4 für µ2 = 10−3 .
0.5
m1
m2
0.0
−0.5
−0.5
−1.0
−1.0
m1
m2
9.6.2004 libration.pro 1.0 (c) S. Kempf, 2004
1.5
−1.5
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
1.0
(a) L4 −(1.4757261, 0.)
v0: (0., −0.06118)
L4
1.0
0.5
0.0
(b) L4 −(1.5264961, 0.)
v0: (0., −0.04032)
L4
0.5
m1
m2
−0.5
−1.0
1.5
Figure 3.4:
Beispiele für quasiperiodische Hufeisenorbits um den L4
für µ2 = 9.53875 10−4 . Es wurden 35
Orbits von m2 um m1 verfolgt (Taylor
1981, A&A 103).
0.0
m1
m2
−0.5
L5
−1.0
L5
9.6.2004 libration.pro 1.0 (c) S. Kempf, 2004
1.5
−1.5
−1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
35
Examples for quasi-periodic tadepole orbits about the L4 for µ2 = 10−3 .
The orbits were followed for 15
revolutions of m2 about m1 .
Examples
for
quasi-periodic
horseshoe orbits about the L4 for
µ2 = 9.53875 10−4 . The orbits were
followed for 35 revolutions of m2 about
m1 (Taylor 1981, A&A 103).