Spieltheoretische Methoden in der Logik - informatik.uni

Spieltheoretische Methoden in der Logik
Markus Lohrey
Universität Leipzig
http://www.informatik.uni-leipzig.de/alg/lehre/ss09/SPIELE/
Sommersemester 2009
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
1 / 203
0. Allgemeines
Überblick:
1
Motivation
2
Mathematische Grundlagen
3
Unendliche Spiele
4
Erreichbarkeitsspiele
5
Modallogik und Logik 1.Stufe
6
Paritätsspiele
7
Modaler µ-Kalkül
Literatur:
Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics, and Infinite Games: A
Guide to Current Research. Lecture Notes in Computer Science 2500,
Springer 2002
Stirling. Modal and Temporal Properties of Processes, Springer 2001
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2 / 203
Motivation
Model-Checking
Das Model-Checking Problem für eine Logik L
(z. B. Prädikatenlogik oder Modallogik):
EINGABE: Eine endliche Struktur A (z. B. ein Graph) und eine Formel
ϕ∈L
FRAGE: Gilt ϕ in A, kurz A |= ϕ?
Beispiel: ϕ = ∀x∀y ∀z : E (x, y ) ∧ E (y , z) → E (x, z)
Dies ist eine Formel der Prädikatenlogik (= Logik 1.Stufe), die in einer
Struktur A = (V , E ) (ein gerichteter Graph) genau dann gilt, wenn die
Kantenrelation E transitiv ist.
Model-Checking hat vielerlei Anwendungen in der Informatik:
Automatische Verifikation von Software- und Hardwaresystemen
Datenbanktheorie
Künstliche Intelligenz
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Motivation
Model-Checking und Spiele
Unser Ansatz zur Lösung des Model-Checking Problems:
Konstruiere aus A, ϕ eine Spiel G (A, ϕ) in der zwei Spieler Adam und
Eve gegeneinander spielen.
Eve versucht zu zeigen, dass A |= ϕ gilt.
Adam versucht zu zeigen, dass A 6|= ϕ gilt.
G (A, ϕ) wird so konstruiert, dass gilt:
A |= ϕ
⇐⇒
Eve hat eine Gewinnstrategie im Spiel G (A, ϕ)
Viele Fragen müssen noch geklärt werden:
Welche Strukturen A betrachten wir?
Welche Logiken L betrachten wir?
Wie sieht das Spiel G (A, ϕ) aus?
Was bedeutet “Eve eine Gewinnstrategie in G (A, ϕ)?”
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4 / 203
Mathematische Grundlagen
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir die benötigten mathematischen
Grundlagen einführen.
Endliche und unendliche Wörter
Graphentheoretische Grundbegriffe
Ordinalzahlen
Fixpunkte
Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
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5 / 203
Mathematische Grundlagen
Endliche und unendliche Wörter
Definition (endliche und unendliche Wörter)
Sei A eine beliebige Menge. Mit A∗ bezeichnen wir die Menge aller
endlichen Wörter über A.
Das leere Wort wird stets mit ε bezeichnet.
Mit Aω = {a1 a2 a3 · · · | ai ∈ A für alle i ≥ 1} bezeichnen wir die Menge
aller unendlichen Wörter über A.
Sei A∞ = A∗ ∪ Aω .
Definition (Menge der vorkommenden Symbole)
Für w ∈ A∞ definieren wir:
(
{a1 , . . . , an } falls w = a1 · · · an ∈ A∗
Occ(w ) =
{a1 , a2 , . . .} falls w = a1 a2 · · · ∈ Aω
Occ(w ) ist also die Menge aller Symbole aus A, die in w vorkommen.
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6 / 203
Mathematische Grundlagen
Endliche und unendliche Wörter
Definition (erstes Symbol)
Für w ∈ A∞ \ {ε} ist first(w ) das erste Symbol in w .
Definition (Menge der unendlich oft vorkommenden Symbole)
Für w = a1 a2 · · · ∈ Aω definieren wir:
Inf(w ) = {a | es existieren unendlich viele i mit ai = a} ⊆ A
Inf(w ) ist also die Menge aller Symbole aus A, die in w unendlich oft
vorkommen.
Definition (Präfix)
Ein endliches Wort u ∈ A∗ ist Präfix (oder Anfangsstück) des Worts
v ∈ A∞ , falls ein Wort w ∈ A∞ mit v = uw existiert.
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7 / 203
Mathematische Grundlagen
Gerichtete Graphen
Definition (gerichteter Graph)
Ein gerichteter Graph ist ein Paar G = (V , E ), wobei
V eine beliebige Menge ist (die Menger der Knoten).
E ⊆ V × V ist die Menge der Kanten.
Definition (Pfade)
Ein endlicher Pfad in G ist eine endliches Wort w = v1 v2 · · · vn ∈ V ∗ mit
(vi , vi+1 ) ∈ E für alle 1 ≤ i ≤ n − 1.
Ein unendlicher Pfad in G is eine unendliches Wort w = v1 v2 v3 · · · ∈ V ω
mit (vi , vi+1 ) ∈ E für alle i ≥ 1.
Definition (Nachfolger eines Knoten)
Für u ∈ V sei NG (u) = {v ∈ V | (u, v ) ∈ E } die Menge aller Nachfolger
von u.
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8 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
Definition (partielle Ordnung)
Ein partielle Ordnung ist ein Paar (M, ≤), wobei M eine beliebige Menge
ist, und ≤ ⊆ M × M eine binäre Relation auf M mit folgenden
Eigenschaften ist:
1
∀a ∈ M : a ≤ a (Reflexivität)
2
∀a, b, c ∈ M : (a ≤ b ∧ b ≤ c) =⇒ a ≤ c (Transitivität)
3
∀a, b ∈ M : (a ≤ b ∧ b ≤ a) =⇒ a = b (Antisymmetrie)
Wir schreiben a < b, falls a ≤ b und a 6= b.
Definition (lineare Ordnung)
Eine partielle Ordnung (M, ≤) ist eine lineare Ordnung, wenn gilt:
∀a, b ∈ M : a ≤ b ∨ b ≤ a
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(Linearität).
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9 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
Definition (wohlfundiert)
Eine partielle Ordnung (M, ≤) ist wohlfundiert, falls jede nicht-leere
Teilmenge A ⊆ M ein minimales Element besitzt:
∃a ∈ A ∀b ∈ A : b ≤ a → a = b
Lemma 1
Eine partielle Ordnung (M, ≤) ist wohlfundiert genau dann, wenn keine
unendliche Folge · · · < a2 < a1 < a0 mit a0 , a1 , . . . ∈ M gibt.
Beweis:
“⇒”: Gelte · · · < a2 < a1 < a0 für a0 , a1 , . . . ∈ M.
Dann hat die nicht-leere Menge A = {ai | i ≥ 0} kein minimales Element.
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10 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
“⇐”: Sei A 6= ∅ eine Teilmenge von M ohne minimales Element.
Wähle a0 ∈ A beliebig.
Wähle a1 ∈ A mit a1 < a0 .
Wähle a2 ∈ A mit a2 < a1 · · ·
Satz 2 (Noethersche Induktion)
Sei (M, ≤) eine wohlfundierte partielle Ordnung und A ⊆ M. Dann gilt
A = M genau dann, wenn
∀a ∈ M (∀b < a : b ∈ A) → a ∈ A
(1)
Beweis:
“⇒” klar.
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11 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
“⇐”: Gelte (1).
Angenommen es gilt M \ A 6= ∅.
Dann besitzt M \ A ein minimales Element a ∈ M \ A.
∀b < a : b 6∈ M \ A, d. h. b ∈ A.
(1)
a ∈ A. Widerspruch!
Definition (Wohlordnung)
Eine lineare wohlfundierte Ordnung ist eine Wohlordnung.
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12 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
Beispiele:
(Z, ≤), (Q+ , ≤) und (R+ , ≤) sind lineare Ordnungen, aber keine
Wohlordnungen.
Für jede Teilmenge A ⊆ N ist (A, ≤) eine Wohlordung.
(N ∪ {ω}, ≤) (wobei ω > n für alle n ∈ N) ist eine Wohlordung.
Wenn wir Worte in {a, b}∗ nach der Länge, und gleichlange Worte
lexikographisch ordnen, dann erhalten wir eine Wohlordnung auf {a, b}∗ :
ε < a < b < aa < ab < ba < bb < aaa < · · ·
Die Struktur dieser Ordnung entspricht der von (N, ≤).
Die lexikographische Ordnung ≤ auf {a, b}∗ ist eine lineare Ordnung, aber
keine Wohlordnung wegen · · · < a3 b < aab < ab < b.
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13 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordnungen
Beispiele:
Betrachten nun die lexikographische Ordnung auf der Menge a+ ∪ b+ :
a < a2 < a3 < · · · < b < b 2 · · ·
Dies ist eine Wohlordnung, welche anders strukturiert als (N, ≤) ist:
Zu dem Wort b gibt es unendlich viele kleinere Worte, während es in
(N, ≤) zu jeder Zahl nur endlich viele kleinere Zahlen gibt.
Diese Ordnung ist auch anders strukturiert als (N ∪ {ω}, ≤), weil es kein
größtes Element gibt.
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14 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Zwei Wohlordnungen (M1 , ≤1 ) und (M2 , ≤2 ) sind isomorph, falls es eine
bijektive Abbildung h : M1 → M2 gibt mit:
∀a, b ∈ M1 : a ≤1 b ⇐⇒ h(a) ≤2 h(b).
Wir schreiben (M1 , ≤1 ) ≃ (M2 , ≤2 ), falls (M1 , ≤1 ) und (M2 , ≤2 ) isomorph
sind.
Offensichtlich ist die binäre Relation ≃ eine Äquivalenzrelation auf der
Klasse aller Wohlordnungen.
Definition (Ordinalzahlen)
Eine Ordinalzahl ist eine Isomorphieklasse wohlgeordneter Mengen, d. h.
eine Äquivalenzklasse bezüglich ≃.
Anders ausgedrückt: Wenn wir von Ordinalzahlen sprechen, dann reden wir
über Wohlordnungen, aber wir unterscheiden nicht zwischen isomorphen
Wohlordnungen.
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15 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Es sei ξ = (M, ≤) eine Ordinalzahl und a ∈ M. Es sei
ξ<a = (M, ≤)<a := ({x ∈ M | x < a}, ≤).
Dann ist ξ<a wiederum eine Ordinalzahl.
Eine Ordinalzahl ξ ′ ist echtes Anfangsstück von ξ, wenn es ein a ∈ M gibt,
so dass ξ ′ und ξ<a isomorph sind.
Notation: ξ ′ ⊏ ξ
Wir schreiben ξ ′ ⊑ ξ, falls ξ ′ ⊏ ξ oder ξ ′ = ξ gilt.
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16 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Satz 3
Sei M eine Menge von Ordinalzahlen. Dann ist (M, ⊑) eine Wohlordnung.
Beweis:
Behauptung 1: Es gibt keine Folge von Ordinalzahlen der Form
· · · ⊏ ξ3 ⊏ ξ2 ⊏ ξ1 ⊏ ξ0
(2)
Angenommen, es gibt eine Folge von Ordinalzahlen der Form (2).
Sei ξi = (Mi , ≤i ).
Wegen ξi+1 ⊏ ξi gibt es ein ai ∈ Mi , so dass (Mi+1 , ≤i+1 ) isomorph zu
(Mi , ≤i )<ai ist.
O.B.d.A. sei (Mi+1 , ≤i+1 ) = (Mi , ≤i )<ai für alle i ≥ 0.
· · · a3 <0 a2 <0 a1 <0 a0 .
Widerspruch, da (M0 , ≤0 ) eine Wohlordnung ist!
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17 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Aus Behauptung 1 folgt insbesondere, dass es keine Ordinalzahl ξ mit
ξ ⊏ ξ gibt.
Behauptung 2: Die Relationen ⊏ und ⊑ sind transitiv, ⊑ ist reflexiv.
Dies ist offensichtlich.
Behauptung 3: Die Relation ⊑ ist antisymmetrisch.
Seien hierzu ξ1 und ξ2 zwei Ordinalzahlen mit ξ1 ⊑ ξ2 und ξ2 ⊑ ξ1 .
Wenn ξ1 6= ξ2 , dann gilt ξ1 ⊏ ξ2 und ξ2 ⊏ ξ1 und damit ξ1 ⊏ ξ1 wegen der
Transitivität von ⊏. Widerspruch!
Behauptung 4: Die Relation ⊑ ist linear.
Seien hierzu ξ1 = (M1 , ≤1 ) und ξ2 = (M2 , ≤2 ) wieder zwei Ordinalzahlen.
Wir definieren eine Relation f ⊆ M1 × M2 durch: (a1 , a2 ) ∈ f genau dann,
wenn (M1 , ≤1 )<a1 und (M2 , ≤2 )<a2 isomorph sind.
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18 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Eigenschaften von f , wobei dom(f ) = {x ∈ M1 | ∃y ∈ M2 : (x, y ) ∈ f }
und ran(f ) = {y ∈ M2 | ∃x ∈ M1 : (x, y ) ∈ f }:
(a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ f =⇒ (a1 ≤1 b1 ⇐⇒ a2 ≤2 b2 )
(3)
b1 ∈ dom(f ) ∧ a1 <1 b1 =⇒ a1 ∈ dom(f )
(4)
b2 ∈ ran(f ) ∧ a2 <2 b2 =⇒ a2 ∈ ran(f )
(5)
Aus (3) folgt, dass f eine bijektive Abbildung von dom(f ) nach ran(f ) ist,
denn aus (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ f folgt:
a1 = b1 ⇐⇒ a1 ≤1 b1 ≤1 a1 ⇐⇒ a2 ≤2 b2 ≤2 a2 ⇐⇒ a2 = b2 .
Ausserdem ist nach (3) f auch noch ordnungserhaltend, d. h. f ist ein
Isomorphismus zwischen (dom(f ), ≤1 ) und (ran(f ), ≤2 ):
(dom(f ), ≤1 ) ≃ (ran(f ), ≤2 )
(6)
Wir machen nun eine Fallunterscheidung.
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19 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Fall 1: M1 \ dom(f ) 6= ∅
Da (M1 , ≤1 ) eine Wohlordnung ist, existiert a1 = min(M1 \ dom(f )).
(4)
dom(f ) = {x ∈ M1 | x <1 a1 }, d. h. (dom(f ), ≤1 ) = (M1 , ≤1 )<a1
Fall 1.1: M2 \ ran(f ) 6= ∅
Da (M2 , ≤2 ) eine Wohlordnung ist, existiert a2 = min(M2 \ ran(f )).
(5)
(6)
ran(f ) = {x ∈ M2 | x <2 a2 }, d. h. (ran(f ), ≤2 ) = (M2 , ≤2 )<a2 .
(M1 , ≤1 )<a1 ≃ (M2 , ≤2 )<a2
(a1 , a2 ) ∈ f . Widerspruch!
Fall 1.2: M2 \ ran(f ) = ∅, d. h. M2 = ran(f ).
(6)
(M1 , ≤1 )<a1 ≃ (M2 , ≤2 ).
ξ2 ⊏ ξ1 .
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20 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Fall 2: M1 \ dom(f ) = ∅, d. h. M1 = dom(f ).
Fall 2.1: M2 \ ran(f ) 6= ∅.
Völlig analog zu Fall 1.2 ergibt sich ξ1 ⊏ ξ2 .
Fall 2.2: dom(f ) = M1 , ran(f ) = M2 . Dann gilt ξ1 = ξ2 wegen (6).
Aus Satz 3 folgt, dass für jede Ordinalzahl ξ = (M, ≤) die Ordnung
({χ | χ ⊏ ξ} ⊑) eine Wohlordnung ist.
Es ist sogar die gleiche Wohlordnung: ξ = ({χ | χ ⊏ ξ}, ⊑).
Definiere hierzu die Abbildung h : M → {χ | χ ⊏ ξ} durch
h(a) = (M, ≤)<a = ξ<a ⊏ ξ.
Dies ist ein Isomorphismus zwischen ξ = (M, ≤) und ({χ | χ ⊏ ξ}, ⊑).
In Worten: Jede Ordinalzahl kann mit der Menge aller echt kleineren
Ordinalzahlen identifiziert werden.
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21 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Ein Paradoxon:
A) Es gibt keine größte Ordinalzahl, weil man zu jeder Ordinalzahl durch
Anhängen eines größten Elements eine größere Ordinalzahl konstruieren
kann.
B) Es sei O die Menge aller Ordinalzahlen.
Dann ist (O, ⊑) eine Ordinalzahl.
Nun sei ξ = (M, ≤) eine beliebige Ordinalzahl. Es gilt ξ ∈ O.
Dann sind ξ und (O, ⊑)⊏ξ isomorph durch die Abbildung
h : M → O mit h(a) := ξ<a für alle a ∈ M.
Damit ist jede Ordinalzahl ξ ein echtes Anfangstück von (O, ⊑), d. h.
(O, ⊑) ist die größte Ordinalzahl.
Wo ist der Fehler?
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22 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Es gibt drei Arten von Ordinalzahlen:
1
Die Ordinalzahl über der leeren Menge (∅, ≤).
2
Ordinalzahlen, die ein größtes Element besitzen.
Diese werden als Nachfolgerordinale bezeichnet.
3
Nichtleere Ordinalzahlen, die kein größtes Element besitzen.
Diese werden als Limesordinalzahlen bezeichnet.
Zu jedem n ∈ N notieren wir mit n die Ordinalzahl {1, 2, . . . , n}, ≤ ,
insbesondere sei 0 die Ordinalzahl (∅, ≤).
Zu jeder Ordinalzahl ξ notieren wir mit ξ + 1 die Ordinalzahl, die durch
Anhängen eines neuen größten Elements an ξ entsteht.
Es gilt ξ ⊏ ξ + 1 und es gibt keine Ordinalzahl ξ ′ mit ξ ⊏ ξ ′ ⊏ ξ + 1.
Eine Ordinalzahl ξ ist ein Nachfolgerordinal, genau dann, wenn eine
Ordinalzahl ξ ′ mit ξ = ξ ′ + 1 existiert.
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23 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Ein “kleines” Anfangsstück der Ordinalzahlen lautet:
0 ⊏ 1 ⊏ 2··· ⊏ ω ⊏ ω + 1 ⊏ ω + 2··· ⊏ ω + ω
= ω · 2 ⊏ ω · 2 + 1 ⊏ ω · 2 + 2 ⊏ ··· ⊏ ω · 3 ⊏ ··· ⊏ ω · ω =
ω
ω 2 ⊏ ω 3 ⊏ · · · ⊏ ω ω ⊏ ω ω ⊏ · · · ω1 ⊏ · · · ,
hierbei ist ω1 die kleinste nicht abzählbare Ordinalzahl.
Wohlordnungsprinzip
Jede Menge M kann wohlgeordnet werden, d. h. es existiert eine
Wohlordnung ≤ auf M.
Das Wohlordnungsprinzip ist zum Auswahlaxiom der Mengenlehre
äquivalent.
Es ist “nicht-konstruktiv”, z. B. kann niemand eine Wohlordnung der
reellen Zahlen konstruktiv angeben.
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24 / 203
Mathematische Grundlagen
Ordinalzahlen
Prinzip der transfiniten Induktion (siehe Satz 2)
Sei (M, ≤) eine Wohlordnung und sei A ⊆ M eine Teilmenge mit
∀x ∈ M : (∀y < x : y ∈ A) =⇒ x ∈ A.
(7)
Dann gilt A = M.
Mit transfiniter Induktion kann man Aussagen für beliebige wohlgeordnete
Mengen beweisen.
Um eine Aussage A für alle Elemente einer Menge M zu beweisen, wählt
man sich zunächst eine Wohlordnung ≤ auf M (existiert nach dem
Wohlordnungsprinzip) und zeigt dann (7).
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25 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Sei A eine Menge und f : 2A → 2A .
Die Abbildung f ist monoton, falls für alle X , Y ∈ 2A gilt:
X ⊆ Y =⇒ f (X ) ⊆ f (Y ).
Y ∈ 2A ist Fixpunkt von f , falls f (Y ) = Y gilt.
Sei Y ∈ 2A ein Fixpunkt von f . Y ist kleinster (bzw. größter) Fixpunkt
von f , falls für alle Fixpunkte X ∈ 2A von f gilt: Y ⊆ X (bzw. X ⊆ Y ).
Im Allgemeinen muss ein Fixpunkt (geschweige denn ein kleinster bzw.
größter Fixpunkt) von f nicht existieren. Aber:
Satz 4 (Fixpunktsatz von Knaster-Tarski)
Sei f : 2A → 2A eine monotone Abbildung. Dann hat f einen kleinsten
Fixpunkt µf und einen größten Fixpunkt νf und es gilt:
\
[
µf = {Y ⊆ A | f (Y ) ⊆ Y } und νf = {Y ⊆ A | Y ⊆ f (Y )}.
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26 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Beweis:
Wir beweisen zunächst die Existenz eines kleinsten Fixpunktes µf . Sei
F = {Y ⊆ A | f (Y ) ⊆ Y }.
Beachte: F =
6 ∅ (denn f (A) ⊆ A) und jeder Fixpunkt von f gehört zu F.
T
Definiere µf = F.
∀Y ∈ F : µf ⊆ Y
∀Y ∈ F : f (µf ) ⊆ f (Y ) ⊆ Y wegen der Monotonie von f :
T
T
f (µf ) ⊆ {Y ⊆ A | Y ∈ F} = F = µf , d. h. f (µf ) ⊆ µf .
µf ∈ F.
Wir müssen noch µf ⊆ f (µf ) zeigen:
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27 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Aus f (µf ) ⊆ µf und der Monotonie von f folgt f (f (µf )) ⊆ f (µf ).
f (µf ) ∈ F.
T
µf = {Y | Y ∈ F} ⊆ f (µf ).
Also gilt f (µf ) = µf und µf ⊆ Y für alle Y ∈ F (und damit auch für alle
Fixpunkte Y von f ).
Wir beweisen nun die Existenz des größten Fixpunktes νf .
Für Y ⊆ A sei g (Y ) = A \ f (A \ Y ).
g ist monoton.
Definiere νf = A \ µg .
f (νf ) = f (A \ µg ) = A \ (A \ f (A \ µg )) = A \ g (µg ) = A \ µg = νf .
Also ist νf ein Fixpunkt von f .
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28 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Sei nun Y ein beliebiger Fixpunkt von f , d. h. f (Y ) = Y .
A \ Y = A \ f (Y ) = A \ f (A \ (A \ Y )) = g (A \ Y ).
A \ Y ist Fixpunkt von g .
µg ⊆ A \ Y (da µg der kleinste Fixpunkt von g ist)
Y ⊆ A \ µg = νf .
Also ist νf der größte Fixpunkt von f .
S
Behauptung: νf = {Y ⊆ A | Y ⊆ f (Y )}.
T
Es gilt: µg = {Y ⊆ A | g (Y ) ⊆ Y }.
Also gilt:
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29 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
νf
= A \ µg
\
= A \ {Y
[
=
{A \ Y
[
=
{A \ Y
[
=
{A \ Y
[
=
{Y | Y
| g (Y ) ⊆ Y }
| g (Y ) ⊆ Y }
| A \ f (A \ Y ) ⊆ Y }
| f (A \ Y ) ⊇ A \ Y }
⊆ f (Y )}
Aus dem Beweis von Satz 4 folgt:
Lemma 5
Sei f : 2A → 2A monoton und sei g : 2A → 2A definiert durch
g (Y ) = A \ f (A \ Y ) für alle Y ∈ 2A . Dann gilt: νf = A \ µg .
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30 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
“Berechnung” des kleinsten und größten Fixpunktes von f :
Satz 6 (Knaster-Tarski)
Sei f : 2A → 2A eine monotone Abbildung.
Definiere für jede Ordinalzahl ξ die folgenden “Approximationen”:
F0 = ∅
Fξ+1 = Fξ ∪ f (Fξ )
[
Fχ =
Fξ
ξ⊏χ
F0 = A
F ξ+1 = F ξ ∩ f (F ξ )
\
Fχ =
F ξ für ein Limesordinal χ
ξ⊏χ
Dann existieren kleinste Ordinalzahlen α, β mit Fα = Fα+1 und
F β = F β+1 und es gilt Fα = µf und F β = νf .
Beachte: ξ ⊑ χ =⇒ Fξ ⊆ Fχ und F ξ ⊇ F χ .
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SS 2009
31 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Beweis von Satz 6:
Sei α eine beliebige Ordinalzahl deren Kardinalität größer als die
Kardinalität von A ist (wir können z. B. nach dem Wohlordnungsprinzip
für α eine Wohlordnung auf 2A wählen).
Angenommen es gilt Fχ ( Fχ+1 für alle χ ⊏ α.
Dann erhalten wir eine injektive Abbildung i : α = {χ | χ ⊏ α} → A,
indem wir für alle χ ⊏ α ein xχ ∈ Fχ+1 \ Fχ auswählen und i(χ) = xχ
setzen.
Die Existenz einer solchen Injektion widerspricht jedoch |α| > |A|.
Aufgrund der Wohlordnung der Ordinalzahlen existiert also die kleinste
Ordinalzahl α mit Fα = Fα+1 .
Analog ergibt sich die Existenz der kleinsten Ordinalzahl β mit F β = F β+1 .
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SS 2009
32 / 203
Mathematische Grundlagen
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Fα = Fα+1 = Fα ∪ f (Fα ) und F β = F β+1 = F β ∩ f (F β ).
f (Fα ) ⊆ Fα und F β ⊆ f (F β ).
µf ⊆ Fα und νf ⊇ F β (Satz 4).
Wir zeigen nun Fα ⊆ µf (analog ergibt sich F β ⊇ νf ).
Behauptung: Für jede Ordinalzahl χ gilt Fχ ⊆ µf .
Beweis durch transfinite Induktion über χ.
(i) χ = 0: Es gilt Fχ = ∅ ⊆ µf .
(ii) χ = ξ + 1: Nach IA gilt Fξ ⊆ µf .
Aus der Monotonie von f folgt Fξ+1 = f (Fξ ) ∪ Fξ ⊆ f (µf ) ∪ µf = µf .
(iii) χ ist ein Limesordinal:
Nach IA gilt Fξ ⊆ µf für alle ξ ⊏ χ.
S
Fχ = ξ⊏χ Fξ ⊆ µf .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
33 / 203
Unendliche Spiele
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir 2-Personen Spiele auf Graphen
untersuchen.
Idee:
Knoten des Graphen entsprechen Spielpositionen.
In jeder Spielposition muss einer von zwei Spielern, die wir Adam und
Eve nennen, ziehen.
Die Kanten des Graphen entsprechen dabei den möglichen Spielzügen.
Später werden wir solche Spiele benutzen, um das Model-Checking
Problem für diverse Logiken zu lösen.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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34 / 203
Unendliche Spiele
Spielarenen
Definition (Spielarena)
Eine Spielarena ist ein Tripel G = (S, →, ρ), wobei
(S, →) ein gerichteter Graph ist mit N(S,→) (s) 6= ∅ für alle s ∈ S
(keine Sackgassen) und
ρ : S → {Adam, Eve} ist eine Abbildung, die jeder Spielposition s ∈ S
einen Spieler ρ(s) ∈ {Adam, Eve} zuordnet (der Spieler, der in s
ziehen muss).
Beachte: S muss nicht endlich sein.
Für s ∈ S sei im folgenden NG (s) = N(S,→) (s).
Definiere Adam = Eve und Eve = Adam.
Für x ∈ {Adam, Eve} sei Sx = {s ∈ S | ρ(s) = x} die Menge aller Knoten,
wo Spieler x ziehen muss.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
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35 / 203
Unendliche Spiele
Partien
Konvention
Ein Tripel (S, →, ρ), wobei (S, →) ein gerichteter Graph ist und
ρ : S → {Adam, Eve}, identifizieren wir mit der Spielarena
(S, → ∪ {(s, s) | s ∈ S, N(S,→) (s) = ∅}, ρ).
Sackgassen werden also durch Hinzufügen von Schleifen eliminiert.
Definition (Partien)
Eine Partie in der Spielarena G ist ein unendlicher Pfad w ∈ S ω in dem
Graphen (S, →).
Wir sagen, dass die Partie w ∈ S ω in der Position first(w ) ∈ S beginnt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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36 / 203
Unendliche Spiele
Gewinnbedingungen
Beachte: Partien dauern bei uns also stets unendlich lange.
Trotzdem wollen wir bestimmen, welcher Spieler eine Partie gewinnt.
Die allgemeinste Definition lautet:
Definition (Gewinnbedingungen und Spiele)
Eine Gewinnbedingung für die Spielarena G = (S, →, ρ) ist eine Teilmenge
L ⊆ Sω.
Das Paar (G , L) (wird auch als (S, →, ρ, L) geschrieben) nennen wir auch
ein Spiel.
Definition (Gewinner einer Partie)
Sei (S, →, ρ, L) ein Spiel und sei w ∈ S ω eine Partie in der Spielarena
(S, →, ρ).
Eve (bzw. Adam) gewinnt die Partie w , falls w ∈ L (bzw. w 6∈ L) gilt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Unendliche Spiele
Gefärbte Spielarenen
Problem: Wie soll die Gewinnbedingung L ⊆ S ω spezifiziert werden?
Definition (gefärbte Spielarena)
Eine gefärbte Spielarena ist ein Tupel G = (S, →, ρ, χ) wobei (S, →, ρ)
eine Spielarena wie bisher ist, und χ : S → C eine Funktion von S in eine
endliche Menge von Farben C ist.
Für eine Menge L ⊆ C ω sei
χ−1 (L) = {s0 s1 s2 · · · | χ(s0 )χ(s1 )χ(s2 ) · · · ∈ L} ⊆ S ω .
Wir spezifizieren eine Gewinnbedingung durch eine Menge L ⊆ C ω .
Die zugehörige Gewinnbedingung ist dann χ−1 (L).
Teilmengen von C ω werden durch verschiedene Bedingungen definiert,
siehe nächste Folie.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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38 / 203
Unendliche Spiele
Wichtige Gewinnbedingungen
Eine Erreichbarkeitsbedingung ist eine Teilemenge E ⊆ C .
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({w ∈ C ω | Occ(w ) ∩ E =
6 ∅})
Wir nennen (S, →, ρ, χ, E) auch ein Erreichbarkeitsspiel.
Eine Büchibedingung ist eine Teilmenge B ⊆ C .
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({w ∈ C ω | Inf(w ) ∩ B =
6 ∅})
Wir nennen (S, →, ρ, χ, B) auch ein Büchispiel.
Eine Mullerbedingung ist eine Teilmenge M ⊆ 2C .
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({w ∈ C ω | Inf(w ) ∈ M})
Wir nennen (S, →, ρ, χ, M) auch ein Mullerspiel.
Paritätsbedingung: Hier setzen wir lediglich voraus, dass C ⊆ N gilt.
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({w ∈ C ω | max(Inf(w )) gerade })
Wir nennen (S, →, ρ, χ) auch ein Paritätsspiel.
Die endlich vielen Zahlen in C werden auch Prioritäten genannt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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39 / 203
Unendliche Spiele
Wichtige Gewinnbedingungen
Beispiel (von R. Mazala, aus Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics,
and Infinite Games, LNCS 2500, Springer 2002):
Betrachte folgende gefärbte Spielarena G , wobei C = {1, 2, 3, 4}.
Die Farbe χ(s) einer Spielposition s steht neben s als Markierung.
Grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam.
1
s0
s1 2
1 s2
3 s3
2 s4
4 s5
s6
2
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40 / 203
Unendliche Spiele
Wichtige Gewinnbedingungen
Beispiel (Fortsetzung)
Ist die Gewinnbedingung durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
gegeben, so gewinnt Eve die Partie s6 s3 s2 s4 s6 s5 (s2 s4 )ω , während Adam die
Partie (s2 s4 s6 s5 )ω gewinnt.
Ist die Gewinnbedingung durch die Büchibedingung {1} gegeben, so
gewinnt Eve die Partie (s2 s4 s6 s3 )ω .
Ist die Gewinnbedingung schließlich durch die Paritätsbedingung gegeben,
so gewinnt Eve die Partie (s2 s4 s6 s5 )ω , während Adam die Partie
(s2 s4 s6 s3 )ω gewinnt.
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41 / 203
Unendliche Spiele
Büchi → Parität → Muller
Sei GB = (S, →, ρ, χ, B) ein Büchispiel.
Mit GB können wir das Paritätsspiel GP = (S, →, ρ, χ′ ) mit
(
1 falls χ(s) 6∈ B
′
χ (s) =
2 falls χ(s) ∈ B
assozieren.
Dann gilt für jede Partie w ∈ S ω :
Eve gewinnt w in GB genau dann, wenn Eve w in GP gewinnt.
Desweiteren kann ein Paritätsspiel GP = (S, →, ρ, χ) mit dem Mullerspiel
GM = (S, →, ρ, χ, M) mit M = {F ⊆ C | max(F ) gerade} identifiziert
werden.
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42 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Sei G = (S, →, ρ, L) eine Spiel.
Eine partielle Partie in G ist ein endlicher Pfad in G .
Beachte: Jede partielle Partie in G ist Präfix einer Partie in G und jeder
Präfix einer Partie in G ist eine partielle Partie in G .
Sei τ : S ∗ Sx → S eine Abbildung (x ∈ {Eve, Adam}) und sei
s0 s1 · · · sm ∈ S ∗ eine partielle Partie in G .
Dann ist s0 s1 · · · sm konform mit τ , falls gilt:
∀i ∈ {0, . . . , m − 1} : si ∈ Sx =⇒ si+1 = τ (s0 s1 · · · si )
Eine Partie w ∈ S ω ist konform mit τ , falls jeder Präfix von w konform
mit τ ist.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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43 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Definition (Strategie)
Eine Strategie für Spieler x ist eine Abbildung τ : S ∗ Sx → S mit folgender
Eigenschaft: Für alle w = us (u ∈ S ∗ , s ∈ Sx ) gilt s → τ (w ).
Definition (Gewinnstrategie)
Eine Strategie τ für Spieler x ist eine Gewinnstrategie für x auf U ⊆ S
genau dann, wenn x jede mit τ konforme und bei einer Position aus U
beginnende Partie gewinnt.
Spieler x gewinnt auf U ⊆ S, falls x eine Gewinnstrategie auf U ⊆ S hat.
Falls U = {s} gilt, sagen wir auch, dass x auf s (in dem Spiel G ) gewinnt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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44 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Beispiel: Sei wieder folgende gefärbte Spielarena gegeben.
s0
1
1 s2
3 s3
2 s4
s1 2
4 s5
2 s6
Die Gewinnbedingung sei durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
gegeben. Eine Gewinnstrategie für Eve auf {s2 , s3 , s4 , s5 , s6 } ist:


s4 falls w ∈ S ∗ s2



s
falls w ∈ S ∗ s5 (s2 s4 )+ s6
3
τ (w ) =
s5 falls w ∈ S ∗ s3 (s2 s4 )+ s6 ∪ (S \ {s3 , s5 })∗ s6



s
falls w ∈ S ∗ s5
2
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45 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Auf allen anderen Elementen ws (w ∈ S ∗ , s ∈ SEve ) können wir τ (w ) als
einen beliebigen Nachfolger von s definieren.
Beispiel (für Erreichbarkeitsspiele):
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam, die Färbungsfunktion χ : S → C ist die Identitätsfunktion):
0
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1
2
3
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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46 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Auf allen anderen Elementen ws (w ∈ S ∗ , s ∈ SEve ) können wir τ (w ) als
einen beliebigen Nachfolger von s definieren.
Beispiel (für Erreichbarkeitsspiele):
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam, die Färbungsfunktion χ : S → C ist die Identitätsfunktion):
0
1
2
3
Die Gewinnbedingung sei durch die Erreichbarkeitsbedingung {3} gegeben.
Eine Gewinnstrategie für Eve auf der Position 0:
0
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
1
2
3
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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46 / 203
Unendliche Spiele
Strategien
Auf allen anderen Elementen ws (w ∈ S ∗ , s ∈ SEve ) können wir τ (w ) als
einen beliebigen Nachfolger von s definieren.
Beispiel (für Erreichbarkeitsspiele):
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam, die Färbungsfunktion χ : S → C ist die Identitätsfunktion):
0
1
2
3
Die Gewinnbedingung sei durch die Erreichbarkeitsbedingung {3} gegeben.
Keine Gewinnstrategie für Eve auf der Position 0:
0
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1
2
3
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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46 / 203
Unendliche Spiele
Gewinnmengen
Definition (Gewinnmengen)
Sei G = (S, →, ρ, L) eine Spiel. Die Gewinnmenge für Spieler
x ∈ {Eve, Adam} ist die Menge WGx = {s ∈ S | x gewinnt auf s}.
Lemma 7
Sei G = (S, →, ρ, L) ein Spiel. Dann gilt WGEve ∩ WGAdam = ∅.
Beweis: Angenommen es gilt s ∈ WGEve ∩ WGAdam .
Sei τx eine Gewinnstrategie für Spieler x auf s.
Dann gibt es eine eindeutige in s beginnende Partie w , die sowohl konform
zu τEve als auch konform zu τAdam ist.
Also gewinnen sowohl Eve als auch Adam die Partie w .
Dies ist ein Widerspruch.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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47 / 203
Unendliche Spiele
Erreichbarkeit → Büchi
Sei GE = (S, →, ρ, χ, E) ein Erreichbarkeitsspiel.
Wir können dann mit GE das Büchispiel GB = (S, →′ , χ, E) assozieren,
wobei gilt:
→′ = {(s, t) ∈ →| χ(s) 6∈ E} ∪ {(s, s) ∈ S × S | χ(s) ∈ E}.
Dann gilt WGEve
= WGEve
und WGAdam
= WGAdam
.
E
B
E
B
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48 / 203
Unendliche Spiele
Determiniertheit
Definition (Determiniertheit)
Ein Spiel G = (S, →, ρ, L) ist determiniert, falls gilt: WGEve ∪ WGAdam = S.
Dies bedeutet, dass in jeder Spielposition genau einer der beiden Spieler
eine Gewinnstrategie hat.
Später werden wir zeigen, dass Erreichbarkeisspiele, Mullerspiele und
Paritätsspiele stets determiniert sind.
Es gibt jedoch auch Spiele, die nicht determiniert sind.
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Unendliche Spiele
Gedächtnislose Strategien
Definition (gedächtnislose Strategien)
Sei G = (S, →, ρ, L) ein Spiel.
Eine gedächtnislose Strategie für Spieler x ist eine Abbildung τ : Sx → S
mit s → τ (s) für alle s ∈ Sx .
Die gedächtnislose Strategie τ : Sx → S kann offensichtlich mit der
Strategie τ ′ : S ∗ Sx → S mit τ ′ (ws) = τ (s) identifiziert werden.
Definition (gedächtnislos gewinnen)
Sei G = (S, →, ρ, L) ein Spiel.
Spieler x gewinnt auf U ⊆ S gedächtnislos, falls x eine gedächtnislose
Gewinnstrategie auf U ⊆ S hat.
Falls U = {s} gilt, sagen wir auch, dass x auf s (in dem Spiel G )
gedächtnislos gewinnt.
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Unendliche Spiele
Gedächtnislose Gewinnmengen
Definition (gedächtnislose Gewinnmengen)
Sei G = (S, →, ρ, L) ein Spiel. Die gedächtnislose Gewinnmenge für Spieler
x ∈ {Eve, Adam} ist die Menge
gWxG = {s ∈ S | x gewinnt auf s gedächtnislos}.
Offensichtlich gilt gWxG ⊆ WGx und damit (wegen WGEve ∩ WGAdam = ∅)
Adam
gWEve
= ∅.
G ∩ gWG
Definition (gedächtnislose Determiniertheit)
Ein Spiel G = (S, →, ρ, L) ist gedächtnislos determiniert, falls gilt:
Adam
gWEve
= S.
G ∪ gWG
Später werden wir sehen, dass Erreichbarkeitsspiele und Paritätsspiele
gedächtnislose determiniert sind.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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51 / 203
Unendliche Spiele
Gedächtnislose Gewinnmengen
Aber: Mullerspiele sind nicht gedächtnislose determiniert.
Beispiel: Sei die folgende gefärbte Spielarena gegeben.
1 s0
2 s1
3 s2
Für die Mullerbedingung {{1, 2, 3}} kann zwar Eve in der Position s0
gewinnen (indem sie z.B. abwechselnd von s0 nach s1 bzw. s2 zieht), sie
kann jedoch nicht gedächtnislos gewinnen.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Erreibarkeitsspiele
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir Erreichbarkeitsspiele genauer untersuchen.
Für endliche Erreichbarkeitsspiele zeigen wir, dass die Gewinnmenge für
Eve sehr effizient berechnet werden kann.
Später werden wir Erreichbarkeitsspiele auf das Model-Checking Problem
für Modallogik anwenden.
Konvention
Ein Erreichbarkeitsspiel (S, →, ρ, χ, E) identifizieren wir im weiteren mit
dem Tupel (S, →, ρ, χ−1 (E)).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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53 / 203
Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Sei G = (S, →, ρ) eine Spielarena und E ⊆ S.
Wir definieren für einen Spieler x ∈ {Eve, Adam} eine monotone Funktion
fx : 2S → 2S wie folgt:
fx (A) = E ∪ {s ∈ Sx | NG (s) ∩ A 6= ∅} ∪ {s ∈ Sx | NG (s) ⊆ A}
Sei AttxG (E) = µfx der Attraktor von E für Spieler x.
Nach Satz 6 kann AttxG (E) auch als Limes der wie folgt definierten
Mengen Attxξ (E) (ξ eine Ordinalzahl) definiert werden:
Attx0 (E) = E
Attxχ+1 (E) = Attxχ (E) ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ∩ Attxχ (E) 6= ∅} ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ⊆ Attxχ (E)}
[
Attxχ (E) falls ξ ein Limesordinal ist
Attxξ (E) =
χ⊏ξ
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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54 / 203
Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Dann ist AttxG (E) = Attxα (E), wobei α die kleinste Ordinalzahl ξ mit
Attxξ (E) = Attxξ+1 (E) ist.
Wenn die Spielarena G klar ist, schreiben wir auch kurz Attx (E) anstatt
AttxG (E).
Wir definieren eine gedächtnislose Strategie τEx : Sx → S wie folgt:
Wenn s ∈ Sx ∩ (Attxξ+1 (E) \ Attxξ (E)) für ein ξ ⊏ α dann wähle ein
beliebiges t ∈ NG (s) ∩ Attxξ (E) aus (existiert!) und setze τEx (s) = t.
Für alle anderen s ∈ Sx setze τEx (s) = t für ein beliebiges t ∈ NG (s).
Lemma 8
Sei G = (S, →, ρ, E) ein Erreichbarkeitsspiel. Dann ist τEEve eine
gedächtnislose Gewinnstrategie für Eve auf AttEve (E) und daher gilt
AttEve (E) ⊆ gWEve
G .
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55 / 203
Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Beweis:
Sei s ∈ AttEve (E) und sei w = s1 s2 · · · eine in s = s1 beginnende und mit
τEEve konforme Partie.
Sei ξ ⊑ α das kleinste Ordinal mit Occ(w ) ∩ AttEve
ξ (E) 6= ∅.
Behauptung: ξ = 0 (wegen AttEve
0 (E) = E impliziert dies das Lemma)
Sei si ∈ AttEve
ξ (E).
Angenommen es gilt ξ ⊐ 0.
Fall 1: ξ ist ein Limesordinal.
S
Eve
Wegen AttEve
ξ (E) =
χ⊏ξ Attχ (E) muss ein Ordinal χ ⊏ ξ mit
si ∈ AttEve
χ (E) existieren.
Widerspruch zur Minimalität von ξ.
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Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Fall 2: ξ = χ + 1 ist ein Nachfolgerordinal.
Also gilt
si
∈ AttEve
χ (E) ∪
{s ∈ SEve | NG (s) ∩ AttEve
χ (E) 6= ∅} ∪
{s ∈ SAdam | NG (s) ⊆ AttEve
χ (E)}.
Aufgrund der Minimalität von ξ können wir si 6∈ AttEve
χ (E) annehmen.
Fall 2.1: si ∈ {s ∈ SEve | NG (s) ∩ AttEve
χ (E) 6= ∅}
si+1 = τEx (si ) ∈ AttEve
χ (E)
Widerspruch zur Minimalität von ξ = χ + 1.
Fall 2.1: si ∈ {s ∈ SAdam | NG (s) ⊆ AttEve
χ (E)}
si+1 ∈ AttEve
χ (E)
Widerspruch zur Minimalität von ξ = χ + 1.
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57 / 203
Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Lemma 9
Sei G = (S, →, ρ) eine Arena, E ⊆ S und s ∈ S \ Attx (E). Dann gilt:
Wenn s ∈ Sx , dann NG (s) ⊆ S \ Attx (E).
Wenn s ∈ Sx , dann NG (s) ∩ (S \ Attx (E)) 6= ∅.
Beweis:
Da Attx (E) Fixpunkt der Abbildung fx von Folie 54 ist, folgt:
Attx (E) = E ∪ {s ∈ Sx | NG (s) ∩ Attx (E) 6= ∅}
∪ {s ∈ Sx | NG (s) ⊆ Attx (E)}.
Hieraus ergibt sich das Lemma.
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Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Lemma 10
Sei G = (S, →, ρ, E) ein Erreichbarkeitsspiel. Dann gilt
S \ AttEve (E) ⊆ gWAdam
.
G
Beweis:
Wir definieren eine gedächtnislose Strategie τEAdam für Adam wie folgt:
Sei s ∈ SAdam .
Falls s ∈ AttEve (E) sei τEAdam (s) eine beliebige Position in NG (s).
Falls s ∈ SAdam \ AttEve (E), muss NG (s) ∩ (S \ AttEve (E)) 6= ∅ gelten
(Lemma 9).
Wir wählen nun eine beliebige Position s ′ ∈ NG (s) ∩ (S \ AttEve (E))
aus und setzen τEAdam (s) = s ′ .
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Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Sei nun s ∈ S \ AttEve (E) und sei w = s1 s2 · · · eine in s = s1 beginnende
und mit τEAdam konforme Partie.
Durch Induktion über i ≥ 1 folgt leicht, dass si ∈ S \ AttEve (E) für alle
i ≥ 1 gilt.
Hierzu ist nur zu beachten:
Für si ∈ SAdam \ AttEve (E) gilt si+1 = τEAdam (si ) ∈ S \ AttEve (E).
Für si ∈ SEve \ AttEve (E) gilt si+1 ∈ NG (si ) ⊆ S \ AttEve (E)
(Lemma 9).
Wegen E ⊆ AttEve (E) folgt si ∈ S \ E für alle i ≥ 1.
Also gewinnt Adam die Partie w .
τEAdam ist somit eine gedächtnislose Gewinnstrategie für Adam auf der
Menge S \ AttEve (E).
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Erreibarkeitsspiele
Attraktoren
Satz 11
Sei G = (S, →, ρ, E) ein Erreichbarkeitsspiel. Dann gilt:
Eve
WGEve = gWEve
(E)
G = Att
WGAdam = gWAdam
= S \ AttEve (E)
G
Insbesondere ist G gedächtnislos determiniert.
Beweis:
Lemma 8
Lemma 10
AttEve (E) ⊆ gWEve
G .
S \ AttEve (E) ⊆ gWAdam
.
G
Adam
Wegen gWEve
= ∅ folgt die Aussage des Lemmas.
G ∩ gWG
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Erreibarkeitsspiele
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Satz 12
Für ein gegebenes endliches Erreichbarkeitsspiel G = (S, →, ρ, E) kann
WGEve in Polynomialzeit berechnet werden.
Bei geeigneter Repräsentation des Graphen (S, →) (Adjazenzlisten für
(S, →) und (S, →−1 )) kann man WGEve in Zeit O(|S| + | → |) berechnen.
Beweis:
Eve
Wegen Satz 11 gilt WGEve = gWEve
(E).
G = Att
Aus der Definition des Attraktors AttEve (E) folgt, dass der Algorithmus
auf der nächsten Folie die Gewinnmenge von Eve sowie eine
Gewinnstrategie korrekt berechnet.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Erreibarkeitsspiele
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
winning-region(G = (S, →, ρ, E))
W := E
for all s ∈ SEve do
τ (s) := t mit t ∈ NG (s) beliebig
endfor
repeat
U1 := {s ∈ S \ W | ρ(s) = Eve und NG (s) ∩ W 6= ∅}
U2 := {s ∈ S \ W | ρ(s) = Adam und NG (s) ⊆ W }
forall s ∈ U1 do τ (s) := t, wobei t ∈ NG (s) ∩ W beliebig ist.
W := W ∪ U1 ∪ U2
until U1 ∪ U2 = ∅
return W und τ
Die repeat-until-Schleife kann höchstens |S| mal durchlaufen werden.
Ein Durchlauf durch die repeat-until Schleife benötigt höchstens | → |
Schritte.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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63 / 203
Erreibarkeitsspiele
Weitere Fakten über Erreichbarkeitsspiele
Der folgende Satz sagt aus, dass in einem Erreichbarkeitsspiel jeder Spieler
eine feste (gedächtnislose) Strategie hat, mit der sie/er auf allen
Spielpositionen, wo sie/er überhaupt gewinnen kann, gewinnt.
Satz 13
Sei G = (S, →, ρ, E) ein Erreichbarkeitsspiel. Dann existieren
gedächtnislose Strategien τ Eve und τ Adam für Eve bzw. Adam mit:
τ x ist eine Gewinnstrategie für Spieler x auf seiner Gewinnmenge WGx .
Beweis: Die im Beweis von Lemma 8 und 10 betrachteten Strategien
haben die gewünschten Eigenschaften.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Erreibarkeitsspiele
Weitere Fakten über Erreichbarkeitsspiele
Das folgende Lemma benötigen wir später:
Lemma 14
Sei G = (S, →, ρ, E) ein Erreichbarkeitsspiel und sei s ∈ S \ E.
1
Wenn s ∈ SEve , dann (NG (s) ∩ WGEve 6= ∅ ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
2
Wenn s ∈ SAdam , dann (NG (s) ⊆ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
Beweis:
Nach Satz 11 gilt WGEve = AttEve (E).
Da AttEve (E) Fixpunkt der Abbildung fEve von Folie 54 ist, folgt
WGEve = E ∪ {s ∈ SEve | NG (s) ∩ WGEve 6= ∅}
∪ {s ∈ SAdam | NG (s) ⊆ WGEve }.
Hieraus ergibt sich das Lemma.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
65 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir Erreichbarkeitsspiele benutzen, um das
Model-Checking Problem für zwei Logiken zu lösen:
Modallogik
Logik 1.Stufe
(= Prädikatenlogik, siehe Vorlesung Logik im 1. Semester)
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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66 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kripkestrukturen
Eine Kripkestruktur ist ein Tupel
K = (V , E , Π, π)
wobei gilt:
(V , E ) ist ein gerichteter Graph.
V wird auch als Menge der Welten oder Zustände bezeichnet,
E ⊆ V × V ist die Menge der Systemübergänge.
Π ist eine endliche Menge
(Menge der Knotenmarkierungen oder atomaren Propositionen)
π : Π → 2V , π(p) ist die Menge der p-markierten Knoten.
Falls V endlich ist, ist K eine endliche Kripkestruktur.
Für v ∈ V sei NK (v ) = N(V ,E ) (v ).
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67 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kripkestrukturen
Beispiel:
Die endliche Kripkestruktur
K = ({0, 1, 2, 3}, E , {p, q}, π)
mit
E = {(0, 1), (0, 2), (1, 3)(2, 3), (3, 0), (3, 3)} und
π(p) = {0}, π(q) = {0, 1, 3}
kann wie folgt graphisch dargestellt werden:
2
q
3
p, q 0
q 1
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Syntax und Semantik der Modallogik
Sei Π eine endliche Menge von Knotenmarkierungen.
Die Menge aller Formeln der Modallogik über Π (kurz ML(Π)) ist die
kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
Π ⊆ ML(Π) (alle Propositionen sind Formeln)
Wenn ϕ, ψ ∈ ML(Π), dann auch ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ ML(Π).
Wenn ϕ ∈ ML(Π), dann auch ♦ϕ, ϕ ∈ ML(Π).
Sei nun K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur. Wir ordnen jeder Formel
ϕ ∈ ML(Π) induktiv eine Teilmenge [[ϕ]]K ⊆ V zu.
Für p ∈ Π ist [[p]]K = π(p)
[[¬ϕ]]K = V \ [[ϕ]]K
[[ϕ ∨ ψ]]K = [[ϕ]]K ∪ [[ψ]]K , [[ϕ ∧ ψ]]K = [[ϕ]]K ∩ [[ψ]]K
[[♦ϕ]]K = {v ∈ V | NK (v ) ∩ [[ϕ]]K 6= ∅}
[[ϕ]]K = {v ∈ V | NK (v ) ⊆ [[ϕ]]K }
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Syntax und Semantik der Modallogik
Für einen Knoten v ∈ V der Kripkestruktur K und eine Formel
ϕ ∈ ML(Π) definieren wir:
(K , v ) |= ϕ
⇐⇒
v ∈ [[ϕ]]K
Beispiel: Sei K wieder die folgende Kripkestruktur:
2
q
3
p, q 0
q 1
Dann gilt z. B.
(K , 0) |= p ∧ ♦♦(¬p ∧ q).
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Sei K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur, v ∈ V und ϕ ∈ ML(Π).
Wir konstruieren nun ein endliches Erreichbarkeitsspiel G (K , ϕ) und eine
Spielposition u, so dass gilt:
(K , v ) |= ϕ ⇐⇒ u ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Wie können o.B.d.A. davon ausgehen, dass in ϕ das Negationszeichen nur
direkt vor Propositionen p ∈ Π steht, da folgende Äquivalenzen gelten:
¬(ψ ∧ θ) ≡ ¬ψ ∨ ¬θ
¬(ψ ∨ θ) ≡ ¬ψ ∧ ¬θ
¬♦ψ ≡ ¬ψ
¬ψ ≡ ♦¬ψ
Hierbei bedeutet ψ ≡ θ, dass [[ψ]]K = [[θ]]K für jede Kripkestruktur K .
Die Menge sub(ϕ) aller Teilformeln von ϕ ist induktiv wie folgt definiert:
sub(p) = {p} und sub(¬p) = {¬p} für p ∈ Π
sub(ψ ◦ θ) = {ψ ◦ θ} ∪ sub(ψ) ∪ sub(θ) für ◦ ∈ {∧, ∨}
sub(◦ψ) = {◦ψ} ∪ sub(ψ) für ◦ ∈ {♦, }
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71 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Wir definieren das Erreichbarkeitsspiel G (K , ϕ) = (S, →, ρ, E) wie folgt:
S = V × sub(ϕ) (beachte: V war die Zustandsmenge von K )
→ ist wie folgt definiert:
v, θ
v, θ
v, ψ ∧ θ
v, ψ ∨ θ
v, ψ
v , ψ
u, ψ
v, ψ
∀u ∈ NK (v )
v , ♦ψ
u, ψ
∀u ∈ NK (v )
Beachte: Knoten der Form (v , p), (v , ¬p) mit p ∈ Π sowie (v , ♦ψ),
(v , ψ) mit NK (v ) = ∅ sind Sackgassen in dem Spiel. Nach unserer
Konvention identifizieren wir diese mit Schleifen an den
entsprechenden Positionen.
ρ(v , ψ ∧ θ) = ρ(v , ψ) = Adam, ρ(v , ψ ∨ θ) = ρ(v , ♦ψ) = Eve
Alle anderen ρ-Werte können beliebig definiert werden.
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
E = {(v , p) | p ∈ Π, v ∈ π(p)} ∪ {(v , ¬p) | p ∈ Π, v 6∈ π(p)}∪
{(v , ψ) | NK (v ) = ∅}
Intuition:
Eve will von einer Position (v , ϕ) aus zeigen, dass (K , v ) |= ϕ gilt.
Adam will von einer Position (v , ϕ) aus zeigen, dass (K , v ) 6|= ϕ gilt.
Hieraus ergibt sich die Definition des Spiels G (K , ϕ) auf natürliche Weise.
Z. B.:
(v , ♦ψ) → (u, ψ) für alle u ∈ V mit (v , u) ∈ E , denn um
(K , v ) |= ♦ψ zu zeigen (Eves Ziel) muss man einen Knoten u ∈ V
mit (v , u) ∈ E finden, für den (K , u) |= ψ gilt.
(v , p) ∈ E, falls v ∈ π(p), denn letzteres impliziert (K , v ) |= p. Also
sollte Eve an der Position (v , p) gewinnen, was natürlich auch der Fall
ist.
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Beispiel: Sei K die Kripkestruktur
p
0
q
1
Sei ϕ = ♦(p ∨ q).
Dann sieht das Spiel G (K , ϕ) wie folgt aus (grüne Knoten gehören Eve,
rote Knoten gehören Adam)
0, ♦(p ∨ q)
1, ♦(p ∨ q)
0, (p ∨ q)
1, (p ∨ q)
0, p ∨ q
1, p ∨ q
0, p
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0, q
1, p
1, q
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Satz 15
Sei K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur und ϕ ∈ ML(Π). Dann gilt für
alle v ∈ V und alle ψ ∈ sub(ϕ):
(K , v ) |= ψ ⇐⇒ (v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Beweis:
Wir beweisen den Satz durch Induktion über den Aufbau der Formel ψ.
Sei G = G (K , ϕ) = (V × sub(ϕ), →, ρ, E).
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75 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
1. Fall: ψ = p ∈ Π. Dann gilt
(K , v ) |= p
⇐⇒
v ∈ π(p)
⇐⇒
(v , p) ∈ E
⇐⇒
(v , p) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Für die letzte Äquivalenz beachte, dass wir in (v , p) eine Schleife in G
haben (nach unserer Konvention).
2. Fall: ψ = ¬p für ein p ∈ Π. Dann gilt
(K , v ) |= ¬p
⇐⇒
v 6∈ π(p)
⇐⇒
(v , ¬p) ∈ E
⇐⇒
(v , ¬p) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
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Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
3. Fall: ψ = ψ1 ∨ ψ2 . Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
∃i ∈ {1, 2} : (K , v ) |= ψi
IH
∃i ∈ {1, 2} : (v , ψi ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
Lem. 14
⇐⇒
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
4. Fall: ψ = ψ1 ∧ ψ2 . Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
∀i ∈ {1, 2} : (K , v ) |= ψi
IH
∀i ∈ {1, 2} : (v , ψi ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
Lem. 14
⇐⇒
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(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
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77 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
5. Fall: ψ = ♦θ. Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
∃u ∈ NK (v ) : (K , u) |= θ
IH
∃u ∈ NK (v ) : (u, θ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
Lem. 14
⇐⇒
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
6. Fall: ψ = θ. Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
∀u ∈ NK (v ) : (K , u) |= θ
IH
∀u ∈ NK (v ) : (u, θ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
Lem. 14
⇐⇒
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Beachte: Die jeweils letzten Äquivalenzen im 5. und 6. Fall gelten auch
falls NK (v ) = ∅ aufgrund (i) der Definition von E und (ii) unserer
Schleifenkonvention für Sackgassen.
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78 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Model-Checking Modallogik
Satz 16
Für eine gegebene endliche Kripkestruktur K = (V , E , Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ ML(Π) können wir in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) entscheiden, ob (K , v ) |= ϕ
gilt.
Beweis:
(1) Konstruiere das Erreichbarkeitsspiel G = G (K , ϕ)
Beachte: G hat nur |V | · |ϕ| Knoten und höchstens |V |2 · |ϕ| viele
Kanten.
(2) Berechne W = WGEve und teste, ob (v , ϕ) ∈ W gilt.
Nach Satz 12 können wir W in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) berechnen.
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79 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Syntax
Logik 1. Stufe (= Prädikatenlogik) wurde in der Vorlesung Logik im 1.
Semester behandelt.
Eine Signatur ist ein Paar S = (R, arity) wobei gilt:
R ist eine endliche Menge von Relationssymbolen.
arity : R → N ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R
seine Stelligkeit arity(r ) zuordnet.
Sei X im folgenden eine abzählbar-unendliche Menge von Variablen.
Variablen werden wir im folgenden mit x, y , z, x ′ , x0 , . . . bezeichnen.
Die Menge FO(S) aller Formeln der Logik 1. Stufe (über der Signatur S)
ist die kleinste Menge mit:
Wenn r ∈ R, arity(r ) = n und x1 , . . . , xn ∈ X , dann
r (x1 , . . . , xn ) ∈ FO(S).
Wenn ϕ, ψ ∈ FO(S), dann auch ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ FO(S).
Wenn ϕ ∈ FO(S) und x ∈ X , dann auch ∃x ϕ, ∀x ϕ ∈ FO(S).
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80 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Syntax
Beachte: Im Gegensatz zur Vorlesung Logik erlauben wir keine
Funktionssymbole. Für das Model-Checking Problem für Logik 1. Stufe ist
dies keine Einschränkung, da eine Funktion f : An → A durch die Relation
{(a, a) ∈ An+1 | f (a) = a} ersetzt werden kann.
Die Menge der freien Variablen free(ϕ) ⊆ X einer Formel ϕ ∈ FO(S) ist
induktiv wie folgt definiert:
free(r (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
free(¬ϕ) = free(ϕ), free(ϕ ∧ ψ) = free(ϕ ∨ ψ) = free(ϕ) ∪ free(ψ).
free(∃x ϕ) = free(∀x ϕ) = free(ϕ) \ {x}.
Eine Formel ϕ ∈ FO(S) ist ein Satz, falls free(ϕ) = ∅ gilt.
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81 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Semantik
Eine Struktur über der Signatur S = (R, arity) ist ein Tripel
A = (A, IS , IX ), wobei gilt:
A ist eine beliebige nicht-leere Menge (das Universum der Struktur).
IS ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R eine
arity(r )-stellige Relation IS (r ) ⊆ Aarity(r ) zuordnet.
IX : X → A ist eine partielle Funktion, ihr Definitionsbereich sei
dom(IX ).
Für eine Formel ϕ ∈ FO(S) und eine Struktur A = (A, IS , IX ) über der
Signatur S mit dom(IX ) = free(ϕ) schreiben wir A |= ϕ genau dann,
wenn einer der folgenden Fälle gilt:
ϕ = r (x1 , . . . , xn ) und (IX (x1 ), . . . , IX (xn )) ∈ IS (r ).
ϕ = ¬ψ und A 6|= ψ.
ϕ = ψ ∧ θ und (A |= ψ und A |= θ).
ϕ = ψ ∨ θ und (A |= ψ oder A |= θ).
ϕ = ∃x ψ und es gibt ein a ∈ A mit (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ψ
ϕ = ∀x ψ und für alle a ∈ A gilt (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ψ.
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82 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Model-Checking
Die Struktur A = (A, IS , IX ) ist endlich, falls A eine endliche Menge ist.
Falls dom(IX ) = ∅ gilt, identifizieren wir die Struktur (A, IS , IX ) mit
(A, IS ).
Das Model-Checking-Problem für FO(S):
EINGABE: Eine endliche Struktur A = (A, IS ) und ein Satz ϕ ∈ FO(S).
FRAGE: Gilt A |= ϕ?
Wir werden das Model-Checking-Problem für FO(S) wieder mittels eines
Erreichbarkeitsspiels lösen.
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SS 2009
83 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). O.B.d.A. kommt
in ϕ die Negation ¬ nur direkt vor atomaren Formeln vor.
Wir definieren ein Erreichbarkeitsspiel
G (A, ϕ) = (S, →, ρ, E)
wie folgt:
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free(ψ) → A}
→ ist wie folgt definiert:
I ↾free(θ), θ
I ↾free(θ), θ
I,ψ ∧ θ
I,ψ ∨ θ
I ↾free(ψ), ψ
I , ∀x ψ
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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I ↾free(ψ), ψ
I , ∃x ψ
Spieltheoretische Methoden in der Logik
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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84 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Beachte: Da A 6= ∅ gilt, gibt es keine Sackgassen.
ρ ist wie folgt definiert:
ρ(I , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(I , ψ ∧ θ) = Adam
ρ(I , ∃x ψ) = Eve
ρ(I , ∀x ψ) = Adam
Für alle anderen Spielpositionen s kann ρ(s) beliebig definiert werden.
Die Erreichbarkeitsbedingung ist
E
= {(I , r (x1 , . . . , xn )) | (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ IS (r )} ∪
{(I , ¬r (x1 , . . . , xn )) | (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ IS (r )}.
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85 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Satz 17
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). Dann gilt für alle
ψ ∈ sub(ϕ) und I : free(ψ) → A:
(A, IS , I ) |= ψ ⇐⇒ (I , ψ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
Beweis: Analog zum Beweis von Satz 15 für Modallogik (Übung).
Folgt aus Satz 17, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in
Polynomialzeit gelöst werden kann ?
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
86 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Satz 17
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). Dann gilt für alle
ψ ∈ sub(ϕ) und I : free(ψ) → A:
(A, IS , I ) |= ψ ⇐⇒ (I , ψ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
Beweis: Analog zum Beweis von Satz 15 für Modallogik (Übung).
Folgt aus Satz 17, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in
Polynomialzeit gelöst werden kann ?
Nein! Das Problem ist, dass das Spiel G (A, ϕ) nicht polynomiell in der
Größe von ϕ beschränkt ist:
Die Menge der Spielpositionen von G (A, ϕ) ist
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free(ψ) → A}.
P
|S| = ψ∈sub(ϕ) |A||free(ψ)| .
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SS 2009
86 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Komplexität von Model-Checking für FO
Bemerkung: In der Tat ist das Model-Checking Problem für FO(S)
PSPACE-vollständig (insbesondere also NP-hart), weshalb es wohl keinen
Polynomialzeitalgorithmus für das Problem gibt.
Wir können jedoch Fragemente von FO(S) definieren, für die das
Model-Checking Problem in Polynomialzeit entschieden werden kann.
Für ϕ ∈ FO(S) definiere die Weite von ϕ
width(ϕ) = max{|free(ψ)| | ψ ∈ sub(ϕ)}.
Satz 18
Das Model-Checking Problem für FO(S) kann in Zeit O(|ϕ| · |A|width(ϕ) )
gelöst werden.
Allgemeiner: Für eine gegebene Formel ϕ ∈ FO(S) und eine Struktur
A = (A, IS , IX ) mit dom(IX ) = free(ϕ) können wir in Zeit
O(|ϕ| · |A|width(ϕ) ) entscheiden, ob A |= ϕ gilt?
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
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SS 2009
87 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Komplexität von Model-Checking für FO
Beweis:
(1) Konstruiere das Erreichbarkeitsspiel G = G (A, ϕ)
Beachte: G hat höchsten |A|width(ϕ) · |ϕ| viele Knoten und nur
O(|A|width(ϕ) · |ϕ|) viele Kanten.
(2) Berechne W = WGEve und teste, ob (IX , ϕ) ∈ W gilt.
Nach Satz 12 können wir W in Zeit O(|A|width(ϕ) · |ϕ|)
berechnen.
Korollar aus Satz 18
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem,
eingeschränkt auf FO(S)-Formeln der Weite ≤ w , kann in Polynomialzeit
gelöst werden.
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SS 2009
88 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Modallogik → FO
Sei K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur.
Definiere die Signatur SK = ({e} ∪ Π, arity), wobei arity(e) = 2 und
arity(p) = 1 für alle p ∈ Π.
Sei IK die Interpretation mit IK (e) = E und IK (p) = π(p) für p ∈ Π.
Dann können wir K mit der Struktur AK = (V , IK ) über SK identifizieren.
Wir definieren nun für jede modallogische Formel ϕ ∈ ML(Π) eine Formel
ϕf ∈ FO(SK ) induktiv. Seien x0 , y0 ∈ X zwei ausgezeichnete Variablen.
p f = p(x0 ) für p ∈ Π.
(¬ϕ)f = ¬ϕf , (ϕ ∧ ψ)f = ϕf ∧ ψ f , (ϕ ∨ ψ)f = ϕf ∨ ψ f
(♦ϕ)f = ∃y0 (e(x0 , y0 ) ∧ (ϕf )[x0 7→ y0 ])
(ϕ)f = ∀y0 (e(x0 , y0 ) → (ϕf )[x0 7→ y0 ])
Hierbei entsteht ψ[x0 7→ y0 ] aus ψ, indem jedes freie Vorkommen von x0 in
ψ durch y0 ersetzt wird. Dabei müssen gebundene Vorkommen von y0 evtl.
umbenannt werden, um neue Bindungen zu vermeiden.
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SS 2009
89 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Modallogik → FO
Beachte: Für jede Formel ϕ ∈ ML(Π) gilt free(ϕf ) = {x0 } und
width(ϕf ) ≤ 2.
Lemma 19
Für jede Kripkestruktur K = (V , E , Π, π), jeden Knoten v ∈ V und jede
Formel ϕ ∈ ML(Π) gilt:
(K , v ) |= ϕ
⇐⇒
(AK , x0 7→ v ) |= ϕf
Aus Lemma 19 sowie Satz 18 folgt Satz 16:
Für eine gegebene Kripkestruktur K = (V , E , Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ ML(Π) können wir in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) entscheiden, ob (K , v ) |= ϕ
gilt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
90 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
Eine Fomel ϕ ∈ ML(Π) ist erfüllbar, falls eine Kripkestruktur
K = (V , E , Π, π) und v ∈ V mit (K , v ) |= ϕ existieren.
Satz 20 (small model property für Modallogik)
Sei ϕ ∈ ML(Π) erfüllbar. Dann existiert eine Kripkestruktur
K = (V , E , Π, π) und v ∈ V mit
(K , v ) |= ϕ
|V | ≤ 2|ϕ|
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SS 2009
91 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
Beweis:
Sei ϕ ∈ ML(Π) erfüllbar.
Also existiert eine Kripkestruktur K = (V , E , Π, π) und v ∈ V mit
(K , v ) |= ϕ.
Definiere eine Abbildung f : V → 2sub(ϕ) durch
f (x) = {ψ ∈ sub(ϕ) | (K , x) |= ψ}.
und sei ≡ folgende Äquivalenzrelation auf V :
x ≡y
Beachte: x ≡ y
⇐⇒
⇐⇒
f (x) = f (y ).
∀ψ ∈ sub(ϕ) : (K , x) |= ψ ⇔ (K , y ) |= ψ.
[x] = {y ∈ V | x ≡ y } ist die x enthaltende Äquivalenzklasse.
V ′ = {[x] | x ∈ V } ist die Menge aller Äquivalenzklassen.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
92 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
Nun definieren wir die Kripkestruktur K ′ = (V ′ , E ′ , Π, π ′ ), wobei
E ′ = {([x], [y ]) | ∃(u, v ) ∈ E : u ≡ x, v ≡ y }
π ′ (p) = {[x] | ∃u ∈ π(p) : u ≡ x} für p ∈ Π
(A) |V ′ | ≤ 2|ϕ|
Wegen [x] = [y ]
⇐⇒
f (x) = f (y ) gilt
|V ′ | = |f (V )| ≤ |2sub(ϕ) | ≤ 2|ϕ| .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
93 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
(B) (K ′ , [v ]) |= ϕ.
Wir zeigen die folgende allgemeinere Aussage durch Induktion über den
Aufbau der Formel ψ ∈ sub(ϕ):
∀x ∈ V : (K , x) |= ψ ⇐⇒ (K ′ , [x]) |= ψ
Wegen (K , v ) |= ϕ folgt hieraus (K ′ , [v ]) |= ϕ.
1.Fall. ψ = p ∈ Π: Es gilt
(K , x) |= p
⇐⇒
∗
x ∈ π(p)
⇐⇒
[x] ∈ π ′ (p)
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= p
Zu (*): Es gilt offensichtlich x ∈ π(p)
[x] ∈ π ′ (p).
′
Andererseits: [x] ∈ π (p)
∃y ∈ π(p) : x ≡ y
x ∈ π(p)
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
94 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
2.Fall. ψ = ¬θ: Es gilt
(K , x) |= ¬θ
⇐⇒
(K , x) 6|= θ
IH
⇐⇒
(K ′ , [x]) 6|= θ
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ¬θ
3.Fall. ψ = ψ1 ∧ ψ2 : Es gilt
(K , x) |= ψ1 ∧ ψ2
⇐⇒
IH
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
(K , x) |= ψ1 und (K , x) |= ψ2
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ψ1 und (K ′ , [x]) |= ψ2
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ψ1 ∧ ψ2
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
95 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
4.Fall. ψ = ♦θ.
Gelte zunächst (K , x) |= ♦θ.
∃y ∈ V : (x, y ) ∈ E , (K , y ) |= θ.
(K ′ , [y ]) |= θ
IH
([x], [y ]) ∈ E ′
(x, y ) ∈ E
(K ′ , [x]) |= ♦θ
Gelte nun (K ′ , [x]) |= ♦θ
∃[y ] ∈ V ′ : ([x], [y ]) ∈ E ′ , (K ′ , [y ]) |= θ.
IH
(K , y ) |= θ
([x], [y ]) ∈ E ′
∃(u, v ) ∈ E : x ≡ u, y ≡ v
y ≡v
(K , v ) |= θ
x ≡u
(K , x) |= ♦θ
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
(K , u) |= ♦θ
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
96 / 203
Modallogik und Logik 1.Stufe
Erfüllbarkeit für Modallogik
Korollar aus Satz 20
Es ist entscheidbar, ob eine gegebene Formel ϕ ∈ ML(Π) erfüllbar ist.
Beweis:
Da Π endlich ist gibt es nur endlich viele Kripkestrukturen
K = (V , E , Π, π) mit |V | ≤ 2|ϕ| .
Für jedes solche K und alle v ∈ V testen wir, ob (K , v ) |= ϕ gilt.
Bekommen wir dabei einen Treffer, so ist ϕ erfüllbar, ansonsten ist ϕ nach
Satz 20 nicht erfüllbar.
Bemerkungen:
Der im obigen Beweis skizzierte Algorithmus ist nicht sehr effizient.
Es wurde gezeigt, dass das Erfüllbarkeitsproblem für Modallogik
PSPACE-vollständig ist.
Das Erfüllbarkeitsproblem für Logik 1. Stufe ist sogar unentscheidbar.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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97 / 203
Paritätsspiele
Überblick
In diesem Kapitel werden wir Paritätsspiele genauer untersuchen.
Wir werden zunächst zeigen, wie Mullerspiele auf Paritätsspiele reduziert
werden können.
Danach zeigen wir das zentrale Resultat über Paritätsspiele: Paritätsspiele
sind gedächtnislos determiniert.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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98 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Die Paritätsbedingung erscheint zunächst recht speziell, sie ist jedoch in
der Tat sehr mächtig:
Satz 21
Sei G = (S, →, ρ, χ, M) ein Mullerspiel. Dann existiert ein Paritätsspiel
G ′ = (S ′ , →′ , ρ′ , χ′ ) und eine Abbildung f : S → S ′ , so dass für alle s ∈ S
gilt:
Eve gewinnt auf s in G ⇐⇒ Eve gewinnt auf f (s) in G ′ .
Falls S endlich ist, ist auch S ′ endlich und G ′ , f kann in exponentieller
Zeit aus G berechnet werden.
Beweis:
Erinnerung: Für ein Wort w = a1 a2 · · · an ist Occ(w ) = {a1 , a2 , . . . , an }
die Menge aller Symbole, die in w vorkommen.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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99 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Sei C die Farbenmenge von G , d. h. χ : S → C und M ⊆ 2C .
Sei # 6∈ C und sei C ′ = {x#y | x, y ∈ C ∗ , ∀c ∈ C : |xy |c ≤ 1, |y | ≥ 1}.
Hier ist |w |a die Anzahl der Vorkommen eines Symbols a in einem Wort w .
Die Menge der Spielpositionen von G ′ ist
S ′ = {(s, x#y ) ∈ S × C ′ | y endet mit χ(s) }.
Sei ρ′ (s, x#y ) = ρ(s) für alle (s, x#y ) ∈ S × C ′ .
Definiere die update-Funktion µ : S × C ′


x # y χ(s)
µ(s, x#y ) = x1 # x2 y χ(s)


x y1 # y2 χ(s)
→ C ′ wie folgt:
falls χ(s) 6∈ Occ(x y ).
falls x = x1 χ(s) x2 .
falls y = y1 χ(s) y2 .
Die Kantenrelation von G ′ ist dann:
→′ = { (s, x#y ), (t, µ(t, x#y )) | s → t, (s, x#y ) ∈ S ′ }.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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100 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Die Färbungsfunktion χ′ : S ′ → N des Paritätsspiels G ′ ist
(
2 · |y | − 1 falls Occ(y ) 6∈ M
χ′ (s, x#y ) =
2 · |y |
falls Occ(y ) ∈ M.
Beachte: χ′ (S ′ ) ⊆ {1, . . . , 2|C |}.
Damit ist das Paritätsspiel G ′ = (S ′ , →′ , ρ′ , χ′ ) definiert.
Schließlich sei f : S → S ′ definiert durch f (s) = (s, #χ(s)) für alle s ∈ S.
Bemerkung: Die in der C ′ -Komponente berechnete Datenstruktur ist
auch als LAR (last appearance record) bekannt, und geht auf Büchi
zurück.
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101 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Beispiel: Sei G das folgende Mullerspiel, wobei die Mullerbedingung
M = {{b}} ist.
a
s0
a
s1
b
s2
Dann sieht das Paritätsspiel G ′ wie folgt aus:
1
s0 , #a
1
s1 , #a
3
s2 , #ab
2
s2 , a#b
s0 , #ba
3
s2 , #b
2
3
s1 , #ba
s0 , b#a
1
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s1 , b#a
1
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102 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Sei w = s0 s1 s2 · · · eine Partie in G .
Definiere die folgende in f (s0 ) beginnende Partie in G ′ :
f (w ) = (s0 , q0 )(s1 , q1 )(s2 , q2 ) · · · , wobei
q0 = #χ(s0 )
(d. h. (s0 , q0 ) = f (s0 )) und
qi+1 = µ(si+1 , qi )
für i ≥ 1
Umgekehrt: Ist
w ′ = (s0 , q0 )(s1 , q1 )(s2 , q2 ) · · ·
eine in (s0 , q0 ) = f (s0 ) beginnende Partie in G ′ , so ist
w := s0 s1 s2 · · ·
eine Partie in G mit f (w ) = w ′ .
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103 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Sei im folgenden w = s0 s1 s2 · · · eine Partie in G ,
f (w ) = (s0 , x0 #y0 )(s1 , x1 #y1 )(s2 , x2 #y2 ) · · · und F = Inf(χ(w )).
Behauptung 1: ∃j ≥ 0 ∀i > j : yi ∈ F ∗ (
|yi | ≤ |F |)
Es existieren 0 ≤ k < j, so dass:
{χ(sk ), χ(sk+1 ), χ(sk+2 ), . . .} = F
(8)
{χ(sk ), χ(sk+1 ), χ(sk+2 ), . . . , χ(sj )} = F
(9)
Angenommen es gibt i > j und c ∈ C \ F mit c ∈ Occ(yi ), d. h.
xi # yi = x i # u c v .
1.Fall: v = ε, d. h. xi # yi = xi # u c.
χ(si ) = c 6∈ F Widerspruch zu (8) wegen i ≥ j ≥ k.
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104 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
2.Fall: v 6= ε, d. h. xi # yi = xi # u c w c ′ mit c ′ = χ(si ) ∈ F .
Wähle ein maximales ℓ ∈ N mit
k ≤ ℓ ≤ i − 1 (beachte: i − 1 ≥ j wegen i > j)
χ(sℓ ) = c ′
(existiert wegen (9))
xℓ #yℓ ist von der Form · · · c · · · c ′
xℓ+1 #yℓ+1 , . . . , xi−1 #yi−1 sind von der Form · · · c · · · c ′ · · ·
xi #yi ist von der Form · · · c · · · # · · · c ′ Widerspruch!
Dies beweist Behauptung 1.
Sei j im folgenden die Zahl aus Behauptung 1.
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105 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Behauptung 2: Es gibt ∞ viele i mit Occ(yi ) = F .
Sei ℓ ≥ j beliebig.
F ⊆ Occ(xℓ yℓ ) (wegen (9)).
Sei c ∈ F , so dass in xℓ #yℓ keine Farbe aus F links von c steht.
Wähle i > ℓ minimal mit χ(si ) = c (muss existieren).
xi ∈ (C \ F )∗ in xi #yi
Da wegen (9) wieder F ⊆ Occ(xi yi ) gilt, folgt Occ(yi ) = F .
Dies beweist Behauptung 2.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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106 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Behauptung 3: Eve gewinnt die Partie w in G genau dann, wenn Eve die
Partie f (w ) in G ′ gewinnt.
=⇒:
Angenommen Eve gewinnt die Partie w in G . Sei Inf(χ(w )) = F .
Dann gilt:
F ∈M
∃j ∀i > j : Occ(yi ) ⊆ F und
es existieren ∞ viele i mit Occ(yi ) = F .
Mit n = |F | folgt:
∃j ∀i > j : χ′ (si , xi #yi ) ≤ 2n und
χ′ (si , xi #yi ) = 2n für ∞ viele i.
Eve gewinnt die Partie f (w ).
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107 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
⇐=:
Angenommen Eve gewinnt die Partie w in G nicht. Sei Inf(χ(w )) = F .
Dann gilt:
F 6∈ M
∃j ∀i > j : Occ(yi ) ⊆ F und
es existieren ∞ viele i mit Occ(yi ) = F .
Mit n = |F | folgt:
∃j ∀i > j : χ′ (si , xi #yi ) ≤ 2n − 1 und
es existieren ∞ viele i mit χ′ (si , xi #yi ) = 2n − 1.
Eve gewinnt die Partie f (w ) nicht.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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108 / 203
Paritätsspiele
Muller → Parität
Hieraus ergibt sich:
Eve gewinnt auf s in G genau dann, wenn Eve auf f (s) in G ′ gewinnt.
Denn:
Eine Gewinnstrategie für Eve auf s in dem Mullerspiel G liefert eine
Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in G ′ wie folgt:
Zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von von s1 nach s2 und ist (s1 , x#y )
die Position in G ′ zum Zeitpunkt t, so zieht Eve in G ′ von (s1 , x#y )
nach (s2 , µ(s2 , x#y )).
Eine Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in dem Paritätsspiel G ′ liefert
eine Gewinnstrategie für Eve auf s in G wie folgt:
Zieht Eve in G ′ zum Zeitpunkt t in G ′ von (s1 , x#y ) nach
(s2 , µ(s2 , x#y )), so zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von s1 nach
s2 .
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109 / 203
Paritätsspiele
Strategievereinheitlichung
Für ein Spiel G = (S, →, ρ, L), x ∈ {Adam, Eve}, und eine Strategie τ für
x sei
WGx (τ ) = {s ∈ S | τ ist eine Gewinnstrategie für x auf s}.
Satz 22 (Strategievereinheitlichung)
Sei G = (S, →, ρ, L) ein Spiel. Angenommen die Gewinnbedingung L ⊆ S ω
erfüllt folgende Bedingung:
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L.
Dann existiert für jeden Spieler x eine gedächtnislose Strategie τ mit
WGx (τ ) = gWxG .
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110 / 203
Paritätsspiele
Strategievereinheitlichung
Beweis:
Sei W = gWxG .
Fixiere eine Wohlordnung < auf der Menge aller gedächtnislosen
Strategien für Spieler x (existiert nach Wohlordungsprinzip).
Für eine Position s ∈ W sei gS(s) 6= ∅ die Menge aller gedächtnislosen
Gewinnstrategien für Spieler x auf s.
Wir definieren die neue gedächtnislose Strategie τ für Spieler x durch
∀s ∈ W ∩ Sx : τ (s) = [min gS(s)](s).
Behauptung: τ ist eine Gewinnstrategie für Spieler x auf W .
Sei s0 s1 s2 eine zu τ konforme Partie mit s0 ∈ W .
Für jede Position si mit si ∈ W sei τi = min gS(si ) für i ≥ 0.
Dann gilt si+1 = τ (si ) = τi (si ) für alle i ≥ 0 mit si ∈ W ∩ Sx .
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111 / 203
Paritätsspiele
Strategievereinheitlichung
Sei τm das Minimum (bzgl. <) aller dieser τi (existiert, da τ0 existiert).
Durch Induktion über i ≥ m zeigen wir, dass jede Position si in der Partie
sm sm+1 · · · zu WGx (τm ) gehört, und dass diese Partie konform zu τm ist.
IA: sm ∈ WGx (τm ) gilt nach Definition (τm ∈ gS(sm )).
IS: Gelte si ∈ WGx (τm ) für ein i ≥ m.
τm ∈ gS(si ).
τi = min gS(si ) ≤ τm .
τi = τm .
Falls si ∈ Sx gilt, folgt sofort si+1 ∈ WGx (τm ).
Falls si ∈ Sx gilt (insbesondere also si ∈ W ∩ Sx ), so folgt
si+1 = τi (si ) = τm (si ) und si+1 ∈ WGx (τm ).
Also gewinnt Spieler x die Partie sm sm+1 sm+2 · · · (da sm ∈ WGx (τm )).
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112 / 203
Paritätsspiele
Strategievereinheitlichung
Spieler x gewinnt w = s1 · · · sm−1 sm · · · ; hier wird die Forderung
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L
an die Gewinnbedingung L benutzt.
Wir haben somit W ⊆ WGx (τ ) gezeigt.
Da offensichtlich auch WGx (τ ) ⊆ W gilt erhalten wir W = WGx (τ ).
Bemerkung: Die Forderung
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L
ist erfüllt, falls die Gewinnbedingung über eine Mullerbedingung (und
damit auch eine Büchi- oder Paritätsbedingung) definiert ist.
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113 / 203
Paritätsspiele
Gedächtnislose Determiniertheit von Paritätsspielen
Satz 23
Adam
Für jedes Paritätsspiel G = (S, →, ρ, χ) gilt gWEve
= S, d. h.
G ∪ gWG
Paritätsspiele sind gedächtnislos determiniert.
Aus Satz 21 und Satz 23 ergibt sich sofort:
Satz 24
Für jedes Mullerspiel G = (S, →, ρ, M) gilt WGEve ∪ WGAdam = S, d. h.
Mullerspiele sind determiniert (aber i. A. nicht gedächtnislos determiniert).
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114 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Beweis von Satz 23:
Sei G = (S, →, ρ, χ) ein Paritätsspiel mit n = max{χ(s) | s ∈ S}.
Wir zeigen Satz 23 durch Induktion über n.
IA: n = 0.
Adam
Dann gilt gWEve
= ∅.
G = S und gWG
IS: n > 0, o.B.d.A. sei n gerade (sonst muss man Adam und Eve in der
folgende Argumentation vertauschen).
Es sei τAdam die nach Satz 22 existierende gedächtnislose Gewinnstrategie
für Adam auf gWAdam
.
G
Wir konstruieren eine gedächtnislose Strategie τ für Eve mit
WGEve (τ ) = S \ gWAdam
.
G
Sei H = G ↾(S \ gWAdam
) das Spiel G , eingeschränkt auf S \ gWAdam
.
G
G
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115 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Dann hat H wieder keine Sackgassen: Sei s ∈ S \ gWAdam
.
G
ρ(s) = Eve
NG (s) ∩ (S \ gWAdam
) 6= ∅,
G
gehören.
denn sonst würde s zu gWAdam
G
ρ(s) = Adam
∅=
6 NG (s) ⊆ S \ gWAdam
,
G
denn sonst würde s zu gWAdam
gehören.
G
Sei nun
Adam
A = AttEve
| χ(s) = n}).
H ({s ∈ S \ gWG
Aus Lemma 8 folgt die Existenz einer gedächtnislosen Strategie τA für Eve
(in dem Spiel H), so dass jede mit τA konforme und bei einer Position aus
A beginnende Partie schließlich eine Position s ∈ S \ gWAdam
mit χ(s) = n
G
besucht.
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116 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Sei nun K = G ↾(S \ (gWAdam
∪ A)) das Spiel G , eingeschränkt auf
G
S \ (gWAdam
∪
A).
G
Dann hat K wieder keine Sackgassen: Sei s ∈ S \ (gWAdam
∪ A).
G
Wir wissen bereits, dass NH (s) 6= ∅ gilt.
Lemma 9 impliziert:
NH (s) ∩ (S \ (gWAdam
∪ A)) 6= ∅
G
ρ(s) = Adam
ρ(s) = Eve
NH (s) ⊆ (S \ (gWAdam
∪ A))
G
Es gilt max{χ(s) | s ∈ S \ (gWAdam
∪ A)} < n.
G
Also können wir IH auf das Spiel K anwenden:
Adam
gWEve
= S \ (gWAdam
∪ A)
K ∪ gWK
G
6= ∅.
Angenommen gWAdam
K
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117 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Dann gäbe es eine Position s ∈ S \ (gWAdam
∪ A) und eine gedächtnislose
G
′
Strategie τ für Adam, so dass Adam jede mit τ ′ konforme und bei s
beginnende Partie in dem Spiel K gewinnt.
Dann hätte Adam auch eine gedächtnislose Strategie, mit der Adam auf s
in dem Spiel G gewinnen würde (dies widerspricht jedoch s 6∈ gWAdam
):
G
Solange die aktuelle Position in S \ (gWAdam
∪ A) liegt:
G
Adam zieht entsprechend τ ′ .
Falls die aktuelle Position in gWAdam
liegt:
G
Adam zieht entsprechend τAdam .
Beachte: Die Partie wird so nie in eine Spielposition aus dem Attraktor A
gelangen, denn es gibt keine Kante s1 → s2 mit s1 ∈ S \ (gWAdam
∪ A),
G
s2 ∈ A und ρ(s1 ) = Eve (siehe wieder Lemma 9).
Adam
Also gilt gWAdam
= ∅, d. h. gWEve
∪ A).
K
K = S \ (gWG
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118 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Sei τ ′ eine gedächtnislose Strategie für Eve, so dass Eve jede mit τ ′
konforme Partie in dem Spiel K gewinnt.
Nun können wir endlich eine gedächtnislose Strategie τ für Eve mit
WGEve (τ ) = S \ gWAdam
definieren:
G
Falls die aktuelle Spielposition zu S \ (gWAdam
∪ A) gehört:
G
′
Eve zieht entsprechend τ .
Falls die aktuelle Spielposition t zum Attraktor A gehört und
χ(t) < n:
Eve zieht entsprechend τA
Beachte: Eve erzwingt so, dass eine Position t ′ mit χ(t ′ ) = n
schließlich erreicht wird.
Falls die aktuelle Spielposition t zu S \ gWAdam
gehört, und χ(t) = n:
G
)
Eve zieht zu einer beliebigen Position aus NG (t) ∩ (S \ gWAdam
G
(dies ist möglich).
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SS 2009
119 / 203
Paritätsspiele
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Behauptung: Sei s ∈ S \ WGAdam . Dann gewinnt Eve jede mit τ konforme
und bei s beginnende Partie.
Sei s0 s1 s2 · · · eine mit τ konforme Partie, s0 = s.
Fall 1: Es existiert ein i ≥ 0 mit sj ∈ S \ (gWAdam
∪ A) für alle j ≥ i.
G
Die Partie si si+1 si+2 · · · ist konform zu τ ′ .
Eve gewinnt die Partie si si+1 si+2 · · · und damit auch s0 s1 s2 · · · .
Fall 2: Es existieren unendlich viele i ≥ 0 mit si ∈ A.
Es existieren unendlich viele i ≥ 0 mit χ(si ) = n.
Da n gerade ist, gewinnt Eve die Partie s0 s1 s2 · · · .
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120 / 203
Paritätsspiele
Komplexität von Paritätsspielen
Die Komplexitätsklasse coNP ist Menge aller Komplemente von
NP-Mengen:
coNP = {A | A ∈ NP}
Satz 25
Das folgende Problem PARITY gehört zu NP ∩ coNP:
EINGABE: Ein endliches Paritätsspiel G = (S, →, ρ, χ) und eine Position
s∈S
FRAGE: s ∈ WGEve (= gWEve
G )?
Beweis:
Wir zeigen zunächst PARITY ∈ NP.
Sei hierzu G = (S, →, ρ, χ) ein endliches Paritätsspiel, und sei s ∈ S. Es
gilt:
s ∈ WGEve ⇐⇒ Eve hat eine gedächtnislose Gewinnstrategie τ auf s
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121 / 203
Paritätsspiele
Komplexität von Paritätsspielen
Ein nicht-deterministischer Polynomialzeitalgorithmus, der s ∈ WGEve
überprüft, arbeitet wie folgt:
1
Rate eine gedächtnislose Strategie τ : SEve → S für Eve.
2
Sei G ↾τ = (S, {(s, t) | s → t, ρ(s) = Adam oder t = τ (s)}, ρ, χ).
3
Überprüfe, ob für jeden unendlichen Pfad s0 s1 s2 · · · in G ↾τ mit s0 = s
gilt: max(Inf(χ(s0 )χ(s1 )χ(s2 ) · · · )) gerade.
Wir müssen noch zeigen, dass Eigenschaft (3) (oder ¬(3)) deterministisch
in Polynomialzeit überprüft werden kann.
Da das Spiel G endlich ist, ist Eigenschaft ¬(3) ist äquivalent zu:
Es gibt Positionen t1 , . . . , tn , n ≥ 1, mit
s →∗ t1 → t2 → · · · tn → t1 in G ↾τ
χ(t1 ) ist ungerade und χ(ti ) ≤ χ(t1 ) für alle 1 ≤ i ≤ n.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
122 / 203
Paritätsspiele
Komplexität von Paritätsspielen
Dies ist äquivalent zu: Es gibt eine Position t ∈ S mit:
χ(t) ist ungerade
In G ↾τ gibt es einen Pfad von s nach t.
In G ↾τ , eingeschränkt auf alle Positionen u ∈ S mit χ(u) ≤ χ(t), gibt
es einen nicht-leeren Pfad von t nach t.
Dies kann leicht in Polynomialzeit (z. B. mittels des Algorithmus von
Dijkstra) überprüft werden.
Dies zeigt PARITY ∈ NP.
PARITY ∈ coNP (d.h PARITY ∈ NP) folgt nun leicht aus der
Determiniertheit:
s 6∈ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGAdam
Natürlich können wir s ∈ WGAdam genauso in NP überprüfen, wie
s ∈ WGEve .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
123 / 203
Paritätsspiele
Komplexität von Paritätsspielen
Bemerkungen zu PARITY ∈ NP ∩ coNP:
Es gilt P ⊆ NP ∩ coNP. Ob jedoch PARITY ∈ P gilt, ist ein
berühmtes offenes Problem.
Andererseits ist es sehr unwahrscheinlich, dass PARITY
NP-vollständig ist, denn dies würde NP = coNP implizieren, was
Komplexitätstheoretiker als sehr unwahrscheinlich ansehen.
Die Frage, ob s ∈ WGEve für ein gegebenes Mullerspiel G und eine
Position s gilt, scheint schwieriger zu sein:
Dieses Problem ist PSPACE-vollständig, siehe:
Paul Hunter, Anuj Dawar: Complexity Bounds for Regular Games,
Proceedings of MFCS 2005, Lecture Notes in Computer Science 3618,
S. 495-506, Springer 2005.
Beachte: Die Umwandlung eines Mullerspiels in ein “äquivalentes”
Paritätsspiels (siehe Beweis von Satz 21) erfordert einen
exponentiellen Blow-Up.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
124 / 203
Der modale µ-Kalkül
Überblick
In diesem Abschnitt führen wir den modalen µ-Kalkül ein.
Dieser erweitert Modallogik um Konstrukte zur Definition von Fixpunkten.
Wir zeigen dann, wie das Model-Checking Problem für den modalen
µ-Kalkül auf die Berechnung der Gewinnmenge in einem Paritätsspiel
reduziert werden kann (analog zu modale Logik → Erreichbarkeitsspiele).
Schließlich zeigen wir auch noch, wie umgekehrt Paritätsspiele auf den
modalen µ-Kalkül reduziert werden können.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
125 / 203
Der modale µ-Kalkül
Fixpunkte
Idee: Viele interessante Eigenschaften von Kripkestrukturen lassen sich
über Fixpunkte beschreiben.
Sei K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur und p ∈ Π.
Beispiel 1:
Sei A1 = {v ∈ V | ∃u ∈ π(p) : (v , u) ∈ E ∗ }.
Sei f1 : 2V → 2V definiert durch
f1 (U) = π(p) ∪ {v ∈ V | ∃u ∈ U : (v , u) ∈ E } = π(p) ∪ predK (U),
wobei predK (U) = {v ∈ V | ∃u ∈ U : (v , u) ∈ E }.
Beachte: f1 ist monoton, d. h. U1 ⊆ U2 =⇒ f1 (U1 ) ⊆ f1 (U2 ).
Dann gilt:
A1 =
\
{U ∈ 2V | f1 (U) ⊆ U}
= min{U ∈ 2V | f1 (U) = U}
d. h. A1 ist der kleinste Fixpunkt von f1 .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
126 / 203
Der modale µ-Kalkül
Fixpunkte
Beispiel 2:
Sei A2 = {v0 ∈ V | ∃v1 , v2 , . . . ∀i ≥ 0 : vi ∈ π(p) ∧ (vi , vi+1 ) ∈ E }.
Sei f2 : 2V → 2V definiert durch
f2 (U) = π(p) ∩ predK (U),
Beachte: f2 ist wieder monoton.
Dann gilt:
A2 =
[
{U ∈ 2V | U ⊆ f2 (U)}
= max{U ∈ 2V | f2 (U) = U}
d. h. A2 ist der größte Fixpunkt von f2 .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
127 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modaler µ-Kalkül: Idee
Der modale µ-Kalkül ist eine ausdrucksstarke Logik, in der z. B.
Eigenschaften wie
Ein Knoten, wo die Proposition p gilt, ist erreichbar. “
”
ausgedrückt werden können.
Eigenschaften dieser Art lassen sich nicht in Logik 1. Stufe ausdrücken.
Formal: Es gibt keine Formel ϕ(x) ∈ FO({r , p}, arity) (mit arity(r ) = 2,
arity(p) = 1), so dass für jede Struktur (A, IS , IX ) über der Signatur
({r , p}, arity) mit dom(IX ) = {x} gilt:
(A, IS , IX ) |= ϕ(x) ⇐⇒ ∃b ∈ IS (p) : (IX (x), b) ∈ IS (r )∗
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
128 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Syntax
Der modale µ-Kalkül erweitert Modallogik um Konstrukte zur Definition
von kleinsten und größten Fixpunkten.
Sei Π wieder eine endliche Menge von Knotenmarkierungen (atomare
Propositionen), und sei X eine (abzählbar-unendliche) Menge von
Variablen (Fixpunktvariablen).
Die Menge aller Formeln des modalen µ-Kalküls über Π (kurz µC(Π)) ist
die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
Für alle p ∈ Π sind p, ¬p ∈ µC(Π).
X ⊆ µC(Π).
Wenn ϕ, ψ ∈ µC(Π), dann auch ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ µC(Π).
Wenn ϕ ∈ µC(Π), dann auch ♦ϕ, ϕ ∈ µC(Π).
Wenn ϕ ∈ µC(Π) und X ∈ X , dann auch µX .ϕ, νX .ϕ ∈ µC(Π).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
129 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Syntax
Die Menge free(ϕ) der freien Variablen von ϕ ist wie üblich induktiv
definiert:
free(p) = free(¬p) = ∅ für p ∈ Π
free(X ) = {X } für X ∈ X ,
free(ϕ ∧ ψ) = free(ϕ ∨ ψ) = free(ϕ) ∪ free(ψ).
free(♦ϕ) = free(ϕ) = free(ϕ).
free(µX .ϕ) = free(νX .ϕ) = free(ϕ) \ {X }.
Ein Formel ϕ ∈ µC(Π) ist ein Satz, falls free(ϕ) = ∅ gilt.
Die Menge sub(ϕ) aller Teilformeln von ϕ ist wie üblich definiert.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
130 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Um die Semantik des modalen µ-Kalkül zu definieren, betrachten wir im
Weiteren Kripkestrukturen der Form
K = (V , E , Π ∪ X , π).
Insbesondere gilt also π : Π ∪ X → 2V .
Fixpunktvariablen aus X werden also mit Teilmengen von V belegt.
Für X ∈ X und U ⊆ V sei K [X /U] die Kripkestruktur
(V , E , Π ∪ X , π[X /U]), wobei
(
U
falls y = X
π[X /U](y ) =
π(y ) sonst.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
131 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Wir ordnen jeder Formel ϕ ∈ µC(Π) induktiv eine Teilmenge [[ϕ]]K ⊆ V zu.
Für p ∈ Π ist [[p]]K = π(p) und [[¬p]]K = V \ π(p)
Für X ∈ X ist [[X ]]K = π(X )
[[ϕ ∨ ψ]]K = [[ϕ]]K ∪ [[ψ]]K , [[ϕ ∧ ψ]]K = [[ϕ]]K ∩ [[ψ]]K
[[♦ϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E ∧ u ∈ [[ϕ]]K }
[[ϕ]]K = {v ∈ V | ∀u ∈ V : (v , u) ∈ E → u ∈ [[ϕ]]K }
[[µX .ϕ]]K = µFXK,ϕ , [[νX .ϕ]]K = νFXK,ϕ .
Hierbei ist FXK,ϕ die monotone Funktion von 2V nach 2V mit
FXK,ϕ (U) = [[ϕ]]K [X /U] für U ∈ 2V .
Die Monotonie der Funktion Fϕ beweisen wir auf der nächsten Folie.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
132 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Lemma 26
Für jede Kripkestruktur K = (V , E , Π ∪ X , π), alle ϕ ∈ µC(Π) und alle
Variablen X ∈ X ist die Abbildung FXK,ϕ monoton.
Beweis: Induktion über den Aufbau von ϕ.
ϕ = p ∈ Π: FXK,ϕ (U) = π(p) für alle U ⊆ V .
ϕ = ¬p ∈ Π: FXK,ϕ (U) = V \ π(p) für alle U ⊆ V .
ϕ = X ∈ X : FXK,ϕ (U) = U für alle U ⊆ V .
ϕ = Y ∈ X \ {X }: FXK,ϕ (U) = π(Y ) für alle U ⊆ V .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
133 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
ϕ = ψ ∧ θ: FXK,ϕ (U) = [[ψ ∧ θ]]K [X /U] = FXK,ψ (U) ∩ FXK,θ (U).
Da nach IH FXK,ψ und FXK,θ monoton sind, ist auch FXK,ϕ monoton.
ϕ = ψ ∨ θ: Analog.
ϕ = ♦ψ:
FXK,ϕ (U) = [[♦ψ]]K [X /U]
= {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E ∧ u ∈ [[ψ]]K [X /U] }
= {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E ∧ u ∈ FXK,ψ (U)}.
Da nach IH FXK,ψ monoton ist, ist auch FXK,ϕ monoton.
ϕ = ψ: Analog.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
134 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
ϕ = µY .ψ:
Falls Y = X gilt, so erhalten wir:
FXK,ϕ (U) = [[µX .ψ]]K [X /U]
K [X /U]
= µ FX ,ψ
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
K [X /U]
⊆ V | FX ,ψ
(W ) ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /U][X /W ] ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /W ] ⊆ W }
⊆ V | FXK,ψ (W ) ⊆ W }
= µ FXK,ψ ,
d. h. FXK,ϕ ist eine konstante (und somit monotone) Funktion.
K [X /U]
Beachte: Nach IH sind FXK,ψ und FX ,ψ
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
beide monoton.
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
135 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Sei nun Y 6= X . Dann gilt:
FXK,ϕ (U) = [[µY .ψ]]K [X /U]
K [X /U]
= µFY ,ψ
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
K [X /U]
⊆ V | FY ,ψ
(W ) ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /U][Y /W ] ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [Y /W ][X /U] ⊆ W }
K [Y /W ]
⊆ V | FX ,ψ
(U) ⊆ W }
Sei nun U ⊆ U ′ .
IH
K [Y /W ]
FX ,ψ
K [Y /W ]
(U) ⊆ FX ,ψ
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(U ′ )
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
136 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Also gilt:
FXK,ϕ (U) =
⊆
\
\
K [Y /W ]
{W ⊆ V | FX ,ψ
{W ⊆ V |
(U) ⊆ W }
K [Y /W ]
FX ,ψ
(U ′ )
⊆ W}
= FXK,ϕ (U ′ )
ϕ = νY .ψ: Analog.
Dies beendet den Beweis der Monotonie von FXK,ϕ .
Beachte: Entscheidend für den Beweis von Lemma 26 war, dass wir keine
Formeln der Gestalt ¬X (X ∈ X ) erlauben.
In der Tat wäre FXK,¬X : U 7→ V \ U nicht monoton.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
137 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Seien ϕ, ψ ∈ µC(Π) und sei X ∈ X eine Fixpunktvariable.
Die Formel ϕ[X /ψ] entsteht durch Ersetzen aller freien Vorkommen von X
in ϕ durch ψ:
p[X /ψ] = p, (¬p)[X /ψ] = ¬p
X [X /ψ] = ψ, Z [X /ψ] = Z für Z ∈ X \ {X }
(θ1 ∧ θ2 )[X /ψ] = θ1 [X /ψ] ∧ θ2 [X /ψ],
(θ1 ∨ θ2 )[X /ψ] = θ1 [X /ψ] ∨ θ2 [X /ψ]
(♦θ)[X /ψ] = ♦(θ[X /ψ]),
(θ)[X /ψ] = (θ[X /ψ])
(µX .θ)[X /ψ] = µX .θ, (νX .θ)[X /ψ] = νX .θ
(µZ .θ)[X /ψ] = µZ .θ[X /ψ], (νZ .θ)[X /ψ] = νZ .θ[X /ψ] für Z 6= X
Offensichtlich gilt: [[µX .ϕ]]K = [[µY .ϕ[X /Y ]]]K falls Y 6∈ free(µX .ϕ).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
138 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Bemerkungen:
Der Beweis der Monotonie von FXK,ϕ hat auch gezeigt:
[[µX .ψ]]K [X /U] = [[µX .ψ]]K für alle U ⊆ V (analoges gilt für ν).
d. h. der Wert π(X ) spielt für den Wert [[µX .ψ]]K keine Rolle.
Insbesondere: Ist ϕ ∈ µC(Π) ein Satz, so sind alle Werte π(X ) mit
X ∈ X irrelevant, und wir können ϕ über einer gewöhnlichen
Kripkestruktur K = (V , E , Π, π) auswerten.
Wir erlauben in µC-Formeln die Negation nur direkt vor
Propositionen.
Alternativ könnten wir die Negation überall erlauben, müssten jedoch
dann die folgende Einschränkung vornehmen:
Wenn ϕ ∈ µC(Π), X ∈ X und jedes freie Vorkommen von X in ϕ
innerhalb einer geraden Anzahl von Negationen liegt, dann auch
µX .ϕ, νX .ϕ ∈ µC(Π).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
139 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
In einer Formel, die dieser Einschränkung genügt, können dann
Negationen durch wiederholte Anwendung der folgenden
Äquivalenzen bis auf Propositionen heruntergedrückt werden:
¬(ψ ∧ θ) ≡ ¬ψ ∨ ¬θ
¬(ψ ∨ θ) ≡ ¬ψ ∧ ¬θ
¬¬ψ ≡ ψ
¬♦ψ ≡ ¬ψ
¬µX .ψ ≡ νX .¬ψ[X /¬X ]
¬ψ ≡ ♦¬ψ
¬νX .ψ ≡ µX .¬ψ[X /¬X ]
Die beiden letzten Äquivalenzen ergeben sich aus Lemma 5.
Alternativ zeigen die obigen Äquivalenzen, dass man auf die
Operatoren ∧, und νX verzichten kann, falls man die Negation ¬
(eingeschränkt wie auf der vorherigen Folie erläutert) erlaubt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
140 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Semantik
Beispiele:
Sei K = (V , E , Π, π) eine Kripkestruktur.
Für die Formel ϕ = µX .(p ∨ ♦X ) gilt:
[[ϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ π(p) : (v , u) ∈ E ∗ }
Für die Formel ϕ = µX .X gilt:
[[ϕ]]K = {v0 ∈ V | ¬∃v1 , v2 , . . . ∈ V :
^
(vi , vi+1 ) ∈ E }
i≥0
Für die Formel ϕ = νX .(p ∧ ♦X ) gilt:
[[ϕ]]K = {v0 ∈ π(p) | ∃v1 , v2 , . . . ∈ π(p) :
^
(vi , vi+1 ) ∈ E }
i≥0
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
141 / 203
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül: Normalform
Eine Formel ϕ ∈ µC(Π) ist in Normalform falls gilt:
Keine Fixpunktvariable wird zweimal in ϕ gebunden: Sind αX .ψ und
βY .θ (mit α, β ∈ {µ, ν}) zwei Teilformeln von ϕ, die an
verschiedenen Positionen in ϕ beginnen, so gilt X 6= Y .
Keine Fixpunktvariable kommt in ϕ sowohl gebunden als auch frei
vor: Falls ϕ eine Teilformel der Gestalt αX .ψ (mit α ∈ {µ, ν})
enthält, so gilt X 6∈ free(ϕ).
Lemma 27
Für jede Formel ϕ ∈ µC(Π) gibt es eine Formel ψ in Normalform mit
[[ϕ]]K = [[ψ]]K für jede Kripkestruktur K .
Für den Beweis von Lemma 27 muss man nur systematisch alle
gebundenen Variablen in ϕ geeignet umbenennen.
Für ϕ ∈ µC(Π) in Normalform und eine in ϕ gebundene Variable X sei
βXϕ ∈ sub(ϕ) die eindeutige Teilformel der Gestalt µX .ψ oder νX .ψ.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
142 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei K = (V , E , Π ∪ X , π) eine Kripkestruktur, w ∈ V und ϕ ∈ µC(Π).
Wir konstruieren nun ein Paritätsspiel G (K , ϕ) mit:
w ∈ [[ϕ]]K
⇐⇒
(w , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
O.B.d.A. sei ϕ in Normalform.
Es sei G (K , ϕ) = (V × sub(ϕ), →, ρ, χ), wobei → wie folgt definiert ist:
v, θ
v, θ
v, ψ ∧ θ
v, ψ ∨ θ
v, ψ
v , ψ
u, ψ
v , νX .ψ
v, ψ
v, X
v , βXϕ
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
v, ψ
∀(v , u) ∈ E
v , ♦ψ
u, ψ
v , µX .ψ
v, ψ
∀(v , u) ∈ E
falls X in ϕ gebunden ist
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
143 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beachte: Folgende Positionen sind Sackgassen in G (K , ϕ): (v , p), (v , ¬p)
für p ∈ Π, (v , X ) für X ∈ free(ϕ), (v , ♦ψ), (v , ψ) für NK (v ) = ∅. Diese
werden nach unserer Konvention implizit durch Schleifen ersetzt.
Die Funktion ρ : V × sub(ϕ) → {Eve, Adam} ist wie folgt definiert:
ρ(v , ψ ∧ θ) = Adam ρ(v , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(v , ψ) = Adam
ρ(v , ♦ψ) = Eve
Für alle anderen Spielpositionen (v , ψ) ist ρ(v , ψ) beliebig definiert.
Wir müssen nun noch die Funktion χ : V × sub(ϕ) → N definieren.
Hierzu definieren wir die Alternierungstiefe ad(λX .ψ) einer Formel λX .ψ
(λ ∈ {µ, ν}) induktiv wie folgt:
ad(µX .ψ) ist die kleinste ungerade Zahl a ∈ N, so dass a ≥ ad(λY .θ)
für alle λY .θ ∈ sub(ψ), λ ∈ {µ, ν}.
ad(νX .ψ) ist die kleinste gerade Zahl a ∈ N, so dass a ≥ ad(λY .θ)
für alle λY .θ ∈ sub(ψ), λ ∈ {µ, ν}.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
144 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Dann ist χ : V × sub(ϕ) → N definiert als:


ad(ψ) falls ψ von der Form λX .θ mit λ ∈ {µ, ν} ist





−1
falls ψ = p ∈ Π ∧ v 6∈ π(p)




oder ψ = ¬p ∈ Π ∧ v ∈ π(p)
χ(v , ψ) =

oder ψ = X ∈ free(ϕ) ∧ v 6∈ π(X )





oder ψ = ♦Θ ∧ NK (v ) = ∅



0
sonst
Beachte:
χ(v , λX .ψ) ≥ χ(w , θ) für alle λ ∈ {µ, ν} und alle θ ∈ sub(ψ).
ran(χ) ist endlich, auch wenn V unendlich ist.
Die Zahl −1 gilt natürlich als ungerade Priorität.
Durch Addieren von +2 könnte man alle Prioritäten wieder positiv
machen.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
145 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beispiel: Sei ϕ = µX .(p ∨ ♦♦X ) und sei K die Kripkestruktur
0
1 p
Dann sieht das Spiel G (K , ϕ) wie folgt aus (grüne Knoten gehören Eve,
rote Knoten gehören Adam, blaue Zahlen sind Prioritäten):
1 0, µX .(p ∨ ♦♦X )
0 0, p ∨ ♦♦X
0 0, ♦♦X
0 1, ♦X
0, p −1
1, µX .(p ∨ ♦♦X ) 1
0 1, p ∨ ♦♦X
0 1, p 0 1, ♦♦X
0 0, ♦X
0, X 0
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
0 1, X
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
146 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beispiel: Sei ϕ = νX .(p ∧ ♦X ) und sei K die Kripkestruktur
0
1
p
Dann sieht das Spiel G (K , ϕ) wie folgt aus:
0 0, νX .(p ∧ ♦X )
0 0, p ∧ ♦X
0 0, ♦X
0, p −1
1, νX .(p ∧ ♦X ) 0
0 1, p ∧ ♦X
0 1, p
0 1, ♦X
0 0, X
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
1, X 0
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
147 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Satz 28
Sei K = (V , E , Π ∪ X , π) eine Kripkestruktur und ϕ ∈ µC(Π). Dann gilt
für alle v ∈ V :
v ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ (v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Für den Beweis werden das folgende einfache Lemma benutzen.
Lemma 29
Sei G = (S, →, ρ, χ) ein Paritätsspiel und sei s ∈ S.
Definiere das Spiel Gs = ({t ∈ S | s →∗ t}, →, ρ, χ), d. h. Gs ist G
eingeschränkt auf alle Positionen, die von s aus in G erreichbar sind.
.
Dann gilt: s ∈ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGEve
s
Beweis: Übung
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
148 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beweis von Satz 28: Induktion über den Aufbau von ϕ. Sei v ∈ V .
Die Fälle ϕ = p, ϕ = ¬p und ϕ = X sind einfach.
ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 : Aus der Konstruktion von G = G (K , ϕ) folgt:
G(v ,ϕ1 ) = G (K , ϕ1 )(v ,ϕ1 )
und G(v ,ϕ2 ) = G (K , ϕ2 )(v ,ϕ2 )
(10)
Wir erhalten:
(v , ϕ) ∈ WGEve ⇐⇒ (v , ϕ1 ), (v , ϕ2 ) ∈ WGEve
Lem. 29
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
, (v , ϕ2 ) ∈ WGEve
(v ,ϕ )
(v ,ϕ
2)
1
(10)
Eve
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
(K ,ϕ1 )(v ,ϕ ) , (v , ϕ2 ) ∈ WG (K ,ϕ2 )(v ,ϕ
2)
1
Lem. 29
Eve
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
(K ,ϕ1 ) , (v , ϕ2 ) ∈ WG (K ,ϕ2 )
IH
⇐⇒ v ∈ [[ϕ1 ]]K , v ∈ [[ϕ2 ]]K
⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
149 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
ϕ = ϕ1 ∨ ϕ2 : analog
ϕ = ♦ψ: Aus der Konstruktion von G = G (K , ϕ) folgt für alle u ∈ V :
G(u,ψ) = G (K , ψ)(u,ψ)
(11)
Wir erhalten:
(v , ϕ) ∈ WGEve ⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E , (u, ψ) ∈ WGEve
Lem. 29
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E , (u, ψ) ∈ WGEve
(u,ψ)
(11)
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E , (u, ψ) ∈ WGEve
(K ,ψ)(u,ψ)
Lem. 29
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E , (u, ψ) ∈ WGEve
(K ,ψ)
IH
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ E , u ∈ [[ψ]]K
⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K
ϕ = ψ: analog
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
150 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
ϕ = µX .ψ:
Sei f = FXK,ψ : U 7→ [[ψ]]K [X /U] für U ⊆ V .
\
[[µX .ψ]]K = µf = {U ⊆ V | f (U) ⊆ U}.
Wir müssen also zeigen:
(v , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) ⇐⇒ v ∈
\
{U ⊆ V | f (U) ⊆ U}.
(12)
Sei Vµ = {u ∈ V | (u, µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) }.
Dann ist (12) äquivalent zu
Vµ =
Beweis von ”⊇”:
\
{U ⊆ V | f (U) ⊆ U}
Wir zeigen dafür
f (Vµ ) ⊆ Vµ .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
151 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei also u ∈ f (Vµ )
u ∈ [[ψ]]K [X /Vµ ]
IH
(u, ψ) ∈ WGEve
(K [X /Vµ ],ψ)
Eve hat also eine gedächtnislose Gewinnstrategie τψ auf der Spielposition
(u, ψ) in dem Spiel G (K [X /Vµ ], ψ).
Wir zeigen nun, dass dann Eve auch eine gedächtnislose Gewinnstrategie τ
auf der Spielposition (u, µX .ψ) in dem Spiel G (K , µX .ψ) hat, denn dies
bedeutet u ∈ Vµ .
Die gedächtnislose Strategie τ sieht wie folgt aus:
Im ersten Schritt zieht Eve von (u, µX .ψ) nach (u, ψ).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
152 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Nun zieht Eve solange konform zur Strategie τψ , wie die aktuelle
Spielposition nicht von der Form (v , X ) für ein v ∈ V ist.
Sollte dies nie passieren, so erhalten wir eine zu τψ konforme Partie in
dem Spiel G (K [X /Vµ ], ψ), also gewinnt Eve.
Beachte: Positionen der Form (v , X ) sind Sackgassen in
G (K [X /Vµ ], ψ), in G (K , µX .ψ) kann/muss jedoch von solch einer
Position zu (v , µX .ψ) gezogen werden.
Falls die aktuelle Position doch irgenwann von der Form (v , X ) ist,
dann muss in dem Spiel G (K [X /Vµ ], ψ) die Priorität von (v , X )
gleich 0 sein.
Denn: Eve spielte von (u, ψ) aus konform zu ihrer Gewinnstrategie τψ ,
und (v , X ) ist eine Sackgasse in G (K [X /Vµ ], ψ).
v ∈ Vµ .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
153 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Nach Definition von Vµ hat Eve eine Gewinnstrategie τ ′ auf
(v , µX .ψ) in dem Spiel G (K , µX .ψ).
Eve zieht deshalb von (v , X ) nach (v , µX .ψ) und spielt fortan
konform zu τ ′ .
Eve gewinnt.
Dies beendet den Beweis von ”⊇”.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
154 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
G (K , µX .ψ)
G (K [X /Vµ ], ψ)
u, µX .ψ
u, ψ
τψ
v, X
v , µX .ψ
Abbildung: Der Fall ψ = µX .ψ, f (Vµ ) ⊆ Vµ
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
155 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Wir kommen nun zum Beweis von
\
Vµ ⊆ {U ⊆ V | f (U) ⊆ U} = µf .
(13)
Sei τ eine gedächtnislose Strategie für Eve mit der Eve auf allen
Positionen aus WGEve
(K ,µX .ψ) in dem Spiel G (K , µX .ψ) gewinnt
(existiert nach Lemma 22).
(13) folgt aus:
∀U ⊆ V : f (U) = U ⇒ Vµ ⊆ U
Sei also U ⊆ V ein Fixpunkt von f : f (U) = U, und sei v0 ∈ Vµ , d. h.
(v0 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) .
Wir zeigen v0 ∈ U.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
156 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Angenommen es gilt v0 6∈ U = f (U) = [[ψ]]K [X /U] .
IH
(v0 , ψ) 6∈ WGEve
(K [X /U],ψ)
Aus (v0 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) und N(v0 , µX .ψ) = {(v0 , ψ)} folgt
andererseits
Eve
(v0 , ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) = WG (K ,µX .ψ) (τ ).
Betrachte nun die Einschränkung τ ′ der Strategie τ auf die Positionen des
Spiels G (K [X /U], ψ).
′
Wegen (v0 , ψ) 6∈ WGEve
(K [X /U],ψ) kann τ keine Gewinnstrategie für Eve auf
(v0 , ψ) sein.
es existiert eine zu τ ′ konforme und bei (v0 , ψ) beginnende Partie w in
G (K [X /U], ψ), welche Adam gewinnt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
157 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Ein Vergleich der Spiele G (K [X /U], ψ) und G (K , µX .ψ) zeigt, dass die
Partie w schließlich in eine Sackgasse (v1 , X ) mündet.
Da Adam die Partie w gewinnt, muss die Priorität von (v1 , X ) gleich −1
sein.
v1 6∈ U.
Sei w0 ein endlicher Präfix von w , welcher in (v1 , X ) endet.
Da w0 ein Präfix einer zu τ konformen Partie in dem Spiel G (K , µX .ψ)
ist, folgt: (v1 , X ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) .
Wegen N(v1 , X ) = {(v1 , µX .ψ)} folgt (v1 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) , d. h.
v1 ∈ Vµ .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
158 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Wir sind nun wieder in einer Situation wie am Anfang: Wir haben eine
Position v1 (anstatt v0 ) vorliegen mit:
v1 6∈ U
und v1 ∈ Vµ .
Wir können also die obige Argumentationskette unendlich lange
wiederholen und erhalten so eine Partie w0 w1 w2 · · · , welches konform zur
Strategie τ ist und bei einer Position aus WGEve
(K ,µX .ψ) beginnt.
Eve gewinnt w0 w1 w2 · · · .
Aber: die höchste Priorität (χ-Wert), der in der Partie w0 w1 w2 · · ·
unendlich of vorkommt, ist ad(µX .ψ) (eine ungerade Zahl).
Adam gewinnt w0 w1 w2 · · · .
Widerspruch.
Also muss wie gewünscht v0 ∈ U gelten.
Dies beendet den Fall ϕ = µX .ψ.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
159 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
G (K , µX .ψ)
G (K [X /U], ψ)
v0 , µX .ψ
v0 , ψ
v1 , µX .ψ
w0
v1 , X
w1
v2 , X
v1 , ψ
v2 , µX .ψ
v2 , ψ
...
Abbildung: Der Fall ψ = µX .ψ, Vµ ⊆ U
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
160 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
ϕ = νX .ψ:
Sei wieder f = FXK,ψ : U 7→ [[ψ]]K [X /U] für U ⊆ V .
[
[[νX .ψ]]K = νf = {U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
Wir müssen also zeigen:
(v , νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) ⇐⇒ v ∈
[
{U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
(14)
Sei Vν = {u ∈ V | (u, νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) }.
Dann ist (14) äquivalent zu
Vν =
Beweis von ”⊆”:
[
{U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
Wir zeigen dafür Vν ⊆ f (Vν ).
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SS 2009
161 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei also u ∈ Vν
(u, νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ)
Sei τ eine gedächtnislose Gewinnstrategie für Eve auf der Spielposition
(u, νX .ψ) in dem Spiel G (K , νX .ψ).
Wir zeigen nun, dass die Einschränkung τψ von τ auf das Spiel
G (K [X /Vν ], ψ) eine Gewinnstrategie für Eve auf der Position (u, ψ) in
dem Spiel G (K [X /Vν ], ψ) ist (
u ∈ [[ψ]]K [X /Vν ] = f (Vν ) mit IH).
Sei w eine zu τψ konforme Partie in G (K [X /Vν ], ψ), welche bei (u, ψ)
beginnt.
Fall 1: w besucht niemals eine Position der Form (v , X ) für ein v ∈ V .
Dann ist w eine zu τ konforme Partie in dem Spiel G (K , νX .ψ), welche in
der Position (u, ψ) beginnt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
162 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Da (u, νX .ψ) nur den Nachfolger (u, ψ) in dem Spiel G (K , νX .ψ) hat, ist
(u, νX .ψ)w eine zu τ konforme Partie in dem Spiel G (K , νX .ψ), welche
bei (u, νX .ψ) beginnt.
Eve gewinnt die Partie (u, νX .ψ)w und damit auch die Partie w .
Fall 2: w besucht schließlich eine Position der Form (v , X ) für ein v ∈ V .
(v , X ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ)
Da (v , νX .ψ) der einzige Nachfolger von (v , X ) in dem Spiel G (K , νX .ψ)
ist, folgt (v , νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) .
v ∈ Vν
in G (K [X /Vν ], ψ) ist die Priorität von (v , X ) gleich 0.
Eve gewinnt die Partie w in dem Spiel G (K [X /Vν ], ψ).
Dies beendet den Beweis von ”⊆”.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
163 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Wir kommen nun zum Beweis von
[
Vν ⊇ {U ⊆ V | U ⊆ f (U)} = νf .
Sei v0 ∈ νf = f (νf ) = [[ψ]]K [X /νf ] .
IH
(v0 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ)
Sei τψ eine gedächtnislose Strategie für Eve mit der Eve auf allen
Positionen aus WGEve
(K [X /νf ],ψ) (insbesondere also auf (v0 , ψ)) in dem Spiel
G (K [X /νf ], ψ) gewinnt (existiert nach Lemma 22).
Wir konstruieren nun eine Strategie τ für Eve in dem Spiel G (K , νX .ψ):
τ (u, νX .ψ) = (u, ψ)
τ (u, X ) = (u, νX .ψ)
τ (u, θ) = τψ (u, θ) falls θ 6∈ {X , νX .ψ}
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
164 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Behauptung: τ ist eine Gewinnstrategie für Eve auf (v0 , νX .ψ).
(
v0 ∈ Vν )
Sei s0 s1 s2 · · · eine zu τ konforme Partie in dem Spiel G (K , νX .ψ), welche
mit s0 = (v0 , νX .ψ) beginnt.
Fall 1: Keine Position si ist von der Form (v , X ) für ein v ∈ V .
Dann ist s1 s2 · · · eine zur Strategie τψ konforme Partie in dem Spiel
G (K [X /νf ], ψ), welche bei s1 = (v0 , ψ) beginnt.
Eve gewinnt, da (v0 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) (τψ ).
Fall 2: sk = (v1 , X ) ist die erste Position von der Form (v , X )
( sk+1 = (v1 , νX .ψ)).
s1 s2 · · · sk ist Präfix einer zu τψ konformen Partie in dem Spiel
G (K [X /νf ], ψ).
Da sk = (v1 , X ) eine Sackgasse in dem Spiel G (K [X /νf ], ψ) ist, hat sk die
Priorität 0 in dem Spiel G (K [X /νf ], ψ).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
165 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
v1 ∈ νf = f (νf ) = [[ψ]]K [X /νf ]
IH
(v1 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) .
Wir sind damit wieder in der Ausgangslage:
(v1 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) und sk+1 sk+2 · · · (bzw. sk+1 sk+2 · · · sm ) ist eine
mit τ konforme Partie, welche in der Spielposition sk+1 = (v1 , νX .ψ)
beginnt.
Wir können somit die obige Argumentation beliebig oft wiederholen.
Einer der beiden folgenden Fälle gilt:
Fall 1 tritt irgendwann ein, d. h. es gibt ein i ≥ 0, so dass ab der
Position si keine Position (v , X ) für ein v ∈ V besucht wird.
Eve gewinnt.
Fall 2 wird stets eintreten.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
166 / 203
Der modale µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
es wird ∞ oft eine Spielposition der Form (v , νX .ψ) besucht.
max Inf(χ(s0 )χ(s1 ) · · · ) = ad(νX .ψ) ist gerade.
Eve gewinnt.
Dies beendet den Beweis von Satz 28.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
167 / 203
Der modale µ-Kalkül
Model-Checking für modalen µ-Kalkül
Satz 30
Das folgende Problem (Model-Checking Problem für den modalen
µ-Kalkül) gehört zu NP ∩ coNP:
EINGABE: Eine endliche Kripkestruktur K = (V , E , Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ µC(Π) (ohne freie Variablen)
FRAGE: Gilt v ∈ [[ϕ]]K ?
Beweis: Für Enthaltensein in NP:
(1) Konstruiere das Spiel G = G (K , ϕ)
Beachte: G hat nur |V | · |ϕ| viele Positionen und kann leicht in
Polynomialzeit aus K und ϕ konstruiert werden.
(2) Teste mit einem NP-Algorithmus (raten einer Gewinnstrategie, siehe
Satz 25), ob (v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) (⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K nach Satz 28) gilt.
Enthaltensein in coNP folgt analog, da die Frage (v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) nach
Satz 25 auch in coNP liegt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
168 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Satz 31
Aus einem endlichen Paritätsspiel G = (S, →, ρ, χ) kann man in
Polynomialzeit eine Kripkestruktur K = (S, →, Π, π) und eine Formel
ϕ ∈ µC(Π) mit WGEve = [[ϕ]]K berechnen.
Beweis:
Sei G = (S, →, ρ, χ) ein Paritätsspiel.
Sei d = max{χ(s) | s ∈ S} die maximale Priorität.
Wir definieren die Kripkestruktur K = (S, →, Π, π) wie folgt:
Π = {Ei , Ai | 0 ≤ i ≤ d}
π(Ei ) = {s | ρ(s) = Eve und χ(s) = i}
π(Ai ) = {s | ρ(s) = Adam und χ(s) = i}
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
169 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Die Formel ϕ sei schließlich:
ϕ = λd Xd · · · µX1 νX0
d _
i=0
(Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ) ,
wobei λi = ν, falls i gerade, und λi = µ, falls i ungerade.
Nach Satz 28 gilt für alle s ∈ S:
s ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Eve
Behauptung: (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) ⇐⇒ s ∈ WG
(dies impliziert s ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
Betrachte hierzu das Spiel G (K , ϕ).
Ein Ausschnitt hiervon sieht wie folgt aus (siehe nächste Folie):
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
170 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
s ′ , λd Xd d
s, λd Xd d
s ′ , λi Xi i
s, µX1 1
s ′ , νX0 0
s, νX0 0
W
s,
Eve rät χ(s)
s, ∨
Eve rät ρ(s)
s, ∧
s, ∧
Adam überprüft Eve
s, Ei
s, ♦Xi
...
Eve rät Nachfolger von s
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
s, Ai
s ′ , Xi
s, Xi
...
Adam rät Nachfolger von s
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
171 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Eve
Wir zeigen nun: (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) ⇐⇒ s ∈ WG .
“⇐”: Sei τ eine Gewinnstrategie für Eve auf s ∈ S in dem Spiel G .
Definiere eine Strategie τ ′ für Eve in dem Spiel G (K , ϕ) wie folgt:
Von einer Position
d _
(Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ) )
(t,
i=0
zieht Eve nach (t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi )), falls χ(t) = i.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ))
zieht Eve nach (t, Ei ∧ ♦Xi ), falls ρ(t) = Eve.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ))
zieht Eve nach (t, Ai ∧ Xi ), falls ρ(t) = Adam.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
172 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Eve zieht also entsprechend den tatsächlichen Werten χ(t) und ρ(t).
Sei χ(t) = i und ρ(t) = Eve, d. h. Eve wird nach (t, Ei ∧ ♦Xi ) ziehen.
Zieht Adam nun von der Position (t, Ei ∧ ♦Xi ) nach (t, Ei ), so wird Eve
gewinnen, da t ∈ π(Ei ).
Also wird Adam von (t, Ei ∧ ♦Xi ) nach (t, ♦Xi ) ziehen.
Nun zieht Eve zur Position (τ (t), Xi ), von wo die Partie nach
(τ (t), λi Xi · · · ) gelangt. Diese Position hat Priorität i.
Falls ρ(t) = Adam, gelangt die Partie in die Position (t, Xi ), von der
Adam zu einer beliebigen Position (t ′ , Xi ) mit t ′ ∈ NG (t) ziehen kann.
Von dort gelangt die Partie in die Position (t ′ , λi Xi · · · ) mit Priorität i.
Wenn Eve sich an die Strategie τ ′ hält, wird eine zu Eves
Gewinnstrategie τ -konforme Partie in dem Spiel G simuliert.
Eve gewinnt.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
173 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
“⇒”: Sei τ eine Gewinnstrategie für Eve auf (s, ϕ) ∈ S in G (K , ϕ).
O.B.d.A. gilt für die Strategie τ :
Von einer Position
d _
(t,
(Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ) )
i=0
zieht Eve nach (t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi )), falls χ(t) = i.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ))
zieht Eve nach (t, Ei ∧ ♦Xi ), falls ρ(t) = Eve.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ ♦Xi ) ∨ (Ai ∧ Xi ))
zieht Eve nach (t, Ai ∧ Xi ), falls ρ(t) = Adam.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
174 / 203
Der modale µ-Kalkül
Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Wenn dies nicht gelten würde, könnte Adam gewinnen.
Wir definieren nun eine Strategie τ ′ für Eve in dem Spiel G wie folgt:
Sei t ∈ S mit ρ(t) = Eve und χ(t) = i:
τ ′ (t) = t ′ , falls τ (t, ♦Xi ) = (t ′ , Xi ).
Eine zu τ ′ konforme und bei s beginnende Partie in dem Spiel G entspricht
dann einer zu τ konformen und bei (s, ϕ) beginnenden Partie in dem Spiel
G (K , ϕ).
Also ist τ ′ eine Gewinnstrategie für Eve auf der Positon s.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
175 / 203
Der modale µ-Kalkül
Weitere Resultate zum modalen µ-Kalkül
Das folgende Problem (Erfüllbarkeitsproblem für den modalen
µ-Kalkül) ist entscheidbar:
EINGABE: Formel ϕ ∈ µC(Π).
FRAGE: Existiert eine Kripkestruktur K mit [[ϕ]]K 6= ∅?
Genauer: Dieses Problem ist vollständig für die Komplexitätsklasse
EXPTIME (deterministische exponentielle Zeit).
Auch für den Beweis dieses Resultats spielen Paritätsspiele eine
zentrale Rolle.
Ist ϕ ∈ µC(Π) erfüllbar, so existiert eine endliche Kripkestruktur K
mit [[ϕ]]K 6= ∅ (finite model property)
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
176 / 203
Fixpunktlogik
Überblick
In diesem Abschnitt führen wir die Fixpunktlogik ein.
Diese erweitert sowohl Logik 1. Stufe als auch den modalen µ-Kalkül.
Wir zeigen, wie das Model-Checking Problem für Fixpunktlogik wieder auf
die Berechnung der Gewinnmenge in einem Paritätsspiel reduziert werden
kann.
Schließlich betrachten wir noch einige Fragmente der Fixpunktlogik, für
die das Model-Checking Problem effizient gelöst werden kann.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
177 / 203
Fixpunktlogik
Fixpunktlogik
Der modale µ-Kalkül ist eine Erweiterung von Modallogik um
Fixpunktkonstrukte.
Logik 1. Stufe ist ebenfalls eine Erweiterung von Modallogik.
Eine gemeinsame Erweiterung des modalen µ-Kalküls und von Logik 1.
Stufe ist Fixpunktlogik (LFP für least fixpoint logic).
Zur Erinnerung:
Eine Signatur ist ein Paar S = (R, arity) wobei gilt:
R ist eine endliche Menge von Relationssymbolen.
arity : R → N ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R
seine Stelligkeit arity(r ) zuordnet.
Sei X wieder eine abzählbar-unendliche Menge von Variablen 1. Stufe
(x, y , z, x ′ , x0 , . . .).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
178 / 203
Fixpunktlogik
Fixpunktlogik
Sei Yi im folgenden eine abzählbar-unendliche Menge von
S
Fixpunktvariablen von Rang i ≥ 1 (X , Y , Z , X ′ , X0 , . . .), Y = i≥1 Yi .
Ist also Y ′ ⊆ Y eine endliche Menge von Fixpunktvariablen, so ist auch
(R ∪ Y ′ , arity) eine Signatur.
Wir definieren die Menge LFP(S) aller Fixpunktformeln (über der
Signatur S) und simultan die Menge aller freien Variablen (1.Stufe)
free1 (ϕ) von ϕ ∈ LFP(S):
(x = y ), (x 6= y ) ∈ LFP(S) für alle x, y ∈ X und
free1 (x = y ) = free1 (x 6= y ) = {x, y }.
Wenn r ∈ R, arity(r ) = n und x1 , . . . , xn ∈ X , dann
r (x1 , . . . , xn ), ¬r (x1 , . . . , xn ) ∈ LFP(S).
free1 (r (x1 , . . . , xn )) = free1 (¬r (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
179 / 203
Fixpunktlogik
Fixpunktlogik
Wenn X ∈ Yn und x1 , . . . , xn ∈ X , dann X (x1 , . . . , xn ) ∈ LFP(S).
free1 (X (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
Wenn ϕ, ψ ∈ LFP(S), dann auch ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ LFP(S).
free1 (ϕ ∧ ψ) = free1 (ϕ ∨ ψ) = free1 (ϕ) ∪ free1 (ψ)
Wenn ϕ ∈ LFP(S) und x ∈ X , dann auch ∃x ϕ, ∀x ϕ ∈ LFP(S).
free1 (∀x ϕ) = free1 (∃x ϕ) = free1 (ϕ) \ {x}
Sei ϕ ∈ LFP(S), X ∈ Y, arity(X ) = n, free1 (ϕ) = {x1 , . . . , xn } mit
xi 6= xj für i 6= j.
Sei x = (x1 , . . . , xn ) und sei y = (y1 , . . . , yn ) ein Tupel von Variablen
1.Stufe (yi = yj für i 6= j ist erlaubt).
Dann ist [lfp(X , x).ϕ] y ∈ LFP(S) und [gfp(X , x).ϕ] y ∈ LFP(S).
free1 ([lfp(X , x).ϕ] y ) = free1 ([lfp(X , x).ϕ] y ) = {y1 , . . . , yn }
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
180 / 203
Fixpunktlogik
Semantik für Fixpunktlogik
Die Menge free2 (ϕ) ⊆ Y der freien Fixpunktvariablen von ϕ ist analog
definiert, wobei lfp und gfp Fixpunktvariablen binden.
Eine Struktur über der Signatur S = (R, arity) ist ein Tripel
A = (A, I2 , I1 ), wobei gilt:
A ist eine beliebige Menge (das Universum der Struktur) mit A 6= ∅.
I2 ist eine partielle Funktion, für deren endlichen Definitionsbereich
dom(I2 ) gilt: R ⊆ dom(I2 ) ⊆ R ∪ Y.
Jedem α ∈ dom(I2 ) ordnet I2 eine arity(α)-stellige Relation
I2 (α) ⊆ Aarity(α) zu.
I1 : X → A ist eine partielle Funktion mit endliche Definitionsbereich
dom(I1 ).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
181 / 203
Fixpunktlogik
Semantik für Fixpunktlogik
Für eine Formel ϕ ∈ LFP(S) und eine Struktur A = (A, I2 , I1 ) über der
Signatur S mit dom(I1 ) = free1 (ϕ) und dom(I2 ) = free2 (ϕ) ∪ R (d. h. A
passt zu ϕ) schreiben wir A |= ϕ genau dann, wenn einer der folgenden
Fälle gilt:
ϕ = (x = y ) und I1 (x) = I1 (y )
ϕ = (x 6= y ) und I1 (x) 6= I1 (y )
ϕ = r (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) ∈ I2 (r ).
ϕ = ¬r (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) 6∈ I2 (r ).
ϕ = X (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) ∈ I2 (X ).
ϕ = ψ ∧ θ und (A |= ψ und A |= θ).
ϕ = ψ ∨ θ und (A |= ψ oder A |= θ).
ϕ = ∃x ψ und es gibt ein a ∈ A mit (A, I2 , I1 ∪ {(x, a)}) |= ψ
ϕ = ∀x ψ und für alle a ∈ A gilt (A, I2 , I1 ∪ {(x, a)}) |= ψ.
ϕ = [lfp(X , x).ψ] y oder ϕ = [gfp(X , x).ψ] y : siehe nächste Folie.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
182 / 203
Fixpunktlogik
Semantik für Fixpunktlogik
Sei arity(X ) = n und x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ).
Da free1 ([lfp(X , x).ψ] y ) = free1 ([gfp(X , x).ψ] y ) = {y1 , . . . , yn } gilt
I1 : {y1 , . . . , yn } → A.
Beachte: yi = yj für i 6= j ist erlaubt, dann muss natürlich auch
I1 (yi ) = I1 (yj ) gelten.
n
n
Wir definieren eine Funktion F : 2A → 2A wie folgt: Sei R ⊆ An .
F (R) = {(a1 , . . . , an ) | (A, J2 , J1 ) |= ψ}
Hierbei ist J2 = I2 ∪ {(X , R)} und J1 = {(x1 , a1 ), . . . , (xn , an )}.
Analog zum modalen µ-Kalkül zeigt man, dass F monoton ist (eigentlich
müssten wir FXA,x,ψ anstatt F schreiben).
Dann gilt:
A |= [lfp(X , x).ψ] y
⇐⇒ (I1 (y1 ), . . . , I1 (yn )) ∈ µF
A |= [gfp(X , x).ψ] y
⇐⇒ (I1 (y1 ), . . . , I1 (yn )) ∈ νF
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
183 / 203
Fixpunktlogik
Beispiele für Fixpunkformeln
(1) Sei S = ({E }, arity) mit arity(E ) = 2, und sei ϕ die folgende
LFP(S)-Formel:
ϕ = [lfp(X , (x, y )). E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y ))](u, v ).
Dann gilt für jede Struktur A = (A, I2 , I1 ) (die zu ϕ passt):
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 (u), I1 (v )) ∈ I2 (E )+ .
(2) Für die LFP(S)-Formel
ϕ = [lfp(X , (x, y )). (x = y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y ))](u, v ).
gilt:
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 (u), I1 (v )) ∈ I2 (E )∗ .
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
184 / 203
Fixpunktlogik
Fixpunktformeln in Normalform
Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) ist in Normalform falls gilt:
Keine Fixpunktvariable wird zweimal in ϕ gebunden:
Sind [α(X , x).ψ]u und [β(Y , y ).θ]v (mit α, β ∈ {lfp, gfp}) zwei
Teilformeln von ϕ, die an verschiedenen Positionen in ϕ beginnen, so
gilt X 6= Y .
Keine Fixpunktvariable kommt in ϕ gebunden und frei vor:
Falls ϕ eine Teilformel der Gestalt [α(X , x).ψ]u (mit α ∈ {lfp, gfp})
enthält, so gilt X 6∈ free2 (ϕ).
Für jede Teilformel der Gestalt [α(X , x).ψ](y1 , . . . , yn ) sind die
Variablen y1 , . . . , yn paarweise verschieden, d. h. yi 6= yj für i 6= j.
(mit α ∈ {lfp, gfp})
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
185 / 203
Fixpunktlogik
Fixpunktformeln in Normalform
Lemma 32
Für jede Formel ϕ ∈ LFP(S) gibt es eine Formel ψ in Normalform mit den
gleichen freien Variablen, so dass für alle passenden Strukturen A gilt:
A |= ϕ ⇔ A |= ψ.
Beweis:
Die ersten beiden Forderungen können durch systematisches Umbenennen
gebundener Fixpunktvariablen erreicht werden.
Die letzte Forderung kann durch Einführen neuer Variablen 1.Stufe erreicht
werden, z.B:
[lfp(X , (x1 , x2 )).ψ](y1 , y1 )
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
∃y2 (y2 = y1 ∧ [lfp(X , (x1 , x2 )).ψ](y1 , y2 )).
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
186 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
Sei ϕ ∈ LFP(S) in Normalform und sei A = (A, I2 , I1 ) eine zu ϕ passende
Struktur.
Wir konstruieren ein Paritätsspiel G (A, ϕ) = (S, →, ρ, χ) wie folgt:
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free1 (ψ) → A}
→ ist wie folgt definiert:
I ↾free1 (θ), θ
I,ψ ∨ θ
I ↾free1 (θ), θ
I,ψ ∧ θ
I ↾free1 (ψ), ψ
I , ∃x ψ
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
I ↾free1 (ψ), ψ
I , ∀x ψ
Spieltheoretische Methoden in der Logik
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
SS 2009
187 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
I , [lfp(X , x).ψ]y
J, ψ
I , [gfp(X , x).ψ]y
J, ψ
Hierbei ist J : {x1 , . . . , xn } → A definiert durch J(xi ) = I (yi ) für
1 ≤ i ≤ n, wobei x = (x1 , . . . , xn ) und y = (y1 , . . . , yn ).
Falls X in ϕ gebunden ist:
J, X (x1 , . . . , xn )
I , [α(X , x).ψ]y
Hierbei ist [α(X , x).ψ]y (mit α ∈ {lfp, gfp}) die (wegen Normalform)
eindeutige Teilformel von ϕ, die X bindet.
Die Funktion I : {y1 , . . . , yn } → A ist definiert durch I (yi ) = J(xi ) für
1 ≤ i ≤ n.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
188 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
Die Funktion ρ : S → {Eve, Adam} ist wie folgt definiert:
ρ(I , ψ ∨ θ) = ρ(I , ∃x ψ) = Eve
ρ(I , ψ ∧ θ) = ρ(I , ∀x ψ) = Adam
Auf allen anderen Spielpositionen kann ρ beliebig definiert werden.
Wir müssen nun noch die Funktion χ : S → N definieren.
Hierzu definieren wir die Alternierungstiefe ad([α(X , x).ψ]u) einer Formel
[α(X , x).ψ]u (α ∈ {lfp, gfp}) induktiv wie folgt:
ad([lfp(X , x).ψ]u) ist die kleinste ungerade Zahl a ∈ N, so dass
a ≥ ad([α(Y , y ).θ]v ) für alle Teilformeln [α(Y , y ).θ]v von ψ
(α ∈ {lfp, gfp}).
ad([gfp(X , x).ψ]u) ist die kleinste gerade Zahl a ∈ N, so dass
a ≥ ad([α(Y , y ).θ]v ) für alle Teilformeln [α(Y , y ).θ]v von ψ
(α ∈ {lfp, gfp}).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
189 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
Dann ist χ : S → N


ad(ψ)





−1









χ(I , ψ) =














0
definiert als:
falls ψ von der Form [α(X , x).θ]y (α ∈ {lfp, gfp}) ist
falls ψ = r (x1 , . . . , xn ) ∧ (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ I2 (r )
oder ψ = ¬r (x1 , . . . , xn ) ∧ (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ I2 (r )
oder ψ = (x = y ) ∧ I (x) 6= I (y )
oder ψ = (x 6= y ) ∧ I (x) = I (y )
oder ψ = X (x1 , . . . , xn ) ∧ (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ I2 (X )
und X ist frei in ϕ
sonst
Satz 33
Sei ϕ ∈ LFP(S) und sei A = (A, I2 , I1 ) eine zu ϕ passende Struktur. Dann
gilt:
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 , ϕ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
190 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
Der Beweis verläuft völlig analog zum Beweis von Satz 28
(modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele).
Beispiel: Die Signatur S enthalte nur ein 2-stelliges Relationssymbol E .
Sei A die folgende Struktur (gerichteter Graph) über der Signatur S:
0
1
Sei ϕ = ∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v ) mit
θ = E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y )).
Dann sieht das Spiel G (A, ϕ) wie folgt aus, wobei wir eine Position
(I , ψ(x1 , . . . , xn )) identifizieren mit ψ(I (x1 ), . . . , I (xn )).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
191 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v )
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 1)
1
1
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 1)
1
1
θ(0, 0)
θ(0, 1)
θ(1, 0)
θ(1, 1)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 1)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 1)
E (0, 0) ∧ X (0, 0)
E (0, 0)
E (0, 1) ∧ X (1, 0)
E (0, 0) ∧ X (0, 1)
E (0, 1)
X (0, 0)
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
E (0, 1) ∧ X (1, 1)
X (0, 1)
E (1, 0) ∧ X (0, 0)
E (1, 0)
E (1, 1) ∧ X (1, 0)
X (1, 0)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
E (1, 0) ∧ X (0, 1)
E (1, 1)
E (1, 1) ∧ X (1, 1)
X (1, 1)
SS 2009
192 / 203
Fixpunktlogik
LFP → Paritätsspiele
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v )
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 1)
1
1
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 1)
1
1
θ(0, 0)
θ(0, 1)
θ(1, 0)
θ(1, 1)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 1)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 1)
E (0, 0) ∧ X (0, 0)
E (0, 0)
E (0, 1) ∧ X (1, 0)
E (0, 0) ∧ X (0, 1)
E (0, 1)
X (0, 0)
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
E (0, 1) ∧ X (1, 1)
X (0, 1)
E (1, 0) ∧ X (0, 0)
E (1, 0)
E (1, 1) ∧ X (1, 0)
X (1, 0)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
E (1, 0) ∧ X (0, 1)
E (1, 1)
E (1, 1) ∧ X (1, 1)
X (1, 1)
SS 2009
193 / 203
Fixpunktlogik
Komplexität von Model-Checking für LFP
Für das Model-Checking Problem für LFP gilt (ohne Beweis):
Satz 34 (Vardi 1982)
Das folgende Problem (Model-Checking Problem für Fixpunktlogik) kann
in exponentieller Zeit gelöst werden:
EINGABE: Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) und eine passende endliche Struktur
A.
FRAGE: A |= ϕ?
Dieses Problem ist sogar vollständig für die Komplexitätsklasse EXPTIME.
Für eine bestimmte Klasse von Fixpunktformeln kann man die obere
Schranke von EXPTIME verbessern:
Für ϕ ∈ LFP(S) definiere die Weite von ϕ wie für FO-Formeln:
width(ϕ) = max{|free1 (ψ)| | ψ ∈ sub(ϕ)}.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
194 / 203
Fixpunktlogik
Komplexität von Model-Checking für LFP
Satz 35
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem für
Fixpunktlogik, eingeschränkt auf LFP(S)-Formeln der Weite ≤ w , liegt in
NP ∩ coNP.
Beweis:
Sei ϕ ∈ LFP(S) (ohne freie Variablen) der Weite ≤ w und sei A eine zu ϕ
passende Struktur.
(1) Konstruiere das Paritätsspiel G = G (A, ϕ)
Beachte: G hat höchsten |A|width(ϕ) · |ϕ| ≤ |A|w · |ϕ| viele Knoten.
(2) Teste in NP (bzw. coNP), ob (∅, ϕ) ∈ WGEve .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
195 / 203
Fixpunktlogik
Solitärspiele
Will man einen Polynomialzeitalgorithmus für das Model-Checking
Problem für Fixpunktlogik erhalten, so muss man weitere Einschränkungen
fordern.
Sei G = (S, →, ρ, χ) ein Paritätsspiel.
Das Spiel G ist ein Solitärspiel, falls ein x ∈ {Adam, Eve} existiert mit:
∀s ∈ S : |NG (s)| > 1 ⇒ ρ(s) = x
d. h. alle nicht-trivialen Züge werden vom gleichen Spieler gemacht.
Definiere eine Äquivalenzrelation ≡ auf S durch:
s ≡ t ⇐⇒ s →∗ t →∗ s.
Die Äquivalenzklassen von ≡ sind die starken
Zusammenhangskomponenten von (S, →).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
196 / 203
Fixpunktlogik
Solitärspiele
Auf der Menge [S]≡ = {[s]≡ | s ∈ S} aller starken
Zusammenhangskomponenten können wir eine partielle Ordnung wie
folgt definieren:
[s]≡ [t]≡ ⇐⇒ s →∗ t
Das Spiel G ist ein geschachteltes Solitärspiel, falls für jede starke
Zusammenhangskomponente Z ⊆ S ein x ∈ {Adam, Eve} existiert mit:
∀s ∈ Z : |{t ∈ Z | s → t}| > 1 ⇒ ρ(s) = x
Satz 36
Es existiert ein Polynomialzeitalgorithmus für das folgende Problem:
EINGABE: Ein geschachteltes Solitärspiel G
AUSGABE: Die Gewinnmenge WGEve
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
197 / 203
Fixpunktlogik
Solitärspiele
Beweis:
Zunächst zeigen wir, wie für ein Solitärspiel G = (S, →, ρ, χ) die
Gewinnmengen WGEve und WGAdam = S \ WGEve in Polynomialzeit berechnet
werden können.
Gelte o.B.d.A.: ∀s ∈ S : |NG (s)| > 1 ⇒ ρ(s) = Adam.
Damit gilt: s ∈ WGEve ⇐⇒ von s aus ist kein Zyklus erreichbar, dessen
maximale Priorität ungerade ist.
Dies kann in Polynomialzeit überprüft werden, siehe Beweis von Satz 25.
Sei nun G = (S, →, ρ, χ) ein geschachteltes Solitärspiel und sei Z eine
bzgl. maximale Zusammenhangskomponente.
∀s ∈ Z : NG (s) ⊆ Z
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
(*)
SS 2009
198 / 203
Fixpunktlogik
Solitärspiele
Nach der obigen Betrachtung können wir für H = G ↾Z die Gewinnmengen
WHEve und WHAdam = S \ WHEve in Polynomialzeit berechnen.
(*)
WGEve ∩ Z = WHEve und WGAdam ∩ Z = WHAdam .
Eve
Berechne nun in Polynomialzeit die Attraktoren AEve = AttEve
G (WH ) und
AAdam = AttAdam
(WHAdam ).
G
AEve ⊆ WGEve und AAdam ⊆ WGAdam .
Sei nun G ′ = G ↾(S \ (AEve ∪ AAdam )).
WGEve = AEve ∪ WGEve
und WGAdam = AAdam ∪ WGAdam
′
′
(siehe Aufgabe 2 von Blatt 6).
Es genügt also die Gewinnmengen WGEve
und WGAdam
zu berechnen.
′
′
Behauptung: G ′ ist wieder ein geschachteltes Solitärspiel.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
199 / 203
Fixpunktlogik
Solitärspiele
Sei Z ′ eine starke Zusammenhangskomponente von G ′ .
es gibt eine starke Zusammenhangskomponente Z von G mit Z ′ ⊆ Z .
Sei x ∈ {Adam, Eve}, so dass
∀s ∈ Z : |{t ∈ Z | s → t}| > 1 ⇒ ρ(s) = x
Sei nun s ∈ Z ′ ⊆ Z mit |{t ∈ Z ′ | s → t}| > 1
|{t ∈ Z | s → t}| > 1.
ρ(s) = x.
Dies zeigt, dass G ′ tatsächlich ein geschachteltes Solitärspiel ist.
Wir können daher das obige Verfahren wiederholt anwenden.
Beachte: Da AEve ∪ AAdam 6= ∅ gilt, wird das Spiel in jeder Iteration echt
kleiner.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
200 / 203
Fixpunktlogik
Das Solitärfragment von LFP
Wir definieren nun ein Fragment von Fixpunktlogik, das sogenannte
Solitärfragment SLFP, so dass für jede SLFP-Formel ϕ und jede Struktur
A gilt: G (A, ϕ) ist ein geschachteltes Solitärspiel.
Für eine LFP-Formel ϕ in Normalform definieren wir den Graphen
G (ϕ) = (sub(ϕ), →)
mit folgenden Kanten, die mit 1 oder 2 markiert sind:
1
1
ψ1 ∧ ψ2 → ψi , ψ1 ∨ ψ2 → ψi für i ∈ {1, 2}
2
2
∀xψ → ψ, ∃xψ → ψ
1
1
[lfp(X , x).ψ]y → ψ, [gfp(X , x).ψ]y → ψ
1
1
X → [lfp(X , x).ψ]y und X → [gfp(X , x).ψ]y
Beachte: Nur eine dieser Möglichkeiten kann zutreffen, da ϕ in
Normalform ist.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
201 / 203
Fixpunktlogik
Das Solitärfragment von LFP
Eine LFP-Formel ϕ ist eine Adam-Formel (bzw. Eve-Formel), falls in ϕ der
oberste Operator ∧ oder ∀ (bzw. ∨ oder ∃) ist.
Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) gehört zum Fragment SLFP(S), falls für jede
starke Zusammenhangskomponente Z des Graphen G (ϕ) ein
x ∈ {Eve, Adam} existiert mit:
P
Für jede x-Formel ψ ∈ Z gilt: θ∈Z Markierung der Kante (ψ, θ) ≤ 1
Beispiele: Die LFP-Formel
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y )](u, v )
gehört zum Solitärfragment von LFP.
Die Formel
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).E (x, y ) ∨ ∃z(X (x, z) ∧ X (z, y )](u, v )
gehört nicht zum Solitärfragment von LFP.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
202 / 203
Fixpunktlogik
Das Solitärfragment von LFP
Lemma 37
Für jede Formel ϕ ∈ SLFP(S) und jede passende Struktur A ist G (A, ϕ)
ein geschachteltes Solitärspiel.
Beweis: Folgt direkt aus der Konstruktion des Spiels G (A, ϕ).
Satz 38 (Berwanger, Grädel 2004)
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem für
Fixpunktlogik, eingeschränkt auf SLFP(S)-Formeln der Weite ≤ w , kann
in Polynomialzeit gelöst werden.
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2009
203 / 203