Symplectic and Poisson Geometry

Universität Zürich
HS 07-08
Institut für Mathematik
Symplectic and Poisson Geometry
Prof. Alberto S. Cattaneo
SERIE 10.
Abgabetermin: Bis Montag, 03.12.07, 14:00 Uhr
(Briefkasten von Luca Stefanini im Stockwerk 27K)
Aufgabe 1. (4 Pkt) Der Diffeomorphismus φ : Cn → R2n ≃ T ∗ Rn , z =
x + iy 7→ (y, x) ∈ Tx∗ R, von Reellen Mannifaltigkeiten ermöglicht Cn als eine
reelle 2n-dimensionale symplektische
Mannifaltigkeit (Cn , Ω) zu betrachten
i Pn
∗
(hier ist Ω := φ ωkan , Ωz = 2 j=1 dz j ∧ dz j ). Sei
Tn = {(t1 , . . . , tn ) ∈ Cn : |tj | = 1 , j = 1, . . . , n}
ein Torus und betrachten Sie die Wirkung von Tn auf Cn ,
(t1 , . . . , tn ) · (z1 , . . . , zn ) := (tk11 z1 , . . . , tknn zn )
,
wobei k1 , . . . , kn ∈ Z bestimmte Zahlen sind. Zeigen Sie, dass diese Wirkung
Hamiltonsch ist, mit äquivarianter Impuls-Abbildung µ : Cn → tn ≃ Rn
1
(+ Konstante)
.
µ(z1 , . . . , zn ) = − (k1 |z1 |2 , . . . , kn |zn |2 )
2
(Hinweis (1) die Exponentiale Abbildung exp tn → Tn ist exp(ξ1 , . . . , ξn ) =
(eiξ1 , . . . , eiξn ) (2) Benutzen Sie die holomorphe Koordinaten (zj (z) =
Re(z)j + i · Im(z)j , z j (z) = Re(z)j − i · Im(z)j , z ∈ Cn .)
Aufgabe 2. (4 Pkt) Seien G eine Lie Gruppe und O eine koadjungierte
Bahn. Nehemen Sie an, dass die Inklusion ι : O ֒→ g∗ eine Embettung ist,
somit ist O ⊂ g∗ eine Untermannifaltigkeit. Für alle δo1,2 = ad∗ξ1,2 y ∈ Ty O ⊂
Ty g∗ ≃ g∗ setzen Sie
ωyO (δo1 , δo2 ) := hy, [ξ1 , ξ2 ]i
.
(1)
Zeigen Sie folgende Aussagen:
i) Die 2-Form ω O ∈ Ω2 (O) ist wohldefiniert (d.h. Definition (1) ist von
der Wahl von ξ1,2 unabhängig);
ii) ω O ist eine symplektische Form (Hinweis: betrachten Sie die elemente
∞ (g∗ ) ⊂ C ∞ (g∗ ));
ξ ∈ g als lineare Abbildungen Fξ ∈ g∗∗ = Clin
iii) Die Inklusion ι : O ֒→ g∗ ist eine äquivariante Impuls-Abbildung
bezüglich die koadjungierte Wirkung von G auf O.
Bitte wenden
Aufgabe 3. (5 Pkt) Seien G eine Lie gruppe, M eine glatte Mannifaltigkeit
und φ : G → Diff(M ) eine glatte Wirkung mit induzierter infinitesimalen
Wirkung ρ : g → X(M ). Bezeichnen Sie mit φ̂ : G → Symp(T ∗ M, Ω) die
kotangential-abgehobene Wirkung und mit ρ̂ : g → Xsymp (T ∗ M ) die induzierte infinitesimale Wirkung, wobei Ω = dθ ∈ Ω2 (T ∗ M ) die kanonische
symplektische Form ist und θ ∈ Ω1 (M ) die Liuville 1-form1 ist. Zeigen Sie
folgende Aussage:
i) Die kotangential-abgehobene Wirkung von G auf (T ∗ M, Ω) ist Hamiltonsch, mit äquivarianter Impuls-Abbildung ĵ : T ∗ M → g∗ , wobei ĵ
durch die Gleichung
hĵ (α), ξi := hα, ρ(ξ)i
,
für alle α ∈ Ω1 (M ) und ξ ∈ g
,
definiert ist.
Ferner betrachten Sie den Fall M = R3 ,
G = SO(3) = {M ∈ GL(3) | M t M = 1 , Det M = 1}
und φ(M )(q) = M q, für alle q ∈ R3 , und M ∈ SO(3). Zeigen Sie Folgende
Aussagen:
ii) Die Lie algebra von SO(3) ist
so(3) = {M ∈ gl(3) | M t + M = 0 ( und Spur M = 0)}
;
iii) Die kotangential-abgehobene Wirkung von SO(3) auf T ∗ R3 ≃ R3 × R3
übereinstimmt mit der diagonalen Wirkung;
iv) Die Impuls-Abbildung ĵ : R3 × R3 → so(3)∗ ≃ R3 übereinstimmt mit
dem Drehimpuls: ĵ (p, q) = p × q (Hinweis: wählen Sie eine gute Basis
für so(3)∗ , um sie als R3 darzustellen).
1
θα (X) := ιX π ∗ α für alle α ∈ Ω1 (M ) und X ∈ X(T ∗ M ), wobei π : T ∗ M → M die
kanonische Bundel-Projektion ist.