Blatt 6 vom 10.05.17 - wasd.urz.uni

Prof. Dr. K. Kassner
M. Sc. S. Neumeier
Uni Magdeburg
SS 2017
Elektrodynamik
Blatt 6
Teil A
16. Randwertproblem
4 Pkt.
Das Volumen
V = {~r = ( x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, −∞ < z < +∞}
ist durch Metallplatten begrenzt. Die beiden Platten bei x = 0 und x = a sind geerdet
(also Φ = 0), die beiden anderen bei y = 0 und y = b haben das Potential Φ0 . Wegen der
Translationssymmetrie in z-Richtung reduziert sich das Problem auf zwei Dimensionen,
Φ(~r ) = Φ( x, y). Lösen Sie die Laplace-Gleichung im Inneren des Volumens V mit einem
Separationsansatz und geben Sie die allgemeine Lösung an. Bestimmen Sie die Konstanten
dieser Lösung so, dass die Randbedingungen erfüllt sind.
Hinweis: Zerlegen Sie die Lösung Φ( x, y) in
Φ( x, y) = Φ1 ( x, y) + Φ2 ( x, y) ,
wobei Φ1 ( x, y) und Φ2 ( x, y) jeweils die Randbedingungen Φ1,2 ( x, y) = 0 auf drei der vier
begrenzenden Kanten erfüllen und finden Sie Φ1 ( x, y) und Φ2 ( x, y), ausgehend von Produktansätzen
Φ1 ( x, y) = X1 ( x ) · Y1 (y)
Φ2 ( x, y) = X2 ( x ) · Y2 (y) .
Achtung: Die vollständige Lösung der beiden Unterprobleme ist kein einfaches Produkt!
(Trotzdem ist der Produktansatz hilfreich.)
17. Ladung in einem Winkelraum
5 Pkt.
Zwei halbunendliche leitende Ebenen seien so aufgestellt, dass sie einen rechten Winkel
bilden. Zwischen den beiden befinde sich die Ladung q am Punkt ( a, b). Die beiden Ebenen
seien geerdet.
y
q
b
x
0
a
Abb. A17.1: Anordnung der Punktladung q in der Ecke
(a) Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der Bildladungen das Potential für den Bereich (2 Pkt.)
x, y > 0. Welche Bildladungen brauchen Sie dafür und wo müssen sie sich befinden?
(b) Welche Kraft wirkt auf q? Wie viel Energie benötigt man, um die Ladung aus dem (2 Pkt.)
Unendlichen an diese Stelle zu bringen?
Vorrechnen und Abgabe: 17. 05. 2017
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Elektrodynamik
SS 2017
(c) Nehmen Sie an, die beiden Platten würden keinen rechten Winkel bilden. Könnten Sie (1 Pkt.)
die Lösung immer noch mit dieser Methode bestimmen? Falls nicht, gibt es einzelne
Winkel, für die es dennoch möglich ist?
18. Ebene Ladungsverteilung
4 Pkt.
Gegeben ist die in der folgenden Abbildung dargestellte Verteilung von drei Punktladungen in der Ebene.
y
b
~r
q
d
−q
−q
ϕ
b
d
b
x
d
Die Ladungen haben alle den gleichen Abstand d zum Koordinatenursprung.
(a) Berechnen Sie für |~r | ≫ d das elektrostatische Potential φ(~r ) näherungsweise durch (2 Pkt.)
Multipolentwicklung bis zum Dipolterm.
(b) Berechnen Sie den Quadrupoltensor.
(2 Pkt.)
In Teil A sind insgesamt 13 Punkte zu erreichen. Die Aufgaben werden zum unten genannten Termin vorgerechnet.
Teil B
6. Dipolmoment einer geladenen Kugelschale
3 Pkt.
Berechnen Sie das Dipolmoment einer geladenen, unendlich dünnen Kugelschale mit dem
Radius R und der Flächenladungsdichte σ(ϑ ) = σ0 cos ϑ.
Im Teil B können 3 Punkte erreicht werden. Die Abgabe der Aufgabe(n) erfolgt am unten
genannten Datum.
Vorrechnen und Abgabe: 17. 05. 2017
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