Übungsserie 1 - Humboldt

.Humboldt-Universität zu Berlin
Sommersemester 2016
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Institut für Mathematik
A. Filler
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Analysis II (Kombinationsbachelor-Studiengang)
Übungsserie 1
Abgabe am 25. 04. 2016
Hinweise zur Abgabe der Übungsaufgaben:
• Lösen Sie jede Aufgabe auf einem extra Blatt.
• Versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen, der Matrikelnummer und der Nummer Ihrer Übungsgruppe (Montag/Mittwoch).
• Sie dürfen die Lösungen einzeln oder (maximal) zu zweit abgeben.
• Die Aufgaben werden Montags vor der Vorlesung abgegeben. Verspätete oder elektronische Abgaben werden nicht akzeptiert.
Aufgabe 1.1
(a) Zeigen Sie: Ist z = a + bi eine beliebige, von Null verschiedene komplexe Zahl und
z0 = a2 +a b2 + a2−+bb2 i, so gilt z · z0 = 1; z’ ist also das multiplikativ Inverse zu z.
2 Pkt.
(b) Zeigen Sie: Das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl ist eindeutig bestimmt (erst dadurch ist die Verwendung des bestimmten Artikels in Aufgabenteil a) gerechtfertigt):
Gilt z · z0 = 1 und z · z00 = 1 (für eine beliebige, von Null verschiedene komplexe Zahl z), so ist
3 Pkt.
z0 = z00 .
(c) Berechnen Sie (d. h. wandeln Sie in die algebraische Form a + bi um):
(c1)
1
3− 12 i
(c2)
3+4i
2−5i
(c3)
1+i
1−i
3 Pkt.
Aufgabe 1.2
(a) Lösen Sie folgende Gleichungen in C mithilfe quadratischer Ergänzung.
(a1) z2 + 10z + 34 = 0
(a2) z2 − 6z + 12 = 0
2 Pkt.
(b) Wandeln Sie folgende komplexe Zahlen in die Polarform z = |z| · (cos α + i · sin α) um.
(b1) 1 − i
(b2) −6 + 8 i
2 Pkt.
√
(c) Berechnen Sie die Quadratwurzeln von z = 2 + 2 · 3 · i.
2 Pkt.
(d) Weisen Sie nach: Ist (cn ) eine konvergente Zahlenfolge aus C mit c = lim cn , so gilt auch
n→∞
|c| = lim |cn |.
3 Pkt.
n→∞
Aufgabe 1.3
(a) Untersuchen Sie, ob die Folge (cn ) mit cn =
ihren Grenzwert (mit Begründung).
(b) Zeigen Sie, dass die Folge (cn ) mit cn =
dieser Folge an.
n
n2 +1
1+ i n
1− i
+
√
n
2 i konvergiert und bestimmen Sie ggf.
1 Pkt.
divergiert und geben Sie alle Häufungspunkte
2 Pkt.
Insgesamt: 20 Pkt.