Physik für die gymnasiale Oberstufe
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Physik in der gymnasialen Oberstufe
Eine Zusammenstellung der wichtigsten
Unterrichtsinhalte
in der Oberstufe des Gymnasiums
Axel Tobias, StD i. R.
17. Juli 2017
Inhaltsverzeichnis
I
Mechanik
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kinematik und Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Probleme bei der Beschreibung von Bewegung . . . . . . . . . . .
1.1.3 Aufgabe der Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die gleichförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition und Zeit-Weg-Diagramm der glf. Bewegung . . . . . . .
1.2.2 Anmerkungen zu Zeit-Weg-Diagrammen und physikalischen Größen
1.2.3 Kennzeichnung der glf. Bewegung; Geschwindigkeit . . . . . . . . .
1.2.4 Beispiele zur Geschwindigkeit bei glf. Bewegungen . . . . . . . . .
1.2.5 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Beispiele zur mittleren Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die glf. Bewegung in einem Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Messdaten für ein Zeit-Weg-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Berechnung eines Zeit-Geschwindigkeits-Diagramms . . . . . . . .
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Eine ungleichförmige Bewegung im Experiment . . . . . . . . . . .
1.4.3 Definition und Eigenschaften der glm. beschl. Bewegung . . . . . .
1.4.4 Das Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung . .
1.4.5 Überprüfung des Zeit-Weg-Gesetzes durch ein weiteres Experiment
1.4.6 Zusammenfassung: glf. und glm. beschl. Bewegung . . . . . . . . .
1.4.7 Beispiele für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen . . . . . . . .
1.5 Der freie Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Versuchsaufbau und Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Auswertung; Zeit-Weg-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Alle Körper fallen gleich schnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Die Bewegungsgleichungen zum freien Fall . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Beispiele zum freien Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Mehrdimensionale Bewegungen
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2.1 Geschwindigkeit als Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.1 Das Unabhängigkeitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3
Inhaltsverzeichnis
2.2
2.1.2 Eigenschaften vektorieller Größen am Beispiel der Geschwindigkeit
2.1.3 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurfbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Der horizontale Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Messung zum horizontalen Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Horizontaler Wurf und Unabhängigkeitsprinzip . . . . . . . . . . .
2.2.4 Berechnung der Anfangs- und Endgeschwindigkeit beim hor. Wurf
2.2.5 Der Wurf nach oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Der schiefe Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Nachtrag: Ausflusskurven aus einem löchrigen Gefäß . . . . . . . .
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3 Masse und Kraft
3.1 Definition der Masse eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Vorbereitung der Gleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Der Abbrennversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Voraussetzungen für die Massendefinition . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Ermittlung von Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Die Masse eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Ergänzung: Weitere SI-Grundeinheiten . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Experimente und Beispiele zum Impulserhaltungssatz . . . . . .
3.3 Die Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Axiome in der Mathematik und klassischen Mechanik . . . . . .
3.3.2 Der Trägheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Die Grundgleichung der Mechanik und actio gleich reactio . . . .
3.3.4 Wichtige Spezialfälle des 2. Newtonschen Axioms mit Beispielen
3.4 Experiment: Dynamische und statische Kraftmessung . . . . . . . . . .
3.5 Vermischte Beispiele zur Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Reibungskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Beispiele und Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Arbeit, Leistung, Energie
4.1 Grundsätzliches: Mechanische Arbeit, Leistung und Energie
4.1.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik .
4.2.1 Arbeit im Weg-Kraft-Diagramm . . . . . . . . . . .
4.2.2 Spannarbeit und Spannenergie . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie . . . .
4.2.4 Hubarbeit und potentielle Energie . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
4.3
4.4
4.2.5 Arbeit an der schiefen Ebene . . . . . .
Ergänzende Beispiele zu Arbeit und Leistung .
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Energieerhaltungssatz der Mechanik . .
4.4.2 Energieerhaltungssatz der Physik . . . .
4.4.3 Beispiele zum Energieerhaltungssatz . .
4.4.4 Experiment zum Energieerhaltungssatz
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
5.1 Der Satz von Carnot . . . . . . . . . . . . .
5.2 Der gerade elastische Stoß . . . . . . . . . .
5.2.1 Herleitung der Gleichungen . . . . .
5.2.2 Diskussion von Sonderfällen . . . . .
5.2.3 Weitere vermischte Beispiele . . . .
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6 Kreisbewegung
6.1 Kinematik der Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ort, Zeit und Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Gradmaß und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Bemerkungen zu Kreisfrequenz und Winkelgeschwindigkeit
6.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Dynamik der Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Experiment mit Zentralkraftgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Bewegung auf einem horizontalen Kreis . . . . . . . . . . .
6.4.2 Bewegungen mit der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Bewegung auf einem vertikalen Kreis; Looping . . . . . . .
6.4.4 Drehbewegung und Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Rotation um gemeinsamen Schwerpunkt . . . . . . . . . . .
6.4.6 Kettenkarussell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 Fahrrad; Kurvenfahrt mit Reibung . . . . . . . . . . . . . .
6.4.8 Kugelschwebe; Drehfrequenzregler . . . . . . . . . . . . . .
6.4.9 Kugelrutschbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.10 Oberflächen rotierender Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . .
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7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
7.1 Rotationsenergie und Trägheitsmoment . . . . . . . . . .
7.2 Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments . . . .
7.3 Arbeit vs. Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Arbeit (Skalarprodukt) . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Drehmoment (Vektorprodukt) . . . . . . . . . . . .
7.4 Die Analogie zwischen geradlinigen und Drehbewegungen
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5
Inhaltsverzeichnis
7.5
7.6
II
Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Impuls- und Drehimpulserhaltung . . . . . . . .
7.5.2 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Verhalten einer Garnrolle . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Rechenbeispiel zur Rotation des starren Körpers
7.6.3 Klimawandel verkürzt den Tag . . . . . . . . . .
7.6.4 Coroliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Wellen
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8 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
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8.1 Vorversuch: Messung der Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
III Felder
225
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
9.1 Die Glimmlampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Leiter und Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Eigenschaften der el. Ladung . . . . . . . . . . . .
9.4 Elementare atomistische Begriffe . . . . . . . . . .
9.4.1 Atombau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Leitungsvorgänge in Metallen . . . . . . . .
9.5 Stromstärke und Ladung . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Zusammenhang und Einheiten . . . . . . .
9.5.2 Genauere Betrachtungen . . . . . . . . . . .
9.5.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.5 Ausflussmessung; Exponentialfunktionsrohr
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10 Felder und Feldstärke
10.1 Der Feldbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 el. und grav. Felder . . . . . . . . . . .
10.1.2 el. Feldlinienbilder . . . . . . . . . . .
10.1.3 grav. Feldlinienbilder . . . . . . . . . .
10.1.4 Abschirmbarkeit . . . . . . . . . . . .
10.2 Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Definition der grav. und el. Feldstärke
10.2.2 Exkurs: Träge und schwere Masse . .
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Inhaltsverzeichnis
11 Arbeit im el. Feld I – el. Spannung
11.1 Arbeit im homogenen el. Feld . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Zusatz: Arbeit und Leistung des el. Stromes
11.1.2 Zusatz: el. Widerstand . . . . . . . . . . . .
11.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Arbeit im grav. Feld . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Kräfte und Arbeit im el. Feld . . . . . . . .
11.2.3 Arbeit, Leistung, Energie und Wärme . . .
11.2.4 Arbeit, Energie im homogenen el. Feld . . .
11.2.5 Ballistische Ladungsmessung . . . . . . . .
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12 Plattenkondensator – Kapazität
12.1 Messungen am Plattenkondensator . . . . . . . . . . . .
12.2 Materie im el. Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren . . .
12.4 Parallel- und Reihenschaltung von el. Widerständen . .
12.5 Die Kapazität einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Spannung, Ladung, Kapazität . . . . . . . . . . .
12.6.2 Kondensatorschaltungen . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3 Stützkondensatoren in der Elektrolokomotive BR
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13 Elektronen im el. Feld
13.1 Glühelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre . . . . .
13.2.1 Schaltung mit zwei Hochspannungsnetzgeräten . .
13.2.2 Schaltung mit nur einem Hochspannungsnetzgerät
13.2.3 Spezifische Ladung im el. Feld . . . . . . . . . . .
13.2.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
14.1 Wegunabhängigkeit der Arbeit im el. Feld . . . . . . . . .
14.2 Allgemeine Definition der Spannung . . . . . . . . . . . .
14.3 Umlaufspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Potential des homogenen Feldes (Plattenkondensator) . .
14.6 Das radialsymmetrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1 Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7 Feld- und Äquipotentiallinien . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8 Der Kugelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9 Kraftwirkung von Kondensatorplatten aufeinander . . . .
14.9.1 Theoretische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . .
14.9.2 Messreihe mit der Kirchhoffschen Spannungswaage
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7
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14.10Energie des el.Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15 Der el. Fluss
15.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Der Fluss eines Teilchenstromes . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Ein einfaches Beispiel . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2 Fluss durch eine geneigte ebene Fläche . . . . .
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Beispiele; Fluss durch eine geschlossene Fläche
15.3.2 Anwendungen zum Satz von Gauß . . . . . . .
15.4 Maxwellsche Gleichungen für das el. Feld . . . . . . .
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16 Das mg. Feld
16.1 Elementare Vorbemerkungen . . . . . .
16.2 Das mg. Feld von Permanentmagneten .
16.2.1 Mg. Felder im leeren Raum . . .
16.2.2 Mg. Feldlinienbilder . . . . . . .
16.2.3 Ergänzung: Die Erde als Magnet
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17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.1 Ørsteds Versuch (1820) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Folgerungen: Maxwellsche Gleichungen für das mg. Feld . . .
17.2.1 Das Oberflächenintegral im mg. Feld . . . . . . . . . .
17.2.2 Das Linienintegral im mg. Feld . . . . . . . . . . . . .
17.3 Zusammenfassung: Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . .
17.4 Mg. Feldlinienbilder stromdurchflossener Leiter . . . . . . . .
17.4.1 Das mg. Feld einer Leiterschleife . . . . . . . . . . . .
17.4.2 Das mg. Feld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.3 Stromdurchflossener Leiter im homogenen Magnetfeld
17.4.4 Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter . . . .
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld . . . . . . . . . .
17.5.1 Experiment mit der Stromwaage nach Langensiepen .
17.5.2 Das mg. Feld (mg. Flussdichte) und die Lorentzkraft .
17.5.3 Eine andere Darstellung der Lorentzkraft . . . . . . .
17.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.6 Berechnung mg. Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.6.1 Das mg. Feld eines geraden Drahtes und einer Spule .
17.6.2 Das mg. Feld einer langen Spule . . . . . . . . . . . .
17.6.3 Ergänzung; mg. Feld mit Materie . . . . . . . . . . . .
17.7 Experiment: Bestimmung der mg. Feldkonstante . . . . . . .
17.8 Kraftwirkung zwischen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8.1 Rechnerische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . .
17.8.2 Ein Beispiel aus einer Klausur . . . . . . . . . . . . .
17.8.3 Ein Beispiel mit überraschendem Ergebnis . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
17.8.4 Definition der Einheit für die el. Stromstärke . . . . . . . . . . . . 355
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
18.1 Der Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Das mg. Feld einer langen Spule gemessen mit der Hall-Sonde . .
18.2.1 Theoretische Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3 Das mg. Feld eines geraden Drahtes gemessen mit der Hall-Sonde
18.3.1 Messreihe vom 20.05.1987 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Messreihe vom 03.05.1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 Elektronen im mg. Feld
19.1 Das Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Das Feld der Helmholtzspulen . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen . .
19.3.1 Bestimmung des Kreisradius . . . . . . . . . .
19.3.2 Ermittlung einer Gleichung für das Experiment
19.3.3 Messungen mit Leybold 555 57, 555 58 . . . . .
19.3.4 Messungen mit Phywe 06959.00, 06960.00 . . .
19.3.5 Messungen mit Leybold 555 12, 555 06 . . . . .
19.3.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20 Zeitabhängige Felder – Induktion
20.1 Zeitlich veränderliches mg. Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.1 Rückblick – die UVW-Regel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.2 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.3 Wir überlisten Spulen – Induktion ohne Bewegung eines Leiters
20.1.4 Quantitative Untersuchung der Induktionsspannung . . . . . .
20.1.5 Gleichung I für die Induktionsspannung . . . . . . . . . . . . .
20.2 Zeitlich veränderlicher mg. Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1 Induktionsspannung durch Flächenänderung . . . . . . . . . . .
20.2.2 Induktionsspannung durch mg. Flussänderung . . . . . . . . .
20.3 Die Orientierung des Induktionsstromes . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1 UVW-Regel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2 Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.3 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1 Zwei Standardbeispiele zu mg. Fluss und Induktionsspannung .
20.4.2 Beispiel 2 in einer Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3 Ergänzung: Beispiel für Flächen- und Magnetfeldänderungen .
20.5 Bewegte Magnete und Kreisströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Bestimmung der mg. Feldkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.6.1 Schaltung und Erläuterungen zum Versuchsaufbau . . . . . . .
20.6.2 Zusammenstellung der Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
Inhaltsverzeichnis
21 Spule und Kondensator
21.1 Hinweise zu Vorkenntnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Strom- und Spannungsverlauf bei einer Spule . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.1 Ein- und Ausschaltvorgang mit einer Spule hoher Induktivität .
21.2.2 Stromanstieg bei Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.3 Stromabfall bei Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.4 Spannungsverlauf bei Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.5 Beispiel; Halbwertszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.6 Messung zum Ein- und Ausschaltvorgang . . . . . . . . . . . . .
21.3 Spannungs- und Stromverlauf bei einem Kondensator . . . . . . . . . . .
21.3.1 Spannungsverlauf beim Laden und Entladen eines Kondensators
21.3.2 Verlauf des Lade- und Entladestromes bei einem Kondensator . .
21.3.3 Messung zum Lade- und Entladevorgang . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Ein- und Ausschaltvorgänge mit dem Oszilloskop . . . . . . . . . . . . .
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22 Das elektromagnetische Feld
22.1 Energie des mg. Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.1.1 Berechnung der Feldenergie in einer Spule . . . . . . . . . . . . . .
22.1.2 Vergleich der el. und mg. Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.1.3 Berechnung der Energiedichte des mg. Feldes . . . . . . . . . . . .
22.1.4 Vergleich der el. und mg. Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . .
22.1.5 Beispiele für Energiedichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg. Felder . . . . . .
22.2.1 Was wir schon wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.2 Zeitabhängige mg. Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.3 Zeitabhängige el. Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.4 Zusammenfassung und Übersicht: die 4 Maxwellschen Gleichungen
22.2.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.6 Experiment zu geschlossenen el. Feldlinien . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Ein Überblick über wichtige Naturwissenschaftler . . . . . . . . . . . . . .
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IV Teilchen
441
Anhang
445
A Ermittlung einer Regressionsgerade
447
B Übersicht Trigonometrie
B.1 Trigonometrie in 5 Minuten
B.2 Ergänzende Anmerkungen .
B.3 Beispiele . . . . . . . . . . .
B.4 Gradmaß und Bogenmaß . .
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Inhaltsverzeichnis
B.5 sin-, cos- und tan-Funktion am Einheitskreis . . . . .
B.5.1 Spiegelung an der y-Achse . . . . . . . . . . .
B.5.2 Spiegelung an der x-Achse . . . . . . . . . . .
B.6 Sätze für Berechnungen an beliebigen Dreiecken . . .
B.6.1 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6.2 Skalarprodukt von Vektoren und Cosinussatz
B.6.3 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.7 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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466
C Exponential- und Logarithmusfunktionen
C.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Potenzen mit reellen Zahlen als Exponenten . . . . . . . . . .
C.1.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
C.1.3 Graphische Darstellung der Potenzfunktionen . . . . . . . . .
C.1.4 Übungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . .
C.2.2 Graphische Darstellung von Exponentialfunktionen . . . . . .
C.3 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.1 Rechenarten und ihre Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.2 Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.3 Spezielle Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.4 Eigenschaften Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.5 Die Funktionalgleichung und weitere Logarithmensätze . . . .
C.3.6 Berechnung beliebiger Logarithmen mit dem Taschenrechner
C.3.7 Die natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion . . . .
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471
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474
474
474
475
475
476
476
477
477
479
479
D Protokoll zum Millikan-Versuch
481
E Physikalische Konstanten
483
Literatur
487
11
Tabellenverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Messreihe zur glm. beschl. Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Messreihe zur glm. beschl. Bewegung . . . . . . . . . . . . . .
Übersicht über die einfachen geradlinigen Bewegungen . . . . . .
Messdaten zum freien Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übersicht über die Fallbeschleunigung an unterschiedlichen Orten
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47
49
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64
7.1
7.2
7.3
Messdaten zur Bestimmung des Trägheitsmoments . . . . . . . . . . . . . . . 199
Vergleich zwischen Translations- und Rotationsbewegungen . . . . . . . . . . 204
Vergleich Translations- und Rotationsbewegung (Präsentation) . . . . . . . . 205
12.1 Dielektrizitätszahlen εr und Durchschlagsspannungen . . . . . . . . . . . . . . 273
13.1 Messdaten HV-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
17.1 Maxwellsche Gleichungen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
18.1 Messreihe mg. Feld gerader Draht 1987
18.2 Messreihe mg. Feld gerader Draht 1990
19.1 Messdaten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
e
-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
me
21.1 Messreihe Entladekurve beim Kondensator
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
22.1 El. und mg. Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
22.2 El. und mg. Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
22.3 Namen auf dem Weg zur modernen Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
B.1 Vorzeichen und spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . 459
13
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bahnkurven im Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei unterschiedliche glf. Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ts-Diagramme glf. Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tv-Diagramme glf. Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung einer glf. Bewegung; Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung der Messungen zur glf. Bewegung . . . . . . . . .
Graphische Darstellung des berechneten tv-Diagramms der glf. Bewegung
Zur Bestimmung der Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
ts-Diagramm der aufgenommenen ungleichförmigen Bewegung . . . . . . .
Linearisierung eines quadratischen Zusammenhangs . . . . . . . . . . . . .
tv-Diagramm einer glm. beschl. Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t2 s-Diagramm Messung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tv-Diagramm Messung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vt- und st-Diagramm zur Busfahrtaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ts- und tv-Diagramm der Bewegung in Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . .
ts-Diagramm und t2 s-Diagramm der untersuchten Fallbewegung . . . . . .
ts-Diagramm der Brunnenaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ts-Diagramme der fallenden Äpfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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25
26
26
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33
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37
38
42
43
44
48
48
52
57
59
65
69
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
Beispiele zur Multiplikation eines Vektors mit Skalaren . . . .
Eine Parabel als Vorlage für den horizontalen Wurf . . . . . .
Verschiedene graphische Darstellungen zum horizontalen Wurf
Skizze zum Versuchsaufbau zum horizontalen Wurf . . . . . .
Versuchsaufbau horizontaler Wurf und freier Fall gleichzeitig .
Skizze mit Begriffen zum schiefen Wurf . . . . . . . . . . . . .
Wurfparabel mit Anfangshöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung zum schiefen Wurf mit Sharp MZ-700 . . . . . . . .
Gemessene und berechnete Wurfweiten zum schiefen Wurf . .
Wasser fließt aus einem Loch in einem Gefäß. . . . . . . . . .
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82
83
85
90
95
96
98
99
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Versuchsskizze zum Abbrennversuch .
Unelastischer Stoß . . . . . . . . . . . .
Auto auf der Fahrbahn . . . . . . . . .
Aufgabenstellung zum Wirtshausschild
Vektordiagramm zum Wirtshausschild
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15
Abbildungsverzeichnis
3.6
3.7
3.8
Skizze zum Hebel mit Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Zur Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten µ . . . . . . . . . . . . . . . 123
Zur Bedeutung des Böschungswinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.1
Reibungsarbeit beim Ziehen eines Wagens . . . . . .
4.2
Zur Berechnung der Arbeit bei konstanter Kraft . . .
4.3
Arbeit allgemein als Fläche im sF -Diagramm . . . .
4.4 sF -Diagramm zur Verlängerung von Schraubenfedern
4.5
Hubarbeit an der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . .
4.6
Linearisierung eines beliebigen Weges . . . . . . . . .
4.7
Parallelschaltung von Schraubenfedern . . . . . . . .
4.8
Reihenschaltung von Schraubenfedern . . . . . . . . .
4.9
Energieumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Geschwindigkeit eines Pendels im tiefsten Punkt . . .
4.11 Experiment zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . .
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132
132
134
137
138
141
142
142
149
151
5.1
5.2
5.3
5.4
Stoß
Stoß
Stoß
Stoß
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159
159
160
165
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
Eisenbahn fährt im Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Heinrich Hertz DBP 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit . . . . . . . . . .
Zusammenhang zwischen Bogenmaß x und Bogenlänge b . .
Der Winkel 1 Radiant (1 rad) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisbewegung aus geradlinigen Bewegungen . . . . . . . . .
Zentripetalbeschleunigung als vektorielle Größe . . . . . . .
Zentripetal- und Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . .
Zentralkraftzusatz 347 24 zum Drehsystem von Leybold . . .
Kreisbewegung mit der Erde um ihre eigene Drehachse . . .
Looping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Gummistopfen auf einer Kreisbahn . . . . . . . . . . . .
Zwei Körper werden in einer Halterung umeinander gedreht.
Kettenkarussell (schematisch) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Radfahrer legt sich in die Kurve. . . . . . . . . . . . . .
Kugelrutschbahn vektoriell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotierende Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kräfte an der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit . . . .
Der Energiesatz hilft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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169
170
171
173
175
177
178
179
184
185
186
187
189
190
191
192
193
194
7.1
7.2
Zur allgemeinen Definition des Drehmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Die Dreifingerregel der rechten Hand beim Vektorprodukt . . . . . . . . . . 203
16
mit gleicher Masse . . . . . .
kleine gegen große Masse . .
große gegen kleine Masse . .
mit gleicher Masse vektoriell
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Abbildungsverzeichnis
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
Die Dreifingerregel bei der Winkelgeschwindigkeit
Verhalten einer Garnrolle . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel zum starren Körper . . . . . . . . . . . .
Zur Berechnung der Arbeit beim starren Körper .
Rechtsdrehung auf der Nordhalbkugel . . . . . . .
8.1
8.2
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit durch Laufzeitdifferenz . . . . . 219
Lichtgeschwindigkeit Prinzipskizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Glimmlampe in einem Stromkreis
El. Ladung und el. Strom . . . . .
Neutralisation . . . . . . . . . . .
El. Influenz . . . . . . . . . . . .
Leitungsvorgänge in Metallen . .
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227
228
229
230
231
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
El. Feld zweier Punktladungen . . . . . . . . . .
Radialsymmetrisches el. Feld . . . . . . . . . . .
Inhomogenes und homogenes el. Feld . . . . . .
Homogenes und radialsymmetrisches grav. Feld
Grav. Feld Erde-Mond . . . . . . . . . . . . . .
Abschirmbarkeit der Felder . . . . . . . . . . . .
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240
240
241
241
242
242
11.1
Arbeit im homogenen el. Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
12.11
Kapazitätsbestimmung am Plattenkondensator . . . .
Graphische Darstellung Q(U ) . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung Kapazität und Plattenabstand
Dielektrikum im Kondensator . . . . . . . . . . . . . .
Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren . . .
Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen . . .
Messaufbau Kugelkondensator . . . . . . . . . . . . . .
Reihenschaltung n gleicher Kondensatoren . . . . . . .
Parallelschaltung n gleicher Kondensatoren . . . . . . .
Viereck aus Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktion zum Wasserstandsmesser . . . . . . . . . . .
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259
260
261
262
266
266
266
272
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
Schaltung zu Kennlinien von HV-Dioden . . . . . . . . . . . .
Kennlinien HV-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektronenstrahlablenkröhre mit 2 Spannungsquellen . . . . .
Messreihe Parabelbahn von Elektronen (1) . . . . . . . . . . .
Elektronenstrahlablenkröhre mit 1 Spannungsquelle . . . . . .
Messreihe Parabelbahn von Elektronen (2) . . . . . . . . . . .
Bahnkurve und Steigungswinkel an einer vorgegebenen Stelle.
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280
282
286
14.1
Arbeit schräg zu den Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
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206
208
209
212
214
17
Abbildungsverzeichnis
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
14.11
14.12
14.13
Arbeit längs eines Weges im inhomogenen el. Feld . . . . . . . . . . . .
Die Arbeit bei einem geschlossenen Weg ist Null. . . . . . . . . . . . .
Zur Berechnung des Potentials im homogenen Feld . . . . . . . . . . .
Zur Berechnung des Potentials im radialsymmetrischen el. Feld . . . .
1
r -Potential 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Veranschaulichung des 1r -Gravitationspotentials. . . . . . . . . . . . . .
Feld- und Äquipotentiallinien von zwei Punktladungen . . . . . . . . .
Feld- und Äquipotentiallinien im homogenen und radialen Feld . . . .
Feld- und Äquipotentiallinien im inhomog. Feld und Kugelkondensator
Kugelkondensator aus zwei konzentrischen Kugelschalen . . . . . . . .
Kirchhoffsche Spannungswaage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphiken zum Experiment Spannungswaage . . . . . . . . . . . . . .
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300
300
301
304
305
15.1 Fluss eines Vektorfeldes senkrecht durch eine Fläche . . . . . . . . . . .
15.2 Fluss durch eine schräge Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Zur allgemeinen Berechnung des el. Flusses . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Zur Berechnung des el. Flusses im homogenen el. Feld . . . . . . . . .
15.5 Zur Berechnung des el. Flusses im radialsymmetrischen el. Feld . . . .
15.6 Feld einer geladenen Platte und DBP Gauß 1955 . . . . . . . . . . . .
15.7 Zur Berechnung des el. Flusses einer kugelförmigen Ladungsverteilung
15.8 E(r) im Inneren einer geladenen Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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317
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
Deutschen Post AG 2008: Eisbär am Nordpol . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Magnete hintereinander und parallel . . . . . . . . . . . . . . . .
Vom Magnet zum Elementarmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nicht magnetisch oder magnetisch ist eine Frage der Ordnung. . . . . .
Feld eines Stabmagnets und das homogene Feld eines Hufeisenmagnets
Mg. Feldlinien innerhalb eines Magnets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Begriff Deklinationswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Begriff Inklinationswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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321
322
323
323
324
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
17.10
17.11
17.12
17.13
Das mg. Feld eines geraden Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschlossene mg. Feldlinien und geschlossene Flächen . . . . . . . .
Ein geschlossener Weg, der den Strom umrandet. . . . . . . . . . .
Das mg. Feld einer Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das mg. Feld einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das mg. Feld einer langen Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
UVW-Regel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldlinienbilder paralleler stromdurchflossener Leiter . . . . . . . .
Drahtanordnung im Feld der Stromwaage . . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung Messreihe F (I); ` = 5 cm . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung F (I) für unterschiedliche Drahtlängen ` . .
Graphische Darstellung F (`) für I = 1 A . . . . . . . . . . . . . . .
Lorentzkraft bei nicht senkrechtem Verlauf von B-Feld und Leiter
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334
336
337
339
18
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Abbildungsverzeichnis
17.14
17.15
17.16
17.17
17.18
17.19
~ steht senkrecht auf der Drahtebene. .
Schräge Drahtanordnung; B
Graphische Darstellung Messreihe F (I); `0 = 5 cm . . . . . . . . .
Zur Berechnung des B-Feldes einer langen Spule . . . . . . . . . .
Graphische Darstellungen Messreihen µ0 -Bestimmung . . . . . . .
Kraft auf einen Draht im mg. Feld . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Ladungsketten, die sich abstoßen und anziehen . . . . . . .
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340
341
345
349
351
353
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
Vektordiagramm zum Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Satz 84 (mg. Feld einer langen Spule) . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung der Messungen an der langen Spule . . .
Graphische Darstellung des Messdaten am geraden Draht (1987) .
Graphische Darstellung der Auswertung (1987) . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung der Messdaten am geraden Draht (1990) .
Graphische Darstellung der Auswertung (1990) . . . . . . . . . .
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359
362
363
364
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Prinzipskizze zum Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zu Satz 85 (mg. Feld einer Helmholtz-Anordnung) . . . . . . .
Vergleich der Näherungen bei Helmholtzspulen . . . . . . . . .
Das homogene Feld von Helmholtzspulen in 3D nach [13, S. 13]
e
mit dem Fadenstrahlrohr von Phywe . .
Zur Bestimmung von
me
19.6 Elektronenstrahlablenkröhre mit Helmholtzspulen . . . . . . . .
19.7 Bestimmung des Umkreismittelpunktes aus drei Punkten . . . . .
e
nach [21] Gerätebeschreibung 555 12 . .
19.8 Zur Bestimmung von
me
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369
371
372
373
377
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
20.10
20.11
20.12
20.13
20.14
20.15
20.16
20.17
20.18
. . . . . . 378
. . . . . . 380
. . . . . . 384
Erzeugung von Uind durch die zeitliche Änderung eines mg. Feldes . . .
Doppelmavo mit Vorwiderstandskasten zum Leitz Prado 250 . . . . . .
Automatisches Ein- und Ausschalten mit unterschiedlichen Funktionen
Ein- und Ausschalten erzeugt Spitzen der Induktionsspannung. . . . .
Die Steigung ist ein Maß für die Induktionsspannung. . . . . . . . . . .
sin-förmige Felder und Induktionsspannung; Transformator . . . . . . .
Flächenänderung: Ein Draht bewegt sich auf Schienen. . . . . . . . . .
Experimentelle Bestätigung der Gültigkeit der UVW-Regel II . . . . .
Ursache mit Wirkung und Rückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experiment zur Wirkung der Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel: Eine Spule bewegt sich in ein mg. Feld . . . . . . . . . . . . .
Lösung 1: mg. Fluss und Induktionsspannung . . . . . . . . . . . . . .
Lösung 2: mg. Fluss und Induktionsspannung . . . . . . . . . . . . . .
Lösung 2a: Verlauf des mg. Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösung 2b: mg. Fluss und Induktionsspannung . . . . . . . . . . . . . .
Bewegter Magnet und Strom in einer Leiterschleife . . . . . . . . . . .
Schaltung zur Bestimmung von µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramm zur Bestimmung von µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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388
389
390
390
391
393
396
397
398
400
400
401
401
404
405
406
407
19
Abbildungsverzeichnis
21.1 Schaltung: Stromverlauf in einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Zur Berechnung des Stromanstiegs bei Spulen . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Versuchsprotokoll 06.07.1987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Zur Berechnung des Spannungsanstiegs bei Kondensatoren . . . . . . .
21.5 Versuchsprotokoll 22.01.2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6 Ein- und Ausschaltvorgänge mit dem Oszilloskop; Schaltskizze . . . . .
21.7 Ein- Ausschalten bei Spule und Kondensator im Vergleich – I und UC
21.8 Ein- Ausschalten bei Spule und Kondensator im Vergleich – UL und I .
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413
417
419
422
424
424
425
22.1 Der Thomsonsche Ringversuch . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 El. Wirbelfeld durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld .
22.3 Verschiebungsstrom im Kondensator . . . . . . . . . . . . .
22.4 Mg. Feld auch zwischen den Kondensatorplatten . . . . . . .
22.5 Wirbel des mg. Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~
~
22.6 E-Felder
(rot) und B-Felder
(blau) als Quellen voneinander
.
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436
437
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A.1
A.2
Das Minimum liegt beim Scheitel der Parabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Das Ergebnis: die Ausgleichsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
B.6
Die drei trigonometrischen Funktionen im Einheitskreis
Graphen der drei trigonometrischen Funktionen . . . .
Spiegelung an der y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardbezeichnung im Dreieck und Beweisskizze zum
Cosinussatzes in vektorieller Darstellung . . . . . . . .
Beweisskizzen zum Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . .
C.1
C.2
C.3
Potenzfunktionen y = xr mit r ∈ Q und Beispielen für r ∈ R . . . . . . . . . 472
Exponentialfunktionen y = ax mit Beispielen für a ∈ R+ . . . . . . . . . . . 474
Logarithmusfunktionen mit unterschiedlichen Basen . . . . . . . . . . . . . . 478
20
. . . . . . .
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. . . . . . .
Cosinussatz
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462
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465
Teil I
Mechanik
21
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Im Teil Mechanik sollen die Grundlagen für ein tiefer gehendes Verständnis für physikalische Vorgänge gelegt werden: naturwissenschaftliche Begriffsbildung, Sinn, Zweck
und Bedeutung von Experimenten im Gesamtzusammenhang. Dies wird in einer nach
Möglichkeit konsequent aufbauenden Darstellung der wichtigsten Themen, die in der
Oberstufe des Gymnasiums behandelt werden können, erfolgen.
1.1 Einführende Bemerkungen
1.1.1 Kinematik und Dynamik
Wir starten mit der Untersuchung von Bewegungen. Dazu betrachten wir zunächst bei
den geradlinigen Bewegungen die „reine“ Kinematik, also die Lehre von den Bewegungen
der Körper.
Davon getrennt behandeln wir in der Dynamik die Lehre von den Zusammenhängen zwischen der Kräften und den daraus resultierenden Bewegungen, untersuchen also warum
ein Körper sich so bewegt, wie er es tut. In der Kinematik wird eine Bewegung nur mit
rechnerischen Methoden beschrieben.
1.1.2 Probleme bei der Beschreibung von Bewegung
y
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
x
Abbildung 1.1: Bewegung eines Radpunktes (z. B. ein Ventil) bei einem Fahrrad
Man betrachte in Abbildung 1.1 die Bewegung des Ventils am Fahrrad, welches zur
23
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Verdeutlichung mit einem Lämpchen versehen ist, damit man es im Dunkeln verfolgen
kann. Dreht sich das Rad, so bewegt sich das Ventil auf einem Kreis. Diesen Eindruck
hat ein Beobachter, der mit dem Fahrrad mitläuft. Ein Beobachter, der am Straßenrand
steht und das vorbeifahrende Fahrrad beobachtet, sieht einen erheblich komplizierteren
Bewegungsablauf, die Abrollkurve eines Kreises, denn das Ventil wird vom Rad um die
Nabe geführt und bewegt sich dabei gleichzeitig in Fahrtrichtung des Fahrrades. Die
Beschreibung erfolgt in diesem Fall durch eine sogenannte Zykloide.1
Diese Erkenntnis fassen wir zusammen im
Satz 1. Eine Aussage über Ruhe bzw. Bewegung eines Körpers ist nur sinnvoll und
eindeutig, wenn ein Bezugssystem angegeben wird.
Damit lässt sich der Begriff „Bewegung“ erklären:
Def. 1. Ruhe und Bewegung
Ein Körper ist in (Ruhe) Bewegung, wenn er seinen Ort relativ zu einem gewählten
Bezugssystem (nicht) ändert.
Wir müssen jetzt allerdings noch die Begriffe Bezugssystem und Koordinatensystem
(KOS) klären.
• Als Bezugsystem kann man einen Körper nehmen wie etwa den Experimentiertisch im Physikraum. Im Fahrradexperiment Abbildung 1.1 ist eine Zykloide zu
beobachten, wenn man als Bezugssystem etwa eine am Straßenrand stehende Person, ein Verkehrszeichen oder einen Kanaldeckel wählt. Einen Kreis beobachtet
eine am Fahrrad festgeschraubte Kamera. Hier wäre das Bezugssystem das Fahrrad selbst. Man kann die Kamera auch mit dem Lämpchen am Ventil zusammen
befestigen. Dann ruht das Ventil. Allerdings sieht die Welt auf dem Film dann
etwas anders aus. 2
• Vom Bezugssystem zu unterscheiden ist das Koordinatensystem. Ein solches
KOS dient zum Beispiel der Beschreibung von Orten, in dem es die Aufnahme
rechnerisch verarbeitbarer Daten (Zahlen) ermöglicht. 3
1
Siehe [12, S. 450]. Die Zykloide kann durch die Parametergleichung f (t) = (rt − a sin t|r − a cos t)
beschrieben werden. r bedeutet den Radius des abrollenden Kreises (Rad) und a den Radius des
betrachteten Kreispunktes (Ventil). Für die Abbildung 1.1 auf der vorherigen Seite wurden r = 1
und a = 0, 85 gewählt.
2
Das Ruhen in seinem eigenen Bezugssystem beobachtet man z. B. auch bei einer Autofahrt, wenn man
sich auf den Innenraum konzentriert und die Außenwelt aus den Augenwinkeln betrachtet. Dass jeder
in seinem eigenen Bezugssystem ruht, ist gleichwertig mit der Aussage, dass der Nullpunkt in einem
Koordinatensystem stets die Koordinaten (0|0) oder dreidimensional (im Raum) (0|0|0) besitzt.
3
In diesem Sinne ist ein KOS ein „Interface“ zwischen der Physik und der Mathematik. Die Wahl des
KOS erfolgt nach Bedarf, um den rechnerischen Aufwand klein zu halten. Wenn eine Ameise auf einer
Glasplatte herumläuft, brauche ich z. B. keine 3 Koordinaten für eine Ortsangabe.
24
1.2 Die gleichförmige Bewegung
1.1.3 Aufgabe der Kinematik
Wie bereits in Abschnitt 1.1.1 erwähnt, besteht die Aufgabe der Kinematik in der Beschreibung von Bewegungsabläufen in mathematischen Modellen.
Betrachten wir die Abbildung 1.2, so sieht man, dass die Bahnkurve zunächst nur Informationen über die Orte (x|y) liefert, an denen sich ein Körper befindet. Sie sagt jedoch
nichts über den zeitlichen Ablauf einer Bewegung aus. Es gibt allerdings die Möglichkeit,
y
0s
7s
b
b
6s
komplizierte Bewegung
b
3s
b
4s
1s
b
b
2s
b
5s
b
x
b
Kreisbewegung
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
geradlinige Bewegung
b
b
Abbildung 1.2: Bahnkurven im Koordinatensystem
die Zeit mit in die Graphik einzutragen. Nehmen wir an, dass jeder gezeichnete Punkt
eine bestimmte Zeitmarke darstellt – vielleicht sogar in gleichen Abständen von sagen
wir mal 1 s – so könnte man einige weitere Informationen4 aus der Graphik entnehmen.
1.2 Die gleichförmige Bewegung
In den nachfolgenden Abschnitten wollen wir den zeitlichen Ablauf einiger einfacher
Bewegungen untersuchen. Dazu gehören die geradlinigen Bewegungen. Sie haben
den Vorteil, dass man sie mit einer Ortskoordinate in einem KOS beschreiben kann.
Diese bezeichnen wir nach Bedarf mit s, x, y oder ähnlich.
Wir beginnen die Betrachtung mit einer besonders einfachen geradlinigen Bewegung, der
gleichförmigen Bewegung.
4
Welche Informationen das sind, überlasse ich an dieser Stelle einfach mal dem Leser.
25
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.2.1 Definition und Zeit-Weg-Diagramm der glf. Bewegung
Def. 2. Gleichförmige Bewegung
Eine Bewegung heißt gleichförmig (glf.), wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden.
Ziel der nachfolgenden Betrachtungen ist es zu klären, wodurch die glf. Bewegung gekennzeichnet ist. Dazu sehen wir uns die Abbildung 1.3 an. Ein Körper bewege sich
(geradlinig) längs Wegmarken, so dass die Bedingung aus Definition 2 erfüllt ist.
0
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
8
10
12
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
s
m
t
s
t
s
Messung 1
Messung 2
Abbildung 1.3: Zwei unterschiedliche glf. Bewegungen
Die beiden Bewegungen sind im sogenannten ts-Diagramm Abbildung 1.4 dargestellt.
s
m
6
bc
5
bc
bc
Messung 2
4
bc
3
bc
bc
2
bc
Messung 1
bc
bc
1
bc
bc
bc
0
0
2
4
6
8
10
12
t
s
Abbildung 1.4: ts-Diagramm einer langsameren Bewegung (rot) und einer schnelleren
Bewegung (blau)
26
1.2 Die gleichförmige Bewegung
1.2.2 Anmerkungen zu Zeit-Weg-Diagrammen und physikalischen Größen
• Die ts-Diagramme sind zwar Koordinatensysteme im mathematischen Sinn (Darstellung von (t|s)-Koordinatenpaaren), die gezeichneten Graphen stellen aber keine
Bahnkurven dar (siehe Abschnitt 1.1.2 (S. 23)). Es handelt sich bei ts-Diagrammen
um Graphen von Funktionen, die jedem Zeitpunkt t eine Ortsmarke s(t) zuordnen. Die Bahnkurve einer glf. Bewegung ist in Abbildung 1.3 (s. links) unter dem
Wagen zu sehen.
s
• Die Darstellung
an den Achsen wie in Abbildung 1.4 (s. links) ist nicht zufällig
m
gewählt. Für jede physikalische Größe gilt: 5
physikalische Größe = Maßzahl · Einheit
(1.1)
Als Beispiel betrachten wir die Länge `:
` = 5m.
(1.2)
Da es in der Mathematik keine Größen gibt, können in einem KOS nur Zahlen,
Zahlenpaare, Zahlentripel . . . dargestellt werden; daher steht an der Achse die Zahl
`
5 und einmal als Erläuterung , womit gemeint ist:
m
5=
`
.
m
Dies ist aber zu (1.2) gleichwertig.
Wird von einer physikalischen Größe wie in (1.2) nur die Einheit gemeint, so
schreibt man:
[`] = m .
(1.3)
Meint man die Maßzahl, so schreibt man:
{`} = 5 .
(1.4)
Für jede physikalische Größe X gilt daher (vergleiche (1.1)):
X = {X} · [X] .
(1.5)
• Der Satz einer physikalischen Größe erfolgt stets so, dass die Einheit aufrecht gesetzt wird und zwischen Maßzahl und Einheit ein kleiner Zwischenraum besteht.
Es gibt einige Makros in LATEX, die einem die Arbeit erleichtern können. Ich benutze in der Regel eine Codierung der Form $\ell=5\,\mathrm{m}$ (siehe (1.1))
– auch wenn es manchmal etwas umständlich erscheint.
5
Interessant ist in diesem Zusammenhang die Broschüre [4].
27
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.2.3 Kennzeichnung der glf. Bewegung; Geschwindigkeit
Aus der Definition 2 (S. 26) und der Abbildung 1.4 (S. 26) erhalten wir die Aussagen:
• Das ts-Diagramm einer glf. Bewegung ist eine Gerade. Je schneller sich ein Körper
bewegt, desto steiler ist der Verlauf dieser Gerade.
• Die Steigung der Gerade ist also ein Maß für die Geschwindigkeit des Körpers. Wir
erklären daher
Geschwindigkeit =
zurückgelegter Weg
dazu benötigte Zeit
Def. 3. Geschwindigkeit
v=
∆s
∆t
Einheit:
[v] =
m
s
(1.6)
Satz 2. Die glf. Bewegung ist gekennzeichnet durch
v = konst
v
m
s
v = 2 ms
2
v = 0, 5 ms
1
0
0
2
4
6
8
10
12
t
s
Abbildung 1.5: Das tv-Diagramm einer glf. Bewegung stellt eine Parallele zur t-Achse
im Abstand {v} dar.
Die Daten beziehen sich auf die Abbildungen 1.3 und 1.4 (S. 26). Messung 1: v =
(3−1) m
(3−1) m
m
∆s
m
(6−2) s = 0, 5 s und Messung 2: v = ∆t = (1,5−0,5) s = 2 s .
∆s
∆t
=
Satz 3. Für den zur Zeit t zurückgelegten Weg s(t) gilt bei v = konst (glf. Bewegung):
• falls zur Zeit t = 0 die Wegmarke s = 0 ist:
s(t) = v · t
(1.7)
• falls zur Zeit t = 0 die Wegmarke s = s0 ist:
s(t) = v · t + s0
28
(1.8)
1.2 Die gleichförmige Bewegung
1.2.4 Beispiele zur Geschwindigkeit bei glf. Bewegungen
1. Welche Geschwindigkeit hat ein Personenzug, wenn ein Reisender bei 18 m Schienenlänge in 5 Minuten 300 Schienenstöße zählt?6
Siehe (1.6) (s. links):
v=
∆s
km
18 m · 300
18 m · 300
= 64, 8
=
=
.
1
∆t
5 min
h
12 h
Anmerkung Im Rahmen einer physikalischen Grundausbildung ist es unabdingbar, darauf hinzuweisen, dass die
Einheit der Geschwindigkeit
km
nicht „KA-EM-HA“
h
heißt und auch so nicht ausgesprochen werden kann.
Die korrekte Sprechweise lautet „Kilometer durch Stunde“ oder auch „Kilometer
pro Stunde“. Mit Bedenken wäre noch „Stundenkilometer“ eine Möglichkeit, wenn
man es in obigem Sinne versteht. „KA-EM-HA“ geht aus zweierlei Gründen nicht:
Zum einen handelt es sich bei der Einheit nicht um ein Produkt, sondern um einen
Quotient. Zum anderen werden Einheiten immer ausgesprochen. Beispiel: s = 5 m
wird „s gleich 5 Meter“ gelesen und nicht „s gleich 5 EM“. In diesem Sinne ist die
oft genannte Einheit „KA-WEH“ ebenso unsinnig: P = 5 kW liest man eben „P
gleich 5 kilo-Watt“.
Und noch ein Hinweis: am gruseligsten z. B. in Baumarktprospekten ist das Angebot von „unterschiedlichen Wattagen“ bei Leuchtmitteln unterschiedlicher Leistungen (4 W; 7 W; 11 W etc.). Keiner würde nämlich unterschiedliche Entfernungen
als „Kilometragen“ bezeichnen.
2. Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit 100 km
h . Welchen Weg legt es in 1 s zurück?
Siehe (1.7) (s. links):
s = v · t = 100
km
1 000 m
1 m
· 1 s = 100 ·
· 1 s = 100 ·
· 1 s = 27, 8 m .
h
3 600 s
3, 6 s
Man überlege, was es bedeutet, wenn man während einer Autofahrt nur 2 s unaufmerksam ist.
3. Ein Läufer legt 100 m in 10, 3 s zurück. Berechne seine Geschwindigkeit in
v=
6
7
100 m
100
=
·
10, 3 s
10, 3
1
1 000
1
3 600
km 7
h .
km
100
km
km
=
· 3, 6
= 35, 0
.
h
10, 3
h
h
[17] 2.1.1.3.
[17] 2.1.1.4.
29
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
4. Rechne die Schallgeschwindigkeit (340 m/s) in km/h um.
Aus den beiden vorstehenden Aufgaben geht hervor:
m
km
= 3, 6
s
h
km
1 m
1
=
h
3, 6 s
m
s
1
340
→
km
h
km
h
→
m
s
m
km
= 1 224
.
s
h
Anmerkung Unter der Mach-Zahl (Ma)8 versteht man das Verhältnis einer
Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit. Um die „Schallmauer zu durchbrechen“
benötigt man eine Geschwindigkeit von 1 Ma. Das entspricht ungefähr der soeben
berechneten Geschwindigkeit in km/h. Die Schallgeschwindigkeit in Luft ist temperaturabhängig.
5. Welche Zeit braucht das Licht
a) von der Erde zum Mond (384 000 km),
b) von der Sonne zur Erde (150 000 000 km)?
Erde → Mond
Sonne → Erde
s
384 000 km
=
= 1, 28 s ;
v
3 · 108 ms
150 000 000 km
t=
= 500 s = 8 min 20 s = 8, 33 min .
3 · 108 ms
t=
6. Die Geschwindigkeit, mit der Haare wachsen, beträgt etwa 10−5
das Haar in einem Jahr?
mm
s .
Wie lang wird
Ein Jahr berechnet sich zu 1 a = 365, 25 · 24 · 60 · 60 s = 31, 6 · 106 s. Damit folgt
sofort – auch ohne Taschenrechner:
s = v · t = 10−5
mm
· 31, 6 · 106 s = 316 mm .
s
Anmerkung In Köln habe ich während des Studiums gelernt, dass man sich
leicht merken kann (wie man sieht):
1 a ≈ π · 107 s .
Der relative Fehler dieser Angabe beträgt:
x2 − x1
π · 107 s − 31, 6 · 106 s
=
= −0, 00583 ≈ −0, 6 % .
x1
31, 6 · 106 s
8
https://de.wikipedia.org/wiki/Mach-Zahl; zuletzt besucht am 13.09.2016
30
(1.9)
1.2 Die gleichförmige Bewegung
Das bedeutet, dass der Kölner Merkwert um etwa 0,6 % vom berechneten Wert
nach unten abweicht.
Viele Taschenrechner bieten eine fertige Funktion für die prozentuale Abweichung
an. Bei meinem HP 35s heißt diese %CHG . Bei der Eingabe ist dabei die Reihenfolge zu beachten (Handbuch!). Beispiel:
11 − 10
= 0, 1 = 10 %
(1.10)
10
10 − 11
11 ENTER 10 %CHG liefert −9, 1 (in %), da
= −0, 0909 = −9, 1 %.
11
10 ENTER 11 %CHG liefert 10 (in %), da
7. Gegeben sei das ts-Diagramm einer Bewegung in Form eines Trapezes. Bestimme
das tv-Diagramm.9
s
m
Als Bewegungsgleichungen für die vorgestellte Kombination glf. Bewegungen
erhält man
6
4
für die Zeit-Weg-Funktion:
2
0
0
2
4
6
8
10
12
v
t
s
cm
s
0
2
4
6
8
10
−2
12
t
s
s(t) =
1, 17 m
s ·t
7 m
−3, 5 ms
, falls 0 ≤ st ≤ 6
, falls 6 ≤ st ≤ 10
· t + 42 m
, falls 10 ≤ st ≤ 12
für die Zeit-Geschw.-Funktion:
v(t) =
m
1, 17 s
0m
−3, 5 m
s
−4
, falls 0 ≤ st ≤ 6
, falls 6 ≤ st ≤ 10
, falls 10 ≤ st ≤ 12
sm
(Seemeile durch Stunde). Dabei ist eine Seemeile
h
definiert als 10 (Winkelminute)
auf der Erdoberfläche
(Meer). Dazu muss man
8. 1 Knoten (1 Kn) bedeutet 1
◦
0
1
1
wissen, dass 10 = 60
und darüber hinaus 100 = 60
(Winkelsekunde) gilt. Der
6
(mittlere) Erdradius beträgt rE = 6, 371 · 10 m. (Siehe [24]).
m
km
Gib 1 Kn in den Einheiten
und
an.
h
s
1 Kn = 1
9
1
60
◦
sm
km
km
m
=
· 2 · π · 6, 371 · 103
= 1, 853
= 0, 515 .
h
360◦
h
h
s
[17] 2.2.2.5.
31
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Zum Vergleich hier die Definition bei WikipediA10 : 1 Knoten = 1 Seemeile/h =
1, 852 km/h ≈ 0, 514444 m/s.
9. Wir betrachten noch die Geschwindigkeit, mit der die Erde sich um die Sonne durch
den Weltraum bewegt. Natürlich ist die Bewegung keine geradlinige Bewegung,
sondern eine Kreisbewegung11 . Wir merken aber so ohne Weiteres „nichts“ davon
und fassen sie jetzt einfach als Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit auf. Dann
rechnet man:
v=
2 · π · 150 000 000 km
km
= 30
.
7
π · 10 s
s
Auch diese Abschätzung lässt sich leicht im Kopf (2 · 150 : 10) ohne Taschenrechner erledigen. Zu den verwendeten Daten betrachte man die Aufgabe 5b und die
Gleichung (1.9) (S. 30). Das Ergebnis ist für irdische Verhältnisse schon bemerkenswert.
1.2.5 Mittlere Geschwindigkeit
Wenn ein Zug von A nach B fährt, so ist die Geschwindigkeit nicht konstant, die Bewegung daher nicht gleichförmig.
Def. 4. Ungleichförmige Bewegung
Eine Bewegung heißt ungleichförmig (d. h. beschleunigt oder verzögert), wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist: v 6= konst.
Wenn man allerdings aus zurückgelegter Strecke und dazu benötigter Zeit den Quotient
bildet, erhält man die sogenannte mittlere Geschwindigkeit. Sie gibt an, mit welcher konstanten Geschwindigkeit der Zug hätte fahren müssen, um die Strecke in der gegebenen
Zeit zurückzulegen.
Def. 5. Mittlere Geschwindigkeit
v=
∆s
∆t
(1.11)
1.2.6 Beispiele zur mittleren Geschwindigkeit
1. Ein Regionalexpress (RE) fährt um 19.08 Uhr in München nach dem 221 km entfernten Lindau ab und kommt um 23.42 Uhr dort an. Berechne seine mittlere Ge10
11
https://de.wikipedia.org/wiki/Knoten_(Einheit); zuletzt besucht am 09.09.2016.
siehe Abschnitt 6 ab S. 167
32
1.3 Die glf. Bewegung in einem Experiment
schwindigkeit in km/h und in m/s.12
v=
221 km
221 km
221 km
km
= 48, 4
=
=
;
34
23.42 Uhr − 19.08 Uhr
4 h 34 min
h
4 + 60 h
v = 48, 4 ·
1 m
m
·
= 13, 4 .
3, 6 s
s
2. Welche mittlere Geschwindigkeit hat der Kolben eines Automotors mit 3 200 Umdrehungen/Minute, wenn die Hublänge 80 mm beträgt?13
v=
3 200 · 2 · 80 mm
3 200 · 160 mm
m
=
= 8, 53 .
1 min
60 s
s
1.3 Die glf. Bewegung in einem Experiment
Im Rahmen eines Experiments gibt es eine glf. Bewegung natürlich nur näherungsweise. Dass man trotzdem eine solche Bewegung realisieren kann, wird im nachfolgenden
Experiment versucht.
1.3.1 Aufbau
Wie in Abbildung 1.6 stellen wir einen Gleiter auf eine Luftkissenfahrbahn14 . Am Gleiter
befestigt man einen Faden und legt ihn über eine Umlenkrolle. Mit einer Büroklammer
(o. ä.) sorgt man für die notwendige Spannung des Fadens über der Rolle. Lässt man
nun Luft in die Fahrbahn einströmen, so bewegt sich der Gleiter wegen der anhängenden
Büroklammer. Man justiert die Fahrbahn nun so, dass sich der Gleiter auf ihr nicht
bewegt. Damit sind soweit alle äußeren Einflüsse neutralisiert.
b
Abbildung 1.6: Ein kleines Gewicht dient zum Spannen des Fadens. Der Ausgleich erfolgt
durch Neigen der Fahrbahn.
Man gibt dann zu Beginn der Messung dem Gleiter eine leichten Schubs und startet die
Messung. Dazu stand mir der Bewegungs-Messwandler mit dem Messwertaufnehmer15
12
[17]
[17]
14
[21]
15
[21]
13
2.1.1.2.
2.1.1.8.
Gerätebeschreibung 337 501
Gerätebeschreibung 337 63 und 337 631; BMW-Box: [21] Gerätebeschreibung 524 032
33
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
mit einem älteren CASSY-System (unter MS-DOS) als Computer-Interface von Leybold
zur Verfügung16 .
1.3.2 Messdaten für ein Zeit-Weg-Diagramm
Der Messwertaufnehmer wird mit der BMW-Box an das CASSY-Interface angeschlossen.
Das Programm „BMW“ aus der Programmsammlung des Interfaces liefert eine große
Anzahl von Messdaten, die (natürlich) am Computer direkt hätten ausgewertet werden
können. Ich habe darauf bewusst verzichtet und ungefähr für jede halbe Sekunde ein
Messwertepaar diktiert. Hier nun die Messdaten vom 30.08.2009:
Messung 1
t
0,00 0,503
s
s
5,00 14,3
cm
Messung 2
t
0,00 0,160
s
s
4,5
8,6
cm
1,01
1,50
2,02
2,49
2,99
3,52
4,00
4,51
5,01
23,5
32,3
41,5
49,9
58,7
67,9
76,3
85,1
93,1
0,413
0,704
1,02
1,27
1,55
1,76
2,11
2,50
14,6
21,4
28,6
34,2
40,6
45,0
52,6
61,0
Der Beginn zur Zeit t = 0 ist nicht s = 0, denn erst wird der Gleiter in Bewegung
versetzt und dann erst die Messung gestartet; er befindet sich dann schon an einer
Marke s 6= 0 cm.
Offenbar entsprechen die Messergebnisse unseren Erwartungen (Abbildung 1.4 (S. 26)).
Die rote bzw. blaue Gerade legen wir nun nicht nach Augenmaß als Ausgleichsgerade
durch die Messpunkte, sondern berechnen die Daten nach der Methode der kleinsten
Fehlerquadrate mit linearer Regression, die heutzutage jeder wissenschaftliche Taschenrechner beherrscht (Handbuch!). Eine Herleitung findet man im Anhang A (ab S. 447).
Lineare Regression ergibt für Messung 1 (R2 = 0, 9998):
y = 17, 63 · x + 5, 63 ;
s
t
= 17, 63 · + 5, 63 ;
cm
s
cm
s = 17, 63
· t + 5, 63 cm .
s
16
In diesem Bereich gibt es eine fortwährende schnelle technische Entwicklung, auf die ich hier nicht eingehen möchte. Letztlich kommt es darauf an, Weg-Zeit-Messwertepaare aufzunehmen. In den 1970er
Jahren habe ich mit einem Aluminiumstreifen, auf den mit Hochspannung kleine Markierungen gebrannt wurden, die Bewegungen analysiert. Dies war eine außergewöhnliche, aber sehr suggestive Art
der Messwertaufnahme. Ebenso außergewöhnlich gestaltete sich die Auswertung der Streifen durch
Zerschneiden und Aufkleben. ts- und tv-Diagramme entstanden so in einfacher Weise.
34
1.3 Die glf. Bewegung in einem Experiment
s
cm
bc
90
bc
80
bc
70
bc
bc
60
bc
bc
50
bc
bc
bc
40
bc
bc
bc
30
bc
bc
bc
20
bc
10
bc
bc
bcbc
0
0
1
2
3
4
5
t
s
Abbildung 1.7: Graphische Darstellung der Messreihen 1 (rot) und 2 (blau) zur Untersuchung einer glf. Bewegung
Entsprechend für Messung 2 (R2 = 0, 9995):
y = 22, 56 · x + 5, 19 ;
F
t
= 22, 56 · + 5, 19 ;
cm
s
cm
s = 22, 56
· t + 5, 19 cm .
s
1.3.3 Berechnung eines Zeit-Geschwindigkeits-Diagramms
Zur Bestimmung des tv-Diagrammes gibt es durchaus unterschiedliche Methoden. Ich
bevorzuge allerdings folgendes Vorgehen: Aus je 2 Wertepaaren bilde mandie Geschwin
s2 − s1
t1 + t2
digkeit v =
und ordnen diese dem mittleren Zeitpunkt zu: v = v
.
t2 − t1
2
Anmerkung Das gilt für eine Gerade und für eine Parabel genau. Bei einer Gerade
35
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
gilt es nach dem Strahlensatz und bei einer Parabel17 gilt für die Sekantensteigung:
(x2 + x1 ) (x2 − x1 )
x22 − x21
=
= x2 + x1 .
x2 − x1
x2 − x1
Für die Steigung in der Mitte zwischen x1 und x2 bei f (x) = x2 mit f 0 (x) = 2x:
f
0
x1 + x2
2
= (2x) ◦
x1 + x2
2
=2·
x1 + x2
= x1 + x2 .
2
Die Berechnung der Daten sieht daher so aus. Wir betrachten die Messdaten aus Abschnitt 1.3.2 (S. 34).
14, 3 − 5 cm
cm
• v=
= 18, 5
.
0, 503 − 0, 00 s
s
• Diese Geschwindigkeit ordnen wir dem mittleren Zeitpunkt zu: t = 12 ·(0, 503 + 0, 00) s =
0, 252 s.
Auf diese Weise füllt man die ganze Tabelle.
tv-Diagramm-Daten 1
t
0,252 0,757 1,255
s
v
18,5
18,1
18
cm
1,76
2,255
2,74
3,255
3,76
4,255
4,76
17,7
17,9
17,6
17,4
17,5
17,3
16
s
tv-Diagramm-Daten 2
t
0,08 0,287 0,559
s
v
25,6 23,7
23,4
cm
0,862
1,145
1,41
1,655
1,935
2,305
22,8
22,4
22,9
21
21,7
21,5
s
Die Daten sind nun in Abbildung 1.8 (s. rechts) dargestellt. Die rote (blaue) durchgezogene Linie ist gegeben durch die Steigung der in Abbildung 1.7 auf der vorherigen
cm
Seite durch lineare Regression ermittelten Geraden (rot: 17, 63 cm
s ; blau: 22, 56 s ). Die
konstante Steigung liefert den Wert für die konstante Geschwindigkeit bei einer glf. Bewegung.
Die punktierten Linien ergeben sich aus der Regression über den Wertepaaren, die der
Graphik zugrunde liegen18 .
Man erkennt, dass die Bewegung (insbesondere bei blau) nicht so ganz gleichförmig
ist; bei rot sieht das schon besser aus. Tendenziell nimmt aber in beiden Fällen die
Geschwindigkeit ab. Das liegt offenbar an der Justierung der Fahrbahn zum Ausgleich
der äußeren Einflüsse.
17
18
Stellvertretend für alle sei hier f (x) = x2 gewählt, da alle Parabeln ähnlich sind:
Die Regressionsdaten sind für rot: y = −0, 3903x + 18, 565 mit R2 = 0, 7778 und für blau y =
−1, 6047x + 24, 598 mit R2 = 0, 7642.
36
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
v
cm
s
bc
25
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
20
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
t
s
Abbildung 1.8: Graphische Darstellung des berechneten tv-Diagramms der glf. Bewegung; die Daten beziehen sich auf Abbildung 1.7 (S. 35).
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
1.4.1 Momentangeschwindigkeit
Aus den vielen bisherigen Beispielen und aus der Praxis des täglichen Lebens weiß man,
dass es normal ist, wenn die Geschwindigkeit nicht zeitlich konstant ist. Man braucht
nur während einer Autofahrt auf den Geschwindigkeitsmesser (Tacho) zu schauen, um
festzustellen, dass sie sich von einem Zeitpunkt zum anderen ändert. Der Tacho zeigt
dabei (scheinbar19 ) stets die zu einem bestimmten Zeitpunkt gehörige Geschwindigkeit
– die sogenannte Momentangeschwindigkeit – an.
Nun war die Geschwindigkeit definiert als der Quotient aus dem zurückgelegten Weg
und der zugehörigen Zeit:
v=
∆s
.
∆t
• Bei einer gleichförmigen Bewegung ist das ts-Diagramm eine Gerade und deren
Steigung kann genau als Momentangeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt verwendet
werden, denn sie ist gemäß Definition überall gleich.
• Im nächsten Schritt betrachten wir eine ungleichförmige Bewegung. Als ts-Diagramm
19
Wie weiter unten ausgeführt wird, benötigt eine Geschwindigkeitsmessung immer zwei Messwertepaas2 − s1
re, denn v =
. Das macht den Begriff Momentangeschwindigkeit (Geschwindigkeit zu einem
t2 − t1
Zeitpunkt) so schwierig. Mit einem gedanklichen Trick (Mathematik!) bekommt man das Problem
allerdings in den Griff.
37
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
(Farbe: „Brown“) erhält man dann zum Beispiel den Graph wie er in Abbildung 1.9
eingezeichnet ist. Da nun ein Punkt keine Gerade definiert, ist es nicht ohne Weiteres möglich, die Momentangeschwindigkeit v(t1 ) zum Zeitpunkt t1 = 3 s anzugeben.
Aber man kann sich mit der mittleren Geschwindigkeit helfen:20
v=
75 m − 27 m
∆s
s(t2 ) − s(t1 )
m
=
=
= 24 .
∆t
t2 − t1
5s − 3s
s
Das entspricht der Steigung der Sekante (Farbe: „Fuchsia“).
s
m
90
80
s (t2 ) = s2 = 75 m
P
bc
70
63 m
60
50
∆s = 36 m
40
s (t1 ) = s1 = 27 m
30
P1
bc
∆t = 2 s
20
10
t1 = 3 s
0
0
1
2
3
t2 = 5 s
4
5
t
s
Abbildung 1.9: Zur Bestimmung der Momentangeschwindigkeit
• Offenbar ist die so berechnete Geschwindigkeit zu groß. Aber sie gibt zumindest
einen Näherungswert für die Geschwindigkeit v(t1 ). Wenn einem das nicht genau
genug ist, kann man das Zeitintervall ∆t und damit die Messstrecke verkürzen –
und zwar soweit, bis es einem genau genug erscheint. Der Punkt P wandert dabei
auf dem Graphen des ts-Diagramms auf den Punkt P1 zu, so dass man immer zwei
Punkte zur Bestimmung der Steigung zur Verfügung hat.
20
Siehe Gleichung (1.11) (S. 32).
38
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
• Mathematisch gesehen bedeutet die Maßzahl der mittleren Geschwindigkeit die
Steigung der Sekante und die Maßzahl der Momentangeschwindigkeit die Steigung
der Tangente (Farbe: „blue“) an den Graph der Bewegung im ts-Diagramm.
s(t)
s(t)
bc
bc
bc
bc
t
t
Das Verfahren definieren wir jetzt wie folgt in
Def. 6. Die Momentangeschwindigkeit v(t) zu einem Zeitpunkt t ergibt sich
durch Verkleinerung von ∆t – genauer für ∆t → 0 (d. h. ∆t wird beliebig klein) –
als Steigung der Tangente im ts-Diagramm der Bewegung:
v(t) =
∆s ∆s
= lim
∆t ∆t→0 ∆t→0 ∆t
(1.12)
In Abbildung 1.9 (s. links) ist die Tangente blau eingezeichnet. Über ihre Steigung
ermitteln wir die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 zu:
v(t1 ) =
36 m
m
= 18 .
2s
s
• Rechnerisch gelangt man wie folgt an diese Geschwindigkeit. Im Beispiel wird die
Bewegung durch die Funktion
s(t) = 3 m ·
t2
s2
beschrieben. Von t1 = 3 s aus gesehen berechnet sich die mittlere Geschwindigkeit
39
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
zu jedem Zeitpunkt t 6= t1 zu
2
2
t
3 m · t2 − (3 s)2
3 m · st2 − 3 m · s12
s(t) − s(t1 )
v(t1 )(t) =
=
=
t − t1
t − t1
t − 3s
1
3 m · (t + 3 s) · (t − 3 s) s2
=
t − 3s
1
1
m
= 3 m · (t + 3 s) 2 −→ 3 m · (3 s + 3 s) 2 = 18
s
s
s
1
s2
(für t → t1 = 3 s) .
Weil t → t1 genau ∆t → 0 bedeutet, gilt:
v(3 s) =
∆s
m
∆s = lim
= 18 .
∆t ∆t→0 ∆t→0 ∆t
s
Zusatz Wenn einem die letzte Begründung zu „schwammig“ vorkommt, kann es ja
anders machen. Offenbar ist ∆t = t − t1 , und daher t = t1 + ∆t. Dann ist mit t1 = 3 s:
s(t) − s(t1 )
s(t1 + ∆t) − s(t1 )
= lim
∆t→0
∆t→0
t − t1
∆t
v(t1 ) = lim
= lim
3m ·
(t1 +∆t)2
s2
− 3m ·
∆t
∆t→0
= lim
3 m · (t1 + ∆t)2 − t21
3m ·
∆t→0
t21
+ 2 · t1 · ∆t + (∆t)2 − t21
∆t 3 m · 2 · t1 · ∆t + ∆t2
= lim
1
s2
∆t
∆t→0
= lim
t21
s2
1
s2
1
s2
∆t
∆t→0
1
∆t→0
s2
m
1
= 3 m · (2 · 3 s + 0) 2 = 18 .
s
s
= lim
3 m · (2 · t1 + ∆t)
Es handelt sich bei der Geschwindigkeit wie man vielleicht weiß um die erste Ableitung
der Zeit-Weg-Funktion nach der Zeit. Dies ist hier etwas aufwendiger dargestellt worden,
da die Differentialrechnung zu Beginn der Oberstufe noch nicht zur Verfügung steht.
Gleichzeitig ist es ein Hinweis auf die unterschiedlichen Möglichkeiten, die Ableitung
an einer Stelle zu bestimmen. Beide dargestellten Verfahren sind gleichwertig. Wenn
man die entsprechenden Definitionen nachlesen möchte, so bietet [32] eine kompakte
Übersicht dazu.
40
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
1.4.2 Eine ungleichförmige Bewegung im Experiment
Im folgenden Abschnitt wird eine spezielle ungleichförmige Bewegung betrachtet. Die
Eigenschaften dieser Bewegung sollen an einem Experiment dargestellt und die zugehörigen Bewegungsgleichungen daraus ermittelt werden.
Aufbau
Der Aufbau erfolgt wie in Abbildung 1.6 (S. 33). Der Gleiter alleine wird auf der Fahrbahn horizontal so justiert, dass er sich ohne äußere Einflüsse nicht bewegt. Dann wird
über einen Faden ein kleines Gewicht angehängt und der Gleiter mit einer Eisennadel
an einem Haltemagnet festgemacht.21
Messdaten für ein Zeit-Weg-Diagramm
Der Messwertaufnehmer wird mit der BMW-Box an das CASSY-Interface angeschlossen.
Die Programmierung erfolgt so, dass der Start der Zeit-Weg-Messung mit der Freigabe
des Haltemagnets erfolgt. Dadurch wird die Auswertung einfach, denn zum Zeitpunkt
t = 0 beginnt die Bewegung an der Marke s = 0.
Das Programm „BMW“ aus der Programmsammlung des Interfaces liefert eine große
Anzahl von Messdaten, die (natürlich) am Computer direkt hätten ausgewertet werden
können. Ich habe ungefähr alle 0, 2 s ein (t|s)-Messwertepaar notiert. Die Auswertung
der anderen Spalten erfolgt nacheinander je nach Notwendigkeit und wird im weiteren
Verlauf des Experiments besprochen. Zunächst hat man nur die beiden ersten Spalten.
Hier nun die Messdaten vom 17.09.2009:22
Tabelle 1.1: Messdaten
t
s
s
m
0,000 0,000
0,185 0,005
0,398 0,021
0,500 0,033
0,702 0,065
0,821 0,089
Fortsetzung . . .
t2
s2
0,000
0,034
0,158
0,250
0,493
0,674
s m
/
t 2 s2
v/
m
s
v m
/
t s2
0,146
0,133
0,132
0,132
0,132
0,053
0,089
0,145
0,174
0,228
0,286
0,224
0,290
0,248
0,278
21
Auch hier habe ich den Bewegungs-Messwandler mit dem Messwertaufnehmer verwendet. Siehe [21,
Gerätebeschreibung 337 63 und 337 631]. Die Messdaten wurden mit der BMW-Box [21, Gerätebeschreibung 524 032] und dem veralteten CASSY-System (unter MS-DOS) als Computer-Interface
ermittelt.
22
Daten zusammengestellt von Jacquelin Ciemienga (PG 1111)
41
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Tabelle 1.1: (Fortsetzung)
t2
s2
1,000
1,464
1,960
2,560
3,240
4,000
4,623
s
m
0,133
0,193
0,261
0,341
0,421
0,529
0,609
t
s
1,000
1,210
1,400
1,600
1,800
2,000
2,150
s m
/
t 2 s2
0,133
0,132
0,133
0,133
0,130
0,132
0,132
v m
/
t s2
0,267
0,264
0,271
0,250
0,261
0,269
m
s
0,267
0,320
0,379
0,400
0,470
0,537
v/
Man beginnt die Auswertung mit dem ts-Diagramm. Es ist in Abbildung 1.10 dargestellt.
s
m
0,9
0,8
0,7
bc
0,6
bc
0,5
bc
0,4
bc
0,3
bc
0,2
bc
bc
0,1
bc
bc
0
bc
0
bc
0,25
bc
bc
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
t
s
Abbildung 1.10: ts-Diagramm der aufgenommenen ungleichförmigen Bewegung
Offenbar bestätigt das ts-Diagramm das Verhalten des Gleiters nach Auslösen des Halte-
42
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
magnets. Die Bewegung wird (natürlich) immer schneller. Die Geschwindigkeit wächst.
Das drückt sich in der wachsenden Steigung des Graphen aus. Bevor ein tv-Diagramm
berechnet wird, wollen wir uns Gedanken machen, um welche Funktion es sich beim
ts-Diagramm handelt. Aus einer gewissen Erfahrung heraus vermutet man, dass es sich
um eine Parabel handeln könnte. Für eine erste Überprüfung bilden wir t2 (für spätere
s
Zwecke) und die Quotienten 2 in der 3. und 4. Spalte der Messwertetabelle 1.1 (S. 41).
t
Zum graphischen Nachweis dieser Vermutung zeichnen wir ein t2 s-Diagramm und sehen,
dass die Punkte auf einer Gerade liegen (Abbildung 1.11).
s
m
bc
0,6
bc
0,5
bc
0,4
bc
0,3
bc
0,2
bc
bc
0,1
bc
bc
0
bc bc
0
bc
bc
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
t2
s2
Abbildung 1.11: Trägt man s t2 auf, so liegen die Messwertepaare auf einer Gerade.
Lineare Regression (aus der 3. und 2. Spalte der Tabelle 1.1 (S. 41)) ergibt (R2 = 0, 9999):
y = 0, 132 · x + 0, 000512 ;
s
t2
= 0, 132 · 2 + 0, 000512 ;
m
s
m 2
s = 0, 132 2 · t + 0, 000512 m .
{z
}
|
s
≈0
Ergebnis: Die Zeit-Weg-Funktion der untersuchten Bewegung lautet:
s(t) = 0, 132
m 2
·t
s2
(1.13)
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel und kann jetzt in Abbildung 1.10 (s. links)
43
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
eingetragen werden. Offenbar ist die Bewegung zwar ungleichförmig, unterliegt aber doch
einer noch recht einfachen Gesetzmäßigkeit.
Ermittlung eines Zeit-Geschwindigkeits-Diagramms
Im nächsten Schritt soll die (Momentan-) Geschwindigkeit untersucht werden23 . Dazu
verweise ich auf das Verfahren, welches in Abschnitt 1.3.3 verwendet wurde (siehe S. 35
und dort die nachfolgenden Anmerkungen).
Wir berechnen die 5. Spalte der Tabelle 1.1 (S. 41) demnach in folgender Weise (Beispiel):
v(0, 500 s) =
0, 065 − 0, 021 m
m
= 0, 145 .
0, 702 − 0, 398 s
s
Die 6. Spalte ist auch wieder zur ersten Überprüfung (der linearen Änderung der Momentangeschwindigkeit) gedacht. Das tv-Diagramm ist in Abbildung 1.12 gezeichnet.
v
m
s
bc
0,5
bc
0,4
bc
bc
bc
0,3
bc
bc
0,2
bc
bc
0,1
bc
bc
0
0
0,2
0,4
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
t
s
Abbildung 1.12: Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit „gleichmäßig“ (linear) zu.
Lineare Regression (aus der 1. und 5. Spalte der Tabelle 1.1 (S. 41)) ergibt (R2 =
0, 9944):
y = 0, 263 · x + 0, 000562 ;
v
t
m = 0, 236 · + 0, 000562 ;
s
s
23
Siehe Abschnitt 1.4.1 (S. 37).
44
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
v = 0, 263
m
m
· t + 0, 000562
.
2
s
s}
|
{z
≈0
Ergebnis: Die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion der untersuchten Bewegung lautet:
v(t) = 0, 263
m
·t
s2
(1.14)
1.4.3 Definition und Eigenschaften der glm. beschl. Bewegung
Def. 7. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Eine Bewegung heißt gleichmäßig beschleunigt (glm. beschl.), wenn in gleichen Zeiten
gleiche Geschwindigkeitsänderungen erfolgen.24
Aus der Definition 7 und der Abbildung 1.12 (s. links) erhalten wir die Aussagen:
• Das tv-Diagramm einer glm. beschl. Bewegung ist eine Gerade. Je größer die Geschwindigkeitsänderung der Bewegung eines Körpers ist, desto steiler ist der Verlauf dieser Gerade.
• Die Steigung der Gerade ist also ein Maß für die Beschleunigung des Körpers. Wir
erklären daher
Beschleunigung =
Geschwindigkeitsänderung
dazu benötigte Zeit
Def. 8. Beschleunigung
a=
∆v
∆t
Einheit:
[a] =
m
s2
(1.15)
Satz 4. Die glm. beschl. Bewegung ist gekennzeichnet durch
a = konst
Satz 5. Für die Geschwindigkeit v(t) gilt bei a = konst (glm. beschl Bewegung):
• falls zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit v = 0 ist:
v(t) = a · t
(1.16)
• falls zur Zeit t = 0 die Anfangsgeschwindigkeit v = v0 ist:
v(t) = a · t + v0
24
(1.17)
Vergleiche mit Definition 2 (S. 26).
45
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.4.4 Das Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
Bis jetzt haben wir nur die gleichförmige Bewegung um eine Begriffsbildungsebene zur
glm. beschl. Bewegung „emporgehoben“. Es fehlt jetzt allerdings noch ein Zeit-WegGesetz. Dazu möchte ich das Experiment heranziehen. Das daraus überlegte Ergebnis
soll dann an einem weiteren Experiment geprüft werden.
Aus dem Experiment ab Seite 41 hatten wir zwei Gleichungen ermittelt:
(1.14)
(1.13)
m
·t
s2
m
s(t) = 0, 132 2 · t2
s
v(t) = 0, 263
Vergleicht man das mit (1.16) v = a · t, so folgt auf jeden Fall:
a = 0, 263
m
.
s2
m
in (1.13) ebenfalls als Beschleunigung zu interpretieren.
s2
m
Allerdings ist dieser Wert nicht der von a = 0, 263 2 , sondern nur der Anteil
s
Nun ist der Faktor 0, 132
0, 263 sm2
m
a
=
= 0, 132 2 .
2
2
s
Dass dies kein Zufall ist, soll in einem weiteren Experiment gezeigt werden. Siehe dazu
den Abschnitt 1.4.5. Als Ergebnis formulieren wir den
Satz 6. Das Zeit-Weg-Gesetz s(t) für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung lautet:
s(t) =
1
· a · t2
2
(1.18)
Diese Gleichung gilt, falls zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit v = 0 und die Wegmarke
s = 0 ist.25
1.4.5 Überprüfung des Zeit-Weg-Gesetzes durch ein weiteres Experiment
Messdaten vom 17.09.2009; die Daten wurden protokolliert und von Sophia Luise Falkenberg (PG 1122) zusammengestellt und ausgewertet.
Die Auswertung erfolgt in gleicher Weise wie es in Abschnitt 1.4.2 (S. 41). Auf die graphische Darstellung des ts-Diagramms wird hier verzichtet. Die Ergebnisse der linearen
Regressionen t2 und s sowie t und v und die beiden zugehörigen Graphen Abbildungen
1.13 und 1.14 (S. 48) werden zur Veranschaulichung des Messwerteverlaufs abgebildet.
25
Die Fälle für eine Anfangswegmarke s = s0 bzw. eine Anfangsgeschwindigkeit v = v0 werden im
Rahmen von Beispielaufgaben betrachtet. Siehe dazu 1.23 (S. 55).
46
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Tabelle 1.2: Messdaten zur 2. Messung
t
s
0,000
0,240
0,490
0,747
1,000
1,260
1,500
1,760
2,000
2,200
2,360
2,560
2,700
2,800
3,000
s
m
0,000
0,005
0,021
0,049
0,089
0,141
0,201
0,277
0,361
0,437
0,501
0,589
0,657
0,709
0,813
t2
s2
0,000
0,058
0,240
0,558
1,000
1,588
2,250
3,098
4,000
4,840
5,570
6,554
7,290
7,840
9,000
s m
/
t 2 s2
0,0862
0,0875
0,0878
0,0890
0,0888
0,0893
0,0894
0,0903
0,0903
0,0899
0,0899
0,0901
0,0904
0,0903
m
s
v m
/
t s2
0,043
0,087
0,133
0,179
0,224
0,272
0,320
0,364
0,389
0,422
0,459
0,500
0,520
0,179
0,178
0,178
0,179
0,178
0,181
0,182
0,182
0,177
0,179
0,179
0,185
0,186
v/
• Lineare Regression (aus der 3. und 2. Spalte der Tabelle 1.2) ergibt (R2 = 1, 0000):
y = 0, 0904 · x − 0, 00129 ;
s
t2
= 0, 0904 · 2 − 0, 00129 ;
m
s
m 2
s = 0, 0904 2 · t − 0, 00129 m .
{z
}
|
s
≈0
Ergebnis: Die Zeit-Weg-Funktion der untersuchten Bewegung lautet:
s(t) = 0, 0904
m 2
·t
s2
(1.19)
• Lineare Regression (aus der 1. und 5. Spalte der Tabelle 1.2) ergibt (R2 = 0, 9986):
y = 0, 184 · x − 0, 00426 ;
v
t
m = 0, 184 · − 0, 00426 ;
s
s
m
m
v = 0, 184 2 · t − 0, 00426
.
s
|
{z s}
≈0
47
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Ergebnis: Die Zeit-Geschwindigkeits-Funktion der untersuchten Bewegung lautet:
m
·t
s2
v(t) = 0, 184
(1.20)
0, 184 sm2
a
m
m
=
= 0, 0920 2 . Der relative
• Mithin gilt a = 0, 184 2 und daraus
s
2
2
s
920 − 904
26
Fehler beträgt
= 1, 8 %.
904
Zum Abschluss noch die zu den Regressionen gehörigen Graphen.
s
m
bc
0,8
bc
0,7
bc
0,6
bc
0,5
bc
bc
0,4
bc
0,3
bc
0,2
bc
bc
0,1
bc
bc
0
bc bc
bc
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t2
s2
9
Abbildung 1.13: t2 s-Diagramm Messung 2
v
m
s
bc
0,5
bc
bc
bc
0,4
bc
bc
bc
0,3
bc
bc
0,2
bc
bc
0,1
bc
bc
0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
t
s
Abbildung 1.14: tv-Diagramm Messung 2
26
Siehe (1.19) auf der vorherigen Seite. Zum relativen Fehler siehe Seiten 30 und 31.
48
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
1.4.6 Zusammenfassung: glf. und glm. beschl. Bewegung
Gleichförmige Bewegung
Gleichmäßig beschleunigte
Bewegung
a=0
a = konst
a
a
t
t
v =a·t
v = konst
v
v
t
t
s=v·t
s=
s
1
· a · t2
2
s
t
t
Tabelle 1.3: Übersicht über die einfachen geradlinigen Bewegungen; man kann nur die
zu den Bewegungen passenden Gleichungen verwenden!
49
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.4.7 Beispiele für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen
Anmerkung Bei den nachfolgenden Aufgaben handelt es sich um m. E. sehr instruktive (Übungs-) Beispiele für glm. beschl. Bewegungen. Man darf nicht den Fehler begehen,
s = vt zu verwenden, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist. Es gelten nur die
beiden Gleichungen (1.18) (S. 46) und (1.16) (S. 45):
s=
1
· a · t2 ;
2
v = a · t.
Von den 4 Variablen s, a, t und v müssen 2 gegeben sein, damit das Problem gelöst
werden kann, da es zwei Gleichungen sind. Wenn z. B. s, a oder s, t oder a, t oder
a, v gegeben sind, so kann man beide Gleichungen nacheinander benutzen, um die zwei
anderen fehlenden Größen auszurechnen. Nur wenn s und v gegeben sind, muss man
zuerst durch Kombination der zwei Gleichungen t eliminieren und erhält
1
1
s = · a · t2 = · a ·
2
2
2
v
a
=
1 v2
·
.
2 a
1. Ein Personenzug fährt mit der Beschleunigung 0, 4 sm2 an.
(1.21)
27
a) Wann und in welchem Abstand von der Station hat er seine normale Geschwindigkeit 14, 4 ms erreicht?
t=
14, 4 ms
v
=
= 36 s ;
a
0, 4 sm2
s=
1
1
m
· a · t2 = · 0, 4 2 · (36 s)2 = 259 m .
2
2
s
b) Mit welcher Verzögerung muss er bremsen, wenn er innerhalb 12 s zum Stehen
gebracht werden soll?
Der Bremsvorgang kann gefilmt werden, und der Film dann rückwärts abgespielt werden, um einen Beschleunigungsvorgang zu erhalten, so dass man
die äquivalente Fragestellung erhält: Berechne a, wenn ∆t = 12 s bei ∆v =
14, 4 ms .
a=
14, 4 ms
∆v
v
m
= =
= 1, 2 2 .
∆t
t
12 s
s
c) Wie lang ist der Bremsweg?
s=
1
m
1
· a · t2 = · 1, 2 2 · (12 s)2 = 86, 4 m .
2
2
s
2. Ein Körper mit der Geschwindigkeit 1, 2 ms erfährt eine Verzögerung von 20 cm
.
s2
Nach welcher Zeit beträgt die Geschwindigkeit noch 0, 7 ms ? Wann und wo kommt
27
[17] 2.2.2.2.
50
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
der Körper zur Ruhe?
28
1, 2 − 0, 7 ms
∆v
∆v
=⇒ ∆t =
=
= 2, 5 s .
a=
∆t
a
20 cm
s2
1, 2 ms
v
1
1
cm
t= =
= 6 s ; s = · a · t2 = · 20 2 · (6 s)2 = 3, 6 m .
a
20 cm
2
2
s
s2
3. Ein zunächst ruhender Körper hat in gleichmäßig beschleunigter Bewegung in 15 s
die Geschwindigkeit 24 ms erreicht. 29
a) Wie groß ist seine Beschleunigung und der Weg, den er in dieser Zeit zurückgelegt hat?
a=
24 ms
m
v
=
= 1, 6 2 ;
t
15 s
s
s=
1
1
m
· a · t2 = · 1, 6 2 · (15 s)2 = 180 m .
2
2
s
b) Welche Verzögerung muss ihm erteilt werden, damit er nach Durchlaufen
weiterer 120 m zur Ruhe kommt?
2
24 ms
v2
m
(1.21) =⇒ a =
=
= 2, 4 2 .
2·s
2 · 120 m
s
c) Welche Zeit erfordert das Abbremsen?
t=
24 ms
v
=
= 10 s .
a
2, 4 sm2
4. Ein Bus hat zwischen zwei Haltestellen die Strecke 264 m zurückzulegen. Die Anfahrbeschleunigung beträgt 1, 00 sm2 , die Bremsverzögerung 1, 50 sm2 und die Geschwindigkeit während der gleichförmigen Bewegung 12, 0 ms . 30
a) Wie groß ist die Fahrzeit zwischen den 2 Haltestellen?
Beschleunigen:
t1 =
12, 0 ms
1
v
1
m
=
· a · t21 = · 1, 00 2 · (12, 0 s)2 = 72 m .
m = 12 s ; s1 =
a
1, 00 s2
2
2
s
Abbremsen:
t3 =
12, 0 ms
v
=
= 8s;
a
1, 50 sm2
s3 =
1
m
1
· a · t23 = · 1, 50 2 · (8 s)2 = 48 m .
2
2
s
28
[17] 2.2.2.9.
[17] 2.2.2.3.
30
[17] 2.2.2.8.
29
51
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Fahren (gleichförmige Bewegung):
s2 = 264 m − 72 m − 48 m = 144 m ;
t2 =
s2
144 m
= 12 s .
=
v
12, 0 ms
Die Fahrtzeit t beträgt
t = t1 + t2 + t3 = 12 s + 12 s + 8 s = 32 s .
b) Zeichne das tv-Diagramm. Ergänzung: Zeichne auch das ts-Diagramm.
v
s
m
240
m
s
12
bc
bc
bc
bc
10
200
8
160
6
120
4
80
2
40
0
bc
0
0
bc
4
8
12
16
20
24
28
32
t
s
bc
bc
0
4
8
12
16
20
24
28
32
t
s
Abbildung 1.15: Links das vt-Diagramm: rechts das ts-Diagramm aus der Ergänzungsaufgabe
Erläuterungen zum ts-Diagramm: man erkennt das beschleunigte Anfahren
des Busses, das gleichförmige Fahren zwischen den Haltestellen nach Erreichen
der maximalen Geschwindigkeit und das Abbremsen, welches etwas „kräftiger“ ausfällt als das Anfahren.
• Für den ersten Teil gilt s(t) =
1
2
· 1, 00 sm2 · t2 = 0, 5 m ·
t2
.
s2
• Danach folgt eine gleichförmige Bewegung s(t) = v ·t+s0 = 12, 0 ms ·t+s0 .
Aus dem Wertepaar (12 s|72 m) folgt s0 = 72 m − 12, 0 ms · 12 s = −72 m.
Mithin ist s(t) = 12 m · st − 72 m.
• Im letzten Teil argumentieren wir wieder mit einer Bewegung, die rück2
wärts abläuft31 : Daher ist s̃(t) = 12 · 1, 50 sm2 · t2 = 0, 75 m · st2 . Nun transformieren wir die Bewegung zu
s(t) = −s̃(t − 32 s) + 264 m .
Das Vorzeichen berücksichtigt die Abbremsbewegung und die Verschiebung des Startpunktes stimmt mit der Lage des Scheitels bei s(t) überein.
31
Vergleiche Aufgabe 1b (S. 50).
52
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Daher der Einsatz der Scheitelpunktform32 .
t2
s2
s(t) = −s̃(t − 32 s) + 264 m
s̃(t) = 0, 75 m ·
(t − 32 s)2
+ 264 m
s2
t2 − 64t s + 1 024 s2
+ 264 m
= −0, 75 m ·
s2
t
t2
= −0, 75 m · 2 + 48 m · − 768 m + 264 m ;
s
s
t2
t
s(t) = −0, 75 m · 2 + 48 m · − 504 m .
s
s
= −0, 75 m ·
Zusatz Interessant ist folgende Betrachtung, wenn man schon einiges über Differentialrechnung gelernt hat. Oft wird in der Mathematik die Geschwindigkeit zur
„Veranschaulichung“ der zeitlichen Änderung eines Wertes verwendet, also für die
erste Ableitung einer Zeit-Weg-Funktion. Gleiches gilt auch für die Beschleunigung
bezogen auf die Geschwindigkeit. Daher gibt die zweite Ableitung der Zeit-WegFunktion die Beschleunigung an. Hier sieht es so aus:
• Die Zeit-Weg-Funktion für die Busfahrt lautet:
s(t) =
t2
0, 5 m · s2
12 m · t − 72 m
s
−0, 75 m · t2 + 48 m · t − 504 m
s
s2
Die Funktion ist im Intervall 0 ≤
t
s
, falls 0 ≤ st ≤ 12
, falls 12 ≤ st ≤ 24
, falls 24 ≤ st ≤ 32
≤ 32 differenzierbar mit der Ableitung:
• Zeit-Geschwindigkeitsfunktion
v(t) = s0 (t) =
t
1 m · s 2
12 m
s
−1, 5 m · t + 48 m
s
s2
, falls 0 ≤ st ≤ 12
, falls 12 ≤ st ≤ 24
, falls 24 ≤ st ≤ 32
Die Funktion ist im Intervall 0 ≤ st ≤ 32 nicht differenzierbar. Obwohl das
Geradenstück zwischen den Parabeln im ts-Diagramm sich an diese mit der
richtigen Steigung anschließt, ist der globale Verlauf nicht „glatt“ genug, da
sich die Geschwindigkeit abrupt ändert, was natürlich in der Praxis nicht
funktioniert.
Allerdings ist die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion im Intervall 0 ≤ st ≤ 32 stetig
(d. h. der Graph der Funktion ist auf dem Intervall zusammenhängend).
32
Siehe [35].
53
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
• Betrachtet man zum Abschluss die Zeit-Beschleunigungsfunktion, so gilt (Ableitung auf den Intervallen ohne Rand (offene Intervalle)):
a(t) = v 0 (t) = s00 (t) =
m
1 s2
0
−1, 5 m
s2
, falls 0 ≤ st < 12
, falls 12 ≤ st ≤ 24
, falls 24 < st ≤ 32
Diese Funktion ist noch nicht einmal mehr stetig, da der Graph auf dem
betrachteten Zeitintervall nicht zusammenhängend ist. Das ta-Diagramm ist
nur stückweise konstant und wechselt die Beschleunigung ohne Zwischenwerte
von 1 sm2 über 0 auf 1, 5 sm2 .
5. Für den Kraftfahrer gilt folgende Faustregel, um den Bremsweg in Metern zu errechnen:
Man teile den Zahlenwert der Geschwindigkeit des Fahrzeuges, angegeben in km/h,
durch 10 und bilde das Quadrat.
Beispiel: Bei 60 km/h beträgt der Bremsweg 6 · 6 Meter = 36 Meter. Berechne
hieraus die Verzögerung.33
(1.21) =⇒ a =
v2
2·s
=
60 km
h
2
2 · 36 m
=
60 ·
1 000 m
3 600 s
2 · 36 m
2
= 3, 86
m
.
s2
6. Ein Körper hat die Geschwindigkeit 2, 5 ms . Er wird mit der konstanten Beschleunigung 0, 9 sm2 schneller. 34
a) Welche Geschwindigkeit besitzt er 35 s nach Beginn der Beschleunigung?
v0 = 2, 5 ms , t = 35 s und a = 0, 9 sm2 ; die Geschwindigkeit beträgt
nach 35 s ohne Beschleunigung:
v = v0 ;
nach 35 s mit Beschleunigung:
v = v0 + a · t (1.17)
m
m
m
= 2, 5 + 0, 9 2 · 35 s = 34 .
s
s
s
b) Welche Geschwindigkeit besitzt er nach Durchlaufen der Strecke 1 000 m?
v0 = 2, 5 ms , s = 1 000 m und a = 0, 9 sm2 ; der zur Zeit t zurückgelegte Weg s
beträgt
ohne Beschleunigung:
33
34
s = v0 · t ;
[17] 2.2.2.7.
[17] 2.2.2.6.; im Originaltext: „[. . . ] auf ihn wirkt eine (konstante) Kraft, die ihm eine (konstante)
Beschleunigung [. . . ] erteilt.“ Und: „a) [. . . ] nach Beginn der Kraftwirkung?“. Die Fragestellung ist in
dieser Form erst nach Bearbeitung der Dynamik sinnvoll eingebettet: Eine konstante Kraft ruft eine
gleichmäßig beschleunigte Bewegung hervor.
54
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit Beschleunigung:
s = v0 · t +
1
· a · t2 .
2
(1.22)
An dieser Stelle merken wir uns allgemein den
Satz 7. Das Zeit-Weg-Gesetz s(t) für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
lautet:
1
s(t) = · a · t2 + v0 · t + s0
(1.23)
2
falls für t = 0 die Geschwindigkeit v = v0 (siehe (1.18) (S. 46)) und die
Wegmarke s0 beträgt.
Aus der letzten Gleichung (1.22) ermitteln wir t. Mit eingesetzten Daten gilt:
m
1
m
1 000 m = 2, 5 · t + · 0, 9 2 · t2 ;
s
2
s
m 2
m
0, 45 2 · t + 2, 5 · t = 1 000 m ;
s
s
2
2
s
2 s2
m
· t = 1 000 m ·
.
t2 + 2, 5 ·
s 0, 9 m
0, 9 m
Vereinfachen und quadratische Ergänzung (blau) hinzufügen:
t2 + 2 ·
625 2 20 000 2 625 2
25
s·t+
s =
s +
s ;
9
81
9
81
2
25
20 000 2 625 2
t+
s =
s +
s ;
9
9
81
r
20 000 2 625 2
25
t=− s±
s +
s
9
81
r 9
20 000 · 9 + 625
25
s
=− s±
9
81
425
25
s.
=− s±
9
9
Als Lösungen ergeben sich nun
400
m
m
s =⇒ v1 = 2, 5 + 0, 9 2
9
s
s
450
m
m
t2 = −
=⇒ v2 = 2, 5 + 0, 9 2
9
s
s
t1 =
400
m
s = 42, 5 ;
s
9
450
m
· −
s = −42, 5 .
9
s
·
Man kann das so interpretieren, dass der Körper mit der Geschwindigkeit
v0 nach 1 000 m die Geschwindigkeit v1 , gegen die Geschwindigkeit v0 die
Geschwindigkeit v2 erreicht. Das Vorzeichen kennzeichnet die unterschiedliche
Orientierung 35 (mit-gegen, rechts-links) der Bewegung. Der Körper erreicht
35
Vergleiche dazu die Ausführungen und Beispiele zu „Geschwindigkeit als Vektor“ in Abschnitt 2.1
(S. 71). Die Richtung ist bei einer geradlinigen Bewegung durch die Gerade vorgegeben.
55
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
betraglich die gleiche Geschwindigkeit, obwohl er im zweiten Fall durch v0
„behindert“ wird. Dadurch hat er aber auf der gleichen Strecke mehr Zeit, die
gleiche Geschwindigkeit zu erreichen.
7. Ein Körper legt in der ersten Sekunde 1 m, in der zweiten Sekunde 2 m, in der
dritten Sekunde 3 m usw. zurück. 36
a) Welche Art von Bewegung führt er aus?
b) Berechne Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung.
c) Zeichne das Zeit-Weg- und das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm. (Maßstab:
Abszisse (Rechtsachse) 1 cm für 1 s; Ordinate (Hochachse) 1 cm für 1 m, bzw.
1 cm für 1 ms .)
Um sich in die Aufgabe einfinden zu können, erstellt man zunächst eine Tabelle
mit den gegebenen Informationen.
t
s
s
m
v
a
m
s
m
s2
0
1
2
3
4
5
0
1
3
6
10
15
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
1
1
1
1
1
1
Zum Zeitpunkt t = 0 hat der Körper 0 m zurückgelegt. Für t = 1 s nach Aufgabe
1 m. Nach der 2. Sekunde (t = 2 s) befindet sich der Körper schon an der Marke
s = 3 m, da er ja in dieser Zeit weitere 2 m zurücklegt. Dies kann man so fortsetzen.
Da nicht in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden, ist die Bewegung
nicht gleichförmig. Die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt berechnen wir wieder37
als mittlere Geschwindigkeit aus den umgebenden Zeit-Weg-Daten:
3−0
2−0
6−1
v(2 s) =
3−1
v(1 s) =
m
m
= 1, 5
s
s
m
m
= 2, 5
s
s
oder
etc.
Damit lassen sich die Fragen sofort beantworten: Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, da sich die Geschwindigkeit in gleichen Zeiten um
den gleichen Wert ändert. Durch Extrapolation (d. h. man nimmt an, dass die Bewegung in gleicher Weise bereits zum Zeitpunkt t = 0 bestanden hat) ergibt sich
die Anfangsgeschwindigkeit zu v0 = 0, 5 ms . Für die Beschleunigung gilt a = 1 sm2 .
36
37
[17] 2.2.2.4.
Vergleiche Abschnitt 1.3.3 (S. 35)
56
1.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Zur Zeichnung geben wir die Bewegungsgleichungen an:
m
m t
+1 · ;
s
s s
t
1
1
t2
s(t) = · a · t2 + v0 · t + s0 = m · 2 + 0, 5 m · .
2
2
s
s
v(t) = v0 + a · t = 0, 5
s
m
bc
14
12
10
bc
8
6
bc
4
v0 =
bc
∆s
∆t
=
2 m
4 s
2
2
bc
S
bc
−2
−1
bc
1
2
4
−2
3
4
t
s
5
v
m
s
bc
5
bc
4
bc
a=
∆v
∆t
=
2 m
2 s2
3
bc
2
2
bc
2
1
2
1
bc
−1
−1
3
4
5
t
s
Abbildung 1.16: ts- und tv-Diagramm der Bewegung in Aufgabe 7
57
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
1.5 Der freie Fall
1.5.1 Versuchsaufbau und Messdaten
0 0 0 0 0 0
s
b
1 2 3 4
b
b
A
Als ein besonderes Beispiel soll nun die Bewegung des freien Falls betrachtet werden.
Als Messgerät stand mir am Röntgen-Gymnasium in Remscheid-Lennep das Fallgerät
von Kröncke mit der Gerätenummer 1418 54 zur Verfügung. Eine Metallkugel mit eingearbeitetem Haltestift wird in einer Haltevorrichtung eingespannt. Nach der Auslösung
fällt die Kugel in einen Auffangteller, der als Schalter dient. Die Fallstrecke kann an einer Skala eingestellt werden. Das Starten der el. Stoppuhr38 erfolgt gleichzeitig mit dem
Auslösen des Fallvorgangs durch Unterbrechung eines Stromkreises. Die Uhr wird durch
den unteren Schalter gestoppt. Auf diese Weise wird ein ts-Diagramm aufgenommen.
Für jede eingestellte Höhe wird die Fallzeit dreimal gemessen.
Tabelle 1.4: Messdaten zum freien Fall; 31.10.2006
t
s
t2
s
m
s2
0,45 0,3045 0,09272
0,45 0,3034 0,09205
0,45 0,3032 0,09193
0,40 0,2847 0,08105
0,40 0,2860 0,08180
0,40 0,2851 0,08128
Fortsetzung . . .
38
[21] LH-Digitalzähler 575 40
58
t
s
0,30
0,25
0,25
0,25
0,20
0,20
s
m
0,2458
0,2255
0,2279
0,2308
0,2039
0,2028
t2
s2
0,06042
0,05085
0,05194
0,05327
0,04158
0,04113
1.5 Der freie Fall
Tabelle 1.4: (Fortsetzung)
t2
s2
0,07177
0,07193
0,07150
0,06220
0,06170
s
m
0,2679
0,2682
0,2674
0,2494
0,2484
t
s
0,35
0,35
0,35
0,30
0,30
s
m
0,2014
0,1757
0,1739
0,1753
t
s
0,20
0,15
0,15
0,15
t2
s2
0,04056
0,03087
0,03024
0,03073
1.5.2 Auswertung; Zeit-Weg-Funktion
Zur Auswertung erstellen wir das ts-Diagramm Abbildung 1.17 und vermuten eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Für den Nachweis trägt man die Daten in ein t2 sDiagramm ein. Die Messwerte liegen auf einer Gerade, was die Vermutung bestätigt.
Über die Steigung ergibt sich die Beschleunigung, die der Körper bei der Fallbewegung
erfährt gemäß Satz 6 (S. 46) aus der Gleichung (1.18) s(t) = 12 · a · t2 .
s
m
s
m
bc bc
bc bc
0,40
0,40
bc bc
bc bc bc
bc bc
bc bc
0,30
0,30
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
0,20
0,20
bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc bc
0,10
0,10
0
0
0,1
0,2
0,3
t
s
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
t2
s2
Abbildung 1.17: ts-Diagramm (links) und t2 s-Diagramm der untersuchten Fallbewegung
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 9990):
y = 4, 9047 · x − 0, 001644 ;
59
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
s
t2
= 4, 9047 · 2 − 0, 001644 ;
m
s
m 2
s = 4, 9047 2 · t − 0, 001644 m .
{z
}
|
s
≈0
Ergebnis: Die Zeit-Weg-Funktion der untersuchten glm. beschl. Fallbewegung lautet:
s(t) =
1
m
· 9, 8094 2 · t2 .
2
s
(1.24)
1.5.3 Alle Körper fallen gleich schnell
Bei dem durchgeführten Experiment wurde die Bewegung einer speziellen Kugel untersucht. Die Frage lautet: Muss man nun für jeden Körper eine eigene Falluntersuchung
durchführen? Das nachfolgende Experiment mit der Fallröhre zeigt, dass dies nicht erforderlich ist.
Experiment In einer etwa 75 cm langen Glasröhre39 befinden sich eine Flaumfeder
und eine Kugel aus zusammengeknüllter Aluminiumfolie. Durch geschicktes Umdrehen
der Röhre kann man beobachten, dass die Feder gemächlich in der Röhre nach unten
gleitet, während die Aluminiumkugel in gewohnter Weise nach unten fällt.
An der Röhre befindet sich nun noch ein Schlauchanschluss mit Absperrhahn, so dass
man die Luft aus der Röhre abpumpen kann. Danach schließt man den Hahn und löst den
Pumpenschlauch von der Röhre. Führt man das oben beschriebene Experiment erneut
durch, so beobachtet man, dass die Feder „wie ein Stein“ nach unten fällt. Die Feder
wird also durch den Luftwiderstand daran gehindert genauso schnell zu fallen wie die
Aluminiumkugel.
Ein weiteres Handexperiment verstärkt die Aussage, dass alle Körper gleich schnell fallen.
Auf einem Buch verteilt man offensichtlich leichte (Kreidereste) und schwerere Gegenstände (Schlüsselbund), steigt auf den Experimentiertisch und zieht das Buch unter den
Gegenständen weg. Man kann sehr gut beobachten, dass alle Gegenstände gleichzeitig
am Boden ankommen.
Wir formulieren daher den
Satz 8. Am gleichen Ort 40 und ohne weitere Einflüsse (Luftwiderstand) gilt: Die Fallbeschleunigung 41 ist für alle Körper gleich groß. Die Normfallbeschleunigung beträgt:
gn = 9, 80665
m
s2
(1.25)
Es handelt sich hierbei um eine Festlegung, da die Werte für g ortsabhängig sind.
39
[21] Gerätebeschreibung 379 001
Die Ortsabhängigkeit überlegen wir aus den Erkenntnissen der Weltraumfahrt, insbesondere zum Mond
1969. Auf der Erde muss g an allen Orten einzeln gemessen werden. Vergleiche 1.5.5 (S. 63).
41
Siehe [24] und [48].
40
60
1.5 Der freie Fall
1.5.4 Die Bewegungsgleichungen zum freien Fall
Satz 9.
1. Das Zeit-Weg-Gesetz s(t) für den freien Fall lautet:
s(t) =
1
· g · t2
2
(1.26)
falls für t = 0 die Geschwindigkeit v = 0 und die Wegmarke s = 0 beträgt.42
2. Das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz v(t) für den freien Fall lautet:
v(t) = g · t
(1.27)
falls für t = 0 die Geschwindigkeit v = 0 beträgt.
3. Als Fallbeschleunigung verwenden wir
g = 9, 81 sm2
(1.28)
Betrachten wir den von uns gemessenen Wert (1.24) (s. links), so haben wir für die
Fallbeschleunigung g in Remscheid-Lennep gemessen:
gL = 9, 8094
m
m
= 9, 81 2 .
s2
s
Dieses Ergebnis entspricht (auf drei gültige Ziffern) durchaus dem in unseren Breiten
bekannten Mittelwert und soll deshalb hier als Standardwert gelten.
1.5.5 Beispiele zum freien Fall
Die hier aufgeführten Aufgaben sind Standardbeispiele. Es ist aber erforderlich, diese zu
rechnen, damit man ein Gespür für die Größenordnungen der Geschwindigkeiten, Wege
und Zeiten erhält. Viele Aufgaben und Handexperimente kann man auch aus der Situation heraus formulieren bzw. zeigen. Beispiele dazu werden im Folgenden eingestreut.
Der freie Fall aus einer bestimmten Höhe
Wie lange braucht ein Stein von der Spitze des Ulmer Münsters (160 m), bis er am Boden
aufschlägt? Welche Geschwindigkeit hat er dann? (Vom Luftwiderstand ist abzusehen.)43
1
s = · g · t2 , also t =
2
42
43
s
2·s
=
g
s
2 · 160 m
= 5, 71 s ;
9, 81 sm2
Siehe (1.18) (S. 46).
Siehe [10, S. 60–61] oder auch [11, S. 36].
61
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
v = g · t = 9, 81
m
m
· 5, 71 s = 56, 0 .
2
s
s
Alternativ:
s
v =g·t=g·
r
2 · 9, 81
=
2·s
=
g
s
2 · g2 · s p
= 2·g·s
g
m
m
· 160 m = 56, 0 2 .
2
s
s
Hier merken wir uns die nützliche Gleichung
Satz 10. Die Geschwindigkeit, die ein Körper erreicht, wenn er aus einer Höhe h auf
die Erde fällt, berechnet sich zu
v(h) =
p
2·g·h
(1.29)
In diesem Zusammenhang fällt einem die Müngstener Brücke ein, deren Höhe 107 m
beträgt. Hier ist die Fallzeit mit
s
t=
2·s
=
g
s
2 · 107 m
= 4, 67 s
9, 81 sm2
natürlich etwas kürzer, die Geschwindigkeit gemäß (1.25) beträgt (ohne Luftwiderstand)
v=
p
r
2·g·h=
2 · 9, 81
Übrigens ist das Höhenverhältnis
keitsverhältnis
m
m
km
· 107 m = 45, 8
= 165
.
s2
s
h
h2
160
= 1, 50, aber das Zeit- bzw. Geschwindig=
h1
107
q
2·h2
5, 71
t2
g
=
=q
=
2·h1
4, 67
t1
g
s
h2 p
= 1, 50 = 1, 22 ;
h1
s
√
56, 0
v2
2 · g · h2
h2 p
=
=√
= 1, 50 = 1, 22 .
=
45, 8
v1
h1
2 · g · h1
Noch deutlicher kann man das mit dem Beispiel aus dem Schwimmbad machen:
62
h
m
t
s
v
v
m
s
km
h
3er-Brett
3
0, 782
7,67
27,6
5er-Turm
5
1, 01
9,90
35,0
10er-Turm
10
1, 43
14,0
50,4
1.5 Der freie Fall
Man sieht, dass es sich eigentlich
√ nicht besonders lohnt, doppelt so hoch zu steigen, da
die Fallzeit nur um den Faktor 2 ≈ 1, 4 steigt, obwohl man natürlich doppelt so lange
für den Aufstieg benötigt (bei konstanter Geschwindigkeit).
Eine günstige Version bildet der 5er: Man kann sich leicht merken, dass man recht genau
eine Sekunde unterwegs ist und die Geschwindigkeit der eines sehr guten 100 m-Läufers
entspricht: 100 m in 10 s bedeutet gerade v = 10 ms = 36 km
h .
Aus 10 m Höhe ist es vernünftig, ein Auto von einem Kran fallen zu lassen, denn es trifft
mit 50 km
h auf dem Boden auf. Das ist die „normale“ Geschwindigkeit eines Autos im
Stadtverkehr. Die sich ergebenden Schäden sind schon eindrucksvoll.
Bestimmung der Reaktionszeit mit einem Maßstab
Experiment Man bittet eine Schülerin oder Schüler44 zu einem Reaktionstest. Ein
Maßstab (z. B. ein Holzmaßstab mit cm-Einteilung) wird vom Experimentator mit dem
Nullpunkt nach unten an die Wand gedrückt. Der Schüler hält seinen Daumen in nicht
zu großem Abstand in der Höhe des Nullpunkts vor den Maßstab. Dem Schüler wird der
weitere Ablauf erklärt: man würde den Stab irgendwann loslassen und er sollte ihn so
schnell wie es geht mit dem Daumen anhalten. Die Spannung steigt und nach einiger Zeit
der Verwirrung der Testperson lässt der Experimentator den Maßstab fallen. Man kann
das Experiment mit mehreren Schülern durchführen und die Ergebnisse protokollieren.
Leider liegen mir keine Originaldaten mehr vor.
Nehmen wir an, dass ein Schüler s1 = 15 cm und ein anderer s2 = 25 cm Reaktions„Zeit“ gemessen hätte. Dann stellt sich heraus, dass der zweite keine so viel schlechtere
Reaktionszeit hatte, denn wie oben wird das Ergebnis durch die Wurzel abgemildert:
s
t1 =
2 · 0, 15 m
= 0, 175 s = 175 ms ;
g
s
t2 =
2 · 0, 25 m
= 0, 226 s = 226 ms .
g
Selbst für die „normale“ Reaktionszeit von 0, 3 s ergibt sich schon eine Fallstrecke von
s=
1
· g · (0, 3 s)2 = 44 cm .
2
Ortsabhängigkeit der Fallbeschleunigung
Auch wenn wir die Daten an dieser Stelle nicht experimentell ermitteln können, ist es
interessant, die unterschiedlichen ortsabhängigen Werte für g einmal in einer Tabelle 1.5
auf der nächsten Seite zu betrachten.45
44
Standard ist hier der Kürzel SuS. Diese Abkürzung finde ich schrecklich. Ich definiere daher ohne
Diskriminierungsabsichten (siehe Titel im Programm SchILD-NRW vom Schulministerium) als Abkürzung: „Schüler“.
45
Die Daten sind aus [11, Seite 15 und Seiten 281–283] zusammengestellt. Sicher gibt es ausführlichere
Quellen, aber für den im Unterricht verfolgten Zweck ist die gegebene Information völlig ausreichend
und ohne direkten Internetzugang verfügbar.
63
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Erde
g in m/s2
9,8322
9,8126
9,7805
1,619
an den Polen
in Berlin
am Äquator
Mond
Sonne
Jupiter
Venus
Mars
g in m/s2
274
26
8,5
3,8
Tabelle 1.5: Übersicht über die Fallbeschleunigung an unterschiedlichen Orten
Man erkennt, dass die Fallbeschleunigung mit der Größe46 der Himmelskörpers zusammenhängt. Daher ist es durchaus verwunderlich, dass g vom Pol zum Äquator kleiner
wird, obwohl die Erde an den Polen abgeflacht ist. Der mittlere Äquatorradius47 beträgt
a = 6 378, 140 km, der Polradius b = 6 356, 777 km. Da aber die Erde rotiert, wirkt sich
die Zentripetalbeschleunigung aus, die die Fallbeschleunigung verkleinert. Siehe dazu die
genaueren Ausführungen in Abschnitt 6.4.2 (S. 183).
Als Beispielrechnung betrachten wir den freien Fall auf dem Mond.
1. Aus welcher Höhe müsste man auf dem Mond herabspringen, um genauso schnell
anzukommen wie auf der Erde beim Sprung aus 1 m Höhe?48
Gemäß (1.29) (S. 62) gelten die Gleichungen mit gM = 1, 619 sm2 (Fallbeschleunigung
auf dem Mond):
vE =
p
2 · gE · hE
und
vM =
p
2 · gM · hM .
Nun soll die Höhe hM so gewählt werden, dass vE = vM ; somit hat man
wegen
gE · hE = gM · hM :
hM =
9, 81 sm2
gE
· hE =
· 1 m = 6, 06 m .
gM
1, 619 sm2
Merke:
1
gM
≈
gE
6
2. Wie groß sind die Geschwindigkeiten, mit denen man mit einem Sprung aus 1, 25 m
Höhe auf der Erde bzw. der Mondoberfläche ankommt?
46
r
m
m
· 1, 25 m = 4, 95
;
2
s
s
r
m
m
.
= 2 · 1, 619 2 · 1, 25 m = 2, 01
s
s
vE =
p
2 · gE · hE =
vM =
p
2 · gM · hM
2 · 9, 81
Eigentlich muss man an dieser Stelle von der Masse reden. Ich vermeide das hier jedoch, da die Masse
im Rahmen der Dynamik erst noch eingeführt und definiert werden soll. Siehe Abschnitt 3.1 (S. 101).
47
[11, S. 282]
48
[10, S. 36]
64
1.5 Der freie Fall
Freier Fall in einen Brunnen mit Aufschlaggeräusch
Eine der Standardaufgaben ist das Brunnenbeispiel. J (Name eines Schülers des Kurses)
sitzt mit seiner Freundin an einem Brunnen. Sie macht den Fehler, ihn nach der Brunnentiefe zu fragen. Da J Physik als Fach gewählt hat, nimmt er ihre Butterbrotdose
(leider mit Butterbroten und 2 Äpfeln darin) und lässt sie in die Tiefe fallen. „Der Brunnen ist zwei Sekunden tief.“ Die Freundin möchte aber die Tiefe als Länge wissen. Für
die Schallgeschwindigkeit setzen wir 340 ms an. Ferner soll ein ts-Diagramm für weitere
Klarheit sorgen.
h
m
20
b
15
10
s1
5
s2
0
0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t1
2,25
t
s
t2
Abbildung 1.18: ts-Diagramm der Brunnenaufgabe
Wenn man sich die Aufgabe überlegt, so hat man (rot) eine glf. beschl. Fallbewegung und
(blau) eine gleichförmige Bewegung des zurücklaufenden Schallsignals vom Aufprall der
Dose auf den Brunnenboden. Jedem Zeitpunkt t ist eine bestimmte Tiefe h(t) zugeordnet.
Die Fallbewegung wird beschrieben durch die Bewegungsgleichung
s1 (t) =
1
· g · t2
2
(für 0 ≤ t ≤ t1 ) .
Dabei ist t1 die Zeit, zu der die Brunnentiefe erreicht ist.
65
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Für die Bewegungsgleichung des Schallsignal setzen wir mit gegebenem t2 = 2 s an:
s2 (t) = −c · t + h0
(für t1 ≤ t ≤ t2 ) ,
wenn c die Schallgeschwindigkeit und h0 die Schnittstelle der Gerade mit der h-Achse
bedeuten.49 Die Steigung ist hier −c, da das Signal vom Brunnenboden nach oben läuft.
h0 kann man bestimmen, da s2 (t2 ) = 0 ist und daher
h0 = s2 (t2 ) + c · t2 = c · t2 = 340
m
· 2 s = 680 m
s
beträgt. Die Funktion
(
h(t) =
2
· g · t2 = 4, 91 m · st2
−c · t + h0 = −340 m · st + 680 m
1
2
, falls 0 ≤ t ≤ t1
, falls ts1 ≤ st ≤ 2
ist in Abbildung 1.18 auf der vorherigen Seite gezeichnet worden. Der Schnittpunkt liefert
die geforderten Informationen. Graphisch ergibt sich dieser „von selbst“. Analytisch durch
Lösen der Gleichung:50
1
· g · t2 = −c · t + c · t2 ;
2
2·c
2 · c · t2
t2 +
·t=
;
g
g
2
c 2 2 · c · t2
c
2 · g · c · t2 + c2
t+
=
+
=
;
g
g
g
g2
c
t=− ±
g
s
2 · g · c · t2 + c2
.
g2
Die negative Lösung entfällt. Durch sie wird nur der 2. Schnittpunkt mit der Parabel
beschrieben. Daher ist
t1 =
340 ms
−
9, 81 sm2
v
u
u 2 · 340 m · 9, 81 m2 · 2 s + 340 m 2
s
s
s
u
+t
= 1, 9454 s .
2
m
9, 81 s2
Für die Brunnentiefe folgt schließlich:
h(t1 ) = −340 m ·
Zusatz
49
1, 9454 s
t1
+ 680 m = −340 m ·
+ 680 m = 18, 6 m .
s
s
Ein alternativer Ansatz ergibt sich aus der Überlegung, dass für die Zeiten
Mathematisch der y-Achsenabschnitt; hier die fiktive Starttiefe des Schallsignal zur Zeit t = 0, damit
es zur Zeit t = 2 s an der Stelle h = 0 ankommt.
50
Man kann auch mit den numerisch ausgeführten Gleichungen mit einem Taschenrechner zurecht kommen. Eine allgemeine Betrachtung ist dem aber vorzuziehen.
66
1.5 Der freie Fall
gelten muss t2 = t1 + τ , wobei τ die Laufzeit des Schallsignals vom Brunnenboden bis
zum oberen Rand angeben soll. t2 = 2 s ist gegeben und t1 sowie τ lassen sich mit der
zu errechnenden Brunnentiefe H ausdrücken. Dieses Vorgehen ist ein sinnvoller Ansatz,
falls man das ts-Diagramm im Nachhinein bestimmen will.
Wegen H = 12 · g · t21 aus der Fallbewegung und H = c · τ aus der glf. Bewegung des
Schalls ergibt sich der Ansatz:
s
2·H
H
+
;
g
c
s
2·H
;
g
t2 = t1 + τ =
H
t2 −
=
c
=
H 2 2·H
=
t2 −
;
c
g
2
2·H
H
H
=
t22 − 2 · t2 ·
+
;
c
c
g
H
2·H
H2
− 2 · t2 ·
−
= −t22 ;
2
c
c
g
c2
H 2 − 2 · c · t2 +
g
!
c2
H − c · t2 +
g
· H = −c2 · t22 ;
!!2
c2
= − (c · t2 ) + c · t2 +
g
|
c2
±
H = c · t2 +
g
!2
2
s
{z
quadr. Erg.
c2
− (c · t2 ) + c · t2 +
g
2
;
}
2
.
Setzt man nun die Daten für c, g und t2 ein, so erhält man:
(
H = 12 463, 89 m ± 12 445, 33 m =
Offenbar trifft die zweite Lösung zu. Die erste Lösung
lässt sich in folgender Weise interpretieren: Wir denken
uns den Brunnen unbeschränkt tief. Der Körper (Butterbrotdose) startet in der Tiefe H1 = 24 909, 22 m mit
einer Geschwindigkeit, die es ermöglicht, zum Zeitpunkt
t = 0 gerade am oberen
√ Rand anzukommen (alles ohne
Luftwiderstand; v = 2 · g · H1 ). Startet das Schallsignal
gleichzeitig, so trifft es an der gleichen Stelle mit der Dose
zusammen, wenn sie im normalen Experiment den durch
die Fallzeit vorgegebene Grund erreicht.
24 909, 22 m
18, 56 m
h
H1
H2
t
67
1 Kinematik geradliniger Bewegungen
Freier Fall in weichen Boden
Lässt man eine Stahlkugel aus 20 m auf weichen Boden fallen, so dringt sie 8 cm tief
ein. Berechne die Beschleunigung, die die Stahlkugel erfährt und vergleiche sie mit der
Fallbeschleunigung.51
Die Geschwindigkeit, die sich durch den freien Fall ergibt, ist genau die, die verzögert
werden muss. In der üblichen Weise52 kann man also mit h1 = 20 m, h2 = 8 cm und der
gesuchten Beschleunigung a im Boden ansetzen:
v=
p
2 · g · h1 =
p
2 · a · h2 ;
2 · g · h1 = 2 · a · h2 ;
h1
20 m
km
a=
·g =
· g = 250 g = 2, 45 2 .
h2
8 cm
s
Man beachte die Einheiten und die Tatsache, dass g eine physikalische Größe und deshalb
als solche gesetzt wurde – auch wenn die Größe g als Einheit im Vergleich zu sich selbst
erscheint. 250 g bedeutet etwas anderes (siehe Abschnitt 3.1 (S. 101).
Ein Apfel fällt hinter einem anderen her
1. Zwei Äpfel, die an einem Baum 1, 25 m übereinander hängen, beginnen gleichzeitig
zu fallen. Wie verändert sich ihr Abstand beim Fallen?53
Mit der Gleichung 1.23 (S. 55) (v0 = 0 und s0 = 1, 25 m) setzt man an:
1
· g · t2 ;
2
1
s2 (t) = · g · t2 + s0 ;
2
∆s = s2 (t) − s1 (t)
1
1
=
· g · t2 + s0 − · g · t2 = s0 = 1, 25 m .
2
2
s1 (t) =
Das Ergebnis ist unabhängig von t. Der Abstand bleibt stets gleich (was sonst?).
2. Der untere Apfel beginnt nun genau dann zu fallen, wenn der obere an ihm vorbeifliegt. Befinden sich beide Äpfel nun ständig nebeneinander auf gleicher Höhe?
Wie groß ist ihr Abstand, wenn der untere Apfel 1 s lang gefallen ist?
Hier sieht der Ansatz etwas anders aus, denn nach freiem Fall von 1, 25 m hat der
obere Apfel eine Anfangsgeschwindigkeit v0 . Es ist allerdings s0 = 0, da der Start
in gleicher Höhe zur Zeit t = 0 angesetzt wird.
51
[17]
Vergleiche Aufgabe 1b (S. 50) und (1.29) (S. 62)
53
[7, S. 53]
52
68
1.5 Der freie Fall
Wieder gilt mit (1.23) (S. 55) und (1.29) (S. 62):
v0 =
p
2 · g · 1, 25 m = 4, 95
m
;
s
1
· g · t2 ;
2
1
s2 (t) = · g · t2 + v0 · t ;
2
∆s = s2 (t) − s1 (t)
1
1
2
=
· g · t + v0 · t − · g · t2 = v0 · t .
2
2
s1 (t) =
Der Abstand vergrößert sich linear mit der Zeit und beträgt nach 1 s
∆s = v0 · t = 4, 95
m
· 1 s = 4, 95 m .
s
3. Stelle die Bewegungen jeweils in einem ts-Diagramm dar.
Siehe Abbildung 1.19. Beachte dabei die Orientierung der s-Achse.
Graurot ist jeweils das ts-Diagramm des oberen Apfels, der links 1, 25 m höher
hängt als der andere. Bei gleichzeitigem Start bleibt ihr Abstand stets gleich.
Rechts ist graurot das ts-Diagramm des oberen Apfels gezeichnet, der mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 = 4, 95 ms an der Marke s = 0 vorbeikommt. Er fällt
stets unterhalb vom anderen mit wachsendem Abstand.
0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
0
t
s
0
0,25
0,50
0,75
0
1,00
1,25
t
s
∆s = 1, 25 m
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
s
m
s
m
Abbildung 1.19: ts-Diagramme der fallenden Äpfel
69
2 Mehrdimensionale Bewegungen
2.1 Geschwindigkeit als Vektor
2.1.1 Das Unabhängigkeitsprinzip
Die Idee zum Unabhängigkeitsprinzip möchte ich an einigen Beispielen erläutern.
• Um einen rechteckigen Platz zu überqueren, muss man nicht an den Seiten entlang gehen, sondern es ist natürlich möglich, diese Bewegungen zu kombinieren.
Dann läuft man, wenn man es richtig einteilt, längs der Diagonale über den Platz.
Man kann also gleichzeitig nach z. B. links und geradeaus gehen und erreicht den
gleichen Punkt, als würde man zuerst nur geradeaus und danach nach links gehen. Eine Bewegung lässt sich in zwei Bewegungen aufteilen, wenn es erforderlich
ist, und zwei gleichzeitige Bewegungen können als eine Überlagerung aus beiden
angesehen werden.
• Ich besitze einen HP-Plotter1 7475A. Zum Plotten wird ein eingespanntes Blatt
vor und zurück bewegt und ein Stift von links nach rechts geführt. Ferner kann
der Stift angehoben und abgesenkt werden. Wenn ein „L“ geschrieben werden soll,
so fängt der Plotter an vorgegebener Koordinate auf dem Papier an, einen Strich
von oben nach unten zu zeichnen, indem er den Stift festhält und das Papier ein
Stück bewegt. Der Querstrich wird gezeichnet, indem der Stift bei feststehendem
Papier ein Stück weit nach rechts geführt wird. Schräge Linien wie bei einem
„A“ kann man dadurch zeichnen, dass sich Papier und Stift gleichzeitig bewegen,
prinzipiell eine Zusammensetzung aus der Bewegung des Blattes und des Stiftes in
geeigneter Weise zueinander. Wenn man sich klarmacht, dass sowohl die Bewegung
des Papiers als auch die des Stifts über digitale Schrittmotoren gesteuert wird,
wird noch einmal deutlich, dass die schräge Bewegung tatsächlich nur als feine
Bewegungsschritte in Richtung vor-zurück und links-rechts erfolgt.
• In diesem Sinne lassen sich weitere Beispiele hinzufügen: Gehen auf einer Rolltreppe, im fahrenden Zug eine Apfelsine hochwerfen, im Schwimmbad vom „3er“ mit
Anlauf ins Wasser springen und so fort. Wenn man ein Experiment durchführen
möchte, so kann man einen Experimentiertisch auf Rollen und eine Kugel darauf
gleichzeitig bewegen und diese Bewegung aufzeichnen.
Bei all diesen Beispielen findet eine ungestörte Überlagerung von Bewegungen statt, die
sich zu einer Gesamtbewegung zusammenfügen.
1
Siehe http://photozeichen.de/toblog/?p=420
71
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Satz 11. Bewegungen überlagern sich ungestört (Unabhängigkeitsprinzip).
Anmerkung Ein Prinzip ist keine Aussage im Sinne eines physikalischen Gesetzes2 ,
sondern eine Modellvorstellung, die es gestattet, komplexe Vorgänge in einfacher Weise
zu analysieren. Das Ergebnis dieser Analyse beschreibt das physikalische Geschehen richtig unter Beachtung der gegebenen Voraussetzungen. Im Abschnitt IV (S. 443) werden
wir noch ein weiteres Prinzip in diesem Sinne kennenlernen.
2.1.2 Eigenschaften vektorieller Größen am Beispiel der Geschwindigkeit
Allgemeine Eigenschaften einer vektoriellen Größe
Wir wollen ein Boot auf einem Fluss fahren lassen. Dazu müssen wir unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Beträge und gegebenenfalls verschiedene Richtungen der
Strömung und des Bootes berücksichtigen. Ferner kann das Boot mit der Strömungsrichtung oder gegen sie fahren. Solche Auszeichnungen nennt man Orientierung. Um all
diese Dinge auch graphisch darzustellen, verwendet man Pfeile, die man da einzeichnet,
wo man sie braucht. Die Menge aller Pfeile mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und
Orientierung nennt man Vektor – in Bezug zu einer physikalischen Größe vektorielle
Größe.
Def. 9. vektorielle Größe; Vektor Eine physikalische Größe X heißt vektorielle
Größe oder kurz Vektor, wenn zu ihrer eindeutigen Bestimmung neben Maßzahl und
Einheit auch die Angabe von Richtung und Orientierung notwendig ist.
#»
Bezeichnung als Vektor: X .
Beispiel Die Aufforderung „Gehe 5 m.“ ist
nicht eindeutig ausführbar. Alle möglichen Lösungen landen auf einem Kreis mit 5 m Radius
um den aktuellen Standort. Man muss also noch
zum Beispiel hinzufügen „in N–S-Richtung“. Dies
ist aber auch noch nicht eindeutig, da immer
noch die Möglichkeit besteht, von N nach S oder
umgekehrt zu gehen. Ein typischer Fall für die
fehlende Orientierung. Vollständig wäre die Beschreibung durch
#»
s =
5 m
N
N
N
s = 5m
S
Richtung
S
Betrag
S
Orientierung
in N–S-Richtung
nach N
2
Ein Gesetz ist zum Beispiel der Energieerhaltungssatz. Vergleiche dazu Abschnitt 4.4.1 (S. 142).
72
#»
s
2.1 Geschwindigkeit als Vektor
Addition vektorieller Größen
Wir betrachten einen Fluss, dessen Ufer mit Flussbett als Bezugssystem dienen soll.
Der Fluss hat die Strömungsgeschwindigkeit vF = 3 ms . Diese kann längs einer am Ufer
abgesteckten Strecke mit einem Stück Kork und einer Stoppuhr bestimmt werden.
Bei einem Motorboot messen wir die Geschwindigkeit vB = 4 ms (in ruhendem Gewässer)
und lassen es jetzt auf dem Fluss fahren.
1. Fall: Das Boot fährt mit der
Strömung:
#»
vF
A1
#»
vB
E2
#»
v = #»
v F + #»
vB
m
v = vF + vB = 7 .
s
2. Fall: Das Boot fährt gegen die
Strömung:
#»
vF
#»
v A1
m
v = vF + (−vB ) = −1 .
s
#»
vB
E2
Beachte die Orientierung bezüglich
#»
v F , die sich im Minuszeichen ausdrückt.
3. Fall: Das Boot fährt wie vorher gegen die Strömung ; allerdings
betrage die Strömungsgeschwindigkeit jetzt 5 ms .
v = vF + (−vB ) = 1
#»
vF
A1
#»
v
E2
#»
vB
m
.
s
Es wird deutlich, dass man in allen drei Fällen den Ergebnisvektor #»
v = #»
v F + #»
v B dadurch erhält, indem man einen Vektor vom Anfangspunkt A1 des ersten Vektors bis
zum Endpunkt E2 des zweiten Vektors zeichnet. Dabei muss man die Vektoren so aneinanderhängen, dass der Endpunkt des ersten auf dem Anfangspunkt des zweiten liegt.
B
C
240 m
4. Fall: Der Fluss (blau gestrichelt) ist 240 m breit.
Das Boot (vB = 8 ms ) startet in A und fährt senkrecht
zur Strömungsrichtung über den Fluss (vF = 5 ms ). Es
landet in C.
Wie lange dauert die Fahrt? Wie weit wird das Boot
abgetrieben? Berechne schließlich die Geschwindigkeit #»
v des Bootes (über Grund).
A
73
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Nach dem Unabhängigkeitsprinzip Satz 11 (S. 72) schalten wir zunächst die Strömung
aus und betrachten nur die Bewegung des Bootes. Die Zeit für die Überfahrt von A nach
B ergibt sich zu:
t=
s
240 m
=
= 30 s .
vB
8 ms
Nun schalten wir den Fluss wieder ein und lassen das Boot 30 s lang treiben. Damit
erhalten wir die Länge der Strecke BC zu:
m
· 30 s = 150 m .
s
Für die Berechnung des Geschwindigkeitsvektors #»
v des Bootes (über Grund) könnte
man elementar wie folgt vorgehen: da beide Bewegungen gleichzeitig ablaufen, dauert
die Fahrt von A nach C ebenfalls 30 s. Mit dem Satz des Pythagoras ermittelt man die
Streckenlänge AC und damit den Betrag v des Geschwindigkeitsvektors #»
v . Die Richtung
erhält man durch elementare Trigonometrie.
BC = vF · t = 5
Das Rechnen mit Vektoren bietet aber erhebliche Vorteile in der Darstellung.
Das Vektordiagramm rechts zeigt #»
v B und #»
v F maßm
#»
stäblich mit 1 Kästchen =
b 1 s mit ihrer gegenseitigen
vF
Richtung und Orientierung. Sie sind mit ihrem Endund Anfangspunkt aneinandergehängt. Der Summenvektor #»
v = #»
v B + #»
v F weist dann vom Anfang des
ersten bis zum Ende des zweiten Vektors (rot).a
a
#»
vB
Man erkennt an der Parallelogrammkonstruktion (Diagonale), dass es dabei nicht auf die Reihenfolge ankommt. Dies
ist gleichzeitig ein Hinweis auf das bei der Vektoraddition
gültige Kommutativgesetz:
#»
v 1 + #»
v 2 = #»
v 2 + #»
v1.
ϕ
(K)
#»
v
#»
vB
#»
vF
Für den Betrag v von #»
v erhält man nach dem Satz des Pythagoras:
v=
q
2 + v2 =
vB
F
s
m
8
s
2
m
+ 5
s
s
2
=
89
m2
m
= 9, 43 .
2
s
s
Die Richtung von #»
v beschreibt man in Bezug zu einer vorgegebenen Richtung. Eine
Angabe des Winkels ϕ genügt, da der andere Winkel durch 90◦ − ϕ berechnet werden
kann.3
tan ϕ =
3
5m
5
vF
= ms = ;
vB
8 s
8
Trigonometrie in 5 Minuten
74
5
8
arctan ϕ = arctan
= 32, 0◦ .
Näheres dazu in Abschnitt B.1 (S. 455) im Anhang.
2.1 Geschwindigkeit als Vektor
5. Fall: Zuletzt überquert das Boot den 240 m breiten Fluss von A nach B. Wie lange
dauert die Fahrt?
Gegeben sei wieder die Strömungsgeschwindigkeit des
Flusses vF = 5 ms und die des Bootes (in ruhendem
Wasser!) mit vB = 8 ms . Das Boot muss in einem bestimmten Winkel gegen die Strömung fahren, damit es
genau senkrecht zur Strömung in B am anderen Ufer
ankommen kann. In einem Vektordiagramm ergibt sich
der Sachverhalt wiederum sehr anschaulich.
In A trägt man #»
v F an und die Vorgaberichtung von A
nach B. Mit dem Zirkel zeichnet man um den Endpunkt
von #»
v F einen Kreis mit einem Radius, der im Maßstab
der Geschwindigkeit #»
v B entspricht (hier: 8 Kästchen).
# »
Der Schnittpunkt mit der Vorgaberichtung sei S. AS =
#»
v mit der Eigenschaft #»
v = #»
v F + #»
v B . Wir berechnen:
v=
q
2 − v2 =
vB
F
s
m
8
s
2
m
− 5
s
B
S
#»
vB
ϕ
b
A
s
2
=
#»
vB
#»
v
39
b
#»
vF
m2
m
= 6, 25 .
2
s
s
Das ist die Geschwindigkeit (über Grund), die für das Boot bei Geradeausfahrt tatsächlich übrig bleibt. Da der Fluss 240 m breit ist, beträgt die Dauer der Fahrt:
t=
s
240 m
=
= 38, 4 s .
v
6, 25 ms
Für den Winkel, den das Boot in Bezug zur Strömungsrichtung einnehmen muss, folgt:
cos ϕ =
vF
5
= ;
vB
8
ϕ = arccos
5
= 51, 32◦ .
8
Parallelogrammregel
Wir fassen die Erkenntnisse in einem Satz zusammen.
Satz 12. Vektorielle Größen werden addiert, indem
man
2. Der Summenvektor weist dann vom Anfang des
ersten bis zum Ende des zweiten Vektors.
2
+ #
v»
1
#»
v2
#»
v2
v#»
= #
v»
1. zunächst die Vektoren durch paralleles Verschieben so aneinanderhängt, so dass der Endpunkt
des ersten mit dem Anfangspunkt des zweiten zusammenfällt.
#»
v1
#»
v1
75
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Zerlegung eines Vektors in zwei vorgegebene Richtungen
Satz 13. Sind ein Vektor #»
v und zwei Richtungen gegeben, so kann man durch eine
Parallelogrammkonstruktion #»
v in die beiden Richtungen „zerlegen“. #»
v bildet in dem
Parallelogramm die Diagonale, so dass #»
v = #»
v 1 + #»
v 2 gilt.
B
A
# »
Man startet mit dem Vektor AB (1. Bild) und zwei vorgegebenen Richtungen (CD und
EF , blau; 2. Bild). Nun zeichnet man die Parallele C 0 D0 zu CD durch den Endpunkt
# »
von AB (3. Bild) und gleichermaßen die Parallele E 0 F 0 zu EF durch den Endpunkt von
# »
AB (4. Bild). Die sich ergebenden Parallelogrammpunkte B1 und B2 (5. Bild) sind die
# »
# »
Endpunkte der Vektoren AB1 und AB2 mit der Eigenschaft
# » # » # »
AB1 + AB2 = AB .
Vergleiche dazu noch einmal die Parallelogrammregel Satz 12 auf der vorherigen Seite.
2.1.3 Weitere Beispiele
Schwimmen im Fluss
Ein Schwimmer braucht für 300 m 8 Minuten in stehendem Wasser. Wie lange benötigt
er für dieselbe Strecke in langsam fließendem Wasser (0, 1 ms ), wenn er die halbe Strecke
mit der Strömung, die andere Hälfte gegen sie schwimmt?4
In jedem Fall handelt es sich um eine glf. Bewegung (s = v · t), da die Geschwindigkeit
konstant ist.
4
[17] 2.1.2.3.
76
2.1 Geschwindigkeit als Vektor
Mit der Strömung:
s
300 m
m
m
+ vF =
+ 0, 1
= 0, 725 ;
t0
8 · 60 s
s
s
s
150
m
= 207 s .
t1 = 2 =
v1
0, 725 ms
v1 = vS + vF =
Gegen die Strömung:
300 m
m
m
s
− vF =
− 0, 1
= 0, 525 ;
t0
8 · 60 s
s
s
s
150
m
t2 = 2 =
= 286 s .
v2
0, 525 ms
v2 = vS − vF =
Gesamtzeit:
t = t1 + t2 = 493 s = 8, 22 min = 8 min 13 s .
Es dauert länger. Auch in „nur langsam fließendem Wasser“ ist es keine Lösung, die zu
schwimmende Strecke zu halbieren. Die Wirkung der Strömung hebt sich nicht auf, da
bei konstanter Geschwindigkeit des Schwimmers die Hilfe durch die Strömung weniger
lange zur Verfügung steht als die Behinderung. Der Schwimmer hat nicht soviel von der
Hilfe, muss aber länger gegen die Strömung schwimmen.
Prinzipiell müsste man die Zeit halbieren, um die Strömung auszugleichen:
t0
m
= 0, 725 · 4 · 60 s = 174 m ;
2
s
t0
m
s2 = v2 ·
= 0, 525 · 4 · 60 s = 126 m ;
2
s
s1 + s2 = 174 m + 126 m = 300 m .
s1 = v1 ·
Bei einem Wettkampf kennt man aber erst nach dem Schwimmen die Zeit, die vorher
zum Festlegen der Strecken halbiert werden müsste.5
Noch einmal über den Fluss
Ein Schiff fährt über einen Fluss der Breite 300 m mit der Geschwindigkeit 12 ms senkrecht zur Strömungsrichtung des Flusses
(3 ms ). Ohne Strömung würde es bei A am anderen Ufer landen,
mit Strömung bei B. Wie weit sind A und B auseinander? Wie
lange dauert die Fahrt? Welche Strecke legt das Schiff zurück?
Wie groß ist seine Geschwindigkeit?
5
A
#»
vB
B
ϕ
S
#»
v
#»
vB
#»
vF
Ein analoges Problem stellt das Laufen mit Gegenwind bzw. Rückenwind dar. Das gilt auch für eine
Rundstrecke.
77
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Das (nicht maßstäbliche) Vektordiagramm liefert sofort die Geschwindigkeit des Bootes
unter Berücksichtigung der Strömung:
v=
q
vF2
+
2
vB
s
=
m
3
s
2
m
+ 12
s
2
=
√
153
m
m
= 12, 4 .
s
s
Für die Richtung rechnet man:
ϕ = arctan
3m
vF
= arctan sm = arctan 0, 25 = 14◦ .
vB
12 s
(2.1)
Nach dem Unabhängigkeitsprinzip (siehe Satz 11 (S. 72)) fährt das Boot ohne Strömung
nach A in der Zeit
t=
300 m
b
=
= 25 s ,
vB
12 ms
wobei b die Breite des Flusses bedeutet. Dies ist gleichzeitig die Dauer der Fahrt. In
dieser Zeit wird es abgetrieben um
AB = vF · t = 3
m
· 25 s = 75 m .
s
Aus dem Vektordiagramm für die Geschwindigkeit erhält man
ein Vektordiagramm für die Strecken, indem man die Geschwindigkeitsvektoren mit der skalaren Größe Zeit (t) multipliziert.
Grundsätzlich ändert sich am Erscheinungsbild des Diagramms
nichts, da die Streckenverhältnisse und damit die Winkel gleich
bleiben. Die Multiplikation mit t ändert auch die Einheit der
physikalischen Größen #»
v B , #»
v F und #»
v . Aus ms wird m.
# »
AB
A
#»
b
ϕ
B
#»
ℓ
S
Daher hat die Überfahrt die Länge
q
`=
2
b2 + AB =
q
(300 m)2 + (75 m)2 = 309 m ;
und die Richtung natürlich wie in Gleichung (2.1) auf dieser Seite:
AB
75 m
= arctan
= arctan 0, 25 = 14◦ ;
b
300 m
vF · t
vF
ϕ = arctan
= arctan
= 14◦ .
vB · t
vB
ϕ = arctan
Zusatz Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalar) ergibt einen
Vektor.
Sei λ 6= 0 eine reelle Zahl (Skalar) und #»
v ein Vektor (vektorielle Größe). #»
v 6= #»
o (Null-
78
2.1 Geschwindigkeit als Vektor
vektor). Dann ist λ · #»
v ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:
1. Die Richtung von λ · #»
v ist gleich der von #»
v.
2. Die Länge λ · #»
v ist das |λ|-fache der Länge von #»
v:
|λ · #»
v | = |λ| · | #»
v | = |λ| · v .
v stimmt mit der von #»
v über ein, falls λ > 0. Falls λ < 0,
3. Die Orientierung von λ · #»
so ist die Orientierung von λ · #»
v entgegengesetzt zu der von #»
v.
#»
#»
Für den ausgeschlossenen Fall λ = 0 oder v = o (Nullvektor), gilt folgender Satz (ohne
Beweis):
λ = 0 oder #»
v = #»
o ⇐⇒ λ · #»
v = #»
o.
#»
v
1, 5 · #»
v
−0, 5 · #»
v
Abbildung 2.1: Beispiele zur Multiplikation eines Vektors mit Skalaren
∆s
∆v
Anmerkung Wegen der Gleichungen v =
und a =
überträgt sich der Vektor∆t
∆t
charakter der physikalischen Größen aufeinander, da man die Gleichungen als Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar interpretieren kann:
1
#»
· ∆ #»
s;
v =
∆t
1
#»
a =
· ∆ #»
v.
∆t
Die Schreibweise scheint etwas irreführend, ist aber zunächst einmal der Definition der
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar geschuldet. Es wurde nur λ · #»
a definiert
#»
a
#»
und nicht a ·λ oder . In der physikalischen Praxis schreiben wir allerdings aus Gründen
λ
der Vereinfachung und weil es suggestiv ist:
∆ #»
s
#»
v =
;
∆t
∆ #»
v
#»
a =
.
∆t
Beachte: Es wurde die Addition von Vektoren und Multiplikation von Vektoren mit
Skalaren definiert. Eine Division von Vektoren gibt es nicht.
79
2 Mehrdimensionale Bewegungen
2.2 Wurfbewegungen
2.2.1 Der horizontale Wurf
Experiment Zur Einstimmung in den Problemkreis „Wurf“ nimmt man ein im Sportunterricht gerne verwendetes Wurfgerät (Schlüsselbund) und führt einige Male die Bahnkurve beim zunächst horizontalen Wurf vor, indem man den Schlüsselbund parallel zum
Erdboden wirft. Im Rahmen der Kinematik sind Fragen nach Kraft und Masse nicht
interessant. Es geht allein um die Bahnkurve und deren kinematische Parameter (Abhängigkeiten). Man stellt schnell fest, dass nur die Anfangsgeschwindigkeit v0x eine Rolle
für die Bahnkurve spielt und dass es sich bei ihr um eine Parabel handeln könnte. Immerhin ist aus dem täglichen Leben bekannt, dass man von Wurfparabeln spricht. Um
das in einem Experiment sichtbar zu machen, kann auf eine Schultafel (aus der Hand)
eine Parabel in einem Koordinatensystem gezeichnet werden.
Beispiel: y = 0, 1 ·
x2
(6 dm)2
: Mit x = 6 dm ist y = 0, 1 ·
= 3, 6 dm.
dm
dm
0
0
1
bc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
dm
bc
bc
bc
bc
2
bc
3
bc
4
5
6
bc
bc
7
8
bc
9
y
dm
Abbildung 2.2: Eine Parabel als Vorlage für den horizontalen Wurf
Nun wirft man den Schlüssel in Richtung der x-Achse und fragt die Beobachter, ob die
„Kurve passt“. Mit ein wenig Geschick lässt sich die Bahnkurve des Schlüssels durch
Veränderung des Betrages der Anfangsgeschwindigkeit mit der gezeichneten Parabel zur
Deckung bringen.
Bevor wir nun eine Messung dazu machen, wollen wir die Gleichung der Bahnkurve er-
80
2.2 Wurfbewegungen
mitteln. Dazu wählen wir als Koordinatenursprung P0 (0|0) die Stelle, an der der Schlüssel
horizontal abgeworfen wurde. Wir betrachten die Bewegung nach dem Unabhängigkeitsprinzip (siehe Satz 11 (S. 72)) einmal in x-Richtung und einmal in y-Richtung.
In x-Richtung: v0x = konst; also handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
In y-Richtung wirkt die konstante Fallbeschleunigung g; also handelt es sich hier um
eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Damit ergibt sich sofort eine sog. Parameterdarstellung für den horizontalen Wurf:6
x(t) = v0x · t ;
1
y(t) = · g · t2 .
2
Es läuft nun die gleiche Uhr für beide Vorgänge, also löst man die erste Gleichung nach
t auf und setzt sie in die zweite ein:
y=
1
1
· g · t2 = · g ·
2
2
x
v0x
2
=
1 g
· 2 · x2 .
2 v0x
Wir fassen das Ergebnis zusammen im
Satz 14. Es handelt sich beim horizontalen Wurf um eine parabelförmige Bahn. Die
Gleichung lautet (v0x = Anfangsgeschwindigkeit):
y(x) =
1 g
· 2 · x2
2 v0x
(2.2)
Die Gleichung für Abbildung 2.2 (s. links) lautete y = 0, 1 ·
der Gleichung (2.2), so folgt:
x2
. Vergleicht man das mit
dm
1 g
1
· 2 = 0, 1 ·
;
2 v0x
dm
Man stellt die Gleichung um:
2
v0x
=
6
9, 81 sm2 · 10−1 m
g · dm
m2
=
= 4, 91 2 ;
2 · 0, 1
2 · 0, 1
s
m
v0x = 2, 21 .
s
Oder tatsächlich als Parametergleichung geschrieben:
t 7−→ #»
r (t) =
x(t)
y(t)
=
v0x · t
1
· g · t2
2
Das bedeutet: jedem Zeitpunkt t ist genau ein Vektor #»
r (t) =
.
x(t)
zugeordnet, der die Koordinaten
y(t)
des Punktes P (x(t)|(y(t)) im Raum (z = 0) angibt, an dem sich der Körper dann befindet.
81
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Mit dieser Geschwindigkeit muss der Schlüssel also geworfen worden sein.
Anmerkung Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Abbildung 1.19 (S. 69) keine
Bahnkurve darstellt, sondern ein ts-Diagramm, also den Graph der Funktion t 7−→ s(t).
Die Bahnkurve in Abbildung 2.2 (S. 80) ist eine Menge von Punkten (x|y), hier sogar
eine Funktion x 7−→ y(x) = konst · x2 . 7
Man kann den horizontalen Wurf in Abbildung 2.2 auch in einem t #»
r -Diagramm darstellen. Dafür wird eine t-Achse und die xy-Ebene benötigt. Der Graph der Funktion ist
also dreidimensional. Die der Abbildung 2.3 zugrunde liegenden Funktionen lauten:
0
0
1
bc
bc
2
bc
3
bc
bc
bc
100
bc
bc
bc
2
150
200
t
ms
250
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
4
bc
3
bc
5
bc
bc
bc
4
bc
x
dm
1
50
6
y
dm
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Abbildung 2.3: Bahnkurve (rot), ty-Diagramm (grün) und t(x|y)-Diagramm (blau)
y(x) = 0, 1 ·
x2
;
dm
r
9, 81
t
t
m · = 22, 14723 · 10−3 dm ·
;
2
s
ms
1
t2
t2
y(t) = · g · t2 = 49, 05 dm · 2 = 49, 05 · 10−6 dm ·
.
2
s
ms2
x(t) = v0x · t =
7
Eine Menge von Paaren nennt man Relation. Eine Relation ist nicht notwendig eine Funktion. Betrachte dazu auch auch Abbildung 1.2 (S. 25).
82
2.2 Wurfbewegungen
2.2.2 Messung zum horizontalen Wurf
Man nehme eine Stahlkugel, eine Lichtschranke mit zugehöriger Uhr, eine Ablaufrille
zum Zielen (z. B. eine kleine optische Bank8 ), ein Blatt Kohlepapier, wenn es solches noch
gibt. Andernfalls reicht auch eine flache Schale9 , die dünn mit gleichmäßig verteiltem
Sand gefüllt ist.
Die Schale bzw. das Kohlepapier mit untergelegtem weißen Papier kommt an die Stelle
auf den Boden, an welcher der Aufschlag der Kugel zu erwarten ist. Das Papier wird mit
Klebefolie am Boden befestigt. Darauf wird das Kohlepapier gelegt und ebenfalls fixiert.
b
h
xmax
Abbildung 2.4: Skizze zum Versuchsaufbau zum horizontalen Wurf; die Kugel läuft in
dargestellter Weise durch die Lichtschranke. Die Bahnkurve ist im richtigen Verhältnis zur Neigung der Startrampe gezeichnet.
Die Kugel rollt mit Hilfe der mit der Hand gehaltenen leicht geneigten Ablaufrille auf
den Experimentiertisch, durch die Lichtschranke und über die Kante hinweg. In einiger
Entfernung von der Tischkante trifft die Kugel in die Schale oder auf das Kohlepapier und
hinterlässt auf diese Weise einen Eindruck im Sand oder einen Fleck auf dem Blatt. Auf
diese Weise kann die Wurfweite bestimmt werden. Es ist der Abstand vom Auftreffpunkt
der Kugel auf dem Boden und der senkrechten Projektion der Tischkante auf den Boden.
Zur Bestimmung dieses Punktes ist ein Lot erforderlich.
Messdaten10 von 10.1998:
• Tischhöhe: h = 0, 9 m;
• Kugeldurchmesser: d = 4, 1 cm.
• Gemessen werden die Verdunklungszeit tD an der Lichtschranke und die Wurfweite
xmax .
8
[21], Gerätebeschreibung 460 43
[21] Experimentierwanne, Gerätebeschreibung 666 6221
10
Leider ist das genaue Datum im Versuchsprotokoll nicht vermerkt worden.
9
83
2 Mehrdimensionale Bewegungen
• Aus der Verdunklungszeit tD und dem Durchmesser d der Kugel ermittelt man
d
, woraus sich zum Vergleich die Wurfweite
die Anfangsgeschwindigkeit v0x =
tD
xmax,ber mit der Bahnkurvengleichung (2.2) (S. 81) berechnen lässt.
tD
0,037 0,043 0,046
s
xmax
47,0
41,5
38,5
cm
xmax,ber
47,5
40,8
38,2
cm
Berechnungsbeispiel zur Wurfweite:
y(x) = h =
1 g
· 2 · x2max,ber ;
2 v0x
s
xmax,ber =
2
2 · h · v0x
=
g
v
u
u2 · h · d 2
t
tD
g
v
u
u
4,1 cm 2
u 2 · 0, 9 m · 0,037
s
=t
= 0, 475 m .
m
9, 81 s2
Obwohl die Messergebnisse im Bereich von nur 1 bis 2 % Fehler liegen, sollte man beachten, dass die Zeitmessung wegen des Quadrats kritisch ist. Sie hängt auch von einer
sauberen Justierung der Lichtschranke in Höhe der Äquatorlinie der Kugel ab.
Unkritisch ist die Längenmessung. Die Lage des Auftreffpunktes ist mit 1 % Fehler gut
zu bestimmen.
2.2.3 Horizontaler Wurf und Unabhängigkeitsprinzip
Man kann in einem netten Demonstrationsexperiment vorführen, dass die horizontale
gleichförmige Bewegung und der freie Fall tatsächlich voneinander unabhängig ablaufen.
Ähnlich wie im zuletzt dargestellten Experiment lässt man eine Kugel über eine Ablaufrille auf den Tisch über die Kante rollen. Genau an der Tischkante justiert man eine
Kontaktklappe11 , die den Stromkreis für einen Haltemagnet12 öffnet und eine weitere
Kugel freigibt. Diese wurde vorher in gleicher Höhe zur Tischoberkante justiert und fällt
gleichzeitig mit der Kugel, die vom Tisch rollt, nach unten.
Befindet sich die frei fallende Kugel in der Ebene der Parabel vom horizontalen Wurf,
dann treffen sich die beiden Kugeln immer – es sei denn sie erreichen vorher den Fußboden. Jedenfalls befinden sie sich stets in der gleichen Höhe.13
11
[21] Gerätebeschreibung 336 21
[21] Gerätebeschreibung 336 24 als Möglichkeit
13
Eine Alternative ist das Wurfgerät von Leybold. Siehe [21] Gerätenummer 336 55.
12
84
2.2 Wurfbewegungen
Abbildung 2.5: Ein Schüler hatte ein Handy-Video aufgenommen, aus dem ich zwei Bilder extrahiert habe. Links der Versuchsaufbau; rechts der Fall und horizontale Wurf der beiden Kugeln. Als helle Streifen sind die Bahnen der
beiden Kugeln erkennbar. (Kl. 11; Schj. 2009/10)
2.2.4 Berechnung der Anfangs- und Endgeschwindigkeit beim hor. Wurf
#»
v 0x
h
#»
v 0x
xmax
ϕ
#»
vy
#»
v
Bekannt seien zwei leicht zu messende Daten beim horizontalen Wurf:
• die Tischhöhe h = 0, 8 m und
• die Wurfweite xmax = 0, 9 m.
Berechne die Anfangsgeschwindigkeit v0x und die Endgeschwindigkeit #»
v.
Die zeichnerische und maßstäbliche Lösung ist in obenstehender Abbildung dargestellt.
85
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Die dazu notwendige Rechnung startet mit der Gleichung (2.2) (S. 81):
1 g
y(x) = · 2 · x2 =⇒ v0x =
2 v0x
s
g · x2
=
2·y
s
9, 81 sm2 · (0, 9 m)2
m
= 2, 23 .
2 · 0, 8 m
s
In y-Richtung handelt es sich um einen freien Fall. Daher gilt für die Momentangeschwindigkeit in y-Richtung nach (1.29) (S. 62):
vy (h) =
p
r
2·g·h=
2 · 9, 81
m
m
· 0, 8 m = 3, 96 .
s2
s
Für #»
v ermittelt man schließlich:
v=
q
m 2
m
+ 3, 96
s
s
m
3, 96 s
= arctan
= 60, 6◦ .
2, 23 ms
2 + v2 =
v0x
y
ϕ = arctan
vy
v0x
s
2, 23
2
= 4, 54
m
;
s
2.2.5 Der Wurf nach oben
Nicht „so ganz“ zweidimensional ist der Wurf nach oben. Allerdings dient die Betrachtung auch dem Verständnis der Vorgänge beim schiefen Wurf. Daher möchte ich auf
diese Ausführungen nicht verzichten.
Ein Körper wird senkrecht nach oben geschossen14 . Nach 40 s Steig- und Fallzeit trifft
er wieder an der Abschussstelle ein. Berechne (ohne Berücksichtigung der Einflüsse der
umgebenden Luft) die Steigzeit ts , die Steighöhe ymax , die Anfangsgeschwindigkeit v0y
und die Endgeschwindigkeit vE .
Zunächst spezialisieren wir die Gleichungen (1.23) (S. 55) und (1.17) (S. 45) für den
Wurf nach oben (s0 = 0):
1
y(t) = − · g · t2 + v0y · t
2
(2.3)
vy (t) = −g · t + v0y
(2.4)
Dabei beachten wir die unterschiedliche Orientierung der Vektoren #»
g und #»
v 0y zueinander: die Anfangsgeschwindigkeit ist nach oben, die Fallbeschleunigung nach unten
orientiert.15
14
Derzeit (2015/16) reichlich oft in brauchbarer Näherung beobachtbar bei der Abgabe von Schüssen in
die Luft von Kämpfern im irakisch/syrischen Gebiet. Es stellt sich allgemein die Frage, wie gefährlich
diese Handlungen für unbeteiligte zivile Beobachter werden können.
15
Wegen der Produkte mit geeigneten Potenzen der skalaren Größe t vergleichen wir tatsächlich stets
gleiche physikalische vektorielle Größen miteinander.
86
2.2 Wurfbewegungen
Die Steigzeit ts ist „natürlich“ aus Gründen der Symmetrie gleich der Fallzeit, also
ts = 20 s. Mir scheint das aber zu einfach zu sein, denn in Diskussionen mit Schülern
stellt man immer wieder fest, dass die Meinungen an dieser Stelle auseinandergehen.
Etliche halten die Fallzeit für kürzer, da „es schwerer sei“ nach oben zu kommen als sich
fallen zu lassen. Das geben allerdings die Gleichungen nicht her. Wir rechnen deshalb
mit möglichst einsichtigen Annahmen nach.
Offenbar ist die Geschwindigkeit ganz oben, also nach der Steigzeit Null16 :
vy (ts ) = −g · ts + v0y = 0 .
(2.5)
Offenbar ist der Körper nach der Steig- und Fallzeit tges = 40 s wieder unten:
1
0 = − · g · t2ges + v0y · tges ;
2
g · t2ges
9, 81 sm2 · 40 s
g · tges
m
v0y =
=
=
= 196 .
2 · tges
2
2
s
v0y =
g · tges
2
tges =
2 · v0y
g
Mit (2.5) ergibt sich sofort:
ts =
v0y
g · tges
tges
=
=
= 20 s .
g
2·g
2
Das Problem mit der eventuell unterschiedlichen Steig- und Fallzeit ist somit gelöst.
ts =
tges
v0y
=
2
g
Für die Steighöhe rechnet man:
1
ymax (ts ) = − · g · t2s + v0y · ts
2
1
v0y 2
v0y
+ v0y ·
=− ·g·
2
g
g
2
v
1 0y
= ·
2 g
1
g · tges 2 1
= ·
·
2
2
g
16
Ohne Dauer; es handelt sich um einen Zeitpunkt. Dies ist auch ein erwähnenswerter Aspekt innerhalb
dieser Betrachtung.
87
2 Mehrdimensionale Bewegungen
=
1
1
m
· g · t2ges = · 9, 81 2 · (40 s)2 = 1, 96 km .
8
8
s
Für die Geschwindigkeit nach Ablauf der 40 s Steig- und Fallzeit ergibt sich gemäß (2.4):
vy (tges ) = −g · tges + v0y = −g · tges +
g · tges
g · tges
=−
= −v0y .
2
2
Wir sehen, dass die Auftreffgeschwindigkeit betraglich gleich der Startgeschwindigkeit
ist. Lediglich die Orientierung ist unterschiedlich. Das heißt, der Körper kommt von oben
nach unten . . . „wie aus der Pistole geschossen“.
2.2.6 Der schiefe Wurf
Der schiefe Wurf17 stellt sich als Verallgemeinerung aus dem horizontalen Wurf und dem
Wurf nach oben dar. Durch einfache Handexperimente sieht man, dass die Bahnkurve
allein durch den Geschwindigkeitsvektor #»
v 0 zu Beginn der Bewegung bestimmt ist.
Nach dem Unabhängigkeitsprinzip (Satz 11 (S. 72)) kann man #»
v 0 zerlegen in die zuein#»
ander senkrechten Geschwindigkeitsvektoren in x-Richtung v und in y-Richtung #»
v ,
0x
0y
so dass gilt:
#»
v 0 = #»
v 0x + #»
v 0y
(2.6)
In x-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor mit den Gleichungen
x(t) = v0x · t ;
vx (t) = v0x = konst .
(2.7)
In y-Richtung handelt es sich um einen Wurf nach oben mit den
Gleichungen (2.3) und (2.4) (S. 86):
1
y(t) = − · g · t2 + v0y · t ;
2
vy (t) = −g · t + v0y .
(2.8)
#»
v 0y
#»
v0
ϕ
#»
v 0x
Bahnkurve
Man erhält die Gleichung der Bahnkurve durch Ersetzen der Variable t, denn für beide
Bewegungen läuft die gleiche Uhr:
1
1
y(t) = − · g · t2 + v0y = − · g ·
2
2
17
x
v0x
2
+ v0y ·
x
;
v0x
Das vorliegende Kapitel gehörte nicht zu den Standardunterrichtsinhalten, wurde aber vereinzelt mit
wechselnden Schwerpunkten durchgeführt. Zur Vertiefung ist es sicher zu empfehlen.
88
2.2 Wurfbewegungen
y(x) =
1 g
v0y
· x − · 2 · x2
v0x
2 v0x
(2.9)
Beispiel
Bevor eine allgemeine Betrachtung der Bewegung nur unter Verwendung von #»
v 0 erfolgt,
wollen wir an einem Beispiel die wesentlichen Größen, die im Zusammenhang mit dem
schiefen Wurf auftauchen, berechnen und auf diese Weise verständlich machen.
1. Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit 32 ms unter einem Winkel von 65◦
geworfen.18
a) Berechne die Gleichung der Bahnkurve der Bewegung.
Um die Bahnkurve gemäß Gleichung (2.9) zu ermitteln, benötigt man v0x und
v0y :19
v0x = v0 · cos ϕ ;
m
v0x = 32 · cos 65◦ ;
s
m
v0x = 13, 5 ;
s
v0y = v0 · sin ϕ ;
m
v0y = 32 · sin 65◦ ;
s
m
v0y = 29 .
s
(2.10)
Damit lautet die Gleichung:
9, 81 sm2
29 ms
1
2
·
x
−
·
·x ;
13, 5 ms
2 13, 5 m 2
s
0, 0269 2
y(x) = 2, 15 · x −
·x .
m
y(x) =
b) Zeichne die Wurfparabel in einem Koordinatensystem (KOS). Trage auch die
Vektoren #»
v 0x , #»
v 0y und #»
v 0 maßstäblich in das vorhandene KOS ein.
Siehe Abbildung 2.6 auf der nächsten Seite.
c) Bestimme die Wurfweite xmax , Wurfhöhe ymax und Flugdauer tges .
Für die Wurfweite berechnen wir die von Null verschiedene Nullstelle der
Bahngleichung (also xmax 6= 0):
0, 0269 2
· xmax ;
m
0, 0269
0 = xmax · 2, 15 −
· xmax ;
m
2, 15
m = 79, 93 m .
xmax =
0, 0269
0 = y(xmax ) = 2, 15 · xmax −
18
19
[17] 2.3.4.1.
Tipp: Trigonometrie in 5 Minuten im Anhang B.1 (S. 455).
89
2 Mehrdimensionale Bewegungen
y
m
ymax
S
b
ts
40
#»
v 0y
#»
v0
20
ϕ
0
b
0
#»
v 0x 20
40
xS
60
tges
80
xmax
x
m
Abbildung 2.6: S ist der Scheitel der Parabelbahn. ts bezeichnet die und tges heißt Flugdauer. Entsprechend nennt man xmax Wurfweite und ymax Wurfhöhe.
Die Flugdauer erhält man aus der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung
(Unabhängigkeitsprinzip):
x(tges ) = v0x · tges ;
x(tges )
79, 93 m
tges =
=
= 5, 92 s .
v0x
13, 5 ms
Entsprechend berechnet man die Wurfhöhe mit der Steigzeit ts =
1
2
· tges :20
21
1
ymax = y(ts ) = − · g · t2s + v0y · ts
2
m
5, 92 s 2
m 5, 92 s
1
+ 29 ·
= − · 9, 81 2 ·
2
s
2
s
2
= 42, 86 m .
Allgemeine Betrachtung zum schiefen Wurf
Es zeigt sich, dass zur Lösung der Aufgabe unterschiedliche Wege möglich sind. Man
kann sich aber auf eine einheitliche Strategie einlassen und gleichsam eine Menge an
Gleichungen (Formeln) entwickeln, um schneller an eine Lösung zu kommen.
20
21
Aus Symmetriegründen (Parabel) und wie in Abschnitt 2.2.5 (S. 86)
Eine Alternative bietet sich in der Bestimmung der Scheitelpunktform der Parabelgleichung [35].
90
2.2 Wurfbewegungen
Bahnkurve Wir starten wieder mit den bereits hergeleiteten Gleichungen (2.10) (S. 89)
v0x = v0 · cos ϕ sowie v0y = v0 · sin ϕ und (2.9):
v0y
1 g
· x − · 2 · x2 ;
v0x
2 v0x
v0 · sin ϕ
1
g
· x2 .
y(x) =
·x− ·
v0 · cos ϕ
2 (v0 · cos ϕ)2
y(x) =
Mit tan ϕ =
sin ϕ
(B.4) (S. 455) folgt:
cos ϕ
g
·x
2
2 · v0 · cos2 ϕ
y(x) = x · tan ϕ −
(2.11)
Wurfweite y(xmax ) = 0 mit xmax > 0; also ist
0 = tan ϕ −
xmax
2·
v02
g
· xmax ;
· cos2 ϕ
2 · v02 · cos2 ϕ ·
2 · v02 · cos2 ϕ · tan ϕ
=
=
g
g
sin ϕ
cos ϕ ϕ
=
2 · v02 · cos ϕ · sin ϕ
.
g
Benutzt man noch die Beziehung22 2 cos ϕ sin ϕ = sin 2ϕ, so folgt insgesamt:
xmax =
v02 · sin 2ϕ
g
(2.12)
Anmerkung Bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit (und am gleichen Ort) ist die Wurfweite maximal, wenn sin 2ϕ = 1, also wenn 2ϕ = 90◦ .
Satz 15. Die größte Wurfweite ergibt sich, wenn ein Körper unter dem Winkel ϕ = 45◦
geworfen wird. Sie beträgt
xmaxmax =
Flugdauer
fen Wurfs:
v02
g
(2.13)
Dazu benutzen wir eine der Gleichungen der Parameterdarstellung des schie-
x(tges ) = v0x · tges ;
xmax
x(tges )
tges =
=
v0x
v0 · cos ϕ
22
Siehe B.31 (S. 466)
91
2 Mehrdimensionale Bewegungen
v02 · sin 2ϕ
g · v0 · cos ϕ
v 2 · 2 cos ϕ sin ϕ
= 0
;
g · v0 · cos ϕ
=
tges =
2v0 · sin ϕ
g
(2.14)
Steigzeit
ts =
v0 · sin ϕ
1
· tges =
2
g
(2.15)
Scheitelpunkt und Wurfhöhe S(xS |yS ):
xS =
1
v 2 · sin 2ϕ
v 2 · sin ϕ cos ϕ
· xmax = 0
= 0
2
2g
g
g
yS = xS · tan ϕ −
· xS
2
2 · v0 · cos2 ϕ
v 2 · sin ϕ cos ϕ
·
= 0
g
=
sin ϕ
g
v02 · sin ϕ cos ϕ
−
·
cos ϕ 2 · v02 · cos2 ϕ
g
!
v02 · sin2 ϕ 1 v02 · sin2 ϕ
− ·
;
g
2
g
yS = ymax =
Beispiel
(2.16)
1 v02 · sin2 ϕ
·
2
g
(2.17)
Siehe Abschnitt 2.2.6 (S. 89).
Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit 32 ms unter einem Winkel
von 65◦ geworfen.
1. Berechne die Gleichung der Bahnkurve der Bewegung.
2. Zeichne die Wurfparabel in einem Koordinatensystem (KOS). Trage
auch die Vektoren #»
v 0x , #»
v 0y und #»
v 0 maßstäblich in das vorhandene
KOS ein.
3. Bestimme die Wurfweite xmax , Wurfhöhe ymax und Flugdauer tges .
Mit diesem Beispiel erhält man mit den oben hergeleiteten Formeln nachstehende Ergebnisse:
92
2.2 Wurfbewegungen
1.
9, 81 sm2
◦
(2.11) y(x) = x · tan 65 −
2 · 32 ms
2
32 ms
2
!
· cos2 65◦
·x
= x · 2, 14 −
0, 0268
·x
m
2. Siehe Abbildung 2.6 (S. 90).
3.
(2.12) xmax =
· sin (2 · 65◦ )
= 79, 96 m ;
9, 81 sm2
2
(2.17) ymax
(2.14)
tges
1 32 ms · sin2 65◦
= ·
= 42, 87 m ;
2
9, 81 sm2
2 · 32 ms · sin 65◦
= 5, 91 s .
=
9, 81 sm2
Anmerkung Bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit beträgt die größte Wurfweite,
die man erreichen könnte gemäß Satz 15 (S. 91):
2
xmaxmax
32 ms
=
= 104 m .
9, 81 sm2
Beispiel zum schiefen Wurf mit verschobenem Startpunkt
Aus einer EVA23 -Aufgabe:
Vom Dach eines 12 m hohen Hauses wird ein Stein steil nach oben geworfen. Dieser fällt
6, 4 s nach dem Abwurf in 32 m Entfernung auf den Erdboden.
1. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit und unter welchem Winkel wurde er abgeschleudert?
2. Mit welcher Endgeschwindigkeit und unter welchem Winkel fällt er auf?
Bei der Lösung der Aufgabe empfiehlt es sich, mit den Gleichungen (2.7) und (2.8) (S. 88)
anzufangen. In x-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor. In y-Richtung handelt
es sich um einen Wurf nach oben mit zusätzlicher Startmarke y0 = 12 m:24
x(t) = v0x · t ;
1
y(t) = − · g · t2 + v0y · t + y0 ;
2
23
24
vx (t) = v0x = konst .
vy (t) = −g · t + v0y .
Eigenverantwortliches Arbeiten; auf Deutsch: für einen Vertretungsunterricht (14.12.2006)
Siehe (2.3) und (2.4) (S. 86).
93
.
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Aus den in der Aufgabenstellung gegebenen Daten kann gefolgert werden:
32 m = v0x · 6, 4 s ;
v0x =
1
y(t) = − · g · t2 + v0y · t + 12 m ;
2
Allgemein gilt t =
32 m
m
=5
= konst .
6, 4 s
s
vy (t) = −g · t + v0y .
x(t)
; das setzen wir ein:
v0x
x 2
x
1
+ v0y ·
+ 12 m ;
y(x) = − · g ·
2
v0x
v0x
v0y
g
2
y(32 m) = −
· 32 m + 12 m = 0 ;
2 · (32 m) + v
2 · v0x
0x
Aus der letzten Gleichung können wir v0y berechnen:
g
v0y
2
· 32 m =
2 · (32 m) − 12 m
v0x
2 · v0x
g · v0x (32 m)2 12 m
2 · 32 m − 32 m · v0x
2 · v0x
9, 81 sm2
m
m
12
·5
= 29, 5
=
· 32 m −
2 · 5 ms
32
s
s
v0y =
Damit wären v0 , ϕ und die Bahngleichung y(x) bekannt:
v0 =
q
2
v0x
+
2
v0y
ϕ1 = arctan
s
=
29, 5
5
m
5
s
2
m
+ 29, 5
s
2
= 29, 9
m
;
s
= 80, 4◦ ;
!2
1
x
m
m x
y(x) = − · 9, 81 2 ·
+ 29, 5 · m + 12 m ;
2
s
5 ms
s 5 s
0, 196 2
y(x) = −
· x + 5, 90 · x + 12 m .
m
Nullstellen und Scheitelpunkt25 lassen sich aus der letzten Gleichung ermitteln.
Zur Berechnung der Endgeschwindigkeit und des Auftreffwinkels benötigt man vy (t) für
t = 6, 4 s. Dies kann mit der Gleichung vy (t) = −g · t + v0y erreicht werden:26
vy (6, 4 s) = −9, 81
25
26
Siehe [35].
Siehe (2.8) (S. 88).
94
m
m
m
· 6, 4 s + 29, 5
= −33, 3 ;
2
s
s
s
2.2 Wurfbewegungen
y
m
b
S(15, 05|56, 40)
50
40
#»
v 0y
#»
v 0x
#»
v0
ϕ2
30
20
ϕ1
y0 = 12 m
10
#»
v 0x
#»
v y (t)
#»
v (t)
b
b
−10 xN2 = −1.912 m
10
20
xN1 = 32, 01 m
x
m
30
Abbildung 2.7: Wurfparabel zur aktuellen Aufgabe
s
m 2
m 2
m
v(6, 4 s) =
+
=
−33, 3
+ 5
= 33, 7 ;
s
s
s
vy (t)
−33, 3
= arctan
= −81, 5◦ .
ϕ2 = arctan
v0x
5
q
vy2 (t)
2
v0x
Messung zum schiefen Wurf 1
Betrachte Abbildung 2.8 auf der nächsten Seite. Es handelt sich um den Scan eines originalen Streifenausdrucks. Man kann die angegebenen Daten mit den von uns hergeleiteten
(allgemeinen) Formeln vergleichen.
95
2 Mehrdimensionale Bewegungen
~UriBOLDTGYMNASiUM
EXPERIMENTE
SOLINGE:N
EUM SCHIEFEN
PHYSIK
WURF
('-.
. PHAEL TOBI~S ERMITTELTE AM
JANUAR 1986 UM 11.23 UHR
FOLGENDE WERTE:.
ABSCHUSSWINKEL:
45 GRAD
ANFANGSGE$CHWINDIGKEIT:
2.57 METER PRO SEKUNDE BEW.
9.252 KILOMETER PRO STUNDE
WURFWEITE: 68 CM
THEORETISCH HAETTE SICH EINE WURFWEITE
lJON 67. 25 CM ERGEBEN M UESSEN
OAS IST EINE DIFFERENE 1
vON
1,1163 PRO~ENT
'
DESWEITEREN WU~E ERRECHNET:
WURFHOEHE: 16.81 CM
FLUG2EIT: .3703 SEKUNDEN
25.
.
,~
I
PHYSIK DANKT FUER IHR INTERESSE
f'ROGRAM/1 "SCHIEF'!:R
WURF * IST EINE PRODUKTlOl'HlER
!-ltI-SOFTWARE
D~
AI1""'SSUNG f\N,DEM Sl<ARP f1l-700:
HEICO HOI1BURG
'lYSOP'
'1XEL iOIl!-A5.
HEIKO EWERT. HEICO HOf1BURG
rc i HH '86
Abbildung 2.8: Messung zum schiefen Wurf am 25.01.1986 (Tag der offenen Türe:
„Kunststückchen“); Messung und Auswertung mit dem programmierbaren Rechner Sharp MZ-700
(2.12) xmax =
2, 57 ms
2
· sin (2 · 45◦ )
= 0, 6733 m ;
9, 81 sm2
2
(2.17) ymax
(2.14)
tges
1 2, 57 ms · sin2 45◦
= ·
= 0, 1683 m ;
2
9, 81 sm2
2 · 2, 57 ms · sin 45◦
= 0, 3705 s .
=
9, 81 sm2
Messung zum schiefen Wurf 2
In einer Messreihe mit dem Wurfgerät der Firma PHYWE (siehe Abbildung rechts)
wurde am 15.09.1993 mit einer Kugel von D = 2 cm Durchmesser die Wurfweite in
Abhängigkeit vom Abwurfwinkel ϕ gemessen. Die zum Vergleich mit den berechneten
96
2.2 Wurfbewegungen
Werten erforderliche Anfangsgeschwindigkeit v0 wurde durch die Verdunklungszeit tD
an einer Lichtschranke bestimmt. In der nachfolgenden Tabelle sind die Messdaten und
die theoretischen Daten zum Vergleich aufgeführt.
ϕ
tD
ms
15◦
20◦
25◦
30◦
35◦
40◦
45◦
50◦
55◦
60◦
65◦
70◦
75◦
80◦
9,564
9,603
9,729
9,681
9,732
9,908
9,832
10,070
9,836
9,981
10,000
10,267
10,057
10,457
xmax
cm
gemessen
24,5
29,0
33,8
39,5
43,2
43,3
44,7
42,1
42,0
38,5
32,7
26,3
21,2
14,4
xmax
cm
berechnet
22,29
28,42
33,00
37,68
40,46
40,90
42,18
39,60
39,60
35,45
31,24
24,86
20,16
12,75
Wurfgerät von Phywe 11221.00
Foto: Axel Tobias
Berechnungsbeispiel:
2 cm
1. v0 =
.
tD
2. Für die Wurfweite gilt (siehe (2.12) (S. 91)) etwa für ϕ = 15◦ :
xmax =
v02
· sin 2ϕ
=
g
2 cm
9,564 ms
2
· sin (2 · 15◦ )
= 0, 223 m = 22, 3 cm .
9, 81 sm2
Diese Daten sind als rote Punkte in Abbildung 2.9 auf der nächsten Seite eingezeichnet.
2 cm
3. Mit dem Mittelwert 9, 91 ms aus allen Zeitmessungen erhält man: v0 =
=
9, 91 ms
m
2, 02 . Damit wurde die Funktion
s
2
2, 02 ms
v 2 · sin 2ϕ
xmax (ϕ) = 0
=
g
9, 81 sm2
· sin 2ϕ = 41, 6 cm · sin 2ϕ
gezeichnet: Abbildung 2.9 rot gestrichelt.
Ich hatte erwartet, dass die letztgenannte Kurve die Messdaten in richtiger Weise
reproduziert. Offenbar liegt aber noch ein systematischer Fehler vor. Die mit der
Anfangsgeschwindigkeit berechneten Werte der Wurfweite sind im Prinzip alle zu
97
2 Mehrdimensionale Bewegungen
klein. Gründe dafür vermag ich nach der langen Zeit nicht mehr zu nennen.
Wendet man lineare Regression auf die Funktion xmax (ϕ) = konst · sin 2ϕ an, so
ergibt sich (R2 = 0, 9834):
y = 44, 8 · x − 0, 467 ;
xmax (ϕ) = 44, 8 cm · sin 2ϕ − 0, 467 cm .
Diese Funktion ist in Abbildung 2.9 rot durchgezogen gezeichnet.
xmax
cm
bc
bc
bc
40
tD
ms
bc
bc
20
bc
bc
bc
30
bc
bc
bc
bc
20
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
10
bc
bc
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
ϕ
◦
Abbildung 2.9: Rot: gemessene und berechnete Wurfweiten (gestrichelt) zum schiefen
Wurf; blau: Verlauf der Verdunklungszeit in Abhängigkeit vom Winkel
4. In der vorstehenden Abbildung 2.9 wird eine weitere Problematik erkennbar: die
Verdunklungszeit steigt bei wachsendem Winkel im Mittel leicht an. Dies kann auf
die durch die Abschussfeder zu produzierende Anfangsgeschwindigkeit zurückgeführt werden, die mit wachsendem Winkel etwas geringer wird. Die theoretische
Abhängigkeit der Wurfweite vom Winkel (rot gestrichelte Kurve) ist mit der mittleren Verdunklungszeit berechnet und eingezeichnet worden (Punkt 3 (S. 97)).
2.2.7 Nachtrag: Ausflusskurven aus einem löchrigen Gefäß
Zum Abschluss und als Nachtrag zum horizontalen Wurf möchte ich eine kleine Rechnung
zu einem Vorgang angeben, welchen ich in früheren Zeiten in einer Veröffentlichung
gelesen habe.
Ein zylindrisches Gefäß ist mit einer Flüssigkeit (Wasser) bis zur Höhe h0 gefüllt. Durch
einen Zu- und Überlauf kann der Flüssigkeitsstand zeitlich konstant gehalten werden
(h0 = konst). Bohrt man in das Gefäß ein Loch in der Höhe h (0 < h < h0 ), so
fließt die Flüssigkeit aus und bildet eine bestimmte Parabelbahn (horizontaler Wurf).
Bei konstantem Wasserstand ändert sich diese Parabel nicht. Die Aufgabe besteht nun
98
2.2 Wurfbewegungen
zunächst darin, die Gleichung der Bahnkurven in Abhängigkeit von h zu bestimmen.
Es kann benutzt werden, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen beim Austritt
am Fuße einer Flüssigkeitssäule der Höhe H genauso groß ist wie die eines aus der Höhe
H frei fallenden Körpers – siehe (1.29) (S. 62):
v0x =
p
2·g·H.
(2.18)
y
h0
h0 − h
h=
h0
2
h
xmax (h)
h0
x
Abbildung 2.10: Wasser fließt aus einem Loch in einem Gefäß.
Wir beziehen uns auf die Gleichung (2.2) (S. 81) und erhalten mit den von uns gewählten
Bezeichnungen für einen Wasserstrahl, der aus dem Gefäß in der Höhe h austritt:
1 g
y(x) = − · 2 · x2 + h
2 v0x
denn für x = 0 ist y = y0 = h und die Orientierung von y ist hier nach oben.
Für v0x schreiben wir im vorgegebenen Fall gemäß Gleichung (2.18):
v0x =
q
2 · g · (h0 − h) .
Die letzte Gleichung setzen wir ein und erhalten die Bahnkurvengleichung:
yh (x) = −
1
· x2 + h
4 · (h0 − h)
99
2 Mehrdimensionale Bewegungen
Die Funktionen yh (x) sind für h0 = 10 Einheiten die Graphen der Funktionen yh gezeichnet für h ∈ {0, 5; 2, 5; 5; 7, 5; 9, 5} in gleichen Einheiten.
Sehr interessant ist die Tatsache, dass die Parabelbahnen unabhängig von der Art der
Flüssigkeit und vom Ort sind (g kürzt sich heraus).27
Betrachtet man nun die Wurfweite des Flüssigkeitsstrahls, so überlegt man, dass ganz
oben die Geschwindigkeit sehr klein, die Wurfweite also klein ist. Mit geringer werdender
Höhe h steigt die Ausflussgeschwindigkeit und damit die Wurfweite an. Ganz unten in
der Nähe des Bodens ist die Möglichkeit, eine große Wurfweite zu erzielen, eben durch
diesen geringeren Abstand nicht mehr gegeben. Die Wurfweite ist wieder klein. Es wird
also eine bestimmte Höhe hmax geben, bei der die Wurfweite xmax besonders groß ist.
Diese Höhe ist zu bestimmen.
Die Wurfweite ist die (positive) Nullstelle der jeweiligen Parabel:
−
1
· x2 + h = 0
4 · (h0 − h) max
1
· x2 = −h
−
4 · (h0 − h) max
x2max (h) = 4 · h · (h0 − h)
xmax (h) =
q
4 · h · (h0 − h)
Am Verlauf von xmax (h) muss man jetzt den größten Wert heraussuchen. Man kann aber
auch den Verlauf von x2max (h) heranziehen, denn ein größter Wert einer Funktion bleibt
im Quadrat erhalten, da im betrachteten (positiven) Bereich die quadratische Funktion
streng monoton wachsend ist. Der Graph von x2max (h) = 4·h·(h0 − h) = −4h2 +4h0 h ist
eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen h0 und 0. Aus Symmetriegründen
liegt der Scheitel (der größte Wert) in der Mitte zwischen diesen beiden Werten. Daher
folgt:
hmax =
h0
2
Die Wurfweite ist genau dann maximal, wenn der Strahl in der halben Höhe aus dem
Gefäß austritt. Für die dann erreichte maximale Wurfweite gilt:
xmaxmax = xmax
h0
2
s
=
h0
h0
4·
· h0 −
2
2
= h0 .
Diese Situation ist in Abbildung 2.10 auf der vorherigen Seite rot eingezeichnet.
27
Auf dem Mond kann das Experiment allerdings wegen des fehlenden Atmosphärendrucks mit Flüssigkeiten nur in einer Raumstation durchgeführt werden.
100
3 Masse und Kraft
In den Physikbüchern1 für die Eingangsphase der gymnasialen Oberstufe (G9: Jgst. 11
oder G8: EF) findet keine strikte Trennung zwischen der Kinematik und der Dynamik
statt. Dass es möglich ist, ohne den Kraftbegriff auszukommen, wurde in den ersten beiden Kapiteln meiner Ausführungen dargelegt. Die in der Mittelstufe aufgebauten Begriffe
„Masse“ und „Kraft“ wurden nicht explizit eingesetzt oder gar definiert. Selbstverständlich ist auch in der „reinen“ Kinematik eine gewisse Vorstellung von diesen Begriffen
sinnvoll und auch zum allgemeinen Verständnis nützlich. Einen definierten Einsatz dieser Begriffe benötigt man allerdings nicht.
Im Folgenden soll untersucht werden, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit
Bewegungen gleichförmig oder gleichmäßig beschleunigt ablaufen. Der Abschnitt befasst
sich also mit der Dynamik als der Lehre von den Bewegungsursachen.
3.1 Definition der Masse eines Körpers
3.1.1 Vorbereitung der Gleiter
Mir erscheint der starke Rückgriff auf die Physik der Mittelstufe bezüglich der Begriffe
„Kraft“ und „Masse“ beim Eintritt in die Oberstufenphysik nicht schlüssig. Man verharrt
in einem undurchsichtigen Gemisch aus träger und schwerer Masse, Kraft als Gewichtskraft und Ursache für Bewegungs- oder Formänderungen. Schließlich wird unter alles ein
Strich gezogen und mit den Newtonschen Axiomen für „Klarheit“ gesorgt. Es wird jedoch nicht deutlich, dass der Kraftbegriff tatsächlich nur ein Konzept der Vereinfachung
ist, weil man statt einer Wechselwirkung nur noch einen Körper betrachten muss. In der
Tat ist es nämlich so, dass ein Körper allein keine Bewegungsänderung bewirken kann.2
Man benötigt stets einen anderen Körper, um eine Wechselwirkung hervorzurufen.
Da aus der täglichen Erfahrung bekannt ist, dass die „Materialmenge“ eines Körpers
Einfluss auf die Wirkung von Körpern aufeinander hat, soll in diesem Abschnitt die
Masse eines Körpers unabhängig vom Kraft- oder Gewichtskraftbegriff (Balkenwaage)
definiert werden.3 Um zu experimentell gesicherten Aussagen zu kommen, benutzen wir
1
Vergleiche dazu [7, S. 10 und S. 31] oder auch [11, S. 14 und S. 28]
Auch eine Rakete benötigt weitere Körper, nämlich die ausgestoßenen Gase, um sich fortbewegen zu
können. Einen Einblick in den Problemkreis vermittelt auch [1, S. 152–165].
3
Zur Einstimmung in die Problematik eignet sich eine Diskussion über das Bestimmen der Masse einer
100 g-Tafel Schokolade in der ISS.
2
101
3 Masse und Kraft
die Luftkissenfahrbahn mit zwei Lichtschranken4 L1 und L2 ( Abbildung 3.1) und zwei
Gleitern5 . Diese sollen genau gleich ausgestattet sein: beide mit einer Unterbrecherfahne
für die Lichtschranken, beide mit der zugehörigen Feder und der Prallplatte. Zu den
Gleitern gehören auch je zwei sogenannte Zusatzmassescheiben, die jede für sich einen
baugleichen Gleiter repräsentieren, denn für die Schule ist es nicht möglich, baugleiche
Gleiter in ausreichender Zahl zur Verfügung zu haben. Jede Zusatzmassescheibe stellt also im Prinzip einen weiteren Gleiter zur Verfügung.6 Auf diese Weise stehen 6 baugleiche
Körper zur Verfügung.7
✄
⊗
W1
W2
vorher
L1
W1
L1
L2
W2
nahher (′ )
L2
Abbildung 3.1: Die Papierfixierung wird abgebrannt (daher Abbrennversuch) und die
Gleiter können untereinander wechselwirken.
3.1.2 Der Abbrennversuch
Zur Durchführung des Experiments schiebt man auf der Fahrbahn zwei Gleiter zusammen, sodass die Feder etwas zusammengedrückt ist. Mit einem Streifen Papier (ca.
10 cm · 1, 5 cm) verbindet man beide Gleiter, indem man den Streifen auf zwei Dornen
drückt, die oben auf den Gleitern herausragen. Bei eingeschaltetem Gebläse kann man
erreichen, dass die gekoppelten Gleiter auf der Fahrbahn in Ruhe sind. In Abbildung 3.1
ist diese Situation mit „vorher“ gekennzeichnet.
Nun ist es nicht möglich, mit einer Schere (rotes Symbol) die Gleiter zu trennen, da
nur die Gleiter untereinander eine Wechselwirkung ausführen sollen und keine Einflüsse
von außen wirken sollen. Die Trennung kann man wie folgt erreichen: ein Metalldraht
4
[21] Gerätenummer 337 46
[21] Gerätenummer 337 55
6
Dass dies gilt, dafür hat der Hersteller gesorgt: die Zusatzmassescheiben haben die gleiche „Masse“,
also prinzipiell gleiche Materialart und -menge.
7
Es ist ja nicht „verboten“, sich außer der Reihe mit einer Waage von den in sehr guter Näherung
gleichen Massen (knapp 100 g) der Gleiter zu überzeugen. Der Fehler ist kleiner als 0,5 %.
5
102
3.1 Definition der Masse eines Körpers
(Symbol ⊗ in Abbildung 3.1) wird so mit geeignetem Stativmaterial ausgespannt, dass
er senkrecht zur Fahrbahn unterhalb des Papierstreifens verläuft. Der Papierstreifen
sollte auf dem Draht aufliegen, was auch dazu führt, dass die beiden Gleiter in Ruhe
sind. Durch Einschalten eines geeigneten el. Stroms glüht der Draht auf, die Papierbahn
verbrennt, reißt an dieser Stelle und gibt die Wirkung der Feder frei: Beide Gleiter fahren
auseinander (Abbildung 3.1 (s. links), unterer Teil). Die Verdunklungszeiten durch die
Unterbrecherfahnen ermöglichen eine Bestimmung der Geschwindigkeit der einzelnen
Gleiter.
Dieses Experiment nennen wir kurz Abbrennversuch.
3.1.3 Voraussetzungen für die Massendefinition
Man sollte sich vor Durchführung der Messung darüber klar werden, welche Vorstellungen in den zu definierenden Begriff „Masse eines Körpers“ investiert werden.
1. Alle Wagen8 , die verwendet werden, sind baugleich. Wir bemühen also die Vorstellung, dass Körper gleicher Materialmenge und -art gleiche Masse besitzen: Gleiche
Objekte teilen gleiche Eigenschaften.
2. Wir wollen die Massen der Wagen W1 und W2 verändern, indem wir sie vervielfachen. Wenn man also beispielsweise 2 Wagen koppelt, so soll ihnen die doppelte
Masse zukommen. Hier setzen wir also die Additivität der Masse voraus. Das Volumen ist z. B. nicht additiv, was man etwa beim Auflösen von Zucker in Obstsaft
zur Herstellung von Gelee gut beobachten kann: die Masse verdoppelt sich bei
Verwendung von Gelierzucker 1:1. Das Volumen vergrößert sich nicht im gleichen
Maße.
3.1.4 Ermittlung von Messdaten
Die Messdaten und auch Teile des Quelltextes dazu stammen aus einem mit LATEX
gesetzten Physik-Protokollheft eines Schülers der Jgst. 11.1.9
t1
ms
t2
ms
v10
v20
m
s
m
s
v10
v20
W1
W2
W2
W1
18,080
9,317
26,777
10,192
21,364
18,256
9,544
56,078
31,327
32,132
0,277
0,537
0,187
0,491
0,234
0,274
0,524
0,0892
0,160
0,156
1,01
1,02
2,09
3,07
1,50
1
1
1
1
2
1
1
2
3
3
1,00
1,00
2,00
3,00
1,50
8
In der Abbildung 3.1 (s. links) lauten die Bezeichnungen W1 (Wagen 1) und W2 (Wagen 2), da ich im
Unterricht statt von Gleitern in der Regel von Wagen gesprochen habe (auch ein Relikt aus der Zeit
der Rollenfahrbahnen). Das scheint mir auch der natürlichere Begriff zu sein.
9
Siehe [40]. Die Dateien wurden mir per E-Mail am 07.01.2010 um 18.33 Uhr zugestellt.
103
3 Masse und Kraft
Dabei bedeuten ti die Verdunklungszeiten der Wagen Wi an den zugehörigen Lichtschranken (für i ∈ {1; 2}), vi0 die mit der Fahnenbreite 5 mm berechnete Geschwindigkeit
der Wagen Wi nach dem Abbrennen (daher 0 ) und der Eintrag W2 = 3 z. B. die Anzahl
der gekoppelten Wagen – im Experiment aus den obengenannten praktischen Gründen
1 Wagen mit 2 aufgelegten Zusatzmassescheiben.
Messwerte des Parallelkurses:
t1
ms
t2
ms
v10
v20
m
s
11,167
15,779
34,522
45,281
34,166
11,509
16,317
17,688
15,603
23,159
0,448
0,317
0,145
0,110
0,146
m
s
v10
v20
W1
W2
W2
W1
0,434
0,306
0,283
0,320
0,216
1,031
1,034
0,512
0,345
0,678
1
1
2
3
3
1
1
1
1
2
1,000
1,000
0,500
0,333
0,667
Aus der Messreihe ergibt sich die Möglichkeit der nachstehenden Definition der Masse.
3.1.5 Die Masse eines Körpers
Def. 10. Für die Masse m eines Körpers definieren wir:
1. Gleichheit Zwei Körper besitzen die gleiche Masse, wenn das Geschwindigkeitsverhältnis im Abbrennversuch (siehe 3.1 (S. 102)) 1 beträgt, die Geschwindigkeiten
also gleich sind:
m1 = m2 ⇐⇒ v10 = v20
(3.1)
2. Vielfachheit Ein Körper besitzt die n-fache Masse wie ein zweiter Körper, wenn
im Abbrennversuch für das Geschwindigkeitsverhältnis gilt:
m1
v0
1
= n ⇐⇒ 10 =
m2
v2
n
(3.2)
3. Einheit Die Einheit der Masse ist das (aus historischen Gründen) in Paris aufbewahrte Urkilogramm.10 11 Daher folgt:
SI-Grundeinheit der Masse ist das Kilogramm:
[m] = 1 kg
(3.3)
Anmerkung Statt Grundeinheit verwendet das SI-System den Begriff Basiseinheit [18, S. 2].
10
11
[18, S. 3]
Das entspricht etwa der Masse von 10 Wagen des oben beschriebenen Experiments. Es war ursprünglich
gedacht als die Masse von 1 ` = 1 dm3 Wasser (von 4◦ C) [18, S. 22].
104
3.2 Impulserhaltung
3.1.6 Ergänzung: Weitere SI-Grundeinheiten
Länge
In Paris befindet sich auch das sogenannte Urmeter, auf dem zwei Markierungen den
Abstand 1 m als Grundeinheit für die Längenmessung repräsentieren. Kurz: 1 m ist der
Abstand zweier Striche auf dem Urmeter.
Def. 11. Für die Länge ` definieren wir:
SI-Grundeinheit der Länge ist das Meter:
[`] = 1 m
(3.4)
Eine jetzt gültige Definition der Länge durch ein Vielfaches einer festgelegten Lichtwellenlänge kann an dieser Stelle des Physiklehrgangs noch nicht sinnvoll erklärt werden.
Im Übrigen ist die neuere Definition so getroffen worden, dass die alte Einheit im Prinzip
weiter Bestand haben kann [18, S. 3].
Es war ursprünglich gedacht, die Einheit 1 m so zu definieren, dass ein Viertel des Erdumfangs am Äquator gerade 107 m ergeben. Kein Wunder, dass die Erde einen Umfang
von etwa 40 000 km = 4 · 107 m hat.
Zeit
Rechnet man die Dauer eines Tages in Sekunden aus, so gilt:
1 d = 24 h = 24 · 60 min = 24 · 60 · 60 s = 86 400 s .
Eine Sekunde stellte also die Zeitspanne dar, dass ein sogenannter mittlerer Sonnentag
gerade 86 400 s dauerte [18, S. 3].
Def. 12. Für die Zeit t definieren wir:
SI-Grundeinheit der Zeit ist die Sekunde:
[t] = 1 s
(3.5)
Heute benutzt man Atomuhren. Hier werden die Schwingungen bei Licht, welches von
Caesiumatomen ausgestrahlt wird, gezählt. Nach dem Erreichen einer festgelegten Anzahl ist 1 s vergangen. Auch hier wurde die Anzahl der Schwingungen so festgelegt, dass
die ursprüngliche Definition von 1 s im Wesentlichen erhalten geblieben ist.
3.2 Impulserhaltung
3.2.1 Impuls
Nachdem wir also die Masse unabhängig von Waage, Balkenwaage allein mit Maßstab
(Längenmessung) und Stoppuhr (Zeitmessung) bestimmt haben, stellt sich die Frage
105
3 Masse und Kraft
nach den physikalischen Gesetzen, die eine solche Massenbestimmung überhaupt möglich
machen. Ferner möchten wir schließlich auch die Masse eines Koffers (umgangssprachlich:
das Gewicht eines Koffers) für die Flugreise einfach mit einer Kofferwaage12 bestimmen
können, ohne immer eine Fahrbahn aufbauen zu müssen.
Dazu gehen wir folgendermaßen vor: Wir erweitern das durchgeführte Experiment (Abbrennversuch; siehe 3.1 (S. 102)) durch geschickte gedankliche Verallgemeinerungen
(Theorie) zu einer Aussage, die zunächst als Hypothese im Raum steht. In nachfolgenden Experimenten wird die Hypothese überprüft, sodass man auf diese Weise eine
gültige physikalische Aussage erhält.
Wir beginnen also mit den zur Definition der Masse verwendeten experimentellen Ergebnissen (3.1) und (3.2) (S. 104), d. h. mit der Gleichung
m1
v0
= 20
m2
v1
Wir sortieren die Gleichung nach dem Index – also nach Körper 1 und Körper 2:
m1 · v10 = m2 · v20
(3.6)
Offenbar spielt für jeden Körper das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eine besondere Rolle.
Def. 13. Unter dem Impuls eines Körpers versteht man die Größe
#»
p = m · #»
v
Einheit:
[p] =
kgm
s
(3.7)
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe. Die Masse ist ein Skalar 13 . Das Produkt
eines Vektors mit einem Skalar ergibt einen Vektor (siehe Abschnitt 2.1.3). Somit ist der
Impuls eine vektorielle Größe.
Beispiel Wir bestimmen zum einen den Impuls einer Gewehrkugel mit 400 ms Geschwindigkeit und 40 g Masse und vergleichen das mit einem Auto von 1 200 kg Masse,
welches auf einer Autobahn mit der Richtgeschwindigkeit 130 km
h fährt.
m
kgm
= 16
;
s
s
km
1000 m
kgm
p2 = 1 200 kg · 130
= 1 200 kg · 130
= 43, 3 · 103
.
h
3600 s
s
p1 = 40 g · 400
12
13
http://kofferwaagen-test.de/; besucht am 24.01.2017
m stellt ja im Prinzip die Anzahl von Wagen im Abbrennversuch (siehe 3.1 (S. 102)) dar.
106
3.2 Impulserhaltung
3.2.2 Impulserhaltungssatz
Wir setzen die Betrachtung ab Gleichung (3.6) unter Verwendung des Impulsbegriffes
(Definition 13 (s. links)) fort.
Für den Gesamtimpuls pges bzw. p0ges ergibt sich:
Nach dem Abbrennen gilt:
p0ges = m1 · v10 − m2 · v20 = 0 .
(3.8)
Vor dem Abbrennen gilt (v1 = v2 = 0):
pges = m1 · v1 + m2 · v2 = 0 .
Als Ergebnis können wir schreiben:
pges = p0ges
(3.9)
Schließlich berücksichtigen wir noch, dass der Impuls eine vektorielle Größe ist. Dabei
beachte man, dass das Minuszeichen in Gleichung (3.8) die Orientierung von v20 in Bezug
zu v10 angibt. In der Vektorschreibweise gehört diese Information zum Vektor selbst:
#»
v 2 = m1 · #»
v 01 + m2 · #»
v 02 ;
#»
p 2 = #»
p 01 + #»
p 02 ;
#»
p
= #»
p0 .
m1 · #»
v 1 + m2 ·
#»
p +
1
ges
ges
Offenbar ändert sich der Gesamtimpuls zwischen zwei Zuständen nicht, wenn man nicht
von außen in die Bewegung eingreift; umgangssprachlich: „dran rumfummeln“ verboten.
Ein System, welches frei von äußeren Wechselwirkungen ist, nennt man abgeschlossenes
System. Hier gilt der Impulserhaltungssatz
Satz 16. In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls zu jedem Zeitpunkt
gleich groß.
#»
p ges = konst
(3.10)
3.2.3 Experimente und Beispiele zum Impulserhaltungssatz
Unelastischer Stoß im Experiment
Die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes soll an einem speziellen Fall experimentell untersucht werden, dem sogenannten unelastischen Stoß.14 Auf der Fahrbahn werden zwei
14
Eine weitergehende Betrachtung im Zusammenhang mit dem elastischen Stoß kann an dieser Stelle
noch nicht erfolgen, da dazu der Energieerhaltungssatz benötigt wird (Abschnitt 4.4.1 (S. 142)).
107
3 Masse und Kraft
Wagen W1 und W2 mit den Massen m1 und m2 vorbereitet (Abbildung 3.2). Der zweite
Wagen ruht und der erste Wagen wird angestoßen. Eine Hülse, die mit Klebwachs gefüllt
ist, steckt im zweiten Wagen und eine Nadel im ersten.15 Trifft nun der erste Wagen auf
den ruhenden zweiten, so bleibt die Nadel im Wachs stecken und beide Wagen fahren
gemeinsam weiter. Die Geschwindigkeiten von W1 und den gekoppelten Wagen W1 + W2
bestimmt man wieder durch die Verdunklungszeit tD1 bzw. tD2 an zwei Lichtschranken
durch die 5 mm breiten Unterbrecherfahnen aus dem Zubehör zu den Wagen (Gleitern).
Damit lassen sich v1 und v10 ermitteln.
W1
W2
L1
vorher
L2
W1
L1
W2
nahher (′ )
L2
Abbildung 3.2: Unelastischer Stoß; typisch für einen Auffahrunfall, bei dem sich die Fahrzeuge ineinander verhaken.
Zum experimentellen Nachweis der Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes kann v10 auch
aus m1 , m2 und v1 berechnet werden. In der Tabelle erscheint dieser Wert in der Spalte,
0
die mit v1,ber
überschrieben ist.
m1
g
m2
g
tD1
ms
tD2
ms
v1
v10
0
v1,ber
m
s
m
s
m
s
97,5
197,2
296,1
296,1
100,0
100,0
100,0
199,5
11,94
11,16
7,92
21,70
24,53
16,98
10,59
36,84
0,419
0,448
0,631
0,230
0,204
0,294
0,472
0,136
0,207
0,297
0,472
0,138
rel. Fehler
1,4 %
0,9 %
-0,0 %
1,4 %
Die dazu benötigte Rechnung ergibt sich wie folgt: Man berechnet den Gesamtimpuls
vorher und nachher, wobei man berücksichtigt, dass v2 = 0 ist, da W2 vorher in Ruhe
ist. Nach dem Stoß fahren beide zusammen mit der gleichen Geschwindigkeit: v10 = v20 .
15
Beispiele zum elastischen Stoß findet man daher in Abschnitt 5.2 (S. 157).
[21] Zubehör zur Luftkissenfahrbahn 337 501: 1 Hülse mit Stecker und 1 Nadel mit Stecker
108
3.2 Impulserhaltung
Daher:
pges = m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v1 ;
p0ges = m1 · v10 + m2 · v20 = (m1 + m2 ) · v10 .
Nach dem Impulserhaltungssatz (Satz 16 (S. 107)) gilt: pges = p0ges :
m1 · v1 = (m1 + m2 ) · v10 ;
m1
v10 =
· v1 .
(m1 + m2 )
Beispielrechnung:
v10 =
5 mm
m
97, 5 g
·
= 0, 207 .
(97, 5 g + 100, 0 g) 11, 94 ms
s
Anmerkung Die Bestimmung der Massen von W1 und W2 erfolgte aus praktischen
Gründen selbstverständlich mit einer heutzutage in der Physik gängigen Digitalwaage.
Man erkennt aber, dass auch die mit Nadel und Hülse sowie Klebwachs ausgestatteten
Wagen recht genau 100 g Masse besitzen.
Unelastischer Stoß von Eisenbahnwagen
Drei zusammengekoppelte Eisenbahnwagen von je 20 t Masse16 stehen auf einem Gleis;
ein vierter von gleicher Masse fährt auf. Dabei rastet die Kupplung ein. Wie schnell
fuhr der auffahrende Wagen, wenn sie sich alle gemeinsam mit 1, 25 ms (reibungsfrei)
bewegen?17
pges = m4 · v4 ;
p0ges = 4 · m4 · v40 ;
m4 · v4 = 4 · m4 · v40
4 · m4 0
4 · 20 t
m
m
v4 =
· 1, 25
=5 .
· v4 =
m4
20 t
s
s
Es müssen also keine Eisenbahnwagen sein, da die gleiche Masse der einzelnen Stoßpartner im Verhältnis gerade wegfällt.
Unelastischer Stoß aus unterschiedlichen Richtungen
Ein Lieferwagen und ein Auto stoßen auf einer rechtwinkligen, vereisten18 Kreuzung zusammen und verhaken sich mit ihren Karosserien. Berechne ihre gemeinsame Geschwin16
Siehe [18, S. 14, 15]: 1 t = 1 000 kg = 1 Mg; die Verwendung von zusammengesetzten Vorsätzen ist
nicht zugelassen (z. B. 1 kkg für 1 t).
17
Siehe auch [7], S. 94, Aufg. 4
18
Also ein reichlich reibungsfreier Vorgang; das ist notwendig wegen der geforderten Wechselwirkungsfreiheit für das betrachtetet System der zwei Autos im Impulserhaltungssatz.
109
3 Masse und Kraft
digkeit #»
v 0 nach dem Zusammenprall.19
km
Daten zum Einsetzen: mL = 2, 1 t; vL = 39 km
h von S nach N; mA = 870 kg; vA = 53 h
von W nach O.
b
N
#»
p ges = #»
p L + #»
pA;
0
#»
p ges = (mL + mA ) · #»
v 0A ;
#»
pL
#»
p L + #»
p A = (mL + mA ) · #»
v 0A ;
1
#»
· ( #»
p L + #»
p A) ;
v 0A =
mL + mA
q
1
0
vA
=
· p2L + p2A ;
mL + mA
pL
.
tan ϕ =
pA
#»
pL
#»
p ges
ϕ
S
W
#»
pA
O
Maßstäbliche Zeichnung:
103 kgm
b 0, 15 cm
s =
Setzt man nun die Daten ein, so erhält man:
kgm
km
= 22, 8 · 103
;
h
s
kgm
km
= 12, 8 · 103
;
pA = mA · vA = 870 kg · 53
h
s
s
pL = mL · vL = 2, 1 t · 39
1
·
2, 1 t + 870 kg
km
0
vA
= 31, 7
;
h
22, 8 · 103
pL
tan ϕ =
=
pA
12, 8 · 103
0
vA
=
22, 8 · 103
kgm
s
kgm
s
kgm
s
2
+ 12, 8 · 103
kgm
s
2
;
= 1, 78 ;
ϕ = 60, 7◦ .
3.3 Die Newtonschen Axiome
3.3.1 Axiome in der Mathematik und klassischen Mechanik
• In der Mathematik erhält man durch logisches Schließen eine Menge von Sätzen
(wahre Aussagen). Nun muss man allerdings irgendwo anfangen, z. B. mit dem
üblichen Beginn von Aufgaben: „Sei . . . “ oder „Gegeben sei . . . “. Dabei sind Aufgaben ebenfalls Aussagen, die auf der Grundlage von anderen Aussagen getroffen
werden, die schon vorher als wahr nachgewiesen wurden.
In mathematischen Theorien versucht man nun, die Menge der Sätze in der Weise
zu ordnen, dass möglichst wenige Aussagen unbewiesen (aber hoffentlich einsich19
Siehe auch [7], S. 91
110
3.3 Die Newtonschen Axiome
tig) an den Anfang der Theorie gestellt werden, aus denen die anderen Sätze durch
logisches Schließen ermittelt werden können. Diese grundlegenden Aussagen nennt
man Axiome oder auch zusammenfassend Axiomensystem. Natürlich ist man
nicht ganz so frei, beliebige Aussagen an den Anfang zu stellen, denn es dürfen sich
keine Widersprüche ergeben, das Axiomensystem sollte alle Aussagen der mathematischen Theorie liefern und die Axiome dürfen sich nicht auseinander herleiten
lassen.20
• Newton21 formulierte 1687 in den Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 22 drei grundlegende Aussagen zur klassischen Mechanik, die sog. Newtonschen
Axiome, die im folgenden Teil des Lehrgangs dargestellt werden sollen. Dabei handelt es sich nicht um Axiome im mathematischen Sinn wie oben dargestellt, sondern um ganz grundsätzliche physikalische Aussagen, die eher den Charakter von
physikalischen Gesetzen haben, die durch Experimente – allerdings auch durch
Nachdenken – gefunden wurden und aus denen die wesentlichen Aussagen der
klassischen Mechanik herleitbar sind.
3.3.2 Der Trägheitssatz
Wir erinnern uns noch einmal an den Impulserhaltungssatz Satz 16 (S. 107): In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls zu jedem Zeitpunkt gleich groß:
#»
p ges = konst. Ein abgeschlossenes System ist ein System, welches frei von äußeren
Wechselwirkungen ist. Für dieses gilt #»
p = konst, also m · #»
v = konst und #»
v = konst.
Daher erhält man als Folgerung die Aussage:
Satz 17. 1. Newtonsches Axiom; Trägheitssatz
Ein wechselwirkungsfreier Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig oder nicht. NA1*
Ein wechselwirkungsfreier Körper bewegt sich also mit #»
a = #»
o , d. h. unbeschleunigt.
Anmerkung In diesem Zusammenhang muss man nach dem Bezugssystem23 fragen,
bezüglich dem die Bewegung des wechselwirkungsfreien Körpers angegeben wird. In der
Newtonschen Mechanik soll die Bewegung durch einen Beobachter beschrieben werden,
der selbst ein wechselwirkungsfreies System, ein sog. Inertialsystem darstellt. Man möge sich klarmachen, dass es eigentlich kein Inertialsystem gibt: Der Physikraum bewegt
sich mit der Erde um ihre Achse; die Erde kreist um die Sonne und so fort. Die Erde
und der Fixsternhimmel bedeuten nur näherungsweise ein Inertialsystem.24
20
Natürlich kann man ein Axiom durch eine äquivalente (gleichwertige) Aussage ersetzen, aber nur eine
der beiden Sätze gehört zum Axiomensystem.
21
Isaac Newton, 1643–1727, engl. Naturforscher; siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_
Newton, zuletzt besucht am 30.01.2017.
22
https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze, zuletzt besucht am 30.01.2017.
23
Siehe auch Abschnitt 1.1.2 (S. 23).
24
Kreisbewegungen sind beschleunigte Bewegungen; siehe dazu den Abschnitt 6.1.5 (S. 174).
111
3 Masse und Kraft
Einstein25 formuliert darüber hinaus im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie
1905, dass es kein ausgezeichnetes (globales) Inertialsystem gibt.
3.3.3 Die Grundgleichung der Mechanik und actio gleich reactio
Wechselwirkung zweier Körper; Impulsänderungsrate
Wir erinnern uns noch einmal an den Impulserhaltungssatz Satz 16 (S. 107), jetzt aber
in der Formulierung als Summe von Produkten aus Masse und Geschwindigkeit zu zwei
verschiedenen Zeitpunkten.
m1 · #»
v 1 + m2 · #»
v 2 = m1 · #»
v 01 + m2 · #»
v 02 .
Wir formen die Gleichung so um, dass auf der einen Seite die Daten des Körpers 1 und
auf der anderen Seite die des Körpers 2 stehen.
#»
v 01 = m2 · #»
v 02 − m2 · #»
v2;
0
#»
#»
#»0 1 v 1 = − m2 · v 2 − m2 · v 2 ;
∆ #»
p = −∆ #»
p .
m1 · #»
v 1 − m1 ·
#»
m · v −m ·
1
1
1
2
Durch Division mit ∆t erhält man die Impulsänderungsrate des ersten Körpers in
Bezug zum zweiten:
∆ #»
p1
∆ #»
p2
=−
∆t
∆t
NA3*
Die Impulsänderungsrate des einen Körpers ist stets gleich der entgegengesetzten des
zweiten Körpers.
Experiment Zum Verständnis dieses Sachverhaltes kann man zwei Wagen auf die
Luftkissenfahrbahn stellen, auf denen je ein kleiner Magnet festgemacht ist. Ein Wagen
soll in der Mitte stehen und den anderen Wagen erwarten, den man leicht angeschubst
hat. Sobald der erste Wagen in (abstoßender) magnetischer Reichweite ist, beginnt eine
Wechselwirkung derart, dass dieser langsamer wird, während der andere Wagen die Änderung des Impulses für sich zur Geschwindigkeitszunahme verwendet. Diesen Vorgang
beschreibt die Gleichung NA3*.
Konzept des Kraftbegriffes
Experiment Wir betrachten noch einmal die beiden gemäß Gleichung NA3* wechselwirkenden Wagen. Eine Impulsänderungsrate kann nur eintreten, wenn es Wechselwirkungspartner gibt, so dass der eine die Impulsänderung des anderen Wagens ermöglicht.
25
Albert Einstein, 1879–1955, theor. Physiker; siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Albert_
Einstein, zuletzt besucht am 30.01.2017.
112
3.3 Die Newtonschen Axiome
Versteckt man nun den zweiten Wagen hinter einem Vorhang, so beobachtet man nur
noch einen Wagen, dessen Geschwindigkeit abnimmt und sich vielleicht sogar umkehrt,
ohne dass man einen Grund für dieses Verhalten entdecken kann. Da man aber eine
Erklärung für die Impulsänderung angeben muss, formuliert man – so wie man das
gewöhnt ist: “Es muss eine Kraft gewirkt haben.“
Def. 14. 2. Newtonsches Axiom; Grundgleichung der Mechanik26
Unter der Kraft verstehen wir die Ursache für die Impulsänderungsrate eines Körpers:27
p
#» ∆ #»
F =
∆t
Einheit:
[F ] =
kgm def
=N
s2
NA2
Einheit der Kraft ist das Newton: 1 N.
Mit dem Kraftbegriff lässt sich der Begriff wechselwirkungsfreier Körper durch kräftefreier Körper ersetzen:
Satz 18. Ein wechselwirkungsfreier Körper bewegt sich kräftefrei.
Damit kann der Trägheitssatz (siehe Satz 17 (S. 111)) in der üblichen weise formuliert
werden:
Satz 19. 1. Newtonsches Axiom; Trägheitssatz
Ein kräftefreier Körper bewegt sich stets geradlinig gleichförmig oder nicht.
NA1
Und aus NA3* (s. links) erhält man die Aussage:
Satz 20. 3. Newtonsches Axiom; actio = reactio
Die Kraftwirkung zweier Körper aufeinander ist stets entgegengesetzt gleich:
#»
#»
F 1 = −F 2
NA3
3.3.4 Wichtige Spezialfälle des 2. Newtonschen Axioms mit Beispielen
1. Fall: Konstante Geschwindigkeit Aus Gleichung NA2 folgt, falls #»
v = konst:
p
∆ (m · #»
v)
∆m
#» ∆ #»
F =
=
= #»
v ·
.
∆t
∆t
∆t
(3.11)
Löschflugzeug Bei der Waldbrandbekämpfung aus der Luft wird Wasser fast im
Flug geschöpft. Sobald die Maschine die Wasseroberfläche streift, gibt der Pilot Gas,
26
27
Grundgleichung der Mechanik: siehe auch Satz 21 mit Gleichung (3.12) (S. 115).
Die Kraft ist mit dem Impuls eine vektorielle Größe, die mit der Zeit im Kehrwert als Skalar multi#»
1
pliziert wird: F = ∆t
· ∆ #»
p.
113
3 Masse und Kraft
um eine Geschwindigkeit von etwa 180 km
h beizubehalten. Zwei 1 566 kW-Motoren geben
jetzt fast ihre volle Leistung. In nur 12 s sind die Tanks mit 6 000 ` Wasser gefüllt. Das
Einziehen der Schöpfdorne reicht, um die auf vollen Touren laufende Maschine sofort
abheben zu lassen. Welche Kraft müssen die Motoren beim Schöpfen aufbringen?28
F =v·
∆m
km 6 000 kg
kgm
= 180
·
= 25 000 2 = 25 kN .
∆t
h
12 s
s
Rückstoß bei einem Gewehr Ein Geschoss der Masse 20 g verlässt den Lauf eines
Gewehrs der Masse 4 kg mit 800 ms Geschwindigkeit. Wie groß ist die Rückstoßgeschwindigkeit des Gewehrs? Welche Kraft hat der Schütze auszuhalten, wenn er den Rückstoß
in 0, 1 s abfängt?29
m
− 4 kg · v20 ;
s
20 g · 800 ms
m
v20 =
=4 .
4 kg
s
∆m
m 20 g
F =v·
= 800 ·
= 160 N .
∆t
s 0, 1 s
0 = pges = p0ges = 20 g · 800
Raketenantrieb I Beim Abbrennen einer Spielzeugrakete werden in 5 s etwa 10 g
Substanz ausgestoßen und die Schubkraft 1 N gemessen. Wie schnell strömen die Gase
aus?30
v=
F · ∆t
1N · 5s
m
=
= 500 .
∆m
10 g
s
Raketenantrieb II Aus der 1. Stufe der Saturn-V-Rakete strömen die Gase mit
7
4, 6 km
s aus und erzeugen die Schubkraft 3, 4·10 N während 2, 5 min. Berechne die Masse
der ausgestoßenen Gase.31
∆m =
F · ∆t
3, 4 · 107 N · 2, 5 min
=
= 1, 11 · 106 kg = 1 109 t .
km
v
4, 6 s
2. Fall: Konstante Masse Dieser Fall kommt sehr häufig vor. Daher findet sich dieser hauptsächlich in den Lehrbüchern und Formelsammlungen unter der Bezeichnung
Grundgleichung der Mechanik.
28
[7, S. 88]
[11, S. 99, A4]
30
[11, S. 99, A5a]
31
[11, S. 99, A5b]
29
114
3.3 Die Newtonschen Axiome
Aus Gleichung NA2 folgt, falls m = konst:32
p
∆ (m · #»
v)
∆ #»
v
#» ∆ #»
F =
=
=m·
= m · #»
a.
∆t
∆t
∆t
#»
Satz 21. Für den Zusammenhang zwischen der Kraft F auf einen Körper der (konstanten) Masse m und der daraus resultierenden Beschleunigung #»
a gilt:
#»
F = m · #»
a
(3.12)
Beachte: Kraft und Beschleunigung haben immer die gleiche Orientierung.
Gewichtskraft Jeder Körper wird mit der für den speziellen Ort geltenden Fallbeschleunigung g beschleunigt. Diese spezielle Kraft, mit der ein Körper von der Erde (und
anderen Himmelskörpern) angezogen wird, heißt Gewichtskraft.
#»
Satz 22. Für die Gewichtskraft F G eines Körpers der Masse m gilt:
#»
F G = m · #»
g
(3.13)
Für g = 9, 81 sm2 gilt:
FG = m · 9, 81
N
m
= m · 9, 81
.
2
s
kg
(3.14)
| {z }
Ortsfaktor
Balkenwaage zur statischen Massenbestimmung Aus der letzten Gleichung folgt
am gleichen Ort die Möglichkeit, durch Gewichtskraftvergleich die Masse von Körpern
zu ermitteln. Am einfachsten einsichtig ist hierbei die Verwendung einer Balkenwaage
mit Massensatz.
Hat man dies einmal eingerichtet, so besteht ferner die Möglichkeit, über die Verlängerung von Schraubenfedern die Gewichtskraft und proportional dazu auch die Masse von
Körpern zu bestimmen.
Ohne Gewichtskraftvergleich bzw. Messung der Gewichtskraft mit einem Kraftmesser
mit geeichter Schraubenfeder – z. B. in der Raumstation ISS – bleibt nur die dynamische
Massenbestimmung, die wir in Abschnitt 3.1 (S. 101) durchgeführt haben.
Kräfte und Beschleunigungen Ein Zug der Masse 700 t fährt mit der Beschleunigung
0, 15 sm2 an. Berechne die dazu erforderliche Kraft und vergleiche mit der Gewichtskraft
32
Zum Begriff Beschleunigung siehe Definition 8 (S. 45).
115
3 Masse und Kraft
des Zuges. Welche beschleunigende Kraft erfährt ein Fahrgast (90 kg)?33
m
0, 15
= 105 kN =
· FG = 1, 5 % · FG ;
2
s
9, 81
m
FG = m · g = 700 t · 9, 81 2 = 6, 87 · 103 kN .
s
m
FPers = mPers · a = 90 kg · 0, 15 2 = 13, 5 N .
s
F = m · a = 700 t · 0, 15
3.4 Experiment: Dynamische und statische Kraftmessung
An dieser Stelle ist es ganz sinnvoll, in einem Experiment Kräfte einerseits gemäß F =
m · a dynamisch zu messen und das Ergebnis in einer statischen Messung mit einem
Federkraftmesser zu vergleichen. Dazu kann man von Leybold den Düsengleiter34 für
die Luftkissenfahrbahn von Leybold verwenden. Dieser wird (ohne Gewichtskräfte) durch
einen Luftstrom aus der Fahrbahn angetrieben. Mit verschiedenen Düsenöffnungen lassen
sich unterschiedliche Schubkräfte erzeugen. Zur Bestimmung der Beschleunigung habe
ich seinerzeit 4 Lichtschranken35 und den LH-Digitalzähler36 verwendet.
Die statische Messung erfolgt mit der Kraftmesseinrichtung37 zum Düsengleiter.
Die nachstehenden Messdaten habe ich am 17.01.1989 ermittelt.
s
cm
t
s
0
24,5
43,7
66,6
85,5
0
24,5
43,7
66,6
85,5
0
4,44
5,92
7,35
8,4
0
5,6
7,4
9,15
10,4
a
cm
s2
Fdyn
mN
Fstat
mN
%CHG
2,5
2,49
2,49
2,47
2,42
2,49
2,50
2,47
2,43
1,56
1,60
1,59
1,58
1,57
1,60
1,59
1,58
0,4 %
0,0 %
1,2 %
3,0 %
2,0
27,7 %
25,1 %
25,5 %
26,3 %
Man startet den Düsengleiter an einem Haltemagnet an der Position 0 zugleich mit dem
Digitalzähler. Dieser besitzt dazu ein Relais.38 die vier anderen Lichtschranken werden
im Zähler programmiert und ihre Wegmarken s notiert. Nach dem Start durchläuft
33
[7, S. 33, A2]
[21], Gerätebeschreibung 337 56
35
[21], Gabellichtschranke; Gerätebeschreibung 337 46
36
[21], Gerätebeschreibung 575 40
37
[21], Gerätebeschreibung 337 59
38
Sollte das Relais prellen, kann ein Kondensator von ca. 1 µF parallel zu den Eingangsbuchsen des
Magnets geschaltet werden.
34
116
3.5 Vermischte Beispiele zur Dynamik
der Düsengleiter die Lichtschranken. Die zugehörigen Zeitmarken t kann man aus dem
Speicher des Geräts auslesen.
Nimmt man an, dass es sich um eine glm. beschl. Bewegung handelt – was letztlich
auch durch die Messdaten nachgewiesen wird, so erhält man die Beschleunigung aus
1
s = · a · t2 beispielhaft zu:
2
a=
2 · 24, 5 cm
2·s
cm
=
= 2, 49 2 ;
2
2
t
s
(4, 44 s)
Mit der Masse m = 100, 2 g des Düsengleiters erhält man:
Fdyn = m · a = 100, 2 g · 2, 49
cm
= 2, 45 mN .
s2
Zum Vergleich ergibt die statische Messung Fstat = 2, 5 mN. Dieses Ergebnis kann durchaus überzeugen.
In einer weiteren Messung habe ich eine andere Düse verwendet, die eine geringere konstante Beschleunigung hervorruft. Hier ist das Ergebnis der statischen Messung nicht
überzeugend. Weitergehende Gründe habe ich in meinen Unterlagen leider nicht vermerkt.
3.5 Vermischte Beispiele zur Dynamik
Die nachfolgenden Aufgaben gehören zu einer Übungsserie, mit der der aktuelle Abschnitt Dynamik/Masse und Kraft abgerundet werden soll.
Abbildung 3.3: Zu Aufgabe 1
1. Ein Wagen der Masse 552 g wird durch das Gewichtsstück G mit 10 g Masse (Abbildung 3.3) in 2, 82 s aus der Ruhelage 70 cm weit beschleunigt bewegt.39
39
[17] 2.4.1.12. Zeichnung: Daniela Tobias, 2000; photozeichen.de
117
3 Masse und Kraft
a) Berechne die Beschleunigung aus Weg und Zeit.
s=
cm
1
2·s
2 · 70 cm
= 17, 6 2 .
· a · t2 =⇒ a = 2 =
2
2
t
s
(2, 82 s)
b) Welche Beschleunigung erfährt der Wagen, wenn das Gewichtsstück die Masse
20 g hat?
F = m · a =⇒ a =
20 g · 9, 81 sm2
cm
F
=
= 34, 3 2 .
m
552 g + 20 g
s
c) Welche Beschleunigungen ergeben sich aus 1a und 1b, wenn man den Wagen
mit weiteren 500 g belastet?
10 g · 9, 81 sm2
F
=
= 9, 24
m
552 g + 10 g + 500 g
20 g · 9, 81 sm2
F
=
= 18, 3
a=
m
552 g + 20 g + 500 g
a=
cm
;
s2
cm
.
s2
d) Berechne aus 1a die Fallbeschleunigung.
mG · g = (mW + mG ) · a ;
mW + mG
g=
·a
mG
cm
m
552 g + 10 g
· 17, 6 2 = 9, 89 2 .
=
10 g
s
s
2. Auf der einen Seite einer Rolle, deren Masse vernachlässigt werden darf, hängt ein
Körper der Masse 202 g, auf der anderen Seite ein Körper der Masse 200 g.40
a) Berechne die Beschleunigung.
(m2 − m1 ) · g = (m1 + m2 ) · a ;
m2 − m1
2g
m
cm
a=
·g =
· 9, 81 2 = 4, 88 2 .
m1 + m2
402 g
s
s
b) Welcher Weg wird in 3 s zurückgelegt?
s=
1
1
cm
· a · t2 = · 4, 88 2 · (3 s)2 = 22, 0 cm .
2
2
s
3. In einem Testbericht41 über einen Kraftwagen ist angegeben: Der Bremsweg bei
40
[17] 2.4.1.13. Atwoodsche Fallmaschine; George Atwood 1745–1807, englischer Physiker. Man kann
das auch als Experiment nachstellen und die Beschleunigung messen.
41
[17] 2.4.1.15.
118
3.5 Vermischte Beispiele zur Dynamik
der Geschwindigkeit 30 km
h beträgt 7 m.
a) Berechne hieraus die mittlere Verzögerung.
Wir setzen eine glm. beschl. Bewegung an mit v = a · t:
s=
a=
1
1
· a · t2 = · a ·
2
2
v2
2·s
=
30 km
h
2
v
a
2
2 · 7m
=
=
v2
;
2·a
30 m
3,6 s
2
2 · 7m
= 4, 96
m
.
s2
b) Welche Kraft wirkt während des Bremsens auf eine Person von 70 kg?
F = m · a = 70 kg · 4, 96
4.
m
= 347 N .
s2
a) Wie groß muss die Abwärtsbeschleunigung eines Aufzuges sein, damit ein
Fahrgast 17 seiner Gewichtskraft „verliert“?
m·g−m·a=m·g−
1
1
1
m
m
· m · g =⇒ a = · g = · 9, 81 2 = 1, 40 2 .
7
7
7
s
s
b) Wieviel % seiner Gewichtskraft wird der Fahrgast schwerer bei einer Aufwärtsbeschleunigung von 150 cm
?
s2
m · g + m · a = m · g + α · m · g =⇒ α =
1, 50 sm2
a
=
= 0, 153 = 15, 3 % .
g
9, 81 sm2
5. Welche Kräfte wirken bei der Anordnung gemäß Abbildung 3.4? Die Masse des
Wirtshausschildes beträgt m = 48, 3 kg und der Winkel ist α = (CBA) = 51◦ .
Abbildung 3.4: Zu Aufgabe 5; Zeichnung: Daniela Tobias, 2000; photozeichen.de
Für die Zeichnung Abbildung 3.5 auf der nächsten Seite wählen wir den Maßstab
1 cm =
b 200 N.
119
3 Masse und Kraft
Die Gewichtskraft des Schildes beträgt FG = 48, 3 kg·9, 81 sm2 = 474 N. Damit zeich# »
#»
net man F G = CB 0 . In C an CB 0 trägt man den gegebenen Winkel (B 0 CB) = α
an (Wechselwinkel zu (CBA) in Abbildung 3.4 auf der vorherigen Seite). Dies
#»
ist die Richtung von F 2 . In C errichtet man die Senkrechte zu CB 0 . Dies ist die
#»
Richtung von F 1 . Man ergänzt die Figur zu einem Parallelogramm mit CB 0 als
Diagonale und erhält so geometrisch die gesuchten Vektoren.
#»
F1
C
#»
F2
B
C'
α
#»
FG
B'
Abbildung 3.5: Vektordiagramm zum Wirtshausschild
Eine Berechnung der Vektoren gestaltet sich wie folgt:
F1
= tan α =⇒ F1 = FG · tan α = 474 N · tan 51◦ = 585 N ;
FG
474 N
FG
FG
= cos α =⇒ F2 =
=
= 753 N .
F2
cos α
cos 51◦
#»
Die Orientierung ergibt sich so, dass F 1 in C (und damit in A (Abb. 3.4 auf der
#»
vorherigen Seite)) eine Zugkraft und F 2 in B eine Druckkraft ist.
6. Diese Aufgabe42 kann man mit etwas Geschick als Experiment nachbauen, um
die Wirkung der fallenden Gewichtsstücke eindrucksvoll zu demonstrieren. Der
A
B
C
⊗
m2
m1
D
m3
m1
Abbildung 3.6: Zu Aufgabe 6: m1 = 2, 1 kg, m2 = 2, 0 kg, m3 = 0, 1 kg
Hebel ABC in Abbildung 3.6 hat in B seine Drehachse. Welche Bewegung führt
der Hebel aus, wenn man den Faden bei D abbrennt? Welches Übergewicht müsste
42
[17] 2.4.1.22
120
3.5 Vermischte Beispiele zur Dynamik
man auflegen, um diese Bewegung zu verhindern? Wo müsste man das Übergewicht
auflegen?
Zunächst betrachten wir die Atwoodsche Fallmaschine43 nach dem Abbrennen:
(m1 + m2 ) · a = (m1 − m2 ) · g ;
2, 1 − 2, 0
m
m1 − m2
m
·g =
a=
· 9, 81 2 = 0, 239 2 .
m1 + m2
2, 1 + 2, 0
s
s
Kraft in A:
FA = m1 · (g − a) ;
Kraft in C:
FC = m1 · g ;
Offenbar ist:
#»
a
FA = m1 · g − m1 · a < m1 · g = FC .
#»
g
Der Hebel geht bei A nach oben. Man legt daher das
Übergewicht m · g in A auf. Für m gilt dann:
#»
g − #»
a
m · g + m1 · g − m1 · a = m1 · g ;
m · g = m1 · a ;
m = m1 ·
0, 239 sm2
a
= 2, 1 kg ·
= 51, 2 g ;
g
9, 81 sm2
m = m1 ·
m1 − m2
a
= m1 ·
.
g
m1 + m2
oder allgemein
7. Zum Abschluss noch ein Beispiel, welches die glf. beschl. Bewegung und den Antrieb über die Gewichtskraft untersucht.44
Ein Fahrbahnwagen (m1 = 2 kg) steht reibungsfrei auf waagerechter Unterlage.
Über einen Faden beschleunigt ihn ein Körper der Masse m2 = 100 g (Abbildung 3.3 (S. 117)). Wie groß sind die Beschleunigung und der nach 2 s zurückgelegte Weg sowie die erreichte Geschwindigkeit? Welche Beschleunigung ist die
größte, die auf diese Weise erreicht werden kann? Betrachte dazu die Frage, ob
man mit einem Antriebskörper von m3 = 100 kg Masse eine 1 000mal so große
Beschleunigung erreichen könnte.
(m1 + m2 ) · a = m2 · g ;
m2
0, 1
m
m
a=
·g =
· 9, 81 2 = 0, 467 2 .
m1 + m2
2 + 0, 1
s
s
43
44
Siehe Aufgabe 2 (S. 118)
[11, S. 31, A4]
121
3 Masse und Kraft
1
1
cm
· a · t2 = · 46, 7 2 · (2 s)2 = 93, 4 cm .
2
2
s
cm
cm
v = a · t = 46, 7 2 · 2 s = 93, 4
.
s
s
s=
Für die Beschleunigung gilt in jedem Fall:
a=
m3
·g;
m1 + m3
Für sehr großes m3 folgt (m1 = konst):
agrenz = lim
m3 →∞
m3
· g = lim
m3 →∞
m1 + m3
1
·g
m1
m3 + 1
!
= g.
Das numerische Beispiel kann man einsetzen, wenn man möchte; es ändert aber
nichts am Ergebnis.
3.6 Reibungskräfte
3.6.1 Reibungskoeffizient
Ein interessantes Zusatzkapitel ist das über Reibungskräfte. Zunächst stellt man mit
Handexperimenten fest, dass gilt:
Satz 23. Haftreibung ist größer als Gleitreibung und Gleitreibung ist größer als Rollreibung.
Dazu nimmt man einen Kraftmesser und z. B. Holzklötze für Reibungsversuche.45 Zieht
man mit dem Kraftmesser am Holzklotz, so wächst die angezeigte Kraft bis zu einem
Maximalwert, um dann bei gleichmäßigen Ziehen auf einen konstanten kleineren Wert zu
fallen. Man kann das Experiment auch mit einem langsam laufenden Motor betreiben.
Die angezeigten Kräfte müssen beobachtet und im entsprechenden Moment abgelesen
werden. Rollreibung ist wesentlich kleiner als Gleitreibung. Dazu legt man die Klötze
auf Stativstangen und beobachtetet die zum gleichmäßigen Ziehen erforderliche Kraft.
In den nachfolgend beschriebenen Messungen wurde nur die Gleitreibung weiter untersucht. Messdaten ermittelt am 03.02.1986:
Normalkraft
Gleitreibungskraft
45
[21] Gerätenummer 342 10
122
FN
N
FGl
N
FGl
N
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
0,37
0,60
0,81
1,02
1,24
1,50
Holz/Tisch
0,51
0,81
1,26
1,56
1,91
2,10
Gummi/Tisch
3.6 Reibungskräfte
Die Messwerte sind in Abbildung 3.7 dargestellt. Man erkennt, dass die Gleitreibungskraft FGl zur Normalkraft FN proportional ist. Dabei ist die Normalkraft die Kraft, die
senkrecht auf die Unterlage wirkt. Sie wird im Experiment durch die Gewichtskraft des
Klotzes und die aufgelegter weiterer Massestücke erzeugt.
Satz 24. Die Gleitreibungskraft FGl zur Normalkraft FN proportional. Der Proportionalitätsfaktor µGl heißt Gleitreibungskoeffizient:
FGl = µGl · FN
(3.15)
Anmerkung Für den Reibungskoeffizient ist auch das Größenzeichen f gebräuchlich [11, S. 45]. Als Verhältnis zweier Kräfte hat µ die Einheit 1. µ hängt sehr stark
von den aufeinander reibenden Materialien ab und kann auch größer als 1 sein (Silikonkautschuk). Weitere Informationen z. B. unter https://de.wikipedia.org/wiki/
Reibungskoeffizient; zuletzt besucht am 13.02.2017.
FGl
N
2,25
bc
2,00
bc
1,75
bc
1,50
1,25
bc
bc
bc
bc
1,00
bc
bc
0,75
bc
0,50
bc
bc
0,25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
FN
N
Abbildung 3.7: Zur Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten µ
Lineare Regression ergibt für Messung 1 (rot; Holz/Tisch; R2 = 0, 9988):
y = 0, 222 · x + 0, 0342 ;
FGl
FN
= 0, 222 ·
+ 0, 0342 ;
N
N
FGl = 0, 222 · FN + 0, 0342 N .
123
3 Masse und Kraft
Entsprechend für Messung 2 (blau; Gummi/Tisch; R2 = 0, 9900):
y = 0, 33 · x + 0, 0383 ;
FGl
FN
= 0, 33 ·
+ 0, 0383 ;
N
N
FGl = 0, 33 · FN + 0, 0383 N .
Folglich wurde von uns ermittelt: µGl = 0, 22 für Holz auf Kunststoffplatte und µGl =
0, 33 für Gummi auf Kunststoffplatte.
3.6.2 Beispiele und Ergänzungen
1. Welche Kraft ist erforderlich, um einen Schlitten (80 kg) mit Stahlkufen auf Eis in
Bewegung zu setzen bzw. mit konstanter Geschwindigkeit zu ziehen?46
Für Schlittschuhe auf Eis ist als Haftreibungskoeffizient µH = 0, 03 angegeben.47
Damit kann die maximal mögliche Haftreibungskraft FH,max angegeben werden.
Für den Gleitreibungskoeffizient ist µGl = 0, 01.
m
= 23, 5 N ;
s2
m
= 0, 01 · 80 kg · 9, 81 2 = 7, 85 N ;
s
FH,max = 0, 03 · 80 kg · 9, 81
FGl
2. Untersuche das Verhalten eines Körpers auf einer schiefen Ebene (Abbildung 3.8).
#»
FR
#»
F1
b
#»
FN
#»
FG
α
Abbildung 3.8: Zur Bedeutung des Böschungswinkels
Beispielhaft vorgegeben seien der Haftreibungskoeffizient µH = 0, 6 und der Gleitreibungskoeffizient µGl = 0, 45. Bei einem bestimmten Winkel bleibt der Körper
liegen, weil die (Haft-) Reibungskraft FR größer als die Hangabtriebskraft F1 ist.
Wir fragen nun nach genau dem Winkel, unter dem der Körper gerade anfängt zu
46
47
[11, S. 47, A1]
[11, Tabelle 46.1]
124
3.6 Reibungskräfte
gleiten. Damit das eintreten kann, muss gelten:48
F1 = FR ;
FG · sin α = µ · FN = µ · FG · cos α ;
FG · sin α
sin α
µ=
=
= tan α .
FG · cos α
cos α
Daher je nach Reibungskoeffizient:
αH = arctan µH = arctan 0, 6 = 31, 0◦ ;
αGl = arctan µGl = arctan 0, 45 = 24, 2◦ .
Vergrößert man langsam den Winkel der schiefen Ebene und erreicht αH = 31◦ , so
fängt der Körper an zu rutschen. Die Bewegung ist beschleunigt, weil µGl < µH .
Die Beschleunigung berechnet sich zu:
F = F1 − FR ;
m · a = m · g · sin α − µGl · m · g · cos α ;
a = g · (sin α − µGl · cos α) .
Um die Bewegung wieder gleichförmig zu bekommen, muss man den Winkel auf
24, 2◦ verringern. Dann sind Gleitreibungskraft und Hangabtriebskraft wieder gleich.
Anmerkung
Man beachte, dass die Masse des Körpers keine Rolle spielt.
Hat man loses Schüttgut (Sand, Getreide), so gilt49
Satz 25. Für den Böschungswinkel α, den ein Schüttkegel mit dem Boden bildet,
ist die Gleichung
tan α = µH
(3.16)
erfüllt, wobei µH der innere Haftreibungskoeffizient des Schüttguts ist.
3. In einem Zeitungsartikel aus der Rheinischen Post vom 04.09.1982 unter dem Titel
Der Untergang der Pamir beschreibt der Autor Karl Morgenstern die Vorgänge
auf dem Segelschulschiff in einem Rückblick 25 Jahre nach der Katastrophe. Im
Artikel wird das Seeamt Lübeck zitiert:
[ . . . ] „Die Pamir führte sämtliche Marssegel, Fock und mehrere Stagsegel und segelte hart angebraßt mit Steuerbordhalsen am Winde, als
der mit Stärke 9 wehende Sturm in kurzer Zeit stark zunahm. Das Schiff
war diesem Winddruck mit den geführten Segeln, der Segelstellung, seinem Beladungszustand und dem nicht mit Ballastwasser gefluteten Tief48
49
Siehe Trigonometrie in 5 Minuten im Anhang B.1 (S. 455).
Eine übersichtliche Zusammenstellung zur Reibung und zum Böschungswinkel findet man in [15, S.
223].
125
3 Masse und Kraft
tank stabilitä[t]smäßig so wenig gewachsen, daß es eine starke Backbordschlagseite erhielt. Infolge Überschreitung ihres Böschungswinkels kam
die – zum größten Teil lose geladene und während der Reise gesackte
– Gerste trotz aufgebauter Längsschotte in Bewegung und ging in zunehmenden Maße über Backbord. Außerdem drang Wasser in die nicht
überall verschlossenen und auf Backbordseite bereits eingetauchten Aufbauten, so daß auch deren Auftriebskraft verloren ging. Auf diese Weise
ist das Schiff gekentert.“
Vor allem aber wurde die lose Gerstenladung dem Schiff zum Verhängnis. Die Oldtimer der Fracht-Segelei haben Getreidefracht mit gutem Grund wie die Pest gehaßt und solche Ladung, vor allem Gerste,
nach Möglichkeit nur in Säcken transportiert. Die Ladung der „Pamir“
war – das weiß man heute – angesichts der Kraft des Hurrikans „Carrie“
selbstmörderisch. Vielleicht hätten erfahrenere Segelschiff-Kapitäne als
Johannes Diebitsch daraus von vornherein Konsequenzen gezogen. [ . . . ]
4. Experiment Man legt einem Schüler ein Holzlineal auf die ausgestreckten Zeigefinger und bittet ihn, die Finger langsam, aber gleichmäßig aufeinander zuzuführen.
Man erkennt, dass sich durch den Wechsel von Gleit- und Haftreibung die Finger
schließlich dem Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) des Stabes nähern. Der Stab
fällt nicht herab.50
5. Ein Eisstock bewegt sich 30 m weit, bis er zur Ruhe kommt (f = 0, 04).
51
a) Berechne die Anfangsgeschwindigkeit.
Wir filmen den Vorgang und betrachten dann die Bewegung rückwärts. Ferner
nehmen wir eine glm. beschl. Bewegung an mit v = a · t:
1
1
s = · a · t2 = · a ·
2
2
2
v
a
=
√
v2
=⇒ v = 2 · a · s
2·a
Aus F = FR folgt wieder:
m · a = µ · m · g =⇒ a = µ · g
Insgesamt:
v=
√
2·a·s=
p
r
2·µ·g·s=
2 · 0, 04 · 9, 81
m
m
· 30 m = 4, 85 .
s2
s
b) Berechne die Zeit, die er für diese Strecke braucht.
r
t=
50
51
2·s
=
a
s
2·s
=
µ·g
s
2 · 30 m
= 12, 4 s .
0, 04 · 9, 81 sm2
Eine sehr genaue Beschreibung kann in[15, S. 223] nachgelesen werden.
[17] 2.4.2.1.
126
3.6 Reibungskräfte
6. In einem Zeitungsartikel aus dem Solinger Tageblatt vom 13.05.1995 unter dem
Titel Kollision auf Bahnübergang beschreibt der Autor mit dem Kürzel „-aa-“
den Bremsvorgang eines Güterzuges:
[ . . . ] Als der Lkw-Fahrer den Güterzug sah, rettete er sich aus dem
Fahrzeug. Durch die Wucht des Aufpralls des etwa 80 km/h schnellen
und 5000 Tonnen schweren Zuges mit 26 Waggons, der Kohle von Rotterdam ins Saarland transportierte, wurde der Lkw-Sattelzug abgerissen
und in einen Graben geschleudert. Obwohl der Lokführer eine Notbremsung eingeleitet hatte, schleifte der Zug den Auflieger mit Schotter noch
über 500 Meter mit, bevor er zum Stehen kam. Der Lokführer wurde mit Prellungen, Schnitten und Schock in ein Krankenhaus gebracht.
Der Schaden wird auf 800 000 Mark geschätzt, da durch umherfliegende
Schottersteine auch neun Autos beschädigt wurden. [ . . . ]
Aus den gegebenen Daten soll der Gleitreibungskoeffizient µGl ermittelt werden.
Erwartet wird µGl = 0, 05 für Stahl auf Stahl.52
√
Wie in Aufgabe 5a (s. links) erhält man aus v = 2 · µ · g · s:
µGl =
v2
2·g·s
=
80 km
h
2
2 · 9, 81 sm2 · 500 m
= 0, 0503 .
Die Daten sind verlässlich. Allerdings ist die Masse des Zuges unerheblich.
7. Wie groß war die Geschwindigkeit eines Autos, welches bei blockierten Rädern
(ohne ABS natürlich) eine Bremsspur von 20 m hinterließ, wenn dabei µGl = 0, 5
(trockene Straße) war.53
Wie in Aufgabe 5a (s. links) hat man:
v=
p
r
2·µ·g·s=
2 · 0, 5 · 9, 81
m
m
km
· 20 m = 14, 0
= 50, 4
.
2
s
s
h
Man überlege, dass bei trockener Straße der Bremsweg bereits 20 m beträgt. Für
eine nasse Straße54 ist µGl = 0, 3, also der Bremsweg
2
14, 0 ms
v2
= 33, 3 m .
=
s=
2·µ·g
2 · 0, 3 · 9, 81 sm2
8. In einem Güterwagen steht eine Kiste von 200 kg Masse. Der Wagen fährt mit
45 km
h . Welche Bremsdauer ist mindestens erforderlich, wenn die Kiste nicht von
ihrem Platz wegrutschen soll (f = 0, 15)? Wie verhält sich eine Kiste mit doppelter
Masse?55
52
[11,
[17]
54
[11,
55
[17]
53
Tabelle 46.1]
2.4.2.2.
Tabelle 46.1]
2.4.2.4.
127
3 Masse und Kraft
Wie in Aufgabe 5a (S. 126) erhält man aus v = a · t:
t=
t ist von m unabhängig.
128
45 km
v
v
h
= 8, 5 s.
=
=
a
µ·g
0, 15 · 9, 81 sm2
4 Arbeit, Leistung, Energie
4.1 Grundsätzliches: Mechanische Arbeit, Leistung und Energie
4.1.1 Arbeit
Wir übernehmen als Einstieg für den folgenden Abschnitt grundsätzliche Kenntnisse
über die Definition der physikalischen Größe Arbeit aus der Sekundarstufe I:
Def. 15. Unter Arbeit versteht man das Produkt aus Kraft in Wegrichtung und Weg.
W =F ·s
#»
F k #»
s
(4.1)
Als Beispiel und zum Verständnis weiterer Begriffsbildungen betrachten wir die Abbildung 4.1.
#»
F⊥
#»
F
#»
Fs
ϕ
b
b
#»
s
Abbildung 4.1: Reibungsarbeit beim Ziehen eines Wagens
Zur numerischen Berechnung nehmen wir an, dass wir einen Wagen mit der Kraft F =
47, 2 N ziehen. Zur Erleichterung für die Person, die die Kraft aufbringen muss, ist am
Wagen eine Zugstange angebracht, die mit der Horizontalen den Winkel ϕ = 32◦ bildet.
Wenn man nun den Wagen die Strecke s = 6 m zieht, so kann man nicht einfach F · s
#»
rechnen, da F und #»
s nicht in die gleiche Richtung zeigen.1
#»
Nach Gleichung (4.1) auf dieser Seite müssen wir die Kraft F in Richtung #»
s und senk#»
recht dazu zerlegen (hier ist der Anteil von F in Wegrichtung gerade Null). Dies ist in Ab1
Für die Arbeit wird grundsätzlich nur der Teil der Kraft angesetzt, der in Wegrichtung weist. Das
#»
muss man so machen, da F und #»
s vektorielle Größen sind, aber die Arbeit W eine skalare Größe
ist. Für das Zusammensetzen ist es also erforderlich anzugeben, wie die Vektoren zueinander liegen
müssen, damit man ihre Beträge anschließend multiplizieren kann.
129
4 Arbeit, Leistung, Energie
Fs
bildung 4.1 auf der vorherigen Seite dargestellt. Nun gilt:
= cos ϕ, also Fs = F · cos ϕ.
F
Daher
W = Fs · s = (F · cos ϕ) · s = F · s · cos ϕ
#»
F s k #»
s
| {z }
#» ϕ = F ; #»
s
.
Allgemein formuliert man das wie folgt:
Def. 16. Arbeit
#»
W = F · #»
s = F · s · cos ϕ
#» s
ϕ = F ; #»
(4.2)
#»
Anmerkung Arbeit ist eine skalare Größe. Daher heißt F · #»
s auch Skalarprodukt der
#»
Vektoren F und #»
s.
Für das Zahlenbeispiel ergibt sich nun
#»
W = F · #»
s = F · s · cos ϕ = 47, 2 N · 6 m · cos 32◦ = 240 Nm .
Man erkennt also, dass die Einheit der Arbeit 1 Nm (lies: Newtonmeter) ist. Dafür
gibt es die Abkürzung 1 J (Joule). Die Einheit ist nach dem britischen Physiker James
Prescott Joule, 1818–1889 benannt.2
def
[W ] = Nm = J
(4.3)
Beispiel Ein Eisenbahnzug3 mit 10 Wagen der Masse 17, 8 t und einer Lokomotive
der Masse 35, 7 t durchläuft gleichförmig eine 10 km lange horizontale Strecke. Welche
Arbeit muss die Maschine verrichten, wenn die Reibung 0, 3 % beträgt?4
W = FR · s = µH · FG · s = µH · mges · g · s
0, 3
m
· (10 · 17, 8 t + 35, 7 t) · 9, 81 2 · 10 km
=
100
s
= 62, 9 MJ .
4.1.2 Leistung
Von Leistung spricht man in der Physik, wenn Arbeit in einer bestimmten Zeit verrichtet
wird. Daher
2
Die Aussprache des Wortes „Joule“ ist uneinheitlich: Im deutschen Sprachraum ist die Aussprache
[dZu:l] gebräuchlich, wahrscheinlich sprach auch James Prescott Joule seinen Namen so aus. Siehe
dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Joule#cite_note-3, besucht am 17.02.2017.
3
[17] 2.5.1.4
4
Zu Reibung siehe Abschnitt 3.6.
130
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik
Def. 17. Leistung
P =
W
t
Einheit:
[P ] =
Nm
J def
= =W
s
s
(4.4)
Die Einheit wurde nach dem schottischen Wissenschaftler und Ingenieur James Watt,
1736–1819 benannt. Die Einheit J kann man auch mit der Einheit W ausdrücken:
Einheit der Arbeit:
[W ] = Nm = J = Ws
Beispiel (1) Beim Wandern im Gebirge gilt die Faustregel, dass man für 100 Höhenmeter eine Viertelstunde benötigt. Welche Leistung bringt also eine Person von 80 kg
Masse (mit einem zusätzlichem Rucksack von 15 kg) auf?
P =
(80 + 15) kg · 9, 81 sm2 · 100 m
W
FG · s
m·g·s
=
=
=
= 104 W .
t
t
t
15 · 60 s
Beispiel (2) Die Einheit 1 PS war definiert als die Leistung, die erbracht wird, wenn
ein Körper der Masse 75 kg in 1 s gerade 1 m hochgehoben wird. In SI-Einheiten erhält
man:
P =
75 kg · 9, 81 sm2 · 1 m
W
m·g·s
=
=
= 736 W .
t
t
1s
1 PS =
b 0, 736 kW
1 kW =
b 1, 36 PS
Natürlich fährt man lieber ein Auto mit 136 PS statt mit 100 kW . . . Im gewerblichen
Bereich ist die Verwendung der Einheit PS alleine nicht mehr erlaubt.
4.1.3 Energie
Verrichtet man an einem Körper Arbeit, indem man z. B. ein Glas hebt, so ist die Arbeit
nicht weg, sondern im Körper in einem besonderer Zustand gespeichert. Man kann ja
mal das Glas fallen lassen. Daher gilt
Def. 18. Energie ist gespeichert Arbeit. Sie wird in J gemessen.
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik
4.2.1 Arbeit im Weg-Kraft-Diagramm
Für manche Zwecke ist es nützlich, zur Berechnung der Arbeit Kraft und Weg in einem sF -Diagramm (Weg-Kraft-Diagramm) darzustellen. Als einfaches erstes Beispiel
131
4 Arbeit, Leistung, Energie
betrachten wir in Abbildung 4.2 die Arbeit bei einer Kraft, die längs des Weges s konstant ist.
F -Ahse
F (s) = konst
F
W =F ·s
s
s-Ahse
Abbildung 4.2: Zur Berechnung der Arbeit bei konstanter Kraft
Man erkennt, dass die Arbeit dadurch berechnet werden kann, dass man die entsprechende Fläche im sF -Diagramm angibt.
W = F · s=
b Fläche unter F (s) im sF -Diagramm
Diese Aussage gilt auch dann, wenn die Kraft längs des Weges nicht konstant ist. Die
Idee dazu ist in Abbildung 4.3 skizziert. Man sieht den Verlauf der Kraft längs des Weges
als stückweise konstant an und betrachtet die Summe der Streifenflächen näherungsweise
als Maß für die Fläche. Wenn der Fehler zu groß ist, kann man ja die Streifenbreite verringern. In vielen Fällen ist es auch mit mathematischen Methoden möglich, die Fläche
zu bestimmen (Integralrechnung).
F
F (s)
s
Abbildung 4.3: Arbeit allgemein als Fläche unter dem Graph von F (s) im sF -Diagramm
132
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik
4.2.2 Spannarbeit und Spannenergie
Betrachten wir jetzt eine Schraubenfeder, so stellt man in einem einfachen Experiment5
fest, dass die Verlängerung s der Feder umso größer ist, je größer die Kraft F ist, die die
Feder auslenkt. In der Tat ist die Verlängerung der Feder zur wirkenden Kraft proportional, d. h. die Feder verlängert sich um das doppelte (dreifache . . . ), wenn die Kraft
verdoppelt (verdreifacht . . . ) wird. Diese Eigenschaft formulieren wir in folgendem
Satz 26. Hookesches Gesetz6
Bei Schraubenfedern besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der wirkenden Kraft
und der Verlängerung:
F =D·s
(4.5)
Der Proportionalitätsfaktor D heißt Federkonstante (Direktionskonstante) und ist ein
Maß für die Härte der Feder.7
Beispiel Eine Schraubenfeder verlängert sich um 2, 4 cm, wenn man mit einer Kraft
von 4 N an ihr zieht. Bestimme die Federkonstante und vergleiche die Federhärte mit
einer Schraubenfeder, die sich um 6, 75 cm verlängert, wenn man einen Körper der Masse
1, 1 kg anhängt.
D1 =
4N
N
F1
=
= 167 ;
s1
2, 4 cm
m
D2 =
1, 1 kg · 9, 81 sm2
FG
m·g
N
=
=
= 160 .
s2
s2
6, 75 cm
m
Feder 1 ist ein klein wenig härter, obwohl sich dieser geringe Unterschied nur wenig
auswirkt.
Wenn man nun die Arbeit berechnen
möchte, die erforderlich ist, eine Feder
ein bestimmtes Stück auseinanderzuziehen, dann ist es falsch zu rechnen W =
F ·s = D·s·s = D·s2 , denn F ist nicht konstant. In der nebenstehenden Abbildung
ist das sF -Diagramm gezeichnet, mit dem
die Arbeit gemäß Abschnitt 4.2.1 (S. 131)
als Fläche unter dem Graph von F (s) berechnet werden kann. Daraus erhält man
für die Spannarbeit:
Wsp = Fläche unter F (s) =
F -Ahse
F (s)
F (s) = D · s
W
s s-Ahse
1
1
1
· s · F (s) = · s · D · s = · D · s2 .
2
2
2
Damit kann man zusammenfassen:
5
Im Abschnitt IV (S. 443) erfolgen eine statische und eine dynamische Bestimmung der Federkonstante.
Robert Hooke, 1635–1703, engl. Gelehrter
7
Je härter eine Feder ist, desto größer ist die Kraft für eine bestimmte Verlängerung.
6
133
4 Arbeit, Leistung, Energie
Satz 27. Spannarbeit
Die zum Verlängern einer Feder erforderliche Arbeit berechnet sich zu:
Wspann =
1
· D · s2
2
(4.6)
Satz 28. Spannenergie, elastische Energie; potentielle Energie
In einer verlängerten Feder ist die aufgewendete Arbeit als Energie gespeichert:
Wpot,elast =
1
· D · s2
2
(4.7)
Beispiel Eine entspannte Feder wird durch 20 N um 10 cm verlängert. Berechne die
dazu erforderliche Arbeit. Welche Arbeit ist nötig, um sie weitere 10 cm zu verlängern.
Zeichne auch ein sF -Diagramm. Wie groß ist die gesamte Spannenergie der Feder?8
N
20 N
= 200 ;
10 cm
m
1
1
N
W1 = · D · s21 = · 200 · (10 cm)2 = 1 J .
2
2
m
1
1
2
W2 = · D · s2 − · D · s21
2
2
1
1
N = · D · s22 − s21 = · 200 · (20 cm)2 − (10 cm)2 = 3 J .
2
2
m
D=
Die Spannenergie beträgt daher insgesamt Wpot,elast = 4 J.
F
N
50
N
·s
F (s) = 2 cm
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
s
cm
Abbildung 4.4: sF -Diagramm zur vorstehenden Aufgabe
8
[7, S. 77, A6]
134
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik
4.2.3 Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie
Nun berechnen wir die Arbeit, die erforderlich ist, um einen Körper von v = 0 auf die
Geschwindigkeit v zu beschleunigen. Der Einfachheit halber rechnen wir mit einer glm.
beschl. Bewegung. Das Ergebnis gilt allerdings auch ganz allgemein.
Wbeschl = Fs · s = m · a · s = m · a ·
1
1
1
· a · t2 = · m · (a · t)2 = · m · v 2 .
2
2
2
Dabei haben wir die Gleichungen (3.12) (S. 115), (1.18) (S. 46) und (1.16) (S. 45) verwendet.
Satz 29. Beschleunigungsarbeit
Die zum Beschleunigen eines Körpers erforderliche Arbeit berechnet sich zu:
Wbeschl =
1
· m · v2
2
(4.8)
Satz 30. Kinetische Energie, Bewegungsenergie
In einem Körper mit der Geschwindigkeit v ist die aufgewendete Arbeit als Energie gespeichert:
1
Wkin = · m · v 2
(4.9)
2
km
Beispiel Ein Auto9 der Masse 1, 7 t wird von 120 km
h auf 150 h beschleunigt. Berechne
die dazu erforderliche Arbeit. Welche kinetische Energie ist dann in der Bewegung des
Autos vorhanden?
1
1
1
· m · v22 − · m · v12 = · m · v22 − v12
2
2
2
!
km 2
1
km 2
= · 1, 7 t ·
150
− 120
2
h
h
∆Wbeschl =
1
= · 1, 7 t ·
2
150 m
3, 6 s
2
−
120 m
3, 6 s
2 !
= 531 kJ .
Die kinetische Energie beträgt insgesamt
Wkin =
1
· 1, 7 t ·
2
150 m
3, 6 s
2
= 1, 48 MJ .
Zusatz Als Einheit der Arbeit ist neben 1 J auch 1 Ws verwendbar. Allerdings sind
diese Einheiten für den Alltag manchmal etwas unpraktisch. Man verwendet daher oft
die auch aus dem elektrischen Umfeld (Elektroauto) bekannte Einheit 1 kWh (lies: „kilo9
Masse eines e-Golf gemäß Preisliste vom 16.02.2017 (leer mit Fahrer 68 kg und 7 kg Gepäck): 1 615 kg
135
4 Arbeit, Leistung, Energie
Watt-Stunde“). Zur Umrechnung beachten wir: 1 kWh = 1 000 · 3 600 Ws ;
1 kWh = 3, 6 · 106 Ws = 3, 6 · 106 J
1 J = 1 Ws = 278 · 10−9 kWh
Die im letzten Beispiel bestimmten Energien lassen sich daher auch so angeben:
∆Wkin = 531 kJ = 531 · 103 · 278 · 10−9 kWh = 0, 15 kWh ;
Wkin = 1, 48 MJ = 1, 48 · 106 · 278 · 10−9 kWh = 0, 41 kWh .
4.2.4 Hubarbeit und potentielle Energie
Bei der Hubarbeit berechnet man die Arbeit, die erforderlich ist, um einen Körper von
der Höhe h = 0 auf eine Höhe h („gerade nach oben“, also in Richtung der Gewichtskraft)
zu bringen. Man erhält sofort wegen W = F · s und F = m · g die Aussage
Satz 31. Hubarbeit
Die zum Hochheben eines Körpers um die Höhe h erforderliche Arbeit berechnet sich zu:
Whub = m · g · h
(4.10)
Satz 32. Lageenergie; potentielle (Lage-) Energie
In einem Körper, der um die Höhe h hochgehoben wurde, ist die aufgewendete Arbeit als
Energie gespeichert:
Wpot = m · g · h
(4.11)
Anmerkung Für eine erste Betrachtung genügt die Kenntnis der Gleichungen (4.10)
und (4.11). Man muss allerdings
#» auch beachten, dass „Richtung der Gewichtskraft“
s +1 oder −1 sein kann (siehe Anhang B.5 (S. 458)).
bedeutet, dass der cos F ; #»
Beim Heben wird Arbeit aufgebracht, die Kraft (gegen die Gewichtskraft) und der Weg
(nach oben) bilden den Winkel 0◦ . Beim Fallenlassen wirkt die Gewichtskraft (nach un#»
ten) und bei gleicher Orientierung des Wegvektors h (nach oben, denn da ändert sich
nichts) beträgt der Winkel zwischen Kraft und Weg 180◦ . Daher ist die Arbeit negativ
(cos 180◦ = −1; siehe Tabelle B.1 (S. 459)). Das System gibt die Arbeit wieder frei.
Betrachte dazu auch den folgenden Abschnitt.
4.2.5 Arbeit an der schiefen Ebene
In Abbildung 4.5 (s. rechts) haben wir eine schiefe Ebene. Auf dieser befindet sich ein
Körper (reibungsfrei). Die einzige Kraft, die wirkt, ist die Gewichtskraft. Diese kann
vektoriell zerlegt werden in die Kräfte F1 (Hangabtriebskraft) und FN (Normalkraft).
Man überlege, dass der Neigungswinkel α der schiefen Ebene wieder an den schwarz
eingezeichneten Stellen auftritt.
136
4.2 Spezielle Formen der Arbeit und Energie in der Mechanik
#»
Fa
b
#»
F1
#»
FN
#» # »
ℓ = AC
#»
h
#»
FG
α
A
C
B
#»
s
Abbildung 4.5: Hubarbeit an der schiefen Ebene
#»
# »
Sei ` = AC. Aus der Geometrie der Zeichnung folgt (siehe Anhang B.1 (S. 455) „Trigonometrie in 5 Minuten“):
h
= sin α ;
`
h
`=
;
sin α
F1
= sin α ;
FG
F1 = FG · sin α .
#»
#»
Zur Berechnung der Arbeit WAC von A nach C ist die Kraft F a = −F 1 aufzubringen.
Nach (4.2) (S. 130) gilt:
#» #»
WAC = F a · ` = Fa · ` · cos α
= F1 · ` · cos 0◦
# » #»
α = Fa ; `
h
·1
sin α
= FG · h = m · g · h .
= (FG · sin α) ·
Offenbar ist die Arbeit vom Winkel der schiefen Ebene unabhängig. Letztlich zählt, dass
der Körper oben in C angekommen ist und die Höhe h überwunden hat.
Die Arbeit ist darüber hinaus auch vom Weg unabhängig, denn siehe (4.10) (s. links):
#»
WAB = F G · #»
s = FG · s · cos ϕ
# » ϕ = FG ; #»
s
= FG · s · cos 90◦ = 0 .
#» #»
WBC = −F G · h = FG · h · cos 0◦ = m · g · h .
WAB + WBC = WAC = m · g · h
Die letzte Aussage gilt sogar für jeden beliebigen Weg von A nach C, denn man kann je-
137
4 Arbeit, Leistung, Energie
den Weg näherungsweise als Zusammensetzung von entsprechend kurzen Stücken schiefer
Ebenen auffassen (Abbildung 4.6) und die Teilergebnisse addieren. Wenn die Genauigkeit
nicht gut genug ist, muss man die Einteilung verfeinern.10
C
#»
h
A
B
#»
s
Abbildung 4.6: Ein beliebiger Weg kann aus kleinen geraden Wegstücken zusammengesetzt gedacht werden.
Satz 33. Beim Heben eines Körpers um die Höhe h ist unabhängig vom Weg die Hubarbeit Whub = m · g · h erforderlich. Umgekehrt wird diese Arbeit wieder frei, wenn der
Körper wieder nach unten fällt:
WAC + WCB + WBA = 0
(4.12)
Bei einem Rundweg ist die Gesamtarbeit, die an dem Körper verrichtet wird, Null.
Beispiel
Holzwürfel stapeln im Kinderzimmer
Def. 19. Dichte
Unter der Dichte11 % versteht man das Verhältnis aus Masse und Volumen eines Materials
oder Körpers:
m
%=
(4.13)
V
Welche Arbeit muss ein Kind aufbringen, um einen Turm aus n = 10 aufeinander gestellg
ten Holzwürfeln (Dichte % = 0, 6 cm
3 ) mit einer Kantenlänge von a = 7, 5 cm aufzubauen?
Welche potentielle Energie besitzt der aufgebaute Turm?
Wges = m · g · hges
10
Dass dieses tatsächlich funktioniert liegt daran, dass in der klassischen Mechanik ein solcher Weg
von A nach C für ein mathematisches Modell als stetig angenommen werden kann. Stetig bedeutet
anschaulich eine Funktion, deren Graph auf Intervallen von R zusammenhängend ist (sich dort „ohne
abzusetzen“ zeichnen lässt).
11
% lies: rho, griechischer Buchstabe; alternative Schreibweise für rho: ρ; Schreibweise des Großbuchstabens rho: P.
138
4.3 Ergänzende Beispiele zu Arbeit und Leistung
= % · V · g · (h1 + · · · + hn )
= % · a3 · g · (0 · a + 1 · a + 2 · a + · · · + (n − 1) · a)
= % · a4 · g · (1 + 2 + · · · + (n − 1))
n · (n − 1)
= % · a4 · g ·
2
g
m 9 · 10
= 0, 6
· (7, 5 cm)4 · 9, 81 2 ·
3
cm
s
2
4·m
g
·
cm
= 838 · 103 ·
cm3 · s2
10−3 · kg · 10−2 · m · m
= 838 · 103 ·
= 8, 38 J .
s2
(4.14)
Wges = 8, 38 J .
Die in (4.14) eingesetzte Gleichung ist die Formel für die Summe sn−1 der ersten n − 1
natürlichen Zahlen. Man erhält diese Formel leicht gemäß folgender vereinfachten Darstellung. Man schreibt die Summen einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinander
und betrachtet die Ergebnisse, die sich spaltenweise ergeben. Danach löst man die Gleichung nach sn−1 auf.
1
+
2
+
3
+
4
+ · · · + (n − 1)
(n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + (n − 4) + · · · +
1
n
+
n
+
n
+
n
+ ··· +
n
(n − 1) · n
=
=
=
=
sn−1
sn−1
2 · sn−1
2 · sn−1
Satz 34. Die Summe der ersten n − 1 natürlichen Zahlen12 berechnet sich zu:
sn−1 =
(n − 1) · n
2
(4.15)
4.3 Ergänzende Beispiele zu Arbeit und Leistung
Fördermenge einer Pumpe Welche Wassermenge wird durch eine Pumpe mit der Leistung 37, 5 kW in 10 Stunden aus einem 250 m tiefen Schacht gefördert?13
W
Mit (4.4) P =
: erhält man
t
W = FG · h = m · g · h = P · t ;
12
Normalerweise findet man in der Literatur die Angabe der Summe der ersten n natürlichen Zahlen.
Da man dann aber noch wieder die Formel für n − 1 spezialisieren müsste, habe ich die Herleitung für
n − 1 durchgeführt. Verwendet man die Formel aus einer Formelsammlung, so entfällt die Herleitung
und eine Spezialisierung ist notwendig. Die besagte Formel ergibt sich durch Ersetzen von n − 1 mit
n·n+1
n bzw. n mit n + 1: sn =
2
13
[17] 2.5.2.1.
139
4 Arbeit, Leistung, Energie
P ·t
g·h
37, 5 kW · 10 h
=
9, 81 sm2 · 250 m
m=
=
37, 5 kJ
s · 10 · 3 600 s
9, 81 sm2 · 250 m
= 550 · 103 kg = 550 t =
b 550 m3 Wasser
Man beachte, dass für die Dichte von Wasser recht genau gilt:14
1
g
kg
kg
t
=1
=1
=1 3
3
3
cm
`
m
dm
(4.16)
Die letzte Gleichungskette stellt auch nützliche Umrechnungen bereit.
Leistung und Höchstgeschwindigkeit Ein Auto fährt unter Ausnutzung der Höchstleistung von 90 kW auf einer ebenen Straße mit der konstanten Geschwindigkeit 190 km
h .
Berechne die auf das Auto ausgeübte (konstante) Kraft durch Luftwiderstand und Reibung.
Zunächst zeigen wir
Satz 35. Bei konstanter Kraft gilt für die Leistung
P =F ·v
(4.17)
Damit kann man nachstehende Aufgabe einfacher bearbeiten.
P =
∆W
∆ (F · s)
F · ∆s
=
=
= F ·v.
∆t
∆t
∆t
F =
90 kNm
P
90 kW
s
=
=
190 m = 1, 71 kN .
v
190 km
3,6 s
h
Darüber hinaus erkennt man, dass die Höchstgeschwindigkeit bei gleichen Reibungseinflüssen von der Leistung des Antriebs abhängt.
Eisenbahnwagen stoßen zusammen Die zwei gleichen Pufferfedern eines Eisenbahnwagens (m = 10 t) werden um je 10 cm zusammengedrückt, wenn er mit v = 1 ms auf ein
Hindernis (Prellbock) prallt. Berechne die Federkonstante der Federn.15
14
15
Siehe Definition der Masse; Def. 10 (S. 104).
[7, S. 73 A7]
140
4.3 Ergänzende Beispiele zu Arbeit und Leistung
Der Eisenbahnwagen wird abgebremst. Wir gehen von einer glm. beschl. Bewegung aus:
s = 12 · a · t2 und v = a · t; in Kombination folgt:
1
1
s = · a · t2 = · a ·
2
2
2
v
a
;
m 2
1 s
v2
m
=
=5 2;
2·s
2 · 10 cm
s
1
· 10 t · 5 sm2
F
m·a
kN
D=
=
= 2
= 250
.
s
s
10 cm
m
a=
b
b
D1
D2
#»
F1
#»
F2
b
b
b
s
#»
F ges
Abbildung 4.7: Parallelschaltung von Schraubenfedern
Bei zwei gleichen Federn erhalten beide die gleiche – also halbe – Kraft. Daher der Faktor
1
2 . Allgemein sieht das so aus (Abbildung 4.7):
Fges = F1 + F2 .
Nun ist die Verlängerung s ist für beide Federn gleich.
Dges · s = D1 · s + D2 · s .
Dges = D1 + D2
(4.18)
Bei der Parallelschaltung von Schraubenfedern addieren sich die einzelnen Federkonstanten zur Federkonstante der Kombination.
Der Vollständigkeit halber betrachten wir jetzt noch die Reihenschaltung von Schrau#»
benfedern (Abbildung 4.8). Dabei wirkt an beiden Federn die gleiche Kraft F . Wegen
der unterschiedlichen Federkonstanten verlängern sich die Federn unterschiedlich. Das
führt zu folgender Betrachtung:
sges = s1 + s2 .
141
4 Arbeit, Leistung, Energie
D 1 , s1
b
D 2 , s2
b
b
#»
F
Abbildung 4.8: Reihenschaltung von Schraubenfedern
F
F
F
=
+
.
Dges
D1 D2
1
1
1
=
+
Dges
D1 D2
(4.19)
Bei der Reihenschaltung von Schraubenfedern addieren sich die Kehrwerte der
einzelnen Federkonstanten zum Kehrwert der Federkonstante der Kombination.
Man könnte auch sagen, dass sich bei der Parallelschaltung die Härte der Feder, bei der
Reihenschaltung die Weichheit der Feder addiert – also letztlich vergrößert.
4.4 Energieerhaltung
4.4.1 Energieerhaltungssatz der Mechanik
Um ein Gefühl für die Umwandlung verschiedener Energieformen ineinander zu bekommen betrachten wir den in Abbildung 4.9 skizzierten Ablauf.
P2
P3
Wkin
Wpot
P3
0
mgh
P4
1
2
2 mvy
mgy
P5
1
2
2 mv0
0
h−y
h
m
P1
y
Abbildung 4.9: Energieumwandlung
P1 Ein Körper der Masse m befinde sich in der Position y = 0. Er wird dann nach P2
gehoben.
142
4.4 Energieerhaltung
P2 In der Höhe y = h ist der Energiegehalt wegen der verrichteten Arbeit Wges =
m · g · h. Diese Energie ändert sich nicht, wenn der Körper reibungsfrei in die
Position P3 überführt wird.
P3 In dieser Lage ist die kinetische Energie Null, da die Geschwindigkeit vh = 0 ist.
Die potentielle Energie beträgt Wpot = m · g · h. Die Gesamtenergie daher
Wges = Wkin + Wpot = 0 + m · g · h = m · g · h .
P4 Lässt man den Körper in P3 los, so wird er schneller und erreicht die Position P4
in der Höhe y. Die verbleibende potentielle Energie beträgt Wpot = m · g · y. Der
fehlende Teil der potentiellen Energie ist in Bewegungsenergie umgewandelt worden. Wir rechnen mit kinematischen Methoden nach, p
wie groß die Gesamtenergie
an dieser Stelle ist. Für die Fallbewegung16 gilt vy = 2 · g · (h − y). Daher folgt
für die Gesamtenergie:
Wges (y) = Wkin (y) + Wpot (y) =
1
· m · vy2 + m · g · y
2
q
2
1
= ·m·
2 · g · (h − y) + m · g · y
2
1
= · m · 2 · g · (h − y) + m · g · y
2
=m·g·h−m·g·y+m·g·y
= m · g · h.
P5 Dieser Zustand ist dadurch gekennzeichnet, dass der Körper ganz unten ist, aber
noch nicht auf dem Boden aufgeschlagen ist. Er ist an der Stelle, an der er genau
die Strecke h zurückgelegt hat. Für die Energie gilt wieder:
Wges (0) = Wkin (0) + Wpot (0) =
1
· m · v02 + 0
2
(y = 0)
p
2
1
·m·
2·g·h
2
1
= ·m·2·g·h
2
= m · g · h.
=
Man erkennt, dass die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu jedem Zeitpunkt gleich der von vorneherein vorhandenen Energie ist. Zwischen den Zuständen P3 ,
P4 und P5 wechselt zwar die Energieform, aber nicht der Energiegehalt. Diese Tatsache
ist eine ganz wesentliche physikalische Aussage:17
Satz 36. Energieerhaltungssatz der Mechanik
16
17
Siehe (1.29) (S. 62) mit der Ersetzung h → h − y.
Siehe dazu auch das Experiment in Abschnitt 4.4.4 (S. 151).
143
4 Arbeit, Leistung, Energie
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller mechanischer Energien zeitlich
konstant.
Wges = Wkin + Wpot + Wpot,elast = konst
(4.20)
4.4.2 Energieerhaltungssatz der Physik
Betrachten wir nun den Abschluss des Falls des Körpers in Abbildung 4.9 (S. 142).
1. Der Körper ist aus einem weichen, unelastischen Material (Knetmasse). Nachdem
er die Höhe h durchfallen hat, prallt er auf den Boden auf und liegt dann da. Das
bedeutet, dass seine kinetische und potentielle Energie Null sind. Man kann sich
nun fragen, wo die Gesamtenergie Wges = m · g · h geblieben ist. In der Tat ist sie
in Wärme umgewandelt worden.
Experiment Man nimmt eine Plastikdose mit Bleikugeln18 (Tarierschrot) und
misst mit einem Temperaturfühler19 die Temperatur. Dazu steckt man die Spitze
des Fühlers langsam in die Bleikugeln hinein und ermittelt die Temperatur ϑ1
(lies: theta, griech. Buchstabe). Man klettert auf den Experimentiertisch und hält
die Dose unter die Decke des Unterrichtsraums und lässt sie auf den Fußboden
fallen. Ein Helfer reicht die Dose wieder an. Das wird noch 5 mal wiederholt.
Die Temperatur ϑ2 des Bleischrots wird erneut bestimmt. Sie ist ca. 1, 5 K höher:
ϑ2 − ϑ1 = 1, 5 K.
Man erkennt, dass die vorhandene Energie in Wärme umgewandelt wurde. Dies ist
erkennbar an der Temperaturerhöhung des Bleischrots.
2. Der Körper ist aus elastischem Material (Flummi). Dann wird unten bei y = 0 die
kinetische Energie zur elastischen Verformung verwendet. Als elastischer Vorgang
läuft dieser wieder rückwärts ab und der Körper gewinnt wieder an Höhe auf Kosten
der kinetischen Energie. Allerdings erreicht auch ein sehr elastischer Flummi nicht
mehr seine Ausgangshöhe. Hier ist die fehlende Energie ∆W = m · g · (h − y)
ebenfalls ein Maß für die im Körper durch die Verformung entstandene Wärme.
Unter Einbeziehung aller Energieformen formuliert man den
Satz 37. Energieerhaltungssatz der Physik In einem abgeschlossenen System ist
die Gesamtenergie zeitlich konstant.
Anmerkung Temperaturen sind ein Maß für die Wärme oder innere Energie der ungeordneten Bewegung der Atome bzw. Moleküle. Sie wird in den Einheiten ◦ C und K
(lies: Kelvin20 ) gemessen. Temperaturen in ◦ C bezeichnen solche auf der Celsius-Skala21 .
Sie ist in der Schrittweite („Grad“) der Kelvin-Skala angepasst. Da es keine beliebig tiefen Temperaturen gibt, ist der Anfang der Temperaturskala bei 0 K = −273, 16◦ C . Der
18
[21] Bleischrot 200 g, 315 76
[21] Temperaturfühler NiCr-Ni, Gebrauchsanweisung 666 193
20
William Thomson, 1. Baron Kelvin, 1824–1907, britischer Physiker.
21
Anders Celsius, 1701–1744, schwedischer Astronom, Mathematiker und Physiker
19
144
4.4 Energieerhaltung
zweite fundamentale Fixpunkt ist gegeben durch den Tripelpunkt des Wassers. Dort
existieren Wasser (flüssig), Wasserdampf und Eis gleichzeitig. Daher 273, 16 K = 0◦ C .
Temperaturdifferenzen werden in K angegeben. Die Verwendung von ◦ C ist nicht verboten.22 . Ich schreibe es so:
∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 = 11 ◦ C − 7 ◦ C = 4 K .
Vergleiche: 11.00 Uhr − 7.00 Uhr = 4 h.
Die verwendeten Größenzeichen sind ϑ oder t für Angaben in ◦ C, sowie T für Angaben
in der Einheit K.
4.4.3 Beispiele zum Energieerhaltungssatz
Eine Aufgabe zum fallenden Bleischrot
Anmerkung Die Energie, die erforderlich ist, um einen Stoff der spezifischen Wärmekapazität c und der Masse m um ∆ϑ zu erwärmen, berechnet sich zu:
Q = c · m · ∆ϑ
(4.21)
J
kJ
Blei hat die spez. Wärmekapazität c = 0, 129 g·K
= 0, 129 kg·K
. Mit welcher Temperaturerhöhung kann man rechnen, wenn das Bleischrot 5-mal von der Zimmerdecke fallengelassen wird? Die Deckenhöhe wurde mit 3, 15 m gemessen.
Nach dem Energieerhaltungssatz Satz 37 (s. links) erhält man:
W = Q = c · m · ∆ϑ ;
m · g · h = c · m · ∆ϑ ;
m·g·h
g·h
∆ϑ =
=
;
c·m
c
m
9, 81 s2 · 5 · 3, 15 m
∆ϑ =
= 1, 2 K .
kJ
0, 129 kg·K
Einheitenbetrachtung:
m
s2
·m
J
kg·K
=
kg ·
m
s2
·m·K
= K.
Nm
Demonstration einer Versicherung
Um die „Wucht“ eines Aufprall mit 100 km
h zu demonstrieren, soll ein Auto von einem
Hubschrauber aus fallengelassen werden. Berechne die Höhe, aus der das Auto frei fallen
22
[18, S. 5]
145
4 Arbeit, Leistung, Energie
müsste mit dem Energieerhaltungssatz.
m·g·h=
1
· m · v2 ;
2
2
2
100 m
100 km
v2
h
3,6 s
=
= 39, 3 m .
h=
m =
2·g
2 · 9, 81 s2
2 · 9, 81 sm2
Energie ist eine skalare Größe
Berechne jeweils die Geschwindigkeiten, mit denen ein Körper der Masse 10 kg am Boden
ankommt.23
• Er wird in 45 m Höhe über dem Boden losgelassen.
m·g·h=
p
1
· m · v 2 , also v = 2 · g · h =
2
r
2 · 9, 81
m
m
· 45 m = 29, 7 .
s2
s
• Er wird mit 10 ms nach oben geworfen.
m·g·h+
1
1
· m · v02 = · m · v 2 ;
2
2
1
1 2
· v = g · h + · v02 ;
2
2
2
v = 2 · g · h + v02 ;
v=
q
2 · g · h + v02
s
=
2 · 9, 81
m
m
· 45 m + 10
2
s
s
2
= 31, 4
m
.
s
= 31, 4
m
.
s
• Er wird mit 10 ms nach unten geworfen.
m·g·h+
1
1
· m · v02 = · m · v 2 ;
2
2
q
v=
2 · g · h + v02
s
=
m
m
2 · 9, 81 2 · 45 m + 10
s
s
• Er wird mit 10 ms horizontal geworfen.
m·g·h+
1
1
· m · v02 = · m · v 2 ;
2
2
q
v=
23
[11, S. 79 A1]
146
2 · g · h + v02
2
4.4 Energieerhaltung
s
m
m
· 45 m + 10
2
s
s
2 · 9, 81
=
2
= 31, 4
m
.
s
Benutzt man hier die in Abschnitt 2.2.4 (S. 85) verwendeten Bezeichnungen, so
gilt in gleicher Weise wie oben:
v=
q
vx2 + vy2 =
q
2 + 2 · g · h.
v0x
Ausrollen eines Autos an einer Steigung
Bezeichnungen siehe Abbildung 4.5 (S. 137).
Ein Auto Fährt mit der Geschwindigkeit 72 km
h eine Straße mit 8 % Steigung aufwärts.
Der Fahrer kuppelt aus (E-Auto: segelt). Wie weit kommt das Auto dann noch (ohne
Reibung)? Vergleiche [11, S. 79 A2].
α = arctan (8 %) = 4, 6◦ ;
1
· m · v02 = m · g · h ;
2
v2
h
h = 0 ; mit sin α =
folgt:
2·g
`
`=
2
72 m
3,6 s
9, 81 sm2 · sin 4, 6◦
v02
h
=
=
sin α
2 · g · sin α
2·
= 254 m .
Wie heiß werden Bremsen?
Ein Klein-LKW (mW = 5 t) wird von 100 km
h zum Stillstand abgebremst. Berechne die
Temperaturerhöhung der Bremsen. Masse der Bremsen: 10 kg; spezifische WärmekapaJ
zität von Eisen c = 0, 45 g·K
(vergleiche (4.21) (S. 145)).24
1
· mW · v02 = c · mB · ∆ϑ ;
2
∆ϑ =
v2
5t ·
100 m
3,6 s
2
mW ·
=
= 429 K .
kJ
2 · c · mB
2 · 10 kg · 0, 45 kg·K
Springende Feder
Eine 20 cm lange Schraubenfeder der Masse 50 g wird auf die Hälfte zusammengedrückt
und so losgelassen, dass sie lotrecht nach oben schnellt. Welche Höhe erreicht das untere
24
[7, S. 71 A5b]
147
4 Arbeit, Leistung, Energie
N
Ende, wenn die Federkonstante 150 m
beträgt? Die Eigenschwingung der Feder soll unberücksichtigt bleiben. Tipp: Die Lösung ist 1, 48 m; der Ansatz soll begründet werden.25
Drückt man die Feder um 10 cm (. . . auf die Hälfte . . . )
zusammen, so liegt der Schwerpunkt S1 5 cm über der
Nulllinie der potentiellen Energie (Tischplatte; graue Linie). Die Gesamtenergie im Zustand (1) beträgt daher
Wges,(1) = m · g · 5 cm +
20 cm
b
S2
1
· D · (10 cm)2 .
2
Im höchsten Punkt ist die Feder in Ruhe. Die potentielle
Energie setzt sich aus der (gesuchten) Höhe h und der
Lage des Schwerpunktes S2 zusammen. Daher gilt für
Zustand (2):
h
10 cm
b
(1)
Wges,(2) = m · g · (h + 10 cm) .
S1
(2)
Nach dem Energieerhaltungssatz schreiben wir:
Wges,(2) = Wges,(1) ;
m · g · h + m · g · 10 cm = m · g · 5 cm +
1
· D · (10 cm)2 ;
2
1
· D · (10 cm)2 + m · g · 5 cm − m · g · 10 cm ;
2
1
m · g · h = · D · (10 cm)2 − m · g · 5 cm ;
2
1
· D · (10 cm)2 − m · g · 5 cm
h= 2
m·g
1
· D · (10 cm)2 m · g · 5 cm
= 2
−
m·g
m·g
2
D · (10 cm)
=
− 5 cm
2·m·g
N
150 m
· (0, 1 m)2
− 0, 05 m
=
2 · 0, 05 kg · 9, 81 sm2
m·g·h=
= 1, 48 m .
Anmerkung Bei entsprechender mathematischer Erfahrung bei der Umformung von
Termen sollte die Rechnung natürlich kürzer ausfallen.
25
Aus der Klausur Nr. 1, LK PH, Jgst. 11.2, 26.02.1986
148
4.4 Energieerhaltung
Geschwindigkeit eines Pendelkörpers
Betrachte die Abbildung 4.10. Ein Fadenpendel der Länge ` wird um den Winkel ϕ
ausgelenkt. Berechne zunächst die Lageenergie des Pendelkörpers gegenüber dem tiefsten
B
b
b
M
x
ϕ
ℓ
x
C
d
D
h
A
Abbildung 4.10: Zur Berechnung der Geschwindigkeit in A
Punkt A in Abhängigkeit von ϕ. Ermittle anschließend die Geschwindigkeit in A, wenn
man ihn in D (ohne Anfangsgeschwindigkeit) losgelassen hat mit den Daten ϕ ∈ {8◦ ; 25◦ }
und ` = 1 m.
Mit
x
= cos ϕ, also x = ` · cos ϕ erhält man:
`
h = ` − x = ` − ` · cos ϕ = ` · (1 − cos ϕ) ;
Wpot = m · g · ` · (1 − cos ϕ) ;
1
Wkin = · m · v 2 = m · g · ` · (1 − cos ϕ) = Wpot ;
2
v 2 = 2 · g · ` · (1 − cos ϕ) ;
v=
q
2 · g · ` · (1 − cos ϕ) ;
r
m
m
· 1 m · (1 − cos 8◦ ) = 0, 437 ;
2
s
s
r
m
m
v (60◦ ) = 2 · 9, 81 2 · 1 m · (1 − cos 60◦ ) = 3, 13 .
s
s
v (8◦ ) =
2 · 9, 81
149
4 Arbeit, Leistung, Energie
Zusatz
Man kann zeigen, dass für kleine Winkel ϕ die folgende Aussage gilt:26
Satz 38. Die horizontale Auslenkung d ist zur Geschwindigkeit v in A proportional.
Beweis. Wir betrachten dazu den zur Satzgruppe des Pythagoras gehörigen Höhensatz27 , der mit den gegebenen Bezeichnungen von Abbildung 4.10 lautet:
2
CD = BC · CA ;
d2 = 2 · (` − h) · h .
Um die Näherung besser zu verstehen, formen wir um:
d2 = 2 · ` · h − h2 = 2 · ` · h · 1 −
h
2·`
.
h
Ist nun h 2 · `, so ist
1. Daher ist d2 ≈ 2 · ` · h. Für den Energieerhaltungssatz
2·`
kann man also schreiben:
d2
1
· m · v2 = m · g · h ≈ m · g ·
;
2
2·`
2
d2
v2 =
·m·g·
;
m
2·`
r
g
· d , also v ∼ d .
v=
`
Rechnet man nun mit der letzten Gleichung die Geschwindigkeit erneut aus, so hat man
d
wegen = sin ϕ:
`
g
·d=
`
s
9, 81 sm2
m
· 1 m · sin 8◦ = 0, 436 ;
1m
s
rel. Fehler: 0,2 %.
9, 81 sm2
m
· 1 m · sin 60◦ = 2, 71 ;
1m
s
rel. Fehler: 15,5 %.
v=
v (8◦ ) =
s
v (60◦ ) =
r
r
g
· ` · sin ϕ
`
Man kann nachrechnen: Bleibt der Winkel unter 15◦ , so ist der Fehler kleiner als 1 %.
Man muss eben wissen, was man haben will.
26
27
Siehe auch [11, S. 78].
Im rechtwinkligen Dreieck mit Standardbezeichnung gilt der Höhensatz: h2 = p · q. Dabei sind p und q
die Hypotenusenabschnitte unter b und a, also die Länge der senkrechten Projektionen der Katheten
auf die Hypotenuse.
150
4.4 Energieerhaltung
4.4.4 Experiment zum Energieerhaltungssatz
Nach den ganzen Überlegungen und Übungen ist es an der Zeit, den Energieerhaltungssatz in einem Experiment nachzuprüfen.
Wir betrachten dazu die Abbildung 4.11, in der die Bezeichnungen und die zu messenden
Größen dargestellt sind.
(1)
(2)
(3)
(4)
b
b
b
b
s1
s2
y1
m
s3
s4
y2
y3
y4
LS, tD ,
d
y5
Abbildung 4.11: Prüfung des Energieerhaltungssatzes und der Umwandlung mechanischer Energien; rot sind zu messende Größen, schwarz markierte Strecken können berechnet werden.
Man befestigt eine nicht zu harte Schraubenfeder stabil an Stativmaterial am Experimentiertisch (1) und hängt ein Gewichtsstück daran (2). Die Feder wird soweit ausgezogen,
dass das Gewichtsstück die Tischplatte des Experimentiertischs berührt. Am System
wurde also Spannarbeit verrichtet, die als Spannenergie gespeichert ist. Lässt man das
Gewichtsstück los (3), so wird ein Teil der Spannenergie in Bewegungsenergie und Lagenenergie umgewandelt (4). Die beiden Zustände (3) und (4) sollen im Rahmen einer
Energiebilanz miteinander verglichen werden.
Plan zur Auswertung:
1. Zur Bestimmung der Federkonstante (siehe (4.5) (S. 133)) der verwendeten Feder
werden die Marken y1 und y2 sowie die Masse m des angehängten Gewichtsstücks
gemessen.
FG
m·g
m·g
D=
=
=
.
s1
s1
y1 − y2
2. Die Geschwindigkeit im Zustand (4) ermittelt man durch Messung der Verdunklungszeit tD einer Gabellichtschranke. Dazu ist am Gewichtsstück eine Messfahne
der Breite d angebracht:
d
v=
.
tD
151
4 Arbeit, Leistung, Energie
3. In Zustand (3) gilt für die Gesamtenergie:
Wges,(3) = Wkin,(3) + Wpot,(3) + Wspann,(3)
1
= 0 + 0 + · D · s22 .
2
Um s2 zu berechnen, ermittelt man
• y3 die Höhe der Messmarke an der Feder über dem Experimentiertisch.
Wges,(3) =
1
· D · (y1 − y3 )2 .
2
4. In Zustand (4) gilt für die Gesamtenergie:
Wges,(4) = Wkin,(4) + Wpot,(4) + Wspann,(4)
1
1
= · m · v 2 + m · g · s4 + · D · s23 .
2
2
Um s4 zu berechnen, ermittelt man
• y4 die Höhe der Messfahne über dem Experimentiertisch, und
• y5 die Höhe der Lichtschranke über dem Experimentiertisch.
1
· m · v 2 + m · g · (y5 − y4 ) +
2
1
= · m · v 2 + m · g · (y5 − y4 ) +
2
Wges,(4) =
1
· D · (s2 − s4 )2
2
1
· D · ((y1 − y3 ) − (y5 − y4 ))2 .
2
Am 20.03.2007 ergaben sich nachstehende Messdaten:
m
g
y1
cm
y2
cm
y3
cm
y4
cm
y5
cm
tD
ms
d
mm
301,5
32,9
20,0
10,3
2,85
10,35
5,997
5,0
Rechnet man mit diesen Daten, so hat man:
D=
v=
0, 3015 kg · 9, 81 sm2
m·g
N
=
= 22, 9 ;
y1 − y2
0, 329 m − 0, 20 m
m
d
5 mm
m
=
= 0, 834 ;
tD
5, 997 ms
s
1
· D · (y1 − y3 )2
2
N
1
= · 22, 9 · (0, 329 m − 0, 103 m)2 = 585 mJ
2
m
Wges,(3) =
152
4.4 Energieerhaltung
1
1
· m · v 2 + m · g · (y5 − y4 ) + · D · ((y1 − y3 ) − (y5 − y4 ))2
2
2
1
m 2
= · 0, 3015 kg · 0, 834
2
s
m
+ 0, 3015 kg · 9, 81 2 · (0, 1035 m − 0, 0285 m)
s
1
N
+ · 22, 9 · ((0, 329 m − 0, 103 m) − (0, 1035 m − 0, 0285 m))2
2
m
= 105 mJ + 222 mJ + 261 mJ = 588 mJ
Wges,(4) =
Ich habe das Experiment einige Male in verschiedenen Kursen durchgeführt. Die Ergebnisse waren weitgehend überzeugend. Hier die Daten mit den Ergebnissen aus dem
Schuljahr 2003/04 (Feb/März 2004; Schülerprotokoll ohne Datum):
m
g
y1
cm
y2
cm
y3
cm
y4
cm
y5
cm
tD
ms
d
mm
301
34,8
22,6
10,1
2,87
10,85
5,07
5,0
D=
v=
Wges,(3) =
N
m·g
= 24, 2 ;
y1 − y2
m
d
5 mm
m
=
= 0, 986 ;
tD
5, 07 ms
s
1
· D · (y1 − y3 )2 = 738 mJ
2
Wges,(4) = s. o. = 146 mJ + 236 mJ + 338 mJ = 720 mJ
Die Abweichung beträgt 2,5 %, was in der Schule noch vertretbar ist.
Anmerkung Man kann auch am Pendel (S. 149) die kinetische und potentielle Energie
experimentell miteinander vergleichen. Ein Praktikant hat dies in einem Kurs durchgeführt. Die Ergebnisse waren nach den mir vorliegenden Protokollen nicht besonders gut,
da die Positionsbestimmung für die Messung der potentiellen Energie nicht einfach ist.
Ferner ist bei diesem Experiment die Spannenergie nicht eingebunden.
153
5 Erhaltungssätze in Kombination;
Stoßversuche
Teile der nachfolgenden Abschnitte gehörten nicht zu den Standardunterrichtsinhalten,
wurden aber vereinzelt durchgeführt. Zur Vertiefung sind sie sicher zu empfehlen.
5.1 Der Satz von Carnot
Der Satz von Carnot1 2 macht eine interessante Aussage über die bei einem unelastischen Stoß in Wärme umgesetzte Energie.
Die Geschwindigkeit einer Pistolenkugel3 soll auf folgende Weise bestimmt werden: Ein
mit Knetmasse beladener Wagen befindet sich auf einer Fahrbahn. Er wird beschossen
und die Kugel bleibt stecken. Daraufhin bestimmt man die Geschwindigkeit des Wagens
zu 9, 5 ms . Die Masse des Wagens sei mW = 1, 5 kg, die der Kugel mK = 50 g.
1. Bestimme die Geschwindigkeit v der Kugel.
0 die Geschwindigkeit
Nach dem Impulserhaltungssatz Satz 16 (S. 107) gilt, wenn vW
des Wagens nach dem Beschuss bezeichnet:
0
mK · v = (mK + mW ) · vW
;
mK + mW 0
· vW
v=
mK
50 g + 1, 5 kg
m
m
=
· 9, 5
= 295 .
50 g
s
s
(5.1)
2. Berechne die kinetische Energie Wkin,1 der Kugel.
1
1
m
· mK · v 2 = · 50 g · 295
2
2
s
Wkin,1 =
2
= 2, 18 kJ .
1
Nicolas Léonard Sadi Carnot, 1796–1832, franz. Physiker und Ingenieur
Die Bezeichnung „Satz von Carnot“ findet man in [17] 2.6.2.3. Im Internet ist die Begriffsbildung
nur für eine mathematische Aussage im Dreieck zu finden. Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/
Satz_von_Carnot. Dieser Satz stammt allerdings von Sadis Vater Lazare Carnot.
3
Aus der Klausur Nr. 2, LK PH/375, Jgst. 11, 30.04.1999, L9822A.TEX
2
155
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
3. Berechne die noch vorhandene kinetische Energie Wkin,2 nach dem Beschuss.
1
1
m
0 2
= · (mK + mW ) · vW
= · (50 g + 1, 5 kg) · 9, 5
2
2
s
Wkin,2
2
= 69, 9 J .
4. Zeige, dass die Differenz der in 2 und 3 berechneten Energien gerade
1
1
1
+
(Satz von Carnot).
beträgt, wobei =
µ
mK mW
1
2
· µ · v2
Energiedifferenz, „Energieverlust“:
∆W = Wkin,1 − Wkin,2 = 2, 18 kJ − 69, 9 J = 2 110 J ;
Bestimmung von µ:
1
1
1
=
+
µ
mK mW
1
1
1
=
+
= 20, 67
50 g 1, 5 kg
kg
−3
µ = 48, 4 · 10 kg .
Damit erhält man:
1
m
1
∆W = · µ · v 2 = · 48, 4 · 10−3 kg · 295
2
2
s
= 2 106 J .
2
Rundet man auf 3 gültige Ziffern, so sind die Ergebnisse „gleich“.
In der Klausur sollte gemäß Aufgabenstellung nur die numerische Variante gezeigt werden. Im Zusatz wird der Nachweis auch allgemein durchgeführt.
Zusatz
Allgemeine Rechnung zum Punkt 4
0
Aus (5.1) auf der vorherigen Seite erhält man zunächst vW
=
mK
· v. Daher
mK + mW
∆W = Wkin,1 − Wkin,2
1
1
0 2
= · mK · v 2 − · (mK + mW ) · vW
2
2
2
1
1
mK
2
= · mK · v − · (mK + mW ) ·
·v
2
2
mK + mW
!
2
1
mK
= · mK − (mK + mW ) ·
· v2
2
mK + mW
=
156
1 mK · (mK + mW ) − m2K 2
·
·v
2
mK + mW
5.2 Der gerade elastische Stoß
1 mK · mW
· v2
·
2 mK + mW
1
1
= · mK +mW · v 2
2 m ·m
=
K
W
1
1 1 2 1
2
2
1
1 ·v = 2 · 1 ·v = 2 ·µ·v ,
+
mW
mK
µ
1
1
1
+
.
=
µ
mW mK
1
= ·
2
mit
Gleichungen dieser Form treten in der Physik häufiger auf. µ wird auch reduzierte
Masse genannt. Diese Ersetzungsmasse spielt bei der Behandlung von Zweikörperproblemen ( 7.5.2 (S. 207)) eine Rolle.
5.2 Der gerade elastische Stoß
5.2.1 Herleitung der Gleichungen
Wir betrachten im Folgenden den Stoß eines Körpers (1) der Masse m1 auf einen Körper
(2) der Masse m2 längs einer Geraden. Die rechnerischen Ergebnisse lassen sich etwa auf
einer Luftkissenfahrbahn experimentell nachprüfen. Allerdings liegen mir keine Messdaten vor. Das Thema wurde allein rechnerisch behandelt. Betrachtete Spezialfälle wurden
bezüglich ihrer praktischen Auswirkungen diskutiert.
#»
v 1 und #»
v 2 bzw. #»
v 01 und #»
v 02 bezeichnen die Geschwindigkeiten der einzelnen Körper
vor und nach dem Stoß. Richtung mit Orientierung von #»
v sei längs einer Gerade von
1
links nach rechts „−→“ festgelegt. In Bezug dazu werden alle anderen Orientierungen
interpretiert.
Zunächst formulieren wir das Stoßereignis mit den beiden uns bekannten Erhaltungssätzen:
Energieerhaltungssatz
1
1
1
1
2
2
· m1 · v12 + · m2 · v22 = · m1 · v10 + · m2 · v20 ;
2
2
2
2
(5.2)
Impulserhaltungssatz
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · v10 + m1 · v20 .
(5.3)
Nach Multiplikation von (5.2) mit 2 sortieren wir die Gleichungen nach den Indizes 1
und 2:
m1 · v12 − v10
m1 · v1 −
2
v10
= m2 · v20 − v22 ;
(5.4)
v20
− v2 .
(5.5)
= m2 ·
2
157
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
Nun dividiert man (5.4) durch (5.5) und beachtet die 3. binomische Formel a2 − b2 =
(a + b) · (a − b):
m1 · v12 − v10 2
m2 · v20 2 − v22
=
;
m1 · (v1 − v10 )
m2 · (v20 − v2 )
m1 · (v1 + v10 ) · (v1 − v10 )
m2 · (v20 + v2 ) · (v20 − v2 )
=
;
m1 · (v1 − v10 )
m2 · (v20 − v2 )
v1 + v10 = v20 + v2 ;
v10 = v20 + v2 − v1 ;
(5.6)
v20
(5.7)
=
v10
+ v1 − v2 .
(5.7) eingesetzt in (5.5):
m1 · v1 − v10 = m2 ·
v10 + v1 − v2 − v2 ;
m1 · v1 − m1 · v10 = m2 · v10 + m2 · v1 − m2 · v2 − m2 · v2 ;
−m1 · v10 − m2 · v10 = m2 · v1 − 2 · m2 · v2 − m1 · v1 ;
m1 · v10 + m2 · v10 = −m2 · v1 + 2 · m2 · v2 + m1 · v1 ;
v10 · (m1 + m2 ) = 2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1 ;
v10 =
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
m1 + m2
(5.8)
Analog durch Einsetzen von (5.6) in (5.5):
v20 =
2 · m1 · v1 + (m2 − m1 ) · v2
m1 + m2
(5.9)
Damit ist es möglich, den Zustand nach dem Stoß aus dem Zustand vor dem Stoß zu
beschreiben.4
5.2.2 Diskussion von Sonderfällen
Beide Körper haben gleiche Masse.
Vorausgesetzt ist also m1 = m2 = m. Aus (5.8) und (5.9) erhält man:
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
2 · m · v2 + (m − m) · v1
=
= v2 (= 0) ;
m1 + m2
m+m
2 · m1 · v1 + (m2 − m1 ) · v2
2 · m · v1 + (m − m) · v2
v20 =
=
= v1 .
m1 + m2
m+m
v10 =
4
Diese Aussage ist typisch für die klassische Physik. Aus der Kenntnis eines Ausgangszustandes ist der
nachfolgende Zustand determiniert, also vorherbestimmt.
158
5.2 Der gerade elastische Stoß
1
2
1
2
Abbildung 5.1: Beide Körper tauschen ihre Geschwindigkeit aus. Speziell gilt: Wenn der
zweite Körper ruht, so bewegt er sich mit der Geschwindigkeit des stoßenden Körpers fort. Der erste Körper bleibt stehen.
Ein Körper trifft auf einen ruhenden, mit größerer Masse.
Vorausgesetzt ist also m2 > m1 , v1 > 0 und v2 = 0. Mit (5.8) und (5.9) (s. links) gilt:
v10 =
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
m1 − m2
=
· v1 < 0 .
m1 + m2
m1 + m2
0
1 −m2
Da m2 > m1 , ist m1 − m2 < 0. Ferner ist m
m1 +m2 < 1 und daher |v1 | < v1 . Das bedeutet
−v1 < v10 < v1 oder speziell −v1 < v10 < 0.
v20 =
2 · m1 · v1 + (m2 − m1 ) · v2
2 · m1
·v1 ; daraus folgt 0 < v20 < v1 .
=
m1 + m2
m1 + m2
{z
|
<1
1
}
2
1
2
Abbildung 5.2: Nach dem Stoß bewegt sich der Körper zwei langsam nach rechts; der
kleinere Körper verliert etwas an Geschwindigkeit, deren Orientierung
sich umkehrt. Die Pfeile sind maßstabsgerecht eingezeichnet; siehe nachfolgenden Zusatz.
159
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
Zusatz Wenn man die Massen der Körper 1 und 2 mit den Geschwindigkeiten ins
richtige Verhältnis setzen will, ergeben sich folgende Daten:
Vor dem Stoß gibt es in der Abbildung 5.2 auf der vorherigen Seite zwei kugelförmige
Körper mit den Radien r1 = 0, 25 cm und r2 = 0, 65 cm. Nimmt man gleiche Materialien
an, so gilt für das Massenverhältnis:
% · 43 πr13
m1
% · V1
=
=
=
m2
% · V2
% · 43 πr23
r1
r2
3
=
0, 25 cm
0, 65 cm
3
= 0, 0569 .
Wir wählen nun m2 = 1 ME und m1 = 0, 0569 ME (Masseneinheiten) und setzen für
die Geschwindigkeit gemäß der in Abbildung 5.2 gezeichneten Länge v1 =
b 1, 75 cm fest.
Damit berechnet man:
m1 − m2
0, 0569 − 1
· v1 =
b
· 1, 75 cm = −1, 56 cm ;
m1 + m2
0, 0569 + 1
2 · 0, 0569
2 · m1
· v1 =
b
· 1, 75 cm = 0, 188 cm .
v20 =
m1 + m2
0, 0569 + 1
v10 =
Diese Pfeillängen sind eingezeichnet.
Ein Körper trifft auf einen ruhenden, mit kleinerer Masse.
Vorausgesetzt ist also m2 < m1 , v1 > 0 und v2 = 0. Mit (5.8) und (5.9) (S. 158) ist:
v10 =
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
m1 − m2
=
· v1 > 0 .
m1 + m2
m1 + m2
m1 −m2
m1 +m2
Da m2 < m1 , ist m1 − m2 > 0. Ferner ist
v20 =
< 1 und daher 0 < v10 < v1 .
2 · m1 · v1 + (m2 − m1 ) · v2
2 · m1
=
·v1 ; daraus folgt 0 < v1 < v20 .
m1 + m2
m1 + m2
|
1
{z
>1
}
2
1
2
Abbildung 5.3: Nach dem Stoß bewegt sich der Körper 2 sehr schnell nach rechts.
160
5.2 Der gerade elastische Stoß
Zusatz Wenn man die Massen der Körper 1 und 2 mit den Geschwindigkeiten ins
richtige Verhältnis setzen will, ergeben sich folgende Daten:
Vor dem Stoß gibt es in der Abbildung 5.3 (s. links) zwei kugelförmige Körper mit den
Radien r1 = 0, 65 cm und r2 = 0, 25 cm. Nimmt man gleiche Materialien an, so gilt für
das Massenverhältnis:
% · 43 πr23
m2
% · V2
=
=
=
m1
% · V1
% · 43 πr13
r2
r1
3
=
0, 25 cm
0, 65 cm
3
= 0, 0569 .
Wir wählen nun m1 = 1 ME und m2 = 0, 0569 ME (Masseneinheiten) und setzen für
die Geschwindigkeit gemäß der in Abbildung 5.3 gezeichneten Länge v1 =
b 0, 5 cm fest.
Damit berechnet man:
1 − 0, 0569
m1 − m2
· v1 =
b
· 0, 5 cm = 0, 446 cm ;
m1 + m2
1 + 0, 0569
2 · m1
2·1
v20 =
· v1 =
b
· 0, 5 cm = 0, 946 cm .
m1 + m2
1 + 0, 0569
v10 =
Diese Pfeillängen sind eingezeichnet. Die Positionen der Körper 1 und 2 sind relativ
zueinander korrekt dargestellt.
Man erkennt ferner, dass der Geschwindigkeitsverlust von Körper 1 nur gering ist. Dafür
ist die Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung) von Körper 2 unvermittelt sehr groß.
Man kann nun verstehen, dass es sehr kritisch ist, wenn ein LKW auf einen stehenden
PKW (Stauende) auffährt, obwohl der Stoß auch teilweise unelastisch ist.
Ein Körper trifft auf eine Wand.
Wir simulieren die Wand durch den Ansatz m2 m1 , d. h.
1
m1
≈0
m2
sowie v1 > 0 und v2 = 0. Dabei bedeutet m2 die Masse der Wand. Mit (5.8) und (5.9)
(S. 158) folgt:
m2 ·
m1
m2
−1
v10 =
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
m1 − m2
· v1 ≈ −v1 ;
=
· v1 =
1
m1 + m2
m1 + m2
m2 · m
+
1
m2
v20 =
2 · m1 · v1 + (m2 − m1 ) · v2
2 · m1
=
· v1
m1 + m2
m1 + m2
2 · m1
· v1 ≈ 0 .
v20 =
1
m2 · m
+
1
m2
(5.10)
161
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
Ein Körper prallt also mit der gleichen Geschwindigkeit wieder von der Wand ab, die
fest stehen bleibt, und er behält wegen v12 = v10 2 seine kinetische Energie.
Die Impulsänderung beträgt aber insgesamt Null, denn man hat für den Körper:
∆p1 = p1 − p01 = m1 · v1 − m1 · v10 = 2 · m1 · v1 ,
bzw. für die Wand gemäß (5.10):
∆p2 = 0 − p02 = −m2 · v20 = −m2 ·
2 · m1
m2 ·
m1
m2
+1
· v1 = −2 · m1 · v1 .
Die Energie, die die Wand erhält, errechnet sich zu:
2
W2 =
1
1
2 · m1
2
· v1
· m2 · v20 = · m2 ·
2
2
m2 · m1 + 1
m2
1
4 · m21
2
= · m2 ·
2 · v1 ·
2
m1
2
m2 · m2 + 1
4·
=
=
m1
m2
1
m22
1
m22
2
1
2
· m2 · 2 · v1
2
m1
m2 + 1
m
1 4 · m1 · m12
2
·
2 · v1 ≈ 0 .
2
m1
+1
m2
Mit v20 ≈ 0 lässt sich das schon nach dem zweiten Gleichheitszeichen feststellen. Wenn
man aber die inneren Abhängigkeiten vom Massenverhältnis sehen möchte, ist die gezeigte Umformung nützlich.
Energieübertrag bei einer Turbine
Wasserteilchen treffen (senkrecht) auf eine Turbinenschaufel.5 Wir simulieren die Turbine
wie bei der Betrachtung des Stoßes auf eine Wand (Seite 161) durch den Ansatz m2 m1 , d. h.
m1
1
≈0
m2
sowie v1 = u und v2 = α · u. Dabei bedeutet m2 die Masse der Turbinenschaufel und
m1 die Masse eines Wasserteilchens. u ist die Geschwindigkeit der Wasserteilchen (v1 ).
Gesucht ist die Geschwindigkeit der Turbinenschaufel (v2 ) als Anteil von u, so dass die
5
[17] 2.6.3.9.
162
5.2 Der gerade elastische Stoß
Energieübertragung maximal ist. Mit (5.8) folgt:
v10 =
2 · m2 · v2 + (m1 − m2 ) · v1
2 · m2 · α · u + m1 · u − m2 · u
=
·
m1 + m2
m1 + m2
=
2·α·u+
m1
m2
m1
m2
1
m2
1
m2
·u−u
+1
≈ (2 · α − 1) · u
Wählt man nun α = 12 , so ist v10 = 0, der Energieübertrag daher maximal. Die gesamte
kinetische Energie wird an der Turbinenschaufel abgegeben.
Fazit Eine Turbine hat dann ihren höchsten Wirkungsgrad, wenn die Geschwindigkeit
der Schaufeln halb so groß ist wie die des einströmenden Wassers.
5.2.3 Weitere vermischte Beispiele
Stoß zweier Güterwagen
Ein 10 t schwerer Güterwagen wird mit der Geschwindigkeit 3 ms gegen einen zweiten
stehenden gestoßen. Dieser bewegt sich nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit 2 ms .
Welche Masse hat der zweite Güterwagen? Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der
erste Wagen nach dem Stoß? (Der Vorgang wird als völlig elastisch angenommen.)6
Benutzt man die Gleichungen (5.8) und (5.9) (S. 158), so gestaltet sich die Rechnung
überschaubar7 , da die Gleichungen ohne Quadrat auskommen. Daher ist mit v2 = 0:
m1 − m2
10 t − m2
m
· v1 =
·3 ;
m1 + m2
10 t + m2
s
m
2
·
10
t
m
=2 ;
v20 =
·3
10 t + m2
s
s
60 t = 20 t + 2 · m2 ;
v10 =
m2 = 20 t .
(5.11)
(5.12)
(5.12) eingesetzt in die Gleichung (5.11):
v10 =
10 t − m2
m
10 t − 20 t
m
m
·3
=
·3
= −1 .
10 t + m2
s
10 t + 20 t
s
s
Die Masse des 2. Güterwagens beträgt 20 t. Der erste Wagen bewegt sich nach dem Stoß
mit der Geschwindigkeit 1 ms rückwärts.
6
7
[17] 2.6.3.2.
Benutzt man den Ansatz über den Impuls- und Energieerhaltungssatz, so führt die Rechnung auf eine
quadratische Gleichung. Von den beiden Lösungen ist dann eine physikalisch nicht sinnvoll.
163
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
Klick-Klack-Kugeln
Sieben gleiche und völlig elastische Kugeln der Masse m sind an Fäden so aufgehängt,
dass sie eine gerade Reihe bilden und sich in Ruhelage ohne Druck berühren. Man hebt
nun links zwei Kugeln hoch und lässt sie los, so dass sie mit der Geschwindigkeit v auf
die restliche Reihe der Kugeln aufprallen.8
1. Energie- und Impulssatz sind erfüllt, wenn zwei Kugeln rechts abgestoßen werden
und dabei die Geschwindigkeit v erhalten.
Der Impuls- und Energieerhaltungssatz gelten beide trivialerweise:
(2 · m) · v = (2 · m) · v
und
1
1
· (2 · m) · v 2 = · (2 · m) · v 2 .
2
2
2. Dies ist nicht der Fall, wenn rechts nur eine Kugel mit doppelter Geschwindigkeit
abgestoßen würde.
Dann wäre der Impulserhaltungssatz erfüllt, jedoch nicht der Energieerhaltungssatz:
(2 · m) · (1 · v) = (1 · m) · (2 · v) und
2·m·v =2·m·v
und
1
1
· (2 · m) · (1 · v)2 = · (1 · m) · (2 · v)2 ;
2
2
m · v 2 = 2 · m · v 2 falsch .
Die Funktionsweise der Klick-Klack-Kugeln hängt also von beiden Erhaltungssätzen ab.
Eisstockschießen
Ein Eisstock prallt mit der Geschwindigkeit v1 in zentralem, völlig elastischem Stoß auf
eine kleine Eisenscheibe. Welche Geschwindigkeit erhält diese, wenn ihre Masse so klein
ist, dass man sie gegenüber dem Eisstock vernachlässigen darf?9
Die Daten für den Eisstock sind: v1 , m1 und v10 . Die Daten für die Eisenscheibe ergeben
sich aus dem Text: v2 = 0, m2 m1 und v20 . Nach (5.9) (S. 158) erhält man dann:
v20 =
2 · m1 · m11
2 · m1
2
· v1 =
· v1 =
· v1 ≈ 2 · v1 ,
1
2
m1 + m2
1+ m
(m1 + m2 ) · m1
m1
denn wegen m2 m1 ist
8
9
[17] 2.6.3.5.
[17] 2.6.3.8.
164
m2
m1
1.
5.2 Der gerade elastische Stoß
Ein Beispiel für einen nicht geraden elastischen Stoß
Untersuche den Stoß zweier gleicher Massen m1 = m2 = m. Für den Körper 1 sei #»
v 1 = #»
v
#»
#»
und für Körper 2 gelte v 2 = o .
#»
v ′1
α
#»
v
1 2
α
180◦ − α
#»
v′
#»
v ′2
Abbildung 5.4: Zwei Körper gleicher Masse machen entweder einen geraden elastischen
Stoß oder laufen unter einem Winkel von 90◦ auseinander. Das Experiment lässt sich einfach mit zwei gleichen Münzen nachstellen.
Mit dem Impulserhaltungssatz Satz 16 (S. 107) setzt man an:
m · #»
v = m · #»
v 01 + m · #»
v 02 = m · #»
v0;
#»
v = #»
v 0 + #»
v 0 = #»
v0;
v2 =
2
v =
1
02
v1
2
v10
+
+
2
02
v2 −2 · v10 · v20 · cos (180◦
2
v20 + 2 · v10 · v20 · cos α .
(5.13)
− α) ;
(5.14)
(5.15)
Die in den Gleichungen (5.14) und (5.15) auf dieser Seite benutzten Beziehungen sind
im Anhang „Der Cosinussatz“ B.6.1 (S. 462) bzw. „Skalarprodukt von Vektoren und
Cosinussatz“ B.6.2 (S. 463) und Satz 101 (S. 459) erklärt. Mit dem Energieerhaltungssatz
folgt nun:
1
1
1
2
2
· m · v 2 = · m · v10 + · m · v20 ;
2
2
2
2
2
v 2 = v10 + v20 .
(5.16)
Aus (5.15) auf dieser Seite und (5.16) schließt man
2 · v10 · v20 · cos α = 0
Das ergibt mit (5.13) auf dieser Seite folgende Möglichkeiten:
1. v10 = 0 =⇒ #»
v = #»
v 02 = #»
v 0.
Nach dem Stoß bleibt 1 stehen und 2 bewegt sich mit #»
v weiter.
165
5 Erhaltungssätze in Kombination; Stoßversuche
2. v20 = 0 =⇒ #»
v = #»
v 01 = #»
v 0.
Nach dem Stoß bleibt 2 stehen und 1 bewegt sich mit #»
v weiter. Das für Massenpunkte ermittelte Ergebnis zeigt, dass diese nicht zu unterscheiden sind. In der
Praxis tritt so etwas nicht auf. Man könnte natürlich auch sagen, dass kein Stoß
stattgefunden hat. Dies macht den Fall aber auch nicht besser.
3. cos α = 0 =⇒ α = 90◦ .
Die Körper laufen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, aber immer unter 90◦
auseinander.
166
6 Kreisbewegung
6.1 Kinematik der Kreisbewegung
Abbildung 6.1: Nicht ganz eine Kreisbewegung
In der Abbildung 6.1 fährt eine Eisenbahn im Kreis. Nun muss man etwas genauer
sehen, dass eine Kreisbewegung, so wie wir sie hier betrachten wollen, die Bewegung
eines Punktes (Massenpunktes) auf einer Kreisbahn bedeutet. So etwas gibt es nicht,
aber eine Eisenbahn, die auf einem Schienenkreis unterwegs ist – viele Kinder fangen ja
mit einer solchen Ausstattung an und liegen oft minutenlang mit dem Kopf neben den
Schienen und beobachten das Fahren des Zuges oder einfach nur der Lokomotive – ist
in guter Näherung ein Modell für die nun zu entwickelnde Vorstellung. Wenn man nicht
am Trafo dreht, so bewegt sich der Zug auf der Kreisbahn gleichförmig. Diese Bewegung
wollen wir im Folgenden genauer betrachten.
Def. 20. Gleichförmige Kreisbewegung
Eine Kreisbewegung heißt gleichförmig, wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege auf dem
Kreis zurückgelegt werden.
6.1.1 Ort, Zeit und Geschwindigkeit
Ort
Die Position eines Körpers lässt sich mit Polarkoordinaten beschreiben. Dazu gibt man
den Winkel ϕ und den Abstand von einem Koordinatenursprung r an. Die Umrechnung
in kartesische Koordinaten erläutert die Abbildung 6.2 (S. 168). Da eine Kreisbewegung
eine ebene Bewegung ist, erübrigt sich die Angabe einer dritten Koordinate z.
167
6 Kreisbewegung
y
m
(x|y) = (r cos ϕ|r sin ϕ)
r sin ϕ
r
ϕ
x
r cos ϕ
Abbildung 6.2: Der Ort des Körpers m lässt sich mit Polarkoordinaten recht einfach
beschreiben.
Zeit
Der zeitlichen Verlauf der Kreisbewegung lässt sich über die Zeit für einen vollständigen
Durchlauf des Kreises (Umlaufdauer) beschreiben.
Def. 21. Zeit für einen Umlauf ; Größenzeichen: T .
Damit hängt zusammen die
Def. 22. Anzahl der Umläufe pro Zeit (Frequenz); Größenzeichen: f .
Beispiel Die Eisenbahn benötigt 7, 5 s, um den Schienenkreis zu durchfahren: T =
7, 5 s. Für die Frequenz hat man dann
f=
1 (= Umlaufanzahl)
1
= 0, 133 .
7, 5 s
s
Beispiel Beträgt die Frequenz eines Vorgangs f = 50 1s , so bedeutet das, dass 1 Umlauf
1
50 s dauert, also
1
T =
s = 0, 02 s = 20 ms.
50
Offenbar gilt für den Zusammenhang zwischen T und f :
T =
168
1
f
und
f=
1
T
(6.1)
6.1 Kinematik der Kreisbewegung
Für die Einheit der Frequenz ergibt sich also:
[f ] =
1
def
= s−1 = Hz
s
Die Einheit Hz (lies: Hertz) ist nach dem deutschen Physiker Heinrich Hertz, 1857–
1894) benannt.
Abbildung 6.3: Briefmarkenausgabe der Deutschen Bundespost zum 100. Geburtstag
von Heinrich Hertz 1957
In den obigen Beispielen hätte man auch schreiben können: Die Eisenbahn hat eine
Frequenz von 0, 133 s−1 und T = 20 ms bedeuten eine Frequenz von f = 50 Hz.
Bahngeschwindigkeit
Unter der Bahngeschwindigkeit versteht man den Quotienten aus dem auf dem Kreis
zurückgelegten Weg und der dazugehörigen Zeit:
Bahngeschwindigkeit =
Weg (auf dem Kreis)
zugehörige Zeit
(6.2a)
2πr
T
(6.2b)
2π
= 2πf
T
(6.3)
v=
Mit der Definition
Def. 23. Kreisfrequenz
ω=
erhält man:
v = ω · r = 2πf · r
(6.4)
Beispiel Die Eisenbahn benötigt 7, 5 s, um den Schienenkreis zu durchfahren: T =
7, 5 s. Der Radius des Schienenkreises beträgt 1 020 mm. Damit ergibt sich für ω und die
169
6 Kreisbewegung
Bahngeschwindigkeit v:
2π
2π
1
=
= 0, 838 ;
T
7, 5 s
s
mm
1
.
v = ω · r = 0, 838 · 1 020 mm = 855
s
s
ω=
Geschwindigkeit
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist nur der Betrag der Geschwindigkeit konstant. da die Richtung von #»
v sich stets ändert, ist die gleichförmige Kreisbewegung eine
beschleunigte Bewegung. Wir erwarten also gemäß
∆ #»
v
#»
F =m·
∆t
Kräfte. Vergleiche dazu Abbildung 6.4 (S. 170) und das Kapitel über Dynamik der
Kreisbewegung 6.2 (S. 176).
y
#»
v1
#»
v2
x
#»
v3
Abbildung 6.4: Die Geschwindigkeitsvektoren #»
v 1 , #»
v 2 und #»
v 3 sind alle verschieden; allerdings ist v1 = v2 = v3 , das heißt, die Vektoren haben alle den gleichen
Betrag (die gleiche Länge), da die Bahngeschwindigkeit v an jeder Stelle
des Kreises konstant ist.
170
6.1 Kinematik der Kreisbewegung
y
1
b
x
ϕ
1
r x
Abbildung 6.5: Zusammenhang zwischen Bogenmaß x und Bogenlänge b
6.1.2 Gradmaß und Bogenmaß
Gradmaß
Das Gradmaß für Winkel ist natürlich bekannt; es umfasst die Winkelmaße 0◦ . . . 360◦ .
Wenn man den Kreis fortgesetzt durchläuft, ordnet man diesen Positionen Winkel über
360◦ zu. Entsprechendes gilt für eine vorangegangene oder anders orientierte Bewegung
auf dem Kreis. Diese Positionen können mit negativen Winkeln ausgedrückt werden.
Bogenmaß
Eine einheitenfreie Winkeldarstellung erfolgt durch das Bogenmaß.
Unter dem Bogenmaß x (eines Winkels ϕ) versteht man die Länge des Bogens
b im Einheitskreis (Abbildung 6.5).
Die Bogenlänge b im Kreis mit Radius r berechnet sich zu:
b=
ϕ
· 2πr .
360◦
ϕ
Dabei gibt 2πr den Umfang des Kreises insgesamt und
den Anteil des Winkels ϕ
◦
360
◦
am Vollwinkel 360 an.
171
6 Kreisbewegung
Der Einheitskreis hat den Radius 1 (beachte die Fußnote 1 ). Also gilt für das Bogenmaß
x=
Zusatz
ϕ
·π
180◦
Beachte, dass folgender Zusammenhang zwischen b und x besteht2 :
b=x·r
Beispiel
→RAD
(6.5)
Für den Winkel ϕ = 90◦ berechnet sich das Bogenmaß zu:
x=
ϕ
90◦
1
π
·
π
=
·π = ·π = .
◦
◦
180
180
2
2
Die Einheit „Radiant“
Zur besonderen Kennzeichnung der Herkunft der Zahl „Winkel im Bogenmaß“ führt man
die Einheit 1 rad ein.
Def. 24. Radiant
1 rad =
b
r
Beispiel
90◦ =
def
=
1m
= 1.
1m
(6.6)
π
π
= rad
2
2
Die Umkehrfunktion zu →RAD (S. 172) berechnet sich zu:
ϕ=
Beispiel
180◦
·x
π
→DEG
Sei x = 1 rad. Dann gilt (Abbildung 6.6, S. 173):
ϕ=
180◦
· 1 = 57, 3◦ .
π
6.1.3 Bemerkungen zu Kreisfrequenz und Winkelgeschwindigkeit
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung gilt (vergleiche Definition 23, S. 169):
ϕ
360◦
2π
=
=
= ω.
t
T
T
1
(6.7)
Längen wie der Radius eines Kreises sind in der Mathematik reelle Zahlen und daher einheitenfrei.
Vergleiche dazu auch die Ausführungen zur Einheit „rad“.
b
x
2
Man kann sich das leicht als „Strahlensatz“ merken: = .
r
1
172
6.1 Kinematik der Kreisbewegung
1m
1m
ϕ = 57, 3◦
1m
Abbildung 6.6: Der Winkel 1 Radiant (1 rad)
In der vorstehenden Gleichung (6.7) erkennt man, dass ω nicht nur als Abkürzung (Kreis2π
frequenz) ω =
= 2πf verwendet werden kann, sondern auch als Geschwindigkeit
T
auftritt. Die Gleichung (6.7) ist in der Tat ein Spezialfall der allgemeinen Definition
rad
∆ϕ
in der Einheit 1
. Damit kann die
der Größe ω als Winkelgeschwindigkeit ω =
∆t
s
ungleichförmige Kreisbewegung kinematisch beschrieben werden. Dabei ist die Bahngeschwindigkeit nicht konstant. Dies soll aber an dieser Stelle nicht weiter verfolgt werden.
Schließlich ergibt sich aus der Gleichung (6.7) (S.172) ein später oft benötigter Zusammenhang zur zeitlichen Abhängigkeit eines Winkels von der Zeit:
ϕ = ωt =
2π
·t
T
(6.8)
6.1.4 Beispiele
1. Ein Karussell dreht sich mit der Umlaufdauer T = 5 s. Wie lange benötigt ein
Körper für einen Winkel von 43, 2◦ ?
Man könnte sofort wie in (6.7) (S. 172) eine Verhältnisgleichung ansetzen:
43, 2◦
t
=
;
◦
360
5s
43, 2◦
t=
· 5 s = 0, 6 s .
360◦
Genauso – nur anders – stellt sich die formale Rechnung mittels Gleichung (6.8)
(S. 173) dar:
t=
ϕ
43, 2◦
ϕ
= 2π =
· 5s =
ω
2π
T
π
180◦
· 43, 2◦
· 5 s = 600 ms .
2π
2. Die Frage3 , wie viele Umdrehungen pro Sekunde ein Autoreifen von 72 cm Durchmesser bei einer Geschwindigkeit von 90 km
h macht, lässt sich wie folgt beantworten.
3
[17] 2.7.1.1.
173
6 Kreisbewegung
Aus v =
2πr
berechnet man (siehe (6.1), (6.2b), S. 169):
T
90 km
1
v
90 · 103 m
1
h
=f =
=
=
= 11, 1 .
T
2πr
2π · 36 cm
2π · 0, 36 m · 3 600 s
s
Daher macht der Autoreifen 11,1 Umdrehungen je Sekunde.
3. Welche Winkelgeschwindigkeit besitzt der Minutenzeiger (siehe (6.3), S. 169)?
4
2π
2π
rad
2π
=
=
= 1, 75 · 10−3
T
1h
3 600 s
s
−3
−3 1
= 1, 75 · 10 Hz .
= 1, 75 · 10
s
ω=
4.
a) Welche Geschwindigkeit hat ein Punkt des Äquators bei der Erdrotation (siehe (6.2b), S. 169)? 5 6
v=
2π · rE
2π · 6, 371 · 106 m
2π · 6, 371 · 106 m
m
=
=
= 463 .
T
1d
24 · 3 600 s
s
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Punktes des 60. Breitengrades?
7
Betrachte die Abbildung 6.2 (S. 168). Die Lösung erfolgt wie bei Aufgabe
4a, nur ist hier der wirksame Radius r die Länge des Lotes von m auf die
y-Achse (Rotationsachse der Erde), also genauso lang wie die blaue Linie auf
der x-Achse. Daher gilt:
v=
2π · rE cos ϕ
m
m
2π · r
=
= 463 · cos 60◦ = 232 .
T
T
s
s
c) Welche Winkelgeschwindigkeit hat die Erde (siehe (6.4), S. 169)?
ω=
8
463 ms
v
rad
=
= 72, 7 · 10−6
.
6
rE
6, 371 · 10 m
s
6.1.5 Beschleunigung
Betrachte die Abbildung 6.7 (S. 175) 9 . Sie zeigt einen Körper m im Punkt A, der
sich auf einer Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegt. Ohne weitere
Wechselwirkungen würde sich der Körper von A aus geradlinig tangential zum Kreis
4
[17]
[17]
6
[24]
7
[17]
8
[17]
9
[17]
5
174
2.7.1.4.b
2.7.1.5.
Der (mittlere) Erdradius beträgt rE = 6, 371 · 106 m.
2.7.1.6.
2.7.1.7.
2.7.2.2.
6.1 Kinematik der Kreisbewegung
ℓ
A m
B
s
C
r
r
Abbildung 6.7: Wir zerlegen nach dem Unabhängigkeitsprinzip (siehe 2.1.1 (S. 71)) die
Bewegung des Körpers in eine gleichförmige Bewegung von A nach B
und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung von B nach C.
weiterbewegen und in einer Zeit t bis zum Punkt B gelangen. Da der Körper aber auf
dem Kreis bleibt, muss eine Kraft – und damit eine Beschleunigung – dafür sorgen, dass
er sich nach der Zeit t im Punkt C befindet. Diese Überlegung kann man in C erneut
denken, so dass man auf diese Weise eine „Sägezahn-Kreisbahn“ des Körpers erhält.
Wählt man die Zeit t für die einzelnen Vorgänge aber beliebig klein (berechnet also den
Grenzwert für t → 0), so werden die „Zähne“ beliebig klein, und man beschreibt auf
diese Weise die Kreisbahn des Körpers.
Aus den geometrischen Zusammenhängen ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:
`2 + r2 = (r + s)2 = r2 + 2rs + s2 ;
2
2
` = 2rs + s .
| − r2
(6.9)
(6.10)
Die gleichförmige Bewegung wird beschrieben durch:
` = v · t.
(6.11)
Die beschleunigte Bewegung wird beschrieben durch:
1
s = at2 .
2
(6.12)
Dabei bedeutet t die für beide Vorgänge gemeinsame Zeit.
175
6 Kreisbewegung
Setzt man (6.12) und (6.11) in (6.10) ein, so hat man:
1
1
v 2 t2 = 2r · at2 + a2 t4 ;
2
4
1
v 2 = ra + a2 t2
4
1 2
=a
at + r .
4
| : t2
Betrachtet man nun den Grenzwert für t → 0, so folgt, da a = konst und r = konst:
v 2 = ar
Zentripetalbeschleunigung
Die im vorstehenden Ausdruck berechnete Beschleunigung nennt man Zentripetalbeschleunigung aZ . Für diese gilt
v2
(6.13)
aZ =
r
Wegen
v2
ω2 r2
=
(siehe (6.4), S. 169) gilt ebenso:
r
r
aZ = ω 2 · r
(6.14)
Nur der Betrag der Zentripetalbeschleunigung ist konstant. Der Beschleunigungsvektor
#»
a Z steht an jeder Stelle der Kreisbahn senkrecht zur Tangente, also senkrecht zum
Geschwindigkeitsvektor (siehe Abbildung 6.8 (S. 177). #»
a Z ist stets zum Mittelpunkt des
Kreises hin orientiert.
6.2 Dynamik der Kreisbewegung
Gemäß der Grundgleichung der Mechanik (siehe (3.12) (S. 115)) folgt aus (6.13) und
(6.14) für die Kraft, die diese Beschleunigung an einem Körper der Masse m bewirkt,
die sogenannte Zentripetalkraft:
Zentripetalkraft
FZ = m · aZ = mω 2 r = m
v2
r
(6.15)
#»
FZ ist nur der Betrag von F Z ; dieser hat immer die gleiche Richtung und Orientierung
wie #»
a Z.
176
6.2 Dynamik der Kreisbewegung
y
#»
v1
#»
v2
a# »
Z1
a# »
Z2
x
a# »
Z3
#»
v3
Abbildung 6.8: Die Beschleunigungsvektoren #»
a Z1 , #»
a Z2 und #»
a Z3 sind alle verschieden;
allerdings ist aZ1 = aZ2 = aZ3 . Die Zentripetalbeschleunigung aZ ist
konstant.
#»
F Z ist die Kraft, die ein nicht mitbewegter Beobachter feststellt, damit ein Körper an
der Kreisbahn teilnimmt. Andernfalls würde sich ja der Körper geradlinig gleichförmig
weiterbewegen.
Zentrifugalkraft
Etwas anders beschreibt ein mitbewegter Beobachter die wirkenden Kräfte. Als Astronaut
in der ISS ist man kräftefrei. Das gleiche gilt für ein Kind, welches im Karussell auf der
Kirmes mitfährt.
Nun ist aber bekannt, dass eine Kraft dafür verantwortlich ist, dass man sich im Kreis
bewegt. Die Kräftefreiheit kann man sich also nur so erklären, dass eine Gegenkraft zur
Zentripetalkraft, nämlich die Zentrifugalkraft (auch Fliehkraft genannt)
#»
#»
F ∗Z = −F Z
(6.16)
wirken muss. Man spürt sie ja auch. Man wird nach außen gedrückt, bewegt sich aber
nicht, denn der Sitz hält einen fest. Den besten Eindruck bekommt man davon, wenn
man im Karussell den eigenen Sitz fixiert (er ist in Ruhe), aber beobachten kann, wie
die Welt sich um einen herumdreht.
#»
Ein außenstehender Beobachter sieht nur die Zentripetalkraft F Z ; ein mitbewegter Beob-
177
6 Kreisbewegung
achter führt die Zentrifugalkraft als Scheinkraft ein, um seine Kräftefreiheit zu erklären.
Die „Schwerelosigkeit“ der ISS-Astronauten kann man als außenstehender Beobachter
dadurch erklären, dass genau die Gewichtskraft der ISS als Zentripetalkraft benötigt
wird, um an der Kreisbahn um die Erde teilnehmen zu können.
#»
F ∗Z
#»
v
#»
FZ
#»
FZ
Abbildung 6.9: Der außenstehende Beobachter sieht den Körper mit der Bahngeschwin#»
digkeit #»
v und der daraus resultierenden Zentripetalkraft F Z , die den
Körper auf den Kreis zwingt (links). Der mitbewegte Beobachter ist kräf#»
tefrei und muss daher die Zentrifugalkraft F ∗Z annehmen.
6.3 Experiment mit Zentralkraftgerät
Das Drehsystem10 dient zur quantitativen Untersuchung von Drehbewegungen. In Verbindung mit dem Zentralkraftzusatz11 kann man den Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit ω, Fliehkraft FZ∗ (auch alternativ Zentripetalkraft FZ – je nach Betrachtungsweise) , Masse m und Radius r quantitativ erarbeiten (vergleiche (6.15), S. 176 und
Abbildung 6.10, S. 179)
ω2 =
FZ∗
.
m·r
Die beiden in der „Luft schwebenden Rollen“ sind natürlich in einer durchsichtigen Halterung verbaut, die in der Abbildung 6.10 weggelassen wurde. m stellt variable Scheibengewichte dar und F die durch ein Massenstück hervorgerufene Zentripetalkraft. Der
Abstand r ist in Stufen variabel.
Nun versetzt man das Gerät in schnelle Rotation, so dass die Kraft F nicht ausreicht,
m an die Begrenzung in Richtung der Mitte zu ziehen. Wartet man eine Weile, so wird
die Drehfrequenz wegen der Reibung langsam abnehmen. Bei einer bestimmten Frequenz zieht die Kraft F die Gewichte m an die innere Begrenzung. Man erkennt das am
schlagartigen Absinken des Massenstückes. Die zugehörige Umlaufdauer wird mit einer
10
11
[21] Gerätebeschreibung 347 23
[21] Gerätebeschreibung 347 24
178
6.3 Experiment mit Zentralkraftgerät
auf den Drehteller aufgedruckten Winkelskala über einen Fototransistor gemessen und
kann in dem Augenblick den Absinkens von einer Digitalanzeige verhältnismäßig gut
abgelesen werden. Ich habe diese Messungen mehrfach durchgeführt und möchte einige
Messergebnisse an dieser Stelle angeben.
F
m
r
ω
Abbildung 6.10: Schematischer Aufbau des Zentralkraftzusatzes 347 24 zum Drehsystem
347 23 von Leybold
Wir wollen in diesem Experiment zeigen, dass die in Abschnitt 6.1.5, (S. 174) über einen
Grenzprozess hergeleitete Gleichung (6.15)
FZ = mω 2 r
quantitativ bestätigt wird. Dazu gehen wir wie folgt vor. Wir formen die eben genannte
Gleichung um, wobei wir F statt FZ schreiben, da F die Gewichtskraft des Massenstücks
ist, welche die Zentripetalkraft für den passenden Fall von ω angibt, wie es eingangs
beschrieben wurde:
ω2 =
F
.
mr
1
1. Messreihe ω 2 ∼ , wenn F = 0, 01 kg · g = konst und r = 0, 06 m. Verändert
m
wird m im Bereich 10 g > m > 45 g.
Dann sollte für ω gelten: 345◦ 1s < ω < 733◦ 1s oder im Bogenmaß 6, 03 rad
s < ω <
12, 8 rad
.
s
Messdaten (1989):
179
6 Kreisbewegung
m
kg
ω
◦ /s
ω
rad/s
1/m
1/kg
ω2
(rad/s)2
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
731
600
523
472
434
400
378
360
12,8
10,5
9,13
8,24
7,57
6,98
6,60
6,28
100,00
66,67
50,00
40,00
33,33
28,57
25,00
22,22
162,78
109,66
83,32
67,86
57,24
48,74
43,52
39,48
ω2
rad 2
s
bc
160
120
bc
bc
80
bc
bc
40
bc
bc
bc
0
0
20
40
60
80
100
1
m
1
kg
Lineare Regression ergibt (Regressionskoeffizient R2 = 1, 000):
y = 1, 588 · x + 3, 983 ;
ω2
rad
s
2 = 1, 588 ·
1
m
1
kg
+ 3, 983 .
Zum Vergleich:
F
0, 01 kg · g
N
=
= 1, 64 .
r
0, 06 m
m
1
, wenn F = 0, 005 kg · g = konst und m sich zusammensetzt
r
aus der Masse eines Halters mit zwei Ringblechen (10 g) und dazu paarweise aufgesteckten Lochtalern je 5 g: m = 20 g = 0, 020 kg = konst. Verändert wird r im
Bereich 8 cm > r > 3 cm.
2. Messreihe
ω2 ∼
Dann sollte für ω gelten: 314◦ 1s < ω < 513◦ 1s oder im Bogenmaß 5, 49 rad
s < ω <
180
6.3 Experiment mit Zentralkraftgerät
8, 96 rad
s .
Messdaten (1989):
r
m
ω
◦ /s
ω
rad/s
1/r
1/m
ω2
(rad/s)2
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
330
367
373
424
476
536
5,76
6,41
6,51
7,40
8,31
9,35
12,5
14,3
16,7
20,0
25,0
33,3
33,2
41,1
42,4
54,8
69,1
87,4
ω2
rad 2
s
bc
80
bc
60
bc
bc
40
bc
bc
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1
r
1
m
Lineare Regresson liefert die Gleichung (Regressionskoeffizient R2 = 0, 990):
y = 2, 613 · x + 1, 605 ;
ω2
1
rad
s
m
r
2 = 2, 613 · 1 + 1, 605 .
Zum Vergleich:
F
0, 005 kg · g
N
=
= 2, 45 .
m
0, 020 kg
kg
3. Messreihe ω 2 ∼ F , wenn m = 0, 050 kg und r = 0, 06 m. Verändert wird F im
Bereich 0, 005 kg · g < F < 0, 040 kg · g.
181
6 Kreisbewegung
Dann sollte für ω gelten: 232◦ 1s < ω < 655◦ 1s oder im Bogenmaß 4, 04 rad
s < ω <
11, 4 rad
.
s
Messdaten (1989):
F
0,049
N
ω
239
◦ /s
ω
4,17
rad/s
ω2
(rad/s)2
17,4
0,098
0,147
0,196
0,245
0,294
0,343
0,392
332
405
468
521
569
611
655
5,79
7,07
8,17
9,09
9,93
10,66
11,43
33,6
50,0
66,7
82,7
98,6
113,7
130,7
ω2
rad 2
s
150
bc
bc
100
bc
bc
bc
50
bc
bc
bc
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
F
N
Lineare Regression liefert die Gleichung (Regressionskoeffizient R2 = 1, 000):
y = 329 · x + 1, 55 ;
ω2
rad
s
2 = 329 ·
F
+ 1, 55 .
N
Zum Vergleich:
1
1
1
=
= 333
.
mr
0, 050 kg · 0, 06 m
kgm
182
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
6.4.1 Bewegung auf einem horizontalen Kreis
Schleudert man einen Stein von 200 g immer schneller an einem Bindfaden in einem
horizontalen Kreis, so wird der Faden irgendwann reißen. Bei welcher Frequenz tritt das
ein, wenn der Faden 50 cm lang ist und 100 N aushält?
Aus (6.15) (S. 176) erhält man:
FZ = mω 2 r = m · 4π 2 f 2 · r ;
FZ
100 N
1
f2 = 2
= 2
= 25, 3 2 ;
4π mr
4π · 0, 2 kg · 0, 5 m
s
f = 5, 03 Hz .
6.4.2 Bewegungen mit der Erde
Nehmen wir an, die Erde sei eine Kugel mit dem Radius R = 6 378 km. Berechne die
Zentripetalkraft, die ein Beobachter (75 kg) am Nordpol, am Äquator und am 50. Breitengrad – das ist zum Beispiel wenige Kilometer nördlich von Bingen am Rhein – erfährt.
Zur Lösung betrachten wir die Abbildung 6.11.
Am Äquator hat man gemäß (6.15):
4π 2
·R
T2
4π 2
= 75 kg ·
· 6 378 km
(24 · 3 600 s)2
= 2, 53 N .
FZ = mω 2 R = m ·
Am 50. Breitengrad muss man entsprechend Abbildung 6.11 nur R durch r = R cos ϕ
ersetzen, da der Abstand zur Drehachse den Radius der Kreisbahn angibt:
4π 2
· R cos ϕ
T2
4π 2
◦
= 75 kg ·
2 · 6 378 km · cos 50
(24 · 3 600 s)
= 2, 53 N · cos 50◦ = 1, 63N .
FZ = mω 2 r = m ·
Am Nordpol ist offenbar FZ = 0, da r = R · cos 90◦ = 0 ist.
Man kann nun noch die Frage stellen, wie groß die Umlaufdauer ist, d. h. wie lang ein
Tag sein muss, damit am Äquator aZ = g ist. Dann könnte ein Affe im Urwald seine
183
6 Kreisbewegung
N
m
s2
m
g = 9, 8126 2
s
g = 9, 8322
r
R
ϕ
O
g = 9, 7805
m
s2
r = R cos ϕ
Abbildung 6.11: Kreisbewegung mit der Erde um ihre eigene Drehachse; man beachte
die unterschiedlichen Werte für die Fallbeschleunigung g. Der mittlere
Wert bezieht sich auf Berlin; siehe [11, S. 282].
Banane loslassen, ohne dass sie auf den Boden fällt, da die gesamte Gewichtskraft für
die Zentripetalkraft – also zur Teilnahme an der Kreisbewegung – benötigt wird. Dies
gilt für alle Körper gleichermaßen. Kürzer sollte ein Tag aber nicht sein.
4π 2
·R;
T2
4π 2 R
T2 =
;
g
g = aZ = ω 2 r =
r
T = 2π
r
= 2π
g
s
6 378 km
;
9, 81 sm2
T = 5 066 s = 84, 44 min = 1, 41 h = 1 h 24 min 26 s .
6.4.3 Bewegung auf einem vertikalen Kreis; Looping
Nun wollen wir die Verhältnisse in einem Looping untersuchen. Die Frage lautet: Wie
groß muss die Geschwindigkeit beim Eintritt in den Looping –also im Punkt A – mindestens sein, damit ein Körper den Looping durchfahren kann, ohne in B herunterzufallen.
Vergleiche dazu die Abbildung 6.12 (S. 185).
184
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
#»
F ∗Z
B
#»
FG
r
r
A
Abbildung 6.12: Looping
In B (hier einmal mit der Zentrifugalkraft argumentiert) muss gelten (siehe 6.15; S. 176):
FZ∗ = FG ;
2
mvB
= m·g;
r
√
vB = gr .
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die kinetische Energie in A ausreichen, um die
2 zu haben. Für die
im höhergelegenen Punkt B erforderliche Bewegungsenergie 21 mvB
Geschwindigkeit in A hat man daher den Ansatz:
1
1
2
mvA
= mg (2r) + m (gr) ;
2
2
2
vA
= 4gr + gr = 5gr ;
vA =
p
5gr .
Oft wird das Looping-Problem noch durch die Frage ergänzt, aus welcher Höhe ein
Körper (reibungsfrei) losfahren muss, um in B nicht herunterzufallen, wenn er in A in den
Looping eintritt. Auch hier hilft wieder der Energieerhaltungssatz. Grundsätzlich muss
die Höhe so gewählt werden, dass die potentielle Energie für die soeben ausgerechnete
185
6 Kreisbewegung
Geschwindigkeit in A ausreicht:
1
2
mgh = mvA
;
2
1 5gr
5
1 v2
= r.
h= · A = ·
2 g
2 g
2
Im Grunde ist das erstaunlich wenig, nämlich nur 25 % über der Höhe d des ganzen
Loopings (d = Durchmesser des Kreises): h = 52 r = 25 · d2 = 45 · d = 1, 25d.
6.4.4 Drehbewegung und Reibungskraft
Mit einem Motor, dessen Drehzahl verändert werden kann, betreibt man eine Scheibe,
auf der ein Gummistopfen liegt. Die Frequenz, bei der sich der Stopfen selbstständig
macht, kann man bei bekanntem Haftreibungskoeffizienten fH abschätzen12 . Umgekehrt
bietet sich die Möglichkeit, die Reibungszahl über die Bestimmung der Frequenz zu
ermitteln. Die Abbildung 6.13 (S. 186) erläutert den Ansatz.
r
#»
#»
F Z ≤ fH · F G
m
#»
FG
Abbildung 6.13: Ein Gummistopfen auf einer Kreisbahn
Wir nehmen an, dass der Gummistopfen die Masse 30 g besitzt und sich 20 cm von der
Drehachse auf dem Drehteller befindet. Wir bestimmen nun die Frequenz, bei der der
Stopfen vom Drehteller rutschen muss, wenn die Haftreibungszahl fH = 0, 4 beträgt.
Der Körper bleibt liegen, wenn die Zentripetalkraft kleiner gleich der Haftreibungskraft
ist. Diese hängt mit der Gewichtskraft über die Gleichung FH = fH · FG zusammen. Man
kann das im Kapitel 3.6 (S. 122) nachlesen. Somit gilt (vergl. 6.15, S. 176):
FZ ≤ FH = fH · FG ;
mω 2 r ≤ fH · mg ;
fH · g
4π 2 f 2 ≤
;
r
fH · g
f2 ≤
;
4π 2 r
12
Aufgabe z. B. in [11, S. 112]
186
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
1
f≤
2π
s
fH · g
1
=
r
2π
s
0, 4 · 9, 81 sm2
1
= 0, 705 .
0, 2 m
s
Man kann noch etwas anders rechnen:
mv 2
≤ fH · mg ;
r
v≤
p
r
fH · gr =
0, 4 · 9, 81
m
m
· 0, 2 m = 0, 886 .
2
s
s
(6.17)
m
Wird der Stopfen wohl nicht mehr liegenbleiben. Dies ist unabhängig von
Bei v ≈ 1
s
m.
Anmerkung Mit der Gleichung (6.17) lässt sich angeben, welche Geschwindigkeit ein
Auto beim Durchfahren einer Kurve höchstens haben darf.
6.4.5 Rotation um gemeinsamen Schwerpunkt
Experiment: Zwei Körper mit den Massen m1 und m2 sind auf einer Stange frei beweglich
angebracht und durch eine 20 cm lange dünne Stange verbunden (siehe Abbildung 6.14,
S. 187). Welchen Abstand müssen die Körper vom Drehpunkt haben, damit bei der
Rotation Gleichgewicht herrscht? Welche Art von Gleichgewicht besteht? 13
m1
m2
d
r1
r2
Abbildung 6.14: Zwei Körper werden in einer Halterung umeinander gedreht.
Für die Berechnung starten wir mit der Gleichgewichtsbedingung und verwenden den
für diesen Fall günstigen Rechenausdruck aus (6.15) (S. 176).
FZ1 = FZ2 ;
m1 ω12 r1 = m2 ω22 r2 ;
m1 r1 = m2 r2 ;
13
ω1 = ω2 ;
(6.18)
Im Röntgen-Gymnasium Remscheid-Lennep gibt es eine solche (alte) Vorrichtung. Siehe auch
[17] 2.7.2.12.
187
6 Kreisbewegung
m1 r1 = m2 (d − r1 ) ;
r2 = d − r1 ;
m1 r1 = m2 d − m2 r1 ;
m1 r1 + m2 r1 = m2 d ;
r1 (m1 + m2 ) = m2 d ;
m2 d
;
r1 =
m1 + m2
r2 =
m1 d
.
m1 + m2
Die letzte Gleichung ergibt sich nicht nur analytisch, sondern auch auch aus der Symmetrie des Vorgangs.
Aus (6.18) folgt, dass sich die Massen umgekehrt wir die Radien verhalten14 . Der Schwerpunkt liegt im Gleichgewichtsfall auf der Drehachse. Jede Verrückung bedeutet ein Herausgleiten aus dem Gleichgewicht. Es handelt sich also um ein labiles Gleichgewicht.15
6.4.6 Kettenkarussell
Abbildung 6.15, S. 189 zeigt ein Kettenkarussell mit dem entsprechenden Vektordia#»
#»
#»
gramm der Kräfte, die an einer Person wirken. F Z und F G werden von der Kraft F
aufgebracht:
#»
#»
#»
FZ = FG + F
Die Kette richtet sich gerade so ein, dass die Vektoren das passende Parallelogramm
bilden.
Wenn nun r0 , ` und ϕ gegeben sind, so gilt für die Bahngeschwindigkeit v, da
2
mv
FZ
v2
tan ϕ =
= r =
;
FG
mg
rg
r = r0 + ` · sin ϕ ;
v=
q
g · (r0 + ` · sin ϕ) · tan ϕ .
Mit r0 = 6 m, ` = 5 m und ϕ = 55◦ ergibt sich:
r
v=
14
9, 81
m
m
· (6 m + 5 m · sin 55◦ ) · tan 55◦ = 11, 89 .
s2
s
Ein analoges Beispiel ist das Hebelgesetz (siehe (7.7) (S. 201)); allerdings gilt hier Gleichgewicht im
Falle der Gleichheit der entsprechenden Drehmomente; der Gleichgewichtszustand ist darüber hinaus
(im Idealfall) indifferent.
15
Mit dem im Röntgen-Gymnasium vorhandenen Gerät konnte man prinzipiell die entsprechenden Abstände abschätzen. Nach der Einstellung war die Drehfrequenz in weiten Grenzen regelbar, ohne dass
sich die Kugeln aus der Gleichgewichtslage entfernt haben. Dabei half natürlich auch die Reibung
der Kugeln an der Verbindungsstange. Sollten sich aber die Körper aus der Gleichgewichtslage entfernen, so ist bei hohen Drehzahlen eine großen Unwucht gegeben. Das Experiment muss so schnell
wie möglich beendet werden. Es ist also kein Schülerversuch.
188
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
r0
#»
F
ϕ
ℓ
ℓ sin ϕ
#»
FZ
r
#»
FG
Abbildung 6.15: Kettenkarussell (schematisch)
Dazu berechnen wir jetzt die Umlaufdauer T . Aus (6.4) (S. 169) erhält man:
2πr
r
T =
= 2π · √
= 2π ·
v
gr · tan ϕ
r
r
= 2π ·
g · tan ϕ
s
r0 + ` · sin ϕ
= 5, 33 s .
g · tan ϕ
Darüberhinaus beträgt die von der Kette aufzuwendende Kraft, wenn eine Person der
Masse m = 85 kg im Stühlchen sitzt:
mit r = r0 + ` · sin ϕ = 6 m + 5 m · sin 55◦ = 10, 10 m hat man
s
F =
q
FZ2 + FG2 =
m2 v 4
+ m2 g 2 = m ·
r2
s
v4
+ g2
r2
v
u
u 11, 89 m 4
m 2
t
s
= 85 kg ·
+
9,
81
2
s2
(10, 10 m)
= 1, 45 kN .
6.4.7 Fahrrad; Kurvenfahrt mit Reibung
Bei der Kurvenfahrt mit einem Fahrrad muss sich der Fahrer mit seinem Rad neigen.
Der Winkel hängt vom Radius der Kurve und der Geschwindigkeit des Radfahrers ab.
Zur Berechnung meditiere man über der Abbildung 6.16, die ein Vektordiagramm zum
vorgestellten Problem zeigt. Die Verhältnisse sind vergleichbar mit der Abbildung 6.15
(S. 189). Die Neigung ist erforderlich, damit aus FG ein Anteil für FZ erwächst.
189
6 Kreisbewegung
#»
FZ
#»
F
ϕ
#»
FG
Abbildung 6.16: Ein Radfahrer legt sich in die Kurve.
Wählt man als Daten16 etwa r = 10 m und v = 18
tan ϕ =
km
, so erhält man:
h
9, 81 sm2 · 10 m
FG
mg
gr
= mv2 = 2 = 2 = 3, 92 ;
FZ
v
m
18 · 13000
r
600 s
ϕ = 75, 7◦ .
Wenn es nun regnet, so ist der Haftreibungskoeffizient wahrscheinlich stark verkleinert.
Daher stellt sich die Frage, wie klein diese Zahl sein darf, damit der Radfahrer unter den
gegebenen Bedingungen nicht wegrutscht. Dies ermittelt man in folgender Weise:
FH = fH · FG > FZ ;
FH
1
fH >
= cot ϕ =
= 0, 255 .
FG
tan ϕ
6.4.8 Kugelschwebe; Drehfrequenzregler
Drehfrequenzregler und Kugelschwebe verhalten sich ähnlich. Es genügt daher, die Kugelschwebe etwas genauer zu betrachten. Meine Ausführungen dazu findet man in [37].
6.4.9 Kugelrutschbahn
Manchmal findet man auf Spielplätzen eine Halbkugel aus Edelstahl, auf der Kinder
hinaufklettern können, um anschließend von oben hinabzurutschen. Die Frage ist, wann
„heben sie ab“, denn es scheint einleuchtend, dass sie nicht immer mit dem Kugelkörper
Kontakt haben. Das sei nachfolgend etwas abstrakter formuliert.
Ein Körper der Masse m bewegt sich vom höchsten Punkt einer Kugel mit dem Radius
r ohne Anfangsgeschwindigkeit herab. 17
1. Welche Geschwindigkeit besitzt der Körper, wenn er den Bogen ϕ durchlaufen hat?
16
17
Vergleiche [11, S. 112].
[17] 2.7.2.13.
190
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
h
m
#»
F
#»
FN
r−h
ϕ
#»
FG
Abbildung 6.17: Kugelrutschbahn vektoriell
Betrachte die Abbildung 6.17. Zunächst gilt nach Definition der cos-Funktion:
r−h
= cos ϕ ;
r
r − h = r cos ϕ ;
−h = −r + r cos ϕ ;
h = r (1 − cos ϕ) .
Dann nach dem Energieerhaltungssatz:
1
mgh = mv 2 ;
2
p
v = 2gh ;
v=
q
2gr (1 − cos ϕ) .
2. Welche Normalkraft übt er in dieser Stellung auf die Unterlage aus?
FN
= cos ϕ =⇒ FN = mg cos ϕ .
FG
3. Bei welchem Winkel ϕ0 löst er sich von der Unterlage ab?
Die Bedingung ist ja, dass die Normalkraft gerade vollständig als Zentripetalkraft
#»
#»
eingesetzt wird: F N = F Z . Also FN = FZ :
mv 2
= mg cos ϕ0 ;
r
m
p
2
2gr (1 − cos ϕ0 )
= mg cos ϕ0 ;
r
m · 2gr (1 − cos ϕ0 )
= mg cos ϕ0 ;
r
191
6 Kreisbewegung
2 − 2 cos ϕ0 = cos ϕ0 ;
3 cos ϕ0 = 2 ;
2
cos ϕ0 = ;
3
ϕ0 = 48, 19◦ = 48◦ 110 .
6.4.10 Oberflächen rotierender Flüssigkeiten
Abbildung 6.18: Links eine ruhende Flüssigkeit und rechts die gleiche, aber in Rotation
versetzt.
Es soll die Behauptung nachgewiesen18 werden:
Satz 39. „Die Ortslinie aller Punkte einer rotierenden Flüssigkeit ist eine Parabel.“
(vergleiche Abbildung 6.18, S. 192)
Man vergleiche dazu die Abbildung 6.18 (S. 192).
Welche Gleichung hätte eine Parabel?
Betrachtet man Abbildung 6.19 (S. 193), so gilt das Vektordiagramm für ein Flüssig#»
keitsteilchen in einer bestimmten Entfernung x von der Drehachse genau dann, wenn F
senkrecht zur Tangente im betreffenden Punkt wirkt; andernfalls würde sich das Teilchen
soweit verschieben, bis dies der Fall ist.
#»
#»
#»
Genauer: F G und F Z sind vorgegeben; F Z hängt bei fester Frequenz nur noch vom
Abstand von der Drehachse ab. Das Teilchen wird sich also solange verschieben, bis die
Bedingung
#» #» #»
F = F Z + −F G
18
Grundlage für den nachfolgenden Abschnitt ist das Manuskript eines Schülervortrags von Jutta Zingler. Zur Person siehe u. a. [50, 49]
192
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
y -Ahse
#»
F
ϕ
#»
FZ
#»
FG
x
x-Ahse
Abbildung 6.19: Kräfte an der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit; vergleiche auch
die ähnlichen Zeichnungen in [37].
#»
erfüllt ist, und F in normaler Richtung zur Flüssigkeitsoberfläche verläuft.
Daher hat man für den Ansatz y = k · x2 einer Gleichung für die Parabel19 :
tan ϕ = y 0 = k · x2
tan ϕ =
2kx =
0
= 2kx ;
FZ
mω 2 x
ω2x
=
=
;
FG
mg
g
ω2x
.
g
Damit – falls x 6= 0 –
k=
ω2
.
2g
Die Parabelgleichung lautet daher:
y=
19
ω2 2
·x ;
2g
Beachte, dass die Steigung einer Funktion an einer Stelle dort gleich dem Tangens des Steigungswinkels
ist.
193
6 Kreisbewegung
k ist konstant für konstante Drehfrequenz ω.
Der Fall x = 0 bedeutet gerade, dass sich das Teilchen in P0 (0|0) (auf der Drehachse)
befindet. Dort ist die Zentripetalkraft aber Null, die Flüssigkeit ist dort horizontal.
Mit Integralrechnung zur Parabel
mω 2 x
FZ
ω2x
=
=
;
FG
mg
g
ω2x
;
y 0 (x) =
g
1 ω2 2
y(x) =
x .
2 g
y 0 = tan ϕ =
Die letzte Gleichung gilt bis auf einen konstanten Summand; die Parabelform wird dadurch aber nicht verändert.
Mit interessanter physikalischer Argumentation
Die kinetische Energie eines Teilchens im Abstand x von der Drehachse beträgt:
1
1
1
Wkin = mv 2 = m (ωx)2 = mω 2 x2 .
2
2
2
y -Ahse
y
A
P0
x
x-Ahse
Abbildung 6.20: Der Energiesatz hilft.
Die potentielle Energie eines Teilchens in der Höhe y beträgt:
Wpot = mgy .
194
(6.19)
6.4 Beispiele zur Dynamik der Kreisbewegung
In P0 (0|0) ist die Gesamtenergie Null, da y = 0 und x = 0. Bei der Verschiebung eines
Teilchens von P0 nach A längs der Bahnkurve (rot) wird keine Arbeit verrichtet, da
#»
der Weg tangential zu ihr verläuft und die Resultierende F (vgl. Abb. 6.19, S. 193) die
Normale dazu ist. Der Kraftanteil in Wegrichtung längs der Oberfläche ist also an jeder
Stelle des Weges Null20 . Daher ist die Gesamtenergie des Teilchens in A gleich Null.
Bringt man jedoch das Teilchen von P0 über den mit Pfeilen gekennzeichneten Weg
(blau), so ergibt sich auf dem horizontalen Stück ein Zuwachs an kinetischer Energie
1
gemäß (6.19) von Wkin = mω 2 x2 . Auf dem vertikalen Wegstück wird diese Energie in
2
potentielle Energie umgewandelt. Wegen des Energieerhaltungssatzes müssen die Arbeiten von P0 nach A (rot) und von P0 nach A (blau) gleich sein:
Wkin − Wpot = 0 ;
1
mω 2 x2 − mgy = 0 ;
2
1 ω2 2
y=
x .
2 g
20
#»
Man denke an die Definition der Arbeit: W = Fs · s = F · s · cos α, wobei α der Winkel zwischen F
und #»
s ist. Wegen cos 90◦ = 0 ist W = 0.
195
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
In diesem Abschnitt sollen als Ergänzung einige Besonderheiten zur Bewegung des sogenannten starren Körpers betrachtet werden. Es ist durchaus angebracht, die Begriffe
Rotationsenergie, Trägheitsmoment, Drehimpuls sowie Drehmoment im Vergleich zu den
bereits bei der Translationsbewegung behandelten Größen zu betrachten. Insbesondere
kommt es mir auf die Analogien an. Durch die Behandlung des Drehmoments ergibt sich
ferner die Möglichkeit, das Vektorprodukt einzuführen und eine Abgrenzung zur skalaren Größe Arbeit (Skalarprodukt) deutlich zu machen. Schließlich haben die beiden
letztgenannten Größen die gleiche Einheit (Nm), sind jedoch in entscheidend anderer
Weise definiert.
7.1 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Experiment Zur Einführung kann man ein Maxwellsches Rad1 2 verwenden – alternativ ein Jo-Jo (Spielzeug) oder auch eine Salatschleuder mit Kordelantrieb. Ferner
habe ich Angelschnur um die Achse des großen Kreisels3 gewickelt und an das Ende der
Schnur ein Massenstück angebunden. Dadurch wurde das Rad in Rotation versetzt4 .
Eine Diskussion der Versuche sollte die Ziele Vergleich zur Fallbewegung, Masse und
Energie im Blick haben, so dass man (für einen Massenpunkt) formulieren kann:
geradlinige Bewegung
Kreisbewegung (Rotation)
1
· m · v2 ;
2
1
1 = · m · (ω · r)2 = · m · r2 ·ω 2 .
2
2 | {z }
Wkin =
Wk,rot
J
Zu v = ω · r vergleiche (6.4) (S. 169). Der Term m · r2 beschreibt Eigenschaften des
Körpers (Masse und Position); ω steht für die Drehung. Deshalb formuliert man:
Def. 25. Trägheitsmoment eines Massenpunktes
J = m · r2
Einheit:
[J] = kgm2
(7.1)
1
[21] Gerätebeschreibung 331 22
James Clerk Maxwell, 1831–1879, schottischer Physiker
3
[21] Gerätebeschreibung 348 18
4
Genau so erfolgt später die experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments des großen Kreisels.
2
197
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
Das Trägheitsmoment hängt bei ausgedehnten Körpern von der Massenverteilung ab. Es
kennzeichnet allgemein das Trägheitsverhalten von Körpern bei Drehungen. J ist kein
Skalar, aber auch kein Vektor. J ist ein sog. Tensor, denn die Größe hängt von der Wahl
der Drehachse ab.
Bei mehreren Punktmassen bildet man die Summe aller Trägheitsmomente, um das gesamte
Trägheitsmoment des Körpers zu berechnen:
J=
n
X
k=1
Jk =
n
X
∆mk ·
rk2
∆m1 , r1
∆m2 , r2
.
b
b
b
(7.2)
∆mk , rk
k=1
b
∆mn , rn
Zusatz Bei einem ausgedehnten Körper (K)
benötigt man den Integralbegriff:
J = lim
n→∞
n
X
∆mk · rk2 =
k=1
Z
r2 dm .
K
Nach dieser Betrachtung können wir allgemein schreiben:
Satz 40. Die kinetische Rotationsenergie, die ein mit der Frequenz ω rotierender Körper
mit dem Trägheitsmoment J besitzt, berechnet sich zu
Wk,rot =
1
· J · ω2
2
(7.3)
7.2 Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments
Zur experimentellen Bestimmung des Trägheitsmoments kann man den Energieerhaltungssatz verwenden.
Ein Massenstück m wird an einem Faden befestigt. Diesen wickelt man um die Drehachse. Auf
Grund seiner Gewichtskraft setzt das Massenstück den zu untersuchenden Körper in Rotation.
Nach Durchfallen der Höhe h wird eine bestimmte Energie übertragen, die als Rotationsenergie
im Drehkörper vorhanden ist. Die Rotationsgeschwindigkeit ω wird mittels einer Lichtschranke
an einer Blende B bestimmt – sobald das Massenstück unten angekommen ist. Ein Teil der potentiellen Energie wird aber auch in kinetische
Energie des Massenstücks umgesetzt. Dazu ist es
erforderlich, die Fallzeit t zu messen. Dies zeigt
die nachfolgende rechnerische Betrachtung.
198
b
m
h
B
LS, tD
b
m t
7.2 Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
m·g·h=
1
1
· m · v2 + · J · ω2 .
2
2
Wegen der konstanten Kraft gelten h =
1
· a · t2 und v = a · t. Daher folgt:
2
v =a·t=
2·h
2·h
·t=
.
2
t
t
Eingesetzt hat man:
2·h 2 1
1
+ · J · ω2 ;
m·g·h= ·m·
2
t
2
1
1
4
· h2
· J · ω2 = m · g · h − · m · 2 .
2
2
t
2·m·g·h−4·m·
J=
ω2
h2
t2
Messdaten Mai 1986:
m
g
h
cm
t
s
tD (10◦ )
ms
T
s
ω
Hz
J
10−3 kgm2
3
3
3
3
5
5
7
7
93,0
65,4
65,5
65,5
65,5
65,5
65,5
65,5
10,075
8,811
9,60
9,60
6,75
6,75
5,30
5,30
57,0
67,7
67,3
67,0
50,1
50,4
41,8
42,0
2,052
2,437
2,423
2,412
1,804
1,814
1,505
1,512
3,062
2,578
2,593
2,605
3,484
3,463
4,175
4,156
5,83
5,78
5,72
5,67
5,28
5,34
5,14
5,18
Vorversuch
Vorversuch
Tabelle 7.1: Messdaten zur Bestimmung des Trägheitsmoments mit dem Drehsystem;
die mit Vorversuch gekennzeichnete Daten stammen aus dem ersten Versuchsaufbau zur Vorbereitung des Unterrichts.
Für die protokollierten Messdaten habe ich das Drehsystem5 von Leybold benutzt. Dazu
gibt es eine Blende von 10◦ zum Aufstecken. Man kann aber auch den großen Kreisel6
verwenden. Der Aufbau erfolgt wie in der letzten Abbildung dargestellt. Ein Stück ausgemessenes Papier zur Verdunklung der Lichtschranke genügt. Leider habe ich dazu keine
Messdaten.
5
6
[21] Gerätebeschreibung 347 23
[21] Gerätebeschreibung 348 18
199
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
Berechnungsbeispiel mit den Daten aus der ersten Zeile von Tabelle 7.1 auf der vorherigen
Seite:
T
360◦
=
;
tD (10◦ )
10◦
360◦
T =
· tD (10◦ ) = 36 · 57, 0 ms = 2, 052 s ;
10◦
2π
2π
ω=
=
= 3, 062 Hz ;
T
2, 052 s
2·m·g·h−4·m·
J=
ω2
=
h2
t2
2 · 3 g · 9, 81 sm2 · 93, 0 cm − 4 · 3 g ·
(93,0 cm)2
(10,075 s)2
(3, 062 Hz)2
= 5, 83 · 10−3 kgm2 .
7.3 Arbeit vs. Drehmoment
7.3.1 Arbeit (Skalarprodukt)
Im Abschnitt 4.1.1 (S. 129) wurde im Zusammenhang mit der physikalischen Größe
Arbeit definiert (siehe (4.2) (S. 130)):
#»
W = F · #»
s = F · s · cos ϕ
#» ϕ = F ; #»
s
(7.4)
#»
Dazu erfolgte die Bemerkung: Arbeit ist eine skalare Größe. Daher heißt F · #»
s auch
#»
Skalarprodukt der Vektoren F und #»
s.
Zum Begriff Skalarprodukt gehört allgemein die Gleichung7 :
#»
#»
a · b = a · b · cos α
#»
α = #»
a; b
(7.5)
Für die Einheit der Arbeit ergibt sich
[W ] = Nm = J
7
Siehe Anhang B.6.2 (S. 463).
200
(7.6)
7.3 Arbeit vs. Drehmoment
7.3.2 Drehmoment (Vektorprodukt)
Schon sehr früh lernen Kinder auf dem Spielplatz, dass bei einer Wippe die Wirkung der
Gewichtskraft umso größer ist, je weiter man vom Drehpunkt entfernt ist. Die zum Hebel
(z. B. Wippe) gehörige Gesetzmäßigkeit formuliert man im sogenannten Hebelgesetz:
Ein Hebel befindet sich im Gleichgewicht, wenn gilt:8
Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm.
Flinks · rlinks = Frechts · rrechts
(7.7)
Für das Produkt aus Kraft F und Abstand r zum Drehpunkt D wird eine neue Größe
definiert, das Drehmoment. Betrachte dazu das nachstehende Beispiel mit Abbildung.
Def. 26. Drehmoment; einfache Version
M =F ·r
#»
F ⊥ #»
r
(7.8)
Beispiel Für F = 400 N (Gewichtskraft eines Kindes) und r = 3 m ergibt sich ein
Drehmoment vom Betrag
M = 400 N · 3 m = 1, 2 kNm .
Ein Erwachsener mit der Gewichtskraft 800 kN müsste sich in der Entfernung 1, 5 m vom
Drehpunkt setzen, um den gleichen Betrag des Drehmoments zu erzeugen. Natürlich ist
darauf zu achten, dass zusätzlich die Orientierung der Drehung geändert wird, was aber
intuitiv richtig gemacht wird.
#»
r
b
D
Für die Einheit des Drehmoments ergibt sich somit:
b
[M ] = Nm
(7.9)
#»
F
Die Abkürzung 1 J für 1 Nm ist allein der Größe Arbeit vorbehalten.
Mit der letzten Bemerkung wird herausgestellt, dass sich Arbeit und Drehmoment als
physikalische Größen deutlich unterscheiden. Die maximale Drehwirkung hat man dann,
#»
wenn die Richtungen von F und #»
r senkrecht zueinander verlaufen. Andernfalls hätte
#»
man einen Anteil der Kraft F in #»
r -Richtung, die nicht zur Drehung beiträgt. Diese
Anteile brauchen also bei der Berechnung von M nicht berücksichtigt zu werden.9
8
Die Formulierung ist unscharf, aber einprägsam. Rechts (-drehend) bzw. links (-drehend) steht für die
Orientierung der Wirkung der angreifenden Kraft beim Hebel.
9
Bei der Arbeit ist es in der Tat so, dass gerade nur die Anteile in Wegrichtung zur Berechnung der
Arbeit herangezogen werden.
201
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
Betrachten wir das genauer in der Abbildung 7.1.
Auch hier bezeichnet D den Drehpunkt und #»
r den Verbindungsvektor von D bis zum
#»
Angriffspunkt der Kraft F . Im vorgegebenen Fall (z. B. schrägstehende Wippe) beträgt
#»
der Winkel α zwischen #»
r und F nicht 90◦ . Dabei beachte man die Konvention des
Winkels zwischen zwei Vektoren: Beide Vektoren werden so parallel verschoben, dass sie
einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Der kleinere der beiden sich bildenden Winkel
ist der Winkel zwischen diesen Vektoren.
#»
r
b
α
#»
F
D
b
J
#»
M
#»
F⊥
Abbildung 7.1: Zur allgemeinen Definition des Drehmoments
Gemäß Definition 26 auf der vorherigen Seite gilt:10 M = r · F⊥ . Mit
F⊥
= sin α folgt:
F
#»
M = r · F · sin α , wobei α = #»
r;F .
Beispiel
Betrag
Für r = 3 m, F = 400 N und α = 74◦ ergibt sich ein Drehmoment vom
M = 3 m · 400 N · sin 74◦ = 1, 154 Nm .
Für den Erwachsenen mit der Gewichtskraft 800 kN in der Entfernung 1, 5 m vom Drehpunkt hat man auf der anderen Seite:
M = 1, 5 m · 800 N · sin 106◦ = 1, 154 Nm .
Ordnete man bei der Arbeit dem Produkt der vektoriellen Größen Kraft und Weg eine
skalare Größe zu (Skalarprodukt), ist es zweckmäßig, hier anders vorzugehen. Das Drehmoment wird wegen D (dreidimensional: Drehachse) als axialer Vektor angesehen,
dessen Eigenschaften allgemein wie folgt definiert werden.
10
Die Reihenfolge von r und F⊥ sind vertauscht worden, damit der nachfolgenden Verallgemeinerung
(Vektorprodukt) bereits an dieser Stelle Rechnung getragen wird.
202
7.3 Arbeit vs. Drehmoment
Def. 27. Drehmoment; Darstellung mit Vektorprodukt
#»
#»
M = #»
r ×F
(7.10)
#»
Die Schreibweise bedeutet: M ist ein Vektor mit den Eigenschaften
#»
Betrag M = r · F · sin α , wobei α = #»
r;F .
#»
#»
#»
#»
#» # »
Richtung #»
r , F und M stehen paarweise senkrecht aufeinander: #»
r ⊥F , #»
r ⊥M und F ⊥M .
#» # »
Orientierung #»
r , F , M bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Die letzte Aussage bedeutet anschaulich: Ordnet man Daumen (D), Zeigefinger (Z) und
Mittelfinger (M) der rechten Hand paarweise senkrecht an, so bilden die drei Finger
(D,Z,M) in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Abbildung 7.2). Dann kann man folgende Zuordnung angeben (Dreifingerregel der rechten Hand):
Daumen
D
Abstand von D
Zeigefinger
Z
Kraft
Mittelfinger
M
Drehmoment
#»
r
#»
F
#»
M
J
#»
#»
In diesem Sinn ist der Eintrag
für M in Abbildung 7.1 zu verstehen: M verläuft im
dargestellten Fall senkrecht zur Zeichenebene mit der Orientierung auf den Betrachter
hin – man blickt gleichsam auf die Spitze eines Pfeils.11
#»
M
ob
hi
#»
#»
M = #»
r ×F
li
#»
F
b
#»
r
#»
r
#»
F
α
re
vo
un
Abbildung 7.2: Die Dreifingerregel der rechten Hand dient der Ermittlung von Richtung
#»
#»
und Orientierung des Drehmomentvektors M = #»
r ×
F . Der Betrag er#»
rechnet sich stets zu M = r · F · sin α , wobei α = #»
r;F .
11
Die entgegengesetzte Orientierung lässt sich einfach durch
eines Pfeils“.
N
zeichnen. Hier blickt man auf die „Federn
203
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
7.4 Die Analogie zwischen geradlinigen und Drehbewegungen
In Tabelle 7.2 werden die geradlinigen Bewegungen (Translationsbewegungen, translatorischen Bewegungen) den Rotationsbewegungen in einer Analogiebetrachtung gegenübergestellt und daraus Zusammenhänge und weitere physikalisch interessante Eigenschaften bereits bekannter Größen ermittelt. Die Tabelle wird nun nicht irgendwie gefüllt, sondern gemäß der angegebenen Nummerierung, um die neuen Sachverhalte in den
bekannten einbetten zu können. Die Erläuterung im Anschluss an die Tabelle soll die
Vorgehensweise zeigen. Die Tabelle 7.3 (s. rechts) stellt eine Präsentation dar, welche die
Vorgehensweise widerspiegelt.12
Translation
Rotation
Zusammenhang
1
#»
s
Weg
7
ϕ
Drehwinkel
13
s=r·ϕ
(Bogenmaß)
2
#»
v
Geschwindigkeit
8
#»
ω
Winkelgeschwindigkeit
16
#»
#» × #»
v =ω
r
3
m
Masse
9
J
Trägheitsmoment
11
J = r2 · m
4
#»
F
Kraft
10
#»
M
Drehmoment
12
#»
#»
M = #»
r ×F
5
#»
p
Impuls
6
#»
p = m · #»
v
15
#»
#»
L=J·ω
17
19
Impulserhaltungssatz
14
#»
L
18
Drehimpulserhaltungssatz
Drehimpuls
Energieerhaltungssatz
Tabelle 7.2: Vergleich zwischen Translations- und Rotationsbewegungen
Anmerkung Die Felder 1–6 werden mit den bekannten Größen Weg, Geschwindigkeit,
Masse, Kraft und Impuls gefüllt. Die Doppellinie wird später eingezeichnet.
7–10 sind die zu 1–4 analogen Größen. ω muss zunächst jedoch ohne Vektorpfeil gezeichnet werden, weil der Vektorcharakter erst später erklärt werden kann.
Die Zusammenhänge 11–13 sind aus den vorherigen Abschnitten13 bekannt. Feld 16
könnte mit v = ω · r ausgefüllt werden. Es wird später erfolgen. Das Problem liegt darin,
dass #»
v wegen des fehlenden Vektorcharakters von ω noch nicht richtig in diese Gleichung
12
13
Die Präsentation läuft mit Adobe Acrobat Reader.
Siehe (7.1) (S. 197), (7.10) auf der vorherigen Seite und (6.5) (S. 172).
204
7.4 Die Analogie zwischen geradlinigen und Drehbewegungen
eingebaut werden kann.
Nun überlegt man, dass zwischen der Gleichung 6 und den Gleichungen 11–13 (und ggf.
16) ein Unterschied besteht: #»
p = m · #»
v verbindet Größen der ersten Spalte, während
in 11–13 (und ggf. 16) Größen der mittleren Spalte stets mit r oder #»
r verbunden sind.
Daher füge ich einen weiteren Trennstrich (Doppellinie) ein, der die entsprechenden
Zeilen voneinander abgrenzt.
Translation
Rotation
Zusammenhang
Tabelle 7.3: Analogiebetrachtung als Präsentation
205
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
In 14–15 wird die neue physikalische Größe Drehimpuls eingeführt. Als Fortsetzung der
Analogie ergibt sich einerseits L = J · ω, andererseits die Überlegung, dass L eine vektorielle Größe sein muss. Das funktioniert, da J im einfachen Fall eine skalare Größe,
verallgemeinert eine Matrix (Tensor), ist. Allerdings muss dafür ω ein Vektor sein. Die
Konstruktion erfolgt in 16.
Def. 28. Drehimpuls
#»
#»
L=J·ω
(7.11)
Zu 16 und 8: Zunächst ist gemäß (6.4) (S. 169) bekannt, dass gilt v = ω · r. Wenn ω
#» × #»
ein (axialer) Vektor (Drehachse) ist, muss man schreiben #»
v =ω
r . Zur weiteren Erläuterung betrachte man die nachstehende Abbildung 7.3 und vergleiche die vektoriellen
Zusammenhänge mit der des (axialen) Vektors Drehmoment.
#»
ω
ob
hi
#»
ω
li
#»
#» × #»
v =ω
r
b
#»
r
re
α #»
r
#»
v
90◦
vo
un
Abbildung 7.3: Die Dreifingerregel der rechten Hand dient der Ermittlung von Richtung
#» × #»
und Orientierung des Vektors #»
v = ω
r . Der Betrag errechnet sich
#»
stets zu v = ω · r · sin α , wobei α = ( ω ; #»
r ).
17–19 ermöglichen noch die Einführung eines weiteren Erhaltungssatzes (Drehimpulserhaltungssatz) aus der durchgeführten Analogiebetrachtung.
7.5 Erhaltungssätze
7.5.1 Impuls- und Drehimpulserhaltung
Nach dem Impulserhaltungssatz Satz 16 (S. 107) gilt:
Bei fehlenden äußeren Kräften ist der Gesamtimpuls eines Systems zeitlich konstant:
#»
p ges = #»
p 0ges .
Entsprechend formuliert man den
206
7.5 Erhaltungssätze
Satz 41. Bei fehlenden äußeren Drehmomenten ist der Gesamtdrehimpuls eines Systems
zeitlich konstant:
#»
#»
L ges = L 0ges .
Experiment Zum Drehimpulserhaltungssatz kann man Versuche mit dem Drehschemel14 und dem großen Kreisel15 durchführen. Diese Experimente sind in der Literatur16
hinreichend beschrieben.
7.5.2 Zweikörperproblem
Wir kennen nun 3 Erhaltungssätze:
• Energieerhaltungssatz: in der klassischen Physik bedeutet dieser, dass der Raum
gegenüber Zeittranslationen invariant ist. (1 Gleichung)
• Impulserhaltungssatz: diese Aussage bedeutet, dass der Raum homogen, d. h.
translationsinvariant ist. (3 Gleichungen)
• Drehimpulserhaltungssatz: dies zeigt, dass der Raum isotrop, d. h. rotationsinvariant ist. (3 Gleichungen)
Dazu kommen noch 3 Koordinaten (Gleichungen) für die Lage des Schwerpunktes eines
Systems (sog. Galilei-Invarianz).
Die 10 Erhaltungssätze bzw. Gleichungen bilden die 10-parametrige Poincaré-Gruppe17
18 . Darunter bilden die 6 Sätze über die Homogenität und Isotropie des Raumes eine
Untergruppe, die 6-parametrige Euklidische Gruppe19 .
Nun sieht man, dass mit diesen 10 Gleichungen das Zweikörperproblem20 – etwa das
Verhalten des Systems Sonne–Erde – nicht ohne Weiteres gelöst werden kann, denn
zur vollständigen Beschreibung des Zustandes werden 3 + 3 Orts- und 3 + 3 Geschwindigkeitskoordinaten, also 12 Bedingungen benötigt. Man hat aber erst einmal nur 10
Bedingungen. Im Schwerpunktsystem gilt jetzt aber zusätzlich:
K2
K1
r1
S
J
#»
#»
#»
r 1 ⊥ L 0 und #»
r 2 ⊥ L0 ,
r2
#»
L′
14
[21] Gerätebeschreibung 331 661, Drehscheibe nach Prandtl mit Schemel (Ludwig Prandtl, 1875–
1953, deutscher Ingenieur)
15
[21] Gerätebeschreibung 348 18
16
Siehe z. B. [15, S. 110–112].
17
https://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Gruppe, zuletzt besucht am 07.07.2017
18
Jules Henri Poincaré, 1854–1912, französischer Mathematiker und theor. Physiker
19
https://de.wikipedia.org/wiki/Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe_
.28Euklidische_Gruppe.29, zuletzt besucht am 07.07.2017
20
https://de.wikipedia.org/wiki/Zweik%C3%B6rperproblem, zuletzt besucht am 07.07.2017
207
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
#»
wobei L 0 den Drehimpulsvektor im Schwerpunktsystem darstellt. Mit diesen beiden zusätzlichen Informationen lässt sich das Zweikörperproblem berechnen.
Man erkennt, dass ein Mehrkörperproblem (Sonnensystem) höchstens näherungsweise
betrachtet werden kann. Bei einem Gas mit 1023 Atomen erkennt man die Unmöglichkeit,
für jedes einzelne Objekt eine Vorhersage zu treffen.
7.6 Beispiele
7.6.1 Verhalten einer Garnrolle
Wenn eine Garnrolle unter das Sofa gerollt ist, so bekommt man sie einfach wieder
darunter hervor, da sie beim Ziehen am Faden bei den gegebenen Bedingungen auf
einen zurollt. Will man jedoch bei einer auf dem Boden liegenden Garnrolle, dass sie
näher an einen herankommt, so rollt sie in der Regel weg und man muss vom Stuhl
aufstehen, um ihrer habhaft zu werden. Bei geschickter Wahl der Kraftrichtung kann
man die Rolle allerdings über den Boden ziehen, ohne dass sie sich abwickelt.
Als Experiment ist dies für Schüler leicht durchführbar und das Verhalten normalerweise
auch nicht bekannt. Eine Analyse des Vorgangs liegt allerdings nicht unmittelbar auf der
Hand. Der Sachverhalt ist aber gut zu verstehen und zu erklären.
Um ein Verständnis für das Verhalten zu bekommen, betrachte man die Abbildung 7.4.
#»
D bedeutet den momentanen Drehpunkt, #»
r und F die Größen, die das Drehmoment
# » #» #»
M = r × F ergeben („Kraftarm mal Kraft“).
#»
F
#»
F
#»
F
#»
r
b
#»
D ⊗M
b
D
#»
M = #»
o
b
D
#»
r
#»
⊙ M
Abbildung 7.4: Links: Es ergibt sich ein Drehmoment, welches die Rolle in Richtung
der Zugkraft mitrollen lässt. Mitte: Wegen des fehlenden Abstandes
vom Drehpunkt ist das Drehmoment Null, die Rolle rutscht über den
Boden, ohne sich zu drehen. Rechts: Jetzt rollt die Garnrolle von der
Kraft weg, da sich die Orientierung des Drehmomentes im Vergleich zur
Situation links geändert hat.
208
7.6 Beispiele
7.6.2 Rechenbeispiel zur Rotation des starren Körpers
Im diesem Beispiel sollen ausgehend von einer konstruierten Anordnung die unterschiedlichen Größen, die in diesem Abschnitt 7 angesprochen wurden, rechnerisch ermittelt
werden. Wir gehen von der Abbildung 7.5 aus.
#»
L
#»
ω
3 kg
3, 2 m
2 kg
D
1, 5 m
b
1, 5 m
2 kg
3, 2 m
3 kg
Abbildung 7.5: Daten zum aktuellen Beispiel
1. Berechne das Trägheitsmoment der Anordnung.
J=
X
mk · rk2 = 2 · 2 kg · (1, 5 m)2 + 2 · 3 kg · (3, 2 m)2
= (9 + 61, 44) kgm2 = 70, 44 kgm2 .
2. Berechne Umlaufdauer und Frequenz für eine Rotationsenergie von Wk,rot = 100 J.
Siehe (7.3) (S. 198) und (6.7) (S. 172):
1
1
4 · π2
· J · ω2 = · J ·
;
2
2
T2
s
s
J
70, 44 kgm2
T =2·π·
=2·π·
= 3, 73 s ;
2 · Wk,rot
2 · 100 J
Wk,rot =
Einheit:
kgm2
J
=
kgm2
Nm
=
kgm2
kgm
·m
s2
= s2 .
1
1
=
= 268 mHz ;
T
3, 73 s
ω = 2 · π · f = 2 · π · 268 mHz = 1, 68 Hz ;
f=
genauer: 1, 6850 Hz.
3. Berechne den Drehimpuls des Körpes.
209
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
Siehe Tabelle 7.2 (S. 204):
L = J · ω = 70, 44 kgm2 · 1, 68 Hz = 119
kgm2
.
s
4. Jetzt werden die 2 kg-Massenstücke eingezogen21 . Berechne mit dem Drehimpulserhaltungssatz die neue Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Umlaufdauer.
J 0 = 2 · 3 kg · (3, 2 m)2 = 61, 44 kgm2 ;
J
70, 44 kgm2
· 1, 6850 Hz = 1, 932 Hz ;
·
ω
=
J0
61, 44 kgm2
ω0
1, 932 Hz
f0 =
=
= 307, 5 mHz ;
2·π
2·π
1
1
T0 = 0 =
= 3, 252 s .
f
307, 5 mHz
ω0 =
Zusatz Die nachfolgende Berechnung war eigentlich nur als Fortsetzung des Gedankengangs für mich selbst gedacht. Da man als mitbewegter Beobachter die 2 kg-Massenstücke
gegen die Zentrifugalkraft22 in Richtung Drehachse zieht, muss die Energie des Systems
zunehmen. Diese Zunahme ergibt sich aus der an den Körpern verrichteten Arbeit. Für
das richtige Ergebnis sorgt der Drehimpulserhaltungssatz. Eine Kraft senkrecht in Richtung zur Drehachse bewirkt nämlich kein Drehmoment.
1 0 02 1
· J · ω = · 61, 44 kgm2 · (1, 932 Hz)2 = 114, 67 J ;
2
2
0
= Wk,rot
− Wk,rot = 114, 67 J − 100 J = 14, 67 J .
0
Wk,rot
=
∆Wk,rot
Beachte, dass in Punkt 2 auf der vorherigen Seite von 100 J ausgegangen wurde.
Die Kraft zur Berechnung der Arbeit ist nicht konstant, so dass hier Methoden der
Analysis verwendet werden müssen (siehe Abschnitt 4.2.1 (S. 131)). Den Betrag der für
die Arbeit erforderlichen Kraft erhält man aus der Zentrifugalkraft FZ = 2 · m · ω 2 · r
(vergleiche (6.15) (S. 176)), wobei m = 2 kg und r der Abstand der beiden Massen m
von der Drehachse ist:
F (r) = 2 · m · ω 2 · r ;
ω = ω(r) hängt von der Lage der einzuziehenden Körper in Bezug zur Drehachse ab:
J
· ω, wobei J = 70, 44 kgm2 , ω = 1, 6850 Hz sowie
J(r)
J(r) = 61, 44 kgm2 + 2 · m · r2 ; eingesetzt:
ω(r) =
21
Siehe Versuche mit dem Drehschemel, Pirouetten von Eiskunstläufern bzw. eigene Erfahrungen mit
Drehsystemen auf einem Spielplatz, wenn man seinen Körper oder entfernte Gegenstände nahe an
die Drehachse heranzieht.
22
Zur Zentrifugalkraft siehe Abschnitt 6.2 (S. 177).
210
7.6 Beispiele
F (r) = 2 · m ·
J
·ω
J(r)
2
·r = 2 · m · J 2 · ω2 · r
61, 44 kgm2 + 2 · m · r2
2 .
Für den konkreten Fall tragen wir nun alle Daten ein und erhalten die F (r)-Funktion,
die dann in ein rF -Diagramm eingezeichnet wird. Der Flächeninhalt (Integralrechnung)
unter dem Graph ergibt dann die durch F (r) längs des Weges von 1, 5 m bis zur Drehachse (r = 0) verrichtete Arbeit, die den Zuwachs der kinetischen Rotationsenergie ∆Wk,rot
beschreibt.
F (r) = 2 · m · J 2 · ω2 · r
61, 44 kgm2 + 2 · m · r2
2 · 2 kg · 70, 44 kgm2
=
2
2
· (1, 6850 Hz)2 · r
61, 44 kgm2 + 2 · 2 kg · r2
kg · kg2 · m4 ·
= 56, 351 · 10 ·
kg2
3
Einheit:
kg·kg2 ·m4 ·
kg2
1
s2
=
kgm
s2
1
s2
·
2
r
(61, 44 m2
+ 4 · r 2 )2
;
· m3 = Nm3 .
F (r) = 56, 351 · 103 Nm3 ·
r
(61, 44 m2
+ 4 · r 2 )2
Zur Berechnung der Arbeit setzen wir daher an:
Z0
∆W =
F (r) dr · cos ϕ
1,5
#»
r
.
ϕ = F ; d #»
Nun ist ϕ = 180◦ . Daher gilt:
∆W = −
1,5
Z m
Z0
F (r) dr =
1,5 m
Eine Stammfunktion zu f (x) =
(ax2
x
mit a, b > 0 ist die Funktion G mit:23
+ b)2
G(x) = −
23
F (r) dr .
0
1
.
2a · (ax2 + b)
−1 0
−2
1
1
· ax2 + b
=
· ax2 + b
· 2ax = f (x). Für x 6= 0 kann man das mit der
2a
2a
2
Substitution z := ax + b erreichen. Es ist dz = 2ax · dx.
G0 (x) =
−
211
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
F
N
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
r
m
Abbildung 7.6: Rot: Graph der Funktion F (r); zur Berechnung der Arbeit ∆W beim
Heranziehen der Massenstücke benötigt man den grau eingefärbten
Flächeninhalt.
Eine Stammfunktion zu F (r) = 56, 351 · 103 Nm3 ·
r
(61, 44 m2 + 4 · r2 )2
H mit:
H(r) = −56, 351 · 103 Nm3 ·
2 · 4 · (4 ·
r2
ist die Funktion
1
.
+ 61, 44 m2 )
1,5
Z m
F (r) dr
∆W =
0
3
3
= −56, 351 · 10 Nm ·
1
2
2 · 4 · (4 · r + 61, 44 m2 )
1,5 m
0
1
−
= −56, 351 · 103 Nm3 ·
2
2
2
2
·
4
·
61,
44
m
2 · 4 · 4 · (1, 5 m) + 61, 44 m
1
= 14, 648 J .
Dies ist bis auf Rundungsfehler der bereits berechnete Wert des Energiezuwachses.
212
7.6 Beispiele
Im Anschluss an die Betrachtung fragte ein Schüler „Was ist, wenn die Körper nur
wegfallen?“. Ich habe folgendermaßen geantwortet:
Die Körper fallen ab und nehmen kinetische Energie mit sich:
Wkin = 2 ·
1
· m · v 2 = m · (ω · r)2 = 2 kg · (1, 685 Hz · 1, 5 m)2 = 12, 78 J .
2
Der Energiegehalt des Systems beträgt daher nur noch:
Wk;rot − Wkin = 100 J − 12, 78 J = 87, 22 J .
Andererseits hat sich das Trägheitsmoment auf J 0 = 61, 44 kgm2 verringert. ω ist aber
unverändert24 geblieben. Damit berechnet man jetzt für den Energiegehalt des Systems:
0
Wk;rot
=
1 0 2 1
· J ω = · 61, 44 kgm2 · (1, 685 Hz)2 = 87, 22 J .
2
2
7.6.3 Klimawandel verkürzt den Tag
Aus der Süddeutschen Zeitung vom 07.04.2007:
Der Klimawandel könnte innerhalb der kommenden 200 Jahre die Länge
des Tages verkürzen, weil sich das Wasser auf dem Globus anders verteilt, sagen Forscher vom Max-Planck-Institut für Meteorologie in Hamburg (Geophysical Research Letters, Bd. 34, L06307, 2007 ). Der Grund ist der Anstieg
des Meeresspiegels durch die Ausdehnung des erwärmten Wassers. Es fließe
aus dem tiefen Ozean in flachere Küstenregionen. Da es in hohen Breiten
mehr Flachwasser gibt als in den Tropen, verteilt sich das Wasser weg vom
Äquator. Dadurch rückt es etwas näher an die Drehachse der Erde. Wie eine
Eisläuferin, die in der Drehung die Arme anzieht, beschleunigt das die Rotation. Der Effekt ist aber nur mit genauen Uhren zu messen: Um eine Achtel
Millisekunde werde der Tag kürzer, so die Klimaforscher.
cris
7.6.4 Coroliskraft
Betrachte dazu die Abbildung 7.7 auf der nächsten Seite. Startet man auf einer rotierenden Platte eine Kugel an der Position 0 und lässt sie gleichförmig Richtung Position 10
rollen (von außen betrachtet), so legt sie auf der Scheibe den blau eingezeichnete Weg
zurück (mitbewegter Beobachter im Mittelpunkt der Kreise). Wegen der gekrümmten
Bahn muss eine (Trägheits-) Kraft gewirkt haben. Man nennt sie Corioliskraft25 . In
der gezeichneten Situation erfolgt stets eine Ablenkung nach rechts.
24
Man prüfe das auf einem Spielplatz: Springt man von einem Karussell ab, so dreht es sich unvermindert
weiter.
25
Gaspard Gustave de Coriolis, 1792–1843, französischer Physiker
213
7 Rotationsbewegungen (starrer Körper)
0
b
b
2
b
b
4
b
b
6
8
b
b
b
b
b
10
8
6
4
2
0
6
b
b
b
b
2
4
b
8
b
b
b
b
b
0
b
2
4
6
8
10
Abbildung 7.7: Rechtsdrehung auf der Nordhalbkugel; Blick von oben; Weg von außen
nach innen (oben) und von innen nach außen (unten)
214
7.6 Beispiele
In den Bildern kann der Mittelpunkt der Kreise als Nordpol der Erde interpretiert werden. Die Erde dreht sich beim Blick von oben auf den Nordpol im Gegenuhrzeigersinn:
im Osten geht die Sonne auf. Im alltäglichen Leben merkt man auf der Erde nicht sehr
viel von der Corioliskraft. Wenn man aber auf einer rotierenden Scheibe (Kirmes) von
innen nach außen geht, erfährt man eine nach rechts gerichtete Kraft, die es zu kompensieren gilt, um weiter geradeaus (über Grund) zu laufen. In der Wüste genügt ein
„Geradeauslaufen“ auch nicht. Man trifft wegen der Rechtsablenkung schließlich wieder
auf seine eigenen Spuren.
In der unteren Abbildung ist der Weg von der Mitte nach außen dargestellt. Auch hier
erfolgt eine Rechtsablenkung.
Anwendungen: Auf der Nordhalbkugel beobachtet man eine Rechtsablenkung der Winde
von Norden in Richtung Äquator (Nordostpassat). Ferner dreht sich der Wind im Uhrzeigersinn um ein Hochdruckgebiet, da die Luft aus dem Gebiet mit hohem Luftdruck
in das mit niedrigem Luftdruck strömt.
Auf der Südhalbkugel kehrt sich die Orientierung um.
215
Teil II
Wellen
217
8 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
In diesem Abschnitt soll ein Messverfahren zur Lichtgeschwindigkeitsbestimmung vorgestellt werden. Wegen der nicht ganz einfachen Zusammenhänge empfiehlt es sich, das
Messprinzip zunächst zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit einzusetzen und zu erläutern.
8.1 Vorversuch: Messung der Schallgeschwindigkeit
Wir betrachten den Versuchsaufbau in Abbildung 8.1. Aus einem RC-Oszillator1 entnimmt man die zum Betrieb eines Lautsprechers2 erforderliche Wechselspannung von
ca. 5 kHz und stellt sie gleichzeitig mit einem Oszillograph über Kanal I dar. Damit
wäre auch eine Bestimmung der Frequenz möglich. Ein Zähler kann natürlich auch eingesetzt werden.
Oszillator
I
II
s1
s2
Abbildung 8.1: Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit durch Laufzeitdifferenz
In angemessener Entfernung wird ein Mikrofon aufgestellt und mit Kanal II des Oszilloskops verbunden. Man erkennt dann zwei in der Regel phasenverschobene sin-Kurven als
Bild der Schwingungen an Lautsprecher und Mikrofon. Das Signal am Mikrofon hat bei
gleichem Verstärkungsfaktor eine geringere Amplitude. Sie nimmt überdies bei größerer
Entfernung weiter ab. Zur Messung geht man wie folgt vor:
1. Koinzidenz: Der Lautsprecher wird soweit verschoben, bis die beiden Schwingungen
übereinanderliegend dargestellt werden. Das bedeutet, dass das Signal y1 an Kanal
1
2
[21] Gerätebeschreibung 522 57
[21] Gerätebeschreibung 586 26
219
8 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
I gegenüber y2 an Kanal II um weitere ganze Perioden zeitlich verschoben ist:
t1 = n · T .
Nun markiert man auf dem Experimentiertisch die Position s1 des Lautsprechers.
2. Koinzidenz: Der Lautsprecher wird weiter soweit verschoben, bis die beiden Schwingungen nach einer Periode (k = 1) oder k Perioden übereinanderliegend dargestellt
werden. Das bedeutet, dass das Signal y1 an Kanal I gegenüber y2 an Kanal II um
k ganze Perioden zeitlich verschoben ist:
t2 = (n + k) · T .
Wieder markiert man auf dem Experimentiertisch die Position s2 des Lautsprechers.
Insgesamt hat man also zeitliche ∆t = t2 − t1 = (n + k) · T − n · T = k · T und räumliche
Periodizität ∆s = s2 − s1 zusammengehörig ermittelt. Daher gilt:
cSchall =
∆s
∆s
∆s
=
=
·f.
∆t
k·T
k
Zu erwartende Messdaten wären also beispielsweise mit ∆s = 21 cm und k = 3 bei
f = 5 kHz:
cSchall =
∆s
21 cm
m
·f =
· 5 kHz = 350 .
k
3
s
8.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit
Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit stand mir am Humboldtgymnasium in Solingen das Versuchsgerät „Lichtsender und Empfänger“ von Leybold zur Verfügung3 .
Aus den genannten Geräte- und Versuchsbeschreibungen (Fußnote) habe ich eine Übersicht zusammengestellt, die das Vorgehen in meinem Verständnis darstellt und zusammenfasst. Dazu betrachte man die Abbildung 8.2 (s. rechts) mit den entsprechenden
Erläuterungen.
1. Der Sender moduliert den Lichtstrahl aus einer LED proportional zu cos ω1 t,
1
wobei ω1 = 2π · f1 = 2π · 60 MHz. Diese Frequenz kann mit dem Faktor 10
ge4
teilt an einem Digitalzähler kontrolliert werden. Mit einem abgeschirmten und
abgestimmten Koaxialkabel wird dieses Signal an die Empfangselektronik (rote
Umrandung) geleitet.
2. Der Empfänger nimmt das modulierte Licht auf, welches wegen der Laufzeit vom
Sender zum Empfänger gegenüber dem Ausgangssignal um ϕ phasenverschoben
3
[21] Gerätebeschreibungen 476 30; dazu gehören ein Kunstglaskörper 476 34 und ein Rohr mit 2
Endfenstern 476 35.
4
[21] Gerätebeschreibung 575 50
220
f1
10
1 : 10
f1 = 60 MHz
∼ cos ω1 t
Sender
∼ cos (ω1 t − ξ)
Stromversorgung
Koaxialkabel und
6 m abgestimmtes
= 6 MHz
Digitalzähler
∼ cos ω2 t
wie oben:
Empfänger
∼ cos (ω1 t − ϕ̃)
∼ cos (ω1 t − ϕ)
f1 = 60 MHz
Kanal II
Oszilloskop
∼ cos (∆ω · t − ξ)
zum Triggern
Kanal I
∼ cos (ω1 t − ϕ̃) · cos ω2 t
∼ cos ((ω1 + ω2 ) · t − ϕ̃) + cos ((ω1 − ω2 ) · t − ϕ̃)
∼ cos (∆ω · t − ϕ̃)
Si-PIN Fotodiode
HF-Filter:
f2 = 59, 9 MHz
LED, 670 nm
8.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit
Abbildung 8.2: Prinzip der Messelektronik zur Lichtgeschwindigkeitsbestimmung; beachte die weiteren Erläuterungen im Text.
221
8 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
ist. Daher gilt an dieser Stelle für den zeitlichen Verlauf ∼ cos (ω1 t − ϕ).
5
3. Man mischt (multiplikativ) nun eine Frequenz ω2 = 2π · f2 = 2π · 59, 9 MHz dazu,
so dass man erhält:
∼ cos (ω1 t − ϕ̃) · cos ω2 t .
Dabei bedeutet ϕ̃ die durch die Laufzeit durch die Messelektronik gering veränderte
Phasenverschiebung.
Benutzt man die Additionstheoreme (B.35) und (B.36) (S. 467) aus Satz 109, so
folgt:
∼ cos (ω1 t − ϕ̃) · cos ω2 t = cos ((ω1 t − ϕ̃) + ω2 t) + cos ((ω1 t − ϕ̃) − ω2 t)
= cos ((ω1 + ω2 ) t − ϕ̃) + cos ((ω1 − ω2 ) · t − ϕ̃) .
Das Produkt lässt sich also als Summe aus einer hoch- und einer niederfrequenten Schwingung darstellen. Man kann nun den hochfrequenten Teil des Signals
herausfiltern und erhält nach dieser Prozedur am Eingang II des Oszilloskops:
∼ cos ((ω1 − ω2 ) · t − ϕ̃) = cos (∆ω · t − ϕ̃) .
Dabei ist die Phasendifferenz unverändert geblieben, aber die Frequenz der Schwingung beträgt nur noch
∆ω = ω1 − ω2 = 60 MHz − 59, 9 MHz = 0, 1 MHz = 100 kHz .
Schwingungen dieser Frequenz lassen sich mit einfachen Oszilloskopen anzeigen.
4. Man benötigt nun noch eine unabhängige Schwingung von 100 kHz für eine externe
Triggerung (trig. ext.) oder für den Eingang I bei einem Zweikanaloszilloskop, auf
den dann getriggert werden kann.
In gleicher Weise wie zuletzt beschrieben kann das Referenzsignal aus dem Sender
∼ cos (ω1 · t + ξ) in ∼ cos (∆ω · t + ξ) umgewandelt werden. Da nur die Frequenz
zum Triggern benötigt wird, ist die durch die Kabel hervorgerufene Laufzeit (Phasenverschiebung ξ) für die Auswertung nicht von Belang.
5. Der Phasenverschiebung wird durch die Umformung in eine andere Frequenz allerdings eine anderen Laufzeit zugeordnet. Das kann man sich so klarmachen:
ϕ
t1
ϕ
∆t
Allgemein gilt für die Phasenverschiebung ϕ:
=
und auch
=
. Also
2π
T1
2π
∆T
folgt für die Zeitdehnung:
∆t
∆T
ω1
f1
60 MHz
=
=
=
=
= 600 .
t1
T1
∆ω
∆f
100 kHz
5
Wären die in den Schulen vorhandenen Oszilloskope in der Lage, mindestens 60 MHz sauber aufzulösen, so könnte man beide Signale über gleichlange Kabel (gleiche Laufzeit) mit dem Oszilloskop darstellen und an der Phasenverschiebung die Laufzeit ablesen. Zusammen mit der Entfernung
Sender–Empfänger wäre die Lichtgeschwindigkeit bestimmbar.
222
8.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit
Lichtgeschwindigkeit in Luft
Insgesamt sollte man in nachstehend beschriebener Weise vorgehen.
1. Nach dem allgemeinen Aufbau und der Verkabelung erfolgt die Abbildung des
Lichtsignals auf die Empfänger-Fotodiode6 mit einer Linse 150 mm Brennweite7 .
Kanal II des Oszilloskops zeigt ein 100 kHz-Signal. Die Amplitude kann bis zu
2 VSS vergrößert werden, indem man die Linse etwas verschiebt bzw. den Sender
mittels der Rändelschrauben nachjustiert.
2. Am Digitalzähler ermittelt man die Frequenz (6 MHz =
b 60 MHz wg. des Teilers
1:10). Die Abweichung sollte nur ca. 0,01 % betragen, d. h. ±600 Hz.
Gemäß Anleitung[21, Abschnitt 4.3] 8 schließt man den Ausgang 6 MHz an Kanal
µs
I des Oszilloskops an. Es müssen dann bei einer Zeitbasis von 0, 1 cm
genau 6
Perioden auf den Bildschirm der Breite 10 cm passen:
0, 1
µs
µs
µs
=1
=1
·
cm
10 cm
10 cm
T
1
6 MHz
=6
T
.
10 cm
So kann die Zeitbasis über die variable Zeitablenkung nachgebessert werden.
3. Folgendes hatte ich zur Messung notiert:
µs
entspricht einer Periode von 100 kHz genau justieren auf 10 cm.
Oszilloskop 1 cm
Die Lichtquelle (Sender) auf ∞ und dann mit der zweiten Linse in den Empfänger
abbilden. Die Strecke der 1, 40 m auf dem Tisch von liefert eine Verschiebung der
Phase um 2, 8 cm.
c̃ =
∆s
1, 40 m
km
=
.
µs = 500
∆t
2, 8 cm · 1 cm
s
Berücksichtigt man nun noch den Faktor 600 (100 kHz −→ 60 MHz), so hat man:
c=
∆s
1, 40 m · 600
km
.
=
µs = 300 000
2, 8 cm · 1 cm
s
· ∆t
1
600
Lichtgeschwindigkeit in Wasser
µs
V
Man stellt den Sender 30 cm vor den Empfänger; 0, 5 cm
; Verstärkung 0, 1 cm
; Arbeitssignal 1 cm vom linken Bildschirmrand durch die Nulllinie. 1 m rückwärts verschieben und
das Rohr dazwischenstellen. Das Oszilloskop liefert eine Verschiebung von 54 mm. also
cWasser =
1m
µs
5, 4 cm · 0, 5 cm
·
1
600
= 222, 2 · 106
m
.
s
6
[21] Gebrauchsanweisung 476 30/34/35, Seite 4
Die Fokussierung erfolgt auf ein Blatt Papier in der Ebene der Frontplatte. Danach wird die Linse
noch ca. 1, 3 mm auf den Eingang hin bewegt, da die Fotodiode 1, 3 mm hinter der Frontplatte liegt.
8
M. E. ist die Justierung gemäß Punkt 3 einfacher und ausreichend.
7
223
8 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit
Der Brechungsindex von Wasser lässt sich daher bestimmen zu:
n=
c
cWasser
=
3 · 108 ms
= 1, 35 .
2, 22 · 108 ms
4
Der Tabellenwert lautet: n = . Die Abweichung des gemessenen Wertes beträgt 1,5 %.
3
Bestimmung des Brechungsindex allgemein
Der Sender bleibt stehen; einmal läuft das Licht durch Luft, dann durch das Material.
d
c0
d
=
cM
tL1 =
tL2
tL = tL2 − tL1
Umstellen nach
(Laufzeit durch Luft der Dicke d)
(Laufzeit durch Medium der Dicke d)
d
d
d
=
−
=
·
cM c0
c0
c0
−1
cM
c0
:
cM
n=
c0
tL · c0
=
+1
cM
d
Anmerkung Leider liegen mir keine protokollierten Messdaten vor. Bei dem Versuch,
diese zu reproduzieren (14.06.2017) ist leider das Steuergerät „abgeraucht“. Ein Kommentar von der Firma Leybold soll noch eingeholt werden.
224
Teil III
Felder
225
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
9.1 Die Glimmlampe
Experiment Nachstehende Schaltung wird aufgebaut. Als Spannungsquelle (Netzgerät) benutzt man ein Gleichspannungsnetzgerät bis 300 V 1 .
+ U
=
−
100 kΩ
•
Abbildung 9.1: Glimmlampe in einem Stromkreis mit Gleichspannungsquelle U und notwendigem Begrenzungswiderstand; es leuchtet die Elektrode, die mit „−“
verbunden ist.
Als Ergebnis kann man daher auch formulieren, dass sich der „+“- und „−“-Pol einer
Stromquelle physikalisch unterscheiden lassen.
Anmerkung Schließt man eine Wechselspannungsquelle an und bewegt die Glimmlampe hin- und her, so erkennt man, dass beide Elektroden nacheinander aufleuchten.
Besonders schön kann man das bei einer Glimmlampe in Sofittenform2 erkennen.
Experiment Der in Abbildung 9.2 (S. 228) schematisch gezeigte Versuchsaufbau wird
benutzt, um den Unterschied zwischen el. Ladung und el. Strom zu verdeutlichen. Als
Spannungsquelle (Netzgerät) benutzt man ein Hochspannungsnetzgerät bis 10 kV 3 .
Ergebnis: Der Konduktor transportiert el. Ladung (Größenzeichen: Q) von der linken
zur rechten Glimmlampe. El. Ladungen erkennt man nur an den Wirkungen; Ladung
1
z. B. Röhrennetzgerät LH 522 27
https://de.wikipedia.org/wiki/Soffittenlampe
3
z. B. Hochspannungsnetzgerät LH 521 68
2
227
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
I
Q
•
•
+
U
=
−
Abbildung 9.2: Die Konduktorkugel transportiert el. Ladung; die Glimmlampen zeigen
den el. Strom an.
kann portionsweise transportiert werden. Diesen Ladungstransport nennt man el. Strom
(Größenzeichen: I). 4
Satz 42. El. Strom ist bewegte (fließende) el. Ladung.
9.2 Leiter und Isolatoren
• Leiter sind alle Metalle, Graphit, Säuren, Laugen, Salzlösungen und Gase unter
besonderen Bedingungen (z. B. Blitz).
• Nichtleiter (Isolatoren) sind Holz (trocken), Gummi, fast alle Kunststoffe, Wolle,
Seide, alle Gase unter Normalbedingungen, Wasser (rein).
9.3 Eigenschaften der el. Ladung
Mit vielen netten Experimenten lassen sich die nachfolgende Eigenschaften der el. Ladung qualitativ nachweisen.
1. Es gibt zwei Arten von el. Ladung, positive (+) und negative (−).
2. Sie üben Kräfte aufeinander aus.
Genauer: gleichnamige Ladungen (+)(+) oder (−)(−) stoßen sich ab. Ungleichnamige Ladungen (+)(−) ziehen sich an. Es gibt also abstoßende und anziehende
Kraftwirkungen von geladenen Körpers aufeinander. Diese scheinbar triviale Aussage ist von fundamentaler Bedeutung. So gibt es bei der Anziehungskraft (Gravitation) zwischen Körpern nur Anziehungskräfte.
4
Für den Zusammenhang zwischen den Größen I und Q siehe 9.1, 232
228
9.3 Eigenschaften der el. Ladung
3. Mit einem Elektroskop5 , welches die Kraftwirkung zweier Ladungen aufeinander
zum Anzeigen der Anwesenheit geladener Körper ausnutzt, kann man qualitativ
nachweisen, dass sich die Ladungen zweier unterschiedlich geladener Körper derart ausgleichen können (Neutralisation), dass er insgesamt betrachtet ungeladen
(neutral) erscheint (Abbildung 9.3). Man kann also davon ausgehen, dass ein ungeladener Körper positive und negative Ladungen in gleicher Anzahl (Menge) enthält
+Q + (−Q) = 0
und dass Ladungen nicht erzeugt werden, sondern vorhanden sind und nur getrennt
werden müssen, um einen entsprechend geladenen Körper zu erhalten.
−−
− −
−−
+ +
+ +
± ±
+
+
+
+
±
±
±
±
+
+
+
+
a
b
=
d
Abbildung 9.3: Neutralisation mit einem Elektroskop; a zeigt ein positiv geladenes Elektroskop, welches in b durch negative Ladungen neutralisiert wird (c). Die
Zustände c und d erscheinen nach außen hin gleich.
Experiment Man kann auch umgekehrt vorgehen. Dazu benötigt man ein Elektroskop, einen isolierten Schemel, eine Person mit einem Pullover aus isolierendem
Material (Wolle, Kunststoff), einen kleinen Hartgummistab und einen Bandgenerator. Ich habe das Experiment oft durchgeführt und es hat nahezu immer funktioniert. Manchmal braucht man aber eine Schülerin oder einen Schüler mit langen
trockenen Haaren und einem „wirklichen Plastikpullover“.
Man bittet nun die Person, sich auf den isolierten Schemel zu stellen und entlädt
sie über ein Erdungskabel. Mit dem Elektroskop weist man nach, dass die Person
in sich ungeladen (neutral) ist. Man bittet sie dann, den Pullover auszuziehen –
wobei natürlich zu beachten ist, dass dies ohne Weiteres möglich sein kann . . .
Der Pullover muss dann an dem Hartgummistab isoliert aufgehängt werden. (Der
Experimentator kann diesen mit der Hand festhalten.) Berührt nun die Person das
Elektroskop, so schlägt es aus: die Person ist durch Ladungstrennung geladen. Die
andere Sorte Ladung hängt mit dem Pullover am Hartgummistab. Anschließend
5
https://de.wikipedia.org/wiki/Elektroskop
229
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
soll sich die Person wieder anziehen. Sie darf aber den Schemel nicht verlassen. Am
Ende wird das Elektroskop wieder berührt und der Zeigerausschlag geht zurück:
Neutralisation.
4. Leiter enthalten auch im neutralen Zustand bewegliche el. Ladungen. Diese werden
beim Annähern eines el. geladenen Körpers (c) teilweise getrennt. Diesen Vorgang
nennt man el. Influenz.
±
±
a
±
+−
+ −
+−
++
+ +
++
b
Abbildung 9.4: El. Influenz; a zeigt einen neutralen Körper, dessen Ladungen in b durch
die Anwesenheit eines negativ geladenen Körpers getrennt werden. Man
könnte in b links die Ladungen (etwa mit einem Finger) ableiten und
erhielte dann einen negativ geladenen Körper.
9.4 Elementare atomistische Begriffe
9.4.1 Atombau
Für ein grundsätzliches Verständnis der Elektrizitätslehre sind folgende Vorstellungen
und Begriffe nützlich: Bausteine der Elemente sind die Atome. Sie sind aus einem sehr
kleinen, massereichen Atomkern und einer Atomhülle zusammengesetzt. Der Atomkern
besteht aus positiv geladenen Teilchen, den Protonen sowie den ungeladenen Neutronen.6
Die im Verhältnis zu den Protonen und Neutronen sehr leichten negativen Elektronen
bilden die Atomhülle. Insgesamt ist ein Atom el. neutral.
Die el. Anziehungskraft zwischen den Elektronen und Protonen kann durch die Vorstellung einer Bewegung der Elektronen um den Atomkern kompensiert werden.
Der el. Abstoßungskraft zwischen den positiven Bestandteilen des Atomkerns wirkt eine
inneratomare Kraft (starke Wechselwirkung) mit geringer Reichweite entgegen.7 Dabei
spielen die Neutronen eine besondere Rolle.
6
7
Protonen und Neutronen bilden zusammen die Nukleonen (Kernbausteine).
https://de.wikipedia.org/wiki/Starke_Wechselwirkung#Bindung_zwischen_Nukleonen
230
9.4 Elementare atomistische Begriffe
9.4.2 Ionen
1. Fehlt in einem Atom ein Elektron – im Vergleich zum neutralen Zustand, so ist
das Restatom positiv geladen. Es ist dann ein sog. positives Ion. Das aus dem
griechischen stammende Wort bedeutet „Wanderer“. Ein positives Ion würde also
zur negativen Elektrode (Kathode) wandern, wäre also ein Kation.
2. Ist in einem Atom ein Elektron mehr vorhanden, so ist das Restatom negativ geladen. Es ist dann ein sog. negatives Ion. Ein negatives Ion würde also zur positiven
Elektrode (Anode) wandern, wäre also ein Anion. 8
9.4.3 Leitungsvorgänge in Metallen
Metalle sind dadurch gekennzeichnet, dass sie schwach gebundene Außenelektronen besitzen, insgesamt natürlich neutral sind. Im Festkörper bilden die Materialien ein regelmäßig aufgebautes Kristallgitter. Mit folgendem „Trick“ halten die Metallatome zusammen, denn nur el. geladene Teilchen üben eine Kraft aufeinander aus: Wegen der
schwachen Bindung kann jedes Atom ein oder mehrere äußere Elektronen dem gesamten Gitterverband zur Verfügung stellen. In dem Moment, wo das (negative) Elektron
vom Restatom getrennt gedacht wird, ist der Atomrumpf positiv geladen. Auf diese
Weise kann die Kraftwirkung zwischen den positiven Atomrümpfen und den negativen
Elektronen ausgenutzt werden.
Schließt man nun eine Stromquelle an den Draht an, so werden die frei beweglichen
Elektronen zum +-Pol wandern9 , die positiven (schweren) Atomrümpfe aber ortsfest
bleiben. Die fehlenden Elektronen werden von der el. Stromquelle nachgeliefert.
+
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
-
−
-
+
tehnishe Stromrihtung
Elektronenuss in Metallen
Abbildung 9.5: Einfache Modellvorstellung für die
Def. 29. Die technische Stromrichtung wird definiert von (+) nach (−) (Abb. 9.5).
8
9
https://de.wikipedia.org/wiki/Ion
Vergleiche dazu auch die Ausführungen in 13.1, S. 275.
231
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
9.5 Stromstärke und Ladung
9.5.1 Zusammenhang und Einheiten
Größenzeichen für die el. Stromstärke ist I, für die el. Ladung Q. Die Stromstärke (allgemein) kann ja erklärt werden als Anzahl der (bewegten) Objekte, die sind in der Zeiteinheit an einem Beobachter vorbei bewegen. Daher kann der Zusammenhang zwischen
der Stromstärke und der Ladung zunächst einmal durch
I=
∆Q
∆t
(9.1)
beschrieben werden.
Falls die Stromstärke konstant ist, so kann man schreiben:
I=
Q
t
und
Q=I ·t
(9.2)
Einheit der el. Stromstärke ist das Ampere10 (A), die Einheit der el. Ladung ist das
Coulomb11 (C). Für diese Einheiten gelten die Einheitengleichungen:
1A =
1C
1s
und
1 C = 1 A · 1 s = 1 As
Nun kann man nicht die eine Einheit durch die andere definieren. Nach dem SI-Einheitensystem wird das Ampere (A) als Grundeinheit definiert. Man kann auch das Coulomb
(C) als Grundeinheit definieren, was früher sogar gemacht wurde. In einem späteren Abschnitt (17.8.4, S. 355) wird das Ampere (A) als Grundeinheit über die Kraftwirkung
zweier stromdurchflossener Leiter definiert. Das Coulomb ist daher eine abgeleitete Einheit und wird oft durch 1 As ausgedrückt.
9.5.2 Genauere Betrachtungen
Wir fragen jetzt: Gelten immer die Gleichungen (9.2) für den Zusammenhang zwischen
der el. Stromstärke und der el. Ladung und welche Bedeutung hat die Gleichung (9.1)
10
11
André-Marie Ampère, 1775–1836, franz. Physiker
Charles Augustin de Coulomb, 1736–1806, franz. Physiker
232
9.5 Stromstärke und Ladung
in diesem Zusammenhang? Dazu betrachten wir folgende Fälle:
1. Fall: I(t) = I0 = konst (zeitlich konstanter Strom; Gleichstrom)
I
I0
∆Q = I0 · ∆t ;
∆Q
geflossene Ladung = Stromstärke · zugeh. Zeit
=
b Fläche unter Graph von I(t) .
t1
t
t2
∆t
2. Fall: I(t) 6= konst (zeitlich nicht konstanter Strom; Wechselstrom)
I
Q=
b graue Fläche
= Summe aller ∆Q für ∆t → 0
I(t)
∆Q
I
= lim
X
∆Q
= lim
X
I · ∆t
∆t→0
∆t→0
Zt2
Q
t1
t
∆t t2
I(t) dt .
=
t1
Andersherum:
1. Fall: Die Ladung verändert sich linear mit der Zeit.
Q
Q(t)
∆Q
= konst ;
∆t
Q(t) = I · t + Q0 .
I=
Q2
∆Q
Q1
t1
t2
∆t
t
Dabei ist Q0 die Ladung zur Zeit t = 0.
I gibt also die Steigung an und Q0 ist die
Ladung zur Zeit t = 0.
2. Fall: Die Ladung verändert sich nicht linear mit der Zeit.
Q
Q(t)
∆Q
für ∆t → 0
∆t
∆Q
= lim
∆t→0 ∆t
dQ
= Q0 (t) = Q̇ =
.
dt
I=
∆Q
∆t
t
Wenn man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kennt, ist der oben
233
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
in den verschiedenen Fällen dargestellte Zusammenhang zwischen der Ladung und der
Stromstärke für einen allgemeineren Fall „natürlich klar“. Als Voraussetzung benötigen
wir eine stetige Funktion I = I(t). Für praktische Fälle kann man das sicher annehmen.
Dann gilt für die Funktion
t 7−→ Q(t) =
Zt
I(t̃) dt̃ ,
t1
die jedem Zeitpunkt t die vom Zeitpunkt t1 bis zum Zeitpunkt t geflossene Ladung Q(t)
zuordnet:
0
Zt
0
Q̇ = Q (t) =
I(t̃) dt̃ = I(t) .
(9.3)
t1
Man findet auch folgende suggestiven Schreibweisen:
∆Q
dQ
=
=I;
∆t→0 ∆t
dt
dQ = I · dt ;
Q̇ = Q0 (t) = lim
Zt2
Q=
Zt2
I(t) dt .
dQ =
t1
t1
Dabei ist Q̇ eine gern verwendete Bezeichnung für die erste Ableitung nach der Zeit. VieldQ
fach verwendet man auch die Schreibweise
(„Differentialquotient“), die den Grenzdt
∆Q
für ∆t → 0 charakterisiert. Letztlich trägt diese Schreibweise
wert der Steigung
∆t
dem physikalischen Messprozess Rechnung, denn Stromstärke ist immer das Messen einer Ladungsmenge in einer bestimmten Zeit. Außerdem sollte man beachten, dass die
Einheit von Q̇ die einer Stromstärke ist. Bei der Schreibweise als Differentialquotient
wird deutlicher, welche Einheiten eingesetzt werden müssen.
9.5.3 Fazit
Merke:
Zt2
I = Q̇
und
Q=
I(t) dt .
t1
9.5.4 Beispiele
1. Q = konst; Elektrostatik; alternativ: eine Badewanne ist mit Wasser gefüllt.
dQ
I=
= 0; d. h., bei konstanter Ladung fließt kein Strom.
dt
234
(9.4)
9.5 Stromstärke und Ladung
2. Q = konst · t; linear in der Zeit zunehmende Ladung; alternativ: Die Badewanne
wird mit Wasser aus der Leitung gefüllt.
dQ
I=
= konst; d. h., bei linear zunehmender Ladung fließt Gleichstrom.
dt
b · sin ωt; oszillierende Ladungsverteilung; alternativ: Ein Kind in der Bade3. Q = Q
wanne rutscht hin und her; das Wasser „schaukelt sich auf“ – kennt jeder . . . 12
0
b · sin ωt
I = Q̇ = Q
b · ω · cos ωt
=Q
13 ;
b · ω, also
zur Zeit t = 0 ist I = Ib = Q
I = Ib · cos ωt, d. h. sin-förmiger Wechselstrom, dessen Scheitelwerte gegenüber der
π
Ladungsmenge um verschoben sind (erst I, dann Q).
2
9.5.5 Ausflussmessung; Exponentialfunktionsrohr
Mit dem Exponentialfunktionsrohr14 ist es möglich, eine Exponentialfunktion zu untersuchen – sozusagen als mechanisches Analogon zu einer Entladekurve bei einem Kondensator. Gemäß der Anleitung füllt man Wasser in das Rohr und lässt es auslaufen. Eine
Skala ermöglicht es, zu bestimmten Zeitpunkten den Wasserstand im Rohr zu ermitteln.
Dieser ist dem Volumen des Wassers proportional, entsprechend der Ladung für einen
el. Vorgang. In festgelegten Zeitintervallen bestimmt man die Höhe der Wassersäule im
Rohr.
def
Die Messdaten stammen aus einem im Januar 1990 durchgeführten Experiment (log =
log10 ).
h
log
cm
1,602
1,498
1,398
1,301
1,204
1,114
1,021
0,929
0,845
0,740
0,653
t/s
h/cm
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
40,0
31,5
25,0
20,0
16,0
13,0
10,5
8,5
7,0
5,5
4,5
12
b bzw. Ib als „Q-Scheitel“ bzw. „I-Scheitel“; ich habe allerdings immer „Q-Dach“ bzw. „I-Dach“
Lies Q
gesagt.
13
Die Ableitung der Funktion f (x) = a · sin bx erfordert die Kettenregel: Seien h in x0 ∈ Dh und
g in h (x0 ) ∈ Dg differenzierbar, dann ist g ◦ h differenzierbar in x0 und es gilt: (g ◦ h)0 (x0 ) =
(g 0 ◦ h) (x0 ) · h0 (x0 ); kurz: (g ◦ h)0 = (g 0 ◦ h) · h0 .
Damit erhält man: f 0 (x) = (a · sin ◦ (bx))0 = (a · sin0 ◦ (bx)) · (bx)0 = (a · cos ◦ (bx)) · b = ab · cos bx.
14
[21] Gerätebeschreibung 361 75
235
9 Allgemeine Grundlagen; die el. Ladung
h
cm
40
bc
bc
30
bc
20
bc
bc
bc
bc
10
bc
bc
bc
bc
0
0
log
h
cm
25
50
75
100
125
150
175
200
t
s
1,6
bc
bc
bc
bc
1,2
bc
bc
bc
bc
bc
0,8
bc
bc
0,4
0
0
25
50
75
100
125
150
175
200
t
s
Aus der ersten Abbildung kann man schon die Eigenschaft einer Exponentialfunktion
entnehmen: geht man in gleichen Schritten auf der Rechts-Achse, so ändern sich die
Werte auf der Hoch-Achse um einen gleichen Faktor. Hier bei den gegebenen Messdaten
erfolgt eine Halbierung etwa alle 60 s.
Man erhält als Regressionsgerade für die zweite Abbildung die Gleichung (Regressionskoeffizient R2 = 1, 000):
y = −0, 00471 · x + 1, 59 ;
h
t
log
= −0, 00471 · + 1, 59 ;
cm
s
h
log( cm
−0,00471· st +1,59
)
10
= 10
;
t
h
= 10−0,00471· s · 101,59 ;
cm
t
h = 38, 9 cm · 10−0,00471· s .
236
9.5 Stromstärke und Ladung
Das wäre jetzt ein Ausdruck mit log10 bzw. mit der Basis 10. Jeden Logarithmus kann
man aber in eine andere Basis umrechnen, also z. B. in die Basis e der natürlichen
Logarithmusfunktion ln.
t
h = 38, 9 cm · 10−0,00471· s ;
t
ln (h) = ln 38, 9 cm · 10−0,00471· s
t
= ln (38, 9 cm) + ln 10−0,00471· s
= ln (38, 9 cm) − 0, 00471 ·
t
· ln 10 ;
s
t
h = eln(38,9 cm)−0,00471· s ·ln 10 ;
t
s
t
h = 38, 9 cm · e−0,01085· s = 38, 9 cm · exp −0, 01085 ·
.
Eine Formulierung mit exp(x) statt ex ist in manchen Fällen übersichtlicher. Die soeben
berechnete Funktion ist in der ersten Abbildung eingezeichnet und stellt letztlich die
Exponentialanpassung für die Messreihe dar.
Um eine zur Ladung analoge Größe zu formulieren, sollte man das Volumen der Wassermenge betrachten. Wegen der zylindrischen Form des Rohres und dem bekannten15
Innendurchmesser von 24 mm ergibt sich für die Volumenfunktion:
24 mm 2
V (t) = π ·
· h(t)
2
= 4, 52 cm2 · h(t)
t
= 176 cm3 · e−0,01085· s = 176 cm3 · exp −0, 01085 ·
t
s
.
Für die Wasserstromstärke IW erhält man gemäß (9.4) die Gleichung:
IW (t) = V̇ = V 0 (t)
t 0
= 176 cm · exp −0, 01085 ·
s
1
t
3
· exp −0, 01085 ·
= 176 cm · −0, 01085 ·
s
s
cm3
t
= −1, 91
· exp −0, 01085 ·
.
s
s
3
Den negativen Wert von IW kann man als „Ausfluss“ interpretieren.
Anmerkung Grundsätzliche Informationen über die Eigenschaften von Logarithmusund Exponentialfunktionen findet man im Anhang C (S. 469 ff.).
15
[21] Gerätebeschreibung 361 75
237
10 Felder und Feldstärke
10.1 Der Feldbegriff
In der Physik versteht man unter einem (Vektor-) Feld eine Funktion, die jedem Punkt
des Raumes einen Feldvektor zuordnet. Beispiele für Felder sind etwa das (allgemeine)
Kraftfeld, das mg. Feld, das el. Feld, das grav. Feld1 , das Geschwindigkeitsfeld. Die Struktur des Feldes wird durch Feldlinien sichtbar gemacht. So kennt man das Feldlinienbild
eines Geschwindigkeitsfeldes als „Stromlinienbild“.
10.1.1 el. und grav. Felder
#»
v
P
Zum Begriff des (Vektor-) Feldes: Jedem Punkt P des
#»
Raumes wird durch die Feldfunktion F ein Vektor #»
v
zugeordnet:
#»
#»
F : P 7−→ F (P ) = #»
v.
Def. 30. Das el. Feld beschreibt die Kraftwirkung auf einen el. geladenen Körper, eine
sog. Probeladung q.
Träger des el. Feldes ist der „physikalische Raum“. Im Raum um einen geladenen Körper
besteht ein el. Feld.
Def. 31. Das grav. Feld beschreibt die Kraftwirkung auf einen „massebehafteten“
Körper, einen Probekörper m.2
Träger des grav. Feldes ist der „physikalische Raum“. Im Raum um einen (massebehafteten) Körper besteht ein grav. Feld.
1
2
el. = elektrisch; mg. = magnetisch; grav. Feld = Gravitationsfeld
Jeder Körper ist „massebehaftet“ – in Analogie zu „el. geladen“. Daher ist die Angabe dieser Eigenschaft überflüssig. Jeder Körper erfährt in einem grav. Feld eine Kraft, die Gravitationskraft.
239
10 Felder und Feldstärke
10.1.2 el. Feldlinienbilder
#»
F
b
+q
⊖
El. Feldlinienbilder machen die Struktur des Feldes
deutlich. Sie geben qualitative Informationen über
das Feld an.
⊕
Satz 43. El. Feldlinien informieren durch ihren Verlauf über
1. die Richtung der Kraftwirkung auf eine (positive) Probeladung durch die Tangente an die Feldlinie (im betreffenden Raumpunkt);
2. die Größe der Kraftwirkung (den Betrag der Kraft) durch die Dichte der Feldlinien (bezogen auf benachbarte Bereiche);
3. die Orientierung des Feldes durch die Wahl der Kraftwirkung auf eine positive
Probeladung: el. Feldlinien beginnen bei ⊕ und enden bei .
Satz 44. El. Feldlinien haben Anfang und Ende.
Abbildung 10.1: El. Feld zweier Punktladungen; links: ungleichnamige Ladungen; rechts:
gleichnamige Ladungen.
⊕
⊖
Abbildung 10.2: Radialsymmetrisches el. Feld einer Punktladung; die Feldlinien enden
(beginnen) an den entsprechenden Ladungen in sehr großer Entfernung.
240
10.1 Der Feldbegriff
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊕
⊖
⊖
⊖
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
Abbildung 10.3: Links: Starkes inhomogenes el. Feld; z. B. Wolke und Kirchturmspitze
⊕. Rechts: Das homogene el. Feld eines „Plattenkondensators“. Hier ist
die Kraftwirkung auf eine Probeladung q (im Wesentlichen – bis auf die
Randbereiche) überall gleich groß.
10.1.3 grav. Feldlinienbilder
#»
F
b
Grav. Feldlinienbilder machen die Struktur des Feldes deutlich. Sie geben qualitative Informationen
über das Feld an.
M
m
Satz 45. Grav. Feldlinien informieren durch ihren Verlauf über
1. die Richtung der Kraftwirkung auf einen Probekörper durch die Tangente an
die Feldlinie (im betreffenden Raumpunkt);
2. die Größe der Kraftwirkung (den Betrag der Kraft) durch die Dichte der Feldlinien (bezogen auf benachbarte Bereiche).
3. die Orientierung des Feldes durch die Wahl der Orientierung der Kraftwirkung
auf einen Probekörper: grav. Feldlinien enden bei M .
E
Erdoberähe
Abbildung 10.4: Links: homogenes grav. Feld (Erdoberfläche); rechts: radialsymmetrisches grav. Feld (Erde).
Satz 46. Grav. Feldlinien haben ein Ende, aber keinen Anfang.
241
10 Felder und Feldstärke
b
P
Abbildung 10.5: Beispiel für ein komplexeres grav. Feldlinienbild
Abbildung 10.5 ist ein Modell für das grav. Feld Erde-Mond. Ich habe es mit PS-Tricks
mit dem Paket pst-electricfield erstellt. Dazu wurden zwei positive Ladungen im
Verhältnis 6:1 als Massenzentrum für die Erde und den Mond angenommen. Das entspricht etwa dem Verhältnis der Anziehungskräfte von Erde und Mond auf der Oberfläche
der Himmelskörper. Die Größenverhältnisse und Abstände sind nicht maßstabsgerecht.
Die dunkelgrünen Linien sind Höhenlinien (Äquipotentiallinien, siehe Abschnitt 14.7,
S. 299) wie man sie von Landkarten kennt. Interessant ist die mit P gekennzeichnete
Stelle. Dort ist die Kraft auf einen Probekörper (Raumschiff) in der Summe Null, man
kann sagen, dass in P das Gravitationsfeld Null ist.
Zum Nachlesen sei an dieser Stelle auf [1, S. 415] verwiesen. Die dort in der Abbildung genannte Quelle ist unter [30] eingetragen. Da die Abbildung nicht ohne Kosten
veröffentlicht werden darf, habe ich den oben beschriebenen Weg gewählt.
10.1.4 Abschirmbarkeit
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
Abbildung 10.6: Links: Das Innere eines leitenden Hohlraumes ist feldfrei (FaradayKäfig). Rechts: Grav. Felder lassen sich nicht abschirmen.
242
10.2 Feldstärke
10.2 Feldstärke
10.2.1 Definition der grav. und el. Feldstärke
Zum Nachweis eines el. Feldes benötigt man eine el. Ladung. Man kann sich leicht
überlegen, dass die Kraftwirkung auf diese Probeladung von der Ladung selbst abhängt.
Als Beispiel betrachten wir das grav. Feld. Wir messen die Kraftwirkung auf eine Probemasse im grav. Feld.
m
F
0, 1 kg
≈ 1N
0, 2 kg
≈ 2N
F
m
N
kg
N
≈ 10
kg
≈ 10
...
Eine geeignete Größe zur quantitativen Beschreibung der Stärke des grav. Feldes ist der
F
Quotient . Daher definiert man:
m
Def. 32. Gravitationsfeldstärke
#»
#» F
G=
m
Beispiel
Einheit:
[G] =
N
kg
(10.1)
In Lennep gilt:
kg·m
F
9, 81 N
m
2
G=
=
= 9, 81 s = 9, 81 2 = g .
m
1 kg
kg
s
Man beachte hierzu jedoch eine etwas genauere Betrachtung in Abschnitt 10.2.2.
In analoger3 Weise:
Eine geeignete Größe zur quantitativen Beschreibung der Stärke des el. Feldes ist der
F
Quotient . Daher definiert man:
q
Def. 33. Elektrische Feldstärke
#»
#» F
E=
q
3
Einheit:
[E] =
N
As
(10.2)
Genauso, nur anders.
243
10 Felder und Feldstärke
10.2.2 Exkurs: Träge und schwere Masse
1. Es gibt 2 Möglichkeiten, die Masse eines Körpers zu bestimmen.
a) Dynamische Massenbestimmung durch einen Trägheitsversuch.
#»
F
m
#»
a
Dazu verweise ich auf das Experiment 3.1 (S. 101). Dort wurde gezeigt, wie
man die Masse eines Körpers mittels eines Experiments auf der Grundlage
des Impulserhaltungssatzes und letztendlich gemäß der Gleichung
F = mt · a
bestimmen kann. mt steht hier für träge Masse, denn die Anziehungskraft der
Erde (Gewichtskraft) spielt bei besagtem Experiment keine Rolle, da diese
durch die Luftkissenfahrbahn aufgehoben war.
Beispiel Vergleichbar ist das Experiment mit dem Problem, welches die
Astronauten der ISS hätten, wenn sie etwa die Masse einer Tafel Schokolade bestimmen sollen. Sie könnten die Schokolade mit einer definierten Kraft
(z. B. einer Schraubenfeder) durch das Raumschiff sausen lassen. Nimmt man
zwei Tafeln Schokolade, so ist bei gleichen Anfangsbedingungen die Geschwindigkeit um den Faktor 2 geringer.4 Damit hat man die Möglichkeit, ein Massenverhältnis zu bestimmen. Dann einigt man sich auf eine Einheit, die man
kgt nennt. Dazu lässt man das Urkilogramm in gleicher Weise durch die Feder beschleunigen und stellt durch die Geschwindigkeitsmessung schließlich
die Masse der Schokolade absolut fest – etwa 100 gt .
b) Statische Massenbestimmung – Ermittlung der Gewichtskraft
Für die Gewichtskraft FG gilt mit dem Betrag
#»
der grav. Feldstärke G
FG = ms · G .
ms steht hier für schwere Masse; m stellt
in diesem Experiment einen Probekörper im
grav. Feld dar.
m
2. Aus dem Fallröhrenversuch (siehe 1.5.3, S. 60) ist bekannt, dass alle Körper (reibungsfrei) gleich schnell fallen. Das bedeutet, dass „gleich schwere“ Körper gleich
4
Das gilt allerdings nur bei gleicher Einwirkungszeit der Kraft. Daher ist es besser, dass sich die Körper
durch eine Feder gegenseitig voneinander abstoßen. Dann ist die Einwirkungszeit durch die Wechselwirkung gleich.
244
10.2 Feldstärke
träge sind. Genauer:
ms1 = ms2 ⇐⇒ mt1 = mt2 ;
ms1
ms2
=
;
mt1
mt2
ms ∼ mt .
Das bedeutet: träge und schwere Masse sind zueinander proportional.
3. Wie groß ist der Proportionalitätsfaktor?
Ein Körper hat Gewicht:
F = ms · G ;
Wir lassen ihn fallen:
F = mt · a ;
ms · G = mt · a .
N
m
N
ms · 9, 81
= mt · 9, 81 2 = mt · 9, 81
;
kgs
s
kgt
N
9, 81 kg
1 kg1
t
t
;
ms = mt ·
=
m
·
t
N
1 kg1
9, 81 kg
s
s
kg
ms = 1 s · mt .
kgt
kg
Der Proportionalitätsfaktor ist also 1 s . Das liegt daran, dass das Urkilogramm
kgt
ein Maß für die Trägheit und gleichzeitig für die Schwere darstellt. Man unterscheidet insofern träge und schwere Masse nicht mehr und kann schreiben:
Insgesamt:
kg ·m
G=
4.
t
F
9, 81 N
kg m
m
2
=
= 9, 81 s
= 9, 81 t · 2 = 9, 81 2 = g .
ms
1 kgs
1 kgs
kgs s
s
a) Die Proportionalität bzw. Gleichheit von träger und schwerer Masse ist in der
Newtonschen Mechanik ein Naturgesetz (Eötvös). 5
b) Die Ununterscheidbarkeit der beiden Größen ist die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins. 6 7
5
https://de.wikipedia.org/wiki/Lor%C3%A1nd_E%C3%B6tv%C3%B6s
https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzprinzip_(Physik)
7
Albert Einstein, 1879–1955, theor. Physiker; siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Albert_
Einstein, zuletzt besucht am 30.01.2017.
6
245
11 Arbeit im el. Feld I – el. Spannung
11.1 Arbeit im homogenen el. Feld
Man betrachte die Abbildung 11.1. Das Feld des Plattenkondensators ist homogen, also
#»
ist E = konst. Es soll die Ladung +q von P1 nach P2 parallel zu den el. Feldlinien
#»
#»
transportiert werden. Dafür muss gegen die el. Kraft F = q · E an dem geladenen
#»
Körper die Kraft F a längs des Weges der Länge d die Arbeit WP1 P2 verrichtet werden.
d nennt man auch den Plattenabstand des Kondensators.
#»
E
⊕
P2
b
⊖
#»
Fa
+
+q
#»
#»
F =q·E
b
P1
# »
P1 P2
d
Abbildung 11.1: Arbeit im homogenen el. Feld
Dann gilt nach 4.2:
1
#» # »
W P1 P2 = F a · P1 P2 = q · E · d
oder genauer:
#» # »
= − F · P1 P2
#» # »
= −q · E · P1 P2
# »
#» # »
= −q · E · P1 P2 · cos E; P1 P2
= −q · E · d · cos 180◦ = q · E · d
1
#»
#» Zur Erinnerung: W = F · #»
s = F · s · cos F ; #»
s = Fs · s
247
11 Arbeit im el. Feld I – el. Spannung
Unabhängig von der Probeladung q ist der Quotient
W1,2
= E · d;
q
er wird als el. Spannung definiert. Die Einheit ist 1 V.2
Def. 34. Elektrische Spannung
U=
W
q
Einheit:
[U ] =
Nm def
=V
As
(11.1)
J
.
As
Beispiel So bedeutet etwa die Angabe 230 V, dass mit einem Strom von 1 A in jeder
Sekunde die Energie 230 J am Verbraucher abgegeben werden können. Benötigt man
mehr Energie, so muss die Stromstärke größer werden, wenn die Spannung gleich bleibt.
Merke also: Spannung bedeutet „Arbeit durch Ladung“; die Einheit ist 1 V = 1
Als direkte Folgerungen aus Definition 11.1 ergibt sich
#»
Satz 47. Im homogenen el. Feld E = konst gilt:
E=
U
d
oder auch
U =E·d
(11.2)
11.1.1 Zusatz: Arbeit und Leistung des el. Stromes
Nachstehende Aussagen ergeben sich nun aus der Definition der el. Spannung zusammen
mit (9.2) (S. 232): 3
Satz 48. Bei konstanter el. Stromstärke gilt für die Arbeit bzw. die Leistung
W =U ·I ·t
und
P =U ·I
(11.3)
11.1.2 Zusatz: el. Widerstand
Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle noch die Definition des el. Widerstandes
notiert:
Def. 35. Elektrischer Widerstand
R=
2
3
U
I
Einheit:
Alessandro Graf von Volta, 1745–1827, ital. Physiker
W
W = qU = (It) U und P =
= UI
t
248
[R] =
V
=Ω
A
(11.4)
11.2 Beispiele
11.2 Beispiele
11.2.1 Arbeit im grav. Feld
Nachfolgende Aufgabentypen findet man auch in [9, S. 22] und [8, S. 12].
#»
Ein Körper der Masse m soll von P1 nach P2 senkrecht nach oben (parallel zu G)
transportiert werden. Berechne die dafür erforderliche Arbeit.
P2
#» # »
WP1 P2 = F a · P1 P2
#» #»
= −F · h
#» #»
= −m · G · h
#»
#» #»
= −m · G · h · cos G; h
b
#»
Fa
#»
h
#»
G
m
#»
#»
F =m·G
P1
= −m · G · h · cos 180◦ = m · G · h = mgh .
b
Erdboden (M )
Beachte zur letzten Zeile Abschnitt 10.2.2 (S. 244).
11.2.2 Kräfte und Arbeit im el. Feld
Zwischen zwei Platten mit 2 cm Abstand liegt die Spannung 1 000 V. Wie groß sind die
Feldstärke und die Kraft auf eine Probeladung von 10−8 As? Welche Arbeit wird von
den Feldkräften beim Transport von der einen zur anderen Platte verrichtet?
U
1 000 V
kV
=
= 50
.
d
2 cm
m
kV
F = q · E = 10−8 As · 50
= 500 µN .
m
W = q · U = 10−8 As · 1 000 V = 10 µJ ;
E=
oder:
W = F · d = 500 µN · 2 cm = 10 µJ .
11.2.3 Arbeit, Leistung, Energie und Wärme
1. Ein Tauchsieder benötigt 3 A bei U = 230 V. Er ist eine Minute lang in Betrieb.
Wieviel Wärme gibt er ab? Wieviel Wasser kann man damit von 15 ◦ C auf 85 ◦ C
erwärmen? Wieviel kostet dies bei 28 Cent/kWh?
Anmerkung Die Energie, die erforderlich ist, um einen Stoff der spezifischen
Wärmekapazität c und der Masse m um ∆ϑ zu erwärmen, berechnet sich zu:4
Q = c · m · ∆ϑ
4
Siehe Gleichung (4.21) im Abschnitt 4.4.3 (S. 145).
249
11 Arbeit im el. Feld I – el. Spannung
J
Wasser hat die spez. Wärmekapazität c = 4, 1868 g·K
.
W = U · I · t = 230 V · 3 A · 1 min = 41, 4 kJ = Q ;
Q = c · m · ∆ϑ ;
Q
41, 4 kJ
m=
=
= 141 g .
J
c · ∆ϑ
4, 1868 g·K · (85 ◦ C − 15◦ C)
1 kWh = 3 600 000 Ws = 3 600 kJ ;
1 kWh
Cent
Preis = 41, 4 kJ ·
· 28
= 0, 32 Cent .
3 600 kJ
kWh
2. Ein Heizofen (1 kW) ist eine Stunde in Betrieb. Wie groß ist sein Widerstand (U =
230 V)? Um welche Temperatur würde die Luft eines Zimmers von 40 m3 Inhalt
g
erwärmt, wenn sie keine Wärme abgäbe? (Dichte der Luft 1, 24 dm
3 ; spezifische
J
Wärmekapazität 1 g·K .)
R=
U
U
U2
(230 V)2
= P =
=
= 52, 9 Ω .
I
P
1 kW
U
Q = c · m · ∆ϑ ;
Q
P ·t
1 kW · 1 h
∆ϑ =
=
=
g
J
c·m
c·m
1 g·K · 40 m3 · 1, 24 dm
3
=
1
J
g·K
3 600 kJ
g = 72, 6 K .
· 40 000 dm3 · 1, 24 dm
3
11.2.4 Arbeit, Energie im homogenen el. Feld
1. Ein Wattestück hat 0, 01 g Masse und ist mit 10−10 C geladen. Welche Geschwindigkeit würde es erlangen, wenn es im Vakuum mit einer Spannung von 100 000 V
kgm
J
Nm
m2
2 m
beschleunigt würde? (Beachte: 1
=1
=1 s
= 1 2 .)
kg
kg
kg
s
#»
E
W =q·U
⊕
P2
b
⊖
W =q·U
+
+q, m
#»
#»
F =q·E
b
P1
1
W = mv 2 ;
2
1
mv 2 = q · U
2
s
v=
s
=
250
und
2qU
=
m
s
2 · 10−10 As · 100 000 V
0, 01 g
J
2 · 10−10 As · 100 000 As
m
= 1, 41 .
1 · 10−5 kg
s
11.2 Beispiele
2. Wie groß müsste die Spannung zwischen zwei waagerecht liegenden Platten vom
Abstand 10 cm sein, damit das Wattestück aus der vorstehenden Aufgabe darin
schwebt?
⊖
FG = Fel ;
#»
#»
F el = q · E
m·g =q·E =q·
#»
E
+ +q, m
U
;
d
m·g·d
q
0, 01 g · 9, 81 sm2 · 10 cm
=
= 98, 1 kV .
10−10 As
U=
#»
#»
FG = m · G
⊕
11.2.5 Ballistische Ladungsmessung
N
1. In einem Feld der Stärke 7 · 104 As
befindet sich an einem Faden von 1 m Länge
ein Körper der Masse 0, 4 g. Seine Ladung beträgt 5 · 10−9 As. Welchen Ausschlag
erfährt ein Körper?
qE
Fel
=
;
FG
mg
s
sin ϕ = .
`
ϕ
tan ϕ =
ℓ
+q, m
s
#»
FG
+
ϕ
#»
F el
#»
F
qE
mg
!!
N
5 · 10−9 As · 7 · 104 As
= 1 m · sin arctan
9, 81 sm2 · 0, 4 · 10−3 kg
s = ` · sin arctan
= 88, 8 mm .
Zusatz
sin ϕ x
ϕ
Für kleine Ausschläge gilt sin ϕ ≈ tan ϕ. Daher
gilt
Fel
s
= tan ϕ ≈ sin ϕ = , also
FG
`
tan ϕ
Fel
s
=
FG
`
2. Wir betrachten nun den Ausschlag des Pendelkörpers unter verschiedenen Bedingungen.
251
11 Arbeit im el. Feld I – el. Spannung
Für kleine Ausschläge gilt:
F =
FG
·y.
`
Eine konstante Kraft liefert einen konstanten
Ausschlag:
ℓ
F ∼ y.
#»
F
y
#»
FG
Eine kurzzeitige Kraftwirkung liefert eine harmonische Schwingung (ebenfalls unter der Voraussetzung kleiner Ausschläge):
y = yb · sin ωt ;
vy = ω · yb · cos ωt ;
für t = 0 :
vmax = ω · yb .
vmax wird durch eine Impulsänderung hervorgerufen:
∆p = m · vmax − 0 ;
∆p = F · ∆t
(sog. Kraftstoß) ;
F · ∆t = ∆p = m · vmax = m · ω · yb ;
F · ∆t = ∆p ∼ yb .
Ein Kraftstoß lässt sich daher über einen Maximalausschlag messen.
Überträgt man das jetzt auf ein el. Messgerät (Drehspulinstrument, Galvanometer), so bewirkt ein konstanter Strom einen Dauerausschlag: I ∼ yb. Das bedeutet,
für die Herleitung sind F und I analoge Größen. Daher liefert ein kurzzeitiger
Stromstoß I · ∆t:
I · ∆t = ∆Q ∼ yb .
Fazit: Über den Maximalausschlag eines Amperemeters lassen sich (schnell) abfließende Ladungen messen – sog. ballistisches Messverfahren.
Anmerkung In gewisser Weise ähnliche Überlegungen sind bereits bei der Betrachtung der Geschwindigkeit eines Pendels gemacht worden. Siehe dazu Abbildung 4.10 (S. 149) und Satz 38 (S. 150). Dort wird aus einer Auslenkung eine dazu
näherungsweise proportionale Geschwindigkeit erzeugt.
Hier wird die Geschwindigkeit im Nulldurchgang durch einen Kraftstoß hervorgerufen, der dann eine dazu näherungsweise proportionale Auslenkung y ergibt.
252
12 Plattenkondensator – Kapazität
12.1 Messungen am Plattenkondensator
Die Schaltung zur Messreihe entnimmt man der Abbildung 12.1. Die Spannung U wird
aus einem Gleichspannungsnetzgerät mit 0 . . . 300 V genommen. Der Widerstand dient
dem Schutz des Experimentators. Der Messverstärker (MV) misst ballistisch die Ladung
des Kondensators. Dazu lädt man den Kondensator zunächst bei einer bestimmten Spannung auf (rot), trennt das Kabel ab und entlädt die Platten durch Berühren mit dem
grünen Stecker über MV. 1
U
=
−
+
50 MΩ
MV,
Q
Abbildung 12.1: Versuchsaufbau zu quantitativen Messungen am Plattenkondensator;
[5, S. 22]
1. Messreihe
Messdaten (18.02.2008; [5, S. 22]):
U
40
80
120 160 200 240 279
V
Q
10,5 18,5 26,5 35,0 45,0 52,0 60,0
nAs
Trägt man die Messdaten wie in Abbildung 12.2 auf, so erkennt man, dass gilt:
U ∼ Q.
1
[21] Gerätebeschreibung 544 22
253
12 Plattenkondensator – Kapazität
Q
nAs
60
bc
bc
50
bc
40
bc
30
bc
20
bc
bc
10
0
0
40
80
120
160
200
240
280
U
V
Abbildung 12.2: Graphische Darstellung der Messdaten nach [5, S. 22]
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 999):
y = 0, 209 · x + 1, 868 ;
Q
U
= 0, 209 · + 1, 868 ;
nAs
V
nAs
· U + 1, 868 nAs .
Q = 0, 209
V
Der Achsenabschnitt ist in guter Näherung Null. Letztendlich kann man also schreiben:
nAs
Q = 0, 209
·U.
V
Die von einem Kondensator aufgenommene Ladung hängt von der Spannung ab.
Daher beschreibt der Quotient Q
U = konst die Eigenschaft der Kondensatoren,
bei einer festen Spannung eine bestimmte Ladung aufnehmen zu können. Dieser
Quotient ist bei fester Spannung umso größer, je größer die Ladung ist. Daher
definiert man:
Def. 36. Kapazität eines Kondensators
C=
254
Q
U
Einheit:
[C] =
As def
=F
V
(12.1)
12.1 Messungen am Plattenkondensator
Die Einheit F (lies: Farad) ist nach dem englischen Physiker Michael Faraday
["fær@deI], 1791–1867 benannt.
Für diese Messung gilt also:
Q
nAs
= 0, 209
= 0, 209 nF = 209 pF .
U
V
C=
In den nachfolgenden Versuchen wollen wir die Abhängigkeit der Kapazität von den
geometrischen Daten eines Kondensators, also Plattenabstand und Plattenfläche,
untersuchen.
2. Messreihe Wir wählen die Spannung U = 150V und bestimmen die zugehörige
Ladung Q bei verschiedenen Plattenabständen und untersuchen eine Beziehung
zwischen der Kapazität C und dem Plattenabstand d.
d
mm
Q
nAs
C
pF
C ·d
pF · mm
C
pF
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
170
90
58
45
38
32
29
25
1133,0
600,0
387,0
300,0
253,0
213,0
193,0
167,0
567
600
581
600
633
639
676
668
C
pF
bc
1000
1000
800
800
600
600
bc
400
bc
bc
400
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
200
bc
0
0
1
2
3
200
bc
4
d
mm
bc
bc
bc
0
0
0,5
1,0
Abbildung 12.3: Graphische Darstellungen mit C(d) und C
1,5
1
d
2,0 1 / 1
d mm
; [5, S. 23]
255
12 Plattenkondensator – Kapazität
Trägt man die Messdaten wie in Abbildung 12.3 auf, so erkennt man, dass gilt:
C∼
1
.
d
(12.2)
Lineare Regression ergibt (R2 = 1):
y = 553, 6 · x + 29, 6 ;
mm
C
= 554 ·
+ 29, 6
pF
d
1
C = 554 pF mm · + 29, 6 pF
d
Der Achsenabschnitt erklärt sich aus der Existenz von Rand- und Streufeldern, die
ca. 40 pF ausmachen2 .
Zur Erklärung der Abhängigkeit der Kapazität vom Plattenabstand kann man
nachstehende Modellzeichnung betrachten.
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
Wird der Plattenabstand halbiert, so müssen die
Feldlinien gleichsam „in der Länge“ verteilt werden. Das bedeutet bei gleicher Spannung muss die
Ladung wachsen, also die Kapazität zunehmen.
Darüber hinaus kann man sich Gedanken machen, in welcher Weise die Fläche
eines Kondensators eine Rolle spielt. Weitere Geometrische Eigenschaften gibt es
nicht – außer vielleicht der Form, die allerdings die Feldlinien nicht in diesem Sinne
beeinflusst.
+
+
3. Messung
suchen.
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
Wird die Plattenfläche verdoppelt, so werden die
Feldlinien gleichsam „in der Anzahl“ verdoppelt.
Das bedeutet bei gleicher Spannung muss die Ladung wachsen, also die Kapazität zunehmen.
Wir wollen die letzte Betrachtung in einem weiteren Experiment unter-
a) Beim ersten Kondensator3 messen wir den Plattendurchmesser d1 = 25, 6 cm,
also beträgt die Fläche A1 = 514, 7 cm2 . Die Kapazität beträgt C1 = 277 pF.
b) Der zweite Kondensator ist ein Teil eines Aufbaukondensators4 mit der Plattenfläche A = (283 mm)2 = 801 cm2 . Bei der Spannung U = 150 V und dem
Plattenabstand 2 mm bestimmen wir die Ladung Q2 = 65 nAs und damit die
2
[21] Gerätebeschreibung 544 22, S. 2
[21] Plattenkondensator 544 22
4
[21] Aufbaukondensator 544 23
3
256
12.1 Messungen am Plattenkondensator
Kapazität zu C2 = 433 pF.
c) Insgesamt haben wir also:
Kondensator
544 22
544 23
Folglich kann man sagen, dass gilt:
C
pF
277
433
A
cm2
515
801
C pF
/
A cm2
0,538
0,541
C ∼ A.
(12.3)
Aus den beiden Proportionalitäten machen wir eine und erhalten:
(12.2)
(12.3)
1
;
d
C ∼ A;
A
C∼ .
d
C∼
Mit einem Proportionalitätsfaktor ergibt sich die Gleichung:
C = ε0 ·
A
d
(12.4)
ε0 heißt elektrische Feldkonstante mit dem Tabellenwert:
ε0 = 8, 8542 · 10−12
As
Vm
Wir berechnen ε0 aus den Messwerten:
C ·d
554 pF · 1 mm
i. ε0 =
=
= 10, 8 × 10−12
A
515 cm2
C ·d
433 pF · 2 mm
ii. ε0 =
=
= 10, 8 × 10−12
A
801 cm2
(12.5)
As
Vm
As
Vm
Anmerkung Die absoluten Messwerte sind nicht ganz so toll, obwohl die relativen
Messwerte recht passabel erscheinen (siehe Regressionskoeffizienten). Ich kann nicht garantieren, dass die eingesetzten Messgeräte alle das tun, was sie sollen. Im normalen
Unterrichtsbetrieb ist eine Genauigkeit wesentlich unter 5% nur schwer zu erreichen.
Allerdings sind 20 % Abweichung doch zu viel.
Eine weitergehende Analyse kann ich mit den vorliegenden Messdaten nicht ausführen
und war auch im Unterricht aus Zeitgründen nicht ohne Weiteres möglich. Ältere Messreihen zeigen allerdings ein ähnliches Bild. Die Werte für ε0 liegen zwischen 8,3 und 10,5
(Einheiten).
257
12 Plattenkondensator – Kapazität
Zusatz
Die Gleichungen (12.1) und (12.4)
C=
Q
U
C = ε0 ·
und
A
d
ähneln in ihrer inneren Struktur den Gleichungen beim el. Widerstand:
R=
U
I
R=%·
und
`
A
(12.6)
Dabei bedeuten % den spezifischen Widerstand, ` die Länge und A die Querschnittsfläche
eines Leiters. Die linke Gleichung wurde bereits in (11.4) notiert.
12.2 Materie im el. Feld
Bis jetzt wurde der Raum zwischen den Platten des Kondensator nicht beachtet. In
den aktuell durchgeführten Experimenten war er mit Luft gefüllt. Dass sich dies von
einem Plattenkondensator im Vakuum nahezu nicht unterscheidet, kann man unter den
gegebenen Umständen nicht feststellen, denn die Mittel dazu fehlen im Schulbetrieb im
Allgemeinen.
Experiment Man kann nun den Raum zwischen den Platten mit Material (Dielektrikum, Isolator) ausfüllen und stellt schon in einem einfachen Demonstrationsexperiment
fest, dass die Kapazität des Kondensators ansteigt.
Def. 37. Dielektrizitätszahl; relative el. Feldkonstante
εr =
Cm
C0
(12.7)
Dabei bedeuten C0 die Kapazität im Vakuum (ohne Materie) und Cm die Kapazität mit
(vollständiger) Füllung mit Materie.
1. Bei gleicher Spannung nimmt also ein Kondensator mehr Ladung auf:
Cm
=
C0
Qm
U
Q0
U
=
Qm
= εr .
Q0
Das liegt daran, dass durch Influenz (siehe Abbildung 9.4, S. 230) Ladungen im Dielektrikum (Isolator) polarisiert werden5 und daher eine gewisse Neutralisation der
Kondenstorladungen eintritt, so dass weitere Ladungen von der Spannungsquelle
nachgeliefert werden können.
5
In [19] findet man eine nette Animation, die die Begriffe interaktiv erläutert. Ich habe versucht, dies
an Hand der Abbildung 12.4 (S. 259) klarzumachen.
258
12.2 Materie im el. Feld
2.
a) Bei gleicher Ladung (sog. freier Kondensator) sinkt die Spannung:
Cm
=
C0
Q
Um
Q
U0
U0
= εr .
Um
=
Dies lässt sich im Experiment und einem Elektroskop (bzw. elektrostatischen
Spannungsmesser) bestätigen. Das hängt damit zusammen, dass Arbeit (U )
aufgebracht werden muss, um die Ladungen zu polarisieren.
b) Das el. Feld wird um den Faktor εr geschwächt6 , denn bei gleicher Ladung
gilt:
U0
U0 d
E0
εr =
=
=
.
·
Um
d Um
Em
#»
Eo
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
#»
Ei
Abbildung 12.4: Links: Ein ungeladener Kondensator mit Dielektrikum. Rechts: Wird
der Kondensator geladen, so trennen sich die Ladungen, jedoch ohne
wesentlich ihren Ort zu verlassen. Die rot umrandeten Ladungen heben
sich jeweils teilweise auf.
Satz 49. Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum
C = εr ε0 ·
Zusatz
(12.8)
Wir formen die Gleichung (12.4) (S. 257) um:
C = ε0 ·
6
A
d
A
Q
Q
U
=
=⇒
= ε0 ·
= ε0 · E0 .
d
U
A
d
#»
#» #»
#»
#»
Das innere Feld E i schwächt das Feld E 0 : E m = E 0 − E i .
259
12 Plattenkondensator – Kapazität
Der Ausdruck
Q
heißt Flächenladungsdichte σ. Sie ist vom Dielektrikum unabhängig.
A
σ=
Q
= ε0 · E0 = εr ε0 · Em = konst.
A
(12.9)
Die Flächenladungsdichte wird uns später noch begegnen, allerdings in der Form E · A =
Q
. Näheres dazu findet man in Abschnitt 15 (ab S. 309) und in Abschnitt 64 (S. 313).
ε0
Q
F
Das Besondere ist, σ =
beschreibt das Feld, wie es aus Ladungen wirkt. E =
A
q
beschreibt das Feld, wie es auf Ladungen wirkt.
12.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
1. Bei der Parallelschaltung ist die an beiden Kondensatoren anliegende Spannung
gleich: U1 = U2 = U . Daher gilt Q1 = C1 · U und Q2 = C2 · U . Beachtet man, dass
Ladung weder erzeugt noch verloren gehen kann (Satz von der Ladungserhaltung),
so gilt Qges = Q1 + Q2 . Daher:
Qges = Q1 + Q2 ;
Cges · U = C1 · U + C2 · U ;
Cges = C1 + C2
C1 , Q1
(12.10)
C1 , Q
C2 , Q
U1
U2
C2 , Q2
+Q
−Q +Q
−Q
U
Abbildung 12.5: Links: Bei der Parallelschaltung liegt an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung an. Rechts: Die Ladung ist bei beiden Kondensatoren
gleich. Wenn eine Spannungsquelle den äußeren Teil (schwarz) lädt, so
lädt sich der innere Teil (rot) durch Influenz (Abbildung 9.4, S. 230) in
gleicher Weise.
2. Bei der Reihenschaltung ist die von beiden Kondensatoren aufgenommene Ladung gleich: Q1 = Q2 = Q. Daher gilt Q1 = C1 · U und Q2 = C2 · U . Beachtet man
260
12.4 Parallel- und Reihenschaltung von el. Widerständen
den Energieerhaltungssatz (Arbeit, U ) , so gilt Uges = U1 + U2 . Daher:
Uges = U1 + U2 ;
Q
Q
Q
=
+
;
Cges
C1 C2
1
1
1
=
+
Cges
C1 C2
(12.11)
12.4 Parallel- und Reihenschaltung von el. Widerständen
Aus Gründen der Analogie sei hier an dieser Stelle die Reihen- und Parallelschaltung
von el. Widerständen ergänzt.
1. Bei der Parallelschaltung ist die an beiden Widerständen anliegende Spannung
gleich: U1 = U2 = U . Daher gilt U = R1 · I1 und U = R2 · I2 . Beachtet man, dass
Ladung weder erzeugt noch verloren gehen kann (Satz von der Ladungserhaltung),
so gilt Iges = I1 + I2 . Daher:
Iges = I1 + I2 ;
U
U
U
=
+
;
Rges
R1 R2
1
1
1
=
+
Rges
R1 R2
(12.12)
R1 , I1
R1 , I
R2 , I
I
I
R2 , I2
U1
U2
U
Abbildung 12.6: Links: Bei der Parallelschaltung liegt an beiden Widerständen die gleiche Spannung an. Rechts: Die Stromstärke ist bei beiden Widerständen
gleich. An jeder Stelle eines Stromkreises ist Stromstärke des einfließenden Stroms gleich der des ausfließenden.
2. Bei der Reihenschaltung ist der durch durch beide Widerstände fließende el.
Strom gleich: I1 = I2 = I. Daher gilt U1 = R1 · I und U2 = R2 · I. Beachtet man
261
12 Plattenkondensator – Kapazität
den Energieerhaltungssatz (Arbeit, U ) , so gilt Uges = U1 + U2 . Daher:
Uges = U1 + U2 ;
Rges · I = R1 · I + R2 · I ;
Rges = R1 + R2
(12.13)
12.5 Die Kapazität einer Kugel
Man benötigt nicht immer zwei Platten, um einen Kondensator aufzubauen. Man kann
auch das radialsymmetrische el. Feld einer kugelförmigen Ladung betrachten.7 Die eine
Platte ist die Oberfläche einer Metallkugel, die andere Fläche ist sehr weit entfernt, so
dass das el. Feld in guter Näherung radialsymmetrisch ist (siehe Abbildung 10.2, S. 240).
8
C
pF
bc
12,5
10,0
5 0 M O h m
r
bc
> >
bc
7,5
3 ,5 k V
A
5,0
bc
2,5
E r d e
E r d e
0
0
2
4
6
8
r
cm
Abbildung 12.7: Links: zu Aufgabe 1; die Zeichnung wurde seinerzeit (2005) mit dem
Programm „Micrografx Designer 7.1“ erstellt. Der Versuchsaufbau ist
im Prinzip der gleiche wie in Abbildung 12.1 (S. 253). Rechts: graphische
Darstellung der Messdaten; zu Aufgabe 2.
Experiment Die Darstellung erfolgt nach Klausur Nr. 2, LK PH, Jgst. 12, 23.05.2005,
3–4 Std., L0442A.TEX und L0442B.TEX (Lösungen).
Bei 4 verschieden großen Metallkugeln (Radius r) wurde die bei einer bestimmten Spannung U aufgenommene Ladung Q mit einem Messverstärker gemessen.
7
Zur Berechnung der Kapazität eines Kugelkondensators und einer Kugel aus dem Potential des radialsymmetrischen Feldes siehe Abschnitt 14.8 (S. 301).
8
Das nachfolgende Experiment habe ich im normalen Unterrichtsbetrieb nur einmal durchgeführt. Allerdings eignen sich die Originalmesswerte gut für eine Klausur. Daher rührt auch die schrittweise
Betrachtung der experimentellen Ergebnisse.
262
12.5 Die Kapazität einer Kugel
Messdaten:
9
• U = 3, 5 kV ;
•
r/ cm
Q/ nAs
C/ pF
1,5
11
3,14
5
27
7,71
6
32
9,14
9
47
13,4
1. Fertige eine vereinfachte Schaltskizze an, die zeigt wie man die Messergebnisse
erhalten könnte, und gib eine kurze Erläuterung dazu.
Der Kondensator wird über eine Spannungsquelle mit 3,5 kV aufgeladen. Danach
wird er über einen Messverstärker entladen (ballistische Ladungsmessung).
2. Stelle die Kapazität C in Abhängigkeit vom Radius r graphisch dar.
Siehe Abbildung 12.7 (S. 262).
3. Ermittle graphisch (o. ä) für eine Funktionsgleichung der Form
C = k · r + C0
die Größen k und C0 .
Mit linearer Regression ergibt sich:
y = 1, 37 · x + 0, 997 ;
C
r
= 1, 37 ·
+ 0, 997 ;
pF
cm
pF
C = 137
· r + 1 pF .
m
4. Wenn man annimmt, dass C0 von nicht ausschließbaren Umgebungskapazitäten
stammt, so ergibt sich ein einfacher Zusammenhang zwischen C und r , nämlich
C = k ·r.
Nimmt man ferner an, dass in k neben ε0 wegen der Kugelsymmetrie noch der
Faktor π vorkommt, so lässt sich k schreiben als
k = p · π · ε0 .
Bestimme p .
pF
·r;
m
pF
= p · π · ε0 ;
k = 137
m
C = 137
9
Originalmesswerte 08.02.1990; gemessen von A. Tobias
263
12 Plattenkondensator – Kapazität
p=
137 pF
m
π · 8, 854 · 10−12
As
Vm
=
137
= 4, 9 .
π · 8, 854
5. In einer genaueren Messung stellt man fest, dass ein Plattenkondensator mit einer
Fläche von 17, 6 cm2 und 1, 4 mm Plattenabstand die gleiche Kapazität hat wie
eine Kugel vom Radius 10 cm.
Berechne jetzt k und p .
As 17, 6 · 10−4 m2
A
= 8, 854 · 10−12
·
= 11, 1 pF ;
d
Vm 1, 4 · 10−3 m
C
11, 1 pF
pF
k=
=
= 111
, also
r
0, 1 m
m
C = ε0 ·
111 pF
m
p=
π · 8, 854 · 10−12
As
Vm
= 4.
6. Welche Kapazität hat die Erde (R = 6365 km)?
C = 4πε0 · R = 4πε0 · 6365 km = 708 µF .
(12.14)
7. In älterer physikalischer Literatur verwendet man das sogenannte cgs-System. In
diesem System sind die Grundeinheiten Zentimeter (cm), Gramm (g) und Sekunde
(s). Im cgs-System wird die Kapazität in cm angegeben (k = 1).
Welche Einheit hat dann die Ladung? Beachte zur Darstellung die Fußnote
Die „Einheit von . . . “ wird dargestellt durch [. . . ] .
Q=C ·U =C ·
W
;
Q
Q2 = C · W ;
√
Q= C ·W ;
[Q] =
q
[C] · [W ] ;
r
[Q] =
10
cm ·
3
1
g · cm · cm
= cm 2 · g 2 · s−1 .
2
s
Es war damals üblich, die Einheiten aller Größen in der Form cmx gy sz darzustellen.
264
10 .
12.6 Beispiele
12.6 Beispiele
12.6.1 Spannung, Ladung, Kapazität
1. Zwei kreisförmige Metallplatten haben 15 cm Durchmesser und sind im Abstand
5 mm isoliert aufgestellt. 11
a) Die Kapazität dieses Kondensators berechnet sich zu (vgl. (12.4), S. 257):
cm2
π · 15
Q
A
2
−12 As
C=
= ε0 · = 8, 854 · 10
·
= 31, 3 pF .
U
d
Vm
5 mm
b) Schiebt man man eine 5 mm dicke Glasscheibe (εr = 5 ) zwischen die Platten,
so erhält man als Kapazität (vgl. (12.7), S. 258):
Cm = εr · C0 = 5 · 31, 3 pF = 156 pF .
c) Bei einer Spannung von 1 000 V trägt jede der Platten
(
Q=C ·U =
31, 3 pF · 1 000 V = 31, 3 nAs (ohne Dielektrikum),
156 pF · 1 000 V = 156 nAs (mit Dielektrikum).
2. Welche Ladung kann ein Kondensator von 6 µF (2 000 pF) mit einer Durchschlagsspannung von 1 500 V höchstens aufnehmen? 12
Q ≤ C · U = 6 µF · 1 500 V = 9 mAs ;
Q ≤ C · U = 2 000 pF · 1 500 V = 3 µAs .
3. Ein Plattenkondensator hat einen Plattenabstand von 2 mm und nimmt bei einer
Spannung von 100 V eine Ladung von 5 · 10−8 As auf. 13
a) Berechne die Kapazität dieses Kondensators.
A
Q
5 · 10−8 As
=
=
= 500 pF mit
d
U
100 V
d·C
2 mm · 500 pF
=
A=
= 113 · 10−3 m2
As
−12
ε0
8, 854 · 10
Vm
C = ε0 ·
(für 3b).
b) Berechne die Dicke eines Bogens Paraffinpapier (εr = 4 ), den man zwischen
die Platten einschieben müsste, damit sich durch Andrücken der Platten die
11
[17] 6.5.1.6.
[17] 6.5.1.7.
13
[17] 6.5.1.8.
12
265
12 Plattenkondensator – Kapazität
Kapazität auf 0, 01 µF steigert.
A
= 0, 01 µF ;
d
As
4 · 8, 854 · 10−12 Vm
· 113 · 10−3 m2
εr ε0 · A
=
;
d=
0, 01 µF
0, 01 µF
d = 400 µm = 0, 4 mm .
C = εr ε 0 ·
12.6.2 Kondensatorschaltungen
1. Berechne die Gesamtkapazitäten in folgenden Schaltungen – alle Kapazitäten seien
gleich groß (n ∈ N).
Abbildung 12.8: Aufgabe 1a; n Kondensatoren
a)
1
1
1
n
1
1
+ + . . . = . Also Cges = · C .
=
Cges |C
C{z
C} C
n
n-Summanden
Abbildung 12.9: Aufgabe 1b; n Kondensatoren
b) Cges = C
+ C{z
· · · + C} = n · C .
|
n-Summanden
Abbildung 12.10: Aufgabe 1c
266
12.6 Beispiele
C
i. Wenn die Anschlüsse diagonal angebracht sind, erhält man Cges,1 =
2
C
und Cges,2 = . Insgesamt also Cges = C .
2
C
ii. Wenn die Anschlüsse benachbart angebracht sind, erhält man Cges,1 =
3
4
und Cges,2 = C . Insgesamt also Cges = · C .
3
d) Berechne die Aufgaben 1a, 1b und 1c speziell mit C = 3 µF und n = 10 .
c)
i. Cges =
1
10
· 3 µF = 0, 3 µF .
ii. Cges = 10 · 3 µF = 30 µF .
A. Cges = C = 3 µF .
B. Cges =
4
3
· 3 µF = 4 µF .
2. Welche Schaltmög1ichkeiten gibt es für drei Kondensatoren von 1 µF, 2 µF und
3 µF? 14
Um nicht alle Schaltungskombinationen aufzuzeichnen sind im Folgenden die Indizes der Kondensatoren i ∈ {1, 2, 3} mod 3 zu interpretieren.
a) 1 Kondensator:
Ci
Cges,i = i µF ;
insgesamt: 3.
b) 2 Kondensatoren:
i. Reihenschaltung
Ci+1
Ci
Cges,i = Ci + Ci+1
= ((2i + 1) mod 3) + 3 µF ;
insgesamt: 3.
ii. Parallelschaltung
Ci
Cges,i =
Ci+1
14
1
Ci
1
Ci · Ci+1
=
1
Ci + Ci+1
+ Ci+1
i · (i + 1)
µF ;
((2i + 1) mod 3) + 3
insgesamt: 3.
=
[17] 6.5.1.11.
267
12 Plattenkondensator – Kapazität
c) 3 Kondensatoren:
i. Reihenschaltung
C1
C2
C3
Cges = 6 µF ;
insgesamt: 1.
ii. Reihen-Parallel-Schaltung
Ci+1
Cges,i = Ci +
Ci
1
+
1
Ci+1
Ci+2
1
Ci+2
Ci+1 · Ci+2
Ci+1 + Ci+2
∈ {2, 2 µF; 2, 75 µF; 3, 67 µF} ;
= Ci +
insgesamt: 3.
iii. Parallel-Reihen-Schaltung
Cges,i =
Ci
=
Ci+1
Ci+2
1
1
Ci
+
1
Ci+1 +Ci+2
1
Ci +Ci+1 +Ci+2
Ci ·(Ci+1 +Ci+2 )
Ci · (Ci+1 + Ci+2 )
Ci + Ci+1 + Ci+2
i · ((2i mod 3) + 3)
=
µF ;
6
insgesamt: 3.
=
iv. Parallelschaltung
Ci
Ci+1
Cges =
1
1
Ci
+
Es gibt also 17 unterschiedliche Schaltungsmöglichkeiten.
268
Ci+1
+
1
Ci+2
6
µF = 0, 545 µF;
11
insgesamt: 1.
=
Ci+2
1
12.6 Beispiele
3. Drei Kondensatoren von 2 µF, 0, 25 µF und 1 µF sind in Reihe geschaltet und an
eine Spannung von 1 000 V angeschlossen. Welche Teilspannungen liegen an den
einzelnen Kondensatoren? 15
U1 + U2 + U3 = 1 000 V
1
1 −1
11 −1
1
+
+
=
µF = 0, 182 µF
C1 C2 C3
2
2
Q=C ·U =
µF · 1 000 V = 182 µAs
11
Q
182 µAs
U1 =
=
= 90, 9 V; U2 = 727 V;
U3 = 182 V.
C1
2 µF
Cges =
4. Zwei Kondensatoren von 2, 00 µF und 3, 00 µF werden in Reihe geschaltet und dann
mit 220 V aufgeladen. 16
a) Welche Ladung nehmen sie auf?
1 −1
5 −1
1
+
=
µF = 1, 2 µF ;
C1 C2
6
Q = Cges · U = 1, 2 µF · 220 V = 264 µAs .
Cges =
b) Welche Ladung hat jeder einzelne?
Q = 264 µAs, da bei Reihenschaltung alle Kondensatoren die gleiche Ladung
durch Influenz erhalten (vgl. Abbildung 12.5, S. 260).
c) Welche Spannung hat jeder?
Q
264 µAs
=
= 132 V ;
C1
2, 00 µF
U2 = U − U1 = 220 V − 132 V = 88 V .
U1 =
d) Welche Spannung erhalten sie, wenn man sie in geladenem Zustand trennt
und parallel schaltet?
Cges = C1 + C2 = 5 µF ;
Q
2 · 264 µAs
U=
=
= 106 V .
Cges
5 µF
Bei Parallelschaltung liegt an allen Kondensatoren die gleiche Spannung an
(vgl. Abbildung 12.5, S. 260).
15
16
[17] 6.5.1.9.
[17] 6.5.1.12.
269
12 Plattenkondensator – Kapazität
e) Wieviel Ladung fließt zu, wenn man sie nunmehr erneut an 220 V anschließt?
Q = C · U = 5 µF · (220 V − 106 V) = 572 µAs .
5. Ein Plattenkondensator der Höhe h wird bis zur Höhe x mit Wasser gefüllt (εr =
81). Der Plattenabstand sei d und die Plattenlänge ` . Der Kondensator wird leer
(x = 0) mit U = 500 V aufgeladen, die Spannungsquelle daraufhin abgetrennt.
a) Wie groß ist die Spannung Ux für x = h ?
Q
(für x = 0; εr = 1; U = 500 V) ;
U
Q
;
=
Uh
Q U
U
= εr =
·
=
;
Uh Q
Uh
U
500 V
=
=
= 6, 17 V .
εr
81
C0 =
Ch
h
Ch
C0
x
Uh
b) Wie groß ist die Spannung Ux für beliebiges x allgemein? (Tipp: 2 Kondensatoren)
Parallelschaltung von 2 Kondensatoren:
(h − x) · `
;
d
x·`
= εr ε0 ·
;
d
= Coben + Cunten
(h − x) · `
x·`
+ εr ε0 ·
= ε0 ·
d
d
`
= ε0 · · (h − x + εr x)
d
`
= ε0 · · (h + x (εr − 1)) .
d
Coben = ε0 ·
Cunten
Cgesamt
Damit kann man weiterrechnen:
Ux =
Q
Cgesamt
U · C0
=
Cgesamt
270
12.6 Beispiele
=
U · ε0 ·
ε0 ·
`·h
d
`
d
· (h + x (εr − 1))
U ·h
=
.
h + x (εr − 1)
(12.15)
Prüfe, ob sich mit der Gleichung die Werte für x = 0 und x = h berechnen
lassen.
Uh
Für x = 0 erhält man: Ux (0) =
=U.
h
Uh
U
U
Für x = h erhält man: Ux (h) =
=
= .
h + h (εr − 1)
1 + εr − 1
εr
c) Für den Zusammenhang zwischen x und Ux soll eine graphische Darstellung
angefertigt werden. Zeichne also ein Ux x-Diagramm für h = 1 m, wenn gilt:
x=
h
U − Ux
.
·
εr − 1
Ux
(12.16)
Die zuletzt genannte Gleichung muss nicht hergeleitet werden, sondern kann
einfach benutzt werden.
Der Grund für die Betrachtung der Umkehrfunktion liegt darin, dass eine
elektrische Höhenbestimmung simuliert werden soll, also jeder Spannung Ux
eine Höhe x zugeordnet sein soll.
Die Herleitung von (12.16) aus (12.15) sähe wie folgt aus:
U ·h
;
h + x (εr − 1)
Ux h + Ux x (ε − 1) = U h ;
Ux =
Ux x (ε − 1) = h (U − Ux ) ;
h (U − Ux )
x=
;
Ux (ε − 1)
h
U − Ux
x=
·
.
ε−1
Ux
Speziell mit den angegebenen Daten: U = 500 V, h = 1 m, εr = 81, der
Definitionsmenge 6, 17 V ≤ Ux ≤ 500 V (und der Wertemenge 0 m ≤ x ≤ 1 m)
ergibt sich die Gleichung
x=
1 m 500 V − Ux
·
.
80
Ux
Den zugehörigen Graphen sieht man in Abbildung 12.11 – zur besseren Darstellung im Bereich für 6, 17 V ≤ Ux ≤ 250 V.
271
12 Plattenkondensator – Kapazität
x
m
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
50
100
150
200
Ux
V
Abbildung 12.11: zu Aufgabe 5c; wegen der großen Steigung ist das Messverfahren nicht
sehr genau.
12.6.3 Stützkondensatoren in der Elektrolokomotive BR 120
Kondensatoren werden in elektrischen und elektronischen Schaltungen an vielen Stellen
eingesetzt. Der Einsatz erfolgt in der Regel als Ladungsspeicher. Einige schöne Ideen
dazu fand ich in [29, S. 138–139].
1. Zunächst stellen wir uns die Frage, wovon die Größe der Ladung abhängt, die ein
Kondensator speichern kann. Dazu betrachten wir die Gleichungen (12.8) (S. 259)
und (12.1) (S. 254):
C=
Q
A
= εr ε0 · ;
U
d
A·U
Q = εr ε0 ·
.
d
Die Ladungsmenge Q lässt sich durch eine große Fläche A, einen kleinen Abstand d,
eine hohe Spannung U und einem geeigneten Material mit großem εr vergrößern.
272
12.6 Beispiele
Nun ist allerdings die Durchschlagsfestigkeit (vgl. auch Aufgabe 2., S. 265) von
der Kraft, die auf eine Ladung im Dielektrikum wirkt, also von der el. Feldstärke
U
Ed =
(Gleichung (11.2), S. 248), abhängig. Damit gilt:
d
Q = εr ε0 · A · E d .
(12.17)
Die Ladung, die ein Kondensator aufnehmen kann, lässt sich durch eine Vergrößerung der Fläche der Kondensatorplatten erreichen. Eine Vergrößerung der Spannung U erfordert eine Vergrößerung des Plattenabstandes d bei gleichem Ed .
2. Die Größe (das Volumen) eines Kondensators bestimmt die Durchschlagsfestigkeit,
denn aus (12.17) folgt:
V =A·d=
Q·d
1
∼
.
εr ε0 · Ed
Ed
(12.18)
3. In Tabelle 12.1 sind einige Dielektrizitätszahlen und Durchschlagsspannungen Ud
bei angegebener Dicke zusammengestellt17 . Ich habe sie nach der Durchschlagsfestigkeit sortiert18 .
Medium
Luft
Porzellan
Transformatorenöl
Plexiglas
Glimmer
Hartgummi
Hartpapier
Teflon
Hochvakuum
εr
-/6
-/3 . . . 3, 6
5. . . 8
≈3
≤6
2
-/-
Ud
kV
30 bei 10 mm
≤ 200 bei 10 mm
200 . . . 500 bei 10 mm
35 bei 1 mm
500 bei 10 mm
10 bei 0,2 mm
bis 50 bei 1 mm
50 bei 1 mm
≈ 3 000 . . . 5 000 bei 10 mm
MV
m
3
20
20 . . . 50
35
50
50
50
50
300 . . . 500
Ed /
Tabelle 12.1: Dielektrizitätszahlen εr und Durchschlagsspannungen
4. Eigenschaften von Polypropylen (PP-Folie)19
20 21 :
• εr = 2, 2 (bei f = 1 kHz und 23 ◦ C)
• % = 6 · 1018 Ω · cm (bei 23 ◦ C)
V
• Ed = 650
(bei 23 ◦ C)
µm
17
[29, S. 138]
[29, S. 138; Aufg. c)]
19
Markenname: Trespaphan [28, Teil 3; S. 24]
20
http://www.et-inf.fho-emden.de/~elmalab/bauelement/download/BdE_3.pdf
21
[28, Teil 3; S. 30]
18
273
12 Plattenkondensator – Kapazität
• Dielektrische Absorption 0,05 % . . . 0,10 % bei 23 ◦ C
• Temperaturbereich −55 ◦ C . . . +100 ◦ C
Diese Folie ist als Dielektrikum sehr gut geeignet und kann in einer Stärke von
nur 5 µm hergestellt werden. Es sollen nun für einen Kondensator von 1 µF, der
für eine Spannung bis 1 000 V geeignet ist, die nötige Kondensatorfläche und das
Innenvolumen berechnet werden.22
Aus (12.17) und (12.18) (S. 273) folgt:
A=
C ·U
1 µF · 1 000 V
Q
=
=
As
V
εr ε0 · Ed
εr ε0 · Ed
2, 2 · 8, 854 · 10−12 Vm
· 650 µm
= 79 · 10−3 m2 = 790 cm2 .
V = A · d = 79 · 10−3 m2 · 5 µm = 395 · 10−9 m3 = 0, 395 cm3 .
5. So ganz trivial ist es nicht, einen solchen Kondensator mit einer so sehr dünnen
Folie herzustellen. Als Bauform eignet sich ein Rollkondensator, wobei bei der
Herstellung auf ganz besondere Sauberkeit geachtet werden muss.23
6. Ein wichtiger Bestandteil der Universaldrehstromlokomotive BR 120 der DB sind
Kondensatoren für die kurzfristige Speicherung großer Ladungsmengen bei der Umwandlung von einphasigem in dreiphasigen Wechselstrom.24 Dafür ist die Lokomotive mit 108 Kondensatoren mit einer Gesamtfolienfläche von 70 000 m2 ausgerüstet
(Folienstärke 6 µm). Daher ergibt sich für die Gesamtkapazität dieser Kondensatoren:
C = εr ε0 ·
A
As 70 000 m2
= 2, 2 · 8, 854 · 10−12
·
= 227 mF .
d
Vm
6 µm
Wir sollten noch die Maximalspannung für die Kondensatoren berechnen:
U = Ed · d = 650
V
· 6 µm = 3, 9 kV .
µm
Zum Abschluss geben wir noch die von den Kondensatoren aufgenommenen Ladung an:
Q = C · U = 227 mF · 3, 9 kV = 885 As .
7. Die Frage, wie lange die Kondensatoren die von der Lokomotive aufgenommene
Leistung von 5, 6 MW aufbringen können, kann im Abschnitt 14.10 im Beispiel
auf Seite 308 beantwortet werden.
22
[29, S. 138; Aufg. d)]
[29, S. 138; Aufg. e)]
24
[29, S. 138; Aufg. f)]
23
274
13 Elektronen im el. Feld
13.1 Glühelektrischer Effekt
Experiment
1. Man nehme eine Glühlampe 230 V und umhülle diese mit einer Aluminiumfolie.
Diese verbindet man mit einem Elektroskop und beobachtet, dass beim Einschalten
der Glühlampe sich das Elektroskop schlagartig entlädt, wenn es positiv geladen
ist. Bei negativ geladenem Elektroskop passiert nichts.
2. Man kann aber auch eine Demonstrationsdiode1 nehmen. Dazu baut man die Schaltung gemäß Abbildung 13.1 auf. Das Netzgerät muss eine Gleichspannung bis 300 V
liefern. Die Heizspannung wird aus einem einstellbaren Wechselspannungsnetzgerät
entnommen.
K
UH
A
b
b b b b
b b b
bb
bbb
b b
b
b b b
bb
b b bb
b
b
b b
b
b
b bb
b
b bb b
b
b
b bb b
b
b b
b
b
b
b
b
b b
b
b b
b
bb
b b
bb
b
bb
bb
bb b b
b b
b
b b
b bb
b
b
bb
bb
b b
b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b b
b
b b
b b
b
bb b b b b b
b b
b
b b
b
b
b b
b
b
b
bb
b
b b
bb
b b bb
b
b b b
bb
b b b b
b
b bb
bb
b b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b bb
bb
b b b
b b
b
b
b b
b
b b
b
b b b
b
b
b
b b
b
b
Ia
A
Ua
=
−
+
Abbildung 13.1: Hochvakuum-Diode (HV-Diode) im el. Stromkreis mit Heizspannung
UH , Gleichspannungsquelle Ua und Strommessgerät; K Kathode, A Anode; die Elektronenwolke ist gelb eingezeichnet.
Ein Elektroskop und die Anode der Diode werden el. verbunden und positiv geladen.
1
2
2
[21] Gerätebeschreibung 555 07
[3] Der Text stammt aus einem Schülerreferat im Grundkurs. Darin angegebene Quellen:
http://www.k-wz.de/elektro/vakuumdiode.html
http://www.elsenbruch.info/ph12_vakuumdiode.htm
http://www.leifiphysik.de/web_ph10/versuche/07kennlinie/kennlinie_l.htm
275
13 Elektronen im el. Feld
• Solange die Heizwendel kalt ist, geschieht ebenfalls nichts, die Ladung auf Anode
und Elektroskop bleibt erhalten.
• Beginnt die Heizwendel zu glühen, geht der Zeigerausschlag am Elektroskop zurück,
was bedeutet, dass negative Ladungen auf das Elektroskop gelangen müssen. Aus
der glühenden Heizwendel treten also Elektronen aus. Diese neutralisieren die positive Ladung auf dem Elektroskop. Sind Elektroskop und Anodenblech schließlich
neutralisiert, genügen wenige zusätzliche Elektronen, um das Blech leicht negativ
zu laden. Dies ist zu wenig, als dass der Zeiger des Elektroskops ausschlagen würde, jedoch genug, um zu verhindern, dass weitere Elektronen auf das Anodenblech
gelangen – sie werden abgestoßen.
Aus der erhitzten Oberfläche eines Metalls treten im Vakuum Elektronen aus. Es sind
Valenzelektronen der äußersten Atomschichten. Durch die Abgabe von Elektronen ist
das Metall positiv geladen, die Elektronen werden wieder angezogen und es entsteht
ein Gleichgewicht zwischen emittierten und absorbierten Elektronen. Das Metall ist von
einer „Elektronenwolke“ umgeben. 3
Satz 50. Ein glühender Draht sendet Elektronen aus. ( Edison-Effekt, 1883)4
Experiment Es sollen jetzt sogenannte Diodenkennlinien (Ia -Ua Kennlinien) mit UH
als Parameter aufgenommen werden (Abbildung 13.1 (S. 275). Exemplarisch wurden
zwei verschiedene Heizspannungen verwendet und dafür die Ia -Ua Kennlinie ermittelt.5
Ua
V
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Ia
mA
UH = 5, 5 V UH
≈0
0,26
0,60
1,04
1,49
1,70
1,95
2,10
2,20
2,25
2,25
2,25
= 4, 9 V
≈0
0,20
0,47
0,61
0,65
0,69
0,69
0,71
0,69
0,69
0,71
0,71
Tabelle 13.1: Messdaten zu Kennlinien der HV-Demonstrationsdiode
3
Text aus [3]
Thomas Alva Edison, 1847–1931, US-amerikanischer Erfinder und Unternehmer
5
Daten und Zeichnung 13.2 von [5]
4
276
13.1 Glühelektrischer Effekt
I
mA
2,5
bc
bc
bc
bc
bc
2,0
UH = 5, 5 V
bc
bc
1,5
bc
bc
1,0
bc
bc
0,5
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
UH = 4, 9 V
bc
bc
bc
0
bc
0
40
80
120
160
200
240
U
V
Abbildung 13.2: Kennlinien der HV-Demonstrationsdiode
Ergebnis:
6
• Ist die Spannung UA = 0V, so fließt bereits ein geringfügiger Strom.7 Bei der Glühemission bekommen einige Elektronen offensichtlich so viel kinetische Energie, dass
sie die Anode erreichen können. Erst wenn die Anodenspannung kleine negative
Werte annimmt, gelangen keine Elektronen mehr zur Anode. In diesem Fall bildet
sich um die Glühwendel eine Elektronenwolke (negative Raumladungswolke) die
mit zunehmender Anodenspannung abgebaut wird.
• Die Raumladungswolke ist auch dafür verantwortlich, dass bei positiver Anodenspannung der Strom nicht sofort seinen maximalen Endwert erreicht. Allerdings
wird diese Ladungswolke mit zunehmender Anodenspannung abgebaut und immer
mehr Elektronen erreichen die Anode (steiler Stromanstieg).
• Ab einer gewissen Spannung US (Sättigungsspannung) nimmt der Anodenstrom
trotz Steigerung der Anodenspannung kaum mehr zu. Man sagt, der Anodenstrom
hat seinen Sättigungswert erreicht. In diesem Fall gelangen alle durch Glühemission
erzeugten Elektronen zur Anode.
Zusatz Gleichrichterwirkung Wird zwischen Glühkathode („−“-Pol) und Anode
(„+“-Pol) eine Gleichspannung UA angelegt, werden die Elektronen angezogen und es
fließt ein Anodenstrom IA . Wird die Spannungsquelle dagegen umgekehrt gepolt, fließt
kein Strom. Der Strom kann also nur in einer Richtung fließen. Ein Elektrisches Bauteil,
das Strom nur in einer Richtung „durchlässt“, wird Diode genannt. Wird eine Diode in
einen Wechselstromkreis geschaltet, fließt im Stromkreis ein pulsierender Gleichstrom.
6
7
Text „Ergebnis“ und „Zusatz“ aus [3]
Nach [5] ist Ia ≈ 40 µA (abhängig von UH ).
277
13 Elektronen im el. Feld
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre
13.2.1 Schaltung mit zwei Hochspannungsnetzgeräten
Informationen über die Elektronenstrahlablenkröhre findet man im Leybold-Archiv8 .
Dort wird eine Schaltung vorgeschlagen, die zwei Hochspannungsnetzgeräte erfordert.
Ich habe das Experiment am 08.03.1987 durchgeführt, nach meinen Unterlagen aber mit
einer etwas veränderten Schaltung, die in Abbildung 13.3 dargestellt ist. 9
Als eine Möglichkeit zur Auswertung bietet sich an, die Punktkoordinaten der Bahnkurve
vom Hintergrund-Koordinatensystem abzulesen und zu untersuchen. Im Abschnitt 13.2.2
wird das Experiment mit nur einer Hochspannungsquelle beschrieben und ausgewertet.
0
K
A
b
Uy
UH
b
0
Ux
+
+
Abbildung 13.3: Elektronenstrahlablenkröhre; die Kathode K und die Anode A bilden
eine „Elektronenkanone“ (nur angedeutet: Wehneltzylinder, Fokussierspalt); Ux Beschleunigungsspannung, Uy Ablenkspannung, UH =
6, 3 V ∼.
Als erstes wird man sich Gedanken über die Bahnkurve y(x) machen. Aus der Mechanik
ist der horizontale Wurf bekannt und von daher könnte man vermuten, dass die Bahnkurve parabelförmig sein könnte. Das kann man versuchen zu bestätigen. Wir lesen einige
Koordinaten der Bahnkurve vom Gitternetz ab und prüfen, ob sie die Bedingungen für
eine quadratische Funktion erfüllen.
Messdaten (08.03.1987): Ux = 2, 85 kV, Uy = 2, 1 kV; Plattenabstand d ≈ 5, 8 cm
x
cm
x2
cm2
y
cm
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
4
9
16
25
36
49
64
0,1
0,24
0,36
0,6
0,86
1,16
1,5
1,9
[21] Elektronenstrahlablenkröhre 555 12
Zum Aufbau einer „Elektronenkanone“ siehe beispielsweise [41]
278
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre
Polung am Kondensator vertauscht:
x
1
2
3
4
5
cm
x2
cm2
y
cm
6
7
8
1
4
9
16
25
36
49
64
0,1
0,24
0,36
0,6
0,86
1,16
1,5
1,9
Bei einer quadratischen Funktion der vorliegenden Art sollte gelten:
y = konst · x2 , also
y
= konst .
x2
(13.1)
y
cm
2,5
2,0
bc
bc
bc
1,5
bc
bc
bc
1,0
bc
bc
bc
bc
0,5
bc
bc
bc
bc
bc
bc
0
0
10
20
30
40
50
60
70
x2
cm2
Abbildung 13.4: Graphische Darstellung der Messdaten (rot) und nach Umpolung am
Kondensator (blau)
Trägt man die Messdaten auf – siehe Abbildung 13.4, so erkennt man, dass (13.1) im
Rahmen der Messmöglichkeiten erfüllt ist. Lineare Regression ergibt für
rot: y = 0, 0283 · x2 + 0, 119 mit R2 = 0, 998 ;
blau:
y = 0, 0279 · x2 + 0, 224 mit R2 = 0, 996 .
Man beobachtet ferner, dass die Justierung des Nullpunktes der verwendeten Röhre nicht
optimal ist.
279
13 Elektronen im el. Feld
13.2.2 Schaltung mit nur einem Hochspannungsnetzgerät
Die nachstehende Ausführungen sind im Wesentlichen von [5] übernommen und der
allgemeinen Darstellungsart angepasst worden.
Entsprechend Abschnitt 13.2.1 (S. 278) baut man eine Schaltung gemäß Abbildung 13.5
auf.
−
K
A
b
Uy = Ux
UH
b
+
Abbildung 13.5: Elektronenstrahlablenkröhre; die Kathode K und die Anode A bilden
eine „Elektronenkanone“ (nur angedeutet: Wehneltzylinder, Fokussierspalt); Ux Beschleunigungsspannung, Uy Ablenkspannung, UH =
6, 3 V ∼.
Mit Ux (siehe auch Abbildung 13.3 (S. 278)) werden die Elektronen beschleunigt und
damit die Eintrittsgeschwindigkeit v0 in das el. Feld geregelt. Uy regelt die Ablenkung
in y-Richtung. Im Experiment 13.5 ist schaltungstechnisch Ux = Uy . Das Experiment
zeigt, dass die Bahnkurve von der gewählten Spannung nicht beeinflusst werden kann.
Allerdings variiert die Helligkeit des Elektronenstrahls mit Ux .
Wir wollen nun versuchen, die Gleichung der Bahnkurve zu ermitteln. Dazu wählen wir als Koordinax
tenursprung P0 (0|0) die Eintrittsstelle des Elektronenstrahls am Beginn des cm-Gitters im Ablenkkondensator. Wir betrachten die Bewegung einmal in xy
Richtung und einmal in y-Richtung.
In x-Richtung: v0 = konst; also handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
b
In y-Richtung wirkt die el. Kraftwirkung (e sei die Ladung eines Elektrons):
Fel = q · E = e · E = e ·
Es gilt aber auch:
280
Fel = me · a ;
Uy
me · a = e ·
;
d
e Uy
a=
·
= konst
me d
Uy
.
d
(bei Uy = konst) .
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre
Als Fazit ergibt sich daher: in x-Richtung liegt gleichförmige Bewegung, in y-Richtung
eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Man kann die Bewegung direkt mit dem
horizontalen Wurf vergleichen (siehe Abschnitt 2.2.1 (S. 80). Allerdings muss man dann
für den direkten Vergleich F = mt · a = ms · g (siehe 10.2.2, S. 244) beachten. Es wird
aber anschließend mt = ms gesetzt.
x-Richtung:
y-Richtung:
Bahnkurve im el. Feld
Bahnkurve im grav. Feld
x(t) = v0 · t
x(t) = v0x · t
1
y(t) = at2
2
2
1
x
= ·a·
2
v0
1 e Uy x2
= ·
·
·
2 me d v02
1
y(t) = at2
2
1
x 2
= ·a·
2
v0x
1 ms
x2
= ·
·g· 2
2 mt
v0x
y(x) =
1 e
Uy
·
· x2
·
2 me d · v02
y(x) =
1 g
· 2 · x2
2 v0x
(13.2)
Wir messen nun wie in Abschnitt 13.2.1 (S. 278) die quadratische Abhängigkeit der
Bahnkurve nach. 10
Messdaten (31.03.2008): Ux = Uy = 2 kV; Plattenabstand d ≈ 6 cm
x
cm
x2
cm2
y
cm
2
3
4
5
6
7
8
4
9
16
25
36
49
64
0,2
0,4
0,6
0,85
1,3
1,7
2,3
Trägt man die Messdaten auf (vergleiche Abbildung 13.6, S. 282), so erkennt man, dass
(13.1, S. 279) im Rahmen der Messmöglichkeiten erfüllt ist.
Lineare Regression ergibt (rot):
y = 0, 0345 · x + 0, 0505 mit R2 = 0, 997 .
Damit geben wir die für die Bahnkurve ermittelte Funktion (blau) an:
y
x2
= 0, 0345
+ 0, 0505 ;
cm
cm2
10
[5, S. 30f]
281
13 Elektronen im el. Feld
y
cm
bc
2
bc
bc
bc
1
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
0
0
bc
bc
1
2
3
4
5
6
7
1
2
8 x 10 · x
,
cm cm2
Abbildung 13.6: Graphische Darstellung der Messdaten (Bahnkurve 1:1 in blau) und der
Daten für die lineare Regression (rot).
y = 0, 0345
1
· x2 + 0, 0505 cm .
|
{z
}
cm
≈0
Nun vergleichen wir die letzte Zeile mit der Gleichung für die Bahnkurve (13.2) (S. 281).
y=
1 e
Uy
·
· x2 .
·
2 me d · v02
Daher muss gelten:
0, 0345
1
1 e
Uy
= ·
·
= konst .
cm
2 me d · v02
(13.3)
Offenbar liegt es auf der Hand, dass die Größen Uy , v0 und d gemessen werden können.
Def. 38. Den Quotienten
fische Ladung.
e
aus Ladung und Masse von Elektronen nennt man spezime
Durch die Betrachtung des Quotienten erreicht man, dass man zunächst eine statt zwei
neue Variablen hat. Kennt man nun Uy , v0 und d, so ließe sich die spezifische Ladung
e
von Elektronen berechnen. Wenn aber
bekannt ist, so genügt es, die Ladung von
me
Elektronen zu ermitteln, um die Masse zu bestimmen.
Die Ladung von Elektronen – und auch den Nachweis, dass diese Ladung als Elementarladung auftritt, d. h. dass nur ganze Vielfache dieser Ladung existieren, wird hier aktuell
nicht weiter ausgeführt. Dieser Versuch ist als Millikan-Versuch11 bekannt und in der
Schule durchführbar.12
11
12
[46]
Ich habe als Schüler diesen Versuch am 13.01.1967 im Rahmen einer Arbeitsgemeinschaft durchführen
können; leider liegen mir keine Messdaten mehr davon vor. Das Protokoll, welches ich als Schüler zu
diesem Experiment geschrieben habe, befindet sich im Anhang D, S. 481.
282
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre
Für die Ladung eines Elektrons findet man in der Literatur die Angabe
e = 1, 6022 · 10−19 As
(13.4)
13.2.3 Spezifische Ladung im el. Feld
Wenn man jetzt die spezifische Ladung von Elektronen bestimmen möchte, so können Uy
und d sofort aus der Messung angegeben werden. Wie steht es aber um die Bestimmung
von v0 ?
Aus Abschnitt 11.2.4 Aufgabe 1 (S. 250) kennen wir die Beziehung
1
· me · v02 = e · Ux ,
2
denn aus der Beschleunigungsspannung Ux erhält das Elektron seine kinetische Energie.
Am Ende der Wirkung der Spannung Ux bewegt sich das Elektron geradlinig gleichförmig
mit der Geschwindigkeit v0 in den Kondensator hinein:
v02 =
2 · e · Ux
.
me
Aus der Gleichung der Bahnkurve (13.2) (S. 281) folgt dann:
1 e
Uy
·
·
· x2 ;
2 me d · v02
e
2y · d · v02
=
;
me
Uy · x2
y=
x
2y · d · 2·e·U
e
me
=
;
me
Uy · x2
e
y Ux e
= 4d · 2 ·
·
;
me
x Uy me
y Ux
.
1 = 4d · 2 ·
x Uy
e
lässt sich mit diesem Experiment offenbar nicht bestimmen, was man auch schon
me
nach der ersten Zeile hätte sehen können; aber so ist es vielleicht deutlicher – und
spannender. Die Bestimmung der spezifischen Ladung lässt sich allerdings mit Hilfe mg.
Felder durchführen (siehe Abschnitt 19, S. 369).
Die von uns gemachten Messungen ermöglichen trotzdem noch eine Auswertung und damit gewisse Kontrolle der gefundenen Zusammenhänge. Wir formen zunächst die Glei-
283
13 Elektronen im el. Feld
chung der Bahnkurve für unsere Experimente um:
y Ux
·
x2 Uy
Uy 1
·
y=
· x2
Ux 4d
1 = 4d ·
1. Mit den Daten aus Abschnitt 13.2.1: Ux = 2, 85 kV, Uy = 2, 1 kV; d ≈ 5, 8 cm folgt:
1
a) Aus der Bahnkurve: y = 0, 0283
· x2 ;
cm
aus den Messdaten:
y=
Uy 1
2, 1 kV
1
1
·
· x2 =
·
· x2 = 0, 0318
· x2
Ux 4d
2, 85 kV 4 · 5, 8 cm
cm
1
· x2 ;
cm
2. Mit den Daten aus Abschnitt 13.2.2: Ux = Uy = 2 kV; d ≈ 6 cm folgt:
1
· x2 ;
aus der Bahnkurve: y = 0, 0345
cm
aus den Messdaten:
b) Aus der Bahnkurve (nur umgepolt): y = 0, 0279
Uy 1
·
· x2 ;
Ux 4d
1
y=
· x2 ;
4d
1
=
· x2 ;
4 · 6 cm
1
· x2 .
= 0, 0417
cm
y=
Die Ergebnisse weichen um ca. 20 % von den berechneten Werten ab. Das ist insofern
nicht verwunderlich, da der Ablenkkondensator einen sehr großen Plattenabstand besitzt, der darüber hinaus auch nicht richtig ermittelbar ist. Ferner sind die Platten in
der Fläche recht schmal. Daher sind die Annahmen über ein homogenes el. Feld innerhalb des Kondensators nur grobe Annahmen. Trotzdem liegt man mit den Ergebnissen
nicht so sehr falsch, denn die Bahnkurve hängt bei gleichen Spannungen Ux und Uy nur
von einer festen geometrischen Eigenschaft des Kondensators ab. In der Tat wird keine
Änderung der Bahnkurve beobachtet, wenn die Spannungen gleichbleibend verändert
werden.
Zusatz Wir notieren an dieser Stelle die Daten zur spezifischen Ladung von Elektronen. Die dazu notwendigen Experimente und Messungen werden noch durchgeführt.
284
13.2 Experiment mit der Elektronenstrahlablenkröhre
Für die spezifische Ladung eines Elektrons findet man in der Literatur die Angabe
As
e
= 1, 7588 · 1011
me
kg
(13.5)
Damit kann man schließlich die Masse eines Elektrons berechnen:
me = 9, 109 · 10−31 kg
denn
(13.6)
13
e
e
me
=
1, 6022 · 10−19 As
= 9, 1096 kg .
1, 7588 · 1011 As
kg
13.2.4 Beispiel
Aufgabe Bestimme die Geschwindigkeit der Elektronen bei bekannter spezifischen Lae
für x = 4 cm, y = 2, 1 cm bei einer elektrischen Feldstärke im Plattenkondendung
me
N
sator von 1, 5 · 104
.
As
Wie groß ist unter diesen Bedingungen der Winkel der Bahnkurve bei x = 4 cm? 14
Lösung Mit der Bahnkurvengleichung (13.2) (S. 281) und der Beziehung (11.2) (S.
248):
y=
1 e
1 e Ey 2
Uy
·
· x2 = ·
·x ;
·
·
2
2 me d · v0
2 me v02
1 e
1
As
N (4 cm)2
m2
x2
·
= · 1, 76 · 1011
· 1, 5 · 104
·
= 1, 01 · 1014 2 ;
· Ey ·
2 me
y
2
kg
As 2, 1 cm
s
7 m
v0 = 1, 00 · 10
.
s
v02 =
Um den Winkel zu ermitteln benötigt man die Bahnkurve:
y=
N
1 e Ey 2 1
1
As 1, 5 · 104 As
2
·
· 2 · x = · 1, 76 · 1011
·
· x2 .
2 · x = 0, 131
m
14
2 m e v0
2
kg 1, 01 · 10
cm
2
s
Den Winkel ermittelt man mit der 1. Ableitung, denn m = tan α = f 0 (x0 ). D. h. die
Steigung ist gleich dem Tangens des Steigungswinkels α an der Stelle x0 .
y 0 (x) = 0, 262
1
· x.
cm
13
Man beachte, dass die geringen Abweichungen von den Tabellenwerten bei meiner Rechnung durch
Rundungsfehler bestimmt sind. Ich beziehe mich auf Anhang E (S. 483).
14
[5, S. 45]
285
13 Elektronen im el. Feld
Damit erhält man den Winkel der Bahnkurve:
1
· 4 cm = 1, 05 ;
cm
α = arctan 1, 05 = 46, 3◦ .
y 0 (4 cm) = 0, 262
y
cm
3
b
2
1
α
0
0
1
2
3
4
5
x
cm
Abbildung 13.7: Bahnkurve und Steigungswinkel an einer vorgegebenen Stelle.
Die Gleichung der Tangente t(x) = m · x + c ergibt sich folgendermaßen:
t(4 cm) = y(4 cm) = 0, 131
1
· 42 cm2 = 2, 10 cm ;
cm
2, 10 cm = 1, 05 · 4 cm + c ;
c = −2, 10 cm ;
t(x) = 1, 05 · x − 2, 10 cm .
Der Graph dieser Funktion ist in Abbildung 13.7 rot eingezeichnet.
286
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
14.1 Wegunabhängigkeit der Arbeit im el. Feld
Im homogenen el. Feld untersuchen wir nun die Arbeit etwas genauer. Dazu betrachten
wir die Abbildung 14.1.
#»
E
P2
b
#»
#»
F =q·E
⊖
#»
Fa
⊕
+q
α
P1
b
b
P3
d
Abbildung 14.1: Arbeit schräg zu den Feldlinien
# »
WP1 P2 = Fa · P1 P2
#» # »
= −q · E · P1 P2
# »
= −q · E · P1 P2 · cos (180◦ − α)
# »
= q · E · P1 P2 · cos α
(14.1)
d
· cos α
cos α
= q · E · d.
=q·E·
Die Arbeit ist positiv, weil sie am Körper aufgebracht wird.1 Nach Abbildung 11.1 und
der anschließenden Rechnung (S. 247) gilt:
WP1 P3 = q · E · d und
1
W P3 P2 = 0
(α = 90◦ ) .
#» # »
Umgekehrt gilt WP2 P1 = −q · E · d, denn es wird Arbeit frei, erkennbar an E; P3 P1 = α
287
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
Damit hat man
W P1 P2 = W P1 P3 W P3 P2 .
Satz 51. Die an einer Ladung im el. Feld aufzuwendende Arbeit ist vom Weg unabhängig.
Man kann das mit der schiefen Ebene im Gravitationsfeld Abschnitt 4.2.5 (S. 136) vergleichen.
14.2 Allgemeine Definition der Spannung
In einem inhomogenen el. Feld kann man einen Weg in kleine Stücke zerteilen und dort sie
eben durchgeführten Überlegungen zunächst näherungsweise einsetzen. Für die genaue
Berechnung der Arbeit muss man allerdings Grenzprozesse und damit Integralrechnung
verwenden. Die grundsätzlichen Ideen dazu sollen im Folgenden deutlich gemacht werden.
Dazu betrachten wir die Abbildung 14.2.
∆ #»
s1
∆ #»
sk
P1
#»
Ek
∆ #»
sn
P2
Abbildung 14.2: Arbeit längs eines Weges im inhomogenen el. Feld
Wir zerlegen den Weg näherungsweise in n kleine geradlinige Wegstücke ∆ #»
s 1 , . . . , ∆ #»
sn
#»
#»
und betrachten dort die el. Feldstärken E 1 , . . . , E n . Dann ist die Arbeit für das k-te
#»
Wegstück ∆ #»
s k mit der Feldstärke E k gemäß (14.1):
#»
Wk = −q · E k · ∆ #»
sk;
und damit:
Wges ≈
n
X
k=1
Wk =
n X
#»
−q · E k · ∆ #»
sk ;
k=1
n
X
Wges
#»
= UP1 P2 ≈ −
E k · ∆ #»
sk.
q
k=1
288
14.3 Umlaufspannung
Mathematisch exakt erhält man die Spannung durch die Betrachtung des Grenzfalles
n → ∞, d. h. ∆ #»
s k → 0 für alle Wegstücke:
n
X
#»
UP1 P2 = − lim
n→∞
E k · ∆ #»
sk.
k=1
Dies schreibt man als Integral und definiert so die el. Spannung im inhomogenen el. Feld.
Def. 39. El. Spannung zwischen den Punkten P1 und P2 :
UP1 P2 = −
ZP2
#»
E · d #»
s
(14.2)
P1
14.3 Umlaufspannung
c2
b
P1 c1
P2
b
Abbildung 14.3: Die Arbeit bei einem geschlossenen Weg ist Null.
Wegen der Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg und der Vorzeichenregelung für abgegebene und aufgewandte Arbeit gilt (betrachte Abbildung 14.3):
W c1 + W c2 = 0 ;
Z
c1
−Uc1 − Uc2 = 0 ;
Z
#» #»
#»
E · d s + E · d #»
s = 0.
| : q | · (−1)
(14.3)
c2
Satz 52. Im el. Feld ist die Umlaufspannung Null:
I
#»
E · d #»
s =0
(14.4)
Als Entsprechung im grav. Feld betrachte man eine Wanderung. Insgesamt wird man in
289
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
gleichem Maße bergauf wie bergab gegangen sein, wenn der Weg zum Ausgangspunkt
zurückführt, man also einen Rundweg zurücklegt. Die insgesamt am Körper verrichtete
Arbeit ist dann Null.
Zusatz Aus (14.3) erhält man eine oft benötigte Regel für Linienintegrale (14.5), die
anschaulich einleuchtend ist:
Z
#»
E · d #»
s +
Z
#»
E · d #»
s = 0;
c2
c1
Z
#»
E · d #»
s =−
#»
E · d #»
s;
c2
c1
ZP2
Z
#»
E · d #»
s =−
ZP1
#»
E · d #»
s.
(14.5)
P2
P1
14.4 Potential
Wir betrachten zunächst noch einmal die Gleichung (14.2) (S. 289) und definieren:
Def. 40. Unter dem el. Potential ϕ eines Raumpunktes P versteht man die Spannung
bezüglich eines fest gewählten Bezugspunktes P0 :
ϕ (P ) = UP0 P = −
ZP
#»
E · d #»
s
(14.6)
P0
Es gilt folgender Zusammenhang zwischen der Spannung und dem Potential:
I
0=
#»
E · d #»
s =
ZP1
#»
E · d #»
s +
P0
= −ϕ (P1 ) +
ZP2
#»
E · d #»
s +
ZP0
P1
P2
ZP2
ZP2
#»
E · d #»
s −
P1
#»
E · d #»
s
#»
E · d #»
s;
P0
0 = −ϕ (P1 ) − UP1 P2 + ϕ (P2 ) ,
woraus die Aussage folgt:
Satz 53.
UP1 P2 = ϕ (P2 ) − ϕ (P1 )
(14.7)
Merke: Spannung bedeutet Potentialdifferenz.
Experiment Eine schöne Vorstellung von den Begriffen Spannung und Potential lässt
sich z. B. mit dem zerlegbaren Transformator vermitteln. Mit einer Netzspule, U-Kern
290
14.5 Potential des homogenen Feldes (Plattenkondensator)
mit Joch2 und einer Kleinspannungsspule3 baut man einen Experimentiertrafo zusammen. Mit einem geeigneten Spannungsmessgerät kann man dann die am Ausgang des
Transformators bereitgestellten Spannungen messen. An der Kleinspannungsspule sind
die Buchsen gemäß nachstehender Abbildung vorhanden.
1
2V
2
4V
3
6V
4
4V
5
4V
6
Die Windungszahlen der Sekundärspule sind so gewählt, dass die angezeigten Spannungen in Bezug zur
Netzspule (500 Windungen) an den entsprechenden
Buchsen anliegen. Man kann damit alle Spannungen
(wegen der Wechselspannung bis auf das Vorzeichen)
von 2 . . . 20 V in Zweierschritten erreichen.
Wir setzen eine Buchse als Nullpunkt P0 fest. Dann
misst man die Spannung der anderen Buchsen in Bezug dazu als Potential. Beispiel: Buchse 3 als P0 ;
ϕ (3) = 0. Ein Kabel des Messgerätes bleibt also fest
in Buchse 3.
Dann ist ϕ (4) = 6 V, ϕ (1) = 10 V und ϕ (2) = 12 V.
U1−4 = ϕ (4) − ϕ (1) = 10 V − 6 V = 4 V.
14.5 Potential des homogenen Feldes (Plattenkondensator)
Wir betrachten dazu die Abbildung 14.4 (S. 292). Gemäß der Definition (14.6) berechnen
wir schrittweise:
ϕ (P ) = −
ZP
P0
Zx
ϕ (x) = −
0
#»
E · d #»
s
#»
s
E ds · cos E; d #»
= −E ·
Zx
ds
0
ϕ (x) = −E · x
So erhält man speziell aus (14.7) die Gleichung (11.2), die schon früher (S. 248) angegeben wurde:
U0;d = ϕ (d) − ϕ (0) = −E · d
Wenn man die Informationen noch konkreter formuliert, so kann man die vektorielle
Schreibweise, die in der Schule verwendet wird, an diesem Beispiel recht gut verfolgen.
2
3
[21] Gerätenummern 562 11, 562 12, 562 21
[21] Gerätenummer 582 18
291
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
⊕
z
⊖
#»
E
y
b
0
d #»
s
x
d
x
#»
|E|, ϕ
E = konst
y
d
x
ϕ(x) = −Ex
Äquipotentiallinien
Abbildung 14.4: Zur Berechnung des Potentials im homogenen Feld eines Plattenkondensators; wegen der eingeschränkten Darstellungsmöglichkeiten mehrdimensionaler Funktionen sind E und ϕ nur auf Punkten der xy-Ebene
gezeichnet. Dies ist in diesem einfachen Fall auch völlig ausreichend.
E
3 kV
#» x m
Gegeben sei E = Ey = 0 . Das entspricht dem oben eingezeichneten Vektor
Ez
0
#»
E, der im homogenen Feld an jeder Stelle gleich ist, den Betrag E = Ex = 3 kV
m hat und
292
14.5 Potential des homogenen Feldes (Plattenkondensator)
von der positiven zur negativen Platte orientiert ist. Ferner sei d = 4 mm.
Man berechne das Potential ϕ(d), wenn sich der Nullpunkt an der linken Platte befindet.
ϕ (P ) = −
ZP
#»
E · d #»
s =−
P0
P0
ϕ (x̃|ỹ|z̃) = −
(x̃|ỹ|z̃)
Z
(0|0|0)
=−
ZP
(x̃|ỹ|z̃)
Z 3
3
kV
m
0
0
dx
Ex
Ey · dy ;
dz
Ez
dx
·
0
0
kV
· dx + 0 · 0 + 0 · 0
m
(Skalarprodukt) .
(0|0|0)
ϕ (d|0|0) = −
(d|0|0)
Z
3
kV
· dx ;
m
(0|0|0)
kV
·
ϕ (d) = −3
m
4Zmm
dx = −3
kV
· 4 mm = 12 V .
m
0
Anmerkung
1. Das el. Potential im homogenen Feld ist mit der schiefen Ebene im grav. Feld
vergleichbar (siehe auch Satz 51, S. 288). Das „Potentialgebirge“ stellt sich nämlich
im homogenen Fall als „schiefe Ebene“ dar. Die Orientierung ist so, dass eine
positive Ladung den „Berg“ hinunterrollt. In gleicher Weise verhält sich eine Kugel
auf einer schiefen Ebene. Elektronen allerdings „rollen“ als negative Ladungen
„natürlich den Berg hinauf“.
2. Äquipotentiallinien sind Linien mit gleichem Potential. In der Abbildung 14.4 sind
sie es Geraden (-stücke). Hier kann man auch erkennen, dass die Äquipotentiallinien
senkrecht zur Abrollrichtung einer Kugel verlaufen (Richtung der größten Kraft;
steilste Richtung). Dies ist ein allgemeingültiger4 Sachverhalt.
3. Bei den Rechnungen im Zusammenhang mit dem Potential wird deutlich, dass ϕ
#»
sich als eine Stammfunktion von E darstellt. Umgekehrt kann man (Hauptsatz der
#»
Differential- und Integralrechnung) E als Ableitung von ϕ interpretieren.
4. Man kann das el. Feld mit dem Potential (Äquipotentiallinien) genauso gut wie
#»
mit der Feldstärke (Feldlinien) beschreiben. Der Unterschied ist der, dass E eine vektorielle Funktion ist, d. h. jedem Raumpunkt wird ein Vektor zugeordnet.
ϕ hingegen ist eine skalare 5 Funktion, d. h. jedem Raumpunkt wird eine Zahl
zugeordnet.
4
5
Äquipotentiallinien verlaufen stets senkrecht zum Gradienten des Feldes.
Spannung bedeutet Arbeit durch Ladung, und das sind skalare Größen.
293
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
14.6 Das radialsymmetrische Feld
14.6.1 Feldstärke
Elektrisches Feld; Coulomb
A
⊕
r
Wir betrachten das radialsymmetrische el. Feld
#»
E einer positiven Ladung +Q. Im Abstand r
denken wir uns nun eine Metallhülle. Dort wird
durch Influenz auf der Außenfläche die gleiche
Ladung +Q getrennt. Für die Ladungsdichte im
Abstand r erhält man gemäß (12.9) (S. 260)
dann
Q
Q
=
= ε0 · E .
A
4πr2
Daher hat man den
Satz 54. Der Betrag der el. Feldstärke des radialsymmetrischen Feldes einer Ladung Q
im Abstand r berechnet sich zu:
E=
1
Q
· 2
4πε0 r
(14.8)
Wegen F = q · E ergibt sich sofort:
Satz 55. Der Betrag der Kraft auf eine Probeladung q im radialsymmetrischen Feld
einer Ladung Q im Abstand r berechnet sich zu:
F =
1
q·Q
· 2
4πε0
r
(14.9)
Man nennt (14.9) auch Coulombsches Gesetz.
Gravitationsfeld; Newton
Satz 56. Der Betrag der Kraft auf eine Probemasse m im radialsymmetrischen Feld
einer Masse M im Abstand r berechnet sich zu:
F = −γ ·
m·M
r2
Man nennt (14.10) auch Newtonsches Gravitationsesetz.
294
(14.10)
14.6 Das radialsymmetrische Feld
Dabei bedeutet γ die Gravitationskonstante6 :
γ = 6, 674 · 10−11
m3
kg · s2
(14.11)
Das Minuszeichen in (14.10) vermittelt die gleiche Orientierung der Kraft wie in (14.9)
bei ungleichnamigen Ladungen, da es im grav. Feld nur Anziehungskräfte gibt.
Beispiel: el. und grav. Kraft im Vergleich
Man berechne die el. Kraft, mit der sich zwei Elektronen, die 1 m voneinander entfernt
sind, abstoßen und vergleiche diese mit der grav. Kraft, die sie aufeinander ausüben. Die
Masse von Elektronen sei mit me = 9, 1·10−31 kg und die el. Ladung mit e = 1, 6·10−19 As
gegeben.
1.
1
q·Q
1
Fel =
· 2 =
4πε0
r
4π · 8, 854 · 10−12
As
Vm
1, 6 · 10−19 As
·
1 m2
2
= 2, 3 · 10−28 N .
2.
Fgrav
3
m·M
9, 1 · 10−31 kg
−11 m
=γ·
=
6,
674
·
10
·
r2
kg · s2
1 m2
3.
2
= 5, 5 · 10−71 N .
Fel
2, 3 · 10−28 N
=
= 4 · 1042 .
Fgrav
5, 5 · 10−71 N
Man erkennt, dass Gravitationskräfte im atomaren Bereich keine Rolle spielen.
14.6.2 Potential
El. Feld
Zur Berechnung des Potentials sehen wir uns die Abbildung 14.5 (S. 296) an. Ziel ist es,
das el. Potential des radialsymmetrischen Feldes zu berechnen. Wir starten mit (14.6)
6
Falls man im Internet nachguckt: Wie in [1] schreibe ich γ statt G für die Gravitationskonstante und
#»
G statt #»
g für das Gravitationsfeld.
Die Maßzahl der Gravitationskonstante ist verkürzt angegeben. Der im Anhang E (S. 483) notierte
m3
Wert weicht von dem, der im Internet angegeben wird, ab: statt 6, 6720 · 10−11 kg·s
2 findet man z. B.
unter http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg 6, 67408 · 10−11
m3
.
kg·s2
295
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
und formen die Gleichung für den speziellen Fall um.
ϕ (P ) = −
∗
ZP
#»
E · d #»
s =−
ZP0
#»
E · d #»
s−
|
#»
E · d #»
s =−
P0∗
P0
P0
ZP
{z
=0
ZP
E · ds .
P0∗
}
Wegen der Wegunabhängigkeit des Integrals gemäß Satz 51 (S. 288) kann man den
Weg c von P0 nach P so gestalten, dass die Berechnung einfach möglich ist. Man geht
zunächst längs eines Kreises bis zum Punkt P0∗ , der auf dem Strahl von der Ladung Q
#»
(⊕) durch P liegt, denn auf diesem Kreisbogen ist an jeder Stelle die Richtung von E
senkrecht zur Wegrichtung d #»
s . Das Skalarprodukt ist somit stets
#» Null und daher
auch
#»
das Integral. Dann bleibt nur noch ein radialer Anteil übrig E k d s = E · ds , den
man mit einer Transformation und Einsetzen von Gleichung (14.8) in ein berechenbares
Integral überführen kann. Man denke auch daran, dass rP0∗ = rP0 ist.
P0
b
rP0
c
⊕
rP
b
P
b
P0∗
Abbildung 14.5: Zur Berechnung des Potentials im radialsymmetrischen el. Feld
ϕ (rP ) = −
ZrP
E (r) · dr = −
rP ∗
rP0
0
Q
=
·
4πε0
296
ZrP
ZrP
rP0
−
1
dr .
r2
1
Q
· 2 · dr
4πε0 r
14.6 Das radialsymmetrische Feld
Eine Stammfunktion zu −
0
1
1
−2
−1
−1
=
−r
ist
r
=
,
denn
r
= −1 · r−1−1 . Daher
r2
r
1 rP
Q
1
Q
1
Q
· =
·
−
·
.
ϕ (rP ) =
4πε0 r rP
4πε0 rP
4πε0 rP0
0
Das wäre also das Potential eines Punktes P im Abstand rP von der Ladung Q. Frei ist
aber noch die Wahl des Koordinatenursprungs P0 . Im vorliegenden Fall ist es günstig,
den Nullpunkt ins Unendliche zu verlegen, d. h. rP0 → ∞. Dann fällt der Term mit rP1
0
1
= 0.
gerade weg, denn lim
rP0 →∞ rP
0
Satz 57. Das Potential des radialsymmetrischen Feldes einer Ladung Q im Abstand r
berechnet sich zu:
ϕ (r) =
1
Q
·
4πε0 r
(14.12)
Der zugehörige Nullpunkt liegt im Unendlichen (rP0 → ∞). Wegen der Proportionalität
von ϕ(r) zu 1r spricht man auch von einem 1r -Potential.
ϕ(x, y)
y
x
Abbildung 14.6: Veranschaulichung des 1r -Potentials. Gezeichnet wurde die Funktion
ϕ (x|y) = √konst
. Rot gezeichnet ϕ (x|0) = konst
|x| ist ein Schnitt mit
2
2
x +y
der xϕ-Ebene. Schwarze Linien sind die gleichen Potentials.
297
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
Grav. Feld
Wegen der analogen Struktur der Gleichungen im grav. und el. Feld und der Gleichung
(14.10) (S. 294) zusammen mit F = m · G ergibt sich:
Satz 58. Der Betrag der grav. Feldstärke des radialsymmetrischen Feldes eines Körpers
der Masse M im Abstand r berechnet sich zu:
G = −γ ·
M
r2
(14.13)
Arbeit
Ferner können wir das grav. Potential über die das Verhältnis
im grav. Feld
Probemasse
beschreiben:
Def. 41. Unter dem grav. Potential ϕ eines Raumpunktes P versteht man den QuoArbeit
bezüglich eines fest gewählten Bezugspunktes P0 :
tienten
Probemasse
W P0 P
ϕ (P ) =
=−
m
ZP
#»
G · d #»
s
(14.14)
P0
Satz 59. Das Potential des radialsymmetrischen Feldes einer Masse M im Abstand r
berechnet sich zu:
ϕ (r) = −γ ·
Q
r
(14.15)
Der zugehörige Nullpunkt liegt im Unendlichen (rP0 → ∞).
ϕ(r)
r
r
Abbildung 14.7: Veranschaulichung des 1r -Gravitationspotentials.
298
14.7 Feld- und Äquipotentiallinien
Betrachten wir noch die Abbildung 14.7. Dort ist dunkelgrün die Funktion ϕ (r) = konst
r
gezeichnet. Die bis aufs Vorzeichen entsprechenden Kurvenstücke sind in Abbildung 14.6
rot eingezeichnet. Prinzipiell ist diese Potentialdarstellung wegen der Rotationssymmetrie ausreichend. Es wird daran erinnert, dass r den Abstand von der felderzeugenden
Masse M (bzw. auch Ladung Q) angibt, also r ≥ 0 ist, wobei natürlich ϕ(0) nicht definiert ist. Deshalb ist r auf der horizontalen Achse nach rechts und nach links aufgetragen.
Man beachte aber auch den Unterschied im Vorzeichen. In Abbildung 14.6 bewegen sich
positive Ladungen bergab, weil das Zentrum standardmäßig von einer positiven Ladung
gebildet wird. Negative Ladungen bewegen sich bergauf. Diese Unterscheidung ist im
grav. Feld nicht erforderlich. Hier bewegen sich alle Körper stets auf das Zentrum zu, sie
bewegen sich stets bergab.
14.7 Feld- und Äquipotentiallinien
Bereits in Abbildung 10.5 (S. 242) wurden zusätzlich zu Feldlinien auch Äquipotentiallinien gezeichnet. Diese Linien gleichen Potentials wurden ebenfalls in den Abbildungen
14.4 (S. 292), 14.5 (S. 296) sowie 14.6 (S. 297) gezeichnet und für Berechnungen benutzt.
Alternativ zur Beschreibung der Struktur eines Feldes durch Feldlinien – vergleiche dazu Satz 43 (S. 240), können Äquipotentiallinien eine vergleichbare Rolle übernehmen: Je
enger sie liegen (bei vergleichbarem Potentialmaßstab, gleicher Schrittweite des Potentials), desto stärker ist in diesen Bereichen die Steigung, also auch die Feldstärke. Die
Feldlinienrichtung ist an jeder Stelle senkrecht zu den Äquipotentiallinien. Die Orientierung ergibt sich aus den felderzeugenden Ladungen (Massen) in Bezug zu einer positiven
Probeladung (Probemasse).
Für einige wichtige elementare Fälle seien hier daher noch Feldlinienbilder zusammen
mit den Linien gleichen Potentials als Ergänzung zusammengestellt.
Abbildung 14.8: El. Feld- und Äquipotentiallinien zweier Punktladungen; links: ungleichnamige Ladungen; rechts: gleichnamige Ladungen.
299
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊕
Abbildung 14.9: Feld- und Äquipotentiallinien im homogenen Feld eines Plattenkondensators (links; siehe auch Abb. 14.4) und im radialsymmetrischen Feld
einer positiven Punktladung (rechts; siehe auch Abb. 14.6).
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊕
⊕
⊕
⊖
⊖
⊕
⊖
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊖
⊖
⊖
⊕
⊕
⊕
⊖
⊖
⊖
Abbildung 14.10: Feld- und Äquipotentiallinien im inhomogenen Feld (links; z. B. Wolke
und Kirchturmspitze; siehe auch Abb. 10.3) und im radialen Feld eines
sog. Kugelkondensators (siehe auch Abschnitt 14.8).
Anmerkung zu Abbildung 14.10 rechts. Der äußere Bereich ist ohne el. Feld. Im
Inneren ist das Potential konstant, aber das Feld Null (Farady-Käfig; siehe Abbildung
10.6 (S. 242)).
#»
Wegen der Anmerkung 3 auf Seite 293 gilt, dass ϕ eine Stammfunktion zum Feld E = #»
o
ist, also ϕ = konst.
Außerhalb gibt es aber keine Feldlinien, wenn die (negativen) Ladungen von außen nachfließen konnten, als das Innere aufgeladen wurde. Dies kann durch Erdung der äußeren
Schale erreicht werden. Wenn außen aber keine Feldlinien existieren, gibt es dort kein
Feld und auch kein Potential.
Wenn die negativen Ladungen durch Influenz (Seite 230) entstehen, gibt es im äußeren Bereich positive Influenzladungen und man hätte ein radialsymmetrisches el. Feld
außerhalb der Anordnung.
300
14.8 Der Kugelkondensator
14.8 Der Kugelkondensator
Die Darstellung erfolgt nach Klausur Nr. 2, LK PH, Jgst. 12, 14.06.2011, 3–4 Std.,
L1042A.TEX. Die Fußnoten sind ebenfalls aus der Aufgabenstellung der Klausur.
Ein Kugelkondensator (Abbildung 14.11) besteht aus 2 konzentrischen Metallhohlkugeln,
die isoliert voneinander aufgestellt sind. Sie tragen die Ladung Q = 10−7 As.
r2
Q
r1
Abbildung 14.11: Kugelkondensator aus zwei konzentrischen Kugelschalen
1. Berechne die Spannung U zwischen den Kugeln zunächst allgemein.7 Spezialisiere
dann für r1 = 10 cm und r2 = 11 cm.
Gemäß (14.7) gilt für die Spannung zwischen den beiden Kugelschalen:
Q
U = ∆ϕ =
4πε0
2.
1
1
−
r1 r2
10−7 As
=
4π · 8, 854 · 10−12
As
Vm
·
1
1
−
10 cm 11 cm
= 817 V .
a) Zeige: Die Kapazität eines Kugelkondensators berechnet sich zu:
C = 4πε0 ·
C=
Q
=
U
Q
Q
4πε0
1
r1
r1 r2
r2 − r1
1
−
1
r2
(14.16)
r r
1 2
= 4πε0 · r −r = 4πε0 ·
.
2
1
r
2 − r1
r r
1 2
b) Welche Kapazität hat der unter Punkt 1 angegebene Kondensator?
C = 4π · 8, 854 · 10−12
7
As
10 · 11 cm2
·
= 122 pF .
Vm 11cm − 10 cm
1 Q
kann ohne Herleitung benutzt werden. Beachte weiterhin, dass in der
4πε0 r
Praxis Spannungen positiv angegeben werden.
Die Formel ϕ(r) =
301
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
3. Zeige: Die Gleichung (14.16) geht für r2 ≈ r1 in die eines Plattenkondensators
über.
Mit den Bezeichnungen r2 − r1 = d und r1 = r2 erhält man:
C = 4πε0 ·
4.
r1 r2
r2
4πr12
A
≈ 4πε0 · 1 = ε0 ·
= ε0 ·
r2 − r1
d
d
d
(siehe (12.4)) .
a) Für r2 r1 erhält man die Kapazität einer Kugel; zeige:
C = 4πε0 R
(14.17)
wobei R der Radius der Kugel ist.8
C = 4πε0 ·
r1 r2
r r
1 2
= 4πε0 ·
r2 − r1
r2 · 1 −
r1
r2
≈ 4πε0 r1 ,
r1
1 ist.
r2
Natürlich kann man auch schreiben:
falls r2 r1 , d. h.
lim 4πε0 ·
r2 →∞
r r
1 2
r2 · 1 −
r1
r2
= 4πε0 · lim
r2 →∞
b) Welche Kapazität hat die Erde? (R = 6 365 km).
r1
= 4πε0 r1 .
1 − rr12
9
14.9 Kraftwirkung von Kondensatorplatten aufeinander
14.9.1 Theoretische Betrachtung
Play/Pause
8
9
Tipp: in (14.16) r2 im Nenner ausklammern.
Ergebnis: 708 µF; das Beispiel wurde bereits in experimentellem Zusammenhang gegeben. Siehe dazu
Gleichung (12.14) auf der Seite 264.
302
14.9 Kraftwirkung von Kondensatorplatten aufeinander
Zur Berechnung einer Gleichung für die Kraft, mit der sich zwei Kondensatorplatten
anziehen, gehen wir vom el. Feld einer geladenen Platte aus und bauen schrittweise eine
zweite Platte mit gleicher Ladung daneben auf. Anschließend rechnen wir die Kraft auf
alle diese Ladungen zusammen.
In der kleinen Animation auf der Seite 302 möchte ich verdeutlichen, dass die Ladungsdichte bei einer einzelnen Platte halb so groß ist wie bei einem Kondensator bei gleicher
Ladung. Daher muss für die Ladungsdichte einer mit der Ladung Q geladenen Platte
gelten: 10
Q
ε0 · E =
.
2A
Für die Ladungsdichte kann man auch argumentieren, dass eine Platte Vorder- und
Rückseite besitzt. Die Feldstärke ist also nur halb so groß wie die eines Plattenkondensators.
Satz 60. Der Betrag der Feldstärke einer geladenen Platte berechnet sich zu:
E=
Q
2ε0 · A
(14.18)
In diesem Feld wirkt nun die Kraft
F =q·E =
q·Q
2ε0 · A
auf eine Probeladung q. Auf mehrere Probeladungen mit der Eigenschaft
man also:
P
q = Q hat
Satz 61. Die Kraft, mit der sich zwei Kondensatorplatten anziehen, berechnet sich zu:
F =
ε0 · A
Q2
=
· U2
2ε0 · A
2d2
(14.19)
Für die rechte Gleichung erhält man wegen (12.1) (S. 254) und (12.4) (S. 257):
Q
A
A2
= ε0 ·
=⇒ Q2 = ε20 · 2 · U 2 ; eingesetzt:
U
d
d
2 · A2 · U 2
2
ε
Q
ε0 · A
2
= 0 d
=
F =
· U2 .
2ε0 · A
2ε0 · A
2d2
Beispiel Ein Plattenkondensator mit der Fläche A = 50 cm2 und dem Plattenabstand
d = 0, 4 cm ist mit der Spannung U = 1 kV aufgeladen worden. Die Kraft, mit der sich
10
Siehe (12.9) (S. 260). Zum allgemeinen Zusammenhang zwischen der Ladung und der el. Feldstärke
siehe Abschnitt 15 (ab S. 309) und Abschnitt 64 (S. 313).
303
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
die Platten anziehen, berechnet sich zu:
F =
As
8, 854 · 10−12 Vm
· 50 cm2
ε0 · A
2
·
U
=
· (1 kV)2 = 1, 38 mN ;
2d2
2 · (0, 4 cm)2
Einheit:
As
Vm
· m2
As Nm
· V2 =
·
· V = N.
2
m
Vm As
14.9.2 Messreihe mit der Kirchhoffschen Spannungswaage
Die Darstellung erfolgt nach Klausur Nr. 2, LK PH, Jgst. 12, 05.05.2008, 3–4 Std.,
L0742A.TEX.
Abbildung 14.12: Kirchhoffsche Spannungswaage
In der Abbildung 14.12 ist in einfacher Weise eine Kirchhoffsche Spannungswaage11
dargestellt. Sie besteht aus einem Plattenkondensator, dessen untere Platte fest steht
und dessen obere Platte mit einem Hebelarm einer Balkenwaage verbunden ist. Im spannungslosen Zustand ist die Waage im Gleichgewicht. Sie hat zwei gleichlange Hebelarme.
Der Kondensator besteht aus zwei kreisrunden Platten mit dem Radius 7, 5 cm, welche
einen Abstand von 4 mm haben. Die Platten sind gegen Kurzschluss gesichert.
1. Mit der Kirchhoffschen Spannungswaage besteht die Möglichkeit, einen Zusammenhang zwischen der Kraft, die die Kondensatorplatten aufeinander ausüben, und
der am Kondensator anliegenden Spannung zu ermitteln. Dazu seien die nachstehenden Messwerte gegeben: 12
11
12
[21] Gerätebeschreibung 516 31–33/37
Die genannten Daten sind von mir am 23.03.1987 gemessene Originaldaten mit dem Gerät [21,
S. 516 37].
304
14.9 Kraftwirkung von Kondensatorplatten aufeinander
angelegte Spannung aufgelegtes Massenstück
U/kV
m/g
0,0
0,0
1,0
0,459
1,5
1,12
2,01
2,12
2,5
3,24
3,0
4,46
3,5
6,22
Stelle zunächst die Kraft in Abhängigkeit von der am Kondensator anliegenden
Spannung graphisch dar. Die Messwertepaare liegen nicht auf einer Geraden. Um
welche Funktion handelt es sich? Prüfe an den Messdaten, ob Deine letzte Aussage
richtig ist.
F
mN
bc
60
bc
bc
40
bc
bc
bc
20
bc
bc
bc
bc
bc
0
bc
0
2
4
U
kV
6
8
10
U2
12
(kV)2
Abbildung 14.13: Graphiken zu Aufgaben 1 und 2
Zur Bestimmung der Gewichtskraft multipliziert man die Masse mit dem OrtsfakN
tor 9, 81 kg
und fertigt eine Tabelle an. An Hand der Abbildung 14.13 vermutet
man eine quadratische Abhängigkeit, die sich ja auch aus der Gleichung (14.19) (S.
303) ergibt. Man fügt also eine Spalte mit U 2 an und kann dann ganz elementar zunächst einmal prüfen, ob UF2 = konst ist, was sich im Rahmen der Messgenauigkeit
auch bestätigt.
U/kV
m/g
F/mN
U 2 / (kV)2
0,0
1,0
1,5
2,01
2,5
3,0
3,5
0,0
0,459
1,12
2,12
3,24
4,46
6,22
0,0
4,5
11,0
20,8
31,8
43,8
61,0
0,0
1,0
2,25
4,04
6,25
9,0
12,25
F/U 2
mN/ (kV)2
4,5
4,89
5,15
5,09
4,87
4,98
2. Stelle jetzt die Messdaten als Gerade (besser: linearisiert, in einem linearen Zusammenhang) im KOS dar und ermittle eine Geradengleichung für den entsprechenden
305
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
Zusammenhang zwischen F und U . Welches Ergebnis erwartet man nach E2413 ?
Vergleiche die Auswertung mit der Theorie (E24) und gib die prozentuale Abweichung an.
In Abbildung 14.13 (S. 305) ist ebenfalls F U 2 dargestellt. Die Messwertepaare
liegen auf einer Gerade.
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 999):
y = 4, 97 · x + 0, 00978 ;
F
U2
+ 0, 00978 ;
= 4, 97 ·
mN
(kV)2
mN
F = 4, 97
· U 2 + 0, 00978 mN .
(kV)2
Der Achsenabschnitt ist in guter Näherung Null. Letztendlich kann man also schreiben:
mN
U2
2
−9
F = 4, 97 ·
·
U
=
4,
97
·
10
N
·
.
(14.20)
V2
(kV)2
Nach (14.19) erwartet man mit den gegebenen Daten für den Plattenradius 7, 5 cm
und den Plattenabstand 4 mm:
F =
As
8, 854 · 10−12 Vm
· π · (7, 5 cm)2
ε0 · A
2
·
U
=
· U2 ;
2d2
2 · (4 mm)2
F = 4, 89 · 10−9 N ·
Einheit:
U2
;
V2
N
N
As
=
=
.
Nm
V2
Vm
V · As
Die prozentuale Abweichung berechnet sich zu:
4, 97 − 4, 89
= 16, 4 · 10−3 = 0, 0164 = 1, 6 % .
4, 89
3. Berechne die Spannung an den Platten, wenn auf die Waagschale ein Wägestück
der Masse 5 g gelegt werden muss, damit die Waage ins Gleichgewicht geht.
Wegen F = m · g und (14.19) hat man sofort:
s
U=
m·g·2·
ε0 · A
d2
v
u
u
=t
N
5 g · 9, 81 kg
· 2 · (4 mm)2
8, 854 · 10−12
r
Alternative mit (14.20): U =
13
N
5 g·9,81 kg
4,89·10−9 N
As
Vm
· π · (7, 5 cm)2
= 3, 17 kV .
= 3, 17 kV .
Der Hinweis „E24“ in der Formelsammlung [24] bedeutet hier die Gleichung (14.19).
306
14.10 Energie des el.Feldes
14.10 Energie des el.Feldes
Wir betrachten folgendes Beispiel aus einer in diesem Zusammenhang gestellten Übungsaufgabe:
Ein Plattenkondensator (d1 = 2, 5 mm, A = 0, 9 m2 ) wird mit U = 480 V aufgeladen und
dann von der Spannungsquelle getrennt.
1. Wie groß ist die aufgenommenen Ladung?
Mit (12.1) (S. 254) und (12.4) (S. 257) hat man sofort:
Q = C · U = ε0 ·
A
As
0, 9 m2
· U = 8, 854 · 10−12
·
· 480 V = 1, 53 µAs .
d
Vm 2, 5 · 10−3 m
2. Jetzt zieht man die Platten auf d2 = 4 mm auseinander. Welche Arbeit ist dafür
erforderlich?
Mit (14.18) ergibt sich
#»
W = F · #»
s
= F · (d2 − d1 )
Q2
· (d2 − d1 )
2ε0 · A
Q2
=
· d2 −
2ε0 · A
=
|
{z
}
Energie nachher
|
=
Q2
· d1
2ε0 · A
|
{z
}
Energie vorher
{z
Energiezuwachs
}
(1, 53 µAs)2
· (4 − 2, 5) · 10−3 m
As
2 · 8, 854 · 10−12 Vm
· 0, 9 m2
= 220 µJ .
3. Welche Energie war vorher in dem Kondensator gespeichert? (d2 = 0 !)
W =
(1, 53 µAs)2
Q2
· d1 =
· 2, 5 · 10−3 m = 367 µJ .
As
2ε0 A
2 · 8, 854 · 10−12 Vm
· 0, 9 m2
(14.21)
4. Zeige:
Satz 62. Die Energie, die im Plattenkondensator (genauer: im el. Feld des Kondensators) gespeichert ist, beträgt
Wel =
1
· CU 2
2
(14.22)
307
14 Arbeit im el. Feld II – el. Potential
Aus (14.21) (S. 307) und (12.1) (S. 254) folgt
W =
1 Q2
1 (C · U )2
1
·
= ·
= · CU 2 .
2 C
2
C
2
5. Zeige:
Satz 63. Die Energiedichte % =
Energie
W
=
des el. Feldes beträgt
Volumen
V
%el =
1
· ε0 E 2
2
(14.23)
Wegen (12.4) (S. 257) und (11.2) (S. 248) gilt (Ad = V ):
%el =
1
1
1
CU 2
ε0 A · E 2 d2
ε0 E 2 Ad
W
1
= 2
= 2 d
= 2
= ε0 E 2 .
V
V
V
Ad
2
Beispiel In Abschnitt 12.6.3 wurde der Aufgabenteil 7 (S. 274) nicht gelöst, da die
notwendigen Voraussetzungen zur Berechnung noch nicht dargestellt waren. Das kann
jetzt an dieser Stelle nachgeholt werden. Die Aufgabe lautete:
Wie lange können die Kondensatoren die von der Lokomotive aufgenommene
Leistung von 5, 6 MW aufbringen?
Dabei waren bereits folgende Daten bekannt: C = 227 mF, U = 3, 9 kV. Mit (14.22) (S.
307) erhält man:
W =
1
· CU 2 = P · t ;
2
1
· CU 2
CU 2
t= 2
=
;
P
2P
227 mF · (3, 9 kV)2
= 308 ms .
t=
2 · 5, 6 MW
Einheit:
308
FV2
=
W
As
V
·V·
Nm
s
Nm
As
= s.
15 Der el. Fluss
15.1 Vorbemerkung
In Satz 43 (S. 240) haben wir gesehen, dass el. Feldlinien durch ihren Verlauf informieren
über
1. die Richtung der Kraftwirkung auf eine (positive) Probeladung durch die Tangente an die Feldlinie (im betreffenden Raumpunkt);
2. die Größe der Kraftwirkung (den Betrag der Kraft) durch die Dichte der Feldlinien (bezogen auf benachbarte Bereiche).
1. beschreibt das el. Feld über die Wirkung auf eine Probeladung q. Dazu gehört auch,
dass el. Feldlinien Anfang und Ende haben und dass das Umlaufintegral (siehe 14.4, S.
289) über einen geschlossen Weg Null ist:
I
#»
E · d #»
s = 0.
2. beschreibt das el. Feld aus einer felderzeugenden Ladung Q. Eine genauere Betrachtung führt zum Begriff „el. Fluss“. Dies soll im Folgenden weiter ausgeführt werden.
15.2 Der Fluss eines Teilchenstromes
15.2.1 Ein einfaches Beispiel
A
#»
A
b
b
#»
v
Abbildung 15.1: Version 1: „Fluss“ eines Vektorfeldes ~v durch eine Fläche A
Betrachten wir einmal den kastenförmigen Kanal in Abbildung 15.1. Durch ihn soll
eine Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v = 5 ms fließen. Die Querschnittsfläche beträgt
16 m2 . Wir fragen nun, wieviel Flüssigkeit durch die Fläche A fließt. Offenbar erhält man
309
15 Der el. Fluss
für den Fluss Ψ:
Ψ=5
m
m3
· 16 m2 = 80
.
s
s
80 m3 treten also in jeder Sekunde senkrecht durch die Fläche A.
Das anschauliche Ergebnis führt also zur allgemeinen Form für den Fluss eines Vektorfeldes #»
v durch die Fläche A für diesen Fall:
Ψ=v·A
(15.1)
15.2.2 Fluss durch eine geneigte ebene Fläche
#»
A
A
ϕ
b
b
ϕ
#»
v # »∗
A
Abbildung 15.2: Version 1.1: „Fluss“ eines Vektorfeldes ~v durch eine Fläche A.
Verlangt man in der Metzgerei „Fleischwurst aus dem Ring (ohne Knoblauch)“, so wir
einem die Wurst nicht etwa „senkrecht zur Wurstrichtung“ geschnitten. sondern immer
schräg. Dies ist in Abbildung 15.2 skizziert. Schneidet man eine Wurst senkrecht, so hat
man (bei gleicher Dicke der Scheiben) die kleinste Fläche je Scheibe, aber die größte
Anzahl an Scheiben. Schneidet man sie schräg, so sind die Scheiben größer, aber man
bekommt insgesamt weniger. Denn: der „Fluss der Wurst durch die Schneidemaschine“
ist in beiden Fällen gleich.
Betrachten wir jetzt etwas genauer wieder eine Flüssigkeit, die mit der Geschwindigkeit #»
v
durch den Kanal fließt (Abbildung 15.2). Nach Gleichung (15.1) berechnet sich der Fluss
∗
durch A∗ zu Ψ = v · A∗ . Man kann die Fläche A∗ durch A ausdrücken, da AA = cos ϕ:
Ψ = v · A∗ = v · A · cos ϕ .
(15.2)
Der Fluss durch A und durch A∗ sind gleich.
#»
Führt man nun zur Beschreibung der Fläche den Flächenvektor
A ein, der senkrecht auf
#»
der Fläche steht (Normalenvektor), dessen Betrag A = A gleich der Fläche und dessen
Orientierung in der Regel „nach außen“ gewählt wird, so kann man Gleichung (15.2) als
Skalarprodukt darstellen:
#»
#»
Ψ = v · A · cos ϕ = v · A · cos #»
v ; A = #»
v ·A
310
(15.3)
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß
Def. 42. Unter dem el. Fluss versteht man die Größe
#» #»
Ψ=E·A
Einheit:
[Ψ] =
Nm2
= Vm
As
(15.4)
Der el. Fluss Ψ gibt anschaulich an, wieviel „el. Feldlinien“ durch die Fläche A senkrecht
hindurch treten.
#»
E1
#»
∆A1
#»
E2
#»
E3
#»
∆A2
b
b
b
#»
∆A3
A
Abbildung 15.3: Zur allgemeinen Berechnung des el. Flusses
Zur weiteren Verallgemeinerung betrachten wir die Abbildung 15.3.
Wenn man den el. Fluss durch die gekrümmte Fläche A berechnen möchte, so zerlegt
man die Fläche in kleine Teilflächen A1 , A2 , A3 , . . . , An , die näherungsweise als ebene
Flächen angesehen werden können. Durch einen Grenzprozess erreicht man schließlich
eine Darstellung des el. Flusses als Integral:
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
Ψ ≈ E 1 · ∆A1 + E 2 · ∆A2 + E 3 · ∆A3 + · · · + E n · ∆An ;
Ψ = lim
n→∞
n
X
#»
#»
E i · ∆Ai .
i=1
311
15 Der el. Fluss
Def. 43. Unter dem el. Fluss versteht man die Größe
Z
Ψ=
#» #»
E · dA
(15.5)
A
15.3.1 Beispiele; Fluss durch eine geschlossene Fläche
I
Im el. Feld spielte das Linienintegral
#»
E · d #»
s = 0 eine besondere Rolle (Gleichung
(14.4), S. 289): Wir wollen daher nun einmal das Flächenintegral über eine geschlossene
Fläche an 2 Beispielen berechnen.
Fluss im homogenen Feld
Gegeben sei ein Plattenkondensator (Abbildung 15.4, grau) mit der Plattenfläche A, der
Ladung Q und dem Plattenabstand d.
Abbildung 15.4: Zur Berechnung des el. Flusses im homogenen el. Feld
Durch die 6 Flächen des grün eingezeichneten Quaders hat (näherungsweise) nur eine
einen Anteil am el. Fluss. Sie hat die Größe A. Wir berücksichtigen den Winkel von 0◦
#»
#»
#» #»
#»
zwischen E und A, also E · d A = E · dA sowie E = konst und erhalten nacheinander: 1
I
Ψ=
#» #»
E · dA =
Quader
Ψ=E·A=
Z
#» #»
E · dA =
A
Z
E · dA = E ·
A
Z
dA = E · A ;
A
Q d A
Q
U
·A=
· · =
.
d
ε0 A d
ε0
| {z }
U
1
Siehe Seiten 248, 254, 257: (11.2), (12.1), (12.4): E =
312
U
Q
A
Q d
und C =
= ε0 ·
=⇒ U =
· .
d
U
d
ε0 A
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß
Fluss im radialsymmetrischen Feld
Im zweiten Beispiel sei das radialsymmetrische el. Feld einer Punktladung gegeben. Abbildung 15.5 zeigt einen Schnitt durch dieses Feld. Die felderzeugende Ladung sei Q. Die
geschlossene Fläche (grün) habe den Kugelradius r und damit die Fläche A = 4πr2 .
#»
E
A
#»
dA
⊕
r
Abbildung 15.5: Zur Berechnung des el. Flusses im radialsymmetrischen el. Feld
#»
#»
Wie im vorangegangen Beispiel haben E und d A die gleiche Richtung und Orientierung.
#»
Dazu ist auf der Kugeloberfläche wegen r = konst die Feldstärke E = konst.2 Also
berechnen wir wieder nacheinander:
I
Ψ=
A
#» #»
E · dA =
I
E · dA = E ·
I
dA = E · 4πr2 ;
A
A
1
Q
Q
Ψ = E · 4πr2 =
· 2 · 4πr2 =
.
4πε0 r
ε0
Satz vom el. Fluss; Satz von Gauß
In beiden Fällen konnte man sehen, dass der el. Fluss durch eine geschlossene Fläche
proportional zu der von ihr eingeschlossenen Ladung ist. Dies gilt auch allgemein (Satz
von Gauß3 ).
Satz 64. Der Fluss eines el. Feldes durch eine geschlossene Fläche ist zu der von der
Fläche eingehüllten el. Ladung proportional und unabhängig von Fläche und Feld.
I
2
3
#» #» Q
E · dA =
ε0
(15.6)
1
Q
·
.
4πε0 r2
Carl Friedrich Gauß, 1777–1855, deutscher Mathematiker und Physiker; siehe auch Seite 314.
Siehe (14.8) (S. 294): E =
313
15 Der el. Fluss
15.3.2 Anwendungen zum Satz von Gauß
El. Feldstärke einer geladenen Platte
Mit dem Satz von Gauß wollen wir zunächst das el. Feld einer geladenen Platte berechnen4 . Dazu betrachten wir die Abbildung 15.6. Als geschlossene Fläche wählen wir
#»
E
#»
E
b
#»
A2
z
x Q1
#»
A1
y
Abbildung 15.6: Zur Berechnung der el. Feldstärke E einer geladenen Platte mit der konstanten Ladungsdichte σ. Rechts: Briefmarkenausgabe der Deutschen
Bundespost zum 100. Todestag von Carl Friedrich Gauß 1955
einen Quader. Nur durch die Flächen A1 und A2 ist der el. Fluss ungleich Null. Durch
diese Flächen ist der el. Fluss allerdings gleichgroß. Ebenso berücksichtigen wir den
#»
#»
#» #»
#»
Winkel von 0◦ zwischen E und A 1 , also E · d A = E · dA sowie E = konst und erhalten
nacheinander:
I
#» #»
E · dA =
Z
#» #»
E · dA +
A1
=2·
Z
#» #»
E · dA +
A2
Z
A1
#» #»
E · dA = 2 ·
Z
#» #»
E · dA
Mantel
Z
E · dA = 2 · E ·
A1
Z
dA = 2 · E · A1 =
A1
Q1
Q
=
= 2 · ε0 · E ;
A
A1
Q
E=
.
2 · ε0 · A
σ=
Das ist die bereits hergeleitete Gleichung (14.18) (S. 303).
4
[2, S. 560]
314
Q1
.
ε0
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß
Zusatz Beim Plattenkondensator kann man die gleiche Argumentation verwenden mit
dem Unterschied, dass der Fluss durch A1 Null ist. Der Faktor 2 entfällt daher5 . Also
gilt für einen Plattenkondensator:
E=
Q
;
ε0 · A
mit E =
U
Q
A
folgt: C =
= ε0 · .
d
U
d
Das el. Feld innerhalb und außerhalb einer kugelförmigen Ladungsverteilung
Eine Ladung Q sei gleichmäßig in einer Kugel verteilt. Wie sieht das el. Feld innerhalb
und außerhalb dieser Kugel aus? 6 7
1. Das el. Feld einer punktförmigen Ladung Q im Abstand r berechnet sich nach
Gleichung (14.8) (S. 294) zu:
Q
.
4πε0 r2
E=
(15.7)
#»
E
#»
E
A1
r1
r2
b
Q
Q2
M
a
A2
Abbildung 15.7: Zur Berechnung des el. Flusses einer kugelförmigen Ladungsverteilung
2. Nach (15.6) gilt für das Feld außerhalb der Kugel:
I
#» #»
E · dA =
Z
A1
#» #»
E · dA =
Z
A1
E · dA = E ·
Z
A1
dA = E · 4πr12 =
Q
.
ε0
(15.8)
5
[2, S. 561]
Teile des Textes wurden aus [27] übernommen. Der Text lag einschließlich einer Bildgraphik bereits
in LATEX gesetzt vor (Feld_in_einer_Kugel.tex vom 10.06.2005). Ich habe den Quelltext angepasst
und eine neue Vektorgraphik (Abbildung 15.7) mit PSTricks erstellt.
7
[2, S. 561]
6
315
15 Der el. Fluss
E=
Q
.
4πε0 r12
(15.9)
Vergleicht man dies mit (15.7), stellt sich heraus, dass das el. Feld einer gleichmäßig
geladenen Kugel außerhalb dasselbe ist wie bei einer Punktladung.
3. Für das el. Feld innerhalb der Kugel unterscheidet man nun zwei Fälle:
a) Sitzt die Ladung nur auf der Oberfläche der Kugel, so ist die Ladung im
Inneren Null. Der Satz von Gauß ergibt in diesem Fall analog zu (15.8):
I
#» #»
E · d A = E · 4πr22 = 0
=⇒
E = 0.
Das el. Feld innerhalb einer nur auf der Oberfläche geladenen Kugel ist demnach Null. 8
b) Ist die Kugel nun aber homogen geladen, gilt für die Ladung Q2 innerhalb der
(kleineren) Kugeloberfläche A2 (a ist der Radius der Ursprungskugelladung):
Q
Q2
=
V (r2 )
V (a)
Q2 = V (r2 ) ·
=Q·
4
Q
Q
= πr23 · 4 3
V (a)
3
3 πa
r23
a3
(15.10)
Der Satz von Gauß ergibt in diesem Fall analog zu (15.8) mit (15.10):
I
Q2
#» #»
E · d A = E · 4πr22 =
ε0
Q · r23
E · 4πr22 =
ε0 · a3
Q · r2
E=
4πε0 · a3
Das el. Feld an einem Punkt innerhalb einer gleichmäßig geladenen Kugel ist
proportional zum Abstand zwischen dem Punkt und dem Mittelpunkt der
Kugel.
Satz 65. Das el. Feld im Abstand r einer mit der Ladung Q gleichmäßig geladenen
Kugel vom Radius a berechnet sich zu:
E(r) =
8
Q
4πε0
·
1
2,
r
r
,
a3
Vergleiche dazu auch Abschnitt 10.1.4 (S. 242).
316
falls
r≥a
(15.11)
falls
r≤a
15.3 Der el. Fluss; Satz von Gauß
Beispiel Wir skizzieren den Verlauf der el. Feldstärke für eine geladene Kugel mit
5 cm Radius und einer homogenen Ladung von 2 µAs. Die Gleichung lautet:
E(r) =
E(r) =
2 µAs
4π · 8, 854 · 10−12
As
Vm
·
1
r2 ,
r
,
(5 cm)3
falls r ≥ 5 cm
falls r ≤ 5 cm
1
3
18, 0 · 10 Vm · 2 ,
falls r ≥ 5 cm
144 · 106 V · r ,
2
falls r ≤ 5 cm
r
m
E
MV
m
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
r
cm
Abbildung 15.8: Verlauf der el. Feldstärke E(r) im Inneren einer geladenen Kugel vom
Radius a = 5 cm
317
15 Der el. Fluss
15.4 Maxwellsche Gleichungen für das el. Feld
Die bisher gefundenen Eigenschaften des el. Feldes können nach Maxwell9 durch zwei
Gleichungen theoretisch beschrieben werden.
1. Das el. Feld als Kraft auf Ladungen
Im el. Feld ist die Umlaufspannung Null. (Satz 52 (S. 289))
E
I
s
#»
E · d #»
s =0
#»
Das E-Feld ist wirbelfrei. Die Feldlinien haben Anfang und Ende.
2. Das el. Feld entsteht aus Ladungen.
Der Fluss eines el. Feldes durch
eine geschlossene Fläche ist zu
der von der Fläche eingehüllten
el. Ladung proportional und
unabhängig von Fläche und
Feld. (Satz 64 (S. 313))
E
Q
I
A
#»
Das E-Feld ist ein Quellenfeld. Quellen sind die Ladungen.
9
James Clerk Maxwell, 1831–1879, schottischer Physiker
318
#» #» Q
E · dA =
ε0
16 Das mg. Feld
16.1 Elementare Vorbemerkungen
1. Magnete und magnetische Wirkungen waren bereits in der Antike bekannt. So
sprach man von „lithos Magnetes“, dem Stein aus Magnesia. Eine mögliche Deutung ist, dass das Mineral nach Magnesia, einer Landschaft in Thessalien oder der
Stadt Magnesia am Mäander, benannt wurde. Möglich ist auch die Benennung
von Magnetit1 nach anderen griechischen bzw. kleinasiatischen Orten gleichen Namens, in denen schon vor über 2 500 Jahren Eisenerzbrocken mit magnetischen
Eigenschaften gefunden wurden.2
2. Man kennt den Magnetismus z. B. von Stabmagneten. Hält man diesen in Eisenfeilspäne, so stellt man fest, dass die Enden diese Späne besonders stark anziehen.
Daher definiert man zunächst:
• Die Stellen stärkster Kraftwirkung eines Magnets nennt man Pole.
3. Hängt man einen solchen Stabmagnet an einem Faden auf, so stellt er sich immer
in gleicher Weise so ein, dass eine Seite zum geographischen Nordpol – also zu den
Eisbären – zeigt.3 Daher nennt man dieses Ende Nordpol des Magnets.
• Der Pol, der nach N (Eisbär) zeigt, wird mg. Nordpol genannt. Der andere
Pol heißt entsprechend mg. Südpol; er zeigt nach S (Pinguin).
S
N
Abbildung 16.1: Briefmarkenausgabe der Deutschen Post AG 2008 zum Umweltschutz
Bei Magneten, die für Demonstrationsexperimente benutzt werden, färbt man den
1
Magneteisenstein; Ferromagnetismus (ferrum, lat. Eisen); Eisen, Nickel und Cobalt sind ferromagnetische Stoffe.
2
[45]
3
Da für die ausgezeichneten geographischen und magnetischen Stellen der Begriff „Pol“ verwendet wird,
unterscheide ich die mg. Pole von den geographischen dadurch, dass ich den geographischen Nordpol
„Eisbär“ und den geographischen Südpol entsprechend „Pinguin“ nenne.
319
16 Das mg. Feld
mg. Nordpol rot und den mg. Südpol grün. Dies kann man sich leicht merken.4
4. Hat man sich zwei derartige Magnete fertiggestellt, so stellt man sofort fest, dass
für die Kraftwirkung zweier Magnete aufeinander die nachstehende Aussage gilt.
• Es gibt eine anziehende und eine abstoßende Kraftwirkung zweier Magnete
aufeinander: gleichnamige Pole (also N–N oder S–S) üben eine abstoßende
Kraft aufeinander aus, ungleichnamige Pole (S–N) üben eine abstoßende Kraft
aufeinander aus.
5. Man kann nun die zwei Magnete hintereinander und parallel halten. Dann zeigt
man experimentell:
• Zwei ungleichnamige Pole (N–S) schwächen sich in ihrer Kraftwirkung nach
außen ab.
• Zwei gleichnamige Pole (N–N oder S–S) verstärken sich in ihren Kraftwirkung
nach außen.
S
N
S
N
N
S
S
N
Abbildung 16.2: Links: Bringt man die Magneten zusammen, fallen die meisten Münzen
ab. Rechts: Zwei Magnete tragen mehr als einer.
6. Teilt man einen Magnet, so erhält man wieder einen vollständigen Magnet mit
Nord- und Südpol. Dies führt zum Modell des Elementarmagnets (Atom; Abbildung 16.3, S. 321).
• Magnetisch sein bedeutet, die Elementarmagnete sind geordnet, d. h. sie verlaufen im Wesentlichen in gleicher Richtung und Orientierung.
• Unmagnetisch ist ein Körper dann, wenn die Elementarmagnete ungeordnet
sind. (Abbildung 16.4, S. 321)
Im letzteren Fall gibt es zwar noch Bereiche (Weisssche Bezirke5 ), die lokal
magnetisiert sind, aber im Mittel hebt sich die mg. Kraft nach außen hin auf.
7. Verschiedene magnetische Stoffe lassen sich für unterschiedliche Zwecke einsetzen.
4
Man darf in diesem Zusammenhang nicht vergessen, jüngere Schüler darauf hinzuweisen, dass die
Farbgebung keinerlei physikalische Bedeutung hat.
5
Pierre-Ernest Weiss, 1865–1940, elsässischer Physiker
320
16.2 Das mg. Feld von Permanentmagneten
N
S
N
S
···
b
b
b
b
···
b
···
b
b
b
b
b
Abbildung 16.3: Vom Magnet zum Elementarmagnet
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Abbildung 16.4: Nicht magnetisch oder magnetisch ist eine Frage der Ordnung.
• Hartmagnetische Stoffe werden für Permanentmagnete (Dauermagnete) benötigt. Man verwendet Eisen mit Cobalt, Kohlenstoff, Kupfer, Aluminium
und Nickel (AlNiCo-Magnete).
• Weichmagnetische Stoffe werden als Material gewählt, die oft ummagnetisiert
werden müssen (z. B. Trafokerne). Man benutzt Eisen oder Eisen mit Nickel
(50 %).
• Nichtmagnetische Stoffe benötigt man für Uhren oder U-Boote. Man verwendet dafür Eisen-Mangan-Legierungen.
8. Weichmagnetische Stoffe (Nägel, Nadeln) sind in der Regel nicht magnetisch, werden aber von Permanentmagneten angezogen. Grund dafür ist die sogenannte mg.
Influenz.6
• Unter mg. Influenz versteht man das vorübergehende Ausrichten der Elementarmagnete in weichmagnetischen Stoffen.
16.2 Das mg. Feld von Permanentmagneten
16.2.1 Mg. Felder im leeren Raum
Experiment Stellt man eine Magnetnadel unter eine Glasglocke, die anschließend mit
einer Pumpe evakuiert wird, so erkennt man, dass mg. Kräfte auch ohne Anwesenheit
6
Vergleiche dazu Abschnitt 9.3 zu Eigenschaften der el. Ladung (S. 228) und el. Influenz (S. 230).
321
16 Das mg. Feld
von Materie wirken können. Mit einem Permanentmagnet kann man außerhalb der Glasglocke in die Nähe der Magnetnadel kommen, die dann die mg. Kraft auch im leeren
Raum nachweist.
Wie bereits im el. Feld7 sprechen wir hier vom mg. Feld als der Kraftwirkung im Außenraum eines Magnets. Aktuell erfolgt der Nachweis mit einer Magnetnadel.
16.2.2 Mg. Feldlinienbilder
Für mg. Feldlinienbilder gilt in bekannter Weise wie bereits in Satz 43 (S. 240) formuliert:
Satz 66. Mg. Feldlinien informieren durch ihren Verlauf über
1. die Richtung der Kraftwirkung auf eine Magnetnadel durch die Tangente an
die Feldlinie (im betreffenden Raumpunkt);
2. die Größe der Kraftwirkung (den Betrag der Kraft) durch die Dichte der Feldlinien (bezogen auf benachbarte Bereiche);
3. die Orientierung des Feldes durch die Wahl der Kraftwirkung auf den Nordpol
einer Magnetnadel: mg. Feldlinien verlaufen außerhalb des Permanentmagnets vom
Nordpol (N) zum Südpol (S).
N
N
S
S
Abbildung 16.5: Feld eines Stabmagnets und das homogene Feld eines Hufeisenmagnets
Betrachtet man den Verlauf der mg. Feldlinien genauer, so kann man einen wesentlichen
Unterschied zu den el. Feldlinien feststellen (Abbildung 16.6, S. 323):
Satz 67. Mg. Feldlinien sind geschlossen.
Das scheint in den Bildern von Abbildung 16.5 nicht so auszusehen. Betrachtet man
den Verlauf aber in Abbildung 16.6 genauer unter Verwendung der Vorstellung von
Elementarmagneten, so zeigt sich die Gültigkeit dieser Aussage.
7
Siehe dazu Abschnitt 10.1 (S. 239).
322
16.2 Das mg. Feld von Permanentmagneten
Da also mg. Feldlinien keinen Anfang und kein Ende besitzen, gibt es auch keine mg.
Einzelpole (Monopole) wie bei den el. Ladungen.
b
b
b
N
b
b
S
Abbildung 16.6: Mg. Feldlinien verlaufen von N nach S gemäß Definition der Orientierung. Innerhalb des Magneten verlaufen sie von S nach N. Mg. Feldlinien
sind immer geschlossen (Satz 67, S. 322).
16.2.3 Ergänzung: Die Erde als Magnet
Eine Magnetnadel funktioniert nur deshalb, weil die Erde selbst ein Magnet ist (Abbildung 16.7). Wegen der Definition „Nordpol des Magnets“ über die Richtung zum
geographischen Nordpol (Eisbär) muss sich der magnetische Nordpol des Magnets Erde
bei den Pinguinen befinden und der magnetische Südpol des Magnets Erde bei den Eisbären. Die Lage der Magnetpole der Erde ist zeitlich auch nicht konstant. Daher ist es
notwendig, den Deklinationswinkel δ zu kennen, der die Missweisung zwischen der geographischen Nordrichtung und der magnetischen Anzeige der Nordrichtung (zum mg.
Südpol . . . ) angibt und vom Beobachtungsort abhängt.
N (geogr.; Eisbär)
δ
b
b
S (Südpol des Magnets Erde)
P (Position des Beobachters)
b
b
N (Nordpol des Magnets Erde)
b
S (geogr.; Pinguin)
Abbildung 16.7: Zum Begriff Deklinationswinkel
Daneben betrachten wir noch den Inklinationswinkel ι.
8
8
Das ist der Winkel unter dem
ι Iota (ιωτ α), griechischer Buchstabe
323
16 Das mg. Feld
eine mg. Feldlinie am Ort eines Beobachters in N–S-Richtung von der Horizontalen
abweicht. Man misst das z. B. mit einer in einer Halterung drehbaren Magnetnadel,
die man in N–S-Richtung ausrichtet und in dieser Stellung dann um 90◦ dreht. Die
Magnetnadel zeigt dann nicht parallel zum Erdboden, sondern längs des Verlaufs der
mg. Feldlinie, die unter dem Inklinationswinkel von Horizontalen der abweicht.
N
b
S
ι
Abbildung 16.8: Zum Begriff Inklinationswinkel
324
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.1 Ørsteds Versuch (1820)
Experiment Mit einer Magnetnadel lässt sich das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters nachweisen.1 Man spannt einen Draht in N–S-Richtung zwischen zwei Stützen geradlinig aus und stellt eine Magnetnadel darunter, die dann parallel zum Draht
ausgerichtet ist. Schaltet man eine Stromquelle an, so richtet sich die Nadel nahezu quer
zum Draht aus. Man weist also auf diese Weise ein mg. Feld nach, welches sich hier mit
dem mg. Feld der Erde vektoriell überlagert.
Die Orientierung hängt von der Stromrichtung ab. Die Position der Magnetnadel (oberhalb oder unterhalb des Drahtes) ändert ebenfalls die Orientierung der Nadel, was aber
auf die spezielle Form des mg. Feldes zurückzuführen ist (siehe Abbildung 17.1).
Schließlich lässt sich qualitativ zeigen, dass die Stärke des Feldes sowohl vom Abstand
vom Draht als auch von der Stromstärke abhängt. Die Stärke des Feldes kann an der
Schwingungsdauer Schwingungsdauer der Magnetnadel erkannt werden. Das Ergebnis
lautet:
Satz 68. Fließende el. Ladung erzeugt ein mg. Feld.
Ruhende Ladungen besitzen zwar ein el. Feld. aber kein mg. Feld.
I
−
+
Abbildung 17.1: Das mg. Feld eines geraden Drahtes
1
Hans Christian Ørsted ["œrsdED], 1777–1851, dänischer Physiker und Chemiker, entdeckte zufällig
den Zusammenhang zwischen el. Strom und Magnetismus.
325
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Abbildung 17.1 zeigt Form und Orientierung der mg. Feldlinien eines geraden Drahtes.
Im gezeichneten Querschnitt senkrecht zum Draht sind die Feldlinien konzentrische Kreise mit dem Leiter als Mittelpunkt. Die Dichte der Feldlinien nimmt nach außen hin ab,
da das mg. Feld mit wachsendem Abstand von der Drahtmitte schwächer wird. Je größer
der Strom I, desto stärker ist auch das mg. Feld. Die Orientierung der mg. Feldlinien
wird wie folgt festgelegt:
Def. 44. Rechte-Faust-Regel Zeigt der Daumen gemäß der technischen Stromrichtung2 von + nach −, so geben die (leicht gekrümmten) Finger der rechten Hand die
Orientierung der mg. Feldlinien bei einem geraden Draht an.
Schaut man in Richtung des fließenden Stromes I, so verlaufen die kreisförmigen Feldlinien im Uhrzeigersinn (Rechtssystem).
17.2 Folgerungen: Maxwellsche Gleichungen für das mg. Feld
17.2.1 Das Oberflächenintegral im mg. Feld
Auch hier zeigt sich wieder, dass mg. Feldlinien geschlossen sind. Führt man daher zur
#»
Beschreibung des mg. Feldes die physikalische Größe B ein3 , die im Prinzip die analoge
#»
Bedeutung für das mg. Feld hat wie die el. Feldstärke E, dann bedeuten geschlossene mg.
Feldlinien, dass der mg. Fluss durch eine geschlossene Fläche immer Null sein muss. Alle
Feldlinien, die in die Fläche eintreten, müssen danach danach wieder aus ihr austreten
(Abbildung 17.2).4
B
A
Abbildung 17.2: Geschlossene mg. Feldlinien und geschlossene Flächen
2
Zur Definition der technischen Stromrichtung siehe Definition 29 (S. 231)
#»
Man muss hier auf die Bezeichnung „mg. Feldstärke“ verzichten, denn B heißt „mg. Flussdichte“ und
#»
nicht „mg. Feldstärke“. Diese wird mit H bezeichnet. Um begrifflichen Problemen aus dem Wege zu
#»
#»
gehen, spreche ich im Folgenden von mg. Feld B bzw. mg. Feld H.
4
Zeichnungen für das el. Feld siehe Abschnitt 15.4 (S. 318).
3
326
17.2 Folgerungen: Maxwellsche Gleichungen für das mg. Feld
#»
Im E-Feld war er el. Fluss gerade nicht Null, da die Ladungen als Quellen des Feldes
angesehen werden konnten. Folglich gilt
Satz 69. Das mg. Feld ist quellenfrei. Die Feldlinien sind geschlossen
I
#» #»
B · dA = 0
(17.1)
17.2.2 Das Linienintegral im mg. Feld
Darüber hinaus muss das Wegintegral, wenn der geschlossene Weg den Strom umrandet,
im Gegensatz zum el. Feld von Null verschieden sein. Man kennt das Phänomen aus der
Badewanne, wenn sich am Abfluss ein Wirbel bildet und sich ein Stück Kork im Kreis
bewegt. Die Energie dazu stammt im Wesentlichen aus dem Gravitationsfeld. Hier im
#»
B-Feld stammt die Energie aus dem fließenden Strom (elektromotorisches Prinzip).
B
I = Q = konst
s
Abbildung 17.3: Ein geschlossener Weg, der den Strom umrandet.
Man muss jetzt noch klären, welchen Wert das Integral tatsächlich hat. Aus Vereinfachungsgründen setzen wir an, dass der Wert des Integrals der Stromstärke des gesamten
vom Weg umschlossenen Stromes proportional ist – vergleichbar mit der Tatsache, dass
#»
der el. Fluss im E-Feld proportional zur eingeschlossenen Ladung ist. Als Proportionalitätsfaktor setzen wir eine Konstante an, die wir „mg. Feldkonstante“ µ0 nennen. Daher
gilt als physikalische Aussage der
Satz 70. Das mg. Feld ist ein Wirbelfeld. Wirbel sind die Ströme.
I
#»
B · d #»
s = µ0 · I
(17.2)
Den physikalischen Ansatz werden wir mit geeigneten Versuchen quantitativ nachweisen.
#»
So kann man das B-Feld eines geraden Drahtes und anderer Anordnungen mit (17.2)
ermitteln und dann experimentell überprüfen.5
5
Die zugehörigen Experimente findet man in den Abschnitten 17.6.1, 17.7 und 20.6.
327
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
#»
Weder aus (17.1) noch aus (17.2) kann man die Einheit von B ermitteln. Daher ist es
auch an dieser Stelle nicht möglich, eine Einheit von µ0 anzugeben. Allerdings zeigen
die Maxwellschen Gleichungen für den zeitlich konstanten Fall in der Formulierung als
Weg- und Oberflächenintegrale m. E. eine beeindruckende Symmetrie.
17.3 Zusammenfassung: Maxwellsche Gleichungen
I
#»
E · d #»
s =0
#»
Das E-Feld ist wirbelfrei.
Die Feldlinien haben Anfang und Ende.
Satz 52, Seite 289
I
#» #» Q
E · dA =
ε0
#»
Das E-Feld ist ein Quellenfeld.
Quellen sind die Ladungen.
Satz 64, Seite 313
I
#»
B · d #»
s = µ0 · I
Das mg. Feld ist ein Wirbelfeld.
Wirbel sind die Ströme.
Satz 70, Seite 327
I
#» #»
B · dA = 0
Das mg. Feld ist quellenfrei.
Die Feldlinien sind geschlossen.
Satz 69, Seite 327
Tabelle 17.1: Die Maxwellschen Gleichungen für zeitlich konstante el. und mg. Felder.
Zeichnungen für das el. Feld siehe Abschnitt 15.4 (S. 318).
17.4 Mg. Feldlinienbilder stromdurchflossener Leiter
In diesem Abschnitt wollen wir einige spezielle Formen mg. Felder kennenlernen, die für
experimentelle Untersuchungen und Anwendungen von Bedeutung sind.
17.4.1 Das mg. Feld einer Leiterschleife
Wir beginnen mit dem mg. Feld einer Leiterschleife. Das mg. Feld eines geraden Drahtes
kann man nicht sinnvoll verwenden, weil das Feld in dieser Form nicht einfach verstärkt
werden kann. Die einzige Möglichkeit ist, die Stromstärke zu erhöhen. Wenn man aber
als Form eine Leiterschleife wählt, verlaufen alle mg. Feldlinien innerhalb der Schleife in
der gleichen Orientierung. Das Feld verstärkt sich also in sich. Dies erkennt man in der
Abbildung 17.4.
Die Feldlinienbilder werden in Experimenten mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht. Ich
328
17.4 Mg. Feldlinienbilder stromdurchflossener Leiter
habe davon keine Fotos. Daher habe ich den Quelltext zur Berechnung mit „PSTricks“
aus [13] bzw. [38, S. 781–784] entnommen. Dies betrifft die Abb. 17.4 , 17.5 und 17.6.
Abbildung 17.4: Das mg. Feld einer Leiterschleife; alle Feldlinien, die durch den Strom
hervorgerufen werden, verlaufen innerhalb der Leiterschleife in der gleichen Orientierung.
17.4.2 Das mg. Feld einer Spule
Wählt man nun statt nur einer Windung z. B. 5 Windungen wie in Abbildung 17.5, so
erhält man eine Spule. Man erkennt eine weitere Verstärkung des mg. Feldes innerhalb
der Spule.
Abbildung 17.5: Das mg. Feld einer Spule mit 5 Windungen
Bei einer weiteren Vergrößerung der Windungszahl nähert sich das mg. Feld im Inneren
329
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
der Spule immer mehr an ein homogenes Feld an. Darüber hinaus wird das Feld im
Inneren weiter verstärkt, während es im Außenraum neben der Spule schwächer wird.
Dies kann man in Abbildung 17.6 schon gut erkennen.
7
6
5
4
3
2
1
N
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
S
1
2
3
4
5
6
Abbildung 17.6: Das mg. Feld einer langen Spule mit 8 Windungen
Das Feldlinienbild erinnert stark an das eines Stabmagnets (Abbildung 16.5, S. 322).
Man kann in einem Experiment mit einer Magnetnadel nachweisen, dass Nord- und
Südpol der Spule in Abbildung 17.6 tatsächlich an den Stellen vorliegen, die mit N bzw.
S gekennzeichnet sind. Man beachte, dass gemäß Definition die mg. Feldlinien von N
nach S außerhalb des Magnets verlaufen. Betrachte dazu die Abbildung 16.6 (S. 323)
und Satz 66 (S. 322).
17.4.3 Stromdurchflossener Leiter im homogenen Magnetfeld
Experiment Man stellt einen Hufeisenmagnet (Abbildung 16.5, S. 322) auf. Nun hängt
man eine kurze Metallstange an zwei Zuleitungen so hinein, dass die Stange in der Mitte
des Hufeisenmagnets hängt.6 Aufhängung und el. Stromversorgung erfolgen über eine
Haltestange mit Isolierbuchsen.
Das Magnetfeld sollte von oben nach unten und die Metallstange darin von vorne nach
hinten zeigen. Schaltet man eine Gleichstromquelle kurz (durch Antippen an einen Kontakt) ein, so beobachtet man einen Ausschlag der Metallstange aus dem Magnet heraus
(oder hinein). Diese Richtungen mögen mit rechts (oder links) bezeichnet sein.
Wechselt man die Orientierung des mg. Feldes (N, S vertauschen, „umpolen“) oder des
Stromes (+, − vertauschen, umpolen), so wechselt auch die Orientierung der Kraft auf
die Stange (links, rechts wird vertauscht).
Durch Richtungsänderung des mg. Feldes (Drehen des Magnets) lässt sich vermuten, dass
6
[21] Gerätebeschreibung 560 15, Elektromagnetisches Versuchsgerät
330
17.4 Mg. Feldlinienbilder stromdurchflossener Leiter
die Kraft senkrecht zum mg. Feld und senkrecht zum el. Strom verläuft. Wir nennen sie
Lorentzkraft7 .
Damit formulieren wir den
Satz 71. UVW-Regel I Ein stromdurchflossener Leiter erfährt in einem fremden
Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zum Magnetfeld wirkt.
#» #» #»
( I , B, F ) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.8
Die letzte Aussage bedeutet anschaulich: Ordnet man Daumen (D), Zeigefinger (Z) und
Mittelfinger (M) der rechten Hand paarweise senkrecht an, so bilden die drei Finger
(D,Z,M) in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Dann kann man folgende Zuordnung
angeben:
Daumen
D
Ursache
U
el. Strom
Zeigefinger
Z
Vermittlung
V
mg. Feld
Mittelfinger
M
Wirkung
W
Kraft
#»
I
#»
B
#»
F
ob
hi
N
li
U, vo
#»
F
#»
I
#»
B
W, re
b
#»
F
S
V, un
Abbildung 17.7: Links: UVW-Regel und Rechtssystem; rechts: Modell zur Erklärung der
Entstehung der Lorentzkraft.
In Abbildung 17.7 sind rechts das Feldlinienbild des Magnets und des stromdurchflossenen Leiters einzeln eingezeichnet. Die Lorentzkraft auf den Draht wirkt nach rechts.
Dies kann man anschaulich mit der Orientierung der Feldlinien zueinander verstehen.
Links von Draht verlaufen alle Feldlinien gleichsinnig. Beide Felder wirken gemeinsam,
das mg. Feld wird daher auf dieser Seite verstärkt. Rechts vom Draht verlaufen die
Feldlinien entgegengesetzt orientiert. Dort wird das Feld insgesamt geschwächt. Auf den
Draht wirkt so eine Kraft, die den Draht nach rechts bewegt.
7
8
Hendrik Antoon Lorentz, 1853–1928, niederländischer Mathematiker und Physiker.
#»
#»
Über den Betrag der Lorentzkraft in Abhängigkeit vom mg. Feld B und von der Stromstärke I wird
ein Experiment Auskunft geben. Siehe dazu Abschnitt 17.5.1 (S. 333).
331
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.4.4 Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter
Zum Abschluss betrachten wir das Zusammenwirken der mg. Felder von zwei stromdurchflossenen geraden Drähten.
Experiment Man spannt mit dem elektromagnetisches Versuchsgerät9 zwei Drähte in
kleinem Abstand voneinander parallel aus und beobachtet ihr Verhalten, wenn sie einmal gleichsinnig (Parallelschaltung) und einmal ungleichsinnig (Reihenschaltung) vom
Strom durchflossen werden. Ich habe dazu die zwei vorhandenen Leiterschaukeln (Metallstangen mit Zuleitungen aus dem elmg. Versuchsgerät) mit ihren Metallstäben nahe
zusammengebracht.
Man stellt im ersten Fall eine anziehende und im zweiten Fall eine abstoßende Kraftwirkung fest.
Satz 72. Gleichsinnig stromdurchflossenen Leiter ziehen sich an, ungleichsinnig stromdurchflossene Leiter stoßen sich ab.10
b
Abbildung 17.8: Feldlinienbilder zu Satz 72; Bilder mit Eisenfeilspänen siehe [20, S. 100].
Wie in den Erläuterungen auf Seite 331 zu Abbildung 17.7 kann man hier erkennen, dass
die Feldlinien links entgegengesetzt orientiert sind und sich daher das Feld schwächt. Auf
der rechten Seite verlaufen die Feldlinien zwischen den Drähten gleichsinnig. Das mg.
Feld verstärkt sich, und die beiden Drähte stoßen sich ab.
Zur Konstruktion der Feldlinien möchte ich ergänzen, dass es sich links um Cassinische
Kurven11 12 und rechts um Kreise handelt. Eine Berechnung dazu findet sich in [23]. Ich
habe die dort angegeben Funktionen mit PSTricks [38] erstellt.
9
[21] Gerätebeschreibung 560 15
Vergleiche das Verhalten mit der Anziehungskraft zweier gleichnamiger bzw. ungleichnamiger el. Ladungen aufeinander in Abschnitt 9.3 (S. 228).
11
Giovanni Domenico Cassini, 1625–1712, italienisch/französischer Astronom und Mathematiker
12
Die Cassinischen Kurven werden definiert als geometrischer Ort aller Punkte, für die das Produkt der
Abstände von zwei festen Punkten konstant ist [12].
10
332
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
Im Folgenden sollen Experimente durchgeführt werden, die eine Definition der mg. Feld#»
größe B nahelegen. Um an das Konzept des Feldes als „Kraft auf felderzeugendes Element“ anzuknüpfen – vergleiche die Definitionen 30 und 31 (S. 239) – soll ein mg.
Feld durch stromdurchflossene Spulen erzeugt werden. Dieses Feld wird dann mit einem stromdurchflossenen Draht als Probekörper ausgemessen. Man bestimmt also die
Lorentzkraft, die auf den Draht wirkt.
17.5.1 Experiment mit der Stromwaage nach Langensiepen
Für die Messung stand mir eine Stromwaage nach Langensiepen zur Verfügung, die seinerzeit von der Firma Kröncke13 vertrieben wurde. Prinzipiell erfolgt der Versuchsaufbau
in gleicher Weise wie in Abbildung 14.12 (S. 304). Statt des Kondensators wird hier eine
felderzeugende Spulenanordnung verwendet. Zum Messen der Kraft benutzt man einen
stromdurchflossenen Draht, der in das mg. Feld eintaucht. Man lässt den Strom derart
durch den Draht fließen, dass die Leiterschleife nach unten gezogen wird. Die Gleichgewichtsposition wird dann durch die Kraft eines Federkraftmessers wiederhergestellt.
#»
I
#»
F2
#»
B
hi
ℓ
#»
F1
vo
#»
F
~ die Kräfte F1 und F2 in den ZuleiAbbildung 17.9: Zur Bestimmung des mg. Feldes B;
tungen wirken sich in der Versuchsanordnung nicht aus.
13
Aktuell zugänglich ist eine Abbildung des Gerätesatzes noch in [22]. In der Originalanleitung von
Kröncke wird allerdings ein Satz von 4 Spulen auf zwei Eisenkernen als auszumessendes mg. Feld
vorgeschlagen, was sich auch mit Leybold-Spulen realisieren lässt.
333
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
1. Messreihe
Bei konstantem Strom zur Erzeugung des mg. Feldes von 2 A verändern wir die
Stromstärke im Leiter, der sich im mg. Feld befindet (Probeleiter). Er hat eine
Länge von ` = 5 cm. Messdaten (10.06.2011):
I
A
F
mN
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
1,5
7,5
14,0
21,0
24,0
30,0
F
mN
30
bc
25
bc
bc
20
15
bc
10
bc
5
bc
0
0
1
2
3
4
5
I
A
Abbildung 17.10: Graphische Darstellung Messreihe F (I); ` = 5 cm
Die Kraft, die eine stromdurchflossener Draht im mg. Feld erfährt, hängt von der
Stromstärke ab.
Trägt man die Messdaten wie in Abbildung 17.10 auf, so erkennt man, dass gilt:
F ∼I.
(17.3)
Der Achsenabschnitt ist zwar nicht Null. Letztendlich bedeutet er aber nur eine
Nullpunktverschiebung, denn für I = 0 sollte F = 0 sein. Es ist aber nicht erforderlich, den Nullpunktschieber des Kraftmessers auf Null zu justieren, denn diese
Verschiebung ist bei jedem Messwert innerhalb derselben Messreihe gleich. Man
könnte genauso gut jeden einzelnen Messwert um diesen Wert bereinigen.
Da wir noch weitere Messreihen durchführen (s. u.) ist dies Vorgehen notwendig,
um diese untereinander zu vergleichen.
334
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 991):
y = 5, 686 · x + 2, 119 ;
F
I
= 5, 686 · + 2, 119 ;
mN
A
F = 5, 686 mNA · I + 2, 119 mN .
2. Wir führen die Messungen nun mit 2 weiteren Drähten wie in Abbildung 17.9
(S. 333) durch. Diese haben allerdings jetzt Längen von 7, 5 cm und 10 cm. Das
auszumessende mg. Feld der Spulen bleibt in jedem Fall unverändert und wird
weiterhin mit 2 A erzeugt.
a) ` = 7, 5 cm. Messdaten (10.06.2011):
I
A
F
mN
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
8
18
25
34
43
50
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 998):
y = 8, 400 · x + 8, 667 ;
F
I
= 8, 400 · + 8, 667 ;
mN
A
F = 8, 400 mNA · I + 8, 667 mN .
b) ` = 10 cm. Messdaten (10.06.2011):
I
A
F
mN
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
3
14,5
25
37
49
60
Lineare Regression ergibt (R2 = 1, 000):
y = 11, 443 · x + 2, 810 ;
F
I
= 11, 443 · + 2, 810 ;
mN
A
F = 11, 443 mNA · I + 2, 810 mN .
c) Wie wollen die Messdaten der drei Messungen in einer graphischen Darstellung zusammenstellen. Dazu werden die Messdaten um die unterschiedlichen
Werte des Nullpunkts bereinigt. Es ergibt sich die Tabelle mit nachstehenden
Daten:
335
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
`
cm
5
7,5
10
F
mN
I
A
0,0
−0,62
−0,67
0, 19
1,0
5,38
9,33
11,7
2,0
11,9
16,3
22,2
3,0
18,9
25,3
34,2
4,0
21,9
34,3
46,2
5,0
27,9
41,3
57,2
F
mN
ℓ = 10 cm
bc
ℓ = 7, 5 cm
50
bc
bc
40
bc
bc
ℓ = 5 cm
30
bc
bc
bc
bc
20
bc
bc
bc
bc
10
bc
bc
0
bc
bc
0
1
2
3
4
5
I
A
Abbildung 17.11: Graphische Darstellung F (I) für unterschiedliche Drahtlängen `
In der Abbildung 17.11 sind nun die bereinigten Daten aller drei Messreihen zusammen
eingetragen. Man erkennt, dass die Beziehung (17.3) (S. 334) hier in jedem Fall in gleicher
Weise erfüllt ist, aber ebenfalls, dass die Kraft auch von der Länge des Leiters im mg. Feld
336
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
abhängt. Man sieht, dass ein längerer Leiter eine größere Kraft im mg. Feld der Feldspule
erfährt. Um einen Einblick in die Zusammenhänge mit der Leiterlänge klarzumachen,
stellen wir für die drei Längen für I = 1 A = konst die Kraft F aus den Regressionsdaten
in Abhängigkeit von der Leiterlänge ` dar.
`
cm
F
mN
5,0
7,5
10,0
5,69
8,40
11,4
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 999):
y = 1, 142 · x − 0, 0683 ;
F
`
= 1, 142 ·
− 0, 0683 ;
mN
cm
mN
F = 1, 142
· ` − 0, 0683 mN .
cm
F
mN
(17.4)
bc
10
bc
8
6
bc
4
2
0
0
2
4
6
8
10
ℓ
cm
Abbildung 17.12: Graphische Darstellung F (`) für I = 1 A
337
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Der y-Achsenabschnitt ist im Rahmen der Messgenauigkeit Null, so dass wir schreiben
können:
F ∼ `.
(17.5)
Zusammen mit (17.3) gilt dann:
F ∼I
also
und
F ∼ `,
F ∼ I · `;
F = konst · I · ` .
Die Konstante kann als Größe zum Messen des mg. Feldes benutzt werden und wird als
mg. Flussdichte14 (mg. Feld B) bezeichnet.
17.5.2 Das mg. Feld (mg. Flussdichte) und die Lorentzkraft
#»
Def. 45. Das mg. Feld B; die mg. Flussdichte
B=
F
I ·`
Einheit:
[B] =
N def
=T
Am
(17.6)
Die Einheit T (lies: Tesla) ist nach dem kroatischen Physiker Nikola Tesla, 1856–1943
benannt.15
Beispiel
Mithin wäre das Ergebnis der Messung gemäß (17.4) im letzten Abschnitt:
B=
F
F 1
mN 1
N
=
· = 1, 142
·
= 114 · 10−3
= 114 mT .
I ·`
` I
cm 1 A
Am
Satz 73. Die Lorentzkraft auf einen vom Strom I durchflossenen Leiter der Länge `
berechnet sich zu:
FL = ` · I · B
(17.7)
#»
#»
#»
Für die Richtung und Orientierung von FL in Bezug zu den Richtungen von I und B
gilt Satz 71 (UVW-Regel I, S. 331).
#»
Wir sollten uns nun überlegen, wie man das B-Feld bzw. die Lorentzkraft berechnet, wenn der Draht nicht senkrecht zum mg. Feld verläuft. Dazu betrachten wir die
Abbildung 17.13 (S. 339).
#»
Die Länge ` ist wegen des schrägen Verlaufs in Bezug zu B größer als bei senkrechtem
Verlauf. Es wirkt sich aber nicht die ganze Länge in der Lorentzkraft aus, sondern nur
der senkrechte Anteil `⊥ .
14
Die Verwendung der Begriffe „mg. Flussdichte“ und „mg. Feld B“ wurde von mir im Abschnitt 17.2.1
(S. 326) erläutert.
F
N
15
Man beachte die (betragliche – nicht vektorielle) Analogie zum el. Feld: E =
und [E] =
. Die
q
As
Probeladung q ist ein Skalar, aber I · ` besitzt vektoriellen Charakter.
338
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
#»
I
ℓ⊥
hi
ℓ
α
#»
B
vo
#»
F
Abbildung 17.13: Lorentzkraft bei nicht senkrechtem Verlauf von B-Feld und Leiter
#»
#»
Wenn wir mit α den Winkel zwischen B und der durch I vorgegeben Richtung des
Stromes durch den Leiter bezeichnen, also
#» #»
α = I ;B ,
dann folgt mit sin α =
`⊥
:
`
FL = `⊥ · I · B
= (` · sin α) · I · B
= ` · I · B · sin α .
Die letzte Gleichung stellt also den Betrag der auf den Draht wirkenden Lorentzkraft
dar. Die in der UVW-Regel I (Satz 71, S. 331) beschriebene Richtung und Orientierung
#» #»
#»
der drei Größen I , B und F lässt sich mit Hilfe des Vektorprodukts zweier Vektoren
effektiv ausdrücken:
#»
#»
Satz 74. Die Lorentzkraft auf einen im mg. Feld B vom Strom I durchflossenen
Leiter der Länge ` berechnet sich zu:
#»
#» #»
FL = ` · I × B
(17.8)
339
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Das bedeutet:
1. FL
#»
2. I ,
#»
3. I ,
#» #»
= ` · I · B · sin I ; B ;
#»
#»
#» #» #» #»
#» #»
B und F stehen paarweise senkrecht aufeinander: I ⊥B, I ⊥F und F ⊥B;
#»
#»
B und F bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (UVW-Regel I).
Experiment Es sollte natürlich für die allgemeine Gleichung der Lorentzkraft ein
Experiment durchgeführt werden. Die mir zur Verfügung stehende Stromwaage hat in
diesem Zusammenhang auch einen speziellen Leiter (Abbildung 17.14). Dieser verläuft
allerdings an jeder Stelle genau senkrecht zum mg. Feld. Seine Länge ist aber innerhalb
des mg. Feld größer, da er dort schräg verläuft. Der Draht erfährt eine Lorentzkraft
#»
F L senkrecht zum mg. Feld und senkrecht zur Stromrichtung. Diese kann man aber
nur anteilig messen, was am Messverfahren liegt. Das Messergebnis unterscheidet sich
praktisch nicht vom Draht mit ` = 5 cm Länge16 , denn genau so lang ist die Projektion
`0 in diesem Fall.
#»
I
b
b
b
b
b
#»
B
ℓ0 = 5 cm
β
β
ℓ
#»
FL
#»
F (messbar)
~ steht senkrecht auf der Drahtebene.
Abbildung 17.14: Schräge Drahtanordnung; B
Für den Betrag der Lorentzkraft gilt:
#» #»
FL = ` · I · B · sin I ; B
= ` · I · B · sin 90◦
=`·I ·B.
#»
Wir messen aber F . Dafür gilt:
cos β =
16
Siehe Abbildung 17.10 (S. 334).
340
F
`0
=
;
FL
`
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
`0
`0
=`·I ·B·
`
`
= `0 · I · B .
F = FL ·
Dies ist aber genau die Lorentzkraft, die im Experiment auf Seite 334 gemessen wurde.
Als Messdaten habe ich unter den gleichen Bedingungen wie oben (10.06.2011) erhalten:
I
A
F
mN
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
2,0
9,0
14,0
18,5
26,0
32,0
F
mN
bc
30
bc
25
20
bc
15
bc
10
bc
5
bc
0
0
1
2
3
4
5
I
A
Abbildung 17.15: Graphische Darstellung Messreihe F (I); `0 = 5 cm
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 995):
y = 5, 871 · x + 2, 238 ;
F
I
= 5, 871 · + 2, 238 ;
mN
A
mN
· I + 2, 238 mN .
F = 5, 871
A
Für das mg. Feld hat man dann (statt B = 114 mT wie oben für ` = 5 cm):
B=
F
F 1
mN
1
N
=
· = 5, 871
·
= 117 · 10−3
= 117 mT .
I ·`
I `
A 5 cm
Am
341
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.5.3 Eine andere Darstellung der Lorentzkraft
A
q
#»
v
In einem Leiter befinden sich Ladungen, die sich gleichförmig mit
der Geschwindigkeit #»
v bewegen.
A sei die Querschnittsfläche des
Leiters.
ℓ
Betrachten wir einen Leiterabschnitt der Länge `, so gilt17
v=
`
,
t
wobei t die Zeit ist, die benötigt wird, damit alle Ladungsträger aus dem Volumen A · `
Q
durch die Fläche A treten. Dann gilt wegen I = :
t
`·I =`·
Q
Q
=v·t·
= Q·v.
t
t
Aus (17.8) (S. 339) erhält man daher den
#»
Satz 75. Die Lorentzkraft auf eine Ladung Q, die sich im mg. Feld B mit der Geschwindigkeit #»
v bewegt, berechnet sich zu:
#»
#»
F L = Q · #»
v ×B
(17.9)
Das bedeutet:
#»
1. FL = Q · v · B · sin #»
v;B ;
#»
#»
#»
#»
#» #»
2. #»
v , B und F stehen paarweise senkrecht aufeinander: #»
v ⊥B, #»
v ⊥F und F ⊥B;
#»
#»
3. Q · #»
v , B und F bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (UVW-Regel I).
Anmerkung Die Gleichung (17.9) gilt nicht nur für positive Ladungen. Betrachtet
man z. B. Elektronen mit der Ladung Q = −e = −1, 6 · 10−19 As, so gilt die UVW-Regel
I (rechte Hand) in gleicher Weise weiter. Man muss nur daran denken, den Vektor −e · #»
v
#»
als Ursache (U) anzusetzen. Daher ist es erforderlich, in Punkt 3 den Vektor Q · v für
das Rechtssystem anzusetzen.
In den meisten (Schul- bzw.) Lehrbüchern wird für diesen Fall eine Linke-Hand-Regel
formuliert. Ich halte das in Bezug zum Vektorprodukt in (17.9) für nicht konsequent.
17
Auf eine Betrachtung mit Differentialen sei hier verzichtet, da die Grundidee der Herleitung davon nicht
berührt wird. Das Ergebnis genügt, um die zweite Version der Lorentzkraft sinnvoll formulieren zu
können.
342
17.5 Definition einer Feldgröße für das mg. Feld
17.5.4 Beispiele
1. Ein Leiter der Länge 4 cm wird vom Strom 10 A durchflossen. Er erfährt eine Kraft
von 0, 20 N, wenn er senkrecht zu den Feldlinien eines B-Feldes steht.18
Damit lässt sich B bestimmen:
B=
F
0, 20 N
N
=
= 0, 5
= 500 mT .
I ·`
10 A · 4 cm
Am
2. In Brasilia verläuft das mg. Feld der Erde in S–N-Richtung mit B = 14, 2 µT. In
der Oberleitung einer Bahnstrecke fließen die Elektronen in O–W-Richtung. Die
Stromstärke beträgt I = 4, 4 kA. Berechne Betrag, Richtung und Orientierung der
Kraft, die auf die Leitung zwischen zwei Masten im Abstand 65 m wirkt.19
a) Betrag:
F = ` · I · B = 65 m · 4, 4 kA · 14, 2 µT = 4, 06 N .
b) Richtung und Orientierung:
S (mg.), Eisbär
unten
West
#»
I
oben
#»
F
Ost
#»
B
N (mg.), Pinguin
#»
B zeigt außerhalb eines Magnets
vom mg. N nach mg. S, also von
Pinguin nach Eisbär (vergleiche Abschnitt 16.2.3 (S. 323).
Die Elektronen bewegen sich gegen
die technische Stromrichtung (siehe
Definition 29 (S. 231). Also verläuft
#»
I von West nach Ost.
Damit ergibt sich nach der UVWRegel I, dass die Kraft von unten
nach oben wirkt.
3. Ein Körper mit der Ladung Q = 200 pAs bewegt sich in einem waagerecht nach
Süden gerichteten Magnetfeld der Stärke B = 50 mT mit der Geschwindigkeit
v = 3 km
s in Richtung Westen. Gesucht sind Betrag, Richtung und Orientierung
der Kraft, die dieser Körper erfährt.20
a) Betrag:
F = Q · v · B = 200 pAs · 3
km
· 50 mT = 30 · 10−9 N = 30 nN .
s
b) Richtung und Orientierung:
18
[8, S. 37 A1]
[8, S. 37 A2]
20
[16, S. 229 A1]
19
343
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Eisbär
unten
West
oben
#»
F
#»
B
Q · #»
v
Pinguin
Ost
Die Ladungen bewegen sich von Ost
nach West, also weist #»
v von Ost nach
West. Der Vektor Q · #»
v weist allerdings von West nach Ost, da Q negativ ist.
#»
Das Magnetfeld B ist von Norden
nach Süden ausgerichtet und beinhaltet daher auch in irgendeiner
Form das mg. Feld der Erde, was hier
aber nicht weiter stört, weil es im
Prinzip auch in N–S-Richtung verläuft.
Damit ergibt sich nach der UVW-Regel I, dass die Kraft von oben nach unten
wirkt.
17.6 Berechnung mg. Felder
17.6.1 Das mg. Feld eines geraden Drahtes und einer Spule
Man kann die Maxwellschen Gleichungen21 für das mg. Feld benutzen, um das B-Feld
eines geraden Drahtes zu ermitteln. Ferner ist es möglich, das mg. Feld einer langen
Spule zu berechnen und zu sehen, dass die gefundene Gleichung, die ja in allen Formelsammlungen verwendet wird, nur eine Näherung darstellt.22
Das mg. Feld eines geraden Drahtes
#»
B
Wir betrachten die nebenstehende Abbildung. Der
#»
Strom I fließe in die Papierebene hinein. Als Feldlinien ergeben sich Kreise, die im Uhrzeigersinn orid #»
s
entiert sind. Für das Wegintegral nehmen wir einen
#»
Kreis vom Radius r. An jeder Stelle des Weges verI
#»
laufen die Vektoren B und d #»
s parallel,
#» sodass das
#» #»
r
Skalarprodukt B ·d s = B ·ds·cos B; d #»
s = B ·ds
ergibt. Auf dem Kreis ist das mg. Feld B = konst.
Die Summe aller Wegelemente d #»
s kennt man als Kreisumfang. Auf diese Weise lässt sich
#»
der Betrag von B im Abstand r von der Drahtmitte berechnen. Genauer gemäß (17.2)
b
21
22
Siehe Tabelle 17.1 (S. 328).
Als Schüler wurde mir erklärt, dass das mg. Feld einer Spule nicht vom Durchmesser abhängt, sondern
nur von der Stromstärke und der Windungsdichte. Das leuchtete mir nicht ein. Daher möchte ich die
Darstellung auf diese Weise etwas transparenter machen.
344
17.6 Berechnung mg. Felder
(S. 327):
I
#»
B · d #»
s =
I
B · ds = B ·
I
ds = B · 2πr = µ0 · I .
Satz 76. Das mg. Feld B eines vom Strom I durchflossenen geraden Drahtes im Abstand
r von der Drahtmitte berechnet sich zu:
B=
Anmerkung
µ0 I
·
2π r
(17.10)
Mit (17.10) lässt sich an dieser Stelle die Einheit von µ0 bestimmen:
B·r
[µ0 ] =
=
I
N
Am
·m
Nm
Nm · s
Vs
=
=
=
.
A
Am · A
Am · (A · s)
Am
Die Maßzahl von µ0 (in Zeichen: {µ0 }) kann man ermitteln, wenn man ein ordentliches
Verfahren hat, B zu bestimmen. Das ist an dieser Stelle nicht besonders günstig. Mit
dem homogenen mg. Feld einer langen Spule klappt das schon besser.
17.6.2 Das mg. Feld einer langen Spule
Das Feld einer langen Spule kann in Abbildung 17.6 (S. 330) betrachtet werden. Die
Windungszahl der in Experimenten verwendeten langen Spulen liegt z. B. bei n = 240
bei 60 cm Länge. Das Feld ist in der Spulenmitte schon sehr gut homogen.
Zur Berechnung des Feldes betrachten wir jetzt die Abbildung 17.16.
ℓ ∗ , n∗
⊕
4
3
1
2
⊖
#»
I
#»
B
ℓ, n
Abbildung 17.16: Zur Berechnung des B-Feldes einer langen Spule
Wiederum können wir nach (17.2) (S. 327) mit dem Integrationsweg durch die Spule von
1 über 2, 3 und 4 nach 1 ansetzen:
I
#»
B · d #»
s =
Z
1→2
#»
B · d #»
s +
Z
2→3
#»
B · d #»
s +
Z
3→4
#»
B · d #»
s +
Z
#»
B · d #»
s = µ0 · Igesamt .
4→1
Zur Lösung der Integrale können wir nun näherungswiese angeben, dass
345
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Z
1.
#»
B · d #»
s ≈ 0, da der Weg senkrecht zu den Feldlinien verläuft. Gleiches gilt für
2→3
Z
2.
#»
B · d #»
s ≈ 0, wobei die Fehler sich sogar mit dem soeben betrachteten Integral
4→1
aufheben, da die Vorzeichen vertauscht sind, denn der Weg hat die entgegengesetzte
Orientierung.
Z
#»
3.
B · d #»
s ≈ 0, denn das mg. Feld außerhalb der langen Spule ist näherungsweise
3→4
Null.
Somit bleibt nur das erste Integral übrig. Auf diesem Integrationsweg ist aber das mg.
#»
Feld homogen, d. h. B · d #»
s = B · ds und B = konst. Daher kann man nacheinander
schreiben:23
Z
#»
B · d #»
s =
1→2
Z
B · ds
1→2
Z
=B·
ds
1→2
∗
= B · ` = µ 0 · n∗ · I .
Nun ist aber bei gleichmäßiger Windungsdichte(Windungszahl durch Spulenlänge):
n∗
n
= ∗ ,
`
`
also
n∗ = `∗ ·
n
.
`
Mithin
B · `∗ = µ 0 · n ∗ · I = µ 0 · `∗ ·
n
·I,
`
also B = µ0 ·
n
·I.
`
Satz 77. Das mg. Feld einer vom Strom I durchflossenen langen (Luft-) Spule mit der
n
Windungszahl n und der Länge ` (Windungsdichte ) berechnet sich zu:
`
B = µ0 ·
n·I
`
(17.11)
Zusatz
1. Mit der Gleichung (17.11) kann man ein B-Feld mit geometrischen Daten einer
Spule und dem durchfließenden Strom in Beziehung setzen und andererseits mit
23
I
Man sollte noch einmal daran denken, dass in der Gleichung
#»
B · d #»
s = µ0 · I mit I der vom Inte-
grationsweg umschlossene Strom gemeint ist. Dieser fließt mehrfach innerhalb des Integrationsweges
(Abbildung 17.16).
346
17.6 Berechnung mg. Felder
der Lorentzkraft
FL = `Draht · IDraht · B
(siehe (17.7)) unabhängig messen. (Hinweis: ` und I muss man für die Spule und
den Draht, der die Kraft erfährt, unterscheiden.) Dann ist lediglich µ0 unbekannt
und kann bestimmt werden. Ein solches Experiment habe ich einmal durchgeführt
und werde die Messdaten in Abschnitt 17.7 vorstellen. Eine Alternative bietet sich
in Abschnitt 20.6 an.
17.6.3 Ergänzung; mg. Feld mit Materie
Da man immer eine Auswahl bei den Themen treffen muss, bleibt es nicht aus, an der
einen oder anderen Stelle zu kürzen. Hier seien also nur stichpunktartig einige Informationen geliefert, die bei der Beschreibung des mg. Feld mit Materie für das weitere
Verständnis wichtig erscheinen.
Man kann eine Spule in Luft (bzw. genauer: Vakuum) betrachten oder sie mit mit einem
Material füllen. Die Auswirkung der Materialfüllung auf den Wert von B definiert man
als mg. Permeabilität. Genauer
Def. 46. Magnetische Permeabilitätszahl; relative mg. Feldkonstante
µr =
Bm
B0
(17.12)
Dabei bedeuten B0 das mg. Feld im Vakuum (ohne Materie) und Bm das mg. Feld mit
(vollständiger) Füllung mit Materie.
So beträgt beispielsweise im Vakuum µr = 1, für Luft µr = 1, 000 000 37 und für Eisen
(ferromagnetisch) einige Tausend.
n
n·I
hängt nur von der Windungsdichte
sowie der Stromstärke I in der
Der Term
`
`
verwendeten Spule ab und bekommt einen besonderen Namen:
#»
Def. 47. Das mg. Feld H; die mg. Erregung
H=
n·I
`
Einheit:
[H] =
A
m
(17.13)
#»
#»
Der Zusammenhang zwischen dem mg. Feld B und dem mg. Feld H beschreibt
Satz 78.
#»
#»
B = µ r µ0 · H
(17.14)
Proportionalität gilt im Vakuum, aber nicht mit Materie. µr ist nicht konstant (Hysterese) und hängt auch von der Vorbehandlung des Materials ab. Weitere Informationen
z. B. in [44] und [47].
347
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.7 Experiment: Bestimmung der mg. Feldkonstante
Am Humboldtgymnasium in Solingen stand mir seinerzeit die Stromwaage von Leybold24
zur Verfügung, die mit zwei zusammensteckbaren langen Zylinderspulen25 eingesetzt
werden konnte.
F
Die Messungen hatten das Ziel, die Proportionalität B ∼
nachzuweisen26 , um eine
I ·`
Definition der mg. Feldgröße B zu erhalten. Da es aber bei den Zylinderspulen möglich
ist, die mg. Feldkonstante µ0 aus den vorhandenen Daten abzuschätzen, möchte ich diese
Messwerte vorstellen und auswerten. Die Daten sind im normalen Unterrichtsgeschehen
aufgenommen worden.
Für alle Messungen wurden die gleichen Daten für das mg. Feld der langen Spule gewählt:
n = 240; ISpule = 5 A; `Spule = 59, 5 cm. daher folgt mit (17.11) und (17.13):
B = µ0 ·
n · ISpule
240 · 5 A
kA
= µ0 ·
= µ0 · 2, 02
= µ0 · H .
`Spule
59, 5 cm
m
(17.15)
1. 27.06.1995;
a) ` = 8 cm;
I
A
F
mN
0
2
4
6
8,2
10,2
0
0,50
1,0
1,45
1,9
2,4
L. R. (R2 = 0, 999): F = 0, 232
b) ` = 4 cm;
I
A
F
mN
mN
· I + 0, 0307 mN .
A
0
2
4
6
8
10,2
0
0,25
0,6
0,8
1,0
1,25
L. R. (R2 = 0, 991): F = 0, 122
mN
· I + 0, 0337 mN .
A
2. 27.03.1990;
a) ` = 8 cm;
I
A
F
mN
0
2,1
3,85
6,1
8,1
10
0
0,30
0,68
1,1
1,6
2,0
L. R. ergibt (R2 = 0, 995): F = 0, 204
24
mN
· I − 0, 0773 mN .
A
[21] Gerätebeschreibung 516 32
[21] Gerätebeschreibung 516 22
26
Vergleiche dazu Abbildung 17.9 im Abschnitt 17.5.1 (S. 333), denn das Versuchsprinzip ist gleich, nur
die technische Ausführung der Stromwaage ist etwas verändert.
25
348
17.7 Experiment: Bestimmung der mg. Feldkonstante
I
A
F
mN
b) ` = 4 cm;
0
1,9
4,45
6,1
8,1
10,1
0
0,20
0,375
0,55
0,82
1,05
L. R. (R2 = 0, 999): F = 0, 103
mN
· I − 0, 0248 mN .
A
3. 30.04.1987;
I
A
F
mN
a) ` = 8 cm;
0
2
4
6
8
0
0,45
0,925
1,365
1,845
L. R. (R2 = 1, 000): F = 0, 230
I
A
F
mN
b) ` = 4 cm;
mN
· I − 0, 004 mN .
A
0
2
3
4
5
6
7
8
0
0,15
0,325
0,415
0,50
0,65
0,81
0,875
L. R. (R2 = 0, 990): F = 0, 114
mN
· I − 0, 0351 mN .
A
FL
mN
bc
bc
2
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
1
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bcbc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
0
bc
bcbc
bc
bc
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
IDraht
A
Abbildung 17.17: Graphische Darstellungen der Messreihen zur µ0 -Bestimmung; Messreihe 1. blau; Messreihe 2. rot; Messreihe 3. grün
349
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Die Berechnung von µ0 ergibt sich nun auf folgendem Wege mit (17.15) und (17.7):
B = µ0 · 2, 02
kA
m
und
FL = `Draht · IDraht · B ;
B
FL
=
;
kA
2, 02 m
`Draht · IDraht · 2, 02 kA
m
FL
1
µ0 =
·
.
IDraht `Draht · 2, 02 kA
m
µ0 =
Exemplarisch sei hier die Auswertung zur ersten Messreihe vorgeführt. Der Rest geht
FL
analog. Für
nehmen wir die Steigung aus den einzelnen Regressionen:
IDraht
µ0 =
FL
IDraht
·
1
mN
1
Vs
= 0, 232
·
= 1, 44 · 10−6
.
kA
kA
A 8 cm · 2, 02 m
Am
`Draht · 2, 02 m
Zur Einheit:
N
m
Nm 1 s
Nm
s
Vs
·
=
·
· =
·
=
.
A m·A
A Am s
As Am
Am
Hier die Zusammenstellung aller Ergebnisse:
1.
a)
1, 44 · 10−6
µ0 =
1
= 1, 51 · 10−6
4 cm · 2, 02 kA
m
1
2. a) µ0
·
= 1, 26 · 10−6
kA
8 cm · 2, 02 m
1
·
b) µ0
= 1, 27 · 10−6
kA
4 cm · 2, 02 m
1
3. a) µ0
·
= 1, 42 · 10−6
8 cm · 2, 02 kA
m
1
·
b) µ0
= 1, 41 · 10−6
4 cm · 2, 02 kA
m
Die Messung zeigt, dass es prinzipiell möglich ist, µ0 auf diesem Wege ordentlich zu
bestimmen. Die Messergebnisse unter Messung Nr. 2 könnten eigentlich überzeugen, der
Fehler muss aber schon in einer Größenordnung von 20 % angesetzt werden, denn bei
dem Experiment stehen natürlich Einsatzfähigkeit im Unterricht, einfacher Aufbau und
transparente Anordnung im Vordergrund.
b)
mN
A
mN
= 0, 204
A
mN
= 0, 103
A
mN
= 0, 230
A
mN
= 0, 114
A
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
Vs
Am
µ0 = 0, 122
·
Zur Beurteilung der Linearität der einzelnen Messreichen beachte man noch Abbildung
17.17. Auch auf diesem Wege wird eine Vorstellung über die Messmöglichkeiten deutlich.
Wir halten also an dieser Stelle27 fest: Die magnetische Feldkonstante µ0 hat den Tabel27
µ0 wird schließlich definiert. Siehe Definition 17.20 (S. 355).
350
17.8 Kraftwirkung zwischen Leitern
lenwert:
µ0 = 1, 257 · 10−6
Vs
Am
(17.16)
17.8 Kraftwirkung zwischen Leitern
17.8.1 Ein stromdurchflossener Draht im mg. Feld eines geraden Drahtes
#»
Ein gerader vom Strom I durchflossener Draht produziert ein B-Feld gemäß (17.10) (S.
345) vom Betrag
µ0 I
B=
· .
2π r
Die Feldlinien sind Kreise, die gemäß der Rechte-Faust-Regel28 orientiert sind.
Befindet sich nun in diesem Feld ein zweiter Draht der Länge `, durch den ein Strom
I ∗ fließt und der parallel zum ersten Draht verläuft (Abbildung 17.18), so wirkt auf ihn
eine Kraft, die sich wie folgt berechnet:
F = ` · I∗ · B = ` · I∗ ·
µ0 I
· .
2π r
#»
I
#»
B
#»
I
#»
I∗
#»
F
#»
F
r
#»
I∗
ℓ
r
#»
B
Abbildung 17.18: Links: Blick in Stromrichtung von I und I ∗ ; rechts: Ansicht von oben
Daher gilt der
Satz 79. Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter (I ∗ ) der Länge ` im Abstand
r von einem langen geraden Leiter (I) beträgt:
F =
28
µ0 ` · I · I ∗
·
2π
r
(17.17)
Definition 44 (S. 326)
351
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
17.8.2 Ein Beispiel aus einer Klausur
Die Darstellung erfolgt nach Klausur Nr. 1, LK PH, Jgst. 13, 15.09.2000, 4 Std., L0051A.TEX.
I1
b
Berechne die Gesamtkraft, mit der die
rechteckige Leiterschleife vom Strom I1
angezogen wird.
Daten: I1 = 17, 5 A; I2 = 5 A; a = 25 cm;
d = 8, 8 cm; b = 5, 3 cm. Rechne erst allgemein.
a
d
I2
Zur Lösung wählen wir einige Bezeichnungen und ergänzen die Zeichnung der Aufgabenstellung durch das vom Strom I1 erzeugte B-Feld.
I1
#»
F4
#»
#»
#»
F 2 und F 4 heben sich gerade auf. F 1 und
#»
F 2 resultieren zur Gesamtkraft vom Betrag
Fges = F1 − F3 .
#»
B
#»
F1
d
#»
F3
b
a
Ganz allgemein gelten nun die Gleichungen (17.7) und (17.10):
I2
F =`·I ·B
und
#»
F2
B=
µ0 I
· .
2π r
Für den vorliegenden Fall ergibt sich also nacheinander:
µ0
2π
µ0
F3 = a · I2 ·
2π
F1 = a · I2 ·
I1
;
d
I1
·
;
d+b
·
µ0
1
1
· I2 · I1 ·
−
;
2π
d d+b
Vs
4π · 10−7 Am
1
1
= 25 cm ·
· 5 A · 17, 5 A ·
−
2π
8, 8 cm 8, 8 cm + 5, 3 cm
= 18, 7 µN .
Fges = F1 − F3 = a ·
Fges
Zur Einheit:
352
m · Vs · A2 1
VAs
Nm As
·
=
=
·
= N.
Am
m
m
As m
17.8 Kraftwirkung zwischen Leitern
17.8.3 Ein Beispiel mit überraschendem Ergebnis
Man kann natürlich weitere Aufgaben mit einzusetzenden Zahlen berechnen, aber in [20,
S. 101] ist ein zwar theoretisches, aber für die weitere Betrachtung nützliches Beispiel
angegeben, welches viele der gefundenen Beziehungen in neuem Licht erscheinen lässt.
#»
I1
r
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
#»
I2
b
b
b
b
Q1
ℓ
b
b
Q2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
#»
v
Abbildung 17.19: Zwei Ladungsketten, die sich abstoßen und anziehen
Wir betrachten einmal zwei sehr lange Ladungsketten (Ströme) I1 = I2 = I. Sie mögen beide parallel nebeneinander verlaufen (Abbildung 17.19) und aus gleichen (z. B.
positiven) Ladungen bestehen. Daher stoßen sich diese Ströme wegen der el. Kraft voneinander ab. Andererseits bewegen sich die Ladungen, sie ziehen sich daher auf Grund
der wirkenden mg. Kraft an. Wir fragen nun, ob man eine Geschwindigkeit angeben
kann, bei der sich diese beiden Kräfte gerade aufheben, die Ladungen also weiterhin
parallel nebeneinander verlaufen.
Wir gehen in drei Schritten vor:
1. Berechnung der el. Kraft im Abstand r:
Zugriff auf das vom ersten Strom erzeugte el. Feld bekommen wir über die Maxwellsche Gleichung29
I
#» #» Q
E · dA =
.
ε0
Als Integrationsfläche setzen wir einen Zylinder vom Radius r um die linke Ladungskette an. Q1 = Q2 = Q sei die vom Zylinder eingeschlossene Ladung. Die
Fläche kann als geschlossen angesehen werden, denn Boden und Deckel tragen wegen der Zylindersymmetrie des el. Feldes zum el. Fluss nicht bei. Ferner verläuft
#»
E auf der Zylindermantelfläche in der gleichen Richtung wie der Normalenvektor
#»
A der Zylindermantelfläche. Darüber hinaus ist im Abstand r ebenfalls aus Sym#»
metriegründen E = konst. Das verbleibende Integral bedeutet aber nichts anderes
29
Tabelle 17.1
353
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
als die Mantelfläche des gewählten Zylinders. Somit bekommt man nacheinander:
I
#» #»
E · dA =
I
E · dA = E ·
I
dA = E · 2π · r · ` =
E=
Q
1
·
.
2π ε0 r · `
Fel =
Q2
1
·
.
2π ε0 r · `
Q
;
ε0
Mit F = Q · E folgt schließlich:
2. Berechnung der mg. Kraft im Abstand r:
Dies ist schon in Gleichung (17.17) berechnet worden:
µ0
2π
µ0
=
2π
µ0
=
2π
Fmg =
` · I · I∗
µ0 ` · I · I `
=
·
·
r
2π
r
`
(` · I)2
·
r·`
(Q · v)2
·
.
r·`
·
3. Gleichheit der Kräfte:
Fel = Fmg ;
1
Q2
µ0 (Q · v)2
·
=
·
;
2π ε0 r · `
2π
r·`
1
v2 =
;
ε0 · µ 0
s
v=
1
ε 0 · µ0
−12
= 8, 8542 · 10
=
1, 1130 · 10−17
= 2, 99749 · 108
As
Vs
· 1, 257 · 10−6
Vm
Am
s2
m2
− 1
2
!− 1
2
m
.
s
Diese Geschwindigkeit ist uns als Lichtgeschwindigkeit bekannt und hat den Wert30 :
c = 2, 997925 · 108
30
Siehe [24].
354
m
.
s
17.8 Kraftwirkung zwischen Leitern
Mit den von uns verwendete Daten beträgt die Abweichung nur
2, 997925 − 2, 99749
= 1, 45 · 10−4 = 0, 015 % .
2, 99749
Wir fassen das Ergebnis in folgendem Satz zusammen:
Satz 80. Zwischen den Feldkonstanten des el. und mg. Feldes gilt der Zusammenhang
s
c=
Zusatz
m
1
= 2, 997925 · 108
ε0 · µ 0
s
(17.18)
Mit Materie gilt31 :
Satz 81. Zwischen den Feldkonstanten des el. und mg. Feldes gilt mit Materie der
Zusammenhang
s
cm =
1
εr ε0 · µ r µ 0
(17.19)
17.8.4 Definition der Einheit für die el. Stromstärke
In (17.17) haben wir festgestellt, dass zwei Leiter aufeinander die Kraft
F =
µ0 ` · I · I ∗
·
2π
r
ausüben. Ferner haben wir für µ0 folgenden Wert angegeben:
µ0 = 1, 257 · 10−6
Vs
Vs
Vs
= 12, 57 · 10−7
≈ 4π · 10−7
.
Am
Am
Am
Der Wert von µ0 unterscheidet sich im verwendeten Einheitensystem nur sehr wenig vom
zuletzt angegebenen Wert. Die Abweichung beträgt nur
12, 57 − 4π
= 2, 89 · 10−4 = 0, 029 % .
4π
Aus diesem Grunde definiert man:
Def. 48.
µ0 = 4π · 10−7
def
Vs
Am
(17.20)
Zusammen mit der Gleichung (17.18) besteht daher die Möglichkeit, ε0 zu berechnen,
wenn man von einer Messung der Lichtgeschwindigkeit c ausgeht. Somit spielt die Messung von c eine besondere Rolle.
31
Das zeigen wir hier nicht; die Gleichung wird allerdings später in Abschnitt IV (S. 443) noch einmal
bei der Behandlung des Brechungsindex bei elektromagnetischen Wellen benötigt.
355
17 Das zeitl. konst. mg. Feld von Strömen
Für die Definition der el. Stromstärkeeinheit setzen wir eine geometrische Anordnung
von Drähten voraus und geben eine Kraft vor, die bei einer bestimmten Stromstärke
wirken soll.
Die geometrische Anordnung sei ähnlich wie in Abbildung 17.19 mit r = 1 m vorgegeben.
Der Strom I sei in beiden Leitern gleich. Zur Definition berechnen wir jetzt die Kraft je
Länge ` = 1 m, die die beiden Leiter aufeinander ausüben. Für I = 1 A gilt unter den
eben beschriebenen Vorgaben:
Vs
4π · 10−7 Am
Fmg
µ0 I 2
(1 A)2
=
·
=
·
`
2π r
2π
1m
Nm
N
VAs
= 2 · 10−7 2 = 2 · 10−7 2 = 2 · 10−7 .
m
m
m
Konsequenterweise können wir nun formulieren:
Def. 49. Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch
zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt
fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die Kraft 2 · 10−7 Newton hervorrufen würde [CIPM (1946), Resolution 2, gebilligt durch die 9.CGPM (1948)].32
32
[18]; CIPM: Comité International des Poids et Mesures; CGPM: Conférence Générale des Poids et
Mesures
356
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
18.1 Der Hall-Effekt
Wir betrachten die Abbildung 18.1. Bewegte Ladungsträger, etwa Elektronen (e− ) in
#»
Kupfer, mögen in einem metallischen Leiter einen Strom I bilden, auch Steuerstrom
genannt.
d
#»
FL
UH
#»
ve
e−
#»
B
b
#»
F el
−e · #»
ve
b
#»
I
Abbildung 18.1: Vektordiagramm zum Hall-Effekt
#»
Durchsetzt man den Leiter nun mit einem (homogenen) mg. Feld B, so werden die
#»
Elektronen durch die Lorentzkraft F L zur Oberseite hin abgelenkt, denn1 gemäß
#»
#»
#»
F L = Q · #»
v × B = −e · #»
ve ×B
#»
#»
bilden −e · #»
v e , B und F L in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (UVW-Regel I). Dabei
ist #»
v e der Geschwindigkeitsvektor der Elektronen.
An der Oberseite sammeln sich negative Ladungen an, die an der Unterseite fehlen. Dies
ist der sogenannte Hall-Effekt2 . Es bildet sich nun ein Kräftegleichgewicht zwischen
#»
#»
der auf die Elektronen wirkenden Kraft F el und F L aus, so dass dann für die Beträge
gilt:
e·E =e·v·B;
1
2
Man beachte in diesem Zusammenhang Satz 75 und die nachfolgende Bemerkung dazu (S. 342).
Edwin Herbert Hall ["hO:l], 1855–1938, US-amerikanischer Physiker; 1879 Entdeckung des HallEffekts
357
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
E =v·B.
UH ist die sogenannte Hallspannung zwischen der Oberseite und der Unterseite des
Metallkörpers, für die wegen (11.2) (S. 248) und der letzten Gleichung gilt:
UH = E · b = v · B · b
(18.1)
Falls der Steuerstrom konstant ist (d. h. v = konst), hat man den
Satz 82. Die Hallspannung ist zum B-Feld proportional:
UH ∼ B
(18.2)
Das bedeutet, dass UH zur (relativen) Messung des mg. Feldes B benutzt werden kann.
Zusatz
Zur Berechnung der vollständigen Darstellung der Hallspannung
Q
Sei dazu % =
die Ladungsdichte des betreffenden Materials, also Q = % · V . Sei
V
ferner n die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen; also gilt mit der Elementarladung
e = 1, 6022 · 10−19 As:
Q
%=
= n · e.
V
Für Gleichstrom hat man mit den Bezeichnungen aus Abbildung 18.1:
I=
V
b·d·s
s
Q
=%·
=%·
= % · b · d · = % · b · d · vD
t
t
t
t
Dabei bedeuten s die Strecke in Richtung des Stromes, die die Ladung in der Zeit t
s
zurücklegt und vD = die sogenannte Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger.
t
Aus (18.1) wird dann:
UH = vD · B · b =
I
1 I
1
I
I
·B·b= · ·B =
· · B = RH · · B
%·b·d
% d
n·e d
d
Satz 83. Die Hallspannung ist zum B-Feld proportional. Genauer:
UH = R H ·
I
·B
d
(18.3)
Dabei bedeutet
RH =
die Hallkonstante des Materials.
358
1
n·e
(18.4)
18.2 Das mg. Feld einer langen Spule gemessen mit der Hall-Sonde
RH kann zur Bestimmung von Ladungsträgerdichten eingesetzt werden.3
18.2 Das mg. Feld einer langen Spule gemessen mit der
Hall-Sonde
18.2.1 Theoretische Betrachtungen
In [39, S. 216] ebenso in [2, S. 526; Example 15.9.] fand ich eine Formel zur Berechnung
des mg. Feld B einer langen Spule.
Satz 84. Die mg. Feldstärke auf der Achse einer vom Strom I durchflossenen zylindrischen Spule der Länge `, des Durchmessers D und der Windungszahl n (einlagig
gewickelt) berechnet sich zu
B(x) = µ0 ·
`
2
`
2
x−
x+
n·I 1
r
· ·
−r
2
2
`
2
D2
`
D2
`
4 + x+ 2
4 + x− 2
y
(18.5)
n
D
x
− 2ℓ
ℓ
2
Abbildung 18.2: Zu Satz 84
Die Gleichung (18.5) sieht reichlich wüst aus und es empfiehlt sich, einige Spezialfälle zu
betrachten.
1. In der Mitte der Spule (x = 0) gilt speziell:
B(0) = µ0 · √
n·I
D 2 + `2
(18.6)
Wir rechnen nach:
B(0) = µ0 ·
= µ0 ·
3
n·I 1
`
· ·r
2
`
2
D2
`
4 + 2
n·I 1
`
n·I
· ·q √
.
= µ0 · √
1
`
2
2 + `2
D 2 + `2
D
4
Siehe dazu Näheres unter [42] und [43].
359
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
2. In der Spulenmitte gilt für lange Spulen (` D):
B(0) = µ0 ·
n·I
`
(18.7)
Man vergleiche das Ergebnis mit (17.11) (S. 346).
D
1, mithin
Da ` D vorausgesetzt ist, gilt
`
Darstellung für B(0):
B(0) = µ0 · √
D
`
2
≪ 1 und es folgt aus der
n·I
n·I
n·I
n·I
= µ0 · r
= µ0 ·
.
2
≈ µ0 · √ 2
2
2
`
D +`
` ·1
`2 · D`2 + 1
3. An jedem Ende einer langen Spule (` D) ist das B-Feld nur noch halb so groß
wie in der Mitte:
1
n·I
`
= · B(0) = µ0 ·
(18.8)
B ±
2
2
2`
`
Hier rechnet man mit x = ± . Je nach Vorzeichen fällt in (18.5) der erste Summand
2
bzw. der zweite Summand weg, da der Zähler Null wird. Übrig bleibt in beiden
Fällen:
B ±
`
2
= µ0 ·
= µ0 ·
n·I 1
·
`
2
±
·
± r
D2
4
`
2
+
`
2
+ ± 2` ±
`
2
2
n·I 1
`
· ·q 2
`
2
D
+ `2
4
n·I
= µ0 ·
·r
2
1
`2 ·
D2
4`2
+1
n·I
1
·√
2
`2 · 1
n·I
.
= µ0 ·
2`
≈ µ0 ·
Da nämlich ` D >
360
D
D
D2
vorausgesetzt ist, gilt
1, mithin 2 ≪ 1.
2
2`
4`
18.2 Das mg. Feld einer langen Spule gemessen mit der Hall-Sonde
18.2.2 Experimentelle Ergebnisse
Am Röntgen-Gymnasium in Remscheid-Lennep stand mir seinerzeit eine Axialfeldsonde aus dem CASSY-System von Leybold4 zur Verfügung, die ich mit zwei zusammensteckbaren langen Zylinderspulen5 eingesetzt habe. Die Axialfeldsonde eignet sich zur
Messung des mg. Feldes B in Richtung der Symmetrieachse der Spule und wird über
die B-Box6 angeschlossen. Zu jeder Position x von der Spulenmitte aus kann man das
B-Feld messen und mit den Daten gemäß (18.5) vergleichen.
Wie in Abschnitt 18.1, Gleichung (18.2), gezeigt wurde, ist das mg. Feld nur proportional
zur Hallspannung bestimmbar. Der von den Messgeräten angezeigte Wert B0 ist also
mit dem tatsächlichen Wert von B über einen Faktor zu korrigieren. Die Hallsonde
muss mit einem bekannten mg. Feld B geeicht werden.
Zur Auswertung habe ich daher die Werte für B0 mit einem Faktor β multipliziert, so
dass die Werte für B = β · B0 in „vernünftiger Weise“ mit der theoretisch ermittelten
Funktion (18.5) übereinstimmen. Das gelingt unter Berücksichtigung eines Fehlers von
ca. 6 % recht gut.
Messdaten (Messung vom 17.09.2010)
Durchmesser: D = 12 cm, Windungszahl n = 120, Länge der Spule ` = 59, 5 cm, Stromstärke I = 4 A, Skalierungsfaktor β = 1, 04.
x
cm
0
1
2
3
4
5
6
7
B0
mT
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,95
0,95
B
mT
0,946
0,957
0,967
0,978
0,988
0,998
0,988
0,988
x
cm
8
9
10
11
12
13
14
15
B0
mT
0,95
0,96
0,96
0,96
0,95
0,94
0,94
0,93
B
mT
0,988
0,998
0,998
0,998
0,988
0,978
0,978
0,967
x
cm
16
17
18
19
20
21
22
23
B0
mT
0,93
0,92
0,91
0,9
0,89
0,88
0,86
0,84
B
mT
0,967
0,957
0,946
0,936
0,926
0,91
0,894
0,874
x
cm
24
25
26
27
28
29
30
31
B0
mT
0,82
0,8
0,76
0,69
0,63
0,55
0,46
0,38
B
mT
0,853
0,832
0,790
0,718
0,655
0,572
0,478
0,395
Die graphische Darstellung der Messergebnisse kann man in Abbildung 18.3 betrachten.
Die Daten von B0 sind als Kreuze, die Werte für B mit roten Punkten gezeichnet.
Ihr Durchmesser ist ein Maß für einen Fehler von ca. 6 % in Richtung der Hochachse,
welches laut Angaben der Firma Leybold der Messgenauigkeit des verwendeten Gerätes
entspricht.
Die hellrote Kurve ist der Graph der Funktion (18.5) mit den oben aufgeführten für die
Spule und das Experiment bestimmenden Daten.
4
[21] Gerätebeschreibung „Axiale B-Sonde“ 516 61
[21] Gerätebeschreibung 516 22
6
[21] Gerätebeschreibung 524 038
5
361
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
B
mT
1,0
0,8
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
× × × × × × × × × × × × × × × bc bc bc bc
× × ×
× × ×
bc
× × bc bc
× × bc
×
bc
bc
bc
×
bc
×
0,6
bc
×
bc
×
bc
×
0,4
×
bc
0,2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
x
cm
Abbildung 18.3: Graphische Darstellung der Messungen an der langen Spule
18.3 Das mg. Feld eines geraden Drahtes gemessen mit der
Hall-Sonde
Mit der Originalausrüstung für den Halleffekt aus den 1970er Jahren von der Firma
Leybold7 kann man das mg. Feld eines geraden Drahtes ausgemessen. Dazu habe ich für
eine größere Stromstärke einen Draht mehrfach auf einen Rahmen gewickelt und mit der
Tangentialfeldsonde Messdaten für B in verschiedenen Abständen aufgenommen. Die
angegebenen Abstände vom Draht sind Abstandsmarken auf einer cm-Skala. Diese seien
1
mit r∗ bezeichnet. Da es im Wesentlichen um die Proportionalität zu geht, wird die
r
Lage der Nullmarke r0 (Drahtmitte) aus den Regressionsdaten ermittelt. Für die weitere
Betrachtung soll sie aber keine Rolle spielen. Für den Abstand r von der Drahtmitte gilt
dann r∗ = r + r0 .
18.3.1 Messreihe vom 20.05.1987
Tabelle 18.1: Messdaten
r∗
B
1 1
/
cm
mT
B mT
20,00 1,359
0,736
20,25 1,099
0,910
Fortsetzung . . .
7
[21] Gerätebeschreibungen 516 50 . . . 516 55
362
r∗
cm
23,25
23,50
B
mT
0,325
0,307
1 1
/
B mT
3,077
3,257
18.3 Das mg. Feld eines geraden Drahtes gemessen mit der Hall-Sonde
Tabelle 18.1: (Fortsetzung)
r∗
cm
20,50
20,75
21,00
21,25
21,50
21,75
22,00
22,25
22,50
22,75
23,00
B
mT
1,051
0,811
0,697
0,628
0,558
0,500
0,471
0,428
0,397
0,368
0,349
r∗
cm
23,75
24,00
24,25
24,50
24,75
25,00
26,00
27,00
28,00
29,00
30,00
1 1
/
B mT
0,951
1,233
1,435
1,592
1,792
2,000
2,123
2,336
2,519
2,717
2,865
B
mT
0,287
0,284
0,266
0,258
0,247
0,238
0,197
0,180
0,158
0,144
0,139
1 1
/
B mT
3,484
3,521
3,759
3,876
4,049
4,202
5,076
5,556
6,329
6,944
7,194
B
mT
1,4
bc
1,2
bc
bc
1,0
bc
0,8
bc
bc
0,6
bc
bc
bc
bc
0,4
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
0,2
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
29
30
0
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
r∗
cm
Abbildung 18.4: Graphische Darstellung der Messdaten vom 20.05.1987; die durchgezogene Linie verläuft gemäß der für Abbildung 18.5 berechneten
Regression.
363
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
1 1
/
B mT
bc
7
bc
bc
6
bc
bc
5
4
bc
3
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
2
bc
bc
bc
bc
bc
bc
1
bc
bc
bc
0
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
r∗
cm
Abbildung 18.5: Graphische Darstellung der Messdaten vom 20.05.1987
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 996):
y = 0, 6797 · x − 12, 8 ;
1
B
1
mT
r∗
− 12, 8 ;
cm
1
1
r∗
1
= 0, 6797
·
− 12, 8
.
B
mT cm
mT
= 0, 6797 ·
Nach der Gleichung (17.10) (S. 345) gilt mit r = r∗ − r0 :
µ0
2π
1
2π
=
B(r)
µ0
2π
=
µ0
B(r) =
I
µ0
I
=
· ∗
;
r
2π r − r0
r∗ − r0
·
I
∗
r
2π r0
·
−
· .
I
µ0 I
·
Die Linearität ist für die Schule in brauchbarer Weise erfüllt. Der absolute Wert hängt
allerdings noch von einer Eichung der Hallsonde ab. Ob diese erfolgt ist, kann ich aus
meinen Unterlagen nicht mehr feststellen. Bei einer Stromstärke von 10 A in 6 Drähten
364
18.3 Das mg. Feld eines geraden Drahtes gemessen mit der Hall-Sonde
ergibt sich folgender Wert:
2π 1
2π
· =
µ0 I
4π · 10−7
·
Vs
Am
1
m
1
1
= 83, 3 · 103
= 0, 833 ·
·
.
6 · 10 A
Vs
mT cm
Einheit:
1
=
Tm
1
=
·m
N
Am
1
1
m
·
Nm
As
·s
=
m
.
Vs
1
1
Das sollte (bis auf einen Eichfaktor (hier jetzt ≈ 1, 23) der Steigung 0, 6797 ·
·
mT cm
entsprechen.
Es besteht die Möglichkeit eines Vergleichs mit einer späteren Messung, die im folgenden
Abschnitt dargestellt wird.
18.3.2 Messreihe vom 03.05.1990
Tabelle 18.2: Messdaten
r∗
B
mT
0,654
0,410
0,280
0,210
0,170
0,147
0,130
0,105
cm
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
1 1
/
B mT
1,53
2,44
3,57
4,76
5,88
6,80
7,69
9,52
r∗
cm
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
B
mT
0,095
0,087
0,087
0,080
0,070
0,065
0,065
1 1
/
B mT
10,53
11,49
11,49
12,50
14,29
15,38
15,38
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 992):
y = 2, 059 · x + 1, 678 ;
1
B
1
mT
r∗
− (−1, 678) ;
cm
1
1
r∗
1
= 2, 059
·
− (−1, 678)
.
B
mT cm
mT
= 2, 059 ·
Nach der Gleichung (17.10) (S. 345) gilt mit r = r∗ − r0 wie in Abschnitt 18.3.1 (S. 362):
2π r∗ 2π r0
1
=
·
−
· .
B(r)
µ0 I
µ0 I
365
18 Messung mg. Felder mit der Hall-Sonde
B
mT
0,7
bc
0,6
0,5
bc
0,4
0,3
bc
bc
0,2
bc
bc
bc
0,1
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
0
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
r∗
cm
Abbildung 18.6: Graphische Darstellung der Messdaten vom 03.05.1990; die durchgezogene Linie verläuft gemäß der für Abbildung 18.7 berechneten
Regression.
Die Linearität ist hier etwas schlechter als in Abschnitt 18.3.1. Bei einer Stromstärke
von 20 A ergibt sich folgender Wert:
2π 1
2π
· =
µ0 I
4π · 10−7
Vs
Am
·
m
1
1
1
= 250 · 103
= 2, 50 ·
·
.
20 A
Vs
mT cm
Einheit:
1
=
Tm
1
=
·m
N
Am
1
1
m
·
Nm
As
·s
=
m
.
Vs
1
1
·
. Das Verhältnis (Eichfaktor) ist hier 1,21 (Abschnitt
mT cm
18.3.1: 1,23). Die Abweichung der zwei Werte beträgt immerhin nur knapp 2 %.
Die Steigung war 2, 059 ·
Fazit: Beide Messreihen zeigen durchaus mit der Theorie vergleichbare Ergebnisse und
lassen einen Eichfaktor von ca. 1,22 für die Hallsonde vermuten. Man muss immer
bedenken, dass die beiden beschriebenen Messungen mit dem gleichen Gerätesatz zur
Hallsonde, aber mit durchaus unterschiedlichen Drahtanordnungen und Stromstärken
im Unterricht durchgeführt wurden.
366
18.3 Das mg. Feld eines geraden Drahtes gemessen mit der Hall-Sonde
1 1
/
B mT
bc
bc
bc
14
bc
12
bc
bc
bc
10
bc
8
bc
bc
6
bc
bc
4
bc
bc
2
bc
0
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
r∗
cm
Abbildung 18.7: Graphische Darstellung der Messdaten vom 03.05.1990
367
19 Elektronen im mg. Feld
e
mit
me
dem sog. Fadenstrahlrohr dargestellt werden. Beim ersten Versuch1 allein mit einer el.
Ablenkung im Plattenkondensator gelang es nicht, diese Größe zu bestimmen. Verwendet
man aber neben einer Beschleunigung durch ein el. Feld eine Ablenkung durch ein mg.
Feld, so ist es möglich, zum gewünschten Ergebnis zu kommen.
In diesem Abschnitt soll die Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen
19.1 Das Fadenstrahlrohr
In der Literatur2 findet sich eine Fülle von Anleitungen, so dass ich mich hier auf die
wesentlichsten Punkte beschränken möchte.
N
#»
B N
N
−
K
N
N
N
N
N
N
N
b
b
N
N
N
N
N
N
N
N
A N
U
N
−e · #»
v
N
N
N
+
N
N
UH
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
bc
N
N
N
N
N
N
N
N
N
#»
v
N
N
N
#»
#»
F =F
N L N Z N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Abbildung 19.1: Elektronenkanone und das homogene mg. Feld zur Ablenkung der Elektronen auf eine Kreisbahn
Das Fadenstrahlrohr von Leybold3 ist eine Glaskugel mit einer „Elektronenkanone“ (ver1
Siehe Abschnitt 13.2.3 (S. 283)
Zum Beispiel [14, P6.1.3.1, Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons]; in meinen Unterlagen
gibt es eine Kopie der alten Physikalischen Handblätter von Leybold-Haraeus (DK 537.12; a). Diese
Anleitung bildet die Experimentierausstattung der 1960er Jahre ab. Mit einer solchen Anordnung
sind die beschriebenen Experimente durchgeführt worden.
3
[21] Gerätebeschreibungen 555 57 und 555 58 (Grundbrett) bzw. (05.04.2016) Fadenstrahlrohr 555 571,
Helmholtzspulen mit Ständer und Messvorrichtung 555 581
2
369
19 Elektronen im mg. Feld
gleiche dazu die Ausführungen in Abschnitt 13.2.1, S. 278). Die Glaskugel ist evakuiert
und mit Wasserstoff von geringem Druck gefüllt. Dadurch werden die aus der Elektronenkanone austretende Elektronen als blauer geradliniger Strahl sichtbar. Schaltet
man nun ein mg. Feld hinzu, dessen Richtung in Abbildung 19.1 durch die blauen Markierungen angedeutet wird, so sieht man, dass sich die Elektronen auf einer Kreisbahn
bewegen. Um einen senkrechten Verlauf zu den mg. Feldlinien zu erreichen, ist die Röhre
in ihrer Halterung drehbar angeordnet. Bei nicht senkrechtem Verlauf erhält man statt
eines Kreises Schraubenlinien. Der Versuch wird von den Schülern als sehr eindrucksvoll
wahrgenommen. Mit dem inhomogenen Feld eines Stabmagneten kann man mit dem
Elektronenstrahl in besonderer Weise „spielen“.
Zunächst muss man die Frage klären, warum sich eine Kreisbahn ergibt, wenn man das
(homogene) mg. Feld zuschaltet. Nach Satz 75, Gleichung (17.9) (S. 342) wirkt auf eine
#»
im mg. Feld B bewegte Ladung der Geschwindigkeit #»
v die Lorentzkraft
#»
#»
F L = Q · #»
v ×B.
Wendet man die UVW-Regel I unter Beachtung der negativen Ladung Q = −e von Elektronen an, so wirkt an jeder Stelle die Lorentzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung.
Sie stellt also eine Zentripetalkraft4 dar vom Betrag
me v 2
.
r
FZ =
Hierbei bedeuten r den Radius der Kreisbahn und me die Masse eines Elektrons.
Aus der Tatsache, dass FL = FZ , folgt zusammen mit der Gleichung5 12 me v 2 = eU :
me · v 2
;
r
e
v
v2
=
;
=
me
r·v·B
r·B
e·v·B =
q
e
=
me
2U ·
e
me
r·B
2
2U · mee
e
= 2
;
me
r · B2
e
2U
= 2 2.
me
r B
;
(19.1)
Zur Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons muss man also „nur“ noch U , B
und r messen. Dabei ist die Messung von U kein Problem. Die Messung von B kann mit
der Hallsonde erfolgen. Standardmäßig verwendet man allerdings sogenannte Helmholtzspulen, denn mit ihnen kann ein weitgehend homogenes Feld mit recht großer
4
5
Näheres dazu findet man in Abschnitt 6.2 (S. 176). Dazu gehört Gleichung (6.15) (S. 176).
Energieerhaltungssatz; siehe 11.2.4 Aufgabe 1 (S. 250).
370
19.2 Das Feld der Helmholtzspulen
Ausdehnung längs der Spulenachse erzeugt und berechnet werden. Die größte Schwierigkeit liegt in der Bestimmung des Radius r der Bahnkurve der Elektronen, da man zum
Messen natürlich nicht in das Innere der Röhre hinein kann. Eine Beschreibung der jetzt
noch erforderlichen Überlegungen erfolgt in den nächsten beiden Abschnitten.
19.2 Das Feld der Helmholtzspulen
In [2, S. 552] fand ich eine Formel zur Berechnung des mg. Feldes B einer speziellen
Spulenanordnung.
Satz 85. Zwei Kreisströme gleicher Stromstärke I und mit gleichem Radius a haben den
Abstand 2b. Das mg. Feld entlang der Achse ist gegeben durch
µ0 · I · a 2
3 4b2 − a2
15 8b4 − 12a2 b2 + a4 4
2
B(x) =
·
·
·
1
+
·
x
+
· x + ···
3
2 (a2 + b2 )2
8
(a2 + b2 )4
(a2 + b2 ) 2
!
(19.2)
Dabei wird x vom Mittelpunkt zwischen den beiden Strömen gemessen.
a
a
#»
B
b
x
0
I
I
2b
Abbildung 19.2: Zu Satz 85
Helmholtzspule: Für a = 2b ist das Feld im Zentrum unabhängig von x bis zur 3.
Potenz.
Die letzte Aussage sei hier nachgerechnet. Sei a = 2b. Dann folgt aus (19.2):
a2
a2
4
a2
µ0 · I ·
3 4· −
15 8 ·
2
B(x) = ·
·
2 · x +
3 · 1 +
2
2 a2 + a
8
2
a2 + a4 2
4
a2
µ0 · I ·
3
15
= 3
· 1 + · 0 · x2 +
·
2
8
5 2
3
·
a
4
a4
2
−
3a4
4
5
4
+
· a8
a4
a4
16
−
2
· a4
4
a2
4
12a2
a2 +
+
a4
· x4 + · · ·
· x4 + · · · ;
371
19 Elektronen im mg. Feld
µ0 · I
·
a
3
µ0 · I
=
·
a
3
15 3
44
· 1−
· · 4 4 · x4 + · · ·
8 2 5 ·a
µ0 · I
·
=
a
3
144 x4
· 1−
·
+ ···
125 a4
B(x) =
4
5
2
· 1 −
a4
15 3
· · 4
· x4 + · · ·
8 2
5
· a8
4
4
5
4
5
2
2
!
!
.
Zusammenfassend gilt also der
Satz 86. Das mg. Feld in der Mitte eines Helmholtz-Spulenpaares berechnet sich zu
3
B=
4
5
2
·
µ0 · n · I
a
(19.3)
Dabei bedeuten n die Windungszahl auf jeder der beiden Ringspulen, I die Stromstärke
in den Spulen und a den Abstand der beiden Spulen, der gleich dem Spulenradius ist.
Zusatz
tionen
Um die Auswirkungen der Näherungen zu vergleichen, betrachte ich die Funk 3
B1 (x) =
4
5
2
3 ≈ 0, 715541 sowie
B4 (x) =
4
5
2
144 4
· 1−
·x
125
für µ0 = 1 Einh1 , I = 1 Einh2 und a = 1 Einh3 . Beide Funktionen sollen ja den Verlauf
des mg. Feldes B auf der x-Achse beschreiben. Für die Helmholtz-Anordnung ist wegen
a = 2b = 1 Einh3 nur der Bereich von −0, 5 Einh3 ≤ x ≤ 0, 5 Einh3 für einen Vergleich
interessant.
B
Einh2
0,8
B1
B2
0,4
−1,0
−0,5
0
0,5
x
Einh3
Abbildung 19.3: Vergleich der Näherungen bei Helmholtzspulen; im Bereich von
−0, 3 Einh3 ≤ x ≤ 0, 3 Einh3 beträgt der Fehler weniger als 1 %.
372
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
Eindrucksvoller kann man die weitreichende Homogenität der Helmholtzspulen in Abbildung 19.4 erkennen.
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6 -7
-6
-5
1
0 M
L
-1 HE
e
-2 d
es
-3 in
b
-4 Bo
3
2 TZ
L
O
H
4
5
6
Abbildung 19.4: Das homogene Feld von Helmholtzspulen in 3D nach [13, S. 13]
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
19.3.1 Bestimmung des Kreisradius
J
J
2r
N
N
Kreis
Bild
Spiegel
Wie oben bereits erwähnt ist die Bestimmung des
Kreisradius besonders kritisch. Man kann nicht einfach einen Maßstab hinhalten, da man zwei Marken
senkrecht zur Kreisebene bestimmen mussa . Man
hilft sich wie bei einem Zeigerinstrument (z. B. einem el. Messgerät) mit einem Spiegel, um die senkrechte Richtung einzuhalten. Zum Ablesen muss
man also etwa den obersten Punkt des Kreises mit
seinem Spiegelbild an der gleichen Stelle sehen und
eine Markierung ablesen oder setzen. Das Ablesen
ist bei der zur Beobachtung des farbigen Kreises
notwendigen Dunkelheit im Raum nicht besonders
einfach. Daher empfiehlt es sich, eine Markierung
zu setzen. Dazu kann ein Gummi verwendet werden, welches von einem Helfer auf dem Spiegel an
die richtige Stelle verschoben wird.
a
Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Parallaxe,
Parallaxe bei der Ablesung von Skalen, Parallaxenfehler
373
19 Elektronen im mg. Feld
Alternativen wie beispielsweise ein Maßstab mit Zeigern6 sind denkbar. Ein Streifen
mm-Papier ist auch verwendbar. Man kann mit einem Stift die Messstelle markieren.
Fazit: Der Beobachter muss drei Teile auf einer Geraden sehen: den obersten Punkt des
Kreises, dessen Spiegelbild und dazwischen die Markierung auf einer Skala.
Man wiederholt den Vorgang mit dem untersten Punkt des Kreises und kann auf diese
Weise den Durchmesser und damit den Radius r gemäß (19.1) (S. 370) bestimmen.
19.3.2 Ermittlung einer Gleichung für das Experiment
Wir starten mit (19.1) und (19.3):
2U
e
= 2 2
me
r B
e
=
me
3
mit B =
4
5
2
·
µ0 · n · I
;
a
2U
r2
·
3
4
5
2
·
µ0 ·n·I
a
2
2U · 125 · a2
r2 · 64 · µ20 · n2 · I 2
U
125 a2
=
· 2 2· 2 2
32 µ0 n r I
U
125 a2
.
= K · 2 2 mit K =
·
r I
32 µ20 n2
=
(19.4)
In K sind alle festen, von der Experimentierapparatur vorgegeben Größen zusammengefasst. In einem Messtripel bestimmt man zusammengehörige Größen (U, I, r). Das ist
günstig für die praktische Ausführung, denn man muss Kompromisse schließen zwischen
der Größe der Kreises, der Stromstärke und der Spannung. Regelrechte Messreihen sind
weniger geeignet. Übrigens geht der schwierig zu bestimmende Radius r zu allem Überfluss auch noch quadratisch in die Messung ein. Dadurch verdoppelt sich der relative
Fehler.
Zur Bestimmung von K entnehmen wir dem Datenblatt für das Experiment a = 0, 15 m,
n = 130 und erhalten:
K=
2 2 As
125
(0, 15 m)2
m 2 A2 m 2
6 A m
·
= 3, 293 · 106
=
3,
293
·
10
·
.
2
32
V 2 s2
V
kg
Vs
4π · 10−7 Am
· 1302
Zur Einheit: Gewünscht ist eine Darstellung von K derart, dass U , r und I in SIAs
Einheiten eingetragen werden und das Ergebnis in
herauskommt. Daher setzen wir
kg
6
[21] Gerätenummer 311 23
374
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
die Einheitengleichung wie folgt an:
m 2 A2 m 2
As
=α·
;
2
2
V s
kg
kg m2 A2 m2
A2 m2 kg m2
A2 m2 kg m2
A2 m 2
kg m2
α=
=
=
=
.
·
·
·
m 2
2
AsV2 s2
V
AsVs2
V
V
As Nm
As kgm
s
As s
s2 As
|
{z
=1
}
Für das Experiment gilt daher die Gleichung:
U A2 m2 As
e
U A2 cm2 As
= 3, 293 · 106 · 2 2
·
= 3, 293 · 1010 · 2 2
·
.
me
r I
V
kg
r I
V
kg
Die Beschleunigungsspannung U kann im Intervall [100 V; 250 V], die Stromstärke im
Intervall [0, 5 A; 1, 5 A] gewählt werden, so dass der Radius des Kreises gut ablesbar ist.
Er sollte nicht zu klein sein. Die Helmholtzspulen können an einen Batteriekasten in
Reihe mit einem Amperemeter und einem Schiebewiderstand 11 Ω angeschlossen werden.
Damit kann die Stromstärke einfach eingestellt werden.
19.3.3 Messungen mit Leybold 555 57, 555 58
Tabelle 19.1: Zusammenstellung protokollierter Schülermessungen
Kursart
LK
LK
LK
LK
LK
LK
LK
GK
GK
GK
gemessen von
Datum
tob
NN
Artur und NN (Spocc)
Kathi und Benjamin
NN
NN
Thorben und Rene
Bene und Corvin
Kristina und Nora
Matthias H. und Christoph
30.08.2000
01.09.2000
12.07.2011
12.07.2011
12.07.2011
12.07.2011
12.07.2011
03.11.2012
03.11.2012
03.11.2012
U
V
200
82
85
160
200
200
109
217
247
247
I
A
1,400
0,850
0,951
1,246
1,436
1,436
0,951
1,530
1,790
1,520
r
cm
4,5
4,6
4,4
4,7
4,6
5,0
4,8
4,5
3,5
4,3
e/me
1011 As/kg
1,66
1,77
1,60
1,54
1,51
1,28
1,72
1,51
2,07
1,95
Wir stellen den Messdaten den Tabellenwert gegenüber7 :
e
As
= 1, 7588 · 1011
me
kg
7
(19.5)
Siehe 13.5 (S. 285).
375
19 Elektronen im mg. Feld
Es wird deutlich, dass die Werte durchaus vom Geschick des Experimentators abhängen.
Man muss ferner davon ausgehen, dass der Fehler schon in der Größenordnung 15% liegt,
wenn man alleine bedenkt, dass die Bestimmung des Radius mit 5 % Fehler behaftet ist,
im Quadrat also mit 10 %.
Lässt man den vorletzten Wert in Tabelle 19.1 weg, so bemerkt man trotzdem, dass die
Ergebnisse tendenziell zu tief ausfallen. Der Mittelwert wäre dann
As
e
= (1, 61 ± 0, 18) · 1011
.
me
kg
Gründe dafür liegen m. E. in der Messung des Radius, da die Werte für Stromstärke und
Spannung eher unkritisch sind und über die Jahre mit unterschiedlichen Messgeräten
bestimmt wurden. Offenbar besteht eine Tendenz, den Radius zu groß zu messen. Der
von den Elektronen gebildete Strahl hat alleine eine Ausdehnung von 1 bis 2 mm.
19.3.4 Messungen mit Phywe 06959.00, 06960.00
Am Humboldtgymnasium in Solingen stand mir das Fadenstrahlrohr mit Helmholtzspulen von Phywe8 zur Verfügung. Der Unterschied zum Gerät von Leybold besteht
hauptsächlich darin, dass innerhalb der Röhre eine Skala angebracht ist, an der man den
Radius der Kreisbahn parallaxenfrei ablesen kann.
Hier habe ich am 21.05.1990 im LK eine Messung protokolliert. Die Stromstärke wurde in
etwa gleichen Schritten vergrößert und die Spannung derart eingestellt, dass der Radius
stets den gleichen Wert r = 4 cm hatte. Nach der Gleichung (19.4) (S. 374)
e
U
=K· 2 2
me
r I
mit
K=
125 a2
·
32 µ20 n2
U
= konst sein. In diesem Sinne wird auch die Auswertung vorgenommen.
I2
Zur Bestimmung von K entnehmen wir dem Datenblatt für das Experiment a = 0, 20 m,
n = 154 und erhalten:
sollte also
K=
8
[26]
376
2 2 As
125
m 2 A2 m 2
(0, 20 m)2
6 A m
= 4, 172 · 106
·
=
4,
172
·
10
·
.
2
32
V 2 s2
V
kg
Vs
4π · 10−7 Am
· 1542
I
A
1,00
1,11
1,19
1,30
1,40
1,49
1,60
1,70
1,81
1,89
2,01
I2
A2
1,00
1,23
1,42
1,69
1,96
2,22
2,56
2,89
3,28
3,57
4,04
U
V
88
93
100
120
138
158
176
202
223
248
278
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
U
V
250
bc
225
bc
bc
200
bc
175
bc
150
bc
125
bc
100
bc
bc
bc
75
50
25
0
0
0,5
1,0
1,5
Abbildung 19.5: Zur Bestimmung von
2,0
2,5
3,0
3,5
I2
A2
e
mit dem Fadenstrahlrohr von Phywe
me
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 996; rötliche Linie): y = 64, 9 · x + 13, 3.
Die Gerade sollte durch (0|0) verlaufen. Die ersten beiden Messwerte lassen eine ungünstige Kombination von I 2 |U -Wertepaaren vermuten. Ohne diese beiden Messwertepaare
erhält man per linearer Regression (R2 = 0, 999; bläuliche Linie):
y = 67, 3 · x + 5, 83 ;
U
I2
= 67, 3 · 2 + 5, 83 ;
V
A
V
U = 67, 3 2 · I 2 + 5, 83 V .
A
5, 83
= 0, 033 = 3, 3 %.
175
Damit ist die Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen in einem Schritt
möglich:
Der Fehler der Achsenabschnitts beträgt dann etwa
e
U
A2 m 2
= K · 2 2 = 4, 172 · 106
me
r I
V
2
A m2
= 4, 172 · 106
V
As
kg
As
·
kg
·
·
·
U
r2 I 2
1
V
11 As
.
2 · 67, 3 A2 = 1, 76 · 10
kg
(4 cm)
377
19 Elektronen im mg. Feld
Dem Ergebnis nach sollte man dieser Röhrenbauart den Vorzug geben. Weitere Versuchsprotokolle für dieses Experiment habe ich allerdings nicht. Nach einem Wechsel der
Schule stand mir nur noch das in Abschnitt 19.3.3 (S. 375) beschriebene Experiment zur
Verfügung.
19.3.5 Messungen mit Leybold 555 12, 555 06
Zur Elektronenstrahlablenkröhre9 gibt es passende Helmholtzspulen10 . Wegen des eingebauten Koordinatensystems11 ist eine alternative Bestimmung des Radius möglich.
M
b
r
K
A
I
b
UH
−
b
−
U
+
+
Abbildung 19.6: Elektronenstrahlablenkröhre mit Helmholtzspulen (blau)
Man baut gemäß das Experiment gemäß Abbildung 19.6 auf. Als Heizspannung wählt
man UH = 6 V, die Anodenspannung U wird einem Hochspannungsnetzgerät entnommen. Ein ggf. notwendiges elektrostatisches Spannungsmessgerät ist nicht abgebildet.
Die Helmholtzspulen werden mit ca. 10 V, 1 A versorgt.
Für eine Klausur (Nr. 2 – 12.2 – 01.06.1987) habe ich Messungen durchgeführt.
Messdaten: U = 2, 23 kV, I = 0, 204 A. Für die Spule gilt laut Datenblatt n = 320,
a = 68 mm. Damit kann man zunächst wieder mit (19.4) (S. 374) schreiben:
e
U
=K· 2 2
me
r I
mit
K=
125 a2
·
;
32 µ20 n2
Damit berechnet man
K=
9
2 2 As
125
(0, 068 m)2
m 2 A2 m 2
5 A m
·
= 1, 117 · 105
=
1,
117
·
10
·
.
2
32
V 2 s2
V
kg
Vs
4π · 10−7 Am
· 3202
[21] Gerätenummer 555 12
[21] Gerätenummer 555 06
11
Siehe auch Abschnitt 13.2.1 (S. Abschnitt:e-Ablenk-1) und Abbildung 13.3.
10
378
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
In dem Koordinatensystem sieht man den Kreisbogen des Elektronenstrahls und stellt
ihn durch Variation von U und I so ein, dass das zur Verfügung stehende Feld gut
ausgenutzt wird. Damit können die Werte für U und I in die letzte Gleichung eingetragen
werden, so dass nur noch die Bestimmung von r erforderlich ist:
e
U
A2 m2 As
2, 23 kV
= K · 2 2 = 1, 117 · 105
.
·
·
2
me
r I
V
kg r · (0, 204 A)2
e
As m2
= 5, 986 · 109
·
.
me
kg r2
(19.6)
Zur Bestimmung von r werden Koordinatenpaare der Bahnkurve auf dem cm-Raster
abgelesen12 :
x
cm
0
1
2
3
4
5
6
7
y
cm
0,1
0,15
0,3
0,5
0,8
1,1
1,45
2,0
Graphische Auswertung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus den Wertepaaren der vorstehenden Tabelle den
Radius zu ermitteln. In der Klausur habe ich eine zeichnerische Bestimmung verlangt, da
eine Berechnung des Kreismittelpunktes aus 3 Koordinatenpaaren ohne Weiteres nicht
verlangt werden kann – erst recht nicht in einer Klausur. Man bestimmt zeichnerisch
aus drei Punkten zwei Mittelsenkrechten (Abbildung 19.7). Ihr Schnittpunkt hat von
allen drei Punkten den gleichen Abstand. Dieser ist der gesuchte Radius r. Dazu hatte
x
ich die Messwerte mit
∈ {0, 4, 7} vorgeschlagen. Bei sorgfältigem Zeichnen erhält
cm
r = 18, 2 cm, wobei zu bedenken ist, dass die Lage des Schnittpunktes M wegen der
nahe zueinander laufenden nicht eindeutig genug festgestellt werden kann. Mit dem
vorstehenden Wert für r berechnet sich
e
As m2
As
m2
As
= 5, 986 · 109
· 2 = 5, 986 · 109
·
.
= 1, 81 · 1011
2
me
kg r
kg (18, 2 cm)
kg
Rechnerische Bestimmung des Mittelpunktes
Der Vollständigkeit halber und zur schnellen Überprüfung anderer Punktkombinationen
zur Ermittlung des Kreismittelpunktes soll jetzt die Berechnung des Radius dargestellt
werden.
12
Die Messung ist nicht besonders genau, da allein die Strichbreite des Elektronenstrahls der Genauigkeit
Grenzen setzt. Man kann durch Umpolen des Stromes in den Spulen den Elektronenstrahl an der
x-Achse spiegeln. Dazu liegen mir aber keine Aufzeichnungen vor.
379
19 Elektronen im mg. Feld
y
bc
M
16
12
8
g1
4
r
g2
M2
P1
−4
M1
b
P2
bc
2
P3
bc
b
−2
bc
4
6
8
10
x
Abbildung 19.7: Die Bestimmung des Umkreismittelpunktes aus den Punkten P1 (0|0, 1),
P2 (4|0, 8) und P3 (7|2); Maßstab 1:2
Gegeben seien die Punkte P1 (x1 |y1 ), P2 (x2 |y2 ), P3 (x3 |y3 ). Für den Radius r des Umkreises gilt dann:
q
r = (xM − x2 )2 + (yM − y2 )2 .
(19.7)
M (xM |yM ) ist der Kreismittelpunkt, den man als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
der Strecken P1 P2 bzw. P2 P3 bestimmen kann.
1. Die Geraden g1 : y = m1 x + b1 und g2 : y = m2 x + b2 stehen senkrecht in den
Mittelpunkten M1 und M2 der Strecken P1 P2 bzw. P2 P3 .
a) Für den Mittelpunkt M1 (xM1 |yM1 ) gilt:
xM 1 =
x1 + x2
2
und
yM1 =
y1 + y2
.
2
yM2 =
y2 + y3
.
2
Für den Mittelpunkt M2 (xM2 |yM2 ) gilt:
xM 2 =
380
x2 + x3
2
und
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
b) Für die Steigung m1 , die sich als negativer Kehrwert der Steigung von P1 P2
berechnet, gilt:
m1 = −
1
1
x2 − x1
.
= − y2 −y1 = −
mP1 P2
y2 − y1
x −x
2
1
Für die Steigung m2 , die sich als negativer Kehrwert der Steigung von P2 P3
berechnet, gilt:
m2 = −
1
mP2 P3
1
x3 − x2
= − y3 −y2 = −
.
y3 − y2
x −x
3
2
c) Der Achsenabschnitt b1 bezogen auf den Mittelpunkt M1 errechnet sich zu:
b1 = yM1 − m1 · xM1 .
Der Achsenabschnitt b2 bezogen auf den Mittelpunkt M2 errechnet sich zu:
b2 = yM2 − m2 · xM2 .
2. Den Schnittpunkt der Geraden G1 : y = m1 x + b1 und G2 : y = m2 x + b2 erhält
man durch Gleichsetzen:
m1 xM + b1 = m2 xM + b2 ;
b2 − b1
xM =
;
m1 − m2
yM = m1 xM + b1
b2 − b1
m1 − m2
= m1 ·
+ b1 ·
m1 − m2
m1 − m2
m1 b2 − m2 b1
=
.
m1 − m2
Speziell für die Punkte P1 (0|0, 1), P2 (4|0, 8) und P3 (7|2) ergibt sich (alle Daten in cm):
1.
a)
0+4
= 2;
2
4+7
=
= 5, 5 ;
2
0, 1 + 0, 8
= 0, 45 ;
2
0, 8 + 2
=
= 1, 4 .
2
xM1 =
yM1 =
xM2
yM2
b)
m1 = −
1
4−0
=−
= −5, 7143 ;
mP1 P2
0, 8 − 0, 1
381
19 Elektronen im mg. Feld
m2 = −
1
mP2 P3
=−
7−4
= −2, 5 ;
2 − 0, 8
b1 = 0, 45 + 5, 7143 · 2 = 11, 879 ;
b2 = 1, 4 + 2, 5 · 5, 5 = 15, 15 .
2.
15, 15 − 11, 879
= −1, 0178 ;
−5, 7143 + 2, 5
−5, 7143 · 15, 15 − (−2, 5) · 11, 879
=
= 17, 694 .
−5, 7143 + 2, 5
xM =
yM
Damit ist gemäß (19.7) und (19.6):
r=
q
(−1, 0178 cm − 4 cm)2 + (17, 694 cm − 0, 8 cm)2 = 17, 623 cm .
m2
As
As
e
·
= 1, 93 · 1011
.
= 5, 986 · 109
me
kg (17, 623 cm)2
kg
Mit einer Tabellenkalkulation lässt sich in einzelnen Schritten eine Berechnung programmieren, mit der andere Kombinationen von Punkten der Messwertetabelle zur Bestimmung des Radius und der spezifischen Ladung herangezogen werden können. Nachstehend eine Auswahl. Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle, da stets der gleiche
Kreis festgelegt wird.
P1 (x1 |y1 )
P2 (x2 |y2 )
P3 (x3 |y3 )
(0|0,10)
(0|0,10)
(0|0,10)
(1|0,15)
(1|0,15)
(1|0,15)
(1|0,15)
(1|0,15)
(1|0,15)
(2|0,30)
(2|0,30)
(3|0,50)
(4|0,80)
(2|0,30)
(2|0,30)
(3|0,50)
(3|0,50)
(4|0,80)
(5|1,10)
(3|0,50)
(6|1,45)
(6|1,45)
(7|2,00)
(5|1,10)
(7|2,00)
(5|1,10)
(7|2,00)
(7|2,00)
(7|2,00)
(5|1,10)
r
cm
17,1494
17,7493
17,6239
18,4394
17,6471
17,4301
17,0190
18,8709
16,6510
16,5287
As
e
/1011
me
kg
2,04
1,90
1,93
1,76
1,92
1,97
2,07
1,68
2,16
2,19
Von allen Möglichkeiten sind hier diejenigen Punktkombinationen herausgesucht worden,
die nicht zu eng aufeinanderfolgen.13
13
Die Berechnung der Radien aus allen Punktkombinationen zeigt allerdings die Fehlerhaftigkeit der
Messung. Ein „vernünftiges“ Ergebnis hängt von der Wahl der Punkte ab.
382
19.3 Messungen zur spezifischen Ladung von Elektronen
Auswertung mit Regression
M
b
r−y
Die Firma Leybold schlägt in [21, Gerätebeschreibung zu 555 12, Seite 5] ein Verfahren
vor, welches ich hier zum Vergleich zu den anderen Auswertungen ausführen möchte. Setzt
man voraus, dass der Elektronenstrahl im Koordinatensystem recht genau längs der x-Achse
verläuft, kann man gemäß der nebenstehenden Abbildung folgenden Zusammenhang formulieren:
r
r2 = x2 + (r − y)2
= x2 + r2 − 2ry + y 2 ;
x
b
b
y
2ry = x2 + y 2 ;
1 1 y = · · x2 + y 2 .
r 2
x
1 2
· x + y 2 auf, so sollten die Punkte auf einer
2
1
Gerade (Abbildung 19.5) liegen, deren Steigung
beträgt. Diese Steigung kann man
r
durch Lineare Regression bestimmen. Wir verwenden die Messdaten von Seite 379 mit
den zugehörigen Werten für n, I, U und a von Seite 378.
Trägt man nun y in Abhängigkeit von
x
cm
0
1
2
3
4
5
6
7
y
cm
0,1
0,15
0,3
0,5
0,8
1,1
1,45
2,0
1 x2 + y 2
·
2
cm2
0,005
0,5113
2,045
4,625
8,32
13,11
19,05
26,5
Lineare Regression ergibt (R2 = 0, 996):
e + 0, 147 ;
ye = 0, 0704 · x
y
x2 + y 2
= 0, 0704 ·
+ 0, 147 ;
cm
2 cm2
x2 + y 2
y = 0, 0704 ·
+ 0, 147 cm .
2 cm
Die Gerade sollte durch (0|0) verlaufen. Allerdings zeigt schon das erste Messwertepaar,
383
19 Elektronen im mg. Feld
y
cm
2,0
bc
1,5
bc
bc
1,0
bc
0,5
bc
bc
bc
bc
0
0
5
10
Abbildung 19.8: Zur Bestimmung von
15
20
2
2
25 x + y
2
2 cm
e
nach [21] Gerätebeschreibung 555 12
me
dass die Bedingung für den Strahlverlauf längs der x-Achse nicht erfüllt ist.14
Mit dem auf diese Weise bestimmten Radius ergibt sich schließlich mit (19.6) (S. 379):
r=
1
cm = 14, 2 cm .
0, 0704
e
As
m2
As
= 5, 986 · 109
·
= 2, 81 · 1011
.
me
kg (14, 6 cm)2
kg
Im Grunde kann man mit dieser technischen Ausstattung höchstens qualitativ eine Vorstellung der Größenordnung für die spezifische Ladung von Elektronen gewinnen.
19.3.6 Beispiele
In den einschlägigen Büchern finden sich gerade hierzu eine Fülle von Beispielen15 mit
Lösungen, so dass ich darauf hier verzichten möchte. Auch werden die bei nicht senkrechtem Eintritt der Elektronen in das mg. Feld entstehenden Schraubenbahnen nicht
weiter (experimentell) untersucht.
14
Es besteht die Möglichkeit, den Verlauf des Strahls mit einem Magnet zu beeinflussen. Inwieweit das
geschehen ist, geht aus meinen Unterlagen nicht hervor.
15
[9, S. 104, 105],[8, S. 45], [16, S. 233, 235], [17, S. 125]
384
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
Ziel dieses Abschnittes ist die experimentell gestützte Herleitung des Induktionsgesetzes.
#»
Dazu wird sowohl die Abhängigkeit vom zeitlich veränderlichen mg. Feld B als auch die
#»
von der Fläche A, in der dieses Feld wirkt, untersucht. Zum Schluss stellt sich die Frage
nach der Orientierung der Wirkung in Bezug zur zeitlichen Änderung als Ursache.
Zunächst sollen einfache qualitative Experimente beschrieben werden, um den Begriff
„Induktionsspannung“ einzuführen. Die Abhängigkeit dieser Induktionsspannung von diversen anderen physikalischen Größen wird dann in Demonstrationsexperimenten „quantitativ“ deutlich gemacht.
20.1 Zeitlich veränderliches mg. Feld
20.1.1 Rückblick – die UVW-Regel I
Wir hatten gelernt (Satz 71, S. 331):
Ein stromdurchflossener Leiter erfährt in einem fremden Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zum Leiter und senkrecht zum Magnetfeld wirkt.
#» #» #»
( I , B, F ) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
Die letzte Aussage bedeutet anschaulich: Ordnet man Daumen (D), Zeigefinger (Z) und
Mittelfinger (M) der rechten Hand paarweise senkrecht an, so bilden die drei Finger
(D,Z,M) in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Dann kann man folgende Zuordnung
angeben:
Daumen
D
Ursache
U
el. Strom
Zeigefinger
Z
Vermittlung
V
mg. Feld
Mittelfinger
M
Wirkung
W
Kraft
#»
I
#»
B
#»
F
20.1.2 Induktion
Experiment Zur Wiederholung und Veranschaulichung bauen wir den Versuch auf,
den wir schon in Abschnitt 17.4.3 (S. 330) beschrieben haben und führen ihn kurz noch
einmal vor.
Nun lösen wir beide Enden, die von der Stromquelle zur Leiterschleife führen, und verbinden sie mit den Eingangsbuchsen eines empfindlichen Spannungsmessgeräts mit Null-
385
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
punkt in der Mitte der Skala.
Bewegt man nun die Leiterschleife im mg. Feld des Hufeisenmagneten hin und her – man
kann sie auch anstoßen und dann schaukeln lassen, so beobachtet man einen wechselnden
Ausschlag am Spannungsmessgerät. Diesen Vorgang bezeichnet man als Induktion.
Offenbar lassen sich Ursache und Wirkung bei diesem Experiment vertauschen. Ist im
ersten Experiment der el. Strom Ursache für die Bewegung, so ist jetzt die Bewegung
Ursache für eine el. Spannung.
Die weiteren Ergebnisse des Experiments formulieren wir wie folgt:
1. Bewegt man einen Leiter im mg. Feld, so entsteht an den Enden des Leiters eine
Spannung, die sogenannte Induktionsspannung. Bei geschlossenem Stromkreis
fließt dann ein Induktionsstrom.
2. Die Orientierung des el. Stromes hängt von den Orientierungen des mg. Feldes und
der Bewegung des Leiters ab.
3. Es kommt nicht darauf an, dass der Leiter im mg. Feld bewegt wird, sondern dass
eine Relativbewegung Leiter-mg. Feld stattfindet.
4. Maximaler Effekt tritt auf, wenn die Relativbewegung senkrecht zu den mg. Feldlinien erfolgt.
Insgesamt können wir nun zusammenfassend formulieren:
Satz 87. Induktionsgesetz Version 1.0 Bewegen sich Leiter und mg. Feld relativ (nicht parallel) zueinander, so entsteht an den Enden des Leiters eine Spannung
(Induktionsspannung, Uind ). Bei geschlossenem Stromkreis fließt dann ein Strom (Induktionsstrom, Iind ).
Mit Freihandexperimenten kann man zeigen, dass die recht kleine Induktionsspannung
durch verschiedene Einflüsse vergrößert werden kann. Verwendet man eine Spule, so beobachtet man eine deutliche Vergrößerung der Induktionsspannung. Ferner ist es möglich,
schnell oder langsam mit einem Stabmagneten in eine Spule einzutauchen. Schließlich
ergibt ein stärkeres mg. Feld – z. B. zwei Stabmagnete zusammen – eine Vergrößerung
der Induktionsspannung.
Fazit: Uind hängt von der Größe des mg. Feld B, der Geschwindigkeit v der Relativbewegung und von der Windungszahl n einer Spule ab.
20.1.3 Wir überlisten Spulen – Induktion ohne Bewegung eines Leiters
Experiment Um nachzuweisen, dass die Bewegung eines Leiters für die Erzeugung
einer Induktionsspannung im mg. Feld nicht notwendig erforderlich ist, bauen wir den
Versuch auf, der in Abbildung 20.1 dargestellt ist. Die beiden Spulen werden so wie in
der Abbildung nebeneinandergestellt, dass die Feldlinien der einen Spule in die andere
hineinreichen können. Als Stromquelle für die erste Spule benutzen wir einen Akku oder
einen Batteriekasten. Den Strom regelt man mit einem Schiebewiderstand auf etwa 1 A.
386
20.1 Zeitlich veränderliches mg. Feld
Als Messgerät habe ich das Doppelmavo1 auf dem Leitz-Projektor Prado verwendet
(Abbildung 20.2 auf der nächsten Seite). Dieses Messgerät hatte zwei Messwerke mit
Mittelstellung übereinander und wurde projiziert, so dass man einerseits die Stromstärke
und andererseits die Induktionsspannung sehr gut gleichzeitig ablesen konnte. Man kann
natürlich auch zwei einzelne Messgeräte wählen und diese evtl. übereinander stellen.
Digitale Anzeigen sind nicht zu empfehlen.
S
I = 1A
Uind , 60 mV
A
V
n1 = 500
n2 = 500
Primärspule
Sekundärspule
VDC
R = 11 Ω
Abbildung 20.1: Erzeugung von Uind durch die zeitliche Änderung eines mg. Feldes
Der Versuch läuft wie folgt ab: Der Strom sollte bereits geregelt und eingeschaltet sein,
bevor der Aufbau erklärt wird. Da im zweiten Stromkreis Uind = 0 und nichts Weiteres
beobachtet wird, soll das Experiment ausgeschaltet werden. Dann ist aber ein kurzer
Ausschlag am Voltmeter zu beobachten.
Fortgesetztes Ein- und Ausschalten zeigt, dass dabei eine Induktionsspannung an den Enden der zweiten Spule anliegt. Die Orientierung der Spannung, d. h. die Polung wechselt
beim Ein- und Ausschalten. Das zeigt sich auch am unterschiedlichen Zeigerausschlag
des Voltmeters. Ein Eisenkern, der ein Stück in die Spulen eingeschoben ist, verstärkt
den Effekt in enormer Weise (Vorsicht! Gegebenenfalls muss der Messbereich geändert
werden.).
Ergebnis: Bei der Entstehung der Induktionsspannung kommt es nicht auf die Relativbewegung zwischen Magnetfeld und Leiter an, sondern auf die zeitliche Änderung des
mg. Feldes.
Damit können wir schreiben:
Satz 88. Induktionsgesetz Version 2.0 Wenn sich ein mg. Feld zeitlich ändert, so
entsteht an den Enden des Leiters (Sekundärspule) eine Spannung (Induktionsspannung,
Uind ). Bei geschlossenem Stromkreis fließt dann ein Strom (Induktionsstrom, Iind ).
1
Siehe auch [6].
387
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
Abbildung 20.2: Projektor Leitz Prado 250 für das Doppelmavo von Gossen mit einem
von zwei Vorwiderstandskästen; Fotos: Axel Tobias
388
20.1 Zeitlich veränderliches mg. Feld
20.1.4 Quantitative Untersuchung der Induktionsspannung
Wir benutzen den experimentellen Aufbau von Abbildung 20.1, um weitergehende Aussagen über die Induktionsspannung formulieren zu können. Dazu ersetzen wir den Batteriekasten durch einen el. Funktionsgenerator2 mit nachgeschaltetem Verstärker3 . Dies
ist in Abbildung 20.3 dargestellt. In der Abbildung sind die beiden Spulen durch ein
Schaltzeichen ersetzt. Der Aufbau der Spulen (Abbildung 20.1) bleibt aber bestehen.
Ein Eisenkern wird soweit von der Sekundärseite in die Spulen eingeschoben, dass die
Anzeige am Voltmeter sinnvolle Ausschläge produziert.
U (t)
I(t)
Uind (t)
A
n1
n2
V
R = 11 Ω
Abbildung 20.3: Automatisches Ein- und Ausschalten mit unterschiedlichen Funktionen
Experiment
1. Zunächst untersuchen wir die Wirkung des Rechteckstromes in der
Primärspule. Es ist etwas mehr als Ein- und Ausschalten. Es handelt sich um einen
zur Zeitachse symmetrischen Wechselstrom, also um Ein- und Ausschalten mit Umpolen. Die Reaktion der Induktionsspannung ist in der Abbildung 20.4 gezeichnet.
Die Graphiken kann man aus Beobachtungen der Zeigerausschläge erstellen. Nur
wenn sich der Strom und damit das mg. Feld in der Primärspule ändert, erhält
man eine Induktionsspannung4 . Die Zeigerausschläge erfolgen sehr schnell wegen
der sehr großen Steigung an den Flanken des Rechteckstroms. Daher benötigt man
ein Messwerk, welches nicht zu träge ist. Trotzdem kann z. B. bei Verdopplung der
Primärstromstärke bei gleicher Frequenz beobachtet werden, dass der Ausschlag
für Uind doppelt so weit ist. Eine Verdopplung der Frequenz funktioniert auch, ist
aber nicht gut zu beobachten.
2. Um eine bessere Beobachtung der Messgeräte zu erreichen, benutzen wir einen
2
[21] Gerätebeschreibung 522 55
[21] Gebrauchsanweisung 522 53
4
Hinweis: Bei richtiger Polung des Messgerätes hat man auch schon eine Möglichkeit, auf die Orientierung der Induktionsspannung in Bezug zur mg. Feldänderung hinzuweisen. Ohne Weiteres lässt sich
das aber an dieser Stelle nicht verständlich argumentieren.
3
389
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
I
I
t
Uind
t
Uind
t
t
Abbildung 20.4: Ein- und Ausschalten erzeugt Spitzen der Induktionsspannung.
I
I
t
Uind
t
Uind
t
Abbildung 20.5: Die Steigung ist ein Maß für die Induktionsspannung.
390
t
20.1 Zeitlich veränderliches mg. Feld
Dreieckstrom (Abbildung 20.5, S. 390), der wegen der konstanten Änderung des
mg.Feldes in der Primärspule einen konstanten Zeigerausschlag für Uind über einen
bestimmten Zeitraum ermöglicht. Hier kann man sehr gut beobachten, dass die
Steigung (zeitliche Änderung des Stromes und damit des mg. Feldes) ein Maß für
Uind ist.
Ganz einfach erkennt man so auch die Abhängigkeit von Uind von der Windungszahl
der Sekundärspule.
Schließlich verändert sich Uind auch durch die Stellung der Sekundärspule in Bezug
zur Primärspule: Dreht man die Sekundärspule langsam, so dass die von den Drahtwindungen umfassten Flächen nicht mehr parallel stehen, so nimmt Uind ab. Den
gleichen Effekt beobachtet man, wenn die Flächen sind nicht mehr ganz, sondern
nur noch zu einem Teil gegenüberstehen.
Zusatz Durch Betrachtung realistischer Änderungen der Stromstärke und zugehöriger Induktionsspannungsänderungen (Übergang von den gestrichelten Verläufen zu den
sin-Kurven in Abbildung 20.6) kann man einfach erkennen, warum sin-förmige Wechselspannung eingesetzt wird: Bei der Verwendung von Transformatoren bleibt die sin-Form
erhalten, da die Änderungen in vergleichbarer Weise periodisch erfolgen. Die Graphen
der sin- und damit auch die der cos-Funktionen sind einander immer ähnlich.
I
I
t
Uind
t
Uind
t
t
Abbildung 20.6: Bei einem Transformator wird genau nur eine sin-Funktion durch Ableiten (sin0 = cos) in ihrer Form nicht verändert.
391
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
20.1.5 Gleichung I für die Induktionsspannung
In Abschnitt 20.1.4 haben wir folgende Zusammenhänge experimentell gezeigt:
∆B
;
∆t
∼ n.
Uind ∼
Uind
Mithin gilt, dass die Induktionsspannung proportional zum Produkt aus der Windungszahl der (Sekundär-) Spule und der zeitlichen Änderung des mg. Feldes B ist:
Uind ∼ n ·
∆B
;
∆t
Uind = konst · n ·
∆B
.
∆t
Wenn man eine Einheitenbetrachtung anschließt, so ergibt sich für die konst die Einheit
einer Fläche:
[konst] =
V·s
[Uind ] · [∆t]
=
=
N
[n] · [∆B]
1 · Am
Nm
As ·
N
Am
s
=
Nm · s · Am
= m2 .
As · N
Dabei handelt es sich offenbar um die Fläche, deren Auswirkung wir in Abschnitt 20.1.4
(S. 391) bereits untersucht haben. Wir setzen auch hier einmal Proportionalität voraus
und schreiben:
Uind = konst∗ · n · A ·
∆B
.
∆t
Gemäß der obigen Einheitenbetrachtung ist die Einheit von konst∗ = 1. Man kann
zeigen, dass im gewählten SI-Einheitensystem sogar konst∗ = 1 gilt. Daher formulieren
wir an dieser Stelle
Satz 89. Induktionsgesetz I
Uind = n · A ·
dB
= n · A · Ḃ
dt
(20.1)
Anmerkung
1. Uind hängt auch von der Kopplung der Primär- und Sekundärspule
ab (Eisenkern). Auch auf diese Weise wird die Wirkung des mg. Feldes verstärkt.
Weitere Untersuchungen dazu habe ich nicht ausgeführt.
2. Die eingesetzten Annahmen zur Herleitung von (20.1) sollen in einem zusammenfassenden Experiment (Bestimmung von µ0 , Abschnitt 20.6, S. 406) verifiziert werden.
392
20.2 Zeitlich veränderlicher mg. Fluss
20.2 Zeitlich veränderlicher mg. Fluss
Man kann auch mit einem zeitlich konstanten mg. Feld eine Induktionsspannung hervorrufen, denn es gibt noch die Möglichkeit, die Anzahl der zu betrachtenden Feldlinien
im Laufe der Zeit zu verändern und damit das in einem bestimmten Bereich betrachtete
Feld zu ändern. Dies soll in diesem Abschnitt erläutert werden.
20.2.1 Induktionsspannung durch Flächenänderung
Zur Herleitung betrachten wir die Abbildung 20.7.
#»
v
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Uind
#»
B
N
N
N
N
N
N
∆A
N
N
N
N
b
N
∆s
∆s = v · ∆t und ∆A = b · ∆s
Abbildung 20.7: Flächenänderung: Ein Draht bewegt sich auf Schienen.
Ein Draht (rot) wird mit der konstanten Geschwindigkeit #»
v durch das konstante Ma#»
gnetfeld B verschoben. Zur Messung der Induktionsspannung bewege sich der Draht
über zwei Metallschienen (schwarz).5
∆s sei die Stecke, die der Draht in der Zeit ∆t mit der Geschwindigkeit v zurücklegt.
Daher ist ∆s = v · ∆t. In dieser Zeit überstreicht der Draht die Fläche ∆A (hellrot). Mit
den geometrischen Daten des Aufbaus gilt also ∆A = b · ∆s.
Nun erfahren bewegte Ladungen (Elektronen im Metalldraht) im mg. Feld eine Kraft
(vergleiche Satz 75, S. 342). Für den Betrag der Kraft (Lorentzkraft FL ) gilt hier:
FL = e · v · B .
An einem Ende des Drahtes (rot) tritt somit ein Elektronenmangel und entsprechend
5
Es gibt Versuchsgeräte, mit der man das vorgestellte Verfahren experimentell durchführen kann, z. B.
[21, Induktionsgerät 516 40] . Ich habe das Gerät allerdings nie benutzt und daher auch keine Messdaten vorliegen. Eine modellmäßige Betrachtung schien mir im Gesamtzusammenhang an dieser Stelle
ausreichend.
393
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
am anderen Ende ein Elektronenüberschuss auf.6 Folglich wird ein el. Feld aufgebaut
vom Betrag7 :
Uind
.
b
E=
Ein Elektron erfährt die Kraft:
Fel = e · E = e ·
Uind
.
b
Irgendwann stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein, denn wir bestimmen die Spannung
und es fließt idealerweise kein Strom. Deshalb erhalten wir aus den zuletzt angegebenen
Gleichungen für die Kräfte:
FL = Fel ;
Uind
e·v·B =e·
;
b
∆A
∆s
·b·B =B·
.
∆t
∆t
Uind = v · B · b =
Bei n Windungen einer Spule hätte man also
Uind = n · B ·
∆A
.
∆t
Satz 90. Induktionsgesetz II
Uind = n · B ·
dA
= n · B · Ȧ
dt
(20.2)
20.2.2 Induktionsspannung durch mg. Flussänderung
Betrachten wir nur die Gleichungen
dB
= n · A · Ḃ und
dt
dA
= n · B · Ȧ ,
=n·B·
dt
(20.1) Uind = n · A ·
(20.2) Uind
so kann man sich überlegen, dass bei gleichzeitiger Änderung des mg. Feldes und der Fläche die Induktionsspannung durch beide Vorgänge beeinflusst wird, und da die Spannung
eine skalare Größe ist, addieren sich die Einflüsse.
6
Da nur Beträge betrachtet werden, ist die Frage, wo sich die Elektronen häufen, nicht wichtig. Gemäß
Satz 75 (UVW-Regel I) ist die technische Stromrichtung von unten nach oben orientiert. Daher
sammeln sich die negativen Elektronen an der unteren Schiene.
7
Siehe (11.2), S. 248.
394
20.3 Die Orientierung des Induktionsstromes
Man beachte außerdem die aus der Analysis bekannte Produktregel 8 und die Definition
der physikalischen Größe mg. Fluss Φ: 9
Def. 50. Unter dem mg. Fluss versteht man die Größe
#» #»
Φ=B·A
Einheit:
[Φ] =
Nm2
def
= Vs = Wb
Am
(20.3)
Die Einheit Wb (lies: Weber) ist nach dem deutschen Physiker Wilhelm Eduard Weber
(1804–1881) benannt.
Zusammenfassend kann man dann nacheinander schreiben:
Uind = n · A ·
dB
dA
+B·
dt
dt
d
(A · B)
dt
dΦ
=n·
dt
Uind = n · A · Ḃ + B · Ȧ
Uind = n · (A(t) · B(t))0
=n·
Uind = n · Φ0 (t) = n · Φ̇
Satz 91. Induktionsgesetz III
Uind = n ·
dΦ
= n · Φ̇
dt
(20.4)
20.3 Die Orientierung des Induktionsstromes
20.3.1 UVW-Regel II
In diesem Abschnitt soll nun die Orientierung der Induktionsspannung und damit die
des Induktionsstromes betrachtet werden. Zunächst einmal stellen wir fest, dass die
UVW-Regel I hier nicht angewendet werden kann, da ja die Ursache mit der Wirkung
vertauscht ist. Die UVW-Regel I konnte man seinerzeit schnell als Merkregel gewinnen,
denn je nach Stromrichtung ergab sich gerade in Abhängigkeit von der Orientierung des
mg. Feldes die der Kraftwirkung.
Ob die Regel ebenfalls gilt, wenn in Bezug zur UVW-Regel I Ursache und Wirkung
vertauscht sind, kann man in einem Experiment klären.
Experiment Wir bauen den Hufeisenmagnet wie in Abbildung 20.8 auf und üben auf
die Leiterschaukel eine Kraft nach rechts aus (Ursache, U). Die Orientierung des StroProduktregel: Seien g und h in x0 ∈ R differenzierbare Funktionen, dann ist g · h differenzierbar in x0
und es gilt (g · h)0 (x0 ) = g 0 (x0 ) · h (x0 ) + g (x0 ) · h0 (x0 ). Kurz: (g · h)0 = g 0 · h + g · h0 .
9
Vergleiche dazu die Definition des el. Flusses in Definition 42 (S. 311) und beachte die bereits durchgeführten allgemeinen Betrachtungen zum mg. Fluss eines zeitlich konstanten mg. Feldes in Abschnitt
17.2.1 (S. 326).
8
395
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
mes (Wirkung, W) kann man mit einem normalen Stromstärkemessgerät bestimmen:
Die Orientierung bei diesen Messgeräten ist so eingerichtet, dass ein Strom in technischer Stromrichtung einen positiven Ausschlag (also in Schreib- und Leserichtung, von
links nach rechts) verursacht, wenn er bei „+“ in das Messgerät hineinfließt und (dann
natürlich) bei „−“ wieder herauskommt. Das kann man gegebenenfalls mit einer Batterie
demonstrieren.
Vermutet man, dass der Strom (roter Pfeil) so wie in Abbildung 20.8 verläuft, erhält
man einen positiven Ausschlag des Messgerätes, wenn „+“ an der Stelle „W, hi“ (und
„−“ bei „vo“ angeschlossen wird.
Damit ist gezeigt, dass die Orientierung ebenfalls nach der UVW-Regel funktioniert.
Diese ist also auch für diesen Fall einsetzbar.
ob
W, hi
N
#»
I
li
N
U, re
#»
F
#»
B
#»
F
S
vo
V, un
Abbildung 20.8: Experimentelle Bestätigung der Gültigkeit der UVW-Regel II
Damit formulieren wir den
Satz 92. UVW-Regel II Ordnet man Daumen (D), Zeigefinger (Z) und Mittelfinger
(M) der rechten Hand paarweise senkrecht an, so bilden die drei Finger (D,Z,M) in
dieser Reihenfolge ein Rechtssystem und man kann folgende Zuordnung angeben:
Daumen
D
Ursache
U
Kraft
Zeigefinger
Z
Vermittlung
V
mg. Feld
Mittelfinger
M
Wirkung
W
el. Strom
#»
F
#»
B
#»
I
20.3.2 Lenzsche Regel
Die Möglichkeit Ursache und Wirkung mit der im Prinzip gleichen Regel vertauschen zu
können, bedeutet letztlich natürlich eine Orientierungsänderung. In welcher Weise sich
das auswirkt soll in diesem Abschnitt geklärt werden.
Betrachten wir dazu die Abbildung 20.9. Sie zeigt links die Erzeugung des Induktionsstromes durch eine Kraft (Bewegung) in der Orientierung gemäß der UVW-Regel II. Da
396
20.3 Die Orientierung des Induktionsstromes
ob
ob
W, hi
U, hi
#»
I
li
#»
F
#»
I
U, re
W, li
#»
F
#»
B
re
#»
B
vo
vo
V, un
V, un
Abbildung 20.9: Ursache mit Wirkung und Rückwirkung: links Ursache mit Wirkung
nach UVW-Regel II, rechts Rückwirkung nach UVW-Regel I
es sich nun um einen stromdurchflossenen Draht im mg. Feld handelt, kann man die
UVW-Regel I anwenden und erhält die rechte Situation, die genau dann vorhanden ist,
wenn links ein Induktionsstrom fließt. Danach entsteht eine Kraft (Lorentzkraft) auf
den Draht, der die ursprüngliche Kraft (Bewegung) schwächt – und nicht etwa stärkt,
was im Gegensatz zum Energieerhaltungssatz stünde. Dann würde eine beliebig kleine
Bewegung ausreichen, einen sich stets selbst vergrößernden Strom zu erzeugen.
Diese allgemeingültige Eigenschaft formulieren wir im folgenden
Satz 93. Lenzsche Regel Der Induktionsstrom ist so orientiert, dass er seiner Entstehungsursache entgegenwirkt.10
Auf das Induktionsgesetz wirkt sich das in folgender Weise aus:
Satz 94. Induktionsgesetz
Uind = −n ·
dΦ
= −n · Φ̇
dt
(20.5)
20.3.3 Selbstinduktion
Experiment Wir bauen die Schaltung Abbildung 20.10 auf. Als Stromquelle verwendet man einen Akku mit ca. 6 V Gleichspannung und stellt den variablen Widerstand R
so ein, dass die gleichartigen Lampen `1 und `2 gleich hell leuchten. Dann öffnet man
den Schalter S. Die Spule befindet auf einem U-Kern mit Joch und Spannvorrichtung11 .
Schließt man nun den Schalter, so leuchtet `2 sofort auf während es ca. 1 s dauert, bis
`1 die volle Helligkeit erreicht hat. Die Zeitdifferenz wird deutlich kleiner, wenn das
Joch etwas verschoben wird und nicht mehr bündig mit dem U-Kern abschließt. Die
10
11
Heinrich Friedrich Emil Lenz, 1804–1865, baltischer Physiker
[21] Gerätenummer 562 11, 562 12
397
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
n = 1 000
ℓ1 (6 V, 3 W)
S
+
R = 11 Ω
ℓ2
−
Abbildung 20.10: Wirkung der Selbstinduktion
Beobachtung, dass `1 beim Ausschalten nachleuchtet, lässt sich in diesem Experiment
nicht sichtbar machen. Ebenso ist die Abhängigkeit von weiteren Eigenschaften der Spule
nicht darstellbar.
Zur Erklärung überlegt man, dass beim Einschalten des Stromes in der Spule das mg.
Feld anwächst und nach der Lenzschen Regel einen Strom induziert, der seiner Entstehungsursache entgegen orientiert ist. Man spricht hier von der Selbstinduktion der
Spule.
Wie groß diese Selbstinduktion ist hängt offenbar von Eigenschaften der Spule ab (z. B.
Verschieben des Jochs). Für eine lange Spule soll dies durchgerechnet werden.
Für diesen Fall gilt (17.11):
n·I
.
`
Mit den Gleichungen (20.5) und (20.3) hat man daher:
B = µ0 ·
dΦ
dt
d (A · B)
= −n ·
dt
d A · µ0 · n·I
`
= −n ·
dt
A · µ0 · n dI
= −n ·
·
`
dt
dI
n2
·A·
= −µ0 ·
`
dt
dI
n2
= −L ·
mit L = µ0 ·
· A.
dt
`
Uind = −n ·
n2
Offenbar hängt der Ausdruck L = µ0 ·
· A nur noch von den Eigenschaften der ver`
wendeten Spule ab. L heißt Selbstinduktionskoeffizient der Spule. Hier ist L beispielhaft
für eine lange Spule ermittelt worden. Falls die Spule noch mit (ferromagnetischem)
398
20.4 Beispiele
Material gefüllt ist, so tritt noch der Faktor µr hinzu.
Def. 51. Unter dem Selbstinduktionskoeffizient (hier: einer langen Spule) versteht
man die Größe
L = µr µ 0 ·
n2
·A
`
Einheit:
[L] =
Vs def
=H
A
(20.6)
Die Einheit H (lies: Henry) ist nach dem US-amerikanischer Physiker Joseph Henry
(1797–1878) benannt.
Zusatz Interessant ist hier die Gegenüberstellung der Gleichungen (20.6) und (12.8)
(S. 259): Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum
C = εr ε0 ·
A
d
Einheit:
[C] =
As
=F
V
Abschließend kann man das Induktionsgesetz mit dem Selbstinduktionskoeffizient in
folgender Weise zusammenfassen:
Satz 95. Induktionsgesetz mit Selbstinduktionskoeffizient
Uind = −L ·
dI
= −L · I˙
dt
(20.7)
20.4 Beispiele
20.4.1 Zwei Standardbeispiele zu mg. Fluss und Induktionsspannung
1. Im Inneren einer Feldspule befindet sich eine Induktionsspule. In der Feldspule
wird der Strom in den ersten 4 s gleichmäßig von 0 auf 4 A vergrößert, dann bleibt
er 2 s konstant. Hierauf wird er in 1 s gleichmäßig auf 8 A gesteigert und, nachdem
er eine weitere Sekunde konstant geblieben war, innerhalb von 4 s gleichmäßig auf
Null verringert. 12
Stelle den zeitlichen Verlauf der in der Induktionsspule induzierten Spannung in
beliebigen Einheiten graphisch dar.
Lösung: Abbildung 20.12 (S. 400)
2. Durch das nachfolgend gezeichnete homogene Magnetfeld (schraffiert, Abbildung
20.11) einer Spule I vom Querschnitt 3 · 3 cm2 wird eine Induktionsspule II mit der
Windungsfläche 1 · 1 cm2 mit konstanter Geschwindigkeit gezogen.
Stelle den zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung vom Ausgangspunkt 0 cm bis
zum Endpunkt 8 cm graphisch dar. 13
12
13
[17, 6.6.1.5a]
[17, S. 6.6.1.6]
399
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
I
II
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
cm
Abbildung 20.11: Zu Aufgabe 2
Lösung: Abbildung 20.13 (S. 401)
I
A
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t
s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t
s
Uind
Abbildung 20.12: Lösung zu Aufgabe 1 (S. 399)
20.4.2 Beispiel 2 in einer Klausur
Abgeleitet von der Aufgabe 2 (S. 399) habe ich in der Klausur Nr. 1, LK PH, Jgst. 13,
15.09.2000, 4 Std., L0051A.TEX den Auftrag durch die Angabe einer Geschwindigkeit
400
20.4 Beispiele
Uind
Uind = 1 µV
1
2
3
4
5
6
7
8
x t
,
cm s
Uind = −1 µV
Abbildung 20.13: Zu Aufgabe 2 (S. 399) und Abschnitt 20.4.2 (graurote Beschriftung)
auch absolut berechenbar gestaltet. Darüber hinaus ist die Angabe des Flusses und der
induzierten Spannung verlangt. Der Text dazu lautet:
Durch das gezeichnete homogene Magnetfeld B = 10 mT (Abbildung 20.11)
einer Spule (I) vom Querschnitt 3 · 3 cm2 wird eine Induktionsspule (II) mit
der Windungsfläche 1 · 1 cm2 mit konstanter Geschwindigkeit (1 cm
s ) gezogen.
Stelle den zeitlichen Verlauf des mg. Flusses und der induzierten Spannung
vom Ausgangspunkt 0 cm bis zum Endpunkt 7 cm graphisch dar.
Der mg. Fluss Φ = A·B ist ungleich Null, nur wenn Spule II vom Feld der Spule I durchsetzt ist. Wegen der gleichförmigen Bewegung ist x ∼ t mit dem Proportionalitätsfaktor
1 cm
s . Φ ändert sich linear auf den Maximalwert Φmax = A · B, wenn die Spule II ganz
in I eingetaucht ist. Uind ist die negative Änderung (Ableitung) von Φ. daher:
Φmax = A · B = 1 cm2 · 10 mT = 1 µTm2 ;
|Uind,max | = 1 ·
1 µTm2
µN m2
=1
·
= 1 µV .
1s
Am s
Φ
µTm2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
s
Abbildung 20.14: Verlauf des mg. Flusses
401
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
Der zugehörige Verlauf der Induktionsspannung ist in Abbildung 20.13 wiedergegeben.
Hierfür gilt die graurote Beschriftung.
20.4.3 Ergänzung: Beispiel für Flächen- und Magnetfeldänderungen
Man kann die Aufgabe noch etwas aufwerten, wenn man tatsächlich die funktionalen
Zusammenhänge darstellt. Das soll einmal für die aktuelle Aufgabe erfolgen. Danach betrachten wir zur Bewegung gleichzeitig eine (einfache lineare) Änderung des mg. Feldes.
Diese Ideen eignen sich m. E. allerdings nicht für eine Klausur. Sie war mit der oben
gestellten Aufgabe abgeschlossen.
Für die Fläche A der Leiterschleife II, die vom mg. Feld durchsetzt ist, gilt mit b als
Breite und der Länge `:
A(t) = b · `(t) = b · v · t = 1 cm · 1
cm
t
· t = 1 cm2 · .
s
s
Für den mg. Fluss ergibt sich für den Eintritt in das mg. Feld zunächst:
Φ(t) = A(t) · B = 1 cm2 ·
t
t
· 10 mT = 1 µTm2 · .
s
s
Nun fängt die Spule I erst bei der Marke 2 cm an, d. h. wir müssen die Zeit wegen
v = 1 cm
s um 2 s verschieben. Daher gilt – auch entsprechend für den Austritt:
1
t
· (t − 2 s) , für 2 ≤ ≤ 3 ;
s
s
1
t
Φ(t) = −1 µTm2 · · (t − 6 s) , für 5 ≤ ≤ 6 .
s
s
Φ(t) = 1 µTm2 ·
Insgesamt also:
Φ(t) =
0
2 1
1 µTm · s · (t − 2 s)
1 µTm2
2 1
−1 µTm · s
0
Uind = −Φ̇(t) =
0
Tm2
−1 µ s = −1 µV
0
1 µV
0
Zur Einheit:
402
Tm2
s
=
N
Am
·
m2
s
=
,
,
,
· (t − 6 s) ,
,
Nm
As
=V
,
,
,
,
,
falls
falls
falls
falls
falls
falls
falls
falls
falls
falls
0≤
2≤
3≤
5≤
6≤
0≤
2≤
3≤
5≤
6≤
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
≤2
≤3
≤5
≤6
≤2
≤3
≤5
≤6
20.4 Beispiele
Nun betrachten wir noch zusätzlich eine (einfache) Änderung des mg. Feldes mit
B(t) = 10 mT ·
t
.
s
B(0) = 0 gelte für den Fall, wo die Leiterschleife I an der Marke 0 startet.
t
Für den mg. Fluss ergibt sich für 2 ≤ ≤ 3 zunächst:
s
1
t
Φ(t) = A(t) · B(t) = 1 cm2 · · (t − 2 s) · 10 mT · = 1 µTm2 ·
s
s
Entsprechend für 5 ≤
!
6t
t2
−
2
s
s
!
0≤
2≤
3≤
5≤
6≤
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
.
t
≤ 6:
s
1
t
Φ(t) = A(t) · B(t) = 1 cm2 · · (t − 6 s) · 10 mT · = 1 µTm2 ·
s
s
Für 3 ≤
t2
2t
−
2
s
s
.
t
≤ 5 ändert sich nur das mg. Feld:
s
Φ(t) = A(t) · B(t) = 1 cm2 · 10 mT ·
t
t
= 1 µTm2 ·
s
s
Zusammengefasst:
Φ(t) =
0
2
1 µTm2 · st2 − 2t
s
, falls 0 ≤
2
2
t
6t
−1 µTm · s2 − s
0
, falls 5 ≤
2
1 µTm ·
, falls 2 ≤
t
s
, falls 3 ≤
, falls 6 ≤
t
s
t
s
t
s
t
s
t
s
≤2
≤3
≤5
≤6
Für die Induktionsspannung heißt das wieder:
Uind = −Φ̇(t) =
0
2
t
1
−2
µTm
·
2 − s
s
−1 µV
2
t
3
2
µTm
·
−
2
s
s
0
=
0
t
−2 µV · s + 2 µV
−1 µV
2 µV · st − 6 µV
0
,
,
,
,
,
falls
falls
falls
falls
falls
≤2
≤3
≤5
≤6
Die zugehörigen graphischen Darstellungen findet man in Abbildung 20.15 (S. 404).
403
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
Φ
µWb
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
t
s
1
2
3
4
5
6
t
s
−2
Uind
µV
6
4
2
0
−2
−4
−6
Abbildung 20.15: Graphische Darstellung des mg. Flusses und der zugehörigen Induktionsspannung; die gestrichelten Linien dienen der Verdeutlichung der
(„händisch“. . . ) eingezeichneten Parabeln.
404
20.5 Bewegte Magnete und Kreisströme
20.5 Bewegte Magnete und Kreisströme
Viele kennen vielleicht den Versuch mit dem Aluminiumring, der als Sekundärspule mit
einer Windung um den Eisenkern einer Primärspule liegt und beim Einschalten des
Stroms in der Primärspule hochfliegt. Ich habe einen alternativen Versuch vorgeführt,
der im Folgenden beschrieben werden soll.
Experiment Ein Aluminiumring wird mit zwei Fäden (bifilar) an Stativmaterial befestigt, so dass er frei schwingen kann. Nähert man sich nun mit einem (starken) Magnet,
so wird der Ring abgestoßen – unabhängig davon, ob man sich mit dem Nordpol oder
Südpol des Magnets nähert.
Zieht man den Magnet aus dem Ring heraus, so wird letzterer unabhängig von der
Polung angezogen.
Durch geschicktes Hin- und Herbewegen des Magnets im Ring kann man die dadurch
entstehende Schwingung vergrößern und deutlich sichtbar machen.
Fazit: Der Ringstrom im Magnet, der durch das sich ändernde mg. Feld des bewegten
Permanentmagneten hervorgerufen wird, ist so orientiert, dass das durch den Strom entstehende mg. Feld die Relativbewegung Magnet-Ring vermindert, was auch gemäß der
Lenzschen Regel14 eintreten muss. Die verschiedenen Möglichkeiten sind in der Abbildung 20.16 dargestellt.
S
N
N
S
N
S
S
N
S
N
N
S
S
N
N
S
Abbildung 20.16: Eine Leiterschleife reagiert auf das Nähern oder Entfernen eines mg.
Feldes
14
Satz 93 (S. 397)
405
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
20.6 Bestimmung der mg. Feldkonstante
20.6.1 Schaltung und Erläuterungen zum Versuchsaufbau
Der Aufbau erfolgt auf der Basis des bereits in Abschnitt 20.1.4 (S. 389) in Abbildung
20.3 beschriebenen Versuchs.
3A
U (t)
I(t)
A
Uind (t) ≫
0, 3 mV, ∆U = 0
200 Ω,
300 µA, 60 mV
V
≈ 0, 125 Hz
5Ω
y1 -t
(Strom;
V
1 cm
)
y2 -t
(Spannung;
10 mV
cm )
Abbildung 20.17: Schaltung zur Bestimmung von µ0
Am el. Funktionsgenerator15 mit nachgeschaltetem Verstärker16 stellen wir eine Dreieckspannung von etwa 0, 1 Hz ein. Im daran angeschlossenen Primärstromkreis kann man
mit einem Amperemeter den zeitlichen Verlauf des Stromes darstellen. Der Strom fließt
dann durch die zwei zusammensteckbaren langen Zylinderspulen17 mit 240 Windungen
und erzeugt ein zeitlich veränderliches mg. Feld, welches in seiner Art im Kapitel 18.2
(S. 359) untersucht wurde. Der mit 5 Ω bezeichnete Messwiderstand dient der Erzeugung
einer definierten Spannung zur Messung der Stromstärke mit dem xy-Schreiber.
Innerhalb dieser Primärspulen wird eine Sekundärspule mit 60 Windungen18 (aus einem
ebenfalls zusammensteckbaren Doppel) konzentrisch und symmetrisch justiert wie es
in Abbildung 20.17 angedeutet ist. Man verwendet zum Justieren sinnvollerweise Holzstangen, zur Not auch Papiertaschentücher. An den Enden dieser Sekundärspule schließt
man den spannungsempfindlichen Messverstärker19 an. Da der Ausgang für ein Standardmessgerät20 mit 200 Ω, 300 µA, 60 mV ausgelegt ist, habe ich ein solches zum Ausgang
parallel geschaltet und darüber auf dem xy-Schreiber die Induktionsspannung gemessen.
15
[21] Gebrauchsanweisung 522 55
[21] Gerätebeschreibung 522 53
17
[21, Gebrauchsanweisung 516 22]
18
Die aufgeführten Spulen (Feld- und Induktionsspule), die in diesem Experiment verwendet wurden,
gibt es in dieser Form nur noch unter [21, 516 243 und 516 244]
19
[21] Gerätebeschreibung 532 06
20
[21] Gerätebeschreibung 531 86
16
406
20.6 Bestimmung der mg. Feldkonstante
An dem Messgerät lässt sich dann auch die Induktionsspannung leicht kontrollieren.
2 ,4 0 c m
8 ,2 9 c m
Zur Ermittlung des zeitlichen Verlaufs des Eingangs- und Ausgangssignals schließt man
den xy-Schreiber einmal im Primärstromkreis an und nimmt die Dreieckspannung am
Messwiderstand auf. Danach zeichnet man auf demselben Blatt die Induktionsspannung
im Sekundärstromkreis auf. Das Ergebnis einer solchen Messung ist in Abbildung 20.18
wiedergegeben. Man kann das Blatt kopieren und den Schülern zur Auswertung vorlegen.
Die Abbildung zeigt einen 1:1 Ausschnitt von einem A4-Blatt-Original. Die eingetragenen
Linien und Abstandsdaten sind mit Micrografx Designer 7.1 über den Scan gelegt und
so auch gemessen worden.21
3 ,3 3 c m
Abbildung 20.18: Vom xy-Schreiber in 2 Schritten aufgenommenes Diagramm zur Bestimmung von µ0 ; Datum des Versuchs: 29.09.2005; Daten zur Skalierung befinden sich im Text.
20.6.2 Zusammenstellung der Messdaten
Der Index 1 bezieht sich auf die Primär-, der Index 2 auf die Sekundärspule.
21
Das Programm von 1990 habe ich seinerzeit im ALDI für 29 DM vom Stapel gekauft. Es lässt sich
jetzt nicht mehr unter Windows 10-64 Bit per Setup installieren, läuft aber dort noch in einer VM
mit Windows 10-32 Bit.
407
20 Zeitabhängige Felder – Induktion
• Windungszahl der Spule 1: n1 = 240;
• Windungszahl der Spule 2: n2 = 60;
• Länge der Spule 1: `1 = 60 cm;
• Durchmesser der Spule 2: 7, 2 cm.
• Skalierung des xy-Schreibers
s
.
– t-Achse: 1
cm
V
U
– y1 -Achse für I1 (t): 1
am Widerstand 5 Ω; also wegen I = :
cm
R
y1 =
V
1 cm
A
= 0, 2
.
5Ω
cm
mV
; der spannungsempfindliche Messverstärcm
ker steht im Messbereich 0, 3 mV (Vollausschlag rote Skala) und produziert
damit 300 µA an 200 Ω, also 60 mV, mithin 6 cm für y2 :
– y2 -Achse für U2 (t) = Uind (t): 10
Verstärker
Messgerät
Schreiber
0, 3 mV
0, 3
mV
6
60 mV
6 cm
1 cm
0, 05 mV
y2 = 0, 05
1 cm
µV
mV
= 50
.
cm
cm
Falls der Verstärker auf 0, 1 mV eingestellt ist, ergibt sich entsprechend:
y2 =
0, 1 mV
µV
= 16, 7
.
6 cm
cm
Die Berechnung von µ0 kann nun mit den Gleichungen (20.5), (20.3) und (17.11) (S.
397, 395 und 346) erfolgen:
(20.5)
(20.3)
(17.11)
408
dΦ
Uind = −n ·
;
dt
#» #»
Φ = B ·A;
n·I
B = µ0 ·
.
`
20.6 Bestimmung der mg. Feldkonstante
Mit µr = 1 in guter Näherung für Luftspulen folgt daher:
∆ (A2 · B1 )
∆t
∆B1
= n2 · A2 ·
∆t
1
∆ µ0 · n1`·I
1
= n2 · A2 ·
∆t
n1 ∆I1
·
.
= n2 · A2 · µ0 ·
`1 ∆t
U2 = Uind = n2 ·
Somit ist schließlich insbesondere mit den Daten aus Abbildung 20.18:
µ0 =
=
U2 · `1
·
n 1 · n 2 · A2
2,40
2
∆I1
∆t
−1
cm · 50 µV
cm · 60 cm
240 · 60 · π ·
= 1, 23 · 10−6
7,2 cm 2
2
·
A
8, 29 cm · 0, 2 cm
s
3, 33 cm · 1 cm
!−1
Vs
.
Am
Der Vergleich mit dem Tabellenwert gemäß Definition 17.20 (S. 355)
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Vs
= 1, 26 · 10−6
Am
Am
zeigt, dass das Ergebnis für schulische Zwecke recht gut im Rahmen einer Abweichung
von weniger ca. 5 % gewonnen werden kann.
Nachfolgend noch eine Zusammenstellung der Messdaten aus meinem Archiv, die im
Unterricht in gleicher Weise gemessen wurden:
Datum
16.05.1979
01.07.1981
01.09.1984
29.09.2005
25.08.2008
18.11.2010
08.01.2013
µ0 / 10−6
Vs
Am
1,26
1,24
1,27
1,23
1,13
1,17
1,16
Dabei sind die ersten drei Messungen mit Geräten vom Humboldtgymnasium Solingen,
die letzten vier mit der Ausstattung vom Röntgen-Gymnasium in Lennep gemessen
worden. Die exemplarische Auswertung im aktuellen Abschnitt wurde mit den Daten
vom 29.09.2005 vorgenommen.
409
21 Spule und Kondensator
In diesem Abschnitt soll das ähnliche Verhalten1 von Spule und Kondensator bei zeitlich
veränderlichen Strömen und Spannungen betrachtet werden.
21.1 Hinweise zu Vorkenntnissen
Um einen Einstieg in dieses Kapitel zu bekommen, möchte ich zunächst an die bereits
gefundenen Ergebnisse anknüpfen, die im Abschnitt 20.3.3 (Selbstinduktion; S. 397)
dargestellt wurden.
Man betrachte zunächst die Abbildung 20.10 (S. 398). Beim Einschalten eines Stromes
in einem Stromkreis mit einer Spule leuchtet eine Glühlampe im Vergleich zu einer
mit einem sog. ohmschen Widerstand2 zusammengeschaltete Lampe erkennbar später
auf. Seinerzeit wurde diese Beobachtung mit dem Begriff „Selbstinduktion“ der Spule
gedeutet, wodurch das Anwachsen des Stromes bis zum Höchstwert behindert wurde.
Im besagtem Abschnitt 20.3.3 (S. 399) findet man die rechnerische Darstellung für den
Selbstinduktionskoeffizient L einer (langen) Spule. Darüber hinaus hat man dort eine
Gegenüberstellung der Gleichungen (20.6) und (12.8) (S. 259) für die Kapazität eines
Kondensators mit Dielektrikum:
n2
·A
`
A
C = εr ε0 ·
d
L = µr µ0 ·
(20.6)
(12.8)
Einheit:
Einheit:
Vs
= H;
A
As
[C] =
= F.
V
[L] =
Mit dem Selbstinduktionskoeffizient L konnte man das Induktionsgesetz (20.5) (S. 397)
in der Form (20.7) angeben:
dΦ
= −n · Φ̇ ;
dt
dI
= −L · I˙ .
= −L ·
dt
(20.5)
Uind = −n ·
(20.7)
Uind
Im weiteren Verlauf werden wir eine ähnliche Gleichung für das Verhalten eines Kondensators formulieren (siehe Abschnitt 21.3.2, S. 420).
1
Man könnte das Verhalten der beiden Bauteile als „genauso – nur anders“ charakterisieren. Nähere
Ausführungen dazu erfolgen in diesem Abschnitt.
2
Ein el. Bauelement, welches el. Energie nur in Wärme umwandelt, also im Wesentlichen keine Selbstinduktion besitzt, bezeichnet man auch als ohmschen Widerstand.
411
21 Spule und Kondensator
21.2 Strom- und Spannungsverlauf bei einer Spule
21.2.1 Ein- und Ausschaltvorgang mit einer Spule hoher Induktivität
Experiment Zur Einführung baut man die in der Abbildung 21.1 dargestellte Schaltung auf. Man verwendet eine Spule hoher Induktivität3 (Spule mit großem Selbstinduktionskoeffizienten) in einem Stromkreis mit Messwiderstand R2 und einem Amperemeter.
Der mit R1 bezeichnete Widerstand ist der der Spule. Wegen der großen Windungszahl ist der ohmsche Widerstand recht hoch. Am Widerstand R2 kann die zum Strom
proportionale Spannung am xy-Schreiber aufgezeichnet werden. Als Spannungsquelle U
empfiehlt sich ein Akkumulator 6 V .
U
200 Ω R2
A
L = 640 H
xy -Shreiber
S
R1
280 Ω
Abbildung 21.1: Schaltung zur Untersuchung des Stromverlaufs in einer Spule beim Einund Ausschalten einer Gleichspannung
Legt man den Schalter S um, so wird die Spannungsquelle U eingeschaltet und das
langsame Anwachsen des Stromes kann am Messgerät beobachtet werden. Gleiches gilt
für das Ausschalten, wenn die Spannungsquelle U abgetrennt und die Spule mit den
Widerständen kurzgeschlossen werden. Der Strom nimmt nur langsam ab.4
Die Auswertung einer mit dem xy-Schreiber aufgenommenen Messung erfolgt nach Betrachtung der Theorie zu den hier vorgestellten Vorgängen.
3
4
[21] Gerätebeschreibung 517 01; in veränderter Form jetzt erhältlich unter 517 011 (30.06.2016)
Ohne Aufzeichnung durch einen xy-Schreiber ist es durchaus möglich, die Zunahme bzw. Abnahme des
Stromes mit einer Stoppuhr unter Beobachtung des Messgeräts zu protokollieren. Der Experimentator
startet nach Absprache den Einschaltvorgang und die Schüler messen die Zeit vom Einschalten bis
zu vorgegebenen Stromstärken. Es ist faszinierend, wenn 20 Stoppuhren nahezu gleichzeitig klicken –
ggf. bis auf eine oder zwei, die die vorgegebene Marke verpasst haben und sich als Nachzügler „leider
outen“.
412
21.2 Strom- und Spannungsverlauf bei einer Spule
21.2.2 Stromanstieg bei Spulen
U
UL
UR
Abbildung 21.2: Zur Berechnung des Stromanstiegs bei Spulen
Wir betrachten zunächst einen Stromkreis mit einer Induktivität (Spule) mit dem Selbstinduktionskoeffizient L und einem ohmschen Widerstand R (Abbildung 21.2). Der Spannungsabfall am Widerstand sei mit UR bezeichnet. Für den Spannungsabfall an der Spule
gilt:
UL = −Uind = L ·
dI
= L · I˙ .
dt
(21.1)
Man beachte dabei, dass die Spannung UL , die man misst, der sie erzeugenden Induktionsspannung entgegengesetzt ist. Nach dem Energieerhaltungssatz muss gelten: 5
U = UR + UL = R · I + L ·
U −L·
dI
;
dt
dI
=R·I
dt
(21.2)
Hierbei handelt es sich um eine inhomogene DGL 1. Ordnung, deren Lösung6 hier exemplarisch unter Verwendung der physikalischen Größen dargestellt werden soll. Schrittweise folgt aus (21.2):
dI
;
dt
U
dI
−I =L·
;
R·
R
dt
R
dI
;
dt = U
L
−
I
R
U −R·I =L·
I(t)
Z
dI˜
0
U
R
Zt
=
− I˜
R
dt̃ ;
L
0
5
Angesichts der Gleichung (21.2) kann man auch argumentieren, dass U und Uind die Spannungen
dI
liefern, die insgesamt am ohmschen Widerstand umgesetzt wird: R · I = U + Uind = U − L ·
.
dt
6
Eine allgemeine Betrachtung findet man in [34]. Physikalisch empfehlenswert ist auch [2, S. 635–636].
413
21 Spule und Kondensator
I(t)
R t
U
= · t̃ ;
− ln
− I˜ R
L
0
0
U
U
R
∓ ln
− I(t) ± ln = ± · t ;
R
R
L
!
U
− I(t)
R
ln R U
= − · t;
L
R
U
R
− I(t)
U
R
R
= e− L ·t ;
U − R ·t
U
− I(t) =
·e L ;
R
R
R
U I(t) =
· 1 − e− L ·t .
R
U
Mit der Zeit nimmt der Strom seine Maximalwert Imax =
an. Deshalb hat man als
R
Ergebnis die Darstellung:
R
I(t) = Imax · 1 − e− L ·t
(21.3)
21.2.3 Stromabfall bei Spulen
Wir können wiederum mit der Gleichung (21.2) starten, haben es jetzt aber etwas einfacher. Beim Ausschalten wird die Spannungsquelle U abgetrennt, so dass nur noch L
und R im Stromkreis vorhanden sind (siehe Abbildung 21.1, S. 412.).
−L ·
dI
=R·I
dt
(21.4)
Hierbei handelt es sich um eine homogene DGL 1. Ordnung, deren Lösung7 hier ebenfalls
dargestellt werden soll. Schrittweise folgt aus (21.4):
I(t)
Z
Imax
dI˜
=
I˜
Zt
−
R
dt̃ ;
L
0
I(t)
R t
˜
ln I = − · t̃ ;
L
Imax
0
R
· t;
L
I(t)
R
ln
= − · t.
Imax
L
ln I(t) − ln Imax = −
7
Eine allgemeine Betrachtung findet man in [34].
414
21.2 Strom- und Spannungsverlauf bei einer Spule
R
I(t) = Imax · e− L ·t
(21.5)
21.2.4 Spannungsverlauf bei Spulen
Für den Spannungsverlauf an der Spule erhält man
1. für den Einschaltvorgang (vgl. (21.1)):
dI
dt
R
d =L·
Imax · 1 − e− L ·t
dt
R
−R
·t
= L · Imax · −e L · −
L
UL (t) = −Uind = L ·
R
= Imax · R · e− L ·t ;
R
UL (t) = Umax · e− L ·t
2. für den Ausschaltvorgang (vgl. (21.1)):
R
R
d dI
R
=L·
Imax · e− L ·t = L · Imax · e− L ·t · −
=L·
dt
dt
L
UL (t) = −Uind
;
R
UL = −Umax · e− L ·t
21.2.5 Beispiel; Halbwertszeit
Berechne die Zeit, in der in einem RL-Kreis die Hälfte des Maximalwertes des Stroms
nach dem Einschalten erreicht wird.
Beim Einschalten des Stromes gilt gemäß (21.3):
R
I(t) = Imax · 1 − e− L ·t
R
1
· Imax = Imax · 1 − e− L ·t
2
R
1
= 1 − e− L ·t
2
R
1
= e− L ·t
2
R
2 = e L ·t
415
21 Spule und Kondensator
ln 2 =
R
·t
L
t 1 = ln 2 ·
2
L
R
Die Zeit ist übrigens unabhängig von der angelegten (konstanten) Spannung.
21.2.6 Messung zum Ein- und Ausschaltvorgang
An das bereits zur Demonstration verwendete Experiment 21.1 (S. 412) schließt man nun
den xy-Schreiber im yt-Betrieb an, legt den Schalter S um und richtet am Schreiber den
Verstärkungsfaktor so ein, dass das aufliegende Papier gut ausgenutzt wird. Eine Skalierung in y-Richtung ist nicht unbedingt erforderlich, da man die Maximalstromstärke
im Stromkreis auch am Messgerät ablesen kann. Ebenso benötigt man kein mm-Papier,
da mit dem Schreiber eine Nulllinie gezeichnet werden kann.
Man schaltet die Zeitbasis des Schreibers ein und nach einer kurzen Zeit betätigt man
den Schalter S, um den Strom ein- bzw. auszuschalten8 .
Das Ergebnis einer solchen Messung ist in Abbildung 21.3 (S. 417) wiedergegeben. Man
kann das Blatt kopieren und den Schülern zur Auswertung vorlegen. Die Abbildung
zeigt einen 1:1 Ausschnitt von einem A4-Blatt-Original. Die eingetragenen Linien und
Abstandsdaten sind mit Micrografx Designer 7.1 über den Scan gelegt und so auch
gemessen worden (vergleiche Fußnote S. 407).
Skalierung des xy-Schreibers:
s
• t-Achse: 0, 5 cm
.
• y-Achse für I(t): Mit dem Messgerät wurde Imax = 12, 5 mA abgelesen. Der Ausschlag (siehe Abbildung 21.3) beträgt 12, 57 cm. Mithin ist
y=
12, 5 mA
mA
= 0, 994
.
12, 57 cm
cm
Eine Auswertung soll einerseits die exponentielle Änderung des Stromes in einem mit
einer Induktivität belasteten Stromkreis zeigen, andererseits soll aus den Messdaten der
Selbstinduktionskoeffizient der Spule bestimmt werden.
Dazu erstellen wir zunächst eine Wertetabelle gemäß Abbildung 21.3.
8
Aus Symmetriegründen sollten sich beide Kurven in der Mitte zwischen Imax und 0 schneiden. Dies
setzt allerdings die gleiche Startzeit voraus.
416
1 2 , 4 1 1 2 c, 2 m 8 c m
1 2 , 3 1 1 2 c, 1 m 5 c m
1 2 , 1 1 9 1 ,c 9 m 7 c m
1 2 , 10 1 , 7c m 7 c m
1 1 1, 7 1 2 , 3 c 2 m c m
1 1 ,0 3 , 06 6 c m c m
1 9 0 , ,7 6 6 8 c c m m
8 ,94 ,47 9c m c m
6 , 6 3 8 c , 4m 9 c m
3 ,7 7 c m 6 ,6 6 c m
4 ,0 0 c m
1 2 ,5 7 c m
1 2 ,5 3 c m
21.2 Strom- und Spannungsverlauf bei einer Spule
1 ,0 0 c m
1 ,0 0 c m
Abbildung 21.3: Vom xy-Schreiber in 2 Durchläufen aufgenommene Ein- und Ausschaltkurve bei einer Spule; Datum des Versuchs: 06.07.1987; Daten zur Skalierung befinden sich im Text.
417
21 Spule und Kondensator
t
s
y
cm
I(t)
mA
Imax − I(t)
mA
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
0,00
4,00
6,66
8,49
9,79
10,68
11,30
11,72
12,01
12,19
12,31
12,41
0,00
3,98
6,62
8,44
9,73
10,62
11,23
11,65
11,94
12,12
12,24
12,34
12,50
8,52
5,88
4,06
2,77
1,88
1,27
0,85
0,56
0,38
0,26
0,16
ln
Imax − I(t)
mA
2,526
2,143
1,772
1,401
1,018
0,633
0,237
-0,162
-0,576
-0,959
-1,332
-1,805
Lineare Regression (erste und letzte Spalte) ergibt (R2 = 1, 000):
y = −0, 782 · x + 2, 559 ;
Imax − I(t)
t
ln
= −0, 782 · + 2, 559 ;
mA
s
t
Imax − I(t)
= e−0,782· s +2,559 ;
mA
−0,782· st
;
Imax − I(t) = |e2,559
{zmA} · e
Imax
t
I(t) = 12, 9 mA · 1 − e−0,782· s
R
.
Vergleicht man das mit (21.3) (S. 414): I(t) = Imax · 1 − e− L ·t , so folgt:
R
1
= 0, 782
L
s
Statt die Widerstandswerte von der Aufschrift auf den Geräten R1 = 280 Ω und R2 =
200 Ω (siehe Abbildung 21.1, S. 412) zu übernehmen, wurden die Daten mit einem Ohmmeter nachgemessen: R1 = 288 Ω und R2 = 203 Ω. Daher folgt mit R = R1 +R2 = 491 Ω:
L=
R
491 Ω
Vs
1 =
1 = 628 A = 628 H .
0, 782 s
0, 782 s
Dieser Wert liegt in der Größenordnung der Herstellerangabe (Aufschrift auf der verwendeten Spule: 640 H).
418
21.3 Spannungs- und Stromverlauf bei einem Kondensator
21.3 Spannungs- und Stromverlauf bei einem Kondensator
21.3.1 Spannungsverlauf beim Laden und Entladen eines Kondensators
U
UC
UR
Abbildung 21.4: Zur Berechnung des Spannungsanstiegs bei Kondensatoren
Der Kondensator wird geladen. Wir betrachten zunächst einen Stromkreis mit einem
Kondensator der Kapazität C und einem ohmschen Widerstand R (Abbildung 21.4).
dQ
Der Kondensator wird durch den Ladestrom I(t) =
geladen. Zu jedem Zeitpunkt
dt
gilt für den der Spannungsabfall UR am Widerstand:
UR = R · I(t) = R ·
Nach dem Energieerhaltungssatz muss gelten:9
10
U = UR + UC = R ·
U −R·
dQ
.
dt
dQ Q
+ ;
dt
C
dQ
Q
=
dt
C
(21.6)
Hierbei handelt es sich um eine inhomogene DGL 1. Ordnung, deren Lösung analog zu
der von Gleichung (21.2) angegeben werden kann, wenn man das nachstehende Lexikon
verwendet:
9
Angesichts der Gleichung (21.6) kann man auch argumentieren, dass die Restspannung am Kondensator UC = U − UR beträgt.
10
Schon an dieser Stelle lässt sich die Analogie zu den Gleichungen auf Seite 413 in besonderer Weise
erkennen.
419
21 Spule und Kondensator
(21.2) U − L ·
dI
=R·I
dt
(21.6) U − R ·
U
L
I
t
←→
←→
←→
←→
R
←→
R
(21.3) I(t) = Imax · 1 − e− L ·t
dQ
Q
=
dt
C
U
R
Q
t
1
C
1
Q(t) = Qmax · 1 − e− RC ·t
1
Q
für den
, so gilt wegen C =
C
UC
Multipliziert man die letzte Gleichung (rechts) mit
zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator:
1
UC (t) = Umax · 1 − e− RC ·t
(21.7)
Der Kondensator wird entladen. Für den Entladevorgang erhalten wir wegen U = 0
aus (21.6):
dQ
Q
−R ·
=
(21.8)
dt
C
dI
=R·I
dt
(21.8) −R ·
(21.4)
−L ·
(21.5)
I(t) = Imax · e− L ·t
R
dQ
Q
=
dt
C
1
Q(t) = Qmax · e− RC ·t
Multipliziert man die letzte Gleichung rechts mit
zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator:
1
Q
, so gilt wegen C =
für den
C
UC
1
UC (t) = Umax · e− RC ·t
(21.9)
21.3.2 Verlauf des Lade- und Entladestromes bei einem Kondensator
Zunächst können wir nachstehende Beziehung betrachten, die eine ähnliche Struktur wie
das Induktionsgesetz aufweist:
I(t) =
d (C · U )
dU
dQ
=
=C·
.
dt
dt
dt
Für den Stromverlauf im Stromkreis erhält man damit
420
21.3 Spannungs- und Stromverlauf bei einem Kondensator
1. für den Einschaltvorgang (der Kondensator wird geladen):
dU
dt
1
d =C·
Umax · 1 − e− RC ·t
dt
1
1
− RC
·t
= C · Umax · −e
· −
RC
Umax − 1 ·t
=
· e RC ;
R
I(t) = C ·
1
I(t) = Imax · e− RC ·t
2. für den Ausschaltvorgang (Kondensator wird entladen):
1
1
d 1
dU
=C·
Umax · e− RC ·t = C · Umax · e− RC ·t · −
I(t) = C ·
dt
dt
RC
;
1
I(t) = −Imax · e− RC ·t
21.3.3 Messung zum Lade- und Entladevorgang
Man verwendet wieder die Schaltung 21.1 (S. 412). Statt der Spule L wählt man einen
Kondensator11 C = 40 µF. R1 ist prinzipiell obsolet und R2 = 100 kΩ. Das Netzgerät
sollte ca. 90 V Gleichspannung liefern. Die Aufnahme der Lade- und Entladekurve erfolgt mit dem xy-Schreiber direkt als Spannung am Kondensator. Die Skalierung und
das Ergebnis der Messung ist in Abbildung 21.5 dargestellt. Ich habe das Original 1:1
gescannt, nachträglich seitenverhältnisgleich um den Faktor 2 verkleinert und mit Micrografx (vergleiche S. 416) maßstabsgetreu 2:1 skaliert mit Bemaßungslinien versehen.
Wegen des etwas ungenauen Anfangs habe ich den Start etwas nach rechts verschoben,
1
UC (t)
denn wegen (21.9) ist
= e− RC ·t und die Definition von t = 0 ohne Auswirkungen.
Umax
Die Daten sind in Tabelle 21.1 zusammengestellt.
Tabelle 21.1: Messdaten
t
U
U (t)
ln
s
Skt
Skt
0,0 13,22
2,58
Fortsetzung . . .
11
t
s
4,0
U
Skt
4,69
U (t)
ln
Skt
1,55
[21] Gerätebeschreibung 517 02; in veränderter Form jetzt erhältlich unter 517 021 (12.07.2016)
421
21 Spule und Kondensator
Tabelle 21.1: (Fortsetzung)
U
Skt
11,55
10,20
8,95
7,84
6,91
6,08
5,35
U (t)
ln
Skt
2,45
2,32
2,19
2,06
1,93
1,81
1,68
t
s
4,5
5,0
5,5
6,0
U
Skt
4,14
3,66
3,22
2,84
U (t)
ln
Skt
1,42
1,30
1,17
1,04
8
7 ,8
6 ,9 1
6 ,0 8 c
5 ,3 5 c m
4 ,6 9 c m
4 ,1 4 c m
3 ,6 6 c m
3 ,2 2 c m
2 ,8 4 c m
1 3 ,2 2 c m
1 1 ,5 5 c m
1 0 ,2 0 c m
,9 5 c m
4 c m
c m
m
t
s
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Abbildung 21.5: Vom xy-Schreiber in 2 Durchläufen aufgenommene Lade- und Entladekurve bei einem Kondensator; Datum des Experiments: 22.01.2013
Lineare Regression (erste und letzte Spalte) ergibt (R2 = 1, 000):
y = −0, 257 · x + 2, 58 ;
t
U (t)
ln
= −0, 257 · + 2, 58 ;
Skt
s
t
U (t)
= e−0,257· s +2,58 ;
Skt
422
21.4 Ein- und Ausschaltvorgänge mit dem Oszilloskop
t
U (t) = |e2,58{zSkt} · e−0,257· s ;
Umax
t
U (t) = 13, 2 Skt · e−0,257· s .
Vergleicht man das mit (21.9) (S. 420)
1
UC (t) = Umax · e− RC ·t ,
so folgt:
1
1
= 0, 257 .
RC
s
Daher ist mit R = R2 = 100 kΩ:
C=
1
1
−6 As
= 38, 9 µF .
1 =
1 = 38, 9 · 10
V
R · 0, 257 s
100 kΩ · 0, 257 s
Dieser Wert liegt in der Größenordnung der Herstellerangabe (Aufschrift auf dem verwendeten Kondensator: 40 µF).
21.4 Ein- und Ausschaltvorgänge mit dem Oszilloskop
Experiment Ohne xy-Schreiber kann man die Ein- und Ausschaltvorgänge in einem
Stromkreis mit einer Spule bzw. die Lade- und Entladevorgänge bei einem Kondensator
mit einem Oszilloskop darstellen. Dazu baut man zunächst eine Schaltung wie in Abbildung 21.1 auf. Als Spannungsquelle verwendet man einen Funktionsgenerator, der eine
Rechteckspannung von 100 Hz liefert. Die Spule hat n = 1 000 Windungen und befindet
sich auf einem U-Kern mit Joch. Für die Darstellung des Stromverlaufs benutzen wir
einen Widerstand R = 1 kΩ. I und II bezeichnen die Kanäle des Oszilloskops. Man sieht
dann bei entsprechender Einstellung die Schirmbilder wie in Abbildung 21.7 und 21.8.
Die Auswirkung unterschiedlicher Induktivitäten kann man durch Verschieben des Jochs
untersuchen.
Für den Lade- und Entladevorgang bei einem Kondensator vertauscht man L mit einem
Kondensator C, dessen Kapazität etwa die Werte 2 µF, 1 µF und 0, 5 µF haben können.
Die Auswirkung unterschiedlicher Kapazitäten lassen sich so darstellen.
423
21 Spule und Kondensator
b
I
L
b
R
b
II
Abbildung 21.6: Schaltskizze zur Demonstration von Ein- und Ausschaltvorgängen mit
dem Oszilloskop. Statt der Spule L kann man ohne Weiteres auch einen
Kondensator C einsetzen. Näheres dazu findet man im Text.
y
t
Abbildung 21.7: y bedeutet entweder den Stromverlauf bei einer Spule beim Ein- oder
Ausschalten oder den Spannungsverlauf bei einem Kondensator beim
Laden und Entladen.
424
21.4 Ein- und Ausschaltvorgänge mit dem Oszilloskop
y
t
Abbildung 21.8: y bedeutet entweder den Spannungsverlauf bei einer Spule beim Einoder Ausschalten oder den Stromverlauf bei einem Kondensator beim
Laden und Entladen.
425
22 Das elektromagnetische Feld
22.1 Energie des mg. Feldes
Beim Ausschaltvorgang gemäß Abbildung 21.1 (S. 412) bei einer Spule wird die im mg.
Feld der Spule vorhandene Energie wieder frei und könnte zum Beispiel eine Glühlampe
(kurz) zum Leuchten bringen. Uns interessiert nun die Energie (gespeicherte Arbeit), die
bei diesem Vorgang frei wird.
22.1.1 Berechnung der Feldenergie in einer Spule
Wir erinnern uns an die Arbeit des el. Stromes. In Satz 48 (S. 248) haben wir festgestellt,
dass für die Arbeit in einem Stromkreis bei konstanter el. Stromstärke gilt (siehe (11.3),
S. 248):
W = U · I · t.
Nun ist im Stromkreis mit einer Spule beim Ausschalten die Stromstärke nicht konstant,
so dass wir aus diesem Grund eine (kleine) Zeitdifferenz ∆t – genauer im Grenzwert dt –
betrachten, in dem sich die Stromstärke I und die Spannung U nicht wesentlich ändern.
Daher können wir für den Zuwachs an Energie in der Zeit dt formulieren:
dW = U · I · dt .
Unter Berücksichtigung von Gleichung (20.7): U = Uind (t) = −L ·
dI
hat man:
dt
dI
· I · dt
dt
= −L · I · dI .
dW = −L ·
Integriert man nun beide Seiten der Gleichung, so berechnet man:
W
Z mg
Z0
dW =
0
−L · I · dI ;
Imax
Wmg =
1
2
· L · Imax
.
2
427
22 Das elektromagnetische Feld
Damit können wir allgemein zusammenfassen:
Satz 96. Die Energie, die in einer Spule (genauer: im mg. Feld einer Spule (Induktivität)) gespeichert ist, beträgt
1
Wmg = · LI 2
(22.1)
2
Zusatz
Wegen Uind (t) = −L ·
dI
dΦ
= −n ·
gilt LI = Φ und somit
dt
dt
Wmg =
1
· ΦI .
2
Dies entspricht der Verwendung der Gleichung CU = Q für die folgende Gegenüberstellung der el. und mg. Feldenergie.
22.1.2 Vergleich der el. und mg. Feldenergie
mg. Feld
(22.1)
Wmg =
1
· LI 2
2
Wmg =
1
· ΦI
2
el. Feld
(14.22)
Wel =
1
· CU 2
2
Wel =
1
· QU
2
Tabelle 22.1: El. und mg. Feldenergie
22.1.3 Berechnung der Energiedichte des mg. Feldes
Die Energiedichte des mg. Feldes sei für eine langen Spule exemplarisch hergeleitet. Das
Ergebnis gilt allerdings auch allgemein.
Aus (17.11) B = µ0 ·
n·I
B·`
folgt I =
. Eingesetzt in (22.1):
`
µ0 · n
Wmg
1
= ·L·
2
B·`
µ0 · n
2
.
n2
Für eine lange Spule (µr = 1) gilt (20.6) L = µ0 ·
· A . Ebenfalls eingesetzt erhält man
`
nacheinander:
! Wmg
428
1
n2
= · µ0 ·
·A ·
2
`
B·`
µ0 · n
2
;
22.1 Energie des mg. Feldes
1
2
1
=
2
1
=
2
Wmg =
Satz 97. Die Energiedichte %mg =
µ 0 · n 2 A · B 2 · `2
·
`
µ20 · n2
1
· A · ` · B2
·
µ0
1
· V · B2 .
·
µ0
·
Energie
Wmg
=
des mg. Feldes beträgt
Volumen
V
%mg =
1 1
Wmg
· B2
= ·
V
2 µ0
(22.2)
22.1.4 Vergleich der el. und mg. Energiedichte
mg. Feld
(22.2)
%mg =
el. Feld
Wmg
1 1
= ·
· B2
V
2 µ0
(14.23)
%el =
1
· ε0 E 2
2
Tabelle 22.2: El. und mg. Energiedichte
Zusatz
1. Ist der Raum mit el. und mg. Feldern durchsetzt, so gilt für die elmg. Energiedichte
als skalare Größe:
%elmg
1
B2
= · ε0 E 2 +
2
µ0
!
(22.3)
2. Ist der Raum, den das el. oder mg. Feld durchsetzt, mit Materie gefüllt, so tritt
zusätzlich zu den Feldkonstanten ε0 bzw. µ0 jeweils noch der Faktor εr bzw. µr
hinzu:
%elmg
B2
1
= · εr ε0 E 2 +
2
µr µ0
!
(22.4)
22.1.5 Beispiele für Energiedichten
Standardaufgaben in diesem Zusammenhang findet man in [16, S. 255] oder auch in [9,
S. 156]. Ich möchte an Hand der nachfolgenden Beispiele unterschiedliche Energiedichten
miteinander vergleichen.
429
22 Das elektromagnetische Feld
1. El. Feld Bei der Berechnung zu den Stützkondensatoren in der Elektrolokomotive BR 120 in Abschnitt 12.6.3 Teil 4 (S. 273) finden wir eine Größenordnung
V
für die el. Feldstärke in einem Kondensator: Ed = 650
. Die Energiedichte beµm
rechnet sich zu
1
1
As
V
%el = · εr ε0 · E 2 = · 2, 2 · 8, 8542 · 10−12
· 650
2
2
Vm
µm
Zur Einheit: 1
2
= 4, 11
MJ
.
m3
VAs
Ws
J
=1 3 =1 3.
3
m
m
m
In [9, S. 156] ist als Beispiel εr = 5 und E = 5 · 107
V
V
= 50
angegeben. Das
m
µm
kJ
liefert %el = 55, 3 3 , also einen Faktor 102 für die Größenordnung, da sich E in
m
der Rechnung quadratisch auswirkt. Man beachte auch den etwas anderen Faktor
εr = 5.
MJ
Fazit: Die (maximale) Energiedichte im el. Feld liegt in der Größenordnung 1 3
m
2. Mg. Feld In [9, S. 156] ist der Wert 10 T für ein sehr starkes mg. Feld angegeben.
Damit berechnet sich die Energiedichte zu (µr = 1):
%mg =
1
1
1
1
·
· B2 = ·
2 µr µ0
2 1 · 4π · 10−7
Vs
Am
· 10
N
Am
2
= 39, 8
MJ
.
m3
Am
N2
Am · As
N2
Nm
J
· 2 2 =1
· 2 2 =1 3 =1 3.
Vs A m
Nm · s A m
m
m
Fazit: Die (maximale) Energiedichte im mg. Feld liegt in der Größenordnung
MJ
50 3 , also etwa um den Faktor 10–100 über der Energiedichte im el. Feld.
m
kJ
3. Sprengstoff Angegeben sind in [9, S. 156] als Explosionsenergie 6
bei einer
g
m
g
Dichte von % =
= 1, 5
. Damit erhält man für die Energiedichte:
V
cm3
Zur Einheit: 1
%Sprengstoff =
W
W
kJ
g
GJ
=
·%=6
· 1, 5
=9 3.
3
V
m
g
cm
m
Fazit: Der Energiegehalt von Sprengstoff liegt wieder um ca. 2 Größenordnungen
über der (maximalen) des mg. Feldes.
4. Steinkohle Der Heizwert von Steinkohle sei mit 29 230 kJ bei einer Dichte von
g
% = 1, 5
angegeben. Dann berechnet man für die Energiedichte:
cm3
%Steinkohle =
430
W
kJ
g
GJ
· % = 29 230
· 1, 5
= 43, 8 3 .
3
m
kg
cm
m
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg. Felder
5. Autobatterie Eine 12 V-Autobatterie speichert eine Ladung von 88 Ah. Die Zellen haben ein Volumen von 7, 8 dm3 .
%Autobatterie =
W
Q·U
88 Ah · 12 V
88 A · 3 600 s · 12 V
MJ
=
=
=
= 487 3 .
3
3
V
V
m
7, 8 dm
7, 8 dm
Fazit: Der Energiegehalt ist größer als der für ein (maximales) mg. Feld, allerdings
2 Größenordnungen kleiner als der von Steinkohle.1
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg.
Felder
Das aktuelle Kapitel ist das Ergebnis einer Reihe von Schülervorträgen im LK, die zwischen 1977 und 2000 unter meiner Anleitung gehalten wurden. Das Thema für sich
wurde bereits am 14.10.2009 in [33] im Internet für die Schüler veröffentlicht. Der Inhalt
wird hier der Vollständigkeit halber und wegen seiner grundsätzlichen Bedeutung mit
geringen Anpassungen eingefügt.
22.2.1 Was wir schon wissen
Bereits bekannt sind uns die Maxwellschen Gleichungen für das zeitlich konstante el.
und mg. Feld. Nachstehend sind die Gleichungen und ihre physikalischen Aussagen noch
einmal zusammengefasst.
1. Das el. Feld als Kraft auf Ladungen
Im el. Feld ist die Umlaufspannung Null. (Satz 52 (S. 289))
E
I
s
#»
E · d #»
s =0
(22.5)
#»
Das E-Feld ist wirbelfrei. Die Feldlinien haben Anfang und Ende.
2. Das el. Feld entsteht aus Ladungen.
1
Hier zeigt sich die Schwierigkeit, Energie in el. Form zu speichern. Dies ist bekanntermaßen ein Problem
bei der Entwicklung der Elektromobilität.
431
22 Das elektromagnetische Feld
Der Fluss eines el. Feldes durch
eine geschlossene Fläche ist zu
der von der Fläche eingehüllten
el. Ladung proportional und
unabhängig von Fläche und
Feld. (Satz 64 (S. 313))
E
Q
#» #» Q
E · dA =
ε0
I
A
(22.6)
#»
Das E-Feld ist ein Quellenfeld. Quellen sind die Ladungen.
3. Das Linienintegral im mg. Feld
B
I = Q = konst
s
Im mg. Feld ist das Linienintegral, welches den Strom
umrandet, dem umrandeten
Strom proportional. (Abschnitt 17.2.2 (S. 327))
I
#»
B · d #»
s = µ0 · I
(22.7)
Das mg. Feld ist ein Wirbelfeld. Wirbel sind die Ströme.
4. Das Oberflächenintegral im mg. Feld
B
Der Fluss eines mg. Feldes
durch eine geschlossene Fläche
ist Null. (Abschnitt 17.2.1 (S.
326))
I
#» #»
B · dA = 0
A
#»
Das B-Feld ist quellenfrei. Die Feldlinien sind geschlossen.
432
(22.8)
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg. Felder
22.2.2 Zeitabhängige mg. Felder
Es sollen nun die Maxwellschen Gleichungen für beliebige inhomogene, el. und mg.
Felder hergeleitet werden. Veränderliche mg. Felder haben wir schon bei der Induktion
kennengelernt. Nach dem Induktionsgesetz (Satz 94, S. 397) konnten wir die aus der
zeitlichen Änderung des mg. Feldes erzeugte Induktionsspannung2 berechnen:
Uind
dΦ
d
d
= −Φ̇ = −
= − Φ− = −
dt
dt
dt
Z
#» #»
B · dA .
Ein beispielhaftes Experiment dazu war der sogenannte Thomsonsche Ringversuch3 4 ,
bei dem durch das Hineinführen oder Herausziehen eines Magnets im Ring eine Spannung
induziert wurde, die den Strom fließen ließ.
#» ∆B Φ̇ > 0
#»
B
− +
#»
E ind
Abbildung 22.1: Der Thomsonsche Ringversuch; für die Orientierung beachte man den
Abschnitt 20.3.1 (S. 395).
Zu Beginn der Elektrizitätslehre haben wir Spannung als Potentialdifferenz5 zwischen
Ladungen kennengelernt. Wenn nun eine Potentialdifferenz im Ring besteht, muss ein
el. Feld vorhanden sein, denn:
ϕ (P ) = UP0 P = −
ZP
#»
E · d #»
s.
P0
2
Siehe (20.5) (S. 397) mit n = 1.
Joseph John Thomson, 1856–1940, britischer Physiker
4
Betrachte dazu das Experiment in Abschnitt 20.5 (S. 405).
5
Siehe (14.7) (S. 290).
3
433
22 Das elektromagnetische Feld
Halten wir also fest:
Erkenntnis 1. Eine zeitliche Änderung eines mg. Feldes ruft ein el. Feld hervor.
Der Induktionsstrom kommt dadurch zustande, dass die Ladungen sich bewegen, um die
Potentialdifferenz auszugleichen. Da sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen,
müssen die el. Feldlinien geschlossen sein.
Erkenntnis 2. Es gibt auch geschlossene el. Feldlinien, d. h. es existieren auch el. Wirbelfelder. Diese werden durch die zeitliche Veränderung eines mg. Feldes hervorgerufen.
Befände sich nun anstelle des Ringes Raum ohne Materie, d. h. der Magnet würde ohne
Leiter hin- und herbewegt, so müsste auch hier ein el. Wirbelfeld entstehen. Denkt man
sich nämlich den Leiter aus Probeladungen zusammengesetzt, so dienen die Probeladungen nur zum Nachweis des el. Feldes. Der Leiter ist also nur ein Indikator für das el.
Feld. Wir denken, dass es auch ohne Leiter vorhanden wäre.
Erkenntnis 3. Die Entstehung des el. Wirbelfeldes ist also von der Anwesenheit von
Materie unabhängig und hängt nur von der zeitlichen Veränderung dieses mg. Feldes ab.
#»
B
#» ∆B Φ̇ > 0
#»
E
Abbildung 22.2: Ein el. Wirbelfeld tritt immer dann auf, wenn ein zeitlich veränderliches
Magnetfeld vorhanden ist.
I
Wir berechnen nun die Umlaufspannung im el. Feld. Diese wird durch
#»
E·d #»
s angegeben
und muss ungleich Null sein, da ein el. Wirbelfeld
vorliegt.Die Umlaufspannung wird
d
aber gerade durch die Induktionsspannung Uind = − Φ aufgebracht, so dass sich
dt
folgende Gleichung ergibt:
I
d
#»
E · d #»
s = − Φ.
(22.9)
dt
Damit hat man schließlich den
434
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg. Felder
Satz 98. II. Maxwellsche Gleichung
I
d
#»
E · d #»
s =−
dt
Z
#» #»
B · dA
(22.10)
Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld ruft ein el. Feld hervor. Wirbel ist der zeitlich
veränderliche mg. Fluss. Es gibt geschlossene el. Feldlinien.
22.2.3 Zeitabhängige el. Felder
Untersuchen wir nun zunächst den Auf- und Entladevorgang eines Kondensators. Solange das el. Feld im Kondensator auf- bzw. abgebaut wird, fließt ein Strom. Während dieser
Strom fließt – das el. Feld sich also ändert, besteht um die Leiterstücke ein mg. Wirbelfeld. Nach unserer bisherigen Vorstellung dürfte zwischen den Platten des Kondensators
kein Strom fließen und deshalb auch kein mg. Wirbelfeld um ihn herum existieren.
#»
Eo
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
⊖
#»
Ei
Abbildung 22.3: Ein Dielektrikum wird im Kondensator polarisiert. Links: Ein ungeladener Kondensator mit Dielektrikum. Rechts: Wird der Kondensator
geladen, so trennen sich die Ladungen, jedoch ohne wesentlich ihren Ort
zu verlassen. Die rot umrandeten Ladungen heben sich jeweils teilweise
auf.
Nach Maxwells Vorstellung allerdings besteht das mg. Feld auch innerhalb des Kondensators. Verständlich wird diese Auffassung durch die Betrachtung des Spezialfalls,
dass sich zwischen den Kondensatorplatten ein Dielektrikum befindet (Abbildung 22.3)6 .
Durch das Fließen des Ladestromes wird das Dielektrikum polarisiert, es findet also eine
Ladungsverschiebung statt, es fließt ein Verschiebungsstrom IV . Dieser Verschiebungsstrom tritt jedoch auch auf, wenn kein Dielektrikum vorhanden ist, sich etwa nur Luft
oder überhaupt keine Materie zwischen den Platten befindet, da die Existenz des mg.
Feldes von der Anwesenheit von Materie unabhängig ist. Im Kondensator besteht also
auch ein mg. Wirbelfeld.
6
Dies ist die Abbildung 12.4 (S. 259) im Abschnitt 12.2.
435
22 Das elektromagnetische Feld
#»
B
#»
E
I
Abbildung 22.4: Das mg. Feld schließt auch den Raum zwischen den Platten ein.
Erkenntnis 4. Das mg. Wirbelfeld endet nicht an den Kondensatorplatten, sondern
auch das zeitlich veränderliche el. Feld zwischen den Platten ist von einem mg. Wirbelfeld
umgeben (Abbildung 22.4).
Es gilt dann:
I
Mit IV = Q̇ =
#»
B · d #»
s = µ0 · (I + IV ) = µ0 · I + µ0 · IV .
dQ
hat man:
dt
I
dQ
#»
B · d #»
s = µ0 · I +
dt
= µ0 · I + µ 0 ·
dQ
.
dt
(22.11)
µ0 · I beschreibt also die Entstehung des mg. Feldes aus konstantem Strom. Darüber
dQ
hinaus gibt µ0 ·
den Aufbau des el. Feldes (d. h. die zeitliche Veränderung) durch
dt
Aufbringen von Ladungen an.
Beim Plattenkondensator haben wir gezeigt:
7
Q = C · U = C · E · d = 0 ·
A
· E · d = 0 · E · A .
d
Der Ausdruck E · A gibt hier aber gerade den el. Fluss an, da beim Plattenkondensator
#»
#»
E und A in jedem Punkt gleichgerichtet sind. Allgemein gilt:8
Z
Ψ=
7
8
#» #»
E · dA ;
Siehe Gleichungen (12.1), (11.2) und (12.4) (S. 248–257)
Siehe Definition 43 (S. 312)
436
22.2 Die Maxwellschen Gleichungen für beliebige el. und mg. Felder
also
Q = 0 · Ψ = 0 ·
Z
#» #»
E · dA
(22.12)
Mit (22.12) und (22.11) erhält man nun den
Satz 99. I. Maxwellsche Gleichung
I
d
#»
B · d #»
s = µ0 · I + 0 · µ0 ·
dt
Z
#» #»
E · dA
(22.13)
Ströme und zeitlich veränderliche el. Felder sind von mg. Wirbelfeldern umschlossen.
I
#»
E
#» ∆E Ψ̇ > 0
#»
B
#»
B
Abbildung 22.5: Wirbel sind einerseits die konstanten Ströme, andererseits der der zeitlich veränderliche el. Fluss.
22.2.4 Zusammenfassung und Übersicht: die 4 Maxwellschen Gleichungen
Die Gleichungen (22.6) und (22.8) sagen etwas Grundsätzliches über el. und mg. Felder
aus und gelten wie die Gleichungen (22.13) und (22.10) für beliebige el. und mg. Felder.
I
d
#»
B · d #»
s = µ0 · I + 0 · µ0 ·
dt
Z
#» #»
E · dA
(Maxwell I)
Sowohl ein Leitungsstrom als auch ein sich zeitlich änderndes el. Feld erzeugen ein mg.
Feld.
I
d
#»
E · d #»
s =−
dt
Z
#» #»
B · dA
(Maxwell II)
Ein sich zeitlich änderndes mg. Felde ruft ein el. Feld hervor.
437
22 Das elektromagnetische Feld
I
#» #» Q
E · dA =
0
(Maxwell III)
#»
Das E-Feld ist ein Quellenfeld. Quellen sind die Ladungen.
I
#» #»
B · dA = 0
(Maxwell IV)
#»
Das B-Feld ist quellenfrei. Die Feldlinien sind geschlossen.
22.2.5 Folgerungen
Die Gleichungen (22.13) und (22.10) besagen, dass eine zeitliche Änderung des einen
#»
#»
Feldes das jeweils andere Feld hervorruft, d. h. zeitlich veränderliche E- und B-Felder
bedingen sich gegenseitig. (Für zeitlich konstante Felder gilt weiterhin, dass sie sich
ungestört überlagern.)
Maxwell konnte zeigen, dass sich durch eine Kopplung der beiden Felder, die senkrecht
zueinander stehen, eine Welle bildet. Ebenso konnte er die Ausbreitungsgeschwindigkeit
dieser Wellen berechnen. Die Gleichung ist uns bereits als Satz 80 (S. 355) bekannt:
c= √
1
0 · µ0
~
~
Abbildung 22.6: E-Felder
(rot) und B-Felder
(blau) als Quellen voneinander
Die Übereinstimmung dieser Geschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit legte es nahe,
Licht als elektromagnetische Welle zu sehen.
Seine Überlegungen zu elektromagnetischen Wellen führten Heinrich Hertz 1888 zur
Entdeckung der Radiowellen. Dies bedeutete den experimentellen Nachweis von Maxwells Theorien.
Satz 100. Ruhende und bewegte el. Ladungen
• Ruhende el. Ladungen erzeugen ein statisches el. Feld.
• Gleichförmig bewegte el. Ladungen rufen zusätzlich ein mg. Feld hervor.
#» #»
• Beschleunigte el. Ladungen strahlen, d. h. bauen ein E, B-Feld auf.
438
22.3 Ein Überblick über wichtige Naturwissenschaftler
22.2.6 Experiment zu geschlossenen el. Feldlinien
An dieser Stelle besteht die Möglichkeit, ein Experiment mit der Ringentladungsröhre
von Leybold9 durchzuführen. Die zum Verständnis der Schaltung (Schwingkreis) und
der Vorgänge im Inneren der Röhre (Gasentladung) notwendigen Kenntnisse werden
allerdings erst in den nachfolgenden Abschnitten10 behandelt.
22.3 Ein Überblick über wichtige Naturwissenschaftler
Jetzt möchte ich einerseits einen Rückblick und andererseits einen Ausblick auf die Entwicklungen der Physik aus meiner Sicht darstellen, indem ich die Namen bekannter
Physiker (im Allgemeinen natürlich Naturwissenschaftler) zusammenstelle und stichwortartig auf die entscheidenden Entwicklungen hinweise. Das scheint mir an dieser
Stelle besonders wichtig, da die zunächst theoretischen Erkenntnisse Maxwells genau
den Schritt von einem mechanistischen Weltbild zu einer moderneren Auffassung der
Möglichkeiten der Naturbeschreibung ebnen. Es ist das Ende der sogenannten „klassischen Physik“. Bei dieser bestimmen vorgegebene Anfangsbedingungen genau den Ablauf
des Weltgeschehens. Alles wird als berechenbar angesehen – auch wenn es tatsächlich
nicht so einfach wäre (Laplacescher Dämon)11 . Grundsätzlich gibt es viele geschichtliche Zusammenfassungen, aber jeder Einzelne hat natürlich durch seine Ausbildung
und individuelle Wahrnehmung seine eigene Sicht der Dinge. Ich versuche dies mal als
Tabelle.12
Tabelle 22.3: Namen auf dem Weg zur modernen Physik
16. Jhd.
Tycho Brahe
Galileo Galilei
Johannes Kepler
1546–1601
1564–1641
1571–1630
Himmelsmechanik
17. Jhd.
René Descartes
Christiaan Huygens
Isaac Newton
1596–1650
1629–1695
1643–1727
Mechanik
18. Jhd.
Charles A. de Coulomb
James Watt
Alessandro Volta
André-Marie Ampère
1736–1806
1736–1819
1745–1827
1775–1836
Elektrizität I
Fortsetzung . . .
9
[21] Gerätebeschreibung 587 41
Siehe Abschnitte IV (S. 443) und IV (S. 443)
11
https://de.wikipedia.org/wiki/Laplacescher_D%C3%A4mon
12
Die Lebensdaten habe ich wegen der „bequemen“ Zugänglichkeit am 01.09.2016 unter Benutzung von
WikipediA zusammengestellt https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hauptseite.
10
439
22 Das elektromagnetische Feld
Tabelle 22.3: (Fortsetzung)
19. Jhd.
20. Jhd.
Hans Christian Ørsted
Georg Simon Ohm
Michael Faraday
1777–1851
1789–1854
1791–1867
Elektrizität II
James Clerk Maxwell
Heinrich Hertz
1831–1879
1857–1894
elmg. Wellen
Max Planck
Albert Einstein
1858–1947
1879–1955
Quantenmechanik I
Joseph John Thomson
Philipp Lenard
Marie Curie
Ernest Rutherford
Hans Geiger
1856–1940
1862–1947
1867–1934
1871–1937
1882–1945
Elementarteilchen
Max Born
Nils Bohr
1882–1970
1885–1962
Atombau
Enrico Fermi
Werner Heisenberg
1901–1954
1901–1976
Quantenmechanik II
Ich möchte hier abschließend noch das weitere Vorgehen erläutern:
Ziel ist es, die theoretisch vorhergesagten elmg. Wellen nachzuweisen. Im Abschnitt IV
wird dazu zunächst die Erzeugung elmg. Schwingungen behandelt. Daraus ergeben sich
schließlich Betrachtungen zu den technischen Möglichkeiten, elmg. Wellen zu erzeugen
und als physikalisches Phänomen zu deuten. Dies erfolgt in Abschnitt IV (S. 443).
440
Teil IV
Teilchen
441
Dies hier ist ein Blindtext zum Testen von Textausgaben. Wer diesen Text liest, ist
selbst schuld. Der Text gibt lediglich den Grauwert der Schrift an. Ist das wirklich so?
Ist es gleichgültig, ob ich schreibe: „Dies ist ein Blindtext“ oder „Huardest gefburn“?
Kjift – mitnichten! Ein Blindtext bietet mir wichtige Informationen. An ihm messe ich
die Lesbarkeit einer Schrift, ihre Anmutung, wie harmonisch die Figuren zueinander
stehen und prüfe, wie breit oder schmal sie läuft. Ein Blindtext sollte möglichst viele
verschiedene Buchstaben enthalten und in der Originalsprache gesetzt sein. Er muss
keinen Sinn ergeben, sollte aber lesbar sein. Fremdsprachige Texte wie „Lorem ipsum“
dienen nicht dem eigentlichen Zweck, da sie eine falsche Anmutung vermitteln.
443
Anhang
445
Anhang A
Ermittlung einer Regressionsgerade
Das Verfahren der „Linearen Regression“ soll hier an einem Beispiel erklärt und daran
schließlich verallgemeinert werden. Es handelt sich eine mehrfach erprobte Version (ohne
Differentialrechnung), die durchaus auch in der Sekundarstufe I erfolgreich durchgeführt
werden kann.1
Wir starten mit 4 Messwertepaaren
y
Pi (xi |yi ), zu denen wir eine AusgleichsgeraP4
de berechnen wollen.
8
bc
i
xi
yi
1
1,0
2,0
2
2,0
3,5
3
3,0
6,5
4
4,0
8,0
Rechts sieht man diese in einem Koordinatensystem.
Wenn man nach einer einigermaßen sinnvollen Ausgleichsgerade fragt, wird aus Erfahrung die rot eingezeichnete Gerade mit der
Gleichung y = 2x genannt. Als Grund wird
angeführt, dass zwei Punkte sogar auf der
Gerade liegen und die anderen nicht sehr
weit entfernt sind und darüber hinaus sich
die Abstände nach oben und nach unten gerade aufheben. Das leuchtet ein und zweifellos ist die eingezeichnete Gerade in diesem Sinne eine Ausgleichsgerade (durch den
Nullpunkt).
P3
bc
6
b
S
4
bc
P2
2
bc
P1
0
0
1
2
3
4
5
x
Kriterium 1. Die Summe der Abstände der Punkte von der Ausgleichsgerade in yRichtung muss Null sein.
Allerdings merkt man am Beispiel sofort, dass es unendlich viele Geraden gibt, die diese
Bedingung erfüllen, aber dann doch nicht nach einer Ausgleichsgerade aussehen. Allerdings verlaufen die Geraden mit dieser Bedingung alle durch genau einen Punkt S, den
1
Auf den Korrelationskoeffizient werde ich an dieser Stelle nicht eingehen, da er nicht ohne weitere
tiefergehende Kenntnisse berechnet werden kann.
447
Anhang A Ermittlung einer Regressionsgerade
sogenannten Schwerpunkt der Messreihe. Das ist jeweils der arithmetische Mittelwert der x-Werte und y-Werte der Messreihe.2
Wenn der Schwerpunkt die Koordinaten S(x | y) besitzt, so berechnet man mit den Daten
aus dem Beispiel und allgemein:
x1 + x2 + · · · + xn
n
y1 + y2 + · · · + yn
y=
n
1+2+3+4
= 2, 5
4
2 + 3, 5 + 6, 5 + 8
y=
=5
5
x=
x=
(A.1)
(A.2)
Damit besitzen wir einen Punkt der Ausgleichsgerade. Wenn man nicht den Nullpunkt als
zweiten Punkt möchte, muss man ein weiteres unabhängiges Kriterium formulieren. In
diesem Fall wählen wir wiederum das Kriterium des Abstandes von der zu berechnenden
Gerade. Statt der einfachen Abstände nehmen wir diesmal jedoch die Quadrate der
Abstände. Da aber die Summe dieser Werte nie negativ werden kann (für alle t ∈ R gilt:
t2 ≥ 0), verlangen wir nun, dass diese Summe möglichst klein ausfällt:3 4
Kriterium 2. Die Summe der Quadrate der Abstände der Punkte von der Ausgleichsgerade in y-Richtung soll minimal sein.
Um dieses Kriterium in eine Rechnung umzusetzen, gehen wir wie folgt vor: Wir beginnen
mit einer fiktiven Geradengleichung
y = m · x + c,
(A.3)
die die Ausgleichsgerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c darstellen
soll. Davon berechnen wir konkret die Abstände der einzelnen Punkte in y-Richtung ,
bilden deren Quadrate und addieren das Ganze. Man erhält dann einen Term, dessen
Wert möglichst klein gewählt werden soll. Bis dahin muss noch ein wenig gerechnet
werden.
1. Der Punkt S (x | y) liegt auf der Ausgleichsgerade. Deshalb muss y = m · x + c
gelten, oder wenn man nach c umstellt:
c=y−m·x
(A.4)
y = m · x + (y − m · x) .
(A.5)
Eingesetzt in (A.3):
Wir müssen also noch die Steigung m bestimmen.
2
Legt man nun noch den Nullpunkt (0|0) als zweiten Punkt fest, so ist die Ausgleichsgerade eindeutig
bestimmt und für viele Fälle ausreichend. Dies zeigt auch das Beispiel oben.
3
Sogenannte „Methode der kleinsten Fehlerquadrate“ nach C. F. Gauss
4
Carl Friedrich Gauß, 1777–1855, deutscher Mathematiker und Physiker; siehe auch Seite 314.
448
2.
a) Abstände in y-Richtung von der Ausgleichsgerade mit der Gleichung (A.5):
P1 (1 | 2, 0) 7−→ m · 1 + (5 − m · 2, 5) − 2, 0
P2 (2 | 3, 5) 7−→ m · 2 + (5 − m · 2, 5) − 3, 5
P3 (3 | 6, 5) 7−→ m · 3 + (5 − m · 2, 5) − 6, 5
P4 (4 | 8, 0) 7−→ m · 4 + (5 − m · 2, 5) − 8, 0
b) Abstände in y-Richtung zum Quadrat:
P1 (1 | 2, 0) 7−→ (m · 1 + (5 − m · 2, 5) − 2, 0)2
P2 (2 | 3, 5) 7−→ (m · 2 + (5 − m · 2, 5) − 3, 5)2
P3 (3 | 6, 5) 7−→ (m · 3 + (5 − m · 2, 5) − 6, 5)2
P4 (4 | 8, 0) 7−→ (m · 4 + (5 − m · 2, 5) − 8, 0)2
c) Summe der Quadrate der Abstände in y-Richtung:
(m · 1 + (5 − m · 2, 5) − 2, 0)2
+ (m · 2 + (5 − m · 2, 5) − 3, 5)2
+ (m · 3 + (5 − m · 2, 5) − 6, 5)2
+ (m · 4 + (5 − m · 2, 5) − 8, 0)2
=
((5 − 2, 0) + m · (1 − 2, 5))2
+ ((5 − 3, 5) + m · (2 − 2, 5))2
+ ((5 − 6, 5) + m · (3 − 2, 5))2
+ ((5 − 8, 0) + m · (4 − 2, 5))2
=
(5 − 2, 0)2 + 2 · (5 − 2, 0) · m · (1 − 2, 5) + m2 · (1 − 2, 5)2
+ (5 − 3, 5)2 + 2 · (5 − 3, 5) · m · (2 − 2, 5) + m2 · (2 − 2, 5)2
+ (5 − 6, 5)2 + 2 · (5 − 6, 5) · m · (3 − 2, 5) + m2 · (3 − 2, 5)2
+ (5 − 8, 0)2 + 2 · (5 − 8, 0) · m · (4 − 2, 5) + m2 · (4 − 2, 5)2
↓
↓
yi − y
↓
↓
yi − y
↓
↓
xi − x
↓
↓
xi − x
Aus schreibtechnischen Gründen bezeichnen wir die Summe der Quadrate
(yi − y)2 durch Syy , die Summe der Produkte (yi − y) · (xi − x) durch Sxy
und die Summe der Quadrate (xi − x)2 durch Sxx .
d) Mit den vier gegebenen Messdaten berechnen sich folgende Werte für die
449
Anhang A Ermittlung einer Regressionsgerade
einzelnen Summen:
Syy = 22, 5 ;
Sxy = 10, 5 ;
Sxx = 5 .
e) Damit ergibt schließlich sich für die Summe
stände in y-Richtung:
Sy
der Quadrate der Ab-
Sy = Syy − 2 · m · Sxy + m2 · Sxx ;
(A.6)
oder sinnvoll geordnet:
Sy = Sxx · m2 − 2 · Sxy · m + Syy
(A.7)
2
= 5 · m − 21 · m + 22, 5 .
3. Diese Summe Sy soll nun möglichst klein gewählt werden. Dazu berechnen wir
einmal zu verschiedenen Werten der Steigung m der Ausgleichsgerade ein Ergebnis
Sy (m) und zeichnen auch den Graph der quadratischen Funktion (Parabel)
m 7−→ Sy (m) = 5 · m2 − 21 · m + 22, 5 .
m
Sy
1,0
6,5
1,5
2,25
2,0
0,5
2,5
1,25
3
4,5
Nur scheinbar ist für m = 2 der Wert von Sy (m) am kleinsten, denn die benachbarten Werte in der Tabelle müssten dann wegen der Symmetrie einer Parabel den
gleichen Wert haben. In der graphischen Darstellung Abbildung A.1 sieht man das
sofort.
Sy
bc
4
3
bc
2
bc
1
bc
bc
S
0
0
1
2
3
m
Abbildung A.1: Das Minimum liegt beim Scheitel S der Parabel.
Da die Zuordnung (Funktion), die jedem m 7−→ Sy (m) = 5·m2 −21·m+22, 5 zuordnet, graphisch eine Parabel (Abbildung A.1) bedeutet, genügt es, die x-Koordinate
450
des Scheitels S zu bestimmen, um den kleinsten Wert für m zu ermitteln. Dazu
stellen wir den Term für Sy (m) in der sogenannten Scheitelpunktform dar. Daran
kann man die Koordinaten des Scheitels einer Parabel ablesen.5
Sy (m) = 5 · m2 − 21 · m + 22, 5
21
22, 5
=5· m −
·m+
5
5
2
21
= 5 · m2 −
·m+
5
|
=5·
10, 5
m−
5
2
10, 5
5
2
−
10, 5
5
2
{z
quadratische Ergänzung
−
10, 5
5
2
22, 5
+
5
22, 5
+
5
!
}
!
(A.8)
10, 5 2 10, 52
=5· m−
−
+ 22, 5
5
5
= 5 · (m − 2, 1)2 + 0, 45 ;
Sy (m) = a · (x − xS )
2
+ yS .
(A.9)
(Scheitelpunktform)
In (A.9) ist die Scheitelpunktform vollständig berechnet angegeben, und man kann
beide Koordinaten des Scheitels ablesen: S(2, 1 | 0, 45).
Nun benötigt man nur6 den m-Wert des Scheitels. Deshalb genügt es, die Rechnung
nur bis zur Gleichung (A.8) durchzuführen. Dort (rot) liest man ab:
Minimales
Sy (m) ist gegeben für:
m=
10, 5
= 2, 1 .
5
Wir erinnern uns, dass gemäß Gleichung (A.7) (S.450) gilt:
Sy (m) = 5 · m2 − 2 · 10, 5 · m + 22, 5 = Sxx · m2 − 2 · Sxy · m + Syy .
Deshalb folgt sofort allgemein für die gesuchte Steigung der Ausgleichsgerade:
m=
Sxy
Sxx
Damit wären wir fertig, denn aus (A.4) (S. 448) berechnet man mit m und den Zahlen
aus (A.1) und (A.2):
c = y − m · x = 5 − 2, 1 · 2, 5 = −0, 25 .
5
6
Siehe [35].
Der Wert 0, 45 gibt die kleinste Summe der Quadrate der Abweichungen in y-Richtung an.
451
Anhang A Ermittlung einer Regressionsgerade
Daher lautet die gesuchte Regressionsgerade:
y = 2, 1 · x − 0, 25
y
P4
8
P3
bc
bc
6
b
S
4
bc
P2
2
bc
P1
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung A.2: Das Ergebnis: die Ausgleichsgerade
Zusammenfassung Zum Abschluss möchte ich zeigen, wie man zu den Daten einer
Ausgleichsgeraden kommen kann. Man startet mit einer Tabelle, die vollständig ausgefüllt werden soll.
452
xi
yi
xi − x
yi − y
(xi − x) · (yi − y)
(xi − x)2
x1
y1
x1 − x
y1 − y
(x1 − x) · (y1 − y)
(x1 − x)2
x2
..
.
y2
..
.
x2 − x
..
.
y2 − y
..
.
(x2 − x) · (y2 − y)
..
.
(x2 − x)2
..
.
xn
yn
xn − x
yn − y
(xn − x) · (yn − y)
(xn − x)2
x
y
Sxy
Sxx
Dazu trägt man in der ersten und zweiten Spalte die Messwertepaare xi und yi ein und
berechnet die Koordinaten des Schwerpunktes S gemäß (A.1) und (A.2):
x=
x1 + x2 + · · · + xn
,
n
y=
y1 + y2 + · · · + yn
.
n
Mit diesen Ergebnissen lassen sich nun die nächsten 4 Spalten berechnen.
Jetzt addiert man die Zahlen in den letzten beiden Spalten. Mit diesen Summen ermitteln
man die Steigung m und den Achsenabschnitt c der Ausgleichsgerade gemäß
m=
Sxy
,
Sxx
c = y − m · x.
Wenn man möchte, lässt sich das auch sehr schön mit einer Tabellenkalkulation programmieren und direkt graphisch darstellen. Diese Funktionen sind heute allerdings in
all diesen Programmen fest vorprogrammiert. Es erscheint mir aber sinnvoll, gerade an
diesem Beispiel einmal hinter die Kulissen zu schauen.
Zur Kontrolle und als Beispiel stelle ich das Verfahren abschließend an den gegebenen 4
Wertepaaren konkret zusammen.
xi
yi
xi − x
yi − y
(xi − x) · (yi − y)
(xi − x)2
1, 0
2, 0
−1, 5
−3, 0
4, 50
2, 25
2, 0
3, 5
−0, 5
−1, 5
0, 75
0, 25
3, 0
6, 5
0, 5
1, 5
0, 75
0, 25
4, 0
8, 0
1, 5
3, 0
4, 50
2, 25
x
y
Sxy
Sxx
2, 5
5, 0
10, 5
5, 0
m = 2, 1
c = −0, 25
453
Anhang B
Übersicht Trigonometrie
B.1 Trigonometrie in 5 Minuten
Nicht immer stehen die notwendigen Grundkenntnisse in elementarer Trigonometrie für
die Betrachtung physikalischer Zusammenhänge zur Verfügung. Daher sind im Folgenden
die wichtigsten Aussagen zusammengestellt.
y -Ahse
r
b
r
y
t
ϕ
x
r x-Ahse
Betrachte die Abbildung links. x, y und r bilden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, da die Achsen senkrecht aufeinander stehen. In einem solchen Dreieck liegt
die längste Seite (hier: r) dem rechten Winkel gegenüber: die Hypotenusea . Die anderen beiden Seiten heißen Kathetenb . Um sie zu unterscheiden, nennt man
die dem Winkel ϕ (lies: „phi“, griech. Buchstabe) gegenüberliegende Seite „Gegenkathete von ϕ“ (hier: y)
und die dem Winkel anliegende Seite „Ankathete von
ϕ“ (hier: x).
a
b
Beachte die Rechtschreibung: Hypotenuse.
Beachte die Rechtschreibung: Kathete.
Zwischen dem Winkel ϕ und den Streckenverhältnissen1 gilt dann:
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
cos ϕ =
Hypotenuse
Gegenkathete
tan ϕ =
Ankathete
sin ϕ
tan ϕ =
cos ϕ
1 = sin2 ϕ + cos2 ϕ .
sin ϕ =
2
y
;
r
x
cos ϕ = ;
r
y
tan ϕ = ;
x
t
tan ϕ = ;
r
sin ϕ =
(B.1)
(B.2)
(B.3)
(B.4)
(B.5)
1
Da die Streckenlängen von r abhängen – die Figur wird größer oder kleiner – betrachtet man Verhältnisse zu r, wodurch die Längen auf den Einheitskreis zurückgerechnet werden.
2
sin2 ϕ, cos2 ϕ sind Kurzschreibweisen für (sin ϕ)2 , (cos ϕ)2 .
455
Anhang B Übersicht Trigonometrie
B.2 Ergänzende Anmerkungen
• Die Gleichungen (B.1)–(B.3) sind elementargeometrische Definitionen der drei trigonometrischen Funktionen.
• Man kann sin und cos auch als Projektionen definieren. Wenn man sich in der
Abbildung in Abschnitt B.1 auf der vorherigen Seite die Strecke r in Richtung der
y-Achse (von oben) beleuchtet vorstellt, so ist die rote Linie der Schatten von r,
genauer die Projektion von r in Richtung der y-Achse. Entsprechend ist die blaue
Linie der Schatten von r bei einer Beleuchtung in x-Richtung (von rechts), also die
Projektion von r in Richtung der x-Achse. Für den Radius r = 1 (Einheitskreis)
bedeuten die Streckenlängen genau die Werte der sin- und cos-Funktion für ϕ, also
r = 1 =⇒ x = cos ϕ
y = sin ϕ .
und
• Entsprechend definiert man tan ϕ durch die Gleichung (B.4) auf der vorherigen
Seite:
tan ϕ =
sin ϕ
=
cos ϕ
y
r
x
r
=
y
t
= ,
x
r
wobei sich das letzte Gleichheitszeichen aus dem 2. Strahlensatz ergibt.
• Die Gleichung (B.5) nennt man auch trigonometrische Form des Satzes des Pythagoras3 . Die Gültigkeit erschießt sich durch:
2
2
sin ϕ + cos ϕ =
2
y
r
+
2
x
r
=
y 2 + x2
r2
=
= 1.
r2
r2
B.3 Beispiele
Achte bei der numerischen Überprüfung der Bespiele auf die richtige Einstellung des
Modus DEG (Degree, Gradmaß) des Taschenrechners. Da es noch andere Winkelmaße gibt
u. a. RAD (Radiant, Bogenmaß; siehe 6.1.2 (S. 171)), muss man dem Rechner mitteilen,
wie die eingegebenen Zahlen zu interpretieren sind: bei DEG nämlich als Winkel in Grad
(z. B. 17◦ ; gradus, lat. Schritt).
1. Man überlegt sich sofort, dass gilt: (Prüfe auch mit dem Taschenrechner.)
sin 0◦ = 0 ;
sin 90◦ = 1 ;
cos 0◦ = 1 ;
cos 90◦ = 0
tan 0◦ = 0 ;
tan 90◦ nicht definiert .
2. Rechne nach: (sin 17◦ )2 + (cos 17◦ )2 = 1.
3. Für x = y (Abbildung auf Seite 455) ist das Dreieck gleichschenklig. Folglich ist
3
Beachte die Rechtschreibung: Pythagoras.
456
B.3 Beispiele
sin 45◦ = cos 45◦ . Rechne nach. Ferner gilt:
sin2 45◦ + cos2 45◦ = 1 ;
2 · sin2 45◦ = 1 ;
r
◦
sin 45 =
sin 45◦
= tan 45◦ = 1 .
cos 45◦
1
1 √
= · 2 = cos 45◦ ≈ 0, 7071 ;
2
2
(B.6)
(B.7)
4. Aus der geometrischen Definition kann man ablesen, dass gilt:
sin 30◦ = cos 60◦ ;
cos 30◦ = sin 60◦ ;
(B.8)
◦
◦
(B.9)
sin ϕ = cos (90 − ϕ) ;
cos ϕ = sin (90 − ϕ) .
Begründung: im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete für den Winkel ϕ die
Ankathete zu 90◦ − ϕ und umgekehrt.
Wir klären nun wie groß sin 30◦ und cos 30◦ sind.
r
Dazu spiegeln wir das in der Abbildung Seite 455
y
aus x, y und r gebildete Dreieck an der x-Achse
◦
30
und erhalten ein gleichseitiges Dreieck (alle Winx
30◦
x−Achse
kel betragen 60◦ ). Deshalb ist r = 2y und nach
y
2
2
2
dem Satz des Pythagoras x = r − y =
r
4y 2 − y 2 = 3y 2 . Daher
b
y
y
1
=
= = cos 60◦ ;
r
2y
2
√
x
y 3
1 √
cos 30◦ = =
= · 3 = 0, 8660 = sin 60◦ ;
r
2y
2
1
◦
sin 30
1
2√
tan 30◦ =
=
= √ ≈ 0, 5774 ;
1
◦
cos 30
3
2 · 3
◦
◦
√
sin 60
cos 30
tan 60◦ =
=
= 3 ≈ 1, 7321 .
◦
◦
cos 60
sin 30
sin 30◦ =
(B.10)
(B.11)
(B.12)
(B.13)
5. Zusammenfassung:
0◦
30◦
sin
0
1
2
cos
1
tan
0
1
2
·
√
√1
3
45◦
3
1
2
·
1
2
·
√
√
1
60◦
2
2
1
2
·
√
1
2
√
3
90◦
3
1
0
nicht def.
457
Anhang B Übersicht Trigonometrie
6. Will man zu einem gegebenen sin-, cos oder tan-Wert den Winkel bestimmen, so
benutzt man die arcsin-, arccos- oder arctan-Funktion. Man kann das etwa mit
den Daten der Tabelle ausprobieren.
B.4 Gradmaß und Bogenmaß
Siehe dazu die im Abschnitt 6.1.2 (S. 171) gemachten Ausführungen.
B.5 sin-, cos- und tan-Funktion am Einheitskreis
y
y
1
1
ϕ2
y2
y1
t1
ϕ1
x2
−1
1
x
−1
x1
1
x
x4
1
x
t2
−1
−1
y
y
1
1
t3
x3
ϕ3
−1
1
x
−1
y3
ϕ4
−1
y4
t4
−1
Abbildung B.1: Die drei trigonometrischen Funktionen in den Quadranten 1 bis 4; die
Zählung erfolgt wie bei den Indizes.
Verallgemeinert man die in Abschnitt B.1 (S. 455) gemachte Zeichnung, so erhält man
458
B.5 sin-, cos- und tan-Funktion am Einheitskreis
die in Abbildung B.1 (s. links) dargestellten Situationen. Mit i ∈ {1; 2; 3; 4} gilt für die
Strecken:
xi = cos ϕi ,
yi = sin ϕi ,
ti = tan ϕi .
Positive Winkel werden von der positiven x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn (mathematisch positive Orientierung) angegeben. Negative Winkel entsprechend im Uhrzeigersinn.
Winkel über 360◦ (2π) oder unter −360◦ (−2π) bedeuten ein entsprechend mehrfaches
Durchlaufen des Einheitskreises. Da die Werte sin ϕ und cos ϕ immer wieder nach 360◦
(2π) auftauchen, die Werte tan ϕ sogar nach 180◦ (π), spricht man auch von periodischen Funktionen.
Das Besondere an der Abbildung B.1 ist, dass man sehr viele Beziehungen zwischen den
Winkelfunktionen ablesen kann. So zum Beispiel leuchtet die Tabelle B.1 geometrisch
durchaus ein. Natürlich ist das kein Beweis der Zusammenhänge, aber für die Anwendung
und eine gewisse Freiheit von der Formelsammlung ist die geometrische Darstellung von
großem Vorteil.
0◦
Q1
90◦
Q2
180◦
Q3
270◦
Q4
360◦
sin
0
+
1
+
0
−
−1
−
0
cos
1
+
0
−
−1
−
0
+
1
tan
0
+
n. d.
−
0
+
n. d.
−
0
Tabelle B.1: Vorzeichen und spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen habe ich in Abbildung B.2 auf der nächsten Seite dargestellt.
B.5.1 Spiegelung an der y-Achse
Aus Symmetriegründen tauchen die Werte der trigonometrischen Funktionen auch schon
innerhalb der Periode von 360◦ wieder auf. Es kommt dann gegebenenfalls zum Wechsel
des Vorzeichens. Die wichtigsten Gleichungen fassen wir zusammen im
Satz 101.
cos (180◦ − α) = − cos α
(B.14)
sin (180◦ − α) =
sin α
(B.15)
tan (180◦ − α) = − tan α
(B.16)
Beweis. Zum Verständnis betrachte man die Abbildung B.3 (S. 461). Der Punkt P (x | y)
459
Anhang B Übersicht Trigonometrie
y
6
tan x
5
4
3
2
−7
−6
− 32 π
−2π
−360
−5
◦
−4
−3
− 12 π
−π
−180
−2
◦
−1
cos x
sin x
1
1
2
3
4
5
6
x
−1
−2
−3
1
2π
π
180◦
− 32 π
2π
360◦
−4
−5
−6
−7
Abbildung B.2: Graphen der drei trigonometrischen Funktionen; dazu die Skala in Einheiten von π und im Gradmaß
460
B.5 sin-, cos- und tan-Funktion am Einheitskreis
y -Ahse
1
P ′ (−x | y)
P (x | y)
y
180◦ − α
α
−1
α
x
−x
1 x-Ahse
Abbildung B.3: Spiegelung an der y-Achse
hat die Koordinaten P (cos α | sin α). Für den an der y-Achse gespiegelten Punkt P 0 (x0 | y 0 )
gilt P 0 (cos (180◦ − α) | sin (180◦ − α)). Man kann die Koordinaten von P 0 auch mit denen von P ausdrücken: P 0 (−x | y). Das bedeutet
P 0 (cos (180◦ − α) | sin (180◦ − α)) = P 0 (− cos α | sin α) .
Mit (B.4) hat man sofort:
tan (180◦ − α) =
sin (180◦ − α)
sin α
=
= − tan α .
◦
cos (180 − α)
− cos α
B.5.2 Spiegelung an der x-Achse
Satz 102.
cos (360◦ − α) = cos (−α) = cos α
(B.17)
sin (360◦ − α) = sin (−α) = − sin α
(B.18)
tan (360◦ − α) = tan (−α) = − tan α
(B.19)
Beweis. Die Argumentation verläuft analog zu Satz 101. Der Punkt P (x | y) hat die
Koordinaten P (cos α | sin α). Für den an der x-Achse gespiegelten Punkt P 0 (x0 | y 0 ) gilt
P 0 (cos (−α) | sin (−α)). Man kann die Koordinaten von P 0 auch mit denen von P ausdrücken: P 0 (x | − y). Das bedeutet P 0 (cos (−α) | sin (−α)) = P 0 (cos α | − sin α) . Mit
− sin α
sin (−α)
(B.4) hat man sofort: tan (−α) =
=
= − tan α .
cos (−α)
cos α
Mit Satz 102 sind die Achsensymmetrie der cos-Funktion bzgl. der y-Achse und die
Punktsymmetrie der sin- und tan-Funktion bzgl. des Ursprungs (0|0) beschrieben.
461
Anhang B Übersicht Trigonometrie
B.6 Sätze für Berechnungen an beliebigen Dreiecken
B.6.1 Der Cosinussatz
Satz 103. In einem Dreieck mit Standardbezeichnung – siehe Abbildung B.4) – gilt der
Cosinussatz:
(B.20)
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α
b2 = c2 + a2 − 2 · c · a · cos β
(B.21)
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ
(B.22)
y -Ahse
b
C
C
γ
b
b
y
a
α
β
α
b
b
c
A
h
H
b
B
a
x
A
B
x-Ahse
c
Abbildung B.4: links: Standardbezeichnungen im Dreieck; rechts: Skizze zum Beweis des
Cosinussatzes
Beweis. Betrachte die Abbildung B.4. Für die Koordinaten von A, B und C ist:
A(0|0) ,
B(c|0) und
C(x|y) = C (b · cos α | b · sin α) ,
x
h
= cos α, also x = b · cos α und = sin α, also y = h = b · sin α.
b
b
An den Koordinaten von C (b · cos α | b · sin α) ändert sich nichts, wenn C in einem anderen Quadrant (z. B. links von der y-Achse) liegt, das Dreieck also stumpfwinklig ist.
denn
Nach dem Satz des Pythagoras erhält man nacheinander mit Gleichung (B.5) (S. 455):
2
a2 = h2 + HB = y 2 + (c − x)2 = b2 · sin2 α + (c − b · cos α)2
= b2 · sin2 α + c2 − 2 · b · c · cos α + b2 · cos2 α
= b2 · sin2 α + cos2 α +c2 − 2 · b · c · cos α ;
|
462
{z
=1
}
B.6 Sätze für Berechnungen an beliebigen Dreiecken
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α .
Entsprechend durch zyklisches Umbenennen (a → b → c → a, α → β → γ → α):
b2 = c2 + a2 − 2 · c · a · cos β ;
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ .
B.6.2 Skalarprodukt von Vektoren und Cosinussatz
Im Abschnitt 4.1.1 (S. 129) wurde im Zusammenhang mit der physikalischen Größe
Arbeit definiert (siehe (4.2) (S. 130)):
#»
W = F · #»
s = F · s · cos ϕ
#» s
ϕ = F ; #»
(B.23)
#»
Dazu die Bemerkung: Arbeit ist eine skalare Größe. Daher heißt F · #»
s auch Skalarpro#»
dukt der Vektoren F und #»
s.
Ich möchte das an dieser Stelle verallgemeinern und den Zusammenhang mit der mathematischen Begriffsbildung herstellen. Darüber hinaus kann man zeigen, dass das Skalarprodukt eng mit dem Cosinussatz zusammenhängt.
Def. 52. Skalarprodukt
#» def
#»
a · b = a · b · cos α
#»
α = #»
a; b
(B.24)
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist gemäß Definition eine reelle Zahl (Skalar):
#»
#»
a · b ∈ R. Die geometrische Bedeutung wird durch die nachfolgende Abbildung erläutert.
#»
#»
a · b = a · b · cos α
= (a · cos α) ·b
|
{z
a #b» |
| #»
#»
a⊥
#»
a
}
= a #»
b · b.
#»
Dabei bedeutet #»
a #»
b = a b die Länge der
#»
b
α
#»
a #»
b
#»
b
senkrechten Projektion von #»
a auf b .
Bei der Betrachtung der Arbeit schrieb man Fs und meinte den „Anteil der Kraft in
Richtung des Weges“, was letztlich genau das Gleiche besagt.
Daher kann man sagen: Zur Berechnung des Skalarproduktes projiziert man einen der
Vektoren senkrecht auf die Richtung des anderen und bildet das Produkt der Längen
unter Berücksichtigung der Orientierung.
Der nächste Satz stellt die 4 Rechenregeln zusammen, die das Rechnen wie mit einem
463
Anhang B Übersicht Trigonometrie
„Produkt von Zahlen“ gewährleisten – genauer, die ein Skalarprodukt allgemein aus
mathematischer Sicht ausmachen.
#»
Satz 104. Es seien #»
a , b , #»
c Vektoren, λ eine reelle Zahl. Dann gilt für ein Skalarprodukt:
#»
#»
#»
a · b + #»
(B.25)
c = #»
a · b + #»
a · #»
c
#»
#»
#»
a · λ · b = λ · #»
a· b
(B.26)
#» #»
#»
a · b = b · #»
a
(B.27)
#»
a 6= #»
o =⇒ #»
a · #»
a >0
(B.28)
Anmerkung Beachte, dass in der Gleichung (B.26) das Multiplikationszeichen in unterschiedlicher Bedeutung vorkommt: einmal zwischen zwei Vektoren (Skalarprodukt)
und einmal zwischen einer Zahl und einem Vektor. Vergleiche dazu den Zusatz auf Seite
78 unten.
Die Gleichungen (B.25) und (B.26) bedeuten die Linearität des Skalarprodukts rechts
vom Multiplikationszeichen. Durch das Kommutativgesetz (B.27) ist die Linearität auch
für Operationen links davon gültig. Man spricht daher auch von einer symmetrischen
Bilinearform.
Die Gleichung (B.28) beschreibt die sog. positive Definitheit des Skalarproduktes. Dadurch wird sichergestellt, dass Längen berechnet werden können – siehe Satz 105.
Ein geometrischer Nachweis der 4 Eigenschaften mit Definition B.24 würde an dieser
Stelle zu weit führen.
Ziel war der Nachweis des Cosinussatzes. Zunächst bestimmen wir mit Definition B.24
auf der vorherigen Seite das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst:
Satz 105.
#»
a · #»
a = a · a · cos α = a2 cos 0◦ = a2 ; dabei ist α = ( #»
a ; #»
a) .
#»
a · #»
a = a2
und
a=
√ #» #»
a·a
(B.29)
#»
Betrachtet man nun die Abbildung B.5, so gilt nacheinander mit #»
c = #»
a + b:
#» #»
#»
c · #»
c = #»
a + b · #»
a+ b ;
#» #»
#» #»
c2 = #»
a · #»
a + #»
a · b + b · #»
a+ b · b
#»
= a2 + b2 + 2 · #»
a· b
#»
= a2 + b2 + 2 · a · b · cos α ; dabei ist α = #»
a; b
= a2 + b2 + 2 · a · b · cos (180◦ − γ)
= a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ .
464
B.6 Sätze für Berechnungen an beliebigen Dreiecken
A
#»
a
C′
c#»
= #
a»
+ #»
b
#»
b
#»
b
α
γ
C
#»
a
B
Abbildung B.5: Zum Nachweis des Cosinussatzes in vektorieller Darstellung
Das ist genau der Cosinussatz von Seite 462.
B.6.3 Der Sinussatz
Zur Berechnung beliebiger Dreiecke ist neben dem Cosinussatz auch der Sinussatz erforderlich. Dieser Satz sei hier zusätzlich notiert:
b
b
h
C
C
a
a
b
h
α
β
α
b
b
A
β
b
B
A
B
Abbildung B.6: Beweisskizzen zum Sinussatz
Satz 106. In einem Dreieck mit Standardbezeichnung – siehe Abbildung B.4 (S. 462))
– gilt der Sinussatz:
a
sin α
=
b
sin β
b
sin β
=
c
sin γ
c
sin γ
=
a
sin α
(B.30)
Beweis. Betrachte die Abbildung B.6 links. Für diesen Fall gilt:
h
= sin α , daher h = b · sin α
b
und
h
= sin β , daher h = a · sin β ;
a
465
Anhang B Übersicht Trigonometrie
h = b · sin α = a · sin β , woraus
a
sin α
=
folgt.
b
sin β
Entsprechend erhält man durch zyklisches Umbenennen die beiden anderen Beziehungen.
Betrachte die Abbildung B.6 rechts. Für den Fall des stumpfwinkliges Dreiecks kann
man genauso vorgehen, denn mit (B.15) folgt für den Nebenwinkel von α:
h
= sin (180◦ − α) = sin α .
b
B.7 Additionstheoreme
Für allgemeinere Betrachtungen z. B. beim schiefen Wurf in Abschnitt 2.2.6 (S. 90)
benötigt man unter anderem die Gleichung (B.31).
Satz 107. Für alle a, b ∈ R gilt:
sin 2a = 2 sin a cos a
(B.31)
cos 2a = cos2 a − sin2 a
(B.32)
Die Beziehungen im vorstehenden Satz sind Spezialfälle der Additionstheoreme für die
sin- und cos-Funktion. Diese Gleichungen findet man alle in mathematischen Formelsammlungen4 , was für unsere Zwecke auf jeden Fall genügen würde.
Ich notiere der Vollständigkeit halber die Additionstheoreme. Sie lauten:
Satz 108. Für alle a, b ∈ R gilt:
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
(B.33)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
(B.34)
Beweis. Wie oben bereits erwähnt, kann man insbesondere in der Physik auf eine Herleitung verzichten. Allerdings kenne ich aus meinem Studium einen sehr schönen Beweis
mit Hilfe der Differentialrechnung, den ich den Schülern an geeigneter Stelle gerne als
Ableitungsübung (Produkt- und Kettenregel sind erforderlich) mitgegeben habe.
Für den Nachweis von (B.33) auf dieser Seite betrachten die Funktion h mit
g(x) = sin(a + b − x) cos(x) + cos(a + b − x) sin(x)
und berechnen nacheinander: g(0), g(b) und die Ableitung g 0 (x) und erhalten:
g(0) = sin(a + b) cos(0) + cos(a + b) sin(0) = sin(a + b) ;
g(b) = sin(a + b − b) cos(b) + cos(a + b − b) sin(b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) ;
4
Siehe zum Beispiel [31] Seite 14.
466
B.7 Additionstheoreme
g 0 (x) = (sin(a + b − x) cos(x) + cos(a + b − x) sin(x))0
= sin0 (a + b − x) cos(x) + sin(a + b − x) cos0 (x)
+ cos0 (a + b − x) sin(x) + cos(a + b − x) sin0 (x)
= cos(a + b − x) · (−1) · cos(x) + sin(a + b − x) · (− sin(x))
+ (− sin(a + b − x)) · (−1) · sin(x) + cos(a + b − x) · cos(x) = 0
Die Ableitung von g ist auf R stets Null. Das bedeutet, dass g eine konstante Funktion
auf R ist. Daher muss gelten: g(0) = g(b), also gerade (B.33)
Für den Nachweis von (B.34) (s. links) betrachten die Funktion g mit
h(x) = cos(a + b − x) cos(x) − sin(a + b − x) sin(x)
und berechnen nacheinander: h(0), h(b) und die Ableitung h0 (x) und erhalten:
h(0) = cos(a + b) cos(0) − sin(a + b) sin(0) = cos(a + b) ;
h(b) = cos(a + b − b) cos(b) − sin(a + b − b) sin(b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ;
h0 (x) = (cos(a + b − x) cos(x) − sin(a + b − x) sin(x))0
= cos0 (a + b − x) cos(x) + cos(a + b − x) cos0 (x)
− sin0 (a + b − x) sin(x) − sin(a + b − x) sin0 (x)
= − sin(a + b − x) · (−1) · cos(x) + cos(a + b − x) · (− sin(x))
− (cos(a + b − x)) · (−1) · sin(x) − sin(a + b − x) · cos(x) = 0
Die Ableitung von h ist auf R stets Null. Das bedeutet, dass h eine konstante Funktion
auf R ist. Daher muss gelten: h(0) = h(b), also gerade (B.34)
(B.31) und (B.32) (s. links) erhält man, indem in (B.33) bzw. (B.34) b = a setzt.
Bei der Multiplikation von zwei Signalen wird in Abschnitt 8.2 (S. 220) ein weiterer
Zusammenhang benötigt:
Satz 109. Für alle a, b ∈ R gilt:
2 · cos(a) · cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b)
(B.35)
2 · sin(a) · sin(b) = sin(a + b) + sin(a − b)
(B.36)
Beweis. Zum Nachweis benötigt man die Sätze 102 (S. 461) und 108 (s. links).
cos(a + b) = cos(a) · cos(b) − sin(a) · sin(b) ;
cos(a − b) = cos(a) · cos(−b) − sin(a) · sin(−b)
= cos(a) · cos(b) + sin(a) · sin(b) ;
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 · cos(a) · cos(b) .
467
Anhang B Übersicht Trigonometrie
sin(a + b) = sin(a) · cos(b) + cos(a) · sin(b) ;
sin(a − b) = sin(a) · cos(−b) + cos(a) · sin(−b)
= sin(a) · cos(b) − cos(a) · sin(b) ;
sin(a + b) + sin(a − b) = 2 · sin(a) · cos(b)
Anmerkung Weitere Informationen werden an dieser Stelle ergänzt, wenn es für das
Verständnis der Physik erforderlich erscheint.
468
Anhang C
Exponential- und Logarithmusfunktionen
C.1 Potenzfunktionen
Anmerkung Eine grundsätzliche Übersicht über die Definitionen und Sätze in der
Potenzrechnung bis hin zu rationalen Exponenten (Potenzen von Wurzeln) findet man in
[36]. Die dort gegebene Darstellung ist für den Unterricht der ausgehenden Sekundarstufe
I (ehemals Klasse 10) verwendet worden. Grundsätzlich werden diese Inhalte als bekannt
vorausgesetzt.
C.1.1 Potenzen mit reellen Zahlen als Exponenten
Um Potenzen mit reellen Zahlen als Exponenten zu definieren, müssen wir uns daran
erinnern, dass reelle Zahlen (Elemente aus der Menge R) eine nicht-abbrechende, nichtperiodische Dezimaldarstellung besitzen. So ist die Dezimaldarstellung der reellen Zahl
√
7 = 2, 64575131106 . . .
eine näherungsweise Darstellung – unabhängig davon, wie viele (endliche) Dezimalstellen
angegeben werden. Die Ziffernfolge bricht nicht ab und endet auch nicht in einer Periode.
z
Bei einem Bruch , der aus dem Quotienten von Zähler z und Nenner n besteht, bricht
n
die Entwicklung in eine Dezimalbruchdarstellung entweder ab („die Division geht auf“)
oder sie endet in einer Periode. Dies muss nach spätestens n − 1 Schritten erfolgt sein,
denn es gibt nur n − 1 Reste bei der Division durch n und eben den Rest 0.
Beispiel
1
1
= 0, 2 oder = 1, 428571
5
7
Die Handhabung reeller Zahlen kann über das Konzept der Intervallschachtelung
erfolgen:
469
Anhang C Exponential- und Logarithmusfunktionen
√
2
2,6
2,64
2,645
2,6457
...
7
3
2,7
2,65
2,646
2,6458
...
d
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
...
Die obige Kurzdarstellung einer Intervallschachtelung für
vallschachtelung für eine reelle Zahl liegt vor, wenn gilt
√
7 zeigt die Idee: eine Inter-
1. es gibt eine monoton wachsende√Folge rationaler Zahlen (linker Rand), deren Folgenglieder immer kleiner gleich 7 sind;
2. es gibt eine monoton fallende Folge
rationaler Zahlen (rechter Rand), deren Fol√
genglieder immer größer gleich 7 sind;
3. die Differenz d der Folgenglieder wird beliebig klein (ist eine Nullfolge).
Die eingeschachtelte Zahl (die Zahl, die in allen Intervallen liegt) heißt „innere Zahl der
Intervallschachtelung“ und die Idee der reellen Zahlen ist die, dass jede Intervallschachtelung für eine reelle Zahl eine innere Zahl besitzt.
√ Das ist für rationale Zahlen nicht
√
gegeben, denn etwa die Intervallschachtelung für 7 hat dort keine innere Zahl, da 7
keine Bruchdarstellung besitzt, also keine rationale Zahl ist.
Mit diesem Konzept lässt sich nun zum Beispiel erklären, wie man an die Ergebnisse der
nachfolgenden Terme gelangen kann.
√
√
5
3
3
1. 2 3 = 25 = 32 = 3, 1748021 . . . = x , weil x3 = 32.
√
1
8
2. 20,125 = 2 8 = 2. Siehe oben.
√
12
99
212 . Siehe oben.
3. 20,12 = 2 99 =
√
Wie steht es jedoch z. B. mit 2
7
?
Die Verträglichkeit der Rechenoperationen in R mit den topologischen Eigenschaften
(Vollständigkeit, Grenzprozesse) von R lässt auch diesmal die Möglichkeit zu, Terme
der genannten Art – und damit die Potenz für reelle Exponenten
√ über Intervallschachtelungen zu erklären. Exemplarisch soll das am Beispiel von 2 7 erfolgen,
indem man
√
√
7
schrittweise ausgehend von einer Schachtelung für 7 eine solche für 2 berechnet.
√
7
2
3
2,6
2,7
2,64
2,65
2,645
2,646
2,6457 2,6458
...
...
√
d
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
...
2
4
6,0
6,23
6,254
6,2579
...
7
8
6,5
6,28
6,260
6,2585
...
d
4
0,5
0,05
0,006
0,0006
...
Man erkennt, dass sich die Eigenschaften einer Intervallschachtelung übertragen. Daher
470
C.1 Potenzfunktionen
besteht die Möglichkeit den Term
ar für r ∈ R und a ∈ R+
über Intervallschachtelungen zu definieren.
Ebenso übertragen sich die drei Potenzrechenregeln für a ∈ R+ ; x, y ∈ R, und es gilt:
ax
= ax−y
ay
x
ax
a
=
x
b
b
ax · ay = ax+y
ax · bx = (a · b)x
(ax )y = ax·y
(C.1a)
(C.1b)
(C.1c)
C.1.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen
Def. 53. Funktionen der Form
y = xr
(x ∈ R+ , r ∈ R)
heißen Potenzfunktionen (vergl. Abb. C.1, S. 472).
Die Potenzfunktion y = xr hat die Definitionsmenge D = R+ und die Wertemenge
W = R+ , falls r 6= 0. Ist r = 0, so gilt W = {1}. Da 1r = 1 für alle r ∈ R, verlaufen alle
Graphen durch den Punkt (1|1).
Für r = 0 ist y = x0 = 1. y ist die konstante Funktion vom Werte 1. Falls r = 1, ist
y = x1 = x. y ist die identische Funktion mit der Winkelhalbierende im 1. Quadranten
als Graph wegen der eingeschränkten Definitionsmenge.
Falls 0 < r < 1 ist y streng monoton wachsend mit fallender Steigung; für r > 1 ist y
streng monoton wachsend mit wachsender Steigung; wenn r < 0, ist y streng monoton
fallend.
y = xr hat die Umkehrfunktion x = y r . Für r 6= 0 kann man die Gleichung nach y
1
1
1
auflösen und erhält aus x r = (y r ) r = y r· r = y. Für r = 0 gibt es keine Umkehrfunktion.1
Zusatz
1
Informationen zur Umkehrfunktion
1
ist die Funktion gleich ihrer Umkehrfunktion. D. h., r2 = 1 oder r = ±1. Mithin sind
r
1
genau die Funktionen y = x1 = x und y = x−1 = ihre eigenen Umkehrfunktionen und daher auch
x
achsensymmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden.
Für r =
471
Anhang C Exponential- und Logarithmusfunktionen
P (y|x) ist der an der Winkelhalbierende y = x gespiegelte Punkt P (x|y). Man könnte ihn auch „Umkehrpunkt“ nennen. Um die Umkehrfunktion zu erhalten,
kann man wie folgt vorgehen. Beispiel:
x=y
P (y|x)
y=x
bc
2
(x > 0; y ≥ 0)
2
(y > 0; x ≥ 0)
y=x
y
√
y=+ x
bc
P (x|y)
(y > 0; x ≥ 0)
x
Man vertauscht x mit y und löst die entstandene Gleichung nach y auf. Definitionsmengen werden zu Wertemengen und umgekehrt.
C.1.3 Graphische Darstellung der Potenzfunktionen
− 21
y
−1
−2
keine Fkt.
4
2
√
3
3√
2 2
1
2,8
2,6
2,4
2,2
2
3
2,0
1,8
1
2
1,6
1,4
1
4
1,2
1,0
bc
0
0,8
0,6
− 21
0,4
−1
√
− 3
−2
0,2
0
bc
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
x
Abbildung C.1: Potenzfunktionen y = xr mit r ∈ Q und Beispielen für r ∈ R
472
C.1 Potenzfunktionen
C.1.4 Übungsbeispiele
Zu den Potenzgesetzen
Berechne exemplarisch für die 3 (bzw. 5) Potenzgesetze nachstehende Terme mit dem
Taschenrechner.
linke Seite
√
√
37
17
√
3
√
3
√
10
√
3
17
√
31
√
31
7
√
5
√
6
√
10
√
·
37
√
√
14
√
11
19
√
√
37
√
3
14
√
19
19
12
11
·
rechte Seite
√
√
3
19
7
√
10
√
31
17 ·
als Dezimalzahl
4 474 526,607
√
12− 14
√
11
19
3
√
7
!√2
√
5
19
√
6
14
2
2
5
√
17+ 19
12√6
√
10
√
11
19
√
5 · 12 6
0,7278
2,8692
1,2346
1,4855
Ein praktisches Beispiel
Der Pilot eines Flugzeugs liest eine Druckhöhe von 25 500 Fuß (Flugfläche 255) und
eine berichtigte Eigengeschwindigkeit (CAS) von 350 Knoten (= nautische Meilen pro
Stunde) ab. Welcher Machzahl
(M ) =
Fluggeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit
entspricht das, wenn die folgende Beziehung gilt:
v
u
0,286
u
2 !3,5
u
350
M =u
− 1 · (1 − 6, 875 · 10−6 · 25500)−5,2656 + 1
− 1 .
t5 1 + 0, 2
661, 5
Lösung: siehe Fußnote 2 .
2
Ergebnis: 0,8357; Quelle: [25]
473
Anhang C Exponential- und Logarithmusfunktionen
C.2 Exponentialfunktionen
C.2.1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen
Def. 54. Funktionen der Form
y = ax
(a ∈ R+ , x ∈ R)
heißen Exponentialfunktionen (vergl. Abb. C.2, S. 474).
Die Exponentialfunktion y = ax hat die Definitionsmenge D = R und die Wertemenge
W = R+ , falls a 6= 1. Ist a = 1, so gilt W = {1}. Da a0 = 1 für alle a ∈ R+ , verlaufen
alle Graphen durch den Punkt (0|1).
Für a = 1 ist y = 1x = 1. y ist die konstante Funktion vom Werte 1. Falls 0 < a < 1 ist
y streng monoton fallend; für a > 1 ist y streng monoton wachsend.
x
1
x
y = a und y =
= a−x liegen achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.
a
C.2.2 Graphische Darstellung von Exponentialfunktionen
2 x
3
1 x
2
1 x 1 x
3
5
5x
y
3x
2x
2
3
3 x
2
7
6
5
4
3
2
−4
−3
−2
−1
bc
1
1
−1
x
Abbildung C.2: Exponentialfunktionen y = ax mit Beispielen für a ∈ R+
474
C.3 Logarithmusfunktionen
C.3 Logarithmusfunktionen
C.3.1 Rechenarten und ihre Umkehrung
1. Stufe: Addition und Subtraktion
x + a = b;
x = b + (−a) = b − a .
2. Stufe: Multiplikation und Division
x · a = b;
x=b·
1
b
=
a
a
(a 6= 0) .
3. Stufe:
a) Potenzieren und Radizieren3 – Potenzfunktion
xa = b ;
1
x = b a = wuza b (a 6= 0, b > 0) .
b) Potenzieren und Logarithmieren – Exponentialfunktion
ax = b ;
x = loga b (a > 0, a 6= 1, b > 0) .
Bei der Rechenart 3. Stufe benötigt man zwei Umkehrfunktionen, da das Potenzieren
nicht kommutativ ist: 23 = 8, aber 32 = 9. Dagegen gilt das Kommutativgesetz bei der
Addition und der Multiplikation uneingeschränkt. Die Existenz der Umkehrfunktionen
wird an diese Stelle nicht gezeigt. Sie ergeben sich aus den Monotonieeigenschaften der
Potenz- und Exponentialfunktionen.
Beispiel
3
10x = 100
x 2 = 729
2
x = 729 3
x = log10 100
x = 81
x=2
x−1,256 = 45, 2
3
10x = 3
Der Ausdruck
„wuz“ ist von mir gewählt, um die Analogie zu „log“ darzustellen. Man könnte wuza b
√
a
auch als b schreiben, nur ist diese Schreibweise vergeben und wird i. A. nur für natürliche Wurzelexponenten (a ∈ N, a > 1) verwendet.
475
Anhang C Exponential- und Logarithmusfunktionen
1
x = 42, 2 −1,256
x = log10 3
x = 0, 05081 . . .
x = 0, 47712 . . .
Die ersten beiden Beispiele kann man „im Kopf“ rechnen, die anderen Ergebnisse lassen
sich ohne Weiteres nur mit dem Taschenrechner angeben. Prinzipiell wäre aber eine
Berechnung ohne Taschenrechner möglich.
C.3.2 Definition des Logarithmus
Def. 55. Die Lösung der Gleichung
ax = b (a > 0, a 6= 1, b > 0)
nennt man den Logarithmus von b zur Basis a:
ax = b ⇐⇒ x = loga b
(C.2)
loga b ist der Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten:
aloga b = b
(C.3)
Dies ist eine Standardeigenschaft einer Umkehrfunktion4 . Ebenso gilt:
loga a = 1 ;
(C.4)
loga 1 = 0 .
(C.5)
denn a1 = a und a0 = 1.
Die nächste Gleichung gehört zur allgemeinen Eigenschaft einer Umkehrfunktion (siehe
Fußnote 4 (S. 476)). Wegen ab = ab gilt:
loga ab = b
(C.6)
C.3.3 Spezielle Logarithmen
1. ld x = log2 x
logarithmus dualis, binärer Logarithmus, Zweierlogarithmus; Bezeichnung heute: lb x = log2 x. So gilt z. B. gemäß (C.6):
ld 2n = n
(n ∈ Z). 5
f ◦f −1 = f −1 ◦f = x, wenn x die identische Funktion bedeutet. Die Beziehung mit der Umkehrfunktion
gilt immer, obwohl i. A. die Hintereinanderausführung von Funktionen nicht kommutativ ist.
5
Z = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . . }
4
476
C.3 Logarithmusfunktionen
2. ln x = loge x
logarithmus naturalis, natürlicher Logarithmus; Logarithmus zur Basis e, der
Eulerschen Zahl 2, 7182818284590 . . . . Die Bedeutung liegt darin, dass ln x die
Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ex zur Basis e ist. ex hat die Eigenschaft,
dass sie an jeder Stelle mit ihren Funktionswerten genau ihre eigene Steigung anzugeben. Es ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft.
3. lg x = log10 x
dekadischer Logarithmus, Zehnerlogarithmus, Briggsscher Logarithmus
lg 10n = n
(n ∈ Z).
Auf dem Taschenrechner sind nur zwei Logarithmusfunktionen vorhanden. Wenn man
die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen kennt, kann man mit genau einer davon
auskommen, da alle anderen aus dieser durch einen Faktor auseinander hervorgehen.
Die Funktion log des Taschenrechners ist die Funktion lg = log10 . ln ist die andere
Funktion. Sie sind jeweils die Umkehrfunktionen von 10x bzw. ex .
C.3.4 Eigenschaften Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion y = loga x für a > 0, a 6= 1 hat die Definitionsmenge D = R+
und die Wertemenge W = R (siehe Abbildung C.3, S. 478). Der Graph ist streng monoton
steigend, falls a > 1 und streng monoton fallend, falls 0 < a < 1.
loga x und log 1 liegen achsensymmetrisch zur x-Achse 6 . Die y-Achse ist Asymptote.7
a
C.3.5 Die Funktionalgleichung und weitere Logarithmensätze
Für a ∈ R+ ; a 6= 1; x, y ∈ R+ gilt die sogenannte Funktionalgleichung:
loga (x · y) = loga x + loga y
(C.7)
Beweis. Sei loga x = r, d. h. ar = x und loga y = s, d. h. as = y. Dann gilt:
loga (x · y) = loga (ar · as ) = loga ar+s = r + s = loga x + loga y .
Beispiel
x = 8; y = 16; a = 2:
log2 (8 · 16) = log2 (128) = log2 27 = 7 ;
log2 8 + log2 16 = log2 23 + log2 24 = 3 + 4 = 7 .
Denn einerseits ist y = loga x ⇐⇒ ay = x und andererseits gilt y = log 1 x ⇐⇒
a
7
Weitergehende Begründungen sollen hier nicht gegeben werden.
6
1 y
a
= a−y = x.
477
Anhang C Exponential- und Logarithmusfunktionen
log 32 x
y
3
log2 x
2
log3 x
log5 x
1
bc
−1
1
2
3
4
5
6
−1
7
x
log 15 x
−2
log 13 x
−3
log 12 x
−4
log 23 x
Abbildung C.3: Logarithmusfunktionen mit unterschiedlichen Basen: vergleiche auch
Abbildung C.2 (S. 474): die Graphen gehen durch Spiegelung an der
Winkelhalbierenden y = x auseinander hervor.
Analog gilt für Quotienten:
loga
x
y
= loga x − loga y
(C.8)
Beweis. Sei loga x = r, d. h. ar = x und loga y = s, d. h. as = y. Dann gilt:
x
y
loga
= loga
r
a
as
= loga ar−s = r − s = loga x − loga y .
(C.9)
Für den Logarithmus einer Potenz erhält man:
loga (xy ) = y · loga x
(C.10)
Beweis. Sei loga x = r, d. h. ar = x. Dann gilt:
loga (xy ) = loga ((ar )y ) = loga (ar·y ) = r · y = y · loga x .
Aus (C.10), (C.8) und (C.5) folgt sofort:
loga
478
√
n
1
b = loga b n =
1
loga b ;
n
(C.11)
C.3 Logarithmusfunktionen
1
b
= loga b−1 = − loga b ;
(C.12)
1
b
= loga 1 − loga b = − loga b .
(C.13)
loga
loga
An dieser Stelle sollte eine Warnung erfolgen: Die Aussage loga (x ± y) = loga x±loga y
ist falsch 8 .
C.3.6 Berechnung beliebiger Logarithmen mit dem Taschenrechner
Zur Berechnung von loga mit dem Taschenrechner benötigt man eine Formel, die jetzt
hergeleitet werden kann.
Zu berechnen sei loga b mit a ∈ R+ , a 6= 1, b ∈ R+ . Wir setzen wieder loga b = r, also
ar = b. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung nun mit einer vorhandenen log-Funktion
– also z. B. mit der Funktion lg = log10 (siehe S. 477) – logarithmiert, erhält man:
lg (ar ) = lg b vgl. (C.10)
r · lg a = lg b (lg a 6= 0)
lg b
r=
.
lg a
loga b =
lg b
lg a
(C.14)
Zusatz
1. Die Gleichung (C.14) ist für log formuliert. Sie gilt natürlich für jede Logarithmusfunktion. Insbesondere verwendet man auf dem Taschenrechner häufig die natürliche Logarithmusfunktion ln .
2. Nett ist auch ein weiterer Zusammenhang, der sich aus (C.14) ergibt:
loga b · logb a =
lg b lg a
·
= 1.
lg a lg b
C.3.7 Die natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
Hier möchte ich auf [34] verweisen. Dort findet man eine Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion und der zugehörigen natürlichen
Logarithmusfunktion als auch die Darstellung der Lösung von Differentialgleichungen,
wie sie etwa bei der Untersuchung des Ladestroms beim Kondensator oder des Spannungsverlaufs an einer Spule verwendet werden.
8
Aus Summen logarithmieren nur die Dummen!
479
Anhang D
Protokoll zum Millikan-Versuch
Wird später noch eingefügt.
481
Anhang E
Physikalische Konstanten
Im Folgenden sind einige wichtige Konstanten und Umrechnungsfaktoren der Physik
zusammengestellt. Die Quelle ist ein zweiseitiges, namenloses Skript der RWTH Aachen
aus dem Jahre 1992, welches ich hier zunächst einmal eingefügt habe.
483
Anhang E Physikalische Konstanten
484
485
Literatur
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Dr. Klaus H. Blankenburg. Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und
Gleichungen. Hrsg. von Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG. Version 03.00. PD
5214.5061.61. 2011. url: https://karriere.rohde- schwarz.de/fileadmin/
customer/downloads/PDF/Der_korrekte_Umgang_mit_Groessen_Einheiten_
und_Gleichungen_bro_de_01.pdf (besucht am 07. 09. 2016).
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Stefanie Dargel. „Physik-Protokollheft“. Unterrichtsskript zu verschiedenen Themen. Apr. 2008.
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Friedrich Dorn und Franz Bader. Physik - Gymnasium SEK II, 11. Ausg. C, Gymnasium, Sek II, [Neubearb.] Bd. 11, [Schülerbd.] Hannover: Schroedel, 2000. 223 S.
isbn: 3507107236.
[8]
Friedrich Dorn und Franz Bader. Physik - Gymnasium SEK II, 12/13. Nachdruck
2001. Hannover: Schroedel, 2000. isbn: 978-3-507-10722-9.
[9]
Friedrich Dorn und Franz Bader. Physik - Oberstufe Band E. Hannover: Schroedel,
1976. isbn: 3-507-86156-9.
[10]
Friedrich Dorn und Franz Bader. Physik - Oberstufe Band MS. Hannover: Schroedel, 1975. isbn: 3-507-86155-0.
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490
Index
A (Einheit), 232
Abbrennversuch, siehe Masse
abgeleitete Einheit, 232
abgeschlossenes System, 107
Ableitung, 40, 53, 234
Abrollkurve, 24
Abschirmbarkeit, 242
Additionstheoreme, 466
Beweis, 466
Äquator
Fallbeschleunigung, 64
Radius, 64
Umlaufdauer, 174
Äquipotentiallinien, 242, 293
Aktions- Reaktionsgesetz, 112, 113
Ampère, André-Marie, 232
Ampere (Einheit), 232
Definition, 355, 356
Anfangsgeschwindigkeit, 45, 46
Anfangswegmarke, 46
Anion, 231
Anode, 231, 275
Anodenspannung, 277, 378
Arbeit
elektrische
Beispiele, 249
im homogenen Feld, 247
im inhomogenen Feld, 287, 288
Wegunabhängigkeit, 287
Gravitationsim homogenen Feld, 249
mechanische, 129
Beschleunigungsarbeit, 135
Definition, 130, 200, 463
Hubarbeit, 136
Orientierung, 136
schiefe Ebene, 137
Spannarbeit, 133, 134
Wegunabhängigkeit, 137, 138
Reibungs-, 130
Atom, 230
-hülle, 230
-kern, 230
Atomuhr, 105
Atwood, George, 118
Atwoodsche Fallmaschine, 118
Auffahrunfall, 108
Ausflussmessung, 235
Ausgleichsgerade, 34, 447
Autoreifen, 173
Axialfeldsonde, 361
Axiom (math.), 110
#»
B (phys. Größe), 333, 338
B-Box (Leybold), 361
Bahngeschwindigkeit, 169
Bahnkurve, 27, 82
Elektronen im el. Feld, 278, 280–282,
284
Winkel, 91, 93, 94, 96, 285, 286
Wurf, 80, 82, 83, 88–90, 92
Balkenwaage, 101, 105, 115, 304
Beobachter
außenstehender, 177
mitbewegter, 177
Beschleunigung, 45
konstante, 45
Beschleunigungsspannung, 283, 375
Betrag (Vektor), siehe Vektor
491
Index
Bewegung, 24
geradlinig, 25
gleichförmig, 25, 26
Übersicht, 49
Messung, 33
Zeit-Geschw.-Diagr., 28
Zeit-Weg-Diagramm, 26
gleichmäßig beschleunigt, 45
Übersicht, 49
Messung, 46
Zeit-Geschw.-Gesetz, 45
Zeit-Weg-Gesetz, 46
mehrdimensional, 71
Rotations-, 204, 205
Translations-, 204, 205
ungestörte Überlagerung, 71
ungleichförmig, 32
Bewegungs-Messwandler, 33, 41
Bezugssystem, 24
bifilar, 405
Bilinearform, 464
BMW-Box (Leybold), 33, 41
Böschungswinkel, 125
Bogenlänge, 171
Bogenmaß, 171, 456, 458
Bremsvorgang (Personenzug), 50
Bremsweg, 50, 118
Faustregel, 54
Bruch, 469
C (phys. Größe), 254
C (Einheit), 232
Carnot, Lazare, 155
Carnot, Sadi, 155
Cassini, Giovanni Domenico, 332
Cassinische Kurven, 332
CASSY-System, 34, 41, 361
◦ C (Einheit), 144
Celsius (Einheit), 144
Celsius, Anders, 144
cgs-System, 264
Coroliskraft, 213
cos
180◦ -Formel, 459
492
360◦ -Formel, 461
Achsensymmetrie, 461
Definition, 455
als Projektion, 456
Graph, 460
Umkehrfunktion (arccos), 457
Vorzeichen, 459
Winkel (allg.) am Einheitskreis, 458
Cosinussatz, 165, 462, 463
Coulomb, Charles Augustin de, 232
Coulomb (Einheit), 232
Coulombsches Gesetz, 294
DEG (TR-Modus), siehe Degree, Gradmaß; Bogenmaß
Degree, 456
Deklinationswinkel, 323
determiniert, 158
Dezimaldarstellung, 469
Dichte
Definition, 138
von Wasser, 140
Dielektrikum, 258, 435
Dielektrizitätszahl, 258
Differentialgleichung, 413
homogene, 414, 420
inhomogene, 413, 419
Differentialquotient, 234
Differentialrechnung, 53
Diode, 277
Vakuum-, 275
Kennlinien, 276
Direktionskonstante, 133
Doppelmavo, 387
Drehachse, 202, 206
Drehfrequenzregler, 190
Drehimpuls, 197, 206, 209
Drehimpulserhaltungssatz, 206, 210
Drehmoment, 188, 197, 201
mit Vektorprodukt, 202
Drehpunkt, 201, 202
Drehschemel, 207
Drehspulinstrument, 252
Drehsystem (Leybold), 178, 199
Index
Dreieck
Standardbezeichnung, 462
Dreieckstrom, 390
Dreifingerregel, 203, 206
Driftgeschwindigkeit, 358
Düsengleiter, 116
Durchschlagsfestigkeit, 273
Durchschlagsspannung, 265
Dynamik, 23, 101
#»
E (phys. Größe), 243
Edison, Thomas Alva, 276
Edison-Effekt, 275, 276
Einheit, 27
Einheitskreis, 172
Einstein, Albert, 112, 245
Eisbär Knut, 319
Eisenfeilspäne, 319
el. Feldkonstante, siehe Feldkonstante
Elektronen, 230, 276
Elektronenkanone, 278, 369
Elektronenstrahlablenkröhre, 278, 378
Elektronenwolke, 275, 276
Elektroskop, 229
Elementarladung, 282
Elementarmagnet, 320, 322
Energie
Definition, 131
elektrische
Beispiele, 249
Energiedichte, 308, 429, 430
Feldenergie, 307, 428
elektromagnetische
Energiedichte, 429
innere (Wärme), 144
magnetische
Energiedichte, 429, 430
Feldenergie, 428
mechanische, 131
als Fläche, 132
Bewegungsenergie, 135
kinetische Energie, 135
kWh und J, 136
Lageenergie, 136
potentielle Energie, 136
Rotationsenergie, 197, 198
Spannenergie, 133, 134
Energiebilanz, 151
Energiedichte, siehe auch Energie
Beispiele, 430–431
Energieerhaltungssatz, 107, 142, 144, 157,
165, 185, 191, 195, 198, 261, 262
Beispiele, 145
der Mechanik, 143
der Physik, 144
Experiment, 151
Eötvös, Peter, 245
Erdradius, 31, 174
Erregung, mg., 347
Eulersche Zahl, 477
Experimentiertrafo, 291
Exponentialanpassung, 237
Exponentialfunktion
als Umkehrfunktion, 477
Eigenschaften, 474
Graphen, 474
natürliche, 479
Exponentialfunktionsrohr, 235
f (phys. Größe), 168
F (Einheit), 254
#»
F (phys. Größe), 113
Fördermenge (Pumpe), 139
Fadenpendel, 149
Fadenstrahlrohr, 369, 376
Fallbeschleunigung, 60, 61, 64
Remscheid-Lennep, 61
unterschiedliche Orte, 64
Fallgerät, 58
Fallröhre, 60, 244
Faraday, Michael, 255
Faraday-Käfig, 242
Federhärte, 133
Federkonstante, 133
bei Parallelschaltung, 141
bei Reihenschaltung, 141
Messung, 151
Pufferfedern, 140
493
Index
Federkraftmesser, 116
Feld, 239
Beispiele, 239
elektrisches, 239
geladene Platte, 303, 314
homogen, 241
inhomogen, 241
kugelförmige Ladungsverteilung, 315–
317
radialsymmetrisch, 240, 262, 294
elektromagnetisches, 427
Gravitations-, 239
homogen, 241
inhomogen (Erde-Mond), 242
radialsymmetrisch, 241, 294
magnetisches, 319
Berechnung, 344
Erde, 323
gerader Draht, 344, 362
homogen, 322
lange Spule, 344–347, 359
mit Materie, 347
Permanentmagnet, 321
Stabmagnet, 322
Feldkonstante
elektrische, 257
Berechnung, 355
Messung, 257
relative, 258
Gravitationsfeld, 295
magnetische, 406
Definition, 355
Messung, 348–351, 406
relative, 347
Zusammenhang zwischen el. und mg.,
355
Feldlinien, 239, 293
elektrische, 240
Gravitations-, 241
magnetische, 322
Feldlinienbild, 239
Feldspule, 337, 399
Feldstärke, 239, 293
494
elektrische, 243
Gravitations-, 243
magnetische, 347
Feldvektor, 239
Ferromagnetismus, 319
Fixpunkt (Temperatur), 145
Flächenintegral, 312
Flächenladungsdichte, 260
Fliehkraft, 177
Fluss
elektrischer, 309–313
Definition, 311
Definition mit Integral, 312
geschlossene Fläche, 312, 318, 432
homogenes Feld, 312
radialsymmetrisches Feld, 313
Satz von Gauss, 313
magnetischer, 395, 401, 403
Beispiel, 399
geschlossene Fläche, 432
Teilchenstrom, 309
Vektorfeld, 310
Flussdichte, mg., 338
Fokussierspalt, 280
freier Fall, 58
Brunnentiefe bestimmen, 65
Eindringtiefe, 68
Messdaten, 58
Mond, 64
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz, 61
Zeit-Weg-Gesetz, 61
zwei Äpfel, 68
Frequenz, 168
Funktion
differenzierbare, 53
glatte, 53
konstante, 471, 474
periodische, 459
quadratische, 450
stetige, 53, 138
trigonometrische, 459
vs. Relation, 82
Winkel-, 459
Index
Funktionsgenerator, 389, 406
#»
G (phys. Größe), 243
g (phys. Größe), 243
Gabellichtschranke, 151
Galvanometer, 252
Garnrolle, 208
Gauß, Carl Friedrich, 313, 314, 448
Geschwindigkeit, 28
Einheit, 29
Einheitenumrechnung, 30
Erde, 32
konstante, 28, 32
mittlere, 32, 35, 38
Momentan-, siehe dort
Turbinenschaufel, 162
Vektor, 71, 72
Geschwindigkeitsmesser, 37
Gesetz (physikalisches), 72
Gewichtskraft, 115
gleichförmige Bewegung, siehe Bewegung
Gleichgewicht
indifferentes, 188
labiles, 188
Gleichrichterwirkung, 277
Gleichstrom, 235
pulsierender, 277
Gleiter, 33
Gleitreibung, 122
Glimmlampe, 227
Glühelektrischer Effekt, 275, 276
Glühemission, 277
Gradient, 293
Gradmaß, 171, 456, 458
Gravitationsgesetz, 294
Gravitationskonstante, 295
Grundeinheit, 232
cgs-System, 264
Grundgleichung der Mechanik, 112–114
H (Einheit), 399
#»
H (phys. Größe), 347
Haftreibung, 122
Haftreibungskoeffizient, 190
Halbwertszeit
RL-Kreis, 415
Hall
-Effekt, 357
-Konstante, 358
-Sonde (Eichung), 361
-Spannung, 358
Hall, Edwin Herbert, 357
Hangabtriebskraft, 125, 136
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 233, 293
Hebel, 201
Hebelgesetz, 188, 201
Hebelarm, 304
Heizspannung, 275, 276, 378
Heizwendel, 276
Helmholtzspulen, 370–373
Henry, Joseph, 399
Henry (Einheit), 399
Hertz (Einheit), 169
Hertz, Heinrich, 169
Hintereinanderausführung, 476
Höhenlinien, 242
Höhensatz (Pythagoras, 150
Hook, Robert, 133
Hookesches Gesetz, 133
horizontaler Wurf, 281
Hypotenuse, 455
Hypotenusenabschnitt, 150
Hysterese, 347
Hz (Einheit), 169
I (phys. Größe), 228
identische Funktion, 471
Impuls, 105, 106
Auto/Gewehrkugel, 106
Definition, 106
Impulsänderung, 252
Impulsänderungsrate, siehe Kraft
Impulserhaltungssatz, 107, 108, 111, 112,
157, 165, 206
Induktion, 385, 386, 397
Fläche, 392
Gesetz, 385, 397
495
Index
Relativbewegung, 386
Induktionsgerät, 393
Induktionsgesetz, 397, 411
Selbstinduktion, 399, 411
Induktionsspannung, 385, 386, 402, 434
Beispiel, 399
Flächenänderung, 393
Flussänderung, 394
Orientierung, 389, 395
Induktionsspule, 399, 401
Induktionsstrom, 386
Orientierung, 395
Inertialsystem, 111
Influenz
elektrische, 230, 258, 294
magnetische, 321
Inklinationswinkel, 323
innere Zahl, 470
Intervallschachtelung, 469
Ionen, 231
Isolatoren, 228
ISS, 115, 177, 244
J (Einheit), 130, siehe auch Nm, 200
Joule (Einheit), 130
Joule, James Prescott, 130
K (Einheit), 144
KA-EM-HA (Einheit), siehe Geschwindigkeit
Kapazität
Beispiele, 265
Erde, 264, 302
Kugel, 262, 301, 302
Plattenkondensator als Grenzfall, 302
Karussell, 173, 177
Kathete, 455
An-, 455
Gegen-, 455
Kathode, 231, 275
Kation, 231
Kelvin, siehe Thomson, William
Kelvin (Einheit), 144
Kettenkarussell, 188
496
kg (Einheit), 104
Kinematik, 23
Aufgabe, 25
klassische Mechanik, 111
Klimawandel, 213
Kn (Einheit), 31
Knoten (Einheit), 31
Kofferwaage, 106
Kolben eines Automotors, 33
Kondensator, 235
Beispiele für Schaltungen, 266–271
freier, 259
Kapazität, 254, 399, 411
Kapazität mit Dielektrikum, 259
Kraft zwischen den Platten, 302, 303
Kugelkondensator, 262, 301
Lade- und Entladevorgang, 419–421
Messungen, 421
mit Oszilloskop, 423
Messungen, 253–258
Parallelschaltung, 260
Plattenabstand, 247, 255
Plattenfläche, 255
Reihenschaltung, 260
Konduktor, 227, 228
Koordinatensystem, 24
Korrelationskoeffizient, 447
KOS, 24
kräftefrei, 113, 177
Kraft, 101
Angriffspunkt, 202
dynamische und statische Messung,
116
Gewichtskraft, 101, 115
Impulsänderungsrate, 112
Kraft zwischen stromdurchflossenen Leitern, 351
Kraftarm, 201
Kraftfeld, 239
Kraftstoß, 252
Kreisbahn (Fadenstrahlrohr), 370
Kreisbewegung, 32, 167
Beispiel
Index
auf der Erde, 183
auf horizontalem Kreis, 183
Fahrrad Kurvenfahrt, 189
gemeinsamer Schwerpunkt, 187
Kugelrutschbahn, 190
Looping, 184
mit Reibungskraft, 186
Rotierende Flüssigkeit, 192
Beschleunigung, 174
Beschleunigung #»
a Z , 176
gleichförmige, 167
Geschwindigkeit #»
v , 170
ungleichförmige, 173
Kreisel, groß (Leybold), 199
Kreisfrequenz, 169, 172
Kreuzprodukt, siehe Vektorprodukt
Kröncke, 58
Kugelkondensator, 262, 301
Kugelschwebe, 190
L (phys. Größe), 399
Ladung, el., 227
Beispiele, 265
Eigenschaften, 228
spezifische
Elektron, 282, 285, 369
Ladungsdichte, 294, 303
Ladungserhaltungssatz, 260, 261
Ladungsmessung, ballistisch, 251–252
Ladungsspeicher, 272
Ladungsträgerdichte, 359
Ladungstrennung, 229
Länge, 105
SI Grundeinheit, 105
Lastarm, 201
Leistung
elektrische, 248
Beispiele, 249
mechanische, 131
Höchstleistung bei Reibung, 140
PS und W, 131
Wandern (Beispiel), 131
Leiter, 228
stromdurchflossene
Feldlinienbild, 332
Kraftwirkung, 332
Leiterschaukel, 332, 395
Leiterschleife, 405
Leitungsvorgänge in Metallen, 231
Leitz Prado, siehe Doppelmavo
Lenz, Emil, 397
Lenzsche Regel, 396, 397
LH-Digitalzähler, 58
Lichtgeschwindigkeit, 30, 355
Messung, 219, 220
Brechungsindex, 224
in Luft, 223
in Wasser, 223
lineare Regression, 34, 447
Linienintegral, 290, 328, 432
Linke-Hand-Regel, 342
Logarithmus
binärer, 476
dekadischer, 477
mit Taschenrechner, 479
natürlicher, 477
Logarithmusfunktion
als Umkehrfunktion, 475
Eigenschaften, 477
Funktionalgleichung, 477
Graphen, 478
natürliche, 479
Lorentz, Hendrik Antoon, 331
Lorentzkraft, 331, 338–340, 342, 370
Beispiele, 343
Luftkissenfahrbahn, 33
Luftwiderstand, 60
M (phys. Größe), 201
m (Einheit), 105
Müngstener Brücke, 62
Maßzahl, 27
Mach-Zahl, 30
Magnesia, 319
Magneteisenstein, 319
magnetisch (hart-, weich-, nichtmg.), 321
Magnetit, 319
Magnetpol, 319
497
Index
Masse, 101, 104
Abbrennversuch, 102
Additivität, 103
Basiseinheit, 104
baugleiche Objekte, 103
Def. Einheit, 104
Def. Gleichheit, 104
Def. Vielfachheit, 104
Definition, 101
Elektronen-, 285
Materialart, 102
Materialmenge, 102
reduzierte, 157
schwere M., 244
SI Grundeinheit, 104
träge M., 244
Massenpunkt, 167
Massenverteilung, 198
Materie im el. Feld, 258
Maxwell, James Clerk, 197, 318
Maxwellsche Gleichungen
elektrisches Feld, 318, 344, 431
elektromagnetisches Feld, 435–438
magnetisches Feld, 432
Maxwellsches Rad, 197
Messverstärker, 253
spannungsempfindlicher, 406
Messwertaufnehmer, 33, 41
mg. Feldkonstante, siehe Feldkonstante
Millikan-Versuch, 282
Missweisung, 323
Mittelwert
arithmetischer, 448
mittlere Geschwindigkeit, siehe Geschwindigkeit
Momentangeschwindigkeit, 37, 39, 39
Monopol, mg., 323
N (Einheit), 113
Neutralisation, 229, 258, 276
Neutronen, 230
Newton (Einheit), 113
Newton, Isaac, 111
Newtonsche Axiome, 110
498
Newtonsches Gravitationsgesetz, 294
Nm (Einheit)
Arbeit, 200
Drehmoment, 201
Nordostpassat, 215
Normalkraft, 136, 191
Normfallbeschleunigung, 60
Nukleonen, 230
Nullfolge, 470
Ω (Einheit), 248
ω (phys. Größe), 169
Oberflächenintegral, 326, 328
Ørsted, Hans Christian, 325
Ørsteds Versuch, 325
#», 206
ω
Orientierung (Vektor), siehe Vektor
Ortsabhängigkeit, 60, 63
P (phys. Größe), 131
Φ (phys. Größe), 395
#»
p (phys. Größe), siehe Impuls
Pamir (Segelschiff, Untergang), 125
Parabel, 192, 450
Ähnlichkeit, 35
als Bahnkurve, 80–100
Nachweis experimentell, 43
Scheitel, 451
Scheitelpunktform, 53, 451
Parallaxe, 373
Parallaxenfehler, 373
Pendel, 149, 153
Permeabilitätszahl, 347
Personenzug, 29
physikalische Größe, 27
Setzen mit LATEX, 27
Pirouette, 210
Pistolenkugel (Geschw.), 155
Plotter HP-7475A, 71
Polarisation, 258, 435
Polarkoordinaten, 167
Polradius (Erde), 64
positiv definit, 464
Potential
Index
elektrisches, 287–300
Definition, 290
im homogenen Feld, 291
Potentialdifferenz, 290, 433
Potentialgebirge, 293
radialsymmetrisch, 296, 297
Gravitationsradialsymmetrisch, 298
Potenzfunktion
Eigenschaften, 471
Graphen, 472
Potenzrechenregeln, 471
Potenzrechnung (Übersicht), 469
Prandtl, Ludwig, 207
Primärspule, 387
Prinzip
als phys. Aussage, 72
Huygenssches, 72
Probekörper, 239
Probeladung, 239
Probeleiter, 334
Produktregel, 395
Protonen, 230
prozentuale Abweichung, 31
PS (Einheit), 131
Punktladungen, 240
Pythagoras (Satz)
trigonometrische Form, 456
Q (phys. Größe), 227
Quadrant (1. bis 4.), 458
quadratische Ergänzung, 55, 451
Quellenfeld, 318, 328, 432
quellenfrei, 328, 432
R (phys. Größe), 248
rad (Einheit), 172
RAD (TR-Modus), siehe Radiant, Bogenmaß; Gradmaß
Radiant, 456
Raketenantrieb, 114
rationale Zahlen Q, 470
Raumladungswolke, 277
Reaktionstest, 63
Reaktionszeit, 63
Rechte-Faust-Regel, 326
Rechteckstrom, 389, 390
Rechtssystem, 203, 331
reelle Zahlen R, 469
topologische Eigenschaften, 470
Vollständigkeit, 470
Regionalexpress, 32
Regression, 447
Regressionsgerade, 452
Reibung, 122
Bremsen eines Zuges, 127
Bremsspur eines Autos, 127
Eisstock, 126
Rutschen einer Kiste, 127
schiefe Ebene, 124
Schlitten, 124
Schlittschuhe, 124
Reibungsarbeit, 129
Reibungskoeffizient, 122
Relation (math.), 82
Relativbewegung, 405
relativer Fehler, 30
Relativitätstheorie
allgemeine, 245
spezielle, 112
Richtung (Vektor), siehe Vektor
Ringentladungsröhre, 439
Rollreibung, 122
Rotationsenergie, siehe Energie
Rückstoß bei einem Gewehr, 114
Ruhe, 24
s (Einheit), 105
Sättigungsspannung, 277
Sättigungswert, 277
Satz von Carnot, 155, 156
Satz von Gauss, 313
Anwendungen, 314
Schallgeschwindigkeit, 30, 65, 219
Schallmauer, 30
Scheinkraft, 178
schiefe Ebene, 288, 293
Schraubenfeder, 133, 147
499
Index
Schwerelosigkeit, 178
Schwerpunkt, 148
einer Messreihe, 448
Schwerpunktsystem, 207, 208
Schwimmen im Fluss, 76
Seemeile (Einheit), 31
Sekantensteigung, 36
Sekundärspule, 387
Selbstinduktion, 397, 398
Selbstinduktionskoeffizient, 398, 399, 411
Sharp MZ-700, 96
SI-Einheitensystem, 232
sin
180◦ -Formel, 459
360◦ -Formel, 461
Definition, 455
als Projektion, 456
Graph, 460
Punktsymmetrie, 461
Umkehrfunktion (arcsin), 457
Vorzeichen, 459
Winkel (allg.) am Einheitskreis, 458
Sinussatz, 465
Sinusstrom, 391
Skalar, 78
Skalarprodukt, 130, 197, 200, 463, 463
Länge eines Vektors, 464
Rechenregeln, 464
sm (Einheit), 31
Soffittenlampe, 227
Spannung, el., 247, 248
allgemeine Definition, 288
Beispiele, 265
Spannungswaage nach Kirchhoff, 304
spez. Widerstand, 258
Spule
Ein- und Ausschaltvorgang, 412–415
Messungen, 416
mit Oszilloskop, 423
Stabmagnet, 319
Stammfunktion, 293, 297
starke Wechselwirkung, 230
starrer Körper, 197
500
Steigung, 45
Sekante, 39
Tangente, 39
Steigungswinkel, 285
Steuerstrom (Hall-Effekt), 357
Stoß
elastischer, 107, 157
Eisstockschießen, 164
gegen eine Wand, 161
gleiche Masse, 158
Klick-Klack-Kugeln, 164
unterschiedliche Masse, 159, 160
vektoriell, 165
unelastischer, 107, 109, 155
Strom, el., 227
Stromlinienbild, 239
Stromstoß, 252
Stromwaage
nach Langensiepen, 333, 340
von Leybold, 348
Stützkondensator in E-Lok BR 120, 272,
308, 430
Stundenkilometer (Einheit), 29
Summenformel 1 + . . . + n, 139
T (Einheit), 338
T (phys. Größe), 168
tan
180◦ -Formel, 459
360◦ -Formel, 461
Definition, 455–456
Graph, 460
Punktsymmetrie, 461
Umkehrfunktion (arctan), 457
Vorzeichen, 459
Winkel (allg.) am Einheitskreis, 458
Tangentengleichung, 286
Tauchsieder, 249
technische Stromrichtung, 231, 343
Temperatur, 144
Temperaturdifferenz, 145
Temperaturskala, 144
Tensor, 198
Tesla (Einheit), 338
Index
Tesla, Nikola, 338
Thomson, Joseph John, 433
Thomson, William (Baron Kelvin), 144
Thomsonscher Ringversuch, 433
Trägheitsmoment, 209
Trägheitsmoment (exp. Bestimmung), 198
Trägheitsmoment, 197, 198
Trägheitssatz, 111, 113
Translationsbewegung, 197
Trigonometrie, 74, 455
trigonometrische Funktionen
Graphen, 460
Vorzeichen, 459
Tripelpunkt, 145
ts-Diagramm, 26, 34, 42, 52
tv-Diagramm, 28, 35, 45
U (phys. Göße), 248
Ulmer Münsters, 61
Umkehrfunktion, 471
Umlaufdauer, 168
Umlaufspannung, 289, 318, 431, 434
Umlenkrolle, 33
Unabhängigkeitsprinzip, 71, 72, 74, 78,
81, 84, 88, 175
ungleichförmige Bewegung, siehe Bewegung
Unterbrecherfahne, 103
Urkilogramm, 104, 244
Urmeter, 105
UVW-Regel I, 331, 338–340, 343, 385
UVW-Regel II, 395, 396
V (Einheit), 248
Valenzelektronen, 276
Vektor
Addition, 73
axialer, 202, 206
Betrag, 56
Definition, 72
Multiplikation mit Skalar, 78
Nullvektor, 78
Orientierung, 55, 72
Parallelogrammkonstruktion, 76
Parallelogrammregel, 75
Richtung, 55, 72
Skalarprodukt, siehe dort
vektorielle Größe, 72
Vektorprodukt, 202
Zerlegung in 2 Richtungen, 76
Vektoraddition
Kommutativgesetz, 74
Vektordiagramm, 74, 75
Vektorfeld, 239
Vektorprodukt, 197, 201, 339, 342
Verdunklungszeit, 83, 97, 98, 103, 151
Verschiebungsstrom, 435
Vollwinkel, 171
Volta, Alessandro Graf von, 248
W (phys. Größe), 130
W (Einheit), 131
Wärme, 144
elektrische
Beispiele, 249
Wärmekapazität, spezifische, 145, 249
Waldbrandbekämpfung, 113
Wasserstromstärke, 237
Watt (Einheit), 131
Watt, James, 131
Wattagen (bei Leuchtmitteln), 29
Wb (Einheit), 395
Weber, Wilhelm Eduard, 395
Weber (Einheit), 395
Wechselstrom, 235
Wechselwirkung, 101, 244
Wechselwirkung zweier Körper, 112
wechselwirkungsfreier Körper, siehe auch
kräftefrei
Bewegung, 111
Wegintegral, 290, 327, 328, 344
Rechenregel, 290
Wegunabhängigkeit, 137, 138, 288
Wehneltzylinder, 280
Weiss Pierre-Ernest, 320
Weisssche Bezirke, 320
Welle
elektromagnetische, 438
501
Index
Weltraumfahrt
Mond 1969, 60
Widerstand
ohmscher, 411
Widerstand, el., 248, 258
Parallelschaltung, 261
Reihenschaltung, 261
Windungsdichte, 346, 347
Windungsfläche, 399, 401
Winkel (allgemein), 459
Winkelgeschwindigkeit, 172, 173
als Vektor, 206
der Erde, 174
Winkelminute, 31
Winkelsekunde, 31
Wippe, 201
Wirbelfeld, 327, 328, 432, 434–436
wirbelfrei, 318, 328, 431
Wirkungsgrad
Turbine, 163
Wirtshausschild, 119
Wurf
horizontaler (waagerechter), 80
Anfangs-, Endgeschwindigkeit, 85
Parameterdarstellung, 81
Parametergleichung, 81
Versuch, 83
Wasserstrahl (Parabel), 98, 100
Wurfweite, 83
nach oben, 86
Steighöhe, 86
Steigzeit, Fallzeit, 86
schiefer, 88
allgemeine Formeln, 90
Flugdauer, 90, 91, 93
Gleichung der Bahnkurve, 91
Messbeispiel, 95, 96
Steigzeit, 90
Wurfhöhe, 90, 92, 93
Wurfweite, 90, 91, 93
Wurfweite (maximale), 91, 93
Wurfgerät (Leybold), 84
Wurfgerät (PHYWE), 96
502
Wurfparabel, siehe Parabel oder Wurf
xy-Schreiber
Messung der Stromstärke, 406
Skalierung, 408
Spannungsverlauf bei einem Kondensator, 421
Stromverlauf bei einer Spule, 412, 416
Zeit, 25, 105
SI Grundeinheit, 105
Skalar, 78
Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm, 35
Zeit-Weg-Diagramm, 27
Zentralkraftzusatz (Leybold), 178
Zentrifugalkraft, 177, 210
Zentripetalbeschleunigung, 64, 176
Zentripetalkraft, 176, 177
Zweikörperproblem, 157, 207
zyklisch, 463
Zykloide, 23
Parametergleichung, 24
Zylinderspule, 348, 361, 406
